N.III. Vasbeton I.
T1-t Gerendák I. 1. oldal
2016.02.22
1.1. Négyszögkeresztmetszet ellenőrzése hajlításra: normálisan vasalt gerenda Feladat Ellenőrizze az ábrán adott vasbeton gerendát hajlításra! Az állandó teher (amely tartalmazza a gerenda önsúlyát is) gk = 23.7 kN/m, a hasznos teher qk = 12 kN/m. A terhek jelének "k" indexe arra utal, hogy karakterisztikus értékükkel adottak, azaz biztonsági tényezővel még nem megszorzottak.
C20/25-X0-16-F21 B 500 cnom: 20 mm (betonfedés) leff = 3.5+min
0,35 2 0, 26 2⋅ 2 2⋅
= 3.76 m
A terhek tervezési – mértékadó – értéke: pEd = γ G gk+ γ Q qk = 1,35·23.7+1,5·12 = 50,0 kN/m
γ G és γ Q (parciális) biztonsági tényezők., értékük a VS. 4. fejezetben található. A mértékadó nyomaték (a nyomaték tervezési értéke): MEd = pEd
l 2eff 3,762 = 50 ⋅ = 88,36 kNm 8 8
A keresztmetszetben a kis átmérőjű nyomott („szerelő”) vasalást elhanyagoljuk. Mint később látni fogjuk, ha a kengyelezés nem elég sűrű, nem is szabad figyelembe venni. As = 942 mm2 (VS. 3. fej.) A hatékony magasság:
1
d = 350 - 20 - 8 - 20/2 = 312 mm
Itt 16 az adalékanyag maximális szemnagyságát jelenti mm-ben (dg = 16 mm), F2 a konzisztenciára utal: „kissé képlékeny”.
N.III. Vasbeton I.
T1-t Gerendák I. 2. oldal
2016.02.22
A vasalás mennyiségére vonatkozó szerkesztési szabályok ellenőrzése (VS. 8.5.) A húzott vashányad %-ban kifejezve: ρ =100As/bd = 100 ∙ 942/(250 ∙ 312) = 1,21% nagyobb mint a minimális vashányad: ρ min = 0,15% (VS. 8.5.), ezért a keresztmetszet vasbeton keresztmetszetként számítható. ρ
As,max= 0,04Ac = 0,04·250·350 = 3500 mm2 > As,3Ø20+2Ø8= 942 + 101 = 1043 mm2 szintén rendben! A határnyomaték (MRd) számítása A számítás előtt tekintsük át a keresztmetszetet, annak tönkremenetelkori alakváltozási állapotát (a tönkremenetel várható oka a szélső nyomott betonszál összemorzsolódása), a feszültségek és belsőerők egyensúlyát Mmax-nál bemutató kimetszett tartószakaszt vetületi összefüggésben bemutató ábrákat, és a szerkezeti anyagok egyszerűsített σ-ε ábráit:
anyagok egyszrűsített σ-ε ábráit:
Érvényesítsük a mechanikai jellemzők parciális biztonsági tényezőinek hatását: 500 500 20 20 = = 435 N/mm2 = = 13.3 N/mm2 fcd = fyd = xc = 0,8x γ s 1,15 γ c 1,5 fcd és fyd a VS 1. ill. VS. 2. táblázatából közvetlenül is kivehetők! Ha xc nagy ⇒ x nagy ⇒ ε s kicsi ⇒ lehet, hogy az acél rugalmas állapotú! Ha xc kicsi ⇒ x kicsi ⇒ ε s nagy ⇒ az acél megfolyik:
σ s = fyd.
Ennek számszerűsített feltétele az, hogy az xc/d= ξc viszonyított érték ne haladja meg a ξco határértéket (lásd VS. 1. fej. táblázat). Tegyük fel, hogy az acél folyási állapotban van (ξc < ξc0 eset)! Vetületi egyenlet ( ΣN = 0 ):
Nc=Ns
Acél folyásának ellenőrzése:
ξc =
fcdxcb = Asfyd
⇒
xc =
942 ⋅ 435 = 123 mm 250 ⋅ 13,3
xc 123 = = 0,394 < ξ c 0 = 0,49 (VS. 2.) d 312
vagyis az acél valóban megfolyik (amit úgy is mondhatunk, hogy a gerenda ″normálisan″ vasalt, a feltételezés helyes volt). Nyomatéki egyenlet a nyomófeszültségek súlypontjára ( ΣM c = 0 ): MRd = Nsz = Asfyd z
z=d−
xc 123 = 312 − = 251 mm 2 2 6
MRd = 942 ⋅ 435 ⋅ 251 = 102,66 ⋅10 Nmm = 102,66 kNm > MEd = 88,36 kNm, megfelel!
N.III. Vasbeton I.
T1-t Gerendák I. 3. oldal
2016.02.22
1.1.b. Négyszögkeresztmetszet tervezése hajlításra: normálisan vasalt gerenda Feladat Tervezzük meg az előző feladat adataival (geometria és terhek alapján) a négyszög keresztmetszetű gerenda húzott vasalását! pEd= 50 kN/m, MEd=88,36 kNm, d=312mm (ø20 betonacélok alapján)
ΣM s = 0 :
x b ⋅ xc ⋅ f cd ⋅ d − c = M Ed / osztás: − b ⋅ f cd -vel 2 2 xc M Ed − xc ⋅ d + = 0 innen 2 b ⋅ f cd 2 M Ed 2 ⋅ 88,36 ⋅ 106 = 312 − 312 2 − = 101,8 mm 250 ⋅ 13,3 b ⋅ f cd Ellenőrzés: 101,8mm < 0,49 ⋅ 312 = 152,88 mm, megfelel! xc = d − d 2 −
ΣM c = 0 felhasználásával: M Ed 88,36 ⋅ 106 As = = = 778 mm2 101,8 z ⋅ f yd 312 − ⋅ 435 2 Alkalmazott vasalás: 2ø20+1ø14 = 628+154 = 782 mm2
Ez a tervezés ellenőrzésre is használható, hiszen Aszükséges < As, 778 < 942 mm2 (De: ha már nyomott vasalás is van, az ellenőrzés és a tervezés élesen szétválik, mert tervezésnél két, egymással összefüggő ismeretlenünk lesz.)
1.2. Négyszögkeresztmetszet ellenőrzése hajlításra: alulvasalt gerenda Oldjuk meg az előző feladatot 2ø8 keresztmetszetű húzott vasalás és pEd= 6 kN/m terhelés mellett! Most As = 101 mm2 (VS. 3.) A hatékony magasság: d = 350 - 20 - 8 - 8/2 = 318 mm A vasalás mennyiségére vonatkozó szerkesztési szabályok ellenőrzése (VS. 8.5.) A húzott vashányad %-ban kifejezve: ρ =100As/bd = 100 ∙ 101/(250 ∙ 318) = 0,127% < ρ min = 0,15% , azaz a megadott keresztmetszet nem felel meg az egyik ellenőrizendő szerkesztési szabálynak. A feladat megoldása ezzel gyakorlatilag kész: a kiváltó nem felel meg. Miért nem fogadható el, ill. miért veszélyes ez?
N.III. Vasbeton I.
T1-t Gerendák I. 4. oldal
2016.02.22
A válaszhoz határozzuk meg a keresztmetszet repesztő nyomatékát! Egyszerűsítő közelítésként hanyagoljuk el a hosszvasalást, a beton húzószilárdságát pedig annak tervezési illetve várható értékével is vegyük figyelembe: bh 2 250 ⋅ 350 2 6 ⋅ 3,76 2 f ct , d = ⋅1,0 ⋅10 − 6 = 5,10 kNm < M Ed = = 10,60 kNm 6 6 8 bh 2 250 ⋅ 350 2 M cr , m = Wc f ct , m = f ct , m = ⋅ 2,2 ⋅10 −6 = 11,23 kNm > M Ed
M cr , d = Wc f ct , d =
6
6
Várható tehát, hogy a keresztmetszet esetleg nem reped be, de ez nem biztos! Mekkora húzóerő hárul a 2ø8 húzott vasalásra, ha a keresztmetszet éppen az M Ed nyomaték hatására reped be?
Hs =
M Ed M Ed 10,60 −3 = = = 45,47 kN > As f yd = 101⋅ 435 ⋅10 = 43,94 kN 2 2 z h ⋅ 0,35 3 3
azaz fennáll a veszélye annak, hogy a húzott vasak a beton berepedését követően azonnal el is szakadnak, mert nem tudják egyensúlyozni a berepedésig a húzott betonöv által felvett húzóerőt. A tönkremenetel minden figyelmeztető előjel nélkül, hirtelen következik be, ami nagyon veszélyes! Ezért kell mindig gondosan ellenőrizni a húzott vasalás minimális mennyiségét!
1.3. Túlvasalt négyszögkeresztmetszet ellenőrzése hajlításra Határozzuk meg az első példában adott vasbeton gerenda határnyomatékát, ha a húzott vasalás 3 φ 25! As = 1473 mm2 d = 309 mm
ρ=
As1 1473 = = 1.9% bd 250 ⋅ 309
ΣA
> ρ min = 0,15%
1473 + 101
s 100∙ A = 100 ⋅ 250 ⋅ 350 = 1,8% c
< ρmax = 4,0%
Tegyük fel, hogy az acél folyási állapotban van! ΣN = 0 :
Nc=Ns
192
fcdxcb = Asfyd ⇒ xc = 192 mm
Ellenőrzés: ξ c = 309 = 0,621 > ξc 0 = 0,49 vagyis az acél rugalmas állapotú marad, nem lehet a teljes szilárdságát kihasználni, csak ún. redukált – a Hook törvény alapján számított – feszültséggel számolhatunk.
N.III. Vasbeton I.
ΣN = 0 :
Ebből
T1-t Gerendák I. 5. oldal
560 ( fcdxcb = Asσs= As ξ − 700) c
Nc=Ns
ξ c = xc / d
2016.02.22
(VS. 6.1.)
helyettesítéssel:
xc2 +
700 As 560 As d xc − =0 f cdb f cd b
Axc2 + Bxc + C = 0 A másodfokú egyenlet megoldó képletét alkalmazva:
xc =
− B + B 2 − 4 AC 2A
⇒ xc
= 162 mm
Megjegyzés: a gyökjel előtti előjel csak + lehet, mert xc nem lehet negatív érték.
Ellenőrzés: ξ c = xc / d = 162 / 309 = 0.525 > ξ c 0 acélbetétben figyelembe vehető feszültség ezért:
σs =
560
ξc
− 700 =
= 0,49 valóban teljesül, az
560 − 700 = 368 N/mm2 0,525
(< fyd = 435 N/mm2)
xc 162 = 309 − = 228 mm 2 2 = Asσ s z = 1473 ⋅ 368 ⋅ 228 ⋅10−6 = 123,57 kNm
z=d− ΣM c = 0 :
M Rd
M Rd függése As -től ( ρ-tól): Túlvasalt keresztmetszetek tervezését kerülni kell, mert egyrészt gazdaságtalan (lásd az ábrát: túlvasalt keresztmetszet esetén a ρ vashányad alig változik ) másrészt ridegen növelésével MRd (nem duktilisan) viselkedik: a tönkremenetel hirtelen, a beton összeroppanásával következik be, nem előzik meg nagy, képlékeny alakváltozások, minthogy az acélbetét nem folyik meg. A határesethez tartozó vashányad a ΣN=0:
ξ c 0 dbf cd = ρbdf yd
ρ = ξ co
egyenletből:
f cd 13,3 = 0,49 ⋅ = 0,015 → 1,5% f yd 435
Az e vashányadhoz tartozó nyomatéki ellenállás:
M Rd 0 = ξ co dbf cd (d − ξ co d / 2) = 0,49 ⋅ 309 ⋅ 250 ⋅ 13,3 ⋅ (309 − = 117,45 ⋅ 10 6 Nmm = 117,45kNm
0,49 ⋅ 309 )= 2
