Nástin formální stavby kvantové mechaniky Karel Smolek Ústav technické a experimentální fyziky, ČVUT
Komplexní čísla • Pro každé reálné číslo platí, • Např. 32 = 3·3 = 9, (-3)2 = • Inverzní operace k druhé nezáporná čísla. • Např. √9 = 3, √(-9) nemá mocnina je rovna -9.
že jeho druhá mocnina je nezáporné číslo. (-3)·(-3) = 9. mocnině, tedy odmocnina, má smysl pouze pro smysl, protože neexistuje reálné číslo, jehož druhá
• Z praktických důvodů se v matematice zavedl objekt, tzv. imaginární jednotka i, jehož druhá mocnina se definuje jako -1. Platí tedy, že √(-1) = i. • Pro imaginární jednotku i se definuje operace násobení reálným číslem. Výsledek je číslo ryze imaginární, např. 3i, -5i, 6.72i. • Komplexní číslo se definuje jako uspořádaná dvojice čísla reálného a ryze imaginárního, zapisuje se jako a+bi. • Na množině komplexních čísel se definuje operace sčítání, odčítání a násobení po složkách, tedy:
2/16
Komplexní čísla - pokračování • Dělení komplexních čísel:
• Absolutní hodnota (velikost) komplexního čísla:
3/16
Vektorový prostor • Množina prvků, na které je zavedena operace sčítání a násobení prvku číslem (v případě reálných čísel mluvíme o reálném vektorovém prostoru, v případě komplexních čísel o komplexním vektorovém prostoru). • Prvky takové množiny nazýváme vektory. • Součet dvou vektorů je opět vektor. • Číselný násobek vektoru je opět vektor. • Příklad: uspořádané dvojice reálných čísel (α,β). Operace sčítání dvou vektorů: Operace násobení vektoru číslem: Grafická reprezentace: prvky v rovině. • Vektor z je lineární kombinací vektorů x a y, pokud existují čísla α, β taková, že
• Dimenze vektorového prostoru je rovna minimálnímu počtu vektorů takových, že všechny ostatní vektory lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci. • Existují vektorové prostory s konečnou i nekonečnou dimenzí. • Výše uvedený vektorový prostor je příklad prostoru s dimenzí 2. 4/16
Vektorový prostor - pokračování • Příklad: množina všech reálných funkcí jedné reálné proměnné s následující operací sčítání a násobení reálným číslem:
Uvedený vektorový prostor má nekonečnou dimenzi.
5/16
Popis stavu v klasické mechanice • V klasické mechanice je stav objektu charakterizován znalostí všech (vzájemně nezávislých) fyzikálních veličin popisujících vlastnosti zkoumaného objektu. • Např. stav bodové částice plně popisují 3 souřadnice x,y,z polohy a 3 složky rychlosti vx,vy,vz. Každá šestice reálných čísel x,y,z,vx,vy,vz představuje stav bodové částice. • Množina všech stavů představuje konečněrozměrný vektorový prostor. • Prostor stavů bodové částice má dimenzí 6.
vx,vy,vz
6/16
Stav v kvantové mechanice • V kvantové mechanice je stav objektu plně charakterizován jeho přípravou, tedy návodem na uspořádání a použití přístrojů, součástek a laboratorních zařízení použitých v experimentu se zkoumaným objektem. • Mějme zařízení, ze kterého po spuštění vylétne částice. Pokud zařízení za stejných podmínek spustíme ještě jednou, říkáme, že částice, která vylétla, je ve stejném stavu jako předchozí částice. Příprava stavu částice obě částice jsou ve stejném stavu
Příprava stavu částice
• Často se stav objektu v kvantové fyzice značí speciální „závorkou“, do které se umístí označení stavu:
7/16
Stav a proces měření v kvantové fyzice • Mějme zkoumanou částici v připraveném stavu. Předpokládejme, že provedeme na této částici tzv. opakovatelné měření nějaké veličiny, např. energie – částice není přístrojem pohlcena, přístroj nám ukáže nějakou hodnotu, např. E. Pokud zkoumané částici, která po měření vylétla z přístroje, postavíme do cesty ještě jeden stejný přístroj na měření energie, dostaneme opět stejnou hodnotu energie E. Stejnou hodnotu energie dostaneme v jakémkoli dalším případném měření energie. • Ne každé měření je opakovatelné. V principu lze pro danou měřenou vlastnost zkonstruovat měřicí přístroj realizující opakovatelné měření. V dalším textu se budeme zabývat pouze opakovatelnými měřeními.
E
E
E
Příprava stavu částice • Říkáme, že po výletu částice z prvního měřicího přístroje je částice ve stavu s energií E, takový stav označíme . 8/16
Stav a proces měření v kvantové fyzice • Po provedení měření energie (naměřili jsme hodnotu E) je objekt ve stavu s energií E. Ale v jakém stavu byl objekt před měřením? • Předpokládejme, že vyrobíme několik částic podle stejného „receptu“, tedy ve stejném stavu. Na těchto částicích provedeme opakovatelné měření nějaké fyzikální veličiny, např. energie. • Při vhodné volbě přípravy částic se nám může stát, že pokaždé změříme jinou hodnotu energie. Vícenásobným zopakováním experimentu zjistíme, že naměřené energie nejsou libovolné, ale nabývají pouze některých hodnot (např. pouze dvou – E1 a E2). E E 1
Příprava stavu částice
2
Příprava stavu částice
E2 Příprava stavu částice
E2 Příprava stavu částice
E1 Příprava stavu částice
E1 Příprava stavu částice 9/16
Popis stavu v kvantové mechanice • Matematicky je stav kvantového objektu reprezentován prvkem komplexního vektorového prostoru s konečnou či nekonečnou dimenzí. Všechny nenulové komplexní násobky zvoleného vektoru představují týž stav objektu. • Stavový prostor bodové částice na přímce má nekonečnou dimenzi (prostor všech komplexních vlnových funkcí jedné reálné proměnné).
• Lineární kombinace dvou stavů předchozího způsobu značení můžeme psát
je opět stav, s využitím .
Koeficienty a a b jsou obecně komplexní čísla. • Pokud kombinace
a
představuje dva stavy částice s energií E1 a E2, lineární těchto stavů představuje reálný stav, který lze vyrobit.
10/16
Měření prováděné na lineární kombinaci stavů • Připravíme částici ve stavu a provedeme opakovatelné měření energie. Celý pokus mnohokrát zopakujeme. • Měřicí přístroj nám bude ukazovat rozdílné hodnoty energie. Náhodně se budou střídat hodnoty E1 a E2.
E1 Příprava stavu částice
E2 Příprava stavu částice
• Poměr počtu pokusů s výsledkem E1 a E2 bude
.
11/16
Vývoj stavu v kvantové mechanice - shrnutí • Pokud objekt neinteraguje s okolním světem (neprobíhá měření), vývoj jeho stavu je spojitý a řídí se Schrödingerovou rovnicí:
Pro bodovou částici v poli s potenciálem V:
• Pokud se objekt nachází ve stavu s určitou hodnotou měřené veličiny, po provedení opakovatelného měření se stav objektu nezmění. • Mějme objekt, který se nenachází ve stavu s určitou hodnotou měřené veličiny, ale v lineární superpozici takových stavů. Po provedení opakovatelného měření se stav systému náhodně „překlopí” do některého ze stavu s určitou hodnotou měřené veličiny. Tomuto procesu říkáme kolaps vlnové funkce. • Schrödinger při jednom rozhovoru s Bohrem prý řekl:
Jestliže budeme muset jít dál s těmi prokletými kvantovými skoky, pak lituji, že jsem se do toho kdy míchal. • Bohr prý odpověděl:
Ale my ostatní jsme vám za to velmi vděčni, protože vaše práce udělala pro zdokonalení této teorie mnoho.
12/16
Stav fotonu za polopropustným zrcadlem • Označme stav fotonu, který letí nahoru a stav fotonu, který letí doprava. • Předpokládejme, že odražené světlo na polopropustném zrcadle je vůči prošlému světlu fázově zpožděno o čtvrtinu vlnové délky. • Stav fotonu, který je zpožděn o čtvrtinu vlnové délky lze vyjádřit jako i násobek původního stavu. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0
1
2
3
4
5
D
6
detektor
pohlcující plocha
2
1 0.8 0.6
polopropustné zrcadlo
2 polopropustné zrcadlo
pohlcující plocha
1
D
0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
detektor
0
1
2
3
4
5
6
1
zdroj fotonů
zdroj fotonů
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
1
-0.2
0.8
-0.4
0.6
-0.6
0.4
-0.8
0.2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0
1
2
3
4
5
6
13/16
Stav fotonu za polopropustným zrcadlem D1 detektor
1 2
2 polopropustné zrcadlo
50%
D2 detektor
1
D1
50%
D2
zdroj fotonů
• Zápis současně.
vyjadřuje tu vlastnost, že se foton nachází v obou ramenech
14/16
Machův-Zehnderův interferometr - opakování 1→2→3→4→D1
1→2→5→4→D1
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
+
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6
-1
=
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6
-0.8
1
2
3
4
5
6
-1
0 -0.2 -0.4 -0.6
-0.8
0
• Detektor D1 zaznamená plnou intenzitu (konstruktivní interference obou paprsků).
0.4 0.2
-0.8 0
1
2
3
4
5
6
-1
0
1
2
3
4
5
6
detektor D1 obyč. zrcadlo 3
2 polopropustné zrcadlo
4 polopropustné zrcadlo
+
0.2 0
0.2
0.2
=
0 -0.2 -0.4 -0.6
-1 1
2
3
4
5
6
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-0.8
0
1→2→3→4→D2
obyč. zrcadlo 1 zdroj světla
0.4
-0.2
-0.8
5
0.4
0.4
-0.6
detektor
0.6
0.6
-0.4
-1
0.8
0.8
0.6
D2
1
1
1 0.8
-1 0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
1→2→5→4→D2
• Detektor D2 nezaznamená žádné světlo (destruktivní interference obou paprsků).
15/16
Stav fotonu v M.-Z. interferometru • Označme stav fotonu, který letí nahoru a stav fotonu, který letí doprava. • Stav fotonu, který je zpožděn o čtvrtinu vlnové délky lze vyjádřit jako i násobek původního stavu. 1
detektor
2 3, 5
D1 obyč. zrcadlo 4 3
4 Stav fotonu za polopropustným zrcadlem 4 je vyjádřen pouze pomocí stavu . Foton tedy zaregistruje pouze detektor D1.
polopropustné zrcadlo
2 polopropustné zrcadlo
D2 detektor
5 obyč. zrcadlo
1 zdroj fotonů 16/16
