Néhány elemmel konzisztenssé tehető páros összehasonlítás mátrixok Poesz Attila BCE
Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék 2010. április 1.
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
1 / 28
Vázlat
Probléma bemutatása Koczkodaj megközelítése, triádok külön-külön vizsgálata Új megközelítés, triádok teljes rendszerének együttes vizsgálata ◮ ◮
Egészértékű programozás Gráf reprezentáció
Példa bemutatása Összegzés
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
2 / 28
Páros összehasonlítási mátrixok alkalmazása Többszempontú döntési feladatoknál: alternatívák szempontok szerinti értékelése szempontsúlyok meghatározása csoportos döntéseknél: kompetencia-súlyok (szavazóerők) meghatározása
Legfeljebb 3 elemmel konzisztenssé/közel konzisztenssé tehető mátrixok jelentősége: elírások kiszűrése döntéshozónak javítási lehetőség⇒ csökken a következetlenség szintje közel azonosnak értékelt alternatívák esetében
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
3 / 28
Saaty-féle hányados skála:1/9, . . . , 9
A1 : A2 : A3 : A4 : A5 :
acél szerkezet megerősített beton,fa állv. megerősített beton előre gyártott betonelemekből beton mag merevítve
A1 A2 A3 A4 A5
A1 1 1/5 1/3 1/3 1/3
A2 5 1 5 5 7
A3 A4 A5 3 3 3 1/5 1/5 1/7 1 1 1/3 1 1 1/3 3 3 1
Tulajdonságok Önmagával azonos Reciprocitás Konzisztencia
aii = 1, aij = 1/aji , aik = aij ajk , ∀i,j,k
(1) (2) (3)
Inkonzisztens az a mátrix, amelyik nem konzisztens. inkonzisztencia magas ⇒ nincs értelme számolni
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
4 / 28
Koczkodaj megközelítése Alapötlet Minden A ∈ R 3×3 páros összehasonlítás mátrix konzisztenssé tehető egyetlen elemének (és reciprokának) alkalmas megváltoztatásával.
A1 A2 A3
A1 A2 1 5 1/5 1 1/3 7
A3 3 1/7 1
A1 A2 A3
A1 1 1/21 1/3
A2 21 1 7
A3 3 1/7 1
A1 A2 A3
A1 A2 1 5 1/5 1 7/5 7
A3 5/7 1/7 1
GDb = 3 − 5/7 = 2.2857 CMb = 13 |3 − 5/7| = 0.7619
A1 A2 A3
A1 A2 1 5 1/5 1 1/3 5/3
A3 3 3/5 1
GDc = 7 − 5/3 = 5.33 CMc = 1/7|7 − 5/3| = 0.7619
GDa = 21 − 5 = 16 CMa = 51 |21 − 5| = 3.2
az egyes triádokról, illetve azok egy konzisztens mátrixtól vett minimális eltéréséről Nem vizsgálja a mátrix teljes triád struktúráját Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
5 / 28
Új megközelítés Mátrix triádjainak összefüggő rendszere javítása a teljes rendszer vizsgálatával
Jelölések: A ∈ R n×n ¯ = log A → ¯ A aij = log aij , i, j = 1, . . . , n. Konzisztencia:
¯aij + a¯jk + ¯aki = 0,
∀ i, j, k = 1, . . . , n. A4
A5
Kutatási irányok: 1 2
Gráfelmélet Egészértékű programozás
A3
A2
A6
Poesz A.
()
Következetlenség
A1
2010. április 1.
6 / 28
Gráf reprezentáció Gráf reprezentáció: G = {V, E} irányított gráf V = {1, . . . , n} a csúcspontok,
Az (i, j, k) triád = (i, j), (j, k), (k, i) élek által alkotott kör.
E = V × V pedig az élek halmaza. (i, j) ∈ E élhez az ¯ aij súlyt rendeljük
Az (i, j, k) triád súlya S(i,j,k)=¯aij + a¯jk + a¯ki A3
A4
A2
A1
Triád konzisztens ha súlya 0, ellenkező esetben pedig inkonzisztens. Konzisztencia tekintetében (i,j,k) triád azonos (i,k,j)⇒ S(i, j, k) = −S(i, k, j) Az A mátrix konzisztens ⇔ , ha minden triádjának 0 a súlya.
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
7 / 28
Állítás (2) Legyen (i, j, k) egy inkonzisztens triád. Ekkor tetszőleges ℓ ∈ V \ {i, j, k} esetén az (ℓ, i, j), (ℓ, j, k) és (ℓ, k, i) triádok közül legalább az egyik inkonzisztens. Bizonyítás: S(ℓ, i, j) + S(ℓ, j, k) + S(ℓ, k, i) = S(i, j, k) A3
Mivel az (i, j, k) súlya nem nulla, a másik három triád közül legalább az egyik súlya nem nulla kell, hogy legyen.
A4
A2
A1
Következmény 1.: Ha A inkonzisztens, akkor G legalább n − 2 inkonzisztens triádot tartalmaz. 2.: Ha A inkonzisztens, akkor tetszőleges i ∈ V esetén van G-ben inkonzisztens (i, j, k) triád.
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
8 / 28
Állítás (3. - Egy elem megváltoztatása) Egy A inkonzisztens páros összehasonlítási mátrix pontosan akkor tehető egyetlen elemének megváltoztatásával konzisztenssé, ha a megfelelő G gráf pontosan n − 2 inkonzisztens triádot tartalmaz. Ha n ≥ 4, akkor a változtatás egyértelmű. Bizonyítás: ⇒ Triviális ⇐ n=3, triviális, ( itt n=4 együtt n ≥ 5 Fontos..kell n=4 ℓ1 , ℓ2 nem lehet) 2.Áll
(i, j, k) inkonz. triád + G gráf (n − 2) inkonz. −−→ ∀ℓ ∈ V \ {i, j, k} esetén az (ℓ, i, j), (ℓ, j, k) és (ℓ, k, i) triádok közül pontosan egy inkonzisztens. S(i, j, k)=α előző pont
Tfh.: valamely (ℓ, i, j) inkonz. (Ábra) −−−−−−→ (ℓ, j, k) és (ℓ, k, i) konzisztensek: A3
alj + ¯ ¯ ajk + ¯ akl =0 A4
A2
¯ alk + ¯ aki + ¯ ail = 0
¯ ajk + ¯ aki =¯ ajl + ¯ ali
Σ +¯ aij
¯ aij + ¯ ajk + ¯ aki = ¯ ali + ¯ aij + ¯ ajl = α A1
Poesz A.
()
S(i, j, k) = S(i, j, l) = −S(l, j, i) = α Következetlenség
2010. április 1.
9 / 28
(i, j) él közös: indirekt tfh.: ∄(i , j, k) közös él
◮
ℓ1 ∈ V \ {i, j, k}, (ℓ1 , i, j) inkonz.−−−−−−−−−→ (j, ℓ2 , ℓ1 ) konz.
◮
ℓ2 ∈ V \ {i, j, k}, (ℓ2 , k, i) inkonz.−−−−−−→ (ℓ2 , j, k) konz.
1.pont
aℓ 2 j + ¯ ¯ ajk + ¯ akℓ2 =0
◮
ajℓ2 + ¯ ¯ aℓ 2 ℓ 1 + ¯ aℓ 1 j = 0
Σ
− →
ajk + ¯ ¯ akℓ2 + ¯ aℓ 2 ℓ 1 + ¯ aℓ 1 j = 0
S(i, ℓ2 , ℓ1 ) = 0, S(i, j, k) = α, S(ℓ1 , j, i) = S(ℓ2 , i, k) = −α, ezen triádok súlyait összegezve: aℓ 2 ℓ 1 + ¯ aℓ1 j = −α , ahol α 6= 0 ajk + ¯ ¯ akℓ2 + ¯
javítás: Tfh.: ◮ ◮
∀ ℓ ∈ V \ {i, j, k}, (ℓ, i, j) triád inkonz. (előző pont) S(ℓ, i, j) = S(i, j, k) = α (2. pont)
a¯ij∗ = ¯aij − α ⇒ ∀ℓ, S(ℓ, i, j) = 0 és S(i, j, k) = 0, többi triád értéke nem változott (= 0). változtatás egyértelműsége: csak az (i, j) él vesz részt mind az n − 2 triádban.
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
10 / 28
1. Megjegyzés. Könnyen látható, hogy annak ellenőrzése, hogy az inkonzisztens triádok száma n − 2 vagy sem, O(n3 ) művelettel végrehajtható, a feltétel teljesülése esetén pedig a módosítandó él és a módosítás mértékének meghatározása már csak O(n2 ) műveletet igényel.
Állítás (4.) Egy konzisztens páros összehasonlítási mátrix K számú elemének (és azok reciprokjainak) megváltoztatásával kapott A páros összehasonlítási mátrix G gráfjában legfeljebb K (n − 2) inkonzisztens triád lehet. Akkor lesz az inkonzisztens triádok száma pontosan K (n − 2), ha a megváltoztatott elemek nem szerpelnek közös triádban. Bizonyítás: ∃ A ∈ R n×n konzisztens mátrix: K lépés, lépésenként max. n − 2 triád súlya változik → legfeljebb K (n − 2) lehet G-ben
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
11 / 28
Módosított elemek és azok kapcsolata
Esetek
k
I II III IV V VI VII VIII
1 2 2 3 3 3 3 3
Poesz A.
()
Esetek
k
3 elem triádban
I II III/A III/B IV V/A V/B VI/A VI/B VI/C VII/A VII/B VII/C VII/D VIII/A VIII/B
1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
α34 α13 α34 , α13 , α13 , α13 , α13 ,
2 elem triádban
közös
0 1 1 0 1 1 2 2 2 3 3 3 3 0 0
megváltoztatott mátrix elemek
α12 α12 , α12 , α12 , α12 , α12 , α12 , α12 ,
közös
α56 α45 α24 α14 α23
konzisztens közös triádok
inkonzisztens triádok
0 0 1 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1
(n−2) 2(n−2) 2(n−2)-1 2(n−2)-2 3(n−2) 3(n−2)-1 3(n−2)-2 3(n−2)-2 3(n−2)-3 3(n−2)-4 3(n−2)-3 3(n−2)-4 3(n−2)-5 3(n−2)-6 3(n−2)-2 3(n−2)-3 Példa mátrix, log(A)
dimenzió
n n n n n n n n
≥3 ≥4 ≥4 ≥6 ≥5 ≥4 ≥4 ≥4
Következetlenség
0 −α12 −α13 .. .
−α16
α12 0 −α23 .. .
α13 α23 0 .. .
−α26
−α36
. . . α16 . . . α26 . . . α36 .. .. . . ... 0
2010. április 1.
12 / 28
Állítás (5.=3.) Egy A inkonzisztens páros összehasonlítási mátrix pontosan akkor tehető egyetlen elemének megváltoztatásával konzisztenssé, ha a megfelelő G gráfban van olyan (i, j) él, hogy minden (ℓ, i, j), ℓ ∈ V \ {i, j} triád súlya ugyanaz a nem nulla szám, az összes többi triád viszont konzisztens. Ha n ≥ 4, ez az (i, j) él egyértelmű.
Két él módosítása két él kapcsolata ◮ ◮
független egymáshoz kapcsolódó
n = 3 triviálisan végtelen sok megoldás n ≥ 4 releváns
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
13 / 28
Állítás (6.) Egy A inkonzisztens páros összehasonlítási mátrix pontosan akkor tehető két elemének megváltoztatásával konzisztenssé, ha a megfelelő G gráfban az alábbi két eset valamelyike teljesül: 1
2
∃ (i1 , j1 ) és (i2 , j2 ) független él, α1 6= 0 és α2 6= 0, hogy ∀ (ℓ, i1 , j1 ), ℓ ∈ V \ {i1 , j1 } triád súlya α1 , ∀ (ℓ, i2 , j2 ), ℓ ∈ V \ {i2 , j2 } triád súlya α2 , az összes többi triád viszont konzisztens. Van két olyan egymáshoz csatlakozó (i, j) és (j, k) él, valamint nem nulla α1 és α2 szám, hogy minden (ℓ, i, j), ℓ ∈ V \ {i, j, k} triád súlya α1 , minden (ℓ, j, k), ℓ ∈ V \ {i, j, k} triád súlya α2 , az (i, j, k) triád súlya α1 + α2 , az összes többi triád viszont konzisztens. i a ¯ij k i1
a ¯i1 j1 j1
i2
j a ¯jk
a ¯i2 j2 j2
k
l
(a) (i1 , ji ), (i2 , j2 ) függetlenek
Poesz A.
()
(b) (i, j), (j, k) csatlakozó élek
Következetlenség
2010. április 1.
14 / 28
Három elem megváltoztatása
a ¯i1 j1
i1
j1
a ¯k1 l1 a ¯i2 j2
i2
a ¯j1 k1 j2
l1
k1
j1 a ¯i1 j1 i3
a ¯i3 j3
i1
j3
(d) 3 csatlakozó él
(c) 3 független él l1
k1 a ¯j1 k1
a ¯i1 l1 j1
i2
a ¯i1 j1
j1
i1
a ¯i2 j2
i1
a ¯i1 j1
j1
j2 a ¯i1 j1
a ¯i1 k1
i1
k1
(e) 1 független él
Poesz A.
()
(f) centrális elhelyezkedés
Következetlenség
a ¯j1 k1
a ¯k1 i1 k1
(g) közös triádban
2010. április 1.
15 / 28
Kevert egészértékű programozás xij , i, j = 1, . . . , n, i 6= j, módosított mátrix elemeinek logaritmusa
M a lehetséges páros összehasonlítás értékek maximuma ¯ = 2 log M, egy felső korlát M
yij , i, j = 1, . . . , n, i 6= j, Dummy
n−1
min
n P P
yij
i =1 j=i +1
s.t.
xij + xjk + xki xij ¯ ≤ xij −M ¯ ij ≤ xij − ¯ −2My aij yij
= = ≤ ≤ ∈
0, 1 ≤ i < j < k ≤ n, −xji , 1 ≤ i < j ≤ n, ¯ M, 1 ≤ i < j ≤ n, ¯ ij , 1 ≤ i < j ≤ n, 2My {0, 1}, 1 ≤ i < j ≤ n,
Állítás (1.) Az MIP optimumértéke: a minimális elemszám, amivel az A konzisztenssé tehető. Legfeljebb K elem megváltoztatásával konzisztenssé tehető? Csatolandó feltétel: n−1 n X X yij ≤ K
i =1 j=i +1
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
16 / 28
Összehasonlítás
A124
=
MIP eredmény: sor 4 3
oszlop 5 4
Aj124
régi elem 7 1/5
1 1 2
= 8 2 1
Poesz A.
()
új elem 4 1/4
1 1/2 1 1/2 2 1
1/8 1/8 1/4
8 4 2 1 1 1/2
1 1/4 1/8
“eltérés” 3 1
1 1 2 8 2 1
1 1/2 1/8 1/2 1 1/2 1/8 1/2 2 1 1/5 1 8 5 1 7 2 1 1/7 1 1 1/2 1/8 1/2
1 1 2 8 2 1
GD iterációs eredmény: Iteráció 1 2 3 4 5 6 7 8
sor 5 2 1 3 3 2 1 3
1/2 1 1/2 1 1 2 4 8 1 2 1/2 1
Aj124
Következetlenség
=
oszlop 6 5 5 5 6 3 3 5
régi elem 2 1/2 1/2 1 2 1/2 1/2 7/4
új elem 8/7 7/8 7/8 7/4 8/5 5/8 5/8 7/5
GD 0,8571 0,8571 0,8571 0,75 0,4 0,4 0,4 0,35
1
1
1
5/8
1/8
7/8
1
1
5/8
1/8
7/8
2
2
1
1/5
7/5
8 2 1
8 8/7 1
5 1 1/2
1 1/7 1/8
7 1 7/8
8/5 8 8/7 1 1
2010. április 1.
17 / 28
MIP feladat eredménye adathalmazon Valós minta Szakfolyóiratokban publikált 22 valós döntési szintuációt leíró cikkből, összesen 137 páros összehasonlítás mátrixot gyűjtöttünk össze és dolgoztunk fel.
Dimenzió 3×3 4×4 5×5 6×6 7×7 és nagyobb Összesen
Mátrixok száma 30 20 19 21
Konzisztens 14 1 1 0
1 elem módosítása 16 6 1 1
2 elem módosítása – 7 5 1
3 elem módosítása – 0 1 0
47 137
0 16
1 25
0 13
0 1
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
18 / 28
A mintában szereplő mátrixok: A44 ∈ R 5×5 , A6 ∈ R 6×6 és az A76 ∈ R 8×8 .
A44
A6 =
A76
Poesz A.
=
()
1 2 2 2 1/2 1 1 1 1 1 = 1/2 1 1/2 1 1 1 1/3 1/2 1/2 1/2
3 2 2 2 1
1/7 1 5 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7
1/9 1/5 1 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9
1 7 9 1 1 1 1 1
1 7 9 1 1 1 1 1
1 7 9 1 1 1 1 1
1 7 9 1 1 1 1 1
2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1/2 1/2 1/2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇒ Aj = 1/7 1/7 1/7 6 1 1 1 1/9 1/9 1/9
1 1 1 7 1 9 1 1 1 7 1 9 1 1 1 7 1 9 1/7 1/7 1/7 1 1/7 2 1 1 1 7 1 9 1/9 1/9 1/9 1/2 1/9 1
1 7 9 1 1 1 1 1
1 1/2 j ⇒ A = 1/2 44 1/2 1/4
1 7 9 1 1 1 1 1
1 7 9 ⇒ Aj = 1 76 1 1 1 1
Következetlenség
4 2 2 2 1
7 7 7 1 7 7/9
1 1 1 1/7 1 1/9
1/7 1
1/9 7/9
1 7
1 1 7 7
9/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7
1 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9
9 1 1 1 1 1
9 1 1 1 1 1
9 1 1 1 1 1
9 9 9 9/7 9 1
1 1 7 7 9 9 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
2010. április 1.
19 / 28
60 % ?
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
20 / 28
További modellek és eredmények 1 a b 1 c ⇒ [a b c] ∈ R3+ . A3×3 = 1/a 1/b 1/c 1 1 b 1 1 b CM(a, b, c) = min( |a − |, |b − ac|, |c − |). a c b c a CM(A) = max {CM(aij , aik , ajk )| i ≤ j < k ≤ n}
!
Bozóki S. és Rapcsák T. [2008] megmutatták, ha T (a, b, c) = max CM(a, b, c) = 1 −
1 T (a, b, c)
⇒ T (a, b, c) =
ac b
,
b ac
1 1 − CM(a, b, c)
¯ = log(A) esetében T (¯ ¯ c¯) = max ¯ ¯ − (¯ ¯ . A a, b, a + c¯ − b, a + c¯ − b)
LP megoldása: CM(A) = 1 −
1 exp(zopt )
Bozóki, Fülöp, Koczkodaj [2010]:
min s.t. Poesz A.
()
z ¯aij + a¯jk + ¯aki ≤ −(¯ aij + ¯ajk + ¯aki ) ≤
z, z,
Következetlenség
1 ≤ i < j < k ≤ n, 1 ≤ i < j < k ≤ n, 2010. április 1.
21 / 28
II. MIP K és CMkrit adott Az A mátrix maximum K elemének megváltoztatásával ⇒ CM(A∗ ) ≤ CMkrit teljesül? 1 z = log ( 1−CM ) krit ¯ = log (M) M ¯aij = log (aij ) n−1
min
n P P
yij
i =1 j=i +1
s.t.
xij + xjk + xki −(xij + xjk + xki ) xij ¯ ≤ xij −M ¯ ij ≤ xij − ¯ −2My aij yij
≤ ≤ = ≤ ≤ ∈
z, 1 ≤ i < j < k ≤ n, z, 1 ≤ i < j < k ≤ n, −xji , 1 ≤ i < j ≤ n, ¯ M, 1 ≤ i < j ≤ n, ¯ ij , 1 ≤ i < j ≤ n, 2My {0, 1}, 1 ≤ i < j ≤ n,
≤
K
n−1
n P P
yij
i =1 j=i +1
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
22 / 28
III. MIP K adott Az A mátrix maximum K elemének megváltoztatásával ⇒ min CM(A∗ )? z változó ⇒ CM(A∗ ) = 1 − exp(z1 opt ) ¯ = log(M) M a¯ij = log(aij ) min s.t.
z xij + xjk + xki −(xij + xjk + xki ) xij ¯ ≤ xij −M ¯ ij ≤ xij − ¯ −2My aij yij
≤ ≤ = ≤ ≤ ∈
z, 1 ≤ i < j < k ≤ n, z, 1 ≤ i < j < k ≤ n, −xji , 1 ≤ i < j ≤ n, ¯ M, 1 ≤ i < j ≤ n, ¯ ij , 1 ≤ i < j ≤ n, 2My {0, 1}, 1 ≤ i < j ≤ n,
≤
K
n−1
n P P
yij
i =1 j=i +1
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
23 / 28
R 6×6 mátrixok, III. MIP Sorszám 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
CM 0,78 0,61 0,75 0,36 0,63 0,7 0,64 0,61 0,44 0,82 0,47 0,81 0,98 0,83 0,75 0,78 0,83 0,8 0,6 0,43
Poesz A.
()
Min CM K=3 0,63 0,61 0,63 0 0,56 0,62 0,53 0,42 0,44 0,5 0,4 0,72 0,67 0,38 0,63 0,56 0,67 0,38 0,5 0
Eltérés 0,15 0 0,13 0,36 0,07 0,08 0,11 0,19 0 0,32 0,07 0,09 0,31 0,46 0,13 0,22 0,17 0,43 0,1 0,43
CR 9,38% 3,22% 6,9% 0,35% 4,23% 6,42% 3,64% 2,81% 1,24% 7,67% 1,88% 14,7% 34,71% 5,04% 7,69% 6,32% 12,01% 6,53% 3,98% 0,54%
1 1/3 1/5 3 7 5 3 1/5 5 3 1 3 5 1/3 1 3 5 3 A= 1/3 5 1/3 1 3 3 CR = 34, 71% 1/7 1/5 1/5 1/3 1 1/3 1/5 1/3 1/3 1/3 3 1 1 1/3 1/5 3 7 5 3 1, 51 5 3 1 3 5 1/3 1 3 5 3 CR = 15, 03% A∗1 = 1/3 0, 65 1/3 1 3 3 1/7 1/5 1/5 1/3 1 1/3 1/5 1/3 1/3 1/3 3 1 1 1/3 1, 15 3 7 5 3 1 3 2, 95 5 3 0, 87 1/3 1 3 5 3 CR = 7, 29% A∗2 = 1/3 0, 34 1/3 1 3 3 1/7 1/5 1/5 1/3 1 1/3 1/5 1/3 1/3 1/3 3 1 0, 97 1, 56 3 7 5 1 1, 03 1 3 3 5 3 0, 64 1/3 1 3 5 3 CR = 4, 94% A∗3 = 1/3 1/3 1/3 1 3 3 1/7 1/5 1/5 1/3 1 1/3 1/5 1/3 1/3 1/3 3 1
Következetlenség
2010. április 1.
24 / 28
Összefoglalás Eredmények alkalmazása: elírt páros összehasonlítási elemek detektálása triád struktúra feltárása a bemutatott eszközökkel teljes triád struktúrát figyelembe vevő javító algoritmus Eredményeink: egészértékű programozási feladat felírása módosított gráf reprezentáció állítások megfogalmazása és belátása eredmények ellenőrzése valós adatokon konzisztens mátrix 1, 2, 3 elemének megváltoztatással, hány inkonzisztens triád keletkezik
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
25 / 28
További kutatási irányok
További inkonzisztencia mutatókra (CR, GD) felírni hasonló összefüggéseket. Kutatási eredmények más területen történő alkalmazása? párosösszehasonlítás mátrix⇒ferdén szimmetrikus mátrix ◮ ◮ ◮
játékelmélet gazdaságstatisztika Lie-Algebra ?
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
26 / 28
Bozóki, S., Rapcsák, T. [2008]: On Saaty’s and Koczkodaj’s inconsistencies of pairwise comparison matrices, Journal of Global Optimalization 42(2), pp. 139-148. Bozóki, S., Fülöp, J., Koczkodaj, W.W. [2010]: LP-based consistency-driven supervision for incomplete pairwise comparison matrices, Working Paper, WP 2010-1. Bozóki, S., Fülöp, J., Poesz, A. [2010]: On pairwise comparison matrices that can be made consistent by modification of a few elements, Central European Journal of Operation Research (in print). DOI 10.1007/s10100-010-0136-9 Kéri, G. [2005]: Kritériumok páros összehasonlítás mátrixokra, Szigma, 36, pp. 139-148. Kindler, J., Papp O. [1977]: Komplex rendszerek vizsgálata, Műszaki Könyvkiadó, Budapest. Koczkodaj, W.W [1993]: A new definition of consistency of pairwise comparisons, Mathematical and computer modelling, 18, pp. 79-84. Poesz, A. [2008]: A páros összehasonlítás mátrixok kritikus értékeinek detektálása, TDK dolgozat, Budapesti Corvinus Egyetem, Budapest. Poesz, A. [2008]: Tapasztalati páros összehasonlítás mátrixok inkonzisztenciájának vizsgálata, Szakdolgozat, Budapesti Corvinus Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar, Gazdasági Döntések Tanszék, Budapest. Saaty, T.L [1980]: The analytic hierarchy process, McGraw-Hill, New-York.
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
27 / 28
Köszönöm a figyelmet!
Poesz A.
()
Következetlenség
2010. április 1.
28 / 28
