Rezgéscsillapítás
Oktatási segédlet
REZGÉSCSILLAPÍTÁS a Nemzetközi Hegesztett Szerkezettervező mérnök képzés hallgatóinak
Dr. Jármai Károly, Dr. Farkas József
Miskolci Egyetem
2014
-1-
Rezgéscsillapítás
A szerkezeteket különböző dinamikus hatások érhetik, pl. gépek üzemeltetéséből átadódó váltakozó erők, ütések, folyadékáramlás, széllökések, földrengés. Ezek hatására a rugalmas szerkezetek, vékony lemezek rezgésbe jönnek, zajosak lesznek, a létrejövő nagy kilengések esetleg a szerkezet tönkremeneteléhez, fáradásos törésekhez
vezethetnek. Ezért a káros
rezgéseket csillapítani kell.
Szerkezeti rezgések csillapítására több mód van. Aktív csillapításnak nevezzük azokat a módokat, amelyek additív tömegekkel, rúgókkal, jó csillapító képességű szerkezeti elemekkel (pl. gumialátétekkel) érik el a megfelelő csillapítást. Passzív csillapítás az, ha magát a szerkezetet tervezzük úgy, hogy legyen csillapító képessége. Itt csak ezzel foglalkozunk. Egy szerkezetben keletkezhet anyag- és súrlódásos csillapítás. Az anyagcsillapítás megfelelő anyagkombinációkkal, jó csillapító, energia-elnyelő képességű anyagrétegek alkalmazásával (szendvics-szerkezetek) fokozható, a súrlódásos csillapítás fémelemek között jöhet létre megfelelő összenyomás mellett. 1. A csillapítás mérőszámai és mérő módszerei Szabad rezgések logaritmikus dekrementuma, δ , két egymást követő amplitúdó hányadosának viszonyszáma. Egyszabadságfokú rendszer rezgésegyenlete my + r y +
y =0 cm
(1)
ahol m a tömeg, cm a rúgóállandó, r a csillapítási állandó. Az (1) másik alakja y + 2 βr y + α 2 y = 0 ahol
α2 =
1 ; mcm
β=
(2)
r . 2m
Gyenge csillapítás esetén, ha β < α , a (2) megoldása y (t ) = Ae − β t sin(γ t + ε 0 ) ahol
(3)
γ = α 2 − β 2 , t az idő.
Mivel β kicsi α -hoz képest, így γ ≈ α , a csillapítás nem változtatja meg lényegesen a sajátfrekvenciát. Az amplitúdók exponenciálisan csökkennek A1 e −β t = − β ( t +T ) = e β T A2 e
(4)
A logaritmikus dekrementum -2-
Rezgéscsillapítás
δ = ln
c A1 r T = rπ m = βT = 2m m A2
(5)
mivel a rezgésidő T=
2π
γ
≈
2π
α
= 2π mcm
(6)
1 ábra. Szabad rezgések állandó D csillapítás mellett
Általánosítva
δ=
A 1 ln i k Ai + k
(7)
A rezgéscsillapítási tényező
η=
δ π
(8)
Ennek mérésére Oberst (1952) javasolta a félteljesítményhez tartozó frekvencia-sávszélesség mérési módszert. Ez aránylag kis csillapítású rendszerekre, tehát fémszerkezeti modellekre is alkalmazható (2 ábra)
-3-
Rezgéscsillapítás
ahol
η=
f 2 − f1 ∆ f = fn fn
fn
a rezonancia-frekvencia, a frekvenciák különbségét a rezonancia-amplitúdó
(9)
1 / 2 =0.707-szeresénél kell mérni. A Brüel & Kjaer dán mérő-műszercsalád alkalmas ennek mérésére (3. ábra). A 4. ábra azt mutatja, hogy a rezonancia-görbék hogyan változnak a csillapítás mértékének függvényében.
2. ábra. A rezgéscsillapítási tényező mérése Oberst-módszerrel
3. ábra. A modellmérés a Brüel-Kjaer műszerekkel -4-
Rezgéscsillapítás
4. ábra. Rezonancia-görbék különböző csillapítások esetén
Jones és Parin (1972) javasolt olyan mérési módszert, amely alkalmas lágy anyagok (pl. gumi) csillapításának mérésére (5 ábra). Ez alkalmas a dinamikus nyírási modulus mérésére is.
5. ábra A Jones-féle mérés készüléke -5-
Rezgéscsillapítás
A dinamikus nyírási modulust mint komplex mennyiséget definiáljuk Gd* = Gd (1 + iη d )
(10)
Az 5. ábrán vázolt készülékbe ragasztott mérendő anyag méretei: hossz s, szélesség b0 és vastagság h. A rezgető asztalra erősített készülékben mérni kell az asztal x1 és az m tömeg x2 gyorsulását. A rezgető asztal mozgásegyenlete x1 = x10 e iωt
(11)
és a tömegé * iωt x 2 = x 20 e ,
(12)
* ahol x 20 komplex mennyiség a fáziseltolódás miatt.
A tömeg egyensúlyi egyenlete mx2 = kGd* ( x1 − x 2 ) , ahol
k=
(13)
A = 2b0 , s
(14)
A = 2sb0.
(15)
A (11)-t és (12)-t a (13)-ba helyettesítve * x20 kGd* = = x10 kGd* − ω 2 m
1 + iη d ω 2m 1− + iη d kGd
(16)
Bevezetve a rezonancia frekvenciához tartozó ω 0 és Gd0 értékeket Gd 0 =
mω 20 mω 20 = 2b0 k
(17)
valamint a Snowdon (1968) által javasolt transzmisszibilitási vagy mozgásátviteli tényezőt
* x 20 x2 (1 + η 2d ) 1/ 2 = = TR = 1/ 2 2 x10 x1 2 2 G ω 2 d0 + ηd 1 − ω 0 Gd
(18)
A rezonancia-frekvenciánál TR20 =
(1 + η 2d )
(19)
η 2d
ebből a vizsgált anyag rezgéscsillapítási tényezője
-6-
Rezgéscsillapítás
ηd =
1 TR20 − 1
.
A (19)-ből látható, hogy ha
(20)
ηd ≤ 0.1 , akkor
TR 0 ≈
1
ηd
, vagyis a TR0 dinamikus tényező,
amely reciproka a csillapítási tényezőnek. Ez az összefüggés felhasználható egy szerkezet méretezésére, ha ismerjük a csillapítási tényezőt és rezonancia-közeli állapotra akarunk méretezni. A csillapítás mérőszámaként használható a hiszterézis hurok területe is.
2. Anyagcsillapítás
Lazan (1968) szerint az anyagcsillapítás exponenciálisan függ a feszültség-amplitúdótól D = Jσ an
(21)
6. ábra. Az anyagcsillapítás a feszültség-amplitúdó függvényében
A csillapítás a
0.05 <
σa fy
(22)
< 0.8
-7-
Rezgéscsillapítás
tartományban használható ki, mert a fáradási feszültség közelében ( σ a > 0.8∆σ N ) már fáradási repedési veszély lép fel, n értéke 2.3-ról 8-ra növekszik a fellépő fáradási mikrorepedések okozta belső súrlódás miatt. Lazan szerint az η értékei különböző anyagokra az alábbiak:
a.
0.2% C tartalmú acél
(0.3-1.8)10-3,
gömbgrafitos öntöttvas
(1.4-6.3)10-4,
Lamelláris grafitos öntöttvas
(1.9-16)10-3,
Alumínium-ötvözet (6063T6 USA)
(0.5-5)10-2,
Mg-Cu ötvözet (12-64)% Cu
10-2-1,
Ni-Ti-Nol
0.3 - 0.4,
PVC habok
10-2-1.8.
Súrlódásos csillapítás
Egyszerű, kétlemezes tartó példáján követhető a kialakuló csillapítás és az azt befolyásoló tényezők hatása (7. ábra). Az αF erő periodikusan változik és a két lemezt p intenzitású terhelés nyomja össze.
7. Súrlódásos csillapítású réteges tartó
-8-
Rezgéscsillapítás
A hajlitó erőt lineárisan növeljük. Célunk a 8. ábrán vázolt hiszterézis hurok és területének meghatározása, mert az arányos a csillapítással. Az 1 szakaszban a két lemez együttdolgozik, mert a nyíró erő a két lemez között kisebb mint a nyugvó súrlódás legyőzéséhez szükséges q0 = µ pb érték. E szakaszban a lehajlás az erő alatt
y= ahol
I=
αFL3 24 EI
,
(23)
bh 3 egy lemezrész másodrendű nyomatéka saját súlyponti tengelyére. 12
E szakasz határpontjának koordinátái q = q0 =
α 0F =
3α 0 F , 4h
(24)
4q0 h , 3
(25)
és a lehajlás y1 =
α 0 FL3 24 EI
.
(26)
A második terhelési szakaszban a nyírófeszültség legyőzi a nyugvó súrlódást, a két lemez elcsúszik egymáson. Az αF erő két részre oszlik és az elmozdulás az egy lemezre ható α és a q0 megoszló erőrendszerből határozható meg. Az utóbbi m = q 0
h nagyságú megoszló 2
hajlító nyomaték-rendszerként működik:
αFL3
mL3 FL3 y= (4α − 3α 0 ) . − = 2 * 3EI 3EI 24 EI
(27)
Ez a 2. jelű egyenes egyenlete.
-9-
F 2
Rezgéscsillapítás
8. ábra. A súrlódásos csillapítás hiszterézis diagramja Az egyenes határpontját az α = 1 -hez tartozó y = y1 =
(4 − 3α 0 ) FL3 24 EI
(28)
értéke adja meg. A harmadik szakaszban ellenkező előjelű, csökkenő abszolút értékű erő működik, ez úgy is felfogható, mint egy felfelé ható (1− α ) F nagyságú erő. Ellenkező értelemben még nem indul el a csúszás, így a viszonyok az 1. szakaszéhoz hasonlítanak, az y = y2 −
(1 − α ) FL3 FL3 = (3 − 3α 0 + α ) 24 EI 24 EI
(29)
egyenes párhuzamos lesz az 1. egyenessel. Az y3 =
(1 − α 0 ) FL3 8 EI
(30)
értékre a hiszterézis hurok területéhez van szükségünk. A fajlagos csúsztató erő ekkor q = q0 −
3(1 − α ) F
(31)
4h
határesetben q0 −
3(1 − α 1 ) F = −q0 4h
(32)
ebből α 1 = 1 − 2α 0 és a határpontban
- 10 -
Rezgéscsillapítás
y4 =
FL3 FL3 (4 − 5α 0 ) (3 − 3α 0 + α 1 ) = 24 EI 24 EI
(33)
A negyedik szakaszban a csúszás az ellenkező irányban megindul, ekkor y = y4 −
(α 1 − α ) FL3 FL3 (3α 0 + 4α ) = 24 EI 24 EI
(34)
és y5 = −
(4 − 3α 0 ) FL3 = − y0 . 24 EI
(35)
A hiszterézis hurok területe DS = 4 y 3α 0 F =
α 0 (1 − α 0 ) F 2 L3 2 EI
=
2 µbhL3 (3Fp − 4 µp 2 bh . 9 EI
(36)
E kifejezésből látható, hogy a réteges tartó rezgéscsillapítása függ a felületi nyomástól, a felület állapotától, a felület nagyságától, a kitérés-amplitúdó nagyságától és a geometriai alaktól.
9. ábra. A csillapítás változása a p nyomás függvényében
A csillapítást a p nyomás függvényében ábrázolva (9. ábra) másodfokú parabolát kapunk, ennek maximuma DS max = mely a popt =
F 2 L3 , 8 EI
(37)
3F 8µbh
(38)
optimális felületi nyomáshoz tartozik. Súrlódásos csillapítás nem jön létre, ha p = 0 és akkor sem, ha nincs elcsúszás, p = 2 popt értéknél.
- 11 -
Rezgéscsillapítás
b.
Hegesztett tartók rezgéscsillapítása
Mivel a fémszerkezetek anyagcsillapítása kicsi, a csillapító képesség növelése kétféleképpen történhet: (a) súrlódásos csillapítás előidézése megfelelő súrlódó felülettel és felületi nyomással, (b) jó csillapítású anyagok rétegeinek beépítésével. Itt néhány megoldást mutatunk be az (a) megoldásra. Az elcsúszás mértékének növelésére célszerű a súrlódó felületet a nagyobb nyíró feszültségek helyén kialakítani, vagyis hajlított I-tartók esetén a semleges szál közelében. Ezért a 4.10 ábrán vázolt megoldások közül hatékonyabb az amelynél két I-tartót kapcsolunk össze.
10. ábra. Hajlított hegesztett I-tartók különféle súrlódó felületekkel Kettős sarokvarratok esetén bizonyos súrlódó felület keletkezhet, ha a kötés nem olvad össze teljesen (11.a. ábra). Ez viszont fáradás szempontjából kedvezőtlen.
Mivel ívpont-hegesztett kötéseknél (11.b ábra) nem jön létre összenyomás, így e kötés rezgéscsillapítása sem jelentős. Megfelelő felületi nyomás érhető el a lemezek előfeszítésével (11.c ábra). Vékony, hidegen alakított lemezekből hegesztett szerkezeteknél a varratok zsugorodása elősegíti a belső súrlódó felületek kialakulását (11.d ábra). Két cső összehegesztésével is hasonló súrlódó felület érhető el (12 ábra).
- 12 -
Rezgéscsillapítás
11. ábra. Hegesztett kötések rezgéscsillapítása. (a) sarokvarratos kötés súrlódó felülettel, (b) ívpont-hegesztett kötés súrlódó felület nélkül, (c) előfeszített lemezek súrlódó felülettel, (d) íves vékony lemez kötése vastagabb lemezhez súrlódó felülettel
12. ábra. Két összehegesztett csőből álló tartó súrlódó felülettel Vékonyfalú elemekből hegesztett szelvénynél (4.13.a ábra) a szárakat szintén előfeszíthetjük. Vékonyfalú hengerek csillapítása növelhető azzal, hogy a külső hengerköpenyt a 4.13.b ábrának megfelelően besajtolt hullámokkal alakítjuk ki és helyenként ívpont-varratokkal erősítjük a belső falhoz.
- 13 -
Rezgéscsillapítás
13. ábra. Súrlódó felületek létrehozása előfeszítéssel: (a) vékonyfalú rúd, (b) kettősfalú henger
Köszönetnyilvánítás A kutatás a TÁMOP-4.2.4.A/2-11/1-2012-0001 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program – Hazai hallgatói, illetve kutatói személyi támogatást biztosító rendszer kidolgozása és működtetése konvergencia program című kiemelt projekt keretében zajlott.
A
projekt
az
Európai
Unió
támogatásával,
társfinanszírozásával valósul meg.
- 14 -
az
Európai
Szociális
Alap
