CVIC ENI Z MECHANIKY TEKUTIN

VYSOKA S KOLA BA NSKA í TECHNICKA UNIVERZITA OSTRAVA Fakulta strojnı katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı

hC1

∆h C

6

5

h C2

hV2

3 H

hS

ρHg

h V1

∆h V

2

C 1

4

CVIC ENI Z MECHANIKY TEKUTIN

Sylva Drabkova í Milada Kozubkova

Ostrava 2002

Obsah 1. U vod

1

2. Zakladnıpojmy

2

2.1. Fyzikalnıvlastnosti tekutin

2

Hydrostatika

8

3. Tlakove pomˇ ry v kapalinˇ za klidu

8

3.1. Hydrostaticky tlak

8

3.2. Hladinove plochy

11

3.3. Pascalu v zakon

13

4. Tlakove sı ly

15

4.1. Dno nadoby

15

4.2. Tlakove sı ly na sikme rovinne stˇ ny

15

4.3. Tlakove sı ly na krive plochy

18

5. Relativnıpohyb kapaliny

23

5.1. Pohyb prı mocary rovnomˇ rnˇ zrychleny

23

5.2. Pohyb rovnomˇ rnˇ otacivy

24

Hydrodynamika

28

6. Zakladnıpojmy a rozdˇ lenıproudˇ nı

28

6.1. Rozdˇ lenıproudˇ nı

28

7. Proudˇ nıdokonalych kapalin

32

7.1. Rovnice kontinuity

32

7.2. Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu

33

8. Proudˇ nıvazke tekutiny

41

8.1. Proudˇ nıskutecnych kapalin

41

8.2. Bernoulliho rovnice pro skutecnou tekutinu

41

9. Laminarnıproudˇ nı

44

9.1. Proudˇ nıv trubici kruhove ho pru rezu

44

9.2. Proudˇ nımezi paralelnı mi deskami

46

9.3. Proudˇ nımezi paralelnı mi deskami s unasivym pohybem

47

9.4. Proudˇ nıvalcovou mezerou

48

9.5. Ste kanıpo svisle stˇ nˇ

49

9.6. Proudˇ nıklı novou mezerou tvorenou rovinnymi deskami

50

10. Turbulentnıproudˇ nı 10.1. Turbulentnıproudˇ nıv potrubı 11. Hydraulicky vypocet potrubı

51 51 53

11.1. Trecıztraty v potrubı

53

11.2. Mı stnıztraty

61

11.3. Jednoduche potrubı

65

11.4. Gravitacnıpotrubı

70

11.5. Slozene potrubı

71

3

Drabkova, S., Kozubkova, M.: Cvicenız mechaniky tekutin

11.6. Charakteristika potrubı 12. Vytok z nadob, prepady

73 77

12.1. Stacionarnıvytok kapaliny malym otvorem

77

12.2. Vytok velkym otvorem v bocnıstˇ nˇ

78

12.3. Vytok ponorenym otvorem

79

12.4. Vytok pri soucasne m prı toku

80

12.5. Vyprazdnovanınadob

81

12.6. Prepady

83

13. Proudˇ nıv rotujı cı m kanale

85

13.1. Bernoulliho rovnice pro rotujı cıkanal

85

13.2. Odstredive cerpadlo

87

13.3. C erpadlo a potrubı

89

14. Neustalene proudˇ nıv potrubı

97

14.1. Bernoulliho rovnice pro neustalene proudˇ nınestlacitelne kapaliny

97

14.2. Rozbˇ h proudu v potrubıpri vytoku z nadoby

98

14.3. Hydraulicky raz

103

15. Vˇ ta o zmˇ nˇ hybnosti

107

15.1. Deska v klidu

107

15.2. Pohybujı cıse deska

109

15.3. Rotacnıtˇ leso

110

15.4. Peltonovo kolo

110

15.5. Silovy ťcinek proudu na potrubı

111

16. Obte kanıtˇ les 16.1. Odpor tˇ les a tlous„ka meznıvrstvy 17. Proudˇ nıv korytech 17.1. Rovnomˇ rny pru tok 18. Fyzikalnıpodobnost a teorie modelovanı 18.1. Hydrodynamicka podobnost pri proudˇ nıkapalin 19. Prı lohy

113 113 116 116 119 119 121

19.1. Hustota vody, vzduchu a rtuti, dynamicka viskozita a kinematicka viskozita vody a vzduchu v zavislosti na teplotˇ

121

19.2. Hustota suche ho vzduchu v zavislosti na tlaku a teplotˇ

122

19.3. Napˇ tınasycene vodnıpary pri teplotach 95 140 0C

122

19.4. Dynamicka viskozita vody a pary v zavislosti na teplotˇ a tlaku

123

19.5. Kinematicka viskozita vody a pary v zavislosti na teplotˇ a tlaku

124

19.6. Fyzikalnıvlastnosti plynu pri 0 0C a tlaku 0.1MPa, pevnych latek a kapalin pri 18 0C

125

19.7. Absolutnıdrsnosti potrubı

126

19.8. Stupen drsnosti pri proudˇ nıv otevrenych kanalech

126

19.9. Rychlostnısoucinitel C podle Pavlovske ho

127

19.10. Tˇ zistˇ a momenty setrvacnosti nˇ kterych ploch a objemy nˇ kterych tˇ les

128

19.11. Soucinitele odporu tˇ les 20. Laboratornıcvicenız hydromechaniky

129 130

20.1. Mˇ renıtrecıztraty v potrubı

130

20.2. Experimentalnıstanovenıcharakteristiky cerpadla

132

20.3. Mˇ renırychlostnı ho profilu volne ho kruhove ho proudu

135

21. Prehled pouzitych oznacenı

138


1

1. U vod Skripta obsahujısbı rku resenych i neresenych prı kladu , te maticky usporadanych. Oznacenı jednotlivych kapitol a podkapitol navazuje na skripta ŠJanalı k, J., S „ava, P.: Mechanika tekutin–, vydane soucasnˇ na VS B-TU Ostrava. U vod kazde kapitoly je vˇ novan strucne mu prehledu teorie a vyctu nezbytnˇ nutnych vztahu a konstant, ktere budou slouzit pro prı pravu na vypoctova cvicenı . Cı lem cvicenıje prohloubenıa uplatnˇ nıteoretickych poznatku zı skanych studiem a na prednaskach pri resenıpraktickych ťloh. Zaroven slouzıcvicenık prı pravˇ na zkousku z dane ho predmˇ tu. Soucastıcvicenız hydromechaniky jsou laboratornıťlohy, ve kterych se studenti seznamıs prı pravou mˇ renı , jeho provedenı m a vyhodnocenı m. Ve skriptech jsou uvedeny navody k mˇ renıa navrhy tabulek pro zpracovanımˇ renıa vyhodnocenıhledanych velicin. Cejchovnıdiagramy jsou zpracovany na zakladˇ mˇ renıa pro snadne zpracovanıjsou vyhodnoceny metodou nejmensı ch ctvercu do funkcnı ch zavislostı . Sbı rku prı kladu doplnujı v prı loze potrebne tabulky, grafy a zavislosti vyhodnocene statisticky z tabulek pro snadnˇ jsıpouzitı , ktere doplnujıpodle potreb a zkusenostızı skanych ve vyuce. Ve skriptech je du slednˇ pouzı vana soustava jednotek SI. Oznacenıvelicin je prevzato ze skript ŠJanalı k, J., S „ava, P.: Mechanika tekutin–. Upozornujeme na podobnost znacek rychlosti kinematicke viskozity ν , ktere vyplyvajız podobnosti pı sma v aplikovane m editoru rovnic.

v a

VS B-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarı zenı

2

2. Zakladnı pojmy Tekutina je pojem zahrnujı cıkapaliny a plyny. Je to spojite prostredı , ktere je homogennıa izotropnı(jeho vlastnosti jsou ve vsech smˇ rech stejne ). Kapaliny se odlisujıod plynu a par konstantnı ci te mˇ r konstantnımˇ rnou hmotnostı , tj. hustotou ( ρ = konst ) a jsou tedy nestlacitelne ci velmi malo stlacitelne . Zavadıse pojem kapaliny idealnı , coz je kapalina bez vnitrnı ho trenıa nestlacitelna.

2.1. Fyzikalnı vlastnosti tekutin Mˇ rna hmotnost neboli hustota tekutiny je hmotnost objemove jednotky tekutiny podle vztahu

ρ=

m V

ρ = ρ (T ) pribliznˇ linearnˇ . Mˇ rna hmotnost (hustota) plynu

Hustota kapalin je zavisla na teplotˇ

zavisınejen na teplotˇ , ale te z vyznamnˇ na tlaku rovnicı ve tvaru

pV = mrT ⇒ ρ =

ρ = ρ ( T , p) a pro idealnıplyn je dana stavovou

p (kde r je mˇ rna plynova konstanta). Zavislosti mˇ rne rT

hmotnosti technicky du lezitych latek jsou uvedeny v prı loze 19. Viskozita tekutiny se projevuje pri proudˇ nıskutecnych tekutin. Mı ra velikosti vnitrnı ho trenı charakterizuje tekutost ci fluiditu. S vyuzitı m Newtonova vztahu pro tecne napˇ tılaminarnı ho proudu lze dynamickou vazkost η vyjadrit takto:

∂v ∂y

τ =η

m vztahu, tj. dynamicke viskozity, se definuje Jednotka soucinitele η v predchozı

[η ] =

[τ ] [ y ] N.s kg = 2 = = Pa.s [v] m.s m

Soustava jednotek CGS (stale pouzı vana v prı ruckach a tabulkach) zavadıpro jednotku dynamicke viskozity oznacenı1 P (Poise), coz je

1P = 1 g cm −1s −1 = 0,1 Pa.s .

Vazkost (viskozita) se vyjadruje dale soucinitelem kinematicke vazkosti (viskozity) s prı slusnymi jednotkami

ν=

η ρ

[ν ] =

kg m 3 = m 2 s −1 m s kg

V praxi je dosud stale du lezita jednotka kinematicke viskozity v soustavˇ CGS Ř 1 Stokes, pro niz platı1S

= 1 cm 2 s −1 = 10 −4 m 2 s −1 .

Z mˇ renıvazkosti kapalin Englerovym viskozimetrem vyplyva dalsıjednotka viskozity Engleru v stupen, ktera se definuje se jako pomˇ r doby vytoku

τ objemu 200 cm3 zkoumane kapaliny pri dane o

teplotˇ k dobˇ vytoku destilovane vody o teplotˇ t = 20 C, tedy

νE =

τ τ H 2O

[o E ]

3


Viskozitu vyjadrenou v Englerovych stupnı ch lze prevadˇ t na kinematickou viskozitu v SI jednotkach pomocıempiricke ho vztahu

 6 ,31   ⋅ 10 −6 [m 2 s −1 ; o E] ν =  7 ,31ν E − ν E   Viskozita je obecnˇ funkcıvelicin stavu, tj. tlaku a teploty. Mimo zavislosti pro vodu a vzduch, ktere jsou uvadˇ ny v prı lohach 19, jsou technicky du lezite zavislosti dynamicke viskozity na teplotˇ pro mineralnıoleje. Tyto zavislosti lze dobre aproximovat exponencialnıfunkcıve tvaru

η = η0 ⋅ e kde

( − k ⋅T )

nebo

η = η0′

A + t ⋅e B

η 0 , η 0′ , k , A, B jsou konstanty, ktere je nutno pro jednotlive druhy oleju urcit experimentalnˇ a

statisticky napr. metodou nejmensı ch ctvercu (napr. pomocısoftware EXCEL). Objemova stlacitelnost tekutin je schopnost zmensovat svu j objem pri zvysenıvnˇ jsı ho tlaku. Vyjadruje se soucinitelem stlacitelnosti

δ =−

1 V

[ ]

 ∂V  ∆V   = Pa −1  ∂ p  T =konst V .∆p

ktery vyjadruje zmˇ nu objemu kapaliny

∆V = V − V0 pripadajı cına jednotku pu vodnı ho objemu

V pri zmˇ nˇ tlaku ∆p = ( p 0 − p ) . V0 a p 0 jsou objem a tlak tekutiny po stlacenı . Prevracena hodnota soucinitele objemove stlacitelnosti δ je modul objemove pruznosti kapaliny

K=

K

1 [ Pa] , ktery zavisına stavovych velicinach, tj. tlaku a teplotˇ . δ

Soucinitel objemove roztaznosti kapalin vyjadruje schopnost kapaliny zvˇ tsit svu j objem pri zvysenıteploty

β=

1 V

[

 ∂V  ∆V   = K −1 , ∂ t V . ∆ t   p = konst

a je definovan zmˇ nou objemu kapaliny pri zmˇ nˇ teploty objemu

O

C −1

]

∆V = V0 − V pripadajı cına jednotku pu vodnı ho objemu V

∆t = (t 0 − t ) . V0 a t 0 jsou objem a teplota kapaliny po zahratı . Pro vypocet

V0 po roztazenız pu vodnı ho objemu V lze pouzı t vztah V0 = V (1 + β .∆ t ) . Povrchove napˇ tı σ pu sobına rozhranımezi kapalinou a jinou latkou. Definuje se jako tzv.

kapilarnıkonstanta

σ =

F pn l

[Nm ], kde F −1

pn je vysledny ťcinek povrchovych sil mezi molekulami

kapaliny a jine latky a l je de lky rozhranı . Kapilarnıjevy jsou du sledkem povrchove ho napˇ tı . Vyskytujıu trubicek velmi male ho pru mˇ ru Ř kapilar, nebo v pore znı m prostredı . Kdyz adheznısı ly jsou vˇ tsınez koheznı , vystupuje kapalina v kapilare do vysky h . V opacne m prı padˇ , kdy koheznısı ly jsou vˇ tsınez adheznı , zu stava kapalina v kapilare o vysku h nı ze nez je hladina okolnıkapaliny. Kapilarnıvysky h se dajıspocı tat z podmı nky rovnovahy mezi gravitacnı mi silami a povrchovymi silami:


4

πdσ =

4σ π 2 d hρg , odtud h = 4 ρgd

Prıklad 2.1.1 Ve zcela zaplnˇ ne tlakove nadrzi je voda o tlaku atmosfe ricky, tj. Zadano: p abs. =

p 0 = 1 bar = 105 Pa abs. Urcete objem vody v nadrzi pri zanedbanıpruznosti nadoby.

10 bar 3 36 dm 2000 MPa

∆V = K =

V=

Resenı :

p . Po vypustˇ nıobjemu ∆V vody klesl tlak na tlak

Vypoctˇ te: V =?

m

3

Vysledek: 80.00

K∆V ∆p

Prıklad 2.1.2 Pri tlakove zkousce potrubıo pru mˇ ru d a de lce

l klesl za hodinu tlak z p1rel. na p 2rel . . Urcete,

kolik vody vyteklo netˇ snostmi potrubı , je-li potrubıabsolutnˇ tuhe . Zadano: d =

400 mm

Vypoctˇ te: ∆V = ?

m

3

Vysledek: 0.06283

2 km 2000 MPa 7.5 MPa

l = K = p1rel. = p 2rel . =

7 MPa

Prıklad 2.1.3 Potrubıpru mˇ ru d a de lky l je naplnˇ no vodou pri atmosfe ricke m tlaku. Jak velky objem ∆V je nutno vtlacit do potrubıpri tlakove zkousce, aby se tlak zvysil o hmotnost vody je

ρ , modul objemove pruznosti kapaliny je K . Urcete soucinitel stlacitelnosti δ a

teoretickou rychlost zvuku

K = ρ = Vypoctˇ te: ∆V = ? δ =? at = ?

at . ∆V

70 m 450 mm 0.5 MPa

∆p

2E+09 Pa -3 1000 kg.m Vysledky: 3

m -1 MPa m.s

-1

0.00278 0.00050 1414.21

d

Zadano: l = d = ∆p =

∆p ? Potrubıpovazujte za tuhe , mˇ rna

l

5


Prıklad 2.1.4 Prı stroj na kontrolu manometru ma sroub se zavitem M20 x 1,5. Vnitrnıobjem ma tvar valce o pru mˇ ru

D a de lce l . Urcete zmˇ nu tlaku pri zasroubovanısroubu o 3 otacky vretena. Vypoctˇ te

teoretickou rychlost zvuku

at .

Zadano: = = = = = Vypoctˇ te:

D

30 mm 100 mm 2000 MPa -3 1000 kg.m 1.5 mm

M20x1.5

p

D l K ρ s

Vysledky:

∆V = ? V =? ∆p = ? at = ?

3

m 3 m MPa m.s

0.0000014 0.000071 39.43662

-1

l

1414.21

Prıklad 2.1.5 Stanovte posunutıpı stu ∆l hydraulicke ho valce vlivem stlacitelnosti kapaliny pri zatı zenıpı stnice silou

F . Urcete teoretickou rychlost zvuku v oleji a t , vypoctˇ te soucinitel stlacitelnosti kapaliny δ .

Zadano: = = = =

= Vypoctˇ te:

∆p ∆l at δ

1000 mm 80 mm 28000 N -3 900 kg.m 1300 MPa

l

olej K, ρ

Vysledky:

=?

MPa

5.57043

=? =?

m -1 ms

0.00428 1 201.85

=?

MPa

-1

F

d

l d F ρ K

∆l

0.00077

Prıklad 2.1.6 0

Kapalina ma viskozitu 10 E a mˇ rnou hmotnost

ρ . Urcete jejıkinematickou a dynamickou viskozitu

v soustavˇ SI. Zadano:

ν= ρ=

Vypoctˇ te: 0

10 E 0.89 kg.dm

-3

ν=? η= ?

Vysledky: Pa.s 2 -1

ms

0.0000725 0.0645250

Resenı : Kinematicka viskozita se urcız empiricke ho vztahu viskozita ze vzorce

η =ν ⋅ ρ .

ν = 0.0731⋅ 0 E −

0.0631 0

E

a dynamicka


6

Prıklad 2.1.7 Zavislost dynamicke viskozity na absolutnıteplotˇ je dana tabulkou. Najdˇ te koeficienty zavislosti ve tvaru o

η0 a k te to

η = η 0 ⋅ e (− k ⋅T ) pomocılinearnıregrese a urcete hodnotu viskozity pro teplotu t =

o

24 C a 58 C. Zadano:

t [oC]

Vypoctˇ te: η0 = ? η [Pa.s]

Resenı :

Vysledky: 16872.08

Teplota a viskozita v prvnı ch

K Pas

-0.0614571 0.000197739

dvou sloupcı ch se prekopı ruje do

Pas

4.25433E-05

prepocı ta

Pas -1

k=?

23 28

2.25E-04 1.52E-04

32

1.18E-04

38

7.89E-05

T = t + 273.15 . Vytvorıse graf

43

5.89E-05

zavislosti viskozity na teplotˇ ,

48

4.52E-05

prolozı se spojnice trendu ve

50

4.32E-05

tvaru exponencialnı funkce a

vyhodnotıse koeficienty

η 24 = ? η 49 = ?

EXCELu, na

teplota

se

absolutnı ,

tj.

η0 a k . Zavislost viskozity na teplote

η [Pa.s] 0.00025

0.00020

0.00015

y = 16872.0799436e-0.0614571x R2 = 0.9930166 0.00010

0.00005

0.00000 290

295

300

305

310

315

320

325

T [K]

Prıklad 2.1.8 Stanovte povrchove napˇ tı σ vody, jestlize ve sklenˇ ne kapilare o pru mˇ ru d byla namˇ rena kapilarnıelevace h .

7


Zadano:

Vypoctˇ te: σ =? Resenı :

h=

15 mm 2 mm -3 1000 kg.m N.m

d h

h = d = ρ=

Vysledky: 0.07358

-1

4σ hρgd ⇒σ = ρgd 4

Prıklad 2.1.9 Valcova nadrz o rozmˇ rech d a h je zcela naplnˇ na vodou o atmosfe ricke m tlaku o teplotˇ Urcete zmˇ nu tlaku v nadrzi pri zmˇ nˇ teploty na hodnotu

t0 .

t1 . Soucinitel teplotnıroztaznosti vody je

β a modul pruznosti vody je K . Poddajnost stˇ n nadoby zanedbejte. Zadano: d = h = K =

t0 = t1 =

Resenı : 1m 3m 2000 MPa O 20 C

K=

V0 ∆p K∆V ⇒ ∆p = ∆V V0

V = V0 (1 + β∆t ) = V0 + V0 β ∆t = V0 + ∆V ⇒ ∆V = V0 β ∆t

O

30 C

O -1 β = 0.00064 ( C)

Vysledky:

Vypoctˇ te: ∆p = ?

MPa

∆p =

KV 0 β ∆t = Kβ (t1 − t 0 ) V0

12.80

Prıklad 2.1.10 V plynojemu se uchovava plyn o objemu V pri teplotˇ (r

t a pretlaku p . Mˇ rna plynova konstanta je r

= R µ , kde µ je molekulova hmotnost, R je univerzalnıplynova konstanta) a p 0 je barometricky

tlak. Urcete hmotnost plynu

m v plynojemu, latkove mnozstvıplynu n a objem plynu Vn pri teplotˇ 0

O

C a tlaku 101325 Pa (tj. pri normalnı ch podmı nkach).

Zadano: Vypoctˇ te: V = 100000 m3 m=? 0 t = 20 C n= ? p = Vn = ? 2.4 kPa -1 -1 r = 657 J.kg K p0 = 984 hPa

R = Reseni:

-1

kg kmol 3

mn

Vysledky: 52 336.57 4 135.81 92 694.77

-1

8314 J.kg K

pV = mrT ⇒ m =

pV rT

p nVn pV pV Tn = ⇒ Vn = Tn T T pn

pV = nRT ⇒ n =

pV RT


8

Hydrostatika 3. Tlakovč pomery v kapaline za klidu Tlak kapaliny je tlakova sı la, pu sobı cına jednotku plochy. Je-li tlak na plose rovnomˇ rnˇ rozlozen, je dan pomˇ rem

p=

F dF , pri nerovnomˇ rne m rozlozenıtlaku je dan obecnˇ p = . Jednotkou S dS 2

-2

tlaku v soustavˇ SI je 1 Pascal, tj. sı la 1 N pu sobı cına plochu 1 m neboli 1Pa=1Nm .

3.1. Hydrostaticky tlak Hydrostaticky tlak jako ťcinek kapalinove ho sloupce se vypocte ze vztahu

p=ρ gh Tlak jako stavova velicina se vyjadruje absolutnıa relativnıhodnotou. Absolutnıtlak se vztahuje k absolutnı mu vakuu. Relativnıtlak (podtlak resp. pretlak) se vztahuje k libovolnˇ zvolene hodnotˇ , nejcastˇ ji ke hladinˇ atmosfe ricke ho tlaku

p 0 a platıvztah

pabs = prel + p0 Ve spornych prı padech je nutno za jednotkou oznacit, zda se jedna o tlak absolutnıci relativnı . Tlakova diference je rozdı l tlaku ve dvou mı stech 1, 2

∆ p = p1 − p2 Tlaky

p1, p2 je nutno dosazovat shodnˇ , tj. oba absolutnınebo oba relativnı , protoze rozdı l dvou

tlaku udanych v absolutnı ch ci relativnı ch jednotkach je stejny. Vztah mezi absolutnı m a relativnı m tlakem je obdobou vztahu mezi absolutnıa relativnıteplotou

T = t + 273

vztah patrny obrazku

p1r

p1

p2a

p1a p0

p2

(podtlak)

barometricky tlak -p2r

p0

0

vakuum

(pretlak)

p [Pa]

[ K ] . Schematicky je tento

9


Prıklad 3.1.1 Vypocı tejte tlak pod hladinou vody v hloubce h , je-li na hladinˇ hustota

ρ . Uvazujte nestlacitelnou a

stlacitelnou kapalinu. Vysledky porovnejte. Zadano:

p0 =

8000 m 0 MPa

= =

2100 MPa -3 1020 kg.m

=

h

h p0 K ρ0

Vypoctˇ te:

pnestl = ? p stl = ? ρ1 = ? Resenı :

MPa

80.04960

MPa

81.55565 1060.42

V prı padˇ nestlacitelne kapaliny

ρ = konst a pnestl = − ρ g h . V prıpadˇ stlacitelne p − p0

kapaliny se predpoklada zavislost

ρ=

dp = − ρg .dh = − ρ 0e

K

ρ gh   dh , a tedy p = − K .ln1 + 0  a K  

ρ0 . Vyska h se zadava zapornˇ vzhledem k definovane mu souradne mu syste mu ρ0 g h 1+ K

Prıklad 3.1.2 Urcete zmˇ nu tlaku v atmosfe re v zavislosti na nadmorske vysce. Uvazujte nasledujı cıvarianty vypoctu vzhledem k definici hustoty: a) hustota

ρ =konst.

z

z

b) hustota se mˇ nıv zavislosti na pribliznˇ urcene m modulu stlacitelnosti c) hustota se urcıze stavove rovnice, predpoklada se polytropicka zmˇ na

γ

d) hustota se urcıze stavove rovnice, pritom teplota je konstantnı(izotermicka zmˇ na) e) hustota se urcıze stavove rovnice, pritom

p0

p

T0

T

teplota se mˇ nılinearnˇ Resenı :

Zadano: hustota atmosfe ricky tlak teplota mˇ r.plyn.konstanta polytrop. exponent modul pruznosti gradient teploty

-3 1.226 kg.m ρ0 = p 0 = 101325 Pa 288.15 K T0 = -1 -1 r= 287 J.kg .K n= 1.23 K = 141725.6 Pa γ = -0.0065 K.m-1

V nasledujı cı tabulce je prehled

vztahu , pouzitych v jednotlivych variantach. Tlak nenıobecnˇ konstantnı , proto je zapsan v diferencialnı m tvaru. Vztah pro tlak se zı ska integracı a integracnı konstanta se urcı z podmı nek

ρ = ρ 0 , T = T0 , p = p 0 . Teplota

se uvazuje konstantnı , jen v prı padˇ e) je


10

definovana jako linearnızavislost.

Nestlac itelna tekutina a)

ρ ρ = ρ0

T T = T0

p dp = − ρ 0 g .dh p = p 0 − ρ 0 gh

Stlac itelna tekutina

b)

ρ = ρ0e

p − p0 K

T = T0

K = ρ0c 2 c)

1

 p n  ρ = ρ 0   p0 

p − p0 K

dp = − ρg .dh = − ρ 0 e dh ρ gh   p = p 0 − K . ln1 + 0  K   1

T = T0

 p n  g .dh dp = − ρg.dh = − ρ 0  p 0    n −1 g p = p 0 1 − n rT0 

d)

ρ=

p rT0

T = T0

dp = − ρg.dh = − p = p0 e

e)

ρ=

p r (T0 − γh )

T = T0 − γh

−

n

 n −1 h  

p dh rT0

gh rT0

dp = − ρg .dh = −  γh  p = p 0 1 −   T0 

−

p dh r (T0 − γh ) g rγ

Vyse uvedene vztahy lze tabelovat v EXCELu a zobrazit pro porovnanıtlak v zavislosti na vysce h. Zavislost tlaku na vysce v atmosfčre

h [m] 2000

a) konst. hustota

1800

b) modul pruznosti K 1600 c) polytropie 1400

d) izotermie

1200

e) teplota je funkcıvysky

1000 800 600 400 200 0 75000

80000

85000

90000

95000

100000

105000

p [Pa]

11


3.2. Hladinovč plochy Hladinove plochy jsou hladiny s konstantnıhodnotou tlaku

p = konst , dp = 0 , prı padnˇ dalsı ch

skalarnı ch velicin (teplota, hustota, mˇ rna tı ha, mˇ rny objem). Hladinove plochy jsou ekvipotencialnı plochy a jsou vzdy kolme na vysledne zrychlenıvnˇ jsıhmotnostnısı ly

a . Hladinove plochy majı

v ťlohach hydrostatiky vyznam pri vypoctu tlaku a tlakovych sil. Prıklad 3.2.1

h1 a olejem o vysce h2 . Tlak vody u dna

Otevrena svisla valcova nadrz je naplnˇ na vodou o vysce

nadrze je zmˇ ren piezometrickou trubicıs vyskou hladiny h . Jaka je hustota oleje

ρ o ? Jaka bude

vyska hladiny v piezometricke trubici ( h ′ ), kdyz se nadrz uzavre a tlak v nadrzi stoupne o Zadano:

p

h1 = 0.2 m h2 = 1.2 m h = 1.2 m p 0 = 0.10132 MPa -3 ρv = 1000 kg.m ∆p = = 0.01 MPa

p0

h

olej

ρV

Vysledky:

ρo = ? h′ = ?

kg.m

-3

m

h2

ρ0

h1

Vypoctˇ te:

∆p ?

voda

833.33 2.21936

Resenı : Pro otevrenou nadrz platı , ze

p 0 + h2 ρ o g + h1 ρ v g = p 0 + hρ v g Pro uzavrenou nadrz s tlakem

p = p0 . a odtud

ρo =

p , kde p = p 0 + ∆p

p + h2 ρ o g + h1 ρ v g = p 0 + h ′ρ v g a tedy

h′ =

(h − h1 )ρ v g (h − h1 )ρ v =

h2 g

( p − p0 ) ρv g

+

h2

h2 ρ o + h1 ρv

Prıklad 3.2.2 Jaky je rozdı l tlaku

∆p ve vodorovne m potrubı(ve ktere m proudıvoda), ktery je mˇ ren U-trubicı

naplnˇ nou rtutı . Rozdı l vysek hladin je ∆h .

p1

0.35 m 1000 kg.m

-3

ρ Hg =

13600 kg.m

-3

Vypoctˇ te: ∆p = ?

Pa

p2

Vysledky: 43262.10

∆h

ρv =

v

h

Zadano: ∆h =

Hg


12 Resenı :

Podmı nka rovnovahy v leve m a prave m rameni diferencialnı ho U-manometru:

p L = p p ⇒ p1 + ρ v .g.h ′ = p 2 ρ v .g (h ′ − ∆h ) + ρ Hg .g.∆h

(

)

∆p = p1 − p 2 = ρ Hg − ρ v .g .∆h Prıklad 3.2.3 Tlak vody v potrubıse mˇ rıU-trubicıs otevrenym koncem. Rozdı l hladin rtuti v U-trubici je ∆h . Poloha spodnıhladiny rtuti ve vztahu k ose potrubıje dana vyskou h . Jak veliky je mˇ reny tlak Jak se pri stejne m tlaku

p?

p v nadobˇ zmˇ nıťdaj v U-trubici, zmˇ nı -li se h na h ′ . Tlak ovzdusıje p 0 .

Zadano: = = =

0.3 m 1m 1.5 m

=

0.1 MPa -3

13600 kg.m

-3

Vypoctˇ te: p =? ∆h ′ = ?

∆h

h

1000 kg.m

Vysledky: 0.13021 0.33673

Pa m

ρHg

∆h'

ρv = ρ Hg =

ρV

p

h'

∆h h h′ p0

Prıklad 3.2.4 Urcete prirozeny tah

∆p v topenisti, ktere je spojeno s komı nem vysokym h . Hustota vzduchu je ρ vz

a hustota kourovych spalin je

ρ sp .

Zadano:

ρ vz =

1.29 kg.m

-3

ρ sp = h=

0.44 kg.m

-3

Vypoctˇ te:

∆p = ?

h

20 m

ρSP

Vysledky: Pa

ρVZ

166.77

Prıklad 3.2.5 V soustavˇ ťstrednı ho topenıohrı va kotel teplotu

K vodu na teplotu t1 . V radiatoru R se voda ochladına

t 2 . Ostatnıcasti jsou tepelnˇ izolovany. Vyskovy rozdıl kotle a radiatoru je h . Urcete pretlak

∆p = p1 − p 2 , ktery bude pu sobit na ventil V , kterym se za provozu prerusıcirkulace vody.

13


V

R

Zadano:

t1 = t2 = h=

p1

o

p2

90 C o

h

Vypoctˇ te:

Vysledky:

ρ1 = ρ 90 = ? ρ 2 = ρ 60 = ? p=?

t2

t1

60 C 8m kg.m

-3

965.3

kg.m Pa

-3

983.2 1404.79

K

∆p = ( ρ1 − ρ 2 ).g.h

Resenı : Prıklad 3.2.6

Urcete absolutnıtlak vzduchu v nadobˇ , jsou-li ťdaje na dvoukapalinove m manometru nasledujı cı:

h1 , h2 , h3 a tlak ovzdusıje p 0 . Zadano:

h1 = h2 = h3 =

vzduch

700 mm

ρV

h2

p

p0

600 mm

13600 kg.m

-3

ρv =

1000 kg.m

-3

Vypoc tete: p=?

Vysledky: 139043.8

Pa

h3

ρ Hg =

h1

300 mm

ρHg

3.3. Pascaluv zakon Tlak je obecnˇ funkcıpolohy. Pokud jsou vsak hmotnostnısı ly pu sobı cına kapalinu v klidu mnohem mensınez sı ly tlakove , je tlak ve vsech mı stech kapaliny konstantnı , coz je zakon Pascalu v. Toho se vyuzı va naprı klad

u hydraulickych lisu , hydraulicke ho akumulatoru, hydraulickych pohonu .

Hydraulicky lis je v podstatˇ nadoba s kapalinou, ve ktere se pohybujıdva pı sty ru znych pru mˇ ru . Na

d  F1 F2 F S obou pı stech je dle Pascalova zakona stejny tlak p = = ⇒ 1 = 1 =  1  S1 S 2 F2 S 2  d 2 

2

Prıklad 3.3.1 Do nadrze naplnˇ ne kapalinou jsou vestavˇ ny dva pı sty o pru mˇ rech pu sobısı la

F1 . Urcete tlak p v kapalinˇ a sı lu F2 udrzujı cıpı st v rovnovaze.

Zadano:

d1 = d2 = F1 = Vypoctˇ te: p =?

F2 = ?

d1 a d 2 . Na prvnız nich

F1

F1

0.29 m 0.55 m 1407 kN MPa

Vysledky: 21.30135

kN

5060.84929

S1 S2


14

Prıklad 3.3.2 Dva valce o ru znych velikostech jsou pevnˇ spojeny tycı . Jestlize na plochu pak na tuto plochu pu sobısı la

S1 pu sobıtlak dany p1 ,

F1 , ktera je prenasena na plochu S 2 a na vystupu se zı ska tlak p 2 .

Urcete hodnotu tohoto tlaku. Zadano:

S1

S1 = S2 = p1 =

20 cm

2

16 cm

2

S2

1 MPa

Vypoctˇ te:

F2

Vysledky:

p2 = ?

Pa

1 250 000.0

p1

p2

Prıklad 3.3.3 Tahlem spojene pı sty silove ho zarı zenıse ustalıv poloze naznacene na obrazku. Urcete h , je-li dan pomˇ r

D a H. d

p0

p0

H

3 4m -3 1000 kg.m Vysledky: 3.56

m

d

Vypoctˇ te: h= ?

D

D = d H= ρ=

h

Zadano:

Prıklad 3.3.4 Urcete tlak plynu v plynojemu jestlize v U Ř trubici naplnˇ ne lihem je rozdı l hladin ∆h . Do jake vysky vystoupıhladina vody v trubici, kterou je plynojem spojen s vodnınadrzı ? Zadano:

∆h = p0 =

0.101 MPa

ρ lıh =

800 kg.m

-3

ρ voda =

1000 kg.m

-3

MPa m

Vysledky: 0.10084 0.01631

∆h

p

t

Vypoctˇ te: p=? ∆h = ?

0.02 m

15


4. Tlakovč sıly 4.1. Dno nadoby Tlakova sı la na dno nadoby (rovinna vodorovna plocha) se urcıze vztahu

F = p S = ρ g hS = ρ gV Objem V je tzv. zatˇ zovacıobjem definovany tremi plochami, ktere ho omezujı : §

plocha S , na niz pu sobıtlakova sı la

§

hladinova plocha tlaku ovzdusı(

§

valcova plocha vznikla pohybem povrchove

F T F

(tvorı cı ) prı mky po obrysu plochy S . Povrchova prı mka je rovnobˇ zna se silou Hydrostaticky tlak

h

V

p0 = konst )

F

p pu sobı cına vodorovne plochy,

T1

S

pokud se uvazuje jen zemska tı ze, je konstantnı . Tlakova sı la

F prochazıtˇ zistˇ m zatˇ zovacı ho objemu V .

4.2. Tlakovč sıly na sikmč rovinnč steny Tlakova sı la od kapaliny pu sobı cına sikme a svisle rovinne plochy je dana vztahem

F = ρ g hT S = pT S = ρ g V F

pT - hydrostaticky tlak v tˇ zisti plochy - svisla vzdalenost tˇ zistˇ

plochy

hladinove plochy tlaku ovzdusıp0

= konst.

hT

S

ht

α

kde:

xT

od H2O

je zatˇ zovacı objem omezeny nasledujı cı mi

V

P

T

xP

plochami: plochou S , na kterou se pocı ta tlakova sı la

§

sklopenou hladinovou plochou tlaku ovzdusı

§

valcovou plochou vzniklou opsanı m prı mky rovnobˇ zne s hledanou silou

Tlakova sı la

D

§

F po obrysu plochy S .

F je kolma na plochu S , prochazıtˇ zistˇ m zatˇ zovacı ho obrazce a pu sobistˇ tlakove

sı ly lezıvzdy pod tˇ zistˇ m

xP =

Jy My

T plochy S . Platıvztah:

= xT +

J yT My

Jy

- moment setrvacnosti plochy S k ose

y

J yT

- moment setrvacnosti plochy S k ose

yT prochazejı cıtˇ zistˇ m plochy a rovnobˇ zne s y

M y - staticky moment plochy S k ose y , pro ktery platıM y = xT S


16

Pro plochy nesoumˇ rne k ose

yt =

J xy My

=

xT platı

S ⋅ xT ⋅ yT J xyT + kde My My

J xy - deviacnımoment k osam x, y J xyT - deviacnımoment k souradne mu syste mu s pocatkem v tˇ zisti plochy. Rozlozenı m tlakove sı ly

F do os karte zske ho syste mu se zı skajıslozky Fx , Fy .

Svisla slozka tlakove sı ly

F y = ρ g V y , kde je zatˇ zovacıobjem V y je opˇ t urcen:

§

plochou S

§

hladinovou plochou tlaku ovzdusı

§

valcovou plochou tvorenou svislou prı mkou, ktera opı se plochu S po obrysu.

Fx se rovna tlakove sıle na pru mˇ t plochy S do svisle roviny

Vodorovna slozka tlakove sı ly

Fx = ρ g hT S x .

Prıklad 4.2.1 Stanovte velikost tlakove sı ly

F na vı ko kruhove nadrze a vzdalenost pu sobistˇ tlakove sı ly x p .

Urcete svislou slozku tlakove sı ly

Fy .

Zadano: = =

= Vypoctˇ te:

1m 1.8 m

F

40 deg 1000 kg.m

xT -3

H2O

Vysledky: N m

8914.54 1.83472

Fy = ?

N

6828.93

P

D

F =? xp = ?

Resenı :

ht

=

α

D xT α ρ

F = ρ .g .hT .S = ρ .g.xT sin(α ).

x P = xT +

Jt My

∆x = xT − x p

π .D 2 4

π .D 4 64 = xT + π .D 2 xT . 4

T

xP

17


Prıklad 4.2.2 Stanovte velikost sı ly

F na kruhove vı ko nadrze, jestlize v pripojene trubce je hladina ve vysce h .

Vypoctˇ te vzdalenost ∆h pu sobistˇ

P tlakove

p0

sı ly od tˇ zistˇ

T plochy. Nakreslete zatˇ zovacı obrazec. Mˇ rnou hmotnost vody uvazujte ρ .

h

Zadano: 1.4 m 0.8 m -3 1000 kg.m

Vypoctˇ te: F=? ∆h = ?

H2O D

P

Vysledky: 6 903.46 0.02857

N m

T F

∆h

h= D= ρ=

Prıklad 4.2.3 Stanovte tlakovou sı lu pod hladinou (

F a vzdalenost jejı ho pu sobistˇ h p pro ctvercove vı ko kanalu v hloubce hT

p 0 = konst.). Urcete strednıhodnotu tlaku p na vı ko. p0

Zadano: 1.6 m

Vypoctˇ te: F =? h =? p

p =?

hT

1m 1000 kg/m3 N m

Vysledky: 1.65208 15 696.00

Pa

15 696.00

hP

hT = a= ρ =

T

p0

P

F

a

H2O

Prıklad 4.2.4 Urcete sı lu

F na pace, kterou se otevre ventil o pru mˇ ru d uzavı rajı cıotvor v tlakove nadobˇ . Sklon

roviny ventilu je

α a pakovy prevod a . Pretlak na hladinˇ je p n . b

Zadano:

Vypoctˇ te: F=?

p

0.25 m 0.6 m 0.85 m

h

n

3 0 60 30000 Pa

/

F

b

l

F

-3

a

1000 kg.m

d

d = l = h= a = b α= pn = ρ =

N

Vysledky: 340.74129


18

4.3. Tlakovč sıly na krivč plochy Tlakove

sı ly na krive

plochy se resı dvˇ ma metodami, tj metodou slozkovou a metodou

nahradnı ch ploch.

Metoda slozkova spocı va v urcenısvisle a vodorovne slozky tlakove sı ly na krivou plochu. Pro svislou slozku tlakove sı ly platı

F y = ∫ dF y =

∫ ρ g h dS y = ρ g ∫ dV y = ρ g V y

Sy

Vy

Objem

V y zatˇ zovacı ho obrazce je stejnˇ urcen jako pri vypoctu svisle

slozky

F y u sikme rovinne plochy. Je omezen nasledujı cı mi plochami:

2 dV y Vy

1. krivou plochou S , na niz se pocı ta svisla slozka tlakove sı ly 2. hladinovou plochou tlaku ovzdusı(

p0 = konst )

dS

3. plastˇ m vytvorenym svislymi prı mkami rovnobˇ znymi se slozkou

Objem

S

3

F y nad obrysem krive plochy S .

1

V y se zpravidla vypocte jako rozdıl objemu dvou zakladnı ch geometrickych tˇ les. Svisla slozka

F y prochazıtˇ zistˇ m zatˇ zovacı ho objemu V y . Vodorovna slozka tlaku je urcena rovnicı

Fx = ∫ dFx =

∫ ρ g h dS x = ρ g ∫ dV x = ρ g V x = ρ g ht S x

Sx

Vx

S x je plocha pru mˇ tu krive plochy do svisle roviny. Postup vypoctu je stejny jako u sikme rovinne plochy, tj. vodorovna slozka

Fx na krivou plochu S

se rovna tlakove sı le na pru mˇ t

S x krive plochy do

S

Fx

Fx

Sx

svisle roviny a prochazıtˇ zistˇ m zatˇ zovacı ho objemu Vx

Vx . Vyslednice tlakove sı ly na krivou plochu pak je F = Fx2 + F y2 a smˇ r vyslednice se urcıtgα = pru secı kem slozek

Fy Fx

. Vyslednice tlakove sı ly

F pak prochazı

Fx , Fy . V prıpadech, kdy kriva plocha ma nˇ kolikanasobny pru mˇ t ve smˇ ru

uvazovane slozky tlakove sı ly, je nutno krivou plochu rozdˇ lit na tolik castı , aby kazda cast mˇ la jednoduchy pru mˇ t. Vysledna slozka tlakove sı ly se urcısouctem tlakovych sil na vsechny casti krive plochy ( se zretelem na zname nko ). Pri vypoctu tlakove

sı ly na krivou plochu metodou

nahradnı ch ploch se postupuje takto: §

kriva plocha se nahradırovinnou plochou (nebo vı ce

FN

F S SN

rovinnymi plochami) tak, aby kriva plocha a nahradnı plocha uzavı raly objem V . Tı ha kapaliny v tomto

G

FN

G

19


objemu je G . §

vypocte se tlakova sı la na nahradnı plochu

FN (prı padnˇ se urcı vektorovym souctem

vypoctenych tlakovych sil na vsechny nahradnıplochy) §

tı ha kapaliny G se vektorovˇ odecte nebo pricte, jestlize nahradnıplochou se objem V pridal nebo odecetl od celkove ho objemu tekutiny v nadobˇ .

Prıklad 4.3.1 Stanovte tlakovou sı lu

F na valcovy segmentovy uzavˇ r o polomˇ ru R a sı rce B . Urcete sklon

tlakove sı ly, tj. ťhel α . Urcete vodorovnou slozku

R

0.8 m 3m -3 1000 kg.m

Fx = ?

N

9 417.60

Fy = ? F=? α=?

N N deg

14 793.12 17 536.46 57.5184

Resenı :

F

Vysledky:

Fx = ρ .g.ht S x = ρ .g.

α

Zadano: R= B= ρ = Vypoctˇ te:

Fx a svislou slozku F y tlakove sıly F .

H2O

R .R.B 2

F = Fx2 + F y2

F y = ρ .g.V y = ρ .g. α = arctg

πR 2 .B 4

Fy Fx

Prıklad 4.3.2 Stanovte tlakovou sı lu a ťhel

F na valcovy jez o pru mˇ ru D a sı rce B . Urcete slozky tlakove sı ly Fx a F y

α.

Zadano: D= B= ρ= Vypoctˇ te:

1m 10 m -3 1000 kg.m

D Vysledky:

N

49 050.00

Fy = ? F=? α=?

N

38 523.75

N

62 369.719 38.146

0

F

α

Fx = ?

Prıklad 4.3.3 Stanovte velikost tlakove sı ly slozku tlakove sı ly

F na valcovou plochu u dna nadrze o sı rce B . Urcete vodorovnou

Fx prı mym vypoctem a svislou slozku tlakove sı ly F y .


20

0.8 m 0.8 m 4.0 m -3 1000 kg.m

h

Zadano: h= R= B= ρ= Vypoctˇ te:

F

Vysledky:

Fx = ?

N

12 556.80

Fy = ? F=?

N

5 389.44

N

13 664.53

R

S

Prıklad 4.3.4 Urcete velikost sı ly

F a jejısklon α na valcovou plochu. Nakreslete zatˇ zovacıobrazec pro svislou

slozku tlakove sı ly

F y . Vypoctˇ te vodorovnou slozku tlakove sı ly Fx . Prochazıvektor sı ly F

stredem S ?

Fx = ? Fy = ? F=? α=?

0.8 m 4m -3 1000 kg.m Vysledky: N

12 556.80

N

5 389.44

N

13 664.53 23.22919

0

α

Zadano: R = b = ρ = Vypoctˇ te:

F

R S

Prıklad 4.3.5 Stanovte velikost sı ly

F na plochu tvaru polokoule a ťhel α , ktery svı ra s vodorovnou rovinou.

Urcete vodorovnou slozku tlakove sı ly

Fx .

Zadano: 6.5 m 4m -3 1000 kg.m

Vypoctˇ te:

h

h= R= ρ=

3 205 175.78

Fy = ? F=? α=?

1 314 943.91 0

F

3 464 423.37 22.31

Fx = ρ .g.ht S = ρ .g .ht .πR 2

F y = ρ .g .V y = ρ .g .

F = Fx2 + F y2

α = arctg

Fy Fx

α

Fx = ?

Resenı :

R

Vysledky:

14 .π .R 3 23

21


Prıklad 4.3.6 Do karburatoru se privadıbenzı n potrubı m o pru mˇ ru d pretlakem

p p . Stanovte rozmˇ ry kulove ho

plovaku z podmı nky, ze hladina benzı nu v karburatoru ma byt v ose otvoru a ze plovak ma byt ponoren z poloviny v okamziku otevrenıjehly. Hmotnost jehly je Zadano:

d= pp= a= b= mj=

R

3 mm

m j a plovaku m p . a

b

0.04 MPa 45 mm

mp

mj

15 mm 15 g

mp = ρ =

25 g 800 kg.m

Vypoctˇ te: R=?

-3

m

d

Vysledky: 0.03765

pp

Prıklad 4.3.7 Urcete tlakovou sı lu

F bodem S ? Nakreslete zatˇ zovacıobrazec pro Fx a F y .

Zadano: R= h= ρ= Vypoctˇ te:

p0 0.5 m 1.8 m -3 1000 kg.m

ρ

Vysledky: N

13 868.55

Fy = ? F=? α=?

N

2 568.25

N deg

14 104.35 10.4915

Fx = ρ .g .hT .π .R 2

Resenı :

F = Fx2 + F y2

R

α

Fx = ?

h

vyslednice

F na polokulove vı ko nadoby. Urcete smˇ r tlakove sı ly tj. ťhel α . Prochazı

F

1 4 F y = ρ .g .V y = ρ .g . . .π .R 3 2 3 Fy α = arctg Fx

Prıklad 4.3.8 Jakou silou

F je zvedan svrsek formy pri odle vanıdute polokoule? Vypoctˇ te tlak p A kovu v bodˇ

A po odlitı .


22

Zadano: 0.4 m 0.023 m 0.8 m

A

-3

Vypoctˇ te:

Vysledky:

F=? pA = ?

N

22 280.43

Pa

28 847.29

H

7800 kg.m

s

R= s= H= ρk =

R

kov ρ K

F

pısek

Prıklad 4.3.9 Urcete tlakovou sı lu

F na polokulove vı ko valcove nadrze, ktera je naplnˇ na kapalinou o hustotˇ ρ .

Pouzijte metody nahradnı ch ploch. Vyska hladiny je h , polomˇ r polokoule je zatˇ zovacıobrazec pro sı lu 1000 kg.m

h= R=

F: p0

-3

3m 1m

Vypoctˇ te:

h

Zadano: ρ =

R . Nakreslete

R

F

Vysledky:

FN = ? G=? F=?

N

92 456.99

N N

20 546.00 71 910.99

ρ

Prıklad 4.3.10 Urcete vysledny tlak vody na plochu polokulove ho vı ka, ktere zakryva kruhovy otvor v sikme stˇ nˇ nadoby. Tˇ zistˇ otvoru je v hloubce h , pru mˇ r otvoru je d . S ikma stˇ na svı ra s vodorovnou rovinou ťhel

α . Pouzijte metody nahrad. ploch.

Zadano: 2.5 m 0.4 m o 45 -3 1000 kg.m

Vypoctˇ te:

FN = ? G=? F=? Resenı :

β

h

S

α

h= d= α= ρ=

F T

Vysledky: N

3 081.90

N N

164.37 2968.0

FN = ρ .g.ht .S N = ρ .g.h.

d

π .d 2 4

G = ρ .g .V = ρ .g .

F ⇒ FN − G ⇒ F = FN2 + G 2 − 2 FN cos α

14 2 π .r 3 = ρ .g . π .r 3 23 3

23


5. Relativnı pohyb kapaliny 5.1. Pohyb prımoc ary rovnomerne zrychleny V zavislosti na zrychlenıse urcısklon hladinovych ploch

tgα =

a . Poloha hladinove plochy g

atmosfe ricke ho tlaku ovzdusı(nebo dane ho tlaku) se urcıpodle nasledujı cı ch podmı nek §

kapalina za pohybu neprete ka z nadoby, pak je objem tekutiny v nadobˇ pred pohybem a za pohybu stejny ( V = konst ).

§

kapalina za pohybu prete ka, pak hladina tlaku ovzdusıprochazıokrajem nadoby, kde kapalina zacala prete kat. a

α

a

Po vysetrenıhladinove plochy tlaku ovzdusıza relativnı ho klidu kapaliny se resıťlohy stejnˇ jako u nadoby s kapalinou za klidu. Pro tlak v libovolne m mı stˇ platıp bodu od hladiny tlaku ovzdusı . Tlakova sı la kapaliny

= ρ g h , kde h je svisla vzdalenost

F na plochu S je urcena obecnˇ F = ρ g V ,

kde V je objem zatˇ zovacı ho obrazce. Zatˇ zovacıobrazec je urcen podle stejnych pravidel jako drı ve ( hladinova plocha

p0 = konst. je sikma rovina ).

Prıklad 5.1.1 Vozı k ve tvaru hranolu se pohybuje rovnomˇ rnˇ zrychlenym pohybem se zrychlenı m je rozdˇ len prepazkou na dvˇ casti, v nichz je voda ve vysi

h2 = B= a= ρ= Vypoctˇ te: F =? 1

F2 = ? F=? x1 = ? x2 = ?

F na prepazku.

3m 1m

a 2/3L

1.75 m 1m -1 3.924 m.s -3 1000 kg.m

F2 h1

Zadano: L= h1 =

h1 , h2 . S ı rka vozı ku je B . Urcete

N

Vysledky: 9 613.80

N

11 784.26

N m

2 170.46 0.40

m

0.20

F1

L

h2

vyslednou tlakovou sı lu

a . Jeho objem


24

Resenı :

(h1 + x1 )

x1 = tgα

L , 3

F1 = ρ .g .(h1 + x1 )

x 2 = tgα

L , 6

F2 = ρ .g.(h2 − x 2 )

2

B

(h2 − x 2 ) 2

F = F2 − F1

B

Prıklad 5.1.2 V uzavrene m sudu je kapalina o hustotˇ pohybem se zrychlenı m

ρ . Sud se na podvozku pohybuje rovnomˇ rnˇ zrychlenym

a . Urcete tlakovou sı lu F na leve kruhove dno, je-li de lka sudu l a pru mˇ r

d . V sudu je v nejvyssı m bodˇ objemu odvzdusnovacı otvor, v nˇ mz je tlak ovzdusı p = p 0 (hladinova plocha atmosfe ricke ho tlaku musıprochazet odvzdusnovacı m otvorem, coz je rozhranı mezi kapalinou a ovzdusı m). a

α

p0

d

Zadano: l= 1m d= 0.6 m p = 101325 m a = 2.943 m.s-1 -3 ρ= 800 kg.m Vypoctˇ te: N F=?

F

Vysledky: 1 330.71

l

Prıklad 5.1.3 Nadrz ve tvaru hranolu s malym zavzdusnovacı m otvorem ve vı ku u prednıhrany se na podvozku pohybuje rovnomˇ rnˇ zrychlenym pohybem se zrychlenı m

ρ . Stanovte za pohybu tlakovou sı lu F1 pu sobı cına dno nadrze, sı lu F2 na vı ko

kapalinou o hustotˇ

F3 na zadnıstˇ nu nadrze.

b= c= h= ρ=

a -2

4.905 ms 0.5 m 1m 0.5 m -3 720 kgm

Vypoctˇ te:

F1 = ? F2 = ? F3 = ?

p0

α

Zadano: a=

F2 d

a sı lu

a . Nadrz byla za klidu zcela zaplnˇ na

F3

Vysledky: N

2 648.70

N

882.90

N

1 324.35

F1 l

5.2. Pohyb rovnomerne otac ivy Pro urcenıtlakove sı ly na stˇ ny pri rovnomˇ rne m otacive m pohybu nadoby s kapalinou nutno definovat vysku

H p rotacnı ho paraboloidu na polomˇ ru R , pro kterou platı

u 2 (R ⋅ ω )2 Hp = = 2g 2g

25


u 2 (r ⋅ ω )2 Na jine m polomˇ ru r je vyska paraboloidu urcena analogickou rovnicı h p = = 2g 2g plochy tlaku ovzdusı se vysetrı pro

Poloha hladinove nasledujı cıprı pady: §

ω

Neprete ka-li tekutina za pohybu z nadoby, je objem kapaliny v nadobˇ pred pohybem a za pohybu stejny

U otevrene valcove nadoby, pokud kapalina nevyte ka,

Hp hp

§

Hp /2

( V = konst ). hladina se mu ze volnˇ zvednout, pu lıpu vodnıhladina vysku

h p , protoze objem rotacnı ho

paraboloidu

r

R

paraboloidu je roven polovinˇ objemu opsane ho valce. Pri prete kanıse ustalıhladina tak, ze prochazımı stem, kde tekutina zacala prete kat, tj. okrajem nadoby. Po vysetrenıhladinove plochy tlaku ovzdusıza relativnı ho klidu kapaliny se resıťlohy stejnˇ jako u nadoby s kapalinou v klidu. Tlak v kapalinˇ je

p = ρgh , kde h je svisla vzdalenost dane ho bodu od

hladiny tlaku ovzdusı . Tlakova sı la F od kapaliny na plochu S je objem drı ve urceny (hladinova plocha

F = ρ g V , kde V je zatˇ zovacı

p0 = konst je rotacnıparaboloid).

Prıklad 5.2.1 Stanovte otacky nadoby

n , pri kterych se hladina p 0 = konst. dotkne dna nadoby a nakreslete

hladinovou plochu atmosfe ricke ho tlaku. Vytece zcasti kapalina z nadoby? Kdyz ano, jaky objem V vytece? Jaky relativnıtlak

p A bude v mı stˇ A na polomˇ ru rA pri rotaci nadoby s kapalinou?

Zadano: n

0.0667 m

h

0.1 m 0.04 m 0.4 m 1000 kg.m

Vypoctˇ te:

H p=? n= ? pA = ? V =?

Resenı :

-3

h0

h0 = h= d= rA = ρ =

Vysledky: m -1 s

0.10 11.15

Pa

392 643.78

3

0.000021

m

h  2h0 pro h0 〈 2 Hp = h h pro h0 ≥  2

A rA d

1  je - li h0 ≤ .h 0 2 V = 2 2 π .d h − 1 π .d h je - li h ≥ 1 .h 0  4 0 2 4 2


26

2

d   ⋅ω  2 2  = (d ⋅ 2πn ) ⇒ n = Hp =  2g 8g p A = ρ .g.h A = ρ .g.

H p .8 g

(2π )2 d 2

(2π .n.rA .2)2 8g

Prıklad 5.2.2 Valcova nadoba o pru mˇ ru d a vysce h je zaplnˇ na kapalinou do vysky

h0 ode dna nadoby. Urcete

maximalnıotacky, pri kterych kapalina nevytece z nadoby a jaka bude vyska paraboloidu. Zadano: n

6.667 cm 10 cm 4 cm Vysledky:

H p= ? n= ?

m -1 s

h

Vypoctˇ te:

0.06666 9.10066

h0

h0 = h= d=

d

Prıklad 5.2.3 Nadoba je az po otvor naplnˇ na vodou. Urcete vysku rotacnı ho paraboloidu hladinove plochy

F1 na dno a F2 na vı ko nadoby, tlak p1 a p 2 v mı stech 1 a 2 pri rotaci

vypocı tejte tlakovou sı lu nadoby otackami

n . Nakreslete hladinovou plochu atmosfe ricke ho tlaku pri rotaci. Otvor ve vı ku je

velmi maly. Vypocı tejte ťhlovou rychlost ω . n

0.3 m 0.2 m -1 2 ot.s 1000 kg.m

2

-3

Vysledky: 12.57

H p= ?

0.08053

F1 = ? F2 = ? p1 = ? p2 = ? Resenı :

h

Zadano: h= d= n= ρ= Vypoctˇ te: ω=?

hp ,

58.64

1

12.41

d

3 733.00 790.00

Hp =

ω = 2πn

F1 = ρg

π .d  1  h + H p  4  2  2

(

(ω .d )2 8g

)

p1 = h + H p ρg

27


F2 = ρg

π .d 2 H p 4 2

p 2 = H p ρg

Prıklad 5.2.4 Stanovte otacky bodˇ

n nadoby, pri nichz se hladina atmosfe ricke ho tlaku dotkne dna. Urcete tlak p A v

A pri rotaci nadoby s kapalinou. Nadoba ma ve vı ku maly otvor. Nakreslete hladinovou plochu

atmosfe ricke ho tlaku pri rotaci.

0.9 m

Vypoctˇ te: n= ? pA = ?

1

1.4 m -3 1000 kg.m -1

Vysledky: 1.75160

Pa

29 675.29

s

h

h2 = D= ρ=

n

1.1 m

h2

Zadano: h1 =

A

D

′ Vkapaliny = Vvzduchu ⇒

Resenı :

h1

( ωd )2 = 8g

2 h −h π .D 2 (h1 − h2 ) = π .d h1 ⇒ d = D 1 2 2 4 8 h1

8 gh1 1 ω ω 2D2 ⇒n= = , p A = ρgh A = ρg 2π 8g d 2 2π

Prıklad 5.2.5 Nadoba je naplnˇ na po okraj kapalinou. Vypoctˇ te objem kapaliny V , ktery pretece otvorem ve vı ku nadoby pri jejırotaci otackami relativnıtlak

n , pri kterych se hladinova plocha p 0 =konst dotkne dna. Urcete

p A v bodˇ A pri rotaci nadoby. Kolikrat se zvˇ tsıtento tlak ve srovnanıs pu vodnı m

tlakem za klidu.

pA = ? ϕ=?

n

0.15 m 0.3 m 0.25 m -3 1000 kg.m -1

s 3 m Pa

d

Vysledky: 4.69979 0.00221 9 809.99 4.00

h

Zadano: d= D= h= ρ= Vypoctˇ te: n= ? V =?

D

A


28

Hydrodynamika 6. Zakladnı pojmy a rozdelenı proudenı Proudˇ nıse vysetruje v prostoru, rovinˇ nebo po krivce buó sledovanı m pohybu urcite castice kapaliny jako hmotne ho bodu, nebo se sleduje cely proud v urcite m casove m okamziku. K popisu zakladnı ch prı padu proudˇ nıse pouzı vajıpojmy trajektorie castice, proudnice a proudova trubice. Draha neboli trajektorie je obecnˇ carou, kterou probı ha castice tekutiny. Proudnice je cara, jejı z tecny v libovolne m bodˇ udavajısmˇ r rychlosti. Proudova trubice je soustava proudnic, ktere prochazejı uzavrenou krivkou. Pres stˇ nu proudove trubice tekutina nevyte ka ani do nınevte ka a kazdym pru rezem te ze proudove trubice prote ka stejny hmotnostnıpru tok. V technicke praxi je takovou proudovou trubicıpotrubı .

6.1. Rozdelenı proudenı Podle usporadanı proudˇ nı v prostoru se proudˇ nı rozdˇ luje na trojrozmˇ rne

(prostorove ),

dvourozmˇ rne (rovinne ) a jednorozmˇ rne (po krivce). Podle zavislosti na case se definuje proudˇ nı ustalene (stacionarnı ), ktere je na case nezavisle , a proudˇ nıneustalene (nestacionarnı), u nˇ hoz se veliciny v case mˇ nı . V nejjednodussı ch prı padech se predpoklada idealnıkapalina, ktera je nevazka a nestlacitelna a neklade odpor proti pohybu. Predpoklad idealnı kapaliny usnadnil odvozenı nˇ kterych rovnic hydrodynamiky, ktere platıs urcitymi omezenı mi i pro skutecne kapaliny. Pri resenıpraktickych ťloh je uvazovano proudˇ nıskutecne kapaliny, ktera je vazka a stlacitelna, pri pohybu klade proti nˇ mu odpor. Hydrodynamicke veliciny pak zavisejına tom, jaky rezim proudˇ nıse vyvine. Proudˇ nıskutecnych kapalin mu ze byt laminarnınebo turbulentnı . V prı padˇ jednorozmˇ rne ho proudˇ nıv potrubıhranici tvorıexperimentalnˇ urcene kriticke Reynoldsovo cı slo Re , definovano vztahem

Re =

vs d , kde v s je strednırychlost v potrubı , d jeho pru mˇ r a ν kinematicka viskozita. ν

Kriticka hodnota

Re krit pro potrubıkruhove ho pru rezu je 2320. Pri Re ≤ Re krit se v potrubıvyvine

usporadane laminarnıproudˇ nı , pohyb se dˇ je ve vrstvach a castice tekutiny se nepohybujınaprı c pru rezem. Je-li

Re ≥ Re krit , proudˇ nıje turbulentnı , dochazık intenzivnı mu mı senıcastic nasledkem

jejich podruznych (turbulentnı ch) pohybu ve vsech smˇ rech.

Prıklad 6.1.1 Kyslı k proudıpotrubı m o svˇ tlosti d

pri absolutnı m tlaku

p a teplotˇ t . Urcete, pri jake rychlosti

bude proudˇ nıjestˇ laminarnı , je-li dynamicka viskozita kyslı ku Jaky maximalnıhmotnostnıpru tok

η a jeho mˇ rna plynova konstanta r .

Qm se dopravıtı mto potrubı m pri laminarnı m proudˇ nı ?

29


0.050 m d= p = 1 MPa 0 t= 27 C η = 2.06E-04 Pa.s -1 -1 r= 259.8 J.kg K

v

η,ρ

kg.m

ν=?

ms

v krit = ? Qm = ?

m.s

-3

2 -1 -1

kg.s

-1

O2

l Vysledky:

Vypoctˇ te: ρ=?

d

Zadano:

12.82 0.0000161 0.747 0.019

Resenı : Ze stavove rovnice se urcıhustota kyslı ku

p p p = rT ⇒ ρ = = ρ r T r (t + 273.15) Kriticka rychlost se vypocı ta z kriticke hodnoty Re cı sla

Re krit =

η vkrit d 2320ν = 2320 ⇒ vkrit = , kde kinematicka viskozita ν = . Hmotnostnıpru tok ν d ρ

se urcıze vztahu

Qm =

vkritπd 2 ρ. 4

Prıklad 6.1.2 Urcete kritickou rychlost v potrubıo pru mˇ ru d , pri nı z se proudˇ nılaminarnızmˇ nıv turbulentnı . Potrubı m proudıvoda o teplotˇ

t . Kinematickou viskozitu odectˇ te z prı lohy. v

0.1 m

d= t =

O

20 C Vysledky:

Vypoctˇ te: v krit = ?

m.s

η =?

-1

Pas

d

Zadano:

η,ρ

H2O

0.023 l

1.01E-03

Prıklad 6.1.3 Horke spaliny ve spalovacı m prostoru parnı ho generatoru majıkinematickou viskozitu rychlosti

ν . Pri jake

v s1 je mozne ocekavat prechod laminarnı ho proudˇ nıv turbulentnı , ktere je pro spalovanı

vyhodnˇ jsı , je-li dano

Re krit a paprsek ma pru mˇ r d . Jaka bude rychlost spalin pri Re = 3 ⋅10 4 ?

d = 0.030 m ν = 1.2E-04 m2s-1

Re krit =

10000

Re =

3E+04

ν Vysledky:

Vypoctˇ te:

v s1 = ? vs2 = ?

v

d

Zadano:

m.s

-1

40.00

m.s

-1

120.00

spaliny

l


30

Prıklad 6.1.4 Stanovte pru mˇ r potrubıd , pri ktere m se laminarnıproudˇ ni mˇ nıv turbulentnı . Potrubı m proudı mineralnıolej o hustotˇ dynamickou viskozitu

ρ , kinematicke viskozitˇ ν a pru toku Qv . Urcete rychlost v v potrubıa

η . Jaka je maximalnırychlost v potrubıv max ?

Zadano: 3 -1 4 dm .s Qv = -3 ρ = 920 kg.m ν = 4.0E-05 m2.s-1

ρ,ν

Vypoctˇ te:

d =? v =?

v max = ? η =?

d

v

olej

Vysledky: m

0.05488

m.s

-1

1.69099

m.s

-1

3.38198

Pas

l

0.03680

Resenı : Prechod z laminarnı ho do turbulentnı ho proudˇ nı nastane pri kriticke m Reynoldsovˇ

cı sle

Re krit = 2320 . Rychlost mu zeme definovat pomocıobjemove ho pru toku, ktery je zadan. Re krit =

Re krit ν Re krit ν πd 2 vd ⇒d = = , ν v 4Qv

v=

4Qv πd

2

η=

,

ν ρ

Prıklad 6.1.5 Kruhovym potrubı m o pru mˇ ru d proudıplyn, jehoz dynamicka viskozita je zadany hmotnostnıpru tok

η a hustota je ρ . Pro

Qm vypocı tejte strednırychlost v potrubıv s a urcete rezim proudˇ nı .

d=

0.149 m

v

-1 Qm = 0.2 kg.s η = 16.38E-06 Pa.s -3 1.15 kg.m ρ =

η,ρ

plyn

Vysledky:

Vypoctˇ te:

vs = ? Re = ? ν =?

d

Zadano:

. -1

ms

l

9.974 104 415.10

2. -1

m s

1.424E-05

Prıklad 6.1.6 Kruhovym potrubı m o pru mˇ ru d proudıolej, jehoz viskozita tabulkou. Sestrojte graf te to zavislosti. Pro zadany pru tok

ν v zavislosti na teplotˇ t je dana

Qv urcete rezim proudˇ nıoleje pri teplotach

t1 a t 2 . Pri jake teplotˇ se zmˇ nılaminarnıproudˇ nına turbulentnı?

31


Zadano:

d=

0.02 m 3 -1

0.003 m s

v

o

10 C

ρ,ν

o

50 C

Vypoctˇ te:

d

Qv = t1 = t2 = ν = ν (t )

Vysledky:

Re1 = ? Re 2 = ? t =?

olej

l

477.46 6 366.18 o

C

31

Zavislost kinematicke viskozity na teplotˇ o

t [ C] 0 10 20 30 40 50 2 -1 ν [m s ] 1E-03 4E-04 1.7E-04 8.5E-05 5E-05 3E-05 ν = ν (t) 1.2E-03

1.0E-03

2 -1

ν [m s ]

8.0E-04

6.0E-04

4.0E-04

2.0E-04

0.0E+00 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

o t [ C] 50


32

7. Proudenı dokonalych kapalin Dokonalou kapalinou se rozumıkapalina nestlacitelna a nevazka. V technicke praxi jsou caste prı pady jednorozmˇ rne ho proudˇ nı s aplikacına proudˇ nıkapalin v potrubı . Mezi zakladnırovnice popisujı cıproudˇ nıidealnıkapaliny patrırovnice kontinuity (spojitosti) reprezentujı cızakon zachovanı hmotnosti a Bernoulliho rovnice pro idealnıkapalinu, ktera je aplikacızakona zachovanıenergie v mechanice tekutin.

7.1. Rovnice kontinuity Rovnice kontinuity je aplikacızakona zachovanıhmotnosti. Pro jednorozmˇ rne proudˇ nılze odvodit rovnici kontinuity ve tvaru

∂(ρ S v ) ∂(ρ S ) + =0 , kde prvnıclen predstavuje konvektivnıa ∂s ∂t

druhy clen lokalnı zmˇ nu hmotnosti. Pri ustalene m proudˇ nı je tento clen roven nule a tedy

∂(ρ S v ) = 0 ⇒ ρ S v = konst . Pri ustalene m proudˇ nıprote ka kazdym pru rezem te ze proudove ∂s trubice stejny hmotnostnıpru tok kapaliny Q m = ρ S v = konst . Pro nestlacitelnou kapalinu lze za predpokladu ρ = konst definovat rovnici pro objemovy pru tok ve tvaru Qv = S v = konst. . Prıklad 7.1.1 Dvˇ potrubıo pru rezech

S 0 . Urcete pru rezy S 0 a S 2 , je-li zadano S1 a strednırychlost ve vsech ťsecı ch

je stejna. Vypocı tejte celkovy hmotnostnıpru tok

Qm .

Zadano:

Qv1 = Qv 2 = S1 = ρ = Vypoctˇ te: v= ?

S0 = ? S2 = ? Qm = ?

3

-1

3

-1

S1

5 m min 3 m min 0.04 m

0

2

890 kg.m

Q V0

-3

Q V2

Vysledky: m.s

-1

2.083

m

2

0.064

m

2

0.024

kg.s

-1

S2 2

118.667

Resenı :

Qv 0 = Qv1 + Qv 2 ,

v1 =

Qv1 , v1 = v 2 = v 0 S1

Qv 2 Q , S 0 = v0 , v2 v0 Qm = ρ S 0 v 0 = ρ (Qv1 + Qv 2 ) v 0 S2 =

Q V1

1

S0

potrubıo pru rezu

S1 a S 2 , kterymi prote ka objemovy pru tok Qv1 a Qv 2 , se spojujıv jedno

33


Prıklad 7.1.2 Ve zdymadlove komore o sı rce b a de lce l se snı zıhladina vody o vysku h za cas objemovy pru tok vody

t . Urcete strednı

Qv ve vypustne m zarızenı .

Zadano:

b= l= h = t =

h

40 m 300 m 8m 30 min

Qv = ?

Q

Vysledky:

Vypoctˇ te: 3 -1

ms

V

53.33

l

7.2. Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu Tato rovnice je aplikacızakona zachovanıenergie pri proudˇ nıdokonale kapaliny. Pri pohybu kapaliny pu sobına jejıcastice sı ly, ktere pri posunutıpo draze konajıpraci. Sectenı m tˇ chto elementarnı ch pracımezi dvˇ ma pru rezy 1 a 2, tj. integracı , se zı ska vztah pro celkovou energii proudı cıkapaliny. Podmı nka rovnovahy sil objemovych, tlakovych a setrvacnych

Fo + F p = Fs pri

proudˇ nıdokonale kapaliny je pritom vyjadrena Eulerovou rovnicıhydrodynamiky. Bernoulliho rovnice je tedy integralem Eulerovy rovnice hydrodynamiky po draze. Pro neustalene proudˇ nıje odvozena ve tvaru: s

∂v p v2 + − U + ∫ ∂s = konst ρ 2 ∂t 0 Pri ustalene m proudˇ nıdokonale kapaliny v proudove trubici a za pu sobenıpouze tı ze zemske je soucet tlakove , kineticke a polohove energie konstantnıa rovnice ma tvar

p v2 + + gh = 0 ρ 2 Pro dva pru rezy te ze proudove trubice 1 a 2 lze Bernoulliho rovnici napsat ve tvaru:

p1 v12 p v2 + + g h1 = 2 + 2 + g h2 ρ 2 ρ 2 v2 p kde je energie tlakova , energie kineticka a g h energie potencialnı . Energie jsou vztazeny ρ 2 na hmotnostnıjednotku kapaliny a jejich rozmˇ r je [ J.kg

−1

]. Jestlize se vydˇ lıcela rovnice tı hovym

zrychlenı m, pak kazdy clen predstavuje energii vztazenou na tı hovou jednotku kapaliny a ma rozmˇ r de lky.

p1 v12 p v2 + + h1 = 2 + 2 + h2 ρg 2g ρ g 2g


34

V uvedene rovnici je sest neznamych velicin a

CARA ENERGIE 2 v1

proto je jejı resenı podmı nˇ no dodrzenı m

2

v22 2

p1

2 v3

nasledujı cı ch pravidel:

2

1. V

ρ

hydrodynamicke

gH

1

p2

ρ

ρ

gh1 gh 2

musı byt

veliciny

p , v, h

urcujı cı znamy.

S vyhodou se za znamy pru rez volıhladina

p3

2

pru rezu

jednom

v nadrzi, kde je rychlost zanedbatelnˇ mala a 3

gh 3

U

mu ze se pokladat za rovnu nule, tlak je dan tlakem ovzdusı nebo je zadan, potencialnı

0

energie kapaliny odpovı da definovane

vysce

hladiny. Ve druhe m pru rezu musıbyt definovany dvˇ zname veliciny, v prı padˇ , ze je zadana pouze jedna, musıse k resenıpouzı t dalsırovnice, vˇ tsinou rovnice kontinuity. 2. Hladina nulove ho potencialu se volıv nı ze polozene m pru rezu. K te to hladinˇ se pak vztahuje potencialnıenergie (vysky) ostatnı ch pru rezu . 3. Tlaky v Bernoulliho rovnici mohou byt absolutnınebo relativnı , avsak na obou stranach rovnice definovany shodnˇ . Prıklad 7.2.1 Z nadoby vyte ka voda pru tokem pru mˇ ru

Qv svislym kuzelovym potrubı m o de lce l , ktere se k vystupnı mu

d 2 zuzuje pod ťhlem δ . Vypoctˇ te odpovıdajı cıvysku hladiny H a tlak p1 v mı stˇ 1 .

Atmosfe ricky tlak

p 0 je 101325 Pa.

Zadano:

p0

0 3

-1

200 m .h 1m

d1

d2 = 75 mm o δ = 10 ρ = 1000 kg.m-3

p1

v1

δ

Vysledky:

l

Vypoctˇ te:

1

H

Qv = l =

v2 = ? H =?

m.s m

-1

12.575 8.060

2

d2 = ?

m

p1 = ?

Pa (abs.tl.)

0.250

p0 v 2 d2

169 943.16

Resenı : Ze zadane hodnoty objemove ho pru toku se pomocırovnice kontinuity vypocı ta rychlost ve vystupnı m pru rezu potrubı2:

v2 =

4Qv π .d 22

Hladina v nadrzi predstavuje pru rez, ve ktere m jsou znamy hodnoty hydrodynamickych velicin pritom rychlost na hladinˇ se poklada za rovnu nule. Z Bernoulliho rovnice definovane pro hladinu 0 a vytokovy pru rez 1 se vypocı ta spad

H:

p , v,

35


p0 p 0 v 22 v 22 + 0 + gH = + + 0⇒ H = ρ ρ 2 2g K vypoctu tlaku

p1 v mı stˇ pripojenıpotrubık nadrzi se pouzije Bernoulliho rovnice definovana pro

hladinu 0 a pru rez 1,

p0 p1 v12 + 0 + gH = + + gl , ρ ρ 2  p0 v 2 S 2 v 2 d 22 v 2 d 22 v12  . Tlak p1 = ρ  kde rychlost v1 = + g (H − l ) −  . = 2 = S1 2  d1 (d 2 + 2 l tg(δ / 2))2  ρ Prıklad 7.2.2 Z nadoby vyte ka nasoskovym potrubı m o pru mˇ ru d dokonala kapalina o hustotˇ

ρ do tlaku ovzdusı

p 0 . Nadoba je otevrena a na hladinˇ je rovnˇ z atmosfe ricky tlak. Jsou dany vysky h1 a h1 . Vypocı tejte objemovy pru tok

m pru rezu nasosky. Qv a tlak p1 v nejvyssı

Zadano:

d = 12 cm ρ = 1000 kgm-3 1m h1 = 1m h1 = p 0 = 100000 Pa Vypoctˇ te:

Qv = ? p1 = ?

Vysledky: 3 -1

ms

d

0 h2

p0

h1

1

v = konst

ρ

2

0.05010

p0

Pa (abs. tl.) 80 380.00

Prıklad 7.2.3 Jak velky musıbyt spad

H , aby voda vyte kala vodorovnym potrubı m, jehoz konec je opatren

konfuzorem, do ovzdusı vytokovou rychlostıv 2 . Pru mˇ r potrubıje

d1 , vystupnıpru mˇ r je d 2 .

Kapalinu povazujte za dokonalou. Zadano:

d1 = 0.1 m d2 = 0.08 m -3 ρ = 1000 kg.m -1 v2 = 6 m.s p 0 = 100000 Pa Vypoctˇ te:

H =? p1 = ?

p0

v2 Vysledky:

m

d2

1

d1

H

0

1.83

Pa(abs.tl.) 110 627.2


36

7.2.1. Mˇ renırychlosti kapaliny v potrubıa jejı ho tlaku Mˇ renırychlostıje jednou ze zakladnı ch ťloh experimentu v mechanice tekutin. V praxi se uplatnujımetody neprı me , kdy rychlost je mˇ rena pomocıtlaku, jak vyplyva z Bernoulliho rovnice. Protoze ztraty trenı m jsou na male vzdalenosti odbˇ rovych mı st zanedbatelne , mu ze se pri mˇ renı tlaku a rychlosti v potrubıaplikovat Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu. Merenı mıstnı rychlosti K mˇ renımı stnırychlosti se mu ze pouzı t Pitotova nebo Prandtlova trubice. Pitotova trubice (zahnuta proti smˇ ru proudˇ nı ) mˇ rıcelkovy tlak v urcite m mı stˇ proudu, staticky tlak je mˇ ren piezometrickou trubicıpripojenou k otvoru navrtane mu kolmo ke stˇ nˇ potrubı . Bernoulliho rovnici lze pro vodorovne potrubınapsat ve tvaru:

p v2 1 + = konst ⇒ p + ρ v 2 = konst = p c ρ 2 2 nebo take

p s + pd = pc pd = pc − p s =

kde

1 ρv2 a v = 2

2 ( pc − p s ) = ρ

2 pd . Rozdı l celkove ho a staticke ho tlaku ρ

se mu ze urcit z rozdı lu vysek hladin v pripojenych tlakomˇ rnych trubicı ch

p d = ρ g (hc − hs ) nebo, v prı padˇ vˇ tsı ch tlaku , pomocı rozdı lu hladin ∆h odectene m na diferencialnı m tlakomˇ ru (Utrubice)

p d = g∆h( ρ m − ρ ) , kde ρ m 〉 ρ je hustota mˇ rı cıkapaliny.

Prıklad 7.2.4 Vypocı tejte rychlost vody, ktera se mˇ rıPitotovou trubici v ose potrubı . Urcete dynamicky tlak

pd .

h

Zadano:

hs =

0.3 m

hv = ρ =

0.4 m 1000 kg.m

Vysledky:

v =?

ms

pd = ?

Pa

-1

1.40

v

d

Vypoctˇ te:

-3

981.00

H2O Resenı : Rozdı l celkove ho a staticke ho je roven tlaku dynamicke mu, ktery je ekvivalentnıkineticke energii kapaliny

p d = ρ g hc − ρ g hs = ρ g (hc − hs )= ρ gh =

1 ρ v 2 ⇒ v = 2 gh 2

37


Prıklad 7.2.5 Vypocı tejte rychlost vody

v max , ktera se mˇ rıPitotovou trubici v ose potrubı . Rozdı l celkove ho a

staticke ho tlaku je mˇ ren pomocıU-trubice naplnˇ ne rtutıo hustotˇ

ρm . d

Zadano:

∆h = ρm =

13600 kg.m

-3

ρ =

1000 kg.m

-3

0.017 m

Vysledky:

v max = ? pd = ?

m.s

-1

Pa.

2.05

∆h

Vypoctˇ te:

h

max

2 101.30

m

Resenı : Rozdı l celkove ho a staticke ho tlaku lze urcit z podmı nky rovnovahy hydrostatickych tlaku na U-trubici definovane k rovinˇ 1-1, pritom se vzdy scı tajımˇ rene tlaky a hydrostaticke tlaky .

p L = p p ⇒ ps + ρ g (h − ∆h ) + ρ m g∆h = pc + ρ gh pd = pc − ps = g∆ h( ρ m − ρ ) =

1 2 ρ vmax ⇒ vmax = 2

2 g ∆h( ρ m − ρ ) ρ

Prıklad 7.2.6 Vypocı tejte rychlost vzduchu

v max , ktera se mˇ rıPitotovou trubici v ose potrubı . Rozdı l celkove ho a

staticke ho tlaku je mˇ ren pomocıU-trubice naplnˇ ne lihem o hustotˇ

ρm .

0.035 m 800 kg.m

-3

1.23 kg.m

-3

Vypoctˇ te:

v max = ? pd = ?

h

max

Vysledky: m.s

-1

Pa

22.40

∆h

∆h = ρm = ρ =

d

Zadano:

308.59

m

Merenı strednı rychlosti Strednırychlost lze stanovit z tlakove ho rozdı lu mezi dvˇ ma pru rezy, z nichz jeden je zťzen, jak je tomu u Venturiho trubice, clony nebo dyzy. Oba mˇ rene tlaky jsou staticke . Zťzenıpru rezu zpu sobı zvysenırychlosti a tı m pokles staticke ho tlaku. Ten je ťmˇ rny pru tokove rychlosti. Pri resenıje aplikovana Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu a rovnice kontinuity.


38

Pro dva ru zne pru rezy vodorovne ho potrubıa idealnıkapalinu lze napsat Bernoulliho rovnici ve tvaru

p1 v12 p 2 v 22 p1 − p 2 v 22 − v12 + = + ⇒ = ρ 2 ρ 2 ρ 2 Pomocırovnice kontinuity lze vyloucit jednu z neznamych rychlostı v1 nebo

v1 S1

v1 S1 = v 2 S 2 ⇒ v 2 =

S2

d  = v1  1   d2 

v2

2

a po dosazenıdo rovnice pro rozdı l tlaku se mu ze odvodit vztah pro strednırychlost v potrubıv1

p1 − p 2 v12  d1  = 2  d 2 ρ

Tlakovy rozdı l p1

4

 v2  − 1 2 

⇒ v1 =

2( p1 − p 2 )  d  4  ρ  1  − 1  d 2    

− p 2 lze urcit z rozdılu hladin h1 , h2 v pripojenych tlakomˇ rnych trubicı ch nebo s

vyuzitı m diferencialnı ho manometru, takze

p1 − p 2 = ρ g (h1 − h2 )

p1 − p 2 = g∆h( ρ m − ρ )

nebo

Prıklad 7.2.7 Do potrubıo pru mˇ ru

D je zapojena Venturiho trubice s minimalnı m pru mˇ rem mˇ ridla d . Vypoctˇ te

objemovy pru tok vody

Qv , jsou-li vysky odectene v tlakomˇ rnych trubicı ch h1 a h2 . Proudı cıkapalinu

povazujte za dokonalou. Zadano:

∆h

0.2 m 0.08 m 0.75 m

h1 -3

Vypoctˇ te:

v =? Qv = ?

v1

Vysledky: m.s

-1

v2

0.406

3 -1

ms

Resenı :

d

1000 kg.m

D

0.43 m

h2

D = d= h1 = h2 = ρ=

0.01275

v1 =

2( p1 − p 2 )  D   ρ   − 1  d   4

=

2 ρ g (h1 − h2 )  D   ρ   − 1  d   4

=

2 g (h1 − h2 ) 4

D   −1 d

Prıklad 7.2.8 Objemovy pru tok vody

Qv v potrubıo pru mˇ ru D je mˇ ren pomocıVenturiho trubice s minimalnı m

pru mˇ rem mˇ ridla d . Vysky odectene v tlakomˇ rnych trubicı ch jsou

h1 a h2 . Proudı cıkapalinu

povazujte za dokonalou. Jaka je strednırychlost vody v potrubı ? Vypocı tejte Reynoldsovo cı slo a urcete rezim proudˇ nıv potrubı .

39


Zadano:

∆h

0.4 m 0.125 m 0.95 m

h1

0.18 m -3

Vypoctˇ te:

Vysledky:

v =? Qv = ? Re = ?

ms

-1

v1

v2

D

1000 kg.m

d

h2

D= d= h1 = h2 = ρ=

0.381

3 -1

ms

0.04788 152 400

Prıklad 7.2.9 Pru tok vody v potrubıse mˇ rıVenturiho trubici spojenou s diferencialnı m U - manometrem se rtu„ovou naplnı . Jsou dany pru mˇ ry D,

d a zmˇ ren rozdıl tlaku

∆h . Vypoctˇ te objemovy pru tok Qv za

predpokladu, ze se voda chova jako dokonala kapalina. Urcete Re cı slo.

1

2

0.075 m

V

v

0.55 m 13600 kg.m

-3

1000 kg.m

-3

Vypoctˇ te:

v =? Qv = ? Re = ?

Vysledky: m.s

-1

3 -1

ms

∆h

ρ Hg = ρ=

0.25 m

D

D= d= ∆h

D

d

Zadano:

1.054 0.05174 263 500 Hg

Resenı : Z podmı nky rovnovahy na U-manometru se urcırozdı l statickych tlaku

(

) 2 g ∆h(ρ Hg − ρ ) =

∆ p = p1 − p 2 = g∆h ρ Hg − ρ v1 =

2( p1 − p2 ) =  D 4  ρ   − 1  d  

 D 4  ρ   − 1  d   v1 D πD 2 QV =v1S1 = v1 , Re = ν 4

2 g ∆h 4

D   −1 d

(ρ Hg − ρ ) ρ

Prıklad 7.2.10 Pru tok vzduchu ve vodorovne m potrubıse mˇ rıVenturiho trubici spojenou s U-trubicı , ktera je naplnˇ na lihem o hustotˇ rychlost je

ρ.

ρ m . Jsou dany pru mˇ ry D, d a zmˇ ren rozdıl tlaku

∆h . Vypoctˇ te

v vzduchu v potrubı , jeho objemovy pru tok Qv a hmotnostnıpru tok Q m . Hustota vzduchu


40

D = d= ∆h = ρm = ρ=

D

0.125 m

1

2

0.050 m

V

D

d

Zadano:

v

0.315 m -3

900 kg.m -3 1.18 kg.m Vysledky:

v =? Qv = ? Qm = ?

m.s

-1

11.121

3 -1

0.13648

-1

0.16104

ms

kg.s

∆h

Vypoctˇ te:

Hg

Prıklad 7.2.11 Jaky je rozdı l tlaku

∆p = p1 − p 2 na clonˇ , jestlize potrubı m prote ka voda o hustotˇ ρ a na

pripojene U Ř trubici, ktera je naplnˇ na rtutıo hustotˇ rychlost

ρ m je namˇ ren rozdı l hladin rtuti h . Vypoctˇ te

v vody v potrubı , kdyz jsou znamy pru mˇ ry potrubı D a clony d . Ztraty na clonˇ

zanedbejte. Vypocı tejte hmotnostnıpru tok

Qm . d

Zadano:

D = d= h= ρm =

13600 kg.m

-3

ρ=

1000 kg.m

-3

D

0.150 m 0.075 m 0.120 m

1

∆p = ? v= ? Qm = ?

2

Vysledky:

h

Vypoctˇ te:

2

Pa m.s

14 832.72 -1

kg.s

-1

1.406 24.846

m

41


8. Proudenı vazkč tekutiny 8.1. Proudenı skutec nych kapalin Pri proudˇ nıskutecne kapaliny se projevıvliv viskozity odporem proti pohybu. Smykove napˇ tıod viskozity je podle Newtona vyjadreno vztahem

τ =η

dv . Trecısı la Ft , kterou pu sobıvazka kapalina dy

na plochu S a kterou je nutno pri pohybu kapaliny prekonat, je urcena vztahem

Ft = τ S . Na

prekonanıtohoto hydraulicke ho odporu se spotrebuje cast mechanicke energie kapaliny, coz se projevıpoklesem rychlosti, tlaku nebo polohove vysky. Spotrebovana energie se premˇ nıv teplo. Velikost hydraulickych odporu zavisına rezimu proudˇ nıv potrubı , ktery mu ze byt laminarnınebo turbulentnı , viz kap.6. Krite riem je Reynoldsovo cı slo kruhove ho pru rezu je 2320. Pri pru tokem. Je-li

Re =

vs d , jehoz kriticka hodnota pro potrubı ν

Re ≤ Rekrit je v potrubılaminarnıproudˇ nıa ztraty rostou linearnˇ s

Re > Re krit , vznikne kvalitativnˇ zcela odlisny rezim - turbulentnıproudˇ nı , kdy

castice konajıneusporadany pohyb vsemi smˇ ry. Pohyb castic kolmo ke stˇ nˇ zvysuje tok hybnosti ke stˇ nˇ a proto je pokles tlaku ve smˇ ru proudˇ nımnohem vˇ tsınez v prı padˇ laminarnı ho proudˇ nı . Matematicky model jednorozmˇ rne ho proudˇ nı skutecne

tekutiny v potrubı je dan rovnicı

kontinuity vyjadrujı cızakon zachovanıhmotnosti (viz 7.1.), ktera pro skutecnou kapalinu ma stejny tvar jako pro kapalinu idealnı , tj.

Qv = v S = v ⋅

π d2 = konst v prıpadˇ nestlacitelne kapaliny 4

π d2 Qm = ρ v S = ρ v = konst v prıpadˇ kapaliny stlacitelne . 4 Podmı nka rovnovahy sil pri proudˇ nıskutecne kapaliny

Fo + F p + Ft = Fs je vyjadrena Navier-

Stokesovou rovnicı . Do podmı nky rovnovahy sil je nutno na rozdı l od idealnıkapaliny zahrnout trecı sı ly

Ft , ktere jsou du sledkem viskozity. U cinek tˇ chto sil se musıobjevit i v Bernoulliho rovnici pro

skutecnou kapalinu, respektujı cızakon o zachovanıenergie.

8.2. Bernoulliho rovnice pro skutec nou tekutinu Vsechny sı ly, a tedy i trecısı la

Ft , pri posunutıpo draze konajıpraci. Bernoulliho rovnice pro

skutecnou kapalinu musıtedy na rozdı l od rovnice pro idealnıkapalinu obsahovat dalsıclen, ktery predstavuje praci trecı ch sil na jednotku hmotnosti proudı cıtekutiny, coz je rozptylena (disipovana) mˇ rna energie

e r , spotrebovana na prekonanıhydraulickych odporu na ťseku vymezene m dvˇ ma

pru rezy proudove trubice. Tato rozptylena energie, casto oznacovana jako mˇ rna ztratova energie

e z , zmensuje mechanickou energii kapaliny (tlakovou + kinetickou + polohovou) a mˇ nıse v teplo. Rozdı l mezi energetickym horizontem a carou energie ukazuje ťbytek mechanicke energie tekutiny.


42

ENERGETICK Y HORIZONT C AR h hz12 A z13

2 v1

2g

EN

v22 2g

p1 ρg

Bernoulliho rovnici pro proudˇ nıskutecne tekutiny lze pro dva pru rezy te ze proudove

ER

G IE

2 v3

1 v1

2g

p2 ρg

p3

2

h1

v2 h2

H0

ρg

h3

trubice 1 a 2 napsat ve tvaru:

p1 v12 p v2 + + g h1 = 2 + 2 + g h2 + er ρ 2 ρ 2 kde mˇ rnou rozptylenou energii

3

v3 U

vyjadrit pomocıkineticke energie, tlakove , prı padnˇ potencialnıenergie

0

ez =ζ soucinitel,

e r ( e z ) lze

v2 pz = = g h z , kde ζ je ztratovy 2 π

p z tlakova ztrata, h z ztratova vyska. Nejcastˇ ji se v Bernoulliho rovnici definuje mˇ rna

ztratova energie pomocıztratove vysky. Rovnice pak ma tvar

p1 v12 p v2 + + g h1 = 2 + 2 + g h2 + g h z ρ 2 ρ 2 Prıklad 8.2.1 Ve vodorovne m potrubıstale ho pru rezu d byla ve dvou pru rezech vzdalenych o de lku l zmˇ rena pomocıpiezometrickych trubic diference tlakove energie, tj. vysky h1 , h2 , a dale byla zmˇ rena strednı rychlost

v proudı cı ho oleje o kinematicke viskozitˇ ν a hustotˇ ρ . Urcete mˇ rnou ztratovou energii

e z , tlakovou ztratu p z a Reynoldsovo cı slo Re . Zadano:

h2

h1 Vysledky:

Vypoctˇ te:

ez = ? pz = ? Re = ?

∆h

l= 5m d= 0.1 m -1 v= 2 m.s 0.45 m h1 = 0.2 m h2 = ν = 0.00017 m2s-1 -3 ρ= 890 kg.m J.kg Pa

-1

2.4525

v 2

1

2 182.73 1 176.471

l

Prıklad 8.2.2 V trubici obecne ho pru rezu byla pri proudˇ nıvody zmˇ rena ve dvou ru znych pru rezech strednırychlost

S1 , S 2

v1 , v 2 a soucasnˇ i tlakova energie pomocıpiezometrickych trubic (vysky ∆ h1 ,

∆h2 ). Zvolene pru rezy jsou ve vyskach h1 , h2 . Mˇ rna hmotnost vody je ρ . Urcete velikost mˇ rne

43


rozptylene (ztratove ) energie hmotnostnıpru tok

e z a tlakove ztraty p z . Dale vypoctˇ te objemovy pru tok Qv a

Qm .

Zadano:

S1 = v1 = v2 = ∆h1 = ∆h2 = h1 = h2 = ρ=

ENERGETICKY HORIZONT 0.035 m

v12

2

1.2 m.s 2.1 m

ENE

hz12 R G IE

p1 ρg

0.6 m

2

v2 2g

1

0.3 m 25 m

v1

17 m 1000 kg.m

H0

p2

ρg

h1

-3

2

v2

Vysledky:

Vypoctˇ te:

ez = ? pz = ? Qv = ? Qm = ?

C ARA

2g

-1

J.kg

-1

Pa

h2

79.9380

U

0

79 938.0

3 -1

ms

kg.s

0.042

-1

42.000

Prıklad 8.2.3 Stanovte tlakovou ztratu

p z trenı m na de lce l ve vodorovne m potrubı , jimz proudıvzduch o hustotˇ

ρ , pritom hustota mˇ rı cıkapaliny je ρ m . Prepoctˇ te tlakovou ztratu p z na ztratovou vysku h z a mˇ rnou ztratovou energii

ez .

Zadano:

ρm =

900 kg.m

-3

ρ =

1.23 kg.m

-3

vz

Vysledky: Pa J.kg m

264.508 -1

215.047

∆h

Vypoctˇ te:

pz = ? ez = ? hz = ?

d

0.03 m

h

∆h =

l

21.921

l


44

9. Laminarnı proudenı 9.1. Proudenı v trubici kruhovčho prurezu Laminarnıproudˇ nıv trubici kruhove ho pru rezu nastane pri

Re ≤ Re krit = 2320 . Pri resenı

laminarnı ho proudˇ nıse uplatnuje Newtonu v vztah pro smykove napˇ tı τ

odvodit, ze pru bˇ h smykove ho napˇ tıje dan vztahem

=η

dv . Lze snadno dy

dp p z i τ = − r , kde i = = . Smykove napˇ tı 2 dl L

pu sobıproti pohybu, maximalnıhodnoty nabyva na stˇ nˇ , v ose potrubıje nulove . 2  1 p z  d  Rychlostnıprofil je parabolicky v =   − r 2  , maximalnırychlost je v ose potrubı 4η L  2  

1 pz 2 1 pz 2 d , na stˇ nˇ je rychlost nulova, strednırychlost v potrubıv s = d , pomˇ r 16η L 32η L vs 1 strednı a maximalnı rychlosti m = a objemovy pru tok z rovnice kontinuity = v max 2 π pz 4 D . Qv = 128η L v max =

Prıklad 9.1.1 Urcete tlakovou ztratu

p z ve vodorovne m potrubıo pru mˇ ru d a de lce l , ve ktere m proudıolej

rychlostıvs . Hustota oleje je

ρ a kinematicka viskozita ν . 1

Zadano:

Re = ? pz = ?

p1

p2 l

Vysledky: 156.25 Pa

d

vs

d= 10 mm l= 15 m vs = 2.5 m -3 ρ= 900 kg.m v = 0.00016 m2.s-1 Vypoctˇ te:

2

1 728 000

Resenı :

Re =

d vs 64 , λ= Re ν

p z = p1 − p 2 = λ

l v s2 ρ d 2

Prıklad 9.1.2 Urcete objemovy pru tok nafty v potrubıkruhove ho pru rezu o pru mˇ ru d , jestlize na de lce l byla zmˇ rena ztratova vyska

hz . Je dana hustota nafty ρ a kinematicka viskozita ν .

45


Zadano: d= l=

100 mm 20 m

Vysledky: ms

Re = ? λ=? Qv = ?

-1

1.36250

3 -1

ms

hz = λ

Resenı :

vs

1 p1

605.56 0.10569 0.0107

2

d

Vypoctˇ te: vs = ?

hz

hz = 2m -3 ρ= 890 kg.m 2 -1 v = 0.000225 m .s

p2 l

2 g d 2 hz l v s2 64 l v s2 64νl v s = = 2 ⇒ vs = d 2 g vs d d 2 g 64ν l d 2g ν

d.v s Re = ν

πd 2 Qv = vs 4

64 λ= , Re

,

Prıklad 9.1.3 Vodorovnym prı mym potrubı m o de lce l a pru mˇ ru d prote ka olej strednırychlostı v s . Stanovte

Qv a potrebny tlakovy spad ∆p . Je dana hustota oleje ρ a kinematicka viskozita ν .

Zadano: d= l=

vs = ρ= v= Vypoctˇ te: Qv = ?

∆p = ?

8 mm 20 m 5 ms

1

-1

2 vs

-3

900 kg.m 2 -1 0.0004 m .s

d

pru tok oleje

p1

p2

Vysledky: 3 -1

ms Pa

l

0.00025 18 000 000

Prıklad 9.1.4 Na cejchovnı m laboratornı m potrubıpru mˇ ru d se mˇ rıviskozita proudı cı ho me dia. Pru tok se mˇ rı odmˇ rnou nadobou o objemu V a dobou jejı ho naplnˇ nıτ . Na de lce potrubıl byl soucasnˇ zjistˇ n pomocıpiezometrickych trubic tlakovy rozdı l odpovı dajı cı∆h . Ovˇ rte, zda je proudˇ nılaminarnıa urcete kinematickou viskozitu.

Re = v= ?

Vysledky: 3 -1

ms

2 -1

ms

0.0000667 1 727 0.000004917

1 p1

vs

d

∆h = Vypoctˇ te: Qv = ?

10 mm 2m 3 1 dm 15 s 300 mm

hz

Zadano: d= l= V= τ=

2 p2

l


46

9.2. Proudenı mezi paralelnımi deskami Mezi rovnobˇ znymi deskami je tlakovym spadem

∆p = p1 − p 2 vyvolano laminarnıproudˇ nıve

vodorovne m smˇ ru. Rychlostnıprofil, pru tok, strednırychlost a pomˇ r strednıa maximalnırychlosti pri laminarnı m proudˇ nımezi paralelnı mi deskami o sı rce b , jejichz vertikalnıvzdalenost je h , jsou urceny vztahem

v=

v p p 1 pz (h − y ) y , Qv = 1 z bh 3 , v s = 1 z h 2 , s = 2 2η L 12η L v max 3 12η L

Rychlostnıprofil predstavuje v nakresnˇ kvadraticka parabola. Maximalnırychlost

je uprostred vzdalenosti desek , tj.

y=

v max =

1 pz 2 h 8η L

pz h . Pru bˇ h smykove ho napˇ tıje mezi deskami je τ = − y. 2 L

Jako pru tok mezi dvˇ mi rovnobˇ znymi

deskami lze resit take pru tok valcovou mezerou.

Predpoklada se, ze valcova mezera je velmi ťzka. S ı rka mezery v tomto prı padˇ se rovna obvodu kruznice, tedy b = πd a vzdalenost desek h odpovı da tlous„ce valcove mezery, cili h = s . Rychlostnı profil, pru tok, strednırychlost a pomˇ r strednıa maximalnırychlosti jsou dany vztahy

v=

v p p 1 pz (s − y )s , Qv = 1 z π d s 3 , v s = 1 z s 2 , s = 2 12η L 12η L v max 3 2η L

Prıklad 9.2.1 Obde lnı kova mezera ma de lku l , sı rku b a vysku h . Jaky je potrebny tlakovy rozdı l mezerou proudil olej o dynamicke viskozitˇ

∆p , aby

η a objemove m pru toku Qv ?

Zadano: 200 mm 80 mm 0.06 mm 3

p1

p2

-1

0.2 dm min

l

0.08 Pa.s

Vypoctˇ te:

∆p = ?

vs h

l= b= h= Qv = η=

Vysledky: Pa

37 037 037

Prıklad 9.2.2 V hydraulicke m valci o pru mˇ ru d a de lce l se udrzuje staly tlak radialnımezeru

p . Urcete nejvˇ tsıprıpustnou

s mezi pı stem a valcem, pricemz pri maximalnımozne vystrednosti pı stu nesmıbyt

objemove ztraty oleje o viskozitˇ

η pri teplotˇ 1000C vˇ tsınez zadane Qv . Pro jednoduchost

predpokladejte, ze valcova mezera je velmi ťzka a tudı z je rozvinuta na mezeru obde lnı kovou o sı rce

b = πd .

47


s

Zadano:

d= l= Qv = p= η=

D

3

0.005 dm .s

-1

2 MPa 0.0051 Pa.s

Vypoctˇ te: b=? s=?

d

40 mm 80 mm

p

Vysledky: 0.12566 0.00005

m m

l

s=3

Resenı :

12QV lη pb

Prıklad 9.2.3 Kapalina proudız prostoru, kde je pretlak velikosti

s1 a s2 a de lkach l kolem pı stu o pru mˇ rech d1 a d 2 . Urcete tlous„ku mezery s2 tak, aby

tlak v meziprostoru viskozitˇ

p do prostoru o tlaku p 2 dvˇ ma kruhovymi sparami o

p1 byl strednıhodnotou tlaku p a p 2 . Urcete pru tok Q v oleje o dynamicke

η.

Zadano:

p

50 mm

0.4 MPa 0 MPa

p2

p1

d1

40 mm 0.25 mm

s1

s2

25 mm

l

d2

d1 = d2 = l= s1 = p= p2 = η=

l

0.01 Pa.s Vysledky:

Vypoctˇ te: p1 = ?

MPa 3

Qv = ? s2 = ?

dm .s mm

0.2 -1

0.05113 0.19843

9.3. Proudenı mezi paralelnımi deskami s unasivym pohybem Mezi rovnobˇ znymi deskami, z nichz jedna se pohybuje rychlostıu , proudıkapalina unasenı m jednou z ploch. Tlakovy rozdı l je nulovy. Pru bˇ h smykove ho napˇ tıpodle Newtonova zakona viskozity je

τ =η

u . Rychlostnıprofil, pru tok a strednırychlost proudˇ nıv mezere jsou urceny vztahy h v=u

u y 1 , QV = ubh , v s = h 2 2

Je zrejme , ze rychlostnıprofil je linearnıa strednırychlost je rovna polovinˇ rychlosti unasene desky. U valcove mezery je pru tocna plocha

S = π d h , takze pru tok Qv =

1 uπ d h . 2

Prıklad 9.3.1 U obde lnı kove mezery sı rky b a vysky h se hornıstˇ na pohybuje unasivou rychlostıu vzhledem k pevne dolnıstˇ nˇ . Jaky objemovy pru tok oleje prote ka mezerou?


48

Zadano:

Vypoctˇ te:

Qv = ?

u

200 mm 0.1 mm 15 m -1 0.75 ms

h

b= h= l= u=

Vysledky: 3 -1

ms

0.00000750

Prıklad 9.3.2 Hydraulicky valec o pru mˇ ru d a de lce l ma soustrednˇ ulozeny pı st s vyskou mezery h . Pı st se pohybuje rychlostıu . Stanovte objemovy pru tok oleje o dynamicke viskozitˇ spadu

η pri zadane m tlakove m

∆p . Pro jednoduchost predpokladejte, ze valcova mezera je velmi ťzka a tudız je rozvinuta na

mezeru obde lnı kovou o sı rce b = πd . Zadano:

Vypoctˇ te: b=?

QV = ?

s

d= 100 mm l= 50 mm h = 0.00005 m -1 u= 0.5 m.s ∆p = 15 MPa η= 0.06 Pa.s

d

u p1

p2

Vysledky: 0.31416

m 3

m .s

-1

l

0.00002029

9.4. Proudenı valcovou mezerou V hydraulickych strojı ch a zarı zenı ch se casto lze setkat s prı pady, kdy kapalina proudıvalcovou mezerou. Pru tok valcovou mezerou je v prı padˇ velmi ťzke mezery urcen jako pru tok mezi dvˇ ma deskami, viz kap. 9.2. Pokud se resıpru tok ve valcove mezere jako pru tok mezikruzı m, platıpro rychlostnıprofil, objemovy pru tok a strednırychlost tyto vztahy

r  ln  r1 1 pz  2 v= r1 − r 2 + r22 − r12  r 4η L ln 2  r1     2 2 r2 − r1  1 pz  2 2 vs = r + r − 2 1 r  8η L  ln 2   r1  

(

)

     

Qv =

(

π pz 2 r2 − r12 8η L

  2 2  r 2 + r 2 − r2 − r1 1  2 r ln 2  r1 

)

     

Prıklad 9.4.1 Urcete objemovy pru tok valcovou soustrednou mezerou o de lce l , vnˇ jsı m polomˇ ru polomˇ ru r1 , pri tlakove m rozdı lu

∆p . Dynamicka viskozita oleje je η .

r2 a vnitrnı m

49


Zadano:

l

l= r1 = r2 = ∆p = η=

20 mm 24.97 mm

p1

p2

h

v 1

r

25 mm 32 MPa

Qv = ?

r2

0.05 Pa.s

Vypoctˇ te:

Vysledky: 3

m .s

-1

1.13029E-05

Prıklad 9.4.2 V pracovnı m prostoru hydraulicke ho valce se udrzuje staly tlak dynamicke viskozitˇ

p . Urcete objemove ztraty Qv oleje o

η kruhovou sparou pri soustredne m ulozenıpı stu ve valci. Pru mˇ r pı stu je d , s . Vysledek porovnejte s vypoctem pru toku Qvp zı skanym zjednodusenˇ jako

de lka l a radialnıvu le

proudˇ nımezi paralelnı mi deskami. Zadano: s

120 mm 140 mm 0.1 mm 7 MPa

p0 d

d= l= s= p= η=

0.05 Pa.s

Vypoctˇ te:

Vysledky:

Qv = ?

m .s

3

-1

3.14421E-05

QVp = ?

m .s

3

-1

3.14159E-05

p l

9.5. Stčkanı po svislč stene Viskoznıkapalina, ktera ulpı va na svisle stˇ nˇ , ste ka po nıťcinkem tı hove ho zrychlenı . Na rozhranı ste kajı cıvrstvy kapaliny o tlous„ce h s ovzdusı m je tlak ovzdusı p o . Proudˇ nıje ustalene , tlak ve ste kajı cıvrstvˇ je konstantnı . Rychlostnıprofil, pru tok, strednırychlost a podı l strednıa maximalnı rychlosti jsou urceny vztahem

v=

g 2 vs 2 g x gb 3 h , vs = h , =  h −  x , QV = ν 2 3ν 3ν vmax 3

Pru bˇ h smykove ho napˇ tıje

τ = ρg (h − x ) Prıklad 9.5.1 Po svisle stˇ nˇ ste ka voda o teplotˇ

t1 a viskozitˇ ν 1 . Jaky je objemovy pru tok Qv a strednırychlost

v s , kdyz tlous„ka vrstvy ste kajı cıvody je h a sı rka stˇ ny je b . Zkontrolujte, zda se jedna o laminarnı proudˇ nı , tj. Re ≤ 1000 (z hydraulicke ho pru mˇ ru). V jake m pomˇ ru se zmˇ nıobjemovy pru tok pri zmˇ nˇ teploty kapaliny na

t 2 a tudız viskozity ν 1 na ν 2 .


50

Zadano:

h= b= ν1 = ν2 =

0.4 mm 0.8 m

x vs

1.011E-06 Pa.s 0.6E-06 Pa.s

Vypoctˇ te:

Vysledky:

Qv1 = ? Re = ? Qv 2 = ? Qv 2 ? = Qv1

m .s

3

-1

3

-1

h

0.000166 819

m .s

0.00028 1.69

9.6. Proudenı klınovou mezerou tvorenou rovinnymi deskami V teorii hydrodynamicke ho mazanıje vyznamne proudˇ nıv klı nove mezere, ktera je tvorena dvˇ ma plochami, z nichz spodnıse pohybuje rychlostı u . Rychlostnıprofil, pru tok, strednırychlost a podı l strednıa maximalnırychlosti jsou urceny vztahem

 ih 2 u   i g 2 hh u vs 2 h , v =  y + (h − y ) , Qv =  = + h = 1 2 u , v s =  12η 2  2 3γ h1 + h2 vmax 3  2η   Maximalnıtlak v mezere

p max

2 2 3 ηu ( x1 − x 2 ) 3 ηu (h1 − h2 ) = = , 2 ψ 2 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) 2 ψ h1h2 (h1 + h2 )

h=

h1 − h2 x = x.tgψ =& ψx x1 − x 2

Prıklad 9.6.1 Klı nova mezera tvorena rovinnymi deskami je zatı zena silou

F . Rozmˇ ry mezery jsou h1 , h2 , x1 ,

x 2 . Jak velky objemovy pru tok Qv prote ka klı novou mezerou a jaky je maximalnıtlak p max oleje v mezere, ma-li tento dynamickou viskozitu η ? Dolnıdeska ma sı rku b a pohybuje se rychlostıu . Zadano: 10000 N 0.2 mm F

0.15 mm

h1

150 mm 70 mm 15 ms

h2

F= h1 = h2 = x1 = x2 = u= b= η=

-1

x2

1m

QV = ? p max = ?

x1

0.05 Pa.s

Vypoctˇ te:

Vysledky: 3

m .s Pa

-1

F

0.001286 428 571

x u

51


10. Turbulentnı proudenı Turbulentnı proudˇ nı je trojrozmˇ rny, casovˇ promˇ nny pohyb tekutiny, pri nˇ mz veliciny charakterizujı cıproudˇ nı(rychlost, tlak, hustota, teplota) se mˇ nınahodile v case. Okamzite hodnoty velicin neustale kolı sajıkolem strednıhodnoty, takze v kazde m okamziku je naprı klad rychlost dana souctem strednırychlosti a fluktuacnıslozky. Pro slozku rychlosti ve smˇ ru

v x = v x + v ′x , kde v x je strednıhodnota rychlosti v case a hodnota

x tedy bude platit

v ′x je fluktuacnıslozka. Strednı

v x (resp. vy , vz ) za cas T se urcıze vztahu T

1 v x = ∫ v x dt . T 0

Je-li casovy interval dostatecnˇ dlouhy, je strednıhodnota fluktuacnıslozky v ′ nulova

v′ x =

T

1 v ′x dt = 0 . T ∫0

10.1. Turbulentnı proudenı v potrubı Pro technicke vypocty v praxi se turbulentnıproud povazuje za ustalene pole strednı ch rychlostı mı sto neustalene ho pole okamzitych rychlostıa lze pouzı t vztahu odvozenych drı ve, napr. rovnici kontinuity a Bernoulliho rovnici. Du lezite jsou zejme na strednıhodnoty rychlosti a tlaku, ktere se mohou snadno urcit bˇ znymi prı stroji. Napr. rychlostnıprofil tekutiny proudı cıpotrubı m turbulentnˇ vyjadruje rozlozenıstrednırychlosti. Na rozdı l od laminarnı ho proudˇ nıv potrubı , kdy pru bˇ h rychlosti po pru rezu lze odvodit z matematicke ho popisu laminarnı ho proudˇ nı , u turbulentnı ho proudˇ nılze tvar rychlostnı ho profilu pribliznˇ vyjadrit pomocılogaritmicke nebo mocninne funkce. Konstanty vystupujı cıv tˇ chto zavislostech jsou urceny experimentalnˇ ru znymi autory. Je-li znamo rozlozenıstrednı ch rychlostıv po pru rezu, je mozne integracıpo pru rezu stanovit

Qv , tj. rychlost, ktera se dosazuje S do rovnice kontinuity, do Bernoulliho rovnice, do vztahu pro Re cı slo a ztratovou vysku h z , a take . pomˇ ru strednıobjemove rychlosti v ku maximalnırychlosti v max v ose potrubı

objemovy pru tok

Qv , strednıobjemovou rychlost po pru rezu v =

Prıklad 10.1.1 Vypocı tejte rychlost vzduchu hustotˇ

v max , ktera se mˇ rıPitotovou trubici v ose potrubı . V U - trubici je lı ho

ρ m . Stanovte strednırychlost v s z maximalnırychlosti v max . Predpokladejte rychlostnıprofil

vyjadreny vztahem:

 r 2  a) v = v max 1 −  R 2   n

b)

n0

, kde

r je vzdalenost od osy potrubı , n 0 = f (Re )

 y v = v max   , kde y je vzdalenost od stˇ ny potrubı , n = f (Re )  R


52

Zadano: 0.200 m

d= h =

0.045 m 980 kg.m

-3

d

ρm =

-3 ρ = 1.20 kg.m ν = 1.75E-05 m2s-1

pd = ?

Pa .

v max = ? Re = ? n0 = ? m=? vs = ? n= ? m=? vs = ?

m.s

-1

h

Vysledky: 432.091

∆h

Vypoctˇ te:

max

26.836 306 697 0.189 0.841

m.s

-1

m.s

-1

m

22.569 0.106 0.858 23.04

Resenı : Rozdı l celkove ho a staticke ho je roven tlaku dynamicke mu. Urcıse z rozdı lu hladin ∆h odectene m na diferencialnı m tlakomˇ ru (U-trubice) ze vztahu

p d = g∆h( ρ m − ρ ) , kde ρ m 〉 ρ Rychlost v ose potrubıse vypocte z dynamicke ho tlaku

pd = Pro exponent

1 2 ρ ⋅ v max ⇒ v max = 2

2 g ∆h( ρ m − ρ ) ρ

n 0 v mocninove m rychlostnı m profilu ad a) byl na zakladˇ experimentalnı ch vysledku

urcen vztah

1 Re = 1+ 6 ⇒ n0 = n0 50

1 1+ 6

Re 50

Pomˇ r strednıa maximalnırychlosti v potrubı

m=

vs v max

=

Hodnotu exponentu

1 a v s = m ⋅ v max 1 + n0 n v mocninove m rychlostnı m profilu ad b) lze urcit ze vztahu, ktery definoval

napr. Troskolanski

1 1 = 1.03 ln Re− 3.6 ⇒ n = n 1.03 ln Re− 3.6 Pomˇ r strednıa maximalnırychlosti v potrubı

m=

vs v max

=

2 a v s = m ⋅ v max (n + 1) ⋅ (n + 2)

53


11. Hydraulicky vypoc et potrubı Hydraulicky vypocet potrubıje aplikacıBernoulliho rovnice, rovnice spojitosti a poznatku o hydraulickych odporech trenı m a mı stnı ch. Jak jiz bylo uvedeno, vznikajıpri proudˇ nıskutecnych tekutin nasledkem viskozity hydraulicke odpory, tj. sı ly, ktere pu sobıproti pohybu castic tekutiny. Mechanismus hydraulickych odporu je slozity jev, ktery se dosud nepodarilo exaktnˇ vyresit az na jednodussı prı pady laminarnı ho proudˇ nı . Proto se v hydraulickych vypoctech uplatnuje rada poloempirickych metod. Z fyzikalnı ho hlediska lze hydraulicke odpory (ztraty) rozdˇ lit na ztraty trenı m a ztraty mı stnı .

11.1. Trecı ztraty v potrubı Ztraty trenı m vznikajıvzajemnym trenı m castic proudı cıtekutiny pri rozdı lnych rychlostech a trenı m tekutiny o stˇ ny zarı zenı . Pri proudˇ nıskutecne tekutiny je rozlozenırychlostıpro pru tocne m pru rezu nerovnomˇ rne a v jednotlivych vrstvach a na stˇ nach vznikajıtecne sı ly a napˇ tıod viskozity. Pri turbulentnı m proudˇ nıdochazınavı c k vymˇ nˇ hybnosti a energie mezi jednotlivymi vrstvami, coz je spojeno s prı davnymi silami, ktere zvysujıhydraulicky odpor. Ztraty trenı m lze definovat stejnym zpu sobem pro laminarnıi turbulentnıproudˇ nıpomocıztratove vysky

h z podle Darcy-Weisbacha

pz l v2 v2 hz = =λ =ζt d 2g ρg 2g , d jeho pru mˇ r a kde λ je trecısoucinitel, l je de lka potrubı

v je strednırychlost v potrubı. Velikost

ztraty trenı m zavisına rezimu proudˇ nıv potrubı , ktery se urcına zakladˇ hodnoty Reynoldsova cı sla.

Souc initel trenı pri laminarnım proudenı v potrubı U laminarnı ho proudˇ nıpro Re < 2320 se hodnota trecı ho soucinitele da odvodit analyticky pro potrubıkruhove ho i nekruhove ho pru rezu. V prı padˇ

potrubıkruhove ho pru rezu je za predpokladu

vyvinute ho laminarnı ho proudˇ nısoucinitel trenıλ zavisly pouze na Re a je dan vztahem

λ=

64 Re

Pro potrubınekruhove ho pru rezu platıanalogicka rovnice

λ=

A , kde A je funkcıtvaru pru rezu. Re

Hodnoty te to konstanty respektive vztahy pro urcenısoucinitele trenıa ztratove ho soucinitele jsou uvedeny v nasledujı cıtabulce.


54

Re = v

(D − d )

λ=

ν

64 ⋅ Re

 d 1 −   D

2

d 1−   d D 1+   + d  D ln D

2

=

K0 Re

ζt =λ

l D−d

2

d

a

a

D

Re =

va ν

λ=

92.4 Re

ζt =λ

l a

Re =

va ν

λ=

57 Re

ζt =λ

l a

Re =

vb ν

λ=

K1 Re

ζt =λ

l b

a

a

b

a

a

b = a

1

0.8

0.5

0.333

0.25

0.1

K1 =

57

64.7

93.2

137.6

181.8

465.9

b

Re =

vb ν

b = a K2 =

a

λ=

K2 Re

ζt =λ

1

0.7

0.5

0.3

0.2

0.1

64

55.2

50.9

47.4

45.7

42.9

l b

Souc initel trenı pri turbulentnım proudenı v potrubı Soucinitel trenıλ je zavisly na velikosti Reynoldsova cı sla Re a pomˇ rne drsnosti prı padnˇ relativnıdrsnosti

kr =

ε=

d , k

k , kde k je absolutnıdrsnost stˇ ny potrubıv mm. Pro hladke potrubı d

k = 0 odvodil Blasius vztah pro soucinitel trenıpri turbulentnı m proudˇ nıve tvaru 0,3164 4 λ= 4 , ktery platıv rozmezıRe k ≤ Re ≤ 8.10 Re

Vyznamna je take Prandtlova rovnice pro hydraulicke hladke potrubıuvadˇ na ve tvaru

1 λ

(

)

= 2 log Re λ − 0 ,8

Mezi oblastıhydraulicky hladkych potrubıa oblastıvyvinute ho turbulentnı ho proudˇ nıje oblast prechodova, v nı z soucinitel trenıλ zavisıjak na Reynoldsovˇ cı sle, tak na relativnıdrsnosti

k . Pro d

tuto oblast bylo ru znymi autory odvozeno nˇ kolik desı tek rovnic, nejcastˇ ji se vsak pouzı va vzorec, ktery odvodil Colebrook-White

55


 k 2,51 = 2 log  0,27 + d Re λ λ 

1

   

Tuto rovnici lze resit pouze iteracnı mımetodami, proto pro prı me urcenıλ je vhodnˇ jsıvztah

k  5.74  0.25 = 2 log  0,27 + ⇒λ = . 0 9 2 d Re   λ   k 5.74  log  0.27 + 0.9  d Re   

1

Pro rucnıvypocet lze take pouzı t vztah podle Altsula

 100 k  λ = 0.1 +   Re d 

0.25

Pro vyvinute turbulentnıproudˇ nıje mozne aplikovat pro vypocet λ vztah podle Nikuradseho, ktery vysetroval vliv drsnosti v bronzove m potrubıexperimentalnˇ jiz v letech 1930-1933.

λ=

1 d    2 log + 1,138  k  

2

k Re λ 〉 191,2 d

pro

cıtabulce. Dalsıvztahy pro vypocet trecı ho soucinitele λ jsou uvedeny v nasledujı Autor

Oblast

Vzorec

Platnost

λ = 0.3164 ⋅ Re −0.25

Re 〈 8 ⋅10 4

Lees

λ = 0.00714 + 0.61 ⋅ Re −0.35

Re 〈 1.5 ⋅10 6

λ = 0.0056 + 0.5 ⋅ Re −0.32

Re 〈 10 6

λ = 0.0054 + 0.395 ⋅ Re −0.3

Re 〈 10 8

Drew Herrman Karman-Nikuradse

Hydraulicky hladka potrubı

Blasius

1 Re λ = 2 ⋅ log 2.51 λ

Re 〈 6 ⋅10 4

λ = (1.8 ⋅ log Re− 1.5)−2

Nikuradse

λ = 0.0032 + 0.221 ⋅ Re −0.237

Colebrook-White

Moody

Karman Nikuradse

Hydraulicky drsna potrubı

Altsul

Prechodna oblast turbulentnı ho proudˇ nı proudˇ nı

Konakov

 100 k  λ = 0.1 +   Re d 

0.25

 k 2,51 = 2 log  0,27 + d Re λ λ 

1

  

1  6 3    k 10  λ = 0.00551 +  2 ⋅10 4 +   d Re       1 d = 1.74 + 2 ⋅ log 2k λ 3.7 d 1 = 2 ⋅ log k λ

0.34 ≤

k ⋅ Re⋅ λ ≤ 6.2 32.5d

4 ⋅10 3 〈 Re 〈 ⋅10 7 k ⋅ Re⋅ λ 〉 191.2 32.5d

Soucinitel trenıλ v oblasti turbulentnı ho proudˇ nı


56

Ztraty trenı m turbulentnı ho proudˇ nıv potrubınekruhove ho pru rezu jsou urceny stejnymi vzorci jako pro kruhove potrubı . Mı sto pru mˇ ru d kruhove ho potrubıje vsak treba dosadit ekvivalent pro nekruhove pru rezy, pomocınˇ hoz se vypocte Re-cı slo, soucinitel trenıa ztratova vyska. Tento ekvivalent se nazyva hydraulicky pru mˇ r

d h =4

d h a je urcen vztahem

S o

kde S je pru tocna plocha a

o je omoceny obvod pru rezu. Hydraulicky pru mˇ r se mu ze dosadit do

vyrazu pro pomˇ rnou drsnost

k r , do Reynoldsova cı sla , do vztahu pro ztratovou vysku h z a trecı

soucinitel λ

vd h k 1 v2 kr = , Re = , hz = λ , λ = f (Re, k r ) dh v d h 2g Pro prechod laminarnı ho proudˇ nıv turbulentnıv nekruhovych pru rezech se uvazuje kriticka hodnota Reynoldsova cı sla

Re krit stejna jako u kruhove ho potrubı.

Vysledky mˇ renıNikuradseho jsou uvedeny v interpretaci Moodyho v diagramu

λ = f (Re, k r ) , ze

ktere ho lze odecı st hodnoty λ pro vypoctene Re cı slo a hodnotu relativnıdrsnosti. Krivky pro ru zne pomˇ rne drsnosti

k r se odpoutavajıod prı mky Blasiovy, ktera predstavuje pru bˇ h soucinitele trenı

pro hladke potrubı . Z diagramu je zrejme , ze od urcite ho Reynoldsova cı sla, ktere zavisına pomˇ rne drsnosti, ma soucinitel trenıstalou hodnotu.

Nikuradseho diagram v interpretaci Moodyho

57


Prıklad 11.1.1 Stanovte tlakovou ztratu

p z trenı m na de lce l ve vodorovne m potrubıo pru mˇ ru d , jimz proudı

ρ a viskozitˇ ν rychlostıv . Prepoctˇ te tlakovou ztratu p z na ztratovou vysku

mineralnıolej o hustotˇ

h z a mˇ rnou ztratovou energii e z . Jaky je soucinitel trenı λ a Re-cı slo? Urcete pru tok Q v a hmotnostıpru tok

Qm .

Zadano :

v

=5

m

= 20

mm

=4 = 880

m.s

d

l d v ρ ν

1

2

-1

kg.m

-3

l

2. -1

= 1.6E-04 m s Vypoctˇ te:

Vysledky:

Re = ?

Resenı :

500.00

λ =? hz = ? pz = ? ez = ? Qv = ?

m .s

Qm = ?

m

26.10

Pa

225 316.08

J.kg

-1

256.04

3

-1

0.0012566

kg.s

-1

1.105808

 0.3164  4 λ =  Re 64   Re

vd Re = , ν

0.1280

2 l v hz = λ , d 2g

Qv =

v πd 2 , 4

pro Re ≥ 2320 pro Re〈 2320

p z = ρghz ,

e z = ghz

Qm = ρQv

Prıklad 11.1.2 Do jake vzdalenosti l se dopravınafta vodorovnym kruhovym potrubı m o pru mˇ ru d , mame-li k dispozici na pokrytızrat trenı m po de lce tlak

p1 a strednırychlost proudˇ nınafty je v s . Je dana

kinematicka viskozita ropy ν a jejıhustota ρ . Zadano: =

v

= 600000 Pa rel.tl -1 3 m.s = = =

2

890 kg.m

p1

p2= 0

-3

2. -1

0.0005 m s

l

Vypoctˇ te:

Vysledky:

Re = ?

1 500.000

λ =? l =?

0.042667 m

d

d p1 vs ρ ν

1 250 mm

877.802

Resenı :

Re =

vs d 64 , λ= ν Re

2 p1d l vs2 p1 = λ ρ ⇒l = d 2 λ vs2 ρ


58

Prıklad 11.1.3 Vypocı tejte soucinitel trenıλ , tlakovou ztratu

p z , ztratovou vysku h z a mˇ rnou ztratovou energii e z

pri proudˇ nıoleje v potrubı . Olej ma mˇ rnou hmotnost

ρ a kinematickou viskozitu ν . Urcete pru tok

Qv a druh proudˇ nı . Stanovte dynamickou viskozitu η . Pru mˇ r potrubıje d de lka l . Rychlost proudˇ nıje

v.

l= 1m d= 0.05 m -1 v= 3 m.s -3 ρ= 890 kg.m ν = 4.0E-05 m2s-1

v

d

Zadano :

1

Vypoctˇ te:

2

Vysledky:

Re = ?

l

3 750.00

λ=? hz = ? pz = ? ez = ? Qv = ? η =?

0.04038 m

0.3705

Pa

3 234.80

J.kg

-1

3.6346

3

-1

0.005890

m .s

Pa.s

0.0356

Prıklad 11.1.4 Stanovte soucinitel trenıv potrubıλ pri proudˇ nıvzduchu, jestlize tlakova ztrata ∆h na de lce l je mˇ rena lihovym U - manometrem. Urcete pru tok

Q v a hmotnostnıpru tok Qm . Jaka je tlakova ztrata

∆p , mˇ rna ztratova energie e z a ztratova vyska h z ? Rychlost proudˇ nıv potrubıo de lce l a pru mˇ ru d je

v.

Zadano: 15 m.s

d

0.04 m 3m

vz

50 mm 1.2 kg.m

-3

890 kg.m

-3

h

Vypoctˇ te:

∆p = ? hz = ? ez = ? λ=? Qv = ? Qm = ?

Vysledky: Pa

∆h

v= d= l= ∆h = ρ vz = ρl =

l -1

435.9564

m

37.03

J.kg

-1

3

-1

363.30 0.0431

m .s

kg.m.s

0.01885 -1

0.02262

l

59


Resenı : Z podmı nky rovnovahy na U-trubici se urcıtlakova ztrata

∆p , pritom se definujıtlaky z leve a prave

strany U-trubice ke tlakove hladinˇ , kterou je rozhranıobou tekutin :

pL = pP p1 + h ′ρ vz g = p 2 + g (h ′ − ∆h )ρ vz + g∆hρ l ⇒ ∆p = p1 − p 2 = ∆h g ( ρ l − ρ vz ) Bernoulliho rovnice pro proudˇ nıskutecne tekutiny vodorovnym potrubı m ma tvar:

p1 v 2 p v2 l v2 + +0= 2 + +0+λ ρ ρ d 2 2 2 ⇒ ∆p = p1 − p 2 = λ

2∆p d l v2 ρ ⇒λ = d 2 ρ vz l v 2

p1 − p 2 p1 − p 2 , ez = , ρg ρ

hz =

πd 2 Qv = v , Q m = ρ Qv 4 Prıklad 11.1.5 Ve vodorovne m potrubıde lky l a pru mˇ ru d proudıvoda strednırychlostı v . Stanovte tlak na pocatku potrubı p1 , jestlize jeho konec ťstıdo ovzdusı . Vypocet proveóte pro potrubıhydraulicky hladke a pro drsne potrubı , je-li hodnota absolutnıdrsnosti k . Zadano: 0.6 m.s

v

0.10 m

p1

150 m -6

1000 kg.m

l -3

Vypoctˇ te:

Vysledky:

Re = ?

60 000.000

Resenı : Hodnota Re cı sla odpovı da turbulentnı mu proudˇ nı .

Hladke potrubı 0.020 Pa rel.tl. 550.459

Neuvazujeme-li drsnost, mu zeme pro vypocet λ pouzı t vztah podle Blasia, urceny pro hydraulicky hladka potrubı . Drsnost potrubızvysuje tlakove ztraty. Pro vypocet λ lze

Drsne potrubı

λ=? p1 = ?

p2= 0

2 -1

10 m s 0.1 mm

λ=? p1 = ?

2 d

v= d= l= ν= k= ρ=

1 -1

0.023

pouzı t vztah napr. dle Altsula.

Pa rel.tl. 633.028

Prıklad 11.1.6 Ve vodorovne m potrubıde lky l a pru mˇ ru d proudıvzduch strednırychlostıv . Vypocı tejte soucinitel trenıλ , relativnıdrsnost a absolutnıdrsnost k v potrubı , jestlize byla mˇ renı m urcena pro zadane parametry tlakova ztrata

∆p = p1 − p 2 .


60

Zadano: -1 v= 17 m.s d= 0.032 m l= 1.50 m ν = 15.8 E-06 m2s-1 ∆p = 251 Pa -3 ρ= 1.152 kg.m

Vypoctˇ te:

1

2 d

v p1

p2= 0

l

Vysledky:

Re = ?

34 430.380

λ=?

0.0322

kr = ? k=?

mm

0.008

mm

0.256

Prıklad 11.1.7 Urcete tlakovou ztratu trenı m

p z pri pru toku mazutu mezikruzı m o vnˇ jsı m pru mˇ ru D a vnitrnı m

pru mˇ ru d , je-li hmotnostnıpru tok viskozita

Qm . De lka potrubıje l . Je dana hustota ρ a dynamicka

η mazutu. Vzhledem k velke viskozitˇ se predpoklada laminarnıproudˇ nı. Konstantu K0 pro

vypocet trecı ho soucinitele urcete z prilozene ho grafu. p1

Zadano:

p2

-1

72000 kg.hod 0.05 m 350 m 0.1 Pa.s 920 kg.m

Vypoctˇ te:

v= ?

D

0.156 m d

Qm = D= d= l= η= ρ=

Qv

K 0 = f (d / D )

-3

Vysledky: ms

Re = ?

-1

100

1.268

95

1 236.55 90

0.32

85

0.0760 K0

d D= ? λ=? pz = ?

Pa

185 597.495

80 75 70 65 60 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

d/D

Prıklad 11.1.8 Vzduch proudırychlostıv obde lnı kovym potrubı m o rozmˇ rech ztratu

a , b a de lce l . Stanovte tlakovou

p z pro hladke potrubı . Jaky je hydraulicky pru mˇ r d h ? Urcete druh proudˇ nı . Stanovte

soucinitel trenıλ . Vypocı tejte mˇ rnou ztratovou energii

ez .

61


Zadano:

v

0.04 m 0.05 m

2

1

2m -1 11.2 m.s 1.18 kg.m

Vypoctˇ te:

Resenı : Vysledky:

m

λ=? pz = ? ez = ?

Pro nekruhovy pru rez definujeme hydraulicky pru mˇ r

0.04444 25 524.51

Re = ?

dh =

0.02500 Pa -1

70.567

dh :

4S 4(ab ) = o 2(a + b )

Re =

83.269

J.kg

b

l

-3

ν = 1.95E-05 m2s-1 dh = ?

a

a= b= l= v= ρ=

v dh l v2 0,3164 , pz = ρ λ , λ= 4 dh 2 ν Re

Prıklad 11.1.9 Jake proudˇ nınastane v potrubıobde lnı kove ho pru rezu pri strednırychlosti vzduchu hydraulicky pru mˇ r ztratovou vysku

v ? Vypoctˇ te

d h , Reynoldsovo cı slo Re a objemovy pru tok Q v . Urcete soucinitel trenıλ a

h z pro jednotkovou de lku kanalu.

Zadano: 0.05 m 0.2 m

v

2m -1 14 m.s

λ=? hz = ? Qv = ?

2

1

2. -1

2E-05 m s

l

Vypoctˇ te:

dh= ? Re = ?

a

a= b= l= v= ν=

b

Vysledky: m

0.080 56 000.00 0.021

m

2.622 3

m .s

-1

0.140

11.2. Mıstnı ztraty Mı stnıodpory, neboli mı stnıztraty, vznikajıv kratkych ťsecı ch potrubı , kde dochazıke zmˇ nˇ charakteru proudu, tj. velikosti rychlosti a smˇ ru proudu, prı padnˇ k obojı mu. C asto dochazık odtrzenı proudu od stˇ ny a ke vzniku vı renı , ktere je prı cinou mı stnıztraty. Velikost mı stnıztraty zavisına typu, tvaru a konstrukci dane ho ťseku potrubınebo elementu a na materialove m provedenı , drsnosti, atd. Je zrejme ze k mı stnı m ztratam bude dochazet ve vsech tvarovkach (kolena, odbocky, spojky, difuzory), armaturach (ventily, soupatka, kohouty, klapky), mˇ rı cı ch zarı zenı ch (clony, dyzy, vodomˇ ry) a dalsı ch zarı zenı ch (chladice, cistice, filtry). Velikost mı stnı ch ztrat lze vyjadrit obdobnˇ jako ztratu trenı m pomocıztratove vysky ztraty

p z , nebo soucinitele mı stnıztraty ς m .

h z , tlakove


62

e z = gh z =

pz v2 v2 =ζm ⇒ hz = ζ m ρ 2 2g

Hodnota ztratove ho soucinitele se urcuje ve vˇ tsinˇ prı padu experimentalnˇ , zpravidla pri vyssı ch Re cı slech. Urcena hodnota je vsak platna jen pri stejnych podmı nkach, za kterych byla zmˇ rena nebo ve fyzikalnˇ podobnych prı padech (stejna hodnota Re). Pro nˇ ktere jednodussıprı pady lze soucinitel mı stnıztraty odvodit (nahle rozsı renıa zťzenıpru rezu, kuzelova potrubı ). Mı stnıodpory v potrubıse mohou vyjadrit ekvivalentnıde lkou l e potrubı , v nˇ mz je ztrata trenı m stejna jako mı stnıztrata. Vztah pro ekvivalentnıde lku se odvodız porovnanıztrat trecı ch a mı stnı ch

ζm

le v 2 ζ v2 =λ ⇒ le = m d 2g d 2g λ

Za soucinitel trenıa pru mˇ r se dosadıhodnoty platne pro rovny ťsek potrubı . Pri zmˇ nach pru rezu se mˇ nıpru tocna rychlost a mı stnıztraty se mohou vyjadrit v zavislosti na prı tokove rychlosti odtokove rychlosti

h zm = ζ 1

v1 nebo

v 2 , pritom pro prepocet ztratovych soucinitelu lze odvodit vztah:

v12 v2 v2 = ζ 2 2 ⇒ ζ 2 = ζ 1 12 2g 2g v2

Pro kruhove pru rezy platı 2

2

4

d  ζ 2 = ζ 1  2   d1 

v  S  d  ζ 1 = ζ 2  2  = ζ 2  1  = ζ 2  1  ;  v1   S2   d2 

4

Pro prakticke vypocty lze hodnoty soucinitelu mı stnıztraty odecı st z grafu a nomogramu , ktere jsou soucastıliteratury zabyvajı cıse navrhem potrubnı ho vedenı . Prıklad 11.2.1 Stanovte tlakovy rozdı l p z potrebny k prekonanınahle ho rozsı renıpru rezu v potrubı , kterym prote ka

Qv oleje o hustotˇ ρ . Urcete hodnotu ztratove ho soucinitele ζ 1 a ζ 2 .

Zadano: 3

0.6 dm .s

v1 = ? v2 = ? hz = ? pz = ? ζ1= ? ζ2= ?

p2

0.014 m

p1 v1

0.018 m -3 850 kg.m

Vypoctˇ te:

2

-1

d1

Qv = d1 = d2 = ρ=

1

d2

objemovy pru tok

v2

Vysledky:

1

2

m.s

-1

3.898

m.s

-1

2.358

Resenı :

m

0.121

Pri nahle m rozsı renıpru rezu se odtrhne proud kapaliny od

Pa

1 007.930

stˇ n a vytvorıse vı ry. Ve smˇ ru proudˇ nı klesa strednı

0.156

rychlost, a tedy stoupa staticky tlak. Toto stoupnutıvsak

0.426

bude nizsıo tlakovou ztratu

p z spojenou s rozsı renı m

pru rezu. Pomocırovnice Bernoulliho a vˇ ty o zmˇ nˇ hybnosti odvodil Borda vztah pro ztratovou vysku

63


hz

(v − v )2 = 1 2

2

2

 v2  S  v2  S = 1 − 1  1 =  2 − 1 2  2g  S 2  2 g  S1

2g

kde 2

2 2   d 2   d  2     S2 S1  1         a = 1−   ζ 1 = 1 − ζ2 = − 1 =  2  − 1  S2    d2    d1      S1     Rychlosti v1 a v 2 se urcız rovnice kontinuity π π Qv = d12 = d 22 4 4

2

Prıklad 11.2.2 Stanovte tlakovy rozdı l ∆p potrebny k prekonanınahle ho zťzenıpru rezu v potrubı , kterym prote ka

Qv oleje o hustotˇ ρ . Urcete hodnotu ztratove ho soucinitele ζ 1 a ζ 2 . Uvazujte

objemovy pru tok

hodnoty stejne jako v predchozı m prı padˇ . Porovnejte velikost tlakove ztraty se ztratou pri nahle m rozsı renıpru rezu.

p'

0.018 m 0.014 m -3 850 kg.m

Vypoctˇ te:

p1

Vysledky:

v1 = ? v2 = ? hz = ? pz = ? ζ1= ? ζ2= ?

v1

S0

0.6 dm .s

C

-1

S1

Qv = d1 = d2 = ρ=

A 3

B v2 p2

S2

Zadano:

B

m.s

-1

3.898

m.s

-1

2.358

Resenı :

m

0.306

Zťzenı m pru rezu se vyvola zrychlenı kapaliny. Proud

Pa

2 551.581

kapaliny nemu ze nasledkem setrvacnosti sledovat tvar

1.080

stˇ n potrubı , proto se odtrhne a vzniknou vı rive oblasti.

0.395

Matematicke

A

C

resenı ztraty zťzenı m vychazı ze zmˇ ny

hybnosti kapaliny. Ztratova vyska nahlym zťzenı m pru rezu je urcena vyrazy

S  S v2  S  v2 hz =  1 − 1 1 1 = 1 − 2  2 S1  2 g  S2  S2 2g  kde

S S S ζ 1 =  1 − 1 1 a ζ 2 = 1 − 2 S1  S2  S2 Prıklad 11.2.3 V oblouku o pru mˇ ru d a polomˇ ru tlakovou ztratu

r se mˇ nısmˇ r proudˇ nıo ťhel α . Stanovte ztratovou vysku h z ,

p z pro zadane hodnoty ťhlu α . Soucinitel mı stnıztraty odectˇ te z prilozene ho

diagramu. Potrubı m proudıvzduch strednırychlostıv . Stanovte ekvivalentnıde lku potrubıl e , je-li soucinitel trenıλ .


64

Zadano:

α2= α 3= λ=

α

0.25 m 0.375 m 2.5 m.s

r

d= r= v= ρ= α1 =

v

-1

d

1.2 kg.m 25

o

45

o

90 0.02

o

v α [ ] o

Vypoctˇ te:

Vysledky:

=?

h z1 hz 2 = ? hz 3 = ? p z1 = ? p z2 = ? p z3 = ?

m

0.016

m

0.029

m

0.058

Pa

0.188

Pa

0.341

Pa

0.683

=?

m

0.625

le2= ?

m

1.125

le 3= ?

m

2.275

le1

α

r/d

Soucinitel mı stnıztraty pro ohyb kruhove ho pru rezu Prıklad 11.2.4 Stanovte ztratovou vysku pro vtok do potrubıpru mˇ ru d , ktere je zasunuto do nadrze o de lku b . Tlous„ka stˇ ny potrubıje t , rychlost v potrubıv . Zadano:

d= b= t= v=

0.2 m 0.1 m 4 mm 3.16 m.s

Vypoctˇ te:

ζ =? hz = ? pz = ?

-1

Vysledky: 0.73 m

0.372

Pa

3 649.320

Prıklad 11.2.5 Nahle rozsı renıpru rezu se nahradıkuzelovym potrubı m o pru mˇ rech ztratovou vysku

d1 a d 2 a de lce l . Urcete

h z a tlakovou ztratu p z pro zadany pru tok vody Qv a hodnoty porovnejte se ztratou

nahlym rozsı renı m pru rezu. Soucinitel trenıurcete podle Blasia. Vypoctˇ te ťhel rozsı renıα .

65


Zadano: m .min

v2

1

v

α

0.080 m

d1

1.2

-1

d2

Qv = d1 = d2 = l=

2 3

v1

0.120 m

Vypoctˇ te:

l2

Vysledky:

v1 = ? v2 = ? Re 1 = ? Re 2 = ? λs = ? pz = ? hz = ? h z′ = ? α =?

l1

l

0.25 m m.s

-1

3.979

m.s

-1

1.768

Resenı :

α dostatecnˇ maly, nedojde k odtrzenı

318 320

Pokud je ťhel

212 160

proudu od stˇ ny a hydraulicka ztrata je v podstatˇ ztratou

0.0140

trenı m po de lce. Ta se urcıintegracıdiferencialnırovnice,

Pa

137.340

pricemz je uvazovana zmˇ na pru mˇ ru a rychlosti po de lce

m

0.014

kuzelove ho potrubı . Mˇ nıse rovnˇ z soucinitel trenı , takze

m

0.24916 9.15

o

pro

vypocet

je

uvazovana

jeho

strednı hodnota

λ s = (λ1 + λ 2 ) / 2 . Vztah odvozeny pro ztratu trenı m v

kuzelove m potrubıma tvar:

λ l hz = s ⋅ 4 d 2 − d1 Vypoctenou hodnotu

h z′ =

  

4

v2 ⋅ 1  2g 

h z porovname s hodnotou definovanou pro ztratu nahlym rozsı renı m pru rezu

(v1 − v 2 )2 2g

 d 1 −  1   d 2 

, kde rychlost v1 , v 2 urcı me z rovnice kontinuity.

11.3. Jednoduchč potrubı Jednoduche potrubıje po hydraulicke strance definovano pru mˇ rem d , de lkou l , rychlostı v nebo pru tokem

Qv , prı padnˇ Qm . Potrubı m mu ze tekutina proudit v du sledku gravitace nebo

pretlaku na pocatku potrubı . Hydraulicky vypocet se v praxi provadınejcastˇ ji pro tri zakladnıprı pady: •

pri dane m pru toku a rozmˇ rech potrubıse urcuje spad nebo tlakovy rozdı l

•

pri danych rozmˇ rech a dane m tlakove m spadu, ktery je dan rozdı lem hladin nebo jinym tlakovym zdrojem, se pocı ta pru tok

•

ze zadane hodnoty pru toku a spadu se urcuje pru mˇ r potrubı

Pro hydraulicky vypocet potrubımajızasadnıvyznam ztraty, ke kterym dochazıpri proudˇ nıskutecne kapaliny. Soucinitele trenıa mı stnı ch ztrat byvajıv nˇ kterych prı padech zadany nebo se musıurcit vypoctem ci z grafu a nomogramu . Ztraty v potrubızavisına rychlosti a tedy i pru toku. Vztah mezi ztratovou vyskou nebo tlakovou ztratou a pru tokem lze odvodit a take vyne st graficky. Tato zavislost je charakteristikou potrubıa ma vyznam pri graficke m resenıpotrubı . Prıklad 11.3.1 Stanovte ztratovou vysku

h z pri proudˇ nıvody o kinematicke viskozitˇ ν v drsne m potrubıo pru mˇ ru

d , de lce l , drsnosti k a rychlosti v . Prepoctˇ te ji na tlakovou ztratu p z a mˇ rnou ztratovou energii


66

e z . Urcete Re-cı slo a soucinitel trenıλ pro drsne potrubı . Urcete ztratovy soucinitel trenıv potrubı ζ t . Soucinitel mı stnıztraty v armature je ζ . Zadano:

v=

3 m.s

d=

250 mm

-1

v

100 m

ρ= ν=

1000 kg.m 2 -1 1E-06 m s

d

l= k= ζ=

0.4 mm

ζ

l

6 -3

Vypoctˇ te:

Vysledky:

Re = ?

Resenı :

750 000

λ=? hz = ? pz = ? ez = ? ζt = ?

0.02040 m

vd  k 100  Re = , λ = 0.1 +  ν  d Re 

3.743

Pa

36 718.830

J.kg

-1

hz = λ

36.719 8.160

l v2 , d 2g

p z = ρg z ,

0.25

,

ez =

ζt = λ

l d

pz ρ

Prıklad 11.3.2 Stanovte rychlost vody a pru tok v potrubıo de lkach l1 a l 2 a pru mˇ ru d . Vyska hladiny vody v nadrzi je h . Spocı tejte relativnıtlak

ϕ a teoretickou vytokovou rychlost vt . Urcete ekvivalentnıde lku potrubıl e pro mı stnı

ztraty. Ztratove soucinitele na vtoku jsou

ζ 1 , v koleni ζ 2 a ve ventilu ζ 3 a soucinitel trenıje λ .

Zadano:

h= d= l1 = l2 = λ= ζ1= ζ 2= ζ 3= ρ=

2m 0.05 m 1.5 m

1

0.3 m 0.0203

ζ1 d

pm

1

ζ2

3 6

ζ3 l1

1000 kg.m

Vysledky: m.s

-1

1.829

m.s

-1

6.264 0.29199

3

m .s

QV , v1 l2

2

p0

-3

Vypoctˇ te:

v= ? vt = ? ϕ=? Qv = ? le = ? pm = ?

p0

0

h

soucinitel

p m namˇ reny na manometru pred ventilem. Urcete rychlostnı

-1

0.00359

m

24.631

Pa

10 238.27

Resenı : Uvazujeme ustalene

proudˇ nı potrubı m se zadanymi

parametry. Bernoulliho rovnice pro hladinu a vytokovy pru rez (0-2) ma po dosazenıza odpory trenı m a mı stnı tvar:

67


p0 p v2  v 2 Z te to rovnice lze vyjadrit skutecnou  l +l + 0 + gh = o + + 0 +  λ . 1 2 + ζ 1 +ζ 2 +ζ v  2 d ρ ρ  2  rychlost

v: 2 gh

v=

l +l   1 + λ 1 2 + ζ 1 +ζ 2 +ζ v  d  

Je zrejme , ze rychlostnısoucinitel

ϕ=

vt = 2 gh ,

= 2g h

1 l +l   1 + λ 1 2 + ζ 1 +ζ 2 +ζ v  d  

= vt ϕ ,

ϕ je dan pomˇ rem skutecne a teoreticke rychlosti 1

l +l   1 + λ 1 2 + ζ 1 +ζ 2 +ζ v  d  

=

v vt

Dale vypocteme objemovy pru tok a ekvivalentnıde lku potrubı , na ktere dojde ke stejnˇ velke ztratˇ trenı m, jako jsou ztraty mı stnı

Qv = Tlak

πd 2 v, 4

l e = (ζ 1 +ζ 2 +ζ 3 )

d λ

p m pred ventilem urcı me z Bernoulliho rovnice pro pru rezy 0 a 1 l  v2  1 + ζ 1 + ζ 2 + λ 1  d 2 

p m = ρgh − ρ Prıklad 11.3.3

Urcete ztratovy soucinitel ventilu

ζ 3 , jestlize je znam pru mˇ r potrubıd , de lky l1 a l 2 , vyska hladiny

h , rychlost proudˇ nı v , soucinitel trenı λ , ztratovy soucinitel pri vytoku ζ 1 a ztratovy soucinitel kolena

ζ 2 . Vypoctˇ te rychlostnısoucinitel ϕ a vytok Qv . Urcete ekvivalentnıde lku potrubıl e pro

mı stnıztraty. Zadano: 100 mm

l1

50 m 50 m 3.09 m.s

-1

0.035

ζ1

ζ2

l d

0.5

ζ3

0

Vypoctˇ te:

ζ 3= ? le = ? vt = ? ϕ=? Qv = ?

h

29 m

2

d= l1 = l2 = h= v= λ= ζ1= ζ 2=

Vysledky: 23.091 m

67.403

m.s

-1

23.853 0.12954

3

m .s

-1

0.02427

v


68

Prıklad 11.3.4 K nadrzi s hladinou ve vysce h a o tlaku

p je pripojeno potrubıo d´lce l a pru mˇ ru d . Soucinitel

trenıv potrubıje λ a ztratovy soucinitel na vtoku do potrubıje Urcete velikost ztratove ho soucinitele ventilu soucinitel

ζ 1 . Kapalina proudırychlostı v .

ζ , teoretickou vytokovou rychlost vt , rychlostnı

ϕ , pru tok Qv .

Zadano:

l= 500 m d= 0.1 m -1 v= 2 m.s h= 5m p = 300000 Pa λ = 0.001 ζ1= 0.8 -3 ρ= 1000 kg.m

h

ρ

l

Vysledky:

vt = ? Qv = ?

m.s

-1

3

m .s

-1

26.422

ζ1

0.01571

ϕ=?

0.07569

ζ =?

167.751

d

Vypoctˇ te:

p

ζ

v

p0

Prıklad 11.3.5 Stanovte pretlak v nadrzi

p N , pri ktere m vyte ka voda z pripojene ho potrubıo de lce l a pru mˇ ru d

rychlostı v . Dale zname vysku hladiny h , soucinitel trenı λ , ztratovy soucinitel v kolenˇ ventilu

ζk , a

ζ v . Vypoctˇ te rychlostnısoucinitel ϕ , teoretickou vytokovou rychlost vt , pru tok Qv .

Zadano:

λ= ζv= h= ρ=

3 m.s

-1

6m

pN

0.02 m

λ

0.02

ζV

18 1m 1000 kg.m

ζK

ρ d

-3

Vypoctˇ te:

pN = ? vt = ? ϕ=? Qv = ?

l

0.3

h

v= l= d= ζk =

Vysledky: Pa m.s

104 040.00 -1

0.19881 3

m .s

-1

p0

15.090 0.00094

v

69


Prıklad 11.3.6 Nasoskovym potrubı m o pru mˇ ru d a celkove de lce voda. V nejvyse polozene m pru rezu poklesnout tlak pod hodnotu

l = l1 + l 2 , ktere prekonava spad H , proudı

ve vysce h nad hladinou v hornınadrzi nesmı

nasosky

p min . Pro zadane parametry potrubıurcete objemovy pru tok Qv a

odpovı dajı cıztratovy soucinitel ventilu

ζ 2 . Stanovte ekvivalentnıde lku l e .

Zadano:

d= l1 = l2 = H= h= ρ=

p min = λ= ζ1=

0.2 m 100 m

1

h1

p0

60 m

d

0

6m 4m

ζ1

-3

h2

1000 kg.m

ζ2

ρ

3E+04 Pa(abs.tl)

p0

2

0.034

Qv

5

Vypoctˇ te:

Vysledky:

v= ?

m.s

ζ 2= ? Qv = ? le = ?

-1

1.635 11.837

3

m .s

-1

m

0.051 99.041

Prıklad 11.3.7 Dvˇ nadrze s rozdı lem hladin h jsou spojeny potrubı m o de lce l a pru mˇ ru d , kterym proudıvoda rychlostı v . V potrubıje umı stˇ n ventil se ztratovym soucinitelem soucinitele na vtoku do potrubıζ 3 , na vytoku z potrubıζ 4 a v kolenˇ

ζ 2 a soucinitel trenıλ . Jaky

p musıbyt na hladinˇ ve spodnınadrzi, aby nastalo proudˇ nıvody ze spodnınadrze

do hornı . Vypoctˇ te pru tok

Qv a urcete ekvivalentnıde lku potrubıl e pro mı stnıodpory.

Zadano:

v= d= l= h= ∑ζ = λ= ρ=

5 m.s 0.3 m 10 m 7m

v

14.7

d

0.02 1000 kg.m

p

-3

Vypoctˇ te:

p= Qv = le =

p0

-1

h

absolutnıtlak

ζ 1 , dale jsou znamy ztratove

Vysledky: ? Pa 3

? m .s ?m

360 753.33 -1

0.35343 220.50

ρ

ζ3

ζ2

ζ1


70

Prıklad 11.3.8 Za jak dlouho se naplnınadrz o objemu V vodou z potrubıo de lce l a pru mˇ ru d , ve ktere m je pretlak

p . Je dan soucinitel trenıλ a soucinitele mı stnıztraty.

Zadano: 0.076 m

l

45 m 4.3

p0

λ = 0.027 3 V= 36 m p = 2.5E+05 Mpa

λ

ζ1

ζ2 p

Qv

V

Vypoctˇ te:

d

d= l= ∑ζ =

Vysledky:

v= ? Qv = ? t=?

m.s

-1

3

m .s

-1

s

4.847 0.022 1636.364

11.4. Gravitac nı potrubı Potrubıspojujı cıdvˇ nadrze s volnymi hladinami pri dane m spadu h je potrubıgravitacnı . Proudˇ nıje vyvolano zmˇ nou polohove energie. Na hladinach je atmosfe ricky tlak a nulova rychlost. Za tˇ chto podmı nek se Bernoulliho rovnice redukuje na vztah 2  l  v h = hz =  λ + ∑ ζ  ⋅  d  2g

C asto se jedna o dlouhe potrubı , ve ktere m prevazujıztraty trenı m nad mı stnı mi ztratami. Prıklad 11.4.1 Dvˇ otevrene nadrze s rozdı lnou vyskou hladin h jsou spojeny gravitacnı m potrubı m o de lce l a trecı m souciniteli λ . Stanovte potrebny pru mˇ r potrubıd tak, aby se dosahlo pru toku

Qv . Vypoctˇ te

rychlost v potrubıv . Zadano:

Vypoctˇ te: d=?

Resenı :

3

0.1 m .s

h

17 m -1

p0

0.024 Vysledky: m m.s

0.22081 -1

2.611

p0 p l v2 + 0 + 0 = 0 + 0 − g .h + λ , ρ ρ d 2

v

l

v= ?

450 m

d

l= h= Qv = λ=

p0

v=

4 Qv π d2

71


d=

16 λ l Qv2 8 λ l Qv2 λ l v2 5 = ⇒ d = 2 g h 2 g hπ 2d 4 g hπ 2

Prıklad 11.4.2 Urcete v gravitacnı m potrubırychlost

v a pru mˇ r potrubıd pri zadane m objemove m pru toku Qv , je-

li dan spad h , de lka potrubıl , a absolutnıdrsnost k . Mı stnıztraty zanedbejte. Zadano:

d= h= l=

p0

1

400 mm

h

17 m 4550 m

Vypoctˇ te: λ=?

p0

0.0158 3

m .s

2.03

-1

d

m.s

-1

Qv

0.255

l

v= ? Qv = ?

2

Vysledky:

Resenı : Pri resenıťlohy se vychazız Bernoulliho rovnice

h = hz = λ

l v2 d 2g

Protoze nenıznama rychlost a tedy Re cı slo, hodnotu λ lze urcit pribliznˇ z Darcyho vzorce

1   λ = 0.021 +   40 ⋅ d  Strednırychlost v potrubıse vypocte ze spadu h

v=

2g hd λl

Urcıse hodnota Re, znovu vypocte soucinitel trenı λ ′ ze vztahu dle Altsula 0.25

v⋅d Re = , ν

 100 k  λ ′ = 0.1 +   Re d  a porovna s pu vodnıhodnotou λ . Pokud λ − λ ′ 〉δ , kde δ je urceno pozadavkem konvergence, musıse prove st dalsıpriblı zenı

v′ = v ⋅

λ , λ′

Re ′ =

v′ ⋅ d , ν

 100 k  λ ′′ = 0.1 +   Re ′ d 

0.25

, pritom se pozaduje splnˇ nınerovnosti

λ ′ − λ ′′ ≤ δ . Nenı -li podmı nka splnˇ na, pokracuje se ve vypoctu dalsı m upresnˇ nı m rychlosti, Re cı sla a soucinitele trenıtak dlouho, az je nerovnost splnˇ na ( napr. δ = 0.001) 11.5. Slozenč potrubı Potrubımu ze byt slozene z vı ce ťseku o stejne m ci ru zne m pru mˇ ru. Potrubıs promˇ nnym pru rezem je mozno povazovat za se riovˇ razene

ťseky jednoduchych potrubı s konstantnı m

pru rezem. Ztraty v kazde m ťseku se pak vyjadrıpomocıodpovı dajı cırychlosti.


72

Prıklad 11.5.1 Stanovte pru tok vody potrubı m o de lkach l1 a l 2 a odstupnovanych pru mˇ rech teoretickou a skutecnou rychlost vytoku

d1 a d 2 .Vypocı tejte

vt ,a v 2 , rychlostnısoucinitel ϕ a objemovy pru tok Qv .

Ostatnızadane veliciny jsou uvedeny v tabulce. Zadano:

p

l1 = d1 = λ1 = ζ1= ζ 2=

0

0

parametry potrubı1:

h1

300 m 0.1 m

1

0.03

ζ1

0.8

d1

l 1 ,λ 1

0.04 m

ζ3

ζ5

ζ4

h2

ζ2

300 m

d2

l 2 ,λ 2

0.2 parametry potrubı2:

l2 = d2 = λ2 = ζ 3=

v1

0.02 4

ζ 4= ζ 5= h1 = h2 =

2

p

0

0.2

v2

4m Resenı :

10 m Vysledky:

Pro pru rezy 0 a 2, ktere jsou soucastıte ze proudove

m.s

-1

16.573

trubice, platıBernoulliho rovnice ve tvaru

m.s

-1

1.312

Vypoctˇ te:

vt = ? v2 = ? ϕ=? Qv = ?

2

p0 p v 2 + 0 + g (h1 + h2 ) = 0 + 2 + g h z ρ ρ 2

0.07916 3

m .s

-1

prı slusnymi rychlostmi v1 a

0.00165 Ztratova vyska zahrnuje ztraty v potrubı1 a 2, vyjadrene

v2 .

p0 p0 v2 2  l  v2  l  v2 + 0 + g (h1 + h2 ) = + +  ζ 1 + ζ 2 + λ1 1  1 +  ζ 3 + ζ 4 + ζ 5 + λ 2 2  2 ρ ρ d1  2  d2  2 2  Z rovnice kontinuity lze rychlost v1 v potrubı1 vyjadrit pomocıvytokove rychlosti

d  S v1 S1 = v 2 S 2 ⇒ v1 = v 2 2 = v 2  2  S1  d1 

v2 :

2

Po dosazenıdo Bernoulliho rovnice se zı ska 4

p0 p v 2  l  d  v 2  l  v2 + 0 + g (h1 + h2 ) = 0 + 2 +  ζ 1 + ζ 2 + λ1 1  2  2 +  ζ 3 + ζ 4 + ζ 5 + λ 2 2  2 ρ ρ d1  d1  2  d2  2 2  Nynıjsou vsechny ztratove soucinitele vztazeny na vytokovou rychlost jako v prı padˇ jednoduche ho potrubı

v 2 a dale se postupuje stejnˇ

73


2 g (h1 + h2 )

v2 =

4

 l  d   l   ζ 1 + ζ 2 + λ1 1  2  + 1 + ζ 3 + ζ 4 + ζ 5 + λ 2 2  d 1  d 1   d2  

vt = 2 g (h1 + h2 ) ,

ϕ=

,

v2 π .d 2 2 , Qv = .v 2 vt 4

11.6. Charakteristika potrubı Charakteristika potrubıudava vzajemnou souvislost parametru a

H a Qv , kde H je tlakova vyska

Qv objemovy pru tok kapaliny. Vztah pro tlakovou vysku se odvodız Bernoulliho rovnice pro

skutecnou tekutinu

p1 v12 p v2 + + g h1 = 2 + 2 + g h2 + g h z ρ 2 ρ 2 Je-li potrubıkonstantnı ho pru rezu, pak v = konst a tlakova vyska

H=

2 p1 − p 2  l v = (h2 − h1 ) + h z = h +  λ + ∑ ζ  , ρg  d  2g

kde h vyplyva z rozdı lu potencialnıenergie mezi dvˇ ma pru rezy a je na pru toku nezavisle , druhy clen pak predstavuje dynamickou slozku tlakove vysky, ktera zavisına hydraulickych odporech a tedy na rychlosti. Jestlize se do vztahu dosadımı sto strednırychlosti tekutiny objemovy pru tok rovnice kontinuity, zı ska se funkcnızavislost

( )

Qv urceny z

H = h + f Qvn , kde velikost exponentu n je dana

rezimem proudˇ nıv potrubıa ovlivnuje strmost charakteristiky: •

n = 1 pro laminarnıproudˇ nı⇒ H = h + k L Qv

•

7 n = pro turbulentnıproudˇ nıv hydraulicky hladke m potrubı ⇒ H = h + k T Qv4 4

•

2 n = 2 pri vyvinute m turbulentnı m proudˇ nı⇒ H = h + k T′ Qv

7

konstanty

k

vyplyvajız parametru potrubıa ztratovych soucinitelu trenı m a mı stnı ch. Pokud je

potrubıvodorovne , je h = 0 a zavislost se zjednodusına tvar tlakove vysky na pru toku

( )

( )

H = f Qvn . C asto se mı sto zavislosti

( )

H = f Qvn uvadıvztah celkove mˇ rne energie na pru toku Ysp = f Qvn ,

zejme na v souvislosti s hydrodynamickym cerpadlem, pritom platıYsp

= gH .

Prıklad 11.6.1 Urcete charakteristiku potrubıo vnitrnı m pru mˇ ru d a de lce l , jestlize tı mto potrubı m prote ka ropa o dane viskozitˇ

ν . Maximalnıprı pustna rychlost pro dopravu ropy je v max . Vysetrete rezim proudˇ nıa

vykreslete charakteristiku v cele m rozsahu povolene rychlosti. Potrubıje vodorovne .


74

Zadano:

1 860 m

v

150 mm

v max = ν=

2 m.s 2

p1

-1

0.000085 m .s

d

l= d=

2

p2= 0

-1

Vypoctˇ te:

l

Ysp = f (QV )

Resenı : Nejprve se vysetrırezim proudˇ nıv potrubıvypoctem Reynoldsova cı sla pri maximalnırychlosti. Reynoldsovo cı slo pro maximalnıprı pustnou rychlost

Re =

v max ⋅ d ν

=

2 ⋅ 0,15 8,5 ⋅10 −5

= 3529,412

Re = 3529,412 〉 2320 Ž .. turbulentnıproudˇ nı Prechod z laminarnı ho do turbulentnı ho proudˇ nınastane pri kriticke rychlosti

v krit

v krit :

Re ⋅ν 2320 ⋅ 8,5 ⋅10 −5 = = = 1,315 m ⋅ s −1 d 0,15

Oblast laminarnı ho proudˇ nıje vymezena rozsahem rychlostı 0 <

v ≤ 1,315 m.s-1.

Odporovou krivku potrubı predstavuje funkcnı zavislost mˇ rne

energie na objemove m pru toku

Ysp = f (Qv ) . Ysp

2 8 l Qv2 l v2 l 16Qv = gh z = ν =ν =ν d 2 d 2λ 2 d 4 d 5λ 2

64 , v oblasti turbulentnı(bez Re 0,3164 uvazenıdrsnosti potrubı ) je trecısoucinitel definovan vztahem dle Blasia λ = . Vypocet se 4 Re Soucinitel trenıje definovan pro laminarnıproudˇ nıvztahem

λ=

provede v EXCELu a zapı se prehlednˇ v nasledujı cıtabulce:

v [ms-1] 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.315 1.4 1.6 1.8 2

Re 0 352.941 705.882 1058.824 1411.765 1764.706 2117.647 2320 2470.588 2823.529 3176.471 3529.412

λlam

λturb

0.181 0.091 0.060 0.045 0.036 0.030 0.028 -

0.046 0.045 0.043 0.042 0.041

Qv [m3s-1] YSlam [J/kg] YSturb [J/kg] 0 0.004 0.007 0.011 0.014 0.018 0.021 0.023 0.025 0.028 0.032 0.035

20.793 41.587 62.380 83.174 103.967 124.760 136.751 -

225.997 252.162 318.541 391.456 470.715

75


Zavislost

Ysp = f (Qv ) je mozno zobrazit graficky. Charakteristika potrubı Y s = f (Q v )

500 450

laminarnıproudˇ nı

400

turbulentnıproudˇ nı

300

-1

Y s [Jkg ]

350

250 200 150 100 50 0 0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04 3 -1

Q [m s ]

V mı stˇ

prechodu z laminarnı ho do turbulentnı ho proudˇ nı je graf nespojity, coz vyplyva

z nasledujı cı ho odvozenı: V oblasti laminarnı ho proudˇ nıplatıpro soucinitel trenıvztah

λ=

64 64ν = a tedy Re vd

128ν l l v 2 64ν l v 2 32ν l 128 ⋅ 8,5 ⋅10 −5 ⋅ 860 = = Ysp = gh z = ν v= Qv = Qv = 5883,18Qv d 2 vd d 2 d2 π d4 π ⋅ 0,15 4 Zavislost Ysp = f (Qv ) je pro laminarnıproudˇ nılinearnı . V oblasti turbulentnı ho proudˇ nıje pro hydraulicky hladke potrubıtrecısoucinitel popsan vztahem dle Blasia

λ=

0,3164

Ysp

4

a tedy

Re l v 2 0.3164 ⋅ v0.25 l v 2 0,1582 ⋅ν 0.25 l 7 / 4 =ν = = v = 139,959v 7 / 4 0 . 25 1 . 25 d 2 d 2 d (v d )

Po dosazenıza rychlost pomocıpru toku (rovnice kontinuity)

Ysp = 139,959 ⋅ v Mˇ rna energie

7/4

 4 = 139,959 ⋅  π ⋅d 2

7/4

⋅ Qv7 / 4 = 163408,307 ⋅ Qv7 / 4

Ysp v hydraulicky hladke m potrubıje ťmˇ rna Qv7 / 4 .

V prı padˇ turbulentnı ho proudˇ nıpri energie

  

Re 〉 80000 je λ funkcıRe a pomˇ rne drsnosti

Ysp ≈ Qv7 / 4 ÷ Qv2 .

V oblasti vyvinute ho turbulentnı ho proudˇ nı λ nezavisına Re a

( )

Ysp = f Qv2 .

d a mˇ rna k


76

Prıklad 11.6.2 Urcete tlakovou vysku

H tak, aby potrubnı m syste mem dle obrazku prote kal objemovy pru tok Q v .

Potrubı tvorı tri ťseky razene

se riovˇ , predpoklada se turbulentnı proudˇ nı . Charakteristiky

jednotlivych ťseku jsou dany rovnicemi:

H 1 = h1 + K 1 ⋅ Qv2 , H 2 = h2 + K 2 ⋅ Qv2 , H 3 = h3 + K 3 ⋅ Qv2 a charakteristiky jednotlivych ťseku

Potrubı je nove , ocelove charakteristiku potrubı

H = f (Qv ) .

jsou znamy. Urcete vyslednou

Reste pocetnˇ i graficky. Geodeticka vyska syste mu je

h g = h1 + h3 Zadano: -1

100 m .hod 20 m

l3 , d 3

30 m

l2 , d 2

10054 27082

l1 , d 1

85479

Vypoctˇ te: H = f (QV

Vysledky:

)

H=?

h3

0m

h1

Qv = h1 = h2 = h3 = K1 = K2 = K 3=

p0 3

U=0 (hladina nulove ho potencia lu) m

144.61

Pozn.: Vyslednou charakteristiku potrubılze urcit graficky, ťseky jsou razeny se riovˇ , prote ka jimi stejny objemovy pru tok

Qv , scı tajı se tedy tlakove vysky pro zvolene hodnoty pru toku . Z vysledne

charakteristiky se odecte spad

H odpovıdajı cızadane hodnotˇ pru toku.

77


12. Vytok z nadob, prepady 12.1. Stacionarnı vytok kapaliny malym otvorem Pri vytoku kapalin z nadoby je teoreticka vytokova rychlost urcena z Bernoulliho rovnice

p v2 p v 02 + + gh = 0 + t ρ 2 ρ 2

p Sn h

Z toho pri pouzitırovnice kontinuity plyne vztah

S0

p − p0    2 gh + ρ   vt = 2  So  1 −    Sn 

vS p0

Pri nerespektovanıpoklesu hladiny (predpoklada se plocha hladiny v nadobˇ mnohonasobnˇ vˇ tsı , nez je plocha vytokove ho otvoru a tedy

v0 = 0 ) a pri atmosfe ricke m tlaku nad hladinou v nadobˇ se

vzorec pro teoretickou rychlost redukuje na znamy Torricelliho vztah

v t = 2 gh Skutecna vytokova rychlost je urcena vztahem

v = ϕ 2 gh kde

ϕ=

v je rychlostnısoucinitel, ktery je mˇ rı tkem ztrat. Souvisıse ztratovym soucinitelem ζ vt

tˇ mito vztahy

ϕ=

1 1 resp. ζ = 2 − 1 ϕ 1+ζ

Teoreticky pru tok vytokovym otvorem splnuje rovnici kontinuity

Qvt = vt S o a skutecny pru tok

Qv = µQvt = µS o 2 gh Vytokovy soucinitel

µ je dan soucinem rychlostnı ho soucinitele ϕ a soucinitele kontrakce ε =

kde S je pru rez proudu za otvorem,

µ=

S , So

S o je plocha otvoru

Qv =ϕ ⋅ε Qvt

Pro ostrohranny otvor je

ϕ ≅ 0.97, ε ≅ 0.64 ⇒ µ ≅ 0.62 , coz platıpro velka Reynoldsova cı sla.

Pro pru mˇ r nadoby srovnatelny s pru mˇ rem otvoru se udava vytokovy soucinitel Weissbacha, pro kruhove otvory definovany vztahem

(

(

))

µ = 0.62 1 + 0.0456 14.82 n − 1 , n =

So Sn

µ vztahem podle


78

Prıklad 12.1.1 Stanovte skutecnou vytokovou rychlost

v a pru tok vody Q v vyte kajı cıostrohrannym otvorem ve dnˇ

nadoby o pru mˇ ru d . Valcova nadoba ma pru mˇ r

D , je naplnˇ na do vysky h a pretlak v nadobˇ je

p . Dale je dan rychlostnısoucinitel ϕ a soucinitel kontrakce ε . Zadano:

d= D= h= p= ρ= ϕ= ε=

4 cm 0.6 m 2m 0.03 Mpa rel.tl 1000 kg.m

p

h

D d

-3

0.97 0.64

Vypoctˇ te: v= ?

m.s 3

Qv = ?

-1

m .s

-1

vS

Vysledky: 9.66317

p0

0.00777

  p − p0  p  2 gh + 2 gh +  ρ  ρ =ϕ  v =ϕ  , Qv = ε S o v 2 4 d  So  1−   1 −    D  Sn 

Resenı :

Prıklad 12.1.2 Ve dnˇ nadoby je maly ostrohranny obde lnı kovy otvor, jehoz rozmˇ ry jsou dotyka bocnıstˇ ny. Urcete pru tok otvorem vytokovy soucinitel

Qv , je-li otvor v hloubce h pod hladinou a je-li dan

µ . p0

30 mm

b= h= µ=

40 mm 3m 0.647

QV

Vypoctˇ te:

p0

Vysledky: 3

-1

a

0.00596 b

m .s

h

Zadano: a=

Qv = ?

a a b a ktery se hranou b

12.2. Vytok velkym otvorem v boc nı stene Vytok malym otvorem v bocnıstˇ nˇ se resıvztahy uvedenymi v kap. 12.1. Pri relativnˇ velke m otvoru ve svisle stˇ nˇ , pro ktery platı

h 5 ≤ , je nutno respektovat zavislost vytokove rychlosti d 1

kapaliny na hloubce h uvazovane ho mı sta pod hladinou tlaku ovzdusı . Vytok kapaliny z nadoby se urcıintegracı . Ma-li otvor obde lnı kovy pru rez o sı rce b , potom vytok

Qv je dan vztahem

79


Qv =

3 3 2 µ .b 2 g  h2 2 − h1 2  , kde h1 je hloubka hornı ho okraje otvoru pod hladinou a h2   3

hloubka dolnı ho okraje otvoru pod hladinou. Prıklad 12.2.1 Obde lnı kovy otvor v bocnıstˇ nˇ je treba rozdˇ lit vodorovnou prepazkou tak, aby v obou castech otvoru byl stejny vytok Vyska otvoru je

a , sı rka otvoru je b a hladina je ve vysce h nad hornıhranou otvoru. Urcete vysky

a1 a a 2 a jejich pru toky Q v . p0 0.4 m

b= h= µ=

0.8 m 0.4 m 0.62

a

a1

h

Zadano: a=

Vypoctˇ te:

Vysledky: 3

Qv = ? a1 = ? a2 = ?

m .s

-1

a2

otvoru

Q v kapaliny o hustotˇ ρ . Take se predpoklada stejny vytokovy soucinitel µ .

0.33875

m

0.21667

m

0.18333

b

[

2 µ b 2 g (h + a )3 / 2 − h 3 / 2 Qv = 3 2

Resenı :

Hornıotvor

(h + a1 )3 / 2 = 3

Dolnıotvor

a 2 = a − a1

2

Qv 2 g µb

]

+ h 3 / 2 ⇒ a1 = 3 / 2

3 Qv + h3/ 2 − h 2 2 g µb

Prıklad 12.2.2 Urcete pru tok

Qv velkym obde lnı kovym otvorem, je-li h1 hloubka hornı ho okraje a h2 hloubka

dolnı ho okraje otvoru pod hladinou. S ı rka otvoru je b , vytokovy soucinitel je Zadano:

p0 0.24 m

h1

0.86 m

h2

h1 = h2 = b= µ=

0.65 m 0.61

Vypoctˇ te:

Qv = ?

µ .

Vysledky: 3

m .s

-1

0.796

b

12.3. Vytok ponorenym otvorem Pri vytoku ponorenym otvorem se v podstatˇ jedna o pru tok otvorem ve svisle stˇ nˇ mezi dvˇ ma nadobami. Rozdı l tlaku zprava a zleva na svislou stˇ nu je konstantnı , vytokova rychlost je


80

nezavisla na poloze uvazovane ho mı sta pod hladinou a je po vysce otvoru stejna. Pokud v obou nadrzı ch je kapalina o stejne hustotˇ

ρ , pak pro teoretickou vytokovou rychlost platıvt = 2 g∆h .

Tento vyraz je formalnˇ shodny s Torricelliho vyrazem, avsak ∆h je vyskovy rozdı l hladin v obou nadrzı ch. Prıklad 12.3.1 Dvˇ vodnınadrze majıspolecnou stˇ nu, v nı z je kruhovy ostrohranny otvor o pru mˇ ru d . Urcete, jake mnozstvıvody prote ka otvorem, je-li rozdı l hladin mezi obˇ ma nadrzemi ∆h a je-li dan vytokovy

µ experimentalnˇ .

soucinitel Zadano:

p0

∆h = d= µ=

∆h

0.5 m

p0

0.1 m Vysledky:

Vypoctˇ te: Qv = ?

3

m .s

-1

QV

d

0.62 0.01525

12.4. Vytok pri souc asnčm prıtoku Q VP

S o a soucasnˇ prite ka pru tok Qvp , pricemz Qvp ≠ Qv .

Vytok pri libovolne vysce h hladiny

p 0 je urcen vztahem max

Sn h

1

Qv = µS 0 2 gh Ustalene mu stavu, kdy

p0

h

o plose

Qv otvorem

∆h

Z otevrene nadoby vyte ka kapalina o pru toku

Qvp = Qv , odpovı da vyska h k , pro nı z platı S0

Qvp = Qv = µS 0 2 ghk Doba potrebna pro zmˇ nu polohy hladiny z

t=

h0 na h je dana vztahem

 h − h0   h0 − h + hk ln k  2 g  hk − h 

2S n µS 0

Prıklad 12.4.1 Do prazdne nadrze tvaru hranolu se ctvercovym dnem o plose

S n a hranˇ a prite ka voda pru tokem

Qvp . Soucasnˇ voda zacne vyte kat ze dna nadoby kruhovym otvorem o polomˇ ru d o vytokove m souciniteli

µ . Urcete vysku hladiny hmax odpovı dajı cıustalene mu stavu. Za jakou dobu se dosahne

ťrovnˇ hladiny o ∆h nizsınez je

hmax .

81


Zadano: a=

0.8 m 30 mm -1 2 l.s

d=

Qvp = µ= ∆h =

p0

∆h

Q VP

0.62

m.s

t= ?

3

m .s

-1

1410.6

Qvp = µS o 2 ghmax ⇒ hmax

Resenı :

t=

h 1

Vysledky: 1.06148

-1

h

Vypoctˇ te: hmax = ?

max

a

0.1 m

d

1  Qvp  = 2 g  µS o

   

2

  hmax − hmax − ∆h   hmax ln hmax − hmax − ∆h 2 g  

2S n µS o

12.5. Vyprazdnovanı nadob U otevrene nadoby pri nulove m prı toku doba potrebna ke zmˇ nˇ polohy hladiny z

t=

2S n µS o 2 g

(

h0 − h

h0 na h je dana

)

a doba vyprazdnˇ nı , kdy h = 0 je urcena jednodussı m vztahem

tv = 2

V0 S n h0 =2 = 2t 0 QV 0 µS o 2 gh0

U nadob s promˇ nnym pru rezem lze nadobu rozdˇ lit na casti a urcit doby snı zenıhladin a jejich souctem pribliznˇ dobu vyprazdnˇ nı . Prıklad 12.5.1 Za jakou dobu

t se vyprazdnıvalcova nadrz o pru mˇ ru D , zaplnˇ na vodou do vysky H , kruhovym

ostrohrannym otvorem o pru mˇ ru d . Zadano:

Vypoctˇ te: t= ?

s

D H

D= d= H=

p0

1.2 m 0.1 m 0.8 m Vysledky: 93.80

QV d

Prıklad 12.5.2 Stanovte dobu vyprazdnovanısoustavy propojenych nadob zaplnˇ nych vodou o pru mˇ rech

D1 , D2 ,

D3 a vyskach H 1 , H 2 , H 3 . Hornınadoba je zaplnˇ na do vysky h a v dolnınadobˇ je kruhovy ostrohranny otvor o pru mˇ ru d .


82

Zadano: 1m

p0 H1

0.8 m

h

0.6 m 71.11

1m

77.22

1m

104.87

D2

H2

1m

0.75 m

D3

5 cm

d

0.62

Vypoctˇ te: t= ?

H3

D1 = D2 = D3 = H1 = H2= H3 = h= d= µ=

D1

Vysledky: 253.20

s

QV

t = t1 + t 2 + t 3

Resenı :

S 1 t1 = 2 n1 So µ 2 g

[

S 1 t 2 = 2 n2 S 0 µ 2g

[

h + H2 + H3 − H2 + H3

H2 + H3 − H3

]

]

2

1 D  = 2 1   d  µ 2g

2

1 D  = 2 2   d  µ 2g

[

[

h + H2 + H3 − H2 + H3

H2 + H3 − H3

]

2

1 D  H 3 = 2 3   d  µ 2g

S 1 t 3 = 2 n3 S 0 µ 2g

H3

Prıklad 12.5.3 Voda vyte ka z nadrze otvorem o pru mˇ ru d . Aby nekolı sal vytok tı mto otvorem, je u nadrze prepad o konstantnısı rce b bez bocnıkontrakce. Vytokovy otvor je pod prepadovou hranou v hloubce Urcete prı tok vody

Qv do nadrze a vytok Qv1 otvorem, kdyz hladina v nadrzi je nad prepadovou

hranou ve vysi h . Vytokovy soucinitel otvoru je

µ a u prepadu µ P . Jaky je nejvˇ tsıprı tok Q v max ,

pri nˇ mz voda neprete ka prepadem? Zadano:

µP =

p0 h

120 mm 0.7 m 3m 100 mm

QVP

0.97

H

d= b= H= h= µ=

Qv max = ?

d

0.646

Vypoctˇ te:

Q v1 = ? Qv = ?

H.

Vysledky: m.s

-1

0.08556

3

m .s

-1

0.12779

3

-1

0.08417

m .s

µ1

Q V1

QV

]

83


12.6. Prepady Prepad je vytok nezaplnˇ nym otvorem nebo otvorem s neuzavrenym obrysem. Nejnizsımı sto vytokove ho otvoru je korunou prepadu. Vyska hornıhladiny

p 0 (pred prepadem) nad korunou

prepadu je prepadova vyska h .

(3-10)h p0

p0

p0

h

h

p0

Podle polohy hladiny za prepadem se rozlisujı prepady dokonale a nedokonale . Dokonaly prepad je takovy, pri nˇ mz spodnı hladina neovlivnuje pru tok prepadem a je pod korunou prepadu.

Dokonaly prepad

Nedokonaly prepad

Nedokonaly prepad ma ovlivnˇ n pru tok spodnı hladinou, ktera je vyse nez koruna prepadu.

Pru tok dokonalym prepadem s volnym proudem se stanovıjako vytok velkym obde lnı kovym otvorem v bocnı stˇ nˇ nadoby, kdy

h1 = 0 a h2 = h , a tedy

Qv =

2 µbh 2 gh . Soucinitel prepadu 3

µ = f (Re, geom.tvar) ma obdobny vyznam jako vytokovy soucinitel. Pro prepad s ostrou hranou a pro volny proud (vzduch ma prı stup pod prepadajı cıproud), je strednıhodnota soucinitele prepadu

µ = 0.65 , pokud sı rka prepadu b je rovna sı rce cele ho kanalu b0 . Vztahy pro vypocet µ je mozne najı t v odborne literature. Pru tok nedokonalym prepadem se stanovıjako soucet dvou dı lcı ch pru toku

Qv1 a Qv 2 , z nichz prvnı

je vytok velkym obde lnı kovym otvorem v bocnı stˇ nˇ , jehoz vyska je urcena rozdı lem vysek hladin pred a za prepadem, pru tok

Qv 2 je definovan jako ponorenym otvorem, jehoz vyska h ′ je urcena

vyskou hladiny za prepadem a korunou prepadu.

Qv =

2 2  padu se predpoklada, ze µbh 2 gh + µ ′bh ′ 2 g h = b 2 g h  µ h + µ ′h ′  . Ve vˇ tsinˇ prı 3 3 

µ = µ′. Prıklad 12.6.1 K mˇ renıvody byl postaven dokonaly prepad s obde lnı kovym pru rezem o sı rce b . Maximalnıvyska hladiny nad prepadovou hranou je h , soucinitel prepadu je

µ . Urcete objemovy pru tok Qv .

Zadano: 0.6 m 0.4 m

h

b= h= µ=

0.62

Vypoctˇ te:

Qv = ?

Vysledky: 3

m .s

-1

0.27790


84

Prıklad 12.6.2 Prepadem trojťhelnı kove ho pru rezu prote ka objemovy pru tok vrcholovy ťhel trojťhelnı ka je

Qv vody. Jaka je vyska hladiny, jestlize

α a vytokovy soucinitel je µ .

Zadano: 3

0.050 m .s

-1

α

0.48 90

Vypoctˇ te: h= ?

h

Qv = µ= α=

o

Vysledky: m

0.26241 b

Resenı :

Qv =

2 2 bh 2 2h 2 2 gh = µ µ S 2 gh = µ 3 3 2 3 2

2 gh ,

protoze je-li

α=

π , pak b = 2 h . 2

2

 3Qv h=  2µ 2 g 

5   

Prıklad 12.6.3 Urcete sı rku obde lnı kove ho prepadu b bez bocnı ho zťzenıpri pru toku pred prepadem je soucinitele

Qv . Vyska hladiny nad dnem

h0 , za prepadem h1 , vyska koruny prepadu je hk . K vypoctu vytokove ho

µ pouzijte vztah podle Spolku svycarskych inzenyru

2  h + h′     1   ,  1 + 0.5 µ = 0.6151 +  1000h + 1.6    h0  

prepadu. Predpokladejte

kde h + h ′ je vyska hladiny nad korunou

µ = µ′.

Zadano: -1

h

3

1.50 m .s 1.2 m

h'

0.9 m 0.7 m m

h ′= ?

0.300

m

0.200

µ=? b=?

Qv =

Vysledky:

hk

Vypoctˇ te: h= ?

h1

h0

Qv = h0 = h1 = hk =

0.6697 m

2.308

Resenı :

2 2  µbh 2 gh + µbh ′ 2 g h = µb 2 g h  h + h ′  ⇒ b = 3 3 

Qv 2  µ 2 g h  h + h′ 3 

85


13. Proudenı v rotujıcım kanale 13.1. Bernoulliho rovnice pro rotujıcı kanal ω

Pri pru toku kapaliny kanalem, ktery se otacı konstantnı

p0

ťhlovou rychlostıω kolem svisle osy, pu sobına kapalinu kromˇ sı ly tı hove take odstrediva sı la. Bernoulliho rovnice v obecne m tvaru zahrnuje v potencialu U 1

objemovych sil, ktere pu sobına proudı cıkapalinu

v1

p v2 + − U = konst , pritom ρ 2

r ω2 2 v2

h

h1

av

(

U = ∫ a x dx + a y dy + a z dy

h2

-g U

praci vsech

)

Na castici kapaliny v rotujı cıproudove trubici pu sobıslozky

0 r1

zrychlenıa r

r

= rω 2 ; a y = − g ; a z = 0 .

r2

Potom pro svislou osu rotace se urcıpotencial integracı

U = ∫ dU = − g ∫ dy + ω 2 ∫ rdr = − gh +

ω 2r 2 + konst 2

Dosazenı m do obecne Bernoulliho rovnice dostane se pro rotujı cıkanal rovnice

p v2 u2 + + gh − = konst , kde rychlost v je relativnı rychlost kapaliny, jız proudı ρ 2 2 v rotujı cı m kanale,

u je obvodova neboli unasiva rychlost v uvazovane m mı stˇ rotujı cı ho kanalu. Pri

odstredive m pru toku rotujı cı m kanalem se

u zvˇ tsuje a energie kapaliny se zvysuje. Tak je tomu

napr. v odstredivych cerpadlech. Pri dostredive m pru toku se unasiva rychlost

u zmensuje a energie

kapaliny se snizuje. To je prı pad vodnı ch turbin (napr. Francisovych). Prihlı zı -li se k hydraulickym odporu m pri ustalene m proudˇ nıskutecne kapaliny rotujı cı m kanalem, ma Bernoulliho rovnice pro dva pru rezy jedne a te ze proudove trubice tvar

p1 v12 u12 p 2 v 22 u 22 + + gh1 − = + + gh2 − + gh z ρ 2 2 ρ 2 2 Kapalina prote ka od pru rezu 1 k pru rezu 2. Prıklad 13.1.1

n , pri nichz voda vyte ka z rotujı cı ho natrubku rychlostıv. Pru mˇ r rotujı cıtrubky je D . Konec trubky je zťzen na pru mˇ r d . U stıtrysky je na polomˇ ru rt a ve vysce h1 . Voda je nasavana z hloubky h2 . Dale jsou dany ztratove soucinitele dle sche matu. Urcete otacky pro idealnı kapalinu n1 , skutecnou kapalinu n2 a otacky n3 , pri nichz zacne kapalina vyte kat z natrubku. Stanovte otacky


86

0.3 m

ω

d

-1

v

0.5 m 0.5 m

1

rt

h1

0.05 m 0.03 m 0.022

p0

0

0.2 0.05 -3 1000 kg.m

Vypoctˇ te: n1 = ?

h2

h1 = h2 = rt = D= d= λ= ζk= ζt = ρ=

8 m.s

D

Zadano: v=

Vysledky:

n2 = ? n3 = ?

s

-1

2.661

s

-1

2.838

s

-1

0.772

v1

Resenı : ad 1) Bernoulliho rovnice pro rotujı cıkanal a idealnıkapalinu ma pro pru rezy 0-1 tvar: 2 u2 p0 p0 v +0+0 = + + gh1 − ⇒ u = 2 g h1 + v 2 ρ ρ 2 2

ad 2) V prı padˇ skutecne kapaliny je nutne uvazovat ztraty trenı m a mı stnı 2 2 u 2  h1 + h2 + rt p0 p0 v v2  v1 = + + gh1 − + λ + ζk  + ζt 2 2  D 2 ρ ρ  2

 h +h +r v u = 2 g h1 +  λ 1 2 t + ζ k  1 + (1 + ζ t ) v 2 D   2 2

kde rychlost v1 vypocteme z rovnice kontinuity

d v1S1 = vS ⇒ v1 = v    D

2

ad 3) Pokud voda z natrubku nevyte ka, je vytokova rychlost v = 0 a rovnˇ z ztraty v potrubıjsou nulove . Bernoulliho rovnice se zjednodusına tvar 2

u p0 p0 = + gh1 − ⇒ u = 2 g h1 2 ρ ρ Otacky

n ve vsech prı padech se vypoctou ze vztahu n=

ω u = 2π 2π rt

Prıklad 13.1.2 Z nadoby, ktera se otacıkonstantnı mi otackami Vytokovy pru rez je v hloubce objemovy pru tok vody ztraty zanedbany.

n , vyte ka voda pripojenou trubkou do ovzdusı .

H pod hladinou na polomˇ ru r , vystupnıpru mˇ r trubky je d . Urcete

Qv a kroutı cımoment M k potrebny k otacenı , jsou-li hydraulicke i mechanicke

87


Zadano: d= H= r= n= Vypoctˇ te: v= ?

p0

0.02 m 1.2 m 0.5 m -1 200 min -1

m .s

H

r

Vysledky: 11.541

-1

0.00363

Nm

v

9.503

d

3

Qv = ? Mk = ?

ω

D

m.s

Mk

Resenı :

Kroutı cımoment se vypocte ze vztahu

Mk =

P Qv ⋅ ∆p = = ω ω

Qv

1 ρ r 2ω 2 1 2 = ρ Qvω r 2 2 ω

13.2. Odstredivč c erpadlo Hydrodynamicka cerpadla mˇ nıenergii mechanickou na hydraulickou. Tato premˇ na probı ha prostrednictvı m energie kineticke . Premˇ na mechanicke energie na hydraulickou zacı na na vstupnı hranˇ a koncına vystupnıhranˇ lopatky obˇ zne ho kola. Charakteristickym prvkem obˇ zne ho kola lopatkami obˇ zne ho kola, v nichz je proudˇ nı popsano pomocı

jsou rotujı cıkanaly vymezene rozsı rene Bernoulliho rovnice:

p1 v12 u12 p 2 v22 u 22 + + gh1 − = + + gh2 − + ghzo ρ 2 2 ρ 2 2 v1 ,v2 jsou relativnı, rychlosti u1, u 2 jsou unasive , index 1 znacıvstup do obˇ zne ho

kde rychlosti kola, index

2 vystup z obˇ zne ho kola. Ztratova vyska h z 0 zahrnuje ztraty spojene s pru tokem

kapaliny obˇ znym kolem (hydraulicke ). Vektorovym souctem relativnıa unasive rychlosti je rychlost

u2 c2 v2

β2

c1

F2

α2

c=v+u

β1

α1

β1 c u1

2

v1 1

ω

c1 u1

c2

v1

u1

vstup

α1 F2

v2

α2

c m2

v + u.

cm1

absolutnıc =

β2 cu2

u2

vy stup

Kinematicke pomˇ ry na vstupu a vystupu z obˇ zne ho kola jsou urceny rychlostnı mi trojťhelnı ky, jejichz zakladny tvorıunasiva rychlost

u , absolutnırychlost

D1

c s nısvı ra ťhel α a rychlost relativnı v ťhel β .

D2

Vyskou v rychlostnı m trojťhelnı ku je meridianova


88

rychlost

c m , ktera souvisıs ustalenym pru tokem dle rovnice kontinuity, s mˇ rnou energiıkapaliny

Y pak souvisı hybna slozka absolutnırychlosti c u , ktera je pru mˇ tem absolutnırychlosti do smˇ ru rychlosti unasive . Vztah pro teoretickou mˇ rnou energii cerpadla

Yt na zakladˇ kinematickych pomˇ ru v obˇ zne m kole

urcuje Eulerova cerpadlova rovnice

gH t = Yt = (u 2 c2 cosα1 − u1c1 cosα1 ) = u 2 cu 2 − u1cu1 Skutecna mˇ rna energie

Yd bude samozrejmˇ nizsı .

Prıklad 13.2.1 Stanovte teoretickou mˇ rnou energii vnitrnıpru mˇ r obˇ zne ho kola na vstupu

Yt radialnıho kola hydrodynamicke ho cerpadla. Je dan vnˇ jsıa

D2 a D1 , vstupnıa vystupnıťhel lopatky β 1 , β 2 meridianova rychlost

cm1 a vystupu cm 2 a kolo rotuje konstantnırychlostıω .

Zadano:

D1 = D2 = β1 = β2= cm1 = cm 2 = ω=

0.265 m 25

0

35

0

u2 c2 v2

6.09 ms

-1

4.38 ms -1 303.68 s

-1

Vypoctˇ te:

u1 = ? u2 = ? c u1 = ? cu 2 = ? Yt = ?

F2

α2

0.115 m

β1 2

β2

v1 1

m.s

-1

17.462

m.s

-1

40.238

m.s

-1

4.393

m.s

-1

33.981

-1

1290.617

c1 u1

ω

Vysledky:

Jkg

c=v+u

α1 F2

D1 D2

Resenı : Teoreticka mˇ rna energie cerpadla je definovana Eulerovou cerpadlovou rovnicı

gH t = Yt = (u 2 c 2 cos α 1 − u1c1 cos α 1 ) = u 2 cu 2 − u1cu1 ,

cu1 , cu 2

se

urcı z

rychlostnı ch

trojťhelnı ku

u1 =

c D1 ω , cu1 = u1 − m1 , 2 tgβ1

u2 =

c D2 ω , cu 2 = u 2 − m 2 2 tgβ 2

Prıklad 13.2.2 Stanovte teoretickou mˇ rnou energii dany parametry

D1 , D2 , β1 , β 2 , n .

Yt radialnıho obˇ zne ho kola hydrodynamicke ho cerpadla. Jsou

89


Zadano:

c1

v1

250 mm 19

α1

o

β1

o

36 -1 1500 min

cm 2 =

2 m.s

-1

5 m.s

-1

cm1

110 mm

u1

c u1 vstup c2

Vypoctˇ te:

v2

Vysledky:

cu1 = ? cu 2 = ? c1 = ? c2 = ? Yt = ?

α2

β2

m.s

-1

2.831

m.s

-1

12.753

cu2

m.s

-1

3.466

vy stup

m.s

-1

13.698

J.kg

-1

c m2

D1 = D2 = β1 = β2= n= cm1 =

u2

225.82

13.3. C erpadlo a potrubı C erpadlo dodava kapalinˇ energii, ktera je obecnˇ potrebna ke zvysenıpolohove energie, tlakove energie a k prekonanıhydraulickych odporu pri proudˇ nırealne kapaliny. C erpadlo je soucastıcerpacı ho syste mu, ktery se sklada

pv

ze VN

sacı ho potrubıSP a vytlacne ho potrubıVP, sacı

nadrze SN a vytlacne nadrze VN. Dopravovana kapalina

h

v

prote ka ze sacı nadrze sacı m potrubı m, cerpadlem,

Hg

vytlacnym potrubı m a vte ka do vytlacne nadrze. Mnozstvı Qv

h

s

C p0

VP

SP

kapaliny prote kajı cı cerpadlem udava pru tok cerpadla

Qv , coz je objem kapaliny za jednotku casu. Hmotnostnı pru tok je

Qm = ρQv .

C erpadlo je v tomto syste mu aktivnı m prvkem, ktery

SN

kapalinˇ energii dodava, pri dopravˇ potrubı m se naopak energie kapaliny spotrebovava. Pri ustalene m provozu jsou obˇ slozky cerpacı ho syste mu v Y [ J kg -1] charakteristika potrubı

rovnovaze,

tj.

Souvislost

tˇ chto

charakteristikou

hlavnı parametry parametru

potrubı , u

Qv , Y jsou stejne .

je

dana

cerpadla

u

potrubı

charakteristikou

cerpadla. Charakteristiky cerpadla a potrubıse protı najıv pracovnıbod A syste mu

YA

charakteristika cerpadla

pracovnı m bodˇ syste mu, jak je znazornˇ no na obrazku. Skutecnou mˇ rnou

energii cerpadla

zakladˇ energeticke bilance syste mu, ktera se definuje pro hladinu v sacı a vytlacne

0

Q vA

Qv [ m 3s-1]

Yd lze urcit na

nadrzi. Energie kapaliny ve

vytlacne nadrzi musıbyt rovna souctu energie kapaliny v


90

sacınadrzi a energie, kterou kapalinˇ doda cerpadlo, tj.

Y0 + Yd = Yv , tedy s vyuzitı m Bernoulliho

rovnice platı :

p0 p p − p0 + 0 + 0 + Yd = v + g (hs + hv ) + g (hzs + hzv ) ⇒ Yd = v + g (hs + hv ) + g (hzs + hzv ) ρ ρ ρ Prve dva cleny na prave stranˇ jsou na pru toku nezavisle a predstavujıstatickou mˇ rnou energii

pv − p0 + g (hs + hv ) ≠ f (Qv ) ρ

Yst =

Poslednıclen vyjadrujı cıhydraulicke ztraty zavisına rychlosti a tedy objemove mu pru toku

Yz = g (hzs + hzv ) = f (Qv ) Ve vˇ tsinˇ prı padu cerpanıkapalin je proudˇ nıturbulentnıa ztraty jsou ťmˇ rne druhe mocninˇ pru toku dle vztahu

Yz = k ⋅ Qv2 , kde hodnota k vyplyva z definice hydraulickych odporu . Zavislost

Yd = Yst + k Qv2

predstavuje

charakteristiku

potrubı .

Uzitecny

vykon

cerpadla

je

P = Qm .Yd = ρ gQv .H d , prı kon cerpadla se urcıpomocıcelkove ťcinnosti η c ze vztahu Pp =

ρgQv .H d p Q ρ .Yd Qv P = = d v = , kde η c = η h .η 0 .η m . ηc ηc ηc ηc

Prıklad 13.3.1 Ovˇ rte, zda v sacı m hrdle cerpadla bude tlak je dan jako

p s vˇ tsınez tlak nasycene vodnıpary 20oC teple , ktery

p N . V sacı m potrubıje dana rychlost, geometricke parametry, mı stnıztraty a drsnost.

Zadano: kPa ps

m

C

m hs

pN = 2 l s = 6.5 hs = 6 d s = 80 v s = 2.1

mm m.s

vs

ls , ds , ks , Σζs

∑ζ s = 5

k s = 0.065 mm ρ = 1000 kg.m-3 Vypoctˇ te:

Resenı : Vysledky:

Re= ?

λs= ? h zs = ? ps = ?

p0

-1

168 000 m

0.0194

m

1.478

Pa

25 538.32

Pro sacıpotrubılze napsat Bernouliho rovnici :

p0 p s v s2 +0+0 = + + g (h zs + hs ) ρ ρ 2 Tlak v sacı m hrdle je

Soucinitel trenıλ se urcıpodle velikosti Re cı sla

p s = p0 − Re =

1 ρ v s2 − ρ g hs − ρ g hzs 2

v⋅d , v prı padˇ turbulentnı ho proudˇ nı , kdy ν

91


 100 k   se uvazuje drsne potrubı , se λ urcıdle Altsula λ = 0.1  Re + d    2  l v h zs =  λ + ∑ ς  .  d  2g

Ztratova vyska je

0.25

.

Z vysledku vypoctu vyplyva, ze tlak

ps 〉 p N .

Prıklad 13.3.2

hs nad hladinou vody v nadrzi je umı stˇ no cerpadlo, jestlize tlak pred vstupem do

V jake vysce cerpadla je

p s . Urcete pru tok sacı m potrubı m QV . Stanovte ekvivalentnıde lku potrubıl e pro mı stnı

ztraty. Pru mˇ r potrubıje soucinitel

d s a de lka l s . Voda proudıpotrubı m rychlostıv s . Dale jsou znamy trecı

λ s a soucet vsech mı stnı ch ztrat

∑ζ s .

Zadano: 2 m.s

ls =

12 m

ds = ps =

0.2 m

ps C

10000 Pa abs.

∑ζ s =

λs = ρ=

-1

hs

vs =

vs

p0

23 ls , ds , Σζ s

0.022 1000 kg.m

-3

Vypoctˇ te:

Vysledky:

hs = ? Qv = ?

m

le = ?

m

4.012 3

m .s

-1

0.06283 209.091

Prıklad 13.3.3

Pp , ťcinnosti η c , pru mˇ ru sacı ho potrubı d s a rychlostıproudˇ nı v s se

C erpadlem o prı konu

dopravuje voda. Vypoctˇ te pru tok

Qv , vykon cerpadla P a skutecnou mˇ rnou energii cerpadla Yd .

Zadano:

Pp =

6 kW

ds = vs = ρ=

60 mm 1000 kg.m

ηc =

0.75

hs

3 m.s

C

-1 -3

Vypoctˇ te:

Qv = ? P=? Yd = ?

Vysledky: 3

m .s

-1

kW J.kg

0.0085 4.500

-1

529.412

vs

p , ηc p0

p


92

Prıklad 13.3.4 Stanovte hydraulicky vykon pru tok vody

P a prı kon Pp pro potrubnısyste m, v nˇ mz se ma dopravovat dany

Qv z otevrene nadrze do hornıtlakove nadrze, ve ktere je pretlak p N . Jsou dany

rozmˇ ry sacı ho a vytlacne ho potrubıpotrubı , mı stnıztraty, drsnosti potrubıa ťcinnost cerpadla. Zadano: 3

-1

Qv =

500 dm min

pN = Hg =

0.12 MPa

ls = ds =

8m

hv

60 m

Hg

80 mm

∑ζ s =

Q v lv , dv , kv , Σζv, λv

6 0.08 mm

dv=

60 mm

C hs

ks= lv=

57 m

∑ζ v = kv = ηc =

pn

p0

ls , ds , ks , Σζ s , λs

20 0.06 mm 70 %

Vypoctˇ te:

vs = ? vv= ? λs = ? λv = ? h zs = ? h zv = ? Yd = ? P=? Pp = ?

Vysledky: m.s

-1

m.s

-1

1.6579 2.9473 0.0205 0.0199

m

1.128

m J.kg

17.225 -1

888.643

kW

7.405

kW

10.579

Prıklad 13.3.5 C erpadlo precerpava vodu ze spodnınadrze do hornıs hladinou ve vysce

H g . Parametry vytlacne ho

potrubıjsou dany, ztraty v sacı m potrubıjsou zadany pomocıztratove vysky

h zs . U cinnost cerpadla je

η c . Urcete ztraty ve vytlacne m potrubı h zv , skutecnou mˇ rnou energii Yd , prı kon cerpadla Pp a objemovy pru tok Qv .

93


Zadano: 50 m

lv= dv= vv=

400 m

h zs = ζ v= λv = ηc =

1.1 m

100 mm 3 m.s

v

-1

Hg

Hg =

dv , lv , λv , ζv

8 0.038 0.76

C

Vypoctˇ te:

Vysledky:

h zv = ? Yd = ?

m

Pp = ?

W

Qv = ?

m .s

h zs

73.394

J.kg

-1

1 221.286 37 924.14

3

-1

0.0236

Prıklad 13.3.6 C erpadlo precerpava vodu ze spodnınadrze do hornıpotrubı m, jehoz parametry jsou dany. Pru mˇ r sacı ho a vytlacne ho potrubıje stejny. Urcete ztraty v sacı m a vytlacne m potrubıh zs a mˇ rnou energii odstredive ho cerpadla

Yd a vykon cerpadla P .

Zadano: 4 m.s

p0

-1

0.5 m hv

6m Hg

800 m 3m

lv , d , ζ 2 , λ

v

300 m C

5 hs

v= d= ls = lv= hs = hv = ζ 1= ζ 2= λ=

h zv , skutecnou

2 0.025

Vypoctˇ te:

h zs = ? h zv = ? Yd = ? P=?

p0

ls , d , ζ1 , λ

Vysledky: 4.32 m J.kg kW

34.25 -1

3 350.80 2 631.7

Prıklad 13.3.7 C erpadlo precerpava vodu ze spodnınadrze do hornı , ve ktere je tlak

p N . Sacıa vytlacne potrubı majıstejny pru mˇ r d i soucinitel trenıλ . V potrubıproudıvoda rychlostıv . Urcete ztratovou vysku v sacı m a vytlacne m potrubıh zs a h zv , objemovy pru tok Qv , skutecnou mˇ rnou energii odstredive ho cerpadla Yd , vykon cerpadla P a tlak na vystupu z cerpadla pv .


94

Zadano:

v=

5 m.s

pn

-1

Vypoctˇ te:

Hg

hv

p N = 200000 Pa abs.tl. ls = 6m lv= 100 m hs = 3m hv = 20 m d= 50 mm λ= 0.03 ζ 1= 4 ζ 2= 3 ζ 3= 0.25 -3 ρ= 1000 kg.m

lv , d , ζ 2 , λ

v

hs

C ls , d , ζ1 , λ

p0

Vysledky:

h zs = ?

10.003

h zv = ? Yd = ? P=? Qv = ? pv = ?

m

80.912

J.kg

-1

W

1 217.506 11 931.56

3

m .s

-1

Pa

0.0098 1 177 447

Prıklad 13.3.8 C erpadlo s negativnısacıvyskou precerpava vodu ze spodnınadrze do hornı potrubı m se zadanymi parametry. Urcete ztratove vysky

h zs a h zv , skutecnou mˇ rnou energii Yd a vykon cerpadla P . ζ0

Zadano: -3 m 12 m 3m

l v , λv

100 mm 40 mm -1

0.03

ζ0

2

l s , λs

0.3

Vypoctˇ te:

h zs = ? h zv = ? Yd = ? P=?

ds

Vysledky: m

0.0167

m J.kg W

4.159 -1

129.25 324.841

dv

2 m.s

ζ

C

ζ0

hv

26 m hs

hs = hv = ls = lv= ds = dv= vv= λs = λ v = ζ= ζ0=

ζ0

95


Prıklad 13.3.9 Odstredive cerpadlo cerpa vodu ze spodnınadrze do hornı , pricemz vyskovy rozdı l hladin je

H g . Obˇ

nadrze jsou otevrene , na hladinach je atmosfe ricky tlak. Parametry sacı ho i vytlacne ho potrubıjsou zadany. Charakteristika dane ho cerpadla byla urcena mˇ renı m a je popsana rovnicı

Ysc = 130 −

10 3 10 6 2 Qv − Qv 3 3

Najdˇ te pracovnıbod cerpadla, tj. stanovte parametry syste mu

Qv a Yd . Tento bod lezıv pru secı ku

obou charakteristik. U lohu reste graficky a pocetnˇ . Zadano:

p0

Hg

hv

d s = 100 mm ls = 10 m λ s = 0.025 2 ∑ζ s = dv= 75 mm lv= 30 m λ v = 0.027 ∑ ζ v = 12 Hg =

hs

C p0

ls , ds , Σζ s , λ s

8.15 m

Vypoctˇ te:

Qv = ? Yd = ? P=?

Q v lv , dv , Σζ v , λ v

Vysledky: 3

-1

0.00707

J.kg

-1

110.997

m .s W

784.860

Mˇ rna energie potrubıdefinovana na zakladˇ energeticke bilance syste mu je dana nasledujı cı m vztahem:

  v2   v2 l l Yd ( p ) = g H g + g (hzs + hzv ) = g H g +  λs ⋅ s + ∑ ς s  s +  λv ⋅ v + ∑ ς v  ⋅ v ds dv   2   2 Rychlosti proudˇ nıvody v sacı m a vytlacne m potrubıse stanovıpomocıpru toku

vs =

Qv , Ss

vv =

Qv . Sv

Po dosazenıdo rovnice pro mˇ rnou energii :

  16 Q 2   16 Q 2 l l Yd ( p ) = g hg +  νs ⋅ s + ∑ Γs  ⋅ 2 4v +  νv ⋅ v + ∑ Γv  ⋅ 2 4v . ds dv   λ ⋅ ds ⋅ 2   λ ⋅ dv ⋅ 2 Po ťpravˇ

    l l 8 8  2 Yd ( p ) = g h g +  νs ⋅ s + ∑ Γs  ⋅ +  νv ⋅ v + ∑ Γv  ⋅  ⋅ Qv 2 4 2 4 ds dv   λ ⋅ds   λ ⋅ d v  14444444444 4244444444444 3 k

kde vsechny veliciny v zavorce jsou zadany a vyraz v zavorce odpovı da konstantˇ k v rovnici pro charakteristiku potrubı


96

Yd ( p ) = g ⋅ h g + k ⋅ Qv2 . Po cı selne m vyjadrenıje rovnice mˇ rne energie potrubıv nasledujı cı m vysledne m tvaru.

Yd ( p ) = 79,952 + 620565,981 ⋅ Qv2 Rovnice mˇ rne energie cerpadla je dana jako

10 3 10 6 ⋅ Qv − ⋅ Qv2 3 3

Yd (c ) = 130 -

Graficke resenılze prove st napr. v programu Excel. V zavislosti na pru toku se vycı slımˇ rna energie potrubıi cerpadla. Z graficke ho resenıse urcıpru secı k obou charakteristik, ktery je hledanym bodem.

Qv

Yd(p)

Yd(c)

0.001

80.572

129.333

0.002

82.434

128.000

160.0

0.003

85.537

126.000

140.0

0.004

89.881

123.333

120.0

0.005

95.466

120.000

100.0

102.292

116.000

0.007

110.359

111.333

0.008

119.668

106.000

0.009

130.217

100.000

0.01

142.008

93.333

Y[J/kg]

0.006

Pracovnı bod c erpadla

charakteristika potrubı

pracovnı bod

80.0

charakteristika cerpadla

60.0 40.0 20.0 0.0 0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

Qv[m3/s]

Hodnotu pru toku

Qv lze take urcit pocetnˇ . Pracovnıbod je spolecnym bodem obou krivek. V tomto

bodˇ je energie dodana cerpadlem kapalinˇ stejna jako energie potrebna pro dopravu kapaliny potrubı m.

Yd ( p ) = Yd (c ) 79,952 + 620565,981 ⋅ Q 2v = 130 -

10 3 10 6 ⋅ Qv − ⋅ Q 2v 3 3

Resenı m kvadraticke rovnice se urcıhodnota

Qv v pracovnı m bodˇ . Vypocteny objemovy pru tok se

dosadınapr. do rovnice pro mˇ rnou energii cerpadla

Yd (c ) = 130 -

10 3 10 6 ⋅ Qv − ⋅ Qv2 3 3

a vypocte se skutecna mˇ rna energie cerpadla

P = ρ Qv Yd (c )

Yd (c ) . Hydraulicky vykon cerpadla je dan vztahem

97


14. Neustalenč proudenı v potrubı 14.1. Bernoulliho rovnice pro neustalenč proudenı nestlac itelnč kapaliny V nejjednodussı m prı padˇ neustalene ho proudˇ nı , kdy se predpokladajımale zmˇ ny rychlosti a tedy i tlaku, lze kapalinu povazovat za nestlacitelnou (ρ = konst, K Pak rychlost proudˇ nıje jen funkcıcasu

→ ∞ ) a potrubıza tuhe (E → ∞ ).

v = v(t ) .

Bernoulliho rovnice pro neustalene proudˇ nınestlacitelne kapaliny v tuhe m potrubıje

p v2 + + gh + al = konst ρ 2 kde

dv ∆v v1 − v0 ≅ = je zrychlenısloupce kapaliny o de lce l . Poslednıclen predstavuje dt ∆t t1 − t0

a=

mˇ rnou energii potrebnou k urychlenısloupce kapaliny. p

Pro pru rezy 1 v nadrzi a 2 na konci potrubı , jı mz 1

prote ka skutecna kapalina nestacionarnˇ , platı

h

Bernoulliho rovnice d

K, ρ

l

v, a

p 0 v 02 p v2 + + gh = 2 + + al + gh z ρ 2 ρ 2

2

Rovnice kontinuity S .v = konst . je doplnˇ na rovnicı

S .a = konst . Pro potrubıslozene z n ťseku o ru znych pru rezech se urcımˇ rna energie pro urychlenı ze vztahu n n l  S  S al = ∑ a k l k = a1  l1 + l 2 1 + ... + l n 1  = a1 S1 ∑ k Sn  S2  k =1 k =1 S k

Prıklad 14.1.1 Urcete zvysenıtlaku probˇ hne za cas

∆p = p 2 − p1 pri nahle m uzavrenıventilu v potrubıo de lce l . Uzavı ranı

t u . Pocatecnırychlost vody je v . Predpoklada se nestlacitelna kapalina a tuhe

potrubı . Zadano:

l=

tu = v= ρ=

2000 m

p0

1s 1 m.s

1000 kg.m

-3

Vypoctˇ te: a=?

∆p = ?

l

-1

Vysledky: m.s Pa

-2

2

1 - 1.00000 2 000 000

v


98

14.2. Rozbeh proudu v potrubı pri vytoku z nadoby Doba rozbˇ hu sloupce kapaliny o de lce l v potrubıpri jeho otevrenıse urcıze vztahu

t=

ϕ 2l vs + v 1 , kde ϕ = ln je rychlostnısoucinitel pro potrubı , v(t ) je rychlost v case t a v s vs vs − v 1+ζ

je ustalena rychlost. Rychlost

v(t ) se vyjadrız Bernoulliho rovnice 2 p1 v12 p2 v dv + + gh1 = + + gh2 + gh z + l , resp. ρ 2 ρ 2 dt

d

h

p0

p0

l

2 2   dv  p 2 − p1 v − v1 1 = + + g (h2 − h1 ) + gh z  dt  ρ 2 l  

Explicitnıresenılze odvodit, prı padnˇ najı t ve sbı rkach resenych integralu ve tvaru

v = vs kde

τ=

vztahem

kde

eτ − 1 eτ + 1

v t ϕ 2l t = s2 , t 0 = je pomˇ rna doba. Zrychlenısloupce kapaliny v potrubıje pak dano t0 ϕ l vs a=

gH =

vsl 2v s eτ , . C asova konstanta T potrubıje T = 2t 0 = t 0 eτ + 1 2 gH

(

)

p1 − p 2 + g (h1 − h2 ) . ρ

Diferencialnırovnici lze take resit numericky pomocıuniverzalnı ch matematickych software, jako DERIVE, MathCad, MathLab. Vyhodou je vˇ tsı univerzalnost tˇ chto software, rychle

graficke

vyhodnocenı . Vysledky je treba vzdy kontrolovat alespon pro zjednodusene resenı(napr. ustalene proudˇ nı , kdy casove derivace jsou rovny nule).

Prıklad 14.2.1 V potrubıse pohybuje pı st vpravo od pru rezu 1 s konstantnı m zrychlenı m v jake vzdalenosti

a . Stanovte, za jaky cas a

xmax prestane kapalina sledovat pohyb pı stu, tj. dojde k odtrzenıproudu od pı stu

pri poklesu staticke ho tlaku na tlak nasycenych par vody

p n pri dane teplotˇ t n . Na pocatku dˇ je je

pri x = 0 rychlost v = 0 a potrubıo de lce l je zaplnˇ no vodou. Mˇ rna hmotnost vody pri tlaku

ρ . Pru mˇ r potrubıje d a vyska h . Celkovy soucinitel ztrat je ζ .

p n je

99


Zadano:

x

l= d= h= pn = ρ= ζ= a=

v, a

5m 90 mm 1m

1

0.02 MPa -3

h

l

990 kg.m 3 1.5 m.s

Vypoctˇ te: t=?

xmax = ?

d

-2

Vysledky: 3.39507

s m

p0

8.64488

Resenı : Pouzije se Bernoulliho rovnice pro nejme nˇ prı znivy prı pad, kdy je tlak pred pı stem pravˇ roven

pn :

p0 p v2 v2 = gh + n + + a (l + x ) + ζ ρ ρ 2 2 1 2 Za rychlost v = at a drahu x = at se dosadıdo predchozırovnice, zı ska se zavislost 2  1+ζ p n = p 0 − ρ  gh + (at )2 + a l + 1 at 2   2 2    coz je kvadraticka zavislost, z nı z se vyjadrıjedina neznama t , pro kterou se take vyjadrıdraha. Jednodussımoznostıje v EXCELu tuto zavislost tabelovat a hodnotu casu pro urcitou hodnotu

pn

odecı st, prı padnˇ v pri resenıv tabulce upresnit iteracnˇ pomocıprı kazu Nastroje-Najı t resenı . p n = f(t) 90000

10

80000

9 8

70000

7 60000

5 40000

x (m)

p n (Pa)

6 50000

4 30000 3 20000

2

10000

1

0

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t (s)

Prıklad 14.2.2 K velke nadobˇ je pripojene vodorovne potrubıkonstantnı ho pru rezu, naplnˇ ne vodou a uzavrene klapkou. De lka potrubıje l , pru mˇ r d , soucinitel trenıλ , vyska hladiny v nadrzi h . Urcete pru bˇ h


100

v(t ) bˇ hem rozbˇ hu sloupce kapaliny. Za kolik vterin bude vytokova rychlost rovna 99%

rychlosti

rychlosti ustalene . Urcete casovou konstantu potrubı . Zadano:

p0

h

5m 0.1 m 0.023 1.25 m

Vypoctˇ te:

d

l= d= λ= h=

Vysledky:

v = v(t ) T=?

m.s

p0

l

-1

s

1.3829

Resenı : Vyuzije se Bernoulliho rovnice pro neustalene proudˇ nıve tvaru:

p0 p v2 v2 dv + gh = 0 + +ζ +l ρ ρ 2 2 dt resp.

l   1+ λ   dv  2 1 d s pocatecnı podmı nkou v = gh − l dt  2    

v(0 ) = 0 . Tato rovnice se resı

numericky metodou Runge-Kutta v MathCadu a vysledkem je tabulka rychlosti zavisle na case, pritom jejıpru bˇ h je vyhodnocen graficky. Z grafu lze take odecı st hodnoty potrebne k urcenıT . v = f(t) 4 3.5 (5,3.373) 3

v (ms -1 )

2.5 2 1.5 1 0.5

(0.5,0.205)

0 0

1

2

3

4

5

6

t (s)

Prıklad 14.2.3 Pı stova napajecka cerpa vodu do kotle. Je dana vyska h , de lka sacı ho potrubıl , polomˇ r kliky pomˇ r pru rezu valce a potrubıS v rychlost pı stu je

r,

/ S p a pocet otacek n . Celkovy ztratovy soucinitel vztazeny na

ζ . Bˇ hem rovnomˇ rne ho otacenıkliky se pı st pohybuje nerovnomˇ rnˇ . Urcete

periodu dˇ je, minimalnıtlak

pmin a polohu pı stu x p min , pri ktere tento tlak nastane. Jaka teplota

101


vody tomu odpovı da? Resenıproveóte pro nekonecnˇ dlouhou ojnici. Predpoklada se, ze minimalnı tlak bude na pı stu. p0

n, ω

l

ωt

h

SP

SV , pn vP

r

tV l

x

Resenı :

Zadano:

h= l = r=

Sv

=

Sp n= ζ=

Zavislost tlaku na pı st na case lze urcit z Bernoulliho

2m 1m 0.5 m

rovnice a rovnice kontinuty

v 2p p0 p + gh = n + (1 + ζ ) + a p x + al ρ ρ 2

5 1s

-1

aS p = a p S v

13

Vypoctˇ te:

T=?

Vysledky: Pa

x p min = ?

m

v = v(t )

pred pı stem

s

pmin = ?

Sloucenı m obou rovnic se zı ska vztah pro vyjadrenıtlaku

 v 2p  pn p0 S  ( = + gh −  1 + ζ ) + a p  x + v l    2 S p   ρ ρ   

m.s

-1

pn p0 = + gh − ea ρ ρ

Ze sche matu lze odvodit vztahy pro drahu, rychlost a zrychlenı

x = r (1 − cos ω t ) , v p =

dv p dx = rω sin ω t , a p = = rω 2 cos ω t dt dt

Nejneprı znivˇ jsıstav je urcen minimalnıhodnotou tlaku pred pı stem, tj. jeho nulovou derivacı

   da p  dp n  x + Sv l  + a pv p  = = − (1 + ζ )v p a p +   S p  dt dt       S  = − (1 + ζ )v p a p − rω 3 sin (ω t ). x + v l  + a p v p     S p     Provede se vyhodnocenıdrahy, rychlosti, zrychlenı , tlaku a jeho derivace tabelacıv EXCELu po dobu dvou period (perioda

T =

1 ). Vsechny potrebne informace se vyctou z tabulky nebo grafu, pritom n

hodnota nulove derivace tlaku se da upresnit interpolacıpri pouzitıprı kazu Nastroje, Hledat resenı .


102

T

x

vp

ap

ea

pn

dp n dt

0 0.1 0.129354 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.000 0.095 0.156 0.345 0.655 0.905 1.000 0.905 0.655 0.345 0.095 0.000

0.000 1.847 2.281 2.988 2.988 1.847 0.000 -1.847 -2.988 -2.988 -1.847 0.000

19.739 15.969 13.571 6.100 -6.100 -15.969 -19.739 -15.969 -6.100 6.100 15.969 19.739

98.70 105.24 106.41 95.10 28.00 -70.42 -118.44 -70.42 28.00 95.10 105.24 98.70

22249 15704 14538 25849 92946 191367 239380 191367 92946 25849 15704 22249

0 -70869 0 357151 940352 872770 0 -872770 -940352 -357151 70869 0

atd. Draha, rychlost a zrychlenı jako funkce c asu 25.000 20.000

-2

x (m), v p (ms ), a p (ms )

15.000 10.000 5.000

-1

x vp ap

0.000 -5.000 -10.000 -15.000 -20.000 -25.000 0

0.5

1

1.5

2

2.5

t (s)

1500000

150.00

1000000

100.00

-1

p n (Pa), dp n /dt (Pas )

Merna energie a tlak na pıst jako funkce c asu

500000

-1

dpn/dt 0

ea

-500000

0.00

-50.00

-1000000

-100.00

-1500000

-150.00

0

0.5

1

1.5

t (s)

2

ea (J.kg )

50.00

pn

2.5

103


Minimalnıtlak je skutecnˇ nizsınez tlak nasycenych par. Tento proble m se da odstranit zvˇ tsenı m h.

14.3. Hydraulicky raz Hydraulicky raz je neustalene proudˇ nıstlacitelne tekutiny, charakterizovane periodicky se opakujı cı mi tlakovymi a pru tokovymi pulzacemi jako odezva na dynamickou (casovˇ zavislou) zmˇ nu, jako naprı klad nahle uzavrenıpotrubı . U kapaliny bez vnitrnı ho trenınedochazık ťtlumu a pulzace by se neustale opakovaly. Ve skutecnych kapalinach se vnitrnı m trenı m pulzace utlumıaz prakticky zaniknou. K hydraulicke mu razu mu ze dojı t pri prerusenıprovozu hydraulicke ho syste mu nebo pri zmˇ nˇ provoznı ch podmı nek (uzavı ranıpotrubı , vypadek cerpadla, prerusenıdodavky el. proudu). Predpokladejme nahle

uzavrenı armatury, cı mz se okamzitˇ zastavı vytok kapaliny. Pri

zastavenıkapaliny dochazık premˇ nˇ kineticke energie na deformacnıpraci spojenou se stlacenı m sloupce kapaliny. Stlacena kapalina ma vˇ tsıtlak o hodnotu razu rychlostızvuku

a a za cas t =

∆p . Tlakova vlna se sı rıod mı sta vzniku

2l l probˇ hne cely ťsek potrubıaz k nadrzi, za cas T = 2t = a a T se oznacuje jako doba bˇ hu vlny.

se vratıdo mı sta sve ho vzniku. Doba

Pokud doba uzavı ranıarmatury

t z ≤ T , dojde k totalnı mu hydraulicke mu razu, pri nˇ mz se

veskera kineticka energie premˇ nına deformacnıpraci. Zmˇ na tlaku razu ( t z

∆p pri totalnı m hydraulicke m

≤ T ) je urcena Z ukovske ho vyrazem:

∆p = ρ a∆v kde

a je skutecna rychlost zvuku urcena vztahem a = κ .a t = κ

a

K ρ

κ je soucinitel zahrnujı cıvliv pruznych deformacıpotrubı , ktery se urcıze vztahu :

tenkostˇ nne potrubı

κ=

1 1+

tlustostˇ nne potrubı

kde

κ=

Kd Es 1

E D2 + d 2 1+ K D2 − d 2

nebo

κ=

K (Pa)

modul objemove pruznosti kapaliny

E (Pa)

modul pruznosti materialu potrubı

d (m)

pru mˇ r potrubı

s (m)

tlous„ka stˇ n potrubı

1 E 2.6 D 2 + 1.2d 2 1+ K D2 − d 2

D = d + 2s

t z 〉 T , pak nastava tzv. castecny hydraulicky raz. Pri linearnızmˇ nˇ T rychlosti kapaliny v case je zmˇ na tlaku urcena vztahem ∆p c = ∆p . Stoupnutıtlaku je tedy tz Je-li casova zmˇ na

mensınez v prı padˇ totalnı ho hydraulicke ho razu.


104

Prıklad 14.3.1 Vypoctˇ te pru tok soucinitel

Qv , celkovy ztratovy soucinitel ζ pro potrubıde lky l a pru mˇ ru d a rychlostnı

ϕ . Urcete potrebny spad h . Stanovte zvysenıtlaku ∆ p pred ventilem pri jeho nahle m potrubı , soucinitel pruznosti potrubı κ , soucinitel trenı λ , ztratovy

uzavrenı . Uvazujte pruzne

soucinitel na vtoku do potrubıζ 1 , ztratovy soucinitel ventilu Stanovte maximalnıdobu uzavı ranıventilu modul objemove pruznosti vody

ζ 2 Vypoctˇ te dobu bˇ hu tlakove vlny T.

t z max pri ktere jestˇ dojde k totalnı mu razu. Uvazujte

K . Voda proudıv potrubırychlostıv .

Zadano: 4 m.s

-1

4000 m 300 mm 0.9 h

0.024 0.5 ζ1

1.2 2E+09 Pa 1000 kg.m

-3

Vypoctˇ te:

Qv = ? ζ =? h= ? vt = ? ϕ=? a= ?

ζ2

v

l

Vysledky: 3

m .s

-1

0.28274 321.700

m m.s

263.160 -1

71.855 0.056 1 414.214

1.1.1.1.1

Resenı : V prve casti ťlohy je resen hydraulicky vypocet potrubı :

π .d 2 Qv = .v , 4 2 l , h = v (1 + ζ ) ζ = ζ 1 +ζ 2 + λ 2g d

vt = 2.g .h , ϕ = ∆p = ?

d

v= l= d= κ= λ= ζ1 = ζ2= K= ρ=

1.1.1.1.2 5 656 856.0

v vt

Stoupnutıtlaku pri totalnı m hydraulicke m razu ( t z ≤ T ) je urceno Z ukovske ho vyrazem ∆p = ρ a∆ v , kde a je skutecna rychlost sı renıtlakove vlny v kapalinˇ , definovana

T=?

s

6.285

t z max = ?

s

6.285 vztahem

K . Soucinitel κ zahrnuje vliv pruznych ρ 2l , kde l je zadana de lka potrubı . deformacıpotrubı . Doba bˇ hu vlny je urcena vztahem T = a a=κ

Prıklad 14.3.2 Stanovte vytokovou rychlost

v z nadrze, ve ktere je hladina vody ve vysce h . Vypoctˇ te

teoretickou vytokovou rychlost

vt a rychlostnısoucinitel ϕ . Urcete zvysenıtlaku ∆p pri totalnı m

hydraulicke m razu. Ztratovy soucinitel na vtoku do potrubıje skutecna rychlost zvuku

as .

ζ 1 , ztratovy soucinitel ventilu je ζ 2 a

105


Zadano:

h= ζ1=

0.5 16 1200 m.s

-1

1000 kg.m

h

ζ2= as = ρ=

4m

-3

Vypoctˇ te:

Vysledky:

v= ? vt = ? ϕ=? ∆p = ?

m.s

-1

2.118

m.s

-1

8.859

ζ1

ζ2

v

0.239 MPa

002.54

Prıklad 14.3.3 Vypoctˇ te teoretickou rychlost stoupnutıtlaku

vt a skutecnou vytokovou rychlost v . Urcete pru tok Qv . Vypocı tejte

∆ p pri nahle m uzavrenıarmatury na konci potrubı . Vypoctˇ te rychlostnısoucinitel

ϕ . Vyska hladiny v nadrzi je h a pripojene potrubıje de lky l a pru mˇ ru d . Dale jsou znamy ztratove soucinitele vtoku

ζ 1 a ventilu ζ 2 , trecısoucinitel λ . Skutecna rychlost zvuku je a s .

Zadano: 400 m 0.1 m 1100 m.s

-1

5

H2O

5 0.025 1000 kg.m

-3

Vypoctˇ te:

vt = ? v= ? Qv = ? ∆p = ? ϕ=? T=?

Vysledky: -1

m.s m.s-1 3

m .s Pa

-1

19.809 1.880

ζ1

d

ζ1= ζ2= λ= ρ=

20 m

h

h= l= d= as =

ζ2

v

l

0.01477 2 068 000.0 0.09491 0.72727

Prıklad 14.3.4 Urcete zvysenıtlaku

∆p pri totalnı m hydraulicke m razu pri nahle m uzavrenıventilu na potrubı .

Uvazujte pruzne tenkostˇ nne potrubı , jehoz vnˇ jsıpru mˇ r je pruznosti vody je

K . Voda proudıv potrubırychlostıv .

D a vnitrnıpru mˇ r d . Modul objemove


106

Zadano:

D= d= v=

0.2 m 0.19 m 2 ms

-1

K = 2.3E+09 Pa E = 2E+11 Pa -3 ρ= 1000 kg.m κ=? a= ? ∆p = ?

Vysledky: D

Vypoctˇ te:

0.906 m.s

-1

Pa

v

1374.017 2 748 034.00

Prıklad 14.3.5 K uzavrene nadrzi je pripojeno potrubıde lky l a pru mˇ ru d , ve ktere m proudıvoda rychlostıv . Stanovte tlak

p na hladinˇ ve vysce h , rychlostnısoucinitel ϕ a objemovy pru tok Qv . Dale urcete

zvysenıtlaku

∆ p v du sledku hydraulicke ho razu pri nahle m snı zenıpru tokove rychlosti o ∆ v a

vypoctˇ te dobu bˇ hu vlny

T.

Zadano: -1 v= 2 m.s l= 15 m d= 0.4 m h= 2m -1 ∆v = 1.5 m.s ζ1= 1 ζv= 12.5 λ = 0.022 -3 ρ= 1000 kg.m κ= 0.92 K = 2.0E+09 Pa

Vypoctˇ te:

p=? ϕ=? Qv = ? a= ? ∆p = ? T =?

p

h

H2O

d

ζv v

Vysledky: Pa

111 030.0 0.25545

3

-1

l

ζ1

m .s -1 m.s

0.25133 1 301.076

Pa

1 951 614.0

s

0.02306

107


15. Veta o zmene hybnosti Vˇ ta o zmˇ nˇ hybnosti se v inzenyrske praxi s vyhodou pouzı va v tˇ ch prı padech, kdy je sledovan jen vysledny silovy ťcinek tekutiny na stˇ nu pevne ho tˇ lesa. Sı la

F vyvolana proudı cıkapalinou

(akce) je rovna zmˇ nˇ pru tokove hybnosti podle vztahu

m (v 2 − v 1 ) = Q m ( v 2 − v 1 ) = H 2 − H 1 ∆t kde H = Q m ⋅ v je pru tokova hybnost . To znamena, ze sı la proudu tekutiny pu sobı cına kontrolnı F = Fh =

oblast se rovna zmˇ nˇ hybnostnı ho toku prote kajı cı ho kontrolnıoblastı , ktera je volena tak, aby obepı nala tˇ leso nebo plochu, na nˇ z se vysetruje silovy ťcinek. Tekutina do te to oblasti vstupuje rychlostıv1 a vystupuje z nırychlostıv 2 . Smˇ r vektoru sı ly

Fh je urcen smˇ rem vektoru ∆v , ktery

je vektorovym rozdı lem prite kajı cıa odte kajı cırychlosti. Pro vypocet slozky sı ly ve smˇ ru

s platı

hybnostnıvˇ ta

Fhs = Qm (v 2 s − v 1s ) kde rychlosti

v 1s a v 2 s jsou slozky rychlosti v1 a v 2 do smˇ ru s .

15.1. Deska v klidu Paprsek kapaliny dopadajı cıkolmo na rovinnou desku zmˇ nısmˇ r proudˇ nı . Jestlize paprsek 0

vyte ka z trysky vodorovnˇ , po dopadu na desku se zmˇ nısmˇ r proudˇ nıo 90 , kapalina odte ka ve smˇ ru kolme m na smˇ r paprsku a slozka vektoru odte kajı cırychlosti ve smˇ ru vodorovne m je nulova. Zmˇ nou hybnosti se vyvola sı la

Fh . Kontrolnıobjem V se volıtak, aby ve vstupnı m pru rezu proudu

kapaliny byla nenarusena rychlost

v 1 , podobnˇ ve vystupnı m pru rezu musıproud mı t smˇ r odtokove

rychlosti shodny s povrchem desky. Rovnice pro vypocet ťcinku paprsku na stojı cıdesku, kolmou na smˇ r paprsku ma tvar

Fh = ρ ⋅ Qv (v − 0) = ρ ⋅ S ⋅ v 2 Prıklad 15.1.1 Vypocı tejte silovy ťcinek vodnı ho proudu, ktery vyte ka z trysky rychlostıv1 a dopada na stojı cıdesku. Je dan pru mˇ r vodnı ho proudu

d p , odtokova rychlost z desky v 2 je ve smˇ ru jejı ho povrchu.

Zadano:

u

dp=

110 mm

v1 = ρ=

2 m.s

-1 -3

Vypoctˇ te:

F=? Qv = ?

Vysledky: N

v1

dp

1000 kg.m

v2 F

38.013 3

m .s

-1

0.01901

v2


108

Prıklad 15.1.2 Otvorem ve stˇ nˇ rozlehle nadrze vyte ka voda. Stanovte, jakou silou pu sobıvodnıproud na stojı cı velkou desku. Vliv gravitace na vyte kajı cıproud zanedbejte. Je dana hloubka otvoru pod hladinou h ,

ε , a rychlostnısoucinitel vytokove ho otvoru ϕ .

pru mˇ r otvoru d , soucinitel kontrakce Zadano: 110 mm

h

20 m 0.64 0.97

Vypoctˇ te:

Vysledky:

v1 = ? Sp= ?

m.s m

F=?

-1

2

v2

v1

19.215

v2

0.00608

N

F

d

d= h= ε= ϕ=

2 244.835

Prıklad 15.1.3 V jake vysce h nad ťstı m trysky bude nesena rozlehla deska o hmotnosti

m proudem vody, ktery

vyte ka z trysky o pru mˇ ru d rychlostıv 0 . Trenıv lozisku zanedbejte. Jakou rychlostıv y dopada paprsek na desku? Voda odte ka z desky ve smˇ ru jejı ho povrchu. Zadano: 6 m.s

-1

m

0.05 m 6 kg -3 1000 kg.m

Vypoctˇ te:

vy= ? h= ?

G

Vysledky: m.s

-1

m

h

v0 = d= m= ρ=

v0

4.996 0.56269

Resenı : Hybnostnısı la musıbyt v rovnovaze se silou tı hovou, tj.

FH = G , pritom paprsek dopada na

desku rychlostıv y , a tedy

ρ ⋅ S ⋅v 0 ⋅ v y = m⋅ g ⇒ v y =

m⋅ g 4⋅m⋅ g = ρ ⋅ S ⋅ v0 ρ ⋅ π ⋅ d 2 ⋅ v0

Z Bernoulliho rovnice definovane pro ťstıtryska a pru rez ve vysce h plyne:

v 2y v 02 − v 2y v 02 +0= + g ⋅h⇒h= 2 2 2⋅ g

d

109


Prıklad 15.1.4 Vypocı tejte silovy ťcinek vodnı ho proudu

Fn , ktery vyte ka z trysky rychlostıv1 a dopada na stojı cı

desku, sklonˇ nou pod ťhlem α . Je dan pru mˇ r vodnı ho proudu

d p , odtokova rychlost z desky v 2 je

ve smˇ ru jejı ho povrchu. Rovnice pro vypocet ťcinku paprsku na stojı cıdesku, sikmou na smˇ r paprsku ma tvar

Fn = ρ S P v1v n = ρ ⋅ Qv v1 sin α .

Zadano:

dp=

110 mm

v1 = α= ρ=

2 m.s 45

-1

v2

0

1000 kg.m

-3

Vypoctˇ te:

Vysledky: m .s

-1

N

v2

Fn

α

3

Qv = ? Fn = ?

vn

dp

v1

0.01901 13.440

15.2. Pohybujıcı se deska Na unasenou desku pri kolme m dopadu proudu kapaliny pu sobısı la

Fh = Qm ∆v , kde relativnı

(v − u ) , pokud v 〉 u . Odtokova rychlost ma ve smˇ ru sıly Fh ∆v = (v − u − 0) = v − u . Hmotnostnıpru tok kapaliny, ktery dopadne na desku

rychlost dopadu paprsku na desku je nulovou slozku a tedy je

Qm = ρ S (v − u ) . Silovy ťcinek je tedy Fh = ρ S (v − u )2 .

Prıklad 15.2.1 Vypocı tejte silovy ťcinek vodnı ho proudu, ktery vyte ka z trysky rychlostı v1 a dopada na desku pohybujı cıse rychlostı u ve smˇ ru vyte kajı cı ho paprsku. Je dan pru mˇ r vodnı ho proudu odtokova rychlost z desky

v 2 je ve smˇ ru jejı ho povrchu.

Zadano:

u

110 mm

v1 = u= ρ=

17.72 m.s

-1

5 m.s

-1

1000 kg.m

-3

Vypoctˇ te:

Qv = ? F=?

v2 v1

dp

dp =

F

Vysledky: 3

m .s N

-1

0.12088 1537.594

v2

dp,


110

15.3. Rotac nı teleso Paprsek kapaliny dopadajı cına rotacnıplochu ve smˇ ru jejıosy vyvolava sı lu

Fh = Qm ∆v , kde

ta Qm = ρ S v1 a zmˇ na rychlosti ∆v = v1 − v 2 cos α . Silovy ťcinek na rotacnıtˇ leso se tedy vypocı ze vztahu

Fh = ρ S v1 (v1 − v 2 cos α ) = ρ S v 2 (1 − ϕ cos α ) , kde ϕ ≤ 1 . 1

Prıklad 15.3.1 Stanovte, jak velkou silou pu sobıpaprsek kapaliny o pru mˇ ru

d p , ktery vyte ka z trysky rychlostıv1 ,

na pevnou stˇ nu majı cıtvar kuzele s osou totoznou s osou paprsku. Smˇ r odtokove rychlosti z desky je dan ťhlem

α.

Zadano:

dp =

17.72 m.s O

v

dp

35

v2

-1

α

v1 = α= ϕ= ρ=

110 mm

Fh

1 1000 kg.m

-3

Vypoctˇ te:

v2

Vysledky: 3

Qv = ? Fh = ?

m .s N

-1

0.16840 540.113

15.4. Peltonovo kolo Peltonovo kolo se sklada z korecku , na nˇ z dopada paprsek vody. Na korecku mˇ nıproud kapaliny svu j smˇ r a tı m vyvolava silovy ťcinek. Pokud se korecek pohybuje unasivou rychlostıu , proud na nˇ j dopada relativnırychlostı(v − u ) . V idealnı m prı padˇ se zmˇ nısmˇ r proudˇ nıo 180 , O

takze z korecku odte ka relativnırychlostı − (v − u ) . Zmˇ na rychlosti po pru toku koreckem je ve smˇ ru sı ly

Fh (smˇ r unasive rychlosti) urcena vztahem ∆v = (v − u ) − [− (v − u )] = 2(v − u ) .

Neuvazujıse hydraulicke ztraty. Hmotnostnıpru tok je paprsku. Silovy ťcinek na Peltonovo kolo je tedy

cı ho Qm = ρ S v , kde v je rychlost prite kajı

Fh = 2 ρ S v(v − u ) .

Prıklad 15.4.1 Stanovte, jakou silou

Fh1 pu sobıvodnıproud o pru mˇ ru d p na stojı cılopatku Peltonovy turbı ny.

Proud dopada na tuto lopatku rychlostıv . Jaky bude silovy ťcinek na Peltonovo kolo bude otacet otackami

n . Lopatky jsou na polomˇ ru r .

Fh 2 , pokud se

111


Zadano:

- ( v-u )

dp=

110 mm

v= α= ρ=

17.72 m.s O 180

-1

v-u

1000 kg.m

v

-3

F u

-1

n= r=

2s 0.8 m

Vypoctˇ te:

Vysledky: - ( v-u )

Fh1 = ? Fh 2 = ?

N

5968.067

N

2 582.19

Prıklad 15.4.2 Segnerovo kolo tvorıdvˇ ohnute trubky o pru mˇ ru d , jejichz vytokove pru rezy jsou na polomˇ ru

r.

Vyska hladiny nad Segnerovym kolem je h . Vypoctˇ te kroutı cımoment pu sobı cıod vyte kajı cıvody na stojı cıkolo. Ztraty pri proudˇ nıvody zanedbejte. p0

Zadano: 0.02 m 0.4 m 2m 1000 kg.m

h

d= r= h= ρ=

-3

Vypoctˇ te:

Vysledky: -1

v= ? Fh = ?

m.s N

24.654

M =?

Nm

9.862

6.264 v2

ω

r

v2

15.5. Silovy ťc inek proudu na potrubı Vysledna sı la

F , ktera pu sobına potrubı , je dana hybnostnısilou od zmˇ ny hybnosti kapaliny Fh ,

vyslednou tlakovou silou

F p , vlastnıtıhou potrubı Fgp a kapaliny Fgk . Vysledna sı la je dana

vektorovym souctem sil

Fv = Fh1 − Fh 2 + F p1 − F p 2 + Fgp + Fgk Sı ly ze zmˇ ny hybnostnı ho toku jsou urceny vektorovym rozdı lem ve vstupnı m a vystupnı m pru rezu jsou dany vztahy smˇ ru normaly k pru rezu.

Fh = Qm (v 1 − v 2 ) . Tlakove sı ly

F p1 = p1 S1 , F p 2 = p 2 S 2 , pritom pu sobıve


112

Prıklad 15.5.1 Stanovte velikost a smˇ r sı ly

Fv pu sobı cına kotevnıpotrubı . Vlastnıtı hu potrubıa kapaliny

neuvazujte. Ztraty zanedbejte. Zadano: 1m 0.8 m -1

F1

0.785 MPa

Vypoctˇ te:

p1

Vysledky:

v1 = ? v2 = ? p2 = ? Fh = ? Fp = ?

m.s

-1

2.546

m.s

-1

3.979

Fv = ?

Pa

780 324.84

N

-2 866.000

N

224 304.04

N

221 438.04

Fv

F2

d2

3

2 m .s

d1

d1 = d2= Qv = p1 =

p2

Resenı : Z Bernoulliho rovnice se urcıtlak

pomocırovnice kontinuity v1

=

1 1   p 2 =  p1 + ρ v12 − ρ v 22  , kde rychlosti v1 , v 2 se vypoctou 2 2  

4 Qv π d12

, v2 =

4 Qv π d 22

a urcıse souctem sil hybnostnı ch a tlakovych

Fv = Fh1 − Fh 2 + F p1 − F p 2 = Fh + F p

. Vysledna sı la bude pu sobit ve smˇ ru vodorovne m

113


16. Obtčkanı teles 16.1. Odpor teles a tlous ka meznı vrstvy Odpor tˇ lesa je sı la, kterou pu sobıtˇ leso na prostredı(a naopak) pri obte kanıa vyjadruje se vztahem:

F0 = kde

1 ρc 0 S p v ∞2 2

ρ

hustota prostredı

c0

soucinitel celkove ho odporu

Sp

charakteristicka plocha obte kane ho tˇ lesa

v∞

rychlost nenarusene ho proudu prostredı

Odpor tˇ lesa se sklada z nasledujı cı ch slozek •

trecıodpor (silovy ťcinek zpu sobeny trenı m v meznıvrstvˇ )

Ff = kde

•

1 ρc f S f v∞2 2

cf

soucinitel trecı ho odporu

Sf

smocena plocha obte kane ho tˇ lesa

tlakovy odpor (v du sledku vzniku vı rive oblasti pri odtrzenıproudu od tˇ lesa)

Fp = kde

1 ρ c p S p v ∞2 2

cp

soucinitel tlakove ho odporu

Sp

prı cny pru rez obte kane ho tˇ lesa

Prı kladem mohou byt sı ly, ktere vyvolava tekutina na obte kany letecky profil. Ty je mozno rozlozit na slozku kolmou ke smˇ ru pohybu (vztlak) a na slozku rovnobˇ znou se smˇ rem pohybu (odpor). Vysledna sı la se oznacuje jako hydraulicka (aerodynamicka) sı la

v

1 ρ cS v ∞2 = c S p d 2 Odpor Fx je urcen vztahem F=

F

8

Fy

Fx

Fx = c x Sρ a vztlak

S

kde je

F

v ∞2 2

F y je urcen vztahem

Fy = c y Sρ

v∞2 2

c soucinitel vysledne aerodynamicke sı ly, S pu dorysna plocha letecke ho profilu, c x soucinitel odporu, c y soucinitel vztlaku a pd je dynamicky tlak pd =

1 2 ρv∞ . 2


114

Pri resenıtrecı ho odporu na desce se vypocet tlous„ky meznıvrstvy a odpor hladke desky rovnobˇ zne se smˇ rem proudu rı dıvztahy odlisnymi pro oblasti laminarnı ho a turbulentnı ho proudˇ nıa smı sene oblasti, uvedenymi v nasledujı cıtabulce. Kriticke Reynoldsovo cı slo desky je nasledujı cı :

Re k = kde

v∞ xk = 5.10 5 ν

x k je vzdalenost od nabˇ zne hrany, ve ktere laminarnımeznıvrstva prechazıdo turbulentnı. druh meznıvrstvy

tlous„ka meznıvrstvy

3,46 x

laminarnı

δx =

0,37 x

turbulentnı

δx = δx =

smı sena

δx = Pozn.

Re x 5

Re x

3,46 x

pro

Re x 0,37 x 5

Re x

soucinitel odporu desky

cx =

1,33

cx =

0,074

x〈 x k cx =

pro

Re x 〈〈 Re k

Re L 5

pozn.

Re x 〉〉 Re k

Re L

0,074 1700 − Re L Re L

Re x ≈ Re k

5

x〉 x k

Re L = Re x pro x = L , kde L je de lka desky.

Prıklad 16.1.1 Tenka a hladka rovina deska je obte kana rovnobˇ znym proudem vzduchu. Urcete de lku laminarnı vrstvy pri rychlosti

v ∞ = 20 ms-1. Kriticke Reynoldsovo cı slo desky je Re k a viskozita vzduchu je ν .

Zadano:

a

v∞= 20 ms Re k = 500000 ν = 0.000015 m2s-1 Vysledky:

b

Vypoctˇ te:

xk = ? Resenı :

xk =

v

8

-1

m

0.37500

Rek ν v∞

Prıklad 16.1.2 Tenka a hladka deska o rozmˇ rech rychlostıv∞1 resp.

a , b je obte kana z obou stran rovnobˇ znym proudem vzduchu

v ∞ 2 o hustotˇ ρ vz a viskozitˇ ν . Stanovte charakter proudˇ nıv meznıvrstvˇ ,

soucinitele odporu desky, trecıodpory a tlous„ky meznıvrstvy na konci desky pro obˇ varianty rychlostı .

115


Zadano: -1 v∞1 = 30 ms -1 v∞2 = 100 ms -3 ρ vz = 1.2 kgm ν = 0.000015 m2s-1 a= 0.1 m 1m b=

b

v

8

a

Vypoctˇ te:

Vysledky:

Re L1 = ? Re L 2 = ? c x1 = ? c x2 = ? Fx1 = ? Fx 2 = ? δ x1 = ?

200 000 666 667 0.00297 0.00506 N

0.32076

N

δ x2 = ?

6.072

m

0.00077

m

0.00253

Resenı :

v ∞2 2

Re L =

v∞ a ν

Fx = 2c x Sρ

cx =

1,33

δx =

3,46 x Re x

laminar.proudˇ nı

cx =

0,074 5 Re L

δx =

0,37 x 5 Re x

turbul. proudˇ nı

Re L

Prıklad 16.1.3 Jak velka sı la vzduchu je

Fx bude pu sobit na dopravnıznacku o pru mˇ ru d pri rychlosti vˇ tru v . Hustota

ρ vz a soucinitel odporu kruhove desky je c x . d

Zadano:

d= v∞ = ρ vz = cx =

0.6 m -1

120 km.hod 1.23 kgm 1.1

Vypoctˇ te:

F x1 = ?

-3

Vysledky: N

212.42


116

17. Proudenı v korytech Pri pru toku koryty je kapalina vedena stˇ nami, ktere neohranicujıcely pru tocny pru rez, jen jeho cast, takze vznika volna hladina. Na te to hladinˇ se styka proud kapaliny s ovzdusı m. Mu ze jı t o pru tok neplnym potrubı m, stokami, umˇ lymi otevrenymi kanaly nebo prirozenymi koryty potoku a rek. Zpravidla jde v tˇ chto prı padech o turbulentnıproudˇ nı . Pri ustalene m pru toku mohou nastat dva prı pady, a to pohyb rovnomˇ rny, pri nˇ mz se rychlost proudu a tı m i pru tocny pru rez (hloubka proudu) nemˇ nıpo de lce koryta, a pohyb nerovnomˇ rny, kdy se rychlost proudu a tı m i pru tocny pru rez mˇ nıpo de lce koryta, tj. v zavislosti na vzdalenosti avsak nemˇ nıse s casem

s,

t.

17.1. Rovnomerny prutok Rovnomˇ rny pru tok nastane v korytˇ stale ho pru rezu, jestlize spad dna v rovnovaze se ztratovou vyskou

z na de lce l je

h z = h , coz vyplyva z Bernoulliho rovnice

p0 v 2 p v2 + + g (h + z ) = 0 + + gh + gh z ⇒ z = h z ρ ρ 2 2 Hladina vody je v tomto prı padˇ rovnobˇ zna se dnem koryta a pro ztraty trenı m platıvzorec

z=λ

l v2 z λ v2 ⇒ = = i , kde i je pomˇ rny spad koryta. d 2g l d 2g

Pru rez koryta je zpravidla nekruhovy, proto se zavadıhydraulicky polomˇ r rh na drı ve uvedeny hydraulicky pru mˇ r

dh = 4

=

S (je treba upozornit o

S , definovany jako 4-nasobek hydraulicke ho polomˇ ru o

rh a nikoli 2- nasobek). Po dosazenıd = d h = 4rh do rovnice pro pomˇ rny spad koryta lze vyjadrit rychlost rovnomˇ rne ho pru toku

8g λ v2 i= ⇒v= irh = C irh , coz je Che zyho rovnice. 8 g rh λ Rychlostnı soucinitel C

pro strednı rychlost rovnomˇ rne ho proudu v korytech je vazan se

soucinitelem trenıvztahem

C=

8g , tedy C = f (Re, ε ) . Odborna literatura uvadıcelou radu λ

empirickych vztahu pro stanovenırychlostnı ho soucinitele, ktere byly stanoveny na zakladˇ mˇ renıa definujızavislost rychlostnı ho soucinitele C na hydraulicke m polomˇ ru rh a souciniteli drsnosti prı padnˇ

n0 ,

n1 , m , jejichz hodnoty zavisına druhu smacene ho povrchu, viz tab. v prı loze 19.

Pri navrhu koryt, stok pod. byva obvykle zadan pru tok pru rez S a pomˇ rny spad

Qv a volıse rychlost, z cehoz se vypocı ta

i . Aby pomˇ rny spad, ktery je ťmˇ rny ztratam, byl co nejmensı , je treba

volit profil nejmensı ho odporu, tj. pru tocny s nejvˇ tsı m hydraulickym polomˇ rem toku je pomˇ rny spad

rh . U prirozenych

i velmi maly, u horskych rek je 0,002, u velkych rek v nızinach jen 0,0002.

117


Manning

1 C= n0

Pavlovskij

1 rh6

1 C= n0

Bazin

1 n0 rh5

C=

Kutter

87 n 1+ 1 rh

100 m 1+ rh

C=

Prıklad 17.1.1 Stary drevˇ ny zlab obde lnı kove ho pru rezu o sı rce b a pomˇ rne m spadu

i , ktery je zaplnˇ n do vysky

t h , ma byt nahrazen betonovym kanalem s pu lkruhovym pru rezem tak, aby S1 = S 2 . Jaky musımı novy kanal sklon, aby jı m proteklo stejne objemove mnozstvıjako v pu vodnı m kanale? Vypocet proveóte podle Pavlovske ho. Soucinitel drsnosti drevˇ ne ho zlabu je

n 01 a pro betonovy kanal n 02 .

Zadano: h

0.5 m 0.4 m 0.012

b= h= i1 =

0.013

n01 = n02 =

0.017

Vypoctˇ te:

Vysledky: m

r h1 = ? C1 = ? v1 = ? Qv = ? rh 2 = ?

0.5

m .s -1 m.s 3

m .s m

C2= ? i 2 =?

r

0.154

0.5

-1

2.40

-1

m .s

55.860

-1

0.48

Resenı :

0.178

Nejprve se urcıpru tok drevˇ nym korytem. Pro vypocet je

41.971

nutne nejprve urcit hydraulicky polomˇ r pu vodnı ho koryta

0.0184 1

1 5 r Pavlovske ho ze vztahu C1 = n 01 h1

rh1 =

S bh = , o b + 2h

rychlostnı

n01

, rychlost z Che zyho rovnice

soucinitel

v1 = C irh a pru tok korytem

Qv1 = S1v1 . Za predpokladu, ze S1 = S 2 , v1 = v 2 se vypocte polomˇ r nove ho koryta r = jeho

hydraulicky polomˇ r 1

1 5 C2 = r n02 h2

n02

rh =

π r2 r = . 2π r 2

podle

Rychlostnı soucinitel

podle

2S1 a π

Pavlovske ho

je

2

 v1  1  . a sklon nove ho koryta se vypocı ta z Che zyho rovnice i =   C 2  rh 2

Prıklad 17.1.2 Porovnejte objemove pru toky otevrenymi betonovymi kanaly se stejnym pru tocnym pru rezem S , z nichz prvnıpru rez je rovnostranny trojťhelnı k o stranˇ

a , druhy obde lnı kovy s pomˇ rem stran

b / h = 2 / 1 a poslednıpu lkruhovy o polomˇ ru r . Soucinitel drsnosti je n 0 a pomˇ rny sklon i .


118

Zadano:

a

1m 0.005 0.017

Vypoctˇ te:

a= ? =?

C1 Qv1 = ? b=? C2 = ? Qv 2 = ? r=? C3 = ? Qv 3 = ?

Vysledky: m 0.5 -1 m .s 3

m .s

-1

m 0.5 -1 m .s 3

m .s

-1

m 0.5 -1 m .s 3

m .s

-1

1.520 47.327 h

S= i1 = n0 =

a 2

1.92 1.414 48.001 2.018 0.798 49.149

r

2.1953

Prıklad 17.1.3 Kanal se stˇ nami z lomove ho kamene ma lichobˇ znı kovy pru rez o rozmˇ rech Kanalem ma prote kat objemovy pru tok

B, b a hloubce h .

Qv . Jaky pomˇ rny spad musımı t tento kanal? Pro vypocet

rychlostnı ho soucinitele pouzijte vztah podle Manninga, Pavlovske ho, Basina a Kuttera. V prı loze vyhledejte soucinitel drsnosti

n1 , m . Vysledky porovnejte.

Zadano: 5m 1.4 m 1.2 m 0.017

h

B= b= h= n0 = Qv =

B

3 -1

6.0 m s

Vypoctˇ te:

rh = ? CM = ?

Vysledky: m

0.671 0.5

m .s

-1

55.039

0.5

54.408

CP = ?

m .s

-1

CB= ? CK = ? v= ? iM = iP= ? iB= ? iK = ?

m .s

0.5

-1

55.713

0.5

-1

59.829

m .s m.s

-1

1.563 0.00120 0.00123 0.001173 0.001017

b

119


18. Fyzikalnı podobnost a teorie modelovanı 18.1. Hydrodynamicka podobnost pri proudenı kapalin V mechanice tekutin lze aplikovat teorii hydrodynamicke

podobnosti. Hydrodynamicka

podobnost umoznuje urcit veliciny a charakteristiky urcite ho jevu na zakladˇ znalosti velicin a charakteristik jine ho, podobne ho jevu. Tato znalost mu ze byt zı skana teoreticky i experimentalnˇ . Majı -li si byt dva jevy podobne , musısplnovat krite ria hydrodynamicke podobnosti. Ta lze definovat i v mechanice tekutin. Proudˇ nıtekutin predstavuje pohyb hmotnych castic. Prı cinou pohybu jsou sı ly, ktere dˇ lı me na sı ly plosne F ≈ S a sı ly objemove (hmotnostnı ) F ≈ m ≈V . Kriteria hydrodynamicke podobnosti proudˇ nıjsou definovana na zakladˇ pomˇ ru dvou sil, ktere jsou hlavnı(dominantnı ) pro dany jev. Naprı klad kriterium hydrodynamicke podobnosti proudˇ nı , ve ktere m budou dominantnısı ly setrvacne

Fs a trecıFt je zname Reynoldsovo cı slo Re =

vd . ν

Prıklad 18.1.1 Koule o pru mˇ ru d je obte kana vodnı m proudem rychlostı v v . Jak velkou rychlostı v vz musıbyt obte kana vzdusnym proudem, aby obˇ proudˇ nıbyla fyzikalnˇ podobna. Kinematicka viskozita vody je ν v a kinematicka viskozita vzduchu je ν vz . Zadano:

d= vv =

1m 2 m.s

vv

-1

d

ν v = 0.000001 m2.s-1 ν vz = 0.000017 m2.s-1 Vypoctˇ te:

vvz = ?

Vysledky: m.s

-1

34.00

Resenı :

Re v = Re vz

v v d v vz d vν = ⇒ v vz = v vz νv ν vz νv Prıklad 18.1.2 Aerodynamicky odpor automobilu o vysce h (jako charakteristicky rozmˇ r) se urcuje mˇ renı m jeho modelu v aerodynamicke m tunelu. Urcete vysku modelu podobnosti, je-li nejvyssırychlost automobilu

v a dosazitelna rychlost v tunelu je v m .

Zadano:

h= v =

vm =

1.5 m -1

130 km.hod 45 m.s

Vypoctˇ te:

hm = ?

vv

-1

Vysledky: m

1.20

hm s ohledem na zachovanı fyzikalnı


120

Prıklad 18.1.3 K mˇ renıpru toku vzduchu

Qvz se ma pouzı t nenormalizovana clona o pru mˇ ru d , ktera bude

umı stˇ na v potrubıo pru mˇ ru pru tokovy soucinitel

D . Pri cejchovanıte to clony, ktere se provadˇ lo vodou, se zjistilo, ze

µ je jestˇ konstantnıpri pru toku Qv min . Pri te to hodnotˇ pru toku byl namˇ ren

na diferencnı m manometru naplnˇ ne m rtutırozdı l hladin

∆h Hg . Urcete odpovı dajı cıminimalnıpru tok

Qvz min a odpovıdajı cıťdaj ∆hv na diferencnı m manometru naplnˇ ne m vodou. Kinematicka

16 dm .s

∆hHg =

45 mm

ρv -1

ν v = 0.000001 m2.s-1 ν vz = 0.000015 m2.s-1 -3 ρv = 1000 kg.m -3 ρ vz = 1.166 kg.m -3 ρ Hg = 13600 kg.m Vypoctˇ te:

Qvz min ?

vvz

D

Qv min =

3

vv

∆hHg

100 mm 200 mm

d

d= D=

D

Zadano:

ρ v a vzduchu ρ vz .

d

viskozita vody je ν v a kinematicka viskozita vzduchu je ν vz , hustota vody je

ρvz Vysledky:

3

dm .s

-1

240.00

∆hv

vzduchu

=

∆hv = ?

mm

160.56

Resenı :

Re vz = Re v ⇒

Qvz min d Qv min d ν = ⇒ Qvz min = Qv min vz ν vz νv νv

2 ρ vz ρ Hg ρ Hg ∆h Hg ρ v ∆hv Qvz v2 2 min = ∆p = ∆hρg = ρg ≈ ρgQ ⇒ ⇒ ∆hv = ∆h Hg 2 2 ρ v Qv2 ρ vz Qvz ρ v2 Qv2min

121


19. Prılohy 19.1. Hustota vody, vzduchu a rtuti, dynamicka viskozita a

kinematicka

viskozita vody a vzduchu v zavislosti na teplote

Teplota 0 C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30

voda 999.9 999.9 1000 1000 1000 1000 1000 999.9 999.9 999.9 999.7 999.1 998.2 997.1 995.7

Hustota -3 ρ(t) [kgm ] rtu suchy vzduch 13595.1 1.293 13592.6 1.288 13590.1 1.284 13587.6 1.279 13585.2 1.274 13582.7 1.27 13580.2 1.265 13577.8 1.261 13575.3 1.256 13572.8 1.252 13570.4 1.247 13558 1.226 13545.7 1.205 13533.5 1.185 13521.2 1.165

Dynamicka viskozita η(t) [Pa.s] voda suchy vzduch 0.001794 1.720E-05 0.001732 1.724E-05 0.001674 1.728E-05 0.001619 1.732E-05 0.001567 1.736E-05 0.001519 1.740E-05 0.001473 1.744E-05 0.001429 1.748E-05 0.001387 1.752E-05 0.001348 1.756E-05 0.00131 1.760E-05 0.001145 1.785E-05 0.001009 1.809E-05 0.000893 1.832E-05 0.000801 1.848E-05

Kinematicka viskozita 2 -1 ν(t) [m s ] voda suchy vzduch 1.7938E-06 1.33024E-05 1.7321E-06 1.33851E-05 1.6738E-06 1.34579E-05 1.6188E-06 1.35418E-05 1.5671E-06 1.36264E-05 1.5188E-06 1.37008E-05 1.4726E-06 1.37866E-05 1.4289E-06 1.3862E-05 1.3873E-06 1.3949E-05 1.3479E-06 1.40256E-05 1.3101E-06 1.41139E-05 1.1456E-06 1.45595E-05 1.0105E-06 1.50124E-05 8.9600E-07 1.54599E-05 8.0400E-07 1.58627E-05

Z tabelovanych dat lze metodou nejmensı ch ctvercu odvodit funkcnızavislosti a indexy korelace: 2

ρ [kg.m ] -3

hustota rtu„

0.000511t 2 − 2.477t + 13595.075 0.0000638t 3 − 0.00878t 2 + 0.0669t + 999.880 0.0000144t 2 − 0.00469t + 1.293

voda suchy vzduch dynamicka viskozita voda suchy vzduch kinematicka viskozita voda suchy vzduch

R 0.9999 0.9994 0.9999 2

η [Pa.s]

R 0.9957

0.001745e −0.026939t 1.7189.10 5 e 0.00248t

0.9981 2

ν [m s ] 2 -1

R 0.9954

1.744.10 −6 e −0.0268t 1.3303.10 −5 e 0.00595t

0.9996

V literature lze vyhledat zavislosti voda

ρ=

vzduch

ρ=

1000 1 + 0.0000194(t − 5)

1.6923

101325 287 * (273.15 + t )

ν=

1 0.5593 + 0.0193t + 0.000131t 2 − 0.0000004t 3

η = (17.1998 + 0.042543t ).10 −6

(ν

=

η ) ρ


122

19.2. Hustota suchčho vzduchu ρ (t,p) [kg.m-3] v zavislosti na tlaku a teplote p [Pa] 0

t [ C] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

95000

96000

97000

98000

99000

100000

101000

1.168 1.164 1.160 1.156 1.152 1.148 1.144 1.140 1.136 1.132 1.129 1.124 1.120 1.116 1.112 1.110 1.107 1.104 1.101 1.097 1.093

1.182 1.178 1.173 1.169 1.165 1.161 1.157 1.153 1.149 1.145 1.141 1.137 1.134 1.130 1.126 1.122 1.118 1.115 1.111 1.107 1.104

1.203 1.199 1.195 1.191 1.187 1.183 1.179 1.175 1.171 1.167 1.163 1.158 1.154 1.150 1.147 1.143 1.14 1.137 1.134 1.131 1.127

1.218 1.214 1.210 1.206 1.202 1.198 1.194 1.190 1.185 1.18 1.175 1.172 1.168 1.164 1.162 1.157 1.152 1.148 1.144 1.140 1.136

1.224 1.219 1.215 1.211 1.207 1.203 1.200 1.196 1.191 1.187 1.183 1.178 1.173 1.169 1.165 1.161 1.157 1.153 1.150 1.146 1.142

1.231 1.227 1.222 1.218 1.214 1.210 1.205 1.201 1.197 1.193 1.189 1.185 1.181 1.177 1.173 1.169 1.165 1.161 1.157 1.153 1.150

1.242 1.238 1.233 1.229 1.224 1.220 1.216 1.212 1.208 1.204 1.200 1.196 1.192 1.188 1.184 1.180 1.176 1.172 1.168 1.164 1.160

Z tabelovanych dat lze metodou nejmensı ch ctvercu lze odvodit linearnızavislost hustoty

ρ = 0,221657 − 0,00344t + 1,0422.10 −5 p 0

Napˇ tınasycenych par (0-40 C)

p = 1175.9 + 646.74t Absolutnıvlhkost vzduchu

f [g.m-3]

f = 2.117545 + 0.41535022 t + 0.02127063t 2 − 1.90997 ⋅ 10 −4 t 3 + 5.235836 ⋅ 10 −6 t 4 19.3. Napetı t o [ C] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107

E nasycenč vodnı pary pri teplotach 95 ÷ 140 0C

E [kPa] 84.57 87.75 91.2 94.38 97.83 101.39 105.08 108.85 112.75 116.75 120.89 125.13 129.49

t o [ C] 108 109 110 111 112 113 114 115 120 125 130 135 140

E [kPa] 134.00 138.61 143.37 148.24 153.27 158.43 163.74 169.17 198.67 232.22 270.26 313.13 361.62

123


19.4. Dynamicka viskozita vody a pary µ [µPa.s] v zavislosti na teplote a tlaku

p[MPa] 0

0.01

0.05

0.1

0.2

0.5

1

5

10

1792 1518 1306 1002 890.1 797.4 653.0 10.62 10.95 11.28 11.63 11.98 12.34 12.71 13.8 13.46 13.84 14.23 14.62 15.01 15.41 15.80 16.21 17.01 17.83 18.65 19.47 20.30 21.13 21.96 22.79 23.62 24.45 25.28 26.11 26.93 27.75 28.57

1792 1518 1306 1002 890.1 797.4 653.0 546.8 466.4 403.9 354.3 11.95 12.31 12.68 13.06 13.44 13.82 14.21 14.60 14.99 15.39 15.79 16.19 17.00 17.82 18.64 19.47 20.30 21.13 21.96 22.79 23.62 24.45 25.28 26.11 26.93 27.76 28.57

1792 1518 1306 1002 890.1 797.4 653.0 546.9 466.4 403.9 354.4 314.4 12.27 12.64 13.02 13.41 13.79 14.18 14.58 14.97 15.37 15.77 16.18 16.99 17.81 18.63 19.46 20.29 21.12 21.95 22.79 23.62 24.45 25.28 26.11 26.93 27.76 28.57

1791 1518 1306 1002 890.1 797.3 653.0 546.9 466.4 403.9 354.4 314.4 281.8 254.7 232.1 13.34 13.74 14.13 14.53 14.93 15.33 15.74 16.15 16.96 17.79 18.61 19.45 20.28 21.11 21.95 22.78 23.61 24.45 25.28 26.11 26.93 27.76 28.58

1791 1517 1305 1001 890.0 797.3 653.0 546.9 466.5 404.0 354.5 314.5 281.9 254.8 232.1 213.0 196.6 182.5 14.39 14.81 15.22 15.64 16.05 16.89 17.72 18.56 19.40 20.24 21.08 21.92 22.76 23.60 24.44 25.27 26.10 26.93 27.76 28.58

1789 1517 1305 1001 889.9 797.3 653.1 547.0 466.1 404.1 354.6 314.7 282.0 254.9 232.3 213.1 196.7 182.6 170.3 159.6 15.03 15.46 15.89 16.76 17.62 18.47 19.33 20.18 21.04 21.89 22.74 23.58 24.42 25.26 26.10 26.93 27.76 28.59

1780 1510 1301 999.6 889.0 796.9 653.4 547.7 467.5 405.1 355.6 315.7 283.1 256.0 233.3 214.1 197.7 183.6 171.3 160.6 151.1 142.7 135.2 122.2 111.3 101.8 18.83 19.80 20.74 21.67 22.58 23.48 24.37 25.25 26.12 26.98 27.83 28.68

1768 1503 1296 997.7 888.0 796.6 653.9 548.6 468.6 406.4 357.0 317.1 284.4 257.3 234.6 215.4 199.0 184.9 172.6 161.8 152.4 143.9 136.4 123.5 112.6 103.2 94.68 86.46 20.70 21.67 22.63 23.56 24.49 25.40 26.29 27.18 28.05 28.91

t [ C] 0 5 10 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500


124

19.5. Kinematicka viskozita vody a pary ν [mm2s-1] v zavislosti na teplote a tlaku

p[MPa] 0

t [ C] 0 5 10 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500

0.01 1.7921 1.5184 1.3064 1.0035 0.89278 0.80087 0.65812 157.89 167.88 178.31 189.20 200.52 212.28 224.49 237.12 250.20 263.70 277.64 292.00 306.79 322.00 337.64 353.69 387.05 422.07 458.73 497.00 536.88 578.34 621.36 665.93 712.02 759.62 808.70 859.25 911.25 964.68 1019.5

0.05

0.1

0.2

0.5

1

1.7920 1.7918 1.7915 1.7904 1.7887 1.5183 1.5182 1.5179 1.5172 1.5160 1.3064 1.3063 1.3061 1.3056 1.3047 1.0035 1.0034 1.0033 1.0031 1.0026 0.89275 0.89272 0.89265 0.89246 0.89215 0.800085 0.800083 0.800078 0.800065 0.800042 0.65811 0.65810 0.65808 0.65801 0.65791 0.55347 0.55347 0.55346 0.55344 0.55341 0.47437 0.47437 0.47437 0.47347 0.47438 0.41308 0.41308 0.41309 0.41311 0.41314 0.36463 0.36464 0.36465 0.36468 0.36473 39.707 0.32571 0.32572 0.32576 0.32582 42.091 20.810 0.29400 0.29404 0.29411 44.558 22.062 0.26785 0.26789 0.26796 47.109 23.353 0.24605 0.24609 0.24617 49.744 24.685 12.149 0.22777 0.22785 52.463 26.056 12.848 0.21224 0.21231 55.267 27.469 13.566 0.19898 0.19905 58.154 28.922 14.303 5.5218 0.18766 61.125 30.416 15.059 5.8373 0.17782 64.180 31.951 15.835 6.1590 2.9214 67.318 33.527 16.630 6.4873 3.0971 70.539 35.144 17.446 6.8225 3.2741 77.229 38.501 19.136 7.5143 3.6356 84.249 42.021 20.906 8.2354 4.0086 91.594 45.702 22.755 8.9863 4.3945 99.261 49.543 24.684 9.7675 4.7939 107.25 53.543 26.691 10.579 5.2073 115.55 57.700 28.775 11.420 5.6348 124.16 62.012 30.937 12.292 6.0767 133.08 66.478 33.176 13.194 6.5329 142.31 71.096 35.489 14.125 7.0034 151.84 75.864 37.877 15.086 7.4882 161.66 80.779 40.339 16.075 7.9872 171.78 85.841 42.874 17.094 8.5003 182.18 91.047 45.481 18.141 9.0273 192.87 93.396 48.158 19.216 9.5681 203.84 101.89 50.906 20.318 10.123

5

10

1.7754 1.5066 1.2980 0.99915 0.88966 0.79866 0.65710 0.55315 0.47446 0.41343 0.36514 0.32631 0.29465 0.26853 0.24676 0.22845 0.21292 0.19966 0.18827 0.17843 0.16987 0.16241 0.15587 0.14504 0.13655 0.12981 0.79612 0.89783 0.99837 1.0992 1.2010 1.3044 1.4095 1.5166 1.6258 1.7373 1.8510 1.9670

1.7594 1.4954 1.2900 0.99502 0.88671 0.79658 0.65616 0.55288 0.47459 0.41380 0.36567 0.32694 0.29534 0.26926 0.24750 0.22920 0.21368 0.20042 0.18903 0.17918 0.17063 0.16316 0.15662 0.14579 0.13731 0.13060 0.12523 0.12088 0.39898 0.46571 0.52780 0.58797 0.64741 0.70673 0.76632 0.82640 0.88714 0.94865

125


19.6. Fyzikalnı vlastnosti plynu pri 0 0C a tlaku 0.1MPa, pevnych latek a kapalin pri 18 0C vlastnost hustota dynamicka viskozita de lkova a objemova teplotnıroztaznost tepelna kapacita tepelna vodivost rychlost zvuku molova hmotnost plyn vzduch etan cpavek dusı k chlor kyslı k oxid dusny N2O oxid dusnaty NO oxid siricity SO2 oxid uhelnaty CO oxid uhlicity CO2 metan CH4 vodı k kapalina aceton etylalkohol glycerin chloroform kyselina octova metylalkohol olej benzı n rtu„ toluen voda pevnč latky cı n hlinı k sklo kremicite mˇ ó platina strı bro uhlı k (de mant) tuha wolfram zinek zlato zelezo ocel lita litina seda

oznac enı

ρ η α,β c λ a M

ρ 1.25 1.36 0.77 1.25 3.22 1.43 1.98 1.34 2.93 1.25 1.98 0.72 0.09 ρ 791 790 1260 1489 1049 791 915 961 13551 866 999 ρ 7280 2720 2210 8930 21400 10510 3514 2260 19300 7120 19300 7860 7840 7200

jednotka -3

kg.m Pa.s -1 deg

α=

∆l 1 ∆V 1 ,β = ≅ 3α , l 0 ∆t V0 ∆t

-1

J.(kg.K) -1 -1 J.(m.s.K) =W.(m.K) -1 m.s -1 kg.kmol η β 0.0000171 0.003675 0.0000093 0.0000166 0.0000123 0.0000192 0.0000137 0.0000180 0.0000117 0.0000166 0.0000138 0.0000102 0.0000084 η 0.00033 0.00124 0.80000 0.00058 0.00126 0.00062 0.00190

0.003802 0.003674 0.003830 0.003674

0.00157 0.00060 0.00107 β 0.000023 0.000023 0.000006 0.000016 0.000009 0.000019 0.000001 0.000008 0.000004 0.000036 0.000014 0.000012 0.000011 0.000009

0.00018 0.00109 0.00019 c 234 921 840 394 132 233 494 840 134 387 134 481 461 540

0.003682 0.003662 β 0.00143 0.00110 0.00049 0.00128 0.00107 0.00119 0.00072

c 1005 1730 2189 1038 489 1009 858 996 636 1042 837 2206 14270 c 2130 2500 2390 940 2010 2410 1800 2090 138 1720 4200 λ 0.645 2.449 0.013 0.385 0.712 4.187 1.674 1.632 1.674 1.122 3.098 0.837 0.586 0.502

a

M 332

29

415 338 205 316 264 324 209 337 258 430 1261

17 28 71 32 44 30 64 28 44 16 2

a 1192 1165 1923 1005 1156 1381 1295 1431 1620 1497 a 2730 5040 5370 3710 2800 2700

4310 3810 2100 5170


126

19.7. Absolutnı drsnosti potrubı

k Materia l

Kovove materialy Tazene trubky mosazne , mˇ dˇ ne , hlinı kove apod. Bezesve trubky ocelove Tazene trubky ocelove Svarovane trubky ocelove Ocelove trubky natrene Pozinkovane trubky ocelove Nytovane ocelove trubky Litinove trubky Asfaltove trubky Vodovodnıpotrubıpo dvaceti a vı ce letech v provozu Nekovove materialy Sklenˇ ne trubky, trubky z plastu Pryzove hadice Hadice lnˇ na, konopna a pryzovym povlakem Kozene hadice Betonove potrubı Cihelne potrubı Drenaznıtrubky Kameninove potrubı Oblozene potrubız tesane ho kamene Drevˇ ne potrubı , kanal

k [mm] (puvodnı stav)

k [mm] (korodovany stav)

0.0015 ÷ 0.003 0.04 ÷ 0.1 0.03 ÷ 0.12 0.05 ÷ 0.1 0.03 ÷ 0.06 0.15 ÷ 0.5 0.9 ÷ 1.5 0.15 ÷ 0.5 0.03 ÷ 0.20

0.003 ÷ 0.1 0.1 ÷ 0.9 0.12 ÷ 0.9 0.1 ÷ 0.9 0.06 ÷ 0.9 0.5 ÷ 3.5 3 ÷ 6 1 ÷ 1.5 0.6

÷ 3.0

0.0015 ÷ 0.01 0.01 ÷ 0.03 0.2 ÷ 0.8 0.15 0.3 ÷ 6.0 0.45 ÷ 6.0 0.45 ÷ 6.0 0.3 ÷ 1.5 1 ÷ 6 0.20 ÷ c 4.0

19.8. Stupen drsnosti pri proudenı v otevrenych kanalech Jakost omoc enčho povrchu

Hoblovana dreva, dobre hlazena omı tka, cihly Šzvonivky– Dobre spojovana prkna Dlouha zelezna a zelezobetonova potrubı(nova) Drsna prkna Kvadrove , dobre sparovane cihelne zdivo C iste kameninove kanaly Kanaly z cementovych trub a jemnou usazeninou, pode lnˇ nytovane zelezne trouby (mensı ch pru mˇ ru ) Obycejne cihelne zdivo, stˇ ny z fosen Zdivo na maltu se spicatymi kameny, hruba betonova omı tka Zdivo z lomove ho kamene Zdivo z lomove ho kamene s bahnitym dnem Starsızdivo s bahnitym dnem, hladsıskala Dlazba, pravidelne koryto v zemi Stary beton Starsızemnıkanaly Starsızemnıkanaly s kamenı m a porostem Drenaznıprı kopy, hruba skala Horske bystriny

Stupen drsnosti

1 n0

n0

n1

m

0.100 0.012 0.013 -

0.06 0.16 0.16 -

0.15 0.20 0.20 0.25 0.25 0.25 0.30

100.00 83.33 76.92 -

0.017 0.020 0.025 0.030 0.030 0.080

0.46 0.85 1.30 1.75 3.50

0.35 0.45 0.55 0.75 1.00 1.50 1.75 2.00 -

58.82 50.00 40.00 33.33 33.33 12.50

127


19.9. Rychlostnı souc initel C podle Pavlovskčho n0 rh 0.05 0.06 0.07 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.50 1.70 2.00 2.50 3.00

0.011

0.013

0.017

0.020

0.025

0.030

0.035

0.040

61.3 62.8 64.1 65.2 67.2 68.8 70.3 71.5 72.6 73.7 74.6 75.5 76.3 77.0 77.7 79.3 80.7 82.0 83.1 84.1 85.3 86.0 86.8 88.3 89.4 90.9 92.0 93.1 94.0 95.7 97.3 99.3 102.1 104.4

48.7 50.1 51.3 52.4 54.3 55.8 57.2 58.4 59.5 60.4 61.3 62.1 62.9 63.6 64.3 65.8 67.1 68.4 69.5 70.4 71.4 72.2 73.0 74.5 75.5 76.9 78.0 79.0 79.9 81.5 82.9 84.8 87.3 89.4

33.2 34.4 35.5 36.4 38.1 39.5 40.7 41.8 42.7 43.6 44.4 45.2 45.9 46.5 47.2 48.6 49.8 50.9 51.9 52.8 53.7 54.5 55.2 56.5 57.5 58.8 59.8 60.7 61.5 62.9 64.3 65.9 68.1 69.8

26.1 27.2 28.2 29.0 30.6 32.6 33.0 34.0 34.8 35.7 36.4 37.1 37.8 38.4 39.0 40.3 41.5 42.5 43.5 44.4 45.2 45.9 46.6 47.9 48.8 50.0 50.9 51.8 52.5 53.9 55.1 56.6 58.7 60.3

18.6 19.5 20.4 21.1 22.4 23.5 24.5 25.4 26.2 26.9 27.6 28.3 28.8 29.4 29.9 31.1 32.2 33.1 34.0 34.8 35.5 36.2 36.9 38.0 38.9 40.0 40.9 41.6 42.3 43.6 44.7 46.0 47.9 49.3

13.9 14.7 15.5 16.1 17.3 18.3 19.1 19.9 20.6 21.3 21.9 22.5 23.0 23.5 24.0 25.1 26.0 26.9 27.8 28.5 29.2 29.8 30.4 31.5 32.3 33.3 34.1 34.8 35.5 36.7 37.7 38.9 40.6 41.9

10.9 11.5 12.2 12.8 13.8 14.7 15.4 16.1 16.8 17.4 17.9 18.5 18.9 19.4 19.9 20.9 21.8 22.6 23.4 24.0 24.7 25.3 25.8 26.8 27.6 28.6 29.3 30.0 30.6 31.7 32.7 33.8 35.4 36.6

8.7 9.3 9.9 10.3 11.2 12.1 12.8 13.4 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0 16.4 16.8 17.8 18.6 19.4 20.1 20.7 21.3 21.9 22.4 23.4 26.1 25.0 25.7 26.3 26.9 28.0 28.9 30.0 31.5 32.5


128

19.10. Teziste a momenty setrvac nosti nekterych ploch a objemy nekterych teles Plocha

Teleso

y

Iy =

b

Objem kuzel

1 3 bh 12

V= v

h

Iy, ht, S obde lnı k

d trojťhelnı k

d

v 3 1 Iy = av 3 36 1 I y1 = av 3 12 1 I y 2 = av 3 4

komoly kuzel

h

T y1

a

h

z

a

ht

T

z

V= v

v

ht = y1

jehlan

1 V = Sv 3

S

y2

1 πd 2 v 12

(

komoly jehlan

V= D

(

v S + s + Ss 3

lichobˇ znı k

koule

ht =

V=

h 2a + b 3 a+b h 3 a 2 + 4abh 2 Iy = 36 a+b

)

π D 2 + Dd + d 2 v 12

)

π 3 d 6

d

b

v

π 4 Iy = d 64

y

d=2r

d

kruhova ťsec

t

a

parabolicka ťsec

rotacnıparaboloid

2 2 S = ah , ht = h 5 3 8 Iy = ah 3 175 16 I y1 = ah 3 105

1 V = πd 2 v 8

ht h

ht

y1

y

(

l

T

T

1 V = πv 3r12 + 3r22 + v 2 6

r

d

)

kulova vrstva

r R

v

y

(

1 V = πv 3r 2 + v 2 = 6 1 2 = πv (3R − v ) 3

2 rt ht = 3 l π 8  I y =  − r 4 8 π π I y1 = r 4 8

r

v

y1

kulova ťsec

R

kruznice

)

129


19.11. Souc initelč odporu teles Teleso d

cx kruhova deska

Rozsah Re

1.1 ÷ 1.12

10

5

÷ 4.106

1.1

10

5

÷ 4.106

b

obde lnı kova deska

a = 1 b

1.15 1.19 1.27 1.29 1.40

2 4 8 10 18

a

d

d

24 Re

d

valec

l

l

valec

l =1 d

0.91

2 4 7

0.85 0.87 0.99

l =1 d

0.63

2 5 10 40

0.68 0.74 0.82 0.98

10 3 10 3 10 4 10 5 10

5

9. 10

1.35 ÷ 1.4

1.2 . 10

duta polokoule dutinou po proudu

0.3 ÷ 0.4

1.2 . 10

d

duty kuzel dutinou proti proudu

1.4

1.2 . 10

duty kuzel dutinou po proudu

0.4

1.2 . 10

tˇ leso nejmensı ho odporu

0.003 ÷ 0.01

d

duta polokoule dutinou proti proudu

d

d

d

d

4 1.2 0.45 0.4 0.45

koule

5

5

5

5


130

20. Laboratornı cvic enı z hydromechaniky 20.1. Merenı trecı ztraty v potrubı Stanovte velikost tlakove ztraty trenı m rychlostech proudı cı ho vzduchu

∆ p t = p z a hodnotu trecı ho soucinitele λ pri ru znych

v s v hladke m potrubı . Vyneste do grafu zavislosti p z = f (QV ) ,

λ = f (Re) . Namˇ rene hodnoty λ porovnejte hodnoty s hodnotami trecı ho soucinitele podle Blasia. l = 4120 mm Od = 50 mm

5

∆pT 2

6

1 3

∆pC 4

SCHEMA MÍRENI: LEGENDA :

1 Ř ventilator, 2 Ř klapka k regulaci pru toku vzduchu , 3 Ř clona k mˇ renıpru toku vzduchu, 4 Ř digitalnımˇ ric tlaku pro mˇ renıtlakove diference ∆p c na clonˇ , 5 Ř sklenˇ ne potrubı , 6 Ř digitalnımˇ ric tlaku k mˇ renıtlakove ztraty trenı m

∆ pt

v potrubı . Zkusebnızarı zenısestava ze sklenˇ ne ho potrubıo vnitrnı m pru mˇ ru d = 50 mm, kterym proudı vzduch. Vzdalenost mezi odbˇ ry pro mˇ renıtlakove ztraty je l = 4,12 m. Tlakova ztrata v potrubıi tlakova diference na clonˇ se mˇ rıdigitalnı m tlakomˇ rem rady DMU CRESSTO. Strednırychlost v potrubıse stanovına zakladˇ tlakove diagramu clony ∆ p c ≈ v s .

diference na clonˇ pomocızpracovane ho cejchovnı ho

POSTUP MÍRENI: 1. Pred zacatkem mˇ renıse odecte teplota vzduchu

t vz a hodnota barometricke ho tlaku p b .

Hustota a kinematicka viskozita vzduchu se urcıv zavislosti na teplotˇ a barometricke m tlaku v laboratori. Hodnoty

ρ vz , ν vz se zapı sı .

2. Pred zapnutı m ventilatoru se vynulujıdigitalnıtlakomˇ ry. (Nikdy nespoustˇ jte nulovanıbˇ hem mˇ renı !). 3. Zapne se ventilator jako zdroj proudı cı ho vzduchu.

131


4. Rychlost proudˇ nıvzduchu a tedy pru tok v potrubıse nastavıpomocıregulacnıklapky (2). Pro odectou hodnoty tlakove ztraty v du sledku trenı ∆p t a tlakove

kazde nastavenı pru toku se diference na clonˇ

∆p c na digitalnı ch tlakomˇ rech a namˇ rene hodnoty se zapı sıdo tabulky. ρ vz =

t vz =

H b [mm] =

ν vz = Poc ıtanč velic iny

Merenč velic iny c.

∆p t

∆p c

vs

[mm]

[mm]

[m.s ]

QV -1

3. -1

[m s ]

Re

λ

λB

[-]

[-]

[-]

Pozn.

1 . . . . . . . . n

VYHODNOCENIMÍRENI: § § § § § §

Strednırychlost

v s se odecte z cejchovnı ho diagramu

∆ p c = f (v s )

πd2 4 vs d Re = Reynoldsovo cı slo se vypocte ze vztahu ν 2d ⋅ ∆ p t λ ⋅ l v s2 Trecısoucinitel se urcıze vztahu ∆ pt = ρ ⋅ ⇒λ = d 2 l ⋅ v s2 ⋅ ρ 0.3164 Trecısoucinitel podle Blasia se urcıze vztahu λ= 4 Re Sestrojıse zavislost tlakove ztraty trenı m na objemove m pru toku p z = f (QV ) , pomocıregrese Objemovy pru tok se vypocte ze vztahu

Qv = v s

se stanovıkoeficienty zavislosti. §

Namˇ rene hodnoty λ se zakreslıdo diagramu

λ = f (Re) v logaritmickych souradnicı ch a pro

srovnanıse vyhodnotısoucinitel trenıλB pro hydraulicky hladke potrubıdle Blasia. §

V zavˇ ru se uvedou poznatky plynoucız mˇ renıa vlastnıkomentar k dosazenym vysledku m.


132

20.2. Experimentalnı stanovenı charakteristiky c erpadla Stanovte mˇ renı m zavislost mˇ rne energie cerpadla

Ys = f (Qv )

Ys na objemove m pru toku Qv .

hC1

∆h C

6

5

h C2

hV2

3 H

hS

ρHg

h V1

∆h V

2

C 1

4


1 - nadrz s vodou, 2 - kohout, 3 - piezometricka trubice pro mˇ renıtlaku na sanıdo cerpadla, 4 - cerpadlo, 5 - U-trubice se rtutıpro mˇ renıtlaku na vystupu z cerpadla, 6 Ř clona s piezometrickymi trubicemi trubice pro mˇ renıpru toku vody

QV

PARAMETRY C ERPADLA : Obehovč teplovodnı c erpadlo PICCOLA

Obehovč c erpadlo Wilo EA 60/1ŠŠ, s manualnım nastavenım 4 stupnu otac ek

provoznınapˇ tı

220V, 50Hz

provoznınapˇ tı

220V, 50Hz

proud

0,38A

proud

0,39A, 0.31A, 0.25A, 0.19A

prı kon

65W

prı kon

86W, 70W, 55W, 42W

otacky

1400/min

otacky

2000, 1600, 1500, 1300

dopravovane mnozstvı Qv =1900 l/hod dopravnıvyska

Hd =1,8m

teplota cerpane vody

t <90 C

vaha

5,95kg

Zkusebnıusporadanıje provedeno v souladu s normou C SN 110035 - Strojnıcerpadla - zkousenı . -3 C erpanou kapalinou je voda o hustotˇ ρ =1000 kg.m . Pru tok vody potrubı m

Qv je mˇ ren

133


cejchovanou clonou s piezometrickymi trubicemi dle C SN 257710 - Mˇ renıpru toku tekutin zakladnı mi skrtı cı mi organy. Na zakladˇ mˇ renıtlaku na vstupu do cerpadla a tlaku na vystupu z cerpadla

p s mˇ rene ho piezometrickou trubicı

p v mˇ rene ho U-trubicınaplnˇ nou rtutıse stanovımˇ rna energie

cerpadla pro ru zne hodnoty pru toku . Odbˇ ry tlaku jsou ve stejne vysi, pru mˇ r sacı ho a vytlacne ho potrubıje stejny.

POSTUP MÍRENI: 1. Pred zacatkem mˇ renıse odecte teplota vzduchu a hodnota barometricke ho tlaku v laboratori. Pro zjistˇ ne laboratornıpodmı nky se odectou z tabulek potrebne konstanty, tj. hustota vody hustota rtuti

ρv a

ρ Hg .

2. Zapne se cerpadlo. Pomocıkohoutu na vytlacne m potrubıse mˇ nıpri konstantnı ch otackach cerpadla objemovy pru tok

Qv .

3. Pro kazdou nastavenou hodnotu pru toku se odectou hodnoty

h1c a h2c v piezometrickych

trubicı ch, pomocıkterych je mˇ ren tlak pred a za clonou, vyska sloupce vody trubici pripojene k sacı mu potrubıcerpadla a vyska hladin rtuti

hs v piezometricke

h1v , h2 v v U-trubici, pomocınız je

mˇ ren tlak ve vytlacne m potrubı . 4. Provede se mˇ renıpro nejme nˇ 8 hodnot pru toku. Namˇ rene hodnoty se zapı sıdo tabulky.

ρv =

tvz =

H b [mm] =

ρ Hg = Poc ıtanč velic iny

Merenč velic iny c.

1 . . . . . . . . n

hc1

hc 2

hs

hv1

hv 2

∆hc

[mm]

[mm]

[mm]

[mm]

[mm]

[mm]

ps

∆hv

pv

Ys

[m s ] [Pa]

[mm]

[Pa]

[Jkg ]

Qv 3 -1

-1


134

VYHODNOCENIMÍRENI: §

Z hodnot

h1c a

h2 c se urcıdiference na clonˇ ∆hc = h1c − h2 c . Pru tok Qv se stanovız

prilozene ho cejchovnı ho diagramu clony §

Qv = f (∆hc )

Hodnota tlaku v sacı m potrubıse urcıze vztahu

p s = ρ v g .hs

(Pozn. : Tlaky se vztahujık tlakove rovinˇ , ktera prochazıosou cerpadla!) §

Hodnota tlaku ve vytlacne m potrubı p v se odvoóız podmı nky rovnovahy v U-trubici a je dana vztahem

p v = ρ Hg g .∆hv + ρ v g (H v + h2v ) , kde H v

je vyska nuly U-manometru nad osou

cerpadla. §

Mˇ rna energie cerpadla predstavuje zvysenıenergie 1kg kapaliny pri pru toku cerpadlem

Ys = g.H d = §

pv − p s , kde H d je dopravnıvyska cerpadla. ρv

Mˇ rna energie cerpadla

Ys se graficky vyhodnotıv zavislosti na objemove m pru toku Qv , stanovı

se koeficienty zavislosti. §

V zavˇ ru se uvedou poznatky plynoucız mˇ renıa vlastnıkomentar k dosazenym vysledku m.

SOUVISEJICINORMY : C SN 11 0035 - Strojnıcerpadla-zkousenı C SN 25 7710 - Mˇ renıpru toku tekutin zakladnı mi skrtı cı mi organy ON 11 0054 - Zkusebnıprogram cerpadla

135


20.3. Merenı rychlostnıho profilu volnčho kruhovčho proudu Proveóte mˇ renırychlostnı ho profilu kruhove ho volne ho proudu, nakreslete rychlostnıprofil, vypocı tejte objemovy pru tok a strednırychlost. osa rychlostnıho profilu

vn =0 vn-1 vn-2 vn-3 d

0

vn-4 vn-5 vmax

r

ϕ

3 2 ∆r

X1 x2

∆h

1

4


1 Ř ventilator, 2 Ř dyza, 3 Ř Pitotova trubice s vodorovnym posunem ve smˇ ru proudˇ nıa ve smˇ ru na nˇ j kolme m, 4 Ř mikromanometr se sklopnym ramenem

Vzduch z ventilatoru proudıdyzou o pru mˇ ru

d 0 =29 mm. Mˇ renırychlostıje provadˇ no Pitotovou

trubicı , umı stˇ nou na posuvne m stojanu, umoznujı cı m pohyb trubice ve vodorovne rovinˇ ve smˇ ru proudˇ nı vzduchu z

dyzy a ve smˇ ru na nˇ j kolme m. Dynamicky tlak je mˇ ren pomocı

mikromanometru se sklopnym ramenem, mˇ rı cıkapalinou je lı h. POSTUP MÍRENI: §

Odecte se barometricky tlak a teplota v laboratori, z tabulek se stanovıhustota vzduchu mˇ ricıkapaliny

ρ vz a

ρm .

§

Pred zapnutı m ventilatoru se zkontroluje ustavenımikromanometru a jeho vynulovanı

§

Nastavıse vzdalenost ťstıPitotovy trubice od vystupu z dyzy pohybem stojanu po sroubovici se stoupanı m zavitu

x . Prı cny posuv je umoznˇ n

s = 2 mm .

§

Zapne se ventilator

§

Pitotovou trubicıse zmˇ rıalespon dva rychlostnıprofily a to tˇ snˇ u dyzy a ve vzdalenosti cca 15 cm od vystupu z dyzy

(Pozn. Hodnoty tlakovych vysek se mˇ rıod kraje rychlostnı ho profilu ( v ≅ 0 ⇒ ∆h ≅ 0 ). Pitotova trubice se posunuje naprı c proudem s krokem ∆r = s = 2 mm . Mˇ renırychlostnı ho profilu se ukoncı , kdyz rychlost a tedy ∆h klesne opˇ t na nulu. Pru mˇ r rychlostnı ho profilu D = n.∆r . Jeho osa lezıve


136

stredu rychlostnı ho profilu, tj. polomˇ r

R=

n ∆ r . Hodnoty ∆h odectene pro kazdou polohu Pitotovy 2

trubice na mikromanometru se sklopnym ramenem se zapı sıdo tabulky pro dalsızpracovanı .

ρm = ρ vz =

tvz = H b [mm] =

Pro kazdy profil se namˇ rene a vyhodnocene veliciny zapı sou do tabulky. Merenč velic iny

Vypoc tenč velic iny

∑ ∆r

∆h

r

v

[mm]

[mm]

[mm]

[m.s ]

0

0

R

0

1

2

.

.

.

.

4

.

.

.

.

.

.

4

.

.

.

.

2

.

.

.

.

0

.

.

.

.

2

.

.

.

.

4

.

.

.

.

c.

0

v -1

.

.

.

.

.

n

n.2

0

R

0

[m.s ] -1

∆S

∆Qv

[m ]

[m s ]

2

3 -1

∑ ∆Qv VYHODNOCENIMÍRENI: §

Pro vypocet dynamicke ho tlaku

p d platız rovnovahy na U-manometru :

p c − p d = p d = g ∆h ( ρ m − ρ vz ) = kde

•

ρm

mˇ rna hmotnost mˇ rne kapaliny (lihu) pri dane teplotˇ t

ρ vz

mˇ rna hmotnost vzduchu pri dane teplotˇ t

∆h

tlakova vyska odectena na mikromanometru

Rychlost v urcite m mı stˇ proudu je vypoctena ze vztahu

v = 2 g∆h •

1 ρ vz v 2 2

ρ m − ρ vz ρ vz

Pru rez proudu je rozdˇ len na mezikruzıpro ktera platı

rk − rk −1 = ∆r = 2mm .

137


v k + v k −1

Pru mˇ rna rychlost v mezikruzı

vk =

Plocha mezikruzı

∆S = π rk2 − rk2−1

Pru tok mezikruzı m pru mˇ rnou rychlostı

∆Qv k = π rk2 − rk2−1 v k

Celkovy pru tok je dan souctem

Qv = ∑ ∆Qv k

(

2

(

)

)

n

§

k =1

(Pozn. Pozor! Souctem pres cely pru rez je kazde mezikruzızahrnuto dvakrat. Musıse tedy vysledny objemovy pru tok dˇ lit 2 nebo scı tat jen pres polovinu rychlostnı ho profilu .) n

v str =

n

∑ ∆Qv k ∑ ∆Qv k

k =1

=

k =1

§

Strednırychlost je urcena vztahem

§

Rychlostnıprofily se vykreslıdo jednoho grafu a porovnajıse maximalnırychlosti a pru toky zı skane z obou rychlostnı ch profilu

§

Vysledky a komentare k mˇ renıse uvedou v zavˇ ru.

S

πR 2


138

21. Prehled pouzitych oznac enı Oznac enı

Me rı cıjednotka

Vy znam

A

J

prace

A

Pa.s

C

1/2

vı rova, zdanliva viskozita

m .s

E

N.m

E

J

é1

Chč zyho souc initel

é2

modul objemovč pruznosti v tahu energie é2

F

N = kg . m . s

sı la

F0

N

objemova sı la ( = Fm )

Fp

N

tlakova sı la é plosna sı la

Fs

N

setrvac na sı la

Ft

N

tec na sı la, trecısı la

G

N

tı ha ( = Fg ) é1

H

kg . m . s

H

m

tlakova vy ska

Jx

m4

moment setrvac nosti prurezu k ose x

Jxy

hybnost

4

deviac nımoment prurezu

4

moment setrvac nosti prurezu k ose y

m

Jy

m

K

N.mé 4

2

é1

modul objemovč pruznosti tekutiny

M

m .s

My

3

moment dipolu

m

staticky moment plochy k ose y

P

W

vy kon

Q

J

teplo é1

Qm

kg . s

Qv

3

m .s

R

m

é1

hmotnostnıprutok objemovy prutok polome r

2

S

m

plocha

T

K

absolutnıteplota

T

s

doba be hu vlny é1

U

J . kg

V

3

m

W

J=N.m

Y

J . kg

objem é1 é1

Yd

J . kg

Yt

J . kg é 1

a a

m.s m.s

c

m.s

cx

1

potencial vne jsı ch sil

é2 é1 é1

prace me rna energie skutec na me rna energie c erpadla teoreticka me rna energie c erpadla zrychlenı rychlost zvuku rychlost souc initel odporu


d

m

dh

m

e ez

prume r hydraulicky prume r

J . kg J . kg

g

m.s

h

m

hz

m

é1

me rna energie

é1

ztratova me rna energie ( = er = Yz )

é2

tı hovč zrychlenı vy ska, svisla vzdalenost, hloubka ztratova vy ska

-1

i

Pa.m

spad tlaku

i,j,k

1

jednotkovč vektory

k

m

absolutnıdrsnost ste ny

l

m

sme sovacıdč lka

l

m

dč lka, vzdalenost

le

m

ekvivalentnıdč lka potrubı

m

kg

hmotnost

n

1

index toku

p

Pa = N . m é 2

tlak, hydrostaticky tlak

pc

Pa

celkovy tlak

pd

Pa

dynamicky tlak

ps

Pa

staticky tlak

pz

Pa

q

tlakova ztrata

J . kg

é1 é1

teplo sde lenč 1 kg latky

r

J . kg

r

m

polome r

rh

m

hydraulicky polome r

s

m

draha

t

o

teplota

t

s

c as

tz

s

u v v vmax vs v*

.K

é1

C

me rna plynova konstanta

doba uzavı ranıarmatury

m.s m.s

é1

3

m . kg m.s m.s

unasiva, obvodova rychlost

é1

rychlost, relativnırychlost é1

é1 é1

-1

m. s

é1

me rny objem maximalnırychlost strednırychlost z prutoku trecırychlost

w

m.s

rychlost

x

m

souradnice

y

m

souradnice

z

m

souradnice

Φ

m 2 . s é1

cirkulace rychlosti

139


140 Ψ

m 2 . s é1

rychlostnıpotencial

é1

2

β

m .s

α

rad

ťhel, sme rovy ťhel

δ

rad


δ

K é1

souc initel teplotnıobjemovč roztaznosti

γ

rad


γ

N . m é3

me rna tı ha

ε

m

tlousň ka meznıvrstvy

ε

2

m .N

proudova funkce

é1

souc initel stlac itelnosti

é1

ζ

rad . s

ζ

1

souc initel kontrakce proud

ε

1

relativnıdrsnost ste ny trubky

ε

1

intenzita turbulence

η

1

ztratovy souc initel

μ

Pa . s

dynamicka viskozita

μc

1

celkova ťc innost c erpadla

μh

1

hydraulicka ťc innost c erpadla

μm

1

mechanicka ťc innost c erpadla

μv

1

objemova ťc innost c erpadla

κ

1

souc initel ( vliv pruznosti potrubı)

κ

1

izoentropicky exponent

ν

1

souc initel trenı

ξ

1

vy tokovy souc initel é1

2

v

m .s

σ

1

λ

1

kinematicka viskozita stupen razu bezrozme rovy parametr

π

kg . m

φ

Pa

φ

ťhlova deformace

N.m

é3

hustota ( me rna hmotnost ) normalovč nape tı

é1

povrchovč nape tı é2

τ

Pa, N . m

τp

Pa, N . m é 2

poc atec nısmykovč nape tı

ω

rad

ťhel

ω

1

rychlostnısouc initel

s

é1

tec nč ( smykovč nape tı)

ťhlova rychlost


Bezrozme rna c ı sla:

Eu - Eulerovo Fr - Froudovo Gu - Gumbelovo Ma - Machovo Ne - Newtonovo Re - Reynoldsovo Sh - Strouhalovo We - Weberovo

Poznamka: -

strednıhodnoty znac eny pruhem

-

fluktuac nıhodnoty znac eny c arkou

-

vektory znac eny tuc ne

141

CVIC ENI Z MECHANIKY TEKUTIN

Recommend Documents