Cvičení z mechaniky tekutin

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA Fakulta strojní katedra hydromechaniky a hydraulických zařízení

tlaková

kinetická

potenciální

energie

energie

energie

Bernoulliho efekt se projeví poklesem statického tlaku a zvýšením rychlosti

Cvičení z mechaniky tekutin

Ing. Sylva Drábková, Ph.D. Doc. RNDr. Milada Kozubková, CSc. 2004 OSTRAVA

I

Drábková, S., Kozubková, M.: Cvičení z mechaniky tekutin

Obsah 1.

Úvod

1

2.

Základní pojmy

2

2.1

Fyzikální vlastnosti tekutin

2

Hydrostatika

8

3.

Tlakové poměry v kapalině za klidu

8

3.1

Hydrostatický tlak

8

3.2

Hladinové plochy

11

3.3

Pascalův zákon

13

4.

Tlakové síly

15

4.1

Dno nádoby

15

4.2

Tlakové síly na šikmé rovinné stěny

15

4.3

Tlakové síly na křivé plochy

18

5.

Relativní pohyb kapaliny

23

5.1

Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený

23

5.2

Pohyb rovnoměrně otáčivý

24

Hydrodynamika

28

6.

Základní pojmy a rozdělení proudění

28

6.1

Rozdělení proudění

28

7.

Proudění dokonalých kapalin

32

7.1

Rovnice kontinuity

32

7.2

Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu

33

8.

Proudění vazké tekutiny

41

8.1

Proudění skutečných kapalin

41

8.2

Bernoulliho rovnice pro skutečnou tekutinu

41

9.

Laminární proudění

44

9.1

Proudění v trubici kruhového průřezu

44

9.2

Proudění mezi paralelními deskami

46

9.3

Proudění mezi paralelními deskami s unášivým pohybem

47

9.4

Proudění válcovou mezerou

48

9.5

Stékání po svislé stěně

49

9.6

Proudění klínovou mezerou tvořenou rovinnými deskami

50

10.

Turbulentní proudění

51

10.1

Bernoulliho rovnice pro turbulentní proudění

51

11.

Hydraulický výpočet potrubí

53

11.1

Třecí ztráty v potrubí

53

11.2

Místní ztráty

61

11.3

Jednoduché potrubí

65

11.4

Gravitační potrubí

70

11.5

Složené potrubí

71

II


11.6

Charakteristika potrubí

73

12.

Výtok z nádob, přepady

77

12.1

Stacionární výtok kapaliny malým otvorem

77

12.2

Výtok velkým otvorem v boční stěně

78

12.3

Výtok ponořeným otvorem

79

12.4

Výtok při současném přítoku

80

12.5

Vyprazdňování nádob

81

12.6

Přepady

83

13.

Proudění v rotujícím kanále

85

13.1

Bernoulliho rovnice pro rotující kanál

85

13.2

Odstředivé čerpadlo

87

13.3

Čerpadlo a potrubí

89

14.

Neustálené proudění v potrubí

97

14.1

Bernoulliho rovnice pro neustálené proudění nestlačitelné kapaliny

97

14.2

Rozběh proudu v potrubí při výtoku z nádoby

98

14.3

Hydraulický ráz

103

15.

Věta o změně hybnosti

107

15.1

Deska v klidu

107

15.2

Pohybující se deska

109

15.3

Rotační těleso

110

15.4

Peltonovo kolo

110

15.5

Silový účinek proudu na potrubí

111

16.

Obtékání těles

113

16.1

Odpor těles a tloušťka mezní vrstvy

113

17.

Proudění v korytech

116

17.1

Rovnoměrný průtok

116

18.

Fyzikální podobnost a teorie modelování

119

18.1

Hydrodynamická podobnost při proudění kapalin

119

19.

Přílohy

121

19.1

Hustota vody, vzduchu a rtuti, dynamická viskozita a kinematická viskozita vody a

121

vzduchu v závislosti na teplotě 19.2

Hustota suchého vzduchu v závislosti na tlaku a teplotě 0

122

19.3

Napětí nasycené vodní páry při teplotách 95 ¸ 140 C

122

19.4

Dynamická viskozita vody a páry v závislosti na teplotě a tlaku

123

19.5

Kinematická viskozita vody a páry v závislosti na teplotě a tlaku

124

19.6

Fyzikální vlastnosti plynů při 0 °C a tlaku 0.1 MPa, pevných látek a kapalin při 18 °C

125

19.7

Absolutní drsnosti potrubí

126

19.8

Stupeň drsnosti při proudění v otevřených kanálech

126

19.9

Rychlostní součinitel C podle Pavlovského

127

19.10

Těžiště a momenty setrvačnosti některých ploch a objemy těles

128

19.11

Součinitelé odporu těles

129

III


20.

Laboratorní cvičení z hydromechaniky

130

20.1

Měření třecí ztráty v potrubí

130

20.2

Experimentální stanovení charakteristiky čerpadla

132

20.3

Měření rychlostního profilu volného kruhového proudu

135

21.

Přehled použitých označení

138


1

1. Úvod Mechanika tekutin je základem pro řešení praktických inženýrských úloh v řadě oborů. Nachází uplatnění nejen v oblasti strojírenství, ale také ve stavebnictví, energetice, ekologii, biologii, medicíně a dalších disciplínách. Kromě teoretických vědomostí je podmínkou řešení úloh i schopnost aplikovat nabyté poznatky v praxi. Sbírka příkladů z mechaniky tekutin je určena k prohloubení a praktickému procvičení znalostí získaných v předmětu Mechanika tekutin a Hydromechanika, přednášených na Fakultě strojní, Fakultě metalurgie a materiálového inženýrství, Fakultě bezpečnostního inženýrství a Hornicko-geologické fakultě. Je členěna tématicky, označením jednotlivých kapitol a podkapitol navazuje na skripta „Janalík, J., Šťáva, P.: Mechanika tekutin“, vydané na VŠB-TU Ostrava v roce 2001. Úvod každé kapitoly je věnován stručnému přehledu teorie a výčtu nezbytně nutných vztahů a konstant, které slouží pro přípravu na výpočtová cvičení. Teoretický základ je následován souborem řešených i neřešených příkladů s výsledky řešení. Součástí cvičení z hydromechaniky jsou laboratorní úlohy, ve kterých se studenti seznámí s přípravou měření, jeho provedením a vyhodnocením. Ve skriptech jsou uvedeny návody k měření a návrhy tabulek pro zpracování měření a vyhodnocení hledaných veličin. Sbírku příkladů doplňují v příloze potřebné tabulky, grafy a závislosti vyhodnocené statisticky z tabulek pro snadnější použití, které doplňují podle potřeb a zkušeností získaných ve výuce. Ve skriptech je důsledně používána soustava jednotek SI. Označení veličin je převzato ze skript „Janalík, J., Šťáva, P.: Mechanika tekutin“. Upozorňujeme na podobnost značek rychlosti v a kinematické viskozity n , které vyplývají z podobnosti písma v aplikovaném editoru rovnic. Cvičení z mechaniky tekutin vychází ve druhém přepracovaném vydání.

2


2. Základní pojmy Tekutina je pojem zahrnující kapaliny a plyny. Je to spojité prostředí, které je homogenní a izotropní (jeho vlastnosti jsou ve všech směrech stejné). Kapaliny se odlišují od plynů a par konstantní či téměř konstantní měrnou hmotností, tj. hustotou ( r = konst ) a jsou tedy nestlačitelné či velmi málo stlačitelné. Zavádí se pojem kapaliny ideální, což je kapalina bez vnitřního tření a nestlačitelná.

2.1. Fyzikální vlastnosti tekutin Měrná hmotnost neboli hustota tekutiny je hmotnost objemové jednotky tekutiny podle vztahu

r=

m V

Hustota kapalin je závislá na teplotě

r = r (T ) přibližně lineárně. Měrná hmotnost (hustota) plynů

závisí nejen na teplotě, ale též významně na tlaku rovnicí ve tvaru pV = mrT Þ

r=

r = r ( T , p) a pro ideální plyn je dána stavovou

p (kde r je měrná plynová konstanta). Závislosti měrné rT

hmotnosti technicky důležitých látek jsou uvedeny v příloze 19. Viskozita tekutiny se projevuje při proudění skutečných tekutin. Míra velikosti vnitřního tření charakterizuje tekutost či fluiditu. S využitím Newtonova vztahu pro tečné napětí laminárního proudu lze dynamickou vazkost h vyjádřit takto:

¶v ¶y

t =h

Jednotka součinitele h v předchozím vztahu, tj. dynamické viskozity, se definuje

[h ] =

[t ] [ y ] N.s kg = 2 = = Pa.s [ v] m.s m

Technická soustava jednotek (stále používaná v příručkách a tabulkách) zavádí pro jednotku dynamické viskozity označení 1 P (Poise), což je 1P = 1g × cm

-1

× s -1 = 0,1 Pa × s .

Vazkost (viskozita) se vyjadřuje dále součinitelem kinematické vazkosti (viskozity) s příslušnými jednotkami

kg m 3 [n ] = × = m 2 × s -1 m × s kg

h n= r

V praxi je dosud stále důležitá jednotka kinematické viskozity v soustavě technické – 1 Stokes, pro 2

niž platí 1S = 1cm × s

-1

= 10-4 m 2 s -1 .

Z měření vazkosti kapalin Englerovým viskozimetrem vyplývá další jednotka viskozity Englerův stupeň, která se definuje se jako poměr doby výtoku

t objemu 200 cm3 zkoumané kapaliny při dané o

teplotě k době výtoku destilované vody o teplotě t = 20 C, tedy

nE =

t t H 2O

[o E ]

3


Viskozitu vyjádřenou v Englerových stupních lze převádět na kinematickou viskozitu v SI jednotkách pomocí empirického vztahu

æ 6 ,31 ö ÷÷ × 10 -6 [m 2 s -1 ; o E] n = çç 7 ,31n E nE ø è Viskozita je obecně funkcí veličin stavu, tj. tlaku a teploty. Mimo závislosti pro vodu a vzduch, které jsou uváděny v přílohách 19, jsou technicky důležité závislosti dynamické viskozity na teplotě pro minerální oleje. Tyto závislosti lze dobře aproximovat exponenciální funkcí ve tvaru

h = h0 × e kde

( - k ×T )

nebo

h = h0¢

A t + ×e B

h 0 , h 0¢ , k , A, B jsou konstanty, které je nutno pro jednotlivé druhy olejů určit experimentálně a

statisticky např. metodou nejmenších čtverců (např. pomocí software EXCEL). Objemová stlačitelnost tekutin je schopnost zmenšovat svůj objem při zvýšení vnějšího tlaku. Vyjadřuje se součinitelem stlačitelnosti

d =-

[ ]

DV 1 æ ¶V ö ÷÷ çç = Pa -1 V è ¶ p ø T = konst V .Dp

který vyjadřuje změnu objemu kapaliny DV = V - V 0 připadající na jednotku původního objemu

V při změně tlaku Dp = ( p 0 - p ) . V0 a p 0 jsou objem a tlak tekutiny po stlačení. Převrácená hodnota součinitele objemové stlačitelnosti

K=

d je modul objemové pružnosti kapaliny K

1 [ Pa ] , který závisí na stavových veličinách, tj. tlaku a teplotě. d

Součinitel objemové roztažnosti kapalin vyjadřuje schopnost kapaliny zvětšit svůj objem při zvýšení teploty

b=

1 æ ¶V ç V çè ¶t

[

ö DV ÷÷ K -1 , = ø p = konst V .Dt

O

C -1

]

a je definován změnou objemu kapaliny DV = V 0 - V připadající na jednotku původního objemu V při změně teploty

Dt = (t 0 - t ) . V0 a t 0 jsou objem a teplota kapaliny po zahřátí. Pro výpočet

objemu V0 po roztažení z původního objemu V lze použít vztah V0 = V (1 +

b .D t ) .

Povrchové napětí s působí na rozhraní mezi kapalinou a jinou látkou. Definuje se jako tzv. kapilární konstanta

s=

F pn l

[Nm ], kde F -1

pn je výsledný účinek povrchových sil mezi molekulami

kapaliny a jiné látky a l je délky rozhraní. Kapilární jevy jsou důsledkem povrchového napětí. Vyskytují u trubiček velmi malého průměru – kapilár, nebo v porézním prostředí. Když adhezní síly jsou větší než kohezní, vystupuje kapalina v kapiláře do výšky h . V opačném případě, kdy kohezní síly jsou větší než adhezní, zůstává kapalina v kapiláře o výšku h níže než je hladina okolní kapaliny. Kapilární výšky h se dají spočítat z podmínky rovnováhy mezi gravitačními silami a povrchovými silami:

4


pds =

4s p 2 d hrg , odtud h = 4 rgd

Příklad 2.1.1 Ve zcela zaplněné tlakové nádrži je voda o tlaku p . Po vypuštění objemu DV vody klesl tlak na tlak atmosférický, tj. p 0 = 1 bar = 105 Pa abs. Určete objem vody v nádrži při zanedbání pružnosti nádoby. Zadáno: p abs. =

10 bar 3 36 dm 2000 MPa

DV = K =

V=

Řešení:

Vypočtěte: V =?

m3

Výsledek: 80.00

KDV Dp

Příklad 2.1.2 Při tlakové zkoušce potrubí o průměru d a délce

l klesl za hodinu tlak z p1rel . na p 2rel . . Určete,

kolik vody vyteklo netěsnostmi potrubí, je-li potrubí absolutně tuhé. Zadáno: d =

400 mm

l = K =

2 km 2000 MPa

p1rel . = p 2rel . =

7.5 MPa

Vypočtěte: DV = ?

m

3

Výsledek: 0.06283

7 MPa

Příklad 2.1.3 Potrubí průměru d a délky l je naplněno vodou při atmosférickém tlaku. Jak velký objem DV je nutno vtlačit do potrubí při tlakové zkoušce, aby se tlak zvýšil o Dp ? Potrubí považujte za tuhé, měrná hmotnost vody je

r , modul pružnosti kapaliny je K . Určete součinitel stlačitelnosti d a teoretickou

rychlost zvuku a t .

K = r = Vypočtěte: DV = ? d =? at = ?

DV

70 m 450 mm 0.5 MPa

Dp

2E+09 Pa 1000 kg.m -3 Výsledky: m3 MPa-1 -1

m.s

0.00278 0.00050 1414.21

d

Zadáno: l = d = Dp =

l

5


Příklad 2.1.4 Přístroj na kontrolu manometrů má šroub se závitem M20 x 1,5. Vnitřní objem má tvar válce o průměru D a délce

l . Určete změnu tlaku při zašroubování šroubu o 3 otáčky vřetena. Vypočtěte

teoretickou rychlost zvuku a t . Zadáno:

D l K r s

= = = = = Vypočtěte:

D

30 mm 100 mm 2000 MPa 1000 kg.m -3 1.5 mm

M20x1.5

p

Výsledky:

DV = ? V =? Dp = ? at = ?

m3 m3 MPa

0.0000014 0.000071 39.43662

-1

m.s

l

1414.21

Příklad 2.1.5 Stanovte posunutí pístu Dl hydraulického válce vlivem stlačitelnosti kapaliny při zatížení pístnice silou F . Určete teoretickou rychlost zvuku v oleji a t , vypočtěte součinitel stlačitelnosti kapaliny

d.

Zadáno: = = = =

= Vypočtěte:

Dp Dl at d

1000 mm 80 mm 28000 N 900 kg.m -3 1300 MPa

l olej

Výsledky:

=?

MPa

5.57043

=?

m ms-1 MPa-1

0.00428 1 201.85 0.00077

=? =?

F

d

l d F r K

K, r

Dl

Příklad 2.1.6 0

Kapalina má viskozitu 10 E a měrnou hmotnost

r . Určete její kinematickou a dynamickou viskozitu

v soustavě SI. Zadáno:

n= r= Řešení:

Vypočtěte: 0

10 E 0.89 kg.dm

-3

n=? h= ?

Výsledky: 2 -1

ms

0.0000725

Pa.s

0.0645250

Kinematická viskozita se určí z empirického vztahu

dynamická viskozita ze vzorce h = n × r .

6,31 ö æ n = ç 7,31× 0 E - 0 ÷ × 10 - 6 a E ø è

6


Příklad 2.1.7 Závislost dynamické viskozity na absolutní teplotě je dána tabulkou. Najděte koeficienty závislosti ve tvaru

h0 a k této

h = h 0 × e (- k ×T ) pomocí lineární regrese a určete hodnotu viskozity pro teplotu t =

24oC a 58oC. Zadáno:

Řešení:

23 28

Vypočtěte: h0 = ? h [Pa.s] 2.25E-04 k=? 1.52E-04 h =?

32

1.18E-04

38

7.89E-05

T = t + 273.15 . Vytvoří se graf

43

5.89E-05

závislosti viskozity na teplotě,

48

4.52E-05

proloží se spojnice trendu ve

50

4.32E-05

tvaru exponenciální funkce a

t [oC]

Výsledky:

24

h 49 = ?

Pa.s

16872.08

Teplota a viskozita v prvních

K-1 Pa.s

-0.0614571 0.000197739

dvou sloupcích se překopíruje

Pa.s

4.25433E-05

přepočítá

do

EXCELu, na

teplota

se

absolutní,

tj.

vyhodnotí se koeficienty h0 a k . Závislost viskozity na teplotě h [Pa.s] 0.00025

0.00020

0.00015 -0.0614571x

y = 16872.0799436e 2 R = 0.9930166 0.00010

0.00005

0.00000 290

295

300

305

310

315

320

325

T [K]

Příklad 2.1.8 Stanovte povrchové napětí kapilární elevace h .

s vody, jestliže ve skleněné kapiláře o průměru d byla naměřena

7


Zadáno:

h = d = r=

h=

N.m

d Výsledky: 0.07358

-1

h

Vypočtěte: s=? Řešení:

15 mm 2 mm 1000 kg.m -3

4s hrgd Þs = rgd 4

Příklad 2.1.9 Válcová nádrž o rozměrech d a h je zcela naplněna vodou o atmosférickém tlaku o teplotě t 0 . Určete změnu tlaku v nádrži při změně teploty na hodnotu t1 . Součinitel teplotní roztažnosti vody je

b a modul pružnosti vody je K . Poddajnost stěn nádoby zanedbejte. Zadáno: d = h = K =

t0 = t1 =

Řešení: 1 3 2000 20

m m MPa O C

K=

V0 Dp KDV Þ Dp = DV V0

V = V0 (1 + bDt ) = V0 + V0 b Dt = V0 + DV Þ DV = V0 b Dt

O

30 C

O -1 b = 0.00064 ( C)

Výsledky:

Vypočtěte: Dp = ?

MPa

Dp =

KV0 b Dt = Kb (t1 - t 0 ) V0

12.80

Příklad 2.1.10 V plynojemu se uchovává plyn o objemu V při teplotě t a přetlaku p p . Měrná plynová konstanta je

r

(r = R

m , kde m je molekulová hmotnost, R je univerzální plynová konstanta) a p 0 je

barometrický tlak. Určete hmotnost plynu m v plynojemu, látkové množství plynu n a objem plynu

Vn při teplotě 0 OC a tlaku 101325 Pa (tj. při normálních podmínkách). Zadáno: V = 100000 m3 0 20 C t =

pp r p0 R

= = = =

Řešeni:

Vypočtěte: m= ? n= ?

Vn = ?

2.4 kPa -1

kg kmol 3

mn

Výsledky: 52 336.57 4 135.81 92 694.77

-1

657 J.kg K 984 hPa 8314 J.K-1.kmol-1

pV = mrT Þ m =

pV rT

p nVn pV pV Tn = Þ Vn = Tn T T pn

pV = nRT Þ n =

pV RT

8


Hydrostatika 3. Tlakové poměry v kapalině za klidu Tlak kapaliny je tlaková síla, působící na jednotku plochy. Je-li tlak na ploše rovnoměrně rozložen, je dán poměrem p =

F dF , při nerovnoměrném rozložení tlaku je dán obecně p = . Jednotkou S dS

tlaku v soustavě SI je 1 Pascal, tj. síla 1 N působící na plochu 1 m2 neboli 1Pa=1Nm-2.

3.1. Hydrostatický tlak Hydrostatický tlak jako účinek kapalinového sloupce se vypočte ze vztahu

p=rgh Tlak jako stavová veličina se vyjadřuje absolutní a relativní hodnotou. Absolutní tlak se vztahuje k absolutnímu vakuu. Relativní tlak (podtlak resp. přetlak) se vztahuje k libovolně zvolené hodnotě, nejčastěji ke hladině atmosférického tlaku p 0 a platí vztah

pabs = prel + p0 Ve sporných případech je nutno za jednotkou označit, zda se jedná o tlak absolutní či relativní. Tlaková diference je rozdíl tlaků ve dvou místech 1, 2

D p = p1 - p2 Tlaky p1, p2 je nutno dosazovat shodně, tj. oba absolutní nebo oba relativní, protože rozdíl dvou tlaků udaných v absolutních či relativních jednotkách je stejný. Vztah mezi absolutním a relativním tlakem je obdobou vztahu mezi absolutní a relativní teplotou T = t + 273 vztah patrný obrázku

p1r

p1

p2a

p1a p0

p2

(podtlak)

barometrický tlak -p2r

p0

0

vakuum

(pretlak)

p [Pa]

[ K ] . Schematicky je tento

9


Příklad 3.1.1 Vypočítejte tlak pod hladinou vody v hloubce h , je-li na hladině hustota

r . Uvažujte nestlačitelnou a

stlačitelnou kapalinu. Výsledky porovnejte. Zadáno: =

8000 m 0 MPa

= =

2100 MPa 1020 kg.m -3

= Vypočtěte:

pnestl = ? p stl = ? r1 = ? Řešení:

MPa

80.04960

MPa

81.55565 1060.42

V případě nestlačitelné kapaliny

kapaliny se předpokládá závislost

r=

h

h p0 K r0

p0

r = konst a pnestl = - r g h . V případě stlačitelné

dp = - rg .dh =

p - p0 - r 0e K dh , a tedy

r gh ö æ p = - K .ln ç1 + 0 ÷ a K ø è

r0 . Výška h se zadává záporně vzhledem k definovanému souřadnému systému r0 g h 1+ K

Příklad 3.1.2 Určete změnu tlaku v atmosféře v závislosti na nadmořské výšce. Uvažujte následující varianty výpočtu vzhledem k definici hustoty: a) hustota

r =konst.

z

z

b) hustota se mění v závislosti na přibližně určeném modulu stlačitelnosti c) hustota se určí ze stavové rovnice, předpokládá se polytropická změna

g

d) hustota se určí ze stavové rovnice, přitom teplota je konstantní (izotermická změna) e) hustota se určí ze stavové rovnice, přitom

p0

p

T0

T

teplota se mění lineárně Řešení:

Zadáno: hustota atmosférický tlak teplota měr.plyn.konstanta polytrop. exponent modul pružnosti gradient teploty

r0 = p 0 = 101325 Pa 288.15 K T0 = -1 -1 r= 287 J.kg .K n= 1.23 K = 141725.6 Pa g = -0.0065 K.m-1 1.226 kg.m -3

V následující tabulce je přehled

vztahů, použitých v jednotlivých variantách. Tlak není obecně konstantní, proto je zapsán v diferenciálním tvaru. Vztah pro tlak se získá integrací a integrační konstanta se určí z podmínek

r = r 0 , T = T0 , p = p 0 . Teplota

se uvažuje konstantní, jen v případě e) je

10


definována jako lineární závislost. Nestlačitelná tekutina a)

r r = r0

T T = T0

p dp = - r 0 g.dh p = p 0 - r 0 gh

Stlačitelná tekutina

b)

r = r0e K = r0c c)

p - p0 K

T = T0

2 1

æ p ön ÷÷ r = r 0 çç p è 0ø

p - p0 K

dp = - rg .dh = - r 0 e dh r 0 gh ö æ p = p 0 - K . lnç1 + ÷ K ø è 1

T = T0

æ p ön ÷÷ g .dh dp = - rg.dh = - r 0 çç p è 0ø æ n -1 g p = p 0 çç1 n rT0 è

d)

r=

p rT0

T = T0

dp = - rg.dh = p = p0 e

e)

r=

p r (T0 - gh )

T = T0 - gh

-

n n ö -1

h ÷÷ ø

p dh rT0

gh rT0

dp = - rg.dh = æ gh ö p = p 0 çç1 - ÷÷ è T0 ø

-

p dh r (T0 - gh ) g rg

Výše uvedené vztahy lze tabelovat v EXCELu a zobrazit pro porovnání tlak v závislosti na výšce h. Závislost tlaku na výšce v atmosféře

h [m] 2000

a) konst. hustota

1800

b) modul pružnosti K

1600

c) polytropie 1400

d) izotermie

1200

e) teplota je funkcí výšky

1000 800 600 400 200 0 75000

80000

85000

90000

95000

100000

105000

p [Pa]

11


3.2. Hladinové plochy Hladinové plochy jsou hladiny s konstantní hodnotou tlaku p = konst , dp = 0 , případně dalších skalárních veličin (teplota, hustota, měrná tíha, měrný objem). Hladinové plochy jsou ekvipotenciální plochy a jsou vždy kolmé na výsledné zrychlení vnější hmotnostní síly a . Hladinové plochy mají v úlohách hydrostatiky význam při výpočtu tlaků a tlakových sil. Příklad 3.2.1 Otevřená svislá válcová nádrž je naplněna vodou o výšce h1 a olejem o výšce h2 . Tlak vody u dna nádrže je změřen piezometrickou trubicí s výškou hladiny h . Jaká je hustota oleje

r o ? Jaká bude

výška hladiny v piezometrické trubici ( h ¢ ), když se nádrž uzavře a tlak v nádrži stoupne o Dp ? Zadáno:

p

h1 = 0.2 m h2 = 1.2 m h = 1.2 m p 0 = 0.10132 MPa rv = 1000 kg.m -3 Dp = = 0.01 MPa

h

olej

rV

Výsledky:

ro = ? h¢ = ?

kg.m -3 m

h2

r0

h1

Vypočtěte:

p0

voda

833.33 2.21936

Řešení: Pro otevřenou nádrž platí, že p = p0 .

p 0 + h2 r o g + h1 r v g = p 0 + hr v g

ro =

a odtud

Pro uzavřenou nádrž s tlakem p , kde p = p 0 + Dp

p + h2 r o g + h1 r v g = p 0 + h ¢r v g a tedy

h¢ =

(h - h1 )r v g (h - h1 )r v =

h2 g

( p - p0 ) rv g

+

h2

h2 r o + h1 rv

Příklad 3.2.2 Jaký je rozdíl tlaků Dp ve vodorovném potrubí (ve kterém proudí voda), který je měřen U-trubicí naplněnou rtutí. Rozdíl výšek hladin je Dh .

1000 kg.m -3

r Hg =

13600 kg.m -3 Pa

v

p2

Výsledky: 43262.10

Dh

rv = Vypočtěte: Dp = ?

p1

0.35 m

h

Zadáno: Dh =

Hg

12


Podmínka rovnováhy v levém a pravém rameni diferenciálního U-manometru:

Řešení:

p L = p p Þ p1 + r v .g .h ¢ = p 2 r v . g (h ¢ - Dh ) + r Hg .g .Dh

(

)

Dp = p1 - p 2 = r Hg - r v .g .Dh Příklad 3.2.3 Tlak vody v potrubí se měří U-trubicí s otevřeným koncem. Rozdíl hladin rtuti v U-trubici je Dh . Poloha spodní hladiny rtuti ve vztahu k ose potrubí je dána výškou h . Jak veliký je měřený tlak p ? Jak se při stejném tlaku p v nádobě změní údaj v U-trubici, změní-li se h na h ¢ . Tlak ovzduší je p 0 . Zadáno:

=

0.1 MPa

rV

1000 kg.m -3 13600 kg.m -3

Vypočtěte: p =? Dh ¢ = ?

Pa m

Výsledky: 130214.80 0.33673

rHg

Dh'

rv = r Hg =

p

Dh

0.3 m 1m 1.5 m

h

= = =

h'

Dh h h¢ p0

Příklad 3.2.4 Určete přirozený tah Dp v topeništi, které je spojeno s komínem vysokým h . Hustota vzduchu je a hustota kouřových spalin je

r vz

r sp .

Zadáno:

r vz = r sp = h=

1.29 kg.m -3 0.44 kg.m -3

Vypočtěte:

Dp = ?

h

20 m

rSP

Výsledky: Pa

166.77

rVZ

Příklad 3.2.5 V soustavě ústředního topení ohřívá kotel K vodu na teplotu t1 . V radiátoru R se voda ochladí na teplotu t 2 . Ostatní části jsou tepelně izolovány. Výškový rozdíl kotle a radiátoru je h . Určete přetlak

Dp = p1 - p 2 , který bude působit na ventil V , který za provozu přeruší cirkulaci vody.

13


V

R

Zadáno:

t1 = t2 = h=

p1

90 oC o 60 C 8m

t1

Výsledky: kg.m

-3

t2

h

Vypočtěte:

r1 = r 90 = ? r 2 = r 60 = ? p=?

p2

965.3

kg.m -3 Pa

983.2 1404.79

K

Dp = ( r1 - r 2 ).g .h

Řešení: Příklad 3.2.6

Určete absolutní tlak vzduchu v nádobě, jsou-li údaje na dvoukapalinovém manometru následující :

h1 , h2 , h3 a tlak ovzduší je p 0 . 700 mm

h2 = h3 =

vzduch

600 mm

p

13600 kg.m -3

rv = p0=

1000 kg.m -3 0.1 MPa Pa

h1

Vypočtěte: p=?

p0 h2

300 mm

r Hg =

rV

Výsledky: 139043.8

h3

Zadáno: h1 =

rHg

3.3. Pascalův zákon Tlak je obecně funkcí polohy. Pokud jsou však hmotnostní síly působící na kapalinu v klidu mnohem menší než síly tlakové, je tlak ve všech místech kapaliny konstantní, což je zákon Pascalův. Toho se využívá například u hydraulických lisů, hydraulického akumulátoru, hydraulických pohonů. Hydraulický lis je v podstatě nádoba s kapalinou, ve které se pohybují dva písty různých průměrů. Na

æd ö F F F S obou pístech je dle Pascalova zákona stejný tlak p = 1 = 2 Þ 1 = 1 = çç 1 ÷÷ S1 S 2 F2 S 2 è d 2 ø

2

Příklad 3.3.1 Do nádrže naplněné kapalinou jsou vestavěny dva písty o průměrech d1 a d 2 . Na první z nich působí síla F1 . Určete tlak p v kapalině a sílu F2 udržující píst v rovnováze. Zadáno:

d1 = d2 = F1 = Vypočtěte: p =?

F2 = ?

F1

F2

0.29 m 0.55 m 1407 kN MPa

Výsledky: 21.30135

kN

5060.84929

S1 S2

14


Příklad 3.3.2 Dva válce o různých velikostech jsou pevně spojeny tyčí. Jestliže na plochu S1 působí tlak daný p1 , pak na tuto plochu působí síla F1 , která je přenášena na plochu S 2 a na výstupu se získá tlak p 2 . Určete hodnotu tohoto tlaku. Zadáno:

S1

S1 = S2 = p1 =

20 cm

S2

2

16 cm2 1 MPa

Vypočtěte:

F2

Výsledky:

p2 = ?

Pa

p1

1 250 000.0

p2

Příklad 3.3.3 Táhlem spojené písty silového zařízení se ustálí v poloze naznačené na obrázku. Určete h , je-li dán poměr

D a H. d

p0

p0

H

3 4m 1000 kg.m -3 m

Výsledky: 3.56

d

Vypočtěte: h=?

D

D = d H= r=

h

Zadáno:

Příklad 3.3.4 Určete tlak plynu v plynojemu jestliže v U – trubici naplněné lihem je rozdíl hladin Dh . Do jaké výšky vystoupí hladina vody v trubici, kterou je plynojem spojen s vodní nádrží? Zadáno:

Vypočtěte: p=? t =?

0.101 MPa 800 kg.m -3

p

1000 kg.m -3 MPa m

Výsledky: 0.10084 0.01631

Dh

r líh = r voda =

0.02 m

t

Dh = p0 =

15


4. Tlakové síly 4.1. Dno nádoby Tlaková síla na dno nádoby (rovinná vodorovná plocha) se určí ze vztahů

F = p S = r g hS = r gV Objem V je tzv. zatěžovací objem definovaný třemi plochami, které ho omezují: §

plocha S , na niž působí tlaková síla F

§

hladinová plocha tlaku ovzduší ( p0 = konst )

§

válcová plocha vzniklá pohybem povrchové

V h

T F

(tvořící) přímky po obrysu plochy S . Povrchová přímka je rovnoběžná se silou F Hydrostatický tlak p působící na vodorovné plochy,

S

T1

pokud se uvažuje jen zemská tíže, je konstantní. Tlaková síla F prochází těžištěm zatěžovacího objemu V .

4.2. Tlakové síly na šikmé rovinné stěny Tlaková síla od kapaliny působící na šikmé a svislé rovinné plochy je dána vztahem

F = r g hT S = pT S = r g V F

pT - hydrostatický tlak v těžišti plochy hT

- svislá vzdálenost těžiště plochy

S

xT

od

hladinové plochy tlaku ovzduší p0 = konst .

V

ht

a

kde:

H2O

je zatěžovací objem omezený následujícími

P

T

xP

plochami: plochou S , na kterou se počítá tlaková síla

§

sklopenou hladinovou plochou tlaku ovzduší

§

válcovou plochou vzniklou opsáním přímky rovnoběžné s hledanou silou F po obrysu plochy S .

D

§

Tlaková síla F je kolmá na plochu S , prochází těžištěm zatěžovacího obrazce a působiště tlakové síly leží vždy pod těžištěm T plochy S . Platí vztah:

xP =

Jy My

= xT +

J yT My

Jy

- moment setrvačnosti plochy S k ose y

J yT

- moment setrvačnosti plochy S k ose y T procházející těžištěm plochy a rovnoběžné s y

M y - statický moment plochy S k ose y , pro který platí M y = xT S

16


Pro plochy nesouměrné k ose xT platí

yt =

J xy My

=

S × xT × yT J xyT + kde My My

J xy - deviační moment k osám x, y J xyT - deviační moment k souřadnému systému s počátkem v těžišti plochy. Rozložením tlakové síly F do os kartézského systému se získají složky Fx , Fy . Svislá složka tlakové síly F y =

r g V y , kde je zatěžovací objem V y je opět určen:

§

plochou S

§

hladinovou plochou tlaku ovzduší

§

válcovou plochou tvořenou svislou přímkou, která opíše plochu S po obrysu. Vodorovná složka tlakové síly F x se rovná tlakové síle na průmět plochy S do svislé roviny

Fx = r g hT S x . Příklad 4.2.1 Stanovte velikost tlakové síly F na kruhové víko výpustě a vzdálenost působiště tlakové síly x p . Určete svislou složku tlakové síly F y . Zadáno: = =

= Vypočtěte:

1m 1.8 m

F

40 deg 1000 kg.m -3

xT

H2O

Výsledky: N m

8914.54 1.83472

Fy = ?

N

6828.93

P D

F =? xp = ?

Řešení:

ht

=

a

D xT a r

F = r .g .hT .S = r .g .xT sin(a ).

x P = xT +

Jt My

F y = F . cos a Dx = xT - x p

p .D 2 4

p .D 4 64 = xT + p .D 2 xT . 4

T

xP

17


Příklad 4.2.2 Stanovte velikost síly F na kruhové víko nádrže, jestliže v připojené trubce je hladina ve výšce h . Vypočtěte vzdálenost Dh působiště P tlakové

p0

síly od těžiště T plochy. Nakreslete zatěžovací obrazec. Měrnou hmotnost vody uvažujte

r. h

Zadáno: 1.4 m 0.8 m 1000 kg.m -3

Vypočtěte: F=? Dh = ?

N m

H2O D

T

Výsledky: 6 903.46 0.02857

P

F

Dh

h= D= r=

Příklad 4.2.3 Stanovte tlakovou sílu F a vzdálenost jejího působiště h p pro čtvercové víko kanálu v hloubce hT pod hladinou ( p 0 = konst.). Určete střední hodnotu tlaku p na víko.

p0

Zadáno: 1.6 m

Vypočtěte: F =? h =? p

p =?

hT

1m -3 1000 kg.m N m

Výsledky: 15 696.00 1.65208

Pa

15 696.00

hP

hT = a= r =

T

p0

P

F

a

H2 O

Příklad 4.2.4 Určete sílu F na páce, kterou se otevře ventil o průměru d uzavírající otvor v tlakové nádobě. Sklon roviny ventilu je

a a pákový převod a . Přetlak na hladině je p n . b

Zadáno:

Vypočtěte: F=?

p

0.25 m 0.6 m 0.85 m

h

n

/

F b

1000 kg.m -3 N

F

l

d

3 0 60 30000 Pa

a

a

d = l = h= a = b a= pn = r =

Výsledky: 6 396.46

18


4.3. Tlakové síly na křivé plochy Tlakové síly na křivé plochy se řeší dvěma metodami, tj metodou složkovou a metodou náhradních ploch. Metoda složková spočívá v určení svislé a vodorovné složky tlakové síly na křivou plochu. Pro svislou složku tlakové síly platí

F y = ò dF y =

ò r g h dS y = r g ò dV y = r g V y

Sy

Vy

Objem V y zatěžovacího obrazce je stejně určen jako při výpočtu svislé

2 dVy

složky F y u šikmé rovinné plochy. Je omezen následujícími plochami: Vy

1. křivou plochou S , na niž se počítá svislá složka tlakové síly 2. hladinovou plochou tlaku ovzduší ( p0 = konst )

dS

3. pláštěm vytvořeným svislými přímkami rovnoběžnými se složkou

S

3

F y nad obrysem křivé plochy S .

1

Objem V y se zpravidla vypočte jako rozdíl objemů dvou základních geometrických těles. Svislá složka

F y prochází těžištěm zatěžovacího objemu V y . Vodorovná složka tlaku je určena rovnicí

Fx = ò dFx =

ò r g h dS x = r g ò dV x = r g V x = r g ht S x

Sx

Vx

S x je plocha průmětu křivé plochy do svislé roviny. Postup výpočtu je stejný jako u šikmé rovinné plochy, tj. vodorovná složka F x na křivou plochu S se rovná tlakové síle na průmět S x křivé plochy do svislé

S

Fx

Fx

Sx

roviny a prochází těžištěm zatěžovacího objemu Vx . Vx

Výslednice tlakové síly na křivou plochu pak je

F=

Fx2 + F y2 a směr výslednice se určí tga =

Fy Fx

. Výslednice tlakové síly F pak prochází

průsečíkem složek Fx , Fy . V případech, kdy křivá plocha má několikanásobný průmět ve směru uvažované složky tlakové síly, je nutno křivou plochu rozdělit na tolik částí, aby každá část měla jednoduchý průmět. Výsledná složka tlakové síly se určí součtem tlakových sil na všechny části křivé plochy ( se zřetelem na znaménko ). Při výpočtu tlakové síly na křivou plochu metodou náhradních ploch se postupuje takto: §

křivá plocha se nahradí rovinnou plochou (nebo více rovinnými plochami) tak, aby křivá plocha a náhradní plocha uzavíraly objem V . Tíha kapaliny v tomto

FN

F S SN G

FN

G

19


objemu je G . §

vypočte se tlaková síla na náhradní plochu FN (případně se určí vektorovým součtem vypočtených tlakových sil na všechny náhradní plochy)

§

tíha kapaliny G se vektorově odečte nebo přičte, jestliže náhradní plochou se objem V přidal nebo odečetl od celkového objemu tekutiny v nádobě.

Příklad 4.3.1 Stanovte tlakovou sílu F na válcový segmentový uzávěr o poloměru R a šířce B . Určete sklon tlakové síly, tj. úhel a . Určete vodorovnou složku F x a svislou složku F y tlakové síly F . R

0.8 m 3m 1000 kg.m -3

Fx = ?

N

9 417.60

Fy = ? F=? a=?

N N deg

14 793.12 17 536.46 57.5184

Řešení:

F

Výsledky:

Fx = r .g .ht S x = r . g.

a

Zadáno: R= B= r = Vypočtěte:

H2O

R .R.B 2

F = F x2 + F y2

F y = r.g.V y = r .g .

a = arctg

pR 2 .B 4

Fy Fx

Příklad 4.3.2 Stanovte tlakovou sílu F na válcový jez o průměru D a šířce B . Určete složky tlakové síly F x a F y a úhel

a.

Zadáno: D= B= r= Vypočtěte:

D Výsledky:

N

49 050.00

N

38 523.75

N deg

F

a

Fx = ? Fy = ? F=? a=?

1m 10 m 1000 kg.m -3

62 369.719 38.146

Příklad 4.3.3 Stanovte velikost tlakové síly F na válcovou plochu u dna nádrže o šířce B . Určete vodorovnou složku tlakové síly F x přímým výpočtem a svislou složku tlakové síly F y .

20

Zadáno: h= R= B= r= Vypočtěte: Fx = ?

Fy = ? F=?

1.2 m 0.8 m 4.0 m 1000 kg.m -3 Výsledky: N

25 113.60

N N

17 946.24 30 866.82

h


F R

S

Příklad 4.3.4 Určete velikost síly F a její sklon

a na válcovou plochu. Nakreslete zatěžovací obrazec pro svislou

složku tlakové síly F y . Vypočtěte vodorovnou složku tlakové síly Fx . Prochází vektor síly F středem S ?

Fy = ? F=? a=?

0.8 m 4m 1000 kg.m -3 Výsledky: N

12 556.80

N

5 389.44

a

Zadáno: R = b = r = Vypočtěte: Fx = ?

F

R

S

N 13 664.53 deg 23.22919 Síla neprochází středem.

Příklad 4.3.5 Stanovte velikost síly F na plochu tvaru polokoule a úhel

a , který svírá s vodorovnou rovinou.

Určete vodorovnou složku tlakové síly Fx . Zadáno: 6.5 m 4m 1000 kg.m -3

Vypočtěte:

Řešení:

R

Výsledky: N

3 205 175.78

N

1 314 943.91

N deg

3 464 423.37 22.31

F

Fx = r .g .ht S = r . g.h.pR 2

F y = r . g.V y = r . g.

F = F x2 + F y2

a = arctg

Fy Fx

a

Fx = ? Fy = ? F=? a=?

h

h= R= r=

14 .p .R 3 23

21


Příklad 4.3.6 Do karburátoru se přivádí benzín potrubím o průměru d přetlakem p p . Stanovte rozměry kulového plováku z podmínky, že hladina benzínu v karburátoru má být v ose otvoru a že plovák má být ponořen z poloviny v okamžiku otevření jehly. Hmotnost jehly je m j a plováku m p . Zadáno:

d= pp= a= b= mj=

mp = r = Vypočtěte: R=?

R

3 mm

a

b

0.04 MPa 45 mm

mp

mj

15 mm 15 g 25 g 800 kg.m -3 m

d

Výsledky: 0.02605

pp

Příklad 4.3.7 Určete tlakovou sílu F na polokulové víko nádoby. Určete směr tlakové síly tj. úhel

a . Prochází

výslednice F bodem S ? Nakreslete zatěžovací obrazec pro Fx a F y .

Řešení:

r

Výsledky: N

13 868.55

N

2 568.25

N deg

14 104.35 10.4915

Fx = r .g .h.p .R 2

F = F x2 + F y2

R

a

Fy = ? F=? a=?

p0

0.5 m 1.8 m 1000 kg.m -3

h

Zadáno: R= h= r= Vypočtěte: Fx = ?

F

1 4 F y = r . g.V y = r .g . . .p .R 3 2 3 Fy a = arctg Fx

Příklad 4.3.8 Jakou silou F je zvedán svršek formy při odlévání duté polokoule? Vypočtěte tlak p A kovu v bodě

A po odlití.

22


Zadáno: 0.4 m 0.023 m 0.8 m

Vypočtěte:

Výsledky:

F=?

N

22 280.43

pA= ?

Pa

28 847.29

H

A

7800 kg.m -3

s

R= s= H= rk =

R

kov r K

F

písek

Příklad 4.3.9 Určete tlakovou sílu F na polokulové víko válcové nádrže, která je naplněna kapalinou o hustotě

r.

Použijte metody náhradních ploch. Výška hladiny je h , poloměr polokoule je R . Nakreslete zatěžovací obrazec pro sílu F :

h= R=

1000 kg.m -3 3m 1m

FN = ? G=? F=?

N N N

Vypočtěte:

p0 h

Zadáno: r =

R

Výsledky:

F

92 456.99 20 546.00 71 910.99

r

Příklad 4.3.10 Určete výsledný tlak vody na plochu polokulového víka, které zakrývá kruhový otvor v šikmé stěně nádoby. Těžiště otvoru je v hloubce h , průměr otvoru je d . Šikmá stěna svírá s vodorovnou rovinou úhel

a . Použijte metody náhrad. ploch.

Zadáno: 2.5 m 0.4 m 45 o 1000 kg.m -3

Vypočtěte:

FN = ? G=? F=? Řešení:

b

h

S

a

h= d= a= r=

F T

Výsledky: N

3 081.90

N N

164.37 2968.0

FN = r .g.ht .S N = r .g.h.

d

p .d 2 4

G = r . g.V = r .g .

F = FN - G Þ F = FN2 + G 2 - 2 FN .G.cosa

14 2 p .r 3 = r .g . p .r 3 23 3

23


5. Relativní pohyb kapaliny 5.1. Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený

tga =

V závislosti na zrychlení se určí sklon hladinových ploch

a . Poloha hladinové plochy g

atmosférického tlaku ovzduší (nebo daného tlaku) se určí podle následujících podmínek §

kapalina za pohybu nepřetéká z nádoby, pak je objem tekutiny v nádobě před pohybem a za pohybu stejný ( V = konst ).

§

kapalina za pohybu přetéká, pak hladina tlaku ovzduší prochází okrajem nádoby, kde kapalina začala přetékat. a

a

a

Po vyšetření hladinové plochy tlaku ovzduší za relativního klidu kapaliny se řeší úlohy stejně jako u nádoby s kapalinou za klidu. Pro tlak v libovolném místě platí p =

r g h , kde h je svislá vzdálenost

bodu od hladiny tlaku ovzduší. Tlaková síla kapaliny F na plochu S je určena obecně F =

r gV ,

kde V je objem zatěžovacího obrazce. Zatěžovací obrazec je určen podle stejných pravidel jako dříve ( hladinová plocha p0 = konst . je šikmá rovina ). Příklad 5.1.1 Vozík ve tvaru hranolu se pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením a . Jeho objem je rozdělen přepážkou na dvě části, v nichž je voda ve výši h1 , h2 . Šířka vozíku je B . Určete výslednou tlakovou sílu F na přepážku.

Vypočtěte: F =? 1

F2 = ? F=? x1 = ? x2 = ?

1.75 m 1m -1 3.924 m.s 1000 kg.m -3 N

Výsledky: 9 613.80

N

11 784.26

N m

2 170.46 0.40

m

0.20

x2 F2

F1

L

h2

2/3L

x1

h2 = B= a= r=

a 3m 1m

h1

Zadáno: L= h1 =

24


Řešení:

(h1 + x1 )

x1 = tga

L , 3

F1 = r .g .(h1 + x1 )

x 2 = tga

L , 6

F2 = r .g.(h2 - x 2 )

2

B

(h2 - x 2 ) 2

F = F2 - F1

B

Příklad 5.1.2 V uzavřeném sudu je kapalina o hustotě

r . Sud se na podvozku pohybuje rovnoměrně zrychleným

pohybem se zrychlením a . Určete tlakovou sílu F na levé kruhové dno, je-li délka sudu l a průměr

d . V sudu je v nejvyšším bodě objemu odvzdušňovací otvor, v němž je tlak ovzduší p = p0 (hladinová plocha atmosférického tlaku musí procházet odvzdušňovacím otvorem, což je rozhraní mezi kapalinou a ovzduším). a

a

p0

d

Zadáno: l= 1m d= 0.6 m p = 101325 m a = 2.943 m.s-1 -3 r= 800 kg.m Vypočtěte: N F=?

F

Výsledky: 1 330.71

l

Příklad 5.1.3 Nádrž ve tvaru hranolu s malým zavzdušňovacím otvorem ve víku u přední hrany se na podvozku pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením a . Nádrž byla za klidu zcela zaplněna kapalinou o hustotě

r . Stanovte za pohybu tlakovou sílu F1 působící na dno nádrže, sílu F2 na víko

a sílu F3 na zadní stěnu nádrže. Zadáno: a=

a

Vypočtěte:

F1 = ? F2 = ? F3 = ?

p0

F2 h

b= c= h= r=

a

4.905 ms-2 0.5 m 1m 0.5 m 720 kgm -3 Výsledky: N

2 648.70

N

882.90

N

1 324.35

F3

F1 c

5.2. Pohyb rovnoměrně otáčivý Pro určení tlakové síly na stěny při rovnoměrném otáčivém pohybu nádoby s kapalinou nutno definovat výšku H p rotačního paraboloidu na poloměru R , pro kterou platí

Hp

u 2 ( R × w )2 = = 2g 2g

25


r je výška paraboloidu určena analogickou rovnicí h p =

Na jiném poloměru

u 2 (r × w ) 2 = 2g 2g

Poloha hladinové plochy tlaku ovzduší se vyšetří pro následující případy: §

w

Nepřetéká-li tekutina za pohybu z nádoby, je objem kapaliny v nádobě před pohybem a za pohybu stejný Hp

U otevřené válcové nádoby, pokud kapalina nevytéká,

hp

§

Hp /2

( V = konst ). hladina se může volně zvednout, půlí původní hladina

h p , protože objem rotačního

výšku paraboloidu

r

R

paraboloidu je roven polovině objemu opsaného válce. Při přetékání se ustálí hladina tak, že prochází místem, kde tekutina začala přetékat, tj. okrajem nádoby. Po vyšetření hladinové plochy tlaku ovzduší za relativního klidu kapaliny se řeší úlohy stejně jako u nádoby s kapalinou v klidu. Tlak v kapalině je p =

rgh , kde

h je svislá vzdálenost daného bodu od

hladiny tlaku ovzduší. Tlaková síla F od kapaliny na plochu S je F =

r g V , kde V je zatěžovací

objem dříve určený (hladinová plocha p0 = konst je rotační paraboloid). Příklad 5.2.1 Stanovte otáčky nádoby n , při kterých se hladina p 0 = konst. dotkne dna nádoby a nakreslete hladinovou plochu atmosférického tlaku. Vyteče zčásti kapalina z nádoby? Když ano, jaký objem V vyteče? Jaký relativní tlak p A bude v místě A na poloměru rA při rotaci nádoby s kapalinou?

0.1 m 0.1 m 0.025 m 1000 kg.m

Vypočtěte:

H p=? n= ? pA = ? V =?

Řešení:

h

h= d= rA = r =

n

0.0667 m

-3

h0

Zadáno: h0 =

Výsledky: m -1 s Pa m3

0.10 4.459 245.40 0.000131

h ì ï2h0 pro h0 á 2 Hp =í h ïh pro h0 ³ 2 î

A rA d

1 ì je - li h0 £ .h ïï0 2 V =í 2 2 ïp .d h - 1 p .d h je - li h ³ 1 .h 0 0 ïî 4 2 4 2

26


2

æd ö ç ×w ÷ (d × 2pn )2 Þ n = 2 ø Hp = è = 2g 8g p A = r .g .h A = r .g.

H p .8 g

(2p )2 d 2

(2p .n.rA .2)2 8g

Příklad 5.2.2 Válcová nádoba o průměru d a výšce h je zaplněna kapalinou do výšky h0 ode dna nádoby. Určete maximální otáčky, při kterých kapalina nevyteče z nádoby a jaká bude výška paraboloidu. Zadáno:

n

6.667 cm 10 cm 4 cm

H p= ? n= ?

Výsledky: m s-1

h

Vypočtěte:

0.06666 9.10066

h0

h0 = h= d=

d

Příklad 5.2.3 Nádoba je až po otvor naplněna vodou. Určete výšku rotačního paraboloidu hladinové plochy h p , vypočítejte tlakovou sílu F1 na dno a F2 na víko nádoby, tlak p1 a p 2 v místech 1 a 2 při rotaci nádoby otáčkami n . Nakreslete hladinovou plochu atmosférického tlaku při rotaci. Otvor ve víku je velmi malý. Vypočítejte úhlovou rychlost

n

0.3 m 0.2 m 2 ot.s-1 1000 kg.m

2

-3

-1

s

Výsledky: 12.57

H p= ?

m

F1 = ? F2 = ? p1 = ? p2 = ?

N

104.87

N

12.41

Pa

3 733.00

Pa

790.00

Řešení:

0.08053

w = 2pn F1 = rg

h

Zadáno: h= d= n= r= Vypočtěte: w=?

w.

1 d

Hp = 2

1 p .d æ ö çh + H p ÷ 4 è 2 ø

(

(w .d )2 8g

)

p1 = h + H p rg

27


p .d 2 H p F2 = rg 4 2

p 2 = H p rg

Příklad 5.2.4 Stanovte otáčky n nádoby, při nichž se hladina atmosférického tlaku dotkne dna. Určete tlak p A v bodě A při rotaci nádoby s kapalinou. Nádoba má ve víku malý otvor. Nakreslete hladinovou plochu atmosférického tlaku při rotaci. Zadáno:

n

1.1 m 0.9 m

pA = ?

s

-1

Výsledky: 1.75160

Pa

29 675.29

h

Vypočtěte: n= ?

1

1.4 m 1000 kg.m -3 h2

h1 = h2 = D= r=

A

D

Vkapaliny

Řešení:

h1 =

¢ = Vvzduchu Þ

(wd )2 8g

Þn=

h -h p .D 2 p .d 2 (h1 - h2 ) = h1 Þ d = D 1 2 2 4 8 h1

8 gh1 1 w w 2D2 , p A = rgh A = rg = 8g 2p d 2 2p

Příklad 5.2.5 Nádoba je naplněna po okraj kapalinou. Vypočtěte objem kapaliny V , který přeteče otvorem ve víku nádoby při její rotaci otáčkami n , při kterých se hladinová plocha p 0 =konst dotkne dna. Určete relativní tlak p A v bodě A při rotaci nádoby. Kolikrát se zvětší tento tlak ve srovnání s původním tlakem za klidu.

pA= ? j=?

n

0.15 m 0.3 m 0.25 m 1000 kg.m -3 s-1 m3 Pa

d

Výsledky: 4.69979 0.00221 9 809.99 4.00

h

Zadáno: d= D= h= r= Vypočtěte: n= ? V =?

D

A

Cvičení z mechaniky tekutin

Recommend Documents