Geometriai példatár 1

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara

Baboss Csaba Szabó Gábor

Geometriai példatár 1. GEM1 modul

Koordináta-geometria

SZÉKESFEHÉRVÁR 2010

Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI. törvény védi. Egészének vagy részeinek másolása, felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges.

Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 „Tananyagfejlesztéssel a GEO-ért” projekt keretében készült. A projektet az Európai Unió és a Magyar Állam 44 706 488 Ft összegben támogatta.

Lektor: Németh László

Projektvezető: Dr. hc. Dr. Szepes András

A projekt szakmai vezetője: Dr. Mélykúti Gábor dékán

Copyright © Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

Tartalom 1. Koordináta-geometria ............................................................................................................. 1 1.1 Bevezetés .................................................................................................................... 1 1.1.1 Összefüggések, tételek, képletek ............................................................................ 1 1.2 Koordináta-geometria FELADATOK ................................................................................ 5 1.2.1 Mátrixok, determinánsok ..................................................................................... 5 1.2.2 Vektorok .......................................................................................................... 6 1.2.3 Koordináta-rendszerek transzformációi ................................................................... 7 1.2.4 A pont analitikus geometriája .............................................................................. 8 1.2.5 Az egyenes analitikus geometriája ......................................................................... 8 1.2.6 A sík analitikus geometriája ................................................................................. 9 1.2.7 Kúpszeletek ..................................................................................................... 11 1.2.8 Felületek ......................................................................................................... 15 1.2.9 Összefoglaló feladatsorok ................................................................................... 15 1.3 Megoldások ............................................................................................................... 17 1.3.1 Mátrixok, determinánsok (Megoldások) ................................................................. 17 1.3.2 Vektorok (Megoldások) ...................................................................................... 17 1.3.3 Koordináta-rendszerek transzformációi (Megoldások) ............................................... 19 1.3.4 A pont analitikus geometriája (Megoldások) .......................................................... 19 1.3.5 Az egyenes analitikus geometriája (Megoldások) ..................................................... 20 1.3.6 A sík analitikus geometriája (Megoldások) ............................................................. 21 1.3.7 Kúpszeletek (Megoldások) .................................................................................. 22 1.3.8 Felületek (Megoldások) ...................................................................................... 26 1.3.9 Összefoglaló feladatsorok (Megoldások) ................................................................ 27

1. fejezet - Koordináta-geometria 1.1 Bevezetés Ebben a modulban az analitikus geometria feladatait gyűjtöttük egybe. A feladatgyűjtemény igazodik a Geometria I. jegyzet tematikájához. A kitűzött feladatok önálló feldolgozásához segítségül összegyűjtöttük a legfontosabb fogalmakat, tételeket, képleteket.

1.1.1 Összefüggések, tételek, képletek • Vektor hossza (síkbeli koordinátákkal):

.

• Vektor hossza ( térbeli koordinátákkal): •

Az

és

. végpontú

szakasz,

illetve

vektor

hossza:

. • Két vektor skaláris szorzata: • • •

.

Két vektor skaláris szorzata síkbeli koordinátákkal:

.

Két vektor skaláris szorzata térbeli koordinátákkal: Az

és

.

vektorok vektoriális szorzatán azt a vektort értjük, amelyik merőleges mindkét

adott vektorra, az hossza:

,

és

vektorok ebben a sorrendben „jobbrendszert” alkotnak, és a .

•

Két vektor vektoriális szorzata koordinátákkal: •

.

Paralelogramma területe, ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat

-val és

-vel jelöljük:

. •

Háromszög területe, ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat

-val és

-vel jelöljük:

. • •

Három vektor vegyes szorzatán a következő műveletet értjük: Paralelepipedon térfogata, ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat .

. ,

és

-vel jelöljük:

Geometriai példatár 1. •

2010

Tetraéder térfogata, ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat

,

és

-vel jelöljük:

. •

Az

,

és

csúcsú háromszög súlypontjának koordinátái:

. •

A

pontra illeszkedő egyenes egyenletei (síkban): .-

gel: • Az

irányvektorral:

normálvektorral:

.-

meredekség-

. (Az egyenes meredeksége az irányszögének a tangense.) egyenes

normálegyenlete:

Ha

az

egyenest

általános

alakban

írjuk

fel,

azaz

formában, akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyerjük:

. • A pont és egy adott egyenes távolsága: egyenes egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető.

, ahol a tört számlálója az

• A koordináta-síkon adott két egyenes ( , ahol és mazható.)

és

) hajlásszögének meghatározása:

a két egyenes normálvektora. (Ugyanez az összefüggés az irányvektorokkal is alkal-

• Két egyenes hajlásszöge meredekségekkel:

.

• Két metsző egyenes szögfelezőinek egyenletét az adott egyenesek normálegyenleteinek összege illetve különbsége adja. •

•

A kör általános egyenlete: sugara. A

kör

, ahol

pontjában

húzható

a kör középpontja,

érintőjének

az

pedig a

egyenlete:

. •

A

külső pontból, az általános egyenletével adott körhöz húzható érintők érintési pontjain

áthaladó szelő egyenletét úgy kapjuk, hogy a

koordinátáit az érintő általános egyenletébe

behelyettesítjük. Ekkor tehát az egyenlet az előbb említett szelő egyenletét adja. Ez az eljárás a továbbiakban előkerülő kúpszeletek mindegyikére alkalmazható.

GEM1-2

© Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar, 2010

Koordináta-geometria • Az ellipszis általános egyenlete (ha a tengelyei párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel):

, ahol tengely, • •

pedig az

az ellipszis középpontja,

tengellyel párhuzamos fél-

tengellyel párhuzamos féltengely hossza.

Összefüggés az ellipszis féltengelyeire: Az

az

ellipszis

, ahol

pontjában

a fókuszpontok távolságának a fele.

húzható

érintőjének

az

egyenlete:

• A hiperbola általános egyenlete (ha a tengelyei párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel):

, ahol féltengely, • •

pedig az

a hiperbola középpontja,

tengellyel párhuzamos


Összefüggés a hiperbola féltengelyeire: A

az

hiperbola

, ahol

pontjában


húzható

érintőjének

az

egyenlete:

• A hiperbola aszimptotáinak egyenletei: a hiperbola hossza. •

, ahol

tengellyel párhuzamos féltengelye,

pedig az

tengellyel párhuzamos féltengely

A parabola általános egyenletei (elhelyezkedéstől függően: - az

tengely pozitív irányába nyitott,

tengelye párhuzamos az ja,

tengellyel:

, ahol

a parabola tengelyponttengely negatív irányába

pedig a fókuszpont és a vezéregyenes távolsága (paraméter). - az

nyitott, tengelye párhuzamos az

tengellyel:

irányába nyitott, tengelye párhuzamos az

•


, - az

tengellyel: tengellyel:

Az

szimmetriatengelyű,

párhuzamos

tív irányába nyitott parabola

tengely ne-

, - az

gatív irányába nyitott, tengelye párhuzamos az koordináta-tengellyel

tengely pozitív

. az

tengely

pozi-

pontjában húzható érintőjének az egyenlete: .

• Az irányába

koordináta-tengellyel nyitott

párhuzamos

parabola

szimmetriatengelyű, pontjában

húzható

az érintőjének

tengely az

pozitív

egyenlete:

.


GEM1-3

Geometriai példatár 1. •

2010

A

pontra illeszkedő sík egyenlete

normálvektorával felírva:

. • A

sík

normálegyenlete:

Ha

a

síkot

általános

alakban

írjuk

fel

azaz

formában, akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyer-

jük:

, illetve

ugyanez tömörebb formában:

.

• A pont és egy adott sík távolsága: számlálója a sík egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető.

, ahol a tört

• Két metsző sík szögfelező síkjainak egyenletét az adott síkok normálegyenleteinek összege, illetve különbsége adja. • A tér általános helyzetű egyenesének egyenletrendszere: az egyenes irányvektora, valamint 0), •

, ahol

(tehát az irányvektor egyik koordinátája sem

pedig az egyenes egy adott pontja.

A tér általános helyzetű egyenesének egyenletrendszere, ha

pedig az egyenes egy adott pontja:

az egyenes irányvektora,

, ahol

valós paraméter. Itt

is lehet, azaz ezt az egyenletrendszert akkor is használhatjuk, ha az irányvektor valamelyik koordinátája 0. • •

Két egyenes párhuzamos, ha irányvektoraik párhuzamosak, azaz: Egy

egyenes és egy

,

.

sík párhuzamos, ha az egyenes irányvektora merőleges a sík

normálvektorára, azaz:

.

• Két sík ( . • •

és

GEM1-4

,

Két egyenes merőleges, ha irányvektoraik merőlegesek egymásra, azaz: Egy

egyenes merőleges az

azaz: •

) párhuzamos, ha normálvektoraik párhuzamosak, azaz:

Két sík (

, és

.

síkra, ha az egyenes irányvektora párhuzamos a sík normálvektorával, .

) merőleges, ha normálvektoraik merőlegesek, azaz:

.


Koordináta-geometria • Két általános helyzetű egyenes hajlásszögének meghatározása: a két egyenes irányvektora.

, ahol

és

• Általános helyzetű egyenes és sík hajlásszögének meghatározása: egyenes irányvektora,

, ahol

az

pedig a sík normálvektora.

• Két általános helyzetű sík ( és •

•

és


a két sík normálvektora.

A gömb egyenlete: pedig a sugara. A

, ahol

, ahol

gömb

pontjában

a gömb középpontja,

húzható

érintősík

egyenlete:

. • Az ellipszoid egyenlete: pontja, az •

Az

,

és

, ahol

az ellipszoid közép-

a három féltengelye.

ellipszoid

pontjában

húzható

érintősík

egyenlete:

.

1.2 Koordináta-geometria FELADATOK 1.2.1 Mátrixok, determinánsok 1.

Adott két mátrix:

,

elemeit! b) Határozzuk meg az a

. a) Adjuk meg az

mátrix elemeit! c) Számítsuk ki a

mátrix

mátrix elemeit! d) Adjuk meg

transzponáltjának elemeit! e) Összeszorozható–e ez a két mátrix?

2.

Adott két mátrix: mátrix elemeit!

,


. Határozzuk meg az

szorzat

GEM1-5

Geometriai példatár 1.

2010

3. Határozzuk meg a következő harmadrendű determinánsok értékét a) Sarrus szabállyal, b) valamely

sor (vagy oszlop) szerinti kifejtéssel, c) valamely sor (vagy oszlop) kinullázásával!

4.

Határozzuk

5. Számológép

meg

a

használata

következő

nélkül

determinánsok

határozza

meg

értékét!

az

alábbi

determinánsok

értékét!

1.2.2 Vektorok 1.

2.

3. 4.

Legyen , . Határozzuk meg a a két vektor merőleges legyen egymásra! Legyen , . Határozzuk meg az két vektor által bezárt szög 60o-os legyen! Mekkora a hajlásszöge a következő vektoroknak: Adott két vektor: és koztatott tükörkép vektorát!

GEM1-6

vektor applikátáját (harmadik koordinátáját) úgy hogy

vektor abszcisszáját (első koordinátáját) úgy, hogy a

,

. Határozzuk meg az

? vektornak a

vektor egyenesére vonat-


Koordináta-geometria 5. Bizonyítsuk be, hogy a szabályos tetraéder szemközti élei merőlegesek egymásra! 6. 7.

Határozzuk meg az

,

és

Egy háromszög csúcsai:

csúcsok által megadott háromszög területét!

,

és

. Határozzuk meg a

(második koordináta) úgy, hogy a háromszög területe

csúcs ordinátáját

területegység legyen!

8. Egy trapézt átlói négy háromszögre bontják. Igazoljuk, hogy a) a szárakon nyugvó háromszögek területe egyenlő, b) a szárakon nyugvó háromszögek területének szorzata egyenlő az alapon fekvő háromszögek területének szorzatával! 9.

10.

Egy tetraéder négy csúcsának koordinátái a térfogata?

12.

,

Egy tetraéder térfogata 3 térfogategység. Csúcsai Határozzuk meg a

11.

,

és

,

. Mekkora

,

és

.

csúcs applikátáját úgy, hogy a térfogata a megadott érték legyen!

Az alábbi pontok esetén határozzuk meg a

pont ordinátáját úgy, hogy a négy pont egy síkban legyen

(komplanárisak legyenek)! A pontok:

,

,

,

.

Mekkora a térfogata annak a paralelepipedonnak, amelynek élei párhuzamosak az vektorokkal, és testátló vektora pedig a

,

,

?

1.2.3 Koordináta-rendszerek transzformációi 1.

Adott az

exponenciális függvény grafikonja. Forgassuk el a grafikont az origó körül

szöggel, majd toljuk el 2.

Adott az

vektorral. Adjuk meg az elmozgatott görbe egyenletét!

függvény grafikonja. Toljuk el a grafikont

eltolt origó körül forgassuk el

-os

vektorral, majd az azonos vektorral

-kal. Adjuk meg az elmozgatott görbe egyenletét!

3. Adott az függvény grafikonja. Az origó körül forgassuk el elforgatott görbe egyenletét! 4.

Adott az

-kal, majd adjuk meg az

függvény grafikus képe. Forgassuk el az origó körül a koordináta- rendszert

-kal, majd az elforgatott koordináta-rendszert toljuk el az ebben az új („vesszős”) koordináta-rendszerben!

vektorral. Adjuk meg a görbe egyenletét

5. Adott az

függvény grafikus képe. Forgassuk el az origó körül a koordináta-rendszert

majd az elforgatott koordináta-rendszert toljuk el az ebben az új (csillagos) koordináta-rendszerben!


-kal,

vektorral. Adjuk meg a grafikon egyenletét

GEM1-7


2010

1.2.4 A pont analitikus geometriája 1.

Adott az

és

pontok által meghatározott szakasz. Határozzuk meg azon

pont koordinátáit, amelyik az 2.

Adott az

,

szakaszt 2:5 arányban (

pontpár. Hosszabbítsuk meg az

szakaszt a

szakasz felének háromszorosával. Határozzuk meg az így nyert 3.

4.

) osztja!

pont koordinátáit!

Ismerjük egy tetraéder négy csúcsát: meg a tetraéder súlypontját!

,

Határozzuk meg a tetraéder negyedik csúcsát (

-t), ha ismerjük három csúcsát:

és súlypontját

ponton túl, az

,

,

. Határozzuk

,

,

!

1.2.5 Az egyenes analitikus geometriája 1. Adjuk meg azon egyenesek egyenletét, amelyek párhuzamosak az e: ettől mért távolságuk 3 koordináta egység! 2.

Adott két pont:

és

. a) Határozzuk meg az

Mekkora annak a háromszögnek a területe, amelyet az 3.

egyenletű egyenessel, és

egyenes origótól való távolságát! b)

egyenes a koordináta tengelyekkel alkot?

Melyek azok az egyenesek, amelyek átmennek a ponton, és a koordináta tengelyekkel olyan háromszöget alkotnak, amelyeknek a területe 6 területegység.

4. Létezik-e, s ha igen mekkora a következő két egyenes távolsága: e: 5.

Melyek azok az egyenesek, amelyek átmennek a nessel 30o-os szöget zárnak be?

, f:

ponton, és az e:

? egyenletű egye-

6. Adott két párhuzamos egyenes: e:

, f:

és két pont

,

.

Határozzuk meg azt a pontot, amelyik egyrészt a két egyenestől egyenlő távolságra van, másrészt a két adott ponttól is egyenlő távolságra van (de ez utóbb említett távolság nem azonos az előbbivel)! 7.

8. 9.

Adott két pont , és egy e: egyenes. Melyek azok a pontok, amelyek a két ponttól egyenlő távolságra, az e egyenestől 3 egységre vannak? Határozzuk meg

pontnak a t:

Egy beeső fénysugár átmegy a

egyenesre vonatkozó tengelyes tükörképét! ponton, és visszaverődik a t:

egyenletű egyenesről. A

visszaverődő fénysugár átmegy a ponton. Adjuk meg a visszavert fénysugár egyenesének egyenletét! (Előbb oldjuk meg az előző feladatot!)

GEM1-8


Koordináta-geometria 10.

11.

Adott három egyenes: e: , f: , g: azon pontjait, amelyek az e és f egyenesektől egyenlő távolságra vannak!

. Határozzuk meg a g egyenes

Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amelyik az köti össze!

és

pontokat

12. Határozzuk

meg

a

következő

f:

két

egyenes

kölcsönös

helyzetét!

e:

,

.

13. Milyen

a

kölcsönös

helyzete

h:

az

alábbi

egyeneseknek?

g:

,

.

14. Állapítsuk

meg

a

következő

c:

két

egyenes

kölcsönös

helyzetét!

b:

,

egyenesnek?

k:

,

.

15. Milyen

a

kölcsönös

l:

helyzete

a

következő

két

.

1.2.6 A sík analitikus geometriája 1.

2. 3. 4.

Határozzuk meg az , kapott sík origótól való távolságát! Adjuk meg az S:

,

pontok közös síkjának egyenletét! Adjuk meg a

síknak a koordináta-rendszer tengelyeivel alkotott metszéspontjait!

Határozzuk meg a következő két sík metszésvonalát! A:

, B:

Adott két sík: A:

, B:

és egy

olyan egyenest, amely illeszkedik a

pontra, és mind a két síkkal párhuzamos!

pont. Adjunk meg egy

5. Határozzuk meg az S: metszéspontját! 6.

Határozzuk meg a

síknak az e:

pontnak az S:

egyenessel alkotott

síkra vonatkozó

tükörképét!

7. Adott egy e egyenes és egy S sík: e: egyenesnek az S síkra vonatkozó e* tükörképét!


, S:

. Határozzuk meg az e

GEM1-9


2010

8. Határozzuk meg az egyenletrendszerrel megadott egyenesnek a koordináta síkokkal alkotott metszéspontjait! (Ezeket a pontokat az ábrázoló geometriában nyompontoknak nevezzük.) 9. Határozzuk meg a 10.

pontnak az e:

Tükrözzük az lete?

egyenesre vonatkozó

tükörképét!

egyenletű síkot. Mi lesz az S* tükörkép sík egyen-

pontra az S:

11. Adott a

pont és egy e:

egyenes. Adjuk meg az egyenletrendszerét annak

az f egyenesnek, amelyik illeszkedik a 12.

Adott egy párhuzamos F síkot!

pontra, az e egyenest metszi, és merőleges az e-re!

pont és egy S:

sík. Adjuk meg a

pontra illeszkedő, S síkkal

13. Határozzuk meg az f: pontoktól egyenlő távolságra van!

egyenes azon

pontját, amelyik az

és

14. Az e: egyenesnek melyek azok a pontjai amelyek az S: koordináta egységre vannak?

síktól 2

Adott két sík A: , B: . Az e: határozzuk meg azt a pontját, amelyik mind a két síktól egyenlő távolságra van!

egyenesnek

15.

16. Adott két sík és egy e egyenes. A: ; B: , e: Határozzuk meg az e egyenes azon pontjait, amelyek mind a két síktól egyenlő távolságra vannak!

.

17.Adott két egyenes. Határozzuk meg a két egyenes síkjában lévő szimmetriatengelyét! (Az a tükörképe b) Az egyenesek: a:

, b:

.

18.Adott két egyenes e és f. Határozzuk meg a két egyenes síkjában lévő szimmetriatengelyét! Az egyenesek: e:

, f:

.

19. Adott két párhuzamos egyenes: e: egyenes közös síkjának egyenletét! 20.

; f:

. Határozzuk meg a két

Illesszünk egy adott e egyenesre olyan S síkot, amely egyenlő távolságra van két adott ( Adatok: e:

GEM1-10

,

,

és

) ponttól!

. Adjuk meg az S sík egyenletét!


Koordináta-geometria 21.Határozzuk meg a koordináta-rendszer applikáta (z) tengelyének azon pontjait, amelyek az A:

; B:

síkoktól egyenlő távolságra vannak!

22.Adjuk meg az y tengely azon pontjait, amelyek az S síktól 2 koordináta egységre vannak! S:

.

1.2.7 Kúpszeletek 1.2.7.1 Ellipszis 1. Határozzuk meg annak az ellipszisnek a fókuszpontjait, amelyiknek egyenlete:

.

2. Adjuk meg az egyenletét annak az origó középpontú ellipszisnek, amelyiknek az x tengelyre eső tengelye 10 koordináta egység, egyik pontja

! Határozzuk meg a görbe fókuszpontjainak koordinátáit!

3. Határozzuk meg az egyenletét, és fókuszpontjainak koordinátáit annak az origó középpontú ellipszisnek, amelyiknek az abszcissza tengelyre eső tengelye 5 koordináta egység, egyik pontja 4.

5.

!

Adjuk meg annak az ellipszisnek az egyenletét, amelyiknek a középpontja nagytengelye 10 egység, fókusztávolsága 6 egység, és a nagytengelye az x tengellyel párhuzamos! Adjuk meg a fókuszpontjait is! Határozzuk meg a

egyenletű ellipszis K középpontját és fókuszpontjait!

6. Egy ellipszis nagytengelye az x tengelynek, kistengelye az y tengelynek egy-egy szakasza, és két pontja , 7.

8. 9.

10. 11.

12.

13. 14.

. Mi az egyenlete?

A egyenletű ellipszisbe írjunk szabályos háromszöget úgy, hogy egyik csúcsa a görbe jobb szélső pontja legyen. Adjuk meg e háromszög másik két csúcsát! (Megj.: Ellipszisbe írt sokszögön olyan síkidom értendő, amelynek csúcsai az ellipszisre illeszkednek.) Adjuk meg az

egyenletű ellipszis 3 abszcisszájú pontjaira illeszkedő érintőit!

Határozzuk meg a g: tőit! Adjuk meg a

egyenletű görbének az f:

egyenletű ellipszisnek az f:

Vizsgáljuk meg, hogy a g: a görbe érintőit a kapott metszéspontokban!

egyenessel párhuzamos érin-

egyenesre merőleges érintőit!

egyenletű görbe hol metszi az ordináta tengelyt. Adjuk meg

Forgassuk el az origó körül 90o-kal a egyenlete?

egyenletű ellipszist! Mi lesz az elforgatott görbe

Forgassuk el az origó körül 60o-kal a g:

görbét! Adjuk meg az elforgatott görbe egyenletét!

Határozzuk meg a

egyenletű ellipszisnek a


pontra illeszkedő érintőit!

GEM1-11


2010

15. Adjuk meg a

egyenletű ellipszisnek a


16. Határozzuk meg a 17.

Határozzuk meg a g: f:

18.

19.

20.

egyenletű görbének a


egyenletű görbe azon pontját, amely a legtávolabb van az

egyenestől!

Adjuk meg azon egyenes egyenletét, amely a egyenletű ellipszist a pontjában merőlegesen metszi! (Megj.: Egy egyenes és egy görbe metszéspontjában keletkezett szögön azt a szöget értjük, amelyet az egyenes a metszéspontra illeszkedő érintővel zár be.) Határozzuk meg azon téglalap csúcsait, amelyik a szédos oldalainak aránya 1:2!

egyenletű ellipszisbe írható , és szom-

A egyenletű ellipszishez a pontokat összekötő „h” húr egyenesének egyenletét!

pontból érintőket húzunk. Adjuk meg az érintési

1.2.7.2 Hiperbola 1.

Adjuk meg a pontját!

egyenletű hiperbola fókuszpontjait! Szerkesszük meg a hiperbola néhány

2. Adjuk meg az egyenletét annak a hiperbolának, amelyiknek valós tengelye az x tengelynek, képzetes tengelye pedig az y tengelynek egy szakasza, fókuszpontjainak távolsága 10 egység, és a hiperbola áthalad a P( ) ponton! Írjuk fel az aszimptoták egyenletét is! 3. Mi az egyenlete annak az origó középpontú hiperbolának, melynek valós tengelye az x tengelynek, képzetes tengelye pedig az y tengelynek egy szakasza, és két pontja

!

4. Adjuk meg az egyenletét annak a hiperbolának, amelynek 8 egységnyi valós tengelye párhuzamos az x tengellyel, középpontja 5. 6.

Egy hiperbola egyenlete:

és egyik pontja

! . Adjuk meg a középpontját, és fókuszpontjait!

Egy egyenes átmegy a egyenletű hiperbola jobboldali fókuszpontján és képzetes tengelyének egyik végpontján. Milyen hosszú az a húr, amelynek végpontjai ennek az egyenesnek a hiperbolával alkotott metszéspontjai?

7. Adjuk meg az egyenletét annak a hiperbolának, amelynek valós tengelye 10 egység, egyik aszimptotájának irányszöge 60o (ezért a másik aszimptota irányszöge 120o-os)! 8. Az egyenletű hiperbolának melyik az a pontja, amelyik az egyik aszimptotától háromszor akkora távolságra van, mint a másiktól?

GEM1-12


Koordináta-geometria 9.

10.

11. 12.

Adjuk meg az egyenletű hiperbola azon pontjait, amelyeknek az abszcisszája 5! Határozzuk meg a görbe érintőit az így nyert pontokban! Határozzuk meg a érintőit!

egyenletű hiperbolának az f:

Adjuk meg a

egyenessel párhuzamos

egyenletű hiperbolának az f:

A hiperbolához a összekötő húr egyenletét!

egyenesre merőleges érintőit!

pontból két érintő húzható. Adjuk meg az érintési pontokat

13. Határozzuk meg a

egyenletű hiperbola


14. Adjuk meg a g: 15.

16.

egyenletű görbe


A egyenletű hiperbolának melyik az az érintője, amelytől egyenlő távolságra van a görbe középpontja és baloldali fókuszpontja? Egy hiperbola, amelynek tengelyei a koordináta tengelyekre illeszkednek, az e:

egyenest az

pontjában érinti. Adjuk meg a görbe egyenletét! 17.

Adjuk meg az egyenletét annak a hiperbolának, amelyiknek az e: aszimptotái:

egyenes az egyik érintője,

!

1.2.7.3 Parabola 1.

Adjuk meg az egyenletét annak a parabolának, amelynek tengelypontja az origó, a) egyik pontja szimmetriatengelye az x tengely, b) egyik pontja

szimmetriatengelye az y tengely, c) egyik pontja

szimmetriatengelye az x tengely! 2. Határozzuk meg az egyenletét annak a parabolának, amelynek tengelypontja az y tengelyen van, szimmetriatengelye párhuzamos az x tengellyel, és két pontja: 3.

,

!

Egy parabola szimmetriatengelye párhuzamos az y tengellyel, három pontja: . Adjuk meg a görbe egyenletét!

,

,

4. Egy parabola ívű híd hossza 120m, középső legmagasabb pontja 12m-re emelkedik a vízszintes út fölé. Függőleges tartóvasait 6 méterenként helyezik el. Mekkora az 5. tartóvas hossza? 5.

6.

Az egyenletű parabolának adjuk meg azon pontjait, amelyeknek az abszcisszája 2, majd határozzuk meg ezen pontokhoz tartozó érintők egyenletét! Az

egyenletű parabolának a 6 abszcisszájú pontjában adjuk meg az érintőjét!


GEM1-13

Geometriai példatár 1. 7.

8.

9. 10.

11.

12. 13.

14.

15.

Az egyenletű parabolának határozzuk meg a 4 abszcisszájú pontját, majd írjuk fel a görbe ezen pontjára illeszkedő érintőjének egyenletét! Határozzuk meg az a görbe ezen pontjára illeszkedő érintőjét! Adjuk meg az

17.

egyenletű parabolának a 6 ordinátájú pontját, majd adjuk meg

egyenletű parabola f:

Határozzuk meg az érintőjét!

Az

egyenessel párhuzamos érintőjét!

egyenletű parabola f:

Adott a pont és az illeszkedő érintőit!

egyenessel párhuzamos

egyenletű görbe. Határozzuk meg a görbe

egyenletű parabolának határozzuk meg a

Adjuk meg az tőjét!

pontra


egyenletű parabolának az f:

egyenesre merőleges érin-

Adjuk meg az x tengelynek azt a pontját, amelyből az parabolához húzott érintők a csúcsérintővel egyenlő oldalú háromszöget alkotnak. Határozzuk meg a háromszög másik két csúcsát és területét is! Határozzuk meg az eső szakasza

16.

2010

parabolának azon érintőit, amelyeknek az érintési pont és az x tengely közé egység.

Számítsuk ki a következő két parabola metszéspontjait: g:

h:

.

Adott az egyenletű parabola. Határozzuk meg az egyenletét annak a parabolának, amelynek csúcspontja az adott parabola fókusza, fókuszpontja pedig az adott parabola csúcsa. Határozzuk meg a két parabola metszéspontjait!

1.2.7.4 Kúpszeletek és a másodfokú, kétismeretlenes egyenletek kapcsolata 1. Minek az egyenlete, és hogyan helyezkedik el a koordináta-rendszerben a következő egyenlettel megadott görbe? g: 2.

.

Ábrázoljuk az alábbi egyenlettel megadott függvényt!

.

3. Minek az egyenlete, és hogyan helyezkedik el a koordináta-rendszerben a következő egyenlettel megadott görbe? g: 4.

Mi lesz a grafikus képe az dott függvénynek?

GEM1-14

. egyenlettel mega-



1.2.8 Felületek 1.

Határozzuk meg az

pont ordinátáját úgy, hogy az

egyenletű gömb felületére! Adjuk meg a gömb

pont illeszkedjen az

pontjára illeszkedő érintősíkját is!

2. Határozzuk meg az e: tel alkotott metszéspontjait! 3.

4.

egyenesnek az

egyenletű gömbfelület-

Adott egy S: sík és egy gömbfelület g: az S síkkal párhuzamos érintősíkjait! Határozzuk

meg

az

pont

applikátáját

. Határozzuk meg a gömbnek

úgy,

hogy

az

E

pont

egyenletű ellipszoid felületére! Adjuk meg a felületnek az

illeszkedjen

a

pontjára illesz-

kedő érintősíkját is! 5.

6.

Adjuk meg az e: széspontjait!

egyenesnek az

ellipszoiddal alkotott met-

Adott egy S: sík és egy ellipszoid: lipszoidnak az S síkkal párhuzamos érintősíkjait!

. Határozzuk meg az el-

1.2.9 Összefoglaló feladatsorok Ezek a feladatsorok azt a célt szolgálják, hogy a hallgatók a zárthelyi dolgozatok előtt mérni tudják önmaguk felkészültségét. Elsődlegesen azt érdemes ezekkel a feladatsorokkal gyakorolni, hogy a hallgató képes legyen adott idő alatt eredményesen megoldani a kitűzött példákat. 1. feladatsor 1.

2.

Az háromszög csúcsai a következők: lévő szöge? Egy paralelepipedon alaplapja alaplap egyik élvektora: és az

,

,

paralelogramma, oldalélei ; az alaplap

csúcsból induló testátló-vektor:

. Mekkora az

,

,

,

csúcsnál

. Adott az

csúcsából induló lapátló-vektora: . Mekkora a térfogata?

3. Adott az

egyenletű egyenes. Toljuk el

origó körül forgassuk el

vektorral, majd az azonos vektorral eltolt

-kal. Mi lesz az új (transzformált) egyenes egyenlete?

4. Adott az e:

egyenes. Adja meg annak az f egyenesnek az egyenletét, amelyre teljesül, hogy

az e és f egyenesek egyik szögfelezője illeszkedik a 5.

és a

pontokra.

Adott egy téglalap három csúcsa: , , . Határozzuk meg a téglalap középpontján áthaladó, a téglalap síkjára merőleges egyenes egyenletrendszerét!


GEM1-15


2010

2. feladatsor 1.

Egy

paralelogramma három csúcsa

átlója az távolságát! 2.

szakasz. Határozzuk meg a

,

,

,

, és

Adott az e: egyenletű egyenes és a 30o-os szöget bezáró egyenesek egyenletét! Adott az

illetve

oldalegyenesek

,

,

. Legyen a kocka középpontja

. Határozzuk

. pont. Határozzuk meg a

-n áthaladó, e egyenessel

függvény grafikonja. Toljuk el a koordináta-rendszert az

majd forgassuk el az új origó körül szerben! 5.

, a paralelogramma egyik

csúcsaival:

meg az alábbi két sík hajlásszögét:

4.

,

csúcs koordinátáit, és az

Adott az alábbi kocka ,

3.

,

vektorral,

-kal. Adjuk meg a görbe egyenletét az új koordináta-rend-

Egy tetraéder csúcsai , , , . Írjuk fel a csúcson át húzható magasságvonal egyenletrendszerét, és határozzuk meg a magasság talppontjának koordinátáit!

3. feladatsor 1.

2.

Adott három pont , , . a) Határozzuk meg a három pont síkjának az origótól való távolságát! b) Határozzuk meg a síknak a koordináta-tengelyekkel vett metszéspontjait! c) Határozzuk meg a háromszög síkja és a koordináta-síkok által bezárt tetraéder térfogatát! Írja fel a

pontból a k:

egyenletű körhöz húzott érintők egyenletét!

3. Az ábrán látható hídszerkezet íve egy parabola tengelyesen szimmetrikus darabja. A híd adatai: hossza 80m, magassága (a 4. tartó hossza) 20m. Határozza meg, hogy mekkora szöget zár be a 6. tartóelem az ívvel!

1. ábra 1.

Adja meg a g: érintősíkjait!

gömbnek az S:

egyenletű síkkal párhuzamos

2. Határozza

meg

az

egyenletű

ellipszoid

és

az

egyenes döféspontjait!

GEM1-16



1.3 Megoldások 1.3.1 Mátrixok, determinánsok (Megoldások) 1.

a)

b)

c)

e) Nem, mert a

d)

mátrix sorainak száma nem egyezik meg az

mátrix oszlopainak

számával. 2.

. 3. ,

,

,

,

,

,

.

4. ,

.

5. ,

,

,

.

1.3.2 Vektorok (Megoldások) 1. A merőlegesség feltétele az, hogy a skaláris szorzat értéke 0 legyen. Az így kapott egyenlet megoldása: . 2. A két vektor skaláris szorzatát felírjuk a definíció, illetve a koordinátákkal történő kiszámítási mód alapján. Az így kapott kifejezéseket egyenlővé téve olyan egyenletet nyerünk, amelyiknek a megoldása: x=5 egység. 3.

4.

A megoldás lépései: a) Előbb meghatározzuk az (av=6 egység). b) Ezzel szorozva a -nak a

vektor egyenesén lévő merőleges vetületét

irányába mutató egységvektort olyan

egyenesével párhuzamos összetevője. Ezt

vektoregyenletből megkapjuk azt a az

vektornak a

-val jelölve:

vektort, amely merőleges a

vektoregyenlet segítségével nyerjük a keresett


vektorhoz jutunk, amely az . c) Az

egyenesére:

. d) Végül

vektort.

GEM1-17


2010

5. Legyen

;

;

, ahol

der csúcsait jelöltük. Ekkor az az

és

,

,

és

háromszögben a

-vel a szabályos tetraé. Az említett jelölés esetén

élek szemben lévők (kitérő élpár). Vizsgáljuk meg ezen élek vektorainak skaláris

szorzatát!

. Mivel a tetraéder szabályos, ezért minden éle azo-

nos hosszúságú, azaz

. Ezt a jelölést alkalmazva: . Tehát:

és . Tudjuk, hogy két vektor

merőlegességének szükséges és elégséges feltétele, hogy skaláris szorzatuk nulla legyen, ezért

.

6. Az A csúcsból induló vektorok vektoriális szorzata:

ahol

. A háromszög te-

rülete: 7. A feladat megoldásának elve az előző feladatéval azonos. Itt is felírható az oldalvektorok vektoriális szorzata, melyben ismeretlenként szerepel y (C ordinátája). Felhasználva, hogy most ismerjük a háromszög területét, felírhatjuk az erre vonatkozó egyenletet, és ebből az y-ra két értéket kapunk:

,

.

8. Jelöljük a metszéspontból induló vektorokat az ábrán látható módon.

2. ábra Ezt a jelölést azért alkalmazhatjuk, mert a trapéz alapjain nyugvó háromszögek – szögeik egyenlősége miatt – hasonlóak. a)

és

. Ezek tehát egyenlők. b)

és . Tehát . Megjegyzés: A fenti átalakításoknál felhasználtuk, hogy két vektor vektoriális szorzata a skalárral (λ) való szorzásra nézve asszociatív. 1. V=3 térfogategység. 2.

Két megoldás van:

és

. Megjegyzés: Érdemes megfontolni, hogy miért adódik két megoldás.

Ez annak köszönhető, hogy az lap síkjához képest, a csúcs a z koordináta-tengellyel párhuzamosan mozoghat, hiszen ezt jelenti, hogy a harmadik koordinátája ismeretlen. A mozgás során kétszer kerül olyan

GEM1-18



helyzetbe (egyszer az meg az 3.

síkja „alatt”, egyszer pedig „felette”), hogy egyenlő térfogatú gúlákat határoz

oldallappal.

A pont második koordinátája: . A feladat megoldása azon alapul, hogy a négy pont úgynevezett elfajuló tetraédert határoz meg, amelynek térfogata nulla. Alkalmazható tehát, a tetraéder térfogatára vonatkozó képlet.

4. Mivel a paralelepipedon élei párhuzamosak az adott vektorokkal, ezért felírhatók ezen vektorok számszorosaiként. Így a testátló vektor az alábbi módon nyerhető: . Tudjuk, hogy ha a vektorokra fennáll ez az összefüggés, akkor fennáll a vektorok koordinátáira is. Ekkor a következő

egyenletrendszert kapjuk: szer megoldása:

;

Az egyenletrend;

. Végül a térfogat: V=84 térfogategység.

1.3.3 Koordináta-rendszerek transzformációi (Megoldások) 1. . 2. . 3.

, azaz

.

4. . 5. .

1.3.4 A pont analitikus geometriája (Megoldások) 1. Az

szakaszt

a koordinátákra alkalmazva: 2.

arányban osztó pontra vonatkozó összefüggés: ;

;

. Ezt

.

.

3. A tetraéder súlypontvektora:

. Ezt az összefüggést a csúcsok koordinátáira alkalmazva:

.


GEM1-19


2010

A súlypontvektorra vonatkozó vektoregyenletet ve:

. Innen:

–re (a

csúcs helyvektorára) átrendez-

.

1.3.5 Az egyenes analitikus geometriája (Megoldások) 1.

és

.

2. a) Az egyenesnek az origótól való távolsága

koordinátaegység. b) T=16 területegység.

3. és

.

4. A távolság létezik, mert párhuzamosak mivel meredekségük egyenlő ( esik, ezért távolságuk az origótól mért távolságuk összege:

). Az origó a két egyenes közé koordinátaegység.

5. Az adott egyenes irányszöge, valamint az adott és a keresett egyenes egymással bezárt szöge segítségével meghatározható a keresett egyenes irányszöge, majd ebből a meredeksége. Az alábbi megoldások adódnak: f1:

és f2:

.

6. A keresett pontot a két adott egyenes középpárhuzamosának és a két adott pont által meghatározott szakasz felezőmerőlegesének metszéspontja adja:

.

7. és 8.

.

A feladat egyik lehetséges megoldása: Felírjuk a letét (f), meghatározzuk t és f metszéspontját ( vektort. A kapott tükörkép:

ponton áthaladó t egyenesre merőleges egyenes egyen), majd

–hez (

helyvektorához) hozzáadjuk a

.

9. A fizika törvényei szerint a beesési és visszaverődési szög megegyezik. Ezért a visszavert fénysugár egyenese átmegy az előbbi feladat melynek egyenlete:

(tükörkép) pontján és a

ponton. E két pontot összekötő egyenes a megoldás,

.

10.A sík két egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontjainak mértani helyét a szögfelező egyenesek pontjai adják. Ezek egyenlete: f1:

és f2:

egyenes metszéspontjaként nyerjük:

. A megoldást az előbbi szögfelezők és a g és

.

11.Az egyenes egyenletrendszere abban az esetben, ha tartópontként az A pontot választjuk: . Ha a B pontot választjuk tartópontnak: . Megjegyzés: Bár a két egyenletrendszer formailag különbözik, ennek ellenére mind a kettőhöz ugyanaz a térbeli egyenes tartozik. (Azt is szoktuk mondani, hogy a két egyenletrendszerhez tartozó egyenesek egybeesnek.)

GEM1-20


Koordináta-geometria 12.A két egyenes egybeeső. 13.A g és h egyenes párhuzamos. 14.

A két egyenes metsző, a metszéspont

.

15.A két egyenes kitérő.

1.3.6 A sík analitikus geometriája (Megoldások) 1. 2.

A sík egyenlete:

, origótól való távolsága 2 egység.

A sík az abszcissza tengelyt az

, az ordináta tengelyt az

, az applikáta tengelyt a

pontokban metszi. 3. A két sík metszésvonalának egyenletrendszere: m: . Megjegyzés: Ha a megoldás során formailag más egyenletrendszer jön ki, attól még lehet az jó, ha az előbbivel egybeeső egyenest határoz meg. Ezt kell leellenőrizni. 4. Ha egy egyenes két síkkal párhuzamos, akkor a két sík metszésvonalával is párhuzamos. A keresett egyenes egyenletrendszere: f: ekvivalens egyenletrendszer jön ki.

. Megjegyzés: Itt is előfordulhat, hogy formailag más, f-fel

5. M(1;2;1). 6.

A feladat egyik lehetséges megoldása: Felírjuk a

ponton áthaladó S síkra merőleges egyenes egyenlet-

rendszerét (f), meghatározzuk S és f metszéspontját ( a

vektort. A kapott tükörkép:

), majd

–hez (

helyvektorához) hozzáadjuk

.

7. e*: 8.

Az

. Megjegyzés: Lásd a 3. feladatot. síkkal alkotott metszéspont: (második nyompont). Az

9. 10.

(első nyompont). Az

síkkal alkotott metszéspont:

síkkal alkotott metszéspont:

(harmadik nyompont).

. S*:

.

11. f: 12. 13.

F:

. Megjegyzés: Lásd a 3. feladatot. .

Azon pontok mértani helye a térben, amelyek két ponttól egyenlő távolságra vannak, az zőmerőleges síkja. Ebből metszi ki az f egyenes a keresett


pontot.

szakasz fele-

.

GEM1-21


2010

14.Az S síktól 2 koordinátaegységre lévő pontok mértani helye két olyan az S síkkal párhuzamos sík, amelyeket az S normálegyenletének segítségével könnyen megkaphatunk. Az e egyenesnek ezen síkokkal alkotott döféspontjai adják a megoldást: 15.

és

.

Mivel a síkok párhuzamosak, csak egy ilyen pont van:

.

16.Mind a két síktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye a két szögfelező sík. (Mivel az adott síkok nem párhuzamosak.) Megoldások:

és

.

17. Az egyenesek párhuzamosak, keressük tehát a középpárhuzamost: t: Lásd a 3. feladatot. 18.

Vizsgáljuk meg a két egyenes kölcsönös helyzetét. Mivel metszőek – metriatengely. Vegyük észre, hogy a két egyenes tartópontja az (3 egység). t1:

19. 20.

. Megjegyzés:

,

S:

és t2:

– ezért létezik kettő szim-

metszésponttól egyenlő távolságra van . Megjegyzés: Lásd a 3. feladatot.

.

S:

. Az S síkot az e egyenes és a két pont által meghatározott szakasz határozza meg.

21.Két nem párhuzamos síktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye a szögfelező síkok. Ezeknek a z tengellyel való metszéspontjai a megoldások: M( 22.

és

) és N(

).

.

1.3.7 Kúpszeletek (Megoldások) 1.3.7.1 Ellipszis (Megoldások) 1.

és

.

2. ,

,

.

,

,

.

3.

4. , 5. 6.

GEM1-22

,

,

,

. .

.


Koordináta-geometria 7. Mivel mind a két síkidom több szimmetriatengellyel rendelkezik, ezért szükséges, hogy egy-egy szimmetriatengely egybeessen. Ebből következik, hogy a másik két csúcs az abszcissza tengelyre szimmetrikusan fog

elhelyezkedni. Megoldások: 8. 9. 10.

és

e1:

és e2:

e1:

és e2:

.

e1:

és e2:

.

11.

és

.

, e1:

12.

és e2:

. Az ismeretlen érintési pontokon átmenő szelő egyenlete: . A keresett érintők: e1:

15.

és e2:

és e2:

és

. Érintési pontok

és

. Érintési pontok

és

.

Az ismeretlen érintési pontokon átmenő szelő egyenlete: . Érintők: e1:

. Érintési pontok .

Az ismeretlen érintési pontokon átmenő szelő egyenlete: . Érintők: e1:

16.

.

.

13. 14.

.

és e2:

.

17.Az ellipszisnek két olyan érintője van, amelyek párhuzamosak az f egyenessel. Az ezekhez tartozó érintési pontok egyike legközelebb, a másik pedig legtávolabb van az f egyenestől. Megoldás: 18.

.

.

19.A téglalap és az ellipszis szimmetriatengelyeinek egybe kell esniük. Ezt alapul véve a következő megoldást kapjuk: 20.

,

,

h:

,

.

.

1.3.7.2 Hiperbola (Megoldások) 1.

és

.

2. , aszimptoták: 3.

.

.


GEM1-23


2010

4. . 5.

,

,

.

6. koordinátaegység. 7. . 8. A két szimmetriatengely miatt a feladatnak mind a négy síknegyedben van egy-egy megoldása. Az első

negyedben lévő megoldás: 9. 10. 11. 12. 13.

,

.

, e1:

e1:

és e2:

és e2:

e1:

.

és e2:

h:

.

.

Az érintési pontokon átmenő szelő egyenlete: érintési pontokat. Az érintők: e1:

14.

.

. Ez a szelő a görbéből kimetszi az és e2:

Az érintési pontokon átmenő szelő egyenlete: érintők: e1:

és e2:

,

. . Az érintési pontok:

,

az

.

15.Mivel a keresett érintő egyenlő távolságra van két ponttól, ezért átmegy a két pont által meghatározott szakasz felezési pontján. Tehát a feladat ennek ismeretében az, hogy adjuk meg a görbe azon érintőit, amelyek illeszkednek az Megoldások: e1: 16. 17.

fókuszpont és az és e2:

középpont szakaszának

felezőpontjára.

.

. Nem ismerjük a hiperbola féltengelyeit (az a-t és b-t) továbbá az érintési pont koordinátáit

. A fel-

sorolt négy ismeretlen meghatározásához négy egyenletre van szükség. Ezek a következők: a) , mert az

illeszkedik a görbére. b)

egyenletet az adott aszimptotából kapjuk. d)

GEM1-24

, mert az

pont rajta van az adott érintőn. c)

, mert a görbe egyenletéből nyerhető érin-


Koordináta-geometria tő meredeksége azonos az adott érintő meredekségével. A felsorolt négy egyenletből álló egyenletrendszer megoldása:

,

,

,

. Végül a hiperbola egyenlete:

.

1.3.7.3 Parabola (Megoldások) 1. a)

, b)

, c)

.

2. vagy

.

3.

.

4. Ha a parabolát úgy helyezzük el a koordináta-rendszerben, hogy a tengelypontja az y tengelyre esik, az „út szintje” az x tengely, akkor a görbe egyenlete: 5. 6. 7. 8.

és

, e1:

, e:

. Az ötödik tartóvas hossza 9m.

és e2:

.

.

, e:

.

, e:

.

9. , e: 10. 11.

.

, e:

.

Az érintési pontokon átmenő szelő egyenlete: érintők: e1:

és e2:

. Az érintési pontok

,

. Az

.

12. Az érintési pontokon átmenő szelő egyenlete: . Az érintők: e1: 13. 14. 15.

és e2:

, e:

. Az érintési pontok

,

.

.

,

,

Az érintési pontok:

, T= ,

területegység. . Az érintők: e1:

és e2:

.

16.Nincs közös pontjuk. 17.

; M1(

) és M2(


).

GEM1-25


2010

1.3.7.4 Kúpszeletek és a másodfokú, kétismeretlenes egyenletek kapcsolata (Megoldások) 1.

A görbe csak hiperbola lehet. Mivel az egyenletben szerepel az úgynevezett vegyesszorzat (

), ezért

elforgatott helyzetű a hiperbola. Ha a koordináta-rendszert -kal elforgatjuk, akkor ebben az új koordináta-rendszerben a görbe szimmetriatengelyei párhuzamosak lesznek az új koordináta-rendszer tengelyeivel. A hiperbola valós tengelye 6, képzetes tengelye 4 koordinátaegység. 2.

A grafikon egy elforgatott parabola lesz. A koordináta-rendszert -kal elforgatva olyan új koordináta-rendszert kapunk, amelyben a görbe szimmetriatengelye párhuzamos lesz az új koordinátarendszer valamelyik tengelyével. A görbe tengelypontja az origóban lesz, paramétere

3.

4.

.

A függvény grafikus képe egy elforgatott ellipszis lehet. A koordináta-rendszert -kal kell elforgatni ahhoz, hogy megszűnjön a grafikon „csavart” helyzete. Az ellipszis középpontja az origóban lesz. Az elforgatott x tengelyre eső tengely (nagytengely) 6 egység, a kistengely 5,24 egység lesz. A grafikus kép egy ferde tengelyű parabola lehet. A koordináta-rendszert -kal elforgatva a görbe tengelyei párhuzamosak lesznek az elforgatott koordináta-rendszer tengelyeivel. Az új koordinátarendszerben a parabola tengelypontja:

pont lesz, paramétere pedig

.

1.3.8 Felületek (Megoldások) 1.

. Az

pontra illeszkedő érintősík:

kedő érintősík: 2.

. Az

pontra illesz-

.

és

.

3. Az érintési pontokat egy olyan f egyenes metszi ki a gömb felületéből, amely illeszkedik a gömb középpontjára (origóra) és merőleges az S síkra. Ennek az egyenletrendszere: si pontok:

,

. Az érinté-

, és az ezekre illeszkedő érintősíkok: S1:

, illetve

S2: . Megjegyzés: Az E1 és E2 pontok a gömbfelület azon pontjai, amelyek az S síkhoz a legközelebb, illetve a legtávolabb vannak. Továbbá vegyük észre, hogy a két érintési pont a felület középpontjára (ami az origó) szimmetrikusan helyezkedik el (mivel a felület centrálisan szimmetrikus). 4.

. Az

pontra illeszkedő érintősík:

leszkedő érintősík: 5. 6.

és Az érintési pont –

. Az

. . – ismeretlen koordinátáinak meghatározásához fel kell használni

az adott S síknak és a felület egyenletéből nyerhető Sé:

GEM1-26

pontra il-

érintősíknak a



párhuzamosságát. Így az érintési pontok: tősíkok: S1:

és

, valamint az ezekre illeszkedő érin-

és S2:

.

1.3.9 Összefoglaló feladatsorok (Megoldások) 1. feladatsor (Megoldás) 1. Tulajdonképpen az A csúcsból induló oldalvektorok hajlásszöge a kérdés: ,

,

,

,

,

.

2. V=33 térfogategység. 3.

Az elmozgatott egyenes egyenlete:

.

4. A metsző egyenesek tengelyes tükörképek a szögfelezőkre nézve. Ebből adódóan az egyik lehetséges megoldás, ha az e egyik irányvektorát leolvassuk, és tükrözzük a mivel

vektor egyenesére (alapfeladat), s

illeszkedik az e egyenesre, ezen keresztül a kapott tükörkép-vektorral – mint irányvektorral – fel-

írhatjuk a keresett egyenes egyenletét:

.

5. A három csúcs által meghatározott szakaszok hossza:

,

téglalap középpontja tehát a BC oldal felezési pontja F(

). A keresett egyenes irányvektora

,

,

.A

. Az egyenes egyenletrendszere:

.

2. feladatsor (Megoldás) 1.

Kiszámítjuk az

átló felezési pontjának koordinátáit:

csot határozzuk meg:

. Meghatározzuk

és

. Innen a

csú-

oldalvektorokat:

, . Ezekből a paralelogramma területét határozzuk meg, mert a két oldal egyenesének távolsága nem más mint a két oldalhoz tartozó magasság értéke. A paralelogramma területe:

területegység. Az

egység. Innen a keresett távolság: 2.

egység.

A koordinátákból megállapítható, hogy a kocka az [x,y] koordinátasíkon áll, alaplapja az fedőlapja lezési pontjaként: ,

négyzet,

négyzet. A kocka középpontját meghatározhatjuk az egyik testátlójának (pl.: . Meghatározzuk az , ebből


sík normálvektorát: . Meghatározzuk az

) fe-

, sík normálvektorát:

GEM1-27


2010

,

,

, ebből

hajlásszöge:

. A két normálvektor

. Így a két sík hajlásszöge is 60o.

, innen

3. A feladathoz érdemes olyan ábrát készíteni, amely feltünteti a keresett egyenes lehetséges helyzetét, így az alább közölt megoldás is érthetőbb lesz. (Az ábra alapján az is kiderül, hogy a feladatnak két megoldása van.) Az adott egyenes irányszöge a meredekség alapján . Tekintsük azt a háromszöget, amelyet az alábbi metszéspontok határoznak meg: - a keresett egyenes és az adott egyenes metszéspontja, - az adott egyenes x tengellyel vett metszéspontja, - a keresett egyenes x tengellyel vett metszéspontja. Ennek a háromszögnek a belső és a külső szögeire vonatkozó tételek alapján meghatározhatjuk a keresett egyenes irányszögét. Az első esetben:

, innen az egyenes egyenlete:

e1:

. A másik esetben

egyenlete: e2:

, innen az egyenes

.

4. A koordináta-rendszer transzformációinak törvényeit felhasználva kapjuk az új rendszerbeli egyenletet:

. Ezt átalakítva (2-es alapra emelve) kapjuk:

, ahonnan a

középiskolából ismert alak is előállítható: 5.

A megoldás menete: Meghatározzuk az

háromszög síkjának egyenletét, valamint a

ponton átha-

ladó, a síkra merőleges egyenes (magasságvonal) egyenletrendszerét. Ezek metszéspontja adja a tot. A sík normálvektora

, ennek a vektornak a huszad része is megfelel a sík

egyenletének felírásához. A sík egyenlete:S:

. A magasságvonal irányvektora megegyezik a

sík nornálvektorával, felírhatjuk tehát az egyenletrendszert: m: egyenes döféspontja:

talppon-

. A sík és az

.

3. feladatsor (Megoldás) 1. Meghatározzuk a háromszög síkjának normálvektorát:

. Ennek tizenhatod

része is megfelel a sík felírásához. A sík egyenlete S: tengellyel alkotott metszéspont alkotott metszéspont 2.

A keresett érintők egyenletei: e1:

. Az origó távolsága

. Az y tengellyel alkotott metszéspont . A tetraéder térfogata:

egység. Az x . A z tengellyel

térfogategység.

és e2:

.

3. Helyezzük a hidat a koordináta-rendszerbe úgy, hogy az origó a 4. tartóelem talppontja legyen, a híd alapja pedig illeszkedjen az x tengelyre. A koordináta rendszerben 1egység=20m legyen. Ekkor a parabolaív egyenlete három pontjának és elhelyezkedésének ismeretében felírható:

GEM1-28

. Ebből kiszámolhatók



a 6. tartóelem felső pontjának koordinátái

. A keresett szög a parabola

pontbeli érintőjének

és a tartóelem „függőleges” egyenesének a hajlásszöge lesz. A -beli érintő egyenlete: . A meredekségből meghatározható az érintő irányszöge α=-26,6o. Ezen szög abszolút értékének pótszöge, azaz 63,4o a megoldás. 4.

Először meghatározzuk a keresett síkok leendő érintési pontjait: , . A keresett síkok normálvektora megegyezik az S sík normálvektorával, mivel ezen síkok párhuzamosak. Ezekből már felírható a keresett síkok egyenlete: S1:

5.

és S2:

Az alakzatokból nyert egyenletrendszert kell megoldani. A keresett döféspontok:

. ,

.

Irodalomjegyzék Baboss Csaba : Geometria I. , Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai kar , Székesfehérvár , 2007 Coxeter H. S. M.: A geometriák alapjai , Műszaki Könyvkiadó , Budapest , 1973 Hajós György : Bevezetés a geometriába , Tankönyvkiadó , Budapest , 1966 Kárteszi Ferenc : Bevezetés a véges geometriákba , Akadémia Kiadó , Budapest , 1972 Kárteszi Ferenc : Lineáris transzformációk , Tankönyvkiadó , Budapest , 1974 Reiman István : A geometria és határterületei , Gondolat Könyvkiadó , 1986 Pelle Béla : Geometria , Tankönyvkiadó , Budapest , 1974


GEM1-29




Metrikus feladatok








Tartalom 2. Metrikus feladatok ................................................................................................................. 1 2.1 Bevezetés .................................................................................................................... 1 2.1.1 Alapvető fogalmak ............................................................................................. 1 2.1.2 Összefüggések, tételek, képletek ............................................................................ 2 2.2 Metrikus feladatok ....................................................................................................... 6 2.2.1 Szögekkel kapcsolatos feladatok ............................................................................ 6 2.2.2 Távolsági feladatok ............................................................................................. 8 2.3 Metrikus feladatok - MEGOLDÁSOK ............................................................................. 12 2.3.1 Szögekkel kapcsolatos feladatok (Megoldások) ........................................................ 12 2.3.2 Távolsági feladatok (Megoldások) ........................................................................ 14

2. fejezet - Metrikus feladatok 2.1 Bevezetés Ez a modul az analitikus geometria azon feladatait gyűjtötte egybe, amelyek az egyes térelemek távolságának és hajlásszögének a meghatározását igénylik. A feladatok előtt rövid elméleti összefoglalást adunk az egyes fogalmakról és tételekről.

2.1.1 Alapvető fogalmak • Két pont távolsága: alapfogalom. • Szakasz hosszán a két végpontjának távolságát értjük. • Két ponthalmaz távolsága: A két ponthalmaz pontjai között behúzható összes szakasz hosszának infimuma (alsó határa). Zárt alakzatok esetén ez a legrövidebb szakasz. • Két ponthalmaz távolsága nulla, ha van közös pontjuk, vagy közös határuk. Tehát metsző, illetve illeszkedő térelemek távolsága nulla. • Pont és egyenes távolsága: A pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza. • Pont és sík távolsága: A pontból a síkra állított merőleges egyenes döféspontjának és az adott pontnak a távolsága. • Két párhuzamos egyenes távolsága: Az egyik egyenes tetszőleges pontjának a másik egyenestől vett távolsága. • Kitérő egyenesek normáltranszverzálisa: Bizonyítható, hogy két kitérő egyenes esetében pontosan egy olyan egyenes létezik, amelyik mindkettőt metszi, és mindkét egyenesre merőleges. Ez az egyenes a két kitérő egyenes normáltranszverzálisa. • Két kitérő egyenes távolsága: A normáltranszverzálisnak a kitérő egyenesekkel alkotott metszéspontjai közé eső szakasza. • Egyenes és vele párhuzamos sík távolsága: Az egyenes tetszőleges pontjának a síktól vett távolsága. • Két párhuzamos sík távolságán az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól vett távolságát értjük. • Két metsző egyenes hajlásszöge: A metszéspont körül keletkezett szögtartományok (2-2 egybevágó szög) közül a kisebbik. • Két kitérő egyenes hajlásszöge: Az a szög, melyet úgy kapunk, hogy az egyik egyenest önmagával párhuzamosan eltolva a másikkal metsző helyzetbe hozzuk, és az így keletkező immáron metsző egyenesek hajlásszöge lesz a két kitérő egyenes hajlásszöge. • Egyenes és sík merőleges helyzete: Egy egyenes akkor merőleges egy síkra, ha merőleges a sík összes egyenesére. Bizonyítható, hogy ha egy egyenes merőleges a sík két egymást metsző egyenesére, akkor merőleges az összes egyenesére, azaz merőleges a síkra. • Egyenes és sík hajlásszögén az egyenesnek az adott síkra eső merőleges vetületének és az adott egyenesnek a hajlásszögét értjük. • Két metsző sík hajlásszöge: A két sík metszésvonalának egy pontjában, a metszésvonalra merőleges egyeneseket állítunk mindkét síkban, és az így nyert egyenesek hajlásszöge lesz a síkok hajlásszöge. Ez a szög pótszöge az egyenes és a sík normálisa által bezárt szögnek.


2010

• Párhuzamos, illetve egybeeső térelemek (sík, egyenes) hajlásszöge nulla.

2.1.2 Összefüggések, tételek, képletek • Vektor hossza (síkbeli koordinátákkal):

.

• Vektor hossza (térbeli koordinátákkal): •

Az

és

. végpontú

szakasz,

illetve

vektor

hossza:

. • Két vektor skaláris szorzata: • • •

.

Két vektor skaláris szorzata síkbeli koordinátákkal:

.

Két vektor skaláris szorzata térbeli koordinátákkal: Az

és

.

vektorok vektoriális szorzatán azt a vektort értjük, amelyik merőleges mindkét

adott vektorra, az

,

hossza:

és

vektorok ebben a sorrendben „jobbrendszert” alkotnak, és a .

•

Két vektor vektoriális szorzata koordinátákkal: •

.

Paralelogramma területe, ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat

-val és

-vel jelöljük:

. •

Háromszög területe, ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat

-val és

-vel jelöljük:

. • •

Három vektor vegyes szorzatán a következő műveletet értjük:

.

Paralelepipedon térfogata, ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat

,

és

-vel jelöljük:

. •

Tetraéder térfogata, ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat

,

és

-vel jelöljük:

.

GEM2-2


Metrikus feladatok •

Az

,

és

csúcsú háromszög súlypontjának koordinátái:

. •

A

pontra illeszkedő egyenes egyenletei (síkban): .-

gel: • Az

irányvektorral:

normálvektorral:

.-

meredekség-

. (Az egyenes meredeksége az irányszögének a tangense.) egyenes

normálegyenlete:

Ha

az

egyenest

általános

alakban

írjuk

fel,

azaz

formában, akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyerjük:

. • A pont és egy adott egyenes távolsága: egyenes egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető.

, ahol a tört számlálója az

• A koordináta-síkon adott két egyenes ( , ahol és mazható.)

és


a két egyenes normálvektora. (Ugyanez az összefüggés az irányvektorokkal is alkal-

• Két egyenes hajlásszöge meredekségekkel:

.

• Két metsző egyenes szögfelezőinek egyenletét az adott egyenesek normálegyenleteinek összege, illetve különbsége adja. •

•

A kör általános egyenlete: sugara. A

kör

, ahol

pontjában

húzható

a kör középpontja,

érintőjének

az

pedig a

egyenlete:

. •

A

külső pontból, az általános egyenletével adott körhöz húzható érintők érintési pontjain

áthaladó szelő egyenletét úgy kapjuk, hogy a

koordinátáit az érintő általános egyenletébe

behelyettesítjük. Ekkor tehát az egyenlet az előbb említett szelő egyenletét adja. Ez az eljárás a továbbiakban előkerülő kúpszeletek mindegyikére alkalmazható.


GEM2-3


2010

• Az ellipszis általános egyenlete (ha a tengelyei párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel):

, ahol tengely, • •

pedig az

az ellipszis középpontja,

tengellyel párhuzamos fél-


Összefüggés az ellipszis féltengelyeire: Az

az

ellipszis

, ahol

pontjában


húzható

érintőjének

az

egyenlete:

• A hiperbola általános egyenlete (ha a tengelyei párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel):

, ahol féltengely, • •

pedig az


tengellyel párhuzamos


Összefüggés a hiperbola féltengelyeire: A

az

hiperbola

, ahol

pontjában


húzható

érintőjének

az

egyenlete:

• A hiperbola aszimptotáinak egyenletei: a hiperbola hossza.

, ahol

tengellyel párhuzamos féltengelye,


pedig az

tengellyel párhuzamos féltengely

• A parabola általános egyenletei (elhelyezkedéstől függően: - az

tengely pozitív irányába nyitott,

tengelye párhuzamos az ja,

tengellyel:

, ahol

tengely negatív irányába

pedig a fókuszpont és a vezéregyenes távolsága (paraméter). - az

nyitott, tengelye párhuzamos az

tengellyel:

irányába nyitott, tengelye párhuzamos az

•

a parabola tengelypont-

, - az

tengellyel: tengellyel:

Az

szimmetriatengelyű,

párhuzamos

tív irányába nyitott parabola

tengely ne-

, - az

gatív irányába nyitott, tengelye párhuzamos az koordináta-tengellyel

tengely pozitív

. az

tengely

pozi-

pontjában húzható érintőjének az egyenlete: .

• Az irányába

koordináta-tengellyel nyitott

párhuzamos

parabola

szimmetriatengelyű, pontjában

húzható

az érintőjének

tengely az

pozitív

egyenlete:

.

GEM2-4


Metrikus feladatok •

A

pontra illeszkedő sík egyenlete

normálvektorával felírva:

. • A

sík

normálegyenlete:

Ha

a

síkot

általános

alakban

írjuk

fel

azaz

formában, akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyer-

jük:

, illetve

ugyanez tömörebb formában:

.

• A pont és egy adott sík távolsága: számlálója a sík egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető.

, ahol a tört

• Két metsző sík szögfelező síkjainak egyenletét az adott síkok normálegyenleteinek összege, illetve különbsége adja. • A tér általános helyzetű egyenesének egyenletrendszere: az egyenes irányvektora, valamint 0), •

, ahol

(tehát az irányvektor egyik koordinátája sem

pedig az egyenes egy adott pontja.

A tér általános helyzetű egyenesének egyenletrendszere, ha

pedig az egyenes egy adott pontja:

az egyenes irányvektora,

, ahol

valós paraméter. Itt

is lehet, azaz ezt az egyenletrendszert akkor is használhatjuk, ha az irányvektor valamelyik koordinátája 0. • •

Két egyenes párhuzamos, ha irányvektoraik párhuzamosak, azaz: Egy

egyenes és egy

,

.

sík párhuzamos, ha az egyenes irányvektora merőleges a sík

normálvektorára, azaz:

.

• Két sík ( . • •

és

,

Két egyenes merőleges, ha irányvektoraik merőlegesek egymásra, azaz: Egy

egyenes merőleges az

azaz: •

) párhuzamos, ha normálvektoraik párhuzamosak, azaz:

Két sík (

, és

.

síkra, ha az egyenes irányvektora párhuzamos a sík normálvektorával, .

) merőleges, ha normálvektoraik merőlegesek, azaz:


.

GEM2-5


2010

• Két általános helyzetű egyenes hajlásszögének meghatározása: a két egyenes irányvektora.

, ahol

és

• Általános helyzetű egyenes és sík hajlásszögének meghatározása: egyenes irányvektora,

, ahol

az

pedig a sík normálvektora.

• Két általános helyzetű sík ( és •

•

és


a két sík normálvektora.

A gömb egyenlete: pedig a sugara. A

, ahol

, ahol

gömb

pontjában

a gömb középpontja,

húzható

érintősík

egyenlete:

. • Az ellipszoid egyenlete: pontja, az •

Az

,

és

, ahol

az ellipszoid közép-

a három féltengelye.

ellipszoid

pontjában

húzható

érintősík

egyenlete:

.

2.2 Metrikus feladatok 2.2.1 Szögekkel kapcsolatos feladatok 1.

Adott két vektor. Határozzuk meg az általuk bezárt . c)

2.

,

Legyen , zárjon be egymással!

szöget! a)

,

. b)

,

. . Határozzuk meg az

abszcisszáját úgy, hogy a két vektor 60o-os szöget

3. Határozzuk meg a következő két-két egyenes által bezárt és és

GEM2-6

. c) . e)

és

szöget! a) és

,

és ,

. b) . d)

.


Metrikus feladatok 4.

Adjuk meg azon egyenes egyenletét, amelyik áthalad a

ponton és a harmadik síknegyedben a

koordinátatengelyekkel olyan háromszöget alkot, amelyiknek a területe

területegység.

5. Két egyenes egyenlete: e:

és f:

. Határozzuk meg az f egyenes m meredekségét

úgy, hogy a két egyenes által bezárt szög 6.

Legyen e:

és f:

legyen! . Határozzuk meg az f egyenes egyenletében szereplő

úgy, hogy a két egyenes által bezárt szög

értékét

legyen.

7. Határozzuk

meg

a

f:

következő

két

egyenes

hajlásszögét!

e:

és

.

8. Számítsuk ki az alábbi térelemek által bezárt szöget! e:

és S:

,

. 9. 10.

Mekkora a hajlásszögük a következő síkoknak? S: Adjuk meg az alábbi síkok hajlásszögét! S:

, R: , R:

. ,

.

11. Adott egy

egyenes és egy

S: 12.

sík. Mekkora az egymással bezárt szögük? e:

,

.

Milyen szög alatt látjuk a

pontból a g:

ellipszist?

13. Milyen szög alatt látjuk a

pontból a g:

egyenletű görbét?

14. Határozzuk meg a g:

egyenletű görbének a

pontból való látószögét!

15. Milyen szög alatt látható a 16.

pontból a

egyenletű ellipszis?

Adjuk meg annak az origó középpontú hiperbolának az egyenletét, amelyiknek egyik pontja a aszimptotái 60o-os szöget zárnak be egymással!

és

17. Hány fokos szögben látható a

pontból a


egyenletű hiperbola jobb oldali ága?

GEM2-7

Geometriai példatár 2. 18. 19. 20.

21.

22.

23.

24.

2010

Milyen szög alatt látható a g:

parabola a

Hány fokos szögben látható a

pontból a g:

pontból? egyenletű görbe?

Adott egy f: egyenes és egy g: egyenletű ellipszis. Az egyenes két pontban metszi a görbét. Határozzuk meg mind a két metszéspontban az egyenes és a görbe által bezárt hajlásszöget! Megjegyzés: Egymást metsző görbe és egyenes hajlásszögén azt a szöget értjük, melyet a metszéspontban húzható érintő az adott egyenessel zár be. Adott egy g: egyenletű hiperbola és egy f: görbe és egyenes által bezárt hajlásszöget mind a két metszéspontban! Adott egy g: egyenletű parabola és egy f: és az egyenes által bezárt hajlásszöget mind a két metszéspontban! Adott az origó középpontú hiperbola h: meg a metszéspontjaikban keletkezett hajlásszögeket! Adott két parabola:g: letkezett hajlásszögeket!

egyenes. Határozzuk meg a

egyenes. Határozzuk meg a görbe

és g:

és h:

ellipszis. Határozzuk

. Határozzuk meg a metszéspontjaikban ke-

2.2.2 Távolsági feladatok 1.

Határozzuk meg azon háromszögek területét, amelynek csúcsai: a) ,

2.

3.

,

. c)

,

Adott két pont , továbbá három pont egy egyenesen legyen!

,

,

. b)

.

. Határozzuk meg a

Adott két pont , továbbá koordinátáját úgy, hogy a három pont egy egyenesen legyen!

,

pont ordinátáját úgy, hogy a

. Határozzuk meg a

pont ismeretlen

4. Egy háromszög csúcsai: , , , területe T= ordinátáját úgy, hogy a háromszög területe a megadott érték legyen! 5.

Határozzuk meg azon gúlák térfogatait, amelyeknek csúcsai: a) . b)

6.

Egy gúla csúcsai: Határozzuk meg a

7.

8.

,

, ,

, ,

. Határozzuk meg a

,

,

csúcs

,

. ,

, térfogata

térfogategység.

csúcs applikátáját úgy, hogy a térfogat a megadott érték legyen!

Legyen , , hogy a négy pont egy síkban legyen.

,

. Határozzuk meg a C pont abszcisszáját úgy,

Adott az , , háromszög. Határozzuk meg: a) a C csúcsra illeszkedő magasságvonal egyenletét, b) az mc magasság hosszát!

GEM2-8



Adott egy e: hogy a

10.

pont. Határozzuk meg a

pont ordinátáját úgy,

pont távolsága az adott egyenestől 5 egység legyen!

Adott az e: és

egyenes és egy

egyenes és az

,

pontpár. Melyek azok a pontok, amelyek az

pontoktól egyenlő távolságra, az e egyenestől pedig 5 egységre vannak?

11. Határozzuk meg a 12.

Számítsuk ki a

pontnak az e:

egyenestől való távolságát!

pontnak az S:

síktól való távolságát!

13. Adott S sík és egy e egyenes. S: , e: . a) Állapítsuk meg kölcsönös helyzetüket! b) Ha metszőek, határozzuk meg a metszéspont koordinátáit! Ha párhuzamosak, számítsuk ki a távolságukat! 14. 15.

Adott két párhuzamos sík: S:

; R:

Adott egy S: sík. Határozzuk meg a való távolsága 3 koordináta egység legyen!

. Határozzuk meg a távolságukat! pont ordinátáját úgy, hogy a

pont síktól

16. Létezik-e, s ha igen mekkora a következő két egyenes távolsága? e:

, f:

. 17. Adott két kitérő egyenes: e: , f: . a) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! b) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! c) Számítsuk ki távolságukat! 18. Adott két kitérő egyenes: e: , f: . a) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! b) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! c) Számítsuk ki távolságukat! 19. Adott két kitérő egyenes: e: , f: . a) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! b) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! c) Számítsuk ki távolságukat! 20. Határozzuk meg az egyenes egyenletében az ordináta-szelet ( ) értékét úgy, hogy az egyenes az origótól 5 koordináta egységre legyen! Mekkora területű háromszöget alkot a koordináta-rendszer tengelyeivel a kapott egyenes? 21.

Határozzuk meg az egyenes egyenletében a meredekség ( az origótól való távolsága 2 koordináta egység legyen!


) értékét úgy, hogy az egyenesnek

GEM2-9


2010

22. Adott két kitérő egyenes: e: és , f: . a) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! b) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! c) Számítsuk ki távolságukat! 23. Adott két kitérő egyenes: e: és , f: . a) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! b) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! c) Számítsuk ki távolságukat! 24.

Adott az A és B sík, és egy e egyenes. A:

, B:

, e:

. Határozzuk meg az e egyenes azon pontját, amely mind a két síktól egyenlő távolságra van! 25.

26.

27.

28.

Adott három sík: A: , B: , C: . Határozzuk meg mindazon pontokat, amelyek egyrészt az A és B síkoktól egyenlő távolságra, másrészt a C síktól 1 koordináta egységre vannak! Adott két pont , és egy S: sík. Határozzuk meg azon pontokat, amelyek az adott pontoktól egyenlő távolságra, az S síktól pedig 2 egységre vannak! Határozzuk meg az S: távolságát!

síknak az

Határozzuk meg az S:

egyenletű gömbfelülettől való

síknak a távolságát a következő gömbfelülettől: .

29. 30.

Adjuk meg az S:

síknak az

ellipszoidtól való távolságát!

Határozzuk meg az távolságát!

egyenletű görbének az f:

egyenestől való

Határozzuk meg a g: egyenes távolságát!

egyenletű hiperbola „jobb” oldali ága

31. és az f:

32. Adott az 33. 34.

35.

36.

Adjuk meg az f: Határozzuk meg az egyenes távolságát!

egyenletű ellipszis és egy f: egyenesnek a g:

egyenes. Határozzuk meg távolságukat! egyenletű görbétől való távolágát!

egyenletű hiperbola jobb oldali ága és az

egyenletű

Adott az egyenletű hiperbola. Mekkora annak a háromszögnek a területe, amelyet az pontjára illeszkedő érintő, az I. és III. síknegyedben lévő aszimptota és az x tengely zár be? Határozzuk meg az

GEM2-10

parabola és az

egyenes távolságát!


Metrikus feladatok 37. 38.

Adjuk meg a g:

görbe és az f:

Határozzuk meg az

egyenes távolságát!

ellipszisnek a

egyenestől való távolságát!

39.Az e egyenes mentén beeső fénysugár a tükör S síkjáról visszaverődve az e* egyenes mentén halad tovább. Adjuk meg a visszavert fénysugár (e*) egyenletrendszerét, ha: e: 40.

Tükrözzük az S:

, S:

.

pontra. Adjuk meg a sík tükörképének (S*) egyenletét!

síkot a

41. Tükrözzük az e: (e*) az egyenletrendszerét!

egyenest a

pontra! Adjuk meg az egyenes tükörképének

42. Tükrözzük a (

pontot a t:

egyenesre! Adjuk meg a pont tükörképének

) koordinátáit!

43.

44.

Adott két párhuzamos egyenes: e:

, f:

az adott egyenesekre illeszkednek. Az egyik szára az van. Határozzuk meg a trapéz területét!

koordináta-síkon, a másik pedig az

Egy gúla egyik csúcsa az origó, további három csúcsát az S: tengelyekkel alkotott metszéspontjaiban nyerjük. Mekkora a gúla térfogata?

. Egy trapéz csúcsai síkon

síknak a koordináta-

45.Egy háromszög két oldala az alább adott – e és f - egyeneseknek szakaszai, a harmadik oldala párhuzamos az

koordináta-síkkal, és „fölötte” egységnyi távolságra van. Mekkora a háromszög kerülete? e: , f:

.

46. Az e: egyenletrendszereit! 47.

egyenest tükrözzük mind a három koordináta-síkra. Adjuk meg a tükörképek

Létezik-e, s ha igen, mekkora a térfogata annak a tetraédernek, amelynek alaplapja S: síkon van, és három éle az alábbi (e; f; g) egyenesek szakaszai? e: f:.

, g:

,

.

48. Adott két metsző egyenes: e: , f: . Határozzuk meg azon egyenlőszárú háromszög csúcsait, amelynek szárai az adott egyenesek szakaszai, és a szárak hossza 7 koordináta egység.


GEM2-11


2010

2.3 Metrikus feladatok - MEGOLDÁSOK 2.3.1 Szögekkel kapcsolatos feladatok (Megoldások) 1. a)

,

. b)

,

. c)

,

. 2.

.

3. a)

,

. b)

. e)

,

. c)

. d)

,

.

4. . 5. ,

.

6. ,

.

7. A hajlásszöget az egyenesek irányvektorai által bezárt szög segítségével állapítjuk meg (figyelembe véve, hogy két térelem nem zárhat be 90o-nál nagyobb szöget, viszont két vektor szöge lehet 90o-nál nagyobb). , . Megjegyzés: Két térbeli egyenes által bezárt szöget attól függetlenül meg tudjuk állapítani, hogy tudnánk, hogy metszők avagy kitérők (ugyanis a párhuzamosság az irányvektorok ismeretében kizárt). 8. ,

.

,

.

9.

10.

.

11. , 12.

.

A keresett látószöget a P pontra illeszkedő két érintő zárja be. Az érintők e1:

. A keresett szög:

GEM2-12

és e2:

.


Metrikus feladatok 13. A P pontra illeszkedő érintők: e1:

, e2:

. A keresett látószög:

,

. 14.

A P pontra illeszkedő érintők: e1: ,

15.

, e2:


.


, e2:


.

16. Két ilyen hiperbola van: 17.

és


18.

. , e2:


, e 2:


.


.

19. A P pontra illeszkedő érintők: e1:

, e2:


,

. 20.

A görbe és egyenes metszéspontjai:

,

. Az

metszéspontnál létrejövő hajlásszög: e2: 21.

.A

,

,

. Az

metszéspontnál létrejövő hajlásszög:

22.

.A



. Az

pontra illeszkedő érintő: .

pontra illeszkedő érintő: e1: ,

,

. Az

,

.A


A görbe és egyenes metszéspontjai: . Az

.A


A görbe és egyenes metszéspontjai:

e2:

pontra illeszkedő érintő: e1:

. Az

pontra illeszkedő érintő: ,

.

pontra illeszkedő érintő: e1: ,

.A

pontra illesz-

GEM2-13


2010

kedő érintő: e2:

. A


,

. 23.A két görbe 4 (különböző síknegyedbe eső) pontban metszi egymást. Ezen metszéspontok koordinátái – a közös szimmetriatengelyek miatt – csak előjelben különböznek. A keresett hajlásszögek ezért egyenlők, tehát elegendő csak az I. síknegyedben vizsgálódni. A görbék metszéspontja az I. síknegyedben: M(4;2). Az ellipszis érintője az M pontban: e1:

. A hiperbola érintője az M pontban: e2:

hajlásszöge az M pontban:

,

. A görbék

.

24.Az y tengely a két parabola közös szimmetriatengelye, ezért a két metszéspont csupán az első koordinátáik előjelében térnek el egymástól. Másrészt a két metszéspontban keletkezett hajlásszögek megegyeznek. A görbék metszéspontja az I. síknegyedben:

. Az egyik érintő: e1:

. A keresett hajlásszög:

,

. A másik érintő: e2:

.

2.3.2 Távolsági feladatok (Megoldások) 1. a)

területegység. b)

területegység. c)

. Megjegyzés: Hogy a c) feladat

„háromszögének” 0 a területe már abból is feltűnhet, hogy az meghatározásával 2.

és

vektorok koordinátáinak

adódik, ami csak úgy lehet, ha a három pont egy egyenesre illeszkedik.

Ha a három pont egy egyenesen van, három féle módon is megoldhatjuk a feladatot: a) Az területe 0, alkalmazzuk a terület-képletet. b)

háromszög

. Mivel a C egyik koordinátája ismert, ezért eb-

ből meghatározható, majd az ismeretlen koordináta is számolható. c) A C illeszkedik az AB egyenesre, ezért annak egyenletét felírva, majd a C koordinátáit behelyettesítve kiszámítható az ismeretlen koordináta. Megoldás:

.

3. A feladat szövege azonos az előző feladatéval. A különbség az, hogy most három dimenzióban vagyunk. Térben az előbbi megoldás a) variációja nem használható, mert itt a T=0 egyenlet két ismeretlent tartalmaz. A b) és c) megoldást itt is alkalmazhatjuk. Eredmények: 4.

vagy

és

.

.

5. a) V=3 térfogategység. b) 6.

vagy

térfogategység.

.

7. Ha a négy pont egy síkban van, akkor az általuk meghatározott „gúla” térfogata 0. Másik megoldás: Írjuk fel az A, B, D pontok közös síkjának egyenletét, majd – mivel a C pont ezen sík eleme – a kapott egyenletbe helyettesítsük be a C pont koordinátáit. Megoldás:

GEM2-14

.



a)

. b) mc=5 egység.

9. Két megoldás van: az egyik az egyenes „fölött”: 10.

, a másik az egyenes „alatt”:

.

Az A és B pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye az f: szakaszfelező merőleges. Az e egyenestől 5 egységre lévő pontok mértani helye két egymással és az e egyenessel is párhuzamos h és g egyenes, h:

, g:

és

. Megoldás: az említett mértani helyek metszéspontjai:

.

11.Célszerű előbb meghatározni az egyenesnek azt a pontját, amelyik a legközelebb van az adott ponthoz. Ezt a pontot a P pontra illeszkedő, az e egyenesre merőleges S: nesből:

sík metszi ki az adott egye-

. Ezzel a feladatot visszavezettük két pont távolságának kiszámítására, ami azonos a

vektor hosszával: d=PM=7 egység. 12.A távolság: d=3 egység. 13.

a) Mivel , ezért a két vektor merőleges, az S sík és az e egyenes párhuzamos egymással. b) A távolságot az egyenes egy tetszőleges pontjának – pl. tartópontjának – a síktól való távolságával mérjük: d=1 egység.

14.A távolság: d=3 egység. 15.

Az S síktól 3 egységre lévő pontok mértani helye a következő két sík: A: . A P pont illeszkedik ezen síkokra:

16.

A két egyenes párhuzamos, mert van közös irányvektoruk:

vagy

, B:

.

. Így létezik a távolságuk: d=7 egység.

17.a) Két kitérő egyenes normáltranszverzálisát a Geometria I. jegyzet 73-75. oldalain leírt megoldási elv alapján számíthatjuk, lásd az ott kidolgozott feladatot. A kapott normáltranszverzális egyenletrendszere: . Megjegyzés:Bármely, ezzel ekvivalens egyenletrendszer is természetesen helyes megoldás. b)

illeszkedik az e egyenesre,

illeszkedik f egyenesre. c) d=7 egység.

18. a) illeszkedik az e egyenesre, illeszkedik az f egyenesre. b) Megjegyzés: Lásd 17/a megjegyzését. c) d=3 egység. 19. a) illeszkedik az e egyenesre, illeszkedik f egyenesre. b) . Megjegyzés:Bármely, ezzel ekvivalens egyenletrendszer is természetesen helyes megoldás. c) d=7 egység. 20. A keresett érték:

.

A meredekség:

.

területegység.

21.


GEM2-15


2010

22. a)


illeszkedik f egyenesre. b)

.

Megjegyzés:Bármely, ezzel ekvivalens egyenletrendszer is természetesen helyes megoldás. c) ség.

egy-

23. a)


illeszkedik f egyenesre. b)

.

Megjegyzés:Bármely, ezzel ekvivalens egyenletrendszer is természetesen helyes megoldás. c) ség. 24.

egy-

Két párhuzamos síktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye az az F: egyenletű sík, amelynek az origótól való távolsága számtani közepe, az adott síkok origótól való távolságának. Megoldás: az e egyenesnek az F síkkal való metszéspontja:

.

25.Az A, B síkoktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye SZ és F szögfelező síkok. SZ:

S:

, F:

. A C síktól egy egységre lévő pontok mértani helye az

, R:

síkok. A megoldás 4 olyan egyenes (e; f; g; h), amelye-

ket az előbb említett síkok metszésvonalaiként az alábbiak szerint nyerünk: e: , az S és F síkok metszésvonala. f:

, az S és SZ síkok metszésvonala. g:

, az R és F síkok metszésvonala. h: , az R és SZ síkok metszésvonala. Megjegyzés:Bármely, ezekkel ekvivalens egyenletrendszerek is természetesen helyes megoldások. 26.Az A és B pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye, az AB szakasz felezőmerőleges síkja: F: L:

. Az S síktól 2 egységre lévő pontok mértani helye a H: síkok. A megoldás: h:

és

, az F és H síkok metszésvonala.

l: , az F és L síkok metszésvonala. Megjegyzés:Bármely, ezekkel ekvivalens egyenletrendszerek is természetesen helyes megoldások. 27.Két megoldási módot is adunk: a) Az S sík normálegyenletéből „leolvassuk” a síknak a gömb középpontjától, jelen esetben az origótól, való távolságát (9 egység). Ebből levonva a gömb sugarát (r=3 egység) kapjuk a sík és a gömbfelület távolságát: d=6 egység. b) Megadjuk az egyenletrendszerét annak az f egyenesnek, amelyik illeszkedik a gömb középpontjára, és merőleges az S síkra: f: f egyenesnek a gömbfelülettel alkotott metszéspontjait:

,

. Meghatározzuk az . Megvizsgáljuk, hogy a

két pont közül melyik van a síkhoz közelebb ( ) – illetve távolabb ( ) – , és a közelebbinek az S síktól való távolsága lesz a síknak a gömbfelülettől való távolsága: d=6 egység. 28.Két megoldási módot adunk: a) Megadjuk a gömb középpontjára illeszkedő, S síkkal párhuzamos R síkot R: . Meghatározzuk a két sík egymástól való távolságát (origótól való távolságuk különbségét 18-6=12 egység). Ebből a gömb sugarát (r=3 egység) levonva kapjuk az S síknak a gömbfelülettől való távolságát d=9 egység. b) Megadjuk az egyenletrendszerét annak az f egyenesnek, amelyik illeszkedik

GEM2-16


Metrikus feladatok

a gömb középpontjára, és merőleges az S síkra: f: a gömbfelülettel alkotott metszéspontjait:

. Meghatározzuk az f egyenesnek ,

. Megvizsgáljuk, hogy a két pont közül

melyik van a síkhoz közelebb ( ) – illetve távolabb ( ) – , és a közelebbinek az S síktól való távolsága lesz a síknak a gömbfelülettől való távolsága: d=9 egység. Megjegyzés: Az előző feladat a) megoldási módszerét is alkalmazhattuk volna. 29.

Legyen egyenletéből (az

az a felületi pont, amelyhez tartozó érintősík párhuzamos az S síkkal. A felület pont koordinátáinak segítségével) felírható egy E:

említett párhuzamos síkok normálvektoraira:

érintősík. Az

vektoregyenletnek kell teljesülnie. A megfelelő

koordinátákra hasonló egyenletek nyerhetők, továbbá az pont rajta van a felületen, ezért koordinátái kielégítik a felület egyenletét. Az említett egyenletekből álló egyenletrendszer megoldásaként két felületi pontot kapunk (mert az S síkkal párhuzamos érintősíkból 2 van):

és

Ezek közül az egyik a felület legközelebbi, a másik a legtávolabbi pont. A keresett távolság:

. .

30.Előbb próbáljuk meghatározni a görbének az f egyenessel párhuzamos érintőit. Így megkapjuk a görbe egyeneshez legközelebbi, illetve legtávolabbi pontját. A legközelebbi pont:

, d=3 egység.

31. A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja

,

egység.

32. A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja

,

egység.

33.

34.

A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja

,

egység.


,

egység.

35. Az érintő egyenlete: e:

. Az aszimptota egyenlete:

. A háromszög területe:

területegység. 36. 37. 38.


,

egység.


,

egység.


,

egység.

39. A megoldás: e*:

,

.


GEM2-17


2010

A megoldás: S*:

.

41. A megoldás: e*: 42.

.

A megoldás:

.

43. A trapéz csúcsai:

,

,

; 44.

,

;

A gúla csúcsai

. A trapéz oldalai:

;

egység. A trapéz kerülete az előbbi oldalak összege.

,

,

,

. A gúla térfogata V=20 térfogategység.

45. A háromszög csúcsai ;

,

,

. A háromszög oldalai:

egység. A háromszög kerülete:

;

egység.

46. Az e egyenes tükörképe az

koordináta síkra:

koordináta síkra:

. Az e egyenes tükörképe az

. Az e egyenes tükörképe az

koordináta síkra:

. Megjegyzés:Bármely, ezekkel ekvivalens egyenletrendszerek is természetesen helyes megoldások. 47.A tetraéder létezésének feltétele, hogy az adott három egyenesnek legyen egy közös pontja. E közös ponthoz – ha létezik – úgy jutunk, hogy meghatározzuk két-két egyenes metszéspontját, és (tetraéder létezése esetén) ennek azonosnak kell lennie. Most ettől megkíméljük a feladat megoldóját, ugyanis vegyük észre, hogy az egyenesek közös

tartópontúak. Tehát létezik a tetraéder, s annak egy csúcsa az előbbi M pont.

A tetraéder alaplapjának nyerjük: 48.

,

,

,

csúcsit az adott egyeneseknek az S síkkal alkotott döféspontjaiként

,

. A gúla térfogata: V=7 térfogategység.

A háromszög alapjával szemben lévő csúcsát a két egyenes metszéspontjában nyerjük: a szárak hossza 7 egység, ezért a

és

. Mivel

csúcsokat az adott egyenesek az A középpontú 7 egység sugarú

gömb felületéből metszik ki. A feladatnak négy megoldása van. Egyik megoldás: További megoldásokat az előbbi csúcsoknak az

,

.

pontra való tükrözésével nyerünk.

Irodalomjegyzék Baboss Csaba: Geometria I., Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai kar, Székesfehérvár, 2007. Coxeter H. S. M.: A geometriák alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973. Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966.

GEM2-18


Metrikus feladatok Kárteszi Ferenc: Bevezetés a véges geometriákba, Akadémia Kiadó, Budapest, 1972. Kárteszi Ferenc: Lineáris transzformációk, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974. Reiman István: A geometria és határterületei, Gondolat Könyvkiadó, 1986. Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974.


GEM2-19




Projektív geometria








Tartalom 3. Projektív geometria ................................................................................................................ 3.1 Bevezetés .................................................................................................................... 3.1.1 Alapvető fogalmak, ismeretek, tételek .................................................................... 3.1.2 Alapszerkesztések ............................................................................................... 3.2 Projektív geometria FELADATOK ................................................................................... 3.2.1 Elsőfajú alapalakzatok perspektív helyzete .............................................................. 3.2.2 Osztóviszony, kettősviszony .................................................................................

1 1 1 4 4 4 5

3.2.3 Elsőfajú alapalakzatok projektív vonatkozása (jele: ) ............................................. 7 3.2.4 Másodfajú alapalakzatok ..................................................................................... 8 3.2.5 Axiális (tengelyes) affinitás .................................................................................. 9 3.2.6 Centrális kollineáció .......................................................................................... 10 3.3 Projektív geometria MEGOLDÁSOK .............................................................................. 11 3.3.1 Elsőfajú alapalakzatok perspektív helyzete (Megoldások) .......................................... 11 3.3.2 Osztóviszony, kettősviszony (Megoldások) ............................................................. 12 3.3.3 Elsőfajú alapalakzatok projektív vonatkozása (Megoldások) ....................................... 13 3.3.4 Másodfajú alapalakzatok (Megoldások) ................................................................. 13 3.3.5 Axiális (tengelyes) affinitás (Megoldások) .............................................................. 14 3.3.6 Centrális kollineáció (Megoldások) ....................................................................... 15

3. fejezet - Projektív geometria 3.1 Bevezetés A Projektív geometria olyan teljesen új szemléletű geometriai ismereteket tartalmaz, melyek az euklideszi geometriától eltérő sajátosságokra vezetnek. Ebből fakadóan a projektív geometriai feladatokat csak úgy lehet eredményesen megoldani, ha az alapvető fogalmakat ismerjük, és biztonságosan kezeljük. Ennek elősegítése céljából elméleti összefoglalást adunk az alapvető fogalmakról, összefüggésekről, tételekről. Az elméleti összefoglalással az a célunk, hogy a feladatok megoldása során esetlegesen felmerülő, az elméleti ismeretek hiányából fakadó problémákat gyorsan kezelni tudja az olvasó. Természetesen ez a kivonatolt elméleti anyag nem helyettesíti, és nem pótolja a Geometria I. jegyzetben megtalálható átfogó ismereteket.

3.1.1 Alapvető fogalmak, ismeretek, tételek • Vetítésre nem változó (projektív) tulajdonságok: - Pont vetülete (képe, megfelelője) pont. - Egyenes vetülete általában egyenes, vagy annak valamilyen részhalmaza (pont). - Illeszkedéstartó (Ha egy pont illeszkedik egy egyenesre, akkor a képe is illeszkedik az egyenes képére.) • Végtelen távoli pont: Minden egyeneshez hozzárendelünk egy „ideális pontot” (nem valós), melyre úgy gondolunk, hogy az egyenes bármely valós pontjától végtelen távol van, és illeszkedik az egyenesre. Az egyenes egy valós pontjából bármelyik irányba indulva ugyanahhoz a végtelen távoli ponthoz jutunk. • Elsőfajú alapalakzatok: - pontsor: adott e tartóegyenesre illeszkedő pontok összessége, jele: (e), vagy e(P1, P2, ...), ahol P1, P2, ... a pontsort meghatározó pontok, - sugársor: adott P tartópontra illeszkedő egyenesek összessége, jele: �P�, vagy P|a1;b1;c1..|, ahol a1, b1, c1.... A sugársort meghatározó egyenesek, - síksor: adott t egyenesre illeszkedő síkok összessége, jele:[t]. • A perspektivitás kölcsönösen egyértelmű leképezés két elsőfajú alapalakzat között. • Egy elsőfajú alapalakzat egy másik típusú elsőfajú alapalakzattal akkor van perspektív helyzetben, ha a megfelelő elemek kölcsönösen illeszkednek egymásra. • Két pontsor akkor van perspektív helyzetben, ha a megfelelő pontok egy sugársor ugyanazon egyenesére illeszkednek. • Két sugársor akkor van perspektív helyzetben, ha a megfelelő egyenesek egy pontsor ugyanazon pontjára illeszkednek. • Két síksor akkor van perspektív helyzetben, ha a megfelelő síkok egy sugársor ugyanazon egyenesére illeszkednek. • Desargues tétele: Ha két háromszög olyan helyzetű, hogy a megfelelő csúcsokat összekötő egyenesek egy ponton mennek át, akkor a megfelelő oldalak egyenesinek metszéspontjai egy egyenesre illeszkednek. • Desargues tételének megfordítása: Ha két háromszög olyan helyzetű, hogy a megfelelő oldalak egyenesinek metszéspontjai egy egyenesre illeszkednek, akkor a megfelelő csúcsokat összekötő egyenesek egy ponton mennek át. • Osztóviszony: Az egy egyenesre illeszkedő A, B és C pontok osztóviszonyán az alábbi kifejezést értjük:

, ahol AC és CB előjeles szakaszhosszakat jelentenek. (Megjegyzés: A szakiroda-

lomban használatos az definíció is. Feladatgyűjteményünkben csak az első definíciót alkalmazzuk, igazodva a Geometria I. jegyzetben megtalálható definícióhoz.)


2010

• Az osztóviszony tulajdonságai: - Az osztóviszony értéke független az egyenes irányításától. - Az osztóviszony értéke egy dimenzió nélküli valós szám. - Az osztóviszony értéke párhuzamos vetítésre nem változik (invariáns). - Az osztóviszony értéke bármilyen aránytartó geometriai transzformációra nézve invariáns. • Sugársor osztóviszonya: A �P�sugársor a, b és c egyenesére vonatkozó osztóviszony általános esetben:

, ahol a trigonometrikus értékek az egyes egyenesek által bezárt szö-

gek szinuszai. (Megjegyzés: A szakirodalomban használatos az definíció is. Feladatgyűjteményünkben csak az első definíciót alkalmazzuk, igazodva a Geometria I. jegyzetben megtalálható definícióhoz.) • Párhuzamos egyenesek esetében (azaz közös végtelen távoli pontra illeszkedő sugársor esetén) az osz-

tóviszony: jelenti.

, ahol Δ a számlálóban is és a nevezőben is az egyes egyenesek távolságát

• Síksor osztóviszonya: A [t] síksor A, B és C síkjaira vonatkozó osztóviszony általános esetben:

, ahol a trigonometrikus értékek az egyes síkok által bezárt szö-

gek szinuszai. (Megjegyzés: A szakirodalomban használatos az definíció is. Feladatgyűjteményünkben csak az első definíciót alkalmazzuk, igazodva a Geometria I. jegyzetben megtalálható definícióhoz.) • Párhuzamos síkok esetében (azaz közös végtelen távoli egyenesre illeszkedő síksor esetén) az osztóvi-

szony:

, ahol Δ a számlálóban is és a nevezőben is az egyes síkok távolságát jelenti.

• Pontsor kettősviszonya: Egy egyenesre illeszkedő négy pont A, B, C és D esetén, a pontok kettősviszonyán az alábbi kifejezést értjük:

.

• A kettősviszony dimenzió nélküli szám. • Projektív koordináták: Ha egy tetszőleges pontsor három pontját (A, B és C) rögzítjük (fix pontok), akkor az egyenes tetszőleges D pontjához kölcsönösen egyértelmű módon hozzárendelhető az (ABCD) kettősviszony értéke. Ezt nevezzük a D pont projektív koordinátájának. • A

kettősviszony

tulajdonságai: ,

, ,

, .

• Sugársor kettősviszonya: Egy tartópontra illeszkedő négy egyenes a, b, c és d esetén, a pontok kettősviszonyán az alábbi kifejezést értjük:

GEM3-2

.


Projektív geometria • Síksor kettősviszonya: Egy tartóegyenesre illeszkedő négy sík A, B, C és D esetén, a síkok kettősviszonyán az alábbi kifejezést értjük:

.

• Papposz tétele: Perspektív helyzetben lévő elsőfajú alapalakzatok megfelelő négy-négy elemének kettősviszonya egyenlő. • A kettősviszony bármely vetítésre nézve invariáns. • Két elsőfajú alapalakzat projektivitásának három egyenértékű definíciója: I. def.: Ha két elsőfajú alapalakzat elemeit kölcsönösen egyértelmű módon úgy rendeljük egymáshoz, hogy bármely négy elem kettősviszonya egyenlő a megfelelő négy elem kettősviszonyával, akkor ezt a hozzárendelést projektív transzformációnak nevezzük. II. def.: Két elsőfajú alapalakzat akkor projektív, ha egybevágósági (vagy affin) transzformávióval perspektív helyzetbe hozhatók. III. def.: A projektív transzformáció perspektivitások egymásutánjaként (szorzataként) áll elő. • Perspektív helyzetű síkrendszerek: Két különböző síkrendszer perspektív helyzetű, ha a megfelelő elemeiket egy O pontból való vetítéssel nyerjük (O lehet ideális pont is). Az O a perspektivitás centruma. • Perspektív helyzetű síkrendszerek tulajdonságai: - A megfelelő pontokat összekötő egyenesek egy ponton mennek át. - A megfelelő egyenesek metszéspontjai egy egyenesre illeszkednek. • Két síkrendszer affin perspektív helyzetű, ha a vetítés O centruma egyik síkra sem illeszkedő végtelen távoli pont. Ekkor azt mondjuk, hogy az egyik sík a másikba térbeli axiális affin transzformációval vihető. • Az térbeli axiális affinitás tulajdonságai: - A megfelelő pontokat összekötő egyenesek egy ponton mennek át. - A megfelelő egyenesek metszéspontjai egy egyenesre illeszkednek. - kölcsönösen egyértelmű - illeszkedéstartó - kettősviszonytartó - térelemtartó - párhuzamosságtartó - osztóviszonytartó • Két síkrendszer hasonlóan perspektív helyzetű, ha a két tartósík párhuzamos, és a vetítés O centruma a végesben van. Ekkor azt mondjuk, hogy az egyik síkot a másikba térbeli középpontos hasonlóság viszi. • A térbeli középpontos hasonlóság tulajdonságai: - egyenes és képe párhuzamos - pont és képének egyenese illeszkedik az O cenrumra - kölcsönösen egyértelmű - illeszkedéstartó - kettősviszonytartó térelemtartó - párhuzamosságtartó - osztóviszonytartó - szögtartó - aránytartó • Két sík egyenlően perspektív helyzetű, ha a két tartósík párhuzamos, és a vetítés O centruma a végtelenben van. Ekkor azt mondjuk, hogy az egyik síkot a másikba eltolás viszi. • Az eltolás tulajdonságai: - kölcsönösen egyértelmű - illeszkedéstartó - kettősviszonytartó - térelemtartó - párhuzamosságtartó - osztóviszonytartó - szögtartó - aránytartó - távolságtartó • Projektív síkrendszerek: Két síkrendszer akkor projektív vonatkozású (a két síkot projektív transzformáció viszi egymásba), ha megfelelő elemeit úgy rendeljük egymáshoz, hogy a megfeleltetés: - kölcsönösen egyértelmű - illeszkedéstartó - kettősviszonytartó legyen. • Projektív transzformációk két nagy csoportja: - Korreláció (egyeneshez pontot, ponthoz egyenest rendelünk) - Kollineáció (pont képe pont, egyenes képe egyenes) • A kollineáció tulajdonságai: - kölcsönösen egyértelmű - illeszkedéstartó - kettősviszonytartó - térelemtartó • Ha két sík kollineár vonatkozású (egyik síkot a másikba kollineáció viszi), akkor perspektív helyzetbe hozhatók. • A kollineáció alaptétele: Ha az S síkban lévő A, B, C, D és az S’ síkban lévő A’, B’, C’, D’ pontnégyesek általános helyzetűek (négyszöget alkotnak), akkor mindig van az S síknak az S’ síkra, egy és csakis egy olyan kollineár leképezése, amelynél az A, B, C, D, pontoknak rendre az A’, B’, C’, D’ pontok felelnek meg (és viszont).


GEM3-3


2010

• Az alaptételből következik, hogy a két sík közötti kollineációt egyértelműen meghatározza a síkokban felvett általános helyzetű, egymásnak megfelelő négy-négy pont, illetve négy-négy egyenes.

3.1.2 Alapszerkesztések • Egy pontsor rögzített A és B alappontpárja és adott (ABC) osztóviszony esetén, az osztóviszonyhoz tartozó C pont megszerkesztése. (Geometria I. 87. oldal) • Egy pontsor rögzített A, B és C alappontjai és adott (ABCD) kettősviszony esetén, a kettősviszonyhoz tartozó D pont megszerkesztése. (Geometria I. 90. oldal) • Két projektív pontsor negyedik megfelelőjének szerkesztése perspektív helyzetbe hozással. (Geometria I. 97. oldal) • Két projektív pontsor negyedik megfelelőjének szerkesztése perspektív tengellyel. (Geometria I. 98. oldal) • Két projektív pontsor negyedik megfelelőjének szerkesztése perspektív főtengellyel. (Geometria I. 99. oldal) • Két projektív sugársor negyedik megfelelőjének szerkesztése perspektív helyzetbe hozással. (Geometria I. 102. oldal) • Két projektív sugársor negyedik megfelelőjének szerkesztése perspektív centrummal. (Geometria I. 103. oldal) • Két projektív sugársor negyedik megfelelőjének szerkesztése perspektív főcentrummal. (Geometria I. 104. oldal) • Két projektív sugársor negyedik megfelelőjének szerkesztése papírcsíkos eljárással. (Geometria I. 105. oldal) • Steiner-féle szerkesztés. • Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer 4-4 megfelelő pontpárjával. Szerkesztendő az egyik sík tetszőleges (ötödik) pontjának a másik síkon lévő képe. (Geometria I. 119. oldal) • Adott két affin vonatkozású síkrendszer 3-3 megfelelő pontpárjával. Szerkesztendő az egyik sík tetszőleges (negyedik) pontjának a másik síkon lévő képe. (Geometria I. 120. oldal) • Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer 4-4 megfelelő pontpárjával. Szerkesztendők az ellentengelyek és képeik. (Geometria I. 121-122. oldal)

3.2 Projektív geometria FELADATOK 3.2.1 Elsőfajú alapalakzatok perspektív helyzete 1. Ha egy (e) pontsort egy külső pontból egy síkra vetítünk, milyen alapalakzatot nyerünk? 2. Ha egy (e) pontsort egy külső pontból egy a egyenesre vetítünk, milyen alapalakzatot nyerünk? (a illeszkedik e és P síkjára) 3. Ha egy |P| sugársort egy külső C pontból egy síkra vetítünk, milyen alapalakzatot nyerünk? 4. Ha egy sugársort egy, a tartósíkjára illeszkedő, de a tartópontján nem áthaladó egyenessel elmetszünk, akkor milyen alapalakzatot nyerünk? 5. Ha egy síksort egy tetszőleges - de a t tartójára nem illeszkedő – síkkal elmetszünk, akkor milyen alapalakzatot nyerünk?

GEM3-4


Projektív geometria 6. Ha egy tetszőleges elsőfajú alapalakzatot metszünk vagy vetítünk, akkor milyen alapalakzatot nyerünk? 7. Adott két egyenes. Milyen kölcsönös helyzet esetén létesíthető perspektív helyzet a két egyenes pontjai között, és hogyan? Perspektív helyzet esetén melyek lesznek az önmaguknak megfelelő pontpárok? 8. Adott az e1(A1;B1;C1) és az e2(A2;B2;C2) pontsor három-három megfelelő elemével. Hozzuk a két pontsort perspektív helyzetbe, majd szerkesszük meg az ellenpontokat! 9. Adott az e1(A1;B1;C1) és az e2(A2;B2;C2) pontsor három-három megfelelő elemével. Hozzuk a két pontsort perspektív helyzetbe, majd szerkesszünk negyedik és ötödik megfelelő elempárt! 10.Adott a P1|a1;b1;c1| és a P2|a2;b2;c2| sugársor három-három megfelelő elemével. Hozzuk a két sugársort perspektív helyzetbe, majd szerkesszünk negyedik és ötödik megfelelő sugárpárt! 11.Adott a P1|a1;b1;c1| és a P2|a2;b2;c2| sugársor három-három megfelelő elemével. Szerkesszük meg a közös n1=m2|P1P2| sugarak n2 , illetve m1 megfelelőit, perspektív helyzetbe hozással! 12.Adott az e(A; B; C) pontsor és a P|a;b;c| sugársor három-három megfelelő elemével. Szerkesszük meg (perspektív helyzetbe hozással): a) az AB szakasz F felezőpontjának megfelelő f sugarat, b) a BC szakasz H harmadoló pontjának megfelelő h sugarat, c) az a és b sugarak által bezárt szög s szögfelezőjének megfelelő S pontot, d) a b és c sugarak által bezárt szög t szögfelezőjének megfelelő T pontot! 13.Adott az e1(A1;B1;C1) és az e2(A2;B2;C2) pontsor három-három megfelelő elemével. Hozzuk a két pontsort perspektív helyzetbe, majd szerkesszük meg: a) az (e1) pontsoron az A1 ponttól 2 cm-re lévő pontoknak az (e2) pontsoron lévő megfelelőit, b) a B1C1 szakasz F1 felezőpontjának az (e2) pontsoron lévő megfelelőjét, c) az A2B2 szakasz egyik H2 harmadoló pontjának H1 megfelelőjét, d) az (e2) pontsoron a C2 ponttól 1 cm-re pontoknak az (e1) pontsoron lévő megfelelőit!

3.2.2 Osztóviszony, kettősviszony 1. Számítsuk pontjaihoz

ki az tartozó

alábbi ábrán adott osztóviszony értékét

(e) az

pontsor A, B

Pi (i=1, 2, 3, ...,17) alappontokra vonatkoztatva:

2. Adott az (e) pontsor és azon a rögzített A, B alappontok. Szerkesszük meg a pontsor azon C, D, E, ...., N pontjait, amelyeknek az A, B alappontokhoz tartozó osztóviszonyaik: a) g) j)

c)

h)

d)

f)

b)

i)

e)

k)

3. Adott egy e egyenes és azon az A, B és C pontok úgy, hogy (ABC)=3. Az egyenest egy tetszőleges irányból – párhuzamos vetítést alkalmazva – egy S síkra vetítjük. Az egyenes képe e’, a pontoké A’, B’, C’. Határozzuk meg az (A’ B’ C’) osztóviszony értékét! 4. Adott egy e egyenes és azon az A, B és C pontok úgy, hogy (ABC)=7. Az e egyenest egy tetszőleges P pontból egy S síkra vetítjük. Az egyenes képe e’, a pontoké A’, B’, C’. Határozzuk meg az (A’ B’ C’) osztóviszony értékét az alábbi esetekben: a) e párhuzamos S-sel, b) e metszi az S síkot! 5. Tekintsük azt a sugársort, amelyiknek P tartópontja egybeesik egy óra számlapjának középpontjával, a sugársor azon elemeit pedig, amelyek egész számmal jelzett pontot kötnek össze, a megfelelő számmal jelöljük. (Például (1,3,8) azon sugarakhoz tartozó osztóviszonyt jelenti, amelyek a középpontot az 1-es, 3-as és 8-as számmal jelzett pontot kötik össze az óra számlapján.) Határozzuk meg az alábbi sugárhármasokhoz


GEM3-5


2010

tartozó osztóviszonyok értékét: a) (8,4,12)= g) (8,4,6)= b) (8,4,1)= h) (8,4,7)= c) (8,4,2)= i) (8,4,8)= d) (8,4,3)= j) (8,4,9)= e) (8,4,4)= k) (8,4,10)= f) (8,4,5)= l) (8,4,11)= 6. Számítsuk ki az alábbi ábrán adott (e) pontsor Pi (i=1, 2, 3,...,19) pontjaihoz tartozó kettősviszony értékét! (Az A, B és C pontok a pontsor rögzített pontjai)

7. Adott az (e) pontsor és azon a rögzített A, B és C pontok. Az alábbi szakaszok előjeles hossza: AB=10 cm, BC=-2 cm. Szerkesszük meg a pontsor azon D, E, .... pontjait, amelyeknek az A, B, C adott pontokkal alkotott kettősviszonyaik: a) k)

i) d)

n)

b)

j)

l)

e)

g)

o)

c) m) h)

f) p)

8. Adott egy e egyenes és azon az A, B, C és D pontok úgy, hogy (ABCD)=2. Az egyenest egy tetszőleges irányból – párhuzamos vetítést alkalmazva – egy S síkra vetítjük. Az egyenes képe e’, a pontoké A’, B’, C’, D’. Határozzuk meg az (A’ B’ C’ D’) kettősviszony értékét az alábbi esetekben: a) e párhuzamos S-sel, b) e metszi az S síkot! 9. Adott egy e egyenes és azon az A, B, C és D pontok úgy, hogy (ABCD)=5. Az egyenest egy tetszőleges P pontból egy S síkra vetítjük. Az egyenes képe e’, a pontoké A’, B’, C’, D’. Határozzuk meg az (A’ B’ C’ D’) kettősviszony értékét az alábbi esetekben: a) e párhuzamos S-sel, b) e metszi az S síkot! 10.Tekintsük azt a sugársort, amelyiknek P tartópontja egybeesik egy óra számlapjának középpontjával, a sugársor azon elemeit pedig, amelyek egész számmal jelzett pontot kötnek össze, a megfelelő számmal jelöljük. (Például (1,7,5,2) azon sugarakhoz tartozó kettősviszonyt jelenti, amelyek a középpontot az 1-es, 7-es, 5ös és 2-es számmal jelzett pontot kötik össze az óra számlapján.) Határozzuk meg az alábbi sugárnégyesekhez tartozó kettősviszonyok értéket: a) (8,4,5,1)= e) (8,4,5,5)= i) (8,4,5,9)= b) (8,4,5,2)= f) (8,4,5,6)= j) (8,4,5,10)= c) (8,4,5,3)= g) (8,4,5,7)= k) (8,4,5,11)= d) (8,4,5,4)= h) (8,4,5,8)= l) (8,4,5,12)= 11.Legyen az, egy egyenesre illeszkedő A, B, C és D pontnégyes kettősviszonyának értéke egy k szám. A kettősviszony tulajdonságait felhasználva, határozzuk meg ugyanazon négy pont alábbi elrendezéseihez tartozó kettősviszonyok értékét: a) (BADC)= j) (CADB)= b) (CDAB)= k) (DBCA)= c) (DACB)= l) (ADCB)= d) (DCBA)= m) (BCDA)= e) (CBDA)= n) (CDBA)= f) (ACBD)= o) (DABC)= g) (ADBC)= p) (DBAC)= h) (BDAC)= r) (ACDB)= i) (BCAD)= s) (CBAD)= 12.Jelöljük egy téglalap csúcsait A, B, C, D betűkkel, a szimmetria-középpontját pedig O-val. A téglalap rövidebbik oldala 3 cm, hosszabbik oldala 4 cm. Határozzuk meg az alábbi pontnégyesekhez tartozó kettősviszony értékét: a) (ABOC)= b) (BOCD)= c) (DABO)= 13.Egy sugársor sorozópontja P, sorozósíkja S. E sugársor azon a, b, c, d elemnégyesét, amelyre (abcd)=-4 fennáll, elmetsszük egy tetszőleges P-re nem illeszkedő – de az S síkban lévő – e egyenessel. A megfelelő sugarakkal alkotott metszéspontokat jelöljük rendre: A, B, C, D betűvel. Határozzuk meg az (ABCD) kettősviszony értékét! 14.Egy síksor tetszőleges A, B, C és D elemnégyeséhez tartozó kettősviszony értéke (ABCD)=2. Messük el a síksor elemeit egy tetszőleges – de a t tartóegyenesre nem illeszkedő – S síkkal. Az S sík a síksor elemeit, a sugársort alkotó a, b, c és d sugárnégyesben metszi. Határozzuk meg az (abcd) kettősviszony értékét!

GEM3-6


Projektív geometria 15.Egy síksor tetszőleges A, B, C és D elemnégyeséhez tartozó kettősviszony értéke (ABCD)=-5. Messük el a síksor elemeit egy tetszőleges – de a t tartóegyenesre nem illeszkedő – e egyenessel. Az e egyenes a síksor elemeit, a pontsort alkotó A, B, C és D pontnégyesben metszi. Határozzuk meg az (ABCD) kettősviszony értékét!

3.2.3 Elsőfajú alapalakzatok projektív vonatkozása (jele: ) 1.

2. 3.

4.

5. 6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2) és az (e1) pontsor adott A1, B1 pontjai által meghatározott szakasz F1 felezőpontja, továbbá az (e2) pontsor C2 pontjától 2 cm-re lévő G2 és H2 pontok. Szerkesszük meg az adott pontok megfelelőit (F2, G1 és H1 pontokat) perspektív tengely segítségével! Adott az e1(A1;B1;C1)

e2(A2;B2;C2). Szerkesszük meg az ellenpontokat perspektív tengely segítségével!

Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2). Szerkesszük meg a tartóegyenesek közös M1=N2 pontjának M2, N1 megfelelőit perspektív tengely közbeiktatásával! Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2) és az (e1) pontsor B1C1 szakaszának H1, K1 harmadoló pontjai. Szerkesszük meg az adott pontok H2, K2 megfelelőit perspektív főtengely közbeiktatásával! Adott az e1(A1;B1;C1)

e2(A2;B2;C2). Szerkesszük meg az ellenpontokat perspektív főtengely segítségével!

Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2). Szerkesszük meg a tartóegyenesek közös pontjának megfelelőit perspektív főtengely közbeiktatásával! Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2). Szerkesszünk tetszőleges negyedik megfelelő elempárt: a) perspektív helyzetbe hozással, b) papírszalagos eljárás alkalmazásával! Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2). Szerkesszük meg az ellenpontokat: a) perspektív helyzetbe hozással, b) papírszalagos eljárás alkalmazásával! Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2). Szerkesszük meg a tartóegyenesek közös pontjának megfelelőit: a) perspektív helyzetbe hozással, b) papírszalagos eljárás alkalmazásával! Adott az e1(A1;B1;Q∞1) e2(A2;B2; Q∞2). Szerkesszük meg az A1B1 szakasz harmadoló pontjainak megfelelőit: a) perspektív tengellyel, b) perspektív főtengellyel, c) perspektív helyzetbe hozással, d) papírszalagos eljárás alkalmazásával! Adott a P1|a1;b1;c1| P2|a2;b2;c2|. Szerkesszük meg az (a1;b1)∠ f1 szögfelezőjének és a (b2;c2)∠ h2 szögfelezőjének f2 illetve h1 megfelelőit: a) perspektív centrummal b) perspektív főcentrummal c) perspektív helyzetbe hozással, d) papírszalagos eljárással! Adott a P1|a1;b1;c1| P2|a2;b2;c2|. Szerkesszük meg a tartópontok közös m1=n2 egyenesének m2, n1 megfelelőit: a) perspektív centrummal b) perspektív főcentrummal c) perspektív helyzetbe hozással, d) papírszalagos eljárással! Adott az e1(A1;B1;C1) e2(A2;B2;C2), ahol e1≡e2 (tehát két, közös tartóegyenesen lévő projektív pontsor). Steiner féle kör közbeiktatásával szerkesszünk: a) tetszőleges negyedik megfelelő elempárt, b) ellenpontokat, c) kettős pontokat, majd határozzuk meg, hogy milyen a pontsorok projektivitása!


GEM3-7


2010

14.Adott két, közös tartón lévő projektív pontsor, három-három megfelelő elemével. Szerkesszünk tetszőleges negyedik megfelelő elempárt: a) perspektív helyzetbe hozással, b) papírszalagos eljárás alkalmazásával. 15.Adott két, közös tartón lévő projektív pontsor, három-három megfelelő elemével. Szerkesszük meg az ellenpontokat: a) perspektív helyzetbe hozással, b) papírszalagos eljárás alkalmazásával, c) kettőspontokat, majd határozzuk meg, hogy milyen a pontsorok projektivitása! 16.Adott két, közös tartón lévő projektív sugársor, három-három megfelelő elemével. Steiner féle kör közbeiktatásával szerkesszünk: a) tetszőleges negyedik megfelelő elempárt, b) kettős sugarakat! 17.Az alábbi ábrákon két, közös tartón lévő pontsort vettünk fel – a korábbi esetektől eltérően – négy-négy megfelelő elemével. Bizonyítsuk be, hogy a két pontsor (e1 és e2) projektív kapcsolatban áll egymással!

18.Adott két kongruens (egybevágó) pontsor, négy-négy megfelelő elemével. Szerkesszük meg: a) ellenpontokat, b) tetszőleges ötödik megfelelő elempárt! 19.Egy autópálya egyenes szakaszán az alábbi objektumok vannak: vasúti aluljáró (A), közúti felüljáró (F), alagút bejárata (B). Az A, F és B objektumok térképünkön fel vannak tüntetve. Az említett autópályán egy parkolót (P) létesítenek. Hogyan tudjuk ezt feltérképezni, egyetlen légi fénykép alapján? (Állapítsuk előbb meg, hogy a térkép és a légi fénykép között milyen projektív geometriai kapcsolat van, majd végezzük el a szerkesztést!)

3.2.4 Másodfajú alapalakzatok 1. Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer, négy-négy megfelelő pontjával, továbbá az S2 síkrendszernek egy tetszőleges P2 pontja. Szerkesszük meg a P2 pont S1 síkrendszerbeli megfelelőjét. A szerkesztést hányféleképpen lehet elvégezni? 2. Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer, négy-négy megfelelő pontjával, továbbá az S1 síkrendszernek egy tetszőleges e1 egyenese. Szerkesszük meg az egyenesnek a másik síkrendszerben lévő megfelelőjét! 3. Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer, négy-négy megfelelő egyenesével, továbbá az S1 síkrendszernek egy tetszőleges X1 pontja. Szerkesszük meg az adott pont X2 megfelelőjét! 4. Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer, négy-négy megfelelő egyenesével, továbbá az S2 síkrendszernek egy olyan e2 egyenese, amely illeszkedik az a2, b2 egyenesek A2 metszéspontjára. Szerkesszük meg az e2 egyenes e1 megfelelőjét! 5. Egy sík terepen az alábbi objektumok úgy helyezkednek el, hogy kettőnél több nem esik egy egyenesre: templom (T), toronyház (A), szálloda (H), emlékmű (E). Térképünkön az említett objektumok szerepelnek (A’; T’, H’, E’). Az említett terepen egy új objektumot (U) létesítenek. Hogyan tudjuk ezt feltérképezni egyetlen légi fénykép alapján? (Állapítsuk előbb meg, hogy a térkép és a légi fénykép között milyen projektív geometriai kapcsolat van!) 6. Egy S sík terepen az A, B, C és D objektumok úgy helyezkednek el, hogy kettőnél több nem illeszkedik egy egyenesre, erről egy F1 filmfelvételünk van. A terepen egy újabb (E) objektum létesült. Ezután a terepről egy újabb F2 filmfelvételt készítünk. Ennek segítségével szerkesszük meg az F1 légi fénykép felvételén az E objektum F1 képét. (Állapítsuk előbb meg, hogy az F1 és F2 felvételek síkrendszerei között milyen projektív geometriai kapcsolat van!) 7. Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer, négy-négy megfelelő egyenesével. Szerkesszük meg az ellentengelyeket!

GEM3-8


Projektív geometria 8. A középiskolában megismert középpontos hasonlóság milyen projektív geometriai fogalommal hozható kapcsolatba? 9. A középiskolában megismert hasonlóság milyen projektív geometriai fogalommal hozható kapcsolatba? 10.A középiskolában megismert egybevágósági transzformációk (tengelyes tükrözés, pontra való tükrözés, forgatás, eltolás) milyen projektív geometriai fogalommal hozható kapcsolatba? 11.Adott az e egyenes és az arra illeszkedő A, B, C és D pontok. Az ugyancsak adott e* egyenesen három pont - A*, B* és C* - adott. Szerkesszük meg az e* egyenes azon D* pontját, amelyre (ABCD)=(A*B*C*D*) teljesül!

3.2.5 Axiális (tengelyes) affinitás 1. Adott az ortogonális affinitás tengelyével, és megfelelő pontpárjával, továbbá egy négyzet egyik rendszerbeli képe. Szerkesszük meg a négyzet másik rendszerbeli megfelelőjét! 2. Adott a klinogonális affinitás tengelyével, és megfelelő pontpárjával, továbbá egy téglalap. Szerkesszük meg a téglalap másik rendszerbeli megfelelőjét! 3. Adott egy affinitás tengelye és iránya. Határozzuk meg megfelelő pontpárját úgy, hogy egy adott paralelogramma megfelelője rombusz legyen! 4. Adott egy affinitás tengelye és iránya. Határozzuk meg megfelelő pontpárját úgy, hogy egy adott paralelogramma megfelelője téglalap legyen! 5. Adott az ortogonális affinitás tengelyével, és P, P’ megfelelő pontpárjával, továbbá egy egyenes egyik (például a „vesszős”) rendszerbeli képe. Szerkesszük meg az egyenes másik rendszerbeli megfelelőjét! 6. Adott az affinitás tengelyével és P, P’ megfelelő pontpárjával. Határozzuk meg a P-re illeszkedő a, b egyeneseket és a P’-re illeszkedő a’, b’ képeiket úgy, hogy a⊥b és az a’⊥b’ teljesüljön! 7. Adott az affinitás tengelye és iránya, továbbá az ABC háromszög, melynek A és B csúcsai a tengelyre illeszkednek. Határozzuk meg az affinitást úgy, hogy az ABC háromszög A’B’C’ képe egyenlőszárú háromszög legyen! 8. Adott az ortogonális affinitás tengelye és egy ABC háromszög. Határozzuk meg az ortogonális affinitást úgy, hogy az ABC háromszög A’B’C’ képe derékszögű háromszög legyen, és a derékszög az A’ csúcsnál legyen! 9. Adott a klinogonális affinitás tengelyével, és egy megfelelő pontpárjával, továbbá egy trapéz egyik rendszerbeli képe úgy, hogy párhuzamos oldalai párhuzamosak a tengellyel. Szerkesszük meg a trapéz másik rendszerbeli megfelelőjét! 10.Adott az affinitás tengelye és egy paralelogramma. Határozzuk meg az affinitást úgy, hogy a paralelogramma megfelelője négyzet legyen. 11.Kis- és nagytengelyével adott egy ellipszis. Az affinitás alkalmazásával szerkesszünk további ellipszis pontokat, majd görbe vonalzó segítségével rajzoljuk meg a görbét! 12.Tengelypárjával adott egy ellipszis, továbbá egy olyan egyenes, amelyik illeszkedik a kistengely egyik végpontjára, s a nagytengellyel 60o-os szöget zár be. Szerkesszük meg az egyenesnek az ellipszissel alkotott metszéspontjait! 13.Tengelypárjával adott egy ellipszis, továbbá egy olyan P pont, amelyik két szomszédos tengelyvégponttól 8-8 cm-re van. Szerkesszünk e külső pontból az ellipszishez érintőket! 14.Adott egy ellipszis kis- és nagytengelyével. Szerkesztendő az ellipszisnek egy tetszőleges pontja, továbbá a görbének e pontbeli érintője. 15.Adott egy ellipszis kis- és nagytengelyével. Szerkesztendők az alábbi egyeneseknek az ellipszissel alkotott metszéspontjai: a) az e egyenes merőleges a kistengelyre, b) az f egyenes merőleges a nagytengelyre.


GEM3-9


2010

16.Adott egy ellipszis kis- és nagytengelyével, továbbá egy egyenes. Szerkesztendők az ellipszis azon érintői, amelyek az adott egyenessel párhuzamosak. 17.Adott az ellipszis nagytengelye és egy érintője. Szerkesztendő az E érintési pont és az ellipszis kistengelye. 18.Adott az ellipszis nagytengelye és egy P pontja. Szerkesztendő a kistengely. 19.Adott az ellipszis két tengelyének egyenese és egy érintője az E érintési ponttal. Szerkesztendők az ellipszis tengelyei. 20.Adott az ellipszis két tengelyének egyenese és két pontja A, B. Szerkesztendők az ellipszis tengelyei.

3.2.6 Centrális kollineáció 1. Adott a centrális kollineáció t tengelye és két megfelelő pontpárja. Szerkesztendő a kollineáció centruma. 2. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma, és P, P’ megfelelő pontpárja, továbbá egy a’ egyenes, amely nem illeszkedik a P’ pontra. Szerkesztendő az a’ egyenes másik rendszerbeli megfelelője. 3. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és r ellentengelye, továbbá egy A pont. Szerkesztendő az adott pont másik rendszerbeli megfelelője. 4. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és r ellentengelye, továbbá egy A’ pont. Szerkesztendő az adott pont másik rendszerbeli megfelelője. 5. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és q’ ellentengelye, továbbá egy A pont. Szerkesztendő az adott pont másik rendszerbeli megfelelője. 6. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és q’ ellentengelye, továbbá egy A’ pont. Szerkesztendő az adott pont másik rendszerbeli megfelelője. 7. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és P, P’ megfelelő pontpárja, továbbá az a és b párhuzamos egyenespár. Szerkesztendők az adott egyenesek másik rendszerbeli megfelelői. Az a’ és b’ egyenesek M’ metszéspontjáról mit állíthatunk? 8. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és q’ ellentengelye, továbbá az a és b párhuzamos egyenespár. Szerkesztendők az adott egyenesek másik rendszerbeli megfelelői. 9. Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és r ellentengelye, továbbá az a és b párhuzamos egyenespár. a) Szerkesztendők az adott egyenesek másik rendszerbeli megfelelői. b) Az a’ és b’ egyenesek M’ metszéspontjáról mit állíthatunk? 10.Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és r ellentengelye. Szerkesztendő a q’ ellentengely. 11.Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és q’ ellentengelye. Szerkesztendő az r ellentengely. 12.Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és P, P’ megfelelő pontpárja. Szerkesztendő az r ellentengely. 13.Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és P, P’ megfelelő pontpárja. Szerkesztendő az q’ ellentengely. 14.Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és q’ ellentengelye, továbbá az a’ és b’ párhuzamos egyenespár. Szerkesztendők az adott egyenesek másik rendszerbeli megfelelői. 15.Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és r ellentengelye, továbbá az a’ és b’ párhuzamos egyenespár. Szerkesztendők az adott egyenesek másik rendszerbeli megfelelői. 16.Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és q’ ellentengelye, továbbá egy tengellyel párhuzamos e egyenes. Szerkesztendő az adott egyenes másik rendszerbeli e’megfelelője.

GEM3-10


Projektív geometria 17.Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és r ellentengelye, továbbá egy tengellyel párhuzamos e egyenes. Szerkesztendő az adott egyenes másik rendszerbeli e’ megfelelője. 18.Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és q’ ellentengelye, továbbá egy A’B’C’ háromszög. Szerkesztendő a síkidom másik rendszerbeli megfelelője. 19.Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és r ellentengelye, továbbá egy A’B’C’D’ paralelogramma. Szerkesztendő a síkidom másik rendszerbeli megfelelője. 20.Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és r ellentengelye, továbbá egy ABCD trapéz. Szerkesztendő a síkidom másik rendszerbeli megfelelője. 21.Adott a centrális kollineáció t tengelye, C centruma és P, P’ megfelelő pontpárja. Szerkesszük meg a P, P’ pontokon átmenő a) e egyenes végtelen távoli pontjának a másik rendszerben lévő megfelelőjét, b) e’ egyenes végtelen távoli pontjának a másik rendszerben lévő megfelelőjét. 22.Adott a centrális kollineáció t tengelye és r ellentengelye, továbbá egy a, b metsző egyenespár. Szerkesztendő a C centrum úgy, hogy az egyenesek a’, b’ megfelelői merőlegesek legyenek egymásra. 23.Adott a centrális kollineáció t tengelye és q’ ellentengelye, továbbá egy a’, b’ metsző egyenespár. Szerkesztendő a C centrum úgy, hogy az egyenesek a, b megfelelői adott szöget zárjanak be. 24.Adott az ABCD általános négyszög, az A pontnak megfelelő A’ pont, továbbá a centrális kollineáció t tengelyének egy T pontja. Határozzuk meg a centrális kollineációt úgy, hogy az általános négyszög másik rendszerbeli megfelelője téglalap legyen! 25.Adott az ABCD általános négyszög, az A pontnak megfelelő A’ pont, továbbá a centrális kollineáció t tengelyének egy T pontja. Határozzuk meg a centrális kollineációt úgy, hogy az általános négyszög másik rendszerben lévő megfelelője rombusz legyen! 26.Adott egy általános négyszög, továbbá a centrális kollineáció t tengelyének egy T pontja. Határozzuk meg a centrális kollineációt úgy, hogy az általános négyszög másik rendszerben lévő megfelelője négyzet legyen! 27.Adott a centrális kollineáció C centrumával és három megfelelő pontpárjával. Szerkesszük meg a kollineáció tengelyét!

3.3 Projektív geometria MEGOLDÁSOK 3.3.1 Elsőfajú alapalakzatok perspektív helyzete (Megoldások) 1. Ha a vetület pontsort (e’)-vel jelöljük, akkor (e) pespektív (e’)-vel. 2. (e) pespektív (e’)-vel. 3. Ha a sugársor vetületét |P’|-vel jelöljük, akkor |P| perspektív |P’|-vel. 4. Ha az elmetszett sugársort |P|-vel jelöljük, a sugársorból a sík által kimetszett pontsort (m)-mel jelöljük, akkor (m) perspektív |P|-vel. 5. Ha a [t] síksorból kimetszett sugársort |P|-vel jelöljük, akkor |P| perspektív [t]-vel. 6. Ha egy tetszőleges elsőfajú alapalakzatot metszünk vagy vetítünk, eredményül mindig az eredetivel perspektív helyzetű alapalakzatot nyerünk. 7. Ha a két egyenes metsző, akkor egy P külső pontból való vetítéssel perspektív helyzetet hozhatunk létre. Ha a P pont a végtelenben van, akkor hasonlóan perspektív helyzet jön létre. Az önmaguknak megfelelő pontpárok (fixpontok) a két egyenes közös pontjai (metszéspontjai) lesznek. Ha a két egyenes párhuzamos, akkor egy külső P pontból való vetítéssel létesített perspektivitás hasonlóan perspektív helyzet lesz. Ha a két egyenes


GEM3-11


2010

párhuzamos, és egy végtelen távoli P pontból vetítünk, akkor a két pontsor perspektivitása (a legspeciálisabb) egyenlően perspektív helyzetet eredményez. A 8-13. feladatok alapszerkesztések, melyeket a jegyzetben található szerkesztési leírás alapján hajthatunk végre.

3.3.2 Osztóviszony, kettősviszony (Megoldások) 1. . 2. A feladat alapszerkesztés, melyet a jegyzetben található szerkesztési leírás alapján hajthatunk végre. 3. Az (A’B’C’)=3, mert a párhuzamos vetítés osztóviszonytartó geometriai transzformáció. 4. a) (A’B’C’)=7. b) Az osztóviszony centrális vetítés esetén megváltozik! Tehát az (A’B’C’) ismeretlen! 5. A feladat megoldásai: a) (8,4,12)=1 g) (8,4,6)=1 b) (8,4,1)= h) (8,4,7)= c) (8,4,2)=0 i) (8,4,8)=0 d) (8,4,3)=-1 j) (8,4,9)=-1 e) (8,4,4)=∞ k (8,4,10)=∞ f) (8,4,5)=2 l (8,4,11)=2. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy az a)-f) feladatok osztóviszonyainak számértéke páronként megegyezik a g)-l) feladatok eredményeivel. Ez csupán látszat ellentmondás, mert – pl. az a) és g) feladatoknál a 12-es illetve 6-os mutatóállás (mint óramutató) különbözik, de mint sugársor elem, ugyanazt az egyenest jelenti! 6. . 7. A feladat alapszerkesztés, melyet a jegyzetben található szerkesztési leírás alapján hajthatunk végre. 8. a) (A’B’C’D’)=2, de itt a megfelelő szakaszok is egyenlők (A’C’=AC, C’B’=CB, A’D’=AD és D’B’=DB). b) (A’B’C’D’)=2, de itt (A’B’C’)=(ABC) és (A’B’D’)=(ABD) is fennáll. 9. a) (A’B’C’D’)=5, de itt (A’B’C’)=(ABC) és (A’B’D’)=(ABD) is fennáll. b) (A’B’C’D’)=5. 10.A feladat megoldásai: a) (8,4,5,1)=4 e) (8,4,5,5)=1 i) (8,4,5,9)=-2 b) (8,4,5,2)=∞ f) (8,4,5,6)=2 j) (8,4,5,10)=0 c) (8,4,5,3)=-2 g) (8,4,5,7)=4 k) (8,4,5,11)=1 d) (8,4,5,4)=0 h)(8,4,5,8)=∞ l) (8,4,5,12)=2. Megjegyzés: Vegyük észre, hogy az a)-f) feladatok kettősviszonyainak számértéke páronként megegyezik a g)-l) feladatok eredményeivel. Ez csupán látszat ellentmondás, mert – pl. az a) és g) feladatoknál az 1-es illetve 7-es mutatóállás (mint óramutató) különbözik, de mint sugársor elem, ugyanazt az egyenest jelenti! 11. Megoldások: a) (BADC)=k j) (CADB)=1-k b) (CDAB)=k k) (DBCA)=1-k c) (DACB)= d) (DCBA)=k m) (BCDA)= (ADBC)=

e) (CBDA)=

n) (CDBA)=

p) (DBAC)=k h) (BDAC)=1-k r) (ACDB)=

l) (ADCB)=

f) (ACBD)=1-k o) (DABC)=

i) (BCAD)=

s) (CBAD)=

g) .

12.Csak olyan pontnégyesekre értelmeztük a kettősviszonyt, amelyek egy pontsor pontjai (azaz egy egyenesre esnek). Ez a feltétel az a); b); c) részek egyikében sem teljesül, tehát nem értelmezhető a kettősviszony, a feladatban szereplő pontnégyesekre. 13.(ABCD)=-4, mert (e) és |P| perspektív helyzetű, és ezért teljesül a Papposz tétele. 14.(abcd)=2, mert [t] és |P| perspektív helyzetű, és ezért teljesül a Papposz tétele.

GEM3-12


Projektív geometria 15.(ABCD)=-5, mert [t] és (e) perspektív helyzetű, és ezért teljesül a Papposz tétele.

3.3.3 Elsőfajú alapalakzatok projektív vonatkozása (Megoldások) 1. Alapszerkesztés, lásd jegyzet. 2. Alapszerkesztés, lásd jegyzet. 3. Alapszerkesztés, lásd jegyzet. 4. Alapszerkesztés, lásd jegyzet. 5. Alapszerkesztés, lásd jegyzet. 6. Alapszerkesztés, lásd jegyzet. 7. A feladat a) része alapszerkesztés. A feladat b) része: A papírszalagos eljárást (lásd jegyzet) projektív sugársorokkal kapcsolatban alkalmaztuk. Projektív pontsorok esetén akkor használhatjuk, ha előbb felveszünk tetszőlegesen egy-egy sugársort úgy, hogy azok perspektív helyzetűek legyenek a feladatban szereplő egy-egy pontsorral. 8. A feladat a) része: alapszerkesztés (lásd jegyzet). A feladat b) része: A 7. feladat b) részével azonos eljárás. 9. A feladat a) része: alapszerkesztés (lásd jegyzet). A feladat b) része: A 7. feladat b) részével azonos eljárás. 10.A feladat a); b); c) része: alapszerkesztés (lásd jegyzet). A feladat d) része: A 7. feladat b) részével azonos eljárás. 11.Alapszerkesztés, lásd jegyzet. 12.Alapszerkesztés, lásd jegyzet. 13.Alapszerkesztés, lásd jegyzet. 14.Alapszerkesztés, lásd jegyzet. 15.Alapszerkesztés, lásd jegyzet. 16.Alapszerkesztés, lásd jegyzet. 17.A feladat a) része: A pontsorok projektivitása akkor áll fenn, ha tudjuk bizonyítani, hogy (A1B1C1D1)=(A2B2C2D2). Az egyes pontok egybeesései miatt (A1B1C1D1)=(C2D2A2B2). A kettősviszonyra vonatkozó tulajdonságokat (lásd jegyzet) alkalmazva: (C2D2A2B2)=(B2A2D2C2)=(A2B2C2D2). A feladat b) részének megoldása során az előbbihez hasonlóan kell eljárni. 18.Lásd a Geometria I jegyzet 84. oldal 50. ábráit. 19.A térkép és a légifelvétel között projektív vonatkozás áll fenn. Feladat a negyedik megfelelő pontpár szerkesztése.

3.3.4 Másodfajú alapalakzatok (Megoldások) 1. A feladatot az alapszerkesztések bármelyikével el lehet végezni, tehát: Perspektív centrum felhasználásával, Perspektív főcentrum felhasználásával, Perspektív helyzetbe hozással, Papírszalagos eljárással. Megjegyzés: A feladat számítással is megoldható, így a kapott eredmény alapján a keresett képpontok kijelölhetők. Ez természetesen nem szerkesztés. 2. Alapszerkesztés. (Lásd pl. a papírcsíkos eljárást.) 3. Alapszerkesztés.


GEM3-13


2010

4. Alapszerkesztés. 5. A légi fénykép és a térkép két kollineár vonatkozású síkrendszer, tehát a keresett pont az alapszerkesztések egyikével megszerkeszthető. 6. A két légi fénykép (F1 és F2) kollineár vonatkozású síkrendszert alkot, tehát a keresett pont az alapszerkesztések egyikével megszerkeszthető. 7. Alapszerkesztés. 8. Alapfeladat. 9. Alapfeladat. 10.Alapfeladat. 11.Alapszerkesztés.

3.3.5 Axiális (tengelyes) affinitás (Megoldások) 1. Alapszerkesztés a négyzet csúcsaira alkalmazva, az illeszkedéstartás és azon tulajdonság felhasználásával, hogy egyenes és képe a tengelyen metszik egymást. 2. Alapszerkesztés. (Lásd az előző feladatot.) 3. A szerkesztés menete: a) A paralelogramma átlóit hosszabítsuk meg a tengelyig. b) A tengelyen lévő metszéspontok szakaszára Thalesz kört emelünk. c) A paralelogramma átlóinak metszéspontjából húzzunk párhuzamost az adott affinitás irányával. d) Az előbbi egyenes a Thalesz körből kimetszi a rombusz átlóinak metszéspontját. Ezzel megfelelő pontpárhoz jutottunk (meghatároztuk az axiális affinitást), a szerkesztés innen már illeszkedéssel végrehajtható. 4. Mivel a téglalapnak nem az átlói (mint az előbbi feladatban), hanem a szomszédos oldalai merőlegesek egymásra, ezért itt a paralelogramma két szomszédos oldalának egyenesét kell a tengelyig meghosszabbítani. A b), c), d) szerkesztési lépések azonosak az előbbivel. 5. A pont képének szerkesztését alkalmazzuk az egyenes két pontjára, melyek közül egyik a tengellyel való metszéspont legyen, hiszen ennek képe önmaga. 6. A megfelelő egyenesek tengelypontjait egy olyan kör metszi ki az adott tengelyből, amelynek a középpontja illeszkedik a tengelyre. Ezen kör (Thalesz kör) középpontját a PP’ szakaszt merőlegesen felező egyenese metszi ki az affinitás tengelyéből. 7. Legyen A’B’=A’C’, ekkor a B’C’ oldal az egyenlőszárú háromszög alapja. Legyen F az ABC háromszög BC oldalának felezőpontja. Az affinitást meghatározó F’ pontot az affinitás irányával párhuzamos, az F pontra illeszkedő egyenes metszi ki az A’B’ szakaszra emelt Thalesz körből. Az A’B’=B’C’ eset a feladat másik megoldását adja. 8. Az A’ pontot az AB és AC egyenesek tengelypontjai által meghatározott szakaszra emelt Thalesz körből metszi ki az A csúcsra illeszkedő, tengelyre merőleges egyenes. 9. Alapszerkesztés. (Az illeszkedés megtartásával.) 10.Legyen a paralelogramma átlóinak metszéspontja M. Az M pont M’ megfelelőjét két Thalesz kör metszéspontjaként nyerjük. Az egyik kör átmérővégpontjait a paralelogramma átlóinak tengelypontjai adják, a másik kör átmérővégpontjait pedig paralelogramma középvonalainak tengelypontjai adják. 11.A szerkesztésben felhasználjuk a következő tételt: Minden ellipszis ortogonális axiális affin képe a nagytengelye – mint átmérő – köré rajzolt körnek. Ennek az affinitásnak a tengelye a nagytengely egyenese. A kistengely egyik végpontjának a „kör rendszerében” lévő megfelelőjét (képét) a kistengely egyenesének a körrel való metszéspontjában nyerjük.

GEM3-14


Projektív geometria 12.Előbb megszerkesztjük az egyenesnek a kör rendszerében lévő képét, majd meghatározzuk ennek a körrel vett metszéspontjait, végül e pontoknak megszerkesztjük az ellipszis rendszerében lévő megfelelőit. 13.A szerkesztés menete: a) Meghatározzuk a P pontnak a („körrendszerbeli”) P’ megfelelőjét. b) Megszerkesztjük a körnek a P’ pontra illeszkedő érintőit. c) Az előbb nyert érintőknek megadjuk az affin képét, amelyek a keresett ellipszis érintők lesznek. 14.A szerkesztés menete: a) Az ellipszissel kapcsolatos problémát áttranszformáljuk a kör rendszerébe. b) A kör rendszerében elvégezzük a szerkesztést. c) Az eredményt visszatranszformáljuk az ellipszis rendszerébe. 15.A megoldás menete megegyezik az előző feladat megoldási tervével. 16.A szerkesztés menete: a) Az ellipszissel kapcsolatos problémát áttranszformáljuk a kör rendszerébe. b) A kör rendszerében elvégezzük a szerkesztést. c) Az eredményt visszatranszformáljuk az ellipszis rendszerébe. 17.Előbb az E ismeretlen érintési pont E’ („körrendszerbeli”) képét határozzuk meg. Mivel a kör érintője merőleges az érintési pontban a kör sugarára, ezért E’ rajta van az érintő tengelypontja és az ellipszis középpontja által meghatározott szakasz Thalesz körén. Az E’ tehát az előbbi Thalesz körnek és a nagytengelyre emelt körnek a metszéspontjában lesz. A keresett E érintési pontot az E’ merőleges vetületeként nyerjük az adott érintőn. Ezzel az adott E és E’ megfelelő pontpárral meghatároztuk az affinitást, így a kistengely végpontjai már rekonstruálhatók. 18.A P pont körrendszerbeli képét (P’ pontot) az adott nagytengelyre emelt körön – merőleges affinitásról lévén szó – közvetlenül kijelölhetjük. Ezzel megfelelő pontpárhoz jutottunk, azaz meghatároztuk az affinitást. Innentől a szerkesztés már egyszerűen befejezhető. 19.Az adott E pont körrendszerbeli E’ képe rajta van azon a Thalesz körön, amelyik átmérőjének egyik végpontját az adott érintő tengelypontja, másik végpontját pedig az ellipszis középpontja (itt az adott tengelyek egyeneseinek O metszéspontja) adja. Továbbá az E’ illeszkedik arra az egyenesre is, amelyik átmegy az E ponton és merőleges a nagytengely egyenesére (a merőleges affinitás miatt). Ezek alapján E’ szerkeszthető. A nagytengely végpontjait az OE’ sugarú kör a nagytengely egyeneséből metszi ki. A kistengely végpontjait affinitással nyerjük. 20.Jelöljük az AB szakasz felezési pontját F-fel. Az F pont körrendszerbeli F’ képe rajta van az adott pontok egyenesének tengelypontja és az ellipszis középpontja által meghatározott szakasz Thalesz körén, mert a kör bármely húrjának felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján. Továbbá az F’ illeszkedik arra az egyenesre is, amelyik átmegy az F ponton és merőleges a nagytengely egyenesére (a merőleges affinitás miatt). Innen F’ szerkeszthető, és ennek ismeretében, a tengelypontot ezzel összekötve az AB egyenes körrendszerbeli képét kapjuk, majd ezen az A’ és B’ pontokat kijelölhetjük. A nagytengely végpontjait az OA’ sugarú kör metszi ki a nagytengely egyeneséből. A kistengely végpontjait affinitással nyerjük.

3.3.6 Centrális kollineáció (Megoldások) 1. Alapszerkesztés. 2. Alapszerkesztés. 3. Ha egy centrális kollineációt felhasználó feladatban a megfelelő pontpár helyett ellentengely van megadva, akkor előbb megfelelő pontpárt keresünk. Mivel az ellentengely egy végtelen távoli egyenes megfelelője (képe), ezért bármely pontjának képét úgy nyerjük, hogy vesszük az említett pontot a centrummal összekötő egyenesnek a végtelen távoli pontját. 4. Lásd az előző feladat megoldását. 5. Lásd a 3. feladat megoldását. 6. Lásd a 3. feladat megoldását. 7. Az M’ lényegében a két adott párhuzamos egyenes közös végtelen távoli pontjának a képe. Ezért erre illeszkedve, a t tengellyel párhuzamosan megadhatnánk a q’ ellentengelyt.


GEM3-15


2010

8. A C centrumból a párhuzamosok közös M∞ végtelen távoli pontját a q’ ellentengelyre vetítve kapjuk annak M’ képét. Az M’ pontot az adott egyenesek tengelypontjaival összekötve kapjuk a keresett a’ és b’ képeket. 9. Az a) rész megoldása: Az adott egyenesek az r ellentengelyt az A illetve B pontokban metszik (mivel az ellentengellyel azonos síkrendszerben vannak). Ezen A illetve B pontoknak a (jelzett) másik síkrendszerben lévő képeik a végtelenben vannak. Az A’∞ és B’∞ pontokat a CA illetve CB egyenesek végtelen távoli pontjával adjuk meg. Megoldások: a’ (Az a egyenes tengelypontjából párhuzamost húzunk a CA iránnyal.) b’ (A b egyenes tengelypontjából párhuzamost húzunk a CB iránnyal.) A b) rész megoldása: Az a’ és b’ egyenesek M’ metszéspontján át, a t tengellyel párhuzamosan felvehető a q’ ellentengely. 10.Lásd az előző feladat b) részének megoldását. 11.Az r ellentengely a „vesszős” síkrendszer végtelen távoli pontjainak (amelyek egy végtelen távoli egyenesen helyezkednek el) a képe. Ezt figyelembe véve a megoldás lépései a következők: a) Felveszünk egy végtelen távoli pontot a „vesszős” rendszerben (P’∞) b) Megszerkesztjük ennek a másik rendszerben lévő képét (P) c) A P ponton át a t tengellyel párhuzamosan felvesszük a keresett r ellentengelyt. 12.Lásd az előző feladat megoldását. 13.Lásd a 11. feladat megoldását. 14.A feladat megoldása lényegében megegyezik a 9. feladat a) részével. A két feladatban az a közös, hogy a két párhuzamos egyenes az ellentengellyel azonos síkrendszerben van. 15.A feladat megoldása lényegében megegyezik a 8. feladat megoldásával. A két feladatban az a közös, hogy a két párhuzamos egyenes az ellentengellyel nincs azonos síkrendszerben. 16.Az e egyenest egyetlen tetszőleges pontjával transzformálhatjuk (a tengelypont a végtelenben van, azaz e’ párhuzamos t tengellyel. 17.Lásd az előző feladat megoldását. 18.A megoldás lépései: a) Transzformáljuk az egyik csúcsot (pl. A-t). b) Felvesszük az AB és AC egyenesek képét (az A’ pontot összekötjük a az említett egyenesek tengelypontjával). c) Az előbb nyert kép-egyenesekre a C centrumból (úgynevezett centrális rendezőkkel) rávetítjük a hiányzó B’ illetve C’ képeket. 19.A szerkesztés elve azonos az előbbi feladat megoldásával, a lépéseket itt a paralelogramma csúcsaira hajtjuk végre. 20.A szerkesztés elve azonos a 18. feladat megoldásával. 21.Az a) és a b) részben is csupán egy-egy pont transzformációjáról van szó. 22.A szerkesztés menete: a) Az adott egyenesek tengelypontjai által meghatározott szakaszra Thalesz kört emelünk. Ezen a körön tetszőlegesen kijelölhető (végtelen sok megoldás!) az a’ és b’ egyenesek M’ metszéspontja. b) Meghatározzuk az adott a és b egyeneseknek az ellentengellyel alkotott A és B metszéspontjait, majd az AB szakaszra Thalesz kört emelünk. c) Ez utóbbi Thalesz körből az MM’ centrális rendező kimetszi a keresett C centrumot. 23. A szerkesztés menete: a) Az adott a’ és b’ egyenesek tengelypontjai által meghatározott szakaszra szögű látókört emelünk. (Megjegyzés: Tudjuk, hogy azon pontok mértani helye a síkon, ahonnan egy szakasz végpontjai adott szögben láthatók, körívet (2 db egybevágó, a szakasz egyenesére tengelyesen szimmetrikusan elhelyezkedő) alkotnak. Ezt látókörívnek nevezzük.) Ezen a köríven tetszőlegesen kijelölhető az a és b egyenesek M metszéspontja. b) Meghatározzuk az adott a’, b’ egyenesek q’ ellentengellyel alkotott A’, B’ metszéspontjait, majd az A’B’ szakaszra szögű látókört emelünk. c) Ez utóbbi látókörből az MM’ centrális rendező kimetszi a keresett C centrumot. 24.A szerkesztés menete: a) Az adott ABCD négyszög szemben lévő oldalainak metszéspontjait összekötve kapjuk az r ellentengelyt. (Megjegyzés: A keresett A’B’C’D’ négyszög téglalap, ennek a szemközti oldalai párhuzamosak, ezért közös végtelen távoli pontjaik képét, az ABCD négyszög szemben lévő oldalainak met-

GEM3-16


Projektív geometria széspontjaként nyerjük.) b) Megrajzoljuk a t tengelyt amely átmegy a T ponton, és párhuzamos az előbb nyert ellentengellyel. c) Megszerkesztjük a D’ pontot, amely rajta van a DA és DC egyenesek tengelypontjai által meghatározott szakasz Thalesz körén (mivel a téglalap szögei derékszögek), másrészt a DA egyenes képén, amelyet tengelypontja és A’ pontja ismeretében megadhatunk. d) Végül a DD’, AA’ centrális rendezők metszéspontjában megkapjuk a kollineáció C centrumát. 25.A szerkesztés menetének a), b) és d) lépései azonosak az előbbi feladat megoldási lépéseivel. A c) pontban nem egy csúcsnak, hanem az átlók M metszéspontjának M’ képét kell megszerkeszteni, mivel a rombusz átlói merőlegesen felezik egymást. 26.A szerkesztés menetének elve az a) és b) szerkesztési lépések esetében, megegyezik a 24. feladat a) és b) szerkesztési lépéseivel. c) Az ABCD négyszög átlói M metszéspontjának M’ képét két Thalesz kör metszéspontjában nyerjük. Az egyik Thalesz kör az átlók tengelypontjai által meghatározott szakasz Thalesz köre (mivel négyzet lesz a négyszög képe, és a négyzet átlói átlói merőlegesek egymásra). A másik Thalesz kör pedig a középvonalak tengelypontjai által meghatározott szakasz Thalesz köre (mert a négyzet középvonalai is merőlegesek egymásra). A négyzet középvonalainak képét az ABCD általános négyszögben úgy nyerjük, hogy az M metszéspontot összekötjük a szemben lévő oldalegyenesek metszéspontjával (mert a négyzet szemben lévő oldalai a köztük lévő középvonallal párhuzamosak, ezért egyeneseiknek közös a végtelen távoli pontjuk). d) Megszerkesztjük az A csúcs képét az A’ pontot. Az A’ pontot az AD és AB egyenesek tengelypontjai által meghatározott szakasz Thalesz köréből az AM egyenes képe metszi ki, amely pedig a tengelypontja és M’ ismeretében megrajzolható. e) Végül az MM’ és AA’ centrális rendezők metszéspontjában megkapjuk a kollineáció C centrumát. 27.Mivel a kollineáció C centruma adott, ezért a két háromszög megfelelő csúcsait összekötő egyeneseknek a centrumon kell átmenniük. Desargues tétele miatt a megfelelő oldalak egyeneseinek metszéspontjai egy egyenesre kell, hogy essenek. Ezért elegendő két-két megfelelő egyenes metszéspontját meghatározni. Ezek összekötő egyenese lesz a kollineáció tengelye.

Irodalomjegyzék Baboss Csaba: Geometria I., Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai kar, Székesfehérvár, 2007. Coxeter H. S. M.: A geometriák alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973. Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966. Kárteszi Ferenc: Bevezetés a véges geometriákba, Akadémia Kiadó, Budapest, 1972. Kárteszi Ferenc: Lineáris transzformációk, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974. Reiman István: A geometria és határterületei, Gondolat Könyvkiadó, 1986. Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974. Szász Gábor: Projektív geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 1977. Szőkefalvi Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete, Akadémia Kiadó, Budapest, 1968.


GEM3-17




Szférikus geometria








Tartalom 4. Szférikus geometria ................................................................................................................ 4.1 Bevezetés .................................................................................................................... 4.1.1 Alapfogalmak .................................................................................................... 4.1.2 Összefüggések, tételek ......................................................................................... 4.1.3 A gömbháromszögek tulajdonságai ........................................................................ 4.2 Szférikus geometria FELADATOK ................................................................................... 4.2.1 Gömbkétszögek ................................................................................................. 4.2.2 Gömbháromszögek ............................................................................................. 4.2.3 Földrajzi helyek távolsága .................................................................................... 4.2.4 Vegyes összefoglaló feladatok ............................................................................... 4.3 Szférikus geometria MEGOLDÁSOK ................................................................................ 4.3.1 Gömbkétszögek (Megoldások) ............................................................................... 4.3.2 Gömbháromszögek (Megoldások) .......................................................................... 4.3.3 Földrajzi helyek távolsága (Megoldások) ................................................................. 4.3.4 Vegyes összefoglaló feladatok (Megoldások) ............................................................

1 1 1 2 3 3 3 4 5 5 6 6 6 7 8

4. fejezet - Szférikus geometria 4.1 Bevezetés A következő fejezetben összegyűjtött feladatok átfogják a jegyzetben tárgyalt témakörök valamennyi feladattípusát. Az egyes feladatok megoldásához, illetve megoldási részben leírtak könnyebb megértéséhez, a fejezet elején rövid elméleti összefoglalást adunk.

4.1.1 Alapfogalmak • Gömbi főkör: A gömbfelület azon köreit nevezzük főkörnek, melyeket a gömb középpontjára illeszkedő síkok metszenek ki a gömbfelületből. • Mellékkör: A gömb felületéből bármely –a középpontra nem illeszkedő - sík által kimetszett kör. • Átellenes pontok: A gömbfelület P, P* pontpárját átellenes pontoknak nevezzük, ha a gömb középpontjára szimmetrikusan helyezkednek el. Tehát a PP* szakasz a gömb egy átmérője. • Pólus: Minden főkörhöz (illetve az ezzel párhuzamos síkú mellékkörökhöz) két pólust rendelünk, ezeket a gömb O középpontjára illeszkedő, a főkör síkjára merőleges egyenes metsz ki a gömb felületéből. • Két pont gömbi távolsága: Az A, B felületi pontok távolságán, a két pontra illeszkedő főkör két pont közé eső rövidebbik ívét értjük.

1. ábra • Gömbi távolság mérése: Két módon mérhetjük. Az egyik módszer az, hogy a megfelelő főkör-ívhosszt hosszúság egységben megadva jellemezzük a távolságot. A másik módon pedig úgy jellemezhetjük (mérhetjük) a távolságot, hogy megadjuk annak a középponti szögnek a nagyságát (fokokban vagy ívmértékben), amelyik kimetszi az adott ívet a gömbfelületből. • Gömbkétszög: A gömbfelület azon tartománya, melyet egy átellenes pontpárra illeszkedő két félfőkörív határol. (A gömbkétszög szögei egyenlők és kisebbek 180o-nál.) • Gömbháromszög: A gömbfelületnek három (fél-főkörívnél kisebb!!!) főköríve által határolt tartományát gömbháromszögnek nevezzük. • Mellékgömbháromszög: Ha két gömbháromszög egy gömbkétszöggé egyesíthető, akkor egyik a másiknak mellékgömbháromszöge. (Például a 2. ábrán az ABC gömbháromszög mellékgömbháromszögei: ABC’, AB’C, A’BC gömbháromszögek.) • Csúcsgömbháromszögek: Ha két gömbháromszögnek egy közös csúcsa van, a másik két-két csúcs pedig átellenes pontpárt alkot, akkor ezeket csúcsgömbháromszögeknek nevezzük. (Például a 2. ábrán az ABC gömbháromszög csúcsgömbháromszögei: A’B’C, A’BC’, AB’C’ gömbháromszögek.)


2010

• Szimmetrikus (átellenes) gömbháromszögek: Ha két gömbháromszög csúcsai páronként átellenes pontok, akkor ezeket szimmetrikus (átellenes) gömbháromszögeknek nevezzük. (Pl.: ABC és A’B’C’ háromszögek.)

2. ábra • Egybevágó gömbháromszögek: Két gömbháromszög akkor egybevágó, ha a gömb felületén elmozgatva fedésbe hozhatók. • Polárgömbháromszögek: Az ABC gömbháromszög polárgömbháromszögének csúcsai azon APBPCP pontok, melyeket az ABC gömbháromszögnek oldalaira illeszkedő főkörök (a megfelelő csúcshoz közelebbi) pólusaiként kapunk.

4.1.2 Összefüggések, tételek • Az R sugarú gömbfelületen lévő A és B pontok távolsága (c): . • Az

R

sugarú

gömbre

illeszkedő

α

szögű

gömbkétszög

területe:

. • Az R sugarú gömbre illeszkedő gömbháromszög területe: α, β, γ, a gömbháromszög szögei.

, ahol

• Gömbháromszögek szinusz-tétele: Bármely két oldalra és a velük szemközti szögekre teljesül: , ahol az ao, bo az oldalak fokokban mért értéke, az α és a β pedig a gömbháromszög szögei. • Gömbháromszögek koszinusz-tétele oldalakra: A gömbháromszög bármely oldala meghatározható a másik két oldal és az általuk közbe zárt szög segítségével az alábbi összefüggés szerint: , ahol ao, bo és co a gömbháromszög oldalainak fokokban mért értékei, az α pedig az a oldallal szemközti szög. o

• Gömbháromszögek koszinusz-tétele szögekre: A gömbháromszög bármely szöge meghatározható a másik két szög és a keresett szöggel szemközti oldal segítségével az alábbi összefüggés szerint:

GEM4-2



, ahol α, β, γ, a gömbháromszög szögei, az ao pedig a gömbháromszög α szögével szemközti oldalának fokokban mért értéke. • Két földrajzi hely távolságának meghatározása: A(λ1;ϕ1) és B(λ2;ϕ2) földrajzi helyek esetén: , ahol d a gömbi távolság, a λ a földrajzi hosszúság, ϕ pedig a földrajzi szélesség. Innen

km.

4.1.3 A gömbháromszögek tulajdonságai A gömbháromszögek legfontosabb tulajdonságainak összegyűjtését azért tartottuk szükségesnek, mert a számolásaink során kapott bármilyen eredményt csak akkor fogadhatunk el, ha azok nem mondanak ellent az alábbiakban leírtaknak. Különösen a szinusz-tételt alkalmazó feladatok eredményét kell feltétlenül megvizsgálni. 1. 0o< α, β, γ <180o, ahol α, β, γ a gömbháromszög szögeit jelölik. 2. 0o< ao, bo, co <180o, ahol ao, bo, co az oldalakhoz tartozó (gömb) középponti szögeket jelöli. 3. 180o< α+β+γ <540o. 4. Bármely két oldal összege nagyobb, mint a harmadik oldal. 5. Nagyobb oldallal szemben nagyobb szög, kisebb oldallal szemben kisebb szög van, továbbá egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek találhatók, és viszont. 6. 0o< ao+bo+co <360o. 7. Bármely két szög összege ugyanolyan relációban van a 180o-kal, mint a velük szemben lévő oldalak középponti szögeinek összege, azaz: a) ha α+β>180o, akkor ao+bo>180o, b) ha α+β=180o, akkor ao+bo=180o, c) ha α+β<180o, akkor ao+bo<180o és viszont.

4.2 Szférikus geometria FELADATOK 4.2.1 Gömbkétszögek 1. Egy 10 m sugarú gömb felszínén lévő gömbkétszögnek határozzuk meg a területét (t) és kerületét (k) abban az esetben, amikor: a) α=18o, b) α=36o, c) α=72o! 2. Határozzuk meg a 12 m sugarú gömb felszínén lévő gömbkétszög szögeit úgy, hogy a gömbkétszög területe: a) t=16π m2, b) t=32π m2, c) t=64π m2 legyen! 3. Egy R sugarú gömb felszínén lévő gömbkétszögek szögei 10o-osak. Mekkora területük, ha az R értéke: a) R=12 m, b) R=24 m, c) R=36 m? 4. Egy R sugarú gömb felszínén lévő gömbkétszögek szögei 30o-osak. Határozzuk meg a sugár nagyságát, ha a terület: a) t=3π m2, b) t=12π m2, c) t=27π m2! 5. Egy R sugarú gömb felszínén lévő gömbkétszög területe 144π m2. Mekkora a gömb sugara, ha a gömbkétszög szögei: a) α=90o, b) α=10o, c) α=22,5o? 6. Egy R sugarú gömb felszínén lévő gömbkétszög területe 36π m2. Mekkora a gömbkétszög szöge, ha sugara: a) R=18 m, b) R=9 m, c) R=6 m?


GEM4-3


2010

4.2.2 Gömbháromszögek 1. Egy 10 m sugarú gömb felszínén lévő ABC gömbháromszög szögei α=60o, β=120o, γ=30o. a) Mekkora az ABC gömbháromszög területe? b) Adjuk meg az AB*C mellékgömbháromszög területét (B* a B csúcs átellenes pontja)! c) Határozzuk meg az A*B*C csúcsgömbháromszög területét! 2. Egy 12 m sugarú gömb felszínén lévő ABC gömbháromszög szögei α=150o, β=120o, γ=60o. a) Mekkora az ABC gömbháromszög területe? b) Határozzuk meg az A*BC mellékgömbháromszög területét! c) Adjuk meg az A*BC* csúcsgömbháromszög területét! 3. Egy 937 m sugarú gömb felszínén lévő ABC gömbháromszög szögei α=90o, β=60o, γ=30o. Mekkora a gömbháromszög területe? 4. Egy R sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög területe a gömb sugara?

m2, szögei α=65o, β=112o, γ=33o. Mekkora

5. Egy R sugarú gömb felszínén lévő ABC gömbháromszög szögei α=120o, β=63o, γ=57o. Az A*BC mellékgömbháromszög területe 144π m2. Mekkora a gömb sugara? 6. A 18m sugarú gömb felszínén lévő ABC gömbháromszög területe 90π m2. Két szöge α=72o, γ=101o. Mekkora a β szöge? 7. A 15 m sugarú gömb felszínén lévő ABC gömbháromszög két szöge α=83o, β=117o, az A*B*C csúcsgömbháromszög területe 50π m2. Mekkora a γ szöge? 8. Egy 12 m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög adatai: α=120o, β=60o, ao=150o. Mekkora a b oldala? 9. Egy gömbháromszög adatai: bo=120o, co=90o, γ=150o. Határozzuk meg a β szögét! 10.A 10m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög adatai: ao=100o, bo=80o, γ=70o. Határozzuk meg a c oldal hosszát! 11.Egy gömbháromszög oldalai: ao=120o, bo=65o, co=98o. Mekkora az α szöge? 12.Egy 52 m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög adatai: ao=123o, bo=87o, γ=96o. Mekkora a c oldal? 13.Határozzuk meg a γ szögét annak a gömbháromszögnek, amelyiknek másik két szöge α=85o, β=120o, és c oldala 107o! 14.A 10m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög szögei α=42o, β=86o, γ=112o. Határozzuk meg az a oldal hosszát! 15.A 18 m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög oldalai a=6π m, b=12π m, c=15π m. Mekkorák a szögei és a területe? 16.Egy 12 m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög két oldala b=8π m, c=2π m, a két oldal által bezárt szög α=60o. Mekkora a gömbháromszög területe? 17.A 15 m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög egyik oldala a=31,4 m, az adott oldalon lévő két szöge β=100o, γ=70o. Mekkora a gömbháromszög területe és kerülete? 18.Egy 20 m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög két oldala a=25 m, b=16 m. Egyik szöge α=100o. Mekkora a gömbháromszög területe? 19.Egy 18 m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög egyik oldala a=12π m, két szöge α=110o, β=70o. Mekkora a gömbháromszög kerülete, ha területe t=108π m2? 20.Egy 12 m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög két oldala a=22,62 m, b=20,1 m. A harmadik oldallal szemben lévő szöge γ=60o. Mekkora a területe és kerülete?

GEM4-4



4.2.3 Földrajzi helyek távolsága 1. Számítsuk ki milyen messze van Makó Jeruzsálemtől! (Földünk alakját 6366km sugarú gömbnek vegyük.) A két város (nem egészen pontos) koordinátái: M(20,5o; 46,5o) és J(35o; 32o). 2. Határozzuk meg Budapestnek Londontól való távolságát! Koordináták: BP(19o; 47,5o) és L(0o; 51,5o). 3. Milyen messze van Moszkva Lisszabontól? Koordináták: M(37,5o; 56o) és L(-9,5o; 38,9o). 4. Határozzuk meg Tokiónak Washingtontól való távolságát! Koordináták: T(140o; 36o) és W(-77o; 39o). 5. Határozzuk meg fővárosunknak a Dél-afrikai Köztársaság fővárosától (Pretoriától) való távolságát! Koordináták: BP(19o; 47,5o) és P(28o; -26o). 6. Mekkora a „légvonalbeli” távolság Budapest és Rio de Janeiro között? Koordináták: BP(19o; 47,5o) és R(-44o; -23o). 7. Adjuk meg a Budapest Melbourne távolságot! Koordináták: BP(19o; 47,5o) és M(145o; -38o). 8. Számoljuk ki a Budapest Moszkva távolságot! Koordináták: BP(19o; 47,5o) és M(37,5o; 56o). 9. Két földrajzi hely azonos hosszúsági körön helyezkedik el. Mekkora a távolságuk, ha a koordináták: A(1o; 20o) és B(λo; -40o) -180o≤λ≤180o? 10.Határozzuk meg Budapestnek az Északi pólustól való távolságát! Koordináták: BP(19o; 47,5o) és É(0o; 90o). 11.Két földrajzi hely azonos szélességi körön helyezkedik el. Mekkora a távolságuk, ha a koordináták: A(100o; 60o) és B(70o; 60o)? 12.Határozzuk meg az Egyenlítőn lévő két objektum távolságát, ha koordinátáik: A(52o; 0o) és B(-8o; 0o)! 13.Két azonos szélességi körön épült város koordinátái: A(73o; 30o) és B(13o; 30o). Határozzuk meg, hogy a két város között közlekedő repülőgép hány km-rel tesz meg több utat, mint a két város távolsága! (Nem számítva a fel- és leszálláshoz szükséges többlet távolságot.) A gép repülési magasságát 10000m-nek vegyük. 14.Milyen messze van Washington Melbourne-től? Koordináták: W(-77o; 39o) M(145o; -38o).

4.2.4 Vegyes összefoglaló feladatok 1.

Tekintsünk egy origó középpontú egység sugarú gömböt. A középpontból kiinduló

,

,

vektorok kidöfik egy gömbháromszög csúcsait. Határozza meg a gömbháromszög oldalait, szögeit és a területét! 2. Tekintsünk egy 2 m oldalélű kockát és az ebbe írható érintőgömböt. Jelöljük a kocka középpontját O-val, egyik oldallapjának középpontját C-vel, és ezen oldallap két szomszédos csúcsát A-val illetve B-vel. Határozzuk meg annak a gömbháromszögnek a kerületét és területét, amelynek csúcsait az döfik ki a gömbfelületből!

,

és

vektorok

3. Határozzuk meg egy R=20 m sugarú gömb felületén lévő, m egyenlő oldalú (minden oldala egyenlő hosszúságú ív) gömbháromszög szögeinek nagyságát! Határozzuk meg az ugyanilyen oldalhosszúságú síkbeli háromszög és ezen gömbháromszög területének arányát! 4. Határozzuk meg a „Bermuda-háromszög” kerületét és területét, a Föld sugarát 6366 km-nek válasszuk! (Használjuk a műholdas felvételekről leolvasható koordinátákat!) 5. A műhold felvételeket és az onnan nyert koordinátákat felhasználva határozzuk meg Magyarország két legtávolabbi pontjának hozzávetőleges távolságát!


GEM4-5


2010

4.3 Szférikus geometria MEGOLDÁSOK 4.3.1 Gömbkétszögek (Megoldások) 1. a) t=20π m2, k=20π m. b) t=40π m2, k=20π m. c) t=80π m2, k=20π m. 2. a) α=10o, b) α=20o, c) α=40o. 3. a) t=16π m2, b) t=64π m2, c) t=144π m2. 4. a) R=3 m, b) R=6 m, c) R=9 m. 5. a) R=12 m, b) R=36 m, c) R=24 m. 6. a) α=10o, b) α=40o, c) α=90o.

4.3.2 Gömbháromszögek (Megoldások) 1. a)

m2. b) A BB* gömbkétszög területéből (

m2) vonjuk ki az ABC gömbháromszög terü-

letét, eredményül m2 értéket kapjuk. c) Az A*B*C gömbháromszög területe azonos a vele szim* metrikus ABC gömbháromszög területével. (Az ABC* gömbháromszög az ABC gömbháromszögnek szintén mellékgömbháromszöge.) A kapott terület:

m 2.

2. a) t=120π m2, b) t=120π m2, c) t=72π m2. 3. Az adott szögekkel rendelkező gömbháromszög nem létezik, mert a gömbháromszögek belső szögeinek összege nagyobb 180o-nál. 4. R=15 m. 5. Az AA* gömbkétszög területe 192π m2. Ebből kivonva az A*BC mellékgömbháromszög területét, megkapjuk az ABC gömbháromszög területét: t=48π m2, ahonnan R=12 m adódik. 6. β=57o. 7. γ=60o. 8. Szinusz-tétellel megállapíthatjuk a bo értékét: bo1=30o, bo2≠150o (ez utóbbi nem megoldás). A középponti szög és a sugár segítségével kiszámítjuk a b oldalt: b=2π m. 9. β1=154,34o, β2≠25,66o. 10.co=72,45o, c=12,65 m. 11.α=119o. 12.co=96,66o, c=87,73 m. 13.γ=102o. 14.ao=48,2o, a=8,4 m.

GEM4-6


Szférikus geometria 15.Előbb a méterekben megadott oldalakhoz kiszámítjuk a megfelelő (gömb) középponti szögeket: ao=60o, bo=120o, co=150o. A fokokban mért oldalak ismeretében koszinusz- illetve szinusz tételek felhasználásával meghatározzuk a gömbháromszög szögeit: α=81,1o, β=98,9o, γ=145,2o. Végül meghatározzuk a területet: t=821 m2. 16.A méterekben megadott oldalak középponti szögekkel mérve bo=120o, co=30o. Az a oldal értékének meghatározása koszinusz-tétellel ao=102,5o. A β és γ szögek értékének meghatározása szinusz-tétellel: β=129,8o, γ=26,3o. A terület értéke: t=90,7m2. 17.A méterekben megadott a oldal középponti szöggel mérve: ao=120o. Szögekre vonatkozó koszinusz-tétellel meghatározzuk az adott oldallal szemben lévő szöget: α=113,8o. A szinusz-tételt felhasználva kapjuk a másik két oldalt:

=68,8o,

=111,2o és

=62,8o,

≠117,2o. Meghatározzuk az előbb nyert oldalakat méterben:

=17,5 m, =29,1 m, =16,4 m. Kiszámítjuk a kapott háromszögek területét és kerületét: T1=256,8 m2, 2 T2=423,3 m , k1=65,3 m, k2=76,9 m. 18.A megoldás lépései: a) A méterben megadott oldalak középponti szöggel mérve: ao=71,6o és bo=45,8o. b) Szinusz-tétellel meghatározzuk a β szöget: β=48o. c) Az a oldalra felírt koszinusz–tételből algebrai átalakításokkal és trigonometrikus összefüggések felhasználásával a következő másodfokú egyenlet nyerhető: . Az előbbi egyenlet gyökei: =53,4o, =73,6o. d) o o Szinusz-tétellel meghatározzuk a c oldallal szemben lévő szöget: γ1=56,4 , γ2=84,6 . Végül meghatározzuk a gömbháromszög területét: T1=170,3 m2, T2=367,2 m2. 19.A megoldás lépései: a) A terület segítségével meghatározzuk a harmadik szöget: γ=60o. b) Az a oldal hosszából kiszámítjuk a hozzátartozó középponti szöget: ao=120o. c) Szinusz-tétellel meghatározzuk a b és c oldalhoz tartozó középponti szöget: bo=60o, co=53o. d) Kiszámítjuk a b és c oldalak hosszát: b=6π m, c=5,3π m. e) Meghatározzuk a gömbháromszög kerületét: k=23,3π=73,2 m. 20.A megoldás lépései: a) Meghatározzuk az adott oldalakhoz tartozó középponti szögeket. ao=108o, bo=96o. b) Koszinusz-tétellel meghatározzuk a harmadik oldalt: co=59,6o. c) Koszinusz-tétellel határozzuk meg az α és β szögeket: α=107,3o, β=86,4o. d) Meghatározzuk a gömbháromszög területét: T=185,2 m2. e) Kiszámítjuk a c oldal hosszát: c=12,5 m. f) Meghatározzuk a kerület hosszát: k=55,2 m. Megjegyzés: A c) pontban az α és β szögeket az egyszerűbb szinusz-tétellel is meghatározhattuk volna, de az ebből nyert két megoldás helyességének vizsgálata több időbe kerül, mint a koszinusz-tétel alkalmazása.

4.3.3 Földrajzi helyek távolsága (Megoldások) 1. A Geometria I. jegyzet 5. mintafeladata (140. oldal) alapján oldható meg. Az eredmény: do=18,2766o, d=2030,7 km. 2. do=12,9282o, d=1436 km. 3. do=35,1744o, d=3908 km. 4. do=97,5977o, d=10844 km. Megjegyzés: Ez a feladat megoldását illetően nagyon tanulságos, mivel a két város távolsága két különböző módon (útvonalon) állapítható meg: a) Az Atlanti-óceán (Európa-Ázsia) „fölött” mérve, b) A Csendes-óceán „fölött” mérve. Az a) esetben az első koordináták különbsége , míg a b) esetben ugyanez az érték:

. A problémát tovább bonyolítja az a tény, hogy

a képlettel számolva mind a két esetben azonos eredményt (do=97o) kapunk. A matematikában azon ritka esettel állunk szemben, hogy a két azonos eredmény egyike hibás. Miért lesz azonos a végeredmény? Ez azért állhat elő, mert a képlet utolsó tényezője egyenlő számot ad ( ), mivel . Az a) esetben a tényleges távolság nyilvánvalóan: 40000 km-10844 km=29156 km, mivel egy főkör kerülete 40000 km. Két


GEM4-7


2010

földrajzi hely meghatározásánál ezzel a jelenséggel mindig találkozhatunk, mert a két helység főkörén minden esetben két irányba indulhatunk el. (Az persze más kérdés, hogy távolságon mindig a legkisebb hossz értendő.) Végül mi a matematikai magyarázata a „furcsa jelenségnek”? Vizsgáljuk meg, hogyan nyertük az előbbi távolság-képletet. A jegyzet alapján tudjuk, hogy a képlet a gömbháromszögek oldalaira vonatkozó koszinusz-tételnek egy gyakorlati alkalmazása. Tehát gömbháromszögekre érvényes. Olyan gömbháromszög pedig nem létezik, amelyiknek egyik szöge 217o (mivel bármely szöge 180o-nál kisebb kell, hogy legyen). Ezért az a) esetben a képlet nem használható. 5. do=73,9462o, d=8216 km. 6. do=96,2232o, d=10691 km. 7. do=164,9418o, d=18326 km. 8. do=14,1888o, d=1576,5 km. 9. Ebben az esetben a do meghatározásához a képlet alkalmazására nincs szükség (bár használható). A feladatnak két megoldása van: I.: do=160o, azaz d=17777,8 km.

esetén do=60o (

), d=6666,7 km, II.:

esetén

10.Az előbbi feladat speciális esete, mivel most is tekinthető a két földrajzi hely azonos hosszúsági körön lévőnek, így: do=42,5o ( 11.

), d=4722 km.

A do értékét számítással kell meghatározni, mivel általában

12. Ebben a speciális esetben viszont

. do=14,8709o, d=1652 km.

, így: do=60o, d=6666 km.

13.A megoldás lépései: a) A két földrajzi hely távolsága: do=51,3178o, d=5702 km. b) Mivel a repülőgép a loxodróma „mentén” közlekedik (itt az útirányszög 90o), ezért ki kell számolnunk annak a szélességi körnek a sugarát, amely fölött halad a gép. Ez r=5513 km. c) A megtett úthoz tartozó középponti szög (a középpontja a szélességi kör középpontja): . d) A gép által megtett út (figyelembe véve a 10000 m repülési magasságot): s=5784 km. e) A többlet út hossza: s-d=82 km. 14.do=147,4103o, d=16378 km

4.3.4 Vegyes összefoglaló feladatok (Megoldások) 1. Alkalmazzuk a két vektor hajlásszögére vonatkozó képletet: . Ez alapján az és hajlásszöge 46,8o, a és vektorok hajlásszöge 81,91o, valamint az és o hajlásszöge 45,77 . Ezek a szögek adják a gömbháromszög oldalainak fokokban mért értékét. Ebből az egyes oldalak: 0,817 egység (46,8o), 1,43 egység (81,91o), 0,799 egység (45,77o) hosszúak. A koszinusz-tétel segítségével a háromszög szögei meghatározhatók, ezek az alábbiak: α=130,1o, β=33,59o, γ=45,77o. A kapott szögeket felhasználva T=0,3131 területegység. 2. A feladatot kétféle megközelítéssel is megoldhatjuk. I. megoldás: A kockát a térbeli koordináta-rendszerben alkalmasan elhelyezve (például a kocka középpontja kerüljön az origóba, a lapok síkjai pedig legyenek párhuzamosak a koordináta-síkokkal) az , és vektorok koordinátáit meghatározhatjuk, majd az előbbi feladat megoldási tervét követve kiszámolhatjuk a területet és a kerületet. II. megoldás: Ábrázoljuk (vázlatosan) a kockát, valamint a kijelölt A, B, C, O pontokat, és a keletkező döféspontokat:

GEM4-8



3. ábra 1. Elemi geometriai úton belátható, hogy a D1D2D3 döféspont-gömbháromszög szögei: D1∠=D2∠=60o, D3∠=90o. A megfontolás a következő: Először is a gömbháromszög sík-szimmetrikus, az elrendezés térbeli szimmetriája miatt. A szimmetriasík az AB szakaszfelező merőleges síkja. Tehát a gömbháromszög két szögének nagysága megegyezik. Tekintettel arra, hogy a D3∠ gömbi szöget az OAC és az OBC háromszögek síkjai metszik ki a gömbfelületből, ezért a síkok derékszögű elhelyezkedése miatt, triviálisan 90o-os ez a keletkező gömbi szög. A másik két szög nagyságát pedig abból az ismeretből következtethetjük ki, hogy bármely kockát a testálójára merőleges síkra merőlegesen vetítve, a kapott vetület szabályos hatszög. A fenti kockát az AO testátló irányából vetítve a következő ábrát kapjuk:

4. ábra A vetítés miatt az AOC sík és az AOB sík is élben látszik, tehát hajlásszögük valódi méretét (60o) leolvashatjuk. Emiatt a síkok által kimetszett gömbi szögek is 60o-osak lesznek. A D1D2D3 gömbháromszög területe:


GEM4-9


2010

m2, a kerülete m. Megjegyzés: A terület rövidebben is meghatározható, ha figyelembe vesszük, hogy az OABC tetraéderből laponként 4db egybevágó keletkezik, tehát összesen 6x4=24db egybevágó tetraéder hézagmentesen kitölti a kockát, tehát 24db egybevágó gömbháromszög keletkezik. Ezek egyenkénti területe a gömb felszínének 24-ed része. Mivel R=1m, így a felszín tehát 24-ed része éppen a fentebb kapott eredményt adja.

m2,

1. Az a oldal hosszából és a sugár értékéből kiszámítjuk az ao értékét: ao=18o. A koszinusz-tételt alkalmazva α=60,83o adódik. A gömbháromszög területe: T1=17,38 m2. Az háromszög területe: T2=17,09 m2. A két terület aránya:

m oldalú síkbeli szabályos

.

2. A Bermuda-háromszög csúcsait Florida dél-keleti partvidéke (válasszuk Miami városát), a Bermuda szigetcsoport és Puerto Rico szigete (itt válasszuk San Juan városát) határozza meg. A koordináták: Miami: ϕ=25o47’ (északi szélesség) és λ=80o07’ (nyugati hosszúság) San Juan: ϕ=18o28’ (északi szélesség) és λ=66o06’ (nyugati hosszúság) Bermuda szigetek: ϕ=32o18’ (északi szélesség) és λ=64o06’ (nyugati hosszúság) Az egyes távolságok meghatározására a összefüggést használjuk, a szögeket pedig az oldalak ismeretében, a cosinus-tétel alkalmazásával határozzuk meg. Az egyes oldalak: Miami-San Juan=ao=14,88o innen α=62,7o, illetve a=1654 km, Miami-Bermuda=bo=14,91o innen β=62,9o, illetve b=1657 km, San Juan-Bermuda=co=13,88o, ahonnan γ=56,1o, illetve c=1543 km adódik. A Bermuda-háromszög kerülete K=a+b+c=4854 km. A háromszög területe (a terület-képlet alapján): T=1202430 km2, Magyarország területének mintegy 13-szorosa. 3. Magyarország két legtávolabbi pontja: Keleten Tiszabecs körzetében: A(22o49’; 48o03’). Nyugaton Felsőszölnök körzetében: B(16o06’; 46o52’). A távolságképlet alapján: do=4,7o, amiből d hozzávetőleges értékére 522 km adódik.

Irodalomjegyzék Baboss Csaba: Geometria I., Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai kar, Székesfehérvár, 2007. Coxeter H. S. M.: A geometriák alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973. Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966. Reiman István: A geometria és határterületei, Gondolat Könyvkiadó, 1986. Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974.

GEM4-10





Kótás projekció








Tartalom 5. Kótás projekció ..................................................................................................................... 1 5.1 Bevezetés .................................................................................................................... 1 5.1.1 Alapismeretek, alapszerkesztések: .......................................................................... 1 5.2 Kótás projekció FELADATOK ......................................................................................... 1 5.2.1 Alapfeladatok .................................................................................................... 1 5.2.2 Vetítősík szintsíkba forgatásával megoldható feladatok .............................................. 2 5.2.3 Helyzetgeometriai feladatok ................................................................................. 3 5.2.4 Metrikus feladatok ............................................................................................. 4 5.2.5 Görbe vonalak ................................................................................................... 7 5.2.6 Terep és rézsűfelületek ........................................................................................ 7 5.2.7 Vegyes gyakorló feladatok ................................................................................... 8 5.3 Kótás projekció MEGOLDÁSOK ..................................................................................... 9 5.3.1 Alapfeladatok (Megoldások) ................................................................................. 9 5.3.2 Vetítősík szintsíkba forgatásával megoldható feladatok (Megoldások) ........................... 10 5.3.3 Helyzetgeometriai feladatok (Megoldások) ............................................................. 11 5.3.4 Metrikus feladatok (Megoldások) ......................................................................... 12

5. fejezet - Kótás projekció 5.1 Bevezetés Az egyszerűbb feladatok megoldásával nem foglalkozunk, ezek a jegyzet alapfeladatai, megoldásukkal ellenőrizhetjük elméleti felkészültségünket. Önellenőrzés céljából a feladatgyűjtemény végén olyan vegyes feladatok találhatók, melyeket 2-3 alapszerkesztési lépéssel meg tudunk oldani. Egy-egy ilyen feladat sikeres megoldása (jó felkészültség esetén) 5-10 percet vesz igénybe. A nehezebb feladatok rajzi megoldása (ábra) helyett olyan megoldási tervet ismertetünk, amelyek lépései egyegy úgynevezett „alapszerkesztés” ismeretét igénylik. Ezek az alapszerkesztések a Geometria II. jegyzetben megtalálhatóak. Az alapszerkesztések ismerete nélkül a feladatok megoldása elképzelhetetlen. Az olyan feladatoknál, ahol nincs megadva a méretarány – és erre a szerkesztés során szükség lenne- egységesen M=1:100 méretarányt használjunk. Bár a feladatok szövege erre külön nem tér ki, minden szerkesztés után állapítsuk meg a láthatóságot.

5.1.1 Alapismeretek, alapszerkesztések: 1. Méretarány, lépték fogalma, kapcsolata. 2. Térelemek ábrázolása. 3. Osztóköz, lejtő, rézsű, képsíkszög fogalma, kapcsolata. 4. Illeszkedő térelemek ábrázolása. 5. Metsző térelemek ábrázolása. 6. Párhuzamos térelemek ábrázolása. 7. Merőleges térelemek ábrázolása. 8. Vetítősík és általános helyzetű sík szintsíkba forgatása. 9. Dőléskúp fogalma, alkalmazása. 10.Rézsűfelületek fogalma, ábrázolása. 11.Terepszelvény fogalma, ábrázolása. 12.A terep különleges pontjai, esésvonalai. 13.Semleges vonal fogalma, ábrázolása.

5.2 Kótás projekció FELADATOK 5.2.1 Alapfeladatok 1. Két épület térképi távolsága 4 cm, M=1:200. Mekkora a távolságuk, ha a) az épületek tengerszint feletti magassága azonos? b) az épületek szintkülönbsége 6 m? 2. Egy vízszintes utca két épülete egymástól 100 m távolságra van. Mekkora a térképi távolság, ha M=1:500? 3. Mekkora egy egyenes osztóköze, ha a képsíkszöge α=30o, M=1:400? 4. Határozzuk meg annak az egyenesnek az osztóközét, amelyiknek a lejtője

, M=1:500!


2010

5. Számítsuk ki annak az egyenesnek az osztóközét, amelynek rézsűje

, M=1:50!

6. Egy egyenes osztóköze 3 cm. Határozzuk meg a méretarányt, ha az egyenes lejtője

!

7. Mekkora annak az egyenesnek a képsíkszöge, amelyiknek az osztóköze

mm, M=1:2000?

8. Ábrázoljunk egy képsíkban levő egyenest! 9. Ábrázoljunk egy képsíkkal párhuzamos, a képsík alatt, a képsíktól 2 m-re levő egyenest! 10.Ábrázoljunk egy képsíkra merőleges egyenest! 11.Graduáljuk az A-2, B5 pontjaival adott általános helyzetű egyenest! 12.Keressük meg a nyompontját és ábrázoljuk P3,4 pontját az alábbi - pontjaikkal adott – egyeneseknek: a) e=|A-5 B2|, b) f=|A4 B8,5|, c) g=|A0 B4,2|, d) h=|A-4 B2,6|! Megjegyzés: Nyompontnak nevezzük az egyenesnek a képsíkon lévő pontját, melynek kótája 0. 13.Adott lépték esetén, határozzuk meg a M méretarány értékét! 14.Készítsünk léptéket az alábbi méretarányokhoz: a) M=1:500, b) M=1:5000, c) M=1:10000, d) M=1:250000, e) M=1:500000, f) M=1:1000000! 15.Ábrázoljunk egy képsíkkal párhuzamos, a képsíktól 3 m-re levő síkot! 16.Ábrázoljunk egy képsíkra merőleges (vetítő) síkot! 17.Metsző tartóegyeneseivel adott síknak határozzuk meg egy graduált esésvonalát! 18.Adott két párhuzamos egyenes. Adjuk meg a két párhuzamos egyenes közös síkjának egy graduált esésvonalát! 19.Adott egy sík három pontjával. Adjuk meg a pontok közös síkjának egy graduált esésvonalát!

5.2.2 Vetítősík szintsíkba forgatásával megoldható feladatok 1. Adott egy egyenes két pontjával e=|A3 B7|. Adjuk meg az egyenes képsíkszögének valódi nagyságát! 2. Graduált képével adott egyenesnek határozzuk meg a lejtadatait! 3. Adott egy e egyenes képe, A4 pontja és α=30o képsíkszöge. Vegyük fel az egyenes képén egy tetszőleges B pontjának a képét. Határozzuk meg a B pont kótáját! 4. Határozzuk meg a következő (tetszőlegesen felvehető) pontok távolságának valódi nagyságát! a) A10, B16 b) A-4, B3 c) A0, B5 d) A43, B67 e) A2,6, B7 f) A3, B8,2 5. A következő, két pontjukkal adott általános helyzetű egyeneseken ábrázoljuk azon C és D pontokat, amelyek az A ponttól 2 m-re vannak! a) e=|A3 B8| b) f=|A-2 B5| c) g=|A2,3 B-4| d) h=|A0 B4| 6. Adott az e egyenes képe, A3 pontja. Graduáljuk az egyenest, ha lejtője: a) l=30%!

GEM5-2

, b)

, c) l=0,64, d)


Kótás projekció 7. Adott az f egyenes képe, P2,4 pontja. Graduáljuk az egyenest, ha rézsűje: a) d) r=80%!

, b)

, c) r=1,4,

8. Adott egy V vetítősík és e síkban lévő három pont (A, B, C). Ábrázoljuk az ABC háromszög S súlypontját! 9. Vetítősíkban lévő ABC háromszögnek ábrázoljuk az M magasságpontját! 10.Vetítősíkban lévő ABC háromszögnek ábrázoljuk a háromszög köré írható körének K középpontját! 11.Adott V vetítősíkban lévő ABC háromszögnek ábrázoljuk a háromszögbe írható körének O középpontját! 12.Adott két pont (A, B). Ábrázoljuk az ABCD négyzetet úgy, hogy a négyzet síkja vetítősík legyen! 13.Adott az A, B pontpár. Ábrázoljuk azt az ABC szabályos háromszöget, amely vetítősíkú! 14.Adott egy V vetítősík és egy arra illeszkedő e egyenes és egy A pont. Ábrázoljuk azt az ABC háromszöget, amelynek B és C csúcsai az adott egyenesre illeszkednek! 15.Adott egy V vetítősík és egy arra illeszkedő A pont és e egyenes. Ábrázoljuk azt az ABCD négyzetet, a) amelyiknek B és C csúcsai az adott egyenesre illeszkednek, b) amelyiknek BD átlója az adott egyenesnek szakasza! 16.Adott V vetítősíkban ábrázoljunk egy 3 m-es oldalélű négyzetet! 17.Adott V vetítősíkban ábrázoljunk egy 4 m-es oldalélű szabályos háromszöget! 18.Adott két metsző fedőegyenes. Ábrázoljuk azt az egyenlőszárú háromszöget, amelyiknek szárai az adott egyenesek szakaszai, alapja pedig 3 m! Adjuk meg a metsző egyenesek hajlásszögének valódi nagyságát! 19.Adott két párhuzamos fedőegyenes. Ábrázoljunk egy olyan négyzetet, amelyiknek két-két csúcsa egy-egy adott egyenesre illeszkedik! Határozzuk meg az adott egyenesek távolságának valódi nagyságát is! 20.Adott egy V vetítősíkban lévő e egyenes és egy P pont. Ábrázoljuk a P pontra illeszkedő, adott egyenessel párhuzamos f egyenest! 21.Adott egy V vetítősíkban lévő e egyenes és egy P pont. Ábrázoljuk a P pontra illeszkedő, az adott egyenessel 60o-os szöget bezáró egyeneseket!

5.2.3 Helyzetgeometriai feladatok Ezen feladatokban az a közös, hogy lépték (illetve méretarány) használata nélkül megoldhatóak. 1. Graduált esésvonalával adott egy S sík. a) Ábrázoljunk egy, az adott síkban lévő e egyenest! b) Ábrázoljuk e síknak egy P3,4 pontját! 2. Graduált esésvonalával adott egy S sík, és alatta egy P pont! Ábrázoljunk egy, az adott S síkkal párhuzamos, az adott P pontra illeszkedő a) e egyenest, b) R síkot! 3. Adott az e és f kitérő egyenespár. Adjuk meg graduált esésvonalával azt az S síkot, amelyikre illeszkedik az e egyenes, és párhuzamos az f egyenessel! 4. Graduált esésvonalával adott egy S sík, és metsző tartóegyeneseivel egy M sík. Szerkesszük meg a két sík metszésvonalát! 5. Tetszőleges módon (metsző tartóegyeneseivel, három pontjával, stb...) adott egy általános helyzetű S sík, és egy V vetítősík. Szerkesszük meg a két sík metszésvonalát! 6. Tetszőleges módon adott egy általános helyzetű S sík, és egy képsíkkal párhuzamos, a képsíktól 2 m-re lévő sík. Szerkesszük meg a két sík metszésvonalát! 7. Adott két olyan sík, amelyeknek esésvonalaik képe párhuzamos. Szerkesszük meg a két sík metszésvonalát!


GEM5-3


2010

8. Adott két vetítősík. Adjuk meg a két sík metszésvonalát! 9. Három pontjával (A, B, C) adott egy általános helyzetű H sík, és egy e egyenes. Szerkesszük meg a döféspontot! Ha a döféspont az ABC háromszögön belülre esik, akkor ezt figyelembe véve állapítsuk meg a láthatóságot! 10.Adott egy V vetítősík és egy e egyenes. Szerkesszük meg a döféspontot! 11.Adott egy képsíkkal párhuzamos helyzetű sík a képsík alatt, és egy e egyenes. Szerkesszük meg a döféspontot! 12.Adott egy általános helyzetű S sík és egy v vetítősugár. Szerkesszük meg a döféspontot! 13.Határozzuk meg egy graduált esésvonalával adott S síknak és egy képsíkkal párhuzamos egyenesnek a döféspontját! 14.Adott egy S sík és egy vele párhuzamos e egyenes. Ábrázoljunk egy olyan paralelogrammát, amelyiknek két csúcsa az adott síkra, másik két csúcsa az e egyenesre illeszkedik! 15.Adott két párhuzamos sík. Ábrázoljunk egy olyan paralelogrammát, amelyiknek két-két csúcsa egy-egy adott síkra illeszkedik! 16.Adott az A5B8C7 háromszög és a P100 pont. Adjuk meg a graduált esésvonalát annak az S síknak, amelyik illeszkedik a P pontra és párhuzamos az ABC háromszög síkjával! 17.Adott az A és B sík, továbbá egy P pont. Ábrázoljuk a P pontra illeszkedő, mindkét adott síkkal párhuzamos e egyenest! 18.Adottak az e és f kitérő egyenesek és egy P pont. Ábrázoljuk azt az S síkot, amelyik a P pontra illeszkedik, és mind a két adott egyenessel párhuzamos! 19.Adott egy S sík egy e egyenes és egy P pont. Ábrázoljuk azt az f egyenest, amely illeszkedik a P pontra, metszi az e egyenest és párhuzamos az adott S síkkal! 20.Adottak az e és f kitérő egyenesek és egy P pont. Ábrázoljuk a P pontra illeszkedő, mind a két adott egyenest metsző t egyenest (adott pontra illeszkedő transzverzálist)! 21.Adott az e, f és g páronként kitérő helyzetű három egyenes. Ábrázoljunk egy olyan t egyenest, amelyik mind a három adott egyenest metszi! 22.Adott egy S sík egy e egyenes és egy A pont. Ábrázoljuk azt a paralelogrammát, amelyiknek egyik csúcsa az A pont, egyik átlója az adott e egyenesnek szakasza, és egyik oldala az S síkon van!

5.2.4 Metrikus feladatok A következő feladatok megoldásához méretarányra (illetve léptékre) szükség van. Mivel a feladatok után általában ennek feltüntetése hiányzik, használjunk egységesen M=1:100-as méretarányt! 1. Adott egy S sík és egy e egyenes. Határozzuk meg e két térelem hajlásszögét! 2. Adott egy S sík és egy v vetítősugár. Határozzuk meg e két térelem hajlásszögét! 3. Adott az a és b párhuzamos egyenespár, és egy képsíkkal párhuzamos e egyenes. Határozzuk meg az e egyenesnek az [a, b] síkkal bezárt hajlásszögét! 4. Adott egy V vetítősík és egy e egyenes. Határozzuk meg e két térelem hajlásszögét! 5. Adott egy képsíkkal párhuzamos sík és egy e egyenes. Határozzuk meg e két térelem hajlásszögét! 6. Vegyünk fel két síkot úgy, hogy szintvonalaik párhuzamosak legyenek (de a síkok egymással nem párhuzamosak!). Határozzuk meg a két sík hajlásszögét! 7. Adott egy S sík és egy V vetítősík. Határozzuk meg a két sík hajlásszögét!

GEM5-4


Kótás projekció 8. Adott S síknak határozzuk meg valamely képsíkkal párhuzamos síkkal bezárt hajlásszögét! A kapott szög és az S sík képsíkszöge milyen relációban vannak egymással? 9. Adott két vetítősík. Határozzuk meg a hajlásszögük valódi nagyságát! 10.Vegyünk fel négy pontot úgy, hogy azok egy síknégyszöget alkossanak. Határozzuk meg a négyszög szögeinek valódi nagyságát! 11.Adott egy általános helyzetű S sík. Ábrázoljunk egy 3 m-es oldalélű, S síkban lévő a) szabályos háromszöget, b) szabályos hatszöget, c) négyzetet, d) szabályos ötszöget! 12.Adott két párhuzamos egyenes. Ábrázoljunk egy olyan téglalapot, amelynek 2-2 csúcsa az adott egyenesekre illeszkedik, szomszédos oldalaik aránya 1:2! 13.Adott két metsző egyenes. Ábrázoljunk egy olyan egyenlőszárú háromszöget, amelyiknek szárai az adott egyenesek szakaszai, alapja 3 m! 14.Adott egy A pont és egy e egyenes. Ábrázoljuk az ABCD négyzetet úgy, hogy B és C csúcsai az adott egyenesre illeszkedjenek! 15.Adott egy A pont és egy e egyenes. Ábrázoljuk az ABC szabályos háromszöget úgy, hogy B és C csúcsai az adott egyenesre illeszkedjenek! 16.Adott egy A pont és egy e egyenes. Ábrázoljuk az ABCD négyzetet úgy, hogy a négyzet BD átlója az adott egyenesnek szakasza legyen! 17.Adott egy S sík és egy arra illeszkedő O pont. Ábrázoljunk az S síkban egy olyan húrnégyszöget, amelyik köré írt 3 m sugarú kör középpontja az O pont! 18.Adott egy S sík és egy arra illeszkedő O pont. Ábrázoljunk az S síkban egy olyan érintőnégyszöget, amelyikbe írható 2 m sugarú kör középpontja az O pont! 19.Adott egy S sík és egy A pont. Ábrázoljuk azt az ABC háromszöget, amelyiknek a síkja merőleges az S síkra! 20.Adott két párhuzamos sík S és R. Ábrázoljunk egy olyan négyzetet, amelyiknek két-két csúcsa az adott síkokra illeszkedik, a négyzet síkja merőleges az adott síkokra, és az egyik oldalpár lejtője

!

21.Adott egy t egyenes és annak egy O pontja. Ábrázoljuk azt a 2 m-es oldalélű szabályos hatszöget, amelynek O a középpontja, és a hatszög H síkja merőleges a t egyenesre! 22.Adott az e és f kitérő egyenespár és az f egyenesen egy S pont. Ábrázoljuk azt a szabályos háromszöget, amelyiknek a síkja merőleges az f egyenesre, súlypontja az S pont, és egyik csúcsa az e egyenesre illeszkedik! 23.Adott egy S sík és egy e egyenes. Illesszünk az e egyenesre egy olyan R síkot, amelyik merőleges az S síkra! 24.Adott az A és B sík, és egy olyan e egyenes, amelyik mind a két síkkal párhuzamos. Ábrázoljunk egy olyan paralelogrammát, amelyiknek a P síkja merőleges az adott síkokra (mind a kettőre), egyik (A) csúcsa az e egyenesen van, két-két csúcsa pedig egy-egy adott síkra illeszkedik! 25.Adott egy rombusz AC átlója, továbbá egy S sík. Határozzuk meg a rombusz másik két csúcsát úgy, hogy az egyik az S síkra illeszkedjen! 26.Adott egy S sík és egy ABC háromszög. Határozzuk meg a síkidomnak az adott S síktól való távolságát! 27.Adott egy P pont és az S sík. Ábrázoljuk a P pontnak az S síkra vonatkoztatott P* tükörképét! 28.Adott egy P pont és egy e egyenes. Ábrázoljuk a P pontnak az e egyenesre vonatkoztatott tengelyes tükörképét (P*)! 29.Adott egy e egyenes és egy S sík. Ábrázoljuk az egyenesnek az S síkra vonatkozó e* tükörképét!


GEM5-5


2010

30.Adott egy e egyenes és egy S sík. Ábrázoljuk az egyenesnek az S síktól 2 m-re lévő pontjait! 31.Adott két kitérő egyenes e és f. Határozzuk meg a két egyenes távolságát abban az esetben, amikor az e egyenes általános helyzetű, és az f pedig: a) képsíkkal párhuzamos, b) képsíkra merőleges (vetítősugár), c) szintén általános helyzetű! 32.Adott két kitérő egyenes e és f. Határozzuk meg a két egyenes hajlásszögét abban az esetben, amikor az e egyenes általános helyzetű, az f pedig: a) képsíkkal párhuzamos, b) képsíkra merőleges (vetítősugár), c) szintén általános helyzetű! 33.Adott két kitérő egyenes e és f. Ábrázoljuk a két egyenes normáltranszverzálisát abban az esetben, amikor az e egyenes általános helyzetű, az f pedig: a) képsíkkal párhuzamos, b) képsíkra merőleges (vetítősugár), c) szintén általános helyzetű! 34.Adott két párhuzamos egyenes e és f. Ábrázoljuk a két egyenes t szimmetriatengelyét! (A t akkor szimmetriatengely, ha az e tükörképe az f egyenes.) 35.Adott két metsző egyenes e és f. Ábrázoljuk a két egyenes t szimmetriatengelyét! 36.Adott két párhuzamos sík S és R. Ábrázoljuk a két sík szimmetriasíkját! Megjegyzés: Szimmetriasíknak (vagy tükörsíknak) nevezzük azt a T síkot, amelyikre tükrözve az egyik síkot, a tükörkép egybeesik a másik síkkal. A T szimmetriasík az adott S, R síkok távolságát merőlegesen felezi. 37.Határozzuk meg a T szimmetriasíkját az adott S és R metsző S síkoknak! 38.Adott egy S sík és egy A pont. Ábrázoljuk azt az ABC háromszöget, amely - szabályos, - síkja merőleges az S síkra, - B és C csúcsai az S síkon vannak, - BC oldalának lejtője

!

39.Adott egy S sík. Vegyünk fel egy olyan e egyenest, amely az adott S síkkal és a képsíkkal is párhuzamos. Ábrázoljunk egy olyan négyzetet, amelyiknek a síkja merőleges az adott S síkra, két-két csúcsa az e egyenesre illetve az S síkra illeszkedik! 40.Adott egy S sík és egy P pont. Adjuk meg azt az R síkot, amely - illeszkedik a P pontra, - az adott S síkkal 60o-os szöget zár be, - az R és S síkok szintvonalai párhuzamosak! 41.Adott két sík A és B. Ábrázoljuk a két sík m metszésvonalát! Határozzuk meg a képsíkszögét az adott síkoknak és az m metszésvonalnak! Melyik szög lesz a legkisebb, és miért? 42.Adott általános helyzetű S síkban ábrázoljunk egy olyan paralelogrammát, amelyiknek 4 m-es oldalai párhuzamosak a képsíkkal, a másik oldalpárja a síknak 30o-os képsíkszögű egyenesei, magassága pedig 3 m! Oldjuk meg a feladatot: a) Az S sík szintsíkba forgatásával. b) Az S sík szintsíkba forgatása nélkül! 43.Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan trapézt, amelyiknek 4 m-es és 6 m-es alapjai párhuzamosak a képsíkkal! A trapéz egyik szárának lejtője

, a másik szár rézsűje

.

44.Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan trapézt, amelyiknek 5 m-es alapja párhuzamos a képsíkkal, egyik szárának képsíkszöge 30o-os, a másik szár lejtője

, a trapéz magassága 3 m!

45.Adott az S sík és annak egy A pontja. Ábrázoljuk a síkban azt az ABC háromszöget, amelyiknek BC oldala párhuzamos a képsíkkal, az AB oldal lejtője

, az AC oldal rézsűje

, magassága pedig 3 m!

46.Ábrázoljunk egy adott P pontra illeszkedő 60o-os képsíkszögű síkot! a) Hány megoldása van a feladatnak? b) A feltételeknek eleget tevő síkok P pontra illeszkedő esésvonalai mit alkotnak? 47.Illesszünk egy adott e egyenesre egy 45o-os képsíkszögű síkot!

GEM5-6


Kótás projekció 48.Adott az A3, C7 pontpár. Ábrázoljunk egy olyan rombuszt, amelyiknek két szemben lévő csúcsa az adott két pont, a B csúcsa az 5-ös főszintsíkra illeszkedik, és a rombusz síkjának rézsűje

!

49.Adott két pont A és B. Ábrázoljunk egy olyan négyzetet, amelyiknek két szomszédos csúcsa az adott két pont, és a négyzet síkjának rézsűje

!

50.Adott két pont A és B. Ábrázoljuk az ABC szabályos háromszöget úgy, hogy a háromszög síkjának rézsűje legyen! 51.Adott egy e egyenes. Ábrázoljunk egy olyan f egyenest, amely - párhuzamos az e egyenessel, - az e egyenestől való távolsága 3 m, - és az e egyenessel olyan síkot alkot, amelynek képsíkszöge 60o-os! 52.Adott egy S sík, és fölötte egy A pont. Ábrázoljuk az ABCD szabályos tetraédert úgy, hogy a BCD alapja az S síkon legyen! 53.Adott két párhuzamos sík S és R. Ábrázoljunk egy olyan kockát, amelynek négy-négy csúcsa egy-egy adott síkra illeszkedik!

5.2.5 Görbe vonalak 1. Adott egy 3-as szintsíkban lévő görbe, és e görbén lévő A, B pontok. a) Határozzuk meg az AB ív valódi hosszát! b) Ábrázoljuk a görbét a B pontjában érintő egyenest! c) Ábrázoljuk a görbe AB ívének F felezőpontját! 2. Főszintsíkokra illeszkedő pontjaival adott egy vetítősíkban lévő görbe. a) Ábrázoljuk a görbe 4,5-es kótájú pontjait! b) A görbe képén tetszőlegesen vegyünk fel egy P pontot, majd határozzuk meg a pont kótáját és ábrázoljuk a görbe ezen pontjához tartozó érintőjét! c) Ábrázoljuk a görbe maximum-, minimum és inflexiós pontjait! Határozzuk meg a görbe inflexiós pontjában a lejtadatokat! d) Határozzuk meg a görbe két tetszőleges pontja közé eső ívszakasz valódi nagyságát! 3. Adott egy S általános helyzetű síkban lévő g görbe (képével és főszintsíkokra illeszkedő pontjaival). a) Ábrázoljuk a görbe 3,8-es kótájú pontjait! b) A görbe képén tetszőlegesen felvett P pontnak határozzuk meg a kótáját, majd ábrázoljuk a görbe ezen pontjához tartozó érintőjét! c) Ábrázoljuk a görbe maximum és minimum pontjait! d) Határozzuk meg a görbe E6 pontjában a lejtadatait! e) Határozzuk meg a görbe A4, B5 pontjai közé eső ívszakasz valódi nagyságát! 4. Adott egy g térgörbe (képével és főszintsíkokra illeszkedő pontjaival). a) Készítsük el a görbe hossz-szelvényét! b) Ábrázoljuk a görbe 8,4-es kótájú A pontját, majd ábrázoljuk a görbe ezen pontjához tartozó érintőjét! c) Határozzuk meg a görbe A pontjában a lejtadatait! d) Ábrázoljuk a görbe maximum-, minimum és inflexiós pontjait! e) Határozzuk meg a görbe képén tetszőlegesen felvett P, R pontok kótáját! f) Határozzuk meg a görbe PR ívének valódi nagyságát!

5.2.6 Terep és rézsűfelületek 1. Főszintvonalaival adott terepfelületnek adott A pontjára illeszkedő esésvonalát szerkesszük meg! 2. Tíz méterenkénti nívódifferenciához tartozó főszintvonalaival adott terepfelületnek szerkesszük meg a két méteres nívódifferenciához tartozó főszintvonalait! 3. Adott egy terep tíz méterenkénti főszintvonalaival, valamint egy P pont képe. Határozzuk meg a P pont kótáját úgy, hogy az illeszkedjen az adott terepfelületre! 4. Főszintvonalaival adott terepfelületről készítsünk terepszelvényt! (Messük el egy vetítősíkkal!) 5. Főszintvonalaival adott terepfelületet messük el egy általános helyzetű S síkkal!


GEM5-7


2010

6. Főszintvonalaival adott terepfelületet messük el 13,6-os kótájú, képsíkkal párhuzamos síkkal! 7. Főszintvonalaival adott egy terepfelület, és egy általános helyzetű egyenes. Szerkesszük meg az egyenesnek a felülettel alkotott metszéspontjait! 8. Főszintvonalaival adott egy terepfelület, és annak egy E20 pontja. Ábrázoljuk a felület adott E pontjához tartozó érintősíkját! a) Ábrázoljuk a terepfelület E pontjára illeszkedő általános felületi érintőjét! b) Ábrázoljuk a terepfelület E pontjára illeszkedő felületi normálisát! 9. Főszintvonalaival adott egy terepfelület, és annak egy A pontja. a) Ábrázoljuk a felület adott A pontjára illeszkedő -os lejtésű semleges vonalát! b) Ábrázoljuk a felület adott A pontjára illeszkedő 10%-os lejtésű semleges vonalát! 10.Főszintvonalaival adott egy terepfelület, és annak az A40, B90 felületi pontja. Ábrázoljuk a felület két adott pontjára illeszkedő semleges vonalát! 11.Főszintvonalaival adott egy terepfelület. Szerkesztendő azon 60x100 m2-es plató a 200-as főszintsíkban, ahol a bevágások rézsűje

, a töltések rézsűje pedig

!

12. A 18. főszintsíkra illeszkedő egyenesnek ábrázoljuk a rézsűfelületeit! (

, M=1:500)

13. Graduált képével adott általános helyzetű egyenesnek ábrázoljuk a rézsűfelületeit! (

)

14. A 7-es főszintsíkra illeszkedő körnek ábrázoljuk a rézsűfelületeit! (

, M=1:400)

15. Képével és főszintsíkokra illeszkedő pontjaival adott térgörbének ábrázoljuk a rézsűfelületeit! (

)

5.2.7 Vegyes gyakorló feladatok Az alábbi szerkesztések 2-3 alapszerkesztési lépéssel megoldhatók. Önellenőrzés céljából kerültek a feladatgyűjtemény végére. Ezek megoldását nem közöljük. Megoldásukhoz szükséges időtartam (jó felkészültség esetén) 5-10 perc. 1. Határozza meg az A3 és a B6,5 pontokra illeszkedő egyenes képsíkszögét, lejtőjét és rézsűjét! 2. Adott az A5 és B11 pontpár. Ezen pontok által meghatározott egyenesre lejtő irányban mérjen fel 2,5 m hosszú szakaszt az egyenes P9 pontjából indítva! 3. Az A2 B4 C7 háromszöget vetítősíkban adtuk meg. A 4-es szintsíkba való forgatással határozza meg a háromszögbe írható kör középpontját, és olvassa le annak kótáját! (A középpontot a szögfelezők metszéspontja adja.) 4. Adott a V vetítősíkban egy P3 pont. Szerkessze meg a vetítősík azon egyenesét, mely illeszkedik a P pontra, és a lejtője

!

5. Adott az S általános helyzetű sík b egyenesével és P pontjával, valamint az a általános helyzetű egyenes. Szerkessze meg az S sík és az a egyenes döféspontját! Olvassa le a döféspont kótáját, jelölje a láthatóságot!

GEM5-8


Kótás projekció 6. Adott az A4B6C5 általános helyzetű háromszög síkja és az a egyenes. Szerkessze meg a háromszög síkjának és az a egyenesnek a döféspontját! Olvassa le a döféspont kótáját, jelölje a láthatóságot! 7. Szerkessze meg az ABCD általános helyzetű paralelogramma-lap (a paralelogramma által határolt véges síkrész) és az S ugyancsak általános helyzetű sík áthatását! Adott az A3B1C2D4 paralelogramma, és az S sík e graduált esésvonala. Jelölje a láthatóságot! 8. Szerkessze meg az ABC általános helyzetű háromszöglap (a háromszög vonal által határolt véges síkrész) és az S általános sík áthatását! Adott az A5B6C2 általános helyzetű háromszöglap, és az S sík e graduált esésvonala. 9. Legyen az A1B2C5 általános helyzetű háromszög síkja S. Határozza meg az S sík esésvonalának rézsűjét! 10.Adott az S síkban A5B3C1 általános helyzetű háromszög. Határozza meg a kerületét! 11.Adott az a általános helyzetű egyenes és a P4 pont (P nem illeszkedik az egyenesre). Szerkesszen négyzetet, melynek egyik átlója az egyenesre illeszkedik, és P az egyik csúcsa! 12.Adott az S általános helyzetű sík graduált esésvonalával és ebben a síkban az A5B1 szakasz. Szerkesszen szabályos háromszöget, melynek oldala az AB szakasz! 13.Adott az a általános helyzetű egyenes és a P4 pont (P nem illeszkedik az egyenesre). Szerkesszen rombuszt, melynek egyik átlója az egyenesre illeszkedik, P az egyik csúcsa, és a P-t tartalmazó átló hossza kétszerese a másik átlónak! 14.Adott a V vetítősíkban ABC szabályos háromszög A1 B6 oldala! A 4-es szintsíkba való forgatással szerkessze meg a háromszög C csúcsának képét, és határozza meg annak kótáját! 15.Határozza meg az A5B6C8D7 és a P7Q8R10S9 általános helyzetű paralelogrammák síkjainak távolságát! 16.Határozza meg a P10 pont és az A5B5C8 általános helyzetű háromszög síkjának távolságát! (P nem illeszkedik a háromszög síkjára.) 17.Adott az A5 B5 C8 általános helyzetű háromszög síkja. Határozza meg a P pontot úgy, hogy PC szakasz merőleges legyen a háromszög síkjára, és PC hossza 4 m legyen! 18.Határozza meg az A5B6C8D7 általános helyzetű paralelogramma síkjának és a P10 pontra illeszkedő normálisának döféspontját! (P nem illeszkedik a paralelogramma síkjára.) 19.Adott az A8B9C6 általános helyzetű háromszög síkja. Ábrázoljon ebben a síkban egy olyan egyenest, amely illeszkedik a háromszög súlypontjára, és a dőlésszöge 30o-os! (Megj.:súlypont = súlyvonalak metszéspontja) 20.Adottak az ABC általános helyzetű háromszög A1 és B4 csúcsai és a C csúcs vetülete. Határozza meg a C csúcs kótáját úgy, hogy a háromszög síkjának rézsűje

legyen! Egy sík megadása elegendő.

21.Adott az A3B3C5 általános helyzetű háromszög. Az AC oldalhoz tartozó magasságvonalra illesszen olyan síkot, melynek a rézsűje ! (Megjegyzés: Az AC oldalhoz tartozó magasságvonal illeszkedik a B csúcsra, és merőleges az AC oldal egyenesére.) 22.Adott az A2B2C6 általános helyzetű háromszög síkja. Ábrázoljon ebben a síkban egy olyan egyenest, amely illeszkedik a háromszög magasságpontjára, és a dőlésszöge 30o-os! (Megjegyzés: A háromszög magasságpontja a magasságvonalaink metszéspontja.)

5.3 Kótás projekció MEGOLDÁSOK 5.3.1 Alapfeladatok (Megoldások) 1. a) d=8 m. b) d=10 m.


GEM5-9


2010

2. d=20 cm. 3.

k=

mm.

4. k=

mm.

5. k=8 mm. 6. M=1:200. 7.

,

.

8. Alapfeladat, lásd jegyzet. 9. Alapfeladat, lásd jegyzet. 10.Alapfeladat, lásd jegyzet. 11.Alapfeladat, lásd jegyzet. 12.Alapfeladat, lásd jegyzet. 13.Alapfeladat, lásd jegyzet. 14.Alapfeladat, lásd jegyzet. 15.A feladatnak két megoldása van. a) a képsík alatt, b) a képsík felett. 16.Alapfeladat, lásd jegyzet. 17.Alapfeladat, lásd jegyzet. 18.Alapfeladat, lásd jegyzet. 19.Alapfeladat, lásd jegyzet.

5.3.2 Vetítősík szintsíkba forgatásával megoldható feladatok (Megoldások) 1. Az adott egyenesre egy vetítősíkot illesztünk. A vetítősíkot (s benne az egyenest) valamelyik szintsíkba forgatjuk. A keresett szög nagyságát a leforgatottban nyerjük. 2. A megoldás lépései: a) Az egyenesre vetítősíkot illesztünk. b) A vetítősíkot szintsíkba forgatjuk. c) A forgatottban megállapítható az egyenes α képsíkszögének valódi nagysága. d)

,

.

3. Megoldási lépések: a) Az egyenes képére egy V vetítősíkot illesztünk. b) Az A pontja segítségével a vetítősíkot szintsíkba forgatjuk. c) A forgatottban felvesszük az (A) pontra illeszkedő, 30o-os képsíkszögű egyenes forgatottját. d) Meghatározzuk a B pont forgatottját, amely illeszkedik az egyenes forgatottjára. e) Lépték segítségével meghatározzuk a (B) leforgatottnak a tengelytől való távolságát, végül ennek segítségével megállapítjuk a B kótáját. 4. Az a), b), c), d), e), f) pontok mindegyikének azonos az elve: Az adott pontok egyenesére vetítősíkot illesztve, azt szintsíkba forgatva a kérdéses szakaszhossz – a méretarányt figyelembe véve – valódi méretében látszik. 5. A megoldás lépései: a) Az egyenesre vetítősíkot illesztünk. b) A vetítősíkot szintsíkba forgatjuk. c) A forgatottban felvesszük a keresett pontok forgatottjait. d) Végül ezeket visszaforgatjuk.

GEM5-10


Kótás projekció 6. A feladat vetítősík szintsíkba forgatása nélkül is megoldható: a) A lejtő ismeretében megszerkesztjük az osztóközt, majd ezekkel graduálunk. (Két megoldás lesz különböző lejtiránnyal.) b) A lejtő ismeretében kiszámítjuk az osztóközt, majd ezzel graduálunk. 7. Lásd az előbbi feladatot. 8. Megoldási lépések: a) A vetítősíkot (pontjaival) valamely szintsíkba forgatjuk. b) Forgatottban megszerkesztjük a háromszög súlypontját. c) A kapott eredményt visszaforgatjuk. Emlékeztető: A háromszög súlypontja a súlyvonalak metszéspontja. A háromszög súlyvonala pedig az az egyenes (illetve szakasz), amely a háromszög adott csúcsát köti össze a szemközti oldal felezési pontjával. 9. Megoldási lépések: a) A vetítősíkot (pontjaival) valamely szintsíkba forgatjuk. b) Forgatottban megszerkesztjük a háromszög magasságpontját. c) A kapott eredményt visszaforgatjuk. Emlékeztető: A háromszög magasságpontja a magasságvonalak metszéspontja. A háromszög magasságvonala az az egyenes, melyet a háromszög adott csúcsából a szemközti oldal egyenesére állítunk. 10.Megoldási lépések: a) A vetítősíkot (pontjaival) valamely szintsíkba forgatjuk. b) Forgatottban megszerkesztjük a háromszög köré írható körének K középpontját! c) A kapott eredményt visszaforgatjuk. Emlékeztető: A háromszög köré írható körének középpontját az oldalfelező merőlegesek metszéspontja adja. 11.Megoldási lépések: a) A vetítősíkot (pontjaival) valamely szintsíkba forgatjuk. b) Forgatottban megszerkesztjük a háromszögbe írható körnek a középpontját! c) A kapott eredményt visszaforgatjuk. Emlékeztető: A háromszögbe írható kör középpontját a szögfelezők metszéspontja adja. 12.A megoldás lépései: a) A két pont egyenesére vetítősíkot illesztünk. b) A vetítősíkot szintsíkba forgatjuk. c) Forgatottban megszerkesztjük az AB oldalú négyzetet. d) A kapott négyzetet visszaforgatjuk. 13.A megoldás lépései: a) A két pont egyenesére vetítősíkot illesztünk. b) A vetítősíkot szintsíkba forgatjuk. c) Forgatottban megszerkesztjük az ABC szabályos háromszöget. d) A kapott szabályos háromszöget visszaforgatjuk. 14.A megoldás lépései: a) Az adott vetítősíkot szintsíkba forgatjuk. b) Forgatottban megoldjuk a feladatot. c) Visszaforgatunk. 15.Lásd az előző feladatot. 16.Lásd a 14. feladatot. 17.Lásd a 14. feladatot. 18.Lásd a 14. feladatot. 19.Lásd a 14. feladatot. 20.Lásd a 14. feladatot. 21.Lásd a 14. feladatot.

5.3.3 Helyzetgeometriai feladatok (Megoldások) 1. Alapszerkesztés, lásd jegyzet. 2. Alapszerkesztés. 3. Alapszerkesztés. 4. Alapszerkesztés. 5. Alapszerkesztés. 6. Alapszerkesztés.


GEM5-11


2010

7. Alapszerkesztés. 8. Alapszerkesztés. 9. Alapszerkesztés. 10.Alapszerkesztés. 11.Alapszerkesztés. 12.Alapszerkesztés. 13.Alapszerkesztés. 14.Alapszerkesztés. 15.Alapszerkesztés. 16.Megszerkesztjük ABC háromszög síkjának graduált esésvonalát, majd ezzel párhuzamos esésvonalat szerkesztünk az adott P ponton át. Ezzel meghatároztuk a keresett síkot. 17.Az az egyenes, amelyik két (általános helyzetű) adott síkkal párhuzamos, az párhuzamos a két sík metszésvonalával is. Tehát a P pontra illeszkedő, a metszésvonallal párhuzamos egyenest kell szerkeszteni. 18.Egy sík akkor párhuzamos egy egyenessel, ha a síknak van az egyenessel párhuzamos egyenese. Ezt figyelembe véve, a szerkesztés menete a következő: a) Ábrázolunk egy P pontra illeszkedő, az adott e egyenessel párhuzamos a egyenest. b) Felveszünk egy P pontra illeszkedő, f egyenessel párhuzamos b egyenest. Meghatározzuk az [a,b]=S sík graduált esésvonalát (ez lesz a megoldás). 19.Megoldási lépések: a) Felveszünk egy P pontra illeszkedő, S síkkal párhuzamos R síkot. (Ennek minden egyenese párhuzamos az S síkkal, tehát e síkban van az f egyenes. b) Meghatározzuk az e egyenesnek az R síkkal alkotott D döféspontját c) A PD egyenes lesz a mindhárom feltételt kielégítő f egyenes. 20.Mivel a keresett t egyenes mind a két egyenest metszi, ezért mindkettővel – külön-külön – közös síkot alkot, azaz e két sík közös egyenese lesz. Ezért a t egyenes az említett síkok metszésvonala. Mivel [e,t]=[e,P] és [f,t]=[f,P], ezért a megoldás a következő: a) Az [e,P] síknak felvesszük két szintvonalát. b) Az [f,P] síknak meghatározzuk az előbbi szintvonalakkal azonos szintsíkban lévő szintvonalait. c) Az azonos kótájú szintvonalak metszéspontjait összekötve nyerjük a keresett t transzverzálist. 21.A három – páronként kitérő helyzetű – egyenes transzverzálisának szerkesztését visszavezetjük az előbbi feladatra oly módon, hogy mondjuk a g egyenesen kitűzünk egy P pontot, majd megszerkesztjük a P pontra illeszkedő, e és f kitérő egyeneseket egyaránt metsző transzverzálist (lásd az előbbi feladat megoldását). Ez már a feladatnak egy megoldása lesz, hiszen az így nyert t egyenes a g-t is metszi a P pontban. Mivel a P pont a g egyenesen tetszőlegesen vehető fel, ezért a feladatnak végtelen sok megoldása van. 22.A megoldás lépései: a) A keresett paralelogramma P síkját az A pont és az e egyenes határozza meg. Vegyük fel ezen síknak legalább két szintvonalát. b) Határozzuk meg a P és S síkok m metszésvonalát. Ennek segítségével megkapjuk az e egyenesnek az S síkkal alkotott D döféspontját, amely a paralelogramma második csúcsa lesz. c) Vegyünk fel az m egyenessel párhuzamos, A pontra illeszkedő f egyenest. Ez az e egyenesből kimetszi a paralelogramma harmadik (B) csúcsát. d) A hiányzó C csúcsot az m metszésvonalon AD-vel párhuzamos egyenes segítségével nyerjük.

5.3.4 Metrikus feladatok (Megoldások) 1. Alapszerkesztés, lásd jegyzet. 2. Alapszerkesztés. 3. Alapszerkesztés. 4. Alapszerkesztés.

GEM5-12


Kótás projekció 5. Alapszerkesztés. 6. Alapszerkesztés. 7. Alapszerkesztés. 8. Alapszerkesztés. 9. Alapszerkesztés. 10.Alapszerkesztés. 11.Ez a feladat és a következő hét ugyanannak a feladattípusnak a tagjai. Ezen feladattípus az általános helyzetű síkban megoldandó metrikus feladatok csoportja. Megoldási tervük tehát azonos. A megoldás lépései: a) Az adott általános helyzetű síkot szintsíkba forgatjuk. A forgatottban nincs „vetítési torzulás”, de van méretarány szerinti kicsinyítés. b) A forgatottban megoldjuk a feladatot (jelen esetben az a; b; c; d részeket), majd c) a kapott eredményt visszaforgatjuk. Megjegyzés: A kótás projekcióban is teljesül, hogy a leforgatott sík pontjai és a képpontok között ortogonális, axiális affinitás áll fenn. Ezért a visszaforgatás során ennek tulajdonságait (például illeszkedés-tartás, egyenes és képe a tengelyen metszi egymást, stb..) használhatjuk. 12.A két párhuzamos egyenes síkjára végrehajtjuk az előző feladat szerkesztési lépéseit. 13.Lásd a 11. feladat megoldását. 14.Lásd a 11. feladat megoldását. 15.Lásd a 11. feladat megoldását. 16.Lásd a 11. feladat megoldását. 17.Lásd a 11. feladat megoldását. 18.Lásd a 11. feladat megoldását. 19.Megoldási lépések: a) Az A pontból normálist állítunk az S síkra (alapszerkesztés). b) Meghatározzuk a normálisnak az S síkkal alkotott M metszéspontját. c) Az S síkban az M ponton át tetszőleges s egyenest veszünk fel. d) Az s egyenesen tetszőlegesen kijelölhetjük a B és C csúcsokat, melyeket A-val összekötve kapjuk az ABC háromszöget. 20.A megoldás lépései: a) Az S síkban tetszőlegesen kijelöljük az A csúcsot, s ebből normálist állítunk az R síkra. b) Megszerkesztjük a normálisnak az R síkkal alkotott D döféspontját (Ez lesz a négyzet második csúcsa). c) Meghatározzuk az AD távolságot (amely a két sík távolsága és egyben a négyzet oldalának hossza). d) Felveszünk az S síkban egy A pontra illeszkedő,

lejtőjű f egyenest. e) Felveszünk az R síkban egy D

pontra illeszkedő, lejtőjű, az f egyenessel párhuzamos g egyenest. f) az f illetve a g egyenesekre az A illetve a D pontokból felmérjük a c) pontban meghatározott távolságot. Így kapjuk a négyzet hiányzó B és C csúcsát. 21.Megoldási lépések: a) Felvesszük az O pontra illeszkedő, t egyenesre merőleges H síkot. b) A H síkot ( az O pontjával) szintsíkba forgatjuk. A forgatottban felvesszük az adott méretű hatszög forgatottját. c) A kapott hatszöget visszaforgatjuk. 22.A megoldás lépései: a) Felvesszük az S pontra illeszkedő f egyenesre merőleges H síkot (Ez lesz a keresett háromszög síkja.) b) Meghatározzuk az e egyenesnek a H síkkal alkotott döféspontját. Ez lesz a háromszög A csúcsa. c) A H síkot (S és A pontjait) szintsíkba forgatjuk, majd a forgatottban megszerkesztjük azt az ABC szabályos háromszöget, amelyiknek (S) a súlypontja. d) A B és C csúcsokat visszaforgatjuk. 23.Szerkesztési lépések: a) Az e egyenes tetszőleges M pontjából normálist (f) állítunk az S síkra. b) Meghatározzuk az [e,f]=R sík graduált esésvonalát.


GEM5-13


2010

24.Megoldási lépések: a) Megszerkesztjük az adott síkok m metszésvonalát. Ezzel kell az e egyenesnek párhuzamosnak lennie (ekkor lesz párhuzamos mind a két síkkal). b) Az e egyenesen tetszőlegesen kijelöljük a paralelogramma A csúcsát. c) Felvesszük az A pontra illeszkedő, e és m egyenesekre merőleges P síkot. Ez lesz a paralelogramma P síkja. d) Meghatározzuk az m egyenesnek a P síkkal alkotott döféspontját. Ez lesz a paralelogramma C csúcsa, amely mind a két síkra illeszkedik. e) Meghatározzuk a P síknak az A illetve a B síkokkal alkotott a és b metszésvonalait. Ezeknek szakaszai a paralelogramma C csúcsra illeszkedő oldalai. f) Az előbb nyert egyeneseken, párhuzamosok felvételével nyerjük a hiányzó B és D csúcsokat. 25.A megoldás lépései: a) Az AC szakaszra az O felezőpontjában merőleges M síkot veszünk fel. b) Meghatározzuk az M síknak az adott S síkkal alkotott m metszésvonalát. c) Az m metszésvonalon tetszőlegesen kijelöljük a B csúcsot (végtelen sok megoldás). d) A B csúcsot az O pontra tükrözve nyerjük a hiányzó D csúcsot. 26.Meghatározzuk mind a három csúcsnak az S síktól való távolságát. A legkisebb távolság lesz az ABC síkidomnak az S síktól való távolsága. 27.Szerkesztési lépések: a) A P pontból az S síkra n merőleges egyenest állítunk. b) Meghatározzuk az n normálisnak az S síkkal alkotott F metszéspontját. c) A P pont képét tükrözve az F pont képére nyerjük a keresett P* pont képét. A tükrözést azért végezhetjük el a képen, mert a valóságban egyenlő (PF= P*F) szakaszok azonos mértékben rövidülnek a képen a közös képsíkszög miatt. d) A P* kótájának meghatározásánál felhasználhatjuk azt az analitikus geometriából ismert tételt, hogy szakasz felezőpontjának koordinátáit a végpontok koordinátáinak számtani közepeként nyerjük (mivel a kóta „amolyan” harmadik koordinátának is tekinthető). 28.Megoldási lépések: a) Meghatározzuk a [P,e] síknak egy szintvonalát. b) Az előbbi szintvonal (mint tengely) körül a síkot szintsíkba forgatjuk. c) Forgatottban elvégezzük a tükrözést. d) A forgatottban nyert megoldást visszaforgatjuk. 29.Az egyenest két tetszőleges pontjával tükrözzük (lásd a 27. feladatot). Egyszerűbben elvégezhető a szerkesztés, ha az egyik pontként az e egyenesnek az S síkkal alkotott M metszéspontját választjuk, mivel ennek a tükörképe önmaga. 30.A megoldás lépései: a) Az S síkra – tetszőleges P pontjában – n normálist állítunk. b) Ábrázoljuk az n egyenes P pontjától 2 m-re levő A és B pontjait. c) Az előbb nyert A és B pontokra illesztünk egy-egy olyan AA és BB síkot, amelyek párhuzamosak az adott S síkkal. d) Meghatározzuk az e egyenesnek az előbbi síkokkal alkotott metszéspontjait – M és N -, amelyek a feladat megoldásai. 31.Az a) és c) eset szerkesztésének menete a jegyzetben megtalálható. A b) esetben nem szükséges követni az általános szerkesztési elvet, mivel a vetítősugárra merőleges egyenes (transzverzális) szükségszerűen párhuzamos a képsíkkal, ezért a képen nincs vetítési torzulás (csak méretarány szerinti kicsinyítés). A fentieket figyelembe véve a megoldás a következő: A vetítősugár pontban látszó képéből merőlegest állítunk az e egyenes képére (ez lesz a normáltranszverzális képe, kótája megegyezik a metszéspont kótájával). A metszéspontok közé eső távolság képét a léptékre visszük, ahol a távolság valódi nagysága leolvasható. 32.A megoldás lépései (mindhárom esetben): a) Az egyik egyenes tetszőleges pontjába a másik egyenest önmagával párhuzamosan eltoljuk. b) Az így nyert metsző egyenesek síkját szintsíkba forgatva a keresett hajlásszög valódi nagyságát kapjuk. 33.Lásd a 31. feladat megoldásánál leírtakat. 34.Megoldás: (1. megoldási mód) Az egyenesek síkját szintsíkba forgatjuk, a forgatottban felvesszük a t egyenest, majd visszaforgatjuk. (2. megoldási mód) A feladat forgatás nélkül is megoldható: a) A szimmetriatengely képe az egyenesek képeinek is szimmetriatengelye lesz. b) Mivel a szimmetriatengely benne van az adott egyenesek síkjában, ezért az [e,f] sík főszintvonalai graduálják a t egyenes képét. 35.Az előbbi, feladat (34.) megoldásánál leírt, mind a két megoldás itt is alkalmazható. 36.Szerkesztési lépések: a) Felveszünk tetszőlegesen az S síkon egy A, az R síkon egy B pontot. b) Ábrázoljuk az AB szakasz F felezőpontját. c) Megadjuk az F pontra illeszkedő, adott síkokkal párhuzamos sík graduált esésvonalát. Ez lesz a keresett T szimmetriasík. Megjegyzés: A feladat lépték (illetve méretarány) nélkül oldható meg.

GEM5-14


Kótás projekció 37.Megoldási lépések: a) Megszerkesztjük az adott síkok m metszésvonalát. b) Felveszünk egy olyan M síkot, amely merőleges az m egyenesre. c) Megszerkesztjük az M síknak az S síkkal alkotott s metszésvonalát. d) Meghatározzuk az M síknak az R síkkal alkotott r metszésvonalát. e) Ábrázoljuk az s és r egyenesek t szimmetriatengelyét. (A 35. feladatnál leírtak szerint.) f) Meghatározzuk a t és m metsző egyenesek közös síkjának graduált esésvonalát. Ez a sík lesz a keresett T szimmetriasík. 38.A megoldás lépései: a) Az A pontból az S síkra n normálist állítunk. b) Meghatározzuk az n normálisnak az S síkkal alkotott M metszéspontját. c) Ábrázoljuk az S sík M pontjára illeszkedő lejtőjű a egyenesét. d) A keresett háromszög síkját – az [n,a] síkot – szintsíkba forgatjuk, a forgatottban megszerkesztjük a háromszög forgatottját, majd ezt visszaforgatjuk. 39.Szerkesztési lépések: a) Az e egyenest úgy kell felvenni, hogy párhuzamos legyen az S síknak egy szintvonalával. b) Az e egyenes tetszőleges A pontjából n normálist állítunk az S síkra. c) Meghatározzuk az n egyenes S síkkal alkotott D döféspontját (ez lesz a négyzet egyik csúcsa). d) Meghatározzuk az A, D pontok távolságát. Ez lesz a négyzet oldalának hossza. e) Az előbb nyert távolságot felmérjük az A csúcsból az e egyenes képére, így nyerjük a B csúcsot. f) Felvesszük az S sík D pontjára illeszkedő szintvonalát, majd erre is felmérve a négyzet oldalát kapjuk a hiányzó C csúcsot. Megjegyzés: A B és C csúcsokat azért lehet a képen (és nem forgatottban) „felrakni”, mert a szóban forgó egyenesek képsíkkal párhuzamosak, ezért nincs vetítési rövidülés. 40.Megoldási lépések: a) Vegyük fel azt a V vetítősíkot, amelyik illeszkedik a P pontra, és merőleges az S sík szintvonalaira. b) Szerkesszük meg a V és S síkok s metszésvonalát. c) Forgassuk be a V síkot valamely szintsíkba ( ábrázoljuk a (P) és (s) térelemeket). d) A forgatottban felvesszük azt az (r) egyenest, amely illeszkedik a (P) pontra és 60o-os szöget zár be az (s) egyenessel. e) Visszaforgatjuk az r egyenest. Ez lesz a keresett R síknak az egyik esésvonala. f) Megadjuk az R síkot graduált esésvonalával. 41.Az m metszésvonal képsíkszöge lesz a legkisebb, mivel a metszésvonal mind a két síkra illeszkedik, márpedig adott síkban lévő egyenes képsíkszöge nem lehet nagyobb, mint a sík képsíkszöge! (Mikor lehet egyenlő?) 42.Megoldások: (1. megoldás) a) Az S sík egyik szintvonalára (a léptékről) felmérünk 4 m-t, így kapjuk a paralelogramma A és B csúcsait. b) Megszerkesztjük – a képsíkszög ismeretében – a szomszédos oldalak k osztóközét, majd ennek segítségével ábrázoljuk az A és B csúcsra illeszkedő, 30o-os képsíkszögű egyenesek képét. c) Leforgatjuk az S síkot. A forgatottban felvesszük az adott magasságú paralelogrammát, majd ezt visszaforgatjuk. (2. megoldás) a)-b) Megegyezik az 1. megoldás a) és b) pontjában leírtakkal. c) Felvesszük az S sík A pontra illeszkedő esésvonalát, majd erre felmérjük (az A ponttól) az adott magasságot az esésvonalra illeszkedő vetítősík szintsíkba forgatásával. d) Az előbb nyert magasság végpontjából húzott szintvonal a b) pontban nyert 30o-os képsíkszögű egyenesekből kimetszi a hiányzó C és D csúcsokat. 43.Az előbbi feladat első megoldását alkalmazzuk. 44.A 42. feladatnál leírt mindkét megoldás alkalmazható. 45.A 42. feladatnál leírt mindkét megoldás alkalmazható. 46.a) A feladatnak végtelen sok megoldása van. b) A P pontra illeszkedő esésvonalak egy olyan forgáskúp alkotói, amelynek csúcsa az adott P pont, forgástengelye merőleges a képsíkra, félnyílásszöge 30o. 47.A szerkesztésben alkalmazzuk a dőléskúpot. 48.A megoldás lépései: a) Az AC egyenesre – dőléskúp segítségével – illesszünk egy olyan S síkot, amelyiknek a rézsűje az adott érték. Ez lesz a rombusz síkja. b) Forgassuk le az S síkot valamely szintsíkba. A két adott pont forgatottján kívül adjuk meg az S sík 5-ös főszintvonalának forgatottját is. c) Az (A)(B) szakaszfelező merőlegese az 5-ös főszintvonal forgatottjából kimetszi a (C) pontot (A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást!). d) A hiányzó D csúcsot akár a forgatottban, de a képen is megszerkeszthetjük, felhasználva az oldalak azon tulajdonságát, hogy a szemben lévők párhuzamosak. 49.Szerkesztési lépések: a) Az AB egyenesre – dőléskúp segítségével – illesszünk egy olyan S síkot, amelyiknek a rézsűje az adott érték. Ez lesz a négyzet síkja. b) Forgassuk le az S síkot valamely szintsíkba. c) A forgatottban szerkesszük meg a négyzetet. d) Az előbb szerkesztett négyzetet visszaforgatjuk.


GEM5-15


2010

50.A szerkesztés menete megegyezik az előbbi feladatnál közöltekkel. 51.A szerkesztés menete megegyezik a 49. feladatnál közöltekkel. 52.Megoldási lépések: a) Az A pontból az S síkra n normálist állítunk. b) Megszerkesztjük az n egyenesnek az S síkkal alkotott O döféspontját. Ez lesz a BCD alapháromszög köré írható kör középpontja. c) Meghatározzuk az AO távolságot, amely az A pontnak az S síktól való távolsága, egyben a keresett szabályos tetraéder testmagassága. d) A testmagasság ismeretében (külön ábrán) megszerkesztjük a BCD alapháromszög köré írható körének r sugarát. Ez a szerkesztés két geometriai törvényt használ fel: 1. A szabályos tetraéder testmagasságai (egyben súlyvonalai) egy pontban metszik egymást, és ez a súlypont 1:3 arányban osztja a testmagasságokat. 2. Az alapháromszög (lévén szabályos) köré írható kör sugara egyenlő a magasságvonalai (amelyek egyben súlyvonalak) részével. e) Az S síkot (O pontjával ) szintsíkba forgatjuk. f) Az (O) körül a d) pontban megszerkesztett r sugárral kört rajzolunk, majd ezen a körön felvesszük a (B)(C)(D) háromszög csúcsait úgy, hogy szabályos háromszöget alkossanak. g) Az előbbi háromszöget visszaforgatjuk, majd az A ponttal összekötve nyerjük a szabályos tetraéder hiányzó éleit. 53.Szerkesztési lépések: a) Az S síkon tetszőlegesen kijelöljük az A csúcsot. b) Az A csúcsból az R síkra n normálist állítunk. c) Meghatározzuk az n egyenesnek az R síkkal alkotott E döféspontját. d) Meghatározzuk az A, E pontok távolságát. Ez a síkok távolsága is, és egyben a kocka élének hossza. e) Az R síkot szintsíkba forgatjuk az E pontjával. f) A forgatottban felvesszük az (E)(F)(G)(H) négyzetet úgy, hogy az élek hossza a d) pontban kapott távolság legyen. g) Az előbbi négyzetet visszaforgatjuk. h) Az E, F, G és H pontokból az n egyenessel párhuzamosokat húzunk, és ezekre felmérjük az A, E pontok képi távolságát. (Mivel a párhuzamos élek – azonos képsíkszög miatt – egyformán rövidülnek a vetítés során) i) A kapott B, C, D csúcsokat az R síkon lévőkkel összekötve nyerjük a kocka hiányzó éleit.

Irodalomjegyzék Baboss Csaba: Geometria II. Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai kar, Székesfehérvár, 2007. A geometriák alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973. Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966. Kárteszi Ferenc: Bevezetés a véges geometriákba, Akadémia Kiadó, Budapest, 1972. Szász Gábor: Projektív geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 1977. Szőkefalvi Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete , Akadémia Kiadó, Budapest , 1968. Zigány Ferenc: Ábrázoló geometria, Tankönyvkiadó, Budapest , 1962.

GEM5-16





Centrális projekció








Tartalom 6. Centrális projekció ................................................................................................................. 1 6.1 Bevezetés .................................................................................................................... 1 6.1.1 Alapismeretek, alapszerkesztések: .......................................................................... 1 6.2 Centrális projekció FELADATOK .................................................................................... 1 6.2.1 Térelemek ábrázolása .......................................................................................... 1 6.2.2 Helyzetgeometriai feladatok ................................................................................. 2 6.2.3 A sík leforgatása nélkül megoldható metrikus feladatok ............................................. 3 6.2.4 Térelemek képsíkszögével kapcsolatos feladatok ....................................................... 4 6.2.5 Merőleges térelemekkel kapcsolatos feladatok .......................................................... 4 6.2.6 Sík képsíkba forgatása ......................................................................................... 5 6.2.7 Metrikus feladatok ............................................................................................. 6 6.2.8 Perspektíva ....................................................................................................... 7 6.2.9 A képsíkrendezők törvényeinek alkalmazása ............................................................ 7 6.2.10 „Önellenőrző” feladatok ..................................................................................... 8 6.3 Centrális projekció MEGOLDÁSOK ............................................................................... 17 6.3.1 Térelemek ábrázolása (Megoldások) ...................................................................... 17 6.3.2 Helyzetgeometriai feladatok (Megoldások) ............................................................. 17 6.3.3 A sík leforgatása nélkül megoldható metrikus feladatok (Megoldások) ......................... 20 6.3.4 Térelemek képsíkszögével kapcsolatos feladatok (Megoldások) ................................... 21 6.3.5 Merőleges térelemekkel kapcsolatos feladatok (Megoldások) ...................................... 22 6.3.6 Sík képsíkba forgatása (Megoldások) ..................................................................... 23 6.3.7 Metrikus feladatok (Megoldások) ......................................................................... 24 6.3.8 Perspektíva (Megoldások) ................................................................................... 26 6.3.9 A képsíkrendezők törvényeinek alkalmazása (Megoldások) ........................................ 27

6. fejezet - Centrális projekció 6.1 Bevezetés A feladatgyűjteményben szereplő szerkesztési feladatok lényegében két csoportba sorolhatók, egyik csoport az alapszerkesztések (illetve egyszerűbb feladatok), a másik az összetettebb feladatok csoportja. Az egyszerű feladatok megoldását nem közöljük, ilyenkor utalunk a jegyzet használatára. Önellenőrzés céljából a feladatgyűjtemény végén olyan vegyes feladatok találhatók, melyeket 2-3 alapszerkesztési lépéssel meg tudunk oldani. Egy-egy ilyen feladat sikeres megoldása (jó felkészültség esetén) 5-10 percet vesz igénybe. A nehezebb feladatok rajzi megoldása (ábra) helyett olyan megoldási terveket ismertetünk, amelyek lépései egy-egy úgynevezett „alapszerkesztés” ismeretét igénylik. Ezek az alapszerkesztések a Geometria II. jegyzetben megtalálhatóak. Az alapszerkesztések ismerete nélkül a feladatok megoldása elképzelhetetlen. Bár a feladat szövege erre külön nem tér ki, minden szerkesztés után állapítsuk meg a láthatóságot.

6.1.1 Alapismeretek, alapszerkesztések: 1. Térelemek ábrázolása. 2. Illeszkedő térelemek ábrázolása. 3. Metsző térelemek ábrázolása. 4. Párhuzamos térelemek ábrázolása. 5. Merőleges térelemek ábrázolása. 6. A sík speciális egyenesei. 7. A centrális kollineáció fogalma, megadása, megfelelő elempár szerkesztése. 8. A sík képsíkba forgatása. 9. Az egyenes képsíkszögének meghatározása. 10.Dőléskúp fogalma, alkalmazása. 11.Osztópont szerkesztése, felhasználása. 12.A képsíkrendezők törvényei, a képsíktól adott távolságra lévő pont ábrázolása. 13.Sztereoszkópikus képpárok fogalma.

6.2 Centrális projekció FELADATOK 6.2.1 Térelemek ábrázolása 1. Ábrázoljunk egy képsíkra merőleges egyenest! 2. Ábrázoljunk egy centrális vetítősugarat! 3. Ábrázoljunk egy képsíkkal párhuzamos egyenest! 4. Ábrázoljunk egy képsíkra illeszkedő egyenest! 5. Adott egy e egyenes. Ábrázoljuk a következő pontjait: a) Az A pont legyen a képsík mögött. b) A B pont legyen a képsík és az eltűnési sík között. c) A C pont legyen az eltűnési síkon. d) A D pont legyen az eltűnési sík mögött. 6. Ábrázoljunk egy képsíkra merőleges síkot!


2010

7. Ábrázoljunk egy centrális vetítősíkot! 8. Ábrázoljunk egy képsíkkal párhuzamos síkot! 9. Ábrázoljunk egy képsíkra illeszkedő ABC háromszöget!

6.2.2 Helyzetgeometriai feladatok 1. Ábrázoljunk egy adott centrális vetítősíkban egy általános helyzetű egyenest! 2. Adott egy képsíkra merőleges M sík. Ábrázoljunk e síkban: a) egy képsíkra merőleges e egyenest, b) egy általános helyzetű f egyenest, c) egy képsíkkal párhuzamos g egyenest! 3. Adott egy S sík. Ábrázoljuk e sík következő pontjait: a) az A pont a képsík mögött (azaz a képsík által határolt, a vetítés centrumát nem tartalmazó féltérben) van, b) a B pont a képsíkon van, c) a C pont a képsík és az eltűnési sík között van, d) a D pont az eltűnési síkon van, e) az E pont az eltűnési sík mögött (azaz az eltűnési sík által határolt, a képsíkot nem tartalmazó féltérben) van, f) az F pont a végtelenben van! 4. Adott egy P pont. Ábrázoljuk az adott P pontra illeszkedő egyenest, amelyik: a) merőleges a képsíkra, b) párhuzamos a képsíkkal, c) vetítősugár, d) általános helyzetű! 5. Adott egy P pont. Ábrázoljunk egy olyan P pontra illeszkedő síkot, amelyik: a) merőleges a képsíkra, b) párhuzamos a képsíkkal, c) centrális vetítősík, d) általános helyzetű! 6. Adott egy e egyenes. Ábrázoljuk azt az f egyenest, amelyik az adott egyenest az eltűnési pontjában metszi! 7. Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan ABC háromszöget, amelyiknek az: - A csúcsa a képsík mögött, - B csúcsa a képsík és az eltűnési sík között, - C csúcsa az eltűnési sík mögött van! 8. Adott egy e egyenes és egy P pont. Ábrázoljuk az adott egyenessel párhuzamos, adott P pontra illeszkedő: a) f egyenest, b) S síkot! 9. Adott egy S sík és egy P pont. Ábrázoljuk az adott síkkal párhuzamos, adott P pontra illeszkedő: a) f egyenest, b) R síkot! 10.Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan ABC háromszöget, amelyiknek az: - A csúcsa a képsík mögött, - B csúcsa a képsíkon, - C csúcsa az eltűnési síkon van! 11.Adott síkban ábrázoljunk egy paralelogrammát! 12.Adott síkban ábrázoljunk egy olyan paralelogrammát, amelyiknek az egyik oldalpárja párhuzamos a képsíkkal! 13.Adott síknak ábrázoljuk azt a két fővonalát, amelyek közül az e a képsík mögött, az f a képsík és az eltűnési sík között helyezkedik el! 14.Adott egy általános helyzetű S sík és egy – alábbiak szerint leírt – R sík. Szerkesszük meg a két sík metszésvonalát, ha az R sík: a) képsíkra merőleges, b) képsíkkal párhuzamos (Megj.: a képsíkrendezők törvényének ismerete után próbáljuk megoldani!), c) centrális vetítősík, d) általános helyzetű! 15.Adott két párhuzamos nyomvonalú, de nem párhuzamos elhelyezkedésű sík, A és B. Szerkesszük meg a két sík metszésvonalát! 16.Adott egy A sík, egy B sík nyomvonala úgy, hogy a két sík nyomvonala párhuzamos egymással, továbbá a két sík m metszésvonalának képe (ahol m’||nA miért?). Határozzuk meg a B sík irányvonalát úgy, hogy a két sík metszésvonala az adott m egyenes legyen! 17.Adott egy A sík és egy B sík nyomvonala úgy, hogy az párhuzamos legyen az A sík nyomvonalával. Határozzuk meg a B sík irányvonalát úgy, hogy a két sík metszésvonala illeszkedjen az eltűnési síkra! 18.Adott egy A sík és egy e – alábbiak szerint leírt –egyenes. Szerkesszük meg a döféspontot, ha az e egyenes: a) merőleges a képsíkra, b) párhuzamos a képsíkkal, c) vetítősugár, d) általános helyzetű!

GEM6-2


Centrális projekció 19.Adott egy – alábbi helyzetű – S sík és egy e egyenes. Szerkesszük meg a döféspontot, ha az S sík: a) képsíkra merőleges, b) képsíkkal párhuzamos (Megj.: a képsíkrendezők törvényének felhasználásával.), c) vetítősík, d) általános helyzetű! 20.Adott egy V vetítősík és egy e egyenes. Szerkesszük meg a döféspontot, ha az e egyenes: a) képsíkra merőleges, b) képsíkkal párhuzamos, c) általános helyzetű! 21.Adott két pont. Határozzuk meg a két pont összekötő egyenesének nyom- és iránypontját abban az esetben, amikor a két tartóegyenes: a) metsző, b) párhuzamos, c) kitérő! 22.Adott egy A sík, egy e egyenes és egy A pont. Ábrázoljuk azt a paralelogrammát, amelyiknek egyik csúcsa az A pont, egyik oldala az adott egyenesnek szakasza, egy másik oldala az adott síkra illeszkedik! 23.Adott egy S sík, egy e egyenes és egy A pont. Ábrázoljuk azt a paralelogrammát, amelyiknek egyik csúcsa az A pont, egyik átlója az adott egyenesnek szakasza, egyik oldala az S síkra illeszkedik! 24.Adott három pont. Ábrázoljuk a három pont közös síkjának nyomvonalát, és irányvonalát! 25.Adott az e és f kitérő egyenespár, és egy P pont. Ábrázoljuk az egyenesek P pontra illeszkedő transzverzálisát! 26.Adott két sík (A, B) és egy P pont. Ábrázoljuk azt a P pontra illeszkedő e egyenest, amelyik mind a két adott síkkal párhuzamos! 27.Adott három sík. Ábrázoljunk egy olyan pontot, amelyik mind a három síkra illeszkedik! 28.Adott két kitérő egyenes (e és f). Illesszünk az e egyenesre egy olyan S síkot, amelyik párhuzamos az f egyenessel! 29.Adott két kitérő egyenes (e és f) és egy P pont. Ábrázoljuk azt az S síkot, amelyik illeszkedik a P pontra, és párhuzamos mind a két adott egyenessel! 30.Adott egy S sík egy e egyenes, és egy P pont. Ábrázoljuk azt az f egyenest, amelyik illeszkedik a P pontra, metszi az e egyenest, és párhuzamos az S síkkal! 31.Adott az e, f és g páronként kitérő helyzetű három egyenes. Ábrázoljunk egy olyan t egyenest (transzverzálist), amelyik mind a három adott egyenest metszi!

6.2.3 A sík leforgatása nélkül megoldható metrikus feladatok 1. Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan téglalapot, amelyiknek egyik oldalpárja párhuzamos a képsíkkal (az S sík képsíkba forgatása nélkül)! 2. Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan téglalapot, amelyiknek 3 cm-es oldalai párhuzamosak a képsíkkal, a másik két oldalának hossza 2 cm (az S sík képsíkba forgatása nélkül)! 3. Adott egy S sík és annak két fővonala e és f. Ábrázoljunk egy olyan négyzetet, amelyiknek két-két csúcsa egy-egy adott egyenesre illeszkedik (az S sík képsíkba forgatása nélkül)! 4. Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan derékszögű háromszöget, amelyiknek 3 cm-es befogója a képsíkkal párhuzamos, átfogója 5 cm (az S sík képsíkba forgatása nélkül)! 5. Adott két pont A és B. Ábrázoljuk azt a P és R pontot, amelyek az AB szakaszt három egyenlő részre osztják! 6. Adott két pont A és B. Ábrázoljuk azt a P pontot, amelyik az AB szakaszt 2:3 arányban osztja (AP:PB=2:3)! 7. Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan szimmetrikus trapézt, amelyiknek 3 illetve 6 cm-es alapjai a síknak fővonalai, magassága pedig 4 cm (az S sík képsíkba forgatása nélkül)! 8. Kitérő tartóegyeneseikkel adott két pont. Határozzuk meg a két pont közös egyenesének a képsíkszögét!


GEM6-3


2010

6.2.4 Térelemek képsíkszögével kapcsolatos feladatok 1. Adott két sík. Szerkesszük meg a két sík metszésvonalát! Határozzuk meg a metszésvonalnak és az adott két síknak a képsíkszögét! Melyik szög lesz a legkisebb, és miért? 2. Adott egy e egyenes és egy P pont egy t tartóegyenessel. Határozzuk meg a két térelem közös síkjának képsíkszögét abban az esetben, amikor: a) t és e metsző, b) t és e párhuzamos, c) t és e kitérő! 3. Három pontjával adott síknak – ahol a tartóegyenesek páronként kitérőek – határozzuk meg a képsíkszögét! 4. Adott egy képsíkra merőleges sík és annak egy P pontja. Ábrázoljuk a síknak a P pontjára illeszkedő, 30oos képsíkszögű egyeneseit! 5. Adott egy centrális vetítősík és annak egy P pontja. Ábrázoljuk a síknak a P pontjára illeszkedő, adott α képsíkszögű egyeneseit! 6. Adott egy S sík és annak egy P pontja. Ábrázoljuk a sík P pontjára illeszkedő 45o-os képsíkszögű egyeneseit! 7. Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan trapézt, amelyiknek 3 illetve 5 cm-es alapjai párhuzamosak a képsíkkal, az egyik szárnak 30o-os, a másiknak 45o-os a képsíkszöge! 8. Adott síkban ábrázoljunk egy olyan trapézt, amelyiknek 5 cm-es alapja párhuzamos a képsíkkal, magassága 3 cm, szárai 30o illetve 45o-os képsíkszögűek! 9. Adott síkban ábrázoljunk egy olyan paralelogrammát, amelyiknek 4 cm-es oldalai párhuzamosak a képsíkkal, a másik oldalpárja 30o-os képsíkszögű, magassága pedig 3 cm! 10.Adott síkban ábrázoljunk egy olyan háromszöget, amelyiknek 5 cm-es alapja párhuzamos a képsíkkal, a másik oldala 30o-os képsíkszögű, és ennek az oldalnak a hossza 4 cm! 11.Adott centrális vetítősugárra illesszünk egy 60o-os képsíkszögű síkot! 12. Adott egy sík nyomvonala. Vegyük fel az irányvonalát úgy, hogy a sík képsíkszöge adott

szög legyen!

13.Adott egy képsíkkal párhuzamos egyenes. Illesszünk erre egy 30o-os képsíkszögű síkot! 14.Adott e egyenesre illesszünk egy 45o-os képsíkszögű síkot! 15.Adott egy e egyenes és az erre illeszkedő A és B pontok. Ábrázoljuk az ABCD rombuszt úgy, hogy a C csúcsa a képsíkon legyen, és a rombusz síkjának képsíkszöge 45o-os legyen! 16.Adott egy tetszőleges helyzetű e egyenes és annak két pontja A és B. Ábrázoljuk azt az ABCD négyzetet, amelyiknek a síkja 60o-os képsíkszögű! 17.Adott egy e egyenes. Ábrázoljuk azt az f egyenest, amely párhuzamos az e egyenessel, távolsága az e egyenestől 3 cm, és a két egyenes közös síkja 45o-os képsíkszögű! 18.Adott egy P pont és egy A sík. Ábrázoljuk azt az f egyenest, amelyik: - illeszkedik a P pontra, - párhuzamos az A síkkal, - képsíkszöge egy adott szög!

6.2.5 Merőleges térelemekkel kapcsolatos feladatok 1. Adott egy A sík és egy P pont a képsíkon. Ábrázoljuk a P pontra illeszkedő, az A síkra merőleges n egyenest! 2. Adott egy képsíkra merőleges M sík és egy P pont. Ábrázoljuk a P pontra illeszkedő, adott M síkra merőleges n egyenest! 3. Adott egy S sík és egy A pont. Ábrázoljunk egy olyan ABC háromszöget, amelyiknek a síkja merőleges az S síkra, B és C csúcsai az S síkra illeszkednek! 4. Adott egy S sík és egy P pont. Ábrázoljuk a P pontnak az S síkra vonatkozó P* tükörképét!

GEM6-4


Centrális projekció 5. Adott egy S sík és egy e egyenes. Ábrázoljuk az e egyenesnek az S síkra vonatkozó e* tükörképét! 6. Adott egy S sík és egy A pont. Ábrázoljuk azt az ABC háromszöget, amelyik: - szabályos, - síkja merőleges az adott síkra, - B és C csúcsai a síkra illeszkednek! 7. Adott két párhuzamos sík, S és R. Ábrázoljunk egy olyan négyzetet, amelyiknek: - a síkja merőleges az adott síkokra, - két-két csúcsa egy-egy adott síkra illeszkedik! 8. Adott két párhuzamos sík. Ábrázoljunk egy olyan négyzetet, amelyiknek: - a síkja merőleges az adott síkokra, - két-két csúcsa egy-egy adott síkra illeszkedik, - az egyik oldalpárja 30o-os képsíkszögű! 9. Adott egy t egyenes és annak egy S pontja. Ábrázoljunk egy olyan szabályos háromszöget, amelyiknek: síkja merőleges az adott t egyenesre, - súlypontja az adott S pont, - az oldalai 4 cm hosszúak! 10.Adott két kitérő egyenes e és f, és egy f egyenesre illeszkedő O pont. Ábrázoljuk azt a szabályos hatszöget, amelyiknek: - a síkja merőleges az f egyenesre, - szimmetriaközéppontja az O pont, - az A csúcsa az e egyenesre illeszkedik! 11.Adott egy e egyenes és egy A pont. Ábrázoljuk azt a szabályos hatszöget, amelyiknek: - egyik csúcsa az A pont, - középpontja az e egyenesre illeszkedik, - síkja merőleges az e egyenesre!

6.2.6 Sík képsíkba forgatása 1. Adott egy S sík és egy arra illeszkedő ABC háromszög. Ábrázoljuk a háromszög a) súlypontját, b) magasságpontját, c) köré írható körének középpontját, d) a háromszögbe írható körének középpontját, e) az egyik középvonalát! 2. Adott S síkban adott egy K pont. Ábrázoljunk egy olyan húrnégyszöget, amelyik köré írható 4 cm sugarú körének középpontja az adott K pont! 3. Adott egy S sík és annak egy háromszöge. Ábrázoljuk a háromszög egyik középvonalát! (Hogyan tudnánk a feladatot a sík leforgatása nélkül megoldani?) 4. Adott két párhuzamos egyenes. Ábrázoljunk egy olyan téglalapot, amelyiknek két-két csúcsa egy-egy adott egyenesre illeszkedik, és a téglalap szomszédos oldalainak aránya 1:2! 5. Adott egy A pont és egy e egyenes. Ábrázoljuk azt az ABC szabályos háromszöget, amelyiknek a B és C csúcsai az adott egyenesre illeszkednek! 6. Adott egy A pont és egy e egyenes. Ábrázoljuk azt az ABCD négyzetet, amelyiknek a B és C csúcsai az adott egyenesre illeszkednek! 7. Adott egy A pont és egy e egyenes. Ábrázoljuk azt az ABCD négyzetet, amelyiknek a BD átlója az adott e egyenesnek szakasza! 8. Adott egy képsíkra merőleges M sík. Ábrázoljunk az M síkban egy 3 cm-es oldalélű szabályos háromszöget! 9. Adott egy képsíkra merőleges M sík és annak egy O pontja. Ábrázoljunk egy olyan érintőnégyszöget, amelyikbe írható 2 cm sugarú körének a középpontja az adott O pont! 10.Adott két fedőegyenes. Ábrázoljuk a két egyenes metszéspontját! 11.Adott két párhuzamos fedőegyenes. Ábrázoljunk egy olyan négyzetet, amelyiknek két-két csúcsa egy-egy adott egyenesre illeszkedik! 12.Adott egy vetítősík és arra illeszkedő e egyenes és egy A pont. Ábrázoljuk az ABC háromszöget, amelyiknek a B és C csúcsai az adott e egyenesre illeszkednek! 13.Adott egy A pont és egy képsíkkal párhuzamos e egyenes. Ábrázoljuk azt az ABC szabályos háromszöget, amelyiknek a B és C csúcsa az adott egyenesre illeszkedik! 14.Adott egy A pont és egy képsíkkal párhuzamos e egyenes. Ábrázoljuk azt az ABCD négyzetet, amelyiknek a B és C csúcsa az adott egyenesre illeszkedik!


GEM6-5


2010

6.2.7 Metrikus feladatok 6.2.7.1 Térelemek hajlásszögével kapcsolatos feladatok 1. Szerkesszük meg két kitérő egyenes hajlásszögének valódi nagyságát abban az esetben, amikor az egyik egyenes általános helyzetű, a másik pedig a) a képsíkra merőleges, b) a képsíkkal párhuzamos, c) centrális vetítősugár, d) szintén általános helyzetű! 2. Adott egy általános helyzetű sík és egy egyenes. Szerkesszük meg a két térelem hajlásszögének valódi nagyságát abban az esetben, amikor az egyenes: a) a képsíkra merőleges, b) a képsíkkal párhuzamos, c) centrális vetítősugár, d) szintén általános helyzetű! 3. Adott egy képsíkra merőleges sík és egy egyenes. Szerkesszük meg a két térelem hajlásszögének valódi nagyságát abban az esetben, amikor az egyenes: a) a képsíkkal párhuzamos, b) centrális vetítősugár, c) általános helyzetű! 4. Szerkesszük meg két sík hajlásszögének valódi nagyságát abban az esetben, amikor az egyik sík általános helyzetű, a másik sík pedig: a) a képsíkra merőleges, b) a képsíkkal párhuzamos, c) centrális vetítősík, d) szintén általános helyzetű! 5. Határozzuk meg két képsíkra merőleges sík hajlásszögének valódi nagyságát! 6. Adott két – A és B – párhuzamos nyomvonalú sík. Szerkesszük meg a két sík hajlásszögének valódi nagyságát! 7. Adott egy A sík és egy B sík nyomvonala, amely párhuzamos az A sík nyomvonalával. Határozzuk meg a B sík irányvonalát úgy, hogy a két sík hajlásszöge a) 60o-os legyen, b) 45o-os legyen, c) 90o-os legyen! 8. Adott egy A sík és egy P pont. Határozzuk meg azt a B síkot, amelyik - illeszkedik a P pontra, - az A síkkal adott α szöget zár be, a két sík nyomvonala párhuzamos!

6.2.7.2 B) Térelemek távolságával kapcsolatos feladatok 1. Adott egy A pont a képsík mögött és egy B pont. Határozzuk meg távolságukat abban az esetben, amikor a B pont: a) az eltűnési sík mögött van, b) az eltűnési síkon van, c) a képsík és az eltűnési sík között van, d) a képsíkon van, e) a képsík mögött van! 2. Adott egy e egyenes és egy P pont. Határozzuk meg távolságukat abban az esetben, amikor a P pont: a) az eltűnési sík mögött van, b) az eltűnési síkon van, c) a képsík és az eltűnési sík között van, d) a képsíkon van, e) a képsík mögött van! 3. Adott egy P pont és egy e egyenes. Határozzuk meg távolságukat abban az esetben, amikor az e egyenes: a) a képsíkra merőleges, b) a képsíkkal párhuzamos, c) vetítősugár, d) általános helyzetű! 4. Adott két párhuzamos egyenes. Határozzuk meg távolságukat abban az esetben, amikor a két egyenesnek a képsíkhoz viszonyított helyzete: a) merőleges, b) párhuzamos, c) általános helyzetű! 5. Adott két párhuzamos sík. Határozzuk meg távolságukat abban az esetben, amikor a két síknak a képsíkhoz viszonyított helyzete: a) merőleges, b) párhuzamos, c) általános helyzetű! 6. Szerkesszük meg két kitérő egyenes távolságát abban az esetben, amikor az egyik egyenes általános helyzetű, a másik pedig: a) a képsíkra merőleges, b) a képsíkkal párhuzamos, c) centrális vetítősugár, d) általános helyzetű! 7. Adott egy S sík és egy vele párhuzamos e egyenes. Szerkesszük meg távolságukat abban az esetben, amikor az S sík: a) a képsíkra merőleges, b) a képsíkkal párhuzamos, c) centrális vetítősík, d) általános helyzetű! 8. Adott egy S sík és egy P pont. Szerkesszük meg távolságukat abban az esetben, amikor a P pont: a) a képsík mögött van, b) a képsík és az eltűnési sík között van, c) az eltűnési sík mögött van! 9. Adott egy S sík és egy H síkban levő ABC háromszög. (Az S és H síkok metszőek.) Határozzuk meg a háromszögnek az S síktól való távolságát!

GEM6-6



6.2.8 Perspektíva 1. Készítsük el a perspektív képét egy alapsíkon álló, 4 cm-es oldalélű kockának! 2. Készítsük el a perspektív képét annak az alapsíkon álló szabályos hatszög alapú oszlopnak, amelyiknek az alapéle 3 cm, magassága 10 cm! 3. Készítsük el a perspektív képét annak az alapsíkon álló téglatestnek, amelyiknek az egy csúcsra illeszkedő három oldala 4, 5 és 6 cm! 4. Készítsük el a perspektív képét annak az 5 cm oldalélű kockának, amelyiknek az alaplapja párhuzamos az alapsíkkal, és az alaplapnak az alapsíktól való távolsága 2 cm! 5. Készítsük el a perspektív képét annak az alapsíkon álló szabályos négyoldalú csonkagúlának, amelyiknek méretei: alapnégyzet éle 8 cm, a fedő négyzet éle 4 cm, magassága 5 cm! 6. Készítsük el a perspektív képét annak az alapsíkon álló szabályos négyoldalú gúlának, amelyiknek méretei: alapnégyzet éle 4 cm, magassága 8 cm! 7. Készítsük el a perspektív képét annak az alapsíkon álló szabályos tetraédernek, amelyiknek minden éle 7 cm! 8. Készítsük el a perspektív képét annak az alapsíkon álló szabályos háromoldalú gúlának, amelyiknek méretei: alapháromszögének éle 5cm, magassága 8 cm! 9. Készítsük el a perspektív képét annak a testcsoportnak, amely áll egy alapsíkon álló 4 cm-es oldalélű kockából, és egy kockán álló 5 cm magas, szabályos négyoldalú gúlából (a gúla alaplapja egybeesik a kocka fedőlapjával)!

6.2.9 A képsíkrendezők törvényeinek alkalmazása 1. Adott e egyenesnek ábrázoljuk azon P pontját, amelyiknek képsíkrendezője: a) -3cm, b) 0cm, c) 2d cm legyen (a „d” a distanc értékét jelöli)! 2. Adott egy e egyenes képe, iránypontja és egy egyenesre illeszkedő P pontjának képe. Határozzuk meg az egyenes nyompontját úgy, hogy a P pont képsíkrendezője: a) -2 cm, b) 0 cm, c) 3d cm legyen (a „d” a distanc értékét jelöli)! 3. Adott egy e egyenes képe, nyompontja és egy rá illeszkedő P pont képe. Szerkesszük meg az egyenes iránypontját úgy, hogy a P pont képsíkrendezője: a) -4 cm, b) 0 cm, c) 2d cm legyen (a „d” a distanc értékét jelöli)! 4. Adott egy e egyenes és az arra illeszkedő A, B és C különböző térrészekben lévő pontok. Határozzuk meg a pontok képsíktól való távolságát (képsíkrendezőjét)! 5. Adott egy A sík és annak három (e, f, g) különböző térrészekben lévő fővonala. Határozzuk meg a fővonalak képsíktól való távolságát! 6. Ábrázoljuk egy adott S sík azon fővonalát, amelyik: a) a képsík mögött van, a képsíktól 4 cm-re, b) a képsík előtt van, a képsíktól 3 cm-re (d=4 cm), c) az eltűnési sík mögött van, 5 cm-re a képsíktól (d=4 cm)! 7. Adott két képsíkkal párhuzamos (egymással kitérő helyzetű) egyenes. Határozzuk meg a két egyenes távolságát abban az esetben, amikor: a) mind a két egyenes a képsík mögött van, b) mind a két egyenes a képsík előtt van, c) egyik egyenes a képsík mögött, a másik a képsík előtt van! 8. Adott egy képsíkkal párhuzamos e egyenes, és egy képsíkkal párhuzamos f egyenes képe. Határozzuk meg az f egyenes tartópontját úgy, hogy a két egyenes távolsága 3 cm legyen! 9. Adott egy P pont képsíkon lévő merőleges vetülete (P1). Szerkesszük meg centrális vetületét, és adjunk meg egy tartóegyenesét abban az esetben, amikor a pont képsíkrendezője: a) -3 cm, b) 0 cm, c) 2d cm legyen (a „d” a distanc értékét jelöli)! 10.Adott egy P pont képsíkon lévő merőleges vetülete (P1), és perspektív képe (P’). Határozzuk meg képsíkrendezőjét!


GEM6-7


2010

11.Adott egy P pont képsíkon lévő merőleges vetülete (P1), és centrális vetülete (P’). A pont képsíkrendezője 3 cm, a distanc nagysága 5 cm. Szerkesztendő a főpont (C1)! 12.Adott egy P pont centrális képe (P’) és lépsíkrendezője. Szerkesszük meg a képsíkon lévő merőleges vetületét, ha képsíkrendezője: a) -4 cm, b) 5 cm! 13.A képsíkrendezők második törvényének alkalmazásával ábrázoljunk egy képsíkon álló, 4 cm oldalélű kockát! 14.A képsíkrendezők második törvényének felhasználásával ábrázoljuk azt a 3x4x5 cm méretű téglatestet, amelyiknek 4x5 cm-es lapja a képsíkra illeszkedik, és a téglatest: a) a képsík előtt van, b) a képsík mögött helyezkedik el! 15.A képsíkrendezők második törvényének alkalmazásával ábrázoljuk azt az adott méretű szabályos négyoldalú gúlát, amelyiknek alaplapja 2 cm távolságra van a képsíktól, az alapnégyzet éle 4 cm, magassága 3 cm! 16.Adott egy képsíkkal párhuzamos S sík és egy e egyenes. Szerkesszük meg a döféspontot abban az esetben, amikor az egyenes: a) képsíkra merőleges, b) centrális vetítősugár, c) általános helyzetű! 17.Adott egy képsíkkal párhuzamos S sík és egy A sík. Szerkesszük meg a két sík metszésvonalát abban az esetben, amikor az A sík: a) képsíkra merőleges, b) centrális vetítősík, c) általános helyzetű! 18.Monge- féle képeivel adott egy első képsíkon álló kocka és a vetítés C centruma. Készítsük el a perspektív képet abban az esetben, amikor: a) a perspektíva K képsíkja azonos a felülnézet K1 képsíkjával, b) a perspektíva K képsíkja azonos az elölnézet K2 képsíkjával! 19.Monge- féle képeivel adott egy első képsíkon álló szabályos négyoldalú gúla és a vetítés C centruma. Készítsük el a perspektív képet abban az esetben, amikor: a) a perspektíva K képsíkja azonos a felülnézet K1 képsíkjával, b) a perspektíva K képsíkja azonos az elölnézet K2 képsíkjával! 20.Monge- féle képeivel adott a vetítés C centruma, és egy második képsíkon álló, adott méretű szabályos négyoldalú csonkagúla (alapéle 6 cm, fedőéle 4 cm, magassága 5 cm). A képsíkrendezők második törvényének alkalmazásával készítsük el a perspektív képet abban az esetben, amikor: a) a perspektíva K képsíkja azonos a felülnézet K1 képsíkjával, b) a perspektíva K képsíkja azonos az elölnézet K2 képsíkjával!

6.2.10 „Önellenőrző” feladatok Ezeket a feladatokat azért tűztük ki ebben az „ábrás” formában, mert gyakran találkozunk azzal a problémával, hogy szerkesztési gyakorlattal még nem rendelkező hallgatók által felvett alapadatok olyan megoldásra vezetnek, melynek szerkesztése nem fér ki a lapra. A feladatsorból az ábrákat digitálisan kimásolva, kb. 1,5-szeres méretre felnagyítva, egy A4-es lap közepére kinyomtathatunk olyan feladatokat, melyeknek megoldása (helyes szerkesztés esetén) biztosan kifér a papírra. Ügyeljünk arra, hogy a nyomtatás „torzításmentes” legyen, mert csak így garantálható a fentebb említett gyakorlati probléma elkerülése. A feladatok 2-3 alapszerkesztéssel megoldhatók, ezért megoldásukat nem közöljük. 1. Adjon meg egy olyan f egyenest, amelyik az adott e egyenest az R pontban metszi!

1. ábra

GEM6-8


Centrális projekció 1. A megadott adatokból szerkesszen az adott az S síkra illeszkedő ABCD paralelogrammát!

2. ábra 1. Adott az S sík, egy rá nem illeszkedő C pont. Illesszen a C pontra két olyan egyenest, amelyek párhuzamosak az adott síkkal!

3. ábra 1. Adott az S síkon egy f egyenes és egy C pont (C nem illeszkedik f egyenese). Illesszen a C pontra egy S2 síkot úgy, hogy az párhuzamos legyen az f egyenessel, és nyomvonala az N2 nyompontra illeszkedjen!

4. ábra


GEM6-9


2010

1. Adjon meg egy olyan f egyenest, amelyik az adott e egyenest az R pontban metszi, és párhuzamos a g egyenessel!

5. ábra 1. Adott az S sík, egy rá nem illeszkedő C pont. Illesszen a C pontra S-sel párhuzamos S2 síkot!

6. ábra 1. Adott az ABCD paralelogramma. Az alábbi adatokból „rekonstruálja” a paralelogrammát, majd szerkessze meg az ABCD paralelogramma síkjának és az S síknak a metszésvonalát!

7. ábra 1. Adottak a P és R pontok a tartóegyeneseikkel. Szerkessze meg a két pontot összekötő egyenest!

GEM6-10



8. ábra 1. Adott az alábbi centrális axiális kollineáció. Szerkessze meg az ABC háromszög képét!

9. ábra 1. Az alábbi adatokból „rekonstruálja” az ABC háromszög hiányzó oldalegyenesét, majd szerkessze meg a háromszög síkjának az f egyenessel alkotott döféspontját! Jelölje az f egyenes láthatóságát!


GEM6-11


2010

10. ábra 1. Adott az ABC háromszög AB oldalegyenese, valamint a C csúcs. Szerkessze meg a BC oldalegyenest!

11. ábra 1. Adott az alábbi centrális axiális kollineáció. Szerkessze meg az ABCD paralelogramma képét!

GEM6-12



12. ábra 1. Adott az e egyenes, és rajta P pont. Határozza meg azt az S síkot, amelyik illeszkedik a P pontra és merőleges az e egyenesre!

13. ábra 1. Adott az S síkra illeszkedő ABC háromszög. Képsíkba forgatással határozza meg a magasságpontját! 14. ábra 1. Adott az S sík és rajta P pont. Határozza meg azt az e egyenest, amelyik illeszkedik a P pontra és merőleges az S síkra!


GEM6-13


2010

15. ábra 1. Adott az S síkon az AB szakasz. Szerkesszen ebben a síkban AB oldalú szabályos háromszöget! Elegendő egy megoldás szerkesztése.

16. ábra 1. Határozza meg a két kitérő egyenes távolságát!

17. ábra 1. Szerkesszen az adott AB szakasz egyenesére illeszkedő 30o-os képsíkszögű síkot (egy megoldás elég), majd határozza meg az AB szakasz valódi hosszát!

GEM6-14



18. ábra 1. Határozza meg a P pont és az [e;f] sík távolságát!

19. ábra 1. Adott S sík és rajta egy P pont. Szerkesszen az adott síkban a P pontra illeszkedő 30o-os képsíkszögű egyenest (elég egy megoldás), majd mérjen fel erre az egyenesre egy 2 cm hosszúságú szakaszt (itt is elég egy megoldás)!

20. ábra


GEM6-15


2010

1. Adott az S síkon az e egyenes és a P pont (P illeszkedik a síkra, de nem illeszkedik az egyenesre). Szerkessze meg a síkon azokat az egyeneseket, amelyek illeszkednek a P pontra, és az e egyenessel 60o-os szöget zárnak be!

21. ábra 1. Határozza meg az e egyenesre illeszkedő 45o-os képsíkszögű S2 sík és az adott S sík hajlásszögét! (Elég egy megoldást megszerkeszteni!)

22. ábra 1. Adott az S síkon az e egyenes és a P pont (P illeszkedik a síkra, de nem illeszkedik az egyenesre). Szerkesszen egy olyan derékszögű háromszöget, melynek átfogója az e egyenesen van, egyik csúcsa a P, és hegyesszögei 30o illetve 60o-osak! (Elég egy megoldást megszerkeszteni!)

GEM6-16



23. ábra 1. Adott az S és az U sík, valamint az U síkban egy P pont. Vegyen fel az U síkban egy olyan egyenest, mely 30o-os képsíkszögű és áthalad a P ponton. Határozza meg az így kapott egyenesnek az adott S síkkal bezárt szögét! (Elég egy megoldást megszerkeszteni!) 24. ábra

6.3 Centrális projekció MEGOLDÁSOK 6.3.1 Térelemek ábrázolása (Megoldások) Az ebben a részben kitűzött feladatok alapszerkesztések, melyeket a jegyzet tartalmaz. Gyakorlás, és a szerkesztési rutin megszerzése céljából fontos, hogy ezeket a feladatokat nagy biztonsággal tudjuk megoldani.

6.3.2 Helyzetgeometriai feladatok (Megoldások) 1. Alapszerkesztések egyszerű alkalmazása. 2. Alapszerkesztések egyszerű alkalmazása. 3. Alapszerkesztések egyszerű alkalmazása. 4. Alapszerkesztések egyszerű alkalmazása. 5. Alapszerkesztések egyszerű alkalmazása. 6. Alapszerkesztések egyszerű alkalmazása. 7. A három síkbeli pont felvétele nem lehet gond (alapfeladat), a háromszög képének megrajzolása viszont már nem olyan egyszerű, mint minden más ábrázolási eljárás esetén láttuk. A képet vizsgálva megállapíthatjuk, hogy az A’C’ és B’C’ szakaszok metszik a sík irányvonalát, ezért ezen képi metszéspontokhoz a valóságban végtelen távoli pontok tartoznának, ami lehetetlen, hiszen a háromszög oldalai véges szakaszok. Ha a térben vizsgálódunk, megállapíthatjuk, hogy a térbeli AC és BC szakaszok metszik az eltűnési síkot egy R illetve S pontban. Ezen pontok képe a végtelenbe kerül. Tehát az ABC térbeli háromszöget az eltűnési sík egy nem látható RSC háromszögre, és egy látható RSBA négyszögre bontja. Az előbb említett (végtelenbe nyúló) képi idomok között helyezkedik el az A’B’C’ véges háromszög, amely nem tartozik a térbeli ABC háromszög képéhez.


GEM6-17


2010

25. ábra 1. Alapszerkesztések egyszerű alkalmazása. 2. Alapszerkesztések egyszerű alkalmazása. 3. A 7. feladat megoldásánál ismertetett okok miatt a háromszög képének nem lehet pontja a sík irányvonalán.

GEM6-18



26. ábra 1. Alapszerkesztések egyszerű alkalmazása. 2. Alapszerkesztések egyszerű alkalmazása. 3. Alapszerkesztések egyszerű alkalmazása. 4. A b) rész megoldását közöljük: Az R sík egy pontjának meghatározzuk a képsíkrendezőjét, amely azonos a képsíktól való távolságával. A metszésvonal az S síknak egy olyan fővonala lesz, amelynek a képsíktól való távolsága megegyezik az R síknak a képsíktól való távolságával. 5. A párhuzamos nyomvonalú síkok metszésvonala a két síknak egy közös fővonala lesz. A metszésvonal egy pontját úgy nyerjük, hogy egy tetszőleges S síkkal elmetsszük az adott A és B síkot. A kapott a és b metszésvonalak M metszéspontja mind a két adott síknak eleme, ezért a keresett metszésvonalnak ( ami fővonal) egy pontja lesz. 6. Előbb oldjuk meg az előbbi (15.) feladatot! 7. Az A sík nyomvonalának az irányvonalától való távolsága megegyezik a B sík nyomvonalának az irányvonalától való távolságával. A két nyomvonal (és ezért a két irányvonal) nem lehet egymás mellett. A metszésvonal – bár létezik -, a képe „eltűnik”! 8. Alapszerkesztések egyszerű alkalmazása. 9. A b) rész megoldását közöljük: Előbb meghatározzuk az S síknak a képsíktól való távolságát. Ez megegyezik valamely pontjának a képsíkrendezőjével. Meghatározzuk az e egyenesnek azt a D pontját, amelynek a képsíkrendezője azonos az előbb nyert értékkel. (Az így nyert D pont lesz a döféspont.) 10.Alapszerkesztések egyszerű alkalmazása. 11.Alapszerkesztések egyszerű alkalmazása. 12.Szerkesztési lépések: a) Felvesszük az A pontra illeszkedő, e egyenessel párhuzamos f egyenest. b) Meghatározzuk az f egyenesnek az A síkkal alkotott D döféspontját, amely a paralelogramma D csúcsa lesz.


GEM6-19


2010

c) Megszerkesztjük az e egyenesnek az A síkkal alkotott C döféspontját (C csúcsa lesz a paralelogrammának). d) Felvesszük az A pontra illeszkedő, AC egyenessel párhuzamos g egyenest. Ez kimetszi az e egyenesből a hiányzó B csúcsot. 13.A megoldás lépései: a) Meghatározzuk a P=[A,e] sík nyomvonalát és irányvonalát. b) Megszerkesztjük az A és P síkok m metszésvonalát. c) Felvesszük az A pontra illeszkedő m egyenessel párhuzamos f egyenest. d) Kijelöljük a paralelogramma B csúcsát az f és e egyenesek metszéspontjában. e) A D csúcsot az e és m egyenesek metszéspontjában nyerjük. f) Felvesszük a B csúcsra illeszkedő AD egyenessel párhuzamos g egyenest. g) Kijelöljük a hiányzó C csúcsot a g és m egyenesek metszéspontjában. 14.Megoldási lépések: a) Előbb az A és B pontok összekötő e egyenesének meghatározzuk a nyompontját és iránypontját. b) Meghatározzuk a C pontra illeszkedő, AB egyenessel párhuzamos f egyenes nevezetes pontjait. c) Az [e,f] sík lesz a három pont közös síkja. 15.Szerkesztési lépések: a) Megszerkesztjük a [P,e] sík nevezetes vonalait. b) Meghatározzuk az f egyenesnek a [P,e] síkkal alkotott F metszéspontját. c) A PF egyenes metszi az e egyenest, mert mindkettő illeszkedik a [P,e] síkra. d) A PF egyenesnek ábrázoljuk a nevezetes pontjait. Ez az egyenes a keresett transzverzális. 16.A megoldás lépései: a) Meghatározzuk az adott síkok m metszésvonalát. b) Felvesszük a P pontra illeszkedő, m egyenessel párhuzamos e egyenest. 17.Megoldási lépések: a) Megszerkesztjük bármely két síknak az m metszésvonalát. b) Meghatározzuk az m egyenesnek a harmadik síkkal alkotott M metszéspontját, amely a megoldás lesz. 18.Szerkesztési lépések: a) Mivel az f egyenes párhuzamos a keresett E síkkal, ezért az E sík irányvonala átmegy a Q’f irányponton. Tehát az E sík irányvonala e két egyenes iránypontját összekötő egyenes lesz. b) Az E sík nyomvonalát az e egyenes nyompontjára illeszkedő, az előbb nyert irányvonallal párhuzamosan vesszük fel. 19.A megoldás lépései: a) A keresett S sík párhuzamos lesz azzal a két párhuzamos síkkal, amelyek az adott egyenesekre illeszthetők (a kitérő egyenesek láthatóságát ezek segítségével állapítjuk meg). Az S sík irányvonala ezért a két egyenes iránypontját összekötő egyenes lesz. b) Megadjuk az S sík nyomvonalát, figyelembe véve, hogy a sík tartalmazza a P pontot. 20.Megoldási lépések: a) Felvesszük a P pontra illeszkedő, S síkkal párhuzamos R síkot. b) Megszerkesztjük az e egyenesnek az R síkkal alkotott M metszéspontját. c) Meghatározzuk a PM=f egyenes nevezetes pontjait. 21.Szerkesztési lépések: a) Az egyik egyenesen – legyen ez a g egyenes – tetszőlegesen felveszünk egy P pontot. b) Megszerkesztjük a [P,e] és [P,f] síkok nyomvonalát és irányvonalát. c) Meghatározzuk az előbbi síkok metszésvonalát, amely a keresett t egyenes lesz. Megjegyzés: Mivel a P pontot a g egyenesen tetszőlegesen vettük fel, ezért a feladatnak végtelen sok megoldása van.

6.3.3 A sík leforgatása nélkül megoldható metrikus feladatok (Megoldások) 1. Szerkesztési lépések: a) Felvesszük az S síknak két fővonalát, és az egyiken tetszőlegesen kijelöljük a téglalap A és B csúcspontját. b) Megszerkesztjük az S sík esésvonalainak közös iránypontját. c) Felvesszük a sík A és B pontjaira illeszkedő esésvonalait, amelyek a másik fővonalból kimetszik a téglalap C és D csúcsait. 2. Lásd az előbbi feladatot. A képsíkkal párhuzamos oldalak hosszát a Geometria II. jegyzet 51. ábrája alapján, az esésvonalakra illeszkedő 2 cm-es oldalak hosszát osztópont segítségével ábrázoljuk. 3. A megoldás lépései: a) Felvesszük az S síknak egy tetszőleges h esésvonalát. b) A h esésvonal az e és f fővonalakból kimetszi a négyzet A és B csúcsát. c) Osztóponttal meghatározzuk az A és B pontok távolságát, amely az adott két fővonal távolsága, egyben a keresett négyzet oldalának valódi nagysága. d) Az előbbi távolságot (a Geometria II. jegyzet 51. ábrája alapján) a fővonalakra „felrakva” nyerjük a négyzet C és D csúcsait. 4. Megoldási lépések: a) Az S síknak egy tetszőleges fővonalára 3 cm-t felrakva nyerjük a háromszög C és B csúcsait. b) Ábrázoljuk a sík C pontjára illeszkedő e esésvonalát. c) Az esésvonalra, a C pontból, osztóponttal felrakjuk az A csúcsot úgy, hogy a valóságban a CA szakasz hossza 4 cm legyen.

GEM6-20


Centrális projekció 5. Szerkesztés: a) Meghatározzuk a két pont közös egyenesét. b) Megszerkesztjük – osztóponttal – az AB szakasz valódi nagyságát. c) Az előbb nyert valódi nagyságot a P0 és R0 pontokkal három egyenlő részre osztjuk. d) Az osztópontból a P0, R0 pontokat a képre vetítve nyerjük az említett pontok képeit. 6. Az első két lépés megegyezik az előbbi feladat a) és b) pontjában közöltekkel. c) Az AB szakasz valódi nagyságát 5 egyenlő részre osztjuk, majd itt P0-laljelöljük azt a pontot, amelyre A0P0:P0B0=2:3 arány teljesül. d) Megegyezik az előbbi feladat d) pontjával. 7. Megoldási lépések: a) Előbb – a 2. feladatban ismertetett módon – az S síkban ábrázolunk egy olyan TRDC téglalapot, amelyiknek TR=DC oldalai 3 cm-esek és párhuzamosak a képsíkkal. A TC=RD oldalai pedig 4 cmesek. b) A TR pontokon áthaladó fővonalra (a téglalapon kívül) 1,5-1,5 cm-t felrakva kapjuk a szimmetrikus trapéz A és B csúcsait. 8. A két pont közös egyenesének meghatározása (alapszerkesztés), majd a képsíkszög meghatározása (szintén alapszerkesztés) szükséges.

6.3.4 Térelemek képsíkszögével kapcsolatos feladatok (Megoldások) 1. Alapszerkesztések egyszerű alkalmazása. 2. Alapszerkesztések egyszerű alkalmazása. 3. Alapszerkesztések egyszerű alkalmazása. 4. A feladat a dőléskúp alkalmazásával oldható meg. 5. A feladat a dőléskúp alkalmazásával oldható meg. 6. A feladat a dőléskúp alkalmazásával oldható meg. 7. Megoldási lépések: a) Az S sík tetszőleges fővonalára „felrakunk” egy 5 cm-es szakaszt. Így nyerjük a trapéz alapjának A és B csúcsait. b) Dőléskúpok alkalmazásával felvesszük a sík A illetve B pontjára illeszkedő 30o illetve 45o-os képsíkszögű egyeneseit. c) Az S síkot képsíkba forgatjuk (az előbb említett elemeivel), forgatottban megoldjuk a feladatot (megszerkesztjük a trapézt), majd a kapott eredményt (C és D csúcsokat) visszaforgatjuk. 8. Az előbbi feladat a), b) és c) pontjaiban ismertetett szerkesztési lépések itt is eredményesen alkalmazhatóak. A c) pontban leírt forgatást itt mellőzhetjük. Ebben az esetben egy tetszőleges esésvonalra osztóponttal „felrakjuk” a magasságot, majd az ilyen távolságra lévő fővonalat felvéve a b) pontban nyert szárak egyeneséből metszéspontként nyerjük a trapéz C és D csúcsait. 9. Lásd az előbbi két feladatot. 10.Szerkesztés: a) Az adott sík egy tetszőleges fővonalára „felrakjuk” az 5 cm-t. Így nyerjük az alap A és B csúcsait. b) Dőléskúp felhasználásával ábrázoljuk a sík A pontjára illeszkedő 30o-os képsíkszögű f egyenesét. c) Az előbb nyert f egyenesre, osztópont segítségével felrakjuk a 4 cm-t. Így nyerjük a háromszög hiányzó C csúcsát. 11.A feladat a dőléskúp alkalmazásával oldható meg. 12.A feladat a dőléskúp alkalmazásával oldható meg. 13.A feladat a dőléskúp alkalmazásával oldható meg. 14.A feladat a dőléskúp alkalmazásával oldható meg. 15.A megoldás lépései: a) Az e egyenesre illesztünk egy 45o-os képsíkszögű R síkot. b) Az R síkot képsíkba forgatjuk. Az adott két pont forgatottja megadja a rombusz oldalainak valódi nagyságát (dAB). c) A forgatott-


GEM6-21


2010

ban felvesszük a rombuszt úgy, hogy a C csúcs az R sík nyomvonalára illeszkedjen. d) A kapott eredményt visszaforgatjuk. 16.Szerkesztési lépések: a) Az e egyenesre illesztünk egy 60o-os képsíkszögű N síkot. b) Az N síkot képsíkba forgatjuk. c) Forgatottban felvesszük a négyzetet. d) Az előbbi négyzetet visszaforgatjuk. 17.Lásd az előbbi feladatot. 18. Lépések: a) Megadjuk az képsíkszögű egyenesek iránypontjainak mértani helyét (dőléskúp). b) Mivel f párhuzamos az A síkkal, ezért az f egyenes iránypontja illeszkedik az A sík irányvonalára. (végtelen sok megoldás!) c) Az f egyenes nyompontjának meghatározásakor biztosítani kell, hogy a P ponton átmenjen az f egyenes.

6.3.5 Merőleges térelemekkel kapcsolatos feladatok (Megoldások) 1. A P pont az n egyenes nyompontja lesz. 2. Az n egyenes párhuzamos lesz a képsíkkal, ezért iránypontja (és egyben nyompontja) az M sík irányvonalára merőleges egyenes végtelen távoli pontja. 3. A megoldás lépései: a) Felvesszük az A pontra illeszkedő, S síkra merőleges n egyenest. Ez lesz a háromszög A csúcsára illeszkedő magasságvonalának egyenese. b) Meghatározzuk az n egyenesnek az S síkkal alkotott T döféspontját. Ez lesz az előbbi magasságvonal talppontja. c) Felveszünk az S síkban egy T pontra illeszkedő a egyenest (végtelen sok megoldás). d) Az a egyenesen tetszőlegesen kijelöljük a B és C csúcsait. 4. Szerkesztési lépések: a) A P pontból az S síkra merőleges n egyenest állítunk. b) Meghatározzuk az n egyenesnek az S síkkal alkotott D döféspontját. c) Az n egyenesre, a D pontból felmérjük – osztóponttal – a PD távolságot. Így nyerjük a P pont P* tükörképét. 5. A megoldás lépései: a) Az e egyenesnek felvesszük egy tetszőleges P pontját, majd ezt – az előbbi feladatban leírtak szerint – tükrözzük az S síkra. A tükörkép legyen P*. b) Meghatározzuk az e egyenesnek az S síkkal alkotott M metszéspontját. Ennek tükörképe önmaga, azaz M=M*. c) Az egyenes tükörképe e*=P*M* egyenes lesz. 6. Megoldási lépések: a) Felvesszük az A pontra illeszkedő, S síkra merőleges n egyenest. b) Meghatározzuk az n egyenesnek az S síkkal alkotott T metszéspontját. c) Osztóponttal meghatározzuk az A, T pontok távolságát. Ez lesz a keresett szabályos háromszög magassága. d) A magasság ismeretében (külön ábrán) megszerkesztjük a háromszög oldalának valódi nagyságát. (esetleg számítással is meghatározhatjuk: ). e) Az S síkban felveszünk egy T pontra illeszkedő a egyenest. f) Az a egyenesre (osztóponttal), a T pontból mind a két irányba felmérjük a háromszög oldalának a felét. Így nyerjük a hiányzó B és C csúcsokat. 7. A szerkesztés lépései: a) Az S sík tetszőleges A pontjából merőlegest állítunk a síkokra, majd ennek megszerkesztjük az R síkkal alkotott D döféspontját. b) Osztóponttal meghatározzuk az AD távolságot. Ez lesz a négyzet oldala. c) Felvesszük az S sík A pontjára illeszkedő e és az R sík D pontjára illeszkedő f egyenesét úgy, hogy ezek párhuzamosak legyenek. d) Az e és f egyenesre (osztóponttal) az A illetve a D pontból felmérjük a b) pontban megszerkesztett távolságot. Így nyerjük a négyzet hiányzó B illetve C csúcsait. 8. Ez a feladat az előbbi feladatnak eggyel több feltételt előíró változata. Ezért a megoldás a), b) és d) lépései megegyeznek az ott leírtakkal. A c) lépés annyiban módosul, hogy a párhuzamos egyenesek közös iránypontját nem tetszőlegesen jelöljük ki a síkok közös irányvonalán, hanem dőléskúp alkalmazásával biztosítjuk a 30oos képsíkszöget. 9. Megoldási lépések: a) Felveszünk egy olyan H síkot, amely illeszkedik az S pontra és merőleges az adott t egyenesre. b) A H síkot képsíkba forgatjuk. Forgatottban felvesszük a 4 cm-es oldalélű szabályos háromszöget úgy, hogy súlypontja az (S) legyen, majd ezt visszaforgatjuk.

GEM6-22


Centrális projekció 10.Szerkesztés: a) Felveszünk egy O pontra illeszkedő, f egyenesre merőleges H síkot. b) Meghatározzuk az e egyenesnek a H hatszög síkjával alkotott A metszéspontját. Ez lesz a hatszög egyik csúcsa. c) A H síkot képsíkba forgatjuk. (Az O és A pontokat szintén.) Forgatottban felvesszük a hatszög hiányzó csúcsait, majd a kapott eredményt visszaforgatjuk. 11.A megoldás lépései: a) Felveszünk egy A pontra illeszkedő, e egyenesre merőleges H síkot. b) Megszerkesztjük az e egyenesnek a H síkkal alkotott O metszéspontját. Ez lesz a hatszög középpontja. c) A H síkot képsíkba forgatjuk. (Az O és A pontokat szintén.) Forgatottban felvesszük a hatszög hiányzó csúcsait, majd a kapott eredményt visszaforgatjuk.

6.3.6 Sík képsíkba forgatása (Megoldások) 1. A feladatban szereplő síkot képsíkba kell forgatni. A forgatottban megoldjuk a kitűzött szerkesztést, majd a kapott eredményt visszaforgatjuk. 2. Lásd az előbbi feladatot. 3. Lásd az első feladatot. 4. Lásd az első feladatot. 5. Megoldási lépések: a) Meghatározzuk az [A,e] sík nyomvonalát és irányvonalát úgy, hogy előbb „leváltjuk” az A pont tartóegyenesét egy olyan f egyenessel, amely párhuzamos az e-vel. A párhuzamos egyenesek nyompontjait összekötve kapjuk a közös sík nyomvonalát....stb.. b) Az előbb meghatározott közös síkot képsíkba forgatjuk. c) Forgatottban megoldjuk a feladatot, majd visszaforgatjuk. 6. Lásd az előző feladat megoldását. 7. Lásd az 5. feladat megoldását. 8. Ez a feladat csak annyiban különbözik az előbbiektől, hogy itt a forgatáshoz szükséges centrális kollineáció C0 centruma rá kell, hogy essen a distanc körre! (Mivel a C0 a térbeli centrum q’ irányvonal körüli képsíkba forgatottja!) 9. Lásd az előző feladat megoldását. 10.Ez a feladat vetítősík képsíkba forgatásával oldható meg. Ez abban különbözik az előbbiektől, hogy a forgatásnál használatos centrális kollineációnak itt azon speciális esete áll fenn, amikor a centrális kollineáció tengelye és ellentengelye egybeesik. A szerkesztés menete a 11. feladat megoldását tartalmazó következő ábrából leolvasható:


GEM6-23


2010

27. ábra 1. Lásd a 10. feladat megoldásának elvét (27. ábra). 2. Lásd az előző feladatok megoldásának elvét. 3. Legyen E az adott e képsíkkal párhuzamos egyenes tartópontja. A szerkesztés menete a következő: a) Megszerkesztjük az A, E pontok közös f egyenesének Nf nyompontját és Q’f iránypontját. b) Az [A,e] sík nyomvonala illeszkedik az Nf pontra, irányvonala pedig a Q’f iránypontra, továbbá az [A,e] sík nyomvonala és irányvonala párhuzamos az adott e egyenes képével, mivel az „e” egyenes (lévén képsíkkal párhuzamos) fővonala az [A,e] síknak. c) Leforgatjuk az [A,e] síkot a képsíkba, forgatottban megoldjuk a feladatot, majd visszaforgatjuk. 4. A feladat megoldásának lépései megegyeznek az előbbi feladatnál közöltekkel.

6.3.7 Metrikus feladatok (Megoldások) 6.3.7.1 A) Térelemek hajlásszögével kapcsolatos feladatok (Megoldások) 1. A feladat megoldása lényegében a 9. alapszerkesztés alkalmazásával megoldható. 2. A feladat megoldása a 9. alapszerkesztésen alapul. 3. Lásd az előbbi két feladat megoldását. 4. Lásd az 1. feladat megoldását. 5. A keresett szög azonos a nyomvonalak által bezárt szöggel. 6. Szerkesztési lépések: a) Felveszünk egy mind a két síkra merőleges V centrális vezérsíkot. b) Meghatározzuk a vezérsíknak az adott síkokkal alkotott metszésvonalait. A vezérsík az A síkból egy a, a B síkból egy b

GEM6-24


Centrális projekció esésvonalat metsz ki. c) A vezérsík képsíkba forgatásával meghatározzuk a két esésvonal által bezárt szöget (C0∠= ), amely azonos a két sík hajlásszögével (lásd a következő ábrát).

28. ábra 1. A feladat megoldása az előbbi szerkesztés (28. ábra) alapján a következő: a) Felveszünk egy olyan V centrális vezérsíkot, amely merőleges az A síkra. b) Meghatározzuk a V síknak az A síkkal alkotott metszésvonalának Q’a iránypontját. c) A V vezérsíkot képsíkba forgatjuk. d) Az előbbi ábrán -val jelölt szög helyébe az adott (60o, 45o, 30o) szöget másoljuk a C0 pontban. e) Az előbbi szög szára a vezérsík irányvonalából kimetszi a Q’b iránypontot. f) A Q’b pontból a q’V irányvonalra merőlegesen felvesszük a keresett B sík irányvonalát. 2. Mielőtt e feladat megoldásába kezdünk, oldjuk meg az előbbi két feladatot. A megoldás lépései az előbbi feladatok illetve ábra alapján a következők: a) Felveszünk egy olyan V centrális vezérsíkot, amely merőleges az A síkra. b) Meghatározzuk a V síknak az A síkkal alkotott metszésvonalának Q’a iránypontját. c) A V vezérsíkot képsíkba forgatjuk. d) Az előbbi ábrán -val jelölt szög helyébe az ezen feladatban megadott szöget másoljuk a C0 pontban. e) Az előbbi szög szára a vezérsík irányvonalából kimetszi a Q’b iránypontot. f) A Q’b pontból a q’V irányvonalra merőlegesen felvesszük a B sík irányvonalát, a q’B egyenest. g) A P pont tartóegyenesét „leváltjuk” egy olyan g egyenessel, amelyiknek az iránypontja az előbb nyert q’B irányvonalon van. h) A g egyenes Na nyompontján át a q’B irányvonallal párhuzamosan felvesszük a keresett B sík nB nyomvonalát.

6.3.7.2 B) Térelemek távolságával kapcsolatos feladatok 1. Először határozzuk meg a két pont közös egyenesét, majd egy ehhez tartozó osztóponttal szerkesszük meg a két pont távolságát. 2. Előbb határozzuk meg a [P,e] sík nyomvonalát és irányvonalát, majd e síkot képsíkba forgatva a forgatottban megkapjuk a távolság valódi nagyságát. 3. Lásd az előző feladat megoldását. 4. a) A nyompontok távolsága megegyezik a két egyenes távolságával. b)-c) Előbb meghatározzuk a párhuzamos egyenesek közös síkját, majd e síkot képsíkba forgatva a forgatottban a távolság valódi nagyságát nyerjük. 5. a) A nyomvonalak távolsága megegyezik a síkok távolságával. b) Meghatározzuk a tartópontok képsíktól való távolságát (a képsíkrendezők második törvényét felhasználva), majd vesszük a rendezők különbségét. c) Lásd a Geometria II. jegyzetet.


GEM6-25


2010

6. Két kitérő egyenes (e és f) távolsága megegyezik azon két párhuzamos sík (E és F) távolságával, amelyek egy-egy adott egyenesre illeszthetők. E síkok közös irányvonala az iránypontok összekötő egyenese lesz, nyomvonalaik pedig az egyenesek megfelelő nyompontjára illeszkednek. A párhuzamos síkok távolságának egyszerű szerkesztése a Geometria II. jegyzetben megtalálható. 7. Előbb az e egyenesre illesszünk egy adott S síkkal párhuzamos R síkot. Ezzel a feladatot visszavezettük párhuzamos síkok távolságára, amely szerkesztés a Geometria II. jegyzetben megtalálható. 8. Előbb a P pontra illesszünk egy adott S síkkal párhuzamos R síkot. E két párhuzamos sík távolsága megegyezik a keresett pont-sík távolsággal. A párhuzamos síkok távolságára vonatkozó szerkesztés megtalálható a Geometria II. jegyzetben. Megjegyzés: A távolság visszavezethető két pont távolságára is, ha előbb az adott P pontból normálist állítunk a síkra, majd megszerkesztjük a normálisnak az S síkkal alkotott D döféspontját. (Ez utóbbi szerkesztés munkaigényesebb.) 9. Szerkesztési lépések: a) Megszerkesztjük a két sík m metszésvonalát. b) A H síkot (és az arra illeszkedő ABC háromszöget és az m metszésvonalat) képsíkba forgatjuk. c) A forgatottban megvizsgáljuk, hogy a háromszögnek melyik csúcsa van a metszésvonalhoz a legközelebb. (Ha a metszésvonal metszi a háromszöget, akkor a távolság 0!) Amelyik csúcs legközelebb van a metszésvonalhoz, az van legközelebb az S síkhoz is. d) Meghatározzuk a metszésvonalhoz legközelebb lévő pontnak az S síktól való távolságát. Ez lesz a háromszögnek az S síktól mért távolsága.

6.3.8 Perspektíva (Megoldások) 1. Ez a feladat a Geometria II. jegyzet 67. ábrája alapján (mivel itt csupán a test méretei változtak) megoldható. 2. Lásd az előbbi feladat megoldását. 3. Lásd az 1. feladat megoldását. 4. Az eredeti alapsíkot 2 cm-rel „megemelve” új alapsíkot állítunk be. Az új a* alapvonal az eredeti „a” alapvonal fölött lesz 2 cm-rel. Ezt felhasználva végezzük el a szerkesztést. 5. A szerkesztés menete: a) Előbb készítsük el a perspektív képét egy alapsíkon álló olyan négyzetes hasábnak, amelyik alapnégyzetének éle 4 cm, magassága 5 cm. b) Ábrázolunk egy olyan alapsíkra illeszkedő, 8 cm-es oldalélű négyzetet, amelyiknek a belsejében helyezkedik el az előbbi négyzetes hasáb alaplapja úgy, hogy a két négyzet minden szimmetriatengelye közös. c) Az előbbi négyzet csúcsait összekötve a négyzetes hasáb fedőlapjával, az adott méretű csonkagúla perspektív képét nyerjük. 6. A megoldás lépései: a) Ábrázolunk egy alapsíkra illeszkedő 4 cm oldalélű négyzetet. b) A négyzet O középpontján át (az O pont képét az átlók képének metszéspontjában nyerjük), az alapvonalra merőlegesen felvesszük a testmagasság egyenesét, amely egy képsíkkal párhuzamos egyenes lesz (nyompont, iránypont a végtelenben, tartópont az O pont). c) Felvesszük egy olyan S sík nyomvonalát, amelyiknek az előbbi egyenes egy fővonala. Ezt a nyomvonalat a képsíkból egy olyan sík metszi ki, amelyik a gúla alapnégyzetét vagy átlósan, vagy középvonalban metszi d) A magasságvonal egyenesére (képsíkkal párhuzamos egyenesre) az O pontból „felrakjuk” a tőle (valóságban) 8 cm-re lévő M pontot. e) Az M pontot az alaplap csúcsival összekötve a gúla perspektív képét kapjuk. 7. A szerkesztés menete: a) Ábrázolunk egy alapsíkra illeszkedő 7 cm oldalélű szabályos háromszöget. b) Az alapháromszög középpontját jelöljük O-val. Ennek a képét is határozzuk meg. c) Ábrázoljuk az O pontra illeszkedő, alapvonalra merőleges m egyenest. Ez lesz a testmagasság egyenese. d) Külön ábrán megszerkesztjük (vagy számolással meghatározzuk) a 7 cm-es oldalélű szabályos tetraéder testmagasságát, majd ezt az m egyenesre „felrakva” nyerjük a tetraéder hiányzó 4. csúcsának perspektív képét. 8. Ez a feladat – szerkesztés szempontjából – megegyezik az előbbivel. Ez annyival egyszerűbb, hogy itt a testmagasság adott. 9. Ez a feladat az 1. és a 6. feladat megoldása alapján egy kis plusz ötlet hozzáadásával megoldható. A szerkesztést az olvasóra bízzuk.

GEM6-26



6.3.9 A képsíkrendezők törvényeinek alkalmazása (Megoldások) 1. A feladat a képsíkrendezők törvényeit felhasználó egyszerű alapszerkesztések ismeretében megoldható. 2. A feladat a képsíkrendezők törvényeit felhasználó egyszerű alapszerkesztések ismeretében megoldható. 3. A képsíkrendezők törvényeinek (alapszerkesztések) egyszerű alkalmazása. 4. A képsíkrendezők törvényeinek (alapszerkesztések) egyszerű alkalmazása. 5. A képsíkrendezők törvényeinek (alapszerkesztések) egyszerű alkalmazása. 6. A képsíkrendezők törvényeinek (alapszerkesztések) egyszerű alkalmazása. 7. Meghatározzuk a két egyenes tartópontjának képsíkrendezőjét, majd vesszük a képsíkrendezők különbségének abszolút értékét. 8. A megoldás lépései: a) Megszerkesztjük az e egyenes képsíktól való távolságát (tartópontjának képsíkrendezőjét). Legyen ez xe. b) Meghatározunk az f egyenes képén egy olyan F pontot (általános helyzetű tartóegyenesével), amelyiknek a képsíkrendezője xe+3 illetve xe-3 cm legyen. Ez az F pont lesz az f egyenes tartópontja. 9. A feladat a képsíkrendezők II. törvényét felhasználó egyszerű alapszerkesztések alkalmazásával megoldható. 10.Lásd az előbbi feladatot. 11.Lásd a 9. feladatot. 12.A képsíkrendezők II. törvényét alkalmazzuk. 13.A képsíkrendezők II. törvényét alkalmazzuk. 14.A képsíkrendezők II. törvényét alkalmazzuk. 15.A képsíkrendezők II. törvényét alkalmazva, a szerkesztési lépések a 29. ábra alapján a következők. a) A C1 főpontból indítva a d (distanc) hosszát felmérjük, így kapjuk az R segédpntot. b) A képsíkra eső D1, E1, F1, G1, (a DEFG alapnégyzet csúcsainak a képsíkra eső merőleges vetületei) pontokból párhuzamosokat húzunk d-vel, és rámérjük a 2 cm távolságot (így kapjuk például D1-ből a DR segédpontot). c) A képpontokat – D csúcsra megmutatva – a következő módon nyerjük. A C1 főpontot D1 ponttal összekötő egyenes kimetszi a D’ képpontot abból az egyenesből, melyet az R és a DR segédpontok határoznak meg. d) Az előbbi szerkesztési lépést alkalmazzuk az összes csúcspontra azzal a megjegyzéssel, hogy az M’ szerkesztésekor M1-ből egy 5 cmes szakaszt mérünk fel a d-vel párhuzamosan, így kapjuk az MR segédpontot.


GEM6-27


2010

29. ábra 1. a) Előbb meghatározzuk az S sík képsíktól való távolságát (ez azonos a tartópontjának xS képsíkrendezőjével), majd megszerkesztjük az e egyenes azon D pontját, amelyiknek a képsíkrendezője megegyezik az xS értékével. Ez a D pont lesz a döféspont. b) A centrális vetítősugár pontban látszó képe egyben a döféspont képe lesz. c) Előbb meghatározzuk az S sík képsíktól való távolságát (ez azonos a tartópontjának xS képsíkrendezőjével), majd megszerkesztjük az e egyenes azon D pontját, amelyiknek a képsíkrendezője megegyezik az xS értékével. Ez a D pont lesz a döféspont. 2. a) Meghatározzuk az S sík képsíktól való távolságát (a tartópontjának xS képsíkrendezőjét), majd az A síknak ábrázoljuk egy olyan m fővonalát, amelyiknek a képsíktól való távolsága xS. Ez az m egyenes lesz a metszésvonal. c) Lásd az a) feladat megoldását. 3. a) Ha a perspektíva síkja a felülnézet síkjával (első képsíkkal) azonos, akkor: C1=C’ (a főpont a C centrum felülnézeti képével azonos) P1=P’ (a pontok ortogonális vetülete szintén a felülnézetükkel egyezik meg.) d= a C második rendezője xP= a P pont második rendezője. (Lásd a Geometria II. jegyzet 73. ábráját.) b) Ha a perspektíva síkja az elölnézet síkjával (második képsíkkal) azonos, akkor: C1=C” (a főpont a C centrum elölnézeti képével azonos) P1=P” (a pontok ortogonális vetülete szintén az elölnézetükkel egyezik meg.) d= a C első rendezője xP= a P pont első rendezője. (Lásd a Geometria II. jegyzet 72. ábráját.) 4. A szerkesztés elve megegyezik az előző feladatban leírtakkal. 5. A szerkesztés elve megegyezik a 18. feladatban leírtakkal.

Irodalomjegyzék Baboss Csaba: Geometria II. Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai kar, Székesfehérvár, 2007. A geometriák alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973. Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966. Kárteszi Ferenc: Bevezetés a véges geometriákba, Akadémia Kiadó, Budapest, 1972. Szász Gábor: Projektív geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 1977.

GEM6-28


Centrális projekció Szőkefalvi Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete, Akadémia Kiadó, Budapest, 1968. Zigány Ferenc: Ábrázoló geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 1962.


GEM6-29

Geometriai példatár 1

Recommend Documents