OBSAH. Automatizace Obsah

Automatizace

Obsah

OBSAH 1. Předmluva .............................................................................................................................2 2. Operační zesilovač ................................................................................................................3 2.1 Seznámení s operačním zesilovačem............................................................................3 2.1.a Co to vlastně je…......................................................................................................................... 3 2.1.b Jak to vlastně funguje ................................................................................................................... 4

2.2 Základní zapojení s operačním zesilovačem.................................................................6 2.2.a 2.2.b 2.2.c 2.2.d 2.2.e 2.2.f 2.2.g

Komparátor .................................................................................................................................. 6 Sledovač napětí ............................................................................................................................ 8 Invertující zesilovač ..................................................................................................................... 9 Součet pomocí operačního zesilovače........................................................................................ 11 Rozdíl pomocí operačního zesilovače ........................................................................................ 12 Integrační člen ............................................................................................................................ 15 Derivační člen ............................................................................................................................ 18

2.3 Doporučená literatura..................................................................................................20

SPŠ na Proseku, Novoborská 2, Praha 9

1

- doplňkový učební text -

Operační zesilovač

1. PŘEDMLUVA Tento učební text je určen žákům čtvrtého ročníku oboru strojírenství a doplňuje chybějící studijní materiál k některým pasážím předmětu automatizace. Neklade si za cíl kompletní rekapitulaci vybraných částí oboru, ale je zcela podřízen podpoře výuky předmětu automatizace. Výběr témat je volen i s ohledem na znalosti, které jsou nezbytné pro úspěšné zvládnutí cvičení a navazujících samostatných prací. K sestavení toho učebního textu mě přivedl zejména fakt, že vybrané pasáže jsou pro úspěšné zvládnutí studia předmětu automatizace poměrně důležité. Přitom však v základní učebnici chybí. Je sice možné je najít v odborné literatuře, to však u současného průměrného studenta zřejmě nelze očekávat. Kromě nejzákladnějších informací, znalostí, vzorců, obrázků, schémat atd. v textu najdete i podrobná odvození a vysvětlení, uváděná při výkladu v hodině, případně i další doplňující odvození a podrobnosti. Navíc se zde vyskytují i pokusy o co nejjednodušší shrnutí základních principů pro lamy. Nezbytné základní znalosti a vzorce jsou opatřeny symbolem žárovky, pokusy o jednoduchá shrnutí symbolem lamy. Pokud by se náhodou vyskytl pilný student, který by si tento text prostudoval, upřímně doufám, že mu bude užitečný. I méně pilní studenti, resp. spíše posluchači (a někdy ani to ne…) předmětu automatizace zde však mohou nalézt v případě potřeby informace, které jim třeba unikly během výuky. Hb.

2


Automatizace


2. OPERAČNÍ ZESILOVAČ 2.1 Seznámení s operačním zesilovačem 2.1.a Co to vlastně je… Operační zesilovač je elektronická součástka, která umožňuje realizaci různých matematických operací. Operační zesilovač (OZ) je součástka, pomocí které se dříve v analogových počítačích (viz.[1],[3]) realizovaly různé matematické operace (např. součet, součin, inverze, derivace, integrace, porovnávání čísel, analogová paměť…). Odtud pochází název „operační“. Vzhledem k tomu, že většinu věcí z reálného světa můžeme (pokud nebudeme zabíhat do filozofie) díky vědě matematicky popsat, můžeme taky pomocí OZ sestavit elektronický model téměř čehokoliv. Můžeme například sestavit simulační model, který se bude chovat stejně jako nějaká soustava. Stejně tak můžeme vytvořit zapojení, které bude v (téměř) reálném čase počítat nějakou (klidně i složitou) matematickou funkci. Můžeme také vytvořit zapojení, které bude nejen předstírat, že je regulátor- ale skutečně se tak bude chovat a regulovat. Přestože by se mohlo zdát samostatné použití OZ pro zapojení simulačního nebo řídícího obvodu zastaralé, můžeme si na něm odvodit a ověřit řadu principů z oblasti analogové techniky a spojitého řízení. Mohlo by se také zdát, že v digitální současnosti je zbytečné zabývat se analogovou technikou. Je třeba připomenout, že většina vesmíru, včetně naší planety, se chová analogově (pokud nebudeme zabíhat do filozofie a kvantové mechaniky). Ve skutečnosti kromě elektronické varianty existuje i například zapojení pneumatické, ale pokud se tedy budeme držet elektroniky tak kromě polovodičové varianty existuje i například zapojení s elektronkami (viz.[1]) a tak bychom mohli pokračovat dále… popojedem. Operační zesilovač budeme ve schématech značit tímto symbolem: neinvertující vstup

výstup

invertující vstup

obr.1. - schematická značka OZ Všimněte si, že OZ má dva vstupy a jeden výstup. Jeden vstup je označen jako invertující (-). Lidově řečeno to znamená, že tento vstup obrací hodnotu, jinak řečeno funguje jako záporný pól vstupu. Druhý vstup, neinvertující (+) můžeme přeložit jako neobracející, tedy přímý. Funguje jako kladný pól vstupu.


3



2.1.b Jak to vlastně funguje Abychom si mohli vysvětlit funkci operačního zesilovače, musíme si nejdříve ujasnit pár detailů ohledně napájení a napětí, která můžeme na OZ sledovat - viz obr. 2.

+Unap

ud

us

uo −Unap

obr.2. - základní zapojení operačního zesilovače Všimněte si nejprve napětí Unap. Je to napájecí napětí, většinou tzv. symetrické. To znamená, že proti zemi (0V) přivádíme například na +Unap napětí +15V a na -Unap napětí -15V. Je dobré vědět, že rozsah napětí, které se může objevit na výstupu, je závislý na rozsahu napájecího napětí. Rozsah napětí na výstupu OZ je přibližně o 2V menší, než rozsah napájecího napětí. Například pokud je napájecí napětí ±15V, na výstupu se může objevit napětí maximálně -13V nebo +13V. Pokud budeme realizovat pomocí OZ například součet a zapojení nám vypočítá, že výsledek má být například 120, tzn. výstup 120V, tak se na výstupu ve skutečnosti stejně objeví nanejvýš maximum, tzn. například zmíněných +13V. Pokud by výsledek měl být třeba -5.3, výsledné napětí bude -5,3V. Pokud by výsledek „přetekl“ a měl být třeba -16, na výstupu naměříme zase jen maximum: -13V. Napětí us je napětí (třeba) invertujícího vstupu proti zemi, to pro naše účely kupodivu nebude moc důležité. Napětí ud (index d zřejmě od slovíčka difference=rozdíl) je napětí měřené mezi vstupy- to pro nás bude naopak velmi podstatné. Napětí uo (index není nula, ale písmeno o – zřejmě jako output=výstup) je napětí na výstupu, měřené opět proti zemi a opět pochvopytelně důležité.

4


Automatizace


To podstatné, co bychom si měli pamatovat především, je vztah mezi vstupy a výstupem: napětí na vstupu je samozřejmě závislé na vstupu. Je ale závislé ani ne tak na absolutní hodnotě napětí některého ze vstupů, ale na rozdílu napětí mezi vstupy. Závislost můžeme popsat jednoduchým vztahem: uo = K · ud Písmeno K, které se nám objevilo ve vztahu, je tzv. zesílení. Znamená to, že napětí mezi vstupy se vynásobí konstantou a objeví na výstupu. Jednoduché. Ve skutečnosti to je ale trochu složitější, ale popravdě řečeno takřka geniální. Nyní je ale pravý čas na to, seznámit se s nějakými základními vlastnostmi ideálního operačního zesilovače: 1) vstupní odpor operačního zesilovače je nekonečně velký, 2) výstupní odpor operačního zesilovače je nekonečně malý, 3) zesílení operačního zesilovače je nekonečné. Takže popořadě, co to vlastně znamená: 1) Vzpomeňme na Ohmův zákon: U=R·I, kde U je elektrické napětí, I je elektrický proud a R je elektrický odpor. Pokud platí, že vstupní odpor je nekonečně velký, pak proud tekoucí do vstupu operačního zesilovače musí být nulový při jakémkoliv konečně velkém napětí připojeném na vstup. Jinak řečeno: protože proud určíme z Ohmova zákona jako I=U/R, a protože předpokládáme napětí řádově pár voltů, nejvýše pár desítek voltů a odpor považujeme za nekonečný, pak dělíme „normální“ číslo nekonečnem (hodně, hodně, nepředstavitelně hodně velkým číslem), musí nám vyjít nula (hodně, hodně, nepředstavitelně hodně malé číslo). V „normální“ matematice je taková věc zakázaná, ale tím se nyní nemusíme vůbec trápit. Ve skutečnosti, u reálného operačního zesilovače, není vstupní odpor nekonečný, ale řádově miliony až miliardy ohmů, takže proud do vstupu není nulový, ale řádově µA až nA. Pokud bychom zapojovali velmi přesný přístroj, museli bychom se tím zabývat. Pro naše účely ale můžeme takový proud spokojeně ignorovat. Značně nám to usnadní další výpočty. 2) Vzpomeňme nyní na chování ideálního a reálného zdroje. Víme, že pokud reálný zdroj, například baterii, zatížíme (tzn.odebíráme z něj proud), jeho napětí klesá. Obvykle platí, že čím větší proud „odsáváme“, tím menší napětí na svorkách zdroje naměříme. V teorii elektrotechniky se tento efekt svádí na tzv.vnitřní odpor zdroje- čím větší je tento parazitní odpor, tím více napětí s proudem ubývá. Zdroj s velkým vnitřním odporem, kde napětí s odebíraným proudem slábne hodně výrazně, se označuje jako slabý… a naopak. Do lidské řeči volně přeloženo, nekonečně malým odporem se vlastně myslí odpor nulový. Pokud tedy předpokládáme, že výstupní odpor je nulový, pak se operační zesilovač bude chovat jako ideální, tedy nekonečně silný zdroj. Takže může teoreticky v ideálním případě dávat jakkoliv velký proud a jeho napětí se nezmění. Jinak řečeno, pokud má být na výstupu operačního zesilovače například výsledek nějaké matematické operace a má být pokud možno maximálně přesný, je příjemné si myslet, že tento výsledek nebude ovlivněn připojením zátěže (dalších součástek) na výstup.


5



Ve skutečnosti, u reálného operačního zesilovače, není výstupní odpor nulový, ale velmi, velmi malý. Takže k ovlivnění výstupného napětí odebíraným proudem dochází, ale je tak malé, že nás opět nemusí nijak zvlášť zajímat. 3) Poslední bod je pro nadšeného elektronika a případně i matematika skutečná bomba a na rozdíl od předchozích, které nám pouze ulehčují výpočty, třetí bod nám (s větší dávkou snahy) konečně objasní funkci operačního zesilovače v zapojeních. Už víme, že napětí na výstupu je K-násobkem napětí mezi vstupy, pro připomnění: uo=K·ud. Pokud bychom předpokládali, že zesílení K je ale nekonečné, pak zjistíme, že ve skutečnosti mezi vstupy nemůžeme mít žádné napětí ud, protože bychom na výstupu měli vždy plus nebo mínus nekonečno, resp. plus nebo mínus maximální výstupní napětí, ale to by nám asi většinou nebylo k ničemu, pokud potřebujeme například spočítat reálný součet dvou čísel. Pokud se nad tím zamyslíme, dostáváme prakticky jediné možné řešení: Pokud při nekonečně velkém napěťovém zesílení K má být napětí na výstupu uo konečně velké, musí být napětí mezi vstupy ud nulové. A platí: Operační zesilovač zapojujeme obvykle tak, aby napětí mezi vstupy sám udržoval (vhodnou zpětnou vazbou) nulové. Ve skutečnosti opět platí, že reálné zesílení není nekonečné, ale řádově miliony nebo miliardy, takže mezi vstupy je pak napětí řádové µV až nV. Opět ale platí, že jsou to hodnoty natolik malé, že je pro naše účely můžeme naprosto zanedbat. Pro přehled si to ještě jednou shrneme: 1) do operačního zesilovače neteče žádný proud, 2) z operačního zesilovače může téci jakkoliv velký proud, aniž by se tím ovlivnila přesnost výsledku (výsledného, výstupního napětí), 3) operační zesilovač se (většinou) zapojuje tak, aby mezi vstupy bylo nulové napětí. A nyní se již můžeme podívat na několik zapojení, která budeme v budoucnu potřebovat (další viz.[2],[3]).

2.2 Základní zapojení s operačním zesilovačem 2.2.a Komparátor Komparátor je vlastně nejjednodušší zapojení ze všech, protože se v něm nevyskytují žádné součástky, dokonce ani zpětná vazba- takže hned prvním zapojením vlastně porušíme pravidlo číslo 3 z předchozí kapitoly. Slovo komparátor vychází z anglického compare, neboli porovnávat. Stejně tak bychom našli podobné slovo v němčině i dalších jazycích, nicméně toto slovo přesně vyjadřuje, co komparátor dělá: Komparátor porovnává dvě napětí na vstupech a hlásí, které z nich je větší.

6


Automatizace


Jak takové „zapojení“ OZ vypadá: u1 uv u2

obr.3. - komparátor Všimněte si, že tady se skutečně ještě ani nedá mluvit o zapojení, je to prostě jen operační zesilovač, který má na každý vstup přivedeno jiné napětí. Ve skutečnosti by tam mohly být nějaké součástky pro ochranu vstupů a podobně, ale pro jednoduchost nám to takhle musí stačit. Jak vidíte, mezi vstupy nyní opravdu asi nemusí být nulové napětí, spíše naopak. Pokud bude napětí, přivedené na neinvertující vstup (+) větší, než napětí na invertujícím vstupu (-), bude rozdíl mezi vstupy kladný a po vynásobení nekonečným zesílením máme dostat na výstupu kladné nekonečné napětí, ve skutečnosti se tam objeví kladné maximum. Jakmile bude na neinvertujícím vstupu (+) menší napětí, než na invertujícím (-), rozdíl bude záporný, a na výstupu se zase objeví záporné maximum. A to je způsob, jakým nám komparátor říká, které z těch dvou napětí je tedy větší.

+Umax

uv

napětí

Pro lepší představu se podívejme na nějaký náhodný průběh dvou napětí u1 a u2 na vstupech a na to, jak reaguje výstup komparátoru (viz. obr. 4).

u1 čas

u2 –Umax

obr.4. - funkce komparátoru V grafu závislosti napětí na čase máme pro představu náhodně se měnící napětí na vstupech u1 a u2. V místech, kde se v čase kříží, se přepíná napětí na výstupu uv mezi plus a mínus maximem. V úsecích, kde je napětí u1 (modrá čára) vyšší než napětí u2 (zelená čára), je na výstupu kladné maximum (+Umax). V úsecích, kde je naopak napětí u1 menší než napětí u2, je na výstupu záporné maximum (-Umax). Přesnost přepínání je závislá na přesnosti operačního zesilovače. Existuje i zapojení komparátoru s tzv. hysterezí, kde je přepnutí zpožděno, resp. k přepnutí je potřeba, aby rozdíl napětí mezi vstupy překročil určitou (nastavitelnou) hranici (viz.[2],[3]). K čemu můžeme komparátor použít? Alespoň dva příklady za všechny: 1) Pokud například k jednomu vstupu připojíme výstup elektrického snímače teploty, u kterého je teplota převedena na napětí, a k druhému vstupu dělič napětí tvořený


7



potenciometrem (volně přeloženo knoflík, na kterém můžeme nastavit napětí), pak získáme základ termostatu. Komparátor bude hlásit, jestli je teplota vyšší nebo nižší, než hranice nastavená potenciometrem a může například spínat topení nebo naopak chlazení. 2) Pokud k jednomu vstupu připojíme senzor hladiny a k druhému opět potenciometrem tvořený dělič napětí, bude komparátor hlásit, když hladina přesáhne nastavenou mez. Konkrétně z oblasti automatizace bychom našli podobných příkladů mnoho, ať se jedná o snímání a jednoduché řízení teploty, hladiny, polohy, rychlosti, průtoku, tlaku atd. Komparátor vlastně danou veličinu převádí do binární podoby, tzn. ze spojité veličiny udělá pouze informaci typu 0/1. 2.2.b Sledovač napětí Sledovač napětí je zřejmě druhé nejjednodušší zapojení OZ, kde stále ještě nejsou žádné součástky (opět by mohly být, ale my se pro jednoduchost obejdeme bez nich), jen již přibude zpětná vazba. u1 u2

obr.5. - sledovač napětí Jak vidíme z obrázku, zpětná vazba vede z výstupu rovnou na invertující vstup (-) a jediný volný a použitelný vstup tak zůstává ten neinvertující (+). Jak to funguje. Pokud předpokládáme, že mezi vstupy má být nulové napětí (viz.obr.6), potom je jediná možnost- napětí na vstupu i na výstupu musí být stejné. Pokud by se vyskytla sebemenší odchylka, vynásobí se teoreticky nekonečnem a na výstupu dostaneme nesmysl. Všimněte si, že zpětná vazba vede do invertujícího vstupu (-), tomu se říká záporná zpětná vazba a ta obvykle vede ke stabilitě systému- o tom potom. Pokud by totiž na výstupu napětí kleslo pod hodnotu vstupu, rozdíl mezi vstupy bude kladný a operační zesilovač má tendenci na výstup dát větší napětí - tím se rozdíl srovná. Pokud by napětí na výstupu přesáhlo hodnotu na vstupu, rozdíl je záporný a operační zesilovač má tendenci dát na výstup napětí záporné, tedy nižší- a tím se rozdíl opět srovná. u1 u2 0V

obr.6. - sledovač napětí: odvození funkce

8


Automatizace


Pokud bychom chtěli prohodit vstupy operačního zesilovače, pak samozřejmě zapojení povede k nestabilitě- protože při vychýlení z rovnováhy kladným směrem by rozdíl ještě rostl a při vychýlení záporným směrem by zase ještě dál klesal. Sledovač napětí pouze kopíruje napětí ze vstupu na výstup: u2=u1. Mohlo by se zdát, že to k ničemu není, protože by stačilo dát mezi vstup a výstup jen kus drátu a funkce bude stejná. Pokud ale vzpomenete na základní vlastnosti operačního zesilovače, pak je podstatné, že do vstupů teoreticky neteče proud a z výstupu zase může téci jakýkoliv proud. Přestože napětí se nemění, dodávaný proud se může podstatně zvýšit. K čemu můžeme sledovač napětí použít? Všude tam, kde chceme nějaké napětí sledovat nebo i nějak použít, ale bojíme se, že připojením například měřícího nebo řídicího obvodu se výsledek změní- vlivem odsání proudu. Zapojením sledovače napětí se výsledek soustavy prakticky neovlivní. Například pokud bychom měli například snímač, který dává slabý proud a připojením řídicího systému nebo voltmetru by se výstupní napětí snímače změnilo, můžeme použít sledovač napětí a máme určitou jistotu, že nebudeme měřením výstup zatěžovat a tím ovlivňovat. 2.2.c Invertující zesilovač Teď trochu přitvrdíme. Na obrázku 7 máme zapojení invertujícího zesilovače, které už je trochu komplikovanější- u vstupu i ve zpětné vazbě se objevily rezistory. R2 u1

R1 u2

obr.7. - invertující zesilovač Abychom si mohli odvodit, co invertující zesilovač dělá, je nutné vzpomenout alespoň na dva zákony z elektrotechniky: - 1. Kirchhoffův zákon: Elektrické proudy vstupující do uzlu a vystupující z uzlu jsou v rovnováze. Jinak řečeno: co vstoupí dovnitř, vystoupí ven. Součet všech proudů je roven nule. Elektrický proud v uzlu ani nevzniká, ani nezaniká. - Ohmův zákon: můžeme zapsat jako U=R · I, neboli napětí (třeba) na rezistoru = odpor krát proud. Vybereme si pro odvození uzel u invertujícího vstupu a zavedeme si příslušné proudy a odpovídající napětí (viz. obr. 8).


9



R2 i2

u1

R1 i1

0V i3

u2

0V 0V

obr.8. - invertující zesilovač: odvození funkce Popořadě: především vidíme, že neinvertující vstup (+) je připojen k zemi, bude na něm tedy napětí 0V. Pokud bude vše správně fungovat, musí být i mezi vstupy nulové napětí, tím pádem i u invertujícího vstupu (-) musí být napětí 0V. To nám dost usnadní výpočet. Pokud budeme předpokládat, že vstupní napětí u1 je kladné, pak proud i1, tekoucí přes odpor R1, musí téci směrem k invertujícímu vstupu, protože na něm máme napětí 0V, tedy menší. Pokud bychom kvůli odvození naivně předpokládali, že na výstupu bude také kladné napětí, pak i proud i2 musí téct směrem k invertujícímu vstupu, kde máme stále napětí 0V- tedy tak, jak je nakresleno v obrázku. Bystřejší z vás už možná vidí, že to nebude úplně pravda, ale pro účely odvození je to pohodlnější a skutečnost nám na konci odhalí znaménka. Kirchhoffův zákon pro zvolený uzel tedy můžeme nyní zapsat ve tvaru: i1 + i2 – i3 = 0, protože u proudů i1 a i2 předpokládáme, že tečou směrem do uzlu a proud i3 naopak z uzlu ven. Protože ale předpokládáme, že do vstupu OZ neteče žádný proud (viz. vlastnosti ideálního operačního zesilovače), vztah se nám zjednoduší: i1 + i2 = 0. Elektrické proudy, které tečou přes odpory můžeme snadno vyjádřit: i1 =

u1 R1

i2 =

u2 R2

a dostáváme vztah: u1 u 2 + =0 R1 R2

→

u2 = −

R2 ⋅ u1 R1

Co nám vztah říká? Že napětí na výstupu u2 bude mít opačnou polaritu, než napětí vstupní u1 (proto se tomu říká invertující zesilovač) a bude větší nebo menší, podle toho, jaký bude poměr odporů R2 ku R1. Takže:

Invertující zesilovač násobí vstupní napětí konstantou a obrací polaritu. Konstantu (zesílení) určíme jako poměr odporů.

10



Automatizace

Invertující zesilovač se prostě používá jako násobení konstantou. Například bychom měli opět třeba snímač. Tentokrát takový, který dává velmi malé a špatně měřitelné nebo špatně přenositelné napětí. Jeho výstup můžeme pomocí invertujícího zesilovače znásobit, třeba 10x, 100x a podobně, konkrétní hodnotu nastavíme velmi pohodlně pomocí odporů. Například pro zesílení 100x bychom například použili R1=1kΩ a R2=100kΩ. Později zjistíme, že je možné invertující zesilovač použít také jako regulátor.

2.2.d Součet pomocí operačního zesilovače Zapojení součtu je na první pohled dost podobné invertujícímu zesilovači a má taky podobný princip. u3

R3

u2

R2

u1

R1

Rv

uv

obr.9. - součet napětí Na obrázku máme zapojení pro součet tří hodnot- tří napětí u1, u2, u3. Pokud bychom chtěli sčítat více hodnot, úprava je jednoduchá- prostě doplníme nad R3 další odpor a na něj přivedeme další napětí. Stejně tak můžeme samozřejmě i odebírat. Opět počítáme s tím, že na neinvertujícím vstupu (+) je zem, tedy napětí 0V a stejné tedy musí být i na invertujícím vstupu (-) a opět zavedeme proudy tekoucí v jednotlivých větvích: u3

R3 i3

u2

Rv

R2

iv

i2

u1

R1

0V i4

i1

uv

0V 0V

obr.10. - součet napětí: odvození funkce Můžeme opět vyjádřit Kirchhoffův zákon pro uzel u invertujícího vstupu (-):


11



i1 + i2 + i3 + iv – i4 = 0, a opět budeme počítat s tím, že do vstupu OZ neteče žádný proud, tedy i4=0A a tedy platí:

i1 + i2 + i3 + iv = 0. Opět podle Ohmova zákona určíme hodnoty proudů: i1 =

u1 R1

i2 =

u2 R2

i3 =

u3 R3

iv =

uv Rv

a opět dosadíme do předchozí rovnice: u1 u 2 u 3 u v + + + =0 R1 R2 R3 Rv

→

u uv u  u = − 1 + 2 + 3  Rv  R1 R2 R3 

takže dostáváme:

u u  u u v = − Rv  1 + 2 + 3   R1 R2 R3  pokud si opět zjednodušíme práce a použijeme všechny čtyři odpory stejné, tzn. R1=R2=R3=Rv, hodnoty odporů se nám v rovnici vzájemně vykrátí a vztah se zjednoduší do finální podoby:

u v = −(u1 + u 2 + u 3 )

Na výstupu součtového členu s OZ je součet vstupních napětí, jen s obrácenou polaritou. 2.2.e Rozdíl pomocí operačního zesilovače Další zapojení vypadá celkem podobně, ale odvození bude trochu náročnější. Rv u1

R1 uv

u2

R2

R3

obr.11. - rozdíl pomocí operačního zesilovače

12



Automatizace

Zavedeme si opět potřebná napětí a proudy. Tentokrát ale nemáme neinvertující vstup (+) připojen k zemi, ale k napěťovému děliči tvořeného odpory R2 a R3, který ze vstupního napětí u2 vytváří menší napětí, které zatím neznáme, které si označíme u3 a které je přivedeno na neinvertující vstup (+). Pokud budeme opět předpokládat, že zapojení funguje, pak musí být mezi vstupy operačního zesilovače opět nulové napětí- ta jediná jistota nám tu zůstala. V tom případě bude stejné napětí u3 i na invertujícím vstupu (-). Ke každému rezistoru si zavedeme příslušný proud, pro přehlednost jsou proudy označeny stejným indexem, jako rezistory.

Rv iv

u1

R1 i1

u2

R2

0V

u3 i4 i5

uv

u3

i2 i3

R3 0V

obr.12. - rozdíl: odvození funkce Nejprve bychom měli zjistit, jaké je vlastně napětí u3. Na jedné straně rezistoru R2 máme napětí u2, na druhé straně napětí u3. Pokud pro odvození předpokládáme, že napětí u2 je třeba kladné, pak u3 bude také kladné, ale menší. Na straně rezistoru R2 máme tedy napětí (u2-u3). Stejně tak napětí na jedné straně rezistoru R3 je u3, na druhé straně je 0V, protože je připojena k zemi. Proto na rezistoru R3 můžeme počítat přímo s napětím u3. Nyní můžeme zapsat Kirchhoffův zákon pro uzel u neinvertujícího vstupu (+):

i2 - i3 - i5 = 0 Můžeme opět předpokládat, že do vstupu nepoteče žádný proud, tedy i5 považujeme za nulový a pak dostáváme primitivní vztah:

i2 - i3 = 0

resp.

i2 = i3

takže oběma rezistory teče stejný proud a můžeme dosadit vyjádření proudů:

i2 =

u 2 − u3 R2

i3 =

u3 R3

→

u 2 − u3 u3 = R2 R3

a protože u2 známe a u3 potřebujeme zjistit, upravíme:

u 2 u3 u3 − = R2 R2 R3

→

 1 u 2 u3 u3 1   = + = u 3 ⋅  + R2 R2 R3  R2 R3 


13



R  R  R + R2 R  u 2 = u 3 ⋅  2 + 2  = u 3 ⋅ 1 + 2  = u 3 ⋅ 3 R3  R3  R2 R3   a konečně dostáváme vztah pro napětí u3: u3 = u 2

R3 R2 + R3

Teď tedy víme, jaké napětí je na neinvertujícím vstupu (+) a pokud zapojení funguje, bude i na vstupu invertujícím (-). V tom případě pak platí, že na jednom konci rezistoru R1 máme napětí u1 a na druhém konci u3. Pokud předpokládáme, že napětí u1 je třeba zase kladné, máme na rezistoru napětí (u1-u3). Stejně tak na jednom konci rezistoru Rv je napětí uv, na druhém konci u3 a celkem tedy rozdíl (uv-u3), pokud bychom chtěli dodržet naivně zavedený směr proudu iv (od výstupu ke vstupu). Můžeme zapsat Kirchhoffův zákon:

i1 + iv - i4 = 0 a opět samozřejmě zanedbáme proud do vstupu OZ i4 a po dosazení za proudy dostaneme: i1 =

u1 − u 3 R1

iv =

uv − u3 Rv

→

u1 − u 3 u v − u 3 + =0 R1 Rv

a protože potřebujeme znát především napětí na výstupu uv, pokračujeme: u1 u 3 u v u 3 − + − =0 R1 R1 Rv Rv

 1 u v u 3 u 3 u1 1  1  − u1 = + − = u 3 ⋅  + Rv R1 Rv R1 R1  R1 Rv 

a konečně osamostatníme uv a dostáváme:

R R  R  R R R + R1 R u v = u 3 ⋅  v + v  − u1 v = u 3  v + 1 − u1 v = u 3 v − u1 v R1 R1 R1 R1  R1   R1 Rv  Zbývá do vztahu dosadit za u3 a dostaneme pikantní formulku:

uv = u2

R3 R + R1 R ⋅ v − u1 v R2 + R3 R1 R1

A nyní je pravý čas všechno zjednodušit. To jsme sice mohli udělat už na začátku, ale to by odvození nebylo zcela správné a univerzální a přiznejme si- ani tak půvabné a zábavné. Zjednodušení, stejně jako v předchozím, spočívá v tom, že použijeme všechny odpory stejné. To znamená, že dosadíme R1=R2=R3=R4=Rv. V takovém případě vztah dostane finální sympatický tvar:

uv = u2 - u1 A máme to.

14



Automatizace

Bystřejší z vás možná vidí, že stejného výsledku, tedy výpočtu rozdílu, bychom mohli dosáhnout i tak, že bychom použili součet napětí a před jeden ze vstupů bychom dali invertující zesilovač se zesílením 1 (tedy přesněji -1).

2.2.f Integrační člen A opět poněkud přitvrdíme. Další funkce, integrační člen, vychází z vyšší matematiky a je to funkce, která již není závislá jen na hodnotě vstupu, ale i na čase. Předběžně můžeme říci:

Výstup integračního členu se sám trvale mění, v závislosti na velikosti vstupního napětí. CI

u1

RI u2

obr.13. - integrační člen Ve zpětné vazbě se nám tentokrát objevil kondenzátor, což je součástka, o které víme, že se při přiložení napětí nabíjí nebo vybíjí, takže je evidentně závislá na čase. Také víme, že pokud se kondenzátor nabije na plnou hodnotu připojeného napětí, už dál nic nedělá. Neteče už do něj ani z něj žádný proud. Popis toho, jak se kondenzátor chová, můžeme velmi zjednodušeně shrnout vztahem:

i =C⋅

∆u ∆t

kde i je proud tekoucí do/z kondenzátoru, C je jeho kapacita ve Faradech, ∆u je změna napětí na kondenzátoru a ∆t je čas, za který jsme tuto změnu zaznamenali. I tady se nám tedy již projevuje závislost na čase. Volně přeloženo, čím větší je změna napětí za určitý čas, tedy čím rychleji se kondenzátor nabíjí/vybíjí, tím větší proud do/z něj teče. Rychlost nabíjení závisí samozřejmě na kapacitě (podobně jako u baterií). Pokud chceme za stejnou dobu nabít na stejné napětí dva kondenzátory s různými kapacitami, pak kondenzátor s větší kapacitou (=který uchová více energie) se musí logicky nabíjet větším proudem. Tolik pro připomenutí.


15



Obvyklým způsobem zavedeme napětí a proudy v zapojení: CI

u1

i2

RI i1

0V i3

u2

0V 0V

obr.14. - integrační člen: odvození funkce Funkci si předběžně můžeme představit i takto: pokud je na invertujícím vstupu (-) skutečně napětí 0V a přivedeme třeba konstantní kladné napětí u1, bude rezistorem téci trvalý proud. Jinak to ani nejde. Jenže proud nemá jinou možnost než dále téci do kondenzátoru- ale pokud do kondenzátoru trvale teče proud, pak se také stále nabíjí. A protože na invertujícím vstupu (-) je stále napětí 0V, není jiná možnost, než že se trvale mění napětí na druhé straně kondenzátoru, tedy napětí na výstupu u2. Pokud ale budeme chtít být exaktní a opět zapíšeme Kirchhoffův zákon pro tentýž uzel, jako obvykle, a abychom se nezdržovali budeme rovnou počítat s tím, že proud i3=0A (na obrázku je to jen pro formu), dostáváme vztah: i1 + i2 = 0

a po dosazení za proudy:

i1 =

u1 RI

i2 = C I ⋅

∆u 2 ∆t

můžeme zapsat finální tvar:

u1 ∆u + CI ⋅ 2 = 0 RI ∆t

→

∆u 2 = −

∆t ⋅ u1 RI ⋅ C I

Všimněte se, že tentokrát nemůžeme napsat vztah pro skutečnou hodnotu u2 (tedy u2=…), ale jen pro změnu napětí ∆u2 za určitý čas ∆t a i tak je tento vztah spíše přibližný. Všimněte si také, že ve jmenovateli se objevil výraz RI·CI. Tento výraz budeme označovat jako časovou konstantu integračního členu τI a věřte nebo ne, fyzikální rozměr násobku Ohmu s Faradem dává skutečně sekundu - ostatně, pokud si zkontrolujete poslední vztah z hlediska jednotek, zjistíte, že jinak to ani být nemůže. Co tedy ve vztahu máme: především je tam opět znaménko mínus, takže se jedná opět o zapojení, které obrací polaritu zapojení- správně bychom měli říkat, že se jedná o invertující integrační člen. Dále vidíme, že změna napětí na výstupu (∆u2) bude tím větší, čím déle budeme čekat (∆t) a čím větší bude napětí na vstupu (u1). Pak už výsledek závisí jen na zmíněné časové konstantě. Právě tou tedy můžeme nastavit, jak rychle má zapojení reagovat.

16



Automatizace

Právě volbou hodnoty odporu RI a kapacity CI můžeme rychlost reakce zpomalit (při vyšších hodnotách) nebo naopak zrychlit (při nižších hodnotách).

Zkusme to tedy shrnout: - pokud je na vstupu kladné napětí, výstupní napětí trvale klesá, - pokud je na vstupu záporné napětí, výstupní napětí trvale roste, - pokud je napětí na vstupu nulové, výstup zůstává konstantní (je totiž nulová změna), - čím větší je napětí na vstupu, tím rychleji se výstup mění.

napětí

Můžeme si to ukázat i v grafu, pro náhodně zvolený skokový průběh vstupního napětí u1:

čas u1 u2

obr.15. - průběh napětí na integračním členu Popořadě: na počátku je vstupní i výstupní napětí třeba na nule. Výstupní napětí se nemění, protože vstupní napětí je nulové. Pak se na vstupu objeví záporné napětí, výstup trvale roste. Dále se napětí změní, je stále záporné, ale menší, takže výstup roste dál, ale pomaleji. V další části je na vstupu opět nula, takže výstup zůstane konstantní tam, kde byl. Velké kladné napětí na vstupu způsobí rychlé klesání výstupu (až do záporných hodnot) a nakonec opět záporné napětí na vstupu vyvolá růst napětí na výstupu. A k čemu to může být dobré? Kromě toho, že je to funkce, bez které by se vyšší matematika prakticky neobešla, později zjistíme, že toto zapojení funguje také jako regulátor, mimochodem velmi šikovný a užitečný regulátor. Pro představu lze uvést alespoň jeden příklad: graf na obrázku 15 by vám mohl připomínat něco, co znáte přinejmenším z mechaniky- kinematiky, a sice vztah mezi polohou a rychlostí, nebo mezi rychlostí a zrychlením. Pokud bychom za vstup považovali rychlost nějakého tělesa (vezměme třeba infantilní příklad: rychlost autíčka), potom druhá čára, pokud bychom si její polaritu obrátili (tzn. otočili zrcadlově podle osy x neboli časové osy), pak nám bude tato křivka nápadně připomínat průběh polohy, tedy dráhy autíčka. Je to skutečně tak, pokud informaci o rychlosti proženeme integračním členem, pak dostaneme informaci o poloze. Stejně tak pokud dovnitř pustíme informaci o zrychlení, ven vyjde informace o rychlosti. Takže pokud bychom měli k dispozici snímač rychlosti a potřebovali znát polohu, stačí skutečně jen připojit ke snímači integrační člen s vhodně nastavenou časovou konstantou a ven nám vyjde rozluštěná poloha. Užitečné. V praxi to tedy může znamenat, že nám stačí


17



měřit jen jednu ze zmíněných veličin (polohu, rychlost, zrychlení) a ty další nám prostě dopočítá integrační člen, případně člen následující- derivační.

2.2.g Derivační člen Poslední zapojení s OZ, které budeme potřebovat a se kterým se seznámíme, je opět závislé na čase a jeho funkce jistým způsobem souvisí s předchozím. RD CD

u1

u2

obr.16. - derivační člen Schéma derivačního členu je na první pohled příbuzné předchozímu zapojení- v podstatě je skoro stejné, jen se nám prohodil rezistor s kondenzátorem. Je asi zřejmé, že o závislost na čase se opět postará právě kondenzátor. Pro odvození si -nyní již notoricky známým postupem- zavedeme příslušná napětí a proudy, vyjádříme je a zapíšeme Kirchhoffův zákon. RD i2

CD

u1

i1

0V i3

u2

0V 0V

obr.17. - derivační člen: odvození funkce Platí tedy:

i1 = C D ⋅

∆u1 ∆t

i2 =

u2 RD

i1 + i2 = 0

a po dosazení dostáváme:

CD ⋅

∆u1 u 2 + =0 ∆t RD

→

u 2 = − RD ⋅ C D ⋅

∆u1 ∆t

A co to vlastně znamená. Narozdíl od předchozího jsme tentokrát mohli vyjádřit napětí na výstupu u2 přímo, nejen pomocí změny. Změna napětí se tentokrát ve vzorci vyskytla na

18


Automatizace


vstupu: ∆u1. Výraz ∆t znamená určitý časový interval, po který obvod sledujeme. Takže poměr ∆u1/∆t vyjadřuje změnu napětí na vstupu za určitý čas, lépe řečeno rychlost, jakou se napětí na vstupu mění. Tím funkce obvodu popravdě řečeno začíná a končí, možná tedy bude její pochopení snazší, než v předchozím případě. Ještě je nutno doplnit, že se ve vzorci opět vyskytlo znaménko mínus, takže se jedná opět o funkci invertující. Můžeme opět zavést tzv. časovou konstantu: τD=RD·CD. Tentokrát časovou konstantou násobíme, takže platí, že čím větší bude časová konstanta, tvořená odporem a kapacitou, tím silnější bude reakce obvodu. Funkci si můžeme vysvětlit i jinak. Jak víme, kondenzátorem teče proud jen tehdy, pokud se na něm mění napětí, nebo jinak řečeno, proud teče do kondenzátoru nebo z kondenzátoru pokud se nabíjí nebo vybíjí. Pokud je na něm konstantní napětí, proud neteče. Takže pokud na vstupu a tím i na jedné straně kondenzátoru bude konstantní napětí, neteče kondenzátorem proud, tím pádem nemůže téct proud ani z výstupu přes odpor RD a tím pádem musí být na výstupu nulové napětí. Pokud se napětí na vstupu a tím i na jedné straně kondenzátoru bude měnit, musí se kondenzátor nabíjet nebo vybíjet, a tudíž do něj nebo z něj teče proud a tentýž proud musí protékat i rezistorem RD a na výstupu OZ tedy musí být odpovídající napětí. A radši ještě shrnutí:

Napětí na výstupu derivačního členu je úměrné rychlosti, jakou se mění napětí na vstupu. Intenzita reakce se nastavuje časovou konstantou τD. Jinak řečeno:

Výstup derivačního členu sleduje rychlost změn na vstupu. Pro jistotu shrneme ještě jinak: - pokud napětí na vstupu roste, na výstupu je záporné napětí, - pokud napětí na vstupu klesá, na výstupu je kladné napětí, - pokud je na vstupu konstantní napětí, na výstupu je nula, - čím rychleji se napětí na vstupu mění, tím větší je napětí na výstupu. Můžeme to vyjádřit i grafem, kde se bude (skoro) náhodně měnit napětí na vstupu a budeme pozorovat reakci derivačního členu na výstupu.


19


napětí


čas u2 u1

obr.18. - průběh napětí na derivačním členu Všimněte si, že je to v podstatě tentýž graf, jako u integračního zesilovače, jen křivky se nám prohodily. Popořadě. V prvním časovém úseku je napětí u1 nulové, tedy konstantní a tedy i napětí u2 je nulové. V druhém úseku napětí na vstupu roste a na výstupu je záporné napětí. Ve třetím úseku napětí na vstupu stále roste, ale pomaleji, takže na výstupu je stále záporné napětí, ale menší. Pak je na vstupu opět konstantní napětí a na výstupu nula. V předposlední části grafu napětí na vstupu prudce klesá a tomu odpovídá velké kladné napětí na výstupu. Nakonec napětí opět roste a na výstupu se objeví záporné napětí. Všimněte si:

Funkce derivačního členu je inverzní (přesně opačná) k funkci integračního členu. Je zajímavé, že u zapojení integračního členu stačí prohodit dvě součástky, rezistor a kondenzátor, a celá funkce se otočí. Z hlediska matematiky i fyzikálního významu se funkce přesně invertuje a i v grafu se křivky prostě jen prohodí. K čemu to může být dobré? Podobně jako u integračního členu můžeme i tady vidět v grafu analogii s pohybem. Pokud by na vstupu byla třeba informace o dráze, například ze snímače polohy, na výstupu bude napětí odpovídající rychlosti. Pokud bychom na vstup přivedli informaci o rychlosti, na výstupu se objeví napětí odpovídající zrychlení atd. Pokud bychom připojili snímač hladiny, získáme zapojení, které nám bude signalizovat změnu hladiny, tedy ohlásí, pokud hladina klesá nebo roste určitou rychlostí. Pomocí derivačního členu můžeme tedy podle potřeby sledovat změny a rychlosti změn jakékoliv veličiny. Později zjistíme, že toto zapojení můžeme například použít i jako regulátor s poněkud speciální funkcí.

2.3 Doporučená literatura [1] – Operační zesilovače - historie a současnost, Punčochář J., BEN, Praha, 2002 [2] – Použití moderních integrovaných obvodů, Vlček J., BEN, Praha, 1996 [3] – http://www.wikipedia.cz – článek “zapojení s operačním zesilovačem”

20


OBSAH. Automatizace Obsah

Recommend Documents