Název: Čočková rovnice Autor: Mgr. Lucia Klimková Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Fyzika (Matematika) Tematický celek: Optika Ročník: 5. (3. ročník vyššího gymnázia) Popis - stručná anotace: Žák odvodí z podobnosti trojúhelníků čočkovou rovnici a aktivně ji používá v příkladech a praktickém měření. Čočkovou rovnici ověří prakticky pomocí optické lavice a rýsováním pro různé situace.
Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech ‒ inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita.
Výukové materiály Úkol Odvoďte z podobnosti trojúhelníků čočkovou rovnici a použijte jí v příkladech a praktickém měření. Čočkovou rovnici ověřte měřením pomocí optické lavice a rýsováním pro různé situace.
Pomůcky (seznam potřebného materiálu) optická lavice, čočky (je možné proměřit více čoček), délkové měřidlo (s milimetrovým dělením), předmět (svíčka), stínidlo
Teorie Čočkou budeme nazývat každé homogenní průhledné těleso ohraničené buď dvěma kulovými plochami nebo jednou kulovou a jednou rovinnou plochou. Zobrazení pomocí čoček využívá zákonů paprskové optiky, zejména zákona přímočarého šíření světla a zákona lomu světla. Pro zjednodušení zanedbáváme vlnové vlastnosti světla. Spojka má obě ohniska skutečná, rozptylka má obě ohniska neskutečná. Při vytváření obrazu dochází ke dvěma lomům světla (na každém rozhraní). Pěkné zobrazení naleznete na webových stránkách [4]. Pro zjednodušení zobrazování se používají ale tzv. tenké čočky. Jsou to čočky, jejichž tloušťka se blíží k nule a obě lámavé plochy téměř splývají. Za předpokladu, že je z obou stran (symetrické) tenké čočky stejné prostředí, platí, že předmětová ohnisková vzdálenost je stejná jako obrazová ohnisková vzdálenost. Ohnisková vzdálenost čočky závisí na: poloměrech křivosti r1, r2 lámavých ploch indexu lomu n2 materiálu čočky indexu lomu n1 okolního prostředí
( )( )
n2 1 1 1 = −1 ⋅ + f n1 r1 r2 Postup práce
Ověření čočkové rovnice měřením pomocí optické lavice 1. Na optickou lavici umístěte čočku se známou ohniskovou vzdáleností a do nějaké vzdálenosti od ní (větší než ohnisková vzdálenost) umístěte zapálenou svíčku (nebo osvětlené průsvitné písmeno – viz obr.) jako předmět. 2. Umístěte stínítko tak, abyste na něm viděli ostrý obraz plamene. 3. Změřte předmětovou vzdálenost a a obrazovou vzdálenost
1 1 1 = + a' a ověřte, že platí čočková rovnice f a a ' Výsledky ukázkového měření: a = 12 cm a` = 74 cm
f = 10 cm
(
)
1 1 1 cm−1≈ + cm−1 10 12 74
0,1000 cm−1≈0,0968 cm−1
Ověření čočkové rovnice rýsováním 1. Na papír nakreslete čočku s ohnisky. Zvolte polohu předmětu. 2. Pomocí tří význačných paprsků nalezněte polohu obrazu. 3. Změřte předmětovou vzdálenost a a obrazovou vzdálenost a' a ověřte, že platí čočková
1 1 1 = + rovnice f a a '
Nejnázornější je ukázat studentů různé polohy předmětu a ohniska dynamicky. Například pomocí citovaného appletu. Vlastnosti obrazu SPOJKA 1. Ohniskové vzdálenosti f1 > 0 , f2 > 0 ; předmětová vzdálenost a > 2f1 . Obraz y´ je: zmenšený, převrácený, skutečný 2. Ohnisková vzdálenost f1 > 0 , f2 > 0 ; předmětová vzdálenost a =2f1 . Obraz y´ je: stejně vysoký, převrácený, skutečný 3. Ohnisková vzdálenost f1 > 0 , f2 > 0 ; předmětová vzdálenost 2f1 > a >f1 . Obraz y´ je: zvětšený, převrácený, skutečný 4. Ohnisková vzdálenost f1 > 0 , f2 > 0 ; předmětová vzdálenost a = f1 . Obraz y´ je: v nekonečnu 5. Ohnisková vzdálenost f1 > 0 , f2 > 0 ; předmětová vzdálenost a< f1 . Obraz y´ je: zvětšený, vzpřímený, zdánlivý ROZPTYLKA 6. Ohnisková vzdálenost f1 < 0 , f2 < 0 ; předmětová vzdálenost a libovolná. Obraz y´ je: zmenšený, vzpřímený a zdánlivý
Příklady na procvičení 1. V jaké vzdálenosti a od spojky o ohniskové vzdálenosti f = 5 cm je třeba umístit předmět, abychom získali skutečný obraz 5krát zvětšený? Řešení: Dostaneme skutečný obraz – jde o spojku......... f = + 5 cm Obraz je 5krát zvětšený, skutečný - převrácený..Z = - 5
[a = 6 cm]
−f a− f − f +Zf −5+(−5)⋅5 −30 a= = cm= cm=6 cm Z⋅(a− f )=− f Z −5 −5 Za=− f + Zf Z=
2. Ohnisková vzdálenost objektivu je 0,2m (spojná čočka). Jaká musí být vzdálenost objektivu od promítací stěny, očekáváme-li zvětšení 20-ti násobné?
[a`= 4,2m]
Řešení: Dostaneme skutečný obraz – jde o spojku......... f = + 0,2 m Obraz je 20krát zvětšený, skutečný - převrácený..Z = - 20 a´− f Z =− f a ´ = f −Z⋅ f =(0,2−(−20)⋅0,2)m=(0,2+ 4)m=4,2 m − f + Z⋅f =−a ´
3. Vzdálenost mezi předmětem a stínítkem je 30 cm. Čočka umístěná mezi nimi dá ostrý obraz předmětu ve dvou polohách, jejichž vzdálenost je 10 cm. Určete zvětšení Z obrazu v obou těchto polohách. [2; -0,5] Vzdálenost předmětu a obrazu d = a + a´. Vzdálenost obou poloh čoček δ = a´- a . 2 2 2 2 Odvozený vztah d −δ =(a+a ´ ) −(a ´−a) =4 a a ´ dosadíme do čočkové rovnice 2
f=
2
2
2
aa ´ d −δ d −δ = = . a +a ´ 4(a+ a ´ ) 4d
4. Obraz předmětu umístěného před spojkou je vzpřímený a třikrát zvětšený. Vzdálenost mezi předmětem a obrazem je 40 cm. Určete ohniskovou vzdálenost čočky. [30 cm] Řešení: Obraz je 3krát zvětšený, neskutečný – vzpřímený … Z = 3 Z=−
a ´ 3 a=−a ´ a a ´ =−3 a
Obraz je vytvořený před spojkou – obrazová vzdálenost a´ bude záporná
−f Za Z= f= −a ´−a=40 cm a− f Z −1 −(−3 a)−a=40 cm Z a−Z f =− f 3. 20 a=20 cm Za= f ⋅(−1+Z ) f = 2 cm=30 cm 5. Symetrická dvojvypuklá čočka je vyrobena ze skla, které má pro červené paprsky index lomu 1,4835 a pro fialové 1,4996. Vypočtěte rozdíl ohniskových vzdáleností pro červ. a fial. paprsky, je-li poloměr křivosti 10 cm. [0,33 cm] Řešení:
( )( )
n2 1 = −1 f n1
1 1 + r1 r2
Pro červený paprsek
n 1=1 n 2=1,4835 1 1 =( 0,4835 ) r 1=r 2=10 cm f 1 5 cm
( )
f 1=
5 cm 0,4835
f 2=
5 cm 0,4996
Pro fialový paprsek
n 1=1 n 2=1,4996 1 1 =( 0,4996 ) r 1=r 2=10 cm f 2 5 cm
( )
f = f 1− f 2=0,33 cm
Závěr 1 1 1 = + Čočková rovnice f a a ' platí pro tenké čočky – spojky i rozptylky. Praktickým měřením pomocí optické lavice se povedlo ověřit čočkovou rovnici pro spojku s ohniskovou vzdáleností 10cm a vzdáleností předmětu 12 cm. Relativní chyba měření byla asi 3%. Výpočtem i narýsováním jsme potvrdili správnost čočkové rovnice i pro ostatní zvláštní případy poloh předmětu vůči ohnisku čočky.
Applety Čočková rovnice: http://courses.cs.washington.edu/courses/cse131/12au/applets/gaussian.html Zobrazení tenkou čočkou (upozornit studenty na špatné zobrazení uvnitř čočky): http://courses.cs.washington.edu/courses/cse131/12au/applets/thinlens.html
Literatura [1] BARTUŠKA, K. Sbírka řešených úloh z fyziky IV. 1. vyd. Praha: Prometheus 2000 [2] HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J.: Fyzika. 1. vyd. Brno: VUTIUM, 2000 [3] LEPIL, O. Fyzika pro gymnázia – Optika. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2002 [4] Brigham Young Univesity, Electrical & Computer Engineering. 13.03.2014. Dostupný z WWW:
[5] HESTERIC, Roman; priklady.eu: Sbírka příkladů z fyziky [online]. 02.09.2014. Dostupný z WWW: [6] REICHL, Jaroslav; fyzika.reichl.cz: Encyklopedie fyziky [online]. 03.09.2014. Dostupný z WWW:
Výukové materiály
Čočková rovnice Laboratorní práce č. Třída, školní rok:
Vypracoval: Spolupracovali:
Úkol Odvoďte z podobnosti trojúhelníků čočkovou rovnici a použijte jí v příkladech a praktickém měření. Čočkovou rovnici ověřte měřením pomocí optické lavice a rýsováním pro různé situace.
Pomůcky (seznam potřebného materiálu) optická lavice, čočky (je možné proměřit více čoček), délkové měřidlo (s milimetrovým dělením), předmět (svíčka), stínidlo
Teorie Čočkou budeme nazývat každé homogenní průhledné těleso ohraničené buď dvěma kulovými plochami nebo jednou kulovou a jednou rovinnou plochou. Zobrazení pomocí čoček využívá zákonů paprskové optiky, zejména zákona přímočarého šíření světla a zákona lomu světla. Pro zjednodušení zanedbáváme vlnové vlastnosti světla. Spojka má obě ohniska skutečná, rozptylka má obě ohniska neskutečná. Při vytváření obrazu dochází ke dvěma lomům světla (na každém rozhraní). Pěkné zobrazení naleznete na webových stránkách [4]. Pro zjednodušení zobrazování se používají ale tzv. tenké čočky. Jsou to čočky, jejichž tloušťka se blíží k nule a obě lámavé plochy téměř splývají. Za předpokladu, že je z obou stran (symetrické) tenké čočky stejné prostředí, platí, že předmětová ohnisková vzdálenost je stejná jako obrazová ohnisková vzdálenost. Ohnisková vzdálenost čočky závisí na: poloměrech křivosti r1, r2 lámavých ploch indexu lomu n2 materiálu čočky indexu lomu n1 okolního prostředí
( )( )
n2 1 1 1 = −1 ⋅ + f n1 r1 r2 Postup práce
Ověření čočkové rovnice měřením pomocí optické lavice 1. Na optickou lavici umístěte čočku se známou ohniskovou vzdáleností a do nějaké vzdálenosti od ní (větší než ohnisková vzdálenost) umístěte zapálenou svíčku (nebo osvětlené průsvitné písmeno – viz obr.) jako předmět. 2. Umístěte stínítko tak, abyste na něm viděli ostrý obraz plamene. 3. Změřte předmětovou vzdálenost a a obrazovou vzdálenost
1 1 1 = + a' a ověřte, že platí čočková rovnice f a a '
Ověření čočkové rovnice rýsováním 1. Na papír nakreslete čočku s ohnisky. Zvolte polohu předmětu. 2. Pomocí tří význačných paprsků nalezněte polohu obrazu. 3. Změřte předmětovou vzdálenost a a obrazovou vzdálenost a' a ověřte, že platí čočková
1 1 1 = + rovnice f a a '
Nejnázornější je ukázat studentů různé polohy předmětu a ohniska dynamicky. Například pomocí citovaného appletu. Vlastnosti obrazu SPOJKA 1. Ohniskové vzdálenosti f1 > 0 , f2 > 0 ; předmětová vzdálenost a > 2f1 . Obraz y´ je:
2. Ohnisková vzdálenost f1 > 0 , f2 > 0 ; předmětová vzdálenost a =2f1 . Obraz y´ je:
3. Ohnisková vzdálenost f1 > 0 , f2 > 0 ; předmětová vzdálenost 2f1 > a >f1 . Obraz y´ je:
1.
Pracovní list pro žáka
4. Ohnisková vzdálenost f1 > 0 , f2 > 0 ; předmětová vzdálenost a = f1 . Obraz y´ je:
5.
Ohnisková vzdálenost f1 > 0 , f2 > 0 ; předmětová vzdálenost a< f1 . Obraz y´ je:
6.
Ohnisková vzdálenost f1 < 0 , f2 < 0 ; předmětová vzdálenost a libovolné. Obraz y´ je:
Příklady na procvičení 1. V jaké vzdálenosti a od spojky o ohniskové vzdálenosti f = 5cm je třeba umístit předmět, abychom získali skutečný obraz 5krát zvětšený?
[a = 6cm]
2. Ohnisková vzdálenost objektivu je 0,2m (spojná čočka). Jaká musí být vzdálenost objektivu od promítací stěny, očekáváme-li zvětšení 20-ti násobné?
[a`= 4,2m]
3. Vzdálenost mezi předmětem a stínítkem je 30 cm. Čočka umístěná mezi nimi dá ostrý obraz předmětu ve dvou polohách, jejichž vzdálenost je 10 cm. Určete zvětšení Z obrazu v obou těchto polohách. [2; -0,5] 4. Obraz předmětu umístěného před spojkou je vzpřímený a třikrát zvětšený. Vzdálenost mezi předmětem a obrazem je 40 cm. Určete ohniskovou vzdálenost čočky. [30 cm] 5. Symetrická dvojvypuklá čočka je vyrobena ze skla, které má pro červené paprsky index lomu 1,4835 a pro fialové 1,4996. Vypočtěte rozdíl ohniskových vzdáleností pro červ. a fial. paprsky, je-li poloměr křivosti 10 cm. [0,33 cm]
Závěr
