N-trophy4 ˇ sen´ı fyziky Reˇ T´ ym JuTeJa Gymn´azium, Brno, V´ıdeˇ nsk´a 47 Tereza Kadlecov´a;
[email protected] Julie Pˇrikrylov´a;
[email protected] Jan Hor´aˇcek;
[email protected] 14. u ´nora 2014
1
´ Uvod
Tato u ´loha je kr´asn´ ym pˇr´ıkladem toho, jak je moˇzno za relativnˇe nevinn´e zad´an´ı (jen 3 odstavce!) skr´ yt nejednu z´aludnost. At’ uˇz to hodnot´ıme z hlediska n´aroˇcnosti konstrukce obou zaˇr´ızen´ı, ˇci z hlediska u ´rovnˇe fyzik´aln´ı teorie, kter´a v´ ystiˇznˇe pop´ıˇse mˇeˇren´ı.
2
Obecn´ e parametry konstrukce
Jako materi´al pro konstrukci podp˚ urn´ ych ˇc´ast´ı obou zaˇr´ızen´ı jsme zvolili dˇrevo. Jako kuliˇcky jsme zvolili ocelov´a loˇzika o pr˚ umˇeru 17.5 mm. V obou konstrukc´ıch jsme pouˇzili stejn´e kuliˇcky.
3 3.1
Newtonova houpaˇ cka Konstrukce zaˇ r´ızen´ı
Fotografie 1 zachycuje n´ami vyrobenou Newtonovu houpaˇcku. Na kuliˇcky jsme pˇrip´ajeli malou trubiˇcku, zkrze kterou jsme provl´ekli ryb´aˇrk´ y vlasec o pr˚ umˇeru 0.25 mm, kter´ y jsme ukotvili na pˇrekliˇzce. Zmˇenu hmotnosti kuliˇcky vlivem pˇrip´ajen´ı trubiˇcky jsme vzali v u ´vahu. Vzd´alenost kuliˇcky od horn´ı pˇrekliˇzky je 100 mm ± 5 mm. Rozteˇc zavˇeˇsen´ı je 100 mm. Vpodstatˇe vˇsechny pomˇery parametr˚ u jsme pˇrevzali z Newtonovy houpaˇcky prod´av´an´e jako bˇeˇzn´ y doplnˇek do kancel´aˇr´ı. Rozmˇery horn´ı pˇrekliˇzky jsou 400x200x8 mm. Zaj´ımav´ ym parametrem naˇs´ı konstrukce je ˇreˇsen´ı zavˇeˇsen´ı kuliˇcek. Kuliˇcky jsou na vlasec pˇrilepen´e vteˇrinov´ ym lepidlem tak, aby bylo moˇzn´e regulovat v´ yˇsku a polohu kuliˇcky d´elkou vlasce mezi kuliˇckou a horn´ı pˇrekliˇzkou. V pˇrekliˇzce vlasec projde d´ırou o pr˚ umˇeru 0.8 mm na horn´ı stranu, kde je pˇripevnˇen k vrutu (resp. jeho z´avitu). Tento vrut je zaˇsroubov´an do pˇrekliˇzky pouze ˇca´steˇcnˇe a jeho utahov´an´ım (resp. povolov´an´ım) lze tedy prov´adˇet jemn´e kalibrace polohy a v´ yˇsky kuliˇcek. 1
ˇ sen´ı fyziky Reˇ
JuTeJa
Obr´azek 1: N´aˇs model Newtonovy houpaˇcky
Obr´azek 2: Detail pˇripevnˇen´ı vlasce ke konstrukci Newtonova kyvadla Za aparaturou je um´ıstˇen milimetrov´ y pap´ır, ze kter´eho jsme odeˇc´ıtali vzd´alenost. V n´asleduj´ıc´ıch nˇekolika kapitol´ach pop´ıˇsi princip mˇeˇren´ı dat a teorii vztahuj´ıc´ı se k houpaˇcce.
3.2
Teorie
Newtonova houpaˇcka je (obvykle) t´emˇeˇr ide´alnˇe izolovan´a soustava. Doch´az´ı zde k jednoduch´emu pˇred´av´an´ı energi´ı: potenci´aln´ı energie Ep = m ∗ g ∗ h se mˇen´ı na energii kinetickou translaˇcn´ı Ekt = (1/2) ∗ m ∗ v 2 . Kuliˇcce tedy po upuˇstˇen´ı z urˇcit´e v´ yˇsky nar˚ ust´a kinetick´a energie (a tedy i rychlost v) na u ´kor energie potenci´aln´ı. Pˇri sr´aˇzce dojde za pˇredpokladu dokonal´e pruˇznosti k pˇred´an´ı veˇsker´e kinetick´e energie kuliˇcce na druh´e stranˇe. Tota kuliˇcka je vymrˇstˇena rychlost´ı v, stoup´a, ztr´ac´ı kinetickou energii a z´ısk´av´a potenci´aln´ı energii. A tato situace se opakuje. Bˇehem sr´aˇzky plat´ı z´akon zachov´an´ı hybnosti ve tvaru: m1 ∗ v1 = m2 ∗ v2 V naˇsem pˇr´ıpadˇe m1 = m2 a tedy: 2
(1)
ˇ sen´ı fyziky Reˇ
JuTeJa
v1 = v2
3.3
(2)
Popis mˇ eˇ ren´ı
Obr´azek 3: Sch´ema mˇeˇr´ıc´ı aparatury (pohled seshora) C´ılem t´eto aparatury je kvalifikovat a kvantifikovat ztr´aty cel´e soustavy. K tomu jsme vyuˇzili mˇeˇren´ı potenci´aln´ıch a kinetick´ ych energi´ı. Energie jsme poˇc´ıtali na z´akladˇe namˇeˇren´ ych v´ yˇsek a rychlost´ı. Ty jsme mˇeˇrili za pomoc´ı 2 zrcadlovek v reˇzimu kamera se sn´ımkovac´ı frekvenc´ı 50 fps, kter´e sn´ımaly kuliˇcky proti milimetrov´emu pap´ıru na pozad´ı. Jedna kamera sn´ımala levou polovinu a druh´a pravou. Cel´a aparatura byla bˇehem experimentu osvˇetlen´a 300 W halogenovou lampu, protoˇze jsme potˇrebovali pomˇernˇe velkou hloubku ostrosti, t´ım p´adem vˇetˇs´ı clonu a k tomu jeˇstˇe pomˇernˇe mal´ y ˇcas, abychom jednoznaˇcnˇe urˇcili polohu kuliˇcky. Konkr´etnˇe jsme zvolili ˇcas 1/500, clonu 9.0 a ISO 1500 − 2500. Rozliˇsen´ı v´ ystupu je 1280x720 px. Kuliˇcky jsou z´amˇernˇe um´ıstˇeny mimo osu horn´ı pˇrekliˇzky, aby vzd´alenost mezi nimi a milimetrov´ ym pap´ırem byla co nejmenˇs´ı. Mˇeˇrili jsme tedy maxim´aln´ı v´ yˇsku kuliˇcky a rychlost kuliˇcky tˇesnˇe pˇred n´arazem. Rychlost jsme mˇeˇrili tak, ˇze jsme odeˇcetli polohu kuliˇcky ze dvou sn´ımk˚ u (t = 1/50 s). Mˇeˇren´ı jsme prov´adˇeli pouze pro 5 kuliˇcek.
3.4
Namˇ eˇ ren´ a data
Video jsme v poˇc´ıtaˇci pˇrevedli na jednotliv´e sn´ımky, data zpracovali a v´ ystupy sepsali. Tabulka 1 sumarizuje namˇeˇren´a data.
3
ˇ sen´ı fyziky Reˇ
JuTeJa
Měření č. 4
-1
6.54 6.13 5.34 5.34 4.60 5.34 4.60 4.60 3.92 4.60 3.92
5.27 5.16 4.95 4.73 4.52 4.30 4.30 4.09 4.09 3.87 3.87
0.43 0.00 0.79 0.00 0.74 -0.74 0.00 0.00 0.68 -0.68 0.68
1.27 0.97 0.39 0.61 0.09 1.04 0.30 0.52 -0.16 0.73 0.05
Celková ztráta energie (z Ep) [mJ]
6.97 6.13 6.13 5.34 5.34 4.60 4.60 4.60 4.60 3.92 4.60
Ztráta energie při cestě dolů [mJ]
0.78 0.75 0.70 0.70 0.65 0.70 0.65 0.65 0.60 0.65 0.60
Ztráta energie třením při cestě nahoru [mJ]
Potenciální energie po srážce [mJ]
0.80 0.75 0.75 0.70 0.70 0.65 0.65 0.65 0.65 0.60 0.65
Ztráta energie ve srážce [mJ]
Kinetická energie po nárazu [mJ]
24.5 24.0 23.0 22.0 21.0 20.0 20.0 19.0 19.0 18.0 18.0
Kinetická energie před nárazem [mJ]
s s mm g mJ mm Rychlost těsně po nárazu na 2. straně [ms^-1]
15.5 15.0 14.0 14.0 13.0 14.0 13.0 13.0 12.0 13.0 12.0
-2
Rychlost těsně před nárazem [ms^-1]
16.0 15.0 15.0 14.0 14.0 13.0 13.0 13.0 13.0 12.0 13.0
ms
Výška po nárazu [mm]
Dráha těsně po nárazu (druhá strana) [mm]
prava leva prava leva prava leva prava leva prava leva prava
Dráha těsně před nárazem [mm]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Kulička jde od
Průchod
tíhové zrychlení 9.87 celkem kuliček 5 varianta kyvadlová fps 50 Čas mezi 2-ma snímky 0.02 počáteční výška kuličky 26 uvažovaná hmotnost kuličky 21.79 počáteční Ep 5.59 poloměr kuličky 8.75
######## ######## 0.86 0.11 0.97 0.22 0.39 0.22 0.61 0.22 0.09 0.22 0.30 0.00 0.30 0.22 0.52 0.00 -0.16 0.22 0.73 0.00
Tabulka 1: Kyvadlov´a verze pro 5 kuliˇcek
3.5
Teorie + data
Z dat je kr´asnˇe vidˇet, ˇze cel´a soustava m´a opravdu minim´aln´ı ztr´aty. Sr´aˇzky jsou t´emˇeˇr ide´alnˇe pruˇzn´e - rychlost kuliˇcky po sr´aˇzce je t´emˇeˇr totoˇzn´a s rychlost´ı kuliˇcky pˇred sr´aˇzkou. Ztr´atu rychlosti bych se neb´al (ˇca´steˇcnˇe) pˇrisoudit chybˇe mˇeˇren´ı. Toto mˇeˇren´ı m´a jeden probl´em: probl´em kvadr´at˚ u. Tj., ˇze porovn´av´ame energie vypoˇc´ıtan´e z rychlosti, kde energie je ˇctverec rychlosti a tud´ıˇz sebemenˇs´ı nepˇresnost v rychlosti vede k velk´e nepˇresnosti ve v´ ysledn´e energii. To je taky d˚ uvod, proˇc se v tabulce 1 obˇcas projevuj´ı z´aporn´e ztr´aty. Berme ohled pˇredevˇs´ım na posledn´ı sloupec, kter´ y vyjadˇruje ztr´atu potenci´aln´ı energie vypoˇctenou ze dvou v´ yˇsek, jejichˇz mˇeˇren´ı je zat´ıˇzenou minim´aln´ı chybou. Z tˇechto ˇc´ısel plyne, ˇze ztr´aty soustavy jsou opravdu zanedbateln´e. Ve skuteˇcnosti tato soustava pracuje (tj. kuliˇcky se odr´aˇz´ı) cca 1 minutu, coˇz je vzhledem k dom´ack´e konstrukci velmi dobr´ y v´ ysledek.
3.6
Ztr´ aty
Nyn´ı pop´ıˇsi, kde se ztr´ac´ı energie soustavy. • Ztr´ ata energie nepruˇ znost´ı sr´ aˇ zek ˇ adn´a sr´aˇzka nen´ı pruˇzn´a, ani nepruˇzn´a. Vˇsechny sr´aˇzky jsou nˇeco mezi t´ım. My Z´ m´ame to ˇstˇest´ı, ˇze naˇse sr´aˇzky jsou t´emˇeˇr dokonale pruˇzn´e. 4
ˇ sen´ı fyziky Reˇ
JuTeJa
Toto tvrzen´ı se zakl´ad´a na tom, ˇze z´akon zachov´an´ı hybnosti, v naˇsem tvaru v1 = v2 , evidentnˇe t´emˇeˇr plat´ı. Bˇehem sr´aˇzky se ˇc´ast energie absorbuje do stlaˇcen´ı kovu, ale za pˇredpokladu, ˇze se jedn´a o plastickou deformaci, se tato energie ˇca´steˇcnˇe vr´at´ı zpˇet do energie kinetick´e. T´ım se dost´av´ame k tomu, ˇze sr´aˇzka by mˇela b´ yt plastick´a: pokud by sr´aˇzka byla elastick´a, bude doch´azet k deformaci kuliˇcek a k uloˇzen´ı energie v t´eto deformaci. Energie se tak v soustavˇe ztrat´ı ve formˇe tepla emitovan´eho pˇri t´eto deformaci a z´aroveˇ n se uloˇz´ı tam, kam ji nepotˇrebujeme - do deformace. Takˇze se vlastnˇe taky ztrat´ı (i kdyˇz fyzik´alnˇe vzato to nen´ı pˇresn´e tvrzen´ı). • Tˇ ren´ı o vzduch Z dat plyne, ˇze ztr´ata energie tˇren´ım o vzduch je stejnˇe zanedbateln´a, jako ztr´ata ve sr´aˇzce. Pˇresto tu je a na energetick´e bilanci soustavy m´a z dlouhodob´eho hlediska znaˇcn´ y vliv. • Tˇ ren´ı v ukotven´ı vl´ aken m´a na ztr´aty minim´aln´ı vliv.
3.7
Vliv parametr˚ u aparatury na ztr´ aty
Nyn´ı pop´ıˇsi, jak´e parametry soustavy a proˇc maj´ı vliv na ztr´aty energi´ı v n´ı. • Hmotnost kuliˇ cek Jak uˇz jsem popsal, je nutn´e, aby sr´aˇzka byla plastick´a. Proto je nutn´e udrˇzovat hmotnost kuliˇcek pod urˇcit´ ym maximem, jehoˇz pˇrekroˇcen´ı by znamenalo p˚ usoben´ı obrovsk´ ych sil pˇri n´arazu, jej´ıˇz d˚ usledkem by bylo pˇrekon´an´ı modulu pruˇznosti a tud´ıˇz pˇrechodu deformace do plastick´e. Hmotnost kuliˇcky je tak´e nutn´e udrˇzovat nad urˇcit´ ym minimem, kter´e je definov´ano t´ım, ˇze hmotnost prov´azku mus´ı b´ yt v˚ uˇci hmotnosti kuliˇcky vˇzdy zanedbateln´a. Jinak by obvykl´ y stˇredoˇskolsk´ y model s hmotn´ ymi body pˇrestal fungovat. • D´ elka prov´ azku Samotn´a d´elka prov´azku nem´a na ztr´aty soustavy ˇz´adn´ y vliv. Vliv na nˇe ale m´a hmotnost prov´azku. Hmotnost vl´akna mus´ı b´ yt vzhledem k hmotnosti kuliˇcky zanedbateln´a, coˇz je pˇri prodluˇzov´an´ı prov´azku (a tud´ıˇz zvyˇsov´an´ı jeho hmotnosti) probl´em. • Poˇ c´ ateˇ cn´ı v´ yˇ ska kuliˇ cky ˇ ım vetˇs´ı v´ C´ yˇska, t´ım vˇetˇs´ı u ´hel, kter´ y mus´ı kuliˇcka pˇrekonat a tud´ıˇz t´ım vˇetˇs´ı tˇren´ı o vzduch a v uloˇzen´ı vl´akna. Soustava m´a tedy t´ım vˇetˇs´ı absolutn´ı ztr´aty, ˇc´ım vˇetˇs´ı energii m´a.
4 4.1
Kolejniˇ ckov´ a verze Konstrukce zaˇ r´ızen´ı
Kolejniˇckovou verzi jsme se rozhodli zkonstruovat z mont´aˇzn´ı liˇsty o vnitˇrn´ı (!) rozteˇci ”kolejniˇcek”6 mm. D´elka konstrukce je 1000 mm ± 2 mm. Liˇsta je ukotven´a celkem na 3 bodech - dvakr´at na kraj´ıch a jednou uprostˇred. V´ yˇska konc˚ u liˇsty oproti jej´ımu stˇredu je 50 mm. 5
ˇ sen´ı fyziky Reˇ
JuTeJa
Obr´azek 4: Kolejniˇckov´a verze Uprostˇred apratury je upevnˇen milimetrov´ y pap´ır tak, aby byl kolm´ y na spodn´ı desku. Z tohoto pap´ıru odeˇc´ıt´ame data. D´ale je na mont´aˇzn´ı liˇstu zboku nanesena stupnice, kter´a poslouˇz´ı pro zjiˇst’ov´an´ı potenci´aln´ı energie kuliˇcky.
4.2
Popis mˇ eˇ ren´ı
Kolejniˇckov´a varianta je z hlediska fyziky o nˇeco sloˇzitˇejˇs´ı a proto nejprve pop´ıˇsi namˇeˇren´a data a z nich n´aslednˇe vyvod´ım, proˇc data vypadaj´ı tak, jak vypadaj´ı. Podobnˇe, jako v kyvadlov´e variantˇe, jsme i zde um´ıstili na pozad´ı milimetrov´ y pap´ır. Proti nˇemu jsme nat´aˇceli kuliˇcky a mˇeˇrili jejich rychlosti. Kuliˇcky jsme vˇzdy pouˇstˇeli z klidu ve v´ yˇsce 5 cm. D´ale jsme na mont´aˇzn´ı liˇstu zboku nanesli stupnici, podle kter´e jsme mˇeˇrili potenci´aln´ı energii kuliˇcky. Toto mˇeˇren´ı prob´ıhalo tak, ˇze jsme opˇet natoˇcili video, z kter´eho n´am vyˇslo, ˇze kuliˇcka dos´ahne maxim´aln´ı v´ yˇsky v bodˇe s oznaˇcen´ım ”A”a n´aslednˇe jsme zmˇeˇrili v´ yˇsku kolejniˇcek nad hladinou s nulovou potenci´aln´ı energi´ı v tomto bodˇe. Mˇeˇren´ı rychlosti prob´ıhalo tak, jako v minul´em pˇr´ıpadˇe - odeˇc´ıtali jsme polohu kuliˇcek ve dvou sn´ımc´ıch. V tabulce 2 si m˚ uˇzete proˇc´ıst namˇeˇren´a data (zat´ım) pro 2 kuliˇcky. Nyn´ı pop´ıˇsi z´avˇery z namˇeˇren´ ych dat.
4.3
Z´ avˇ ery z dat
• Dat je m´ alo Kaˇzd´ y si asi na prvn´ı pohled vˇsimne, ˇze dat u kolejniˇckov´e verze je o mnoho m´enˇe, neˇz dat u kyvadlov´e verze. To je proto, ˇze kolejniˇckov´a verze m´a mnohem vetˇs´ı ztr´aty a uˇz po p´ar sr´aˇzk´ach jsou hodnoty mˇeˇren´ ych veliˇcin pod minim´aln´ım mˇeˇriteln´ ym rozsahem (napˇr. Ep se dost´av´a pod 5 mm). • Tabulka m´ a v´ıc sloupeˇ ck˚ u Probl´em kolejnicov´e varianty je totiˇz komplikovan´ y. Pro zaˇc´atek se koncentrujme na zelenˇe podbarven´e buˇ nky, kter´e vyjadˇruj´ı ztr´aty energi´ı. Z tˇechto dat vid´ıme, ˇze ztr´ata energie ve sr´aˇzce je obrovsk´a (cca 40 % oproti cca 5 % v kyvadlov´e variantˇe).
6
7 Tabulka 2: Kolejniˇckov´a verze pro 2 kuliˇcky 1 2 3 prava leva prava 17.0 9.5 5.0
-0.68
16.0 9.0
tíhové zrychlení celkem kuliček varianta fps Čas mezi 2-ma snímky původní výška kuličky uvažovaná hmotnost kuličky počáteční Ep poloměr kuličky rozteč kolejnic
První ztráta energie valením:
Průchod
Kulička jde od
Dráha těsně před nárazem [mm] Dráha těsně po nárazu (druhá strana) [mm]
mJ 16 6
9.87 2 kolejnicová 50 0.02 5 21.72 10.72 8.75 6.0
Výška kuličky po nárazu [mm]
-2
s-1 s cm g mJ mm mm
ms
0.85 0.48 0.25
Rychlost těsně před nárazem [ms^-1]
0.80 0.45 0.00
Rychlost těsně po nárazu na 2. straně [ms^-1]
7.85 2.45 0.68
Translační energie před nárazem [mJ]
6.95 2.20 0.00
Translační energie po nárazu [mJ]
3.56 1.11 0.31
Měření č. 7
Rotační energie před nárazem [mJ]
0.00 0.00 0.00
Rotační energie po nárazu [mJ]
3.43 1.29 0.00
Potenciální energie po nárazu [mJ]
11.40 3.56 0.99
Celková kinetická energie před srážkou [mJ]
6.95 2.20 0.00
Celková kinetická energie po srážce [mJ]
4.45 1.36 0.99
Ztráta energie ve srážce [mJ]
39.0% 38.2% 100.0%
% ztraceno ve srážce
3.52 0.91 0.00
Ztráta energie po cestě nahoru [mJ]
50.7% ######### 41.5% -0.13 ######### 0.30
% ztraceno při cestě nahoru
Ztráta energie po cestě dolů [mJ]
ˇ sen´ı fyziky Reˇ
JuTeJa
ˇ sen´ı fyziky Reˇ
JuTeJa
D´ale vid´ıme, ˇze ztr´ata energie pˇri cestˇe dol˚ u (valiv´ ym tˇren´ım) je minim´aln´ı, zanedbateln´a. Z´aporn´a ztr´ata je samozˇrejmˇe nesmysl zp˚ usoben´ y chybou mˇeˇren´ı. Oproti tomu ztr´ata energie kuliˇcky pˇri cestˇe nahoru je minim´alnˇe 5x vˇetˇs´ı, neˇz ztr´ata energie kuliˇcky pˇri cestˇe dol˚ u. Tato data n´as vedla k hlubok´emu zamyˇslen´ı nad t´ım, jak´e fyzik´aln´ı jevy vlastnˇe pozorujeme. V´ ystupem naˇseho pˇrem´ yˇslen´ı budiˇz teorie popsan´a v n´asleduj´ıc´ı kapitole.
4.4
Teorie
Pro sr´aˇzku kuliˇcek plat´ı z´akon zachov´an´ı hybnosti. V naˇsem pˇr´ıpadˇe m1 = m2 a tedy: v1 = v2
(3)
kde v1 je rychlost vstupn´ı kuliˇcky a v2 je rychlost v´ ystupn´ı kuliˇcky. Tabulka odr´aˇz´ı fakt, ˇze tento vztah v´ıcem´enˇe plat´ı. Z toho plyne, ˇze sr´aˇzka je t´emˇeˇr dokonale pruˇzn´a (v tomto pˇr´ıpadˇe se vlivem deformace kuliˇcek ˇca´st energie ztr´ac´ı do tepla). T´ım jsme ale nepopsali energetickou bilanci sr´aˇzky. Toto zaˇr´ızen´ı totiˇz trp´ı jednou ˇ ast jejich energie je tud´ıˇz uloˇzen´a v rotaci. Konkr´etnˇe z´asadn´ı z´aludnost´ı: kuliˇcky se toˇc´ı. C´ ˇreˇceno, kinetick´a energie Ek se skl´ad´a z translaˇcn´ı energie Et a rotaˇcn´ı energie Er . Plat´ı tzv. K¨onigova vˇeta (4). Ek =
1 1 ∗ m ∗ v2 + ∗ J ∗ ω2 2 2
(4)
1 ∗ m ∗ v2 2
(5)
kde Et =
1 ∗ J ∗ ω2 2 Pˇredpokl´adejme pohyb kuliˇcky po kolejniˇck´ach podle obr´azku 5. Er =
Obr´azek 5: Namˇeˇren´a data 8
(6)
ˇ sen´ı fyziky Reˇ
JuTeJa
Pak lze vypoˇc´ıst Er pro kuliˇcku o polomˇeru r v kolejnic´ıch o vnitˇrn´ı rozteˇci L podle vztahu 7. 1 L2 Er = ∗ m ∗ v 2 ∗ 1 − 2 5 4r
!−1
(7)
kde v je dopˇredn´a rychlost kuliˇcky a m je jej´ı hmotnost. Mˇejme modelovou sr´aˇzku, kde jedouc´ı kuliˇcka A naraz´ı do kuliˇcky B. Kuliˇcka A m´a korektnˇe rozdˇelenou rotaˇcn´ı a translaˇcn´ı energii, tj. neprokluzuje. Jej´ı kinetick´a energie je d´ana souˇctem translaˇcn´ı a rotaˇcn´ı energie. Kuliˇcka naraz´ı do kuliˇcky B a protoˇze koule nejsou ozuben´e, pˇred´a ji pouze svou translaˇcn´ı energii. Pomˇer translaˇcn´ı energie ku celkov´e kinetick´e energii naˇs´ı kuliˇcky je 31, 19 %. Pˇri sr´aˇzce si tedy kuliˇcka A nech´av´a toto pomˇernˇe velk´e procento energie ve sv´e rotaci. Kuliˇcka A ale pˇredala svou translaˇcn´ı energii a tud´ıˇz stoj´ı. V tomto momentnˇe lze s pˇrehledem ˇr´ıci, ˇze plat´ı z´akon zachov´an´ı hybnosti. Kuliˇcka B se pohybuje (t´emˇeˇr) p˚ uvodn´ı rychlost´ı kuliˇcky A a kuliˇcka A stoj´ı. Protoˇze kuliˇcka A m´a jeˇstˇe energii v rotaci, dojde k prokluzu a vlivem tˇren´ı o kolejnice k pˇrerozdˇelen´ı energie z rotaˇcn´ı do translaˇcn´ı. Kuliˇcka A tedy z´ısk´av´a urˇcitou (vzhledem ke kuliˇcce B malou) rychlost. Pokud si dobˇre proˇctete tabulku 2, zjist´ıte, ˇze ztr´ata energie ve sr´aˇzce je cca 40 %. Tj. 9 % energie se skuteˇcnˇe ztr´ac´ı vlivem nepruˇznosti sr´aˇzky a 31 % si ponech´av´a kuliˇcka A ve sv´e rotaci. T´ım je vysvˇetlena prvn´ı velk´a ztr´ata energie. Zde bych r´ad zm´ınil, ˇze koule vlastnˇe jsou trochu ozuben´e. Urˇcit´e tˇren´ı mezi nimi totiˇz vˇzdycky je. To se projevuje tak, ˇze kuliˇcce B je vlastnˇe pˇred´ana ˇca´st rotaˇcn´ı energie kuliˇcky A, ale tato energie je proti smˇeru jej´ı rotace! Takˇze teoreticky doch´az´ı jeˇstˇe k vetˇs´ım ztr´at´am. Analogicky by mˇela b´ yt energetick´a bilance lich´eho poˇctu kuliˇcek o nˇeco lepˇs´ı, neˇz sud´eho. Tyto vlastnosti se ale v praxi neprojevuj´ı a rotaˇcn´ı energie se t´emˇeˇr v˚ ubec nepˇred´av´a. Dalˇs´ı velk´a ztr´ata energie nast´av´a v dobˇe mezi sr´aˇzkou a vyjet´ım kuliˇcky B ”nahoru”. Tato ztr´ata nen´ı zapˇr´ıˇcinˇena ztr´atami tˇren´ım o kolej, valiv´e tˇren´ı je zanedbateln´e (viz data v tabulce 2). Zde jde o z´aludnost mˇeˇren´ı. My totiˇz mˇeˇr´ıme rychlost kuliˇcky B tˇesnˇe po sr´aˇzce. V tomto momentˇe ale kuliˇcka nem´a rotaˇcn´ı energii! M´a pouze energii translaˇcn´ı, ze kter´e se postupnˇe rozt´aˇc´ı (pˇremˇen ˇuje ji na rotaˇcn´ı). D´elku t´eto pˇremˇeny nelze jednoduˇse spoˇc´ıtat, ale je jasn´e, ˇze bˇehem t´eto doby p˚ usob´ı na kuliˇcku B drsn´e smykov´e tˇren´ı. N´asledkem tohoto tˇren´ı je rapidn´ı pˇrenos energie kuliˇcky do tepeln´ ych ztr´at. Z namˇeˇren´ ych dat plyne, ˇze ztr´ata energie po cestˇe nahoru je pˇribliˇznˇe 1 mJ, zat´ımco ztr´ata po cestˇe dol˚ u je v desetin´ach - setin´ach mJ. To je zp˚ usobeno pr´avˇe popsan´ ym smykov´ ym tˇren´ım.
4.5
Ztr´ aty
N´asleduj´ıc´ı pˇrehled struˇcnˇe sumarizuje ztr´aty soustavy. • Valiv´ e tˇ ren´ı je zanedbateln´e m´a minim´aln´ı vliv. • Smykov´ e tˇ ren´ı kuliˇ cky B po n´ arazu je jednou ze dvou hlavn´ıch ztr´at soustavy (ztr´ata 40 − 50 % energie). • Nepruˇ znost sr´ aˇ zky m´a vliv na ztr´aty hlavnˇe pˇri vetˇs´ım poˇctu kuliˇcek (aˇz 20 % pˇri 5-ti kuliˇck´ach, viz n´ıˇze). 9
ˇ sen´ı fyziky Reˇ
JuTeJa
• Kuliˇ cka A si ponech´ av´ a rotaˇ cn´ı energii Tento jev je spolu se smykov´ ym tˇren´ım hlavn´ım d˚ uvodem energetick´ ych ztr´at (ztr´ata cca 31 %) • Tˇ ren´ı o vzduch je zanedbateln´e.
4.6
Vliv parametr˚ u aparatury na ztr´ aty
Nyn´ı pop´ıˇsi parametry konstrukce, kter´e maj´ı z´asadn´ı vliv na ztr´aty energi´ı v n´ı. • Rozteˇ c kolejnic Ze vztah˚ u 4 a 7 jednoznaˇcnˇe plyne, ˇze zvˇetˇsov´an´ım ˇs´ıˇrky kolejniˇcek v˚ uˇci kuliˇcce doch´az´ı k pomˇernˇe vˇetˇs´ımu uloˇzen´ı energie do energie rotaˇcn´ı, kter´a se pˇri n´asledn´e sr´aˇzce nepˇred´a. Lze proto ˇr´ıci, ˇze ˇc´ım vˇetˇs´ı je rozteˇc kolejnic v˚ uˇci kuliˇcce, t´ım rychleji zaˇr´ızen´ı pˇrestane fungovat. • Tˇ ren´ı mezi kolejnicemi a liˇ stou Je jedn´ım z hlavn´ıch d˚ uvod˚ u ztr´aty energi´ı v naˇsi soustavˇe. Volbou materi´al˚ u s jin´ ymi koeficienty tˇren´ı (at’ uˇz smykov´eho, ˇci valiv´eho - resp. ramena valiv´eho odporu), si ale moc nepom˚ uˇzeme. Pokud by byly koeficienty pˇr´ıliˇs mal´e, doch´azelo by pˇri zastavov´an´ı k nerovnomˇern´emu sniˇzov´an´ı rotaˇcn´ı a translaˇcn´ı energie a tud´ıˇz opˇet k prokluz˚ um. Materi´al s vyˇsˇs´ımi koeficienty s sebou sice nese kratˇs´ı dobu smykov´eho tˇren´ı, ale zato vˇetˇs´ı tˇrec´ı s´ılu. Vysok´e koeficienty tˇren´ı se tak m˚ uˇzou projevit napˇr´ıklad i ve valiv´em odporu, kter´ y by najednou pˇrestal b´ yt zanedbateln´ y. A to by byl probl´em.
4.7
5 kuliˇ cek
Pro relevantn´ı srovn´an´ı pˇrikl´ad´am tabulku 3, kter´a vizualizuje namˇeˇren´a data pro 5 kuliˇcek. Zde doporuˇcuji povˇsimnout si zejm´ena ztr´at energi´ı ve sr´aˇzce, kter´e ˇcin´ı pr˚ umˇernˇe cca 50 %. Ztr´aty jsou vˇetˇs´ı oproti verzi s 2-mi kuliˇckami, protoˇze m´ısto jedn´e sr´aˇzky m´ame sr´aˇzky 4. V nepruˇznosti se tak ztr´ac´ı v´ıce energie.
5
Z´ avˇ er
Z namˇeˇren´ ych dat vypl´ yv´a, ˇze kolejniˇckov´a varianta trp´ı pˇribliˇznˇe desetin´asobnˇe vˇetˇs´ımi ztr´atami, neˇz varianta kyvadlov´a (tj. klasick´a Newtonova houpaˇcka). R´ad bych zd˚ uraznil, ˇze poˇc´ıt´an´ı kinetick´ ych energi´ı z kvadr´atu rychlosti, kterou jsme mˇeˇrili, m˚ uˇze vn´est do mˇeˇren´ı pomˇernˇe velkou chybu. Je tedy velk´ ym u ´spˇechem, ˇze data ’ (podle mˇe) dost dobˇre sed´ı na teorii. Naopak chyba pˇri zjiˇst ov´an´ı potenci´aln´ı energie je naprosto minim´aln´ı. Namˇeˇren´e v´ yˇsky a z nich vypoˇcten´e potenci´aln´ı energie jsou d˚ uleˇzit´ ym a mohutn´ ym stavebn´ım kamenem cel´eho mˇeˇren´ı. Z´avˇerem bych r´ad poznamenal, ˇze n´as neskuteˇcn´ ym zp˚ usobem udivuje schopnost organiz´ator˚ u napsat relativnˇe kr´atk´e a srozumiteln´e zad´an´ı p˚ usob´ıc´ı dojmem ”provedeme experiment, namˇeˇr´ıme energie a vˇsechno bude sedˇet”, jehoˇz ˇreˇsen´ı se nakonec zvrtne v nˇekolikahodinov´e pˇrem´ yˇslen´ı nad t´ım, ”proˇc to vych´az´ı tak divnˇe”. Popravdˇe ˇreˇceno jsme teorii ke kolejniˇckov´e verzi vytvoˇrili aˇz po namˇeˇren´ı dat z experimentu. 10
11
Kulička jde od
prava leva prava leva prava
17.0 10.0 6.5 3.0 2.0
Dráha těsně před nárazem [mm]
Průchod
První ztráta energie valením:
1 2 3 4 5 -0.68
14.0 9.5 5.0 2.5 1.0
Dráha těsně po nárazu (druhá strana) [mm]
9.87 5 kolejnicová 50 0.02 5 21.72 10.72 8.75 6.0
21.0 7.5 2.5
Výška kuličky po nárazu [mm]
tíhové zrychlení celkem kuliček varianta fps Čas mezi 2-ma snímky původní výška kuličky uvažovaná hmotnost kuličky počáteční Ep poloměr kuličky rozteč kolejnic
-2
s-1 s cm g mJ mm mm
ms
mJ
0.85 0.50 0.33 0.15 0.10
Rychlost těsně před nárazem [ms^-1]
Rychlost těsně po nárazu na 2. straně [ms^-1] 0.70 0.48 0.25 0.13 0.05
Translační energie před nárazem [mJ] 7.85 2.72 1.15 0.24 0.11
Translační energie po nárazu [mJ] 5.32 2.45 0.68 0.17 0.03
Měření č. 1
Rotační energie před nárazem [mJ] 3.56 1.23 0.52 0.11 0.05
Rotační energie po nárazu [mJ] 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Potenciální energie po nárazu [mJ] 4.50 1.61 0.54 0.00 0.00
Celková kinetická energie před srážkou [mJ] 11.40 3.95 1.67 0.36 0.16
Celková kinetická energie po srážce [mJ] 5.32 2.45 0.68 0.17 0.03
Ztráta energie ve srážce [mJ] 6.08 1.50 0.99 0.19 0.13
% ztraceno ve srážce 53.3% 37.9% 59.3% 52.2% 82.8%
Ztráta energie po cestě nahoru [mJ] 0.82 0.84 0.14 0.17 0.03
% ztraceno při cestě nahoru 15.4% 34.4% 21.0% 100.0% 100.0%
Celková ztráta energie (z Ep) [mJ] Ztráta energie při cestě dolů [mJ]
######## ######## 0.56 2.87 -0.06 1.77 0.18 0.51 -0.16 0.14
ˇ sen´ı fyziky Reˇ JuTeJa
Tabulka 3: Kolejniˇckov´a verze pro 5 kuliˇcek
ˇ sen´ı fyziky Reˇ
JuTeJa
Podˇ ekov´ an´ı • Ing. Jiˇr´ımu Bil´ıkovi, naˇsemu fyzik´aˇri, za konzultace. • RNDr. Luboru Pˇrikrylovi za konzultace.
12
