MTSN

MODUL ALJABAR Untuk SMP/MTSN

1

Pendahuluan

Aljabar merupakan bahasa simbol dan relasi. Dalam kehidupan seharihari aljabar seringkali digunakan tanpa memperdulikan apa pengertian aljabar tersebut. Dalam topik aljabar permasalahan-permasalahan matematika dinyatakan dengan suatu simbol (variabel) misalnya x. Simbol/variabel x biasanya menggantikan suatu bilangan yang dicari. Materi yang akan dibahas disini antara lain Hukum-hukum dasar aljabar, pertidaksamaan dan persamaan, persamaan linear, persamaan kuadrat, relasi dan fungsi

2

Sifat-sifat Dasar Aljabar

Operasi hitung yang berlaku dalam aljabar adalah penjumlahan, ditulis +, perkalianyang ditulis ×, . atau tanpa ditulis. Sedangkan hukum yang berlaku adalah: • Tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian Untuk setiap a, b ∈ R, jika a + b = c dan a × b = d maka c, d ∈ R • Asosiatif (Pengelompokan) Untuk setiap a, b, c ∈ R maka berlaku a + (b + c) = (a + b) + c dan a × (b × c) = (a × b) × c • Ada elemen netral 0 untuk penjumlahan dan 1 untuk perkalian Untuk setiap a ∈ R maka berlaku a+0 = a = 0+a dan a×1 = a = 1×a

1

• Ada Elemen Invers yaitu −a (dibaca minus a) untuk penjumlahan dan 1 untuk perkalian a Untuk setiap a ∈ R maka berlaku a + (−a) = 0 = (−a) + a dan a × a1 = 1 = a1 × a • Komutatif Untuk setiap a, b ∈ R berlaku a + b = b + a dan a × b = b × a • Distributif ˙ + c) = a × b + ac˙ Untuk setiap a, b, c ∈ R berlaku a(b Berdasarkan sifat-sifat tersebut dapat memberikan akibat sebagai berikut: • Untuk setiap a ∈ R berlaku a × 0 = 0 • Untuk a, b ∈ R, jika a × b = 0 maka a = 0 atau b = 0 • Untuk setiap a, b, c, d ∈ R berlaku (a + b) × (c + d) = a × c + a × d + b×c+b×d • Untuk setiap a, b ∈ R berlaku (−a) × b = −(a × b) a × (−b) = −(a × b) (−a) × (−b) = a × b

2.1 •

•

•

Contoh - contoh (x + 3) × (x − 4) = x × (x − 4) + 3 × (x − 4) = x2 − 4x + 3x − 12 2(x − 5) = 2x − 2(5) = 2x − 10 12m2 (5b + c2 ) = 12m2 (5b) + 12m2 (c2 ) = 60m2 b + 12m2 c2

2

(1) (2) (3)

3

Persamaan dan Pertidaksamaan

Pernyataan atau kalimat yang menyatakan persamaan maupun pertidaksamaan sering dilakukan dalam kehidupan sehari-hari. Beberapa contoh masalah persamaan dan pertidaksamaan adalah: • Dua buah buku tulis ini seharga empat kali harga pena • Satu orang murid membayar biaya piknik sebesar Rp 60.000,-. Satu kelas terdiri dari sejumlah orang murid. Biaya piknik yang harus dikeluarkan untuk satu kelas tersebut adalah Rp 480.000,-. Berapa jumlah murid dalam satu kelas? • Amir lebih tua dibandingkan dengan Tono • Harga gula di pasar paling murah per kilogram Rp 4000,-. Berapa kg gula yang dapat dibeli seorang pemilik warung jika dia memiliki uang sebesar Rp 165000,-? Masalah-masalah diatas dapat dituliskan dalam bentuk aljabar sebagai berikut: • Misalkan x harga buku tulis dan y harga sebuah pena maka pernyataan tersebut dapat dituliskan menjadi 2x = 4y • 60000x = 480000, dengan x menyatakan jumlah siswa. Akan ditentukan nilai x. • Jika x menyatakan umur Amir dan y menyatakan umur Tono maka pernyataan tersebut dapat ditulis x > y • 4000x ≤ 165000, x menyatakan jumlah kilogram gula. Masalah 1−2 merupakan contoh masalah persamaan, sedangkan masalah 3 − 4 menyatakan pertidaksamaan. Beberapa soal pertidaksamaan maupun persamaan dapat berupa persamaan atau pertidaksamaan matematika tanpa diketahui permasalah real yang berkaitan, seperti contoh berikut

3

3.1

Contoh Soal

Tentukan Himpunan Penyelesaian, jika diberikan 1. 3x + 4 = 5 − 2x 2. 2x − 5 =

2 3

+1

3. −3 < 2x − 5 < 7 4. 2x + 4 < 5 dan 3 − x ≥ 1 5. −2x + 3 ≥ 0 dan 4x − 1 ≥ 0

3.2

Penyelesaian

Untuk menyelesiakan masalah persamaan dan pertidak samaan dapat dilakukan dengan cara menambahkan/ mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama sehingga suku-suku/komponen yang memuat variabel x terpisah dengan komponen yang tidak memuat variabel (konstanta), kemudian kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama sehingga diperoleh nilai x. Misalkan pada contoh soal 1, kedua ruas ditambah 2x, diperoleh 3x + 4 + (2x) = 5 − 2x + (2x) 5x + 4 = 5 kemudian kedua ruas ditambah dengan −4, sehingga diperoleh 5x + 4 + (−4) = 5 + (−4) 5x = −1 kemudian kedua ruas dikalikan dengan

1 5

diperoleh

1 1 5x = −1 5 5 −1 x= 5 Contoh 3 −3 < 2x − 5 < 7, semua ruas ditambah dengan 5 sehingga diperoleh −3 + 5 < 2x − 5 + 5 < 7 + 5 2 < 2x < 12 4

semua ruas dikalikan dengan

1 2

diperoleh

1 1 1 2( ) < 2x( ) < 12( ) 2 2 2 1<x<6 Untuk contoh 4 dan 5 ada dua pertidaksamaan, oleh karena itu harus dicari masing-masing penyelesian, kemudian digabungkan hasilnya. Contoh 4, 2x + 4 > 5 dan 3 − x ≥ 1 • dari pertidaksamaan pertama diperoleh 2x + 4 + (−4) > 5 + (−4) 2x > 1 1 x> 2 • dari pertidaksamaan kedua diperoleh 3−x≥1 3 − x + (x) ≥ 1 + (x) 3≥1+x 3 + (−1) ≥ 1 + x + (−1) 2≥x dari dua penyelesaian tersebut dapat dituliskan dalam bentuk gambar garis bilangan yaitu

2

0.5

sehingga himpunan penyelesian dari soal tersebut adalah 12 < x ≤ 2. Hati-hati Apabila kedua ruas dikalikan dengan konstanta negatif (-) maka tanda pertidaksamaan harus diubah.

5

3.3

Soal-soal

1. Suatu persegi diketahui kelilingnya 146 cm. Maka panjang sisi persegi tersebut adalah ... 2. Umur ayah 10 tahun lebih tua dibandingkan umur paman. Jika umur paman sekarang 37 tahun, berapa umur ayah 5 tahun lagi. 3. Tono mempunyai 4 ekor ayam betina dan dua ekor ayam jantan. Setiap hari satu ekor ayam jantan menghabiskan 1,5 kali pakan ayam betina. Jika setiap hari Tono menyiapkan minimal 3 kg pakan ayam. Berapa kg minimal yang disiapkan untuk ayam betina. 4. Jarak tempuh sebuah mobil pada waktu t jam adalah s(t) = 40t + 10 km. Berapa jarak yang ditempuh setelah 3 jam 40 menit? berapa lama waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak 80 km? 5. Carilah nilai n yang memenuhi 18 n + 3 = 38 n + 5. 6. Carilah penyelesaian pertidaksamaan 34 x − 4 ≤ x − 6, dengan x ∈ R. 7. Carilah penyelesaian pertidaksamaan dari 3x + 1 < 2x + 6 dengan x ∈ B.

4

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan

Persamaan maupun pertidaksamaan yang terdiri atau dua variabel atau lebih yang berkaitan dinyatakan oleh sistem peramaan atau sistem pertidaksamaan. Dalam kehidupan sehari-hari sering dihadapi suatu masalah mengenai sistem persamaan, selain itu juga ada masalah sistem pertidaksamaan, misalnya • Ali membeli apel dengan harga Rp10.000, − perkilo dan anggur dengan harga Rp15.000, − perkilo. Ali membayar uang sebanyak Rp 100.000,-. Sedangkan Ali hanya dapat mengangkut beban sebanyak 15 kg. Berapa kilogram apel dan anggur yang harus dibeli oleh Ali. • Seorang peternak ayam mempunyai 60 ekor ayam. Setiap hari mendapatkan paling sedikit 45 butir telur. Setiap hari dia membeli paling banyak 20 kg jagung untuk makanan ayam. Telur ayam dijual satu 6

butir Rp 300,- sedangkan harga jagung adalah Rp 2000 perkilogram. Berapa telur yang harus dihasilkan supaya peternak mendapat keuntungan dalam sehari. Contoh lain dari masalah persamaan adalah sebagai berikut: Suatu pagar kayu mempunyai bentuk persegi panjang dengan keliling 90 cm, dengan panjang pagar dua kali lebar pagar tersebut. Tentukan ukuran pagar tersebut • Umur ayah lima tahun lebih tua dari umur ibu. Umur Ibu dua kali umur Tina. Jumlah umur ayah, ibu dan Tina adalah 80 tahun. Berapa umur mereka masing-masing? Contoh-contoh diatas dapat diselesaikan secara langsung (tanpa membuat simbol) yang dikenal dengan masalah aritmatika, tetapi juga dapat diselesaikan melalui pendekatan aljabar sebagai berikut: • Masalah pertama, didefinisikan / ditulis x jumlah kg apel, y sebagai jumlah kg anggur yang dibeli. Model persamaan yang terbentuk adalah: 10000x + 15000y = 180000 x + y = 15

(4) (5)

Model di atas secara matematis dikenal dengan sistem persamaan linear dengan 2 persamaan dan 2 variabel, yaitu x dan y. • Sedangkan masalah kedua dapat dinyatakan secara matematis sebagai berikut: x menyatakan jumlah telur yang dihasilkan dan dapat dijual, sedangkan y adalah jumlah jagung yang dibeli. Misalkan z sebagai keuntungan/kerugian maka dapat dituliskan 300x − 2000y ≥ 0 x ≥ 45 y ≤ 20

(6) (7) (8)

• Masalah ketiga dapat dituliskan menjadi x menyatakan panjang pagar sedangkan y menyatakan lebar pagar. x + y = 90 x = 2y 7

(9) (10)

• Masalah keempat: x menyatakan umur ibu, y menyatakan umur ayah, sedangkan umur Tina dinyatakan dengan z. Model matematikanya x+5=y 2z = x x + y + z = 80

4.1

(11) (12) (13)

Langkah-langkah Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Misal diberikan sistem persamaan linear dua variabel dengan dua persamaan adalah sebagai berikut: 2x + 2y = 8 −4x + 6y = 4

(14) (15)

Dalam menyelesaikan masalah persamaan linear tersebut ada beberapa cara antara lain: • Substitusi Dari persamaan 14 diperoleh x = (8 − 2y)/2

(16)

kemudian nilai x yang diperoleh disubstitusikan kedalam persamaan (15) −4(8 − 2y)/2 + 6y = 4 −32/2 + 8y/2 + 6y = 4 −16 + (4 + 6)y = 4 10y = 4 + 16 y = 20/10 y=2

(17) (18) (19) (20) (21) (22)

sehingga diperoleh x = (8 − 2(2))/2 = 2. Tampak bahwa penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 2, y = 2.

8

• Eliminasi Untuk mendapatkan nilai x dan y akan dilakukan eliminasi/penghilangan salah satu variabel dengan cara mengalikan satu persamaan dengan suatu konstanta sehingga koefisien dari variabel persamaan (14) yang akan dihilangkan sama dengan koefisien variabel persamaan (15) (dikalikan 2). Kemudian persamaan (14) dikurangi dengan persamaan (15).

2(2x + 2y = 8) −4x + 6y = 4 diperoleh 4x + 4y = 16 −4x + 6y = 4 baris pertama ditambah baris kedua diperoleh 10y = 20 y=2 setelah itu disubsitusi ke salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai x • Metode Grafik Penyelesian x dan y diperoleh dengan cara menggambarkan persamaan garis dari persamaan(14) dan (14) pada koordinat kartesius, nilai x dan y merupakan titik potong dari kedua garis tersebut. Perlu diketahui bahwa sistem persamaan linear dapat diperluas menjadi n persamaan dengan m variabel yang dicari untuk n, m ≥ 2.

4.2

Contoh Soal

1. Tentukan himpunan penyelesian dari sistem persamaan / pertidaksamaan linear berikut • 4x + 2y = 12 2x + y = 4 9

• x + 3y = 1 2x − 3y = 2 • 4x + 5y = 3 x − 3y = 1 • 2x + y ≥ 4 x+y <3 2. Jika x = a dan y = b adalah penyelesaian dari sistem persamaan dua variabel 2x + 3y = 4 dan 3x + 2y = −9 maka a + b adalah... 3. Jika jumlah dua bilangan asli adalah 61 dan selisihnya adalah 7, maka hasil kali dua bilangan tersebut adalah ... 4. Harga dua buah pena dan 3 buah pensil adalah Rp 5.700,00. Harga satu pena dan 2 pensil adalah Rp 3.300,00. Maka harga masing-masing adalah...

5

Fungsi

Pada bab ini akan dibahas fungsi, daerah asal dan daerah hasil, bagaimana menggambar suatu fungsi pada koordinat kartesius. Ada beberapa istilah yang sering terjadi kesalahan dalam pemakaian, antara lain: relasi, pemetaan, dan fungsi. Beberapa contoh relasi dan fungsi dapat digambarkan sebagai berikut: • Misalkan akan akan dibuat hubungan antara nama murid dan hobi atau kegemaran murid. Disini terdapat dua himpunan yang akan dibuat hubungannya yaitu himpunan nama murid misal A = {Adi, Ita, Doni, Joko, Dina, T otok} dan himpunan hobi, misal B = {T enismeja, menyanyi, renang, menari} Pada masalah ini mungkin terjadi satu murid mempunyai dua atau lebih hobi, sehingga satu elemen di A dapat dihubungkan dengan satu atau lebih elemen pada B. Hubungan ini disebut dengan relasi. • Misalkan akan dibuat hubungan antara nama murid dengan umurnya misalkan A = {Adi, Ita, Doni, Joko, Dina, T otok} dan B = {12, 13, 15}. Pada masalah ini setiap murid mempunyai satu umur, tidak mungkin seorang murid mempunyai dua umur, sehingga setiap elemen pada A 10

hanya dapat dihubungkan dengan satu elemen pada B. Hubungan ini disebut dengan fungsi. Himpunan A disebut dengan daerah asal, sedangkan himpunan B disebut dengan daerah hasil. Pada relasi bisa/boleh terjadi satu elemen dari daerah asal A dipasangkan dengan dua elemen dari daerah hasil B, sedangkan pada pemetaan atau fungsi satu elemen pada daerah asal A mempunyai tepat satu pasangan di daerah hasil B. Misalkan diberikan fungsi dari bilangan real −3 ≤ x ≤ 5 ke bilangan real yang memenuhi aturan 3x − 2. Kalimat tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: Misalkan A = {x| − 3 ≤ x ≤ 5} f : A→B f : x 7→ f (x) = 3x − 2 A disebut daerah asal (domain) dalam hal ini berupa interval, sedangkan B merupakan daerah hasil (ko domain).

5.1

Contoh-contoh

1. f (x) = 2x2 − 3x + 1, 0 ≤ x ≤ 6 2. h(x) = 3x + 6, −3 ≤ x ≤ 3 3. g(x) = 4. f (x) =

3x−2 x2 −1

√

3x + 2 + 4x

Untuk contoh 1 dan 2 telah diberikan/ditentukan daerah asal fungsi, sedangkan untuk contoh 3 dan 4 tidak diberikan. Pada masalah fungsi, sebelum menentukan daerah hasil f (x) perlu dikaji apakah fungsi tersebut terdefinisi atau tidak pada daerah daerah asal yang ditentukan, atau perlu dikaji terlebih dahulu pada daerah mana/kapan fungsi tersebut terdefinisi (terdefinisi berarti mempunyai hasil f (x) ada. Seperti contoh (2) tidak mempunyai nilai pada x = ±1, sehingga daerah asalnya adalah {x ∈ R|x 6= ±1}, sedangkan contoh (1) tidak terdefinisi untuk 3x + 2 ≤ 0 atau x 32 11

Beberapa fungsi tertentu yang perlu diketahui adalah fungsi konstan, fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi polinomial, fungsi exponensial dan fungsi logaritma.

5.2

Fungsi Konstan

Fungsi konstan adalah suatu fungsi yang memetakan semua elemen dari daerah asal ke bilangan real yang konstan, misalnya f (x) = 3, f (x) = 2, x ∈ R

5.3

Fungsi Linear

Fungsi linear memetakan setiap elemen x dari daerah asal ke f (x) = ax + b dengan a, b suatu konstanta. Contoh fungsi linear antara lain: f (x) = 3x + 5 f (x) = −2x + 7 f (x) = 5x − 3 Grafik fungsi linear berupa garis lurus dan fungsi linear dikenal juga dengan nama persamaan garis lurus. Kemiringan dari garis lurus yang terbentuk dari fungsi linear disebut dengan gradien atau kemiringan garis disimbolkan dengan m. Sehingga suatu persamaan garis lurus yang terbentuk dari suatu fungsi linear f (x) = mx + c dapat dituliskan y = mx + c. Dengan mengetahui gradien dan satu titik yang dilaluinya maka dapat diperoleh persamaan garis yang memenuhi. Selain itu dengan mengetahui gradien maka keterkaitan antara dua buah garis atau lebih dapat diketahui. Misalkan diberikan dua buah persamaan garis lurus y1 = m1 x + c1 dan y2 = m2 x+c2 . Dua buah garis dikatakan sejajar jika mempunyai kemiringan/gradien yang sama (m1 = m2 ) dan dikatakan saling tegak lurus jika mempunyai gradien ”minus berkebalikan”(m1 = − m12 atau m1 m2 = −1). Contoh Soal 1. Persamaan garis g dan h adalah 2x − y + 3 = 0 dan x + 2y − 2 = 0. Selidiki apakah kedua garis tersebut sejajar, saling tegak lurus atau berimpit

12

2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (3, −2) dan mempunyai gradien m = −3. 3. Grafik penyelesian dari x + y = 4 dan −x + y = 2 adalah ... 4. Jika diberikan dua buah persamaan garis lurus 2x+y = 6 dan 2x−4y = 9. Selidiki apakah kedua garis tersebut berpotongan, sejajar, saling tegak lurus atau berimpit? 5. Carilah titik potong dari dua persamaan garis lurus 3x − 2y = 12 dan y = −2x + 5.

5.4

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat memetakan setiap elemen x dari daerah asal ke f (x) = ax2 + bx + c dengan a,b dan c suatu kontanta. Contoh fungsi kuadrat adalah: f (x) = 3x2 + 2x + 5 f (x) = x2 − 2x + 7 f (x) = −3x2 − 5x − 3 Beberapa masalah yang muncul pada fungsi kuadrat adalah nilai x pembuat nol ( tentukan x∗ sehingga f (x∗ ) = 0), nilai maksimum(minimum) fungsi f (x∗ ) ≥ (≤)f (x), ∀x. Perlu diketahui bahwa menentukan nilai x sehingga f (x) = 0 adalah sama dengan mencari nilai akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diperoleh dari rumus ABC yaitu √ x1,2 = {−b ± b2 − 4ac}/2 (23) atau membentuk menjadi (x − a1 )(x − a2 )

(24)

dengan a2 = c/a; a1 + a2 = b/a. Misalkan x2 + 3x + 4 = 0 dapat ditulis (x + 4)(x − 1) = 0 sehingga diperoleh akar-akar x = −4 dan x = 1.

13

5.5

Menggambar Fungsi

Untuk menggambarkan dalam grafik kartesius maka terlebih dahulu hubungan antara x dan f (x) dapat dinyatakan dalam pasangan terurut dua bilangan (x, f (x)) yang dapat dituliskan dalam tabel. Sketsa Grafik suatu fungsi dibuat berdasarkan tabel tersebut. Misalnya f (x) = 2x+3 untuk −2 ≤ x ≤ 3 dapat ditulis dalam tabel x f(x) -2 2(-2)+3 -1 2(-1)+3 0 2(0)+3 1 2(1)+3 2 2(2)+3 3 2 (3)+3 Berdasarkan tabel tersebut dapat dibuat himpunan pasangan terurut {(−2, −1), (−1, 1), (0, 3), (1, 5), (2, 7), (3, 9), sehingga diperoleh sketsa grafik. Selain itu dalam menggambar grafik suatu fungsi ada beberapa langkah yang 3 F(x)=2x+3

-1.5

perlu dilakukan yaitu: 1. Tentukan titik potong dengan sumbu y dengan menentukan nilai fungsi f (x) untuk x = 0 2. Tentukan titik potong dengan sumbu x, dengan menentukan nilai pembuat nol dari f (x) 3. Tentukan nilai f (x) untuk beberapa nilai x 14

4. Buat sketsa dengan menghubungkan titik-titik yang telah ada Contoh 1. Gambarkan grafik f (x) = 3x + 5. 1. Tipot dengan sumbu y , karena f (0) = 3(0) + 5 = 5, sehingga tipot dengan sb y adalah (0, 5) 2. Tipot sumbu x, akan dicari x sehingga f (x) = 3x + 5 = 0. Diperoleh 3x = −5 berarti x = −5/3. Jadi tipot dengan sumbu x adalah (−5/3, 0) 3. Dengan menghubungkan kedua titik tersebut akan diperoleh grafik fungsi Contoh 2. Gambarkan grafik f (x) = x2 − x − 6 1. Tipot dengan sumbu y , karena f (0) = (0)2 − 0 − 6 = 65, sehingga tipot dengan sb y adalah (0, 6) 2. Tipot sumbu x, akan dicari x sehingga f (x) = x2 − x − 6 = 0. Untuk fungsi kuadrat nilai x yang diperoleh adalah akar kuadrat dari f (x) = 0, karena x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2) = 0 maka berlaku x − 3 = 0 atau +2 = 0, sehingga diperoleh x = 3 atau x = −2. Jadi tipot dengan sumbu x adalah (3, 0) dan (−2, 0) 3. Untuk x = 1, f (1) = 1 − 1 − 6 = −6 untuk x = −1 f (−1) = (−1)2 − (−1) − 6 = −4 sehingga diperoleh titik lain yaitu (1, −6) dan (−1, −4). 4. Dengan menghubungkan kedua titik tersebut akan diperoleh grafik fungsi

5.6

Pemakaian Grafik suatu Fungsi

Salah satu manfaat mengambar fungsi / grafik adalah mencari penyelesaian sistem persamaan linear dan sistem pertidak samaan linear. Misalkan diberikan sistem pertidaksamaan berikut, tentukan himpunan penyelesiannya 2x + y < 6 −4x + 6y < 4

(25) (26)

Untuk menyelesaikan masalah sistem pertidak samaan di sini digunakan metode grafik, 15

• mula-mula sistem diubah menjadi sistem persamaan, yaitu dengan mengubah tanda tidak sama menjadi sama dengan 2x + y = 6 −4x + 6y = 4

(27) (28)

• kemudian persamaan-persamaan tersebut digambarkan dalam grafik

6 2x+y=6

-4x+6y=4 2/3

1

3

• Untuk menentukan daerah-daerah yang memenuhi pertidaksamaan 25 dan 26 dapat dilakukan dengan mengambil titik-titik tertentu pada grafik tersebut yang dibatasi oleh garis-garis yang dibentuk persamaan 27 dan 28, misalnya titik (0, 0) apakah memenuhi pertidaksamaan 25 dan 26 2.0 + 0 < 6 −4.0 + 6.0 < 4 Tampak bahwa titik (0, 0) memenuhi pertidaksamaan tersebut sehingga daerah yang memuat titk (0, 0) dan dibatasi oleh garis-garis persamaan adalah salah satu himpunan penyelesaian. Kemudian dilakukan test untuk titik yang terletak pada daerah lain yang dibatasi oleh garisgaris persamaan.

6

Penerapan Dalam Masalah Real

Pemakaian aljabar khususnya aljabar dalam kehidupan sehari-hari antara lain untuk mencari bentuk umum suatu permasalahan atau pemodelan, dengan membuat suatu model maka akan diketahui penyelesian-penyelesaiannya sesuai dengan yang diinginkan. Beberapa contoh masalah yang termasuk dalam bidang aljabar adalah: 16

1. Sebuah tanah berbentuk persegi panjang dengan luas 2400 meter persegi akan dibuat taman bunga. Sepanjang keliling taman ditanami rumput dengan lebar 5m. Jika keliling taman bagian yang tidak ditanami rumput adalah 160 m. Berapa ukuran panjang dan lebar tanah tersebut. 2. Diberikan data lulusan SMP untuk 10 tahun berturut-turut. bagaimana mengestimasi lulusan SMP pada 5 tahun kedepan? 3. Seorang peternak ayam mempunyai 60 ekor ayam. Setiap hari mendapatkan paling sedikit 45 butir telur. Setiap hari dia membeli paling banyak 20 kg jagung untuk makanan ayam. Telur ayam dijual satu butir Rp 300,-, sedangkan harga jagung 2000 rupiah perkilogram. Berapa telur yang harus dihasilkan supaya peternak tersebut mendapat keuntungan. 4. Kita tahu bahwa CO2 terdapat diudara. CO2 ini berasal dari asap kendaraan bermotor dan polusi dari industri, pembakaran hutan dll. CO2 tidak baik untuk kesehatan. Oleh karena itu perlu diketahui konsentrasi CO2 pada suatu daerah. Misalkan dari penelitian diketahui konsentrasi CO2 untuk beberapa tahun yaitu th 1965 sebesar 319.9 ppm, tahun 1970 sebesar 325.3 ppm, th 1980 sebesar 338.5 dan tahun 1990 sebesar 354 ppm. Permasalahan: Tentukan fungsi yang mempresentasikan data-data tersebut Berapa konsentrasi CO2 pada tahun 2000, 2005 dan 2010 Pada tahun berapa konsentrasi CO2 = 360 ppm 5. Setiap mobil mempunyai tingkat efisiensi bahan bakar yang berbedabeda. Setiap waktu mobil terbaru mempunyai tingkat efisiensi yang lebih baik dari sebelumnya. Misalkan rata-rata efisiensi bahan bakar mobil (jml mil per galon) adalah sebagai berikut (1940,14.8), (1950,13.9), (1960,13.4), (1970,13.5), (1980,15.5), 1986,18.3), (1991,21.7) Permasalahan: Tentukan model tingkat efisiensi bahan bakar Bagaimana tingkat efisiensi pada tahun 1990 dan 1995 Kapan terjadi tingkat efisiensi=25 Untuk dua masalah terakhir merupakan pemakaian grafik untuk memodelkan tingkat polusi udara dan tingkat efisiensi bahan bakar. Langkahlangkah untuk menyelesiakan permasalahan antara adalah: • Plot data 17

• Tentukan bentuk grafik yang sesuai • Tentukan persamaan yang sesuai. Dalam hal ini bisa berupa persamaan linear, persamaan kuadratik atau yang lainnya. Disini perlu dipilih kasus/permasalahan dengan bentuk persamaan linear atau kuadratik. • Tentukan koefisien dari persamaan tersebut. Untuk menentukan koefisien dari persamaan tersebut maka dipilih 2 atau 3 nilai pasangan koordinat (x, y) yang dimasukkan kedalam sistem persamaan linear atau kuadratik. Dengan memasukkan nilainilai tersebut maka akan terbentuk sistem persamaan linear dua variabel (untuk persamaan linear) atau tiga variabel (untuk persamaan kuadratik). • Prediksi untuk waktu yang akan datang. Setelah koefisien diperoleh maka bentuk umum persamaan (fungsi) juga akan diperoleh. Berdasarkan bentuk umum tersebut akan diprediksi konsentrasi polusi udara atau efisiensi bahan bahan untuk waktu yang diinginkan.

7

Soal-soal 1. Nilai x yang memenuhi persamaan

x−3 2

=

2. Himpunan penyelesaian dari 14 (x − 3) −

1 3

2x+4 5

<

adalah ...

3x−4 5

adalah...

3. Untuk pertidaksamaan 3x + 5 ≤ 5x + 2, nilai x adalah... 4. Pemfaktoran bentuk 16x4 − 36y 4 adalah... 5. Bentuk sederhana dari

2x2 +x−3 16x4 −81

adalah...

6. Diberikan A = 2, 3, 4, 5 dan B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 suatu pemetaan g dari A ke B yang ditentukan oleh g(x) = 2x − 1.

18

a. Daerah asal dari g adalah ... b. Daerah hasil dari g adalah... 7. Diketahui fungsi kuadrat ditentukan oleh f (x) = x2 + 6x − 3, x ∈ R maka titik balik dari fungsi tersebut adalah... 8. Jika diberikan fungsi g(x) = ax2 + bx + c dengan g(3) = 3, g(1) = −1, g(0) = 3 maka nilai a, b, c masing-masing adalah ... 9. Sederhanakan a.

b.

1 x x y

− −

1 y y x

15 − x − 6x2 − 25 9x2

10. Persamaan garis yang melalui titik P (−2, 4) dan Q(5, −3) adalah 11. Tuliskan persamaan garis yang tegak lurus dengan garis y = 3x + 2 dan melalui titik (4, 5) 12. Arsirlah tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi (x, y)| − 2 ≤ y ≤ 4, −1 ≤ x ≤ 5 13. Atik dan Tuti bekerja pada sebuah konveksi pakaian. Atik dapat membuat 4 baju dalam satu hari, sedangkan Tuti membuat 5 baju dalam sehari. Jumlah waktu kerja mereka adalah 12 hari untuk menyelesiakan 53 buah baju. Tentukan masing-masing lama mereka bekerja (dalam hari). 14. Daerah hasil dari fungsi f (x) = 5x + 3 untuk x ∈ [1, 5] adalah .... 15. Daerah hasil untuk fungsi f (x) = −2x + 10 untuk x bilangan bulat positif yang kurang dari 10 adalah...

19

8

Penutup

Modul ini ditulis berdasarkan pada beberapa literatur buku SMP dan modul dari MGMP Matematika SMP Yogyakarta, oleh karena itu kami ucapkan banyak terima kasih. Modul ini masih jauh dari sempurna masih perlu diskusi dan masukan untuk perbaikan modul. Meskipun demikian kami berharap modul ini dapat dipergunakan sebagai bahan diskusi dalam pengajaran Matematika SMP khususnya bidang aljabar.

References [1] Adinawan, MC.dan Sugijono,1999, Seribu Pena Matematika SLTP Kelas 2, Erlangga [2] Modul Algabar, PPPG Matematika SMp Yogyakarta [3] Schaufele and Zumoff, 1995, Earth Algebra, Harper Collines College Publishers [4] Tim Studi guru SMP, 2006, Soal-Soal Uji Kompetensi Matematika SMP, Pustaka Setia

20