Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např. při sestavování pohybových rovnic, je nutno respektovat směr pohybu a s ohledem na něj respektovat smysl vnějších i vnitřních sil. Na druhé straně analytická mechanika vyjadřuje zákony mechaniky pomocí skalárních veličin (kinetická energie, potenciální energie, práce, výkon atd.). Jedním ze základních principů analytické mechaniky je princip virtuálních prací, resp. virtuálních výkonů.
Druhy posunutí: Dříve, než bude formulován princip virtuálních prací, je nutno analyzovat druhy posunutí, v podstatě přemístění. Z obecnějšího pohledu může mít toto přemístění rozměr metr, ale také i radián (natočení). V souvislosti s tím je nutno upozornit na podobný tvar kinetických energií tělesa, které koná translační a rotační pohyb. 1. Skutečné – vyhovuje pohybové rovnici, okrajovým a počátečním podmínkám. Viz obr. 6.1, kdy pohyb bodu ze stavu 1 do stavu 2 skutečně nastane. 2. Možné – vyhovuje pouze okrajovým podmínkám. Viz obr. 6.1, kdy pohyb bodu ze stavu 1 do stavu 2 by mohl nastat po nekonečně mnoha trajektoriích, které se nacházejí v rovině vazeb, obecně splňující rovnici vazeb, včetně časové závislosti. 3. Virtuální – je to rozdíl mezi skutečným a možným přemístěním. (6.1)
Obr. 6.1 Virtuální posunutí se zpravidla v literatuře označuje symbolem . Z pohledu matematických operací není žádný rozdíl mezi derivacemi a operacemi označenými tímto symbolem. jiný symbol je použit pouze z toho důvodu, aby se rozlišilo to, že virtuální posunutí je bez časové závislosti a splňuje pouze rovnice vazeb. V bodech 1 a 2 je virtuální posunutí nulové.
Princip virtuálních prací Princip virtuálních prací bude dále ukázán na soustavě hmotných bodů, kde lze pro soustavu pohybových rovnic po vynásobení virtuálním posunutím ve tvaru
(6.2)
hmotných bodů psát
kde v závorce je zde skutečné posunutí. Vztah (6.2) vyjadřuje známý princip virtuálních prací, který říká, že virtuální práce vnějších a setrvačných sil je při virtuálním přemístění nulová. Rovnice (6.2) je tzv. obecnou rovnicí dynamiky.
Vazby Za účelem zavedení pojmu zobecněných souřadnic a vyjádření dalších principů mechaniky je nutno specifikovat druh vazeb, zejména vyjádření jejich funkčních závislostí. Holonomní – jsou vyjádřeny rovnicí (6.3) Neholonomní vazby jsou takové, které nelze vyjádřit rovnicí (6.3). Příkladem může být vazba, kdy např. pohyb hmotného bodu může nastat v jistém prostoru, který je vyznačen vnější hranicí. Skleronomní – vazby nejsou závislé na čase. Rheonomní – vazby jsou závislé na čase. Poznámka – obecně mohou být vazby např. neholonomně rheonomní atd. Zobecněné souřadnice Pro další využití rovnice (6.2) je výhodné zavést tzv. zobecněné souřadnice, což jsou souřadnice, které nejsou závislé na volbě souřadnicového systému. Jestliže pro soustavu n hmotných bodů existuje k holonomních vazeb, . Pak lze polohu každého hmotného bodu pak je počet stupňů volnosti takové soustavy redukován na vyjádřit rovnicemi ve tvaru (6.4) Pro virtuální posunutí platí
(6.5) a rovnice (6.2) bude mít tvar
(6.6)
Lagrangeovy rovnice druhého druhu Pro virtuální práci platí vztah
(6.7) a pro zobecněnou sílu vztah
(6.8)
Zavedením zobecněných souřadnic lze po úpravě rovnici (6.2) napsat ve tvaru
(6.9)
přičemž je
. Rovnici (6.9) lze pro
-tou zobecněnou souřadnici zapsat ve tvaru
(6.10) Tato rovnice je obvyklý tvar Lagrangeových pohybových rovnic druhého druhu pro zobecněné nezávislé souřadnice platný pro holonomní soustavu s stupni volnosti. V případě, že vnější síly , které na soustavu působí jsou potenciální, rovnici (6.10) lze přepsat do tvaru
(6.11) V případě, že soustava není konzervativní, tedy v dynamickém systému jsou prvky s tlumícími silami lineárně závislými na rychlostech ve tvaru
(6.12) kde pro zatlumenou funkci platí
(6.13) což je tzv. disipativní (tlumící) funkce. Obecný tvar Lagrangeových rovnic druhého druhu pro dynamický systém na který působí vnější síly, které nemají potenciál, současně jsou v něm síly potenciální i disipativní je:
(6.14)
kde jsou vnější síly, které nemají potenciál a lze je vyjádřit jako . Závorka určuje pořadí matematických operací. Na závěr je ještě nutno uvést vztah pro kinetickou energi soustavy
(6.15) Lagrangeovy rovnice druhého druhu jsou jedny z nejčastěji používaných rovnic pro sestavení pohybových rovnic. Zejména se používají v kmitavých soustavách. V tomto případě má potenciální energie pružných členů tvar
(6.16) Ze vztahů (6.13), (6.15) a (6.16) je zřejmé, že energie jako skalární veličina je vždy kladná při jakémkoliv předpokládaném pohybu. Taková forma rovnic se nazývá kvadratická. Aplikace těchto rovnic bude dále ukázána na kmitání.
Stabilita rovnovážné polohy Nalezení stabilní polohy a její analýza bude provedena s využitím Lagrangeových rovnic druhého druhu. Stabilní rovnovážná poloha je charakterizována nulovou rychlostí. V takovém případě má soustava nulovou kinetickou energii a zatlumenou funkci. Rovnice (6.14) za předpokladu, že na soustavu nepůsobí vnější síly, které nemají potenciál tvar
(6.17) O tom, zda rovnovážná poloha bude stabilní, nebo nestabilní rozhoduje druhá derivace potenciální energie. Poloha bude stabilní, když je
(6.18)
Příklad 1 Je dána soustava těles podle obrázku 6.2. Sestavte pohybové rovnice a analyzujte je. Tělesa 1 a 2 jsou hmotné body.
Obr. 6.2 Rozbor úlohy Těleso 1 koná translační pohyb a těleso 2 je v podstatě matematické těleso upevněné v bodě A k tělesu 1. Těleso 2 koná složený pohyb. Zobecněné souřadnice jsou dány polohou tělesa 1, souřadnicí a relativní souřadnicí polohy tělesa 2 vzhledem k tělesu 1, tedy úhel . Soustava těles má 2 stupně volnosti. K sestavení pohybových rovnic budou využity Lagrangeovy rovnice druhého druhu. Na tělesa nepůsobí vnější síla která nemá potenciál a v soustavě se nevyskytuje tlumící člen, tedy soustava je konzervativní. Pohybové rovnice tedy budou homogenní (bez
pravé strany) a zatlumená funkce je nulová. Je tedy nutno stanovit kinetickou a potenciální energii a provést příslušné derivace. Řešení Kinetická energie soustavy je dána součtem kinetických energií jednotlivých těles.
Rychlost bodu B tělesa 2 bude stanovena na základě složeného pohybu. Relativní pohyb je rotační. Výsledná kinetická energie pak je
Potenciální energie je dána pouze změnou polohy těžiště tělesa 2, přičemž nulová hladina potenciální energie se předpokládá v nejnižší poloze tělesa 2 (i s ohledem na orientaci úhlu )
Pohybové rovnice budou sestaveny na základě derivací podle
a
, tedy
Jednotlivé parciální derivace jsou
Po dosazení do Lagrangeových rovnic druhého druhu a po provedení derivace podle času se obdrží rovnice (zde je nutno mít na zřeteli, že úhel je funkcí času, čemuž odpovídají i derivace, které je nutno chápat jako derivace složených funkcí). Pro názornost bude ještě před vlastním sestavením, pohybových rovnic provedena derivace kinetických energií podle času
Pohybové rovnice po dosazení pak mají tvar
a po úpravě
Závěr 1. Sestavené pohybové rovnice jsou homogenní (pravá strana je nulová) nelineární (člen ) diferenciální rovnice druhého řádu (druhé derivace podle času) s proměnnými koeficienty (goniometrické funkce). Řešení lze provést s využitím numerické matematiky. 2. Rychlost bodu B tělesa 2 lze rovněž sestavit na základě obecného rovinného pohybu. 3. Sestavení pohybových rovnic lze rovněž provést na základě úplného uvolnění jednotlivých těles a sestavení pohybových rovnic. V tomto případě lze rovněž do soustavy zahrnout pasivní odpory a řešením lze získat i vnitřní síly. I v tomto případě lze ke stanovení zrychlení bodu B tělesa 2 využít složený, nebo obecný rovinný pohyb.
Příklad 2 Určete staticky rovnovážnou polohu tyče délky . Počáteční poloha ve které je pružina v nezatíženém stavu je dána úhlem . Schéma soustavy je na obr. 6.3.
Obr. 6.3 Rozbor úlohy Pro stanovení staticky rovnovážné polohy bude využita Lagrangeova rovnice druhého druhu. S ohledem na to, že soustava obsahuje pouze jedno těleso, má soustava jeden stupeň volnosti. Potenciální energie se skládá z energie způsobené změnou polohy těžiště tělesa a energie akumulované v pružném členu. Řešení Potenciální energie je dána vztahem
S ohledem na zvolenou nulovou hladinu potenciální energie, která je dána počátečním stavem, nastane v důsledku tíhové síly k poklesu potenciální energie. Po dosazení je potenciální energie dána vztahem
Po derivaci podle úhlu
se obdrží rovnice
Řešením této nelineární rovnice se obdrží úhel která má tvar
. Po dosazení této hodnoty do druhé derivace potenciální energie,
se podle znaménka rozhodne, zda je tato poloha stabilní, nebo labilní.
Závěr Poněkud jednodušší řešení se obdrží, pokud se předpokládá počáteční poloha taková, kdy , případně kdy je počáteční délka pružiny . Tyto případy jsou doporučovány ke zpracování v rámci samostatného studia dané problematiky.
