Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK
PRAKTIKUM II. Úloha č. XXIII ppppppp Název:p pMěření p p p p p p p p p p intenzity p p p p p p p p p p p p pmagnetického p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pole p p p p p p p souosých p p p p p p p p p p p p p kruhových p p p p p p p p p p p p p p p cívek p p p p p p p pap p psolenoidu ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp Pracoval: p p p p p p pLukáš p p p p p p p p Vejmelka p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p stud. skup. p p p p p p p FMUZV p p p p p p p p p p p p (73) p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p p p 23.10.2013 pppppppppppppppppppppppppppppp Odevzdal dne: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Možný počet bodů Práce při měření
0–5
Teoretická část
0–1
Výsledky měření
0–8
Diskuse výsledků
0–4
Závěr
0–1
Seznam použité literatury
0–1
Celkem
max. 20
Posuzoval: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Udělený počet bodů
1
Zadání úlohy 1. Změřte průběh intensity magnetického pole na ose souosých kruhových magnetizačních cívek a) v zapojení s nesouhlasným směrem proudu při vzdálenostech 12, 16, 20 cm, b) v zapojení se souhlasným směrem proudu při týchž vzdálenostech cívek. 2. Změřte intensitu magnetického pole uprostřed mezi souosými kruhovými magnetizačními cívkami v zapojení se souhlasným směrem magnetizačního proudu při proměnné vzájemné vzdálenosti cívek 7 až 20cm. 3. Přesvědčte se, že při Helmholtzově poloze cívek v zapojení se souhlasným směrem proudu je pole na ose cívek v rámci možností homogenní. Pro tento případ stanovte experimentálně konstantu úměrnosti mezi intensitou magnetického pole cívek a napětím indukovaným na detekční cívce a porovnejte ji s teoretickou hodnotou. 4. Proměřte průběh intensity magnetického pole na ose solenoidu. 5. Experimentální výsledky podle bodů 1 až 4 porovnejte s teoretickými výpočty. Veškeré výsledky zpracujte tabelárně a graficky.
2
Teoretický úvod měření
Nejen v příkladech, ale i v praxi se pro jednoduchost výpočtu někdy uvažuje magnetické pole uvnitř cívky za homogenní. Jakých chyb se tak dopustíme? V této úloze zjistíme průběh velikosti intenzity magnetického pole na ose soustavy dvou kruhových souosých cívek a dále solenoidu a budeme diskutovat, jak moc se liší hodnoty v jednotlivých částech od teoretických výpočtů. Ukážeme také, jaké chyby se dopustíme, vypočítáme-li pole solenoidu konečných rozměru pomocí vztahu pro solenoid nekonečný. [1]
Zavedení potřebných veličin a vztahů Průběh pole na ose kruhových cívek Vodiče protékané proudem vedou ke vzniku magnetického pole, které lze charakterizovat jeho intenzitou. Sledujeme-li pole ve vakuu, nebo v prostředí z tohoto hlediska mu podobném, platí mezi intenzitou magnetického pole a magnetickou indukcí materiálový vztah [1] B = µ0 H,
(1)
kde µ0 je permeabilita vakua. Elementární příspěvek magnetické indukce v nějakém bodě v okolí smyčky protékané proudem je dán Biotovým-Savartovým zákonem. Integrací lze pro kruhovou cívku s N závity, pro kterou jsou rozměry jejího vinutí zanedbatelné vzhledem k poloměru R, protékanou proudem I, získat vztah pro velikost intenzity magnetického pole na ose ve vzdálenosti x od středu ve tvaru H(x) =
N IR2 3
2(R2 + x2 ) 2
.
(2)
Uvážíme-li souosou soustavu dvou stejných kruhových cívek, bude výsledné pole superpozicí dílčích polí a pro velikost intenzity na ose cívek ve vzdálenosti x od středu lze psát ( ) N IR2 1 1 H(x) = , (3) 2 ± 2 2 [R2 + (a + x)2 ] 2 [R2 + (a − x)2 ] 2 kde znaménko + (resp. −) odpovídá situaci, kdy jsou cívky protékány souhlasně (resp. nesouhlasně), a význam má pouze absolutní hodnota. V případě, že vzdálenost cívek 2a je rovna poloměru R a cívky jsou protékány souhlasně, hovoříme o tzv. Helmholtzově uspořádání, při kterém by mělo být na ose mezi cívkami takřka homogenní magnetické pole. Vztah (3) pro intenzitu magnetického pole v Helmholtzově uspořádání ve středu tak přejde v H(0) =
NI 8 √ . R 5 5
2
(4)
Bude-li mít napájecí napětí harmonický průběh, lze očekávat harmonický průběh proudu a tedy i intenzity magnetického pole. V uvedených vztazích lze tedy od okamžitých hodnot snadno přejít k hodnotám efektivním, tedy hodnotám, které snadno naměříme na standartních měřících přístrojích.
Měření magnetického pole Magnetické pole lze měřit umístěním detekční cívky s n závity, jejíž střední plocha je S = πr2 . Nachází-li se cívka v harmonicky proměnném magnetickém poli, indukuje se na ní harmonické napětí o efektivní hodnotě U = ωµ0 nHS = 2π 2 µ0 f nr2 H.
(5)
Známe-li tedy indukované napětí U , z vlastností detekční cívky snadno dopočítáme efektivní hodnotu intenzity magnetického pole jako H=
U . 2π 2 µ0 nr2
(6)
Konstanta úměrnosti mezi intenzitou magnetického pole a indukovaným napětím je pak H 1 . = 2 U 2π µ0 f nr2
(7)
Průběh pole na ose solenoidu Velikost intenzity magnetického pole ve středu ideálního solenoidu je [1] H=
IN q l
l/2 , l 2 2 + R 2
(8)
kde I je proud jím protékající, N počet závitů, l je délka a R poloměr válcové plochy. Na koncích solenoidu by měla intenzita dosahovat hodnoty [1] H=
l IN √ . 2l l2 + R2
(9)
Pro nekonenčně dlouhý solenoid získáváme vztah H=
IN = In, l
(10)
kde n značí počet závitů na jednotku délky. Průběh magnetické intenzity ve vzdálenosti y od kraje solenoidu lze vyjádřit vztahem [1] IN −y l−y . p H(y) = −p 2 2 l y 2 + R2 (l − y) + R
(11)
Je-li solenoid vícevrstvý, tj. vinutí je vymezeno poloměry r1 a r2 , pak lze průběh určit přesněji vztahem q q 2 2+ l +a 2 r + r r + r22 + 2l + a 2 2 IN l l 2 2 q q H(y) = + a ln (12) 2 + 2 − a ln 2 2l(r2 − r1 ) 2 r1 + r12 + 2l + a r1 + r12 + 2l + a
2.1
Použité přístroje, měřidla, pomůcky
Digitální multimetr (MXD 4660 A) v modu střídavého voltmetru, ručičkové ampérmetry, souosá soustava dvou kruhových cívek s měnitelnou vzdáleností, solenoid, proměnný odpor, detekční cívky, střídavé zdroje napětí, vodiče.
2.2
Důležité hodnoty, konstanty, vlastnosti
Důležité hodnoty pro výpočet nebo látkové konstanty pro porovnání výsledků. Permeabilita vakua µ0 = 4π · 10−7 H · m−1 [1]
3
2.3
Popis postupu vlastního měření
Měření kruhových cívek Měření probíhá podle schématu na obrázku 1. Na základě indukované hodnoty napětí uprostřed mezi cívkami se přesvědčíme, že jsou cívky zapojeny souhlasně. Nastavíme příslušnou vzdálenost cívek a zaznamenáváme indukované napětí na indukční cívce v závislosti na její poloze. Po proměření souhlasného zapojení cívky zapojíme nesouhlasně a průběh opět proměříme. To provedeme pro všechny udané vzdálenosti cívek 12, 16, 20 cm. Pro souhlasné zapojení proměříme navíc tzv. Helmholtzovo uspořádní, při kterém budou cívky vzdáleny o hodnotu rovnou jejich poloměru. Dále budeme fixovat detekční cívku ve středu spojnice středu kruhových cívek a budeme sledovat indukované napětí na detekční cívce v závislosti na jejich vzájemné vzdálenosti od 7 do 20 cm. Měření solenoidu Měření probíhá podle schématu na obrázku 1. Solenoid zapojíme přes ampérmetr a proměnný rezistor ke zdroji. S měřením začneme až po té, co se proud dle možností ustálí. Poté postupným vytahováním detekční cívky na milimetrové ose zaznamenáváme indukované napětí v jednotlivých pozicích.
Obrázek 1: Schémata k měření – při měření nebylo použito dvojitého spínače v zapojení komutátoru, ale vodiče jsme prohazovali fyzicky.
4
3 3.1
Výsledky měření Laboratorní podmínky
Teplota v laboratoři: 23,6 ◦ C Atmosférický tlak: 991,7 hPa Vlhkost vzduchu: 50,2 %
3.2
Způsob zpracování dat
Souhlasně a nesouhlasně orientované cívky Naměřená indukovaná napětí odpovídající příslušné poloze na ose souosých kruhových cívek přepočítáme na intenzitu magnetického pole v daném místě pomocí vztahu (6), do kterého dosadíme parametry použité detekční cívky. Do grafu pak zakreslíme i teoretickou závislost udanou parametry magnetizačních cívek a velikostí protékaného proudu dle rovnice (3). Protože jsou obě cívky zapojeny paralelně a uvažujeme, že jsou stejné, je proud jimi protékající roven polovině proudu měřeném na ampérmetru. Pole v závislosti na vzdálenosti cívek Intenzitu magnetického pole pro danou vzdálenost magnetizačních cívek vypočítáme z naměřeného napětí opět podle vztahu (6). Teoretickou hodnotu pole v polovině spojnice středů obou cívek určíme pro každou polohou z rovnice (3). Helmholtzovo uspořádání Výpočet proběhně obdobně jako v prvním případě. Z dat získaných měřením tohoto uspořádání ale navíc určíme poměr intenzity magnetického pole a napětí jednak podle vztahu (7) a také jako poměr teoretické hodnoty intenzity v daném místě a reálně indukovaného napětí. Poměr v druhém případě bude určen statickým zpracováním souboru dvojic napětí a teoretických intenzit. Průběh pole solenoidu Napětí indukované na detekční cívce v daném místě osy uvnitř solenoidu přepočítáme na magnetickou intenzitu pomocí vztahu (6). Do grafu zaneseme také teoretické hodnoty na krajích a uprostřed solenoidu a také hodnotu odpovídající nekonečnému solenoidu, vztahy (8), (9) a (10). Určení nejistot měření Nejistota měření bude určena chybou měřících přístrojů a mezní chybou měření při odečítání z měřících přístrojů. Chyba určení intenzity magnetického pole je dána nejistotou frekvence harmonických průběhů a odečítání indukovaného napětí. Hodnoty fyzikální konstanty a zadaných parametrů budeme považovat za přesné.
3.3
Naměřené hodnoty
Naměřené hodnoty zachycují tabulky 1, 2 a 3.
5
Tabulka 1: Naměřená napětí a vypočítané intenzity pro jednotlivá místa na ose pro souhl. i nesouhl. případ. Vzdál. 2a[cm]
.. . 12 .. .
.. . 16 .. .
.. . 20 .. .
.. . 10,4 .. .
Poz. x[cm] 3,2 3,0 2,9
Napětí U⊕ [V] 0,1954 0,1952 0,1924
Napětí U [V] 0,0732 0,0685 0,0595
Mag. intenz. H⊕ [A · m−1 ] 962 961 947
Mag. in. H [A · m−1 ] 360 337 293
Chyba σH⊕ 4 4 4
Chyba σH 1 1 1
Mag. intenz. t. H⊕ [A · m−1 ] 952 951 951
Mag. in. t. H [A · m−1 ] 346 328 318
2,5 2,0
0,1946 0,1941
0,0592 0,0482
953 952
274 221
4 4
1 1
949 945
279 227
1,5 1,0 0,5 0,0 5,2 5,0 4,9 4,5 4,0
0,1936 0,1930 0,1924 0,1922 0,1685 0,1676 0,1646 0,1656 0,1632
0,0376 0,0265 0,0155 0,0064 0,0997 0,0967 0,0880 0,0883 0,0803
951 948 946 946 829 825 810 808 796
170 113 62 31 491 476 433 420 381
4 4 4 4 3 3 3 3 3
1 1 <1 <1 2 2 2 2 2
942 940 938 937 820 815 813 803 789
173 116 58 0 478 464 456 425 384
3,5 3,0
0,1604 0,1581
0,0711 0,0622
784 773
336 293
3 3
1 1
775 762
340 294
2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 7,3 6,8 7,0 6,5 6,0 5,5 5,0
0,1556 0,1531 0,1514 0,1500 0,1491 0,1486 0,1542 0,1481 0,1519 0,1477 0,1440 0,1393 0,1355
0,0527 0,0429 0,0330 0,0230 0,0140 0,0056 0,1151 0,1036 0,1108 0,1041 0,0971 0,0892 0,0817
761 750 742 736 733 731 759 729 748 721 703 682 663
243 197 150 100 58 28 566 0 545 511 466 430 393
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 <1 <1 <1 2 2 2 2 2 2 2
749 739 730 724 720 718 753 735 742 723 703 682 661
247 199 150 100 50 0 555 524 537 505 470 433 395
4,5 4,0
0,1313 0,1276
0,0736 0,0660
643 622
353 314
3 3
1 1
641 622
355 316
3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 2,5
0,1239 0,1206 0,1177 0,1156 0,1136 0,1123 0,1114 0,1112 0,2101
0,0578 0,0499 0,0412 0,0338 0,0255 0,0178 0,0106 0,0054 -
608 592 578 568 558 552 548 547 1034
275 237 198 159 120 81 46 27 -
2 2 2 2 2 2 2 2 4
1 1 1 1 1 <1 <1 <1 -
604 588 573 562 552 546 542 540 1028
276 236 196 157 117 78 39 0 -
2,2 1,7
0,2102 0,2104
-
1034 1035
-
4 4
-
1030 1031
-
1,2 0,2 0,0
0,2105 0,2105 0,2102
-
1036 1036 1034
-
4 4 4
-
1032 1032 1032
-
6
Tabulka 2: Napětí a vypočítané intezity při proměnné vzdálenosti cívek. Vzdálenost Napětí Mag. intenzita Mag intenzita t. Chyba 2a[cm] U⊕ [V] H⊕ [A · m−1 ] H⊕ [A · m−1 ] σH⊕ [A · m−1 ] 7 0,2486 1223 1228 5 8 0,2373 1168 1173 5 9 0,2265 1115 1115 4 10 0,2153 1060 1056 4 11 0,2025 997 996 4 12 0,1914 942 937 4 13 0,1798 885 880 4 14 0,1687 830 823 3 15 0,1581 778 770 3 16 0,1474 725 718 3 17 0,1376 677 670 3 18 0,1284 632 624 3 19 0,1198 590 581 2 20 0,1115 549 540 2
Změřené / odečtené hodnoty, hodnoty zadání Proud tekoucí magnetizačními cívkami I = (1,50 ± 0,03) A, Proud tekoucí solenoidem I = (413 ± 13) mA, Frekvence indukovaného napětí f = (50 ± 1) Hz, Střední poloměr magnetizačních cívek R = 10,4 cm, Počet závitů magnetizačních cívek N = 100, Střední poloměr detekční cívky u magnetizačních cívek r = 1,28 cm, Počet závitů detekční cívky u magnetizačních cívek n = 1000, Vnější poloměr vinutí solenoidu r2 = 5, 7 cm, Vnitřní poloměr vinutí solenoidu r1 = 3,5 cm, Počet závitů solenoidu N = 4644, Délka solenoidu l = 0,4 m, Střední poloměr detekční cívky v solenoidu r = 7 mm, Počet závitů detekční cívky u magnetizačních cívek n = 200.
7
Tabulka 3: Naměřená napětí a vypočítané intezity na ose solenoidu. Souřadnice Napětí Mag. intenzita Chyba Mag intenzita t. y[cm] U [V] H[A · m−1 ] σH [A · m−1 ] H[A · m−1 ] 0 26,1 2 147 12 2 307 0,5 28,8 2 370 13 2 562 1,0 32,2 2 649 13 2 808 1,5 35,4 2 913 14 3 036 2,0 39,1 3 217 15 3 242 2,5 40,6 3 340 16 3 424 3,0 42,6 3 505 16 3 582 3,5 44,4 3 653 17 3 717 4,0 46,0 3 785 17 3 832 4,5 47,3 3 892 18 3 930 5,0 48,4 3 982 18 4 013 5,5 49,3 4 056 18 4 084 6,5 50,6 4 163 19 4 195 7,5 51,6 4 245 19 4 277 8,5 52,3 4 303 19 4 338 9,5 52,9 4 352 19 4 384 10,5 51,9 4 270 19 4 524 11,5 53,5 4 402 19 4 446 12,5 53,7 4 418 19 4 467 13,5 53,9 4 435 20 4 484 14,5 54,0 4 443 20 4 496 15,5 54,2 4 459 20 4 506 16,5 54,3 4 467 20 4 514 17,5 54,3 4 467 20 4 519 18,5 54,3 4 467 20 4 522 19,5 54,2 4 459 20 4 524 20,5 54,3 4 467 20 4 524 21,5 54,3 4 467 20 4 522 22,5 54,2 4 459 20 4 519 23,5 54,1 4 451 20 4 514 24,5 54,1 4 451 20 4 506 25,5 54,2 4 459 20 4 496 26,5 54,2 4 459 20 4 484 27,5 54,0 4 443 20 4 467 28,5 53,8 4 426 20 4 446 29,5 53,5 4 402 19 4 419 30,5 53,4 4 393 19 4 384 31,5 53,0 4 361 19 4 338 32,5 52,4 4 311 19 4 277 33,5 51,7 4 254 19 4 195 34,5 50,8 4 180 19 4 084 35,5 49,6 4 081 18 3 930 36,0 48,9 4 023 18 3 832 36,5 47,9 3 941 18 3 717 37,0 46,7 3 842 17 3 582 37,5 45,5 3 743 17 3 424 38,0 44,2 3 637 17 3 242 38,5 42,3 3 480 16 3 036 39,0 39,7 3 266 15 2 808 39,5 37,1 3 052 15 2 562 40,0 34,3 2 822 14 2 307 40,5 31,5 2 592 13 2 051 41,0 28,1 2 312 12 1 805
8
3.4
Zpracování dat, číselné a jiné výsledky
Průběh intenzity magnetického pole na ose kruhových souosých magnetizačních cívek Z naměřených efektivních napětí na detekční cívce vypočítáme příslušné velikosti intenzity magnetického pole. Hodnoty intenzity v místech ve stejné vzdálenosti od středu spojnic středů magnetizačních cívek zprůměrujeme. Výsledkem je graf závislosti intenzity na ose v závislosti na vzdálenosti od středu. Do grafů jsme taktéž vykreslili teoretické závislosti (3). Výše uvedené je zachyceno v grafech 1 a 2. Pro porovnání situací souhlasného a nesouhlasného průtoku proudu vykreslíme i závislost H = H(x) pro obě zapojení do jednoho grafu. Helmholtzovo uspořodání dvojice kruhových magnetizačních cívek Vypočítali jsme, že pro Helmholtzovo uspořádání je třeba, aby magnetizační cívky byly ve vzdálenosti 2a = R = 10,4 cm. V Helmholtzovo uspořádání proud cívkami protéká souhlasně, proto jsou naměřená data zanesena i v grafu 1. Samostatný graf závislosti H = H(x), kde x je vzdálenost zkoumaného bodu osy od středu, zakreslíme do grafu 4. Vidíme, že v měřené oblasti je pole takřka homogenní. Uprostřed mezi cívkami nabývá hodnoty Hh = (1034 ± 21) A · m−1 ,
P ≈ 1,
kde chyba je dána především kolísáním frekvence indukovaného napětí. Teoretická předpověď na základě parametrů soustavy cívek je dle vztahu (4) (t)
H = Hh (1032 ± 17) A · m−1 ,
P ≈ 1,
kde nejistota je dána chybou určení proudu cívkami tekoucími (viz odečtené hodnoty). Poměr k mezi intenzitou magnetického pole H a indukovaným napětím U je dán vztahem (7), tj. k1 =
1 H = = (4921 ± 98) Ω−1 · m−1 , U 2π 2 µ0 f nr2
P ≈ 1,
kde nejistota je určena mezní chybou frekvence, jejíž původ je v kolísání v průběhu měření (detekuje digitální multimetr). Konstanty a parametry detekční cívky považujeme za přesné. Tentýž poměr ale určíme i jinak. Použijeme teoretické hodnoty intenzity magnetického pole, které by měly být v místě, kde se indukovalo příslušné napětí, v případě modelově ideální soustavy. Teoretické hodnoty intenzity H v místě, kde bylo indukováno napětí U , vypočítáme dle vztahu (6) a následně dopočítáme příslušné poměry. Nejpravděpodobnější hodnotou bude zřejmě jejich střední hodnota k2 = (4913 ± 46) Ω−1 · m−1 ,
P ≈ 1.
Zde by bylo možné pro nalezení poměru k2 užít regresní proložení přímky závislosti H = H(U ). Tato metoda však v tomto případě nedává vzhledem k velmi malému spektru hodnot příliš dobré výsledky, proto jsem ji nepoužil. Intenzita magnetického pole uprostřed mezi cívkami v závislosti na jejich vzdálenosti Indukovaná napětí jsme přepočítali na intenzitu magnetického pole. Vykreslili jsme závislost intezity magnetického pole na vzdálenosti obou cívek a taktéž teoretickou závislost dle vztahu (3). Výsledkem je graf 5. Průběh magnetického pole na ose solenoidu Indukovaná napětí jsme přepočítali na intenzitu magnetického pole. Vykreslili jsme závislost intezity magnetického pole na vzdálenosti y od jednoho z krajů solenoidu. Zakreslili jsme také teoretický průběh dle vztahu (12) a hodnotu pro nekonečný solenoid dle vztahu (10). Výsledkem je graf 6.
9
3.5
Grafické výsledky měření
Sekce obsahuje grafy závislostí H = H(x) popř. H = H(y) pro soustavu kruhových cívek a dále pro solenoid.
Graf 1: Průběh magnetické intenzity na ose souhlasně protékané souosé dvojice kruhových cívek Teor. průběhy 1 000
Regresní fity
800
700 20 cm 16 cm 600
23 teoret. cm záv. 10,4fity cm regres.
0
2
4
6
8
10
x[cm]
Graf 2: Průběh magnetické intenzity na ose nesouhlasně protékané souosé dvojice kruhových cívek 600 20 cm 16 cm
500
12 cm Teoretické průběhy
400 H[A · m−1 ]
H[A · m−1 ]
900
300
200
100
0 0
2
4 x[cm] 10
6
8
Graf 3: Průběh H(x) při souhlasném a nesouhlasném zapojení při 12 cm 12 cm, souhlasně 12 cm, nesouhlasně
H[A · m−1 ]
1 000
500
0
Teoretické průběhy
0
1
2
3
4
5
x[cm]
Graf 4: Intenzita mag. pole při Helmholtzově uspořádání 1 045 Hodnota pole Teoretický průběh
H[A · m−1 ]
1 040
1 035
1 030
1 025
1 020 0
0,5
1
1,5 x[cm]
11
2
2,5
Graf 5: Závislost magnetické intenzity v půli spojnice středů kruhových cívek na jejich vzájemné vzdálenosti 1 400
Intenzita uprostřed Teoretický průběh
H[A · m−1 ]
1 200
1 000
800
600
400
5
10
15
20
25
d[cm]
Graf 6: Průběh intenzity magnetického pole na ose solenoidu
4 500
H[A · m−1 ]
4 000
3 500 Intenzita pole Teoretický průběh Teoretická hodnota ve středu
3 000
Teoretická hodnota v krajích Intenzita pro nekonečný solenoid 2 500
0
10
20 y[cm]
12
30
40
4
Diskuze výsledků
Komentáře ke grafům Graf 1. Graf zobrazuje průběhy intenzit magnetického pole na ose mezi sousými kruhovými magnetizačními cívkami v případě, kdy jsou cívky proudem protékány souhlasně. Souřadnice x značí vzdálenost bodu na ose od středu soustavy. Z grafu je patrné, že čím jsou cívky blíže, tím je obecně magnetická intenzita větší. Je také vidět, že s přibližováním cívek se zmenšuje interval závislostí nabývajících intenzit. V Helmholtzově uspořádání při daném měřítku je hodnota pole přibližně stejná, klesá velmi pomalu. Čárkované čáry značí teoretickou závislost pro ideální uspořádání – zanedbatelné rozměry cívek atp. Plnou čárou jsou pak vyznačeny regresní fity funkcí typu teoretické závislosti. Naměřené průběhy velmi dobře odpovídají teoretickým závislostem. Graf 2. Tento graf zachycuje stejnou situaci jako graf 1, proud však nyní cívkami prochází nesouhlasně, tj. pole se „odečítajíÿ. Vidíme, že pro jednotlivé vzdálenosti cívek zde nejsou takové rozdíly (i přes jiné měřítko) intenzit pole, jako v případě souhlasného zapojení – křivky jsou si „blížeÿ. Naměřené závislosti se k teoretickým tečkovaným průběhům velmi dobře přimykají s výjimkou oblasti kolem středu (x = 0). Dle teorie by zde měla být hodnota pole nulová, v našem případě tomu tak není, usuzuji, že je tomu především z důvodů nenulové šířky cívky. Dále, v případě, že jsme s detekční cívkou velmi těsně u cívek magnetizačních, měříme hodnotu vyšší, než předpovídá teorie – viz poslední dva měřené body na každé ze závislostí. Zde lze usuzovat, že toto způsobuje především nenulový poloměr detekční cívky. Stejně jako v předešlém případě platí, že čím jsou cívky blíže, tím jsou hodnoty intezity magnetického pole obecně vyšší. Graf 3. Pro zajímavost jsem znázornil pro případ 12 cm vzdálených cívek graf, který porovnává souhlasné a nesouhlasné zapojení. Z grafu je patrné, že zatímco při souhlasném zapojení je hodnota z pohledu středu ihned poměrně velká a klesá pomalu; v případě nesouhlasného zapojení intenzita roste od nuly mnohem strměji, hodnotu souhlasného zapojení však nedosáhne. V tomto grafu jsou pro demonstraci drobné nesymetrie uspořádání zaneseny nezprůměrované hodnoty naměřené na levé i pravé straně od středu. Graf 4. Graf ukazuje průběh intenzity magnetického pole v Helmholtzově uspořádání, při kterém jsme se přesvědčili, že pole na ose je při souhlasném průtoku proudu těméř homogenní. Všimněme si měřítka svislé osy – maximální změna intenzity na zobrazeném intervalu je cca 4 A · m−1 , tj. pouze 4h řádové hodnoty pole. O homogenitě magnetického pole v blízkosti středu spojnice v tomto uspořádání tedy můžeme s určitou přesností rozhodně mluvit. Graf 5. Graf ukazuje data naměřená v případě, že jsme detekční cívku fixovali ve středu spojnice středů obou z cívek a měnili jsme jejich vzájemnou vzdálenost. Vidíme, že je-li cívka umístěna uprostřed a směr proudu je souhlasný, dosahujeme velmi přesné shody s teoretickou předpovědí. Naměřené hodnoty se velmi dobře přimykají teoretické závislosti. Nejhorší absolutní odchylkou je hodnota 10 A · m−1 . Je zajímavé, že téměř nulových odchylek se dosahuje v případech, kdy je vzdálenost cívek blízká Helmholtzově vzdálenosti. Graf 6. Zde je znázorněn průběh intenzity magnetického pole na ose solenoidu v závislosti na vzdálenosti od jednoho z jeho krajů. Teoretický průběh je vyznačen tečkovaně a předpokládá ideální rozložení soustavy. Pro zdůraznění jsou zaneseny i hodnoty na krajích a uprostřed solenoidu. Pokud bychom počítali se vztahem pro nekonečný solenoid, získali bychom hodnotu H∞ = 4734 A · m−1 vyznačenou čárkovaně, tj. hodnotu o 5 % vyšší, než je ve středu solenoidu. Na krajích solenoidu by hodnota pole dosahovala pouze 50 % hodnoty H∞ . Na pravé straně je určitá nekonzistence teoretické závislosti a něměřených hodnot. Teoretická křivka vychází z parametrů, které nemusí odpovídat přesně měřené křivce, tj. může být jiná efektivní délka solenoidu, atp. Další diskuze Dle možností se naměřené závislosti velmi dobře shodují s teoretickými průběhy. Případně větší rozdílnosti teoretických a naměřených dat např. v oblasti krajů atp. nelze přisuzovat chybám měření. Nelze do všech detailů porovnávat reálné uspořádání cívek s teoretickým modelem. Do určité míry je tato rozdilnost dána systematickou chybou metody v podobě nenulových rozměrů detekčních cívek, nezanedbatelným rozměrům vinutí, geometrické neshodnosti cívek a nepravidelnosti jejich vinutí. Nepřesnost měření je dána jistou vůlí zobáčkových ukazatelů polohy magnetizačních a detekčních cívek na měřítku. V průběhu měření se také vlivem průchodu proudu vinutí zahřálo, což vedlo ke změne jeho odporu a tedy i efektivní velikosti protékaného proudu. Při výpočtu teoretických závislostí byla brána střední hodnota proudu v průběhu měření. Hodnoty intenzit magnetického pole jsou zatíženy chybou určení frekvence indukovaného napětí. Běheme měření její hodnota kolísala. V důsledku toho se pohybují chyby určení intenzit kolem
13
0,5 %. Dále odhaduji, že měření intezity pole nebylo významně ovlivněno magnetickým polem vlastní detekční cívky či vnějším rušivým polem. Pro podrobnější měření by bylo dobré zpřesnit systém odečítání souřadnic detekčních cívek, snažit se o stálou hodnotu proudu protékaným solenoidem a redukovat kolísání frekvece veličin. V důsledků rozměrných uchycení cívek také nebylo možné proměřit až 3 cm oblast těsně u magnetizačních cívek. Pro celkové snížení nejistot měření by bylo nutné závislosti proměřovat vícekrát a statistickým zpracováním vyloučit vliv náhodných chyb.
5
Závěr
Naměřili jsme průběh intezity magnetického pole na ose souosé dvojice kruhových magnetizačních cívek a solenoidu. Tyto závislosti včetně teoretických průběhů jsou zaneseny v grafech 1, 2, 3, 4, 5 a 6. V případě souhlasného průtoku proudu magnetizačními cívkami dosahují hodnoty magnetické intezity výrazně vyšších hodnot než v případě nesouhlasného zapojení. Jsou-li cívky protékány souhlasně, intezita se vzdáleností od středu narůstá rychleji, než v případě nesouhlasného zapojení. V Helmholtzově uspořádní, kdy jsou cívky vzdáleny o svůj poloměr a jsou protékány souhlasně, je pole téměř homogenní. V měřené oblasti se hodnoty pole lišily maximálně o 4 . V případě, kdy měříme pole ve středu, dosahujeme nejmenších odchylek magnetické intenzity od teoretických hodnot, jsou-li vzdálenosti cívek blízké vzdálenosti při Helmholtzově uspořádání. Z měření Helmholtzova uspořádání jsme vypočítali poměr magnetické intenzity a indukovaného napětí. První hodnota je určena z reálných poměrů, druhá hodnota užívá teoretických hodnot magnetických intenzit. k1 = (4921 ± 98) Ω−1 · m−1 ,
P ≈ 1,
k2 = (4913 ± 46) Ω−1 · m−1 ,
P ≈ 1.
Z měření konečně dlouhého solenoidu vyplývá, že v případě, že bychom určili intenzitu magnetického pole na jeho ose pomocí vztahu pro nekonečný solenoid, dopustili bychom se nadhodnocení pouze o cca 5 % nad hodnotou ve středu solenoidu, reálná hodnota na jeho krajích by ale byla až o 50 % menší!
Seznam použité literatury [1] ZFP II MFF UK Praha: Fyzikální praktikum, studijní text. (28.10.2013). http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt_223.pdf
14
