Ustav matematiky a deskriptivnı́ geometrie
Operace s maticemi Studijnı́ materiá ly
Pro listová nı́ dokumentem NEpouž ıv́ ejte koleč ko myš i nebo zvolte mož nost Full Screen. Brno 2014
RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Operace s ma cemi Podobně jako s č ı́sly zavá dı́me i s maticemi poč etnı́ operace s př ı́sluš ný mi pravidly.
Rovnost ma c: A = B
Dvě matice A = (𝑎 , ) , B = (𝑏 , ) té hož typu (𝑚, 𝑛) jsou si rovny (pı́šeme A = B), prá vě když platı́: 𝑎 , = 𝑏 , , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 ; 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 , nebo-li 𝑎 , = 𝑏 , ; ∀ 𝑖, 𝑗. Symbol
∀𝑖, 𝑗
č teme pro každé i, j.
Z té to de inice a ze zná mý ch vlastnostı́ reá lný ch č ı́sel vyplý vajı́ tyto vlastnosti ¹ rovnosti matic: 1. 2. 3.
A=A A=B⇒B=A A=B∧B=C⇒A=C
re lexivnost symetrie tranzitivnost
Poznámka: Kaž dá rovnost mezi maticemi je struč ný m zá pisem prá vě jedné soustavy rovnostı́ mezi př ı́sluš ný mi prvky (č ı́sly). Např ı́klad: 𝑥 𝑥 𝑥
=
1+𝑡 𝑡 3 − 4𝑡
𝑥 = 1+𝑡 ⟺ 𝑥 = 𝑡 𝑥 = 3 − 4𝑡
¹ Relace, která je re lexivnı́, symetrická a tranzitivnı́, se nazý vá ekvivalence.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Součin ma ce s číslem: k . A je matice stejné ho typu jako ná sobená matice, jejı́ž vš echny prvky jsou tı́mto č ı́slem ná sobeny. Např ı́klad (−2) ⋅
1 −3 2 1
6 0
=
(−2) ⋅ 1 (−2) ⋅ (−3) (−2) ⋅ 6 (−2) ⋅ 2 (−2) ⋅ 1 (−2) ⋅ 0
Součet a rozdíl ma c: A + B , A − B . Součtem matic typu (𝑚, 𝑛) rozumı́me matici 𝑐 , = 𝑎 , + 𝑏 , , ∀𝑖, 𝑗 (pı́šeme:
C = (𝑐 , ) C = A + B ).
=
−2 6 −12 −4 −2 0
A = (𝑎 , ) , B = (𝑏 , ) stejné ho typu, jejı́ž prvky jsou:
té hož
Analogicky rozdílem matic A a B té hož typu rozumı́me matici C = A − B , pro kterou platı́: 𝑐 , = 𝑎 , −𝑏 , , ∀𝑖, 𝑗 . Jinak ř eč eno: rozdı́l dvou matic urč ı́me jako souč et tě chto matic, z nichž druhá je vyná sobena č ı́slem –1. Např ı́klad 1 2 3 −1 −2 3 0 0 6 + = 3 1 −5 2 5 −3 5 6 −8
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Poznámka: Z uvedený ch de inic a ze zná mý ch vlastnostı́ reá lný ch č ı́sel vyplý vajı́ ná sledujı́cı́ vlastnosti ² pro libovolné matice A, B, C té hož typu a libovolná č ı́sla 𝑘, 𝑘 , 𝑘 : • pro sč ı́tá nı́ matic (kde
0
je nulová matice stejné ho typu jako matice
1.
A+B=B+A
2.
A + (B + C) = (A + B) + C
3.
A+0=0+A=A
4.
∀A ∃(–A) ∶ A + (–A) = (–A) + A = 0
A)
komutativnı́ zá kon asociativnı́ zá kon pro souč et matic
Vztah č .4 č teme: Ke kaž dé (∀) matici A existuje (∃) matice, kterou nazý vá me maticı́ opač nou k matici A a označ ujeme –A, pro kterou platı́ (:), ž e jejich souč et je nulová matice (0). • pro ná sobenı́ matic č ı́slem: 5.
1⋅A=A
6.
𝑘 ⋅ (𝑘 ⋅ A) = (𝑘 𝑘 ) ⋅ A
7. 8.
(𝑘 + 𝑘 ) ⋅ A = 𝑘 ⋅ A + 𝑘 ⋅ A 𝑘(A + B) = 𝑘 ⋅ A + 𝑘 ⋅ B
asociativnı́ zá kon pro ná sobenı́ matice č ı́slem distributivnı́ zá kony pro ná sobenı́ matice č ı́slem
² Struktura vyhovujı́cı́ pož adavků m 1.– 4. se nazý vá komutativní grupa vzhledem ke sčítání. Struktura vyhovujı́cı́ vš em pož adavků m 1.– 8. se nazý vá vektorový prostor.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reš me soustavu dvou lineá rnı́ch rovnic o dvou nezná mý ch, kterou pož adujeme zapsat symbolicky, kde A je matice koe icientů , X je (sloupcová ) matice nezná mý ch a B matice pravý ch stran. A•X =B
⟹
𝑎 𝑎
𝑎 𝑎
•
𝑥 𝑦
=
𝑏 𝑏
𝑎 𝑥+𝑎 𝑦=𝑏 𝑎 𝑥+𝑎 𝑦=𝑏
Nynı́ de inujme ná sobenı́ matic (matice koe icientů krát matice nezná mý ch) tak, abychom obdrž eli levé strany rovnic zadané ho systé mu.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reš me soustavu dvou lineá rnı́ch rovnic o dvou nezná mý ch, kterou pož adujeme zapsat symbolicky, kde A je matice koe icientů , X je (sloupcová ) matice nezná mý ch a B matice pravý ch stran. A•X =B
⟹
𝑎 𝑎
𝑎 𝑎
•
𝑥 𝑦
=
𝑏 𝑏
𝑎 𝑥+𝑎 𝑦=𝑏 𝑎 𝑥+𝑎 𝑦=𝑏
Nynı́ de inujme ná sobenı́ matic (matice koe icientů krát matice nezná mý ch) tak, abychom obdrž eli levé strany rovnic zadané ho systé mu.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reš me soustavu dvou lineá rnı́ch rovnic o dvou nezná mý ch, kterou pož adujeme zapsat symbolicky, kde A je matice koe icientů , X je (sloupcová ) matice nezná mý ch a B matice pravý ch stran. A•X =B
⟹
𝑎 𝑎
𝑎 𝑎
•
𝑥 𝑦
=
𝑏 𝑏
𝑎 𝑥+𝑎 𝑦=𝑏 𝑎 𝑥+𝑎 𝑦=𝑏
Nynı́ de inujme ná sobenı́ matic (matice koe icientů krát matice nezná mý ch) tak, abychom obdrž eli levé strany rovnic zadané ho systé mu.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reš me soustavu dvou lineá rnı́ch rovnic o dvou nezná mý ch, kterou pož adujeme zapsat symbolicky, kde A je matice koe icientů , X je (sloupcová ) matice nezná mý ch a B matice pravý ch stran. 𝑎 𝑥+𝑎 𝑦=𝑏 𝑎 𝑎 𝑥 𝑏 A•X =B ⟹ • = 𝑎 𝑥+𝑎 𝑦=𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑦 Nynı́ de inujme ná sobenı́ matic (matice koe icientů krát matice nezná mý ch) tak, abychom obdrž eli levé strany rovnic zadané ho systé mu.
Násobení ma c: A • B . Souč inem matice ném pořadí je matice 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 ,
C = (𝑐 , ) ,
A = (𝑎 , )
pro jejı́ž prvky platı́:
a matice 𝑐
B = (𝑏 , )
= ∑ 𝑎, ⋅𝑏
,
v da-
pro kaž dé
𝑗 = 1, 2, … , 𝑝 .
De inice ř ı́ká , ž e chceme-li urč it prvek souč inu dvou matic c , , musı́me každý č len i. řádku první matice (vlevo – levý index) vynásobit č lenem j. sloupce druhé matice (vpravo – pravý index) se stejným pořadím ( prvnı́×prvnı́ + druhý ×druhý + …+ poslednı́×poslednı́ ) a tyto součiny sečíst. Př ı́klad ná sobenı́ dvou matic:
1 2 4 5
•
𝑥 𝑦
=
𝑥 + 2𝑦 4𝑥 + 5𝑦
Pomů ž eme si např ı́klad takto zapsaný m postupem: 𝑥 1 2 4 5
𝑦
𝑥 + 2𝑦 4𝑥 + 5𝑦
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Příklad: Jsou dá ny matice Urč ete
A•B
a
A=
3 2
1 −2 4 1 0 −1
a
1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ ⎢ B= . ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦
B•A.
Řešení: A•B =
3 2
1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ = •⎢ ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦
1 −2 4 1 0 −1
( )⋅( ) ( )⋅(
) (
( )⋅( ) ( )⋅(
) ( )⋅( ) (
)⋅( ) ( )⋅( )⋅(
−10 5 3 10
)
( )⋅( ) ( )⋅( ) (
)
( )⋅( ) ( )⋅( ) ( )⋅(
)⋅(
) ( )⋅( ) (
)⋅(
) )
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Příklad: Jsou dá ny matice Urč ete
A•B
a
A=
3 2
1 −2 4 1 0 −1
a
1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ ⎢ B= . ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦
B•A.
Řešení: A•B =
3 2
1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ = •⎢ ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦
1 −2 4 1 0 −1
( )⋅( ) ( )⋅(
) (
( )⋅( ) ( )⋅(
) ( )⋅( ) (
)⋅( ) ( )⋅( )⋅(
−10 5 3 10
)
( )⋅( ) ( )⋅( ) (
)
( )⋅( ) ( )⋅( ) ( )⋅(
)⋅(
) ( )⋅( ) (
)⋅(
) )
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Příklad: Jsou dá ny matice Urč ete
A•B
a
A=
3 2
1 −2 4 1 0 −1
a
1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ ⎢ B= . ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦
B•A.
Řešení: A•B =
3 2
1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ = •⎢ ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦
1 −2 4 1 0 −1
( )⋅( ) ( )⋅(
) (
( )⋅( ) ( )⋅(
) ( )⋅( ) (
)⋅( ) ( )⋅( )⋅(
−10 5 3 10
)
( )⋅( ) ( )⋅( ) (
)
( )⋅( ) ( )⋅( ) ( )⋅(
)⋅(
) ( )⋅( ) (
)⋅(
) )
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Příklad: Jsou dá ny matice Urč ete
A•B
a
A=
3 2
1 −2 4 1 0 −1
a
1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ ⎢ B= . ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦
B•A.
Řešení: A•B =
3 2
1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ = •⎢ ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦
1 −2 4 1 0 −1
( )⋅( ) ( )⋅(
) (
( )⋅( ) ( )⋅(
) ( )⋅( ) (
)⋅( ) ( )⋅( )⋅(
−10 5 3 10
)
( )⋅( ) ( )⋅( ) (
)
( )⋅( ) ( )⋅( ) ( )⋅(
)⋅(
) ( )⋅( ) (
)⋅(
) )
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Příklad: Jsou dá ny matice Urč ete
A•B
a
A=
3 2
1 −2 4 1 0 −1
a
1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ ⎢ B= . ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦
B•A.
Řešení: A•B =
3 2
1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ = •⎢ ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦
1 −2 4 1 0 −1
( )⋅( ) ( )⋅(
) (
( )⋅( ) ( )⋅(
) ( )⋅( ) (
)⋅( ) ( )⋅( )⋅(
−10 5 3 10
)
( )⋅( ) ( )⋅( ) (
)
( )⋅( ) ( )⋅( ) ( )⋅(
)⋅(
) ( )⋅( ) (
)⋅(
) )
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Příklad: Jsou dá ny matice Urč ete
A•B
a
A=
3 2
1 −2 4 1 0 −1
a
1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ ⎢ B= . ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦
B•A.
Řešení: A•B =
3 2
1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ = •⎢ ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦
1 −2 4 1 0 −1
( )⋅( ) ( )⋅(
) (
( )⋅( ) ( )⋅(
) ( )⋅( ) (
)⋅( ) ( )⋅( )⋅(
−10 5 3 10
)
( )⋅( ) ( )⋅( ) (
)
( )⋅( ) ( )⋅( ) ( )⋅(
)⋅(
) ( )⋅( ) (
)⋅(
) )
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Příklad: Jsou dá ny matice Urč ete
A•B
a
A=
3 2
1 −2 4 1 0 −1
a
1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ ⎢ B= . ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦
B•A.
Řešení: A•B =
3 2
1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ = •⎢ ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦
1 −2 4 1 0 −1
( )⋅( ) ( )⋅(
) (
( )⋅( ) ( )⋅(
) ( )⋅( ) (
)⋅( ) ( )⋅( )⋅(
−10 5 3 10
)
( )⋅( ) ( )⋅( ) (
)
( )⋅( ) ( )⋅( ) ( )⋅(
)⋅(
) ( )⋅( ) (
)⋅(
) )
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Příklad: Jsou dá ny matice Urč ete
A•B
a
3 2
A=
1 −2 4 1 0 −1
a
B•A.
Řešení: A•B =
3 2
( )⋅( ) ( )⋅(
) (
( )⋅( ) ( )⋅(
) ( )⋅( ) (
( )⋅( ) ( )⋅( ) (
)⋅( ) ( )⋅( )
( )⋅( ) ( (
)⋅( ) (
)⋅( ) )⋅( )
1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ = •⎢ ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦
1 −2 4 1 0 −1 )⋅( ) ( )⋅(
1 3 ⎤ ⎡ −1 2 ⎥ B•A=⎢ • ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣
1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ ⎢ B= . ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦
3 2
)⋅(
)
( )⋅( ) ( )⋅( ) (
)
( )⋅( ) ( )⋅( ) ( )⋅(
1 −2 4 1 0 −1
( )⋅( ) ( )⋅( ) (
)⋅( ) ( )⋅( )
( )⋅( ) ( (
)⋅( ) (
)⋅( ) )⋅( )
−10 5 3 10
( )⋅( (
)⋅(
( )⋅( (
)⋅(
)⋅(
) ( )⋅( ) (
)⋅(
) )
9 4 −2 1 ⎡ ⎤ 1 1 2 −6 ⎥ =⎢ 4 1 −4 9 ⎥ ⎢ 4 −6 ⎦ ⎣ −10 −4 ) ( )⋅( ) ) ( )⋅( ) ) ( ) (
)⋅( ) )⋅( )
( )⋅( ) ( )⋅( (
)⋅( ) ( )⋅(
( )⋅( ) ( (
)⋅( ) (
)⋅( )⋅(
) ) ) )
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Poznámky k násobení ma c: 1. Již z uvedené ho př ı́kladu vidı́me, ž e pro ná sobenı́ matic obecně neplatı́ komutativnı́ zá kon (o zá mě ně č initelů ). Matice
A
je typu
(2, 4) ,
• prvnı́ vypoč ı́taný souč in
matice A•B
• kdež to druhý vypoč ı́taný souč in
B
je typu
je typu B•A
(4, 2) . Proto:
(2, 4)(4, 2) = (2, 2) , je typu
(4, 2)(2, 4) = (4, 4) .
2. Je-li např ı́klad A typu (2, 4) a matice B je typu (4, 5) , pak souč in A • B existuje a je to matice typu (2, 4)(4, 5) = (2, 5) , kdež to souč in B • A vů bec nenı́ de inová n (neexistuje). 3. Násobení matic tedy nemá naprosto stejné vlastnosti, jako násobení čísel. Dalš ı́ odliš nosti si uká ž eme ve cvič enı́ k té to kapitole.
4. Jsou-li matice
A,
0 (nulová )
a
E (jednotková )
čtvercové matice stejného řádu,
platı́: A•0=0•A=0
a
A•E =E•A=A,
jak snadno zjistı́me vyná sobenı́m.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Vlastnos násobení ma c Ná sobenı́ matic dá vá poně kud odliš né vý sledky, než které dostá vá me př i ná sobenı́ č ı́sel, jak bylo naznač eno v př edchozı́ pozná mce. Nechť A , B a C jsou matice a k č ı́slo. Potom: 1. Obecně nepla komuta vní zákon o zá mě ně č initelů . Tedy nelze předpokládat (viz prvnı́ a druhý bod př edchozı́ pozná mky), ž e vž dy platı́ A • B = B • A . Toto funguje pouze u č tvercový ch matic. A navı́c pouze u ně který ch. Tyto pak nazveme zaměnitelné. Spı́še platı́:
A•B ≠B•A
2. Z rovnos A • B = 0 nemů ž eme usuzovat, ž e A = 0 nebo B = 0 . Pokud souč in dvou matic je roven nulové matici, nutně z toho neplyne, ž e alespoň jedna z nich je také nulová , jak je uká zá no v př ı́kladech 2. a) a 6. 3. Z rovnos A = A nemů ž eme usuzovat, ž e A = E nebo A = 0 , jak je uká zá no v př ı́kladu 2. b) i když ř eš enı́m kvadratické rovnice 𝑥 = 𝑥 je prá vě jednička a nula. 4. Při násobení ma c nelze krá t, jak je uká zá no v př ı́kladu 3. 5.
(A • B) • C = A • (B • C)
asociativnı́ zá kon (o sdruž ová nı́ č initelů ).
6.
𝑘 ⋅ (A • B) = (𝑘 ⋅ A) • B = A • (𝑘 ⋅ B)
asociativnı́ zá kon pro ná sobenı́ souč inu matic č ı́slem.
7.
(A + B) • C = A • C + B • C
distributivnı́ zá kon, kdy zá vorka je vlevo.
8.
A • (B + C) = A • B + A • C
distributivnı́ zá kon, kdy zá vorka je vpravo.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Cvičení
1. Jsou dá ny matice
A=
1 2 3 1
,
B=
7 4 6 7
Urč ete
A•B
a
B•A .
Řešení:
A•B =B•A
⟹
A•B =
1 2 3 1
•
7 4 6 7
=
19 18 27 19
B•A=
7 4 6 7
•
1 2 3 1
=
19 18 27 19
Matice
A
a
B
jsou zamě nitelné .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
2. Jsou dá ny matice
A=
1 0 0 0
,
B=
0 0 1 2
.
Vypoč tě te:
a) b)
A•B A
Řešení a) A•B =
1 0 0 0
•
0 0 1 2
=
0 0 0 0
=0
Z rovnosti A • B = 0 nevyplý vá , ž e by alespoň jedna z matic A nebo B bý t nulová . Nebo jinak: souč inem dvou nenulový ch matic mů ž e bý t nulová matice.
musela
Řešení b) A =A•A=
Z rovnosti A • A = A nebo nulová .
(A =A)
1 0 0 0
•
1 0 0 0
=
1 0 0 0
nevyplý vá , ž e by matice
=A
A
musela bý t jednotková
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3. Jsou dá ny matice
A=
0 1 0 2
, B=
5 1 3 1
, C=
2 2 3 1
A•B =
0 1 0 2
•
5 1 3 1
=
3 1 6 2
A•C =
0 1 0 2
•
2 2 3 1
=
3 1 6 2
. Vypoč tě te
A•B
a
A•C.
Řešení:
Z rovnosti A • B = A • C nemůžeme krátit.
nelze č init zá vě r, ž e
B = C.
Při násobení matic proto
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
4. Jsou dá ny matice
Vypoč tě te
A=
2⋅A−B
a
2 1 4 −2 0 6
,
2⋅A−B =2⋅ 4 −4
2 8 0 12
+
1 1 − ⋅A+3⋅B =− ⋅ 2 2
=
−4 2 6 0 3 6
.
− ⋅ A + 3 ⋅ B.
Řešení:
=
B=
−1 − 2 −2 1 0 −3
+
2 1 4 −2 0 6
−
−4 2 6 0 3 6
4 −2 −6 0 −3 −6
=
2 1 4 −2 0 6
+3⋅
−12 6 18 0 9 18
=
=
8 0 −4 −3
−4 2 6 0 3 6
−13 1
2
9
2 6
=
16 15
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5. Jsou dá ny matice
Řešení:
A•B =
6. Jsou dá ny matice
Řešení:
C•D=
A=
2 1 1 3 0 1
2 1 1 3 0 1
C=
•
1 2 3 2 4 6 3 6 9
1 2 3 2 4 6 3 6 9
•
,
3 1 2 1 1 0
B=
=
,
3 1 2 1 1 0
Vypoč tě te
A•B.
2.3 + 1.2 + 1.1 2.1 + 1.1 + 1.0 3.3 + 0.2 + 1.1 3.1 + 0.1 + 1.0
D=
−1 −2 −4 −1 −2 −4 1 2 4
−1 −2 −4 −1 −2 −4 1 2 4
=
Vypoč tě te
=
9 3 10 3
C•D.
0 0 0 0 0 0 0 0 0
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
7. Je dá na matice
Řešení:
3 2 −4 −2
=
1 2 −4 −4
8. Jsou dá ny matice
=
Vypoč tě te
A .
A = A • A • A • A • A = (A • A) • {(A • A) • A} =
=
Řešení:
3 2 −4 −2
A=
3 2 −4 −2
• •
B=
B•C−C•B = −3 7 2 6 8 4 −1 11 4
−
−5 −2 4 0
1 2 1 2 1 2 1 2 3 9 0 8
•
3 2 −4 −2
=
3 −2 4 8
=
1 2 1 2 1 2 1 2 3
7 11 0 −6 6 6
1 2 −4 −4
•
4 1 1 −4 2 0 1 2 1
,
C=
•
4 1 1 −4 2 0 1 2 1 =
−
Vypoč tě te
4 1 1 −4 2 0 1 2 1
•
B•C−C•B.
1 2 1 2 1 2 1 2 3
=
−10 −4 −7 6 14 4 −7 5 −4
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
