Geometriai optika
1. Alapfogalmak
A világra vonatkozó tapasztalataink nagy része a látáson alapul. A közvetlen szemlélésen túl optikai segédeszközöket is felhasználunk, mint távcsõ, leolvasó mikroszkóp, stroboszkópos fényképezés stb. Ezért mechanikai tanulmányaink elõtt a látásra, képalkotásra vonatkozó legfontosabb törvényeket tekintjük át, anélkül, hogy a fény természetével, mibenlétével behatóan foglalkoznánk; ezt majd csak a fizika több területére vonatkozó részletesebb ismeretek birtokában tehetjük. A látás legkézenfekvõbb magyarázata az, hogy a tárgyakról, testekrõl kiindul valami és a szemünkbe jut. Ezt a valamit nevezzük fénynek. Természetesen a testek egymásra is bocsátanak fényt, és többségüket csak akkor láthatjuk, ha valamely másik megvilágítja. Eszerint megkülönböztetünk önálló és nem önálló fényforrást. A fényt elgondolhatjuk részecskék záporának vagy valamilyen közegben terjedõ hullámnak – a legszembetûnõbb jelenségek értelmezéséhez a két modell egyaránt alkalmas, köztük majd részletesebb vizsgálat alapján dönthetünk. Akármi is a fény természete, van olyan jellemzõje is, ami megszabja a tárgyak világosabb vagy sötétebb voltát. Addig is, amíg ezt a jellemzõt általánosabban használt, mennyiségileg is leírható fizikai jellemzõvel tudjuk majd összekapcsolni, nevezzük fényintenzitásnak. Minõségi jellemzõje a fénynek a szín is. Ennek a létezését is csak tudomásul vesszük egyelõre, késõbb foglalkozunk fizikai természetével. A köznapi, "emberméretû" jelenségek körében nem vesszük észre, hogy a fény terjedéséhez idõ kell: ha véges sebességgel terjed is, ez a sebesség olyan nagy, hogy az elsõ tapasztalatok összegzésénél és értelmezésénél végtelennek tekinthetjük. A legtöbb test akadályt jelent a fény számára, amelyen nem tud áthatolni: árnyék keletkezik. Kivételesek az átlátszó anyagok, mint levegõ, víz, üveg. A fényt tehát le tudjuk árnyékolni, véges tartományban terjedõ fénynyalábot tudunk kiválasztani. Pontszerû fényforrás árnyékának éles széle van. Egy árnyékoló nyílással (blendével) ki tudunk választani egy fénykúpot; ezt a fényforrásra illeszkedõ egyenesek határolják. Homogén közegben a fény egyenes vonalban terjed, szoktuk mondani. Az egyeneseket, amelyek mentén a fény terjed, fénysugárnak mondjuk. A fénynyalábot, fénykúpot egész vonalában láthatóvá tehetjük, ha olyan közegen engedjük át, amelynek részecskéi másodlagos fényforrásként szórják a fényt, mint a dohányfüst levegõben. Van olyan anyag, amely nem csupán visszaveri a fényt, hanem az elsõdleges fényforrásból kiinduló fény hatására maga is (más színû) fényt bocsát ki, fluoreszkál. A fluoreszcein oldaton átbocsátott fé nynyaláb zöld sávként látszik. Valójában a fénysugár az egyenes "prototípusa", mintája. A köznapi életben a homogén közegben terjedõ fénysugarak és anyagi pontok által megvalósított fizikai geometriát használjuk. Erre a geometriára van értelme annak a kérdésnek, hogy vajon az euklideszi geometria axiómái teljesülnek-e rá. Tapasztalat szerint – legalább is földi méretekig – teljesülnek. Egy keskeny fénynyaláb a fénysugár képzetét kelti, de legyünk óvatosak. A fénykúp az õt kiválasztó rés szûkítésével közeledik ugyan az egyeneshez, de nagyon keskeny résnél különösen kezd viselkedni: ismét szétterül egy kúppá, méghozzá úgy, hogy váltakozva világosabb és sötétebb tartományok jelennek meg az általa megvilágított ernyõn. Ezt a jelenséget akár a két ujjunk közötti rés szûkítésével is megfigyelhetjük. A jelenség arra utal, hogy a fény hullámként viselkedik. Késõbb, hullámtani ismeretek birtokában erre majd visszatérünk. A pontszerû fényforrásból induló fény intenzitása fokozatosan gyengül, a távolabbi tárgyakat kevésbé világítja meg. Ez azt sejteti, hogy a fényben valamilyen maradó mennyiség terjed, ami szétoszlik a nagyobb felületen. Valóban, késõbbi tanulmányaink során látni fogjuk, hogy a fénnyel energia terjed. Ennek határozottabb, mennyiségileg kimunkált megfogalmazására is késõbbi tanulmányaink során kerül sor.
1
A szem és az agy legfigyelemreméltóbb együttes képessége, hogy a pontszerû fényforrás helyét képes bizonyos pontossággal meghatározni. Erre nyilvánvalóan az adhat lehetõséget, hogy a szembe nem csupán egy fénysugár, hanem egy széttartó fénykúp jut be, és a széttartó fénysugarak összessége lehetõvé teszi a csúcspont , mint tárgy- vagy képpont extrapolálását . A fénysugarak útját a szemben késõbb még elemezni fogjuk, az agy feldolgozó munkáját már természetesen nem, az a természettudomány más fejezetének feladata. A tárgyak látással megállapított helyét többnyire megerõsíti a többi érzékszervi tapasztalat (tapintás). Nyilvánvaló azonban, hogy a szemet be is lehet csapni: ha a fénykúpot menet közben eltérítjük az eredeti irányától, vagy megváltoztatjuk a kúpszögét, a fényforrást már irányban vagy más távolságban látjuk. Erre szolgálnak a tükrök és lencsék, amelyek mûködését a késõbbiekben elemezzük. 2. A visszaverõdés és törés törvényei
A legtöbb anyag, pontosabban szólva, a legtöbb felület a ráesõ fénysugarakat minden irányba szórja, azaz a rendezett irányú – kollimált – fénynyalábot szétszórt – diffúz – fényként veri vissza. (Ezért lehet az egy pontból megvilágított tárgyat általában minden oldalról látni.) Finoman csiszolt fémfelület, üveg vagy sima vízfelület azonban a kollimált fénynyalábot kollimált nyalábként veri vissza; ez a tükrös visszaverõdés vagy tükrözés. Tükrözés különbözõ átlátszó közegek határfelületén is bekövetkezik, úgy, hogy a fény egy része ugyanakkor átmegy a másik közegbe irányváltozással, azaz törést szenvedve. (Pl. víz– levegõ- felületen, akár a levegõbõl, akár a vízbõl érkezik a fény. Ezt szépen lehet látni a 2.1. ábra szerinti kísérletben.) A (tükrös) visszaverõdés és 2.1. ábra a törés törvényeit keskeny fénynyaláb viselkedésébõl szûrhetjük le. A méréseket a 2.2. ábrán látható Hartl-koronggal végeztük, amellyel kényelmesen változtathatjuk egy üveg- félkorong sík felületére beesõ keskeny fénynyaláb beesési szögét, és mérhetjük a törési és visszaverõdési szöget. A tapasztalati törvények a 2.3. ábrán látható jelölésekkel: 1. A visszavert fénysugár is, a megtört fénysugár is a α beesõ fénysugár és a beesési merõleges síkjába esik. 2. A visszaverõdési szög egyenlõ a beesési szöggel. β 3. A törési szö g szinusza a beesési szög szinuszával arányos; az arányossági tényezõ a két közegre jellemzõ állandó. Úgy is szokás fogalmazni, hogy a beesési és törési szög szinuszának hányadosa állandó, 2.2. ábra sin α (2.1) = n 21 sin β Ez a Snellius–Descartes- törvény. Az n 21 - gyel jelölt állandó neve: a második (távozási) közegnek az elsõ (érkezési) közegre vonatkozó törésmutatója. Az utóbbi fogalmazást használva azonban külön illik még kimondani, hogy merõlegesen beesõ fénysugár merõlegesen halad tovább. (Ti. a két szinusz hányadosa ekkor nincs értelmezve!)
Fontos tapasztalati megállapítás, hogy a közegek egymásra vonatkoztatott (relatív) törésmutatója tranzitív abban az értelemben, ha ismerem két közeg n AC , n BC törésmutatóját egy közös harmadikra vonatkoztatva, a két közeg egymásra vonatkoztatott törésmutatóját megkaphatom 2
az n B A = nB C n A C hányadosból. Szokás ún. abszolút (egyindexes) törés mutatókat is értelmezni, ebben az esetben a vonatkoztatási közeg a vákuum. Az elõzõekbõl következik, hogy ha A az érkezési, B a távozási közeg, akkor B-nek A- ra vonatkozó relatív törésmutatója az egyes közegek abszolút törésmutatójával az n nB A = B (2.2) nA összefüggésben van. (A levegõ abszolút törésmutatója nagyon közel van 1- hez, a levegõre vonatkozó törésmutató az abszolút törésmutatóhoz. Néha azonban az 1- tõl való kis eltérés nagyon lényeges: például a meleg fûtõtest feletti ablakon kinézve imbolyogni, remegni látszik a kinti táj; ezt bizonyára a gomolygó meleg levegõ sûrûségingadozásaival járó törésmutató- változások okozzák.) A (2.2) összefüggésbõl következik egyebek között, hogy a B közeg A- ra vonatokozó törésmutatója az A B- re vonatkozó törésmutatójának a reciproka, 1 nBA = , (2.3) nAB amit egyébként közvetlenül is ellenõrizhetünk. A (2.3) összefüggésbõl következik a fénysugár megfordíthatóságának elve: Ha megfordítjuk az érkezési és távozási oldalt, a fénysugár ugyanazon a vonalon halad. Optikailag sûrûbbnek mondjuk a nagyobb törésmutatójú közeget, amelybe érkezõ fény tehát a beesési merõlegeshez törik; optikailag ritkább a kisebb törésmutatójú, az ebbe érkezõ fény a beesési merõlegestõl törik. A 2.3 ábra szerinti kísérletnél azt figyelhettük meg, hogy a vízben elhelyezett tükör elfordításával növelve a beesési szöget, a levegõbe kilépõ fénysugár fokozatosan halványabb lett, és a 90 o - os törési szög elérésével elenyészett. Tovább növelve a beesési szöget, csak visszavert fénysugár létezik. A jelenséget teljes visszaverõdésnek nevezzük. A kritikus beesési szög – a teljes visszaverõdés határszöge – a 90 o - os törési szöghöz tartozó szög, amelyre tehát 1 sin α határ = (2.4) n teljesül, ahol most n a távozási oldalnak az érkezési oldalra vonatkozó törésmutatóját jelenti. (Tehát n > 1.) A teljes visszaverõdés kihasználásával a fényt vékony üvegszálakban messzire lehet vezetni intenzitásveszteség nélkül, l. 2.4 ábra. Ezen alapszik a modern hírközlés egyik fontos eszköze, a száloptika. Néhány átlátszó anyag törésmutatóját a 2.1. táblázatban foglaljuk össze. 2.1. táblázat anyag
n (közepes)
levegõ
1,00029
víz
1,34
0,0040
koronaüveg
1,49-1,56
0,008–0,010
flintüveg
1,61–1,75
0,016-0,025
plexiüveg
1,50
3
nkék- nvörös
3. Plánparalel lemez és prizma
Párhuzamos síkokkal határolt átlátszó lemezen (plánparalel lemezen) úgy halad át a fénysugár, hogy iránya nem változik, csak önmagával párhuzamosan eltolódik. Ez a (2.3) egyenletbõl következik. Az eltolódás mértékét a 3.1. ábra alapján bárki könnyen kiszámolhatja: t
d = t ( sin α − cos α ⋅ tan β ) ,
α
vagy a Snellius–Descartas- törvény felhasználásával: d = t sin α 1 −
β
β
d
α−β
α . n 2 − sin 2 α ábra esõ fénysugár Nem párhuzamos sík felületekkel határolt törõközeg a prizma. A 3.1. prizmára megváltozott iránnyal lép ki a másik lapon. Az eltérülés (deviáció) szöge a 3.2. ábra jelöléseivel a 1 1 sin β = sin α ⇒ β = arcsin sin α , (3.1) n n β + β′ = ϕ ⇒ β′ = ϕ − β , (3.2) sinα ′ = n sin β ′ ⇒ α ′ = arcsin(n sin β ′ ) , (3.3)
cosα
δ = α − β + α ′ − β ′ = f (α )
(3.4)
egyenletsorozatból számolható ki, ahol n a prizma anyagának a környezõ közeghez viszonyított törésmutatója. (A (3.2) egyenlet abból adódik, hogy a ϕ törõszögre merõleges szárú szög annak a háromszögnek egy ϕ külso szöge, amelyben β és β ′ belso szög.) Innen szélsoérték' β számítással adódik, hogy a deviációnak minimuma van α ′ = α , α α' β ′ = β - nál, azaz szimmetrikus sugármenet esetén. Ekkor β ϕ β = ϕ 2 , és a szimmetrikus sugármenethez tartozó beesési szög a (3.1) egyenletbõl adódódik, ϕ sin α = n sin ; (3.5) 3.2. ábra 2 a minimális deviáció szöge pedig a (3.4) egyenletbõl ϕ δ = 2α − 2 β = 2α − ϕ = 2 arcsin n sin − ϕ . (3.6) 2 Kis törési szög esetében ϕ ϕ sin ≈ , 2 2 ϕ ϕ ϕ arcsin n sin ≈ n sin ≈ n , 2 2 2 és így
δ ≈ (n − 1)ϕ .
(3.7)
Hogy a fénysugárnak csak szimmetrikus sugármenetnél lehet szélsõértéke, beláthatjuk a fény
( )
megfordíthatósága alapján is, differenciálás nélkül. Ugyanis a (3.4) egyenletben definiált f α
( )
( )
függvényre a
megfordíthatóság miatt teljesül az f α = f α ′ reláció, ha tehát α ′ ≠ α , akkor α két különbözo értékére δ nak ugyanaz az értéke adódik, azaz nem lehet minimum.
4
4. Tükrök képalkotása
Egy optikai eszköz akkor alkot képet, ha hatására a tárgy egy pontjából kiinduló fénysugarak újra egy pontban metszik egymást, vagy ha széttartókká lesznek, a meghosszabbításuk metszi egy pontban egymást. Az elsõ esetben valódi, a másodikban virtuális kép keletkezik.
4.1 Síktükör Pontszerû tárgyról induló fénysugarak úgy verõdnek vissza tükrözo síklapról, azaz síktükörrõl, hogy meghosszabbításaik egy pontban találkoznak. Ezt a 4.1. ábra alapján könnyen beláthatjuk: α beesési szögben érkezo B fénysugár ugyancsak α szögben verodik vissza, így az ábrán feltüntetett AOB és A ′ OB háromszög egybevágó, tehát az AO és A ′ O távolság egyenlo. Ezek szerint bármelyik + + beérkezõ fénysugár úgy verõdik vissza, hogy , O A A meghosszabbítása a beesési merolegessel AO távolságban találkozik, tehát valóban egy pontban találkoznak egymással. 4.1. ábra A észlelõ szemébe ezek szerint úgy érkeznek a fénysugarak, mintha a tárgy az A ′ pontban lenne. Azt mondjuk, hogy a tükör képet alkot – virtuális azaz látszólagos képet. A képtávolság egyenlõ a tárgytávolsággal.
4.2 Gömbtükör A homorú vagy domború tükör különbözõ pontjaira érkezõ fénysugarak beesési merõlegesei nem ε h párhuzamosak egymással. Gömbfelület esetén ezek a ε γ β + α gömb középpontjára illeszkedõ egyenesek. A gömbtükrök képalkotása változatosabb, mint a síktüköré: k elõfordul kicsinyített és nagyított virtuális kép, és a r homorú tükör képes bizonyos tárgytávolságoknál valódi t kép elõállítására is. Valódi képrõl akkor beszélünk, ha az egy pontból induló, visszavert fénysugarak egy pontban 4.2. ábra találkoznak egymással. Egy kiterjedt tárgyról alkotott valódi kép ernyõn felfogható: a különbözõ pontokból induló fénysugarak az ernyõ más- más pontjában találkoznak, és kirajzolják a tárgy képét. Ezeket a tapasztalati tényeket a visszaverõdés törvénye alapján értelmezhetjük. Tekintsünk elõször egy homorú gömbtükröt, azaz egy belül tükrözõ gömbsüveget. A gömbsüveg középpontját nevezzük el optikai középpontnak, a gömb középpontját geometriai középpontnak, a két pontra illeszkedõ egyenest optikai tengelynek. A tárgypont helyezkedjen el az optikai tengelyen. A visszavert fénysugár vagy a meghosszabbítása metszi az optikai tengelyt, esetleg éppen párhuzamos vele. Tekintsük a határozottság kedvéért az elsõ esetet; ez biztosan fennáll, ha a tárgytávolság elég nagy. Ekkor a 4.2. ábrán jelölt szögek között a γ = β + ε, (4.1) β = α+ε (4.2) 5
összefüggés teljesül. (γ egy, az ábrán megtalálható háromszög külso szöge, β és ε ennek két nem mellette fekvo belso szöge; hasonló kapcsolat van egy másik háromszögben β , α és ε között.) A két egyenletbõl a beesési szöget, ε - t kiküszöbölhetjük, α + γ = 2β . (4.3) Az egyenletben szereplõ szögek egyértelmû – bár kissé bonyolult – összefüggésben vannak az ábrán szereplõ távolságokkal (a gömb r sugara, a t tárgytávolság, a visszavert fénysugár optikai tengellyel való metszéspontjának k távolsága az optikai középponttól és a tükörre való beérkezés pontjának h távolsága a tengelytõl), így a (4.3) egyenletbõl az ezek közötti összefüggéshez juthatunk. A továbbiakban azonban olyan esetekre szorítkozunk, amelyekben a szereplõ szögek kicsik, annyira, hogy az ívmértékük, szinuszuk és tangensük közötti különbség elhanyagolhatóan kicsi. (Tengelyközeli, paraxiális fénysugarak.) Ez a feltevés magában foglalja azt is, hogy a gömbhéj kis nyílászögû, és következik belole, hogy az ábrán feltüntetett OB távolság a többi szereplõ távolsághoz képest elhanyagolhatóan kicsi. Ekkor jó közelítéssel h h h α= , β= , γ= , (4.4) t r k ahol k a visszavert fénysugár távolsága az optikai középponttól. A (4.3) egyenletbe helyettesítve h h 2h + = . t k r De h- val lehet egyszerûsíteni, 1 1 2 + = , (4.5) t k r tehát minden visszavert fénysugár azonos helyen metszi az optikai tengelyt, tehát egymást is. Ezzel beláttuk, hogy a tekintett esetben valóban kép keletkezik, mégpedig valódi kép. Ezek után a k távolságot képtávolságnak nevezhetjük. A (4.5) egyenletbõl láthatjuk, hogy létezik egy olyan pont az optikai tengelyen, ahol a tengellyel párhuzamosan beérkezõ fénysugarak találkoznak. Az optikai tengellyel párhuzamosan beérkezõ fénysugarak ugyanis úgy tekinthetok, mintha egy, az optikai tengelyen végtelen távol fekvõ tárgypontból érkeznének, t → ∞, 1 t → 0. Ezt a találkozási pontot gyújtópontnak vagy fókuszpontnak nevezzük, az optikai középponttól mért f távolságát fókusztávolságnak. Ezek szerint 1 2 r 0+ = ⇒ f = . (4.6) f r 2 A (4.5) leképezési törvényt ezért az 1 1 1 + = (4.7) t k f alakba is írhatjuk. A fénysugár útjának megfordíthatóságából következik – de közvetlenül is látható a leképezési törvénybol –, hogy a fókuszpontba helyezett tárgy képe a végtelenben keletkezik, azaz a visszavert sugarak az optikai tengellyel párhuzamosak. Ha a tárgyat a fókuszon belülre visszük, a visszavert fénysugarak nem metszik az optikai tengelyt, metszik viszont a meghosszabbításaik. A 4.3. ábra jelöléseivel leutánozva a (4.5) egyenlethez vezetõ gondolatmenetet (értelemszerû változtatá sokkal), azt kapjuk, hogy a visszavert fénysugarak meghosszabbításai a tükör mögött egy pontban találkoznak, tehát virtuális kép keletkezik. Ennek k távolságát az optikai középponttól a
6
1 1 1 − = t k f egyenlet adja meg. A domború tükörre is hasonló leképezési törvényt kapunk, itt-ott egy elõjelben különbözõt. Könnyebb megjegyezni az összes képletet, ha k -t, f - et, r- et, sot t - t is ezentúl elõjeles mennyiségnek értelmezzük, úgy állapodva meg az elõjelekben, hogy minden esetben a (4.7) alak maradjon érvényben. Ez az elõjelezési szabály a 4.1. táblázatban van
ε γ
ε
α
k
β
+
t r
4.3. ábra
összeállítva. Helyességérõl úgy gyõzõdhetünk meg, hogy minden lehetséges kombinációra végigvisszük a homorú tükör valódi képére fentebb részletezett meggondolást. Virtuális + tárgyról akkor beszélünk, ha a tükörre olyan fénynyaláb esik, amelynek fénysugarai ugyan nem egy pontból indulnak, de a − t k meghosszabbításaik egy pontban r találkoznának. Maga a virtuális tárgy ez a találkozási pont. Ilyen szituáció akkor adódik természetes módon, ha egy gömbtükör vagy 4.4. ábra más optikai eszköz valódi képet alkotna egy tárgypontról, de még mielõtt a fénysugarak találkoznának, újabb tükröt teszünk az útjukba, l. 4.4. ábra. 4.1. táblázat >0 <0 k valódi kép virtuális kép t valódi tárgy virtuális tárgy r,f homorú tükör domború tükör Az optikai tengelyen kívül fekvõ tárgypontról is képet alkot a gömbtükör, hiszen a geometriai középpont és a tárgypont által meghatározott egyenes betölti egy másik , segéd- optikai tengely szerepét, és minden elõzõ meggondolásunk érvényben marad. Az optikai tengelyre merõleges síkban fekvõ kiterjedt tárgy pontjainak képe nem illeszkedik teljes pontossággal egy síkra. (A tárgytávolság valamivel nagyobb, ezért a képtávolság valamivel kisebb, mint a sík optikai tengelyre esõ pontja.) Kis nyílásszögû tükörnél és paraxiális sugaraknál azonban ez a torzulás elhanyagolható, tehát a kép is az optikai tengelyre merõleges síkba esik jó közelítéssel. Az elhanyagolás olyan rendû, mint amit az addigi egyszerûsítésekkel is elkövettünk. Érdemes külön megjegyezni egy speciális esetet: végtelen távoli, de nem az optikai tengely irányába esõ tárgypont képe (jó közelítéssel) a fókuszsíkba esik. (Vagyis a fókuszponton át az optikai tengelyre merõlegesen állított síkba.) Az ilyen tárgyról érkezõ fénysugarak egymással párhuzamosak, de az optikai tengellyel nem! A tárgy képét – miután meggyõzõdtük arról, hogy a gömbtükör tényleg képet alkot róla – bármely két fénysugár metszéspontjaként megkaphatjuk. Az optikai tengelyen kívül esõ tárgynál választhatjuk például a 4.5.- 7. ábrán látható ún. nevezetes fénysugarakat. Az elsõ a fókuszon halad át, a második az optikai tengellyel párhuzamosan érkezik. A visszavert fénysugár az elsõnél az optikai tengellyel párhuzamos lesz, a másodiknál a fókuszon megy át. Azt a fénysugarat is könnyen követhetjük, amelyik az optikai 7
középpontba érkezik, ezt ti. egyszerûen tükrözni kell az optikai tengelyre. Van egy negyedik nevezetes sugár is (ez nincs berajzolva); a görbületi középponton átmenõ fénysugár önmagába verodik vissza. Ezeket a
+
+ f
f
k t
-k
t
4.6. ábra nevezetes fénysugarakat akkor is felhasználhatjuk a kép megkeresésére, ha a tárgyról induló sugarak között ilyen nincsen (mert pl. egy akadály kitakarta, vagy mert a tükör csorba vagy kicsi), + hiszen a kép helye nem függhet attól, hogy a tükörnek mekkora felülete vesz részt a képalkotásban. -f -k Egy végtelen távoli, de nem az optikai tengely irányában levõ tárgy képét a fókuszsíkban megtalálhatjuk annak a fénysugárnak a 4.7. ábra segítségével, amely a fókuszponton halad át: ez az optikai tengellyel párhuzamosan verõdik vissza, és a fókuszsíkból kimetszi a keresett pontot – vagy annak a másiknak a követésével, amely az optikai középpontba érkezik. 4.5. ábra t
A 4.5.-7. ábrák rajzai olyan értelemben irreálisak, hogy a fénysugarak nem paraxiálisak, a könnyebb láthatóság kedvéért rajzoltunk ilyen méreteket. Ugyancsak bizonytalanságot okoz a szerkesztésben, hogy a tükör görbületét túlhangsúlyoztuk. A kis nyílásszög éppen azt jelenti, hogy a gömbtükör síktól való eltérése alig látszik, szerkesztésnél elhanyagolható.
5. Leképezés görbült törofelületen
Domború vagy homo rú n óraüveggel lezárt, vízzel telt ε 1 1 csõre a tengelyével párhuzamos fénynyalábot bocsátva α tapasztalhatjuk, hogy az elsõ fókuszálja a nyalábot, a másik γ széttartóvá teszi. A jelenség t értelmezésében kis nyílásszögû gömbfelületre és paraxiális sugarakra szorít kozunk. Az 5.1. ábrán olyan esetet ábrázoltunk, amelyben a tárgypontból induló fénysugár a domború felület túloldalán tengelyt. 8
n2
εε 2
β
++
γ
r k
5.1. ábra levõ közegben ismét metszi az optikai
