Jelek és rendszerek MEMO_02
Pletl
Néhány fontosabb folytonosidejű jel Ugrásfüggvény
Bármely választással: Egységugrás vagy Heaviside-féle függvény
Ideális kapcsoló. Signum függvény, előjel függvény.
MEMO_02
1
Jelek és rendszerek MEMO_02
Pletl
Sorompó függvény
Dirac-impulzus
Fontos tulajdonsága a függvénynek, hogy bármely függvénnyel való szorzatával az adott függvény nullában levő értékét adja, persze csak akkor, ha az a paraméter nullához tart. Találunk más alakú, de hasonló tulajdonságú függvényt is:
MEMO_02
2
Pletl
Jelek és rendszerek MEMO_02 A
szorzat területének limesze:
Tehát a jel alakja lényegtelen, fontos, hogy érvényes legyen:
Vagyis a függvény alatti terület egységnyi legyen. és érvényes rá: A Dirac-impulzus jele
Más oldalról:
Ebből következik:
MEMO_02
.
3
Pletl
Jelek és rendszerek MEMO_02
ha
és
ha
ha
és
.
ha
.
Az impulzus függvény grafikus alakja:
MEMO_02
4
Jelek és rendszerek MEMO_02
Pletl
Impulzus sorozat vagy fésű függvény:
n – egész szám. Egységynyi négyszög függvény:
Egységynyi háromszög függvény:
MEMO_02
5
Jelek és rendszerek MEMO_02
Pletl
Egységnyi sinc függvény
Szinusz függvény
x(t ) = Ce at
ahol C és a általános esetben komplex számok. Amennyiben ahol C és a valós számok, akkor x(t ) egy valós exponenciális függvény.
MEMO_02
6
Jelek és rendszerek MEMO_02
Pletl
Az Euler képlet:
e jϕ = cosϕ + j sin ϕ Az Euler-képlet szoros kapcsolatot teremt a matematikai analízis és a trigonometria között és lehetővé teszi a szinusz és koszinusz függvényeknek az exponenciális függvény súlyozott összegeként való értelmezését:
e jϕ − e − jϕ e jϕ + e − jϕ cos(ϕ ) = , sin (ϕ ) = , 2j 2 Egy speciális eset, ha a valós része nulla, akkor
x(t ) = e jω0t . Egy érdekes tulajdonsága ennek a jelnek, hogy periodikus.
x(t ) = e jω0 (t +T ) = e jω0t e jω0T e jω0T = 1 ha ω0 = 0 akkor x(t ) = 1 és az periodikus minden T értékre. ha ω0 ≠ 0 , akkor a jel alapperiódusa az a T legkisebb pozitív érték , amire a jel periodikus.
T0 =
2π
ω0 2π T0 = ω0
MEMO_02
,
az
x(t ) = e jω0t és x(t ) = e − jω0t jeleknek azonos a periódusuk.
7
Jelek és rendszerek MEMO_02
Pletl
x(t ) = A cos(ω0t + ϕ )
ω0 = 2πf 0 ,
MEMO_02
8
Jelek és rendszerek MEMO_02
Pletl
Dirihle féle függvény
MEMO_02
9
Pletl
Jelek és rendszerek MEMO_02
Néhány fontosabb diszkrétidejű jel Nincs egységes jelölésmód a diszkrétidejű jelek ábrázolására. Jelöljük a diszkrétidejű jelet a x(t ) hez hasonlóan t = nT helyettesítéssel x[nT ] vel, ahol T a mintavételezés periódusideje n pedig egész szám. Gyakran T -t elhagyhatjuk és így x[n] jelölést kapjuk. A továbbiakban használjuk az x[n] jelölést. Fontos megemlíteni, hogy a diszkrétidejű jelek esetében nem beszélünk szinguláris pontokról, vagy nemdefiniált pontokról, ugyanis egy adott mintavétel értéke mindig meghatározott. Két mintavétel közötti érték pedig nem létezik. Egységugrás
Sorompó függvény
Dirac-impulzus, egységinpulzus.
de rá nem
Hasonlóan a folytonosidejű megfelelőjéhez érvényes a skálázhatóság tulajdonsága
MEMO_02
.
10
Jelek és rendszerek MEMO_02
Pletl
Egységynyi négyszög függvény:
Impulzus sorozat vagy fésű függvény:
Exponenciális függvény
MEMO_02
11
Jelek és rendszerek MEMO_02
MEMO_02
Pletl
12
Pletl
Jelek és rendszerek MEMO_02 Egy másik speciális eset:
x[n] = e jΩ0n x[n] = A cos(Ω 0 n + φ ) mivel
n
egész szám így
Ω 0 és φ
dimenziója radián.
2πk
A komplex exponenciális és a szinusz függvények ugyanazon értékeket adják radiánonként. Ezért a diszkrét komplex exponenciális és harmonikus jeleket csak alapsávban
MEMO_02
0 ≤ Ω 0 ≤ 2π
vagy
− π ≤ Ω0 ≤ π
szemléljük.
13
Jelek és rendszerek MEMO_02
MEMO_02
Pletl
14
Jelek és rendszerek MEMO_02
Pletl
Szinusz függvény
Ahol A és N valós állandók. A szinuszfüggvény tulajdonságából ered, hogy N 0 értéke megegyezik azzal a legkissebb n értékkel melyre érvényes, hogy 1 2π . n periódusa N 0 = 5 . F0 = N0 2 .5
n = Fn = k ahol k N
egész szám. Például x[n] = sin
MEMO_02
15
Jelek és rendszerek MEMO_02
Pletl
Diszkretizáljuk a következő folytonosidejű jelet: x(t ) = A cos(2πf 0t + θ ) . f S =
1 . TS
2πf 0 f x[n] = A cos(2πf 0 nTS + θ ) = A cos n + θ . Mivel S racionális szám, így a diszkrétidejű f0 fS
függvény periódusideje nem lesz azonos az eredeti függvény periódusával. Például: x(t ) = A cos(2π 0.2t + θ ) . T0 =
1 = 5 . N 0 = 5 . Ha TS = 2 sec akkor N 0TS = 10 . 0 .2 De ha TS = 1.5 akkor a diszkretizált jel periódusa N 0 = 10 . Ami N 0TS = 15 nek felel meg.
Tehát két különböző folytonosidejű függvénynek lehet azonos diszkrétidejű alakja.
MEMO_02
16
Jelek és rendszerek MEMO_02
Pletl
A független változó módosítása jelek esetén Az amplitúdó skálázása: Erősítések esetén használandó. A=-1 forgatást jelent a független változó tengelye körül. Eltolás a független változóban
MEMO_02
17
Jelek és rendszerek MEMO_02
Pletl
A független változó skálázása:
Reflexió Az eredmény függvény szimmetrikus az ordinátára.
MEMO_02
18
Pletl
Jelek és rendszerek MEMO_02
Párosság
Páratlanság
A függvény páros része: A függvény páratlan része:
; ;
A páros függvény szimmetrikus az ordinátára nézve. A páratlan függvény szimmetrikus az origóra nézve. Páros függvények összege, különbsége, szorzata és hányadosa páros függvény lesz. Páratlan függvények összege, különbsége páratlan függvényt eredményez. Páratlan függvények szorzata és hányadosa páros függvény lesz.
MEMO_02
19
