Hullámtan és optika Rezgések és hullámok; hangtan • Rezgéstan • Hullámtan • Optika • Geometriai optika • Hullámoptika
Ajánlott irodalom Budó Á.: Kísérleti fizika I, III. (Tankönyvkiadó, 1992) Demény-Erostyák-Szabó-Trócsányi: Fizika I, III. (Nemzeti Tankönykiadó, 2005) Tarnóczy T.: Fizikai akusztika (Akadémiai Kiadó, 1963) Tarnóczy T.: Hangnyomás, hangosság, zajosság (Akadémiai Kiadó, 1984) Ábrahám Gy.: Optika (Panem- McGraw-Hill, 1998) Sain M.: A fény birodalma (Gondolat, 1980) Bernolák K.: A fény (Műszaki Könyvkiadó, 1981) Mátrai T., Csillag L.: Kísérleti spektroszkópia (Tankönyvkiadó, 1990)
Rezgéstan A rezgések típusai Rezgés: • Rezgés: f fizikai mennyiség az időnek periodikus függvényeként változik: megadható olyan T mennyiség, melyre
f (t + T ) = f (t )
∀t - re teljesül.
T a rezgésidő, vagy periódus ν = 1/T a rezgésszám, vagy frekvencia • Rezgésről beszélünk akkor is, ha valamilyen fizikai mennyiség egy adott érték körül ingadozik nem feltétlenül periodikusan (pl: csillapodó rezgés). • Vagyis a rezgés fogalma nem teljesen egyértelmű. Harmonikus rezgés:
f (t ) = A ⋅ sin(ωt + α ) T=
2π , ω
ω = 2π ν
• • • •
A a rezgés amplitúdója, ω a rezgés körfrekvenciája, α a rezgés kezdőfázisa, φ = ωt + α a rezgés fázisa.
Anharmonikus rezgés: • Minden olyan rezgést, amely nem harmonikus rezgés, anharmonikus rezgésnek nevezünk.
• A rezgéstan szempontjából sokszor nem lényeges, hogy milyen fizikai mennyiség rezeg! • Ennek oka: a fizikai mennyiségek, és ezek időbeli lefolyását meghatározó fizikai törvények különböznek, a törvények azonos időbeli változást leíró matematikai egyenletre vezetnek! • Rezgésekkel találkozhatunk: mechanikában, elektromosságtanban, csillagászatban (pl. Jupiter holdjainak látszólagos mozgása, változó csillagok, napfoltok), atom- és molekula fizikában, stb. • A rezgések néhány fontos alkalmazása: • • • • • • •
Időmérés. Épületek, hidak, járművek tervezése. Földrengések (rezgések) regisztrálása. Hangtan (hangszerek, hangterjedés, stb.) Telekommunikáció (telefon, rádió, televízió, stb.) Orvosi alkalmazások (ultrahang, CT, PET, stb.) Űrkutatás (pl. tömegmérés!)
Néhány példa rezgést végző fizikai rendszerre
rugós inga
rugó-tömeg rendszer
fizikai inga
matematikai inga
ingaóra
torziós inga
hangvilla
Pohl-féle készülék
• Az előbbi rendszerek mindegyike példa lehet harmonikus és anharmonikus rezgésre is! • A rezgés többnyire kis kitérésekre jó közelítéssel harmonikus, nagyobb kitérésekre anharmonikus. • Az anharmonikus rezgések periódus ideje függ az amplitúdótól!
A harmonikus rezgés az egyenletes körmozgás vetülete
x(t ) = x0 sin(ωt + α)
Következmény: egy harmonikus rezgés egy egyenletesen forgó vektorral szemléltethető!
Harmonikus rezgések összetevése • Gyakori, hogy egy adott fizikai mennyiség két (vagy több) hatás következtében rezeg. • Az együttes hatás következtében kialakult rezgés megegyezik a hatások által egyenként létrehozott rezgések összegével. • Ez az un. szuperpozíció elve, amely lényeges szerepet játszik a fizika számos területén! Két fontos alesetet különböztetünk meg: • azonos irányú harmonikus rezgések összetevése, • egymásra merőleges irányú harmonikus rezgések összetevése.
Azonos irányú harmonikus rezgések összetevése y1 (t ) = a1 sin(ω1t + α1 ) y2 (t ) = a2 sin(ω2t + α 2 )
y (t ) = y1 (t ) + y2 (t )
milyen rezgés?
• Egyenlő frekvenciájú eset, azaz ω1 = ω2 = ω. y (t ) = a sin(ωt + α) , ahol
a = a12 + a22 + 2a1a2 cos(α 2 − α1 ) tg α =
a1 sin α1 + a2 sin α 2 a1 cos α1 + a2 cos α 2
Két azonos irányú és azonos frekvenciájú harmonikus rezgés összege szintén ugyanolyan frekvenciájú harmonikus rezgés, amelynek amplitúdóját és kezdőfázisát a két összeadott rezgés amplitúdója és kezdőfázisa határozza meg az előző formulákkal leírt módon. Szemléltetés: oszcilloszkóppal Igazolás: forgó vektorokkal I . y1 (t ) = a1 sin(ω1t + α1 )
tg α =
a1 sin α1 + a2 sin α 2 a1 cos α1 + a2 cos α 2
II . y2 (t ) = a2 sin(ω2t + α 2 )
I+II – III együtthatóiból
III . y (t ) = a sin(ωt + α )
I2+II2 – III2 együtthatóiból a = a12 + a22 + 2a1a2 cos(α 2 − α1 )
Adott amplitúdók esetén mikor maximális és minimális az eredő rezgés amplitúdója? • rögzített a1 és a2 esetén az a amplitúdó értékét a két rezgés δ = α2–α1 fáziskülönbsége határozza meg, ugyanis a1 − a2 ≤ a ≤ a1 + a2
a = a12 + a22 + 2a1a2 cos δ cos δ = −1 • A maximális erősítés feltétele:
cos δ = 1
δ = 0, ±2π, ±4π, …, 2mπ, …, vagyis a rezgések fázisa azonos!
• A maximális gyengítés feltétele: δ = ±π, ±3π, ±5π, …, (2m+1)π, …, vagyis a rezgések fázisa ellentétes! m = 0, ± 1, ± 2, ± 3, K
• Különböző frekvenciájú eset (ω1 ≠ ω2 )
x = a1 cos ω1t + a2 cos(ω2t + δ ) ω1 n1 • A frekvenciák aránya racionális szám, azaz = , ahol n1 és n2 pozitív, ω2 n2 relatív prím egészek. Belátható, hogy a két rezgés összege olyan periodikus folyamatot eredményez, melynek 2π ω= T = n1T1 = n2T2 a körfrekvenciája a periódus ideje. T x = a1 cos n1ωt + a2 cos(n2ωt + δ ) az amplitudója
• A frekvenciák aránya irracionális szám. Belátható, hogy a két rezgés összege nem periodikus folyamat. • Lebegés: Szemléltetés hangvillákkal A két rezgés frekvenciáinak eltérése sokkal kisebb, mint az összegük: Az amplitudók megegyeznek:
a = a1 = a2
Az eredő amplitudó: x = a[cos ω1t + cos(ω2t + δ )] =
δ ⎞ ⎛ ω + ω2 δ ⎞ ⎛ ω − ω2 t − ⎟ cos⎜ 1 t+ ⎟ 2a cos⎜ 1 2 2 2 2⎠ ⎝ ⎠ ⎝ A lebegés frekvenciája az amplitudó ingadozások frekvenciája: ωl = 2
ω1 − ω2
2 Igazolása Excell szimulációval
ν l = ν 1 −ν 2
ω1 − ω2 « ω1 + ω2
Egymásra merőleges harmonikus rezgések összetevése x(t ) = a sin(ω1t + α1 ) y (t ) = b sin(ω2t + α 2 ) • Egyenlő frekvenciájú eset, (ω1 = ω2 = ω). y (t ) = b cos(ωt + δ ) x(t ) = a cos(ωt ) y x x2 = cos ωt cos δ − sin ωt sin δ = cos δ − 1 − 2 sin δ b a a 2
2 ⎛y x ⎞ ⎛ x ⎞ 2 ⎜ − cos δ ⎟ = ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ sin δ ⎝b a ⎠ ⎝ a ⎠
x 2 y 2 2 xy + 2 − cos δ = sin 2 δ 2 a b ab η
b
A
B –a
y
O
–b
ξ a x
ξ 2 η2 + 2 =1 2 A B
ellipszis egyenlete!
A két rezgés összege ellipszisben poláros rezgés. Speciális esetek • lineárisan poláros rezgés (δ = 0; π) • körben poláros rezgés (a = b és δ = π/2; 3π/2)
• Különböző frekvenciájú eset A pont az un. Lissajous-féle görbéken mozog. Közeli frekvenciák esetében: x = a cos ω1t ,
y = b cos(ω 2 t + δ ) = b cos(ω 1t + εt + δ )
• Ha a frekvenciák aránya racionális szám, a görbe záródik (periodikus mozgás). • Ha a frekvenciák aránya irracionális szám, a görbe nem záródik (nem periodikus). Rezgések felbontása harmonikus rezgésekre • Az olyan egyirányú harmonikus rezgések összege, amelyek körfrekvenciái egy ω körfrekvencia egész számú többszörösei, periodikus folyamatot eredményeznek. • A rezgés periódusa a legkisebb frekvenciájú harmonikus rezgés periódusával egyezik meg. • Igaz-e az állítás megfordítása? Fourier tétele Általában bármilyen periodikus folyamat ( f(t) = f(t+T) ∀t-re ) egyértelműen előállítható olyan, megfelelő amplitúdójú és fázisú harmonikus rezgések összegeként, melyek körfrekvenciái a rezgés körfrekvenciája és ennek egész számú többszörösei: f (t ) = A0 + A1 sin(ωt + α1 ) + A2 sin( 2ωt + α 2 ) + K + An sin( nωt + α n ) + K
, ahol
ω = 2π T
A matematikusok sokszor a következő alakban szokták felírni: a f (t ) = 0 + (a1 cos ωt + b1 sin ωt ) + (a2 cos 2ωt + b2 sin 2ωt ) + K + (an cos nωt + bn sin nωt ) + K 2
• A rezgés színképének fogalma A rezgés Fourier-féle felbontásában szereplő összetevők amplitúdóinak és fázisainak grafikus ábrázolása a frekvencia függvényében. A
A0
α 2π A1
A2 A3 A4 A5 A … 6 A7 ν 2ν 3ν 4ν 5ν 6ν 7ν frekvencia
α1 0
α2 α3 α4 α5 α … 6 α7 ν 2ν 3ν 4ν 5ν 6ν 7ν frekvencia
