ONDERDRUKKEN VAN LEK NAAR ZIJLOBBEN B I J HET BEREKENEN VAN AUTO- EN KRUISSPECTRA M.B.V. PAST F O U R I E R TRANSFORMS
G. Klopman Waterloopkundig
Laboratorium
24 f e b r u a r i 1989
1.
Inleiding
B i j h e t bepalen van a u t o - en k r u i s s p e c t r a l e (in
h e t v e r v o l g van deze
meetreeks
van b e p e r k t e
notitie: duur,
vermogensdichtheidsfunkties
s p e c t r a ) van t i j d r e e k s e n
onstaat
uit
i n h e t algemeen
een
l e k van
v e r m o g e n s d i c h t h e i d b i j een bepaalde f r e q u e n t i e naar andere f r e q u e n t i e s . D i t wordt v e r o o r z a a k t door h e t f e i t , d a t a l s h e t s i g n a a l p e r i o d i e k wordt voortgezet,
met a l s p e r i o d e de meetduur,
e r discontinuïteiten i n h e t
s i g n a a l o f (hogere) a f g e l e i d e o p t r e d e n aan h e t b e g i n (en dus ook e i n d e ) van h e t s i g h a a l . H e t probleem wordt l n t h e o r i e dan ook k l e i n e r naarmate
t^A^"^
de meetduur l a n g e r wordt. Omdat h e t meeste vermogen naar n a a s t l i g g e n d e f r e q u e n t i e s l e k t , gevolgen van Z i j l o b - l e k
b i j quasi-periodleke
Voor h e t i n t e r p r e t e r e n v a n s p e c t r a
(smalbandige) processen
i n h e t g e v a l men geïnteresseerd i s processen spectrale
dichtheid
-q
i n verschillende
z i j n de
het grootst
(b.v. zeegangsspectra), en met g r o t e v e r s c h i l l e n i n
frequentiebanden
(b.v. lange
gebonden g o l v e n , bepalen van de h e l l i n g van de s t a a r t i n een spectrum).
Bij
h e t bepalen
van s p e c t r a u i t op e q u l d i s t a n t e
discrete
tijdstippen
bemonsterde s i g n a l e n Wordt vaak g e b r u i k gemaakt van de d i r e c t e methode, d.w.z.
v i a Fourier transformatie
van, de t i j d r e e k s
(m.b.v.
h e t Fast
F o u r i e r Transform o f t e w e l FFT-algortthme). Om de b e t r o u w b a a r h e i d
van de
s p e c t r a l e s c h a t t e r s t e v e r g r o t e n Worden twee t e c h n i e k e n g e b r u i k t : A. Het s i g n a a l Wordt i h d e e l r e e k s e n o p g e s p l i t s t , en na toepassen van FFT op
iedere deelreeks
worden door
m i d d e l i n g over
de d e e l r e e k s e n de
s p e c t r a l e s c h a t t e r s verkregen. B. Het h e l e s i g n a a l wordt F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d , en de f r e q u e n t i e - a s wordt
opgedeeld
bevatten.
Door
i n intervallen, middeling
d i e meerdere
( o f meer
algemeen:
spectrale
schatters
c o n v o l u t i e ) van de
s p e c t r a l e s c h a t t e r s p e r i n t e r v a l wordt de b e t r o u w b a a r h e i d v e r g r o o t .
-1-
/*
/ Bij
beide
technieken
gaat
gepaard met een v e r l i e s
aan
de
vergroting
evenredig
deelreeksen rekentijd
is
van
N
met
de
zodat
kiezen:
neem lange d e e l r e e k s e n
v e r v o l g e n s over
dus
i s . Tevens
kan
rekentijd
van
verwerking
methode methode
A A
van
en met
B
een M qua
minder
toe.
i s m o g e l i j k door
computergeheugen
een
tussen
Methode B h e e f t a l s v o o r d e e l een k l e i n e r e Optimalisatie
betrouwbaarheid
omdat de bij
verhouding
l o g ^ N / l o g ^ MN < 1
computergeheugenruimte
methode B,
N l o g ^ N,
punten
de
resolutie.
Methode A i s i e t s goedkoper dan FFT
van
passen
om
een
mengvorm
van
methode
A
(b.v. 2048 samples) d i e nog
de
f r e q u e n t i e s om
zijlob-lek.
zlJlob-lek de
te
van
de
B
te
wel
i n het
en
middel
reduceren,
betrouwbaarheid
en
schatters
te
vergroten.
2. Z i j l o b - l e k
r e d u c t i e , m.b.V. v e n e t e r f u n c t i e s l n h e t t i j d d o m e i n
De z i j l o b - l e k kan worden verminderd m.b.v. v e n s t e r - f u n c t i e s ( o f t a p e r s ) , die veel
i n het
tijddomein
met
het
signaal
worden v e r m e n i g v u l d i g d .
toegepaste v e r s t e r - f u n c t i e s w^ z i j n ,
op de d i s c r e t e t i j d s t i p p e n
a l s het s i g n a a l
1)
w^ = 1 1
Hann v e n s t e r
i s bemonsterd
= J At, J=0,1,2,.,,N~l: J - ~ (N
Parzen v e n s t e r
Enkele
w
1 -
= J
(N . 1) COS
f J - i W
Welch v e n s t e r
J
N - 1
2
(N - 1)
1
= 1 i
(N + 1)
Het Hann v e n s t e r wordt vaak ook c o s i n u s t a p e r genoemd. Er z i j n
v e l e s o o r t e n v e n s t e r s bedacht,
waard i s , i s d i e van
maar één
Nuttall: 3
N u t t a l l venster = " j "
I N r=0
met:
a
= 0.3635819» O
a^ = 0.4891775, a
= 0.1365995, en 2
a
= 0.0106411. 3 -2-
2irrJ
d i e nog
het
vermelden
Na toepassen van bovengenoemde v e n s t e r f u n c t i e s l n h e t t i j d d o m e i n moeten de v e r k r e g e n s p e c t r a l e s c h a t t e r s nog g e c o r r i g e e r d dat
deze
vensters
de v a r l a n t i e
worden voor h e t f e i t
van h e t s i g n a a l
verminderen
met een
factor: 1 N
"'^
I
2
"j •
J=o
Van deze v e n s t e r - f u n c t i e s h e e f t d i e van Hann h e t v o o r d e e l functiewaarde periodieke
afgeleide
voortzetting
functiewaarden k-de
en
n u l heeft
van
en e e r s t e
het
te
aan
begin
en
transformeren
afgeleiden heeft.
d a t deze een
eind,
zodat
signaal
de
continue
B I J discontinuïteiten
i n de
a f g e l e i d e nemen de z i j l o b b e n l n h e t spectrum a f a l s de f r e q u e n t i e f
t o t de macht - 2 (k+1), dus b i j h e t Parzen, Welch en N u t t a l l v e n s t e r a l s f Het
en b i j Hann's v e n s t e r Nuttall
venster
alsf .
h e e f t a l s s t e r k e eigenschap, d a t de e e r s t e
zeer v e e l l a g e r l i g t dan de h o o f d l o b De
vensterfuncties
frequentiedomein. vensterfunctie
veroorzaken Dit is
het
zijlob
( f a c t o r 1.26 10
een
verminderde
sterkst
het
geval
resolutie bij
de
i n het Nuttall
( 8 0 % g r o t e r e h o o f d l o b b r e e d t e ) en de Hann v e n s t e r f u n c t i e
(60 '/, g r o t e r e h o o f d l o b - b r e e d t e ) , en i n mindere mate b i j de ahdere twee genoemde Vensters. Het
Hann
en
Nuttall
venster
vereisen
het
uitrekenen
van
cosinus
f u n c t i e s , hetgeen deze methodes duurder maakt. D i t kan, i n h e t g e v a l van methode A, worden ondervangen door de v e n s t e r f u n c t i e w a a r d e n van t e v o r e n eenmalig u i t t e rekenen en op t e s l a a n i n een a r r a y . Omdat de v e n s t e r f u n c t i e s g e l e i d e l i j k
naar k l e i n e waarden gaan aan h e t
b e g i n en e i n d van de meetreeks, wordt i n f o r m a t i e "weggegooid". D i t kan worden gecompenseerd, i n h e t geval van methode A, door h a l f - o v e r l a p p e n d e d e e l r e e k s e n t e gebruiken.
/ 3. Z i j l o b - l e k r e d u c t i e m.b.v. c o n v o l u t l e s i n h e t f r e q u e n t i e d o m e i n Vermenigvuldigen van een t i j d r e e k s
met een v e n s t e r i n h e t t i j d d o m e i n
komt overeen met een c o n v o l u t i e i n h e t f r e q u e n t i e d o m e i n .
B i j h e t Hann
v e n s t e r h e e f t deze c o n v o l u t i e een zeer b e p e r k t e b a s i s , en kan dan ook i n het f r e q u e n t i e d o m e i n op de ruwe complexwaardige F o U r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e waarden
worden
toegepast
frequentie-intervallen). waarden
gelijk
zijn
(dus vóór A l s de
aan
middeling
ruwe
over
deelreeksen
(complexwaardige)
= X(k/T),
dan worden
de
of
•perir©é«&pesi
waarden
na
t o e p a s s i n g Van h e t Hann v e n s t e r :
%k = - i4 x
+ i2 x k - 4i x
k-l
.
k+l
I n h e t g e v a l van d e e l r e e k s e n (methode A) i s toepassen van Hann v e n s t e r s in
het frequentiedomein
duurder
dan
i n het tijddomein,
indien
de
vensterwaarden van t e v o r e n éénmalig worden opgeslagen i n een a r r a y .
Na m i d d e l i n g over d e e l r e e k s e n o f f r e q u e n t i e i n t e r v a l kan h e t spectrum ook nog worden g l a d g e s t r e k e n (smoothing) d.m.v. c o n v o l u t i e
(voortschrijdend
gemiddelde) met een smoothing f u n c t i e . Eén zo'n smoothing f u n c t i e i s d i e van
Hann. ƒ Door h e t toepassen
betrouwbaarheid
Van deze g l a d s t r i j k t e c h n i e k e n
t o e , maar de r e s o l u t i e
a f . Deze smoothing
hebben e c h t e r n i e t s t e maken met z i j l o b - l e k
neemt de
technieken
reductie.
4. Aanbevelingen a. Trek h e t gemiddelde van h e t gehele s i g n a a l van de meetreeks a f , vóór de F o u r i e r t r a n s f o r m a t i e .
De s p e c t r a l e waarde b l J
i s dan een maat voor h e t f e i t gekozen
voor
h e t voldoende
o f de d e e l r e e k s l e h g t e l a n g genoeg i s
betrouwbaar
s c h a t t e r s b i j de lage f r e q u e n t i e s . van
het
signaal
voor
het
Gebruik
(methode
(cosinustaper) half
van de
A),
gemiddelde^cijf erverlies
b i j het
verwerkingsmethode b.v.
2048
i n het tijddomein
overlappende
spectrale corrigeren
WH.,'.
a l s standaard
deelreeksen
bepalen
Te¥e«s-J/»Hd:tiÖWt ^ e t
FFT-algorlthme. b.
de n u l - f r e q u e n t i e
deelreeksen.
ijL^^%
middeling
samples,
voor Middel
zljlob
met
over
Hann's
venster
lekreductie.
Gebruik
daarna
over
frequentie-
i n t e r v a l l e n om de betrouwbaarheid t e v e r g r o t e n (methode B).
-4-
lange
. »
'
c. I n d i e n men geïnteresseerd I s spectrum het
afvalt
(mits d i t
l n de macht waarmee de s t a a r t
mogelijkerwijs sneller
van een
i s dan f ~ ^ ) ,
of i n
spectrumverloop i n f r e q u e n t i e b a n d e n met een v e e l l a g e r e s p e c t r a l e
waarden dan de s p e c t r a l e
piekwaarde,
i s m i d d e l i n g over
i n t e r v a l l e n aan t e bevelen, met Hann's v e n s t e r f r e q u e n t i e d o m e i n t e r r e d u k t i e van z i j l o b - l e k .
frequentie
(cosinustaper)in het
Het h e l e s i g n a a l
moet
i n h e t computergeheugen passen ( e r z i j n wel FFT's d i e deze b e p e r k i n g n i e t hebben* maar de g r o t e h o e v e e l h e i d I/O z a l deze t r a a g maken), o f anders moeten de d e e l r e e k s e n zo l a n g m o g e l i j k worden genomen (op een IBM-FC met 640 kB RAM b.V. 65536 = 2^^ punten). d.
Het v e r d i e n t
aanbeveling
om
standaard
g l a d s t r l j k t e c h n i e k e n op h e t spectrum aangezien door
de betrouwbaarheid
minder
spectrale
geen
gebruik
t e maken van
(b.v. Hann "smoothing"
functie),
van s c h a t t e r s ook kan Worden
Schatters
te
nemen,
en
deze
verhoogd smoothing
t e c h n i e k e n een hogere r e s o l u t i e suggereren dan w e r k e l i j k aanwezig i s . BIJ
natuurmetlngen, met meetreekslengtes
van 20 é 30 minuten,
waar
meestal zeer w e i n i g s p e c t r a l e s c h a t t e r s g e b r u i k t kunnen worden I.v.m. de
gewenste
betrouwbaarheid
Vah
de
schatters,
kunnen
d i t soort
technieken handig z i j n .
Literatuur Bendat, J.S. & P i e r s o l , A. G.
(1986).
Random Data: Analysis and Measurement Procedures. W i l e y - I n t e r s c i e n c e , New York, 2nd ed.
Dlngemans-Tanis, M.P.
(1974).
Bepaling richtingisspëctra van zeegolvent Het schatten van spectra. WL-rapport R 680 d e e l I I .
Marple, S.L.
(1987).
Digital spectral analysis with applications. Prentice-Hall.
Press, W.H.,
F l a n n e r y , B.P, , Teukolsky, S.A. & V e t t e r l l n g , W.T.
Numerical Recipes: The Art of Scientific Computings Cambridge U n i v e r s i t y Press, Cambridge.
(1986).
