Geometriai fázisfaktorok a kvantumszámításban

Geometriai fázisfaktorok a kvantumszámításban Szalay Szilárd konzulens: Dr. Lévay Péter 2007. június 5.

Kivonat Napjaink kutatásának közkedvelt témája a kvantumszámítógépek zikai megvalósítása. Egy kvantumrendszer id®felj®dése során fellép® topológiai és geometriai hatások a holonómiák kiválóan alkalmasak arra, hogy általuk a rendszer állapotán kvantumszámítási m¶veleteket hajtsunk végre. E dolgozatban áttekintjük a szükséges elméleti hátteret, továbbá bemutatunk néhány ezzel kapcsolatos számítást: fázistoló kaput valósítunk meg kvantumholonómia segítségével, valamint kevertállapotú két-fermion rendszeren fellép® holonómiák számítására teszünk el®készületeket.

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2. A holonómia

2.1. Egy példa: Foucault ingája . . 2.2. A topológiai struktúrák . . . . 2.2.1. Nyaláb . . . . . . . . . . 2.2.2. Konnekció és holonómia

3 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3.1. Axiomatikus elméletek a zikában 3.2. A Kvantummechanika axiómái . . . 3.2.1. Állapot . . . . . . . . . . . 3.2.2. Dinamikai változók . . . . . 3.2.3. Összetett rendszerek . . . . 3.2.4. Mérés . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Id®fejl®dés . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3. Kvantummechanikai áttekintés

4. Kvantumszámítógépek 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Az információ tárolása . . . . . . A q-bit . . . . . . . . . . . . . . . Kvantum-kapuk . . . . . . . . . . Holonomikus kvantumszámítógép

. . . .

5. Tiszta állapotok holonómiája

5.1. Berry-fázis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Adiabatikus közelítés . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Következmények Abeli esetben . . . . . . 5.1.3. Következmények nem-Abeli esetben . . . 5.2. Nem-Abeli Berry-fázis alkalmazása: 1-qubit kapu 5.2.1. A Hamiltoni . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. A Hamiltoni vizsgálata . . . . . . . . . . . 5.2.3. A görbületi egy-forma kiszámítása . . . . 5.2.4. A Berry-fázis kiszámítása . . . . . . . . . 5.3. Aharonov-Anandan fázis . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. A ciklikus evolúció . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Következmények . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Paralell-transzport . . . . . . . . . . . . . 5.3.4. Fubini-Study metrika . . . . . . . . . . . . 1

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

4 4 6 6 9

11 11 12 12 12 13 16 18

21

21 22 23 24

25 25 25 26 29 33 33 34 36 37 43 43 45 47 47

TARTALOMJEGYZÉK 5.3.5. Általánosítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 48

6. Kevert állapotok holonómiája

50

7. Összefoglalás, további tervek

55

6.1. A Hilbert-Schmidt nyaláb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Konnekció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Számítások két-fermion-rendszerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50 51 53

1. fejezet

Bevezetés Az elméleti zikai kutatások célja jóval mélyebb, mint a mérési adatok közötti összefüggések megállapítása. Bízhatunk benne, hogy egy-egy természeti alaptörvény megsejtésével a mérési eredményekre való el®rejelzésnél, vagy az eredmények felhasználásának lehet®ségénél valami sokkal értékesebb ismeret jut birtokunkba. Ez az, ami a törvények matematikai struktúrájának vizsgálatát is motiválja. Ennek során pedig rendkívül hasznos a topológia keretében kifejlesztett eszköztár nem csak a kvantummechanika, általános relativitáselmélet alaptörvényei, hanem a klasszikus, hamiltoni mechanika tanulmányozásakor is. E dolgozatban a holonomikus kvantumszámítógép konstrukcióját szeretnénk egy kissé körbejárni. A kvantumszámítógép kvantummechanikai alap-számítások egy izgalmas gyakorlati alkalmazása, mely sokféleképpen valósítható meg. A holonómiák segítségülhívásával a környezeti dekoherenciákra kevéssé érzékeny, robosztus megvalósítást kapunk. Ennek érdekében el®ször bevezetjük a holonómiákat nyalábokon, áttekintünk kvantummechanikai alapfogalmakat, különös gyelemmel a kevert állapotokra, hogy a továbbiakban mind egyrészecske állapotok, mind kétrészecske kevert állapotok holonómiáit vehessük szemügyre.

3

2. fejezet

A holonómia E dolgozat elméleti alapját az (an)holonómia fogalma adja. Ez egy geometriai jelenség, mely során egy rendszer paramétereit ciklikusan változtatva a hozzájuk csatolt változók nem térnek vissza eredeti állapotukba. Az eredeti állapottól való eltérés a holonómiatranszformáció függ a paraméterekkel bejárt görbe alakjától, így a változás hatása nem integrálható. A természetben számos jelenség mögött megbújó geometriai gyöker¶ struktúráról van szó, melynek vizsgálata mély összefüggéseket tárhat fel, új jelenségekre mutathat rá, és alternatív néz®pontot szolgáltathat más néz®pontból már megértett jelenségek tárgyalásánál.

2.1. Egy példa: Foucault ingája Mindenki által ismert Foucault híres ingakísérlete, mellyel a Föld forgása mutatható ki csillagászati eszközök nélkül, pusztán az egyenletesen forgó vonatkoztatási rendszerben fellép® tehetetlenségi er®k hatására hagyatkozva. Egy inerciarendszerben az inga lengési síkja változatlan maradna, a forgó Földön a φ szélességi körön viszont a Föld ω szögsebességvektora függ®leges irányú vetületének nagyságával, vagyis ω1 = ω sin φ szögsebességgel fordul el. Felírható eszerint az egy nap alatti elfordulás:

∆ϕ = 2π sin φ

(2.1)

mely az északi póluson egy teljes, 2π -s elfordulást, Magyarországon φ = π/4-gyel becsülve √ 2π -s elfordulást ad eredményül, míg az egyenlít®n nem észlelünk változást. Az ingakísérlet szokásos tárgyalása a tehetetlenségi er®k néz®pontjából történik. Mi most vegyük szemügyre a jelenség geometriáját! Nézzünk úgy a problémára, mintha egy gömb felületén akarnánk párhuzamosan eltolni az inga lengési síkját reprezentáló vektort! Motiváljon ebben az, hogy így a tehetetlenségi mozgást tulajdonképpen a párhuzamos eltolással azonosítjuk, a fellép® tehetetlenségi er®knek geometriai interpretációt adunk. Ez az alapgondolat kés®bb nagyon termékenynek bizonyult Einstein általános relativitáselméletében. Vezessünk be néhány jelölést! (2.1 ábra) A Föld legyen egy egységnyi sugarú gömb, a középpontjából a felszínére mutató vektor legyen ~r, és egy erre mer®leges egységvektor legyen ~e. A gömbön vegyünk egy zárt görbét, melyet t-vel parametrizálunk: ~r(t), és ~r(0) = ~r(T ). Ekkor fenn kell állnia az egész görbén:

~r(t) · ~e(t) = 0 4

(2.2)

2. FEJEZET. A HOLONÓMIA

5

2.1. ábra. A Foucault inga síkjának változása, görbementi párhuzamos eltolás és egy konkrét út után fellép® változás. A párhuzamos eltolás szabálya ebben az esetben nagyon szemléletes lesz: az ~e vektor lokálisan nem fordulhat el ~r körül, vagyis:

ω · ~r = 0

(2.3)

ahol ω vektor az ~e pillanatnyi forgástengely irányába mutató szögsebessége: d~e = ω ×~e. (Az id®függést nem jelötük.) Célunk a fenti (2.3) szabály felírása a görbe segítségével. Ehhez írjuk fel ω vektort a görbe kísér®-triéderében:

ω = a~r + bd~r + c(~r × d~r)

(2.4)

ahol a = 0 fejezi ki a párhuzamos eltolás feltételét. Ekkor

d~e = b(d~r × ~e) + c(~r × d~r) × ~e = b(d~r × ~e) − c(~e · d~r)~r

(2.5)

a kétszeres vektoriális szorzat kifejtése és (2.2) miatt. Belátható, hogy d~r = ω × ~r, ebbe ω -t beírva a (1 − c)d~r = b(d~r × ~r) vektoregyenletet kapjuk, melynek egyedüli megoldása b = 0, c = 1. Tehát ω = ~r × d~r, (2.6) és (2.5) a következ® alakot ölti:

d~e = −(~e · d~r)~r.

(2.7)

Ekkor kihasználva (2.3) id®deriválásából adódó ~r · d~e = −~e · d~r egyenletet, végül a következ® alakban kapjuk meg a párhuzamos eltolás feltételét:

(I − ~r ◦ ~r)d~e = 0,

(2.8)

ami szemléletesen mutatja, hogy ~e megváltozásának nem lehet a mindenkori ~r-re mer®leges komponense. Egy általános zárt görbe mentén haladva egy vektorral úgy, hogy közben lokálisan betartjuk a párhuzamos eltolás szabályát, a kezd®pontba visszaérve végül globálisan tapasztalni fogunk egy elfordulást a kiindulási irányhoz képest. Ennek nagysága függ a bejárt görbét®l. A Foucault inga nagyon speciális görbéket jár be: szélességi köröket. A lengési síkja eközben paralell-transzlált, ellentétben az ingát körülvev® szoba tengelyeivel, ezért tapasztaljuk a folyamatos elfordulását.


6

2.2. A topológiai struktúrák Ebben a fejezetben rövid áttekintést adunk a felhasznált topológiai struktúrákról, melyek között csupán a nyalábokra adunk b®vebb bevezetést. Nem célunk a részletek precíz tisztázása, csupán a kés®bbiek alapjául szolgáló fogalmakat szeretnénk bemutatni részint terjedelmi korlátok miatt, részint azért, mert a téma szerteágazó, és további tanulmányozást kíván. A kvantumrendszerek geometriai vonatkozásairól szóló áttekint® munka [1]. A nyalábok, a rajtuk megadható konnekciók és holonómiák részletes bevezetését lásd [3]-ban. A nyalábot dierenciálható sokaságokkal fogjuk bevezetni. A zikában els®sorban ilyen nyalábok kerülnek szóba, de lehet®ség van általánosabb topologikus terekkel való bevezetésre is, lásd [2]-ben.

2.2.1. Nyaláb Általánosan a nyaláb egy olyan topologikus tér, amely lokálisan két topologikus tér descartes-szorzataként tekinthet®. Ez a zika számára egy nagyon hasznos tulajdonság. A következ®kben dierenciálható sokaságokal vezetjük be a nyaláb fogalmát: E, M, F dierenciálható sokaságok neve legyen sorban nyalábtér, alaptér és szál. A nyaláb deníciója ekkor: 1. Legyen Π egy szürjektív leképezés:

Π : E −→ M,

(2.9)

melyet a nyaláb projekciójának nevezzük. (2.2 ábra) Az p ∈ M-pont feletti szálnak nevezzük azokat a pontokat E -ben, melyeket Π ugyanarra az M-beli pontra képez le:

Fp = Π−1 (p).

(2.10)

Az egyes pontok feletti szálak homeomorfak F térrel.

2.2. ábra. Nyaláb 2. Létezik egy F -en ható G Lie-csoport, melyet struktúracsoportnak nevezünk. 3. M egy nyílt lefedése {Ui }, ekkor léteznek a következ® dieomorzmusok:

φi : Ui × F −→ Π−1 (Ui )

(2.11)

Π(φi (p, f )) = p

(2.12)


7

melyet helyi trivializációnak neveznek, mivel inverze Π−1 (Ui )-t Ui × F direktszorzattérre képezi. (Lásd a 2.3 ábrán.) Ezáltal a nyalábtér lokálisan dieomorf lesz az alaptér és a szál direktszorzatával. Fontos, hogy a fenti leképezések nem egyértelm¶en léteznek: egy nyaláb gyakran többféleképpen is trivializálható.

2.3. ábra. A nyaláb trivializációi 4. Bevezetjük adott p ∈ M pontra φi,p (f ) = φi (p, f ) dieomorzmust, mely

φi,p : F −→ Fp .

(2.13)

Ekkor átfed® Ui , Uj ⊂ M esetén φ−1 és φj−1 egy u ∈ E ponthoz, melyre Π(u) = p ∈ i Ui ∩ Uj , nem feltétlenül ugyanazt az F -beli pontot rendeli. Ekkor φ−1 i (u) = (p, fi ) és −1 φj (u) = (p, fj ). A kett® kapcsolatának leírásához képezzük:

tij (p) = φ−1 i,p φj,p : F −→ F.

(2.14)

Ezeket a tij (p) leképezéseket áttérési függvényeknek nevezzük. M¶ködésüket a 2.4 ábra szemlélteti. Az áttérési függvények halmaza izomorf kell legyen G-vel, vagyis tij : Ui ∩ Uj → G. Tehát az áttérési függvények transzformációkat valósítanak meg a −1 szálon. Ekkor kapcsolatba hozhatjuk a φ−1 i és φj leképezések hatását: fi = tij (p)fj , vagyis: φj (p, f ) = φi (p, tij (p)f ). (2.15)

2.4. ábra. Az áttérési függvények


8

Az áttérési függvényekre fenn kell állnia a következ® feltételeknek:

(∀p ∈ Ui )

(2.16)

tij (p) = tji (p)

(∀p ∈ Ui ∩ Uj )

(2.17)

tij (p)tjk (p) = tik (p)

(∀p ∈ Ui ∩ Uj ∩ Uk )

(2.18)

tii (p) = I −1

ahol I az identitás F -en. Amennyiben tij (p) = I az összes olyan i, j, p-re, ahol p ∈ Ui ∩ Uj , akkor a nyalábot triviális nyalábnak nevezzük. Egy triviális nyaláb el®áll E = M × F alakban. Ahhoz, hogy a fent deniált (E, Π, M, F,G) struktúrát nyalábnak nevezzük, szükséges, hogy a deníció független legyen az {Ui } lefedés megválasztásától. Egy konkrét {Ui } lefedéshez tartozó deníció egy koordinátanyaláb deníciója. A nyaláb a koordinátanyalábok egy ekvivalenciaosztálya, ahol az ekvivalenciarelációt a következ®képpen deniáljuk: (E, Π, M, F,G, {Ui }, {φi }) és (E, Π, M, F,G, {Uj }, {φj }) koordinátanyalábok ekvivalensek akkor és csak akkor, ha (E, Π, M, F,G, {Uj } ∪ {Uj }, {φi } ∪ {φj }) is koordinátanyaláb. A nyaláb egy lokális szelésének nevezzük a (2.19)

s : U ⊂ M −→ E

(2.20)

p 7−→ s(p) ∈ Fp

sima leképezéseket, vagyis Πs = IM . Amennyiben értelmezési tartománya az egész M alaptér, akkor globális szelésnek, vagy egyszer¶en szelésnek nevezzük. Nem minden nyalábnak létezik globális szelése. A szelések tulajdonképpen az alaptér beágyazásai a nyalábba. Tekintsünk egy példát nyalábra! (2.5 ábra) Legyen az alaptér M = S 1 kör, a szál pedig F = [1, −1] ⊂ R zárt intervallum. Az alaptér nyílt lefedése álljon a következ® két halmazból: U1 = (0, π), U2 = (−π, π), melyeknek metszetei A = (0, π), és B = (π, 2π).

2.5. ábra. S 1 , és két lehetséges S 1 feletti nyaláb. Legyen ekkor a fed®halmazokhoz tartozó φ1 , φ2 az alábbi módon megadva A felett:

φ−1 1 (u) = (Θ, t),

φ−1 2 (u) = (Θ, t).

(2.21)

(Θ ∈ A, t ∈ F ) Az áttérési függvény A felett identikus: (2.22)

t12 (Θ)t = t Két lehet®ségünk van φi leképezések megadására B felett:

1:

φ−1 1 (u) = (Θ, t),

φ−1 2 (u) = (Θ, t)

(2.23)

2:

φ−1 1 (u)

φ−1 2 (u)

(2.24)

= (Θ, t),

= (Θ, −t)


9

Az els® esetben t12 (Θ) = I lesz B felett is, ekkor a nyaláb egy hengerpalást. Ez tehát egy triviális nyaláb, struktúracsoportja az egyelem¶ csoport, G = {e}. A második esetben

t12 (Θ)t = −t

Θ ∈ B.

(2.25)

Ekkor az úgynevezett Möbius-szalagot kapjuk. Az A feletti áttérési függvény identikus, a B feletti áttérési függvényt kétszer egymás után alkalmazva szintén az identitást kapjuk, így a Möbius-szalag struktúracsoportja G = {e, g} ∼ = Z2 kételem¶ csoport. Ez tehát nem triviális nyaláb: nem állítható el® az alaptér és a szál direktszorzataként, noha ezt lokálisan külön-külön A és B felett megtehetjük. Az érint® nyaláb esetében a nyalábtér az M alaptér összes érint®vektorának halmaza. A Π projekció az érint®vektorokhoz az M-beli kezd®pontjukat rendeli. Ekkor az alaptér adott pontja feletti szál Fp = Tp M az adott pontbeli érint®térrel azonos, mely egy lineáris tér. Egy reprezentáns F érint®teret választva a dierenciálható sokaságok szép tulajdonságainak köszönhet®en létezik, de nem egyértelm¶en Fp → F dieomorzmus. A lehetséges Fp → F dieomorzmusok az F lineáris transzformációival különbözhetnek egymástól, így az érint®nyaláb struktúracsoportja az érint®téren ható teljes lineáris csoport. Az érint®nyaláb szelései ekkor az alaptér feletti vektormez®k. A Foucault-inga egy példa az érint®nyalábra: az alaptér az S 2 földfelszín, a szál R2 érint®tér, a struktúra-csoport az ezen ható általános lineáris transzformációk: GL(2, R). A kvantumrendszerek leírásánál megjelen® nyalábokkal foglalkozunk a két utolsó fejezetben.

2.2.2. Konnekció és holonómia A nyalábon sok görbe van, amit Π ugyanarra az alaptérbeli görbére képez le. Ahhoz, hogy egy alaptérbeli görbét valamilyen egyértelm¶ módon kiemeljünk a nyalábra, szükségünk van rá, hogy meg tudjuk különböztetni a vertikális és horizontális, vagyis a szál-irányú, és az arra mer®leges irányokat a nyalábon.

2.6. ábra. Horizontális (folytonos vonal) és nem horizontális (szaggatott vonal) görbék. Konnekciónak nevezzük azt a szabályt, aminek segítségével megadhatjuk, hogy hogyan hasad fel a nyaláb horizontális és vertikális irányokra. Általánosan, koordinátafüggetlenül a konnekció megadása egy A konnekciós egy-forma megadását jelenti a nyalábon, amellyel egy h vektor horizontális ha: A(h) = 0 (2.26)


10

Ekkor az alaptérbeli görbe horizontális kiemeltjének nevezünk egy görbét a nyalábon, ami minden pontjában vízszintes irányú. Ilyen görbe a szál minden pontjához egyértelm¶en létezik. Ha egy érint®-nyalábot tekintünk, mint a Foucault-inga példájában, akkor a konnekció a párhuzamos eltolást jelenti: a horizontális görbe olyan, melynek nincs nyalábirányú komponense, vagyis lokálisan nincs változás az érint®térben. Az egyrészecske-kvantumrendszerek Hilbert-tereiben a szemléletes relatív fázis fog konnekciót deniálni, míg kevert állapotoknál a Hilbert-Schmidt nyalábon Uhlmann által felírt konnekció ad erre lehet®séget. Ezeket az utolsó két fejezetben mutatjuk be. Amennyiben van egy konnekció a nyalábon, akkor megadható egy alaptérbeli görbe horizontális kiemeltje. Ha a nyaláb nem triviális struktúrájú, vagyis nem írható fel globálisan descartes-szorzat alakban, akkor az alaptér egy zárt görbéjének horizontális kiemeltje a nyalábon általában nem lesz zárt görbe. (2.7 ábra)

2.7. ábra. Zárt görbe és horizontális kiemeltje. Az eltérés a szálon a kezd® és a végpont között a görbe alakjától függ® transzformáció. Ezek csoportot alkotnak, melyet a nyaláb holonómia-csoportjának nevezünk, mely információt hordoz a nyaláb szerkezetér®l. A Foucault-inga példájában az érint®térben az inga síkja elfordul. Általános görbék esetén ezt az elfordulást SO(2) adja, mint e nyaláb holonómia-csoportja. Speciálisan szélességi körökön való paralell-transzlálás során is megkapjuk az összes lehetséges 0..2π szöggel való elfordulást (2.1) értelmében.

3. fejezet

Kvantummechanikai áttekintés 3.1. Axiomatikus elméletek a zikában A zikai valóság bizonyos összefügg® jelenségköreit zikai elméletekkel írjuk le. Amikor egy ilyen elméletet megfogalmazunk, egyszersmind döntünk annak érvényességi körér®l, valamint ezzel együtt a valóság modelljéül felhasznált matematikai objektumokról. Azt mondjuk például, hogy egy háromdimenziós térbeli tömegpontokra fennállnak a newtoni mechanika alaptörvényei, továbbá ebb®l szép közvetlen tapasztalati összefüggéseket vezetünk le: Kepler törvényeit. Amennyiben ezt az elméletet a bolygómozgás leírására kívánjuk használni, érvényességi köre kis energiákra terjed csak ki: sebességük a fény sebességéhez képest kicsi. Ennek köszönhet®en viszont azt nyerjük, hogy a matematikai objektumaink egyszer¶ek: háromdimenziós euklideszi tér, és viszonylag egyszer¶ felépítés¶ dinamikai egyenletek. Az elmélet érvényességi körének kiterjesztéséhez már jóval bonyolultabb matematikai eszközök kellenek: Einstein gravitációelmélete, az általános relativitás elmélet felhasználja a riemanni geometria, valamint a tenzor-analízis eszköztárát. A dinamikai egyenlet, az Einstein-egyenlet is bonyolultabb: egy kétindexes tenzoregyenlet. Fontos, hogy a tágabb érvényességi kör¶ elmélet határesetként magában foglalja a sz¶kebb révényességi kör¶ elméletet. A fenti példa a zikai elméletek axiómáinak szerepét kívánja kissé megvilágítani. A zikai elméletek axiómái rögzítik a zikai jelenségeket modellez® matematikai objektumokat, lehet®vé téve ezzel azt, hogy matematikailag, a valóságtól elvonatkoztatva gondolkodjunk a valóságról, de látni kell, hogy az elmélet érvényességi köre magukat az axiómákat is korlátozza. Vagyis egy zikai elmélet axiómarendszere jóval lazább, mint egy matematikaié, ezt gyelembe kell venni, amikor az elmélet határterületeire vonatkozó következtetéseket szeretnénk levonni. Nem sérthetetlen matematikai posztulátumokat fektetünk le, csupán megállapítunk egy irányadó tárgyalásmódot, melyet alkalmasságán, és némely esetben a nehezen megfogható, ám annál meggy®z®bb esztétikumon túl mélyebb indok nem igazol. Ez a látszólagos lazaság nem fogyatékossága a zikának, egyszer¶en máshogyan m¶ködik, lévén egészen más, mint a matematika. A kett®t nem szabad összemosni, annak ellenére sem, hogy a zika történetének tanulsága szerint a természet leírására a matematika alkalmas; látnunk kell, hogy a legutóbbi állítás koránsem magától értet®d®. Fizikán túli területekre kelene kalandozni ahhoz, hogy legalább valamelyest szemügyre vehessük a matematika és a zika kapcsolatát.

11

3. FEJEZET. KVANTUMMECHANIKAI ÁTTEKINTÉS

12

3.2. A Kvantummechanika axiómái A fentiek fényében tekintsük most át a kvantummechanika axiómáit! (B®vebben lásd [6]ban.) Mint minden axiomatikus elméletnél, itt is vannak fogalmak, melyeket nem tudunk az elmélet keretein belül deniálni, mivel éppen az ® segítségükkel fogalmazzuk meg az axiómákat. Ilyen fogalmak: az állapot, a dinamikai változó, vagy a mérés.

3.2.1. Állapot Anélkül tehát, hogy tudnánk, önmagában mi az az állapot, rögzítjük a kvantummechanika els® axiómájaként, hogy a zikai rendszer állapotait a redszerhez tartozó komplex szeparábilis Hilbert-tér sugarai reprezentálják. A komplex számtest feletti vektorteret az interferencia jelensége motiválta: ennek szép leírása komplex számok összegének abszolutérték-négyzetével történhet. Egy topologikus tér szeparábilis, ha létezik benne halmaz, mely megszámlálható elemszámú, és s¶r¶, vagyis lezártja a teljes tér. Egy Hilbert-tér nyilván topologikus tér, mivel rajta a bels® szorzat által indukált norma metrikát deniál, mely segítségével meghatározottá válnak a nyílt gömbök, vagyis egy standard topológia. Így az, hogy egy Hilbert tér szeparábilis, azt jelenti, hogy létezik benne egy megszámlálható bázis, melyre nézve vektorai kifejthet®k, ekkor a kifejtési együtthatók sorozata négyzetesen összegezhet®.

∀|Φi ∈ H :

|ϕi i ∈ H, i ∈ I, X X |Φi = |ϕi ihϕi |Φi = ci |ϕi i, i

(3.1) 2

c∈` .

(3.2)

i

Az egymástól konstans szorzóban különböz® vektorok egydimenziós altereket határoznak meg, melyeket a Hilbert-tér sugarainak nevezzük.

[φ] = {ϕ ∈ H : ϕ = aφ, a ∈ C, a 6= 0}.

(3.3)

A kvantummechanika kés®bb tárgyalandó dinamikai egyenleteinek linearitása miatt egy állapottal annak konstansszorosa a mérésekre nézve vele egyenérték¶ állapotot valósít meg, így a Hilbert tér sugarai válnak relevánssá az állapot leírásában. A fenti megállapítás következményeként az állapotok tereinek nemtriviális topológiai tulajdonságai adódnak.

3.2.2. Dinamikai változók A kvantummechanika matematikai tárgyalása a klasszikus, hamiltoni mechanikában gyökerezik. Ez a dinamikai változókra mint id®függ® mennyiségekre egyenleteket fogalmaz meg bizonyos paraméterek mellett, mint például a tömeg. A kvantummechanika második axiómája a dinamikai változókról szól. Ezt azért kívánjuk hangsúlyozni, mert gyakran tévesen általános zikai mennyiségekre fogalmazzák meg, melyek közé beleérthet® a tömeg vagy az id® is. A rendszer dinamikai változóinak az állapotok Hilbert-terén ható önadjungált operátorok felelnek meg. A : H → H, A = A† . (3.4) A diszkrét spektrumú operátorok sajátértékeivel a természetben meggyelt kvantumos viselkedés válik matematikailag kezelhet®vé. Egy önadjungált operátor sajátértékei valósak,


13

ahogy ez elvárható a mért zikai mennyiségekt®l, sajátvektorrendszere ortogonális és s¶r¶ a Hilbert-térben:

A|ϕi i = λi |ϕi i, λi ∈ R,

hϕi |ϕj i = δij ,

X

(3.5)

|ϕi ihϕi | = I.

(3.6)

i

Egy normált állapotot a dinamikai változó normált sajátállapotainak bázisán kifejtve, a kifejtési együtthatók abszolutérték-négyzetét interpretáljuk az adott sajátállapot kimérésének valószín¶ségével: 2 pΦ A (i) = |hΦ|ϕi i| .

(3.7)

Tehát a mérés várható értékét, mely nyilván a lehetséges kimenetelek a valószín¶ségekkel súlyozott összege, az operátor kvantummechanikai várható értéke adja: X X hAiΦ = hΦ|AΦi = hΦ| λi |ϕi ihϕi |Φi = λi pΦ (3.8) A (i). i

i

A normáltság el®feltétele a valószn¶ségi tárgyalásmódnak. Egy önadjungált operátor sajátállapotai a lehetséges különböz®, egymást kizáró mérési eredmények teljes eseményrendszerét alkotják, ahol így a valószín¶ségek összege 1: X X pΦ hΦ|ϕi ihϕi |Φi = kΦk2 := 1 (3.9) A (i) = i

i

A kés®bb tárgyalandó, mérésre vonatkozó axiómában rögzítjük azt, hogy a sztochasztikus viselkedést nem hiányos ismereteink következményének, hanem a természet egy alapvet®, lényegi tulajdonságának tekintjük.

3.2.3. Összetett rendszerek Az összetett rendszerek tárgyalása nem triviális, a kvantummechanika megrázó furcsaságai ebb®l adódnak. Ezzel foglalkozik a harmadik axióma: Az összetett rendszert a részrendszerek Hilbert-tereinek tenzorszorzatterével írjuk le. A tenzorszorzat matematikai konstrukciója teszi lehet®vé a részrendszerek kölcsönhatásának reprezentálását, így az egész több lesz, mint a részek összege. Nézzük meg, hogy hogyan kaphatjuk meg az egyik részrendszer dinamikai változójának várható értékét általánosan! Legyen {|ϕi i}i∈I teljes ortonormált bázis H1 -en, és {|ψj i}j∈J teljes ortonormált bázis H2 -n. X |Φi ∈ H1 ⊗ H2 , |Φi = Wij |ϕi i ⊗ |ψj i, (3.10)

kΦk2 =

X

ij

³ ´ W ij Wij = T r W W † := 1,

(3.11)

ij

Egy dinamikai változó az els® részrendszerben ekkor: X A= Akl |ϕk ihϕl | kl

(3.12)


14

Ennek számítsuk ki a kvantummechanikai várhatóértékét a fenti állapotban: X X X hΦ| (A ⊗ I) Φi = h Wij ϕi ⊗ ψj | Akl |ϕk ihϕl | ⊗ I| Wmn ϕm ⊗ ψn i ij

=

mn

kl

X

W ij Akl Wmn hϕi |ϕk ihϕl |ϕm ihψj |ψn i

ijklmn

(3.13)

³ ´ X = W kj Akl Wlj = T r W W † A ijl

ahol W =

P

ab Wab |ϕa ihϕb |.

Hasonlóan belátható, hogy ¡ ¢ hΦ| (I ⊗ A) Φi = T r W T W A

(3.14)

A fentiekben kapott %1 = W W † és %2 = W T W operátorokat az els® és a második részrendszer redukált s¶r¶ségoperátorainak nevezzük. Nem-nulla sajátértékeik multiplicitással megegyeznek. A felírásból nyilvánvaló, hogy a fenti operátorok önadjungáltak, s®t pozitív szemidenitek, és könnyen látszik a következ®: ³ ´ ¡ ¢ Tr W W † = Tr W T W = kΦk2 = 1. (3.15) Az adott részrendszeren végzett mérések várhatóértékét tehát a s¶r¶ségoperátorokkal kapott nyommal számolhatjuk ki. Összetett rendszer esetében általában nem találunk olyan Φ1 ∈ H1 elemet, amire hΦ| (A ⊗ I) Φi = hΦ1 |AΦ1 i fennállna, vagyis nincs olyan állapota a részrendszer Hilbert-terének, mely leírná a részrendszert. Ekkor a részrendszer kevert állapotban van. (Mixed state) Amennyiben mégis található olyan állapot a részrendszer Hilbert-terében, amely leírja a részrendszert, tiszta állapotról (pure state) beszélünk. A tiszta állapot is leírható s¶r¶ségoperátorral: X hΦ1 |AΦ1 i = hΦ1 |A |ϕi ihϕi |Φ1 i i

X = hϕi |Φ1 ihΦ1 |A|ϕi i

(3.16)

i

= Tr (|Φ1 ihΦ1 |A) Vagyis egy |Φ1 i tiszta állapotú részrendszer s¶r¶ségoperátora: %1 = |Φ1 ihΦ1 |, egy 1-rangú projekció: %21 = %1 = %†1 . A fent tárgyalt példában a teljes H1 ⊗ H2 -ben leírt rendszer a |Φi tiszta állapotban volt, ekkor képezhetjük a teljes rendszer s¶r¶ségoperátorát:

% = |ΦihΦ| X = Wij W kl (|ϕi i ⊗ |ψj i) (hψl | ⊗ hϕk |) ijkl

=

X

(3.17)

Wij W kl |ϕi ihϕk | ⊗ |ψj ihψl |

ijkl

és a (3.13) számítás alapján kapott redukált s¶r¶ségoperátorokat ebb®l a megfelel® rész-


15

rendszereken vett parciális nyommal kaphatjuk, például:

%1 = Tr 2 % XX = Wij W kl |ϕi ihϕk |hψm |ψj ihψl |ψm i m ijkl

=

X

(3.18)

Wij W kj |ϕi ihϕk |

ijk

=

X

(W W † )ik |ϕi ihϕk |.

ik

Ezt az eljárást, amely során a rendszer s¶r¶ségoperátorának nyomát vesszük egy részrendszer Hilbert-terén, a s¶r¶ségoperátor redukciójának nevezzük. Tekintsünk egy általános s¶r¶ségoperátort H1 -en! Ennek spektrálfelbontása: X %1 = ηi |ξi ihξi | (3.19) i

ηi ≥ 0,

T r% =

X

ηi = 1.

(3.20)

i

A nemnegatív spektrum a pozitív szemidenitség következménye, az egységnyi trace pedig a normálásé. Tiszta állapotban csak egyetlen, kevert állapotban egynél több ηi sajátérték különbözik nullától. A nulla sajátértékekhez tartozó altérb®l is kiválasztható a sajátvektoroknak olyan rendszere, mely a többivel együtt teljes ortonormált rendszert alkot. Használjuk ezt bázisnak H1 -en: {|ξi i}i∈I . Vegyük H1 ⊗ H1 -ben a következ® egységvektort: X√ ηi |ξi i ⊗ |ξi i (3.21) |Φi = i

Ekkor azt láthatjuk, hogy ebben az állapotban vett várhatóértéke A⊗I-nek pont megegyezik a részrendszerben vett kevertállapotú várhatóértékével A-nak: X√ X√ hΦ| (A ⊗ I) Φi = h ηi ξi ⊗ ξi | (A ⊗ I) | ηj ξj ⊗ ξj i i

X√ √ = ηi ηj hξi |Aξj ihξi |ξj i

i

ij

=

X

(3.22)

hξj |ηi |ξi ihξi |Aξj i = T r(%1 A)

ij

Egy kevert állapotú rendszer tehát részrendszere egy tiszta állapotú, kétszer akkora rendszernek. Ez utóbbit a rendszer purikációjának nevezzük. E fenti észrevételt továbbgondolva adódik az általánosan Schmidt-dekompozíciónak nevezett eljárás: egy tetsz®leges |Φi ∈ H1 ⊗ H2 tiszta állapot felírható a következ®képpen:

|Φi =

s X √ ηi |ξi i ⊗ |ζi i

(3.23)

i=1

ahol ηi a részrendszerek redukált s¶r¶ségmátrixainak sajátértékei. Mivel a redukált s¶r¶ségmátrixok nem-nulla sajátértékei multiplicitással megegyeznek, ezért az összegzés s = min(n, m)-ig megy, ahol n = dimH1 és m = dimH2 . Az állítás tulajdonképpen azt tartalmazza, hogy mindig létezik olyan bázis a két Hilbert-térben, melyben az általánosan (3.10)


16

alakban megadott állapotot leíró Wij mátrix diagonális lesz. Könnyen beláthatjuk ezt az állítást, ha felhasználjuk a mátrixok szinguláris-érték felbontásását. Ez a következ®t jelenti: bármely A n × m-es mátrix felírható a következ® alakban: (3.24)

A = U DV,

ahol U n × n-es, V m × m-es unitér mátrixok, D pedig egy valós pozitív elem¶ n × m-es nem négyzetes diagonális mátrix, mely alatt a következ®t értjük: Dij = αi δij . Ekkor

|Φi = =

n X m X

Wij |ϕi i ⊗ |ψj i

i=1 j=1 n X m X

√ Uik ηk δkl Vlj |ϕi i ⊗ |ψj i

i,k=1 j,l=1 min(n,m)

=

X

√ ηk

Ã

n X

! Uik |ϕi i

i=1

k=1

(3.25)

  m X ⊗ Vkj |ψj i , j=1

ami megegyezik (3.23)-mal. Képezzük ennek a tiszta állapotnak a s¶r¶ségoperátorát:

ρ = |ΦihΦ| =

s X √ p ηk ηl |ξk ihξl | ⊗ |ζk ihζl |,

(3.26)

k,l=1

amib®l megkaphatóak a részrendszerek redukált s¶r¶ségoperátorai:

ρ1 = Tr 2 ρ =

s X

ηk |ξk ihξk |

(3.27)

ηk |ζk ihζk |.

(3.28)

k=1

ρ2 = Tr 1 ρ =

s X k=1

Tehát a Schmidt-dekompozíció során megjelen® U és V unitér bázistranszformációk fogják egyszerre a két részrendszer Hilbert-terén diagonalizálni a s¶r¶ségoperátort. Egy H1 Hilbert-tér ρ1 s¶r¶ségoperátorával jellemzett rendszer purikációjának nevezzük ennek alapján általánosan az olyan H1 ⊗ H2 Hilbert-téren ható ρ állapotú kib®vített rendszert, melyre ρ1 = Tr 2 ρ. Láttuk tehát, hogy egy rendszernek létezik purikációja, de nem egyértelm¶en. Ennek következményeivel foglalkozunk a 6. fejezetben.

3.2.4. Mérés Az el®z®ekben azt láttuk, hogy a rendszer-állapotok szemléletesen azt az eloszlást jelentik, amelyekkel a mérések várhatóértékeit kapjuk, legyen az állapot akár s¶r¶ségoperátorral, akár vektorral megadva. Most beszélnünk kell arról is, hogy a mérésre hogyan reagál a rendszer. Szükségszer¶ ugyanis, hogy a rendszer állapota megváltozzon egy mérést®l, mivel a méréskor a dinamikai változót, mint valószín¶ségi változót kiértékeljük, ez által megtudjuk, hogy az addig valószín¶ségeloszlással jellemzett rendszer egy példányának adott dinamikai változója milyen értéket vett fel. Mivel már tudjuk a pontos értéket, nem beszélhetünk úgy a rendszerr®l, mintha a korábban lemért dinamikai változó valószín¶ségi változó lenne, mert egy újabb mérés ismét a már megkapott eredményt adná. Ezt interpretálhatjuk úgy, hogy méréskor a valószín¶ségi változó spektruma fog megváltozni, hirtelen az egyik étrék


17

valószín¶sége 1 lesz, a többié 0. Ez viszont az jelenti, hogy a rendszert leíró Hilbert-tér elem, vagy s¶r¶ségoperátor fog hirtelen megváltozni: beugrik a kimért állapotba, az ezután végzett mérések már azonos eredményt adnak. Az állapotnak ez a beugrása talán a legmegfoghatatlanabb jelensége a kvantumvilágnak. Az axióma csak arról beszél, hogy milyen matematikával írjuk le a mérést, arról nem, hogy mi történik, ami egy sokkal érdekesebb és nehezebb kérdés. Lássuk tehát, hogyan lehet a méréskor történ® változást matematikailag megfolgalmazni általánosan, kevert állapotokra! Az n különböz® ηi értéket felvev® mérést olyan Vi operátorokkal reprezentáljuk, melyekre n X Vi† Vi = I. (3.29) i=1

A mérés hatására a rendszer s¶r¶ségoperátora a következ®képpen fog megváltozni: n X

Vi %Vi† .

(3.30)

p% (i) = Tr Vi %Vi† ,

(3.31)

% 7−→

i=1

A megfelel® ηi kimenetel valószín¶sége:

és amennyiben a méréskor az ηi értéket kapjuk, akkor a mérés végrehajtása után a rendszer s¶r¶ségoperátora: Vi %Vi† % 7−→ . (3.32) Tr Vi %Vi† Az (3.31) valószín¶ségek összege nyilván 1 lesz (3.29) miatt. Az egyes kimenetelekhez tartozó (3.32) feltételes s¶r¶ségmátrixok a hozzájuk tartozó valószín¶ségekkel szorozva és összeadva éppen a (3.30) feltétel nélküli s¶r¶ségmátrixot adja, a teljes valószín¶ség tételével összhangban. Egy megismételhet® más néven Neumann-féle mérés, melyr®l ez alfejezet elején ejtettünk szót, páronként ortogonális projekció-operátorokkal reprezentálható. Két ilyen mérést egymás után elvégezve a második már nem változtat a s¶r¶ségi mátrixon:

Pi† = Pi % 7−→

X

(3.33)

Pi Pj = δij Pi X X Pi %Pi 7−→ Pj Pi %Pi Pj = Pi %Pi

i

ij

(3.34) (3.35)

i

A diszkrét spektrumú dinamikai változókhoz mindig tartozik egy Neumann-féle mérés, melyben a mérést reprezentáló ortogonális projekciókat az operátor spektrális felbontása adja, ahol:

A|ϕi i = λi |ϕi i, λi ∈ R, A=

X

hϕi |ϕj i = δij X i

λi |ϕi ihϕi | =

X i

(3.36)

|ϕi ihϕi | = I

(3.37)

i

λi Pi

(3.38)


18

Illusztrációként nézzük meg a |Φivel jellemzett % = |ΦihΦ| s¶r¶ségoperátorú tiszta állapotú rendszer beugrását, mivel ez szemléletesebb, mint a kevert állapotú s¶r¶ségoperátorok viselkedése:

p%A (i) = Tr Pi |ΦihΦ|Pi X = hϕj |Pi |ΦihΦ|Pi |ϕj i j

= hΦ|Pi

X

|ϕj ihϕj |Pi |Φi

(3.39)

j

= hΦ|Pi Pi |Φi = kPi |Φik2 = khϕi |Φik2 összhangban a kifejtési együtthatókról korábban mondottakkal. Most pedig nézzük meg az állapot megváltozását (3.32) szerint:

|ΦihΦ| 7−→

|ϕi ihϕi |ΦihΦ|ϕi ihϕi | Pi %Pi = = |ϕi ihϕi | Tr Pi %Pi khϕi |Φik2

(3.40)

tehát a mérés hatására jól látható a tiszta állapot beugrása a mért értéknek megfelel® operátor-sajátállapotba: |Φi 7−→ |ϕi i (3.41) Vizsgáljuk még meg, hogy mi történik a fenti módon megfogalmazott mérés hatására egy összetett rendszer részrendszereiben: írjuk fel az egyik részrendszer egy önadjungált operátorának várhatóértékét, ha a másik részrendszerben mérést végzünk: X hA ⊗ Ii%0 = Tr (I ⊗ Vi )%(I ⊗ Vi† )(A ⊗ I) i

= Tr

X

(I ⊗ Vi† )(I ⊗ Vi )%(A ⊗ I)

(3.42)

i

= Tr %(A ⊗ I) = hA ⊗ Ii% mivel a különböz® részrendszereken ható operátorok felcserélhet®ek. Vagyis azt látjuk, hogy a második részrendszeren végzett mérés változatlanul hagyja az els® részrendszer dinamikai változóinak várható értékét. Mivel a mérés megváltoztatja az állapotot, ezért általánosan nem várhatjuk el, hogy két dinamikai változó mért értéke független legyen méréseik sorrendjét®l. A mérés fenti matematikai megfogalmazása ezt is magában hordozza: egyazon Hilbert-téren ható két operátorra vonatkozó mérés akkor lesz független a sorrendt®l, ha spektrális projekcióik felcserélhet®ek. Különböz® Hilbert-tereken ható operátorok nyilván felcserélhet®k, így az általuk reprezentált dinamikai változók mérése független lesz a sorrendt®l.

3.2.5. Id®fejl®dés Az el®z® pontban láthattuk, hogy a mérés megzavarja a rendszert. A következ® axióma arról szól, hogy mi történik akkor, ha nem végzünk mérést, hanem szabadon hagyjuk fejl®dni a rendszert: Egy magára hagyott rendszer id®fejl®dését unitér propagátor írja le:

%(t) = U (t, t0 )%(t0 )U † (t, t0 ),

(3.43)

ahol U (t, t0 ) unitér operátorok a változóiknak er®sen folytonos függvényei, valamint fennáll: U (t2 , t1 )U (t1 , t0 ) = U (t2 , t0 ). Az unitér transzformáció deníciójából adódóan invariánsan


19

hagyja a Hilbert-tér bels®szorzatát, így az id®fejl®dés során nem változnak az átmeneti valószín¶ségek, valamint a tiszta állapotú rendszer tiszta állapotban marad. A konzervatív rendszer fogalmát szemléletesen az id®fejl®désen keresztül vezetjük be: (Energiáról eddig még egyáltalán nem beszéltünk.) Konzervatív rendszer propagátora eltolásinvariáns az id®ben, vagyis

U (t + τ, t0 + τ ) = U (t, t0 ).

(3.44)

Ekkor U (t) := U (t + τ, τ ) folytonos egyparaméteres unitér csoportot alkot, így a Stonetétel értelmében létezik önadjungált generátora. Azt már újabb posztulátum keretében fogalmazzuk meg, hogy ez a generátor éppen az energiát reprezentáló Hamilton operátor −1-szerese: Egy H id®független Hamilton-operátorral jellemzett rendszer unitér propagátora i

U (t) = e− ~ Ht . Számítsuk ki egy konzervatív rendszer s¶r¶ségoperátorának id®deriváltját: µ ¶ %(t + ε) − %(t) dt %(t) = lim ε→0 ε µ ¶ U † (ε) %(t) = lim U (ε)%(t) − ε→0 ε ε µ ¶ U (−ε) I I %(t) = lim U (ε)%(t) − U (ε)%(t) + U (ε)%(t) − ε→0 ε ε ε ε ¶ µ U (−ε) − I U (ε) − I + %(t) = lim U (ε)%(t) ε→0 ε ε i = (%(t)H − H%(t)) ~

(3.45)

(3.46)

Tiszta állapotra is hasonlóan kiszámítható az id®derivált. Végül tehát a

d %(t) = [H, %(t)] , dt d i~ ψ(t) = Hψ(t). dt i~

(3.47) (3.48)

Schrödinger egyenleteket kapjuk. Egy dinamikai változó várhatóértéke egy adott %(t)-vel jellemzett állapotban ekkor: ³ ´ i i hAi%(t) = Tr A%(t) = Tr Ae− ~ H(t−t0 ) %(t0 )e ~ H(t−t0 ) ³ i ´ i (3.49) = Tr e ~ H(t−t0 ) Ae− ~ H(t−t0 ) %(t0 )

= Tr AH (t)%0 = hAH (t)i% ahol a trace ciklikussága miatt két ekvivalens kvantummechanikai képben fogalmazhatjuk meg az id®beliség tárgyalását: Schrödinger-képben az id®ben állandó A-operátor várhatóértékét számítjuk ki egy id®ben változó állapotban, Heisenberg-képben pedig egy id®független állapotban vesszük az ³ i ´ i AH (t) = Tr e ~ H(t−t0 ) Ae− ~ H(t−t0 ) (3.50) egyenlet által deniált id®függ® operátor várhatóértékét.


20

Amennyiben a rendszert leíró Hamiltoni id®függ®, akkor az unitér propagátorok nem alkotnak folytonos csoportot, a rendszer nem konzervatív. Noha ekkor a fenti (3.47) egyenletekhez vezet® számítás nem vihet® végig, újabb axiómában fektetjük le, hogy id®függ® Hamiltonival leírt rendszer s¶r¶ségoperátorának, illetve állapotának id®fejl®dését is a Schrödinger egyenletek adják:

d %(t) = [H(t), %(t)] , dt d i~ ψ(t) = H(t)ψ(t). dt i~

(3.51) (3.52)

A tárgyalt unitér id®fejl®dést Roger Penrose nyomán U-evoluciónak nevezzük. Megjegyezzük, hogy az id®fejl®dés interpretálására van egy másik, kevésbé ismert mód is: egy rendszer állapotát egymás utáni innitezimálisan közeli, megfelel®en beállított mérésekkel is fejleszthetjük az id®ben. Ezt az id®fejl®dést R-evoluciónak nevezzük, amivel a redukció szóra utalunk.

4. fejezet

Kvantumszámítógépek Ebben a fejezetben röviden beszélünk a kvantumszámítógépekr®l. A kvantumszámítógép egy olyan kvantumrendszer, melynek bizonyos részrendszereinek állapotán információt tárolhatunk, melyeket a rendszerben lév® kölcsönhatásokkal az id®fejl®dés során manipulálhatunk. Talán ez a legszebb alkalmazási területe a kvantumelméleti kutatásoknak. A kísérleti technika felj®désével az elemi kvantum-m¶veleteken túl egyre összetettebb kvantumalgoritmusokat végrehajtó kvantumszámítógépek valósíthatóak meg. A témával foglalkozó összefoglaló m¶: [8].

4.1. Az információ tárolása A kvantuminformációelmélet keretében az információ fogalmának egy mer®ben új megközelítésével találkozhatunk. A klasszikus információelméletben az információt bináris értékek kódolják. Erre utal a klasszikus információ alapegységének, a bitnek neve is: az angol binary digit kifejezés rövidítése. Egy bit az az információmennyiség, amihez akkor jutunk, ha megtudjuk, hogy két független, egymást kizáró, és azonos valószín¶ség¶ esemény közül melyik következett be. A klasszikus információt klasszikus számítógépek kezelik. A klasszikus számítógép belsejében egy bitnyi információt tárolhat például egy vezeték, amin két jól elkülöníthet® feszültségszint lehetséges, egy memóriacella félvezet®kristálya, amelyben két jól elkülöníthet® mennyiségben lehetnek elektronok, egy kis terület egy ferromágneses korongon, amelynek mágnesezettsége szintén két jól elkülöníthet® értéket vehet fel, és még sorolhatnánk. El®ször is felmerülhet a kérdés: nem lehetne-e sokkal több információt tárolni a fenti módoknál? Vegyük például a memóriacellát: a mai technikai feltételek mellett a miniatürizálás magas fokot ért el, de még így is sok-tízezer elektron van abban a cellában, amelyen csak egy bitnyi nagyon kevés információt akarunk raktározni. Ez elég pazarló megoldásnak t¶nik, viszont így nagyon könnyen kezelhet® az információ, mert a kvantumjelenségek hatásai kiátlagolódnak. Elvileg akár egyetlen elektron ottléte, vagy ott-nem-léte is megadná az egy bit információt, azonban ilyen kis mennyiségnél már nem lehet elhanyagolni a kvantumjelenségeket. Egy elektron jelenléte egy helyen ugyanis a kvantummechanika törvényei szerint csak bizonyos valószín¶séggel adható meg. Tehát ha ebben az egy elektront befogadni képes memóriacellában bekapcsolunk egy potenciált, amivel odavonzhatunk egy elektront, akkor az elektron ottlétének valószin¶ségét úgy kaphatjuk, hogy az adott potenciált tartalazó Schrödinger-egyenlet megoldásaként kapott állapotfüggvény abszolutérték-négyzetét integráljuk a memóriacella térfogatára. Az állapotfüggvény egy megfelel® potenciál esetén

21

4. FEJEZET. KVANTUMSZÁMÍTÓGÉPEK

22

legalább exponenciálisan t¶nik el a végtelenben, de ennél er®sebb levágás is lehetséges. Viszont ekkor sem csökken egzaktul nullára, így akármilyen er®s a potenciál, soha nem lesz az elektron megtalálási valószin¶sége a cellában 1. Így tehát nem egy klasszikus bitnyi információ tárolódik, csupán annak törtrésze, ami a klasszikus információelmélettel nem kezelhet®. További probléma, hogy ha a rendszert leíró Hamiltoni diszkrét spektruma megengedi, akkor az elektron állapota az egyes energiaállapotok lineáris kombinációja lesz, melyek nem kell, hogy egyformán legyenek lokalizáltak a cellára. Ekkor a kvantummechanika mérési axiómája szerint méréskor az állapot az egyik komponensbe fog beugrani a megfelel® lineárkombinációs együttható négyzetének valószín¶ségével. Ez méginkább lehetetlenné teszi egy klasszikus bit reprezentálását egy kvantumrendszeren. Ehhez járul még a mérés problémája: az információ kinyerésére csak egy mérést végezhetünk, mivel ez beavatkozást jelent a rendszerbe, és így elveszik az állapot. Láttuk tehát, hogy kvantumrendszerek információtartalmának kezeléséhez nem elegend® a klasszikus információelmélet. Ezért került kidolgozásra a kvantuminformációelmélet, mely már alapjaiban illeszkedik a kvantumrendszerek sajátságos jelenségeihez.

4.2. A q-bit A kvantuminformáció alapegysége a qubit. (Quantum bit.) Egy kvantumbitnyi információ el®áll két ortonormált kvantumállapot tetsz®leges lineárkombinációjából:

|ψi = α|0i + β|1i,

α, β ∈ C

(4.1)

A |0i és |1i állapotokat információs, vagy számítási bázisnak nevezik. Ezt sokféle zikai rendszeren ábrázolhatjuk, legegyszer¶bb példa egy feles spin¶ részecske, pl. elektron spinsajátállapotai. Egy ilyen (4.1) állapot végtelen mennyiség¶ információt tartalmaz, ugyanis a két lineárkombinációs együttható két komplex szám, vagyis négy valós paraméter, és köztük csak két megkötést teszünk: a qubitnek normáltnak kell lenni, illetve egy közös fázisfaktor irreleváns az információtárolás szempontjából. Egy kvantumrendszer információtartalma tehát nagyon nagy. Viszont amikor a kvantuminformációt egy méréssel klasszikus információvá transzformáljuk, akkor a rendszer beugrik |α|2 valószin¶séggel |0i, és |β|2 = 1 − |α|2 valószin¶séggel |1i állapotba. Vagyis a kvantumrendszerben rejt®z® információmennyiség kiolvasása nehézségekbe ütközik, ugyanis ismételten egy mérésre van csupán lehet®ség, és ebb®l nem lehet valószin¶séget megállapítani. Tehát noha az információtároláshoz elegend® egy elektron, de a kiolvasáshoz nagyon sok azonos állapotú elektronon kell mérést végezni. Minél többön, annál nagyobb pontossággal ismerhet® meg |α|2 értéke. A kvantummechanika valószín¶ségi jellege nem kerülhet® meg, az ilyenfajta információkezelés klasszikus szemmel nézve mer®ben szokatlan. Viszont az ilyen valószín¶ségi mennyiségek hibáját kézben lehet tartani. A qubiteket kezel® m¶veleteket, a kvantum logikai kapukat, a qubiteken ható unitér transzformációk valósítják meg. A kvantumszámítógép ilyen m¶veletek sorozatának zikai realizációja. Ez informatikai kifejezéssel élve bedrótozott rendszer, a kvantumalgoritmus maga a hardware. Egy kvantuminformációelméleti tétel értelmében a qubit kvantumkapukkal nem másolható, ezért az egész kvantumszámítási eljárást már a kezdetét®l sok elektronon kell párhuzamosan végezni, hogy a rajtuk való mérés végül a megfelel® kimenetet adja. Ezeknek azonos kezdeti állapotokban kell lenni, ami még a számítási folyamat el®tt beállítható. Ezt az eljárást preparációnak nevezik. A kvantumalgoritmusok feladata, hogy a számításokat olyan


23

formában végezzék el, hogy a kimeneten jól mérhet® legyen a fontos információhoz tartozó állapot, vagyis a megfelel® valószín¶ségi amplitúdó elegend®en nagy legyen a többihez képest. A fentiek fényében tehát látható, hogy mind a klasszikus, mind a kvantuminformáció kezeléséhez sok részecskére van szükség. A kvantumszámítás azonban kínál egy új lehet®séget, amely a klasszikus számítógép számára annak nagy mérete miatt elérhetetlen. Ez az összefonódott állapotok felhasználása az információ manipulálására. Két állapotvektor két qubit összefonódott állapotba hozható egyszer¶ kvantumszámítási m¶veletekkel. Fogalmi szempontból fontos, hogy nem a részecskék fonódnak össze a valós térben, hanem az állapotaik az állapottérben. Az ilyen részecskék összefonódott állapotukat egymástól eltávolítva is meg®rzik, és ennek köszönhet®en például az egyik részecskének méréskor lezajló "beugrása" egy állapotba azonnal maga után vonja a másik részecske beugrását is. (EPR gondolatkísérlet.) Ez a fénysebességnél gyorsabb korrelációterjedés, mely klasszikusan elképzelhetetlen, a kvantummechanika nemlokalitásának következménye: a részecskék végtelenül kiterjedtek a térben. Az összefonódottság jelensége lehet®vé teszi például a kvantumállapot teleportálását, a kauzalitás megsértése nélkül, illetve azt is, hogy egy többqubites számítás során egy lépésben sok m¶velet valósuljon meg. Ez utóbbi állítás súlyát jól illusztrálja az, amit példaként meg szoktak ilyenkor említeni, hogy kvantumszámítógéppel a prímszámfaktorizáció polinomid®ben végezhet®.

4.3. Kvantum-kapuk A kvantumszámítási algoritmusok épít®kövei a kvantumkapuk, amiket a (4.1) qubiteken ható unitér operátorokkal írhatunk le. Lássunk két példát: Hadamard-kapu: a Hadamard-transzformációt megvalósító kapu, mely egy tiszta állapotot szuperponált állapotba visz:

1 |0i → √ (|0i + |1i) , 2 1 |1i → √ (|0i − |1i) , 2 µ ¶ 1 1 1 H=√ . 2 1 −1

(4.2) (4.3) (4.4)

Fázistoló kapu: adott γ -szög¶ fázistolást valósít meg az egyik bázisállapoton: |0i → |0i, |1i → eiγ |1i, µ ¶ 1 · Γ(γ) = . · eiγ

(4.5) (4.6) (4.7)

Egy kvantuminformációelméleti tétel szerint a fenti két kapuval minden egyqubites kvantumlogikai m¶velet el®állítható. N-qubitre alkalmazva külön-külön az egyqubites m¶veleteket a kiindulási |00 . . . 0i = |0i ⊗ |0i ⊗ · · · ⊗ |0i állapot tetsz®leges |ψ1 ψ2 . . . ψN i = |ψ1 i ⊗ |ψ2 i ⊗ · · · ⊗ |ψN i állapotba vihet®, ahol az egyes |ψi i állapotok |0i és |1i tetsz®leges normált lineárkombinációját jelentik. Egyqubites kapukkal szeparálható állapotok csak szeparálható állapotokba vihet®k, ami csak egy korlátozott halmaza a teljes N-qubit Hilbert-tér állapotainak. Vagyis ekkor csak


24

egymástól függetlenül kezelhet®k a qubitek, nem nyílik lehet®ség a kvantum-összefonódás felhasználására. Kell tehát egy transzformáció, amely összefonódott állapotba visz két qubitet. (Ezeket az állapotokat nem lehet egyqubit-állapotok tenzotszorzatára szeparálni.) Az ezt megvalósító egyik kapu például a kontrollált fázistolókapu: Az els® qubit függvényében végez el egy egyqubites fázistolást a második qubiten.

|00i → |00i,

(4.8)

|01i → |01i,

(4.9)

|10i → |10i,

(4.10)

|11i → eiγ |11i,  1 · · 1 B(γ) =  · · · ·



· · · ·  . 1 ·  · eiγ

(4.11) (4.12)

Egy másik kvantuminformációelméleti tétel szerint az egyqubites Hadamard kapu, és kontrollált fázistoló kapu felhasználásával bármely kvantumlogikai algoritmus felépíthet®.

4.4. Holonomikus kvantumszámítógép A kvantumszámítógép jól kidolgozott elméleti konstrukció, az alapm¶veletekb®l összetett algoritmusok építhet®k. A gyakorlati megvalósítás el®tti legf®bb akadály, hogy a m¶veletek számának növelésével a rendszer koherenciájának fenntartása a környezet hatásaival szemben egyre nehezebb. Így a m¶veletek számával a számítás hibája megn®. Ennek kiküszöbölésére sokféle módszer született, legkézenfekv®bb volt a redundáns információtároláson alapuló klasszikus hibakorrekciós módszerek átültetése a kvantumszámítógépre. A geometriai hatásokon alapuló kvantumszámítás nagy el®nye, hogy magából a konstrukcióból adódóan rendkívül hibat¶r®. A holonómikus kvantumszámítás témájában áttekint® m¶vek: [9], [10]. Ahhoz, hogy a holonómiákat felhasználhassuk kvantumszámításra, a következ® fejezetekben megvizsgáljuk, hogy milyen holonómiák lépnek fel kvantumrendszereknél. Az 5. fejezetben tekintjük a tiszta állapotok holonómiáit, valamint egy konkrét rendszeren végzett számítással egy-qubit kaput valósítunk meg. Ezt követ®en a 6. fejezetben bemutatjuk az összefonódott állapotoknál felmerül® holonómiákat.

5. fejezet

Tiszta állapotok holonómiája Nézzük meg, milyen holonómiák jelennek meg kvantumrendszerek leírásánál. A 3. fejezetben tárgyaltuk, hogy egy kvantumrendszer állapotát a Hilbert-tér sugarai reprezentálják. Ez a megállapítás máris megad egy természetes projekciót a Hilbert-térb®l a Hilbert-tér sugarainak terébe. A Hilbert-téren, mint nyalábon megjelen® holonómia az úgynevezett Pancharatnam holonómia. Miel®tt ezt megvizsgálnánk, vegyük szemügyre a Berry-féle fázist, mely az els® lépés volt a kvantumrendszerek holonómiáinak vizsgálatában.

5.1. Berry-fázis 5.1.1. Adiabatikus közelítés Tekintsünk egy olyan rendszert, melynek Hamilton operátora id®függ®, de az id®függés nagyon lassú. A nagyon lassú adiabatikus változást jelent, a rendszer id®fejl®dése stacionárius állapotokon keresztül történik. Ez a lassúsági kritérium gyakran teljesül. Ez történik például akkor, amikor egy kísérleti elrendezésben változtatjuk a mágneses teret, és ennek a változásnak az id®skálája nagyságrendekkel lassabb a hozzá csatolt kvantumrendszerénél. Az adiabatikus közelítés másik érdekes alkalmazási területe a kvantummechanikai soktestprobléma, ahol a potenciál, melyben az elektronok mozognak, változik az atommagok mozgásával, melyet azonban a konkrét problémától függ®en adiabatikusnak tekinthetünk a jóval gyorsabb elektronok mozgásához viszonyítva. A probléma általánosításaként jelölje X = X(t) a Hamiltoni folytonosan és id®ben adiabatikusan változó paramétereit! A lehetséges paramétereket az N paramétertér tartalmazza, mely legyen dierenciálható sokaság. A környezet változása egy folytonos görbét deniál N -ben. Ekkor a Hamiltoni H = H(X(t)) (5.1) a rendszer állapotainak H Hilbert-terén ható operátor. H vektorainak jelölje ®ket a görbe mentén |ψ(X(t))i ≡ |ψ(t)i a rendszer kongurációs terének helyreprezentációjában a ψ(r, X(t)) ≡ ψ(r, t) = hr|ψ(t)i hullámfüggvények felelnek meg. A Hilbert-tér skalárszorzatát a következ® összefüggés deniálja: Z hφ(t)|ψ(t)i = drφ(r, X(t))ψ(r, X(t)) (5.2) A rendszer id®fejl®dését az id®függ® Schrödinger-egyenlettel írjuk le:

i~∂t |ψ(t)i = H(t)|ψ(t)i 25

(5.3)

5. FEJEZET. TISZTA ÁLLAPOTOK HOLONÓMIÁJA

26

A rendszer energiasajátállapotait a Hamilton operátor sajátértékegyenlete adja. Legyen most a spektrum diszkrét, a sajátállapotok pedig alkossanak teljes ortonormált rendszert! A különböz® paraméterekre nyilván más és más energianívókat és sajátállapotokat kapunk:

H(X(t))|n, X(t)i = En (X(t))|n, X(t)i

(5.4)

Itt azt követeljük meg, hogy a nívók és a sajátállapotok sima és egyérték¶ függvényei legyenek X-nek. (5.1 ábra) Ekkor X(t) folytonos változása mellett a sajátalterek folytonosan elfordulnak H-ban.

5.1. ábra. A paramétertér, a Hilbert-tér és az energianívók. Lássuk, miért lesz hasznos az adiabatikus közelítés! A holonómiák bevezetéséhez azt szeretnénk, hogy olyan kis energiájú legyen a paraméterek változása, hogy a rendszer végig megmaradhasson egy sajátenergiaszinten. Ahhoz tehát, hogy a közelítést alkalmazhassuk, eleve nem szabad, hogy a szomszédos nívók En (X) nívófelületei a vizsgált X értékre összeérjenek, ugyanis egy ilyen ponton áthaladva a paraméterekkel, nem tudnánk kiküszöbölni azt, hogy a rendszer állapota bizonyos valószín¶séggel át ne csússzon egy másik energiájú sajátállapotba. Ezután a rendszer már a két sajátállapot szuperponált állapotába kerülhetne, amit már nem tudnánk a továbbiakhoz hasonló egyszer¶ módon kezelni. A fentieken túl még azt is megköveteljük, hogy azokra a nívókra, amelyekre alkalmazni akarjuk a közelítést, teljesüljön a gap-feltétel, vagyis a nívók a vizsgált X értékre elég távol legyenek egymástól. Ez az elég távol azt jelenti, hogy a változás energiája jóval kisebb legyen a két nívó közötti gapnél: ¯ ¯ ¯ hn, X(t)|∂t H(X(t))|n + 1, X(t)i ¯ ¯ ¿ En (X(t)) − En+1 (X(t)). (5.5) ~ ¯¯ ¯ En (X(t)) − En+1 (X(t)) Tulajdonképpen e feltétel fejezi ki a közelítés adiabatikus voltát. Az imént bevezetett rendszer tehát egy közelítésen alapszik. Ezen a rendszeren be fogunk vezetni holonómiát. Kicsit kés®bb megmutatjuk, hogy ez a közelítés hol sántít, valamint az Aharonov-Anandan fázisnál meg fogjuk látni, hogy a probléma közelítés nélkül is tárgyalható, ehhez csupán kissé más holonómiára lesz szükség.

5.1.2. Következmények Abeli esetben Amennyiben a fenti feltételek teljesülnek, és a rendszernek az a sajátaltere, melyb®l az id®fejl®dést indítjuk, nem degenerált, akkor a rendszer állapota, mialatt (5.3) fejleszti az


27

id®ben, megmarad a kiindulási sajátállapotnak megfelel®, az id®fejl®dés alatt elforduló egydimenziós altérben a kvantum-adiabatikus tétel szerint. Ekkor az állapotvektor csak egy egységnyi abszolutérték¶ komplex faktorban térhet el attól, ahogyan a sajátállapot változik az id®ben. Tehát bármely id®pontban el®állítható a következ®képpen:

|ψ(t)i = a(n) (t)b(n) (t)|n, X(t)i

(5.6)

ahol az el®bb említett fázisfaktort két részre bontottuk. Ezek is egységnyi abszolutérték¶ek, vagyis fázisfaktorok. A rendszert a

|ψ(0)i = |n, X(0)i

(5.7)

kezdeti feltétel szerint az n-dik energiasajátállapotából indítottuk. a(n) (t) a szokásos dinamikai fázisfaktor: µ ¶ Z −i t (n) En (τ )dτ , (5.8) a (t) = exp ~ 0 ennek leválasztására a további számítások alapján látható praktikus indokunk van. b(n) (t) kiszámításához írjuk be (5.6)-ot az id®fejl®dést leíró Schrödinger-egyenletbe: (a jobb olvashatóság kedvéért egyszer¶sítjük a jelölést: a(n) (t) ≡ a, b(n) (t) ≡ b, H(X(t)) ≡ H , En (X(t)) ≡ En , |n, X(t)i ≡ |ni, tehát elhagyjuk az id®függés jelölését is, de nem felejtjük el, hogy gyakorlatilag minden függ az id®t®l.)

i~dt (ab|ni) = Hab|ni, ˙ i~(ab|ni ˙ + ab|ni + abdt |ni) = abEn |ni, −i ˙ + bdt |ni) = bEn |ni i~( En b|ni + b|ni ~ Szorozzuk be ezt a kiindulási állapot konjugáltjának megfele® hn| bra-vektorral balról! Ekkor: b˙ (5.9) −hn|dt |ni = = dt log b. b Ez egy els®rend¶ dierenciálegyenlet b(n) (t)-re. Megoldása: µ Z t ¶ d (n) b (t) = exp − hn, X(τ )| |n, X(τ )idτ . dτ 0

(5.10)

Vegyük szemügyre az exponensben szerepl® integrandust! Itt két észrevétel adódik. Mivel az energiasajátállapotok normáltak: hn|ni = 1, ekkor dt (hn|ni) = (dt hn|)|ni + hn|dt |ni = 0. Valamint (dt hn|)|ni = hn|dt |ni miatt hn|dt |ni = −hn|dt |ni, tehát hn|dt |ni tisztán képzetes mennyiség, így bn (t) valóban fázisfaktor, ahogy vártuk. Másrészt az integrandusban |ni id®függése csak impliciten, X(t)-n keresztül nyilvánul meg, vagyis

d ∂ dX µ |n, X(t)i = |n, X(t)i . dt ∂X µ dt

(5.11)

(A paramétertéren használjuk az Einstein-konvenciót.) Ennek segítségével az id®integrált átírhatjuk görbementi integrállá. A továbbiakban legyen a változás ciklikus, vagyis adott t = T id®pontra a paraméterek térjenek vissza kezdeti állapotukba: X(T ) = X(0), vagyis egy zárt C görbén visszük végig a rendszert N -ben. Ekkor az id®felj®dés alatt a vizsgált sajátaltér is visszatér eredeti helyére,


28

mivel a sajátállapot egyérték¶ függvénye kell legyen X-nek, vagyis |n, X(T )i = |n, X(0)i, és csak a fázisfaktorral kell foglalkoznunk. Ez a fázisfaktor lesz a holonómia-transzformáció, a holonómia-csoport pedig U (1). Mivel U (1) csoport elemei kommutálnak egymással, Abelcsoportot alkotnak, innen jön ennek az esetnek az elnevezése. Az Abel-csoport tehát a nemdegenerált kiindulási nívó következménye. Ekkor: µ I ¶ ∂ (n) µ bC = exp − hn, X| |n, XidX . (5.12) ∂X µ C E fázisfaktor neve: Berry-féle fázis. Az exponensben szerepl® integrál nagysága csupán C görbe alakjától függ, a változás sebességét®l nem, a kvantum-adiabatikus tétel megengedte korlátok közt, tehát tisztán geometriai jelentéssel bír. Bevezethetjük ekkor a Aµ(n) (X) := ihn, X|∂µ |n, Xi (5.13)

N -en értelmezett dimN komponens¶ kovariáns vektormez®t, melyet Berry-féle vektorpotenciálnak nevezünk. (5.2 ábra) Ennek görbementi integrálja megadja a keresett fázist.

5.2. ábra. A paramétertéren értelmezett vektorpotenciál egy komponensének sematikus ábrázolása. Meg fogjuk mutatni, hogy a (5.13) vektorpotenciál integrálja mértékinvariáns. A mértéktranszformációt az alapján kapjuk, hogy a sajátfüggvények csak fázisfaktor erejéig meghatározottak, így (5.13) csak egy skalárfüggvény gradiense erejéig lesz meghatározott. Valóban:

|n, Xi0 = |n, Xieiα(X) , A0(n) = ie−iα(X) hn, X|∂µ (|n, Xieiα(X) ) = A(n) µ µ − ∂µ α(X),

(5.14) (5.15)

ahol kihasználtuk a (5.14) U (1) mértéktranszformáció Abeli voltát, vagyis, hogy a fázisfaktorral való szorzás a vekrotpotenciállal felcserélhet®. A paramétertér az adott problémától függ®en lehet görbült, magas dimenziós. A további számításokhoz ezért dierenciálformákat fogunk használni, melyekkel a vonal és felületi integrál általánosítható ilyen esetekre. (Ennek megalapozását lásd [7]-ben.) Vezessük be (5.13)-mal a µ A(n) := A(n) (5.16) µ (X)dX

5. FEJEZET. TISZTA ÁLLAPOTOK HOLONÓMIÁJA Berry-féle egy-formát! formát:

29

Ennek küls® deriválásával kaphatjuk a Berry-féle görbületi két-

F (n) := dA(n) = ∂ν Aµ(n) dX ν ∧ dX µ 1 µ ν = (∂µ Aν(n) − ∂ν A(n) µ )dX ∧ dX 2

(5.17)

az antiszimmetrikus részt véve, hiszen dX µ ∧ dX ν antiszimmetrikus. Ekkor (n) (n) Fµν = ∂µ A(n) ν − ∂ν Aµ

(5.18)

a kétszer kovariáns görbületi tenzor. (Az X-helyfüggést a könnyebb olvashatóság kedvéért nem jelöljük.) Ekkor a fázist, amelyet tetsz®leges topologikus sokaságon a Berry-féle egy-formának egy C görbe mentén történ® integrálásával kaptunk, kiszámíthatjuk a Stokes-tétel dierenciálformákkal való általánosítása értelmében a görbületi két-forma C által határolt S felületen történ® integrálásával: µ I ¶ µ Z ¶ µ Z ¶ (n) (n) (n) (n) bC = exp i A = exp i dA = exp i F (5.19) ∂S≡C

S

S

Természetesen az integrál így, formákkal számolva is mértékinvariáns lesz, azonban formákkal számolva látszik az is, hogy ez általánosságban a (5.17) görbületi két-forma invarianciájából adódik:

A0(n) = A(n) − dα(X)

(5.20)

F 0(n) = dA0(n) = dA(n) − ddα(X) = F (n)

(5.21)

mivel a kétszeres küls® deriválás nullát ad.

5.1.3. Következmények nem-Abeli esetben Foglalkozzunk most olyan esettel, melynél az id®fejl®dés alatt bejárt X paraméterek esetén az energianívókra teljesül a gap-feltétel, de a kiindulási állapot energianívója a bejárt paraméterekre végig M -szeresen elfajult:

H(X(t))|n, j, X(t)i = En (X(t))|n, j, X(t)i,

j = 1, . . . M.

(5.22)

Ekkor az n-dik nívóhoz tartozó sajátaltér az id®fejl®dés során elfordul H-ban, de dimenziószáma végig M marad. Továbbá álljon fenn a kvantum-adiabatikus tétel, vagyis ekkor is megmarad a rendszer állapota ezen a nívón, de az id®fejl®dés során az állapotvektor elfordulhat e sajátaltérben. Tehát helyzetünk összetettebb, mint Abeli esetben. Ezt a hatást egy M × M -es id®függ® unitér transzformációval írhatjuk le: U(t) ∈ U (M ). U (M ) nem Abel-csoport ha M > 1, ekkor elemei nem kommutálnak egymással. A paramétertér egy zárt görbéjén körbehaladva a holonómia így U (M ) lesz. Ezért nevezzük ezt az elfajult-alter¶ id®fejl®dést nem-Abelinek. Induljunk ki az n. nívón lév® j . sajátállapotból:

|ψ(t)i = a(n) (t)|n, j, X(t)iU (n) (t) X (n) = a(n) (t) |n, k, X(t)iUkj (t), k

(5.23)

5. FEJEZET. TISZTA ÁLLAPOTOK HOLONÓMIÁJA ahol

30

(5.24)

|ψ(0)i = |n, j, X(0)i.

Itt ismét egyszer¶síti a számítást, hogy (5.23)-ban a szokásos (5.8) dinamikai fázisfaktort leválasztjuk. U(t) kiszámítása az Abeli esethez hasonlóan történik, írjuk be (5.23)-at a Schrödingeregyenletbe: (A jobb olvashatóság kedvéért ismét elhagyjuk az id®függés jelölését, valamint egy tagban lév® azonos indexekre jelölés nélkül összegzünk.)

i~dt (a|n, kiUkj ) = Ha|n, kiUkj , + adt |n, kiUkj + a|n, kiU˙ kj ) = aH|n, kiUkj ,

i~(a|n, ˙ kiUkj −i i~( En |n, kiUkj + |n, kiU˙ kj + dt |n, kiUkj ) = En |n, kiUkj . ~

Szorozzuk be ezt, egy ugyanabban az altérben lév® tetsz®leges másik hn, l 6= j| sajátvektorral balról! (n) (n) U˙ lj = iAlk Ukj , (5.25) ahol

(n)

Alk = ihn, l, X(t)| Tehát

d |n, k, X(t)i. dt

U˙ (n) (t) = iA(n) (t)U (n) (t),

U (n) (0) = I

(5.26) (5.27)

operátor-dierenciálegyenletet kaptuk. Ennek megoldása nem olyan egyszer¶, mint az Abeli esetben, mert A(n) (t) operátor általában nem kommutál különböz® id®argumentumra:

[A(n) (t1 ), A(n) (t2 )] 6= 0, Integráljuk (5.27)-et!

Z U

(n)

(t) = I + i 0

t

t1 6= t2 .

A(n) (t1 )U (n) (t1 )dt1 .

(5.28)

(5.29)

Ekkor (5.29) jobb oldalába önmagát szukszcesszíven behelyettesítgethetjük, így csak A(n) t®l függ® mennyiséget kapunk: Z t Z t Z t1 (n) (n) 2 U (t) = I + i dt1 A (t1 ) + i dt1 dt2 A(n) (t1 )A(n) (t2 ) + . . . 0 0 0 Z t Z t1 Z tp−1 p i dt1 dt2 . . . dtn A(n) (t1 )A(n) (t2 ) . . . A(n) (tp ) + . . . (5.30) 0

0

0

Ezekben az integrandusokban az operátorok id®argumentuma balról jobbra csökken: t ≥ t1 ≥ t2 ≥ · · · ≥ tp ≥ 0. A T id®rendez® szorzás bevezetésével (5.30) rövidebb alakba írható:

U

(n)

Z Z t ∞ X 1 p t i dt1 . . . dtp T (A(n) (t1 ) . . . A(n) (tp )) (t) = p! 0 0 p=1 µ ¶p Z ∞ t X 1 p (n) =T i i dt1 A (t1 ) . p! 0 p=1

(5.31)


31

(Az integrálások sorrendje felcserélhet®, csak az A(n) (tp )-ké nem, és minden integrálás t-ig megy, emiatt kaptuk az p!1 faktort.) Ez pedig épp az exponenciális függvény hatványsora, tehát: µ µ Z t ¶¶ (n) (n) U (t) = T exp i A (τ )dτ (5.32) 0

mátrix lesz az (5.27) egyenlet általános megoldása. Ciklikus paraméterváltozást feltételezve, valamint (5.11) miatt ekkor µ µ I ¶¶ (n) (n) µ , (5.33) Ulj (C) = P exp i Aµ dX C

lj

lesz a geometriai hatást leíró transzformáció ahol (n)

Aµlj (X) = ihn, l, X|∂µ |n, j, Xi

(5.34)

(n)

alapján bevezethetjük az Aµ vektorpotenciált, amely egy U ⊂ N -en értelmezett mátrix érték¶ vektorpotenciál megfelel® komponense. Deniáljuk ezzel a A(n) := Aµ(n) (X)dX µ (5.35) Wilczek-Zee-féle mátrix-érték¶ egy-formát! Milyen lesz ekkor annak a két-formának az alakja, melynek felületi integráljára pontosan azt a mátrixot kapjuk, amelyet (5.35)-nek a felület körüli vonalintegráljával? Megmutatható, hogy a (5.17) módjára deniált két-forma ezt nem tudja teljesíteni. Az el®z® esethez képest a nehézséget az okozza, hogy általában (n) (n) [Aµ , Aν ] 6= 0 ha µ 6= ν . Bizonyítható, hogy a nem-Abeli esetben m¶köd® F (n) két-formát a következ®képpen kaphatjuk:

F : = dA − iA ∧ A = (∂µ Aν − iAµ Aν )dX µ ∧ dX ν 1 = (∂µ Aν − ∂ν Aµ − i[Aµ , Aν ])dX µ ∧ dX ν 2

(5.36)

az antiszimmetrikus részt véve, ahol (n) (n) (n) (n) Fµν = ∂µ A(n) ν − ∂ν Aµ − i[Aµ , Aν ]

(5.37)

a kétszer kovariáns, mátrix érték¶ görbületi tenzor. (A helyfüggést és a mátrixindexeket a könnyebb olvashatóság kedvéért nem jelöljük.) Láthatjuk, hogy Abeli esetben visszakapjuk (5.17) és (5.18) alakját. Ekkor a Stokes-tétel a (5.36)-ben látható módon deniált nem-Abeli egy- és két-formák vonal illetve felületi integrálja között teremt kapcsolatot: µ I ¶ (n) (n) U (C) = P exp i A ∂S≡C µ Z ¶ = P exp i dA(n) − iA(n) ∧ A(n) (5.38) S µ Z ¶ (n) = P exp i F . S

Nézzük még meg e nem-Abeli esetben a Berry-féle egy-forma (5.35) és két-forma (5.36) mértéktranszformációját! Itt a Hamiltoni sajátfüggvényei az adott n. altérben csak egy


32

M × M -es unitér forgatás erejéig meghatározottak, ugyanis a degenerált nívón lév® sajátfüggvények tetsz®leges lineárkombinációja is ugyanahhoz a nívóhoz tartozó sajátfüggvényt ad. A mértéktranszformáció ekkor (n)

|n, k, X(t)i0 = |n, i, X(t)iVik (t), ³ ´ 0(n) (n)† (n) Aµkl = iVki hn, i, X|∂µ |n, j, XiVjl (n)†

(n)

(n)

(n)†

(n)

= Vki Aµij Vjl + iVki ∂µ Vil , A0(n) = V (n)† Aµ(n) V (n) + iV (n)† ∂µ V (n) µ

(5.39) (5.40) (5.41)

a nem-Abeli vektorpotenciál mátrixaira. Így kapjuk az (5.35) egy-formára:

A0(n) = V (n)† A(n) V (n) + iV (n)† dV (n)

(5.42)

Tehát egy ilyen egy-forma mértéktranszformációja egészen szokatlan formát ölt. Viszont az integrálok egyenl®ségének megteremtése miatt (5.36) módjára deniált két-forma egyszer¶en kovariánsan transzformálódik:

F 0(n) = dA0(n) − iA0(n) ∧ A0(n) = . . . ³ ´ = V (n)† dA(n) − iA(n) ∧ A(n) V (n)

(5.43)

= V (n)† F (n) V (n) tehát az exponenciális függvény hatványsora, valamint V (n) unitér tulajdonsága miatt: µ Z ¶ 0(n) 0(n) U = P exp i F µ ZS ¶ (n)† (n) (n) = P exp i V F V (5.44) µ S µ Z ¶ ¶ = P exp V (n)† i F (n) V (n) S

= V (n)† U (n) V (n) (Az integrandusban szerepl® két-forma elforgatottjának felületi integrálja nyilván az eredeti integrál elforgatottja. Tartsuk szem el®tt, hogy a V (n) elforgatás H En energiájú alterében történik, az integrálás pedig egy N -ben lév® görbe mentén!)


33

5.2. Nem-Abeli Berry-fázis alkalmazása: 1-qubit kapu Az e fejezetben tárgyalt rendszer szépsége abban rejlik, hogy formára egyszer¶, nem csak matematikai m¶-modell, hanem a természetben megvalósuló jelenség, és ráadásul egzaktul kiszámolható. Valóságos ajándék a természett®l. A szituáció: 32 -spin¶ részecske adiabatikusan változó kvadrupól elektromos térben. Az ilyen rendszerek nívóin úgynevezett Kramersdegenerancia lép fel: a nívók kétszeresen elfajultak lesznek, ilyen altér épen alkalmas lesz egy qubit befogadására, vagyis a rendszer állapota egy ilyen nívón egy qubitet reprezentál. (A hasonló jelenséget vizsgáló kísérleti cikkeket lásd például: [13], [14], [15].)

5.2.1. A Hamiltoni Tekintsük a következ® Hamiltonit, mely egy kvadrupól elektromos térbe helyezett spint ír le: 3 X H = SQS = Qij Si Sj , (5.45) i,j=1

ahol S a jól ismert spin-operátor, Q pedig a kvadratikus potenciált leíró 3 × 3-as valós elem¶ mátrix. Q := Q(t), vagyis a kvadrupol-tenzor elemei lesznek a Hamiltoni id®függ® paraméterei, és megköveteljük, hogy változása mellett a kvantum-adiabatikus tétel feltételei teljesüljenek! A kölcsönhatás többi tagját id®ben konstansnak tekintjük, melyek azonosan tolják el a rendszer nívóit. Q tulajdonságai ekkor:

Q = QT ,

(5.46) (5.47)

Tr Q = 0, 2

hQ, Qi ≡ kQk = 1,

(5.48)

ahol az utolsó normálási feltétel a kvadrupóltér er®sségét jelenti, ahol a bels® szorzat a 3×3as valós mátrixok terén: hA, Bi = 32 Tr(AT B). (A 32 konstansnak csupán a továbbiakban látható kényelmi oka van.) A kilencelem¶ Q tenzornak így 4 független komponense lesz. Ezek állíthatók kívülr®l egy megfelel® kísérleti elrendezéssel. Továbbiakban legyen a spin nagysága 32 . Ekkor a rendszer állapotait tartalmazó Hilbert tér: H = C4 . Használjunk mátrix reprezentációt, a spin z -komponensének sajátálapotainak bázisában, ekkor H 4 × 4-es komplex elem¶ hermitikus és nullanyomú mátrix. (Ezt, és a további számításokat lásd részletesen [12]-ben.) Következ® lépésként alkalmazzunk egy U unitér bázistranszformációt: µ ¶ 1 I iI † , U † = U −1 , (5.49) H −→ U HU, U = √ 2 iI I ahol I a 2 × 2-es egységmátrix. A transzformáció után a komplex elem¶ 4 × 4-es Hamiltoni 2 × 2-es blokkjaiban azonosíthatóak a σi a Pauli-mátrixok, így a Hamiltoni felírható 2 × 2-es kvaternióelem¶ mátrixként, ahol a kvaternionikus egységeket 2 × 2-es komplexelem¶ mátrixokkal reprezentáljuk a következ®képpen: 1 = I, i = −iσ1 , j = −iσ2 , k = −iσ3 . A kvaternióelem¶ mátrixokkal a további számítások könnyebbek és elegánsabbak lesznek. Ez után az átalakítás után a Hamilton-operátor a következ® alakot ölti: µ ¶ X4 X 0 − iX 1 − jX 2 − kX 3 H(X) = (5.50) X 0 + iX 1 + jX 2 + kX 3 −X 4


34

ahol az átalakítás után leolvasott X µ együtthatók a Qij ∈ R paraméterek valós lineárkombinációiból állnak √ 3 3 0 X = (Q11 − Q22 ), X 3 = − (Q11 + Q22 ), (5.51) 2 √2 √ √ 1 2 4 X = 3Q13 , X = 3Q23 , X = 3Q12 . Itt már kihasználtuk Q szimmetriáját és nyomnélküliségét. A Q-ra vonatkozó (5.48) normálási feltétel a X µ együtthatókból képzett vektor normálási feltételébe megy át:

|X|2 = 3(Q212 + Q223 + Q213 + Q211 + Q222 + Q11 Q22 ) 3 = TrQ2 = hQ, Qi = 1. 2

(5.52)

Tehát a (5.50) formájú Hamiltoni paramétere egy X = X(t) ötkömponens¶, id®függ®, normált vektor. Ezek S 4 -en helyezkednek el, mely az ötdimenzióba beágyazható négydimenziós egységgömbfelület. Tehát N ≡ S 4 . A (5.50) alak ekkor felírható az alábbi alakban: (alkalmazzuk az Einstein-konvenciót N paramétertér vektorainál, az indexek 0-tól 4-ig futnak.) µ 4 ¶ X q¯ H(X) = X µ Γµ = . (5.53) q −X 4

q = X 0 + iX 1 + jX 2 + kX 3 ,

(5.54)

|q|2 = 1 − (X 4 )2 ,

(5.55)

ahol a q ∈ H kvaternió abszolutértékére vonatkozó utóbbi egyenlet az (5.52) normafeltételb®l adódik. A megfelel® Γµ ∈ Sp(2) kvaternió-önadjungált nullanyomú mátrixok alakja: µ ¶ µ ¶ · 1 1 · Γ0 = , Γ4 = , 1 · · −1 (5.56) µ ¶ µ ¶ µ ¶ · −i · −j · −k Γ1 = , Γ2 = , Γ3 = . i · j · k · melyek a Cliord-számok egy reprezentációját adják:

{Γµ , Γν } = 2δµν I.

(5.57)

(A továbbiakban nem jelöljük külön, hogy I a 2 × 2-es vagy 4 × 4-es, komplex vagy kvaternióelem¶ egységmátrix, amennyiben az a felírt egyenletb®l egyértelm¶en kiderül.)

5.2.2. A Hamiltoni vizsgálata A rendszer állapotait tartalmazó Hilbert tér tehát H ≡ H2 . A paraméterek tere N ≡ S 4 . A Hamiltoni sajátértékei azonnal meghatározhatóak (5.57) miatt:

1 H(X)2 = X µ Γµ X ν Γν = {Γµ , Γν }X µ X ν = |X|2 I = I. 2

(5.58)

(Ez a Hamiltoninak nyilván általános tulajdonsága, független a korábbiakban végzett transzformációktól.) Ekkor az energiasajátértékek: E+ = 1, E− = −1 lesznek. Fontos látnunk,


35

hogy két kvaternionikus dimenzió megfelel négy komplexnek. Itt a két kvaternionikus sajátaltér nemdegenerált. De visszatérve a komplex reprezentációba, egy egydimenziós kvaternionikus altér kétdimenziós komplex altérnek felel meg, és ezekhez ugyanaz a sajátérték tartozik. Tehát komplex esetben két kétszeresen degenerált altér lesz, (Kramers-degenerancia) ami az egy-qubites kvantumszámítási m¶veletekhez szükséges. További megjegyzésre ad okot, hogy E± csak X nagyságától függ, ami esetünkben egységnyi. Tulajdonképpen a Q-ra és ezáltal X-re adott normafeltétel egységnyivé teszi a kölcsönhatás energiáját. Ennek tanulsága, hogy az E+ és E− energianívófelületek távolsága bármely X ∈ N paraméterértékre azonos lesz, és a kvadrupóltér növelésével n®. Tehát elvileg akármilyen gyorsan változó paraméterek esetén, a kvadrupóltér megfelel® mérték¶ növelésével teljesíthet® az (5.5) feltétel, így az id®fejl®dés adiabatikusnak tekinthet®. (A gyakorlati szempontoknál közbeszól a laboratóriumban maximálisan el®állítható kvadrupóltér nagysága. Ilyenkor konkrét számolásokkal kell ellen®rizni a tétel alkalmazhatóságát az adott id®fejl®désre, illet®leg a lehet®ségekhez mérten megválasztani az id®fejl®dés sebességének fels® korlátját.) A sajátvektorokat könnyen meghatározhatjuk, ha egy tetsz®leges vektort levetítünk a sajátalterekbe, majd normálunk. Célunk, hogy a projekciókat H -felhasználásával állítsuk el®. Ezt könnyen megtehetjük, hiszen csak két altér van, és erre adódik két egyenlet: (spektrálfelbontás és teljesség) X En P (n) = H, (5.59) n

X

P (n) = I

(5.60)

n

Tehát:

P

(±)

1 1 (X) = (I ± H(X)) = 2 2

µ ¶ 1 ± X4 ±¯ q . ±q 1 ∓ X4

(5.61)

(A P (±) projekciók teljesítik a következ®ket: P (±) P (±) = P (±) , P (+) P (−) = 0, és HP (±) = ±P (±) .) A sajátvektorok képzéséhez vetítsük mindkét bázisvektort P (±) -projektorokkal a két sajátaltérbe: µ ¶ µ ¶ 1 1 ± X4 1 (±) (±) , (5.62a) |u(X), ±i := Nu P (X) =p ±q 0 2(1 ± X 4 ) ¶ µ ¶ µ 1 0 ±¯ q (5.62b) =p |v(X), ±i := Nv(±) P (±) (X) 4 , 1 2(1 ∓ X 4 ) 1 ∓ X ahol a normálási tényez®k a (5.55) felhasználásával egyszer¶en számolhatók. (A fenti jelölésben |u(X), +i és |v(X), +i az E+ , |u(X), −i és |v(X), −i pedig az E− sajátértékhez tartozó sajátvektor kétféle el®állítása.) A vártnak megfelel®en tehát látszik, amint a Hamiltoni sajátalterei H-ban elfordulnak az X(t) paraméterek változásának megfelel®en. Másrészt azt is látjuk, hogy a sajátvektorok (5.62) el®állítása nem reguláris minden X ∈ N ≡ S 4 esetén. Valóban, |u(X), −i és |v(X), +i nem lesz értelmezhet® az XN = (0, 0, 0, 0, 1) pontban, ami S 4 négydimenziós gömbfelület északi sarkpontja , ugyanígy |u(X), −i és |v(X), +i az XS = (0, 0, 0, 0, −1) pontban, ami pedig a déli sark . Ez várható is volt annak tudatában, hogy amikor a sajátvektorokat el®állítottuk, akkor S 4 sarkpontjain H(X) épp diagonális, így sajátvektorai pont a bázisvektorok irányába esnek, ezért P± (X) az egyik bázisvektort pont egy rá mer®leges altérbe akarta vetíteni, ami természetesen nullvektort ad.


36

Tehát kétféle X-t®l függ® Hamiltoni-sajátvektor bázis adható meg H-ban, vagyis az A(X) mátrixokat kétféle mértékben írhatjuk fel. Megmutatjuk, hogy a

|v(X), ±i = |u(X), ±i(±V (X)) mértéktranszformációt az alábbi V (X) ∈ H,

(5.63)

|V | = 1 valósítja meg:

V (X) =

q¯ |q|

(5.64)

(Kvaternió mértéktranszformáció, mellyel a kvaternióérték¶ vektorpotenciált transzformálhatjuk. Az egységnyi normájú kvaterniók csoportja izomorf SU(2)-vel, melynek elemei 2 × 2-es mértéktranszformáció mátrixok, melyekkel a 2 × 2-es mátrix-érék¶ vektorpotenciálon végezhetnénk mértéktranszformációt.) ! Ã q (1 ± X 4 ) ±¯ 1 |q| |u(X), ±i(±V (X)) = p q ±q ±¯ 2(1 ± X 4 ) |q| √   √ 1±X44 2 ±¯ q 1 1−(X )  (5.65) =√  √ 4 )2 1−(X 2 √ 1±X 4 µ ¶ 1 ±¯ q =p 4 = |v(X), ±i. 2(1 ∓ X 4 ) 1 ∓ X Megjegyezzük, hogy (5.64) mértéktranszformáció csak ott értelmezett, ahol az egyik mértékben felírt sajátvektor sem szinguláris. Vagyis a pólusok kivételével mindenhol.

5.2.3. A görbületi egy-forma kiszámítása Következzen az A(±) kvaternióérték¶ (nem-Abeli) helyfügg® egy-formák kiszámítása, el®ször u-mértékben: ¡ ¢ 1 1 ± X 4 , ±¯ q , hu(X), ±| = p (5.66) 2(1 ± X 4 ) Ã µ ¶! d 1 1 ± X4 p d|u(X), ±i = dX µ ±q dX µ 2(1 ± X 4 ) ! Ã √ d 4 dX 4 1 ± X 1 dX 4 =√ ±dq d 1 4 2 √1±X 4 ± q dX 4 √1±X 4 dX Ã ! (5.67) ±dX 4 √ 1 4 2 1±X =√ 4 ±dq 2 √1±X 4 ± q 12 √±dX 4 3 1±X Ã ! 4 ± dX2 1 =p , qdX 4 2(1 ± X 4 ) ±dq − 2(1±X 4 ) , ahol dq = dX 0 + idX 1 + jdX 2 + kdX 3 -t jelenti. Ekkor µ ¶ 4 1 q¯q dX 4 4 dX hu(X), ±|d|u(X), ±i = ±(1 ± X ) + q¯dq ∓ 2(1 ± X 4 ) 2 1 ± X4 2 ¡ ¢ 1 4 4 = q ¯ dq + X dX . 2(1 ± X 4 )

(5.68)


37

Ehelyütt kihasználjuk, hogy az X µ Xµ = 1 normafeltétel miatt

1 d(X µ Xµ ) = X 0 dX 0 + · · · + X 4 dX 4 = 0, 2 q¯dq = <(¯ q dq) + =(¯ q dq), 0

0

3

(5.69) (5.70)

3

(5.71)

<(¯ q dq) = X dX + · · · + X dX . Ekkor:

A(±) u =i

=(¯ q dq) , 2(1 ± X 4 )

(5.72)

=(qd¯ q) . 2(1 ∓ X 4 )

(5.73)

és hasonló módon kapható a v mértékben:

A(±) =i v

(A fenti jelölés kissé pongyola, mivel i a komplex képzetes egység, ami itt kvaterniókat szoroz. A fenti két egyenl®ség tulajdonképpen akkor áll fenn, ha a benne szerepl® kvaternióknak az el®z® alfejezetben bevezetett U (2)-es ábrázolását tekintjük!) E kvaternióérték¶ (+) (−) vektorpotenciálok közül S 4 -en a déli pólust kivéve jó lesz az Au és Av , az északi pólust (−) (+) kivéve pedig az Au és Av . Ekkor a bázisvektorok közötti (5.63) mértéktranszformációval a kvaternió egy-forma mértéktranszformációjára a

¯ A(±) = V¯ A(±) v u V + iV dV

(5.74)

(5.42) alakú összefüggés lesz érvényben, amint az ebben a konkrét esetben számítással is illusztrálható.

5.2.4. A Berry-fázis kiszámítása A U (±) kvaternió-érték¶ Berry-fázis kiszámításához a

|±, X(0)iU

(±)

µ I ¶ (±) (C) = |±, X(0)iP exp i A C

(5.75)

formula helyett egy könnyebben kezelhet®t fogunk készíteni. Osszuk fel a 0 . . . T interT vallumot N darab ε = N hosszúságú részre! Legyenek ekkor a görbe pontjai |Xa i ≡ |±, X(aε)i. Ciklikus paraméterváltozás esetén nyilván |XN i ≡ |X0 i. Ekkor ε → 0 határesetben |Xa+1 i = (1+d)|Xa i, valamint az id®ben szomszédos sajátvektorok skalárszorzata: hXa+1 |Xa i = 1 + iA = eiA(Xa ) szintén határátmenetben. A megfelel® sajátvektorra vetít® projekciót ekkor a következ®képpen jelöljük: P (Xa ) = |Xa ihXa | Ekkor a keresett (5.75) kifejezéssel ekvivalens a következ®:

lim P

N →∞

N Y a=0

P (Xa )|X0 i = lim P (XN )P (XN −1 ) . . . P (X0 )|X0 i N →∞

N Y

= lim |XN iP N →∞

Ã = |X0 iP exp

eiA(Xa )

a=0

lim

N →∞

N X a=0

µ I ¶ = |X0 iP exp i A . C

! iA(Xa )

(5.76)


38

Ez tulajdonképpen azt jelenti, hogy az id®fejl®dés során létrejöv® változást az id®ben változó sajátaltérre történ® folyamatos vetítgetések egymásutáni hatásaként interpretáljuk. Tehát eredményünket összefoglalva:

|±, X(0)iU (±) (C) = lim P N →∞

N Y

P (±) (Xa )|X0 i.

(5.77)

a=0

E fenti formula alkalmazásához ismernünk kell a P (±) (t) ≡ P (±) (X(t)) projektorok id®fejl®dését. (5.61) miatt ez meg fog egyezni a teljes rendszer id®fejlesztésével:

1 (I ± H(t)) 2 ´ 1³ = U (t)U † (t) ± U (t)H(0)U † (t) 2 = U (t)P (±) (0)U † (t).

P (±) (t) =

(5.78)

A Hamiltonit diagonalizálják a normált sajátvektoraiból (5.62a-5.62b) képzett U ∈ Sp(2) (kvaternióelem¶ kétdimenziós U † = U −1 és itt detU = 1) transzformációs mátrixok: µ ¶ 1 1 + X4 −¯ q p , (5.79a) UN (X) = [u+ |v− ] = q 1 + X4 2(1 + X 4 ) µ ¶ 1 q¯ 1 − X4 US (X) = [v+ |u− ] = p , (5.79b) 4 −q 2(1 − X 4 ) 1 − X ahol UN (X) szinguláris a déli sarkon, US (X) pedig az északin. Közöttük (5.63) alapján a következ® mértéktranszformáció teremt kapcsolatot: µ ¶ V · UN (X) = US (X). (5.80) · −V¯ Amiatt, hogy a Hamiltoni pont az északi sarkon diagonális, fennáll az az érdekes eset, hogy a fenti transzformációk a megfelel® X helyargumentumú Hamiltonit tulajdonképpen az XN északi sarkra transzformálják:

U † (X)H(X)U (X) = H(XN ).

(5.81)

Ekkor U † (X) pont ennek ellenkez®jét teszi:

H(X) = U (X)H(XN )U † (X),

(5.82)

vagyis az északi sarkon lév® Hamiltonit az adott X helyre transzformálja. Ez a hatás jellemezhet® az S 4 -en ható R ∈ SO(5) forgatással, amely:

R:

XN → X

(5.83)

az északi sarkra mutató vektort még a paramétertérben elforgatja. Bizonyítható ekkor, hogy az el®bb kapott U diagonalizáló mátrix SO(5)-nek egy Sp(2) ábrázolása. Ekkor a megfelel® mátrixot már az általa megvalósított R forgatással jellemezzük:

H(RXN ) = U (R)H(XN )U † (R),

(5.84)


39

erre hatva tetsz®leges unitér forgatással, elmondhatjuk általánosságban is, hogy a Hamiltoninak van SO(5) szimmetriája:

H(RX) = U (R)H(X)U † (R),

(5.85)

ahol U † (R) az R reprezentációja a Hilbert-térben. Azt látjuk tehát, hogy az U (X(t)) diagonalizáló transzformáció által reprezentált R−1 (t) : X(t) → XN az id®fejl®dés során az S 4 gömböt mindig úgy forgatja, hogy a bejárt X(t) görbe aktuális pontja kerüljön északra, vagyis minden id®ben:

H(t) = U (t)H(0)U † (t),

(5.86)

lesz az id®fejlesztés, amennyiben a görbét az északi sarkról indítjuk. Az iméntiek tanulsága, hogy ha olyan görbéket választunk S 4 -ben, melyek SO(5)szimmetrikusak, és az északi sarkról indulnak, akkor a számítás könnyen elvégezhet®, mert egy ilyen görbét leírhatunk egy megfelel® SO(5)-csoportbeli forgatással, és a Hamiltoni SO(5)-szimmetriája miatt ez átvihet® a diagonalizáló és ezáltal az id®fejleszt® operátorra. Tehát nagyon speciális görbéket tekintünk csupán. Következ® lépésünk ezért SO(5) olyan egyparaméteres alcsoportjainak keresése, amelyre:

H(t) = U (R(t))H(0)U † (R(t)),

H(T ) = H(0),

(5.87)

ahol H(0) diagonális. Belátható, hogy egy általános R ∈ SO(5) forgatás Sp(2)-reprezentációja el®áll:

U = e−iαµν Sµν , 1 Sµν = [Γµ , Γν ] 4i

(5.88) (5.89)

alakban, (ahol αµν valóselem¶, ferdén szimmetrikus 5 × 5-ös mátrix,) mivel a fenti Sµν ∈ Sp(2) mátrixok a Γ-mátrixok Cliord-algebra-tulajdonságai miatt kielégítik az ötdimenziós forgáscsoport Lie-algebrájának felcserélési relációit:

i [Sµν , S%σ ] = (δµ% Sνσ + δνσ Sµ% − δµσ Sν% − δν% Sµσ ), 4

(5.90)

így ezek lesznek a Lie-csoport e reprezentációjának generátorai. (A Sµν a megfelel® (µν)síkban való forgatást generálja.) A pályát egy egyparaméteres (id®vel történ®) forgatás fogja kirajzolni: α := α(t) és

1 αµν (t) := ωt · constµν , 2 ωT = 2π választással tesszük szemléletessé. Ekkor írjuk U -t a következ® alakba: µ ¶ µ ¶ ωt ωt ωt −iαµν (t)Sµν Z U (t) = e = e 2 = cos I + sin Z, 2 2

(5.91) (5.92)

(5.93)

ahol az utolsó egyenl®ség fennállásához az kell, hogy a forgatásból kapott mátrixra az általánosan nem teljesül® Z 2 = −I reláció álljon fenn, ekkor az exponenciális függvény hatványsorának szétírásánál Z kiemelhet®. Így látszik, hogy U (0) = I, valamint, U (T ) = −I, és az ilyen id®fejl®désre a Hamiltoni is ciklikus lesz: H(T ) = U (T )H(0)U † (T ) = H(0), ahogy


40

azt szeretnénk. Tehát a megfelel® id®fejl®désnek elégséges feltétele a Z 2 = −I. A további számítások során már csak ilyen eseteket nézünk. Ezzel a lépéssel tehát tovább specializáltuk az id®fejl®dés pályáját. A kés®bbiekhez még az is szükséges, hogy Z kvaternió-unitér legyen. Ezek által pedig Z ferdén hermitikus lesz. Most, hogy az (5.93) id®fejlesztést a Z 2 = −I esetre általánosan tudjuk, számoljuk ki (5.77) alapján a geometriai hatást leíró kvaterniót! A végtelen szummát zárt alakban kapjuk meg az id®fejlesztés formájának köszönhet®en: (A levezetés mindkét altérben m¶ködik, így azt nem jelöljük külön a projekcióknál, P (±) (t) ≡ P (t). Valamint egyszer¶sítend® a jelölést, legyen P (0) ≡ P .)

lim P

N →∞

N Y

P (Xa ) =

a=0

µ

= lim P (T )P N →∞

N −1 T N ω

ω

¶

µ P

N −2 T N

ω N −1

¶

µ ...P

ω N −1

1 T N

¶ P (0)

ω 1

ω 1

= lim e 2 T Z P e− 2 T Z e 2 N T Z P e− 2 N T Z . . . e 2 N T Z P e− 2 N T Z P N →∞ ³ ´N ³ ωT ´N ω ω T ω = lim e 2 T Z P e− 2 N Z P = e 2 T Z lim e− 2 N P ZP P N →∞ ω TZ −ω T P ZP 2 2

=e

e

(5.94)

N →∞

P

az exponenciális függvény hatványsora, valamint a projekciók ismert tulajdonságai miatt. ωT = 2π miatt ekkor összefoglalva:

|±, X(0)iU (±) (C) = lim P N →∞

=e

N Y

P (±) (ta )|±, X(0)i

e

(5.95)

a=0

πZ −πP (±) (0)ZP (±) (0)

P

(±)

(0)|±, X(0)i.

Ekkor egyrészt eπZ = −I , másrészt a második exponens kiszámításához pedig felhasználjuk a következ® összefüggést:

(P ZP )2 = −(P ZP )† (P ZP )P = −|P ZP |2 P,

(5.96)

ami fennáll, ha Z anti-Hermitikus, és 1-rangú projekció. (| · | a p pP kvatenió-Hermitikus kvaternionikus operátornorma, |A| = hA|Ai = T r(A† A).) Ekkor:

e−πP ZP P = cos(π|P ZP |)P − sin(π|P ZP |)

P ZP . |P ZP |

(5.97)

Ekkor összefoglalva:

|±, X(0)iU (±) (C) = Ã =

P (±) ZP (±) − cos(π|P (±) ZP (±) |)P (±) + sin(π|P (±) ZP (±) |) (±) |P ZP (±) |

! |±, X(0)i

(5.98)

lesz a keresett geometriai hatás, amely leírja, hogy a megfelel® altérben lev® állapot hogyan változott meg, mialatt a rendszert a Z -mátrix által leírt egyszer¶ körpályán változó paraméterértékeken vittük körbe.

5. FEJEZET. TISZTA ÁLLAPOTOK HOLONÓMIÁJA Tekintsünk most egy konkrét görbét! Az melynek hatása a legérdekesebb:  ·  · ωt   · α(t) := 2  −r ·

p, r ∈ R,

41

általam végigszámolt görbék közül íme egy,

· · · · ·

 · r · · · ·   · · ·  , · · −p · p ·

p2 + r2 = 1,

(5.99)

(5.100)

ahol az utóbbi feltétel annak felel meg, hogy a forgatás irányvektora legyen egységnyi, a forgatás nagyságát az ωt tényez® határozza meg. A fenti α-mátrix az ötdimenziós térben a (03) és (34) koordinátasíkokban forgat, így egy ferde síkban történ® forgatást valósít meg, melynek tangensét p és r együtthatók aránya határozza meg. Ekkor felírva a forgatást: ωt

U (t) = e−iαµν (t)Sµν = e 2 Z

(5.101)

Z = Γ3 (rΓ0 + pΓ4 ) ,

(5.102)

melynek kiszámításához felhasználtuk a Γµ -k Cliord-algebrájánek következményeként adódó egyenleteket:

Γµ Γν = −Γν Γµ ,

(5.103)

[Γµ , Γν ] = 2Γµ Γν ,

(5.104)

mivel itt csak µ 6= ν fordulhat el®. Könnyen belátható ekkor:

Z 2 = r2 Γ3 Γ0 Γ3 Γ0 + p2 Γ3 Γ4 Γ3 Γ4 + rp (Γ3 Γ0 Γ3 Γ4 + Γ3 Γ4 Γ3 Γ0 ) = −I

(5.105)

mivel Γ2µ = I és (5.103) megfelel® alkalmazásaival az els® két tag összege (5.100) miatt −I, a zárójel tartalma pedig elt¶nik. (Ez alapján adhatunk ellenpéldát: a Z 2 = −I feltétel nem teljesül, ha Z -nek (5.102)-hoz hasonló el®állításában nem emelhet® ki a két Γ-t tartalmazó tagokból egy közös Γµ . Ekkor a fenti egyenletben a zárójel értéke nem nulla.) Tehát (5.105) következményeképpen használhatjuk a (5.98) formulát. Ehhez kiszámoljuk a következ®ket: Mivel t = 0-ban a Hamiltoni diagonális, ezért a projektorok: µ ¶ µ ¶ 1 · · · (+) (−) P (0) = , P (0) = . (5.106) · · · 1 Ezekkel

Z=

µ ¶ −r p k, p r

µ ¶ −r · P (0)ZP (0) = k, · · ³ ´2 µ−r2 ·¶ P (+) (0)ZP (+) (0) = , · · µ ¶ · · (−) (−) P (0)ZP (0) = k, · r ¶ ³ ´2 µ· · (−) (−) P (0)ZP (0) = , · −r2 (+)

(+)

(5.107) (5.108) (5.109) (5.110) (5.111)

5. FEJEZET. TISZTA ÁLLAPOTOK HOLONÓMIÁJA valamint

|P (+) (0)ZP (+) (0)| = r.

42

(5.112)

Ekkor (5.98) vektoregyenlet megoldásával például a E+ energiájú altéren ható kvaternióérték¶ Berry-fázis: U (+) (C) = − cos(πr) − sin(πr)k (5.113) Ezt visszaírva 2 × 2 komplex mátrixokkal, megkapjuk a nem-Abeli Berry-fázist, amely az eredeti C4 Hilbert-tér megfelel® kétdimenziós sajátalterében az id®fejl®dés hatását írja le: µ ¶ − cos(πr) + i sin(πr) · (+) U (C) = · − cos(πr) − i sin(πr) (5.114) µ ¶ · −iπ(r+1) 1 =e , · ei2πr ami egy fázistoló kapu egy prefaktortól eltekintve. A lehetséges fázistolás 2πr, ahol −1 ≤ r ≤ 1 az (5.100) feltétellel összhangban.


43

5.3. Aharonov-Anandan fázis A Berry-fázis koncepciója az adiabatikus id®fejl®désen alapult, és egy paramétertérbeli zárt görbe hatására a Hilbert-tér vektorain fellép® fázisfaktor megjelenésében nyilvánult meg. Ebben a fejezetben megvizsgáljuk, hogy mi történik adiabatikus id®fejl®dés során a Hilberttér sugarainak terében, valamint azt, hogy milyen lehet®ség van nem adiabatikus id®fejl®dés leírására. A fejezet végén bemutatjuk a jelenség mögött húzódó szép általános struktúrát.

5.3.1. A ciklikus evolúció Egy kvantumrendszer állapotát a Hilbert-tér sugarai reprezentálják, amit (3.3) deniál. Ha H Hilbert-téren deniáljuk a következ® ∼ ekvivalencia-relációt:

|ϕi ∼ |ψi ⇐⇒ {∃a ∈ C, a 6= 0 : ϕ = aψ},

(5.115)

P = H/ ∼

(5.116)

akkor a sugarak terét

adja meg, melyet projektív Hilbert-térnek neveznek. (5.3) Ez izomorf H egydimenziós altereire vetít® ortogonális projekciók terével. (Amennyiben egy összetett rendszer részrendszerét írjuk le H-val, akkor a projektív tér a részrendszer tiszta állpotú s¶r¶ségoperátorainak tere.) A Schrödinger-egyenlet megoldásából képzett projekció:

i~dt |ψ(t)i = H(t)|ψ(t)i

(5.117)

Λ(t) = |ψ(t)ihψ(t)| ∈ P

(5.118)

egy görbét ír le P -ben.

5.3. ábra. Hilbert-tér és projektív Hilbert-tér. Továbbiakban legyen ez a görbe zárt: Λ(T ) = Λ(0). Ezt az esetet nevezzük ciklikus evolúciónak. (Tehát itt hangsúlyozottan az evolúció lesz ciklikus, másrészt az adott görbe a P projektív térben záródik. Ez különbözteti meg a korábbi szituációtól, ahol a paraméterek változtak zárt görbe mentén N -ben. A következ®kben megmutatjuk, hogy miért indokolt ez a különbségtétel, és miért jelent a ciklikus id®fejl®dés a korábban tárgyalt ciklikus-paraméterváltozású adiabatikus id®fejl®dést®l eltér® fogalmat.) Ha egy rendszer Hamilton operátora nem függ az id®t®l, akkor a Schrödinger-egyenlet megoldása során a változók szeparálhatók, és a hullámfüggvény id®függését a dinamikai fázisfaktor fogja hordozni: |ψ(t)i = exp{iα(t)}|ψ(0)i. Ezt nevezzük stacionárius állapotnak.


44

Ekkor az id®fejl®dés során a rendszer állapota megmarad a Hilbert-tér kindulási állapotához tartozó sugarán, Λ(t) nem változik, az általa leírt görbe degenerált: egy pont P -ben. Az adiabatikus közelítésnél feltettük, hogy a rendszer állapota az adott X ∈ N paraméterhez tartozó Hamiltoni n. sajátvektorával (5.4) volt arányos a következ®képpen: |ψ(t)i = a(n) (t)b(n) (t)|n, X(t)i. (Az ehhez tartozó sugár már nem lesz állandó.) Az ebb®l képzett projekció ekkor minden id®pontban a megfelel® Hamiltoni spektrális projekciója lesz: Λ(t) = Pn (t) = |n, X(t)ihn, X(t)|, mely felcserélhet® a Hamiltonival, így i~dt Pn = [H, Pn ] = 0, vagyis a projektív térben nem fog elmozdulni a rendszer állapota. Λ(t) = Pn (t) = Pn (0) lesz, ami stacionárius id®fejl®dést jelent, holott a különböz® X ∈ N paraméterhez tartozó Hamiltoni sajátvektorai nem kell, hogy azonos sugáron legyenek, a bel®lük képzett projekció általános, nemdegenerált görbét is bejárhat.

5.4. ábra. Az adiabatikus id®fejl®dés a projektív téren stacionárius kellene, hogy legyen. Ez az ellentmondás az adiabatikus közelítésb®l adódik, és úgy interpretálható, hogy valójában nem létezik olyan lassú id®fejl®dés, melyre a kvantumátmenetek valószín¶sége egzaktul nullára csökkenne. Így az id®fejl®dés során valójában csak igen nagy valószín¶séggel fog a rendszer |ψ(t)i állapota megmaradni |n, X(t)i-nek megfelel® nívón, de a nívóátmenet teljesen nem zárható ki. Ahhoz, hogy az adiabatikus közelítés mégis alkalmazható legyen, kell találni egy transzformációt a paramétereken, mellyel kapott Hamiltoni-sajátállapotok vetületei a projektív téren a ciklikus id®fejl®dést megvalósító projekciókkal esnek egybe. (5.5 ábra) Tehát legyen

g : N −→ N X 7−→ g(X) = Y

(5.119) (5.120)

dieomorzmus, melyre

Λ(t) = |ψ(t)ihψ(t)| = |n, Y(t)ihn, Y(t)|.

(5.121)

A paraméterek X szerint változnak, a rendszer dinamikáját jellemz® Hamiltoni H(X) lesz, de a rendszer állapota az Y-nal kapott Hamilton operátor sajátvektorával lesz arányos: H(Y)|n, Yi = En (Y)|n, Yi. Ez hordozza magában azt, hogy a rendszer állapota elfordul az ®t leíró Hamiltoni sajátállapotától, amelyb®l indulva a kvantumátmenetek valószín¶sége fokozatosan eltér a nullától. Így megkerültük az adiabaticitás megkövetelését, és közben amint látni fogjuk, az adiabatikus esetben már elvégzett számítások csekély módosítással


45

ugyanúgy végigvihet®k. A nehézséget ekkor a fenti g dieomorzmus megtalálása okozza, mely egyáltalán nem biztos, hogy létezik. Vannak olyan zikai rendszerek, melyekre ilyen paramétertérbeli transzformáció található.

5.5. ábra. A paraméterek transzformációja.

5.3.2. Következmények Tegyük fel tehát, hogy létezik olyan g , melyre (5.121) teljesül. Ekkor

|ψ(t)i = c(n) (t)|n, Y(t)i

(5.122)

fennáll minden id®pontban, ahol c(n) (t) egységnyi abszolutérték¶ fázisfaktor a c(n) (0) = 1 kezdeti feltétellel. Ezt behelyettesítve az id®függ® Schrödinger-egyenletbe, majd hn, Y(t)|vel szorozva a

i dt c(n) (t) = − hn, Y(t)|H(X(t))|n, Y(t)i − hn, Y(t)|dt |n, Y(t)i ~ c(n) (t)

(5.123)

dierenciálegyenletet kapjuk c(n) (t)-re. Ennek megoldását a korábbihoz hasonlóan faktorizálhatjuk a dinamikai és geometriai fázisra:

c(n) (t) = a(n) (t)b(n) (t) µ ¶ Z −i t (n) a (t) = exp hn, Y(τ )|H(X(τ ))|n, Y(τ )idτ , ~ 0 µ Z t ¶ (n) b (t) = exp − hn, Y(τ )|dτ |n, Y(τ )idτ . 0

(5.124) (5.125) (5.126)

Itt az a(n) (t) dinamikai fázisban az energiának az |n, Yi állapotban vett várhatóértéke jelenik meg. Ez nem sajátállapot, így nem jelenik meg a megfelel® En energiasajátérték, (Általánosan [H(X), H(g(X))] 6= 0, mivel adiabatikus ciklikus evolúció nem létezik a degenerált esetet leszámítva.) A b(n) (t) geometriai fázisban szerepl® integrandus ismét tisztán képzetes, ahogy (5.11)ben is. Írjuk át az id®-integrált az X(t)-görbe menti integrálra:

d ∂ dX µ |n, Y(X(t))i = |n, Y(X(t))i . dt ∂X µ dt

(5.127)


46

ahol a deriválás közvetett, melyhez a Y ν = Y ν (X µ ) lokális koordinátákat vezethetjük be ∂g ν (X) ∂Y ν az áttérésnél. Az áttérés lehetséges, mert g dieomorzmus, így a ∂X µ = ∂X µ parciális deriváltak léteznek. A paramétertérben X zárt görbe, így áttérhetünk görbe menti integrálra. Az ered® geometriai fázis egy ciklus megtétele után: µ I ¶ ∂ (n) µ bC = exp − hn, g(X)| |n, g(X)idX (5.128) ∂X µ C E fázisfaktor neve: Aharonov-Ananadan-fázis. Bevezethetjük ekkor az Aharonov-Anandan-féle vektorpotenciált

∂ A˜µ(n) (X) := ihn, g(X)| |n, g(X)i ∂X µ

(5.129)

mely egy N -en értelmezett dimN komponens¶ kovariáns vektormez®, a korábiakkal analógiában.

5.6. ábra. Az Aharonov-Anandan vektorpotenciál. A teljes integrandus adja az Aharonov-Anandan görbületi egyformát, mely ekkor µ A˜(n) := A˜(n) µ (X)dX

(5.130)

alakba ítható. Ennek küls® deriválásával kaphatjuk az Aharonov-Anandan-féle görbületi két-formát: F˜ (n) := dA˜(n) . (5.131) Ekkor a fázis (5.19)-hoz hasonlóan megkapható a Stokes-tétel segítségével a görbületi kétforma C által határolt S felületen történ® integrálásával: µ Z ¶ (n) (n) ˜ . (5.132) bC = exp i F S


47

5.3.3. Paralell-transzport Láttuk tehát, hogy a (5.125) és (5.126) fázisfaktorokkal megkaphatjuk a Hamiltoni megoldását: |ψ(t)i = a(n) (t)b(n) (t)|n, Y(t)i. Nézzük |ψ(t)i id®fejl®désének geometriai vonatkozásait! Ennek érdekében válasszuk le a dinamikai fázisfaktort:

˜ |ψ(t)i = a(n) (t)|ψ(t)i = b(n) (t)|n, Y(t)i µ Z t ¶ = exp − hn, Y(τ )|dτ |n, Y(τ )idτ |n, Y(t)i.

(5.133)

0

Vizsgáljuk meg ezt az állapotot! Képezzük a kövtkez®t:

˜ ˜ hψ(t)|d t ψ(t)i = (n)

=b

³ ´ (5.134) (t)hn, Y(t)| −hn, Y(t)|dt |n, Y(t)ib(n) (t)|n, Y(t)i + b(n) (t)dt |n, Y(t)i

ahol a bra-vektorral való beszorzás után zárójel tartalma elt¶nik:

˜ t ψi ˜ =0 hψ|d

(5.135)

˜ megváltozása mindig önmagára ortogonális vagyis azt kapjuk, hogy a Hilbert-térben |ψi lesz. Módunk van ennek szemléletes interpretációjára. Ehhez vezessünk be egy új fogalmat: akkor mondjuk, hogy |ψ1 i és |ψ2 i egymással fázisban van, ha különbségük normanégyzete minimális. (Ezt a kvantuminterfetrencia jelensége motiválja: a fázisban lev® állapotok kioltják egymást.) k|ψ1 i − |ψ2 ik2 = 2 − 2
hψ1 |ψ2 i ∈ R+ .

(5.137)

Vagyis két tetsz®leges |ψ1 i és |ψ2 i Hilbert-tér elem fázisban van, ha bels® szorzatuk valós pozitív. (Ez nem ekvivalenciareláció, mert nem tranzitív.) A fenti fogalmat lokálisan is értelmezhetjük: |ψi és |ψ + dψi fázisban van, ha

hψ|ψ + dψi = 1 + hψ|dψi ∈ R+ .

(5.138)

Mivel a második tag tisztán képzetes, ezért a lokális fázisszomszédság feltétele:

hψ|dψi = 0.

(5.139)

Ez alapján (5.135) azt állítja, hogy az id®fejl®dés során az állapot lokálisan fázisban marad. Mivel ez nem tranzitív tulajdonság, így a projektív térben megtett zárt görbe után a Hilbert-térben az állapot a kiindulási állapothoz képest egy fázisban különbözni fog.

5.3.4. Fubini-Study metrika Van egy szemléletes lehet®ségünk arra, hogy a Hilbert tér sugarainak terén, vagyis a projektív Hilbert-téren távolságfogalmat vezessünk be. Ezt Fubini-Study metrikának nevezik, és a Hilbert-tér természetes metrikájára vezethe® vissza olymódon, hogy két fázisban lev® normált vektor Hilbert-térbeli távolsága adja meg a távolságot a projektív téren.


48

5.7. ábra. Egymástól távoli vektorok fázisszomszédsága. Legyen P1 és P2 két elem a projektív téren, |ψ1 i és |ψ2 i pedig egy-egy reprezentáns elem a Hilbert térb®l, melyekkel P1 = |ψ1 ihψ1 |, P2 = |ψ2 ihψ2 |. (5.7 ábra) Ekkor

d2F S (P1 , P2 ) = inf k|ψ1 i − |ψ2 ieiα k2 α ¡ ¢ = inf 2 − 2<(hψ1 |ψ2 ieiα )

(5.140)

α

ami az inumot olyan α-ra veszi fel, amire hψ1 |ψ2 ieiα tisztán valós pozitív. Ebb®l a fázisfaktor meghatározható:

hψ1 |ψ2 ieiα = |hψ1 |ψ2 ieiα | hψ2 |ψ1 i eiα = |hψ1 |ψ2 i| amib®l

d2F S (P1 , P2 ) = 2 (1 − |hψ1 |ψ2 i|)

(5.141) (5.142)

(5.143)

adódik. Ez valóban érzéketlen a vektoroknak egy fázisfaktorral való szorzására, és teljesíti a metrika tulajdonságait.

5.3.5. Általánosítás Amennyiben d|ψi-t |ψi innitezimális megváltozásának tekintjük a Hilbert-térben, úgy (5.135) feltételt a paraméter-tér nélkül is kimondhatjuk. A Hilbert-teret a projektív tér feletti nyalábnak tekintve, a korábbinál általánosabban deniáljuk a paralell-transzportot. Amennyiben a rendszer állapotát P projektív téren ciklikusan tudjuk fejleszteni, az általa leírt görbéhez egyértelm¶en megadhatunk egy horizontálisan kiemelt általában nem zárt görbét H-n. Vezessük be az általános görbületi egy-formát:

A = ihψ|d|ψi,

(5.144)

amit adott koordinátarendszerben kifejthetünk:

A = Aµˆ (x)dxµˆ = ihψ(x)|

∂ |ψ(x)idxµˆ , ∂xµˆ

(5.145)


49

ahol xµˆ megszámlálható lokális koordináta P -n. Ezzel a (5.135) paralell-transztport feltétel szerint Aµˆ (x) = 0 adott x-re, vagyis a paralell-transzport során mindig található lokális |ψ(x)i → |ψ(x)i exp{iα(x)} mértéktranszformáció, melyre A = 0. Globálisan ez bármely x-re nem teljesíthet®, így általános x(T ) = x(0) zárt görbe esetén |ψ(x)i általfelvett fázis nem lesz nulla. E fázist eltüntet® globális mértéketranszformáció akkor lehetséges, ha F = dA = 0. Legyen f (n) leképezés a paramétertérb®l a projektív térbe, (5.8. ábra) melyet lokális koordinátákkal megadva xµˆ (X µ ) sima függvényekkel deniálhatunk, ahol a szokásos X µ -k lokális koordináták N -en.

f (n) : N −→ P X 7−→ Pn (X) = |n, Xihn, X|. Vezessük be még: f˜(n) = f (n) ◦ g leképezést: f˜(n) : N −→ P

X 7−→ Pn (g(X)) = |n, g(X)ihn, g(X)|.

(5.146) (5.147) (5.148) (5.149)

5.8. ábra. Az általános görbületi-forma A Berry és az Aharonov-Anandan egy-formák

∂ |n, XidX µ , (5.150) ∂X µ ∂ µ A˜(n) = A˜(n) |n, g(X)idX µ (5.151) µ (X)dX = ihn, g(X)| ∂X µ speciális esetei lesznek (5.145) univerzális konnekció-formának. A kapcsolat az f (n) és f˜(n) leképezések által valósul meg: az A(n) Berry és az A˜(n) Aharonov-Anandan egy-forma az A univerzális konnekció-forma f (n) és f˜(n) általi visszahúzottjai: µ A(n) = A(n) µ (X)dX = ihn, X|

A(n) = f (n)∗ A, A˜(n) = f˜(n)∗ A.

(5.152) (5.153)

6. fejezet

Kevert állapotok holonómiája A 3. fejezetben bemutattuk, hogy az összetett rendszerek leírására a s¶r¶ségoperátorokat használjuk. Láttuk továbbá, hogy egy részrendszer redukált s¶r¶ségoperátorának purikációja el®állítható a redukált s¶r¶ségoperátor sajátértékeivel. Azonban található más olyan állapot is, melyekb®l az adott s¶r¶ségoperátor redukálható. Ez a tény ad lehet®séget arra, hogy holonómiákat vezessünk be kevert állapotokra.

6.1. A Hilbert-Schmidt nyaláb Jelölje DN az N × N -es s¶r¶ségmátrixok terét:

DN = {% ∈ M (N, C) : %† = %, % ≥ 0, Tr % = 1}

(6.1)

A 3.2.3. fejezetben használt jelölésekkel a H1 , N -dimenziós Hilbert-téren ható redukált s¶r¶ségoperátor mátrixa általánosan:

% = W W † ∈ DN

(6.2)

ahol W %-nak egy purikációját írja le (3.10) alakban, mely egy tiszta állapot H1 ⊗ H1 -ben. Továbbiakban csak speciális s¶r¶ségoperátorokat fogunk tekinteni, melyek pozitívak:

DN + = {% ∈ GL(N, C) : %† = %, % > 0, Tr % = 1},

(6.3)

vagyis % összes sajátértéke pozitív, így % teljes rangú: rank(%) = N . Ekkor H1 ⊗ H1 teret HS Hilbert-Schmidt-térnek nevezzük. Ennek kW k = 1 normált elemeib®l kaphatunk Tr % = 1 normált s¶r¶ségoperátorokat. A Hilbert-Schmidt-tér elemei H1 -en ható operátorok, a rajta lév® bels® szorzat pedig: (6.4)

h·|·i : HS × HS −→ C W1 , W2 7−→ hW1 |W2 i =

Tr (W1† W2 )

(6.5)

Ezeknek az állapotoknak redukcióját írjuk le egy leképezéssel a következ®képpen: (6.6)

Π : HS −→ DN + †

W 7−→ W W = %

50

(6.7)

6. FEJEZET. KEVERT ÁLLAPOTOK HOLONÓMIÁJA

51

Ez láthatóan invariáns egy unitérrel való jobbszorzásra:

W −→ W U, †

†

U † = U −1

(6.8)

†

(6.9)

†

W W −→ W U U W = W W .

Bevezethetjük a fentiekkel az úgynevezett Hilbert-Schmidt-nyalábot. Az alaptér a nemszinguláris s¶r¶ségoperátorok tere, a nyaláb a Hilbert-Schmidt-tér, a szál U (N ), a nyaláb projekciója pedig a (6.6)-ben deniált ráképezés.

6.1. ábra. Hilbert-Schmidt nyaláb. Tetsz®leges W mátrixra jelöljük

|W | :=

√ W W †,

(6.10)

mely pozitív operátor. Ekkor bármely nemszinguláris W egyértelm¶en el®állítható a következ® alakban: W = |W |U, U = U† (6.11) amit W poláris dekompozíciójának nevezünk. Ez alapján a DN + alaptérnek létezik egy globális, természetes beágyazása a HilbertSchmidt nyalábba: (6.12)

ı : DN + −→ HS √ % 7−→ %,

(6.13)

továbbá egy % = W W † s¶r¶ségoperátor purikációit célszer¶en el®.

√ %U alakban állíthatjuk

6.2. Konnekció Lehet®ségünk van metrika bevezetésére a Hilbert-Schmidt-téren. A konstrukció a következ®: Egy dierenciálható sokaság minden pontjában képezhetjük az érint®tereit, melyek egymással lokálisan dieomorf valós lineáris terek, és rajtuk megadható metrika. A HS Hilbert-Schmidt-tér eleve lineáris tér, azonosítható önmaga Tx HS érint®tereivel. Ekkor a rajta lev® (6.4) bels® szorzat valós részével egy természetes metrika deniálható. (6.14)

h·|·iS : Tx HS × Tx HS −→ R W1 , W2 7−→ hW1 |W2 iS =

(6.15)


52

amivel:

d2S : Tx HS × Tx HS −→ R W1 , W2 7−→

d2S (W1 , W2 )

(6.16)

= h(W2 − W1 )|(W2 − W1 )iS

(6.17)

Ahhoz, hogy a s¶r¶ségmátrixok terén futó görbe horizontális kiemeltjét megadhassuk, meg kell tudni határozni a nyalábon a horizontális és vertikális irányokat. A vertikális irány nyalábirány könnyen megadható: egy vertikális irányú görbe W (t) = W0 U (t) felírható W0 exp{iHt} alakban, ahol H hermitikus. Érint®je ekkor dW (t) = W0 dU (t) = W0 U (t)iH = W (t)iH , vagyis a görbe minden W pontjában az érint®térben iW H alakú. Ennek alapján adhatjuk meg a horizontális irány denícióját: az érint®térben a iW H -alakú vektorokra (6.14) alapján mer®leges vektor lesz horizontális. Tehát egy W (t)-görbe dW (t) érint®je W -pontban horizontális:

´ 1 ³ † † hdW |iW HiS = Tr dW iW H + (iW H) dW 2 ³ ´ i = Tr dW † W H − HW † dW 2 ³ ´ i = Tr H(dW † W − W † dW ) = 0, 2

(6.18)

ahol az utolsó egyenl®ségnek kell fennállnia bármely hermitikus H operátorra, így

dW † W = W † dW

(6.19)

egyenlet fejezi ki a W (t)-görbe horitzontalitását adott pontban. Ez egy mátrixokra vonatkozó els®rend¶ dierenciálegyenlet, melyet megold a következ® ansatz:

dW = GW,

G = G† .

(6.20)

Tehát egy G hermitikus operátor fogja a görbét horizontálisan fejleszteni. G általnos esetben nem állandó a görbén. A teljes hosszában horizontális görbe eszerint

W (t) = W0 T eG(t) .

(6.21)

alakban áll el®, ahol T a t szerinti rendezés operátora. Célunk G meghatározása a D alaptérbeli %(t) görbe alapján. Mivel ρ(t) = W (t)W † (t), ezért

d% = dW W † + W dW † = GW W † + W W † G = {G, %}. mely egyenletb®l G(t) meghatározható.

(6.22)


53

6.3. Számítások két-fermion-rendszerre A fermionokból álló összetett rendszerek állapota a felcserélésre el®jelet vált, ezért az állapotot leíró W mátrixok antiszimmetrikusak lesznek. Az ilyeneket konvencionális okokból P -vel jelöljük: % = 2P P † , P = −P T . (6.23) A (6.19) feltétel alapján a s¶r¶ségmátrixok terében futó %(t) görbe horizontális kiemeltje a nyalábon olyan görbe, melyre minden pontban dP † P hermitikus. Ekkor a (6.20) alapján

dP = GP,

G = G† ,

(6.24) (6.25)

d% = {G, %}

dierenciálegyenletet kapjuk a horizontális görbét fejleszt® G-re. Ekkor G-t %ij (t)-paraméterek függvényében kapjuk. (6.25) megoldása 2 × 2-es esetben könny¶: a Pauli-mátrixok bázisán fejtve ki a mátrixokat, egyszer¶ formájú egyenletrendszer adódik, melyb®l G meghatározható. A 4 × 4-es esetben kapott egyenletek formájukat tekintve sokkal bonyolultabbak, és megoldásuknak egyszer¶, zárt alakra hozása hosszas próbálkozások után is kudarcba fulladt. Másik megközelítést választottunk tehát a probléma megoldására: próbáljuk meg (6.24) egyenletb®l kifejezni G-t! Ezt követ®en az így kapott G önadjungált-része fogja megadni a keresett mátrixot. A [11]-ben járt utat követjük, mert ezekkel a P és % közötti kapcsolat számunkra hasznos formájúnak adódik. Írjuk P -t a térer®sség-tenzorhoz hasonló alakban:   0 E1 E2 E3 −E1 0 −B3 B2  , P :=  (6.26) −E2 B3 0 −B1  −E3 −B2 B1 0 ahol E, B ∈ C3 . Ennek könnyen képezhetjük az inverzét:

Det(P ) = (EB)2 

(6.27)



0 −B1 −B2 −B3 B1 0 E3 −E2   Adj(P ) = EB  B2 −E3 0 E1  B3 E2 −E1 0

Ekkor legyen

˜ = dP P G

−1

1 = EB

µ

(dE)B ((dE) × E)T (dB) × B M

M = (dE) ◦ B − E ◦ dB + (EdB)I

(6.28)

¶ (6.29) (6.30)

amely mátrix a speciális relativitáselméletben megszokott 1 + 3 alakban particionált blokk˜ mátrix P elemeivel áll el®. Ennek a mátrixnak szerkezet¶. (I a 3×3-as egységmátrix.) Itt G az önadjungált része lesz a keresett mátrix. Végezzünk most el a [11]-ben használt bázistranszformációt! Legyen   1 0 0 1 1 0 1 −i 0  , U −1 = U † . (6.31) U=√  0 2 0 1 i 1 0 0 −1


54

Ekkor megmutatható, hogy %0 = U %U † transzformáció hatása:

2%0 =(kak2 + kbk2 )(I ⊗ I) + xl (I ⊗ σ l ) + y j (σj ⊗ I)

(6.32)

j

+ (bj al + b al )(σj ⊗ σ l ) ahol a kifejtés az impulzusmomentum 21 -es spinor és konjugált spinor ábrázolásainak tenzorszorzatán történik. (I a 2 × 2-es egységmátrix, σi a Pauli-mátrixok, ε = iσ2 , és σ i = εσi ε.) A kifejtési együtthatók a P régi változóinak kombinációi a következ®képpen:

a = E + iB

(6.33)

b = E − iB

(6.34)

x = −ia × a

(6.35)

y = ib × b

(6.36)

˜ -re is! Végezzük most el a fenti transzformációt G ˜ 0 = U GU ˜ † G

(6.37)

(Unitér transzformáció nyilván ®rzi az önadjungáltságot és a ferdén-önadjungáltságot.) Ekkor a fenti bázison a kifejtési együtthatók meghatározhatóak, és

˜ 0 =(ibdb + iada)(I ⊗ I) G + (a × da)l (I ⊗ σ l ) + (b × db)j (σj ⊗ I)

(6.38)

+ (ibj dal + i(dbj )al )(σj ⊗ σ l ) alak adódik. Így a keresett mátrixot megkaphatjuk:

G0 =

1 ³ ˜ 0 ˜ 0† ´ G +G 2

(6.39)

˜ 0 önadjungált bázison van kifejtve. Ez így a mely könnyen elvégezhet®, tekintve, hogy G további számításokhoz jól használható alak.

7. fejezet

Összefoglalás, további tervek Áttekintettük a tiszta és a kevert állapotú kvantummechanikai rendszerek leírásában felbukkanó nyalábokat. A számítások konkrét alkalmazásaként tiszta állapotú rendszeren kiszámított holonómia-transzformációval fázistoló-kaput valósítottunk meg. Kevertállapotú holonómiák kiszámításához el®zetes számításokat végeztünk. A további célkit¶zések között els® helyen szerepel az alkalmazott topológiai fogalmak elmélyítése, valamint minél nagyobb rálátás megszerzése ezek zikai alkalmazásaira. A tiszta állapotok holonómiáinak témájában a továbbfejlesztési lehet®ségek köre széles: Egyrészt fontos lehet olyan formalizmus keresése, mely segítségével nagyobb Hilbert-téren ható legalább négydimenziós degenerált altérrel rendelkez® Hamilton-operátorok is könnyen kezelhet®k. Az ilyenek lehet®séget nyújtanak két-qubites kvantumkapuk megvalósítására. Az így megvalósítható kvantumkapuk kiszámítása további probléma. Másik irányt jelent a paramétertérbeli görbék bonyolultabb formáinak alkalmazása. Kevert állapotú rendszereken az itt nem tárgyalt Bures-metrika, továbbá holonómiák kiszámítására nyílik lehet®ség a (6.39)-ben kapott eredményünk segítségével.

55

Irodalomjegyzék [1] Ingemar Bengtsson, Karol yczkowski: Geometry of Quantum States, Cambridge University Press (Cambridge, 2006). [2] Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles (Princeton Mathematical Series) Princeton University Press (Princeton, New Jersey, 1951). [3] Mikino Nakahara: Geometry, Topology and Physics (Graduate Student Series in Physics) Institute of Physics Publishing Bristol and Philadelphia, 1990. [4] Apagyi Barnabás, Lévay Péter: Válogatott fejezetek a kvantummechanikából, V. fejezet, M¶egyetemi Kiadó (Budapest, 2000). [5] A. Bohm, A. Mostafazadeh, H. Koizumi, Q.Niu, J. Zwanziger: The Geometric Phase in Quantum Systems, Springer (Berlin 2003). [6] Petz Dénes: Lineáris analízis, Akadémiai Kiadó, Budapest (2002). [7] Sz®kefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria, M¶szaki Könyvkiadó (Budapest 1979). [8] M. A. Nielsen, I. L. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press (2000). [9] M. Ericsson: Geometric and Topological Phases with Applications to Quantum Computation, Acta Universitatis Upsaliensis, (Uppsala 2002). [10] A. Ekert, M. Ericsson, P. Hayden, H. Inamori, J. A. Jones, D. Oi, V. Vedral: Geometric Quantum Computation, arXiv:quant-ph/0004015v1 (2000). [11] Lévay Péter, Nagy Szilvia, Pipek János: Elementary formula for entanglement entropies of fermionic systems, Phys. Rev. A72 022302 (2005). [12] Szalay Szilárd: Geometriai fázisfaktorok alkalmazása a kvantumszámításban, (TDK-dolgozat, 2005). [13] A. Zee: Non-Abelian gauge structure in nuclear quadrupole resonance, Phys. Rev. A38 1. 1-6 (1988). [14] B. A. Bernevig, S. Zhang: Holonomic quantum computing based on the Stark eect, Phys. Rev. B71 035303 (2005). [15] J. W. Zwanziger, M. Koenig, A. Pines: Non-Abelian eects in a quadrupole syslem rotating around two axes, Phys. Rev. A42 5. 3107-3110 (1990).

56

Geometriai fázisfaktorok a kvantumszámításban

Recommend Documents