Tartószerkezetek I. (Vasbeton szilárdságtan)

Tartószerkezetek I. (Vasbeton szilárdságtan)

Szép János 2012.09.27.

Hajlított vasbeton keresztmetszetek vizsgálata

2

3

Jelölések, elnevezések b : a keresztmetszet szélessége h : a keresztmetszet magassága As : a húzott betonacél km-i területe a : a húzott betonacél súlypontjának távolsága a húzott szélső száltól d : a km. hasznos (dolgozó) magassága (a húzott betonacél súlypontjának távolsága a nyomott szélső száltól As’ : a nyomott betonacél km-i területe d’ : a nyomott betonacél súlypontjának távolsága a nyomott szélső száltól xI : a semleges tengely helye a nyomott szélső száltól

4

Vizsgálat III. feszültségi állapotban • alapfeltevések: • Érvényes a Bernoulli-Navier-féle feltétel, vagyis a hajlítás előtti sík keresztmetszetek hajlítás után is síkok maradnak • A betont ideálisan képlékeny anyagnak tekintjük • Az acélt ideálisan rugalmas-képlékeny anyagnak tekintjük • A nyomott beton szélső szálában az εcu törési összenyomódás lép fel • A keresztmetszetben a széleken elhelyezett betonacélban az fyd ill. a –fyd feszültség keletkezik, ha a betonacél megfolyik, ha nem, akkor a σs< fyd, ill. σs< -fyd

5

Beton

A beton egyszerűsített σ – ε diagramjai 6

Betonacél

Az acél egyszerűsített σ-ε diagramja 7

A keresztmetszet akkor kerül törési állapotba, ha • a húzott oldali betonacélban az fyd feszültség lép fel. • a nyomott betonban az fcd feszültség, • a semleges tengely helye a nyomott szélső száltól: x, • a nyomott zóna magassága: xc

8

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA

Tegyük fel, hogy a nyomott szélső szálban: 10

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA

Vetületi egyenlet: azaz:

Nyomatéki egyenlet (a betonacél súlypontjára):

11

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Az előző egyenletekben xc a dolgozó betonzóna magassága,amely hasonló háromszögek alapján:

ebből:

12

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA • Az acélban létrejövő feszültség σs, amely: • Ha az acél rugalmas: σs=εsEs • Ha az acél folyási állapotban van: σs=fyd • 1A. Tegyük fel, hogy az acél folyási állapotban van:

Vetületi egyenletből:

Nyomatéki egyenlet: 13

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Az acélban keletkező nyúlás: Az acél folyik ha: Figyelembe véve, hogy x=xc/c Az acél folyásának feltétele: Behelyettesítve εcu=-3,5%o, c=0,8 és Es =200000N/mm2

14

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA • Ha a számításból az adódik, hogy ξc < ξco akkor helyes volt az 1A. pont elején a feltételezés, hogy az acél folyik. • 1B. tegyük fel, hogy az acél rugalmas állapotban van, ekkor:

behelyettesítve

15

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA

A vetületi egyenlet:

Ebből:

16

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA

• Az egyenlet pozitív gyökéből a betonzóna magassága számítható: xc • Majd számítható a keresztmetszet határnyomatéka MRd is.

17

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA • Ha az adódott, hogy az acél képlékeny állapotban van, akkor meg kell vizsgálni, hogy az acél nyúlása nem lépi-e túl a határnyúlást. • Ha εs > εsu akkor a az acél előbb elszakad, mint ahogy a keresztmetszet nyomott szélső szálában létrejönne a beton törési összenyomódása IεcI < IεcuI 18

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Tegyük fel, hogy a tönkremenetel pillanatában az acélbetétben εs = εsu nyúlás jön létre (2.). Ekkor a vetületi egyenlet: Amelyből xc meghatározható, a nyomatéki egyenlet:

Ebben az esetben 1,25x ≠ xc ! 19

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA • Azokat a keresztmetszeteket, ahol a tönkremenetel pillanatában – Az acélbetét elszakad, mielőtt a beton nyomott szélső szálában létrejönne a határösszenyomódás, gyengén vasalt keresztmetszeteknek nevezzük. (2. eset) – Az acél folyási határállapotban van, a betonban létrejön a törési összenyomódás, normálisan vasalt keresztmetszeteknek nevezzük (1A eset) – Az acél rugalmas állapotban van a betonban pedig létrejön a törési összenyomódás, túlvasalt keresztmetszeteknek nevezzük.(1B eset) – Akkor normálisan vasalt a keresztmetszet ha, • 0,3 ~ 0,4% < ρ < 1,5 ~ 2,5% ahol ρ a vashányad ρ=As/bd 20

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA • A normálisan és gyengén vasalt keresztmetszet esetén a keresztmetszet tönkremenetelét megelőzi a betonacél megfolyása. Ezt nevezzük duktilis keresztmetszetnek. • Túlvasalt keresztmetszet esetén a keresztmetszet képlékenyedés nélkül megy tönkre, ridegen viselkedik – kerülendő!

21

KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA

23

KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Vetületi egyenlet: azaz: feltételezve: ekkor:

Határnyomaték: 24

KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Vizsgáljuk meg, hogy az acélok folyási állapotban vannak-e, az acélok nyúlása:

A húzott ill. nyomott acél folyik, ha:

25

KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Behelyettesítve:

Behelyettesítve εcu=-3,5%o, c=0,8 és Es =200000N/mm2

26

KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA

Az acél húzásra megfolyik, ha ξc< ξco, és nyomásra megfolyik ha ξ’c> ξ’co. Ha ez nem teljesül akkor a húzott és a nyomott acélok közül az egyik rugalmas állapotban van. A rugalmas állapotban lévő acél feszültsége:

27

KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Vetületi egyenlet pl. ha a húzott acélbetét folyási állapotban van, a nyomott acél pedig rugalmas.

határnyomaték:

ahol: 28

30

HAJLÍTOTT KERESZTMETSZET • A keresztmetszet ellenőrzése – az eddig tárgyalt határnyomaték számítás

• Tervezés • Kötött tervezés • Adottak a km. befoglaló méretei (b, h) • Ismeretlenek As, A’s, xc

• Szabad tervezés • Ismeretlenek b, h, As, A’s, xc

31

HAJLÍTOTT KERESZTMETSZET KÖTÖTT TERVEZÉSE • Ismert: • a keresztmetszet befoglaló mérete (b, h) • Anyagminőség • Igénybevétel • Hasznos (hatékony) magasság d≈h-(40-80)mm • Ha a betonacél folyik, és csak húzott betonacélt alkalmazunk: • Nyomatéki egyenlet:

Vetületi egyenlet: Két egyenlet - két ismeretlen az elsőből xc értéke meghatározható a másodikból As számítható

HAJLÍTOTT KERESZTMETSZET KÖTÖTT TERVEZÉSE • Amennyiben xc>xco (ξc>ξco), akkor a húzott vasalás rugalmas állapotban van, ekkor az előző egyenletekben fyd értkét módosítani (redukálni) kell σs-re. Ekkor túlvasalt keresztmetszetet kapunk, ez nem szerencsés célszerűbb nyomott vasalást is alkalmazni.

HAJLÍTOTT KERESZTMETSZET KÖTÖTT TERVEZÉSE • A nyomatéknak van egy maximális értéke, amelynél a km. úgy vasalható be, hogy csak húzott vasalás szükséges és a vasalás folyási állapotban van. • Ezt a nyomatékot Mco-al jelöljük és a ξc=ξco feltételből számíthatjuk ki.

HAJLÍTOTT KERESZTMETSZET KÖTÖTT TERVEZÉSE • • • •

Ha MEd > Mco célszerű nyomott vasalást is alkalmazni! Ismeretlenek xc, As, A’s Vetületi és nyomatéki egyenlet (2 egyenlet 3 ismeretlen) Legyen (As+A’s) minimális ez közelítőleg akkor áll fenn ha: xc=xco= ξco d (ez a 3. egyenlet)

Nyomatéki egyenlet: Vetületi egyenlet: Nyomott vasmennyiség: Húzott vasmennyiség:

HAJLÍTOTT KERESZTMETSZET SZABAD TERVEZÉSE • Ismeretlenek a (b, h, As, A’s, xc) • Két egyenletből (vetületi és nyomatéki) nem határozható meg • További feltételek: – A’s=0, azaz nyomott vasalást nem alkalmazunk – Nyomott zóna magassága ξc=0,3-0,4 gerendáknál – lemezeknél : 0,2 – Még egy paramétert vehetünk fel szabadon • Ez lehet b, d vagy η=d/b

HAJLÍTOTT KERESZTMETSZET SZABAD TERVEZÉSE Bármelyik is adott a három közül a nyomatéki egyenletet kell felírni:

b adott:

η adott:

d adott:

T keresztmetszet vizsgálata • T keresztmetszet • Fejlemezes gerenda • Vasbeton lemezzel együttdolgozó gerenda

38

T keresztmetszet vizsgálata

39

Ellenőrzés A nyomott beton magasságát a vízszintes vetületi egyensúlyi egyenletből határozhatjuk meg.

41

A nyomott beton területe: amelyből az xc meghatározható . Ha xc<xco=ξocd; akkor σs=fyd, tehát a feltételezésünk helyes volt. Ha xc>xco=ξocd; akkor a betonacélban keletkező feszültség: értékkel veendő figyelembe A határnyomaték:.

42

Kötött tervezés

1., Ha a nyomott betonzóna magassága (xc) a fejlemezben marad (xc
43

Kötött tervezés .

• Ha MRℓ>MEd, akkor xc
44

Kötött tervezés • Ha MEd>Mfℓ, akkor xc>v. • A nyomott betonzóna magasságának meghatározása a nyomatéki egyensúlyi egyenletből:

45

As meghatározása vízszintes vetületi egyenletekből:

46

Tervezés a gyakorlatban

47

Tervezés a gyakorlatban A fejlemez bordán kívüli részének nyomatékbírása:

A bordarészre jutó nyomaték:

A bordarész pedig derékszögű négyszögkeresztmetszetként viselkedik:azaz

48