Matematika 1
Lagrangeů v tvar interpolač nı́ho mnohoč lenu Newtonů v tvar interpolač nı́ho mnohoč lenu Studijnı́ materiá ly
Pro listová nı́ dokumentem NEpouž ıv́ ejte koleč ko myš i nebo zvolte mož nost Full Screen. Brno 2016
RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Obsah 1. Langrangeův interpolační mnohočlen (polynom) 3 Př ı́klad 1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Př ı́klad 1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2. Newtonův interpolační mnohočlen (polynom) Př ı́klad 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Př ı́klad 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Př ı́klad 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . — jiné poř adı́ uzlový ch bodů v tabulce — př idá nı́ dalš ı́ho uzlové ho bodu . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
32 33 42 51 56 59
3. Závěrečná poznámka
60
Použitá literatura
62
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
1. Langrangeův interpolační mnohočlen (polynom) je jednı́m ze zná mě jš ı́ch a také „snadný ch“ způ sobů interpolace funkce zadané pouze v (nemnoha) diskré tnı́ch bodech. Nazý vá me je uzlové body a pož adujeme po nich, aby mě ly rů zné hodnoty x . Typický m př ı́kladem je funkce 𝑓 zadaná tabulkou, ať již tato tabulka vznikla jako vý sledek ně jaké ho mě řenı́, č i zda jde o tabulku hodnot ně které standardnı́ funkce zı́skanou matematický mi vý poč ty. Lagrangeů v L(𝑥) mnohoč len má tvar: 𝐿(𝑥) =
𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥)
(1)
kde ( )
𝐿 =
(𝑥 − 𝑥 ) ⋅ (𝑥 − 𝑥 ) ⋅ … ⋅ (𝑥 − 𝑥 (𝑥 − 𝑥 ) ⋅ (𝑥 − 𝑥 ) ⋅ … ⋅ (𝑥 − 𝑥
) ⋅ (𝑥 − 𝑥 ) ⋅ … ⋅ (𝑥 − 𝑥 ) ⋅ (𝑥 − 𝑥 ) ) ⋅ (𝑥 − 𝑥 ) ⋅ … ⋅ (𝑥 − 𝑥 ) ⋅ (𝑥 − 𝑥 ) ( )
Vš imně te si, ž e jak v č itateli, tak ve jmenovateli je pro i vynechá na zá vorka, ve které bychom mě li odeč ı́tat č len x . Použ itı́ zdá nlivě „nezapamatovatelné ho“ vzorce si uká ž eme na konkré tnı́m př ı́kladu 2.1.
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
Příklad 1.1. Má me dá ny č tyř i body
L 2.1.
𝑥 𝑦
L 3.1.
−9 5
−4 2
Newtonů v IP
−1 −2
7 9
Řešení: 𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥)
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
, tedy 𝑛 = 4. Zbý vá urč it jednotlivé zlomky 𝐿 (𝑥).
Obrá zek 1: Konstrukce Lagrangeova interpolač nı́ho polynomu (č erná kř ivka) 𝑥 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥)
−9 5
( )⋅
−4 0
( )⋅
−1 0
0
𝑥 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥)
𝐿 (−9) = 1; 𝐿 (−4) = 0; 𝐿 (−1) = 0; 𝐿 (7) = 0 podmı́nky 𝐿 (−9) = 1 𝐿 (−9) = 1 𝐿 (−4) = 0 𝐿 (−9) = 1 𝐿 (−4) = 0 𝐿 (−1) = 0 𝐿 (−9) = 1 𝐿 (−4) = 0 𝐿 (−1) = 0 𝐿 ( 7) = 0
( )⋅
𝑥 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥)
7 ( )⋅
-9 0
-4 0
-1 -2
7 0
−9 0
−4 2
𝑥 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥)
−1 0 −9 0
7 0 −4 0
−1 0
7 9
vý sledná funkce 𝐿 (𝑥) = 1 𝑥 − (−4) 𝐿 =1⋅ (−9) − (−4)
𝑥 𝑦
𝐿 =
𝑥 − (−4) 𝑥 − (−1) ⋅ (−9) − (−4) (−9) − (−1)
𝐿 =
𝑥 − (−1) 𝑥 − (7) 𝑥 − (−4) ⋅ ⋅ (−9) − (−4) (−9) − (−1) (−9) − (7)
−9 5
−4 2
−1 −2
7 9
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥)
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
𝑥 𝑦
L–odvozenı́
−9 −4 −1 5
2
−2
7 9
L 1.1.
Pro pro …
L 2.1.
𝑖=1 𝑖=2
L 3.1.
je je
𝑥 = −9 , 𝑥 = −4 ,
𝐿 =
[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]
Vý sledný
Newtonů v IP
(
)⋅(
( )⋅(
( (
)⋅(
) )
N 3.1.
)⋅( )
)⋅( )⋅( )
)
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28) 640
=
)⋅( ) )⋅( )
=
)
=
1 ⋅ (𝑥 + 3 𝑥 − 61 𝑥 − 63) 165
=
−1 ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252) 192
1 ⋅ (𝑥 + 14 𝑥 + 49 𝑥 + 36) 1408
interpolač nı́ mnohoč len v Lagrangeově tvaru je potom
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = 5 ⋅ +2⋅
N 2.1.
𝑦 =5; 𝑦 =2;
)⋅( )⋅(
( )⋅( )⋅(
N 1.1.
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28)+ 640
1 −1 1 ⋅(𝑥 +3 𝑥 −61 𝑥−63)+(−2)⋅ ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252)+9⋅ ⋅(𝑥 +14 𝑥 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 5⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408
≐ 0,021 𝑥 3 + 0,204 𝑥 2 − 0,757 𝑥 − 2,94 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
𝑥 𝑦
L–odvozenı́
−9 −4 −1 5
2
−2
7 9
L 1.1.
Pro pro …
L 2.1.
𝑖=1 𝑖=2
L 3.1.
je je
𝑥 = −9 , 𝑥 = −4 ,
𝐿 =
[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]
Vý sledný
Newtonů v IP
(
)⋅(
( )⋅(
( (
)⋅(
) )
N 3.1.
)⋅( )
)⋅( )⋅( )
)
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28) 640
=
)⋅( ) )⋅( )
=
)
=
1 ⋅ (𝑥 + 3 𝑥 − 61 𝑥 − 63) 165
=
−1 ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252) 192
1 ⋅ (𝑥 + 14 𝑥 + 49 𝑥 + 36) 1408
interpolač nı́ mnohoč len v Lagrangeově tvaru je potom
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = 5 ⋅ +2⋅
N 2.1.
𝑦 =5; 𝑦 =2;
)⋅( )⋅(
( )⋅( )⋅(
N 1.1.
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28)+ 640
1 −1 1 ⋅(𝑥 +3 𝑥 −61 𝑥−63)+(−2)⋅ ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252)+9⋅ ⋅(𝑥 +14 𝑥 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 5⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408
≐ 0,021 𝑥 3 + 0,204 𝑥 2 − 0,757 𝑥 − 2,94 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
𝑥 𝑦
L–odvozenı́
−9 −4 −1 5
2
−2
7 9
L 1.1.
Pro pro …
L 2.1.
𝑖=1 𝑖=2
L 3.1.
je je
𝑥 = −9 , 𝑥 = −4 ,
𝐿 =
[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]
Vý sledný
Newtonů v IP
(
)⋅(
( )⋅(
( (
)⋅(
) )
N 3.1.
)⋅( )
)⋅( )⋅( )
)
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28) 640
=
)⋅( ) )⋅( )
=
)
=
1 ⋅ (𝑥 + 3 𝑥 − 61 𝑥 − 63) 165
=
−1 ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252) 192
1 ⋅ (𝑥 + 14 𝑥 + 49 𝑥 + 36) 1408
interpolač nı́ mnohoč len v Lagrangeově tvaru je potom
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = 5 ⋅ +2⋅
N 2.1.
𝑦 =5; 𝑦 =2;
)⋅( )⋅(
( )⋅( )⋅(
N 1.1.
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28)+ 640
1 −1 1 ⋅(𝑥 +3 𝑥 −61 𝑥−63)+(−2)⋅ ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252)+9⋅ ⋅(𝑥 +14 𝑥 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 5⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408
≐ 0,021 𝑥 3 + 0,204 𝑥 2 − 0,757 𝑥 − 2,94 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
𝑥 𝑦
L–odvozenı́
−9 −4 −1 5
2
−2
7 9
L 1.1.
Pro pro …
L 2.1.
𝑖=1 𝑖=2
L 3.1.
je je
𝑥 = −9 , 𝑥 = −4 ,
𝐿 =
[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]
Vý sledný
Newtonů v IP
(
)⋅(
( )⋅(
( (
)⋅(
) )
N 3.1.
)⋅( )
)⋅( )⋅( )
)
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28) 640
=
)⋅( ) )⋅( )
=
)
=
1 ⋅ (𝑥 + 3 𝑥 − 61 𝑥 − 63) 165
=
−1 ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252) 192
1 ⋅ (𝑥 + 14 𝑥 + 49 𝑥 + 36) 1408
interpolač nı́ mnohoč len v Lagrangeově tvaru je potom
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = 5 ⋅ +2⋅
N 2.1.
𝑦 =5; 𝑦 =2;
)⋅( )⋅(
( )⋅( )⋅(
N 1.1.
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28)+ 640
1 −1 1 ⋅(𝑥 +3 𝑥 −61 𝑥−63)+(−2)⋅ ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252)+9⋅ ⋅(𝑥 +14 𝑥 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 5⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408
≐ 0,021 𝑥 3 + 0,204 𝑥 2 − 0,757 𝑥 − 2,94 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
𝑥 𝑦
L–odvozenı́
−9 −4 −1 5
2
−2
7 9
L 1.1.
Pro pro …
L 2.1.
𝑖=1 𝑖=2
L 3.1.
je je
𝑥 = −9 , 𝑥 = −4 ,
𝐿 =
[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]
Vý sledný
Newtonů v IP
(
)⋅(
( )⋅(
( (
)⋅(
) )
N 3.1.
)⋅( )
)⋅( )⋅( )
)
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28) 640
=
)⋅( ) )⋅( )
=
)
=
1 ⋅ (𝑥 + 3 𝑥 − 61 𝑥 − 63) 165
=
−1 ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252) 192
1 ⋅ (𝑥 + 14 𝑥 + 49 𝑥 + 36) 1408
interpolač nı́ mnohoč len v Lagrangeově tvaru je potom
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = 5 ⋅ +2⋅
N 2.1.
𝑦 =5; 𝑦 =2;
)⋅( )⋅(
( )⋅( )⋅(
N 1.1.
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28)+ 640
1 −1 1 ⋅(𝑥 +3 𝑥 −61 𝑥−63)+(−2)⋅ ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252)+9⋅ ⋅(𝑥 +14 𝑥 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 5⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408
≐ 0,021 𝑥 3 + 0,204 𝑥 2 − 0,757 𝑥 − 2,94 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
𝑥 𝑦
L–odvozenı́
−9 −4 −1 5
2
−2
7 9
L 1.1.
Pro pro …
L 2.1.
𝑖=1 𝑖=2
L 3.1.
je je
𝑥 = −9 , 𝑥 = −4 ,
𝐿 =
[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]
Vý sledný
Newtonů v IP
(
)⋅(
( )⋅(
( (
)⋅(
) )
N 3.1.
)⋅( )
)⋅( )⋅( )
)
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28) 640
=
)⋅( ) )⋅( )
=
)
=
1 ⋅ (𝑥 + 3 𝑥 − 61 𝑥 − 63) 165
=
−1 ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252) 192
1 ⋅ (𝑥 + 14 𝑥 + 49 𝑥 + 36) 1408
interpolač nı́ mnohoč len v Lagrangeově tvaru je potom
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = 5 ⋅ +2⋅
N 2.1.
𝑦 =5; 𝑦 =2;
)⋅( )⋅(
( )⋅( )⋅(
N 1.1.
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28)+ 640
1 −1 1 ⋅(𝑥 +3 𝑥 −61 𝑥−63)+(−2)⋅ ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252)+9⋅ ⋅(𝑥 +14 𝑥 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 5⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408
≐ 0,021 𝑥 3 + 0,204 𝑥 2 − 0,757 𝑥 − 2,94 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
𝑥 𝑦
L–odvozenı́
−9 −4 −1 5
2
−2
7 9
L 1.1.
Pro pro …
L 2.1.
𝑖=1 𝑖=2
L 3.1.
je je
𝑥 = −9 , 𝑥 = −4 ,
𝐿 =
[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]
Vý sledný
Newtonů v IP
(
)⋅(
( )⋅(
( (
)⋅(
) )
N 3.1.
)⋅( )
)⋅( )⋅( )
)
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28) 640
=
)⋅( ) )⋅( )
=
)
=
1 ⋅ (𝑥 + 3 𝑥 − 61 𝑥 − 63) 165
=
−1 ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252) 192
1 ⋅ (𝑥 + 14 𝑥 + 49 𝑥 + 36) 1408
interpolač nı́ mnohoč len v Lagrangeově tvaru je potom
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = 5 ⋅ +2⋅
N 2.1.
𝑦 =5; 𝑦 =2;
)⋅( )⋅(
( )⋅( )⋅(
N 1.1.
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28)+ 640
1 −1 1 ⋅(𝑥 +3 𝑥 −61 𝑥−63)+(−2)⋅ ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252)+9⋅ ⋅(𝑥 +14 𝑥 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 5⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408
≐ 0,021 𝑥 3 + 0,204 𝑥 2 − 0,757 𝑥 − 2,94 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
𝑥 𝑦
L–odvozenı́
−9 −4 −1 5
2
−2
7 9
L 1.1.
Pro pro …
L 2.1.
𝑖=1 𝑖=2
L 3.1.
je je
𝑥 = −9 , 𝑥 = −4 ,
𝐿 =
[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]
Vý sledný
Newtonů v IP
(
)⋅(
( )⋅(
( (
)⋅(
) )
N 3.1.
)⋅( )
)⋅( )⋅( )
)
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28) 640
=
)⋅( ) )⋅( )
=
)
=
1 ⋅ (𝑥 + 3 𝑥 − 61 𝑥 − 63) 165
=
−1 ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252) 192
1 ⋅ (𝑥 + 14 𝑥 + 49 𝑥 + 36) 1408
interpolač nı́ mnohoč len v Lagrangeově tvaru je potom
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = 5 ⋅ +2⋅
N 2.1.
𝑦 =5; 𝑦 =2;
)⋅( )⋅(
( )⋅( )⋅(
N 1.1.
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28)+ 640
1 −1 1 ⋅(𝑥 +3 𝑥 −61 𝑥−63)+(−2)⋅ ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252)+9⋅ ⋅(𝑥 +14 𝑥 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 5⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408
≐ 0,021 𝑥 3 + 0,204 𝑥 2 − 0,757 𝑥 − 2,94 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
𝑥 𝑦
L–odvozenı́
−9 −4 −1 5
2
−2
7 9
L 1.1.
Pro pro …
L 2.1.
𝑖=1 𝑖=2
L 3.1.
je je
𝑥 = −9 , 𝑥 = −4 ,
𝐿 =
[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]
Vý sledný
Newtonů v IP
(
)⋅(
( )⋅(
( (
)⋅(
) )
N 3.1.
)⋅( )
)⋅( )⋅( )
)
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28) 640
=
)⋅( ) )⋅( )
=
)
=
1 ⋅ (𝑥 + 3 𝑥 − 61 𝑥 − 63) 165
=
−1 ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252) 192
1 ⋅ (𝑥 + 14 𝑥 + 49 𝑥 + 36) 1408
interpolač nı́ mnohoč len v Lagrangeově tvaru je potom
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = 5 ⋅ +2⋅
N 2.1.
𝑦 =5; 𝑦 =2;
)⋅( )⋅(
( )⋅( )⋅(
N 1.1.
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28)+ 640
1 −1 1 ⋅(𝑥 +3 𝑥 −61 𝑥−63)+(−2)⋅ ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252)+9⋅ ⋅(𝑥 +14 𝑥 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 5⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408
≐ 0,021 𝑥 3 + 0,204 𝑥 2 − 0,757 𝑥 − 2,94 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
𝑥 𝑦
L–odvozenı́
−9 −4 −1 5
2
−2
7 9
L 1.1.
Pro pro …
L 2.1.
𝑖=1 𝑖=2
L 3.1.
je je
𝑥 = −9 , 𝑥 = −4 ,
𝐿 =
[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]
(
𝐿 =
[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]
Vý sledný
Newtonů v IP
(
)⋅(
( )⋅(
( (
)⋅(
) )
N 3.1.
)⋅( )
)⋅( )⋅( )
)
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28) 640
=
)⋅( ) )⋅( )
=
)
=
1 ⋅ (𝑥 + 3 𝑥 − 61 𝑥 − 63) 165
=
−1 ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252) 192
1 ⋅ (𝑥 + 14 𝑥 + 49 𝑥 + 36) 1408
interpolač nı́ mnohoč len v Lagrangeově tvaru je potom
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = 5 ⋅ +2⋅
N 2.1.
𝑦 =5; 𝑦 =2;
)⋅( )⋅(
( )⋅( )⋅(
N 1.1.
−1 ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 31 𝑥 − 28)+ 640
1 −1 1 ⋅(𝑥 +3 𝑥 −61 𝑥−63)+(−2)⋅ ⋅(𝑥 +6 𝑥 −55 𝑥−252)+9⋅ ⋅(𝑥 +14 𝑥 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 5⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408
≐ 0,021 𝑥 3 + 0,204 𝑥 2 − 0,757 𝑥 − 2,94 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 1.2. — Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny 4 body: [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urč ete mnohoč len, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky:
𝐿 =
𝑥
−1
0
𝑦
−4 −1
1
2
0
5
[𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] 𝑥 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2) −1 = = ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥) [(−1) − (0)] ⋅ [(−1) − (1)] ⋅ [(−1) − (2)] (−1) ⋅ (−2) ⋅ (−3) 6
𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 2) 1 = = ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) [(0) − (−1)] ⋅ [(0) − (1)] ⋅ [(0) − (2)] (1) ⋅ (−1) ⋅ (−2) 2
𝐿 =
(𝑥 − 𝑥 − 2) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (2)] −1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) [(1) − (−1)] ⋅ [(1) − (0)] ⋅ [(1) − (2)] (2) ⋅ (1) ⋅ (−1) 2 𝐿 =
Vý sledný
(𝑥 − 1) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] 1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥) [(2) − (−1)] ⋅ [(2) − (0)] ⋅ [(2) − (1)] (3) ⋅ (2) ⋅ (1) 6
Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len je potom
−1 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥)+ 6 −1 1 1 ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) + 5 ⋅ ⋅ (𝑥 − 𝑥) = +(−1) ⋅ ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) + 0 ⋅ 2 2 6
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = (−4) ⋅
= =
− +
⋅𝑥 +
+
⋅ 𝑥 + (−2 + 1) ⋅ 𝑥 +
⋅𝑥 +
+ +
⋅𝑥−1
⋅𝑥+
=
= 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 1.2. — Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny 4 body: [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urč ete mnohoč len, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky:
𝐿 =
𝑥
−1
0
𝑦
−4 −1
1
2
0
5
[𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] 𝑥 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2) −1 = = ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥) [(−1) − (0)] ⋅ [(−1) − (1)] ⋅ [(−1) − (2)] (−1) ⋅ (−2) ⋅ (−3) 6
𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 2) 1 = = ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) [(0) − (−1)] ⋅ [(0) − (1)] ⋅ [(0) − (2)] (1) ⋅ (−1) ⋅ (−2) 2
𝐿 =
(𝑥 − 𝑥 − 2) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (2)] −1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) [(1) − (−1)] ⋅ [(1) − (0)] ⋅ [(1) − (2)] (2) ⋅ (1) ⋅ (−1) 2 𝐿 =
Vý sledný
(𝑥 − 1) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] 1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥) [(2) − (−1)] ⋅ [(2) − (0)] ⋅ [(2) − (1)] (3) ⋅ (2) ⋅ (1) 6
Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len je potom
−1 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥)+ 6 −1 1 1 ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) + 5 ⋅ ⋅ (𝑥 − 𝑥) = +(−1) ⋅ ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) + 0 ⋅ 2 2 6
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = (−4) ⋅
= =
− +
⋅𝑥 +
+
⋅ 𝑥 + (−2 + 1) ⋅ 𝑥 +
⋅𝑥 +
+ +
⋅𝑥−1
⋅𝑥+
=
= 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 1.2. — Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny 4 body: [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urč ete mnohoč len, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky:
𝐿 =
𝑥
−1
0
𝑦
−4 −1
1
2
0
5
[𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] 𝑥 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2) −1 = = ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥) [(−1) − (0)] ⋅ [(−1) − (1)] ⋅ [(−1) − (2)] (−1) ⋅ (−2) ⋅ (−3) 6
𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 2) 1 = = ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) [(0) − (−1)] ⋅ [(0) − (1)] ⋅ [(0) − (2)] (1) ⋅ (−1) ⋅ (−2) 2
𝐿 =
(𝑥 − 𝑥 − 2) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (2)] −1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) [(1) − (−1)] ⋅ [(1) − (0)] ⋅ [(1) − (2)] (2) ⋅ (1) ⋅ (−1) 2 𝐿 =
Vý sledný
(𝑥 − 1) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] 1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥) [(2) − (−1)] ⋅ [(2) − (0)] ⋅ [(2) − (1)] (3) ⋅ (2) ⋅ (1) 6
Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len je potom
−1 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥)+ 6 −1 1 1 ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) + 5 ⋅ ⋅ (𝑥 − 𝑥) = +(−1) ⋅ ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) + 0 ⋅ 2 2 6
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = (−4) ⋅
= =
− +
⋅𝑥 +
+
⋅ 𝑥 + (−2 + 1) ⋅ 𝑥 +
⋅𝑥 +
+ +
⋅𝑥−1
⋅𝑥+
=
= 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 1.2. — Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny 4 body: [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urč ete mnohoč len, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky:
𝐿 =
𝑥
−1
0
𝑦
−4 −1
1
2
0
5
[𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] 𝑥 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2) −1 = = ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥) [(−1) − (0)] ⋅ [(−1) − (1)] ⋅ [(−1) − (2)] (−1) ⋅ (−2) ⋅ (−3) 6
𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 2) 1 = = ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) [(0) − (−1)] ⋅ [(0) − (1)] ⋅ [(0) − (2)] (1) ⋅ (−1) ⋅ (−2) 2
𝐿 =
(𝑥 − 𝑥 − 2) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (2)] −1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) [(1) − (−1)] ⋅ [(1) − (0)] ⋅ [(1) − (2)] (2) ⋅ (1) ⋅ (−1) 2 𝐿 =
Vý sledný
(𝑥 − 1) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] 1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥) [(2) − (−1)] ⋅ [(2) − (0)] ⋅ [(2) − (1)] (3) ⋅ (2) ⋅ (1) 6
Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len je potom
−1 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥)+ 6 −1 1 1 ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) + 5 ⋅ ⋅ (𝑥 − 𝑥) = +(−1) ⋅ ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) + 0 ⋅ 2 2 6
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = (−4) ⋅
= =
− +
⋅𝑥 +
+
⋅ 𝑥 + (−2 + 1) ⋅ 𝑥 +
⋅𝑥 +
+ +
⋅𝑥−1
⋅𝑥+
=
= 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 1.2. — Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny 4 body: [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urč ete mnohoč len, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky:
𝐿 =
𝑥
−1
0
𝑦
−4 −1
1
2
0
5
[𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] 𝑥 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2) −1 = = ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥) [(−1) − (0)] ⋅ [(−1) − (1)] ⋅ [(−1) − (2)] (−1) ⋅ (−2) ⋅ (−3) 6
𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 2) 1 = = ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) [(0) − (−1)] ⋅ [(0) − (1)] ⋅ [(0) − (2)] (1) ⋅ (−1) ⋅ (−2) 2
𝐿 =
(𝑥 − 𝑥 − 2) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (2)] −1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) [(1) − (−1)] ⋅ [(1) − (0)] ⋅ [(1) − (2)] (2) ⋅ (1) ⋅ (−1) 2 𝐿 =
Vý sledný
(𝑥 − 1) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] 1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥) [(2) − (−1)] ⋅ [(2) − (0)] ⋅ [(2) − (1)] (3) ⋅ (2) ⋅ (1) 6
Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len je potom
−1 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥)+ 6 −1 1 1 ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) + 5 ⋅ ⋅ (𝑥 − 𝑥) = +(−1) ⋅ ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) + 0 ⋅ 2 2 6
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = (−4) ⋅
= =
− +
⋅𝑥 +
+
⋅ 𝑥 + (−2 + 1) ⋅ 𝑥 +
⋅𝑥 +
+ +
⋅𝑥−1
⋅𝑥+
=
= 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 1.2. — Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny 4 body: [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urč ete mnohoč len, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky:
𝐿 =
𝑥
−1
0
𝑦
−4 −1
1
2
0
5
[𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] 𝑥 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2) −1 = = ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥) [(−1) − (0)] ⋅ [(−1) − (1)] ⋅ [(−1) − (2)] (−1) ⋅ (−2) ⋅ (−3) 6
𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 2) 1 = = ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) [(0) − (−1)] ⋅ [(0) − (1)] ⋅ [(0) − (2)] (1) ⋅ (−1) ⋅ (−2) 2
𝐿 =
(𝑥 − 𝑥 − 2) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (2)] −1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) [(1) − (−1)] ⋅ [(1) − (0)] ⋅ [(1) − (2)] (2) ⋅ (1) ⋅ (−1) 2 𝐿 =
Vý sledný
(𝑥 − 1) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] 1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥) [(2) − (−1)] ⋅ [(2) − (0)] ⋅ [(2) − (1)] (3) ⋅ (2) ⋅ (1) 6
Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len je potom
−1 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥)+ 6 −1 1 1 ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) + 5 ⋅ ⋅ (𝑥 − 𝑥) = +(−1) ⋅ ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) + 0 ⋅ 2 2 6
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = (−4) ⋅
= =
− +
⋅𝑥 +
+
⋅ 𝑥 + (−2 + 1) ⋅ 𝑥 +
⋅𝑥 +
+ +
⋅𝑥−1
⋅𝑥+
=
= 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 1.2. — Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny 4 body: [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urč ete mnohoč len, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky:
𝐿 =
𝑥
−1
0
𝑦
−4 −1
1
2
0
5
[𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] 𝑥 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2) −1 = = ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥) [(−1) − (0)] ⋅ [(−1) − (1)] ⋅ [(−1) − (2)] (−1) ⋅ (−2) ⋅ (−3) 6
𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 2) 1 = = ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) [(0) − (−1)] ⋅ [(0) − (1)] ⋅ [(0) − (2)] (1) ⋅ (−1) ⋅ (−2) 2
𝐿 =
(𝑥 − 𝑥 − 2) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (2)] −1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) [(1) − (−1)] ⋅ [(1) − (0)] ⋅ [(1) − (2)] (2) ⋅ (1) ⋅ (−1) 2 𝐿 =
Vý sledný
(𝑥 − 1) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] 1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥) [(2) − (−1)] ⋅ [(2) − (0)] ⋅ [(2) − (1)] (3) ⋅ (2) ⋅ (1) 6
Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len je potom
−1 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥)+ 6 −1 1 1 ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) + 5 ⋅ ⋅ (𝑥 − 𝑥) = +(−1) ⋅ ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) + 0 ⋅ 2 2 6
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = (−4) ⋅
= =
− +
⋅𝑥 +
+
⋅ 𝑥 + (−2 + 1) ⋅ 𝑥 +
⋅𝑥 +
+ +
⋅𝑥−1
⋅𝑥+
=
= 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 1.2. — Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny 4 body: [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urč ete mnohoč len, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky:
𝐿 =
𝑥
−1
0
𝑦
−4 −1
1
2
0
5
[𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] 𝑥 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2) −1 = = ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥) [(−1) − (0)] ⋅ [(−1) − (1)] ⋅ [(−1) − (2)] (−1) ⋅ (−2) ⋅ (−3) 6
𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 2) 1 = = ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) [(0) − (−1)] ⋅ [(0) − (1)] ⋅ [(0) − (2)] (1) ⋅ (−1) ⋅ (−2) 2
𝐿 =
(𝑥 − 𝑥 − 2) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (2)] −1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) [(1) − (−1)] ⋅ [(1) − (0)] ⋅ [(1) − (2)] (2) ⋅ (1) ⋅ (−1) 2 𝐿 =
Vý sledný
(𝑥 − 1) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] 1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥) [(2) − (−1)] ⋅ [(2) − (0)] ⋅ [(2) − (1)] (3) ⋅ (2) ⋅ (1) 6
Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len je potom
−1 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥)+ 6 −1 1 1 ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) + 5 ⋅ ⋅ (𝑥 − 𝑥) = +(−1) ⋅ ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) + 0 ⋅ 2 2 6
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = (−4) ⋅
= =
− +
⋅𝑥 +
+
⋅ 𝑥 + (−2 + 1) ⋅ 𝑥 +
⋅𝑥 +
+ +
⋅𝑥−1
⋅𝑥+
=
= 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 1.2. — Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny 4 body: [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urč ete mnohoč len, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky:
𝐿 =
𝑥
−1
0
𝑦
−4 −1
1
2
0
5
[𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] 𝑥 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2) −1 = = ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥) [(−1) − (0)] ⋅ [(−1) − (1)] ⋅ [(−1) − (2)] (−1) ⋅ (−2) ⋅ (−3) 6
𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 2) 1 = = ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) [(0) − (−1)] ⋅ [(0) − (1)] ⋅ [(0) − (2)] (1) ⋅ (−1) ⋅ (−2) 2
𝐿 =
(𝑥 − 𝑥 − 2) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (2)] −1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) [(1) − (−1)] ⋅ [(1) − (0)] ⋅ [(1) − (2)] (2) ⋅ (1) ⋅ (−1) 2 𝐿 =
Vý sledný
(𝑥 − 1) ⋅ 𝑥 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] 1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥) [(2) − (−1)] ⋅ [(2) − (0)] ⋅ [(2) − (1)] (3) ⋅ (2) ⋅ (1) 6
Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len je potom
−1 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥)+ 6 −1 1 1 ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) + 5 ⋅ ⋅ (𝑥 − 𝑥) = +(−1) ⋅ ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) + 0 ⋅ 2 2 6
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = (−4) ⋅
= =
− +
⋅𝑥 +
+
⋅ 𝑥 + (−2 + 1) ⋅ 𝑥 +
⋅𝑥 +
+ +
⋅𝑥−1
⋅𝑥+
=
= 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 1.2. — Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny 4 body: [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urč ete mnohoč len, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky:
𝐿 =
𝑥
−1
0
𝑦
−4 −1
1
2
0
5
[𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] 𝑥 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2) −1 = = ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥) [(−1) − (0)] ⋅ [(−1) − (1)] ⋅ [(−1) − (2)] (−1) ⋅ (−2) ⋅ (−3) 6
𝐿 =
(𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 2) 1 [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (1)] ⋅ [𝑥 − (2)] = = ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) [(0) − (−1)] ⋅ [(0) − (1)] ⋅ [(0) − (2)] (1) ⋅ (−1) ⋅ (−2) 2
𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (2)] (𝑥 − 𝑥 − 2) ⋅ 𝑥 −1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) [(1) − (−1)] ⋅ [(1) − (0)] ⋅ [(1) − (2)] (2) ⋅ (1) ⋅ (−1) 2 𝐿 =
Vý sledný
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] (𝑥 − 1) ⋅ 𝑥 1 = = ⋅ (𝑥 − 𝑥) [(2) − (−1)] ⋅ [(2) − (0)] ⋅ [(2) − (1)] (3) ⋅ (2) ⋅ (1) 6
Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len je potom −1 ⋅ (𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥)+ 6 1 −1 1 +(−1) ⋅ ⋅ (𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 + 2) + 0 ⋅ ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥) + 5 ⋅ ⋅ (𝑥 − 𝑥) = 2 2 6
𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = (−4) ⋅
= =
− +
⋅𝑥 +
+
⋅ 𝑥 + (−2 + 1) ⋅ 𝑥 +
⋅𝑥 +
+ +
⋅𝑥+
=
3 2 ⋅𝑥−1 = 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 1 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 1.3. — Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny 3 body
𝐿 =
𝐿 =
𝑥
−1
0
1,5
0,5
𝑦
2,25
0,25
1
−0,5
Urč ete mnohoč len, který vš emi prochá zı́.
[𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] 1 𝑥 − 0,5 = ⋅ (𝑥 − 1,5 𝑥) ⋅ [(−1) − (0)] ⋅ [(−1) − (1,5)] 2,5 −1 − 0,5
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] −1 𝑥 − 0,5 = ⋅ (𝑥 − 0,5 𝑥 − 1,5) ⋅ [(0) − (−1)] ⋅ [(0) − (1,5)] 1,5 0 − 0,5
𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] 1 𝑥 − 0,5 = ⋅ (𝑥 + 𝑥) ⋅ [(1,5) − (−1)] ⋅ [(1,5) − (0)] 3,75 1,5 − 0,5 𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] [(0,5) − (−1)] ⋅ [(0,5) − (0)] ⋅ [(0,5) − (1)]
Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len: 𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = 1 −1 1 (2,25) ⋅ ⋅ (𝑥 − 1,5 𝑥) + (0,25) ⋅ ⋅ (𝑥 − 0,5 𝑥 − 1,5) + 1 ⋅ ⋅ (𝑥 + 𝑥) = 2,5 1,5 3,75 2 ⋅ 𝑥 + , ⋅(, , ) + , , ⋅ , + , ⋅ 𝑥 + , , ⋅ , = = 𝑥 − 𝑥 + 0,25 = , , + ,, + , A co když vznikne pož adavek, aby mnohoč len prochá zel ješ tě dalš ı́m bodem? Pak musı́me vý poč ty ná sledovně doplnit. 𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 1.3. — Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny 3 body
𝐿 =
𝐿 =
𝑥
−1
0
1,5
0,5
𝑦
2,25
0,25
1
−0,5
Urč ete mnohoč len, který vš emi prochá zı́.
[𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] 𝑥 − 0,5 1 = ⋅ (𝑥 − 1,5 𝑥) ⋅ [(−1) − (0)] ⋅ [(−1) − (1,5)] 2,5 −1 − 0,5
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] −1 𝑥 − 0,5 = ⋅ (𝑥 − 0,5 𝑥 − 1,5) ⋅ [(0) − (−1)] ⋅ [(0) − (1,5)] 1,5 0 − 0,5
𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] 1 𝑥 − 0,5 = ⋅ (𝑥 + 𝑥) ⋅ [(1,5) − (−1)] ⋅ [(1,5) − (0)] 3,75 1,5 − 0,5 𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] [(0,5) − (−1)] ⋅ [(0,5) − (0)] ⋅ [(0,5) − (1)]
Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len: 𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = 1 −1 1 (2,25) ⋅ ⋅ (𝑥 − 1,5 𝑥) + (0,25) ⋅ ⋅ (𝑥 − 0,5 𝑥 − 1,5) + 1 ⋅ ⋅ (𝑥 + 𝑥) = 2,5 1,5 3,75 2 = , , + ,, + , ⋅ 𝑥 + , ⋅(, , ) + , , ⋅ , + , ⋅ 𝑥 + , , ⋅ , = = 𝑥 − 𝑥 + 0,25 A co když vznikne pož adavek, aby mnohoč len prochá zel ješ tě dalš ı́m bodem? Pak musı́me vý poč ty ná sledovně doplnit. 𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 1.3. — Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny 3 body
𝐿 =
𝐿 =
𝑥
−1
0
1,5
0,5
𝑦
2,25
0,25
1
−0,5
Urč ete mnohoč len, který vš emi prochá zı́.
[𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] 𝑥 − 0,5 1 = ⋅ (𝑥 − 1,5 𝑥) ⋅ [(−1) − (0)] ⋅ [(−1) − (1,5)] 2,5 −1 − 0,5
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] −1 𝑥 − 0,5 = ⋅ (𝑥 − 0,5 𝑥 − 1,5) ⋅ [(0) − (−1)] ⋅ [(0) − (1,5)] 1,5 0 − 0,5
𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] 1 𝑥 − 0,5 = ⋅ (𝑥 + 𝑥) ⋅ [(1,5) − (−1)] ⋅ [(1,5) − (0)] 3,75 1,5 − 0,5 𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] [(0,5) − (−1)] ⋅ [(0,5) − (0)] ⋅ [(0,5) − (1)]
Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len: 𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = 1 −1 1 (2,25) ⋅ ⋅ (𝑥 − 1,5 𝑥) + (0,25) ⋅ ⋅ (𝑥 − 0,5 𝑥 − 1,5) + 1 ⋅ ⋅ (𝑥 + 𝑥) = 2,5 1,5 3,75 2 = , , + ,, + , ⋅ 𝑥 + , ⋅(, , ) + , , ⋅ , + , ⋅ 𝑥 + , , ⋅ , = = 𝑥 − 𝑥 + 0,25 A co když vznikne pož adavek, aby mnohoč len prochá zel ješ tě dalš ı́m bodem? Pak musı́me vý poč ty ná sledovně doplnit. 𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 1.3. — Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny 3 body
𝐿 =
𝐿 =
𝑥
−1
0
1,5
0,5
𝑦
2,25
0,25
1
−0,5
Urč ete mnohoč len, který vš emi prochá zı́.
[𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] 𝑥 − 0,5 1 = ⋅ (𝑥 − 1,5 𝑥) ⋅ [(−1) − (0)] ⋅ [(−1) − (1,5)] 2,5 −1 − 0,5
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] −1 𝑥 − 0,5 = ⋅ (𝑥 − 0,5 𝑥 − 1,5) ⋅ [(0) − (−1)] ⋅ [(0) − (1,5)] 1,5 0 − 0,5
𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] 1 𝑥 − 0,5 = ⋅ (𝑥 + 𝑥) ⋅ [(1,5) − (−1)] ⋅ [(1,5) − (0)] 3,75 1,5 − 0,5 𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] [(0,5) − (−1)] ⋅ [(0,5) − (0)] ⋅ [(0,5) − (1)]
Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len: 𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = 1 −1 1 (2,25) ⋅ ⋅ (𝑥 − 1,5 𝑥) + (0,25) ⋅ ⋅ (𝑥 − 0,5 𝑥 − 1,5) + 1 ⋅ ⋅ (𝑥 + 𝑥) = 2,5 1,5 3,75 2 = , , + ,, + , ⋅ 𝑥 + , ⋅(, , ) + , , ⋅ , + , ⋅ 𝑥 + , , ⋅ , = = 𝑥 − 𝑥 + 0,25 A co když vznikne pož adavek, aby mnohoč len prochá zel ješ tě dalš ı́m bodem? Pak musı́me vý poč ty ná sledovně doplnit. 𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 1.3. — Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny 3 body
𝐿 =
𝐿 =
𝑥
−1
0
1,5
0,5
𝑦
2,25
0,25
1
−0,5
Urč ete mnohoč len, který vš emi prochá zı́.
[𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] 𝑥 − 0,5 1 = ⋅ (𝑥 − 1,5 𝑥) ⋅ [(−1) − (0)] ⋅ [(−1) − (1,5)] 2,5 −1 − 0,5
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] −1 𝑥 − 0,5 = ⋅ (𝑥 − 0,5 𝑥 − 1,5) ⋅ [(0) − (−1)] ⋅ [(0) − (1,5)] 1,5 0 − 0,5
𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] 1 𝑥 − 0,5 = ⋅ (𝑥 + 𝑥) ⋅ [(1,5) − (−1)] ⋅ [(1,5) − (0)] 3,75 1,5 − 0,5 𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] [(0,5) − (−1)] ⋅ [(0,5) − (0)] ⋅ [(0,5) − (1)]
Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len: 𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = 1 −1 1 (2,25) ⋅ ⋅ (𝑥 − 1,5 𝑥) + (0,25) ⋅ ⋅ (𝑥 − 0,5 𝑥 − 1,5) + 1 ⋅ ⋅ (𝑥 + 𝑥) = 2,5 1,5 3,75 2 = , , + ,, + , ⋅ 𝑥 + , ⋅(, , ) + , , ⋅ , + , ⋅ 𝑥 + , , ⋅ , = = 𝑥 − 𝑥 + 0,25 A co když vznikne pož adavek, aby mnohoč len prochá zel ješ tě dalš ı́m bodem? Pak musı́me vý poč ty ná sledovně doplnit. 𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 1.3. — Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny 3 body
𝐿 =
𝐿 =
𝑥
−1
0
1,5
0,5
𝑦
2,25
0,25
1
−0,5
Urč ete mnohoč len, který vš emi prochá zı́.
[𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] 𝑥 − 0,5 1 = ⋅ (𝑥 − 1,5 𝑥) ⋅ [(−1) − (0)] ⋅ [(−1) − (1,5)] 2,5 −1 − 0,5
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] −1 𝑥 − 0,5 = ⋅ (𝑥 − 0,5 𝑥 − 1,5) ⋅ [(0) − (−1)] ⋅ [(0) − (1,5)] 1,5 0 − 0,5
𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] 1 𝑥 − 0,5 = ⋅ (𝑥 + 𝑥) ⋅ [(1,5) − (−1)] ⋅ [(1,5) − (0)] 3,75 1,5 − 0,5 𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] [(0,5) − (−1)] ⋅ [(0,5) − (0)] ⋅ [(0,5) − (1)]
Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len: 𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = 1 −1 1 (2,25) ⋅ ⋅ (𝑥 − 1,5 𝑥) + (0,25) ⋅ ⋅ (𝑥 − 0,5 𝑥 − 1,5) + 1 ⋅ ⋅ (𝑥 + 𝑥) = 2,5 1,5 3,75 2 = , , + ,, + , ⋅ 𝑥 + , ⋅(, , ) + , , ⋅ , + , ⋅ 𝑥 + , , ⋅ , = = 𝑥 − 𝑥 + 0,25 A co když vznikne pož adavek, aby mnohoč len prochá zel ješ tě dalš ı́m bodem? Pak musı́me vý poč ty ná sledovně doplnit. 𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 1.3. — Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny 3 body
𝐿 =
𝐿 =
𝑥
−1
0
1,5
0,5
𝑦
2,25
0,25
1
−0,5
Urč ete mnohoč len, který vš emi prochá zı́.
[𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] 𝑥 − 0,5 1 = ⋅ (𝑥 − 1,5 𝑥) ⋅ [(−1) − (0)] ⋅ [(−1) − (1,5)] 2,5 −1 − 0,5
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] −1 𝑥 − 0,5 = ⋅ (𝑥 − 0,5 𝑥 − 1,5) ⋅ [(0) − (−1)] ⋅ [(0) − (1,5)] 1,5 0 − 0,5
𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] 1 𝑥 − 0,5 = ⋅ (𝑥 + 𝑥) ⋅ [(1,5) − (−1)] ⋅ [(1,5) − (0)] 3,75 1,5 − 0,5 𝐿 =
[𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] [(0,5) − (−1)] ⋅ [(0,5) − (0)] ⋅ [(0,5) − (1)]
Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len: 𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) = 1 −1 1 (2,25) ⋅ ⋅ (𝑥 − 1,5 𝑥) + (0,25) ⋅ ⋅ (𝑥 − 0,5 𝑥 − 1,5) + 1 ⋅ ⋅ (𝑥 + 𝑥) = 2,5 1,5 3,75 2 = , , + ,, + , ⋅ 𝑥 + , ⋅(, , ) + , , ⋅ , + , ⋅ 𝑥 + , , ⋅ , = = 𝑥 − 𝑥 + 0,25 A co když vznikne pož adavek, aby mnohoč len prochá zel ješ tě dalš ı́m bodem? Pak musı́me vý poč ty ná sledovně doplnit. 𝐿(𝑥) = 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) + 𝑦 ⋅ 𝐿 (𝑥) •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
2. Newtonův interpolační mnohočlen (polynom) má tvar: 𝑁(𝑥) = 𝑦 + 𝑦
⋅ (𝑥 − 𝑥 ) + 𝑦
kde koe icienty 𝑦 , 𝑦 tu:
,𝑦
𝑥 𝑦
⋅ (𝑥 − 𝑥 ) ⋅ (𝑥 − 𝑥 ) + 𝑦
⋅ (𝑥 − 𝑥 ) ⋅ (𝑥 − 𝑥 ) ⋅ (𝑥 − 𝑥 ) + … (2)
, … jsou poměrné diference uvedené (č erveně ) v ná sledujı́cı́m sché ma𝑥 𝑦
𝑥 𝑦
𝑦 =
𝑦 = 𝑦
=
𝑦 = 𝑦
𝑦
𝑥 𝑦
=
=
Interpolač nı́ mnohoč len N(𝑥) zapsaný ve tvaru (2) má dvě zá sadnı́ vý hody oproti Lagrangeovu tvaru: • Př edevš ı́m je to skuteč nost, ž e koe icienty 𝑦 , 𝑦 , 𝑦 , … ve vyjá dř enı́ (2) je mož né vypoč ı́tat jednou provž dy a hodnoty interpolač nı́ho polynomu pro rů zná x pak poč ı́tat postupný m dosazová nı́m do (2). • Druhou vý hodou je to, ž e když k pů vodnı́m uzlů m 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 interpolace př idá me dalš ı́ bod x rů zný od vš eh ostatnı́ch uzlů , dř ıv́ e spoč ı́tané koe icienty se vů bec nezmě nı́ a stač ı́ pouze jeden dalš ı́ dopoč ı́tat. U Newtonova interpolač nı́ho mnohoč lenu N(𝑥) je tak mož né pohodlně zvyš ovat stupeň interpolač nı́ho mnohoč lenu tı́m, ž e př ibı́rá me do vý poč tu dalš ı́ uzly interpolace. Mnohoč len L(𝑥) v Lagrangeově tvaru bychom museli v takové m př ı́padě sestrojovat celý znovu, jak jsme si uká zali na konci př edchozı́ho př ı́kladu. •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.1. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−9 ; 5], [−4 ; 2], [−1 ; − 2], [7 ; 9] jako v př ı́kladu 1.1. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −9 5
−4 2 ( ) ( )
−1 −2 ( ) ( )
= −0,6 ,
( (
, ) )
( (
≐ −1,333 ,
≐ −0,092 ,
( (
, )
7 9
)
( (
, )
)
) )
= 1,375
≐ 0,246
≐ 0,021
Vý sledný interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově
tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.):
𝑁(𝑥) =5+(−0,6)⋅[𝑥−(−9)]+(−0,092)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]+(0,021)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]⋅[𝑥−(−1)] = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9 𝑥 + 4 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36 𝑥 + 𝑥 + 13 𝑥 + 36) = = (0,021) ⋅ 𝑥 + [−0,092 + 0,021 ⋅ 14] ⋅ 𝑥 + [−0,6 − 0,092 ⋅ 13 + 0,021 ⋅ 49] ⋅ 𝑥+ +(5 − 0,6 ⋅ 9 − 0,092 ⋅ 36 + 0,021 ⋅ 36) =
𝑁(𝑥) = 0,021 ⋅ 𝑥 3 + 0,202 ⋅ 𝑥 2 − 0,767 ⋅ 𝑥 − 2,956 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.1. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−9 ; 5], [−4 ; 2], [−1 ; − 2], [7 ; 9] jako v př ı́kladu 1.1. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −9 5
−4 2 ( ) ( )
−1 −2 ( ) ( )
= −0,6 ,
( (
, ) )
( (
≐ −1,333 ,
≐ −0,092 ,
( (
, )
7 9
)
( (
, )
)
) )
= 1,375
≐ 0,246
≐ 0,021
Vý sledný interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově
tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.):
𝑁(𝑥) =5+(−0,6)⋅[𝑥−(−9)]+(−0,092)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]+(0,021)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]⋅[𝑥−(−1)] = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9 𝑥 + 4 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36 𝑥 + 𝑥 + 13 𝑥 + 36) = = (0,021) ⋅ 𝑥 + [−0,092 + 0,021 ⋅ 14] ⋅ 𝑥 + [−0,6 − 0,092 ⋅ 13 + 0,021 ⋅ 49] ⋅ 𝑥+ +(5 − 0,6 ⋅ 9 − 0,092 ⋅ 36 + 0,021 ⋅ 36) =
𝑁(𝑥) = 0,021 ⋅ 𝑥 3 + 0,202 ⋅ 𝑥 2 − 0,767 ⋅ 𝑥 − 2,956 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.1. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−9 ; 5], [−4 ; 2], [−1 ; − 2], [7 ; 9] jako v př ı́kladu 1.1. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −9 5
−4 2 ( ) ( )
−1 −2 ( ) ( )
= −0,6 ,
( (
, ) )
( (
≐ −1,333 ,
≐ −0,092 ,
( (
, )
7 9
)
( (
, )
)
) )
= 1,375
≐ 0,246
≐ 0,021
Vý sledný interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově
tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.):
𝑁(𝑥) =5+(−0,6)⋅[𝑥−(−9)]+(−0,092)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]+(0,021)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]⋅[𝑥−(−1)] = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9 𝑥 + 4 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36 𝑥 + 𝑥 + 13 𝑥 + 36) = = (0,021) ⋅ 𝑥 + [−0,092 + 0,021 ⋅ 14] ⋅ 𝑥 + [−0,6 − 0,092 ⋅ 13 + 0,021 ⋅ 49] ⋅ 𝑥+ +(5 − 0,6 ⋅ 9 − 0,092 ⋅ 36 + 0,021 ⋅ 36) =
𝑁(𝑥) = 0,021 ⋅ 𝑥 3 + 0,202 ⋅ 𝑥 2 − 0,767 ⋅ 𝑥 − 2,956 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.1. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−9 ; 5], [−4 ; 2], [−1 ; − 2], [7 ; 9] jako v př ı́kladu 1.1. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −9 5
−4 2 ( ) ( )
−1 −2 ( ) ( )
= −0,6 ,
( (
, ) )
( (
≐ −1,333 ,
≐ −0,092 ,
( (
, )
7 9
)
( (
, )
)
) )
= 1,375
≐ 0,246
≐ 0,021
Vý sledný interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově
tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.):
𝑁(𝑥) =5+(−0,6)⋅[𝑥−(−9)]+(−0,092)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]+(0,021)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]⋅[𝑥−(−1)] = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9 𝑥 + 4 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36 𝑥 + 𝑥 + 13 𝑥 + 36) = = (0,021) ⋅ 𝑥 + [−0,092 + 0,021 ⋅ 14] ⋅ 𝑥 + [−0,6 − 0,092 ⋅ 13 + 0,021 ⋅ 49] ⋅ 𝑥+ +(5 − 0,6 ⋅ 9 − 0,092 ⋅ 36 + 0,021 ⋅ 36) =
𝑁(𝑥) = 0,021 ⋅ 𝑥 3 + 0,202 ⋅ 𝑥 2 − 0,767 ⋅ 𝑥 − 2,956 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.1. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−9 ; 5], [−4 ; 2], [−1 ; − 2], [7 ; 9] jako v př ı́kladu 1.1. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −9 5
−4 2 ( ) ( )
−1 −2 ( ) ( )
= −0,6 ,
( (
, ) )
( (
≐ −1,333 ,
≐ −0,092 ,
( (
, )
7 9
)
( (
, )
)
) )
= 1,375
≐ 0,246
≐ 0,021
Vý sledný interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově
tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.):
𝑁(𝑥) =5+(−0,6)⋅[𝑥−(−9)]+(−0,092)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]+(0,021)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]⋅[𝑥−(−1)] = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9 𝑥 + 4 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36 𝑥 + 𝑥 + 13 𝑥 + 36) = = (0,021) ⋅ 𝑥 + [−0,092 + 0,021 ⋅ 14] ⋅ 𝑥 + [−0,6 − 0,092 ⋅ 13 + 0,021 ⋅ 49] ⋅ 𝑥+ +(5 − 0,6 ⋅ 9 − 0,092 ⋅ 36 + 0,021 ⋅ 36) =
𝑁(𝑥) = 0,021 ⋅ 𝑥 3 + 0,202 ⋅ 𝑥 2 − 0,767 ⋅ 𝑥 − 2,956 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.1. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−9 ; 5], [−4 ; 2], [−1 ; − 2], [7 ; 9] jako v př ı́kladu 1.1. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −9 5
−4 2 ( ) ( )
−1 −2 ( ) ( )
= −0,6 ,
( (
, ) )
( (
≐ −1,333 ,
≐ −0,092 ,
( (
, )
7 9
)
( (
, )
)
) )
= 1,375
≐ 0,246
≐ 0,021
Vý sledný interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově
tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.):
𝑁(𝑥) =5+(−0,6)⋅[𝑥−(−9)]+(−0,092)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]+(0,021)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]⋅[𝑥−(−1)] = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9 𝑥 + 4 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36 𝑥 + 𝑥 + 13 𝑥 + 36) = = (0,021) ⋅ 𝑥 + [−0,092 + 0,021 ⋅ 14] ⋅ 𝑥 + [−0,6 − 0,092 ⋅ 13 + 0,021 ⋅ 49] ⋅ 𝑥+ +(5 − 0,6 ⋅ 9 − 0,092 ⋅ 36 + 0,021 ⋅ 36) =
𝑁(𝑥) = 0,021 ⋅ 𝑥 3 + 0,202 ⋅ 𝑥 2 − 0,767 ⋅ 𝑥 − 2,956 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.1. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−9 ; 5], [−4 ; 2], [−1 ; − 2], [7 ; 9] jako v př ı́kladu 1.1. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −9 5
−4 2 ( ) ( )
−1 −2 ( ) ( )
= −0,6 ,
( (
, ) )
( (
≐ −1,333 ,
≐ −0,092 ,
( (
, )
7 9
)
( (
, )
)
) )
= 1,375
≐ 0,246
≐ 0,021
Vý sledný interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově
tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.):
𝑁(𝑥) =5+(−0,6)⋅[𝑥−(−9)]+(−0,092)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]+(0,021)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]⋅[𝑥−(−1)] = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9 𝑥 + 4 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36 𝑥 + 𝑥 + 13 𝑥 + 36) = = (0,021) ⋅ 𝑥 + [−0,092 + 0,021 ⋅ 14] ⋅ 𝑥 + [−0,6 − 0,092 ⋅ 13 + 0,021 ⋅ 49] ⋅ 𝑥+ +(5 − 0,6 ⋅ 9 − 0,092 ⋅ 36 + 0,021 ⋅ 36) =
𝑁(𝑥) = 0,021 ⋅ 𝑥 3 + 0,202 ⋅ 𝑥 2 − 0,767 ⋅ 𝑥 − 2,956 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.1. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−9 ; 5], [−4 ; 2], [−1 ; − 2], [7 ; 9] jako v př ı́kladu 1.1. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −9 5
−4 2 ( ) ( )
−1 −2 ( ) ( )
= −0,6 ,
( (
, ) )
( (
≐ −1,333 ,
≐ −0,092 ,
( (
, )
7 9
)
( (
, )
)
) )
= 1,375
≐ 0,246
≐ 0,021
Vý sledný interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově
tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.):
𝑁(𝑥) =5+(−0,6)⋅[𝑥−(−9)]+(−0,092)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]+(0,021)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]⋅[𝑥−(−1)] = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9 𝑥 + 4 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36 𝑥 + 𝑥 + 13 𝑥 + 36) = = (0,021) ⋅ 𝑥 + [−0,092 + 0,021 ⋅ 14] ⋅ 𝑥 + [−0,6 − 0,092 ⋅ 13 + 0,021 ⋅ 49] ⋅ 𝑥+ +(5 − 0,6 ⋅ 9 − 0,092 ⋅ 36 + 0,021 ⋅ 36) =
𝑁(𝑥) = 0,021 ⋅ 𝑥 3 + 0,202 ⋅ 𝑥 2 − 0,767 ⋅ 𝑥 − 2,956 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.1. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−9 ; 5], [−4 ; 2], [−1 ; − 2], [7 ; 9] jako v př ı́kladu 1.1. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −9 5
−4 2 ( ) ( )
−1 −2 ( ) ( )
= −0,6 ,
( (
, ) )
( (
≐ −1,333 ,
≐ −0,092 ,
( (
, )
7 9
)
( (
, )
)
) )
= 1,375
≐ 0,246
≐ 0,021
Vý sledný interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově
tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.):
𝑁(𝑥) =5+(−0,6)⋅[𝑥−(−9)]+(−0,092)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]+(0,021)⋅[𝑥−(−9)]⋅[𝑥−(−4)]⋅[𝑥−(−1)] = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 9) ⋅ (𝑥 + 4) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 9 𝑥 + 4 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) ⋅ (𝑥 + 1) = = 5 − 0,6 ⋅ (𝑥 + 9) − 0,092 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36) + 0,021 ⋅ (𝑥 + 13 𝑥 + 36 𝑥 + 𝑥 + 13 𝑥 + 36) = = (0,021) ⋅ 𝑥 + [−0,092 + 0,021 ⋅ 14] ⋅ 𝑥 + [−0,6 − 0,092 ⋅ 13 + 0,021 ⋅ 49] ⋅ 𝑥+ +(5 − 0,6 ⋅ 9 − 0,092 ⋅ 36 + 0,021 ⋅ 36) =
𝑁(𝑥) = 0,021 ⋅ 𝑥 3 + 0,202 ⋅ 𝑥 2 − 0,767 ⋅ 𝑥 − 2,956 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.2. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v př ı́kladu 1.2. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −1 −4
0 −1 ( ) ( )
1 0 ( ) ( )
=3 ( ) ( )
Vý sledný
( ) ( )
=1 ( ) ( )
= −1 ( (
) )
2 5 =5
=2
=1
interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově tvaru je potom:
𝑁(𝑥) =−4 + (3) ⋅ [𝑥 − (−1)] + (−1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] + (1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] = = −4 + 3 ⋅ (𝑥 + 1) − (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 + (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) = −4 + 3 𝑥 + 3 − 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 =
𝑁(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.2. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v př ı́kladu 1.2. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −1 −4
0 −1 ( ) ( )
1 0 ( ) ( )
=3 ( ) ( )
Vý sledný
( ) ( )
=1 ( ) ( )
= −1 ( (
) )
2 5 =5
=2
=1
interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově tvaru je potom:
𝑁(𝑥) =−4 + (3) ⋅ [𝑥 − (−1)] + (−1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] + (1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] = = −4 + 3 ⋅ (𝑥 + 1) − (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 + (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) = −4 + 3 𝑥 + 3 − 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 =
𝑁(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.2. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v př ı́kladu 1.2. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −1 −4
0 −1 ( ) ( )
1 0 ( ) ( )
=3 ( ) ( )
Vý sledný
( ) ( )
=1 ( ) ( )
= −1 ( (
) )
2 5 =5
=2
=1
interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově tvaru je potom:
𝑁(𝑥) =−4 + (3) ⋅ [𝑥 − (−1)] + (−1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] + (1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] = = −4 + 3 ⋅ (𝑥 + 1) − (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 + (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) = −4 + 3 𝑥 + 3 − 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 =
𝑁(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.2. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v př ı́kladu 1.2. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −1 −4
0 −1 ( ) ( )
1 0 ( ) ( )
=3 ( ) ( )
Vý sledný
( ) ( )
=1 ( ) ( )
= −1 ( (
) )
2 5 =5
=2
=1
interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově tvaru je potom:
𝑁(𝑥) =−4 + (3) ⋅ [𝑥 − (−1)] + (−1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] + (1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] = = −4 + 3 ⋅ (𝑥 + 1) − (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 + (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) = −4 + 3 𝑥 + 3 − 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 =
𝑁(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.2. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v př ı́kladu 1.2. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −1 −4
0 −1 ( ) ( )
1 0 ( ) ( )
=3 ( ) ( )
Vý sledný
( ) ( )
=1 ( ) ( )
= −1 ( (
) )
2 5 =5
=2
=1
interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově tvaru je potom:
𝑁(𝑥) =−4 + (3) ⋅ [𝑥 − (−1)] + (−1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] + (1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] = = −4 + 3 ⋅ (𝑥 + 1) − (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 + (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) = −4 + 3 𝑥 + 3 − 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 =
𝑁(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.2. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v př ı́kladu 1.2. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −1 −4
0 −1 ( ) ( )
1 0 ( ) ( )
=3 ( ) ( )
Vý sledný
( ) ( )
=1 ( ) ( )
= −1 ( (
) )
2 5 =5
=2
=1
interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově tvaru je potom:
𝑁(𝑥) =−4 + (3) ⋅ [𝑥 − (−1)] + (−1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] + (1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] = = −4 + 3 ⋅ (𝑥 + 1) − (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 + (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) = −4 + 3 𝑥 + 3 − 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 =
𝑁(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.2. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v př ı́kladu 1.2. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −1 −4
0 −1 ( ) ( )
1 0 ( ) ( )
=3 ( ) ( )
Vý sledný
( ) ( )
=1 ( ) ( )
= −1 ( (
) )
2 5 =5
=2
=1
interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově tvaru je potom:
𝑁(𝑥) =−4 + (3) ⋅ [𝑥 − (−1)] + (−1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] + (1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] = = −4 + 3 ⋅ (𝑥 + 1) − (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 + (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) = −4 + 3 𝑥 + 3 − 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 =
𝑁(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.2. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v př ı́kladu 1.2. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −1 −4
0 −1 ( ) ( )
1 0 ( ) ( )
=3 ( ) ( )
Vý sledný
( ) ( )
=1 ( ) ( )
= −1 ( (
) )
2 5 =5
=2
=1
interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově tvaru je potom:
𝑁(𝑥) =−4 + (3) ⋅ [𝑥 − (−1)] + (−1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] + (1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] = = −4 + 3 ⋅ (𝑥 + 1) − (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 + (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) = −4 + 3 𝑥 + 3 − 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 =
𝑁(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.2. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 4 body [−1 ; − 4], [0 ; − 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v př ı́kladu 1.2. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. Nejprve si souř adnice př epı́šeme do ná sledujı́cı́ tabulky, do které postupně doplnı́me i pomě rné diference. −1 −4
0 −1 ( ) ( )
1 0 ( ) ( )
=3 ( ) ( )
Vý sledný
( ) ( )
=1 ( ) ( )
= −1 ( (
) )
2 5 =5
=2
=1
interpolač nı́ mnohoč len v Newtonově tvaru je potom:
𝑁(𝑥) =−4 + (3) ⋅ [𝑥 − (−1)] + (−1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] + (1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1)] = = −4 + 3 ⋅ (𝑥 + 1) − (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 + (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) = −4 + 3 𝑥 + 3 − 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 =
𝑁(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 − 1
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.3. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 3 body jako v př ı́kladu 1.3. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. −1 2,25
0 0,25 ,
( , ) ( )
1,5 1
= −2
, , ,
( (
) )
( , ) ( )
= 0,5
=1
𝑁(𝑥) = 2,25 + (−2) ⋅ [𝑥 − (−1)] + (1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] = 2,25 − 2 𝑥 − 2 + 𝑥 + 𝑥 =
𝑁(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 + 0,25
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.3. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 3 body jako v př ı́kladu 1.3. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. −1 2,25
0 0,25 ,
( , ) ( )
1,5 1
= −2
, , ,
( (
) )
( , ) ( )
= 0,5
=1
𝑁(𝑥) = 2,25 + (−2) ⋅ [𝑥 − (−1)] + (1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] = 2,25 − 2 𝑥 − 2 + 𝑥 + 𝑥 =
𝑁(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 + 0,25
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.3. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 3 body jako v př ı́kladu 1.3. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. −1 2,25
0 0,25 ,
( , ) ( )
1,5 1
= −2
, , ,
( (
) )
( , ) ( )
= 0,5
=1
𝑁(𝑥) = 2,25 + (−2) ⋅ [𝑥 − (−1)] + (1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] = 2,25 − 2 𝑥 − 2 + 𝑥 + 𝑥 =
𝑁(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 + 0,25
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.3. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 3 body jako v př ı́kladu 1.3. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. −1 2,25
0 0,25 ,
( , ) ( )
1,5 1
= −2
, , ,
( (
) )
( , ) ( )
= 0,5
=1
𝑁(𝑥) = 2,25 + (−2) ⋅ [𝑥 − (−1)] + (1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] = 2,25 − 2 𝑥 − 2 + 𝑥 + 𝑥 =
𝑁(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 + 0,25
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.3. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 3 body jako v př ı́kladu 1.3. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. −1 2,25
0 0,25 ,
( , ) ( )
1,5 1
= −2
, , ,
( (
) )
( , ) ( )
= 0,5
=1
𝑁(𝑥) = 2,25 + (−2) ⋅ [𝑥 − (−1)] + (1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] = 2,25 − 2 𝑥 − 2 + 𝑥 + 𝑥 =
𝑁(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 + 0,25
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.3. — Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou dá ny stejné 3 body jako v př ı́kladu 1.3. Urč ete mnohoč len v Newtonově tvaru, který vš emi prochá zı́. −1 2,25
0 0,25 ,
( , ) ( )
1,5 1
= −2
, , ,
( (
) )
( , ) ( )
= 0,5
=1
𝑁(𝑥) = 2,25 + (−2) ⋅ [𝑥 − (−1)] + (1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] = 2,25 − 2 𝑥 − 2 + 𝑥 + 𝑥 =
𝑁(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 + 0,25 Příklad 2.3. — jiné pořadí uzlových bodů v tabulce −1 2,25
1,5 1 ,
( , (
) )
0 0,25 ,
= −0,5 ,
( (
, ) )
( ) ( , )
= 0,5
=1
𝑁(𝑥) = 2,25 + (−0,5) ⋅ [𝑥 − (−1)] + (1) ⋅ [𝑥 + 1] ⋅ [𝑥 − (1,5)] = 2,25 − 0,5 𝑥 − 0,5 + 𝑥 − 0,5 𝑥 − 1,5 =
𝑁(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 + 0,25 •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.3. — ještě jiné pořadí uzlových bodů v tabulce 0 0,25
−1 2,25 ,
( , ) ( )
= −2
,
(
)⋅[
( , (
, , ,
( )
1,5 0 1 0,25
( ) ( )
( )] ( )⋅[
) )
= −0,5
1,5 1 ,
,
( )]⋅[
(
)]
( )
, ( , ) ( , )
( )
(
0 1,5 0,25 1
= −0,5
, )⋅[
( , )] ( )⋅[
( , ) ( )
= −2
, ( , )
(
)]
𝑁(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 + 0,25
( )] ( )⋅[
( )]⋅[
( , )]
−1 2,25 ,
= 0,5 ( , ) ( , )
= 1 − 0,5 𝑥 + 0,75 + 𝑥 − 0,5 𝑥 − 1,5 2
=1
0 0,25
=1 ( , )]⋅[
( , )⋅[
= −0,5
𝑁(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 + 0,25
−1 2,25 ( ) ( , )
,
( , ) ( )
( ) ( , )
= 0,25 + 0,5 𝑥 + 𝑥 − 1,5 𝑥 2
𝑁(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 + 0,25
,
,
= 0,5
=1
= 0,25 − 2 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 2
1,5 1
( , ) ( )
−1 2,25
( )
( , )⋅[
( , ) ( )
= −2
=1 ( , )] ( )⋅[
( , )]⋅[
( )]
= 1 + 0,5 𝑥 − 0,75 + 𝑥 − 1,5 𝑥 2
𝑁(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 + 0,25
Poznámka: Uká zali jsme, ž e vý sledný tvar mnohoč lenu naprosto nezá lež ı́ na poř adı́ bodů zapisovaný ch do tabulky. [6, str. 30] •Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.3. — přidání dalšího uzlového bodu – příklad 1.3. −1 2,25
0 0,25 ,
( , ) ( )
1,5 1
= −2
, , ,
( (
) )
( , ) ( )
, , ,
( ) ( )
=
( , ) ( )
( ) ( , )
= 1,5
=2
2 3
𝑁(𝑥) = 2,25+(−2)⋅[𝑥 −(−1)]+(1)⋅[𝑥 −(−1)]⋅[𝑥 −(0)]+
= 2,25 − 2 𝑥 − 2 + 𝑥 + 𝑥 +
,
= 0,5
=1 ,
0,5 −0,5
2 ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] = 3
2 2 ⋅ 𝑥 + ⋅ 𝑥 − 𝑥 − 𝑥 = vý sledek pů vodnı́ho př ı́kladu + dodatek 3 3
𝑁(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 + 0,25 +
2 3 2 2 ⋅ 𝑥 + ⋅ 𝑥 − 𝑥2 − 𝑥 = 3 3
2 3 2 2 = ⋅ 𝑥 + ⋅ 𝑥 − 2 𝑥 + 0,25 3 3
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Příklad 2.3. — přidání dalšího uzlového bodu – příklad 1.3. −1 2,25
0 0,25 ,
( , ) ( )
1,5 1
= −2
, , ,
( (
) )
( , ) ( )
, , ,
( ) ( )
=
( , ) ( )
( ) ( , )
= 1,5
=2
2 3
𝑁(𝑥) = 2,25+(−2)⋅[𝑥 −(−1)]+(1)⋅[𝑥 −(−1)]⋅[𝑥 −(0)]+
= 2,25 − 2 𝑥 − 2 + 𝑥 + 𝑥 +
,
= 0,5
=1 ,
0,5 −0,5
2 ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (0)] ⋅ [𝑥 − (1,5)] = 3
2 2 ⋅ 𝑥 + ⋅ 𝑥 − 𝑥 − 𝑥 = vý sledek pů vodnı́ho př ı́kladu + dodatek 3 3
𝑁(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 + 0,25 +
2 3 2 2 ⋅ 𝑥 + ⋅ 𝑥 − 𝑥2 − 𝑥 = 3 3
2 3 2 2 = ⋅ 𝑥 + ⋅ 𝑥 − 2 𝑥 + 0,25 3 3
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
3. Závěrečná poznámka
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Jak je zř ejmé z př edchozı́ho obrá zku uvedené ho v prá ci [4], nestač ı́ se př i studiu prů bě hu funkce 𝑓(𝑥) omezit pouze na mnohoč leny. Mnohoč len 𝐿(𝑥) (na př edchozı́m obrá zku modř e) popisuje chová nı́ racioná lnı́ funkce 𝑓(𝑥) (na obrá zku č erveně ) na intervalu: (-1,1 ; 1,1) dostateč ně vý stiž ně (-3,9 ; -3,3) ne moc uspokojivě a na intervalu např ı́klad (6 ; ∞) je naproto mimo mísu.
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Langrangeů v IP
L–odvozenı́
L 1.1.
L 2.1.
L 3.1.
Newtonů v IP
N 1.1.
N 2.1.
N 3.1.
Použitá literatura ́ , R., M ́ , C. Základy numerické matematiky a programování. [1] C ,́ M., V , J., Z Praha : Stá tnı́ nakladatelstvı́ technické literatury, Celostá tnı́ vysokoš kolská uč ebnice pro strojnı́, elektrotechnické a stavebnı́ fakulty vysoký ch š kol technický ch, Praha 1987, 448 s. [2] D ́ , J. Matematika IV, Numerická analýza. Brno : Fakulta stavebnı́ VUT, 2009, 130 s. [Dostupné z adresy:] ⟨[https://intranet.fce.vutbr.cz/pedagog/predmety/opory.asp]⟩ ́ , J., B ̌ [3] D , J. Matematika IV. [skriptum] Brno : VUT, Fakulta elektrotechnická , 1991, 120 s. [Dostupné z adresy:] ⟨http://rschwarz.wz.cz/fast/DB_skripta.pdf⟩ ́ , P. Numerické metody. Univerzita obrany, [4] K , J., R ̌ [Dostupné z adresy:] ⟨https://moodle.unob.cz/course/view.php?id=1169⟩ ́ ̌ , I., V ́ , V. Numerické metody I. Vysoká š kola bá ň ská – Technická univerzita Ostrava, [5] P Zá padoč eská univerzita v Plzni, 2011, 191 s. [on line] ⟨http://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/files/unit/numericke_metody.pdf⟩ [6] P ̌ , P. Numerické metody matematické analýzy. Praha : Stá tnı́ nakladatelstvı́ technické literatury, Matematika pro vysoké š koly technické , seš it XXIV, Praha, 1985, 192 s.
•Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
