www.baranyi.hu
2010. szeptember 19.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
O PTIKA Geometriai optika Snellius–Descartes-törvény A fényhullám a geometriai optika szempontjából párhuzamos fénysugarakból áll. A vákuumban haladó fénysugár a geometriai egyenes fizikai megfelel˝oje. A fény azonban nem halad minden esetben egyenes mentén: a tükröz˝o felületekr˝ol visszaver˝odik, vízbe, üvegbe hatolva megtörik. Az optikai törvények megfogalmazásakor szerepet játszik a beesési mer˝oleges fogalma. Tegyük fel, hogy egy fénysugár valamely sima felületre1 érkezik. Állítsunk gondolatban a felületre egy mer˝oleges egyenest abban a pontban, ahol a fénysugár a felületet éri. Ezt az egyenest nevezzük beesési mer˝olegesnek. Tekintsük most át a fény visszaver˝odésének és törésének szabályát! Tegyük fel, hogy a fény tükröz˝o felülethez ér és visszaver˝odik. A bees˝o fénysugár és a beesési mer˝oleges szögét jelöljük α-val, a visszavert fénysugár és a beesési mer˝oleges szögét β-val. Az α-t a beesés szögének, a β-t a visszaver˝odés szögének nevezzük (1. ábra). Tegyük fel, hogy α < 90◦ , mert a kérdésfeltevésnek csak így van értelme. Foglaljuk össze a a fényvisszaver˝odés szabályait! Ezek:
1. ábra. 1. A bees˝o fénysugár, a beesési mer˝oleges és a visszavert fénysugár egy síkban van. 2. A visszaver˝odés szöge egyenl˝o a beesés szögével: α = β. Ha a fénysugár mer˝oleges a tükröz˝o felületre (α = 0◦ ), akkor visszaver˝odéskor a bees˝o fénysugár a beesési mer˝oleges mentén ver˝odik vissza. (Ha a fénysugár mer˝oleges a beesési mer˝olegesre, tehát – azaz α = 90◦ –, akkor nem jön létre visszaver˝odés.) Ha a fénysugár két közeg határához érkezik és nem ver˝odik vissza, illetve nem nyel˝odik el, akkor átlép a másik közegbe. A bees˝o fénysugár és a beesési mer˝oleges szögét most is a beesés szögének, a másik közegbe hatoló fénysugarat megtört fénysugárnak, a megtört fénysugár és a beesési mer˝oleges szögét törési szögnek nevezzük. A beesés szögét általában α1 -gyel, a törési szöget α2 -vel – vagy α-val és β-val jelöljük (2. ábra). Foglaljuk össze a a fénytörés szabályait is! Ezek: 1. A bees˝o fénysugár, a beesési mer˝oleges, valamint a megtört fénysugár egy síkban van, és a két fénysugár a beesési mer˝oleges különböz˝o oldalain halad. 2. A beesési mer˝olegessel bezárt szögek (a beesés szöge és a törés szöge) szinuszainak az aránya a fény terjedési sebességének arányával egyenl˝o: sin α c1 sin α1 = = n21 = sin α2 sin β c2 1
Csak így van értelme a beesési mer˝oleges fogalmának, nem lehet beesési mer˝olegesr˝ol beszélni, ha a fénysugár egy kocka élére esik.
1
www.baranyi.hu
2010. szeptember 19.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
Ezt az állítást Snellius–Descartes-törvénynek nevezzük. Nyilvánvaló tény, hogy a felületre mer˝olegesen érkez˝o fénysugár irányváltoztatás nélkül halad tovább. Az egyenlet jobb oldalán szerepl˝o c1 n21 = c2 arányt (a második közeg els˝ore vonatkozó) törésmutatójának nevezzük.
2. ábra. A fénysugár légüres térben (és a leveg˝oben is) c = 3 · 108 m/s, azaz 300 000 km/s sebességgel terjed, a vízben mért sebessége cvíz = 2, 25 · 108 m/s, azaz 225 000 km/s. A 3. ábrán azt látjuk, hogy a leveg˝ob˝ol a víz felszínére fénysugár érkezik, amelynek a víz felszínére mer˝oleges egyenessel bezárt szöge (azaz a beesési szöge) α = 40◦ . Mekkora szöget zár be a vízben haladó fénysugár a beesési mer˝olegessel?
3. ábra. A megoldás a Snellius–Descartes-törvény egyszer˝u alkalmazása. A víz leveg˝ore vonatkozó törésmutatója 3·108 4 n21 = 2,25·10 olegessel bezárt szögek 8 = 3 ≈ 1, 33. A Snellius–Descartes-törvény szerint a beesési mer˝ szinuszainak aránya egyenl˝o a terjedési sebességek arányával, a törésmutatóval. sin α 4 = . sin β 3 Innen: 3 sin 40◦ = 0, 4821. 4 Innen pedig – zsebszámológéppel számolva – azt kapjuk, hogy β = 28, 8◦ sin β =
A fénysugár útja megfordítható. Kivételes esetekt˝ol eltekintve, ha az A pontból a B pontba fénysugár érkezik, akkor ugyanezen az úton a B pontból is érkezhet fénysugár az A pontba. Ezért nyilvánvaló, hogy n21 =
1 , n12 2
www.baranyi.hu
2010. szeptember 19.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
vagyis n21 n21 = 1. A vákuumra vonatkozó törésmutatót abszolút törésmutatónak nevezzük. A fény a leveg˝oben megközelít˝oen ugyanolyan sebességgel terjed, mint a vákuumban, ezért a leveg˝o abszolút törésmutatóját a legtöbb problémában l-nek tekintjük: cvákuum = n(leveg˝o, vákuum) = 1. cleveg˝o
A geometriai optika egyszer˝u törvényeit néhány további konkrét probléma megoldásával szemléltetjük. A fénysugár a leveg˝oben is c = 3 · 108 m/s sebességgel terjed, a vízben mért sebesség pedig cvíz = 2, 25 · 108 m/s. A 4. ábrán a víz felszíne alatt egy kis lámpát látunk. A lámpa által kibocsátott, víz felszínére érkez˝o fénysugár beesési szöge αvíz = 45◦ . Mekkora αlev. szöget zár be a vízb˝ol kilép˝o, a leveg˝oben haladó fénysugár a felszínre mer˝oleges egyenessel (vagyis mekkora a fénysugár kilépési szöge)?
4. ábra. A megoldás a Snellius–Descartes-törvény szerint cvíz 2, 25 · 108 3 sin αvíz = = = . 8 sin αlev. clev. 3 · 10 4 Így tehát sin αlev. = 0, 9428, ezért αlev. = 70, 52◦ .
A víz felszíne alatt egy kis lámpa vékony fénysugarat bocsát ki. A fénysugár iránya változtatható. Jelöljük a fényforrásból kiinduló fénysugár függ˝olegessel bezárt szögét αvíz -zel! Ez megegyezik a felszínre érkez˝o fénysugár beesési szögével. Számítsuk ki a kilépés αlev. szögét, vagyis határozzuk meg, hogy milyen irányban halad tovább a víz és leveg˝o határára érkez˝o fénysugár: ha a) αvíz = 20◦ , b) αvíz = 40◦ , c) αvíz = 60◦ ? sin αlev. 4 = törvényt alkalmazzuk: Az els˝o esetben A megoldásra rátérve, a Snellius és Descartes sin αvíz 3 4 sin αlev. = , ezért αlev. = 27, 13◦ . ◦ sin 20 3 A második esetben sin αlev. 4 = , ezért αlev. = 58, 9◦ . ◦ sin 40 3 3
www.baranyi.hu
2010. szeptember 19.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
A harmadik esetben azonban a törvény nem alkalmazható, ez abból látszik, hogy a sin αlev. 4 = ◦ sin 60 3 egyenletb˝ol az következik, hogy sin αlev. = 1, 15, ez azonban nem lehetséges. Ebben az esetben a fényforrásból a víz felszínére érkez˝o fénysugár nem lép ki, hanem – a víz felszínét mintegy tükörként érzékeli –, a víz felszínér˝ol visszaver˝odik (5. ábra). Ezt a jelenséget teljes visszaver˝odésnek nevezik. Határozzuk meg azt az – átmentileg αh szöget, amelynél ha nagyobb szögben érkezik fénysugár a víz
5. ábra. felszínére, akkor nem lép ki a vízb˝ol,hanem teljes visszaver˝odés lép fel. Világos, hogy azt kell megvizsgálni, hogy milyen αh esetén éri el a kilépés szöge a 90◦ -os mértéket: sin 90◦ 4 = = n, sin αh 3 innen – víz esetén – a teljes visszaver˝odés határszögére αh = 48, 6◦ . (Ha a vízb˝ol a leveg˝ovel értintkez˝o felszíne felé a beesési mer˝olegessel 48,6◦ -nál nagyobb szögben érkezik a fénysugár, akkor teljes visszaver˝odés lép fel, ha kisebb szögben, akkor kilép a fénysugár és a Snellius–Descartes-törvénynek megfelel˝oen megtörik. Határesetben, vagyis amikor a beesés szöge pontosan αh , úgy képzelhetjük, hogy a fénysugár a víz felszínén siklik. A jelenség azonban geometriai optika módszereivel valójában nem vizsgálható. Tiszta viz˝u tó felszíne alatt a P pontban egy búvár kémleli a víz felszínét. Határozzuk meg, hogy milyen irányban látja a búvár a tóparti ház ablakában a lámpa fényét! A horizont fölött 40◦ -kal látszik egy csillag. Hol, azaz milyen irányban látja a búvár a csillagot? A megoldás lényeges eleme a teljes visszaver˝odés felismerése. Ha a búvár lámpájának fényét vizsgáljuk, az a fénysugár, amely a víz felszínéhez a teljes visszaver˝odés határszögéhez közeli szöggel érkezik, az majdnem a víz felszínén halad és az alacsony parti ház ablakán bevilágít. A fénysugár azonban megfordítható. A világító ablakból induló fénysugár a víz felszínével közel párhuzamosan érkezik a beesési mer˝olegeshez. A búvár a parti ház fényét a függ˝olegessel közel αh irányban észleli. A házat, a parti fákat a szürkületben egy αh = 48, 6◦ félnyílásszög˝u kúp palástjának bels˝o oldalára fordítva látja (6. ábra). Ez azt jelenti, hogy számára a teljes horizont a kúp palástján van, a félgömb-szer˝u égbolt pedig a kúp belsejében van. Nagyon fontos: a búvár mindent lát a víztükör fölött. Minden tárgyról (amelyet nem árnyékol más tárgy) fénysugár érkezik a búvárhoz. A távoli csillagról érkez˝o fénysugarak 60◦ -os beesési sin 60◦ 4 szöggel érkeznek a víz felületére.2 A törés szöge ezért 40,5◦ , hiszen sin 40,5◦ = 3 . Összegezve tehát: 2
Mindegyik fénysugár, hiszen a csillag messze van, a fénysugarak párhuzamosaknak tekinthet˝ok.
4
www.baranyi.hu
2010. szeptember 19.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
6. ábra. a búvár úgy látja, hogy a parti ház ablakából érkez˝o fény a függ˝olegessel 48,6◦ -os irányból érkezik, a csillagról érkez˝o fény a függ˝olegessel 40,5◦ -os szöget zár be. Tiszta víz˝u úszómedence felszíne alatt a medence szélének közelében h = 2 m mélységben valamely P pontban egy pénzdarab csillog. Hol, azaz milyen mélységben látja a medence peremén egy „megfigyel˝o” a pénzdarabot? A megoldáshoz vegyük szemügyre a 0. ábrát! A szemlél˝o abban a P látja a pénzdarab képét, ahol a szemébe jutó fénysugarak „visszafelé” meghosszabbításai metszik egymást. Ez a pont a felszín alatt h mélységben van. A megfigyel˝o szemébe jut a függ˝olegesen felfelé haladó fénysugár, és minden ehhez „közel haladó” fénysugár is. Vizsgáljuk meg az ábrán a víz felszínére mer˝olegesen induló fénysugarat, amely a „megfigyel˝o” szemébe érkezik. Ugyancsak a szemébe jut az a β szögben induló fénysugár! Ez a fénysugár a beesési mer˝olegest˝ol x távolságban és α szögben törik. Az ábrán látható két háromszögben x , h x tg α = . h
tg β =
Mivel azonban kis szögek tangense és szinusza közelít˝oleg egyenl˝o3 , ezért x , h x sin α = . h
sin β =
Osszuk el most a két egyenletet egymással és vegyük figyelembe a Snellius–Descartes-törvényt! Ekkor h sin α = = n. sin β h Mivel n = 4/3 és h = 2 m, ezért h = 1, 5 m. Ha tehát egy 2 méter mély úszómedence szélén állunk, és a medence fenekét szemléljük, akkor úgy látjuk, hogy a víz „nem is olyan mély”. Az a 170 cm magas ember, aki úgy látja, hogy másfél méter mély vízben annak ellenére biztonságban van, hogy nem tud úszni, meglep˝odik majd, ha bugrik a vízbe, ugyanis összecsapnak a feje felett a hullámok. Ha fényképez˝ogéppel felülr˝ol fényképezzük a medence alját, akkor a távolságot kisebbre kell állítanunk, mintha üres medence padlóját fényképeznénk. Hasonló a helyzet akkor, amikor (vékony üvegb˝ol készült) 3
Ha a szöget radiánban mérjük, akkor egy koordinátarendszerben ábrázolva a szinuszfüggvényt és a tangensfüggvényt, akkor azt látjuk, hogy a két függvény grafikonja az origóban érinti a szögfelez˝ot: ha α „kis szög”, akkor sin α ≈ α ≈ tg α, továbbá sin α < α < tg α. A közelít˝o egyenl˝oség pontosabb megfogalmazását és mélyebb értelmét majd megvizsgáljuk.
5
www.baranyi.hu
2010. szeptember 19.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
7. ábra. akváriumon nézünk keresztül. A 20 cm vastag vízréteg 15 cm vastagnak látszik. Az üveg abszolút (tehát vákuumra vonatkozó) törésmutatója nü = 3/2. Téglatest alakú üvegkád d = 1 cm vastagsága üveglemezb˝ol készült. A kádba h = 3 cm vastag vízréteget töltöttünk. A kád alsó lapján alul egy P pontból a függ˝olegessel α = 30◦ bezáró irányban egy fénysugár indul és áthatol a kád fenekén majd a vízrétegen. Milyen irányban halad ez a fénysugár a leveg˝oben? Határozzuk meg a beesési mer˝olegesek távolságát! (8. ábra). A megoldáshoz vezet˝o els˝o lépés: ismerjük a víz leveg˝ore vonatkozó és az üveg leveg˝ore vonatkozó törésmutatóját: 3 clev = nü-lev = , cü 2 4 clev = nv-lev = . cv 3 Osszuk el a két egyenlet egymással: 9 cvíz = nü-v = . cüv 8 Az üveg vízre vonatkozó törésmutatójára azért volt szükség, mert a feladatban a fénysugár üveg és víz
8. ábra. határán törik el˝oször. A fény kétszer törik meg, a Snellius–Descaretes-törvényt írjuk fel mindkét törésre: 9 cvíz sin β = , = sin α cüv 8 4 sin γ clev = . = sin β cvíz 3 6
www.baranyi.hu
2010. szeptember 19.
FIZIKA TÁVOKTATÁS
Mivel α = 30◦ ezért az els˝o egyenletb˝ol β = 34, 22◦ , és a második egyenlet alapján γ = 48, 57◦ . Az ábráról látható, hogy x = d tg α = 0, 57, 7 cm és a két beesési mer˝oleges távolsága y = h tg β = 2, 04 cm.
7
