ZÁKLADY NEBESKÉ MECHANIKY II.
Určení polohy tělesa v eliptické dráze, Keplerova rovnice – I.
Určení polohy tělesa v eliptické dráze, Keplerova rovnice – II. Keplerova rovnice je tzv. transcendentní rovnice, která se nedá řešit analyticky, řeší se numericky – iterační metoda (E ~ M) Znalost excentrické anomálie E umožňuje výpočet vzdálenosti r tělesa od centrálního tělesa a pravé anomálie ν Vztahy pro r a ν:
Rychlost tělesa ve dráze Rychlost tělesa, pohybujícího se po kuželosečce, lze rozložit na dvě kolmé složky
Rychlost v perihelu (přísluní) a afelu (odsluní) je možno napsat takto
Dráhové elementy – I. Pro určení polohy tělesa v prostoru je třeba udat tzv. elementy dráhy pro určitý čas Elementy určují tvar a velikost dráhy a její orientaci vzhledem ke smluvené rovině Jednotlivé elementy eliptické dráhy jsou: Ω – délka výstupného uzlu (délka sestupného uzlu Ω + 180° = Ʊ) i – sklon dráhy (i < 90° přímý pohyb, pokud i > 90° retrográdní pohyb) ω – argument (délka) perihelu a – velká poloosa dráhy, u hyperbolické dráhy se uvádí ještě vzdálenost perihelu q e – excentricita (výstřednost) dráhy T – okamžik průchodu perihelem
Dráhové elementy – II.
Pohyb Měsíce – I. Měsíc – přirozený satelit Země, obíhající v průměrné vzdálenosti 384 400 km perigeum – nejbližší bod Zemi (~356 410 km) apogeum – nejvzdálenější bod Zemi (~406 740 km)
Dráha Měsíce má výstřednost e = 0,05490 a sklon k zemské dráze i = 5°8’43’’, rovník k ekliptice skloněn o 1°31’, tedy celkem z hlediska pozorovatele se sklon mění v mezích ±6°40’ Doba oběhu siderický měsíc – vzhledem ke hvězdám (27,321 666 dne) synodický měsíc – oběžná doba vzhledem ke Slunci – od fáze k fázi (29,530 590 dne)
Střídání fází – viz. předchozí přednáška (kvadratury, opozice a spodní konjunkce)
Pohyb Měsíce – II. Měsíc vykonává kolem své rotační osy periodické kývavé pohyby, tzv. librace zdánlivé (optické) librace – způsobeny vzájemným postavením pozorovatele a Měsíce fyzické librace – skutečné kývavé pohyby měsíčního tělesa
Zatmění Slunce a Měsíce – I. S pohybem Měsíce úzce souvisí zatmění Slunce a Měsíce a zákryty hvězd Zatmění Slunce, resp. Měsíce nastává, dopadne-li na pozorovací místo stín Měsíce, resp. vstoupí-li Měsíc do stínu Země Délka stínu Země nebo Měsíce závisí na poloměru Slunce, Země nebo Měsíce a na vzájemné vzdálenosti těchto těles – první hodnoty jsou stálé, druhé se v určitých mezích mění Tečné paprsky vedené ze Slunce ohraničují polostín (pozorovatel vidí částečně zakryté Slunce) a plný stín (pozorovatel vidí Slunce úplně zakryté)
Zatmění Slunce a Měsíce – II. Zatmění může nastat tehdy, dopadne-li na povrch Země nebo Měsíce plný stín Pro délku stínu platí vztah:
Po dosazení RM = 1740 km a RZ = 6378 km dostáváme pro délky stínu Měsíc ~ 373 000 km; vzdálenost Země – Měsíc ~ 384 400 km → zatmění Slunce nastává, pokud místo na Zemi zasáhne alespoň vrchol stínu vrženého Měsícem Země ~ 1 376 000 km → měsíční zatmění je pozorovatelné všude tam, kde je Měsíc nad obzorem
Zatmění Měsíce – I. Pokud by se Měsíc pohyboval po ekliptice, nastávalo by zatmění Slunce a Měsíce každý měsíc → podmínka vzniku zatmění Měsíce – Měsíc se musí nacházet poblíž tzv. uzlu své dráhy
Měsíční zatmění bývají delší než sluneční – poloměr zemského stínu ve vzdálenosti Měsíce je ~ 82’
Zatmění Měsíce – II. Podle průchodu Měsíce oblastí stínu nebo polostínu Země je možné zatmění měsíce dělit na polostínové částečné úplné
Zatmění Slunce – I. Vzdálenost Měsíce je proměnná, z toho důvodu může nastat několik případů zatmění Slunce částečné úplné prstencové
Úplné zatmění je možné pozorovat v tzv. pásmu totality – maximální možná délka zatmění je ~ 8 minut Poměrně vzácný úkaz pro určité místo – ovšem častější než úplné zatmění Měsíce ~ 1,56 krát ☺, částečná nejsou tak vzácná – poslední u nás 11.8.1999
Zatmění Slunce – II. I v současné době zajímavý astronomický úkaz → expedice do pásma totality → studium koróny Slunce V roce 1919 potvrzení obecné teorie relativity
Příklady Vypočtěte excentricitu dráhy Země, víte-li, že největší úhlový průměr Slunce je d1 = 32’ 36,4’’ a nejmenší úhlový průměr Slunce je d2 = 31’ 31,8’’. [e = 0,0167] Víte-li, že délka siderického roku je 365,2564 středních slunečních dní a že se perihélium zemské dráhy posune ročně o 0,0033° ve směru pohybu Země, vypočtěte délku anomalistického roku. Určete za jak dlouho opíše přímka apsid úhel 360°. [365,2597 dne; ~109100 let] Maximální elongace Venuše je 46,5°. Za předpokladu, že se Venuše pohybuje po kružnici (její výstřednost e = 0,0067) vypočítejte poloměr její dráhy v AU, oběžnou dobu ve dnech a rychlost jejího oběhu kolem Slunce v km.s-1. [0,725 AU; ~225 dní; 35,055 km.s-1]
Příklady – vlastní výpočet Vypočtěte vzdálenosti planet ve sluneční soustavě pomocí tzv. Bode-Titiovy řady (posloupnosti) an = 0,4 + 0,3 · 2n, kde n = -∞ (Merkur), 0 (Venuše), 1 (Země), atd. Srovnejte se skutečnými vzdálenosti a všimněte si hodnoty pro n = 3. Co se v této vzdálenosti nachází? Nejmenší vzdálenost Halleyovy komety je q = 0,59 AU, největší vzdálenost pak Q = 35,4 AU. V aféliu je její rychlost vQ = 0,91 km.s-1. Určete výstřednost její dráhy, velkou poloosu její dráhy, její rychlost v perihéliu, oběžnou dobu a v jaké vzdálenosti od Slunce se nachází, když její rychlost je rovna oběžné rychlosti Země kolem Slunce. [0,967; 17,987 AU; 54,372 km.s-1; 76,289 roku; ~ 1,87 AU]
