OBVOD
A OBSAH
LICHOB
ŽNÍKU
2 HODINY 1. Obvod lichob žníku: ? Zopakuj si nejprve, jak ur íš obvod trojúhelníku a ty úhelníku ? ? Dokážeš spo ítat obvod libovolného mnohoúhelníku ? Pokud Ti p edchozí otázky ned laly problémy, nebude pro Tebe jist problém íci, jak získáš obvod lichob žníku. Nabízím Ti následující obrázek:
o = a+b+c+d P íklad 1: Vypo t te obvody lichob žník znázorn ných na obrázku:
Obvod lichob žníku na obrázku 1:
o
AB
BC
CD
DA
o
3,9 6,3 7,5 7,3 cm
o
25cm
Obvod lichob žníku na obrázku 2: Nejprve se pokus odpov d t na následující otázky: ? Co platí pro vnit ní úhly p i základn AB ? Jsou shodné ? O jaký lichob žník se tedy jedná ? Rovnoramenný lichob žník ? Jaká je délka ramena AD ? Je stejná jako délka ramene BC, rameno AD má velikost 0,7 m ? Co je t eba ješt provézt, abychom mohli obvod lichob žníku spo ítat ? Je nutno veškeré údaje p evézt na shodné jednotky, nap . na decimetry o
AB
BC
CD
o
3,2 7 9 7 dm
o
26,2dm
DA
P íklad 2: Vypo t te délky chyb jících stran lichob žník znázorn ných na obrázku:
Strana lichob žníku na obrázku 1: AD
o ( AB
AD
15,4
BC
CD
4,1 2,8 4,9
AD
15,4 11,8 cm
AD
3,6cm
Strana lichob žníku na obrázku 2: Op t vidíš na obrázku, že se jedná o rovnoramenný lichob žník (pro asi?). Neznámé délky ramen BC a AD jsou tedy shodné. Spo teš je tak, že od obvodu ode teš známé délky základen AB a CD. Získaný výsledek pak pod líš dv ma a dostáváš délky obou ramen. Nezapome si sjednotit jednotky:
BC
AD
BC
AD
BC
AD
BC
AD
o ( AB
CD )
2 132 (28 11) dm 2 132 39 dm 2 93 dm 46,5dm 2
P íklad 3: Vypo t te obvod lichob žníku ABCD, je-li dáno: CD
6cm; AC
AB
8cm; AD
10cm;
BD
Lichob žník má stejn dlouhé úhlop í ky – je tedy rovnoramenný. Neznámé rameno BC má délku 8 cm.
o
AB
BC
CD
o
10 8 6 8 cm
o
32cm
DA
2. Obsah lichob žníku: Postupuj podle následujících instrukcí: 1. Narýsuj si libovolný lichob žník ABCD, popiš si jeho strany a z bodu D ve k základn AB výšku lichob žníku 2. Sestroj si st ed S strany BC 3. Ve st edové soum rnosti podle st edu S sestroj bod X jako obraz vrcholu D: S (S ) : D X 4. Spoj si body B a X
Pokus se nyní sám odpov d t na mé otázky. Svou odpov nachází ihned pod zadanou otázkou:
si porovnej s mou, která se
? Co m žeš íci o úhlech BSX a DSC ? Jsou to úhly vrcholové, a proto jsou shodné ? Co m žeš íci o délkách stran CS a SB ? Jsou shodné, bod S je st edem strany BC ? Co m žeš íci o délkách stran DS a SX ? Jsou shodné, bod S je st edem soum rnosti, který bod D zobrazí na bod X ? Co m žeš íci o trojúhelnících DSC a SBX ? Jsou shodné podle v ty sus: SBX DSC ? Ur i délku úseku BX ? Protože jsou trojúhelníky DSC a SBX shodné, je délka BX totožná s délkou základny c Vše, co jsi práv zjistil, máš vyzna eno na následujícím obrázku:
CD
? Porovnej obsah p vodního lichob žníku ABCD a obsah trojúhelníku AXD ? Ur it T nep ekvapí, že jsou shodné
? Jak tedy spo teš obsah lichob žníku ABCD ? Spo tu jej jako obsah trojúhelníku AXC z.v S 2
S
a c .v 2
Úkol: Na rtni si libovolný lichob žník a pomocí výšky lichob žníku a jedné úhlop í ky ukaž, (a c ).v že pro obsah lichob žníku opravdu platí S 2
Odpov z si na následující otázky. Odpov di najdeš na následujícím obrázku:
? Na jaké rovinné útvary Ti úhlop í ka rozd lí lichob žník ? ? Jak spo teš obsah trojúhelníku ABD ? ? Jak spo teš obsah trojúhelníku BCD ? ? Jak spo teš obsah lichob žníku ABCD ?
S ABC
a.c 2
S BCD
c.v 2
Obsah lichob žníku tedy nakonec spo teš:
S ABCD
S ABC
S BCD
S ABCD
a.v 2
S ABCD
(a c ).v 2
c.v 2
a.v c.v ..........vytkneme v itateli výšku v 2
Zapamatuj si:
Obsah lichob žníku S spo teš tak, že vynásobíš sou et délek obou základen (a + c) výškou v a výsledek pod líš dv ma. P íklad 4: Ur i obsah lichob žník vyzna ených na obrázcích (výsledky zaokrouhluj na jednotky):
Obsah lichob žníku na obrázku 1:
AB
S
CD .v
2 8 4,5 .7,5 2 dm 2 12,5.7,5 2 dm 2 93,75 2 dm 47dm 2 2
S S S
Obsah lichob žníku na obrázku 2: Op t si nezapome sjednotit jednotky (nejlépe na metry, a nepo ítáš s velkými ísly). Všimni si, že se jedná o pravoúhlý lichob žník, strana Bc je tedy jeho výškou: S S S S
AB
CD . BC
2 2,5 1,5 .3 2 m 2 4. 3 2 m 2 6m 2
P íklad 5: Ur i obsahy lichob žník vyzna ených ve tvercové síti, víš-li, že strana tverce má velikost 1 cm:
Nejprve si spo teme obsah žlut vyzna eného lichob žníku ABCD (jedná se o pravoúhlý lichob žník, strana AB je jeho výškou):
( BC
S
AD ). AB
2 2 6 .4 2 cm 2 32 2 cm 16cm 2 2
S S
Pro obsah mod e vybarveného lichob žníku platí:
S S S
( KL
MN ).v
2 4 1 .2 2 cm 2 5cm 2
P íklad 6: Ur i obsah lichob žníku vyzna eného ve tvercové síti, víš-li, že strana tverce má velikost 3,5 cm(výsledek zaokrouhli na desetiny centimetru tvere ného):
Úlohu budeme po ítat stejn jako v p edchozích p ípadech. Nejprve si spo ítáme délky obou základen a výšky lichob žníku:
AD
7.3,5cm
24,5cm
BC
2.3,5cm
7cm
v
7.3,5cm
24,5cm
Poté již snadno spo ítáme obsah lichob žníku:
S S S S S
( AD
BC ).v
2 24,5 7 .24,5 2 cm 2 31,5.24,5 2 cm 2 771,75 2 cm 2 385,9cm 2
P íklad 7: Ur i obsah rovinného útvaru vyzna eného ve tvercové síti, víš-li, že strana tverce má velikost 1 cm:
Celý obrázek si rozd líme na n kolik rovinných útvar , jejichž obsahy umíš spo ítat. Jedno z možných rozd lení vidíš na následujícím obrázku:
Obsah zelen vyzna ené ásti je: S1 S1
(7 1).3 2 cm 2 12cm 2
Obsah mod e vyzna ené ásti je: S2 Obsah žlut vyzna ené ásti je:
7.2cm 2
14cm 2
(7 3).2 2 cm 2 10cm 2
S3 S3 Celkový obsah rovinného útvaru je:
S
S1
S2
S3
S
12 10 14 cm 2
S
36cm 2
P íklad 8 (obtížný): Rovnoramenný lichob žník má obsah 30 cm2. Ur ete jeho výšku, mají-li základny délky 12cm a 3 cm.
S 2S
a c .v ............... / .2 2 a c .v............... / : (a c )
2S v a c 2.30 v cm 12 3 60 v cm 4cm 15
Poznámka: Pokud jsi se ješt neu il upravovat výrazy a vyjad ovat neznámou ze vzorce, zkus si nejprve do vzore ku pro obsah lichob žníku dosadit zadané hodnoty a poté vypo ítat neznámou výšku v:
a c .v 2 12 3 .v 30 2 15.v 30 2 30 7,5v 30 v cm 4cm 7,5 S
P íklad 9 (obtížný): Lichob žník má obsah 20 cm2. Ur ete velikost základny a, má-li druhá základna c délku 3cm a výška v délku 5 cm.
S 2S 2S v 2S v a a
a c .v ............... / .2 2 a c .v............... / : v a c..................../ c c
a
2.20 5 5cm
3 cm
P íklad 10: Ur i obsah lichob žníku 2 2 dáno: S ABC 15cm ; S BCD 20cm ; AB 6cm
ABCD
Nejprve si z trojúhelníku ABC vypo ítáš výšku lichob žníku (viz obr.):
a.v 2 5.v 25 2,5v 2 25 v cm 10cm 2,5 S
Poté si z trojúhelníku BCD vypo teš velikost strany c (viz. obr.):
(AB//CD),
je-li
c.v 2 c.10 15 2 15 5.c S
c
15 cm 5
3cm
Na záv r si již snadno spo teš obsah lichob žníku ABCD: S S S S
AB
CD .v
2 5 3 .10 2 cm 2 80 2 cm 2 40cm 2
CVI
ENÍ
Nejprve Ti nabízím n kolik úloh na procvi ení probrané látky. Pokus se nejprve vždy sám úlohu vy ešit. Po seznamu úloh následuje p ehled výsledk a nápov dy k jednotlivým p íklad m. P eji Ti hodn št stí.
Úloha 1: Vypo ítej obsah lichob žníku ABCD (AB//CD), je-li dáno:
a) AB
10cm; CD
b) AB
0,9dm; BC
6cm; v
5cm
75mm; CD
0,08m;
ABC
90
Úloha 2: Vypo ítej obvod a obsah lichob žník ABCD znázorn ných na obrázcích:
Úloha 3: Obvod rovnoramenného lichob žníku ABCD je 125 cm, základny mají délky 35 cm a 25 cm. Vypo ítej délku ramen lichob žníku ABCD. Úloha 4: Ur i obsahy lichob žník vyzna ených ve tvercové síti a pojmenuj je, víš-li, že strana tverce má velikost 1,5 cm:
Úloha 5: Jakou plochu zaujímá pejsek znázorn ný ve tvercové síti na obrázku (délka strany tverce je 1 cm):
Úloha 6: Vypo ítej obsah rovinného útvaru vyzna eného ve tvercové síti o stran délky 1 cm:
Úloha 7: Vypo ítej obsah rovinného útvaru vyzna eného ve tvercové síti o stran délky 2 cm:
Úloha 8: Vypo ítej obsah lichob žníku ABCD, je-li dáno: S ABX AB
8cm, CD
12cm 2 ; S CDX
9cm 2 ,
3cm a bod X je vnit ním bodem lichob žníku ABCD
Úloha 9: Pravoúhlý lichob žník ABCD (AB//CD) má obsah 60 dm2. Ur ete jeho výšku, majíli základny délky 15 dm a 5 dm. Úloha 10 : Lichob žník KLMN (KL//MN) má obsah S = 40 cm2. Ur ete délku jeho základny, má-li délka druhé základny l = 6 cm a výška lichob žníku je v = 8 cm. Úloha 11 : Pomocí dvou p ímek rozd l obdélník na co nejv tší po et lichob žník
VÝSLEDKY ÚLOH, NÁPOV DY K ÚLOHÁM Úloha 1: Nezapome si u p íkladu b) sjednotit jednotky a) S b) S
AB
CD .v
10 6 .5 2 40cm 2 cm 2 2 AB CD . BC 9 8 .7,5 2 63,75cm 2 cm 2 2
Úloha 2: Op t nezapome u úlohy b) sjednotit jednotky: Výsledky k úloze a)
o
AB
BC
o
6 6 9 8 cm AB
S
CD
29cm
CD .v
2 6 9 .5 2 cm 2
S
DA
37,5cm 2
Výsledky k úloze b) o
AB
o
4 6 6,8 7,5 cm
S S
BC
AB
CD
DA 24,3cm
CD . BC
2 4 6,8 .6 2 cm 2
32,4cm 2
Úloha 3: Nejprve si od celkového obvodu ode teš délky obou známých základen. Vzniklý výsledek pak pod líš dv ma, protože rovnoramenný lichob žník má ramena stejné délky:
BC
AD
BC
AD
BC
AD
BC
AD
o ( AB
CD )
2 125 (35 25) dm 2 125 60 dm 2 65 dm 32,5dm 2
Úloha 4: Než p istoupíš k výpo tu obsahu lichob žníku, nezapome , že délka jednoho tverce je 1,5 cm. ervený lichob žník (rovnoramenný) má obsah: 4.1,5 2.1,5 .1,5 2 6 3 .1,5 2 S cm cm 2 2
6,75cm 2
Zelený lichob žník (obecný) má velikost: S
5.1,5 2.1,5 .3.1,5 2 cm 3
Modrý lichob žník (obecný) má velikost:
7,5 3 .4,5 2 cm 2
23,625cm 2
4.1,5 1.1,5 .2.1,5 2 cm 3
S
6 1,5 .3 2 cm 2
11,25cm 2
Žlutý lichob žník (pravoúhlý) má velikost: S
6.1,5 3.1,5 .3.1,5 2 cm 3
9 4,5 .4,5 2 cm 2
30,375cm 2
Úloha 5: Pejska si roz leníme na t i rovinné útvary: obdélník, kosodélník a lichob žník:
a c .v 3 1 .1 2 cm 2 2 z.v 4.1cm 2 4cm 2
Obsah lichob žníku je: S1 Obsah kosodélníku je: S 2 Obsah obdélník je S 3 Obsah pejska je: S
S1
2cm 2
4cm 2 S2
S3
2 4 4 cm 2
10cm 2
Úloha 6: Celý obrázek rozd líme na rovnob žníky a lichob žníky (p ijdeš na více možných zp sob rozd lení?) :
Obsah zeleného lichob žníku je: S
5 3 .1 2 cm 2
Celkový obsah rovinného obrazce je: S´ 10 2.4 cm 2
4cm 2
18cm 2
Úloha 7: Rovinný obrazec se skládá ze ty shodných lichob žník (na obrázku je žlut vyzna en jeden z nich) a sedmi shodných tverc o obsahu 4 cm2.
Obsah žlut vyzna eného lichob žníku je:
12 4 .2 2 cm 2
S Lichob žníku
16cm 2
Obsah celého rovinného obrazce p ipomínající jedno zví átko (které asi?) je: S
4.S Lichob žníku
S
7.S
4.16 7.4 cm
2
tverce
92cm 2
Úloha 8: Na obrázku je celá situace p ehledn vyzna ena:
Z trojúhelníku ABX ur íš výšku v:
S ABX 12 v
z.v 2
8.v 4v 2 12 cm 3cm 4
Z trojúhelníku CDX ur íš výšku v´: S CDX
z.v´ 2
3.v 1,5v´ 2 9 v´ cm 6cm 1,5
9
Celková výška lichob žníku je: v ABCD Obsah lichob žníku je:
v v´
3 6 cm
9cm
a c .v ABCD 2 ´8 3 .9 2 S cm 2 S 49,5cm 2 S
Úloha 9: Úloha je velmi podobná vzorovému p íkladu 9. Záleží na Tob , zda si ihned do vzorce pro obsah lichob žníku dosadíš nebo si nejd íve vyjád íš neznámou ze vzorce. P edkládám Ti ob možnosti / asem budeš užívat jen tu první, která je z hlediska matematiky správná (nejd íve obecné vyjád ení, pak dosazení): S 2S
a c .v ............... / .2 2 a c .v............... / : (a c)
2S v a c 2.60 v cm 15 5 120 v cm 6cm 20 Druhá možnost (dosazuješ ihned):
a c .v 2 15 5 .v 60 2 20.v 60 2 60 10v S
v
60 cm 10
6cm
Úloha 10: Úloha je velmi podobná vzorovému p íkladu 9:
k
S
l .v 2
2S 2S v 2S v
k l .v............... / : v k
l..................../ k
k
l
2.40 8 4cm
l l
............... / .2
6 cm
Druhá možnost (ihned dosazuješ do vzorce): S 40 16 l
l .v
k 2
6 l .8 2 4l 16 cm 4
6 l .4
24 4l............. / 24
4cm
Úloha 11 : Lze získat ty i pravoúhlé lichob žníky (viz. obr.):
