VEKTORALGEBRA A közönséges geometriai tér vektorai
1. Alapfogalmak A hétköznapi tér – az elemi geometria háromdimenziós euklideszi tere – két különböző pontja, az A és B közti szakasz−−→ 7 nak kétféleképpen adhatunk irányítást. AB jelöli azt az irányított egyenes szaB kaszt, melynek kezdőpontja A, végpontja B. Az irányított egyenes szakaszok közé − − → −−→ −→ AB HK számítjuk az AA szimbólummal jelölt elfajuló szakaszt is, mely pusztán egy pont – a szakasz kezdő és végpontja egybeesik. z H A K Vektor. Az irányított egyenes szakaszok összességét felosztjuk olyan osztályokra, melyekből bármely két különbözőnek nem −−→ −−→ Á D lesz közös része. Azt mondjuk, hogy azt AB és CD irányított egyenes szakaszok egy B osztályba tartoznak, ha az AD és CB szakaszok felezéspontjai egybeesnek. Egy ilyen Á osztályt nevezünk vektornak. A vektorokat vastag betűvel, írásban aláhúzva vagy fölényilazva jelöljük: a,
a,
~a
F1 ≡ F2
C −−→ −−→ Azt, hogy az AB irányított egyenes szakasz az a vektorhoz tartozik, úgy is mondjuk, hogy AB az a egy reprezentánsa és −−→ ha kell, AB = a-va jelöljük. Elemi geometriai tény, hogy ha megadunk a térben egy pontot, P -t, akkor minden a vektornak −−→ van olyan reprezentánsa, melynek kezdőpontja P , tehát van olyan Q pont, hogy P Q = a. Ezt úgy mondjuk, hogy „egy vektor bármely pontból felmérhető”. A
−−→ −−→ Vektor hossza, iránya, irányítása. Tegyük fel, hogy AB és CD nem kollineáris, azaz nem egy egyenesbe eső irányított egyenes szakaszok és egyik sem nulla Az ábrán látható kapcsolat két irányíott egyenes szakasz között ekviva−−→ −−→ hosszúságú. Ha AB és CD ugyanannak lenciareláció. Jelölje I az irányított egyenes szakaszok halmazát. Ha −−→ −−→ az a vektornak a reprezentánsai, akkor AB, CD ∈ I, akkor legyen ACDB ilyen sorrendben egy paralelogrammát alkot. Ebből rögtön következik, AD és CB −−→ ∼ −−→ def hogy AB és CD – minthogy a paralelAB = CD ⇐⇒ felezéspontjai ogramma egymással szemközti oldalai egybeesnek – komplanárisak (egy síkban vannak), −−→ −−→ −−→ párhuzamos egyenesekbe esnek és egyenlő Ekkor hI, ∼ =i olyan relációstruktúra, melyben minden AB, CD, EF ∈ I-re hosszúak. Igaz továbbá, hogy a végpon−−→ −−→ tokat összekötő BD és a kezdőpontokat 1. AB ∼ (reflexív), = AB összekötő AC szakaszok nem metszenek −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 2. AB ∼ (tranzitív), = CD és CD ∼ = EF , akkor AB ∼ = EF egymásba, amit úgy mondunk, hogy azonos irányításúak. Az is világos, hogy −−→ −−→ −−→ −−→ (szimmetrikus) 3. AB ∼ = CD, akkor CD ∼ = AB az a vektor bármely két reprezentánsára igazak az előbbi megállapítások. Ekkor I szétesik egymással páronként diszjunkt, nemüres halmazok Kollineáris esetben szintén értelmezhető uniójára, mely halmazokban az egymással „ekvivalens” elemek vannak. Ez a hossz és azonos irányítottság fogalma, a I/∼ −−→ = osztályfelbontás. nulla hosszúságú (P P típusú) irányított szakasz esetén az irány és irányítás forgalma nem természetesen adódik, de a későbbi vizsgálatok értelmezhetővé teszik ezeket a jellemzőket a nulla hosszúságú reprezentánsakkal rendelkező, úgy nevezett nullvektor esetén is. Mindezek miatt értelmezhetőek a következő fogalmak. Definíció. Az a vektor hosszán bármely reprezentánsának hosszát értjük és |a|-val jelöljük. Definíció. Az a vektor irányán az összes olyan vektor halmazát értjük, amelynek reprezentánsai párhuzamosak az a reprezentánsaival. Azt, hogy az a és b vektor iránya azonos, úgy jelöljük, hogy a k b. A nullvektor definíció szerint párhuzamos minden vektorral. Definíció. Az a és b vektorok azonos irányításúak, ha reprezentánsaik párhuzamosak és azonos irányításúak. Egy a vektor irányításán a vele azonos irányítású vektorok halmazát értjük. Azt, hogy a és b azonos irányításúak úgy jelöljük, 1
hogy a · b. Ha párhuzamosak, de nem azonos irányításúak, akkor ezt a ↑↓ b jelöli. A nullvektor minden vektorral azonos irányításúk, definíció szerint. Elemi geometriai módszerekkel igazolható, hogy a fenti definíciók helyesek, azaz nem függnek a reprezentánselem választásától. Tétel. Ha a és b vektorok, akkor
|a| = |b| akb a = b akkor és csak akkor, ha a·b
és és
Tehát két vektor egyenlő, ha hosszuk, irányuk és irányításuk megegyezik. Definíció. Az a és b nem kollineáris vektorok szögén értjük azt a belső szöget, mely egy tetszőlegesen válaszott −→ −−→ P A = a és P B = b irányított egyenes szakasz esetén az P AB háromszög P csúcsánál van. Egy egyenesbe eső vektorok esetén, ha nem nullvektorok és a · b akkor a szög definíció szerint 0o, ha a ↑↓ b, akkor a szög 180o. A nullvektor bármely vektorral 0o-os szöget zár be. 2. Vektorok összege −−→ −−→ −→ Az a = AB és b = BC vektorok összegén értjük azt a vektort, melynek reprezentánsa az AC irányított szakasz. Belátható, −−→ −−→ 3 Á hogy ez jól definiált művelet, azaz mindegy, hogy melyik AB és BC irányított szakaszt választottuk (csak az a lényeg, hogy a második az első végpontjából legyen felmérve – ami viszont nem jelent megszorítást). Az előbbi definíció az összeg „vektorfűzés” útján a+b b történő értelmezése. Ugyanezt a fogalmat kapjuk, ha a „paralelogramma” módszerrel definiáljuk az összeadást. Ez utóbbi szerint azonos P kezdőpontból kell felmérni a : vektorokat és az összeget a P -ből a szakaszok által kifeszített paralelogramma P -vel a átellenes Q pontjába mutató irányított szakasz határozza meg (ez esetben gondot okoz az, hogy kollineáris vagy nulla hosszúságú szakaszok esetén nincs paralelogramma). A vektorösszeadás kommutatív és asszociatív. Tetszőleges a, b, c vektorokra a+b=b+a (kommutatív) (a + b) + c = a + (b + c) (asszociatív) Az utóbbi szabály lehetővé teszi, hogy a zárójeleket elhagyjuk a többes összegeknél, így (a + b) + c illetve a + (b + c) jelölése egyaránt a + b + c. A vektorösszeadás kommutatív és asszociatív szabálya végeredményben nem más, mint az a kijelentés, hogy az ábrán látható diagramok kommutatívak, a következő értelemben. Egy O Á} c nyilakat tartalmazó diagramot (irányított gráfot) akkor tekintünk kommutatívnak, ha igaz az, hogy bármely két pont : a 3 3± ± b+c között haladó bármely két nyílfolytonos út egyenlő (azonosnak a+b+c ± a+b tekinthető). A vektoralgebra esetén a nyilak a vektorok, a nyilak a+b b b egymáshoz kapcsolása az összeadás, a fenti diagramok kommub tativitása pedig pont az említett két azonosságot eredményezi. : : Megjegyezzük, hogy kommutatív diagramok a kategóriaelmélet a a illetve az univerzális algebra alapfogalmai. Különbség, nullvektor, ellentett vektor. A számok kivonásának művelete kivezetett a természetes számok köréből. Vajon a vektorokéból kivezet-e? A vektorkivonás műveletéhez jutunk, ha meg kívánjuk oldani az a + x = b vektoregyenletet. Vizsgáljunk meg két speciális esetet: 1. Ha b = a, akkor az a + x = a egyenlettel állunk szemben. −−→ Itt van fontos szerepe a P P típusú, nulla hosszúságú irányított egyenes szakaszoknak. Ha az ezek által reprezentált nullvektort 0 jelöli, akkor világos, hogy x = 0 az egyetlen megoldás. Az 2
Ha V-vel jelöljük a vektorok halmazát, akkor a V = hV, +, −( . ), 0i struktúra kommutatív vagy Abel-csoportot alkot. Ez azt jelenti, hogy minden a, b, c ∈ V elemre teljesül: 1. (a + b) + c = a + (b + c) 2. a + 0 = 0 + a = a 3. a + (−a) = (−a) + a = 0 4. a + b = b + a A 4. tulajdonság nélkül, csak csoportnak neveznénk V-t.
a+0=a egyenlet a nullvektor definiáló tulajdonsága is lehetne. 2. Ha b = 0, akkor az a+x=0 egyenletet kell vizsgálnunk. Az a vektor lesz a megoldás, mely azonos hosszúságú a-val, párhuzamos vele és ellentétes irányú. Jelölje −a azt az egyetlen vektort, melyre teljesül: | − a| = |a|,
(−a) k a,
(−a) ↑↓ a
−a-t nevezzük az a ellentett vektorának és definiáló tulajdonsága: a + (−a) = 0 Az első egyenlet megoldásához nincs más hátra, minthogy az egyenlet mindkét oldalához hozzáadjunk (−a)-t (balról) a+x (−a) + a + x 0+x x x
= = = = =
b (−a) + b (−a) + b (−a) + b b + (−a)
/ (−a)+ asszociatív szabály és ellentett tul. nullvektor tul. kommutatív szabály
Ezek után már definiálhatjuk: def
B ±K
b − a = b + (−a) −−→ AB = b − a
Tétel. −→ −−→ −−→ Ha P A = a és P B = b, akkor AB = b − a.
b
Tehát, ha közös kezdőpontból vektorok mutatnak az A és a B pontba, akkor az −−→ AB vektora a végpontjába mutató vektor mínusz a kezdőpontjába mutató vektor. P Az összegre és különbségre vonatkozóan igazolhatók a következő egyenlőtlenségek, melyek közül az elsőt háromszög egyenlőtlenségnek nevezzük. |a + b| ≤ |a| + |b| ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ |a − b| ≥ ¯|a| − |b|¯¯ a
*A
A paralelogramma azonosság pedig annak az elemi geometriai tételnek az vektoros megfogalmazása, hogy egy paralelogramma átlói hosszának négyzetösszege az oldalak hosszainak négyzetösszegével egyenlő: |a + b|2 + |a − b|2 = 2|a|2 + 2|b|2 3. Skalárral való szorzás Ha λ valós szám, akkor a következőképpen értelmezzük az a vektor λ skalárral történő λ.a szorzatát: 7 |λ.a| λ.a λ.a
= ½k · ↑↓
|λ| · |a| a a, ha λ ≥ 0 a, ha λ < 0
2.a
Tehát a λ skalárral való szorzás |λ| szoros nyújtás, ha λ > 1, |λ| arányú zsugorítás, ha 1 > λ > 0 és ha λ < 0 akkor ezek mellett a vektor kezdőpontjára történő tükrözés is. Néhány határesetben már ismert vektorokhoz jutunk: 1.a = a (−1).a = −a 0.a = 0
3
1 2 .a
7 a
7 − 21 .a /
Műveleti azonosságok. Minden λ, µ ∈ R és a, b ∈ V esetén: λ.(µ.a) = (λ · µ).a (λ + µ).a = λ.a + µ.a λ.(a + b) = λ.a + λ.b Az első két azonosság lényegében azt mondja ki, hogy egy rögzített egyenesen belüli vektorokra (értsd: a kollineáris vektorokra) a skaláris szorzás úgy viselkedik, mint a számegyenes pontjainak valós szorzása. A harmadik azonosság a párhuzamos szelők tételének egy vektoros átfogalmazása, amely nagyon fontos szerepet játszik a vektorok elemi geometriai bevezetésénél. Párhuzamosság. Az a vektor párhuzamos a b nem nullvektorral, akkor és csak akkor, ha a = λ.b alkalmas λ skalárral. (Nullvektorral minden vektor párhuzamos). Tétel. Ha b1 , b2 és b3 három nemkomplanáris vektor, akkor tetszőleges a vektor egyértelműen áll elő: a = λ1 b1 + λ2 b2 + λ3 b3 alakban, ahol λ1 , λ2 , λ3 valós számok. A λ1 b1 + λ2 b2 + λ3 b3 összeget a b1 , b2 és b3 vektorok rendre λ1 , λ2 , λ3 skalárokkal vett lineáris kombinációjának nevezzük. Nem komplanáris vektorok B = (b1 , b2 , b3 ) rendszerét a tér egy bázisának mondjuk. Bizonyítás. Csak az általános eset igazoljuk, amikor a nincs a bi -k közül bármely kettő síkjában (akkor ugyanis a harmadik együtthatója 0, a másik kettő érték meghatározása visszavezethető a síkbeli esetre). Vegyük −→ −−→ föl közös kezdőpontból az a = OA, b1 = OB1 , −−→ −−→ −−→ −−→ b2 = OB2 és b3 = OB3 vektorokat. Az (OB1 , OB2 ), −−→ −−→ −−→ −−→ 1 A (OB2 , OB3 ), (OB3 , OB1 ) síkokkal állítsunk párhuzamos síkokat az A ponton át. Ez a összesen 6 sík egy paralelepipedont határoz meg, melynek egyik −→ a testátlója éppen OA. Legyenek a paralelepipedon O-ból induló (irányított) élei a1 , a2 , a3 . Ekkor b3 a = a1 + a2 + a3 . Mivel az a1 , a2 , a3 élvek¸ 1 torok rendre egy egyenesbe esnek a b1 , b2 , b3 b2 vektorokkal, ezért ezek aránya, mint valós számok |a1 | |a1 | O z aránya meghatározható és így λ1 = |b1 | , λ1 = |b1 | , b1 |a1 | λ1 = |b . A szerkesztés egyértelműsége miatt | 1 ezek a számok egyértelműen vannak meghatározva. ¥ Ha meghatározzuk egy v vektor esetén az egyértelműen létező λ1 b1 , v = λ1 b1 + λ2 b2 + λ3 b3 , akkor azt mondjuk, hogy v-t komponensekre bontjuk.
λ2 b2 és λ3 b3 vektorokat,
melyekkel
4. Skaláris szorzat A skaláris szorzás bevezetésének motivációi: (1) Leggyakrabban bázisvektoroknak három egységhosszúságú, egymásra páronként merőleges vektort választunk, melyet ortonormált bázisnak nevezünk. Világos, hogy ekkor a komponensek, a bázisvektorok egyeneseire eső merőleges vetületek. Ezek meghatározására való a skaláris szorzás. (2) Egy egyenesen belüli (azaz kollineáris) a, b vektorok minden szempontból úgy viselkednek, mint a valós számok, amennyiben a szorzást úgy tekintjük, mint λ.µ, ahol λ, µ rendre az a illetve b hossza abszolút értékű és az a illetve b irányításának megfelelő előjelű szám. Két nem egy egyenesbe eső vektort ezzel a számegyenesen belüli szorzással csak akkor tudjuk összeszorozni, ha az egyiket merőlegesen rávetítjük a másikra, és a vetülettel végezzük el a szorzást. (3) Alkalmazása a fizikában például: W = Fs, azaz a munka az erő és a erő irányába tett elmozdulás szorzata. Vagy a j áramsűrűség és az A felületvektor szorzata a keresztmetszeten átfolyó áram: I = jA. Definíció. Az a és b nemnulla vektorok skaláris szorzata: a · b = |a||b| cos γ ahol γ = (a, b)∠ az a és b által közbezárt szög. Nullvektor és egy másik tetszőleges vektor skaláris szorzata 0.
4
Világos, hogy ez egy külső művelet: a · b ∈ R, értéke nem vektor hanem skalármennyiség, így fel sem merül hogy asszociatív lenne. Műveleti tulajdonságok. Minden a, b, c ∈ V és λ, µ ∈ R esetén:
±
a·b=b·a (szimmetrikus)
a p 3
(λ.a + µ.b) · c = λ · (a · c) + µ · (b · c) (megtartja a lineáris kombinációt)
ϕ 3 e
Geometriai tulajdonságok. √ def (1) a2 = a · a = |a|2 ill. |a| = a2
ak = (e · a).e
(2) Ha e egységvektor, akkor e · a az a vektor e egyenesére eső merőleges vetülete (ez skaláris vetület, nem a vetületvektor, ami (e · a).e). (3) Ha a, b nem nullvektorok, akkor a·b=0
⇐⇒
a⊥b
(4) b1 , b2 és b3 ortonormált bázis alkot és a vektor, akkor a = (|a| cos ϕ).b1 + (|a| cos ψ).b2 + (|a| cos ϑ).b3 = (ab1 ).b1 + (ab2 ).b2 + (ab3 ).b3 ahol ϕ, ψ és ϑ rendre a (a, b1 )∠ , (a, b2 )∠ és (a, b3 )∠ szögek. 5. Vektoriális szorzat A vektoriális szorzás bevezetésének motivációi: (1) Az e egységvektorral történő skaláris szorzás egy b vektor e irányú komponensét számítja ki. Az e egységvektorral történő vektoriális szorzás a b vektor e-re merőleges b⊥ komponens vektorát számítja ki és ezt a vektort elforgatja +90o-kal e körül. Ezzel a szorzással az ortonormált bázisvektorokat egymásba lehet forgatni egymás körül. Az e nem egységvektorral való vektoriális szorzás esetén a b merőleges komponensvektorát szintén elforgatjuk +90o-kal a körül és a előjeles szorzást így végezzük el az a és b⊥ között.
¾ 6 c=e×b p p e
bq
p 3
(2) A geometria szemszögéből két szakasz szorzata egy téglalap területe. + Két vektor esetén, amikor az irány is fontos, akkor az általuk kiveszített paralelogramma területe. A paralelogramma síkját egyértelműen meghatározza a normálvektora, innen, hogy vektoriális szorzat értéke olyan vektor, ami a két vektor síkjára merőleges. Az egymás után fűzött vektorok a síkjukban egy körbenjárást határoznak meg és elég kézenfekvő, hogy a területnek a kétféle körbenjárásnak megfelelően előjelet vagy irányítást adjunk. Ekkor a célnak megfelelő ±|a||b| sin(a, b)∠ előjeles szám az ún. külső szorzat (ez akárhány dimenziós térben értelmezhető), ha pedig az ilyen hosszúságú és megfelelő irányítású normálvektort vesszük, akkor az a vektoriális szorzat (ami lényegében csak 3D-ben van). (3) Az r végpontjában egy testet támadó F erő forgatónyomatéka pont az M = r × F vektoriális szorzat. Az elektromágneses mező energiaáram-sűrűségvektora (a fény által az egységnyi, merőleges felületre időegységenként szállított energia, Pointing-vektor) S = µ1 E × B ahol B a mágneses mező (indukcióvektor), E az elektromos mező. Definíció. Ha a és b két nem nullvektor, akkor az nagysága |a| · |b| · sin(a, b)∠ def iránya ⊥ a és ⊥ b a×b = irányítása a, b és a × b ilyen sorrendben jobbrendszert alkot vektort az a és b ilyen sorrendben vett vektoriális szorzatának nevezzük. Ha valamelyik nullvektor, akkor a vektoriális szorzat definíció szerint 0. Műveleti tulajdonságok. Minden a, b, c ∈ V és λ, µ ∈ R esetén: a × b = −b × a (antikommutatív) 5
(λ.a + µ.b) × c = λ.(a × c) + µ.(b × c) (megtartja a lineáris kombinációt) a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0 (nem asszociatív, de igaz a Jacobi-azonosság) Megjegyzés. Nem igaz az egyszerűsítési szabály: a × b = a × c-ből a nemnulla esetén sem következik, hogy b = c. Mindazonáltal ha feltesszük emellett, hogy a · b = a · c, akkor nemnulla a esetén már teljesül. (Az egyszerűsítési szabály a skaláris szorzatra sem igaz, de együtt már mutatják a tulajdonságot.) Geometriai tulajdonságok.
6 a×b
(1) Ha a és b egyike sem nullvektor, akkor a × b hossza az a és b által kifeszített paralelogramma területe. Az a és b által kifeszített háromszög területe 12 · |a × b|. b z ¡ a ¡T♦ = |a × b| ¡ ª
(2) Ha a és b tetszőleges vektorok, akkor a×b=0
⇐⇒
akb
(3) (b1 , b2 , b3 ) ortonormált bázis akkor és csak akkor alkot jobbrendszert, ha b1 × b2 = b3 6. Többszörös vektorszorzatok Ha a skalárral való szorzást, a skaláris szorzást és a vektoriális szorzást értelmes módon kombináljuk, akkor gyakran hasznos, önálló jelentéssel bíró mennyiségeket kapunk. def
(1) Vegyes szorzat: (abc) = a · (b × c). (i) (abc) = (bca) = (cab) = −(cba) = −(bac) = −(acb) (ii) (abc) az a, b és c vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata (iii) abc = 0
⇐⇒
a, b és c egymáshoz komplanáris vektorok
(2) Kétszeres vektoriális szorzat: a × (b × c) (i) a × (b × c) = −c × (a × b) = c × (b × a) (ii) (a × b) × c = (ca).b − (cb).a
(kifejtési tétel) ¯ ¯ ¯ ac bc ¯ ¯ ¯ (iii) (a × b) · (c × d) = a · (b × (c × d)) = ¯ ad bd¯ Diádok. Az a ◦ b : r 7−→ (ar)b leképezés a diadikus szorzat vagy diád, mely íly módon nem vektor, hanem operátor. A tenzorok diádok lineáris kombinációi. 7. Néhány térbeli alakzat vektoregyenlete. (1) Egyenes. Az r0 végpontján áthaladó, nemnulla v irányvektorú egyenes mint ponthalmaz: {r0 + t.v | t ∈ R}. Paraméteres vektoregyenletben: r = r0 + t.v t∈R Vektoregyenletben: (r − r0 ) × v = 0 (2) Egyenes szakasz. Az a és b végpontjai közötti zárt szakasz mint ponthalmaz: {a + t.(b − a) | t ∈ [0, 1]} = {(1 − t).a + t.b | t ∈ [0, 1]}. Paraméteres vektoregyenletben: r = a + t.(b − a)
t ∈ [0, 1]
(3) Sík. Az r0 végpontjára illeszkedő, a nempárhuzamos v, u vektorok által kifeszített sík mint ponthalmaz: {r0 +t.v+s.u | (t, s) ∈ R2 }. Illetve {r ∈ V | (r − r0 ) · n = 0} a r0 végpontjára illeszkedő, nemnulla n normálvektorú sík. Normálvektor adódik például a két irányvektor vektoriális szorzatából: n = v × u. Paraméteres vektoregyenletben: r = r0 + t.v + s.u
(t, s) ∈ R2
Vektoregyenletben: (r − r0 ) · n = 0 6
(4) Gömb. A c végpontja mint középpont körüli, R > 0 sugarú gömb mint ponthalmaz: {r ∈ V | (r − c)2 = R2 }. Vektoregyenletben: (r − c)2 = R2 8. Nevezetes vektorgeometriai feladatok (1) Igazoljuk, hogy a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást (ez az 13 (a+b+c) vektor végpontja, amennyiben a csúcsokba mutató vektor egy kezdőpontból a, b, c)! (2) Határozzuk meg az adott szakaszt m : n arányban osztó pont helyzetét! (3) Bizonyítsuk be a Koszinusztételt! (4) Mi az adott pontra és síkra vonatkozó tükrözés, illetve az síkra vonatkozó vetítés hozzárendelési utasítása vektorosan? (5) Bizonyítsuk be a szinusz tételt! (6) Igazoljuk Héron területképletét! (7) Igazoljuk, hogy a háromszög magasságpontjába mutató vektor a + b + c, amennyiben a vektorok kezdőpontja a háromszög körül írt körének középpontja. (8) Igazoljuk, hogy a Feuerbach-kör középpontja 12 (a + b + c), amennyiben a vektorok kezdőpontja a háromszög körül írt körének középpontja. 9. Koordináta reprezentáció. Definíció. Ha B = (b1 , b2 , b3 ) bázis (nem komplanáris vektorok), akkor az egyértelműen meghatározott λ1 [ . ]B : V −→ R3 ; a 7−→ λ2 , amelyre teljesül a = λ1 b1 + λ2 b2 + λ3 b3 λ3 függvényt a B-re vonatkozó koordináta-leképezésnek nevezzük. A [a]B oszlopvektor neve, az a vektor B bázisra vonatkozó koordinátamátrixa. Az ortonormált, jobbsodrású rendszer bázisvektorainak jelölése i, j és k, illetve a = x.i + y.j + z.k esetén általában x a1 [a] = y vagy az a = a1 .i + a2 .j + a3 .k jelölés esetén [a] = a2 z a3 V elemeit tehát kölcsönösen egyértelmű módon megfeleltethetjük a háromemeletes valós értékű oszlopvektorok R3 halmazának. A térvektorok közötti műveletek a reprezentáció által szintén megfeleltethető lesz R3 -beli elemekkel végzett műveleteknek. a1 b1 Tétel. (A vektorműveletek reprezentációi R3 -ban) Ha [a] = a2 és [b] = b2 , akkor a3 b3
a1 + b1 [a + b] = a2 + b2 , a3 + b3
λ · a1 [λ.a] = λ · a2 , λ · a3
[a · b] = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ,
Sor-oszlop skalárszorzás
-
b1
a1 · b1 - b2 + a2 · b2 + b3 a3 · b3 [a1 ,
a2 ,
a3 ] = ab
illetve vektoriális szorzás determinánssal:
¯ ¯i ¯ ¯a1 ¯ ¯ b1
j a2 b1
¯ k ¯¯ a3 ¯¯ = a × b b3 ¯ 7
a2 b3 − b2 a3 a × b = −a1 b3 + b1 a3 a1 b2 − b1 a2
10. Az analitikus térgeometria alapfeladatai. A sík koordinátaegyenlete: A(x−x0 )+B(y−y0 )+C(z−z0 ) = 0, ahol (x0 , y0 , z0 ) a sík egy pontja, (A, B, C) egy normálvektora. Az egyenes paramétermentes egyenletrendszere: sem nulla. Sík és pont távolsága: d(Σ, P ) =
x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c
( =
t )
feltéve, hogy a, b, c egyik
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) p , ahol a Σ sík adatai a fentiek, a pont P (x, y, z). A2 + B 2 + C 2
(1) Pont és egyenes távolsága: d(e, P ) = (2) Két egyenes hajlásszöge: cos ϕ =
v1 v2 |v1 ||v2 |
(3) Kitérő egyenesek távolsága: d(e, f ) = pontját összekötő vektor (4) Egyenes és sík hajlásszöge: sin ϕ = (5) Két sík által bezárt szög: cos ϕ =
|(r − r0 ) × v| |v|
|(a × b)c| , ahol a az e irányvektora, b az f irányvektora, c a két egyenes egy-egy |a × b|
nv |n||v|
n1 n2 |n1 ||n2 |
8
