Geometriai optika Alapfogalmak A geometriai optika a fénysugár fogalmára épül, mely homogén közegben egyenes vonalban terjed, két közeg határán visszaverődik és/vagy megtörik. Alapfogalmak: 1. Fényforrás: az a test, amely fényt sugároz ki a körülötte lévő térbe. Elsődleges, ha saját fényt bocsájt ki, másodlagos, ha más test fényét veri vissza (például Nap és Hold). 2. Fénysugár: a geometriai fénytan alapmodellje, egy egyenessel jelöljük – a homogén térben terjedő fény irányát megadó egyenes. (másképp fogalmazva: egy végtelenül keskeny párhuzamos sugárnyaláb). 3. Sugárnyaláb: több fénysugár alkotja. Lehet párhuzamos, összetartó és széttartó sugárnyaláb. A megnevezés a nyalábot alkotó sugarak egymáshoz viszonyított helyzetét tükrözi.(lásd ábra!)
Alaptörvények A geometriai optika négy alaptörvényre alapul: 1. 2. 3. 4.
A fény egyenes vonalú terjedése homogén közegben A fénysugarak függetlenségének törvénye A fény visszaverődésének törvénye A fény törésének törvénye
1. A fény homogén és izotróp közegben egyenes vonalban terjed. (izotróp = a közeg a fény terjedésének szempontjából minden irányban azonos tulajdonságú.) A fény egyenes vonalú terjedését bizonyítja a fényárnyék jelensége (lásd ábra!). 2. A tér adott pontján keresztül akárhány fénysugár áthaladhat egymás zavarása nélkül. (kivétel, amikor a fénysugarak interferálnak (összetevődnek), de ez már nem tartozik a geometriai optika tárgyköréhez). 3. Fényvisszaverődés Amikor a fénysugár egy közeg határfelületére érve visszafordul az eredeti közegbe, fényvisszaverődésről Geometriai optika
1. oldal
beszélünk. Ha a visszaverő felület sima, akkor a visszaverődés szabályos (ha a beeső sugarak párhuzamosak, akkor a visszavert sugarak is párhuzamosak), ha pedig érdes, akkor a visszaverődés szórt. A fényvisszaverődés törvényei (ábra!): 1. A beeső sugár IO, a visszavert sugár OR és a beesési merőleges NO egy síkban vannak. 2. A beesési szög egyenlő a visszaverődési szöggel (1) beesési merőleges: a beesési pontba (O pont), a határfelületre húzott merőleges; beesési szög: a beeső sugár és a beesési merőleges által bezárt szög; visszaverődési szög: a visszavert sugár és a beesési merőleges által bezárt szög; 4. Fénytörés Ha a levegőben terjedő fénysugár például üveglemez vagy víztükör felületéhez ér és átlép az üvegbe illetve vízbe, terjedési irányát megváltoztatja (kivétel, amikor a beeső fénysugár merőleges a közegek határvonalára, ilyenkor nem változik terjedési iránya). Az alábbi ábrán a fény levegőből vízbe való átmenetét szemlélteti. A jelenséget - általánosíthatjuk bármely két átlátszó közegre - fénytörésnek nevezzük, törvényei a következők: 1. A beeső fénysugár, a megtört fénysugár és a beesési merőleges egy síkban vannak. 2. (2) (Snellius-Descartes törvény), ahol az első közeg, pedig a második közeg törésmutatója. A törésmutató állandó egy homogén közegre nézve és egyenlő azzal az aránnyal, amelynek számlálója a fény sebessége légüres térben és nevezője a fény sebessége az illető közegben. A vízé például:
A levegő törésmutatója 1 mivel a fény sebessége levegőben jó megközelítéssel egyenlő a fény sebességével légüres térben. Néhány anyag törésmutatója: Anyag Víz Alkohol Flintüveg Gyémánt Geometriai optika
Törésmutató 1,33 1,36 1,65 2,42 2. oldal
A fent meghatározott törésmutatót a közeg abszolút törésmutatójának nevezzük. Két közeg abszolút törésmutatóinak arányát viszonyított (relatív) törésmutatónak is nevezik:
(a második közeg elsőhöz viszonyított törésmutatója). A Snellius-Descartes törvény segítségével írható:
A fény irányváltoztatása két közeg határfelületén való átlépésekor annak a következménye, hogy a fény terjedési sebessége a két közegben különböző. A töréstörvényből (2) következik, hogy a nagyobb törésmutatójú közeghez kisebb szög tartozik, kisebb törésmutatójú közeghez pedig nagyobb szög tartozik (az egyenlőség mindkét oldalán a törésmutató és a szög szinuszának szorzata található, amelyek egyenlők kell legyenek, tehát nagyobb törésmutatóhoz kisebb szög tartozik és fordítva). Felhasználva a törésmutatót meghatározó összefüggést (3), a töréstörvény még írható: vagy egyszerűsítve és átrendezve:
Teljes visszaverődés Érdekes jelenség történik abban az esetben, amikor a fény nagyobb törésmutatójú közegből kisebb törésmutatójú közegbe megy át. A töréstörvény szerint a nagyobb törésmutatóhoz kisebb szög, a kisebb törésmutatóhoz nagyobb szög jár. Feltételezzük például, hogy a fénysugár vízből levegőbe megy át (a-ábra). Fokozatosan növelve a beesési szöget (i) a törési szög (r) hamarabb eléri a 900-ot mint a beesési szög (bábra). Azt a beesési szöget, amely esetén a törési szög 900, határszögnek (l) nevezzük. Ebben az esetben a fénysugár már nem lép ki a vízből. Ha a beesési szöget a határszög fölé növeljük, akkor a fénysugár, törés helyett visszaverődik (c-ábra). A jelenséget teljes visszaverődésnek nevezzük. Geometriai optika
3. oldal
A teljes visszaverődés egyik legfontosabb alkalmazása az optikai szál. Az optikai (más néven üvegszál) szálban a fény teljes visszaverődések sorozata útján terjed. Segítségével gyors és nagykapacitású kommunikációs hálózatokat készítenek ahol nem az elektromos áram, hanem a fény az információ hordozója. A prizma A prizma olyan fénytani eszköz, melynek két fénytörő oldala zérustól különböző szöget bezáró síkfelület (egyszerű esetben egyenes hasáb, melynek alapja háromszög). A prizma a ráeső fénysugarat kétszer töri meg. A belépő és kilépő sugár közötti szög az eltérítés szöge (D). A határoló síkok közötti szög a prizma törőszöge (A). Az eltérítés szöge kiszámítható felhasználva a törés törvényt és a törőszöget. Az „A” szög külső szöge a JJ’F’ háromszögnek. Tehát (4) Az eltérítési szöget kiszámolhatjuk, mint a JJ’F háromszög külső szögét: (5) és innen: (6) Az eltérítés szöge legkisebb, ha a belépési szög (i) egyenlő a kilépési szöggel (i’). Ebből következik, hogy: (7) vagy kifejezve i szöget:
Alkalmazva a töréstörvényt a beeső sugárra: egyenleteket a törésmutatóra kapjuk:
Geometriai optika
és felhasználva a 8-as és 4-es
4. oldal
Az utolsó egyenletből a prizma anyagának törésmutatóját lehet meghatározni, miután a legkisebb eltérítés szögét és a prizma törőszögét lemérik. Ha két különböző színű fénysugarat használnánk, például kéket és pirosat azt tapasztalnánk, hogy a kék színt a prizma jobban eltéríti, mint a vöröset. Ezért, ha fehér fény esik a prizmára, akkor a mögéje elhelyezett ernyőn folytonos színképet látunk ibolya, kék, zöld, sárga, narancs és vörös sorrendben. Ezek az ún. szivárványszínek. A jelenség magyarázata, hogy a törésmutató a szín függvénye. A fentiek szerint a vörös fény törésmutatója kisebb a kék fény törésmutatójánál. A törésmutatónak a színek szerinti változását színszóródásnak (diszperziónak) nevezzük. Fénytörés gömbfelületen Két különböző törésmutatójú közeg gömb alakú határfelületén végbemenő fénytörést tanulmányozzuk. A mellékelt ábrán - sugarú gömb (gömbsüveg) törőfelület határolja az és törésmutatójú közegeket. A fényes pont képe a pontban keletkezik úgy, hogy a pontból kiválasztunk két sugarat, amelyek megtörnek a gömbfelületen, majd újra találkoznak a képpontban. Keresünk egy összefüggést a tárgytávolság (a tárgypont és a törőfelület csúcsa közötti távolság: ), képtávolság (a képpont és a törőfelület csúcsa közötti távolság: ) és a gömb törőfelület sugara között. Optikai főtengelynek nevezzük a V csúcson és a C görbületi középponton átmenő egyenest. Minden más egyenes, amely átmegy a C görbületi középponton melléktengely. Előjelszabályként azt mondjuk, hogy a törőfelület csúcsától jobbra mért távolságok pozitívak, balra mért távolságok negatívak, a felfelé mért távolságok pozitívak, a lefele mért távolságok pedig negatívak (úgy, mintha a csúcs lenne a koordinátarendszer kezdőpontja). A fenti előjelszabály akkor érvényes, ha feltételezzük, hogy a fénysugár balról jobbra halad az optikai rendszerben. A irányú sugár merőleges a gömbfelületre (sugárirányú), ezért nem törik meg. A sugárnak (mely szöget zár be a vízszintessel) beesési szöge , törési szöge pedig . A megtört sugarak a pontban találkoznak és hozzák létre a pont képét. Ezért a pontot és a pontot egymás konjugált pontjainak nevezzük. Véges kiterjedésű tárgyak esetén a leképezés az, amikor minden tárgypontnak meghatározzuk a neki megfelelő képpontot Geometriai optika
5. oldal
(konjugált pontot). Elméletileg, ha a tárgy összes pontját leképezzük, akkor megkapjuk a tárgy képét, melyet a képpontok összessége alkot. A következőkben bebizonyítjuk, hogy kis szögek esetén az összes pontból kiinduló sugár a pontban fog találkozni, tehát a pontban a fényes pont valódi képe keletkezik. Kezdetben kifejezünk néhány távolságot: ;
;
;
Mivel a képalkotásban csak a paraxiális sugarakat vesszük figyelembe (paraxiális sugarak amelyek az optikai főtengellyel kis szöget zárnak be), ezért megközelítőleg: és A
-ben és a
-ben írjuk fel a szinusz tételt:
Figyelembe véve, hogy
, a felső egyenletekből kapjuk:
A két egyenletet elosztva egymással és figyelembe véve a töréstörvényt kapjuk:
Figyelembe véve, hogy megközelítőleg:
és
Behelyettesítve az elején kifejezett távolságokat ( ), kapjuk:
, kapjuk:
;
Az utolsó egyenlőségnél keresztbe szorozva, elosztva minden tagot egyenletet kapjuk a gömb törőfelület leképezési törvényét:
Geometriai optika
;
;
-el és rendezve az
6. oldal
Az - képtávolság tehát, a tárgytávolság ( ), a görbületi sugár ( ) és a két közeg törésmutatójának függvénye. Paraxiális sugarak esetén tehát a leképezés nem függ az szögtől, bármelyik pontból induló sugár a ponton keresztül megy át. A következőkben kiszámítjuk a vonalas tárgy és kép magasságainak arányát, melyet vonalas nagyításnak nevezünk (jele és használva a mellékelt ábrát, előjelszabályként pedig felfele pozitív, lefele negatív iránynak tekintve kapjuk: ), ahol las nagysága,
a tárgy vona-
pedig a kép vonalas nagysága.
Figyelembe véve, hogy:
a töréstörvény:
Kis szögek esetén:
vagyis:
tehát:
A gömb törőfelület fókuszpontjainak (gyújtópontjainak) meghatározására egy párhuzamos sugárnyalábot bocsájtunk a törőfelületre és a megtört sugarak találkozásának helye a fókuszpont. Megközelítőleg párhuzamos sugarak érkeznek a törőfelületre, ha a tárgy végtelenben található (gyakorlatilag nagy távolságra). Ezen meggondolás alapján könnyen kiszámíthatjuk a fókuszpontok távolságát a törőfelület csúcsához képest felhasználva a leképezési törvényt és Geometriai optika
7. oldal
attól függően, hogy melyik oldalról érkezik a párhuzamos fénynyaláb először az pedig az -öt tekintve végtelennek. Ha
-et, azután
, akkor:
és
Ha
, akkor
és
Fénytörés sík törőfelületen A sík törőfelületre vonatkozó összefüggést megkapjuk a gömb törőfelület összefüggéséből, ha a sugarat végtelennek tekintjük (minél nagyobb a sugár, annál kisebb a görbület; tehát, ha , akkor sík felületet kapunk):
3. Tükrök A tükrök, olyan optikai eszközök, amelyek majdnem teljes egészében visszaverik a fényt. a) Gömbtükrök Visszaverő felületük gömb alakú. Annak függvényében, hogy a fény melyik oldaláról esik a tükörre, lehet homorú vagy domború. A homorú tükör sugara , a domború tüköré pedig . 1. Homorú tükör képalkotása O – a tükör középpontja, C – a görbületi középpont, F – a tükör fókuszpontja (gyújtópontja) Az A fényes pontból sugarak indulnak minden irányba. Ezek közül három sugár útja fontos: az 1es sugár párhuzamos a CO – optikai főtengellyel. Visszaverődés után átmegy az F fókuszponton. A Geometriai optika
8. oldal
2-es sugár átmegy az F fókuszponton, majd párhuzamosan verődik vissza az optikai főtengellyel. A 3-as sugár átmegy a görbületi középponton, majd ugyanazon az úton verődik vissza (merőleges a beesési pontban, a tükörhöz húzott érintőre, határfelületre). A tükörről visszavert sugarak a B pontban találkoznak, ami az A pont képének felel meg. Ha a visszavert sugarak találkoznak, akkor azt mondjuk, hogy a kép valódi. Ha a visszavert sugarak nem találkoznak (széttartó sugarak), akkor meghúzzuk a sugarak meghosszabbításait melyek találkozásánál keletkező képet virtuális (látszólagos) képnek nevezzük. Nagyított a kép, ha lineáris mérete nagyobb a tárgyénál és kicsinyített, ha kisebb. Ezen tulajdonságok felhasználásával megszerkeszthetjük egy egyszerű nyíl alakú tárgy képét. Egy tárgy mindig nagyon sok pontból épül fel, ezért a tárgy képe ugyan az, mint a tárgyat alkotó pontok képeinek összessége. Szimmetria meggondolásokból elég, ha csak a tárgy hegyében lévő pont képét szerkesztjük meg, a többi pont képe szimmetrikusan helyezkedik el a kép hegye és az optikai tengely között. Egy tárgypont képe ott keletkezik ahol a tárgypontból kiinduló fénysugarak, miután a tükörről visszaverődnek találkoznak. A keletkezett kép adott tükör esetén a tárgytávolság függvénye. Három eset lehetséges: Az első képen a tárgy nagyobb távolságra van a tükörtől, mint a fókusztávolság (
) kétsze-
rese. A keletkezett kép fordított, kicsinyített és valódi. A második esetben a tárgy távolsága a tükörhöz képest kisebb, mint a fókusztávolság kétszerese, de nagyobb a fókusztávolságnál. A keletkezett kép fordított, nagyított és valódi. Ha a tárgy közelebb van, mint a fókusztávolság, akkor nem keletkezik valódi kép (a visszavert sugarak nem találkoznak) a sugarak meghosszabbításai találkoznak, a keletkezett képet virtuális képnek nevezzük, egyenes és nagyított. 2. Domború tükrök képalkotása Ebben az esetben a tárgytávolságtól függetlenül a kép egyenes, kicsinyített és virtuális (látszólagos) (lásd ábra!).
Gömbtükrök leképezési törvénye A gömbtükrök leképezésének törvényét formálisan a gömb törőfelület egyenletéből is levezethetjük, ha figyelembe vesszük, hogy a második közeg törésmutatója , mivel a fény (visszaverődés után) visszatér ugyanabba a közegbe ahonnan érkezett. Tehát: Geometriai optika
9. oldal
vagy:
A gömbtükrök fókuszpontjai megkapjuk, ha rendre a gömb törőfelület esetén levezetett összefüggésekbe behelyettesítjük az egyenlőséget. Mindkét fókusztávolságra ugyanazt kapjuk:
A leképezési törvény a fenti összefüggést figyelembe véve:
A vonalas nagyítás képlete:
összefüggést figyelembe véve:
Amely szerint pozitív a nagyítás, ha a kép egyenes állású (virtuális) és negatív a nagyítás, ha a kép fordított állású (valódi).
a) Síktükör Sík fényvisszaverő felület. A hétköznapi tükrök a fény 85-90%-át verik vissza. Az alábbi ábra a síktükörben keletkezett kép szerkesztését mutatja: A T tárgypontból sugarak indulnak a tükör felé. Ezek közül kettőt ábrázoltam, a tükörre merőleges sugár ugyanazon az úton verődik vissza, a TB sugár pedig a fényvisszaverődés második törvénye szerint. A tükörről visszaverődő sugarak a szemünkbe érve azt a látszatot keltik, mintha a K (képpont) pontból indultak volna. A K pontba valójában egyetlen sugár sem ér el, ezért a K pontot a T tárgypont virtuális (képzetes) képének hívjuk. Egyszerű geometriai számításokkal bizonyítható, hogy a kép ugyanakkora távolságra keletkezik a tükör mögött, mint amennyire a tárgy a tükör előtt van. Ugyanerre az összefüggésre ( ) jutunk, ha a gömbtükör összefüggéseibe Geometriai optika
10. oldal
megközelítést alkalmazzuk. Mivel a tárgytávolság és képtávolság ugyanakkora, a tárgy és kép vonalas mérete is ugyanakkora ( . 4. Lencsék Általában homogén, átlátszó közegből készült fénytörésen alapuló optikai eszközök, melyek törőfelületei közül legalább az egyik gömb alakú. Osztályozásuk történhet alakjuk szerint is:
a) kétszeresen domború (bikonvex) b) Sík-domború (plánkonvex) c) Homorúan domború (konkáv-konvex) d) Kétszeresen homorú (bikonkáv) e) Sík-homorú (plánkonkáv) f) Domborúan homorú (konvex-konkáv) (az ábrán a lencsék a satírozott részek) A középen vastagabb, szélei felé vékonyodó lencséket gyűjtőlencséknek, a széleiken vastagabb és középen vékonyabb lencséket pedig szórólencséknek nevezzük. Elnevezésük a párhuzamos sugárnyaláb áthaladási módjából fakad: a gyűjtőlencse összegyűjti, a szórólencse szétszórja a párhuzamos sugarakat.
A megtört sugarak találkozási pontját gyújtópontnak vagy fókuszpontnak nevezzük. A gyűjtőlencse esetében ez valódi (valódi sugarak találkoznak), a szórólencse esetében pedig látszólaGeometriai optika
11. oldal
gos (a valódi sugarak nem találkoznak csak a meghosszabbításaik). Az ábrán az O pont a lencse fénytani középpontja, F a fókuszpontja, a két ponton áthaladó egyenes pedig az optikai főtengely. A lencse fókusztávolsága a lencse közegének a környezetéhez viszonyított törésmutatójától és a lencse alakjától függ:
ahol a lencse anyagának relatív törésmutatója, felületeinek görbületi sugara. Megjegyzések: -
és
a lencse törő-
A domború felületek sugarát pozitívnak (a görbületi középpont pozitív távolság, a középponttól jobbra mérendő), a homorú felületek sugarát negatívnak tekintjük; a sík felület sugarát ∞-nek tekintjük;
A méterben számított fókusztávolság reciprok értékét a lencse törőképességének nevezzük. Jele C és mértékegysége a dioptria. Tehát:
5. Lencsék képalkotása A képek szerkesztésénél néhány nevezetes sugármenetet használunk: a) az optikai tengellyel párhuzamos sugár gyűjtőlencsén úgy törik meg, hogy a megtört sugár átmegy a fókuszponton, szórólencsén pedig úgy megy tovább mintha a lencse előtti fókuszból indult volna ki.
b) a fókuszponton átmenő sugár az optikai tengellyel párhuzamosan törik meg gyűjtőlencse esetében, szórólencse esetén pedig a túloldali fókusz felé tartó sugár, törés után párhuzamos az optikai főtengellyel.
Geometriai optika
12. oldal
c) az optikai középponton áthaladó sugár irányváltoztatás nélkül halad tovább
Gyűjtőlencsék képalkotása Esetek: a) A tárgy távolsága a lencsétől (tárgytávolság) nagyobb, mint a kétszeres fókusztávolság. Ebben az esetben a kép fordított állású, kicsinyített (kisebb, mint a tárgy) és valódi.
b) A tárgytávolság kisebb, mint a kétszeres fókusztávolság, de nagyobb, mint az egyszeres fókusztávolság.
Geometriai optika
13. oldal
Ebben az esetben a kép fordított állású, nagyított és valódi.
c) A tárgytávolság kisebb, mint a fókusztávolság. Ebben az esetben a kép egyenes, nagyított és virtuális.
Szórólencse képalkotása Függetlenül a tárgytávolságtól a kép tulajdonságai ugyanazok. A kép egyenes, kicsinyített és virtuális.
Geometriai optika
14. oldal
6. A leképezési törvény A törvény egyszerű összefüggést ad meg a tárgytávolság, képtávolság és a lencse fókusztávolsága között. Az ábrán OAB háromszög hasonló ODC háromszöggel, ezért oldalaik arányosak, vagyis írhatjuk, hogy:
Az EOF és FDC háromszögek hasonlóságából következik:
összefüggés. Mivel a (11)-es és (12)-es összefüggések baloldalai egyenlők, következik, hogy jobboldalaik is egyenlők, majd keresztbeszorzás után kapjuk, hogy:
A 13-as egyenlet minden tagját osztjuk jutunk:
- taggal, akkor egy egyszerűbb kifejezéshez
Azért, hogy az összefüggésünk gyűjtő és szóró lencsékre is igaz legyen és megfeleljen az alább bevezetett előjelszabálynak a következő előjel korrekciót vezetjük be:
A 14-es illetve a 14b összefüggést leképezési- vagy lencsék törvényének nevezzük. A törvény egyaránt érvényes a gyűjtő- illetve szórólencsékre figyelembe véve az alábbi előjelszabályokat: -
a fókusztávolság pozitív gyűjtő lencsék esetében, negatív szórólencsék esetében; a lencse középpontja az Oxy koordinátarendszer középpontja (vékony lencsékről lévén szó, elhanyagoljuk a lencsék vastagságát) . A tőle balra mért távolságok és lefele mért távolságok negatívak. A jobbra és felfele mért távolságok pozitívak;
Geometriai optika
15. oldal
A leképezési törvényt levezethetjük a gömb törőfelületek képletéből, ha a lencsét két egymás után következő gömb törőfelületként fogjuk fel. Az első felületre írhatjuk:
A második törés esetén, az első törőfelület képe tárgyként szerepel:
Összeadva az egyenleteket kapjuk:
vagy
Mivel ha a tárgytávolság letből:
, a kép a fókuszpontban keletkezik
, az utolsó egyen-
Végül kapjuk a már levezetett lencse leképezési törvényt:
Lencsék nagyítása A lencse első gömbtörő felületének nagyítása:
hasonlóan, a második törőfelület nagyítása:
A lencse nagyítását megkapjuk a két nagyítás szorzataként: Geometriai optika
16. oldal
Ha
, akkor a kép egyenes állású, ha
, a kép fordított állású.
7. Lencserendszerek
1. Illesztett lencsék Illesztett lencsékről beszélünk, amikor a lencsék szorosan összeérnek. Ebben az esetben a lencsék úgy viselkednek, mint egyetlen lencse melynek törőképessége egyenlő az egyes lencsék törőképességeinek összegével. Tehát: vagy Két lencséből álló lencserendszer (nem illesztett) a) Gyűjtőlencse és szórólencse által alkotott rendszer Legyen például egy gyűjtő és egy szórólencséből álló rendszerünk. Feladatunk megszerkeszteni és kiszámolni egy A tárgy képét a rendszeren keresztül.
Első lépésben megszerkesztjük az A tárgy képét a gyűjtőlencsén keresztül úgy, mintha a második lencse nem létezne. A kapott kép az A’. Keresünk két sugarat, amely ugyancsak az A’ pontba tartana, de figyelembe vesszük a második lencse jelenlétét. Az első sugár az, amely átmegy a második lencse középpontján, a második sugár az, amely párhuzamosan halad az optikai tengellyel. A két megtört sugár találkozásánál keletkezik az A’’ valódi kép, mely a Geometriai optika
17. oldal
lencserendszer képe. Számítási adatokkal (például): leképezés törvénye az első lencsére:
=20cm,
= -20cm,
=-30cm. A
Ebből következik, hogy x2=60cm. Tehát figyelembe véve, hogy a két lencse között a távolság D=50cm, az A’ kép 10cm-re lesz a szórólencse mögött. Mivel a virtuális tárgy a második lencséhez viszonyítva a lencse mögött van előjele pozitív. A leképezés törvénye a második (szóró-) lencsére:
Elvégezve a számításokat x2’=20cm-t kapunk. Tehát a lencserendszer által létrehozott kép 20 cm-re a szórólencse után keletkezik. b) Két gyűjtőlencséből álló rendszer
A T tárgyból induló sugarak az L1 lencsén keresztül létrehozzák az LT képet, melynek szerkesztéséhez felhasználjuk az S1 és S2 sugarakat. A létrejött kép látszólagos tárgyként viselkedik az L2 lencse számára. A végső kép K szerkesztéséhez felhasználjuk az S3 és S4 sugarakat (feltételezzük, hogy ezek a sugarak ugyancsak a T tárgyból indultak ki és miután megtörtek az L1 lencsén ugyancsak az LT képet hoznák létre), melyek az L2 lencse hiányában az LT tárgyat határozzák meg, az L2 lencse jelenlétében viszont megtörnek és a K végső képet hozzák létre. Megjegyzés: a lencserendszer nagyítása minden esetben egyenlő a lencsék nagyításainak szorzatával.
A lencserendszerek egyik sajátos esete amikor két lencséből álló rendszer lencséinek fókuszpontjai egybeesnek. Ilyen Geometriai optika
18. oldal
rendszerek segítségével korrigálhatók a lencsék leképezési hibái, mint például a gömbi hiba (szférikus abberáció) vagy a színi hiba (kromatikus abberáció). Az ilyen lencséket afokális lencserendszereknek nevezzük. A belépő párhuzamos sugarak ugyancsak párhuzamosan lépnek ki a rendszerből.
8. Optikai eszközök 1. A nagyító (lupe) A nagyító egy egyszerű gyűjtőlencse, melyet úgy helyezünk el, hogy a tárgy a fókuszpont és az optikai középpont közé kerüljön. A keletkezett kép nagyított, egyenes állású és virtuális. A nagyítókészülékek esetén általában a (lineáris) nagyítás helyett a szögnagyítást használjuk. A szögnagyítás a tárgyról az optikai eszközön keresztül létrejött kép látószögének (β) és a szabad szemmel megfigyelt tárgy látószögének (α) hányadosa.
d a tisztánlátás távolsága (normál szem esetén kb. 25cm), x a szem és lencse középpontja közötti távolság, h a tárgy, h’ a kép nagysága, x1 tárgytávolság illetve x2 képtávolság, f fókusztávolság. A szögnagyítás egyenlő:
Figyelembe véve, hogy gyításra kapjuk:
és felhasználva a 12-es és 16-os összefüggést a szögna-
A szögnagyítás akkor a legnagyobb, ha a lencsét közvetlenül szemünk elé tesszük (x=0):
Megjegyzés: a 18-ban szereplő távolság általában megegyezik a tisztánlátás távolságával, mely normális szem esetén kb. 25cm. 2. A mikroszkóp
Geometriai optika
19. oldal
Egyszerű nagyítóval maximálisan 25-30-szoros szögnagyítást lehet elérni. Ennél nagyobb nagyításhoz már lencserendszerek szükségesek. A mikroszkóp két gyűjtőlencséből (vagy lencserendszerből) álló optikai eszköz. Az erősen megvilágított tárgyról a tárgylencse (objektív) fordított állású nagyított és valódi képet ad. A tárgylencse által létrehozott kép a szemlencse (okulár) fókusztávolságán belül keletkezik. A szemlencse a képet tárgyként érzékeli és egyenes, nagyított és virtuális képet hoz létre.
A mikroszkóp objektívjének nagyítása:
mivel a tárgy közel van a fókuszponthoz és a tárgylencse által alkotott kép közel van a szemlencséhez. A szemlencse nagyítása:
mivel a tárgy közel a szemlencse fókuszpontjához és a kép gyakorlatilag a tisztánlátás távolságban keletkezik. A mikroszkóp nagyítása a két lencse nagyításának szorzata:
Geometriai optika
20. oldal
