8
III PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode iterasi variasi untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial integral Volterra orde satu yang terdapat pada masalah osilasi berpasangan. Agar validitas metode ini terjamin, akan diberikan grafik untuk membandingkan penyelesaian eksak dengan hampiran penyelesaian, dan diberikan juga galat dari beberapa hampiran yang diperoleh. Metode iterasi variasi yang diterapkan dalam tulisan ini mengikuti pustaka [Matinfar dan Ghanbari, 2010]. 3.1 Analisis Metode Dalam karya ilmiah ini akan digunakan metode iterasi variasi untuk menyelesaikan persamaan (2.15) dan persamaan (2.16). Berdasarkan persamaan (2.20) didefinisikan fungsi berikut: = @ /8 , 9 0 + A /8 , 9 0
= @ /8 , 9 0 + A /8 , 9 0 (3.1) dengan operator linear didefinisikan sebagai berikut:
dan
@ /8 , 9 0 = 8
:
+9
@ /8 , 9 0 = 9 : − 8:
dan operator taklinear berbentuk :
dan
:
A /8 , 9 0 = 0
A /8 , 9 0 = 0.
Berdasarkan persamaan (2.15) dan persamaan (2.16), fungsi kontinu dan masing-masing sebagai berikut : 5
dan
− = 23 8 4 + 9 4 64 7 !
5
−3 23 9 4 − 8 4 64 7 = !
dengan adalah konstanta pegas, adalah massa benda. Selanjutnya, berdasarkan persamaan (2.21) dan persamaan (3.1), fungsi koreksi dari persamaan (2.15) dan persamaan (2.16) masing-masing sebagai berikut : 5
8"B = 8" + 3 C D [@ [8" D , 9" D F !
+A [8" D , 9" D F − D F6D 5
9"B = 9" + 3 C D [@ [8" D , 9" D F !
+A [8" D , 9" D F − D F6D.
Berdasarkan persamaan (2.17), persamaan (2.18), dan persamaan (2.25), fungsi koreksi untuk persamaan (2.15) dan persamaan (2.16) masing-masing dapat dinyatakan dalam bentuk berikut :
5
8"B = 8" + 3 −1[ 8": D − ; D, 9" D , 9": D
!
5
I
− 3 < D, 4, 8" 4 , 8": 4 , 9" 4 , 9": 4
64F6D, !
9"B = 9" + 3 −1[ 9": D − ; D, 8" D , 8": D !
I
− 3 < D, 4, 8" 4 , 8": 4 , 9" 4 , 9": 4
64F6D. !
9
dengan
; D, 9" D , 9": D
= −9": D ,
; /D, 8" D , 8": D 0 = 8": ,
< D, 4, 8" 4 , 8": 4 , 9" 4 , 9": 4
= −
< D, 4, 8" 4 , 8": 4 , 9" 4 , 9": 4
= −
8" 4 + 9" 4
,
"
#
9" 4 − 8" 4
.
"
#
(3.2) 5
8: = −9 : − 1 23 8 4 + 9 4 64 7
Berdasarkan persamaan (2.26), hampiran untuk penyelesaian persamaan (2.15) dan persamaan (2.16) masing-masing adalah
!
8 ≈ lim 8" "→P
9
9 ≈ lim 9" "→P
(3.3) dengan = 0,1,2,3, ⋯. yang menandakan iterasi ke- . 3.2 Aplikasi Metode Perhatikan persamaan persamaan (2.16) berikut : 8
:
9
:
= −9 =8
:
:
(2.15)
5
!
5
−3 + 23 9 4 − 8 4 64 7 !
dengan nilai awal 8 0 = , 9 0 = \, 8: 0 = , 9 : 0 = 6.
Misalkan konstanta pegas bernilai 1, dan kedua pegas memiliki massa = 1 maka persamaan (2.15) dan persamaan (2.16) menjadi
8"B = 8" + 9"B = 9" +
dengan = 0,1,2,3, ⋯.
!
5
3 −1[ 9": D !
5
− 3 23 9 4 − 8 4 64 7 !
(3.4)
Berdasarkan persamaan (2.11) dan persamaan (2.12), masalah nilai awal (3.4) memiliki penyelesaian eksak sebagai berikut: 3 1 8 = cos − cos/√3 0 2 2 (3.5) 3 1 9 = cos + cos/√3 0. 2 2 (3.6) Penurunan persamaan (3.5) dan persamaan (3.6) dapat dilihat pada Lampiran 4. Berikut ini akan ditentukan hampiran untuk penyelesaian masalah nilai awal (3.4) dengan menggunakan metode iterasi variasi. Hal yang utama dalam penggunaan metode iterasi varaiasi adalah pembentukan fungsi koreksi. Berdasarkan persamaan (3.2), fungsi koreksi untuk masalah nilai awal (3.4) adalah sebagai berikut :
− + 23 8 4 + 9 4 64 7
3 −1[ 8": D
=8
:
dengan nilai awal 8 0 = 1, 9 0 = 2, 8: 0 = 0, 9 : 0 = 0.
dan
5
:
+
9": D
−
8": D
I
+ 3 8" 4 + 9" 4 64F6D, !
I
+ 3 3 9" 4 − 8" 4 64F6D, !
(3.7)
10
Iterasi ke-1 dapat dilakukan dengan mensubstitusikan 8] dan 9! ke dalam persamaan (3.7), diperoleh fungsi koreksi untuk iterasi ke-1 sebagai berikut:
Misalkan hampiran awal yang digunakan adalah 8] = 1, 9! = 1 + cos/√3 0.
5
8 = 8! + 9 = 9! +
3 −1[ 8!: D !
5
3 −1[ 9!: D !
+
−
8!: D
2 2 8 = 1 + − − cos/√3 0, 3 3 9 = 1 + cos/√3 0.
9 = 9 +
5
3 −1[ 8: D !
5
3 −1[ 9: D !
+
−
1 9 = 1 − T + cos/√3 0. 4
3 −1[ 8: D !
5
!
I
!
I
+ 3 8 4 + 9 4 64F6D !
I
+ 3 3 9 4 − 8 4 64F6D. !
Daerah kekonvergenan yang dicapai oleh 8 dan 9 adalah pada interval waktu [0,0.5F. Daerah kekonvergenan yang dicapai oleh 8 dan 9 sama luas dengan daerah kekonvergenan yang dicapai oleh 8 dan 9 . Selanjutnya, akan dilakukan iterasi ke-3 untuk memerluas daerah kekonvergenan. Iterasi ke-3 dilakukan dengan mensubstitusi 8 dan 9 ke dalam persamaan (3.7), sehingga memberikan fungsi koreksi untuk iterasi ke-3 sebagai berikut:
8 12 3 T 8 = 1 + − + 36 36 36 8 − cos/√3 0 + ⋯, 36
8 = 8 +
+ 3 8! 4 + 9! 4 64F6D
+ 3 3 9! 4 − 8! 4 64F6D.
9: D
8: D
Penyelesaian persamaan integral tersebut adalah
5
I
Daerah kekonvergenan yang dicapai oleh 8 dan 9 adalah pada interval waktu [0,0.5F. Selanjutnya, akan dilakukan iterasi ke-2 untuk memerluas daerah kekonvergenan. Iterasi ke-2 dilakukan dengan mensubstitusikan 8 dan 9 ke dalam persamaan (3.7), sehingga memberikan fungsi koreksi untuk iterasi ke2 sebagai berikut:
Penyelesaian persamaan integral tersebut adalah
8 = 8 +
9!: D
+
9: D
I
+ 3 8 4 + 9 4 64F6D !
I
9 = 9 + 3 −1[ 9: D − 8: D + 3 3 9 4 − 8 4 64F6D. !
!
11
Penyelesaian persamaan integral tersebut adalah 8 = 1 +
9 = 1 −
40 60t 150t − + +⋯ 540 540 540
T X + + cos/√3 0. 4 30
Daerah kekonvergenan yang dicapai oleh 8 dan 9 adalah sama dengan sebelumnya yaitu pada interval waktu [0.0,5F. Daerah kekonvergenan yang dicapai oleh 8 dan 9 sama luas dengan daerah kekonvergenan yang dicapai oleh 8 dan 9 serta 8 dan 9 . Selain itu, galat hampiran 8 untuk iterasi ke-3 lebih besar dari pada galat pada iterasi sebelumnya. Sedangkan galat hampiran 9 pada iterasi ke-3 lebih kecil atau sama dengan galat pada iterasi sebelumnya. Selanjutnya, berdasarkan persamaan (3.7), iterasi dilakukan terus menerus dengan tujuan dapat memerluas daerah kekonvergenan. Setelah dilakukan proses iterasi hingga iterasi ke-9, didapatkan daerah kekonvergenan sama dengan sebelumnya yaitu pada interval waktu [0.0,5F. Selanjutnya, dilakukan iterasi ke-10 dan diperoleh penyelesaian sebagai berikut : 8! = 1 −
9! = 1 −
337 39029 T − + ⋯, 19683 78732 T 2 X 9 _ − − + ⋯, 4 15 560
Daerah kekonvergenan yang dicapai oleh 8! adalah pada interval waktu [0,0.5F, sedangkan daerah kekonvergenan yang dicapai oleh 9! adalah pada interval waktu [0,0.45F. Meskipun demikian, galat hampiran untuk penyelesaian 8 pada iterasi ke-10 lebih kecil dibandingkan dengan galat pada iterasi–iterasi sebelumnya. Daerah kekonvergenan yang dicapai oleh hampiran untuk penyelesaian 9 pada iterasi ke-10 lebih kecil dari pada daerah kekonvergenan yang dicapai pada iterasi sebelumnya. Oleh karena itu, iterasi terus dilakukan dengan tujuan memperluas daerah kekonvergenan. Setelah dilakukan iterasi hingga iterasi ke-57, diperoleh hampiran sebagai berikut : 8UY = 2. −1. Cos[1.73205 tF + ⋯,
9UY = 1. −0.954167 t _ − ⋯. Daerah kekonvergenan yang dicapai oleh 8UY adalah pada interval waktu [0,0.4F, sedangkan daerah kekonvergenan yang dicapai oleh 9UY adalah pada interval waktu [0,0.6F. Daerah kekonvergenan yang dicapai oleh hampiran untuk penyelesaian 9 pada iterasi ke-57 lebih luas dari pada daerah kekonvergenan yang dicapai pada iterasi sebelumnya dan galat hampiran untuk penyelesaian 9 lebih kecil dari pada galat hampiran pada iterasi sebelumnya. Selanjutnya, daerah kekonvergenan yang dicapai oleh hampiran untuk penyelesaian 8 pada iterasi ke-57 lebih kecil dari pada daerah kekonvergenan yang dicapai pada iterasi sebelumnya. Oleh karena itu, dibutuhkan iterasi-iterasi selanjutnya untuk mencapai daerah kekonvergenan yang lebih luas untuk hampiran penyelesaian 8 dan 9 . Perluasan daerah kekonvergenan diupayakan dengan menambah jumlah iterasi yang dilakukan. Jumlah iterasi yang dilakukan untuk memerluas daerah kekonvergenan dipengaruhi oleh pendekatan awal 8! dan 9! yang digunakan pada proses iterasi. Program untuk penyelesaian masalah nilai awal (3.4) dapat dilihat pada Lampiran 5. Dengan menggunakan software Mathematica 7 diperoleh grafik penyelesaian eksak dan beberapa hampiran penyelesaian dari masalah nilai awal (3.4) yang ditunjukkan oleh Gambar 6 dan Gambar 7. Gambar 6 menunjukkan grafik penyelesaian hampiran dan penyelesaian eksak untuk 8 pada iterasi ke-10, 20, 30, 40, dan 57. 8
Gambar 6 Hampiran penyelesaian 8 pada iterasi ke-10, 20, 30, 40, dan 57.
12
Berdasarkan Gambar 6 terlihat bahwa daerah kekonvergenan yang diperoleh dari 8! , 8! , 8 !, dan 8T! adalah pada interval waktu [0,0.5F, sedangkan 8UY pada interval [0,0.4F. Besar simpangan pegas kiri pada selang waktu [0,0.5F adalah konstan atau sama besar dengan simpangan pada saat posisi seimbang ( = 0 . Pada saat = 0, pegas kiri memiliki besar simpangan tidak sama dengan nol atau pegas kiri mendapat suatu gaya tarikan. Selanjutnya, berdasarkan penyelesaian eksak 8 yang terlihat pada Gambar 6, pegas kiri bergerak dengan besar simpangan yang terus berkurang dari selang waktu = 0.5 hingga waktu tertentu. Gambar 7 menunjukkan grafik hampiran dan penyelesaian eksak untuk 9 pada iterasi ke-10, 20, 30, 40, dan 57.
9
Penulisan kode perintah untuk Gambar 6 dan Gambar 7 dapat dilihat pada Lampiran 6. Berdasarkan Gambar 7 terlihat bahwa daerah kekonvergenan yang diperoleh dari 9! , 9! , dan 9 ! adalah pada interval waktu [0,0.45F, sedangkan daerah kekonvergenan dari 9T! dan 9UY masing-masing adalah pada interval waktu [0,0.4F dan [0,0.6F. Pada saat = 0, pegas kanan memiliki besar simpangan tidak sama dengan nol atau pegas kanan mendapat suatu gaya tarikan. Selanjutnya, berdasarkan grafik penyelesaian eksak 9 pada Gambar 7, pegas kanan bergerak dengan besar simpangan yang terus berkurang dari selang waktu = 0 hingga waktu tertentu. Pada Tabel 1 diberikan selisih antara penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian pada iterasi ke-10, 30,dan 57. Berdasarkan Tabel 1, hampiran untuk 9 mencapai daerah kekonvergenan yang lebih luas dibandingkan dengan hampiran untuk 8 . Hal ini dikarenakan hampiran awal 9! yang digunakan merupakan fungsi sinusoidal yang sesuai dengan penyelesaian 9 , sedangkan hampiran awal 8! berupa konstanta yang kurang sesuai dengan penyelesaian 8 .
Gambar 7 Hampiran penyelesaian 9 pada iterasi ke-10, 20, 30, 40, dan 57. Tabel 1 Galat antara penyelesaian eksak dan hampiran pada iterasi ke-10,30, dan 57. a
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
|bcdefd − bgh | 0 7.80989×10-7 0.0000124831 0.0000630854 0.000198873 0.000483851 0.000998793 0.00183979 0.00311611 0.00494718 0.0074584 0.0107754 0.0150166
|icdefd − igh |
0 7.83594×10-7 0.0000126502 0.0000649937 0.000209639 0.000525132 0.00112283 0.00215489 0.00382419 0.00639639 0.0102142 0.0157142 0.0234457
|bcdefd − bjh |
0 7.8098×10-7 0.0000124808 0.0000630265 0.000198281 0.000480291 0.000983325 0.00178604 0.00295744 0.00453353 0.00648037 0.00863812 0.0106391
Berdasarkan iterasi-iterasi yang dilakukan, diperoleh bahwa daerah kekonvergenan yang dicapai adalah pada interval waktu
|icdefd − ijh |
0 7.88811×10-7 0.0000129856 0.0000688435 0.0002315 0.000609656 0.00137933 0.00281386 0.00532364 0.00950729 0.0162162 0.0266342 0.042375
|bcdefd − bkl |
0 7.95737×10-7 0.0000134336 0.0000740384 0.000261403 0.000727222 0.00174307 0.0037686 0.00754648 0.0142299 0.0255487 0.0440179 0.073191
|icdefd − ikl |
0 7.80952×10-7 0.0000124737 0.0000628429 0.000196418 0.000468962 0.000933421 0.00160987 0.00242815 0.00312649 0.0030825 0.00104304 0.00529272
[0,0.5]. Untuk mencapai daerah kekonvergenan yang lebih luas, dibutuhkan lebih banyak iterasi.
