NORMALISASI PERSAMAAN TDGL SEBAGAI PARAMETER DAN FUNGSI TEMPERATUR Hari Wisodo1,2 , Pekik Nurwantoro1 , Agung Bambang Setio Utomo1
1 Jurusan
2 Jurusan
Fisika FMIPA UGM, Yogyakarta, Indonesia Fisika FMIPA UM, Malang, Indonesia, E-mail: wisodo
[email protected]
Abstrak Persamaan TDGL (Time Dependent Ginzburg-Landau) sebagai parameter temperatur, T , tertransfomasikan menjadi persamaan TDGL fungsi temperatur melalui kaitan koefisien Landau |α(T )| = |α(0)|(1−T /Tc ). Penormalisasi bagi kedua persamaan TDGL ini berbeda. Penormalisasi persamaan TDGL sebagai parameter T adalah besaran superkonduktivitas sebagai parameter T . Penormalisasi persamaan TDGL fungsi T adalah besaran superkonduktivitas pada T = 0 kecuali penormalisasi bagi parameter benahan yang diungkapkan sebagai fungsi T , 1 Ψ = Ψ0,gl (0)(1 − T 0 ) 2 Ψ0 . Walaupun berbeda kedua penormalisasi tersebut memiliki bentuk yang sama. Diperlukan dua langkah sederhana untuk menormalisasi persamaan TDGL: substitusikan variabel ternormalisasi pada Tabel 2 yang sesuai ke persamaan yang akan dinormalisasi dan sederhanakan persamaan yang diperoleh dengan memanfaatkan Tabel 3. Solusi persamaan TDGL ternormalisasi yang dihasilkan dapat mereproduksi kurva magnetisasi dan kurva rapat energi bebas milik Sardella dkk [14]. Solusi persamaan TDGL ternormalisasi sebagai parameter T tidak dapat ditransformasikan menjadi solusi persamaan TDGL ternormalisasi untuk T tertentu dan sebaliknya.
Kata kunci: persamaan TDGL, normalisasi, reproduksi kurva
1
PENDAHULUAN
ga adalah ketelitian proses komputasi yang tinggi dapat dicapai karena orde angka numerik yang terlibat sesuai batas ketelitian komputer.
Normalisasi persamaan TDGL (Time Dependent Ginzburg-Landau) pada umumnya dibedakan menjadi dua cara sesuai dengan tujuannya. Normalisasi pertama dilakukan untuk menghasilkan persamaan TDGL ternormalisasi dengan variabel temperatur, T , sebagai parameter [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. Normalisasi kedua dilakukan untuk menghasilkan persamaan TDGL ternormalisasi dengan variabel T disajikan secara eksplisit [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21].
Artikel ini memaparkan bagaimana menemukan kedua persamaan TDGL ternormalisasi tersebut. Selanjutnya ditunjukkan bahwa solusi persamaan TDGL tersebut telah berhasil mereproduksi kurva magnetisasi dan kurva rapat energi bebas milik Sardella dkk [14]. Persamaan dan besaran yang disajikan dituliskan dalam satuan MKS. Tabel 1 menyajikan semua besaran dan lambang yang digunakan. Kolom ketiga pada tabel tersebut menyajikan cara penulisan setiap besaran. Tabel ini memberikan tiga keuntungan: mempercepat menemukenali lambang yang tertulis untuk mewakili besaran apa dan sebagai fungsi apa, meringkas penulisan, dan menjaga konsistensi penulisan.
Penggunaan persamaan TDGL ternormalisasi dapat memberikan keuntungan. Keuntungan pertama adalah nilai yang terlibat dalam komputasi dapat dijamin tidak terlalu besar atau terlalu kecil. Selain itu persamaan yang terlibat menjadi berbentuk sederhana. Keuntungan keti-
1
2
Tabel 1: Besaran dan Lambang dalam Teori Superkonduktivitas Ginzburg-Landau
Besaran
Posisi Waktu Parameter Order Fase fungsi gelombang makroskopik Potensial Vektor Magnet Induksi Magnet Medan Listrik Potensial Listrik Rapat Arus Super Rapat Arus Normal Rapat Arus Eksternal Medan Magnet Eksternal Magnetisasi Temperatur Koefisien ekspansi Landau Koefisien ekspansi Landau Rapat Energi Bebas Ginzburg-Landau Konstanta Difusi Konduktivitas Normal Panjang Ekstrapolasi Muatan elektron super Muatan elektron Massa elektron super Massa elektron Konstanta Planck per 2 Permeabilitas hampa Rapat elektron super Bilangan natural Bilangan imajiner Tera potensial listrik Operator Nabla
Lambang
r t p Ψ(r, t) = ns (r)eiS(r,t) S(r, t) A(r, t) B(r, t) E(r, t) Φ(r, t) Js (r, t) Jn (r, t) Jex (r, t) H(r) M(r) T |α(T )| β g(Ψ, T, H) D σ b es = 2e e ms = 2me me h h ¯= 2 µ0 ns e = 2, 718281828 . . . √ i = −1 χ(r, t) ∂ ∂ ˆ ∂ ∇ = ˆi + ˆj +k ∂x ∂y ∂z
Penulisan
r t Ψ S A B E Φ Js Jn Jex H M T |α(T )| β g D σ b es e ms me ms µ0 ns e i χ ∇
3 2
NORMALISASI
Rumus umum untuk menormalisasi suatu variabel adalah V0 =
V Vp
(1)
dengan V variabel yang dinormalisasi, Vp variabel penormalisasi, dan V 0 variabel ternormalisasi. Pada umumnya V dan Vp berdimensi sama sehingga menghasilkan V 0 yang tak berdimensi. Persamaan (1) akan menjamin V 0 bernilai di antara nol dan satu jika Vp merupakan nilai maksimum dari V . Sebagai contoh, pada Tabel 2 dituliskan r = ξ(T )r0 .
(2)
Pada persamaan ini variabel yang dinormalisasi adalah r, variabel penormalisasi adalah ξ(T ), dan variabel ternormalisasi adalah r0 . Dengan kata lain variabel posisi, r, yang dinormalisasi terhadap panjang koheren, ξ(T ), akan menghasilkan variabel posisi ternormalisasi, r0 . Besaran ξ(T ) dipilih sebagai penormalisasi karena parameter benahan, Ψ(r), hanya bervariasi dalam rentang ξ(T ). Bagaimana langkah menormalisasi suatu persamaan? Berikut disajikan contoh menormalisasi persamaan magnetisasi M=
B − H. µ0
(3)
Langkah pertama mensubstitusikan setiap variabel yang sesuai pada Tabel 2 kolom Normalisasi 1 ke persamaan (3). Dalam hal ini variabel yang dimaksud adalah M, B, dan H. Langkah ini menghasilkan Hc2 (T )M0 = Hc2 (T )B0 − Hc2 (T )H0 .
(4)
Langkah kedua menyederhanakan persamaan ternormalisasi yang dihasilkan, persamaan (4). Langkah ini menghasilkan persamaan magnetisasi ternormalisasi sebagai M0 = B0 − H0 .
(5)
Persamaan ini memiliki bentuk lebih sederhana dari persamaan aslinya, persamaan (3). Sekarang diberikan dua contoh menormalisasi persamaan rapat energi bebas Ginzburg-Landau sebagai parameter dan fungsi temperatur dengan
menggunakan kembali dua langkah untuk menemukan persamaan (5). Ungkapan rapat energi bebas Ginzburg-Landau sebagai parameter T adalah [5, 24, 25] 1 g = −|α(T )||Ψ|2 + β|Ψ|4 2 ¯h2 es 2 + ∇ − i A Ψ 2ms ¯h 1 + (∇ × A − µ0 H)2 . 2µ0
(6)
Substitusikan g, Ψ, ∇, A dan H dari Tabel 2 kolom Normalisasi 1 ke persamaan (6). Lanjutkan dengan menyederhanakan persamaan yang dihasilkan dengan menggunakan persamaan pada Tabel 3 kolom kedua, Parameter T . Kedua langkah ini memberikan persamaan 2 1 g 0 = −|Ψ0 |2 + |Ψ0 |4 + ∇0 − iA0 Ψ0 2 +κ2 (∇0 × A0 − H0 )2
(7)
dimana telah digunakan identitas es µ0 Hc2 (T )ξ 2 (T ) =1 ¯h |α(T )|2 = µ0 Hc2 (T ). β
(8) (9)
Rapat energi bebas Ginzburg-Landau sebagai fungsi T berbentuk T 1 g = −|α(0)| 1 − |Ψ|2 + β|Ψ|4 Tc 2 2 ¯h es 2 + ∇ − i A Ψ 2ms ¯h 1 + (∇ × A − µ0 H)2 . (10) 2µ0 Substitusikan g, Ψ, ∇, A, H, dan T pada Tabel 2 kolom Normalisasi 2 ke persamaan (10). Sederhanakan persamaan yang diperoleh menggunakan persamaan pada Tabel 3 kolom keempat, Parameter pada T = 0. Kedua langkah ini menghasilkan [14] 0 2 0 0 2 0 2 1 |Ψ | − 1 g = (1 − T ) |Ψ | 2 2 +(1 − T 0 ) ∇ − iA0 Ψ0 +κ2 (∇0 × A0 − H0 )2
(11)
dengan telah digunakan identitas 2 (0) es µ0 Hc2 (0)ξgl = 1, ¯h |α(0)|2 2 = µ0 Hc,gl (0). β
(12) (13)
4 Contoh-contoh di atas telah memberikan gambaran dengan jelas bagaimana menormalisasi suatu persamaan melalui dua langkah sederhana dengan memanfaatkan Tabel 2 dan 3. 3
NORMALISASI TDGL
B = (∇ × A) = µ0 H
PERSAMAAN
Tabel 2 menyajikan dua kelompok variabel ternormalisasi: Normalisasi 1 dan Normalisasi 2. Normalisasi 1 digunakan untuk menormalisasi persamaan TDGL sebagai parameter T dan persamaan lain yang dihitung menggunakan solusi numerik persamaan TDGL ini, sebagai contoh persamaan (5) dan (7). Tabel 3 kolom kedua, Parameter T , digunakan untuk menyederhanakan persamaan ternormalisasinya. Normalisasi 2 digunakan untuk menormalisasi persamaan TDGL sebagai fungsi T dan persamaan lain yang dihitung menggunakan solusi numerik persamaan TDGL ini, contoh persamaan (11). Tabel 3 kolom keempat, Parameter pada T = 0, digunakan untuk menyederhanakan persamaan ternormalisasinya. 3.1
Persamaan TDGL dilengkapi dengan syarat batas untuk parameter benahan dan potensial vektor listrik. Syarat batas untuk A pada permukaan bahan adalah
Persamaan TDGL merupakan dua persamaan diferensial parsial terkopel bagi parameter benahan (order parameter ) dan rapat arus. Persamaan TDGL 1 yang diungkapkan sebagai parameter temperatur berbentuk ¯h2 ∂ es +i Φ Ψ= 2ms D ∂t ¯h 2 2 ¯h es ∇ − i A Ψ + |α(T )|Ψ − β|Ψ|2 Ψ. (14) 2ms ¯h Persamaan (14) dapat diungkapkan secara eksplisit sebagai fungsi temperatur dengan cara mengganti |α(T )| dengan T , (15) |α(T )| = |α(0)| 1 − Tc lihat persamaan No. 6 kolom ketiga pada Tabel 3. Persamaan TDGL 2 untuk rapat arus total, Jt , ungkapannya adalah ∇ × ∇ × A = µ0 (Js + Jn + Jex )
dengan H adalah medan magnet eksternal yang diberikan pada bahan. Syarat batas bagi parameter order untuk superkonduktor yang berbatasan dengan bahan isolator atau vakum (syarat batas SI) adalah [16] es ∇−i A Ψ=0 (21) ¯h n Syarat batas bagi superkonduktor yang berbatasan dengan logam normal (syarat batas SN) adalah [10, 11, 23] es Ψ ∇−i A Ψ= (22) ¯h b n dengan b adalah panjang ekstrapolasi permukaan. Nilai b mulai dari nol untuk bahan magnet sampai tak berhingga untuk isolator dan vakum. 3.2
Persamaan TDGL
(16)
dengan
(20)
Parameter Temperatur
Persamaan TDGL 1 ternormalisasi sebagai parameter T diperoleh dengan cara sebagai berikut. Substitusikan t, Φ, Ψ, ∇, A dari kolom Normalisasi 1 pada Tabel 2 ke persamaan (14). Sederhanakan persamaan yang dihasilkan menggunakan kaitan pada kolom kedua dari Tabel 3. Untuk mempermudah, gunakan juga identias persamaan (8). Hasilnya adalah [4, 5] 2 ∂ 0 + iΦ Ψ0 = ∇0 − iA0 Ψ0 0 ∂t + 1 − |Ψ0 |2 Ψ0 . (23) Berikut dicari persamaan TDGL 2 ternormalisasi sebagai parameter T . Substitusikan setiap variabel yang sesuai pada kolom Normalisasi 1 dari Tabel 2 ke persamaan (16), (17), (18), dan (19). Sederhanakan persamaan yang dihasilkan menggunakan kaitan pada kolom kedua dari Tabel 3. Hasilnya berturut-turut adalah κ2 ∇ × ∇ × A0 = J0s + J0n + J0ex
(24)
dengan ¯ es h es Js = ∇S − A |Ψ|2 , m ¯h s ∂A Jn = σ −∇Φ − = σE, ∂t Jex = ∇ × H.
(17) (18) (19)
J0s = ∇0 S − A0 |Ψ0 |2 ∂A0 0 0 0 0 Jn = σ −∇ Φ − ∂t0
(25)
J0ex = κ2 ∇0 × H0 .
(27)
(26)
5
Tabel 2: Normalisasi variabel yang disajikan dalam satuan MKS
No.
Variabel
Normalisasi 1
Normalisasi 2
1
Posisi
2
Operator Nabla
r = ξ(T )r0 1 ∇= ∇0 ξ(T )
r = ξgl (0)r0 1 ∇= ∇0 ξgl (0)
3
Waktu [2, 4, 5, 7]
t=
4
Parameter Order
Ψ = Ψ0 (T )Ψ0
Ψ = Ψ0,gl (0)(1 − T 0 ) 2 Ψ0
5
Potensial Vektor Magnet
A = µ0 Hc2 (T )ξ(T )A0
A = µ0 Hc2 (0)ξgl (0)A0
6
Potensial Listrik
Φ = µ0 Hc2 (T )DΦ0
Φ = µ0 Hc2 (0)DΦ0
7
Medan Magnet Induksi
B = µ0 Hc2 (T )B0
B = µ0 Hc2 (0)B0
8
Rapat Arus Super
Js =
Hc2 (T ) 0 J ξ(T )κ2 s
Js =
Hc2 (0) 0 J ξgl (0)κ2 s
9
Rapat Arus Normal
Jn =
Hc2 (T ) 0 J ξ(T )κ2 n
Jn =
Hc2 (0) 0 J ξgl (0)κ2 n
10
Rapat Arus Eksternal
Jex =
11
Medan Magnet Eksternal
H = Hc2 (T )H0
H = Hc2 (0)H0
12
Magnetisasi
M = Hc2 (T )M0
M = Hc2 (0)M0
13
Konduktivitas Normal [4, 5]
σ=
14
Panjang Ekstrapolasi
b = ξ(T )b0
b = ξgl (0)b0
15
Temperatur
T = Tc T 0
T = Tc T 0
16
Rapat Energi Bebas Ginzburg-Landau
g = µ0 Hc2 (T )g 0
2 g = µ0 Hc,gl (0)g 0
ξ 2 (T ) 0 t D
Hc2 (T ) 0 J ξ(T )κ2 ex
1 σ0 µ0 Dκ2
t=
2 ξgl (0) 0 t D 1
Jex =
σ=
Hc2 (0) 0 J ξgl (0)κ2 ex
1 σ0 µ0 Dκ2
6 Tabel 3: Besaran Superkonduktivitas sebagai Penormalisasi [22].
No.
Parameter T r
1
λ(T ) =
2
Hc2 (T ) = s
3
Hc (T ) =
ms 2 µ0 es n?s (T ) 2ms |α(T )| es ¯hµ0
hHc2 (T ) ¯ 2µ0 es λ2 (T ) n?s (T )
4 s 5
ξ(T ) =
|α(T )| =
6
µ0 Hc2 (T ) n?s (T )
µ0 Hc2 (T ) n?2 s (T ) r |α(T )| Ψ0 (T ) = β
7
λgl (0) =p 1 − (T /Tc ) T = Hc2 (0) 1 − Tc T = Hc,gl (0) 1 − Tc T ? = ns,gl (0) 1 − Tc
n?s (T ) = Ψ20 (T )
9 κ=
s ξgl (0) = |α(0)| =
¯2 h = ξ(0) 2ms |α(0)|
2 µ0 Hc,gl (0) ? ns,gl (0)
2 µ0 Hc,GL (0) ?2 ns,GL (0) r |α(0)| Ψ0,gl (0) = β
=
T = Ψ0,gl (0) 1 − Tc
12
= No. 8 =
(28)
Persamaan (24) dapat dituliskan lebih kompak sebagai [4, 5] 0 0 ∂A 0 0 σ + ∇ Φ = ∇0 S − A0 |Ψ0 |2 0 ∂t
3.3
n?s,gl (0) = 4n?s (0)
=p 1 − T /Tc T = |α(0)| 1 − Tc
Untuk memperoleh persamaan (25) telah digunakan identitas
−κ2 ∇0 × ∇0 × A0 + κ2 ∇0 × H0 .
λ(0) 2
Hc,gl (0) = 2Hc (0)
ξgl (0)
λ(T ) Hc2 (T ) =√ ξ(T ) 2Hc (T )
¯ es |α(T )| κ2 h = 1. ms β Hc2 (T )
Parameter pada T = 0
λgl (0) =
β=
8
10
¯2 h 2ms |α(T )|
Fungsi T Terlinearkan
(29)
Fungsi Temperatur
Cara normalisasi persamaan TDGL sebagai fungsi T sama dengan cara normalisasi persamaan TDGL sebagai parameter T . Yang membedakan adalah penggunaan variabel penormalisasi dan penggunaan kaitan besaran superkonduktivitas untuk menyederhanakan persamaan ternormalisasi. Sekarang variabel pada kolom Normalisasi 2 dari Tabel 2 digunakan sebagai variabel penormalisasi. Kaitan pada kolom keempat dari Tabel 3 digunakan untuk menyederhanakan persamaan ternormalisasi.
λgl (0) Hc2 (0) =√ ξgl (0) 2Hc (0)
Sama seperti sebelumnya, persamaan TDGL 1 ternormalisasi sebagai fungsi T diperoleh dengan cara mensubstitusikan setiap variabel yang sesuai pada kolom Normalisasi 2 dari Tabel 2 ke persamaan (14) dengan |α(T )| pada persamaan ini diganti dengan persamaan (15). Sederhanakan persamaan yang dihasilkan menggunakan kaitan pada kolom keempat dari Tabel 3 dan identias persamaan (12). Hasilnya adalah [14]
2 ∂ 0 + iΦ Ψ0 = ∇0 − iA0 Ψ0 0 ∂t +(1 − T 0 ) 1 − |Ψ0 |2 Ψ0 .
(30)
Persamaan TDGL 2 ternormalisasi sebagai fungsi T diperoleh dengan cara sebagai berikut. Substitusikan setiap variabel yang sesuai pada kolom Normalisasi 2 dari Tabel 2 ke persamaan (16), (17), (18), dan (19). Sederhanakan persamaan yang dihasilkan menggunakan kaitan pada kolom keempat dari Tabel 3. Persamaanpersamaan yang dihasilkan adalah κ2 ∇ × ∇ × A0 = J0s + J0n + J0ex
(31)
7 dengan 0
J0s = (1 − T ) ∇0 S − A |Ψ0 |2 ∂A0 0 0 0 0 Jn = σ −∇ Φ − ∂t0
(32)
J0ex = κ2 ∇0 × H0 .
(34)
ternormalisasi sebagai parameter dan fungsi T dibawah transformasi tera ini menjadi ∂Ψ = (∇ − iA)2 Ψ + 1 − |Ψ|2 Ψ, ∂t ∂A = (∇S − A) |Ψ|2 σ {z } ∂t | {z } |
(33)
Untuk menyederhanakan persamaan (32) gunakan identitas κ2
¯ es |α(0)| h = 1. ms β Hc2 (0)
Js
−Jn
2 −κ2 ∇ × ∇ × A + κ | ∇{z× H},
(43)
Jex
(35) dan
Persamaan (31) dapat dituliskan lebih kompak sebagai 0 0 0 0 ∂A +∇Φ = σ ∂t0 (1 − T 0 ) ∇0 S − A0 |Ψ0 |2 −κ2 ∇0 × ∇0 × A0 + κ2 ∇0 × H0 .
(42)
∂Ψ = (∇ − iA)2 Ψ + (1 − T ) 1 − |Ψ|2 Ψ, (44) ∂t ∂A = (1 − T ) (∇S − A) |Ψ|2 σ {z } ∂t | {z } | Js
−Jn
2 −κ2 ∇ × ∇ × A + κ | ∇{z× H} . (45)
(36)
Jex
3.4
Transformasi Tera
Arus eksternal Jex = 0 jika H homogen.
Persamaan TDGL 1 dan TDGL 2 ternormalisasi yang diungkapkan sebagai parameter dan fungsi T secara berturut-turut dapat dituliskan kembali dalam bentuk ∂ + iΦ Ψ = (∇ − iA)2 Ψ ∂t + 1 − |Ψ|2 Ψ, (37) ∂A σ + ∇Φ = (∇S − A) |Ψ|2 ∂t −κ2 ∇ × ∇ × A + κ2 ∇ × H,
(38)
3.5
Syarat batas bagi A dan Ψ dalam bentuk ternormalisasi adalah Bs = (∇ × A)s = H. Syarat batas perkonduktor isolator atau [8, 14, 13, 16,
dan ∂ + iΦ Ψ = (∇ − iA)2 Ψ ∂t +(1 − T ) 1 − |Ψ|2 Ψ, (39) ∂A σ + ∇Φ = (1 − T ) (∇S − A) |Ψ|2 ∂t
Syarat Batas
bagi parameter order untuk suyang berbatasan dengan bahan vakum (syarat batas SI) adalah 17, 18] (∇ − iA)|n Ψ = 0
(46)
(47)
sedangkan yang berbatasan dengan logam normal adalah [16, 23] (∇ − iA)|n Ψ =
Ψ . b
(48)
−κ2 ∇ × ∇ × A + κ2 ∇ × H. (40) Sekarang untuk menyederhanakan penulisan tanda aksen (. . .0 ) tidak dituliskan. Dinamika kuantitas E, B, |Ψ|2 , dan J invarian dibawah transformasi tera ˜ = A + ∇χ A ˜ = Ψeiχ Ψ (41) ∂χ ˜ , Φ=Φ− ∂t dengan tera potensial listrik, χ, merupakan medan skalar sebarang. Jika dipilih tera potensial listrik bernilai nol, Rberarti Φ ≡ 0 untuk seluruh waktu karena χ = Φ dt. Persamaan TDGL
3.6
Penggunaan Persamaan TDGL
Secara matematis persamaan TDGL ternormalisasi sebagai parameter dan fungsi T hanya berlaku untuk T sekitar Tc . Tinjau persamaan yang terrangkum dalam Tabel 3. Persamaan penormalisasi pada kolom ketiga disajikan sebagai fungsi T terlinearkan. Linearisasi ini mensyaratkan nilai T hanya sekitar Tc . Jadi T pada persamaan (39) hanya untuk nilai T sekitar Tc . Akan tetapi pada implementasinya persamaan TDGL dapat digunakan untuk memodelkan suatu sistem dengan T yang bervariasi diantara
8
Gambar 1: Variasi temperatur kurva magnetisasi (atas) dan rapat energi bebas (bawah) bagi superkonduktor ukuran 8ξ(0) × 8ξ(0) dengan κ = 5 yang sama dengan milik Sardella dkk [14].
0 ≤ T < Tc [13, 14]. Gambar 1 menyajikan variasi temperatur kurva magnetisasi dan rapat energi bebas Gibbs yang diperoleh dari solusi numerik persamaan TDGL bagi bahan ukuran 8ξ(0) × 8ξ(0), κ = 5. Bahan ini terletak dalam vakum dan padanya tidak dialirkan arus eksternal. Kurva pada gambar tersebut sama seperti kurva magnetisasi dan rapat energi bebas yang dihasikan Sardella dkk. Solusi persamaan TDGL ternormalisasi sebagai parameter T tidak dapat ditransformasikan menjadi solusi persamaan TDGL ternormalisasi sebagai fungsi T pada nilai T tertentu. Tinjau kurva magnetisasi dan rapat energi bebas sebagai parameter T pada Gambar 2. Dari gambar ini diperoleh bahwa −Mz = 0, 0138Hc2 (T ) pada Hz = 0, 2Hc2 (T ). Menggunakan kaitan Hc2 (T ) = Hc2 (0)(1 − T /Tc ), kedua nilai tersebut menjadi −Mz = 0, 0069Hc2 (0) pada Hz = 0, 1Hc2 (0) untuk T = 0, 5Tc . Jika langkah ini dilakukan untuk seluruh nilai Hz dan Mz pa-
da Gambar 2, maka kurva magnetisasi ini tertransformasi menjadi kurva magnetisasi pada T = 0, 5Tc seperti ditunjukkan pada Gambar 3. Sekarang bandingkan kurva magnetisasi pada Gambar 3 dan kurva magnetisasi pada Gambar 1 untuk T = 0, 5Tc . Tampak bahwa kedua kurva magnetisasi ini sama sekali berbeda. Artinya solusi persamaan TDGL ternormalisasi sebagai parameter T tidak dapat ditransformasikan dengan cara seperti di atas menjadi solusi persamaan TDGL ternormalisasi sebagai fungsi T pada T tertentu. Persamaan TDGL ternormalisasi sebagai parameter memiliki bentuk yang sama dengan persamaan TDGL ternormalisasi sebagai fungsi T untuk T = 0. Kedua persamaan ini juga memiliki solusi yang sama. Tinjau Gambar 2 dan Gambar 1 untuk T = 0. Tampak bahwa kedua kurva tersebut memiliki bentuk yang sama. Walaupun demikian penormalisasi kedua besaran pada kedua kurva tersebut berbeda. Besaran pada kur-
9
Gambar 3: Kurva magnetisasi sebagai fungsi T pada T = 0, 500Tc hasil transformasi dari Gambar 2.
Gambar 2: Kurva magnetisasi (atas) dan rapat energi bebas (bawah) sebagai parameter T .
va dalam Gambar 1 dinormalisasi menggunakan Normalisasi 1 pada Tabel 2 sedangkan besaran pada kurva dalam Gambar 3 dinormalisasi menggunakan Normalisasi 2 pada Tabel 2. Penormalisasi sebagai parameter T dan sebagai parameter T = 0 pada Tabel 3 kolom kedua dan kolom keempat memiliki makna berbeda. Penormalisasi sebagai parameter T = 0 merupakan nilai penormalisasi yang diukur pada T = 0. Penormalisasi Hc2 (0) pada nilai Mz = 0, 00196Hc2 (0) bagi suatu superkonduktor merupakan medan kritis kedua bagi superkonduktor tersebut yang diukur pada T = 0. Sementara penormalisasi sebagai parameter T mewakili keadaan penormalisasi sebagai fungsi T . Penormalisasi sebagai parameter T tidak mewakili nilai penormalisasi pada nilai T tertentu. Penormalisasi Hc2 (T ) pada nilai Hz = 0, 2Hc2 (T ) yang diberikan pada suatu superkonduktor merupakan medan kritis kedua bagi superkonduktor tersebut yang diukur pada sebarang temperatur T < Tc . Variasi temperatur dari medan kritis kedua, Hc2 , bagi bahan berukuran 8ξ(0) × 8ξ(0) pada κ = 5 dapat diperoleh melalui variasi temperatur kurva rapat energi bebas sebagai fungsi medan magnet eksternal, Hz , seperti ditunjukkan Gambar 1. Suatu bahan berada dalam fase superkonduktif atau fase normal ditunjukkan oleh rap-
Gambar 4: Variasi temperatur Hc2 untuk bahan 8ξ(0) × 8ξ(0) pada κ = 5.
at energi bebasnya. Rapat energi bebas bernilai negatif menunjukkan bahwa bahan dalam keadaan superkonduktif. Rapat energi bebas bernilai positif menunjukkan bahwa bahan dalam keadaan normal. Karena itu nilai Hc2 dapat diperoleh dari nilai Hz yang memberikan rapat energi bebas tepat mulai bernilai positif. Dengan cara ini dapat diperoleh kurva variasi temperatur dari Hc2 seperti ditunjukkan pada Gambar 4. 4
KESIMPULAN
Persamaan TDGL sebagai parameter temperatur, T , tertransfomasikan menjadi persamaan TDGL fungsi temperatur melalui kaitan koefisien Landau |α(T )| = |α(0)|(1 − T /Tc ). Penormalisasi bagi kedua persamaan TDGL ini berbeda. Diperlukan dua langkah sederhana untuk menormalisasi persamaan TDGL: substitusikan variabel ternormalisasi pada Tabel 2 yang sesuai ke
10 persamaan yang akan dinormalisasi dan sederhanakan persamaan yang diperoleh dengan memanfaatkan Tabel 3. Persamaan TDGL yang dinormalisasi dengan cara tersebut dapat mereproduksi kurva magnetisasi dan rapat energi bebas sebagai fungsi temperatur milik Sardella dkk [14]. Solusi persamaan TDGL ternormalisasi sebagai parameter T tidak dapat ditransformasikan menjadi solusi persamaan TDGL ternormalisasi sebagai fungsi T pada T tertentu. Selain itu variasi temperatur dari medan kritis kedua dapat diperoleh dari variasi temperatur dari rapat energi bebas. PUSTAKA [1] X.H. Chao, B.Y. Zhu, A.V. Silhanek, V.V. Moshchalkov, 2009, Current-induced Giant Vortex and Asymmetric Vortex Confinement in Microstructured Superconductors, Physical Review B, 80, hlm. 054506 [2] S. Miyamoto, T. Hikihara, 2004, Dynamical Behavior of Fuxoid and Arrangement of Pinning Center in Superconductor Based on TDGL Equation, Physica C, 417, hlm. 7-16 [3] D.Y. Vodolazov, I.L. Maksimov, E.H. Brandt, 2003, Vortex Entry Conditions in Type-II Superconductors. Effect of Surface Defects, Physica C, 384, hlm. 211226 [4] T. Winiecki, C.S. Adams, 2002, A Fast Semi-Implicit Finite-Difference Method for the TDGL Equations, Journal of Computational Physics, 179, hlm. 127 - 139. [5] T. Winiecki, C.S. Adams, 2002, Timedependent Ginzburg-Landau Simulations of the Voltage-current Characteristic of TypeII Superconductors with Pinning, Physical Review B, 65, hlm. 104517 [6] D.Y. Vodolazov, 2000, Effect of Surface Defects on the First Field for Vortex Entry in Type-II Superconductors, Physical Review B, 62, hlm. 8691-8694 [7] W.D. Gropp, H.G. Kaper, G.K. Leaf, D.M. Levine, M. Palumbo, V.M. Vinokur, 1996, Numerical Simulation of Vortex Dynamics in Type-II Superconductors, Journal of Computational Physics, 123, hlm. 254-266 [8] R. Kato, Y. Enomoto, S. Maekawa, 1991, Computer Simulations of Flux Lines in
Type-II Superconductors, Journal of Computational Physics, 44, hlm. 6916-1920 [9] L.R.E. Cabral, J. Barba-Ortega, C.C. de Souza Silva, J.A. Aguiar, 2010, Vortex Properties of Mesoscopic Superconducting Samples, Physica C, doi:10.1016/j.physc.2010.02.022 [10] J. Barba-Ortega, A. Becerra, J.A. Aguiar, 2010, Two Dimensional Vortex Structures in a Superconductor Slab at Low Temperatures, Physica C, 470, hlm. 225230 [11] J. Barba-Ortega, C.C. de Souza Silva, J.A. Aguiar, 2009, Superconducting Slab in Contact with Thin Superconducting Layer at Higher Critical Temperature, Physica C, 469, hlm. 852856 [12] J.J. Barba, C.C. de Souza Silva, L.R.E. Cabral, J.A. Aguiar, 2008, Flux Trapping and Paramagnetic Effects in Superconducting Thin Films - The Role of de Gennes Boundary Conditions, Physica C, 468, hlm. 718721 [13] J.J. Barba, L.R.E. Cabral, J.A. Aguiar, 2007, Magnetization in a Superconducting Square Ring, Revista Mexicana de Fisica S, 53, hlm. 5356 [14] E. Sardella, A.L. Malvezzi, P.N LisboaFilho, 2006, Temperature-dependent Vortex Motion in a Square Mesoscopic Superconducting Cylinder: Ginzburg-Landau Calculations, Physical Review B, 74, hlm. 014512 [15] M. Machida, M. Itakura, 2003, Direct Numerical Simulations for Local Superconductivity Above Upper Critical Field - Theoretical Confirmation of Stable Precursors, Physica C, 392396, hlm. 331335 [16] A.D. Hernandez, D. Dominguez, 2002, Surface Barrier in Mesoscopic Type-I and TypeII Superconductors, Physical Review B, 65, hlm. 144529 [17] A.D. Hernandez, D. Dominguez, 2002, AC Magnetic Response of Mesoscopic Type-II Superconductors, Physical Review B, 66, hlm. 144505 [18] C. Bolech, G.C. Buscaglia, A. Lopez, 1995, Numerical Simulation of Vortex Arrays in Thin Superconducting Films, Physical Review B, 52, hlm. R15719-R15722
11 [19] M. Machida, H. Kaburaki, 1994, Numerical Simulation of Flux-Pinning Dynamics for a Defect in a Type-II Superconductor, Physical Review B, 50, hlm. 1286-1289 [20] R. Kato, Y. Enomoto, S. Maekawa, 1993, Effects of the Surface Boundary on the Magnetization Prosess in Type-II Superconductors, Physical Review B, 47, hlm. 8016-8024 [21] M. Machida, H. Kaburaki, 1993, Direct simulation of the Time Dependent GinzburgLandau Equation for Type II Superconducting Thin Film Vortex Dynamics and V-I Characteristics, Physical Review Letter, 71, hlm. 3206-3209 [22] Hari W., Pekik N., Agung B.S.U., 2010, Kebergantungan Pergerakan Vortex dalam Superkonduktor Mesoskopik terhadap Temperatur, diajukan ke Jurnal Berkala MIPA UM [23] P.G. de Gennes, 1999, Superconductivity of Metals and Alloys, Westview Press: hal. 227 [24] D. R. Tilley dan J. Tilley, 1990, Superfluidity and Superconductivity, Bristol: IOP Publishing Ltd, hlm. 295, 299 [25] Waldram, J. R., 1996, Superconductivity of Metais adn Cuprates, Intitute of Physics, London, hlm. 43
