MODULE : ARBEID EN ENERGIE

CONSTRUCTIEMECHANICA 4 CTB3330

MODULE : ARBEID EN ENERGIE

HANS WELLEMAN

Civiele Techniek TU-Delft

Datum, 7 Maart 2014

CTB3330 : Arbeid en Energie

INHOUDSOPGAVE 1

INLEIDING ...................................................................................................................... 1 1.1 1.2

2

ARBEID EN ENERGIE .................................................................................................. 2 2.1 2.2 2.3

2.4 2.5 2.6 3

ARBEID VERRICHT DOOR EEN KRACHT ........................................................................ 2 ARBEID VERRICHT DOOR EEN KOPPEL ......................................................................... 2 ASSENSTELSEL EN EENHEDEN ..................................................................................... 3 ARBEID EN VERVORMING, DE WET VAN CLAPEYRON................................................... 3 VIRTUELE ARBEID....................................................................................................... 4 WEDERKERIGHEID, THEOREMA VAN BETTI EN DE WET VAN MAXWELL ...................... 8

VERVORMINGSENERGIE......................................................................................... 11 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10

4

OVERZICHT VAN DE ONDERWERPEN ............................................................................ 1 VERANTWOORDING ..................................................................................................... 1

EXTENSIE .................................................................................................................. 11 AFSCHUIVING ............................................................................................................ 12 BUIGING .................................................................................................................... 13 WRINGING ................................................................................................................. 14 NORMAALSPANNING EN SCHUIFSPANNING ................................................................ 15 COMPLEMENTAIRE ENERGIE EN VERVORMINGSENERGIE ........................................... 16 VERVORMINGSENERGIE EN ARBEID ........................................................................... 17 ARBEIDSMETHODE MET BEHULP VAN EEN EENHEIDSLAST ......................................... 20 TOEPASSING, FORMULE VAN RAYLEIGH .................................................................... 24 VIRTUELE ARBEIDSVERGELIJKING VOOR VERVORMBARE LICHAMEN* ....................... 27

ARBEIDSTHEOREMA’S VAN CASTIGLIANO...................................................... 28 4.1 2E WET VAN CASTIGLIANO......................................................................................... 28 4.1.1 Toepassingen van de 2e wet van Castigliano ................................................... 29 4.1.2 Dummy belasting.............................................................................................. 32 4.1.3 Statisch onbepaalde constructies ..................................................................... 33 4.1.4 Minimale vormveranderingsenergie ................................................................ 34 4.2 1E WET VAN CASTIGLIANO......................................................................................... 36 4.3 SAMENVATTING VAN HOOFDSTUK 4.......................................................................... 37

5

ENERGIEFUNCTIES EN BENADERINGEN ........................................................... 38 5.1 ENERGIEFUNCTIE ...................................................................................................... 38 5.1.1 Potentiële energie van de belasting ................................................................. 39 5.1.2 Minimale potentiële energie............................................................................. 40 5.1.3 Generalisatie van het begrip minimale potentiële energie .............................. 41 5.1.4 Geldigheid ........................................................................................................ 41 5.1.5 Relatie met de wetten van Castigliano ............................................................. 41 5.1.6 Relatie tussen de virtuele arbeidsvergelijking en het principe van minimum potentiële energie* ............................................................................................................ 44 5.2 BENADERINGSOPLOSSINGEN ..................................................................................... 45 5.2.1 Constructies op extensie................................................................................... 45 5.2.2 Constructies op buiging ................................................................................... 47

6

LITERATUURVERWIJZINGEN ............................................................................... 50

7

BIJLAGEN ..................................................................................................................... 51

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

ii


1 INLEIDING In de toegepaste mechanica is tot nu toe gebruik gemaakt van directe oplossingsmethoden voor het bepalen van de krachtsverdeling en de vervormingen in constructies. Zo is inmiddels kennis gemaakt met : • •

•

Bepalen van de krachtsverdeling op basis van het evenwicht voor statisch bepaalde constructies Bepaling van het vervormingsgedrag met behulp van de gereduceerde momentenlijn en/of het oplossen van de differentiaalvergelijking voor buiging met daaruit voortvloeiend het gebruik van vergeet-mij-nietjes. Bepaling van de krachtsverdeling in statisch onbepaalde constructies met behulp van de evenwichtsvergelijkingen en vormveranderingsvoorwaarden.

Naast deze gebruikelijke methoden bestaan er nog alternatieve methoden die gebaseerd zijn op arbeid en energie. Deze methoden staan bekend onder de verzamelnaam arbeidsmethoden en energieprincipes. Voor een goed begrip van deze methoden is het noodzakelijk dat de lezer bekend is met eerder genoemde methoden. Hiervoor wordt verwezen naar de standaard leerboeken van Hartsuijker en Welleman[3a] [3b]. Hoewel de arbeidsmethoden in de beroepspraktijk verdrongen zijn door de introductie van de eindige-elementenmethode is met de komst van symbolische algebra-computerapplicaties zoals o.a. MAPLE het een stuk eenvoudiger geworden om arbeidsmethoden toe te passen. Tal van voorbeelden in dit dictaat zijn dan ook eenvoudig met o.a. MAPLE op te lossen.

1.1 Overzicht van de onderwerpen Voordat gebruik gemaakt kan worden van deze methoden worden in hoofdstuk 2 kort de begrippen arbeid en virtuele arbeid geïntroduceerd. Met het begrip virtuele arbeid wordt ook een oplossingsprincipe geïntroduceerd waarmee de krachtsverdeling in statisch bepaalde constructies kan worden bepaald. Vervolgens zal in hoofdstuk 3 ingegaan worden op het begrip vervormingsenergie waarmee in hoofdstuk 4 de arbeidstheorema’s van Castigliano worden afgeleid. In hoofdstuk 5 zal een meer algemene formulering worden gegeven die gebaseerd is op een energie-principe. Ook zal in dit hoofdstuk aandacht worden geschonken aan benaderingsmethoden. De paragrafen aangeduid met een asterix (*) behoren niet tot de tentamenstof.

1.2 Verantwoording Bij het tot stand komen van deze notitie is dankbaar gebruik gemaakt van het werk van andere auteurs [1, .., 9]. Met deze notitie wordt gepoogd om een samenhangende introductie te geven over het onderwerp arbeid en energie . De principes die hierbij worden geïntroduceerd kunnen (gedeeltelijk) worden toegepast bij het onderdeel invloedslijnen. Het dictaat is niet bedoeld als een uitputtende en theoretische verhandeling over Arbeid en Energie, het betreft hier een inleiding op BSc niveau waarbij zoveel mogelijk op een praktische wijze aansluiting wordt gezocht bij reeds bekende onderdelen uit de Basismechanica. Daarnaast hoop ik met deze opzet de gevestigde literatuur toegankelijk te maken voor de startende MSc student.

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

1


2 ARBEID EN ENERGIE Als een elastisch vervormbaar lichaam wordt belast door uitwendige krachten dan wordt door de belasting arbeid verricht. Immers de kracht veroorzaakt een verplaatsing. Waar blijft deze arbeid? In het lichaam zullen vervormingen optreden waardoor de door de uitwendige belasting verrichte arbeid in het materiaal omgezet zal worden vervormingsenergie. Als de belasting wordt weggenomen zal het lichaam terugkeren naar de oorspronkelijke vorm. In dit hoofdstuk zal naar de relatie tussen arbeid en energie worden gekeken.

F u

2.1 Arbeid verricht door een kracht De begrippen arbeid en energie zijn min of meer synoniem. Arbeid is in een scalaire aanpak het product van kracht en geassocieerde verplaatsing. Hiermee wordt bedoeld de verplaatsing in de richting van de kracht. Met een vectorbeschouwing is arbeid gelijk aan het inproduct van de krachten verplaatsingsvectoren. In figuur 2.1 is dit weergegeven. F

uF

Arbeid :

A = F × uF of

A = F iu

u

Figuur 2.1 : Arbeid verricht door een kracht.

Uiteraard kan de arbeid ook negatief zijn. In dat geval werken kracht en geassocieerde verplaatsing elkaar tegen. Duidelijk is dat een verplaatsing loodrecht op de kracht geen aandeel levert in de toename van de arbeid.

2.2 Arbeid verricht door een koppel Ook koppels kunnen arbeid leveren. In figuur 2.2 is een kracht en een koppel gegeven waarbij de constructie t.o.v. het aangegeven punt alleen een rotatie ondergaat. F a

T

F

ϕ ϕ

Figuur 2.2 : Arbeid verricht een koppel

u

Het koppel T en de kracht F op een constructie kunnen vervangen worden gedacht door enkel de kracht op een zekere afstand a. In de figuur is dit aangegeven. De arbeid die deze kracht verricht voor een kleine hoekverdraaiing is t.o.v. het beschouwde punt gelijk aan: T u A = F × u = × u = T × = T ×ϕ a a Voor een moment of koppel wordt de geleverde arbeid dus gevonden door het product van het koppel met de hoek waarover de constructie, t.p.v. het koppel, verdraait. Hoewel hier niet aangetoond, geldt dit ook voor een grote hoekverdraaiing. Hierboven is er gemakshalve van uit gegaan dat de kracht verticaal verplaatst. Feitelijk juist is dit niet, immers het gaat hier om een koppel dus de kracht zal na verplaatsen ook roteren en dus steeds loodrecht op de arm t.o.v. het beschouwde punt blijven staan. Zodoende wordt de verplaatsing een cirkelsegment. Hiermee is dan ook de geldigheid aangetoond voor grote hoekverdraaiingen. Ga dat zelf met een schetsje na !

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

2


2.3 Assenstelsel en eenheden

ϕ

In dit dictaat zal hoofdzakelijk gebruik gemaakt worden van vlakke constructies in het x-z vlak. Het gehanteerde assenstelsel is in figuur 2.3 afgebeeld. De hoekverdraaiing om de y-as wordt aangeduid met ϕ. Daar waar geen assenstelsel is weergegeven, is of geen assenstelsel vereist, of is het x-z assenstelsel aangenomen. Als krachteenheid wordt gebruik gemaakt van [kN], lengte eenheden zijn in [m].

x-as

z-as Figuur 2.3 : Assenstelsel

2.4 Arbeid en vervorming, de wet van Clapeyron Als op een elastisch lichaam arbeid wordt verricht, dan zal dit lichaam willen vervormen. Bij het vervormen wordt in feite de toename van de arbeid op het lichaam omgezet in vervormingsenergie. Vervormingsenergie en arbeid zijn qua eenheid dus gelijkwaardige grootheden en worden uitgedrukt in [J = joule = newton × meter]. Aan de hand van een lineair elastisch (LE) voorbeeld kan dit worden geïllustreerd. Hiervoor wordt gekozen voor een veer die belast wordt door een kracht F. Zie hiervoor figuur 2.4. F=0

kracht

F

F = k ×u

u F

u onbelaste toestand

du

indrukking

belaste toestand veerkarakteristiek

Figuur 2.4 : Arbeid en vervormingsenergie

Als de kracht langzaam opgebouwd wordt dan volgt de veer de veerkarakteristiek. Hiermee wordt een lineair verband aangeduid tussen kracht en verplaatsing. De op de veer uitgeoefende kracht verricht voor een kleine toename van de indrukking du van de veer een arbeid : dA = F × du Deze toename van de arbeid wordt in de elastische veer ‘opgeslagen’ in de vorm van vervormingsenergie Ev. Deze energie kunnen we als volgt noteren:  F  Fd F dE v = F × du = F × d   = k k De totale vervormingsenergie is de som van alle aandelen over het aangroeien van de kracht. Dit levert: F

F

F

F

F 1 1 F2 E v = ∫ dE v = ∫ dF = ∫ FdF = 12 F 2 = k k0 k 2k 0 0 0 De vervormingsenergie is gelijk aan het oppervlak onder de veerkarakteristiek. Dit is voor een lineair elastische veer tevens gelijk aan: F2 1 E v = 12 F × u = = k ×u2 2k 2 Van deze uitdrukkingen voor de vervormingsenergie zal veelvuldig gebruik worden gemaakt. © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

3

CTB3330 : Arbeid en Energie Het directe verband tussen arbeid en vervormingsenergie wordt ook wel het theorema van B.P.E. Clapeyron (1799-1864) genoemd. De door de uitwendige belasting verrichte arbeid moet echter wel betrekking hebben op een compatibel verplaatsingsveld, een verplaatsingsveld dat o.a. voldoet aan de randvoorwaarden van de constructie. Hier wordt later op teruggekomen. Een toepassing van de wet van Clapeyron op een LE-ligger die belast wordt met gelijktijdig en geleidelijk aangroeiende krachten is weergegeven in figuur 2.5. De hoeveelheid arbeid die als vervormingsenergie moet worden opgenomen is:

F1

F2

u1

u2

F3

u3

A = 12 F1u1 + 12 F2 u2 + 12 F3u3 = ∑ 12 F i ui Figuur 2.5 : Ligger belast met gelijktijdig geleidelijk aangroeiende krachten

2.5 Virtuele Arbeid Naast het begrip arbeid bestaat er ook het begrip virtuele arbeid. Indien de kracht constant wordt gehouden en we in gedachten een kleine verplaatsing kiezen dan kan de toename van de arbeid worden geschreven als:

δA = F × δu Hierin is het δu de virtuele verplaatsing. Als we dit betrekken op een puntdeeltje zoals is weergegeven in figuur 2.6 belast door ruimtelijke krachten, dan kunnen we ook de som nemen van diverse bijdragen aan de virtuele arbeid.

y

δA = ∑ Fiδui

x

In gedachten kunnen we ons echter ook voorstellen dat we de krachten en de geassocieerde virtuele verplaatsingen ontbinden in de drie as-richtingen. Hierdoor ontstaat voor de virtuele arbeid :

z Figuur 2.6 : Puntdeeltje

δA = δu x ∑ Fx + δu y ∑ Fy + δuz ∑ Fz In deze vergelijking zitten echter de drie evenwichtsvergelijkingen verstopt die moeten gelden voor het evenwicht van het puntdeeltje :

∑F

x

=0

∑F

y

=0

∑F

z

=0

Dit betekent dus ook dat de arbeid tengevolge van ieder kinematisch toelaatbaar virtueel verplaatsingsveld gelijk moet zijn aan nul. Dit wordt het principe van virtuele arbeid genoemd. In feite is dit een andere schrijfwijze voor het evenwicht.

δ A = δ ux ∑ Fx + δ u y ∑ Fy + δ uz ∑ Fz = 0

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

4

CTB3330 : Arbeid en Energie Ook voor starre lichamen geldt het principe van virtuele arbeid. Extra element bij een star lichaam is dat naast een translatie in x, y en z-richting het lichaam ook kan roteren om de x-, y-, en z-as. Een star lichaam heeft daarmee zes vrijheidsgraden. Een puntdeeltje heeft er slechts drie. Een kracht F die op een star lichaam werkt zal nu niet alleen arbeid verrichten t.g.v. de translaties die het lichaam ondervindt maar ook t.g.v. de verplaatsingen door de rotaties van het lichaam. Om e.e.a. te verduidelijken wordt een star lichaam bekeken in het platte vlak. In dit geval kent het lichaam drie graden van vrijheid; een horizontale en verticale verplaatsing en een rotatie om de as loodrecht op het vlak van tekening. FyP

y

P

yp uy

ϕ ux

FxP

α

O

x

xp

Figuur 2.7 : Star lichaam

Als we aannemen dat de verplaatsingen van het lichaam worden beschreven t.p.v. de oorsprong O dan zijn daar drie (gegeneraliseerde) verplaatsingen gegeven als: ux, uy verplaatsing in x-richting en in y-richting ϕ rotatie om de z-as Punt P(xp,yp) is een punt op het starre lichaam waar een kracht aangrijpt. Deze kracht kan worden ontbonden in een component in resp. de x- en de y-richting zoals in de figuur is aangegeven. Door de aangegeven verplaatsing in O zal punt P verplaatsingen in horizontale en verticale richtingen ondergaan waardoor de aangegeven componenten van de kracht in P arbeid zullen verrichten. Om de uitdrukking voor deze arbeid te vinden is het noodzakelijk eerst de verplaatsingen in P nader te bekijken. P’

r×ϕ

ϕ

y

α

O’ yp r

ay

uy

P

r×ϕ

α

α ax

O

xp

ux

x b) verplaatsing van P t.g.v. alleen de rotatie

a) verplaatsing van P

Figuur 2.8 : Verplaatsing t.g.v. een rotatie

Voor kleine rotaties mag de lengte van het boogsegment gelijk gesteld worden aan de hypotenusa zoals in figuur 2.8b is aangegeven. © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

5

CTB3330 : Arbeid en Energie Punt P verplaatst naar P’ volgens: uxP = ux − ax = ux − (r × ϕ )sin α = ux − (r × ϕ ) u yP = u y + ay = u y + (r × ϕ ) cos α = uy + (r × ϕ )

yP r xP

= ux − ϕ yP

= u y + ϕ xP r Dit resultaat houdt in dat een punt van een star lichaam t.g.v. kleine rotaties ten opzichte van het draaipunt O , afgezien van het teken: • •

een horizontale verplaatsing ondergaat welke gelijk is aan de rotatie × de verticale afstand tot het draaipunt een verticale verplaatsing ondergaat die gelijk is aan de rotatie × de horizontale afstand tot het draaipunt

Voor de verplaatsing t.p.v. de aangrijpende krachten geldt in het beschouwde assenstelsel:

uxP = ux − ϕ yP uyP = uy + ϕ xP Voor de arbeid die een kracht in P verricht t.g.v. een translatie en een kleine rotatie in O van het starre lichaam ontstaat de volgende uitdrukking:

A = F × u = FxP × uxP + FyP × u yP = FxP × (ux − ϕ yP ) + FyP × (u y + ϕ xP ) = FxP × ux + FyP × u y + ( FyP xP − FxP yP ) × ϕ De laatste term in deze vergelijking is juist gelijk aan de momentensom T om O t.g.v. de kracht in P, zie figuur 2.7:

∑T

O

= FyP xP − FxP yP

In het geval het virtuele verplaatsingen betreft zal deze vergelijking overgaan in de virtuele vergelijking voor de arbeid. Voor meerdere krachten aangrijpend in punten i van het starre lichaam kunnen we voor de virtuele arbeidsvergelijking vinden:

δ A = δ ux × ∑ Fxi + δ uy ∑ Fyi + δϕ × ∑ ( Fyi xi − Fxi yi ) i

i

i

= 0, momentenevenwicht in het xy-vlak =0, verticaal krachtenevenwicht = 0, horizontaal krachtenevenwicht In deze uitdrukking herkennen we de drie evenwichtsvergelijkingen voor een star lichaam in het x-y-vlak. Om aan het evenwicht te voldoen moet de virtuele arbeidsvergelijking gelijk zijn aan nul.

δA=0

( principe van virtuele arbeid )

Als voorbeeld wordt hieronder een statisch bepaalde constructie beschouwd waarvan de krachtsverdeling wordt bepaald met behulp van het principe van virtuele arbeid1. 1

Een uitgebreide verhandeling over virtuele arbeid kan worden gevonden in hoofdstuk 15 van [3a].

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

6


Voorbeeld 1 : Krachtverdeling in een statisch bepaalde ligger met behulp van het principe van virtuele arbeid In figuur 2.9 is een ingeklemde ligger met een scharnier weergegeven. Gevraagd wordt om de krachtsverdeling in de ligger te bepalen m.b.v. het principe van virtuele arbeid. 50 kN

5 kN/m

A

B 2,5 m

x-as

3,5 m

z-as

Figuur 2.9 : Voorbeeld 1

Voor het oplossen van dit probleem wordt eerst van de constructie een mechanisme gemaakt. Het gekozen mechanisme moet zodanig zijn dat de nog te bepalen oplegreactie arbeid verricht. In dit voorbeeld kan, door bij de inklemming een scharnier aan te nemen, een mechanisme worden verkregen waarbij het inklemmingsmoment virtuele arbeid zal verrichten bij een aangenomen kinematisch mogelijke virtuele verplaatsing. In figuur 2.10 is dit weergegeven. 50 kN

5 kN/m

T

x-as

δu

δθ1 z-as

2,5 m

Figuur 2.10

δθ2 3,5 m

: Voorbeeld 1, mechanisme

De virtuele verplaatsing δu levert de volgende virtuele arbeidsvergelijking:

δA = −Tδθ1 + 50δu + 5 × 2,5 × 12 δu + 5 × 3,5 × 12 δu Merk hierbij op dat de gelijkmatig verdeelde belasting in twee delen is geknipt en dat de virtuele arbeid van elk deel afzonderlijk is bepaald. De gelijkmatig verdeelde belasting heeft op ieder deel een gemiddelde verplaatsing die gelijk is aan de helft van δu.

De virtuele hoekverdraaiingen liggen vanwege de geometrie uiteraard vast:

δθ 1 =

δu

en δθ 2 =

2,5

δu 3,5

Als dit wordt ingevuld in de vergelijking voor de virtuele arbeid ontstaat:

δA = −T

δu 2,5

+ 50δu + 5 × 2,5 × 12 δu + 5 × 3,5 × 12 δu

 −T  + 50 + 6,26 + 8,75   2,5 

δA = δu × 

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

7

CTB3330 : Arbeid en Energie Deze virtuele arbeid moet nul zijn voor iedere mogelijke virtuele verplaatsing δu. Hieruit volgt:  −T  δA = 0 ⇒  + 50 + 6,26 + 8,75  = 0  2,5  T = 162,5 kNm Met dit inklemmingsmoment kunnen vervolgens de oplegreacties worden bepaald. Ga zelf na dat de oplegreactie links 71,25 kN ↑ en rechts 8,75 kN ↑ groot is. Een andere aanpak is natuurlijk ook mogelijk. In figuur 2.11 is het mechanisme getekend dat nodig is om de verticale oplegreactie BV t.p.v. het steunpunt B te bepalen. 50 kN

5 kN/m

x-as

δu 2,5 m

3,5 m

BV

z-as Figuur 2.11 : Mechanisme voor het bepalen van R

Opdracht : Stel zelf de virtuele arbeidsvergelijking op en controleer de gevonden oplegreactie met het eerder gevonden antwoord.

2.6 Wederkerigheid, theorema van Betti en de wet van Maxwell Bij het belasten van een constructie verrichten de uitwendige krachten arbeid. Stel dat een ligger belast wordt met twee puntlasten die na elkaar op de constructie worden geplaatst. Eerst wordt de linker puntlast langzaam aangebracht tot de eindwaarde Fa is bereikt. Vervolgens wordt de rechter puntlast aangebracht. Ook deze kracht laten we langzaam aangroeien van 0 tot de eindwaarde Fb. In figuur 2.12 is dit in de linker illustratie weergegeven.

Fa

Fb

uaa

Fa

uba ubb

Fb uab

ubb

uaa

uba

uab Figuur 2.12 : Wederkerigheid

De verplaatsingen zijn aangegeven met als eerste index de plaats van de verplaatsing en als tweede index de plaats van de belasting. Een verplaatsing uab is dus een verplaatsing in A t.g.v. een belasting in punt B. De arbeid die de puntlasten in het linker systeem verrichten bedraagt: A = 12 Fa × u aa + 12 Fb × u bb + Fa × u ab Merk op dat de belasting in A reeds volledig is aangegroeid voor het aanbrengen van de belasting in B. De kracht Fa blijft tijdens het aangroeien van Fb constant.

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

8

CTB3330 : Arbeid en Energie Vervolgens draaien we de volgorde van belasten om. Eerst wordt de kracht in B aangebracht en vervolgens die in A. Dit is weergegeven in de rechter figuur van figuur 2.12. De arbeid die de puntlasten in het rechter systeem verrichten bedraagt: A = 12 Fb × u bb + 12 Fa × u aa + Fb × u ba In de eindsituatie is uiteraard niet meer waarneembaar in welke volgorde de belasting is aangebracht. De arbeid die verricht wordt moet dus voor de beide systemen gelijk zijn. Dit levert: Fa uab = Fb uba Deze uitdrukking staat bekend als het theorema van Betti. We voeren nu het begrip invloedsfactor in waarmee de verplaatsing t.g.v. een last wordt vastgelegd. uaa = caa Fa

uab = cab Fb

uba = cba Fa

ubb = cbb Fb

Ook deze invloedsfactoren worden voorzien van een dubbele index, de eerste voor de plaatsaanduiding en de tweede voor de krachtsaanduiding. Als we deze invloedsfactoren substitueren in het gevonden resultaat dan ontstaat: Fa cab Fb = Fb cba Fa cab = cba Hier staat in feite niets anders dan dat de verplaatsing in A t.g.v. een eenheidskracht in B gelijk is aan de verplaatsing in B t.g.v. een eenheidskracht in A. Dit staat ook bekend als de wederkerigheidswet van Maxwell. De totale verplaatsing in A en B kan hiermee ook geschreven worden als : ua = uaa + uab = caa Fa + cab Fb ub = uba + ubb = cba Fa + cbb Fb Door Maxwell toe te passen (cab = cba) en over te gaan op matrix-notatie ontstaat:

ua  caa  = ub   cab

cab   Fa    cbb   Fb 

Deze relatie staat bekend als de flexibiliteitsrelatie.

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

9

CTB3330 : Arbeid en Energie De wederkerigheidswet van Maxwell is hier afgeleid m.b.v. krachten en hierdoor ontstane verplaatsingen. De wet blijft echter niet beperkt tot alleen krachten. De krachtenvector mag ook bestaan uit koppels en de verplaatsingsvector mag ook bestaan uit hoekverdraaiingen. In dat geval ontstaat de symmetrische matrix :

u a  c11 ϕ  c  a   12  =  u b  c13 ϕ b  c14

c12 c 22 c 23 c 24

c13 c 23 c33 c 34

c14   Fa  c 24  Ta    c34   Fb   c 44  Tb 

Uit deze relatie blijken nog twee opvallende wederkerigheden: • •

De verplaatsing in A t.g.v. een eenheidsmoment in A is gelijk aan de hoekverdraaiing in A t.g.v. een eenheidskracht in A. De verplaatsing in A t.g.v. een eenheidsmoment in B is gelijk aan de hoekverdraaiing in B t.g.v. een eenheidskracht in A.

Van deze eigenschappen zal verderop gebruik worden gemaakt. AANVULLENDE OPMERKING De inverse van de flexibiliteitsrelatie wordt de stijfheidsrelatie genoemd. Deze kunnen we schrijven als : −1

 Fa  c aa c ab  u a  1  cbb  =   =   Fb  c ab cbb  u b  det − c ab 2 det = caa cbb − cab

− c ab  u a    c aa  u b 

Deze stijfheidsrelatie kunnen we ook schrijven als :

 Fa  k aa  =  Fb  k ab

k ab  ua    k bb  ub 

De stijfheidstermen zijn uit te drukken in de invloedsfactoren:

k aa =

cbb 2 caa cbb − cab

k ab = − k bb =

cab 2 caa cbb − cab

caa 2 caa cbb − cab

Deze stijfheidsmatrix is dus ook een symmetrische matrix. Zonder hier verder in te gaan op de bewijsvoering wordt hier opgemerkt dat de determinant van de flexibiliteitsmatrix positief is waardoor de stijfheidstermen op de hoofddiagonaal altijd positief zijn. Aangetoond kan worden dat de eigenwaarden van deze matrix allen positief en ongelijk zijn aan nul. We spreken daarom ook van een positief definiete stijfheidsmatrix.

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

10


3 VERVORMINGSENERGIE In dit hoofdstuk zal gekeken worden naar de vervormingsenergie voor de volgende basisgevallen:

• • • •

Extensie Afschuiving Buiging Wringing

Bij deze basisgevallen is er sprake van gegeneraliseerde spanningen (snedekrachten) zoals een normaalkracht N, een dwarskracht V, een buigend moment M en een wringend moment Mw. Naast deze discrete basisgevallen zijn er ook spanningssituaties die kunnen worden beschouwd. De twee elementaire spanningssituaties die aan de orde zullen komen zijn :

• •

Normaalspanningen Schuifspanningen

3.1 Extensie Het basisgeval extensie is in figuur 3.1 weergegeven. We gaan uit van een elastisch materiaal. normaalkracht

εdx

N N

Opp= Ndε

N dx

ε Figuur 3.1 : Basisgeval extensie

rek

dε

De constitutieve vergelijking, het verband tussen de inwendige spanningsgrootheid (normaalkracht) N en de vervormingsgrootheid (rek) ε is weergegeven in het N-ε diagram. Het weergegeven mootje, met lengte dx is door toedoen van de aanwezige normaalkracht N een klein beetje uitgerekt. De rek ε is weergegeven in het kracht-rek diagram. Indien we de rek nu een klein beetje laten toenemen en deze kleine toename dε noemen dan is de hele kleine toename van de verlenging van het mootje: dl = dε dx Door deze kleine toename van de verlenging verandert de inwendige normaalkracht nauwelijks en kunnen we aannemen dat deze constant is. De arbeid die de normaalkracht nu verricht is: dA = N dl = N dε dx De arbeid per eenheid van lengte is gelijk aan: dA = N dε dx

Volgens Clapeyron wordt deze arbeid opgeslagen als vervormingsenergie. De toename van de vervormingsenergie wordt hiermee: dA dE v = = Ndε dx © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

11

CTB3330 : Arbeid en Energie Bij het bereiken van een zekere normaalkracht en rek is de totaal opgeslagen hoeveelheid vervormingsenergie per eenheid van lengte: ε

ε

o

o

E = ∫ dEv = ∫ Ndε * v

( per eenheid van lengte wordt aangeduid met een *)

Voor lineair elastisch materiaalgedrag kan gebruik worden gemaakt van de wet van Hooke: N = EAε Door dit te substitueren in de uitdrukking voor de vervormingsenergie verkrijgen we: ε

ε

E = ∫ EAε dε =EA∫ εdε = EA 12 ε 2 * v

0

ε 0

= 12 EAε 2

0

Vanwege de lineair elastische relatie kan de vervormingsenergie ook worden uitgedrukt in de spanningsgrootheid. Deze wordt met Ec aangeduid als complementaire energie: N2 * * Ev = Ec = 2 EA Merk op dat deze uitdrukking sterk lijkt op de eerder gevonden uitdrukking voor de vervormingsenergie in een veer. De staaf, met een constante normaalkracht, met lengte l en rekstijfheid EA mag worden geschematiseerd tot een veer met veerstijfheid k. l

l

N2 N 2l N 2 Ec = ∫ E dx = ∫ dx = = 2 EA 2 EA 2k 0 0 * c

met : k =

EA l

Dit resultaat is inderdaad gelijk aan het eerder gevonden resultaat voor de veer.

3.2 Afschuiving Bij afschuiving is de gegeneraliseerde spanning de dwarskracht V. De vervormingsparameter is de afschuifvervorming γ (gamma). In figuur 3.2 is dit weergegeven. dwarskracht

V

V

Opp= Vdγ

V

γ γodx γ

dx

dγ

afschuifvervorming

Figuur 3.2 : Basisgeval afschuiving

Met een identieke afleiding als bij het basisgeval extensie kan worden aangetoond dat voor de vervormingsenergie per eenheid van lengte geschreven kan worden: γ

γ

E v* = ∫ dE v = ∫ Vdγ o

o

In het lineair elastische geval geldt een lineair verband tussen de dwarskracht en de afschuifvervorming: V = GAsγ Hierin is G de glijdingsmodulus van het materiaal en As het effectieve oppervlak voor de dwarskracht. © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

12

CTB3330 : Arbeid en Energie Opmerking: Dit oppervlak As is niet gelijk aan het oppervlak A van de dwarsdoorsnede aangezien we ervan uit gaan dat de afschuifvervorming over de hoogte van de doorsnede constant is, zie figuur 3.2. Dit houdt in dat dan ook de schuifspanningsverdeling over de hoogte constant moet zijn. Immers we gaan uit van lineair elastisch materiaalgedrag. Voor een rechthoekige doorsnede echter is de werkelijke schuifspanningsverdeling parabolisch. Om deze tekortkoming te compenseren wordt gerekend met een effectief oppervlak. Voor een rechthoekige doorsnede wordt voor het effectieve oppervlak aangehouden :

As =

A 1,2

Het bewijs hiervoor wordt gegeven in bijlage A.

De vervormingsenergie kan nu geschreven worden als: γ

γ

E v* = ∫ V dγ = ∫ GAs γdγ = GAs 12 γ 2 0

γ 0

= 12 GAs γ 2

0

Uiteraard kan ook nu deze vervormingsenergie worden geschreven als complementaire energie uitgedrukt in termen van de spanningsparameter: V2 Ec* = 2GAs

3.3 Buiging In het geval van buiging hebben we te maken met een buigend moment M als gegeneraliseerde spanning en een kromming κ (kappa) als vervormingsparameter. In figuur 3.3 is dit weergegeven moment

dϕ = κdx M M

Opp= Mdκ

M

κ

dx

kromming

dκ

Figuur 3.3 : Basisgeval buiging

Ook hier kan dezelfde procedure worden doorlopen. De vervormingsenergie kan worden geschreven als: κ

κ

o

o

E v* = ∫ dEv = ∫ Mdκ In het lineair elastische geval geldt een lineair verband tussen het moment en de kromming : M = EIκ Hierin is EI de buigstijfheid van de dwarsdoorsnede. De vervormingsenergie kan nu worden geschreven als: κ

E v* = ∫ EIκ dκ = 12 EIκ 2 0

Uiteraard kan deze vervormingsenergie ook worden geschreven als complementaire energie uitgedrukt in termen van de spanningsgrootheid M: M2 Ec* = 2 EI

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

13


3.4 Wringing Voor het basisgeval wringing hebben we te maken met het wringend moment Mw in een op wringing belaste doorsnede als gegeneraliseerde spanning. De specifieke verwringing θ (theta) is de vervormingsparameter. Dit is weergegeven in figuur 3.4. wringend moment

Mw

Mw Opp= M w dθ

Mw dx

verwringing

θ

θ dx

dθ

Figuur 3.4 : Basisgeval wringing Opmerking Wringing lijkt verdacht veel op extensie en afschuiving. De specifieke verwringing is in feite de mate waarin opeenvolgende doorsneden ten opzichte van elkaar verdraaien of verwringen. Net als bij het basisgeval extensie waar een verlenging wordt gedeeld door de oorspronkelijke lengte om de specifieke verlening (rek) te verkrijgen wordt bij wringing de verwringing gedeeld door de afstand waarover deze plaats vindt. Deze genormeerde verwringing noemen we de specifieke verwringing.

Door het eerder gevolgde recept te doorlopen kan de vervormingsenergie worden geschreven als: θ

θ

o

o

E v* = ∫ dEv = ∫ M w dθ In het lineair elastische geval geldt een lineair verband tussen het wringend moment en de specifieke verwringing: M w = GI wθ Hierin is GIw de wringstijfheid van de doorsnede. De vervormingsenergie kan nu worden geschreven als: E v* = 12 GI wθ 2 Uiteraard kan de vervormingsenergie ook worden geschreven als complementaire energie uitgedrukt in termen van de spanningsparameter: M w2 * Ec = 2GI w De behandeling van wringing komt uitgebreider aan de orde bij de mechanicaonderdelen in de MSc-fase.

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

14


3.5 Normaalspanning en schuifspanning In de voorgaande paragrafen is gekeken naar een aantal basissystemen in de mechanica. Allen hadden betrekking op snedekrachten. Dit is uiteraard zo gekozen omdat arbeid gedefinieerd is als het product van kracht en afgelegde weg of verplaatsing. Als we kijken naar een spanningssituatie ligt dit iets anders. Spanningen kunnen geen evenwicht maken, krachten wel. Zo geldt ook dat spanningen geen arbeid leveren, krachten kunnen dat wel. Uiteraard kunnen we wel een spanning uitdrukken in een kracht als we het oppervlak waarop de kracht werkt kennen. Hiervan is in het voorgaande ook al gebruik gemaakt. In figuur 3.5 is deze situatie getekend voor een op extensie belast volume-elementje. spanning

σ Opp= σ dε N = Aσ

N = Aσ

εdx

A

ε

dx

rek

dε Figuur 3.5 : Basisgeval normaalspanning

De arbeid verricht door de inwendige kracht per eenheid van volume is gelijk aan de toename van de vervormingsenergie. Per eenheid van volume kan hiervoor worden geschreven: N × dε Aσdε dE v = = = σdε A A ε

E v* = ∫ σdε o

Als we uitgaan van een lineair elastisch materiaal dan geldt de wet van Hooke: σ = Eε Waarmee de vervormingsenergie kan worden geschreven als: Ev* = 12 Eε 2 Uiteraard kan in dit geval voor de complementaire energie ook worden geschreven: Ec* =

σ2 2E

De overeenkomst met de eerder gevonden resultaten is duidelijk. Voor schuifspanningen kan een identieke afleiding worden gevolgd. Toon zelf aan dat de vervormingsenergie per eenheid van volume t.g.v. schuifspanningen geschreven kan worden als: γ

E = ∫ τdγ * v

met τ = Gγ

o

En dat in geval er sprake is van lineair elastisch gedrag geldt: * v

* c

E =E =

© Ir J.W. Welleman

τ2 2G

= 12 Gγ 2 = 12 τγ

Maart 2014

15


3.6 Complementaire energie en vervormingsenergie In de hiervoor beschreven gevallen is steeds ter sprake gekomen dat de vervormingsenergie voor lineair elastische materialen op verschillende manieren kan worden geschreven. In de onderstaande tabel zijn deze resultaten verzameld. Tabel 1 : Vervormingsenergie voor lineair elastisch materiaalgedrag Spanningsgrootheid vervormingsgrootheid (complementair)

combinatie

Extensie

Ec* =

N2 2 EA

E v* = 12 EAε 2

E v* = 12 Nε

Afschuiving

Ec* =

V2 2GAs

E v* = 12 GAsγ 2

E v* = 12 Vγ

Buiging

Ec* =

M2 2 EI

E v* = 12 EIκ 2

E v* = 12 Mκ

Wringing

Ec* =

M w2 2GI w

E v* = 12 GI wθ 2

E v* = 12 M wθ

E v* = 12 Eε 2

E v* = 12 σε

E v* = 12 Gγ 2

E v* = 12 τγ

Normaalspanning Ec* =

Ec* =

Schuifspanning

σ2 2E

τ2 2G

In figuur 3.6 is voor extensie weergegeven wat de uitdrukkingen grafisch voorstellen. Het blauwe oppervlak onder de curve wordt de vervormingsenergie Ev genoemd, het rode oppervlak boven de curve, wordt de complementaire energie Ec genoemd.

σ

E c* = 12 σ ε = E v*

opp = ε dσ

σ opp = σ dε

dσ

E v* = 12 σ ε

ε

dε

ε

Figuur 3.6 : Vervormingsenergie voor lineair elastisch gedrag

Op het onderscheid tussen Ev en Ec wordt in hoofdstuk 5 dieper ingegaan, wel is in te zien dat moet gelden: E c + Ev = σ × ε

Voor een niet-lineair elastisch gedrag zijn de uitdrukkingen in de tweede en derde kolom van tabel 1 niet geldig. Immers het rode oppervlak is niet meer gelijk aan het blauwe oppervlak zoals in figuur 3.7 is weergegeven. σ

spanning

E = ∫ ε dσ * c

ε

E = ∫ σ dε * v

0

0

rek

Figuur 3.7 : Vervormingsenergie en complementaire energie

Voorlopig zal echter uitgegaan worden van een lineair elastisch gedrag waarbij de gevonden formules uit tabel 1 kunnen worden toegepast. © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

16


3.7 Vervormingsenergie en arbeid In paragraaf 2.3 is een relatie gelegd tussen de door de uitwendige belasting verrichte arbeid en de vervormingsenergie. Gevoelsmatig is wel aannemelijk dat alle door uitwendige krachten verrichte arbeid op een vervormbaar lichaam omgezet wordt in vervormingsenergie. In deze paragraaf zal iets genuanceerder naar deze gelijkheid worden gekeken. In figuur 3.8 wordt nogmaals naar de veer uit paragraaf 2.3 gekeken. inwendige kracht

F=0 F

N = k ×u

F

u

N N inwendige kracht

du onbelast

indrukking

belast veerkarakteristiek

Figuur 3.8 : Veer

Daarbij wordt nu ook gekeken naar de inwendige kracht N in de veer. De arbeid die wordt verricht door de uitwendige belasting F bij een kleine verplaatsing du is: dAuitw = Fdu Kracht en verplaatsing hebben dezelfde richting, de toename van de arbeid is dus positief. De inwendige kracht werkt de vervorming tegen, de normaalkracht N en de verplaatsing u zijn tegengesteld van teken en de arbeid verricht door deze inwendige kracht is daarom negatief : dAinw = − Ndu De som van de arbeid verricht door de uitwendige en de inwendige krachten is: dAuitw + dAinw = Fdu − Ndu = (F − N )du In feite staat in de bovenstaande vergelijking de som van alle verrichte arbeid ten gevolge van een kleine verplaatsing du. De eis dat deze som nul moet zijn voor iedere mogelijke virtuele verplaatsing du is identiek aan de evenwichtseis: dAuitw + dAinw = 0 F −N =0⇒ F = N Hieruit blijkt dat ook voor vervormbare lichamen geldt dat de virtuele arbeid gelijk is aan nul. Definitie: Een mechanisch systeem is in evenwicht als de som van alle arbeid verricht door zowel de uitwendige als de inwendige krachten gelijk is aan nul voor alle mogelijke virtuele verplaatsingen.

Van belang is om hier te vermelden dat deze definitie onafhankelijk is van het materiaalgedrag. Immers in de afleiding is alleen gebruik gemaakt van het begrip arbeid. In paragraaf 2.3 kwam al naar voren dat de toename van de in de veer opgeslagen vervormingsenergie kan worden geïnterpreteerd als de toename van door de uitwendige krachten verrichte arbeid. Als dit principe wordt toegepast dan geldt: dE v = dAuitw = −dAinw Hiermee is een verband gelegd tussen de vervormingsenergie en de door inwendig en uitwendig werkende krachten verrichte arbeid. © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

17

CTB3330 : Arbeid en Energie Tot slot valt nog op te merken dat indien het bovenstaande geldt voor de toename van de arbeid we dit ook mogen generaliseren voor de totale arbeid. Er geldt dus ook: Ainw + Auitw = 0

In woorden is dit niets anders dan dat de som van de arbeid verricht door uitwendige en inwendige krachten gelijk moet zijn aan nul. Met de hierboven geïntroduceerde relaties kan een voorbeeld worden gemaakt om het een en ander te verduidelijken.

Voorbeeld 2 : Statisch bepaalde ligger met een puntlast De in figuur 3.9 weergegeven ligger wordt belast met een puntlast in het midden van de overspanning. Van dit probleem willen we de krachtsverdeling en de verplaatsing onder de puntlast bepalen door gebruik te maken van arbeidsprincipes. F EI

A

B

x-as

wmax 0,5 l

z-as

0,5 l

Figuur 3.9 : Statisch bepaalde ligger

Krachtsverdeling : Virtuele arbeid Met behulp van de virtuele arbeid kan de krachtsverdeling in de constructie worden bepaald. In paragraaf 2.4 is dit gedemonstreerd. We nemen een mechanisme aan waarin een nog onbekende oplegreactie virtuele arbeid verricht. In figuur 3.10 is een mogelijk mechanisme getekend. F

½δ w

BV

δw

Figuur 3.10 : Virtuele verplaatsing δ w van een mechanisme

Opstellen van de virtuele arbeidsvergelijking levert:

δA = − F × 12 δw + BV × δw eis : δA = 0 BV = 12 F Doordat er een mechanisme is ontstaan zal de ligger niet krommen, er ontstaan geen virtuele rekken of vervormingen. In de virtuele arbeidsvergelijking zitten dus alleen aandelen van uitwendige virtuele arbeidscomponenten. Met de oplegreactie kan nu ook de M-lijn worden bepaald. In figuur 3.11 is deze weergegeven. M ( x) = 12 Fx 0 ≤ x ≤ 12 l M-lijn

M max = 14 Fl Figuur 3.11 : M-lijn

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

18

CTB3330 : Arbeid en Energie Vervorming : Totale arbeid Bij het bepalen van de vervorming van de ligger wordt gebruik gemaakt van de totale arbeid die op en in het systeem wordt verricht. De ligger onder de puntlast zal een verplaatsing wmax ondergaan. De door de aangroeiende kracht verrichte arbeid is: Auitw = 12 Fwmax De in de balk opgeslagen vervormingsenergie is eerder in paragraaf 3.3 afgeleid als : l

l

0

0

Ev = Ec = ∫ Ec*dx = ∫

M2 dx 2 EI

De vervorming door dwarskracht wordt voor “normale” liggers, waarvoor geldt dat de hoogte klein is t.o.v. de overspanning, verwaarloosd. Alleen voor gedrongen constructies moet deze component van de vervormingsenergie worden meegenomen [12] .

Het verloop van de momentenlijn is in figuur 3.11 bepaald. De M-lijn is symmetrisch t.o.v. de middendoorsnede van de ligger. De vervormingsenergie kan dan ook geschreven worden als: 1l 2

Ev = Ec = 2 ∫ 0

M2 dx 2 EI

De vergelijking voor M-lijn voor de linker liggerhelft, zie ook figuur 3.10, luidt: M ( x) = 12 F * x Door dit resultaat in te vullen in de vergelijking voor de vervormingsenergie ontstaat: 1 l 2

1

l

F 2 x2 F2 2 2 F 2 1 3 12 l F 2 l 3 Ev = 2 ∫ dx = x d x = 3 x 0 = ∫ 2 EI 4 EI 4 EI 96 EI 0 0 We maken nu gebruik van het eerder afgeleide verband tussen de vervormingsenergie en de door inwendige krachten verrichte arbeid: F 2l 3 E v = − Ainw ⇒ Ainw = − 96 EI Ten slotte moet de som van de totaal verrichte arbeid nul zijn. Zo ontstaat: F 2l 3 =0 Auitw + Ainw = 0 ⇒ 12 Fwmax − 96 EI Fl 3 Hieruit volgt voor de maximum verplaatsing : wmax = 48 EI Dit is een bekend resultaat dat ook verkregen kan worden met behulp van de methode van de gereduceerde momentenlijn. De hier gebruikte methode is echter een toepassing van een arbeidsmethode en de opstap naar een verfijndere methode die in het volgende hoofdstuk aan de orde komt. 1 4

Met het vinden van dit bekende resultaat kan ook direct de vervormingsenergie worden bepaald uitgedrukt in de zakking w: w 48EI 24 EI Ev = ∫ Fdw = 12 Fw = 12 × 3 × w2 = 3 w2 l l 0 Ook de complementaire energie uitgedrukt in de belasting F kan op een soortgelijke wijze worden gevonden: w 3 l3 1 1 Fl ×F = Ec = ∫ wdF = 2 wF = 2 F2 48EI 96 EI 0 Aangezien er uitgegaan wordt van lineair elastisch gedrag geldt dat Ec gelijk is aan Ev. © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

19


3.8 Arbeidsmethode met behulp van een eenheidslast In het voorgaande voorbeeld werd met 1,0 kN behulp van de vervormingsenergie de EI verplaatsing onder de puntlast bepaald. Dezelfde oplossing kan ook op een iets m(x) ander wijze worden verkregen. Stel dat de l ligger uit figuur 3.9 eerst belast wordt door een eenheidslast van 1,0 kN. Deze situatie is weergegeven in figuur 3.12. Figuur 3.12 : Eenheidslast op een ligger In de ligger ontstaat tengevolge van deze eenheidslast een zakking δw en een momentenverdeling m(x) zoals ook in figuur 3.12 is aangegeven. Nadat deze belasting is aangebracht wordt de “echte” belasting F aangebracht. Door deze belasting F ontstaat een additionele momentenverdeling M(x) en ontstaat de additionele zakking w. In figuur 3.13 is dit weergegeven. 1,0 kN

δw

F EI wmax

0,5 l

0,5 l

x-as

M-lijn

M(x)

Figuur 3.13 : Belasting op de ligger

Door het aanbrengen van de belasting F met de bijbehorende momentenlijn M(x) ontstaat dus ook een additionele kromming in de ligger: M ( x) κ ( x) = EI De inwendige momenten m(x) in de ligger ten gevolge van de eenheidslast verrichten vervormingsenergie als de “echte” belasting F wordt aangebracht. De momentenverdeling m(x) verandert echter niet door het aanbrengen van de belasting F. De additionele vervormingsenergie kan zodoende bepaald worden met: l l M ( x) Ev = ∫ m( x) × κ ( x)dx = ∫ m( x) × dx EI 0 0 Deze vervormingsenergie is gelijk aan de toename van de arbeid verricht door de eenheidslast: Auitw = 1,0 × w = w Gelijkstellen van deze twee levert: l m( x ) × M ( x ) w=∫ dx EI 0 Conclusie: Door een eenheidslast aan te brengen op de plaats waar een verplaatsing moet worden bepaald kan op een elegante wijze de verplaatsing worden bepaald door gebruik te maken van de momentenverdeling t.g.v. de eenheidslast en die van de daadwerkelijke belasting. De eenheidslast is daarbij niets anders dan een hulpmiddel. © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

20

CTB3330 : Arbeid en Energie De hier gevonden uitdrukking voor de zakking t.p.v. de eenheidslast kan ook gevonden worden als naar de totale arbeid en vervormingsenergie wordt gekeken: Auitw = 12 × 1, 0 × δ w + 1, 0 × w + 12 × F × w l

( M ( x ) + m( x ) )

2

l

l

l

m( x ) 2 2 m( x ) × M ( x ) M ( x)2 dx + ∫ dx + ∫ dx 2 EI 2 EI 2 EI 2 EI 0 0 0 0 De totale uitwendige arbeid is gelijk aan de (inwendige) vervormingsenergie: l l l m( x ) 2 2 m( x ) × M ( x ) M ( x)2 1 1 dx + ∫ dx + ∫ dx 2 δ w + w + 2 Fw = Ev = Ec = ∫ 2 EI 2 EI 2 EI 0 0 0 Voor de afzonderlijke belastingsgevallen van de puntlasten geldt echter: l m ( x ) 2 dx F = 1,0 : Auitw = Ev ⇒ 12 × 1,0 × δw = ∫ 2 EI 0 Ev = Ec = ∫

dx = ∫

l

M ( x ) 2 dx 2 EI 0 Door dit resultaat te verwerken in de totale arbeidsvergelijking wordt dezelfde uitdrukking voor de zakking w verkregen: l m( x ) × M ( x ) w=∫ dx EI 0 In een voorbeeld wordt de kracht van deze methode toegelicht op een ligger die belast wordt met een gelijkmatig verdeelde belasting. : Auitw = Ev

F

⇒

1 2

×F×w = ∫

Voorbeeld 3 : Ligger met een gelijkmatig verdeelde belasting Van de in figuur 3.14 weergegeven ligger wordt de zakking in het midden gevraagd. 1,0 kN

q

EI wmax

0,5 l

0,5 l

Figuur 3.14 : Ligger met een gelijkmatig verdeelde belasting

Aangezien de zakking in het midden gevraagd wordt moet er een eenheidslast in het midden geplaatst worden. De momentenlijn m(x) die hierdoor ontstaat kan worden beschreven met: m( x ) = 12 x

0 ≤ x ≤ 12 l

m( x ) = 12 (l − x )

1 2

l≤x≤l

Ten gevolge van de gelijkmatig verdeelde belasting ontstaat een momentenverdeling M(x): M ( x ) = 12 qx (l − x ) De zakking w in het midden kan worden bepaald met de formule: l m( x ) × M ( x ) w=∫ dx EI 0 De momentverdeling m(x) is niet met één functievoorschrift te beschrijven maar is wel symmetrisch. Door gebruik te maken van symmetrie ontstaat: 1 l 2

m( x ) × M ( x ) 2 w = 2∫ dx = EI EI 0 © Ir J.W. Welleman

1 l 2

∫ 0

1 2

q lx 3 x 4 x × qx(l − x)dx = − 2 EI 3 4

1 l 2

=

1 2

Maart 2014

0

5ql 4 384 EI 21

CTB3330 : Arbeid en Energie Het bepalen van de oplossing van de integralen in de twee voorgaande voorbeelden levert niet veel problemen op. Voor constructies belast door meerdere puntlasten en/of gelijkmatig verdeelde lasten wordt het bepalen van de integraal van het product van de functies m(x) en M(x) met de hand een vervelende klus. In het verleden zijn daarom voor een aantal standaard momentenverdelingen oplossingen bepaald. De functie die het product is van m(x) en M(x) kan als een inhoud worden voorgesteld. Zie hiervoor figuur 3.15. z = m(x )

y = M (x )

Figuur 3.15 : Product van twee functies

De momentenlijn m(x) t.g.v. de eenheidslast zal in het algemeen een lineaire functie zijn. De momentenlijn M(x) t.g.v. de belasting kan bestaan uit lineaire, parabolische delen of combinaties daarvan. In het overzicht van figuur 3.16 staan een aantal combinaties weergegeven. m(x) M (x)

Figuur 3.16 : Integraal van het product van twee functies

De totale integratie kan nu worden vervangen door een handig gekozen aantal deel-integraties waarbij gebruik wordt gemaakt van de in figuur 3.16 weergegeven expressies. © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

22


Voorbeeld 4 : Portaal Van de in figuur 3.17 weergegeven portaalconstructie wordt de horizontale verplaatsing van punt C gevraagd. Ter plaatse van punt C bevindt zich een scharnier. 140 kN

B

C 28 kN/m

A

3,0 m

D 4,0 m

3,0 m

Figuur 3.17 : Portaal

Voor het bepalen van de horizontale verplaatsing in C moet een horizontale eenheidslast in punt C worden aangebracht. De momentenlijn m(x) t.g.v. van deze eenheidslast en de momentenlijn M(x) ten gevolge van de belasting op het portaal zijn in figuur 3.18 weergegeven. 140 kN 1,0 kN

294,0 kNm

9 7 kNm

31,5 kNm

M(x)

m(x)

Figuur 3.18 : Momentenlijnen M(s) en m(s)

De horizontale verplaatsing kan gevonden worden door langs de staafas s de volgende integraal uit te werken: D 1 uC = M ( s ) m ( s ) ds EI ∫A De constructie wordt opgedeeld in twee stukken A-B en B-C. Immers over C-D is m(s) gelijk aan nul! Door gebruik te maken van de gegevens uit tabel 1 van figuur 3.16 wordt gevonden: uC =

1 1 9 { 3 × 7 × 294 × 5 + 13 × 97 × 294 × 3 } = 1008 EI EI

De toepassing van deze methode op de hier gepresenteerde wijze is niet meer van deze tijd. Door de inzet van MAPLE echter is deze methode weer buitengewoon eenvoudig toe te passen zonder het vervelende handwerk, voortvloeiend uit de evaluaties van de integralen. De methode met gebruikmaking van tabel 3.16 is dus louter illustratief en bedoeld om bekend te zijn met deze oplossingsstrategie uit de “oude tijd”. De systematiek is echter nog uitstekend toe te passen met b.v. MAPLE. © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

23


3.9 Toepassing, formule van Rayleigh Een toepassing van de gelijkstelling van verrichte arbeid en opgeslagen vervormingsenergie is de methode van Rayleigh voor het benaderen van de knikbelasting van buigzame op druk belaste staven. Bij het onderdeel “Stabiliteit van het evenwicht” is benadrukt dat een stabiliteitsondezoek een onderzoek is naar de aard van het evenwicht. Indien de “wegdrijvende invloed” kleiner is dan de “terugdrijvende invloed” dan is het evenwicht stabiel. Dit houdt in dat bij een kleine kinematisch mogelijke verstoring van de evenwichtssituatie de constructie terugkeert naar deze evenwichtsconfiguratie. Als we dit concept vertalen naar arbeid en energie is het logisch de volgende definitie aan te houden: Een evenwicht is stabiel als bij iedere overgang naar een naburige kinematisch mogelijke configuratie de door de belasting verrichte arbeid kleiner is dan de benodigde vervormingsenergie.

Als we dit toepassen op een buigzame op druk belaste staaf zoals in de onderstaande figuur is weergegeven dan zal de puntlast arbeid verrichten door de verplaatsing in de richting van de kracht en zal in de uitknikkende staaf de energie worden opgeslagen in de vorm van vervormingsenergie voor extensie en buiging. EI, EA

F

l

u F

Voor uitknikken, alleen extensie

uF

F

Na uitknikken, extensie en buiging

Figuur 3.19 : Buigzame op druk belaste staaf, knikstaaf van Euler

Vlak voor uitknikken is er alleen sprake van vervorming door extensie immers de staaf is nog niet gebogen. Voor de vervormingsenergie geldt: l

E v = ∫ 12 EAε 2 dx 0

Na uitknikken is er wel een kromming en geldt voor de vervormingsenergie: l

l

0

0

E v = ∫ 12 EAε 2 dx + ∫ 12 EIκ 2 dx

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

24

CTB3330 : Arbeid en Energie Bij het langzaam verhogen van de axiale belasting zal juist voor en juist na uitknikken de normaalkracht in de staaf gelijk zijn. De axiale rek is dan voor beide situaties ook gelijk waarmee het aandeel in de vervormingsenergie t.g.v. extensie juist voor en na uitknikken dus ook gelijk moet zijn. Dit houdt in dat bij de overgang van de rechte staaf naar de uitgeknikte staaf er een toename plaats vindt van de vervormingsenergie die juist gelijk is aan alleen de vervormingsenergie t.g.v. buiging: l

2

l

∆E v = ∫ EIκ dx = ∫ 1 2

2

0

0

1 2

 d2w  EI  2  dx  dx 

Deze vervormingsenergie is gelijk aan de door de puntlast verrichte arbeid in de overgang van de rechte naar de gebogen toestand. Deze arbeid is gelijk aan:

A = F × uF Deze horizontale verplaatsing kan worden uitgedrukt in de verticale uitbuiging met behulp van de stelling van Pythagoras: dx x, u w

du F = dx −

w

(dx )2 − (dw)2 dw

duF

(dx )2 − (dw)2

=

2   dw   = 1 − 1 −   dx  dx   

dx

z, w Figuur 3.20 : Kleine horizontale en verticale verplaatsingen

De lengte van de staaf blijft immers voor en na uitbuigen onveranderd. De gevonden uitdrukking voor horizontale verplaatsing bevat een vervelende wortel-functie met een kwadratische afgeleide. Deze uitdrukking kan met behulp van een Taylor-reeks ontwikkeling worden benaderd (met verwaarlozing van de hogere orde termen) tot: 2 2   dw   1  dw  du F = 1 − 1 −   dx ≅ 2   dx  dx   dx   

De totale horizontale verplaatsing is na integreren over de totale staaflengte gelijk aan: 2

l

uF = ∫ 0

1 2

 dw    dx  dx 

Gelijkstellen van de arbeid t.g.v. deze horizontale verplaatsing aan de vervormingsenergie t.g.v. buiging levert uiteindelijk de vergelijking waarmee de kniklast kan worden gevonden: 2

l

∆E v = A ⇔

∫ 0

1 2

2

l  d2w   dw    EI  2  dx = F × ∫ 12   dx dx   dx  0 

Er is nog juist evenwicht mogelijk als de arbeid gelijk is aan de vormveranderingsenergie. © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

25

CTB3330 : Arbeid en Energie Hieruit volgt voor de kniklast: 2

l

∫ 0

Fk =

 d2w  EI  2  dx  dx  2 l dw  1 ∫0 2  dx  dx

⇒ Fk-Rayleigh

2

 d2w  EI ∫0  dx 2  dx = l 2  dw  ∫0  dx  dx l

1 2

De kniklast in deze formule is de laagste waarde van F waarbij de verrichte arbeid precies gelijk is aan de vervormingsenergie. Het aardige van deze uitdrukking is dat het verplaatsingsveld w(x) niet exact bekend hoeft te zijn om al een redelijke waarde voor de kniklast te vinden. Dit veld moet echter wel voldoen aan de kinematische randvoorwaarden (stabiliteitsonderzoek). Rayleigh heeft hiermee geëxperimenteerd en aangetoond dat bij een aangenomen, kinematisch mogelijke, uitbuigingsvorm de kniklast altijd wordt overschat. De methode levert daarmee een onveilig antwoord! Om dit te demonstreren is in de onderstaande linker figuur een knikvorm aangenomen die gelijk is aan een sinus-uitbuiging. 4 fx(l − x) πx w= w = f sin   F l2  l  f f l

F

l

Figuur 3.21 : Aangenomen uitbuigingsvorm

Met de formule van Rayleigh kan voor de kniklast worden gevonden: 2

2

l 2  d2 w  2 π  2 π x  EI d x EI × f ×  2  ∫ sin   dx ∫0  dx 2  l  0 EI × π 2  l   F= l = = 2 2 l l2  dw  π  2 2πx f ×   ∫ cos   dx ∫0  dx  dx l  0  l  l

Dit levert de exacte kniklast voor de Eulerse knikstaaf. Dit is niet verwonderlijk want de aangenomen uitbuigingsvorm is de exacte knikvorm. Door niet de exacte maar een benaderende uitbuigingsvorm in de vorm van een parabool met halverwege een uitwijking f aan te nemen zoals in de rechter figuur is weergegeven: 4 fx(l − x) 4( fl − 2 fx) −8 f w '( x) = w ''( x) = 2 2 2 l l l

w( x) =

wordt voor de benaderende kniklast gevonden: 2

 d2w  EI ∫0  dx 2  dx l

F=

l

2

 dw  ∫0  dx  dx

12 EI 1, 22π 2 EI = 2 = l l2

Met deze benadering wordt de kniklast met 22% overschat. Merk op dat in het laatste geval de aangenomen uitbuigingsvorm ook voldoet aan alle randvoorwaarden. Als het aangenomen veld echter niet affien is met de werkelijke vorm zal de kniklast toch worden overschat. © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

26


3.10 Virtuele arbeidsvergelijking voor vervormbare lichamen* Met het gevonden resultaat dat de som van alle door uitwendige en inwendige krachten verrichte arbeid gelijk aan nul moet zijn, moet ook gelden dat som van de virtuele arbeid verricht door inwendige en uitwendige krachten gelijk aan nul moet zijn:

δA = δAuitw + δAinw = 0 Eerder is al afgeleid dat voor de arbeid verricht door inwendige krachten geldt: E v = Auitw = − Ainw Deze uitdrukking geldt ook voor virtuele bijdragen. Combineren van de beide uitdrukkingen leidt tot:

δA = δAuitw − δE v = 0 De virtuele vormveranderingsenergie kan worden gevonden met de eerder afgeleide formules voor de vormveranderingsenergie. In bijlage B is een alternatieve bewijsvoering gegeven. Voor op buiging belaste staven geldt voor de virtuele vormveranderingsenergie: l

δEv = ∫ Mδκdx o

Zie hiervoor de eerdere afleiding van de vormveranderingsenergie voor de op buiging belaste staaf.

De virtuele arbeidsvergelijking wordt nu: l

δA = − ∫ Mδκdx + δAuitw = 0 0

Op dit resultaat zal in hoofdstuk 5 worden teruggekomen.

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

27


4 ARBEIDSTHEOREMA’S VAN CASTIGLIANO In het voorbeeld van paragraaf 2.7 bleek het mogelijk om met behulp van de vormveranderingsenergie de verplaatsing onder een puntlast te berekenen. In dit hoofdstuk zal met behulp van de basisbeginselen uit het vorige hoofdstuk een methode worden afgeleid om een verplaatsing te bepalen.

4.1 2e wet van Castigliano In figuur 4.1 is een ligger weergegeven belast door een reeks puntlasten.

Fa ua

Fb

ub

Fc

Fx ux

uc

Figuur 4.1 : Ligger met een reeks puntlasten

Als de lasten aangroeien van nul tot de eindwaarde Fi levert dat voor de door de uitwendige krachten verrichte arbeid: Auitw = 12 Fa u a + 12 Fb u b + 12 Fc u c + ... + 12 Fx u x (4.1) In deze vergelijking zijn de verplaatsingen gebruikt direct onder de puntlast. Als we teruggrijpen op de notatie van paragraaf 2.5 dan kan iedere verplaatsing geschreven worden als de som van de invloeden van alle puntlasten op die ene verplaatsing. u a = c aa Fa + c ab Fb + c ac Fc + ... + c ax Fx u b = cba Fa + cbb Fb + cbc Fc + ... + cbx Fx u c = c ca Fa + ccb Fb + ccc Fc + ... + c cx Fx

(4.2)

u x = c xa Fa + c xb Fb + c xc Fc + ... + c xx Fx De coëfficiënten cij zijn de invloedsfactoren of ook wel de componenten van de flexibiliteitsmatrix zoals zij bij de afleiding van de wet van Maxwell zijn geïntroduceerd. Door de arbeid te differentiëren naar een van de krachten, b.v. Fx ontstaat: ∂Auitw 1 ∂u a 1 ∂u b 1 ∂u c ∂u = 2 Fa + 2 Fb + 2 Fc + ... + 12 u x + 12 Fx x (4.3) ∂Fx ∂Fx ∂Fx ∂Fx ∂Fx Let op: De laatste term moet met behulp van de productregel herhaald worden gedifferentieerd.

Voor het bepalen van partiële afgeleiden van de verplaatsingen ui naar de kracht Fx kan gebruik worden gemaakt van formule (4.2): ∂u a ∂ (c aa Fa + c ab Fb + c ac Fc + ... + c ax Fx ) = = c ax ∂Fx ∂Fx

∂u b ∂ (cba Fa + cbb Fb + cbc Fc + ... + cbx Fx ) = = cbx ∂Fx ∂Fx ∂u c ∂ (cca Fa + ccb Fb + ccc Fc + ... + ccx Fx ) = = ccx ∂Fx ∂Fx

(4.4)

∂u x ∂ (c xa Fa + c xb Fb + c xc Fc + ... + c xx Fx ) = = c xx ∂Fx ∂Fx

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

28

CTB3330 : Arbeid en Energie Door dit resultaat in (4.3) in te vullen ontstaat: ∂Auitw 1 = 2 Fa c ax + 12 Fb cbx + 12 Fc ccx + ... + 12 Fx c xx + 12 u x ∂Fx Volgens Maxwell geldt, zie ook paragraaf 2.5: c ax = c xa cbx = c xb

(4.5)

(4.6)

ccx = c xc Door dit toe te passen kan vergelijking (4.5) geschreven worden als: ∂Auitw 1 = 2 c xa Fa + 12 c xb Fb + 12 c xc Fc + ... + 12 c xx Fx + 12 u x ∂Fx

(4.7)

1 2

ux Vergelijking (4.7) is na vereenvoudiging te schrijven als:

∂Auitw = ux ∂Fx

(4.8)

De door de uitwendige belasting verrichte arbeid gedifferentieerd naar één kracht is juist de verplaatsing in de richting van deze kracht. Dit is de 2e wet van Castigliano. Ook de naam van Cotterill is verbonden aan deze wet. Hoewel deze wet bekend staat als de 2e wet is deze in de tijd de eerst afgeleide wet. Op de 1e wet van Castigliano wordt verderop ingegaan. De hier gevonden uitdrukking kan ook anders worden weergegeven. In het vorige hoofdstuk is afgeleid dat ook geldt: Auitw = Ev = Ec

en

Auitw = − Ainw

(4.9)

Hiermee kan vergelijking (4.9) ook in andere gedaanten worden weergegeven: ∂E c = ux ∂Fx

en

∂A uitw = ux ∂Fx

en −

∂A inw = ux ∂Fx

(4.10)

Bij het afleiden van deze wet is gebruik gemaakt van het superpositiebeginsel. Dit betekent dat een verplaatsing de som is van individuele bijdragen en dat de volgorde van sommeren niet uitmaakt. Vergelijking (4.2) gaat er tevens van uit dat er een lineaire relatie is tussen kracht en verplaatsing (invloedsfactoren). De wet is dus alleen toepasbaar op lineaire systemen waarvoor het superpositiebeginsel geldt.

4.1.1 Toepassingen van de 2e wet van Castigliano In een aantal voorbeelden zal het werken met de 2e wet van Castigliano worden toegelicht.

Voorbeeld 5 : Statisch bepaalde ligger met een puntlast, 2e wet van Castigliano Van de in figuur 4.2 weergegeven ligger uit voorbeeld 2 wordt nu met behulp van de 2e wet van Castigliano de zakking onder de puntlast bepaald. F EI wmax 0,5 l

0,5 l

Figuur 4.2 : Statisch bepaalde ligger

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

29

CTB3330 : Arbeid en Energie De momentenlijn in de ligger is bekend uit voorbeeld 2: M ( x) = 12 Fx

0 ≤ x ≤ 12 l 1l

l

1l

2 2 2 2 1 M ( x) 2 M ( x) 2 F 2l 3 4 F x Ev = Ec = ∫ dx = 2 ∫ dx = 2 ∫ dx = 2 EI 2 EI 2 EI 96 EI o o 0

Toepassen van de 2e wet van Castigliano levert nu voor de verplaatsing onder de puntlast : dEc 2 Fl 3 Fl 3 w= = = dF 96 EI 48 EI Dit antwoord is gelijk aan het eerder gevonden antwoord uit voorbeeld 2.

Voorbeeld 6 : Uitkragende ligger, 2e wet van Castigliano In figuur 4.3 is een uitkragende ligger getekend. F EI x

wmax l

Figuur 4.3 : Uitkragende ligger met een puntlast

De krachtsverdeling in de ligger is te bepalen met behulp van virtuele arbeid of op basis van de evenwichtsvergelijkingen. De momentenverdeling langs de liggeras is: M ( x) = − Fl + Fx De vervormingsenergie kan nu worden bepaald : l

l

l M ( x)2 F 2l 2 − 2 F 2lx + F 2 x 2 F2 2 F 2l 3 Ev = Ec = ∫ dx = ∫ dx = l x − lx 2 + 13 x3 = 0 2 EI 2 EI 2 EI 6 EI 0 0

Toepassen van de 2e wet van Castigliano levert nu voor de verplaatsing onder de puntlast : dE 2 Fl 3 Fl 3 w= c = = dF 6 EI 3EI Dit antwoord is gelijk aan een bekend vergeet-mij-nietje.

Voorbeeld 7 : Uitkragende ligger met puntlast en koppel In figuur 4.4. is weer de uitkragende ligger getekend maar nu met een puntlast en een koppel op het uiteinde. F EI w

x

T

ϕ

l Figuur 4.4. : Uitkragende ligger met puntlast en koppel

De verplaatsing van het uiteinde is weer te bepalen door de 2e wet van Castigliano toe te passen. © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

30

CTB3330 : Arbeid en Energie De verplaatsingen die nu bepaald kunnen worden zijn de verticale verplaatsing w en de hoekverdraaiing ϕ aan het uiteinde van de ligger. Volgens Castigliano geldt immers: w=

∂Ec ∂F

en

ϕ=

∂Ec ∂T

Het zal duidelijk zijn dat alleen een verplaatsing in een bepaalde richting kan worden gevonden als in de vergelijking van de momentenlijn M(x) de bij die verplaatsing horende kracht aanwezig is. De vergelijking van de momentenlijn is: M ( x) = −T − F (l − x) Door de 2e wet van Castigliano hierop toe te passen kunnen beide verplaatsingen aan het uiteinde worden bepaald. BELANGRIJK GEREEDSCHAP Algemeen geldt dat voor de toepassing van de 2e wet een differentiaal van een integraal moet worden bepaald. Voor buiging geldt de onderstaande formule waarbij er gemakshalve van uit wordt gegaan dat de functie M(x) afhankelijk is van slechts één veranderlijke kracht. l

dEc d M ( x) 2 w= = dx dF dF ∫0 2 EI

(4.11)

Eigenlijk is dit een onhandige route, eerst een functie integreren en vervolgens het resultaat weer differentiëren. We mogen het differentiëren ook onder de integraal brengen.

dEc l d  M ( x) 2  w= = dx dF ∫0 dF  2 EI 

(4.12)

Door nu de kettingregel toe te passen ontstaat : l

l

2M ( x) dM ( x) M ( x) dM ( x) × dx = ∫ × dx 2 EI dF EI dF 0 0

w=∫

(4.13)

Voor het oplossen van de verplaatsing volgens Castigliano zal veelvuldig van deze route gebruik gemaakt worden. Merk op dat dit resultaat veel lijkt op dat van de arbeidsmethode met eenheidslast van blz 20.

Toepassen van dit recept op het voorbeeld van de uitkragende ligger levert: w=

1 EI

1 ϕ= EI

l

∫ {− T − F (l − x)}× (−(l − x))dx = 0 l

l

1 Tl 2 Fl 3 2 2 Tl − Tx + Fl − 2 Flx + Fx d x = + EI ∫0 2 EI 3EI

l

1 Tl Fl 2 ∫0 {− T − F (l − x)}× (−1)dx = EI ∫0 T + Fl − Fxdx = EI + 2EI

De rotatie die hierboven gevonden wordt is positief. In werkelijkheid zal de hoekverdraaiing in een x-z assenstelsel negatief zijn. Ga dit zelf na ! Positief wil in dit verband niets ander zeggen dan dat de verplaatsing dezelfde richting heeft als de aangebrachte kracht op de plaats waar de verplaatsing wordt bepaald. In het voorbeeld is het koppel T in het gebruikelijke x-z assenstelsel negatief van teken! De gevonden uitkomsten voor het liggeruiteinde kunnen ook in matrixvorm worden gepresenteerd:  l3 w  3EI  = 2 ϕ   l  2 EI

l2   2 EI   F    l  T  EI 

In het liggeruiteinde geldt dat de hoekverdraaiing t.g.v. van een eenheidskracht F gelijk is aan de zakking t.g.v. een eenheidskoppel T. Dit is geheel in overeenstemming met de eerder afgeleide wederkerigheidswet van Maxwell. Van deze eigenschap kan gebruik gemaakt worden bij het bepalen van invloedslijnen. © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

31


4.1.2 Dummy belasting Met de 2e wet van Castigliano kan onder een kracht de verplaatsing worden bepaald. Als echter de verplaatsing moet worden bepaald op een plaats waar geen belasting aangrijpt moet er een “list” worden verzonnen. Door een dummy-belasting aan te brengen op de plek waar de verplaatsing moet worden bepaald kan toch gebruik worden gemaakt van deze methode. In figuur 4.5 is een eenvoudig probleem gegeven.

A

½l

Q EI

F B

wA

x l Figuur 4.5 : Dummy belasting

Gevraagd wordt om de zakking in punt A te bepalen. Door een dummy-belasting Q in A te plaatsen kan dit probleem worden opgelost. De momentenlijn voor dit probleem is in figuur 4.6 weergegeven : − Fl − 12 Ql − 12 Fl x-as

A

M-lijn Figuur 4.6 : M-lijn inclusief dummy-belasting

De momentenlijn kan met behulp van de volgende twee vergelijkingen worden beschreven: 0 ≤ x ≤ 12 l : M ( x) = − Fl − 12 Ql + Qx + Fx 1 2

l ≤ x ≤ l : M ( x) = F ( x − l )

Op deze uitdrukkingen kan nu de 2e wet van Castigliano worden toegepast. Toepassen van het in het vorige voorbeeld beproefde recept op de M-lijn levert: 1

l

l

l

2 M ( x) dM ( x)  − Fl − 12 Ql + Qx + Fx   F (x − l)  wA = ∫ × dx = ∫  × (− 12 l + x ) dx + ∫  × 0 dx EI dQ EI EI  1   0 0 l 2

Uitwerken levert: 1 1 1 3 3 2 2 2 2 3 2l 1 1 1 1 wA = Fx − Flx + Fl x + Ql x − Qlx + Qx 3 4 2 4 2 3 0 EI 3 3 1 1 3 1 3 1 1 1 ( 24 − 16 + 4 )Fl + ( 8 − 8 + 24 )Ql 3 = 5Fl + Ql wA = EI 48 EI 24 EI Door in dit antwoord voor de dummy-belasting Q de waarde nul in te vullen wordt de verplaatsing wAB in A t.g.v. de belasting F in B gevonden.

{

w AB =

}

5Fl 3 48 EI

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

32

CTB3330 : Arbeid en Energie Aardig is hier om te vermelden dat dit antwoord ook gevonden kan worden door gebruik te maken van de wet van Maxwell. Immers de zakking in A t.g.v. een puntlast F in B moet gelijk zijn aan de zakking in B t.g.v. een puntlast F in A. Dit kan eenvoudig met een vergeetmij-nietje worden aangetoond.

A

½l

F EI

B

wBA l Figuur 4.7 : Maxwell toepassen

Toepassen van de vergeet-mij-nietjes levert: F ( 1 l ) F ( 1 l )2 5 Fl 3 = 2 + 2 × 12 l = 3EI 2 EI 48 EI 3

wBA

Let op: Bij het bepalen van de zakking in B eerst de zakking in A bepalen en vervolgens het kwispeleffect meenemen.

Hieruit blijkt inderdaad dat er geldt:

w AB = wBA

4.1.3 Statisch onbepaalde constructies Met behulp van de 2e wet van Castigliano is het mogelijk om de krachtsverdeling in een statisch onbepaalde constructie te bepalen. Dit wordt toegelicht met behulp van het volgende voorbeeld.

q

EI

A

B

l

C l

Figuur 4.8 : Statisch onbepaalde ligger

De constructie kan statisch bepaald gemaakt worden door het wegnemen van steunpunt B. De onbekende oplegreactie (statisch onbepaalde) wordt als belasting op de constructie aangebracht en als vormveranderingsvoorwaarde wordt geëist dat de zakking in B nul moet zijn. Hierdoor ontstaat een probleem dat met de 2e wet van Castigliano oplosbaar is. In figuur 4.9 is dit weergegeven.

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

33


q

EI

A

C BV

l

l

x

M t.g.v. q M ( x ) = 12 qx ( 2l − x ) M ( x) = − 12 BV x

M t.g.v BV

Figuur 4.9 : Statisch bepaald hoofdsysteem

De momentenlijn voor het liggerdeel A-B wordt beschreven door: M ( x) = 12 qx(2l − x) − 12 BV x Toepassen van de 2e wet van Castigliano voor de verplaatsing in B leidt tot: wB =

dEc d = dBV dBV

2l

2l

M ( x) 2 M ( x ) dM ( x ) ∫0 2EI dx = ∫0 EI dBV dx = 0

Het probleem is symmetrisch waardoor slechts geïntegreerd wordt over de halve ligger: l

2∫ 0

M ( x) dM ( x) dx = 0 EI dBV

Uitwerken hiervan levert: 2 1 3 3 4 1 1 12 B V x − 6 qlx + 16 qx EI BV = 54 ql

l 0

=0

Met deze oplegreactie kan het steunpuntsmoment in B worden bepaald. M (l ) = 12 ql 2 − 85 ql 2 = − 81 ql 2 Dit is een bekende oplossing die ook met behulp van de hoekveranderingsvergelijkingen kan worden verkregen.

4.1.4 Minimale vormveranderingsenergie In het hier beschreven voorbeeld wordt de oplegreactie in B bepaald met de eis dat de afgeleide van de vormveranderingsenergie naar de oplegreactie BV nul moet zijn. Dit © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

34

CTB3330 : Arbeid en Energie impliceert dat de vormveranderingsenergie voor de gevonden waarde voor BV een extreem moet zijn (minimum of maximum). Aangezien de, door de uitwendige krachten verrichte arbeid, gelijk moet zijn aan de vormveranderingsenergie geldt dus ook deze arbeid een extreem heeft voor de gevonden waarde van BV. Het lijkt logisch te veronderstellen dat dit extreem een minimum is. Een klein onderzoek kan dit aantonen. De oplegreactie BV wordt nog even onbekend verondersteld en we gaan uit van de momentenlijn voor het liggerdeel A-B zoals in het vorige voorbeeld is afgeleid:

M ( x ) = 12 qx(2l − x) − 12 BV x De door de uitwendige kracht verrichte arbeid moet gelijk zijn aan de vormveranderingsenergie: 2l M ( x) 2 Auitw = Ev = Ec = ∫ dx 0 2 EI

uitwerken levert: 1 2 25 5 ( 15 q l − 24 qBVl 4 + 121 BV2 l 3 ) EI De arbeid heeft een extreem als geldt: Auitw =

dAuitw =0 ⇒ dB V

−5 24

ql 4 + 16 BV l 3 = 0 ⇒ BV = 54 ql ⇒ Ev =

q 2l 5 320 EI

Of dit extreem voor Ev een minimum of een maximum is hangt af van de 2e afgeleide:

d 2 Auitw l3 = 2 6 EI dBV Deze waarde is positief, de arbeid is dus minimaal. Hoewel dit geen bewijs is, is wel aannemelijk gemaakt dat de vormveranderingsvoorwaarde die gesteld wordt in feite een eis is dat de vormveranderingsenergie minimaal moet zijn. In hoofdstuk 5 wordt hierop teruggekomen.

Hoewel er enig rekenwerk zit in het evalueren van de integralen is feitelijk niet meer kennis noodzakelijk dan het kunnen opstellen van de momentenlijn voor een statisch bepaalde constructie. De berekening kan een flink stuk efficiënter worden uitgevoerd door de inzet van MAPLE. Een voorbeeld van een meervoudig statisch onbepaalde ligger wordt daarom hieronder uitgewerkt met MAPLE.

Voorbeeld 8 : Doorgaande ligger m.b.v. MAPLE en CASTIGLIANO De onderstaande ligger is statisch onbepaald. Bepaal de oplegreacties in C,D en G. q = 7 kN/m

A

C

EI =10000 kNm2 l =8,0 m

l

G

D

B l

l

Figuur 4.10 : Doorgaande ligger

Als statisch bepaald hoofdsysteem van deze constructie kan gekozen worden voor een ligger op twee steunpunten. De drie oplegreacties in C, D en G zijn nu de statisch-onbepaalden.

CV l

EI

GV

DV l

l

l

Figuur 4.11 : Statisch bepaald hoofdsysteem

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

35

CTB3330 : Arbeid en Energie De belasting van dit statisch bepaalde hoofdsysteem t.g.v. de gelijkmatig verdeelde belasting en de statisch onbepaalden kunnen in MAPLE worden ingevoerd als één functie door de puntlasten te modelleren m.b.v. een Dirac-functie. De momentenlijn van het statisch bepaalde hoofdsysteem volgt dan uit de oplossing van de 2e orde differentiaal vergelijking [3a] [3b] : d2M = −q ( x) dx 2

( 2e orde D.V. voor het evenwicht van een Euler-Bernoulli ligger)

De randvoorwaarden voor het statisch bepaalde hoofdsysteem zijn zeer eenvoudig; voor x = 0 en x = 4l geldt dat het moment nul moet zijn. Met de bekende M-lijn kunnen vervolgens m.b.v. de 2e wet van Castigliano de vormveranderingsvoorwaarden worden opgesteld. dEc dEc dEc wC = = 0; wD = = 0; wE = = 0; dC V dD V dG V Hieruit volgen de statisch onbepaalden CV = 64 kN, DV = 52 kN en GV = 64 kN. > restart; > q:=qo-Cv*Dirac(L-x)-Dv*Dirac(2*L-x)-Gv*Dirac(3*L-x): > DV:=diff(M(x),x$2)=-q: > RV:=M(0)=0, M(4*L)=0: > dsolve({DV,RV},{M(x)}): M:=rhs(%): > Ec:=int((M^2)/(2*EI),x=0..4*L): > eq1:=diff(Ec,Cv)=0: > eq2:=diff(Ec,Dv)=0: > eq3:=diff(Ec,Gv)=0: > sol:=solve({eq1,eq2,eq3},{Cv,Dv,Gv}): assign(sol): > qo:=7: L:=8: EI:=10000: > evalf(Cv); evalf(Dv); evalf(Gv); 64. 52. 64.

4.2 1e wet van Castigliano Bij het afleiden van de 2e wet van Castigliano is gebruik gemaakt van de verrichte arbeid door een serie puntlasten op een ligger. Daarbij is uitgegaan van de flexibiliteitsrelatie tussen de verplaatsing en de kracht : u = c × F . Er kan echter ook gebruik gemaakt worden van de stijfheidsrelatie tussen kracht en verplaatsing : F = k × u Vergelijking 4.1 voor de door de uitwendige belasting verrichte arbeid wordt als uitgangspunt genomen. Auitw = 12 Fa u a + 12 Fb u b + 12 Fc u c + ... + 12 Fx u x (4.1) De krachten kunnen worden uitgedrukt in de verplaatsingen door de stijfheidsrelatie toe te passen : Fa = k aa u a + k ab u b + k ac u c + ... + k ax u x Fb = k ba u a + k bb u b + k bc u c + ... + k bx u x Fc = k ca u a + k cb u b + k cc u c + ... + k cx u x

(4.2b)

Fx = k xa u a + k xb u b + k xc u c + ... + k xx u x De coëfficiënten kij zijn de stijfheidsfactoren of ook wel de componenten van de stijfheidsmatrix. Door de arbeid te differentiëren naar één van de verplaatsingen, b.v. ux ontstaat: ∂Auitw 1 ∂Fa 1 ∂Fb 1 ∂Fc ∂F = 2 ua + 2 ub + 2 uc + ... + 12 Fx + 12 u x x (4.3b) ∂u x ∂u x ∂u x ∂u x ∂u x Let op: De laatste term van 4.1 moet met behulp van de productregel herhaald worden gedifferentieerd.

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

36

CTB3330 : Arbeid en Energie Voor het bepalen van partiële afgeleiden van de krachten Fi naar de verplaatsing ux kan gebruik worden gemaakt van formule (4.2b):

∂Fa ∂ ( k aa u a + k ab u b + k ac u c + ... + k ax u x ) = = k ax ∂u x ∂u x ∂Fb ∂ ( k ba u a + k bb u b + k bc u c + ... + k bx u x ) = = k bx ∂u x ∂u x ∂Fc ∂ ( k ca u a + k cb u b + k cc u c + ... + k cx u x ) = = k cx ∂u x ∂u x

(4.4b)

∂Fx ∂ ( k xa u a + k xb u b + k xc u c + ... + k xx u x ) = = k xx ∂u x ∂u x Door dit resultaat in (4.3b) in te vullen ontstaat :

∂Auitw 1 = 2 u a k ax + 12 u b k bx + 12 u c k cx + ... + 12 u x k xx + 12 Fx ∂u x

(4.5b)

Volgens Maxwell geldt, zie ook paragraaf 2.5 :

k ax = k xa k bx = k xb

(4.6b)

k cx = k xc Door dit toe te passen kan vergelijking (4.5b) geschreven worden als:

∂Auitw 1 = 2 k xa u a + 12 k xb u b + 12 k xc u c + ... + 12 k xx u x + 12 Fx ∂u x

(4.7b)

1 2

Fx Vergelijking (4.7b) is na vereenvoudiging te schrijven als: ∂Auitw = Fx ∂u x

of

∂Ev = Fx ∂u x

(4.8b)

Uiteindelijk blijkt dus door arbeid, verricht door de uitwendige krachten, te differentiëren naar een verplaatsing dit juist de kracht in de richting van deze verplaatsing op te leveren. Dit is de 1e wet van Castigliano. Een toepassing van de 1e wet van Castigliano zal pas in het volgende hoofdstuk worden gegeven.

4.3 Samenvatting van hoofdstuk 4 In dit hoofdstuk is afgeleid dat voor lineair elastische systemen geldt: d Ec (1) =u 2e wet van Castigliano dF Waarbij de complementaire energie Ec uitgedrukt is in termen van F en waarbij u de verplaatsing t.p.v en in de richting van F voorstelt. Aangetoond is dat toepassen van de 2e wet van Castigliano identiek is aan het minimaliseren van de vormveranderingsenergie.

(2)

dE v =F du

1e wet van Castigliano

In het volgende hoofdstuk zal opnieuw ingegaan worden op deze twee wetten. Dan echter zal niet langer uitgegaan worden van lineaire systemen. De wetten die dan ontstaan vertonen grote gelijkenis met hetgeen in dit hoofdstuk aannemelijk is gemaakt.

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

37


5 ENERGIEFUNCTIES EN BENADERINGEN De arbeidswetten van Castigliano zijn in het vorige hoofdstuk aannemelijk gemaakt voor lineair elastische problemen. In dit hoofdstuk zal een meer algemene formulering worden geïntroduceerd waarmee gekeken kan worden naar de geldigheid van de eerder afgeleide arbeidstheorema’s. Daarnaast wordt er ingegaan op benaderingsoplossingen gebaseerd op het principe van de minimale potentiële energie.

5.1 Energiefunctie In hoofdstuk 2 is het begrip virtuele arbeid toegelicht. Aangetoond is dat in feite een evenwichtseis wordt beschreven. Deze kan geschreven worden als:

δA = 0 Dit houdt in dat indien een constructie een virtuele verplaatsing ondergaat, waarbij het verplaatsingsveld voldoet aan alle randvoorwaarden, de som van de virtuele arbeid die verricht wordt door alle krachten die op en in de constructie werken nul moet zijn. Wiskundig kan dit worden opgevat als een situatie waarbij indien een kleine verstoring (virtuele verplaatsing) wordt aangebracht een functie-waarde niet varieert. Dat een functiewaarde niet varieert of verandert houdt in dat de helling van de functie voor een bepaalde toestand horizontaal moet zijn. Dit noemen we het stationair zijn van de functie. In figuur 5.1 worden een aantal voorbeelden van een dergelijke toestand weergegeven

V

x kleine verstoring

Figuur 5.1 : Stationaire punten van een functie

evenwichtspositie

De functie waar hier over gesproken wordt is een energie-functie waarvan nog niet precies duidelijk is wat deze voorstelt. We hebben eerder echter gezien dat arbeid en energie uitwisselbare grootheden zijn en voeren daarom hier een energie-potentiaal V in. In figuur 5.1 is te zien dat de potentiaal op meerdere plaatsen stationair is. Duidelijk is echter ook dat alleen in de “dalen” een stationaire situatie optreedt die stabiel is. Aan de hand van het aangegeven kogeltje wordt geprobeerd duidelijk te maken wat dit inhoudt. Het kogeltje zal alleen in de “dalen” bij een kleine verstoring terugkeren naar de stabiele evenwichtspositie terwijl op de “toppen” een situatie ontstaat waarbij bij een kleine verstoring geen statisch evenwicht meer mogelijk is. In constructies treedt ook een situatie op zoals hierboven is beschreven. Uit deze analogie kan worden opgemaakt dat alleen een stationaire, stabiele evenwichtssituatie ontstaat daar waar de energie-functie een minimumwaarde heeft. Dit betekent: d 2V >0 dx 2 Welke componenten zitten er in deze functie V ? Uit de natuurkunde is de behoudswet voor energie bekend. Deze behoudswet geldt ook voor het belasten van constructies. Een kracht die arbeid verricht op een constructie onttrekt energie aan zijn omgeving. Deze energie kan worden omgezet in een beweging, een vervorming of warmteontwikkeling. Volgens de dV = 0 en dx

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

38

CTB3330 : Arbeid en Energie behoudswet blijft de totale hoeveelheid potentiële en kinetische (bewegings) energie in een afgesloten systeem constant:

Ekin + E pot = constant Hier gaan we uit van statisch evenwicht hetgeen betekent dat er geen beweging is en ook niet ontstaat. Alle massatraagheidskrachten worden in onze evenwichtsvergelijkingen immers niet meegenomen. Door deze inperking van het probleem gaat de algemene behoudswet over in:

E pot = constant De nog onbekende energiefunctie is dus de potentiële energie. Voor een stabiel evenwicht, zie figuur 5.1, moet gelden dat de variatie van de potentiële energie gelijk is aan nul. Dit kan gezien worden als het constant blijven van het energieniveau bij een kleine variatie van de toestandsvariabelen. Wat deze toestandsvariabelen zijn zal verderop duidelijk worden. De enige uitwisseling van energie die kan plaatsvinden in ons geval, waarbij alleen elastische constructies worden beschouwd, is de energie die nodig is om een kracht arbeid te laten verrichten en de energie die opgeslagen wordt bij het elastisch vervormen van het materiaal. Het gaat daarbij dan om de begrippen potentiële energie van de belasting en de potentiële energie van de vormverandering. Het begrip potentiële energie van de vormverandering is al bekend, deze staat ook wel bekend als elastische energie of vormveranderingsenergie. In paragraaf 3.6 is in tabel 1 hiervan een overzicht gegeven. Het begrip potentiële energie van de belasting is nieuw en zal in de volgende paragraaf worden toegelicht.

5.1.1 Potentiële energie van de belasting Uit de natuurkunde is bekend dat een lichaam dat onderhevig is aan bijvoorbeeld de zwaartekracht potentiële energie bezit. Dit betekent dat een lichaam geplaatst in een veld (gravitatie-veld) en dat gevoelig is voor de veldkracht (zwaartekracht) in potentie arbeid kan verrichten. Om arbeid te kunnen verrichten moet er dus een “verborgen” energie aanwezig zijn. Deze energie wordt potentiële energie genoemd en is gedefinieerd als:

E p = mgh = Fg × h In figuur 5.2 is een puntmassa geplaatst in het gravitatie-veld. Voor twee posities in het veld zijn de niveau’s van de potentiële energie in een staafdiagram weergegeven. De kracht op de massa blijft constant (veldkracht), het niveau van de potentiële energie is dus alleen afhankelijk van de plaatshoogte. Het begrip potentiële energie is in feite gelijk te stellen aan dat van de potentiële energie van plaats. Bij het verplaatsen van het lichaam zal de potentiële energie van plaats afnemen zoals is weergegeven in figuur 5.2. Ep Fg=mg mgh1 mgh1

∆h mgh2

mgh2 Fg=mg h

h

referentie-vlak Figuur 5.2 : Potentiële energie niveau’s

De arbeid die de veldkracht verricht is positief, immers kracht en geassocieerde verplaatsing hebben dezelfde richting.

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

39

CTB3330 : Arbeid en Energie De verrichte arbeid kan dus ook worden beschouwd als een afname van de potentiële energie van plaats:

A = Fg × ∆h = ∆Ep

( verandering van potentiële energie )

Het zal duidelijk zijn dat in deze beschouwing alleen het verschil in energieniveau van belang is. Het niveau van de potentiële energie zelf doet er niet toe. Deze is afhankelijk van de keuze van het referentie-vlak zoals is weergegeven in figuur 5.2. Deze beschouwing geldt niet alleen voor het hier afgebeelde voorbeeld maar algemeen voor conservatieve krachten. Een conservatieve kracht is een kracht waarbij de verrichte arbeid onafhankelijk is van de afgelegde weg maar slechts afhankelijk is van begin en eindpunt. In figuur 5.3 wordt dit verduidelijkt. A

∆h

F

De stippellijnen geven de relatieve potentiële energie niveaus weer van de belasting in A en B. De arbeid is alleen afhankelijk van de geassocieerde afstand tussen A en B, aangegeven met ∆h.

B F

Figuur 5.3 : Conservatieve krachten

De (veld)kracht heeft steeds dezelfde richting, de arbeid is dus alleen afhankelijk van de projectie van A-B op de krachtvector (geassocieerde verplaatsing). Vergelijk dit maar met figuur 5.2 waar de kracht werd veroorzaakt door het gravitatieveld. Krachten zoals in figuur 5.3 hebben dus ook potentiële energie van plaats.

5.1.2 Minimale potentiële energie De potentiële energiefunctie die we zoeken bestaat dus uit een component die gevormd wordt door de vervormingsenergie en een component ten gevolge van de afname van de potentiële energie van plaats en kan gedefinieerd worden als:

V = E v − ∆E p De eis dat deze stationair moet zijn voor kleine variaties in de toestandsvariabelen wordt aan de hand van een voorbeeld toegelicht m.b.v een kracht en een veer in een systeem.

Voorbeeld 9 : De ingedrukte lineair-elastische veer kracht

F F

F u

F u

Situatie 0

Situatie 1

Situatie 2

indrukking

veerkarakteristiek

Figuur 5.4 : Voorbeeld met behulp van potentiële energie

De potentiële energie kan worden opgesteld met de vormveranderingsenergie en de potentiële energie van plaats . Zowel de vormveranderingsenergie als de potentiële energie van plaats worden per definitie op nul gesteld voor de onvervormde toestand (situatie 0). Dat de veer iets met de kracht te maken heeft is hier nog niet relevant. De totale potentiële energie voor situatie 1 kan worden beschreven in termen van de verplaatsing u met:

V = E v − ∆E p = 12 × k × u 2 − F × u © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

40

CTB3330 : Arbeid en Energie De eis dat deze functie stationair is voor een kleine variatie in u betekent: dV = k ×u − F = 0 du

en

d 2V =k du 2

( > 0 is minimum)

Hieruit volgt de evenwichtsvoorwaarde voor situatie 2 waarbij veer en kracht met elkaar in relatie worden gebracht:

F = k ×u De potentiële energie krijgt hiermee een minimale waarde van:

V = − 12 ku 2 Het blijkt dat dit minimum een negatieve waarde heeft. De toestandsvariabele was in dit geval een verplaatsingsparameter.

5.1.3 Generalisatie van het begrip minimale potentiële energie Met voorbeeld 9 is gedemonstreerd hoe met behulp van een energie-functie de evenwichtsvoorwaarde kan worden gevonden. Het verplaatsingsveld hoeft niet slechts één onbekende parameter te bevatten. Algemeen geldt, dat de variatie (aangegeven met δ) van de potentiële energie nul moet zijn voor kleine variaties in de parameters ui die het verplaatsingsveld beschrijven. De variatie van de potentiële energie wordt hiermee:

δV =

∂V ∂V δu1 + … + δu n ∂u n ∂u1

Deze variatie nul moet zijn voor iedere toelaatbare variatie δui van de parameters ui :

∂V ∂V = 0 ,…,…, =0 ∂u1 ∂u n Dit houdt in dat de partiële afgeleiden van de potentiële energie naar de verplaatsingsparameters ui (toestandsvariabelen) gelijk moet zijn aan nul.

5.1.4 Geldigheid Het begrip minimale potentiële energie gaat ervan uit dat energie uitwisselbaar is. Dat kan alleen als de energie die in een constructie wordt opgeslagen tijdens belasten weer geheel vrij kan komen tijdens ontlasten. Alleen elastische materialen beschikken over deze eigenschap en dus geldt het principe van minimale potentiële energie alleen voor elastische constructies. Let op: Het is hier van belang op te merken dat er geen eis wordt gesteld dat de materialen zich lineair moeten gedragen.

5.1.5 Relatie met de wetten van Castigliano In het vorige hoofdstuk zijn de 1e en 2e wetten van Castigliano afgeleid waarbij uitgegaan werd van lineair elastisch materiaalgedrag. Met behulp van het principe van minimale potentiële energie kunnen deze wetten ook worden gevonden. Aan de hand van de constructie van figuur 5.5 zal dit worden toegelicht.

Fa ua

Fb

ub

Fc

Fx ux

uc

Figuur 5.5 : Vervormde constructie met verplaatsingsveld

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

41

CTB3330 : Arbeid en Energie Het verplaatsingsveld in figuur 5.5 wordt beschreven met de verplaatsingsparameters ui. De totale potentiële energie is de som van de potentiële energie van de vervorming en die van de belasting. De vormveranderings-energie is een functie van de verplaatsingparameters:

E v = f (u a , u b ,… , u x ) De potentiële energie van plaats kan worden beschreven met:

E p = − Fa u a − Fb u b − … − Fx u x Zodat voor de totale potentiële energie wordt gevonden:

V = E v + E p = f (u a , u b ,… , u x ) − Fa u a − Fb u b − … − Fx u x Stationair zijn van deze energie levert: ∂V ∂V ∂V δV = δu a + δu b + … + δu x = 0 ∂u a ∂ub ∂u x Invullen van de uitdrukking voor de totale potentiële energie levert: ∂ (E v − Fa u a ) ∂ (E v − Fb u b ) ∂ (E v − Fx u x ) δV = δu a + δu b + … + δu x = 0 ∂u a ∂u b ∂u x

 ∂E



 ∂E



 ∂E



δV =  v − Fa  δu a +  v − Fb  δu b + … +  v − Fx  δu x = 0  ∂u a   ∂u b   ∂u x  Als steeds één verplaatsingsparameter wordt gevarieerd en alle anderen gelijk aan nul worden gesteld dan wordt gevonden voor b.v. Fx: ∂E v − Fx = 0 ∂u x Hierin wordt de eerder afgeleide 1e wet van Castigliano herkend. Het verschil met de eerdere afleiding is dat hier geen gebruik is gemaakt lineaire elasticiteit, wel van elasticiteit. In paragraaf 3.6 hebben we gezien dan in plaats van vormveranderingsenergie er ook gewerkt kan worden met complementaire energie. Deze complementaire energie heeft nauwelijks een fysische betekenis. In figuur 5.6 is de definitie van de complementaire energie voor een veer met een niet-lineair elastische veerkarakteristiek weergegeven.

N

F

N

u

E c = ∫ udN

E v = ∫ N du

0

u

0

u Figuur 5.6 : Vervormingsenergie en complementaire energie

Uit de figuur wordt duidelijk dat moet gelden :

Ec + Ev = F × u Dit geldt uiteraard ook voor constructies met meerdere krachten zoals die van figuur 5.5. We mogen voor de constructie van figuur 5.5 dus ook een complementaire energie functie invoeren die we afhankelijk maken van de op de constructie aangebrachte belasting:

E c = g (Fa , Fb ,….Fx ) © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

42

CTB3330 : Arbeid en Energie Volgens de definitie van de complementaire energie is deze in dit geval gelijk aan:

E c = Fa u a + Fb u b + … + Fx u x − E v Deze uitdrukking lijkt wel heel erg veel op die van de totale potentiële energie! Verschil nu is echter dat niet de verplaatsingen de veranderende parameters zijn maar de krachten. Door de complementaire energie te differentiëren naar bijvoorbeeld de belasting Fx ontstaat: ∂E c ∂Fa ∂u ∂F ∂u ∂F ∂u ∂E = u a + Fa a + b u b + Fb b + … + x u x + Fx x − v ∂Fx ∂Fx ∂Fx ∂Fx ∂Fx ∂Fx ∂Fx ∂Fx De belastingen zijn onafhankelijk van elkaar waardoor de bovenstaande uitdrukking kan worden vereenvoudigd tot: ∂E c ∂u ∂u ∂u ∂E = Fa a + Fb b + … + Fx x + u x − v ∂Fx ∂Fx ∂Fx ∂Fx ∂Fx De laatste term in deze uitdrukking kan herschreven worden als: ∂E v ∂E v ∂u a ∂E v ∂u b ∂E ∂u x = + +…+ v ∂Fx ∂u a ∂Fx ∂u b ∂Fx ∂u x ∂Fx Hiermee ontstaat: ∂E c ∂u ∂u ∂u ∂E ∂u ∂E ∂u ∂E ∂u x = Fa a + Fb b + … + Fx x + u x − v a − v b − … − v ∂Fx ∂Fx ∂Fx ∂Fx ∂u a ∂Fx ∂u b ∂Fx ∂u x ∂Fx

   ∂E c ∂E  ∂u ∂E  ∂u ∂E  ∂u = u x +  Fa − v  a +  Fb − v  b + … +  Fx − v  x ∂Fx ∂u a  ∂Fx  ∂u b  ∂Fx ∂u x  ∂Fx   e Volgens de 1 wet van Castigliano geldt echter: ∂E v ∂E ∂E v ∂E ∂E v ∂E = Fa ⇒ Fa − v = 0 = Fb ⇒ Fb − v = 0 = Fx ⇒ Fx − v = 0 ∂u a ∂u a ∂u b ∂u b ∂u x ∂u x Door dit te verwerken ontstaat: ∂E c = ux ∂Fx Deze laatste uitdrukking staat bekend als de stelling van Grotti en Engesser. Conclusie: 1e stelling Cotterill – Castigliano (1873) Als de vormveranderingsenergie is beschreven in de verplaatsingen behorende bij (uitwendige) krachten dan is de partiële afgeleide van de vervormingsenergie naar de één van deze verplaatsingen gelijk aan de bijbehorende (uitwendige) kracht. Aan deze wet zijn de namen van Castigliano en Cotterill verbonden.

dEc = udF

dF

F

dEv = Fdu

e

2 stelling Grotti (1878) – Engesser (1889) – Castigliano (1873) Als de complementaire energie is beschreven in de (uitwendige) krachten behorende bij verplaatsingen dan is de partiële afgeleide van de complementaire energie naar de één van deze (uitwendige) krachten gelijk aan de bijbehorende verplaatsing. Aan deze wet zijn de namen van Grotti en Engesser verbonden terwijl Castigliano deze wet gedeeltelijk vond voor alleen lineair elastische systemen.

u du Figuur 5.6b : Castigliano

Wetten van Castigliano Voor lineair elastische systemen hebben we reeds in paragraaf 3.6 gezien dat de vervormingsenergie gelijk moet zijn aan de complementaire energie. De beide wetten die dan ontstaan kunnen dan in de gedaante worden geschreven zoals ook in hoofdstuk 4 is afgeleid en staan bekend als de wetten van Castigliano. In figuur 5.6b is een vereenvoudigde verduidelijking van de formules gegeven:

∂Ec = ui ∂Fi © Ir J.W. Welleman

∂Ev = Fi ∂ui Maart 2014

43


5.1.6 Relatie tussen de virtuele arbeidsvergelijking en het principe van minimum potentiële energie* In paragraaf 3.9 is de virtuele arbeidsvergelijking voor vervormbare lichamen geïntroduceerd. Voor bijvoorbeeld een constructie op buiging en extensie geldt voor de virtuele arbeidsvergelijking: l

l

0

0

δA = − ∫ Mδκdx − ∫ Nδεdx + δAuitw = 0 Met de door aanwezige (uitwendige) krachten en koppels geleverde virtuele arbeid ontstaat: l

l

0

0

δA = − ∫ Mδκdx − ∫ Nδεdx + ∑ Fi δu i + ∑ Ti δϕ i = 0 Deze toestandsvergelijking kan ook worden verkregen met behulp van het principe van minimum potentiële energie. De totale potentiële energie bestaat uit een bijdrage van de vervormingsenergie en de potentiële energie van de belasting. Ga zelf na met behulp van de tot nu gepresenteerde theorie dat voor de totale potentiële energie geschreven kan worden: ε κ  V = ∫ ∫ Mdκ + ∫ Ndε dx − ∑ Fi u i − ∑ Tiϕ i 0 0 0  l

Stationair zijn van de potentiële energie houdt in dat voor kleine variaties in de verplaatsingen (en de vervormingen) de waarde van V niet verandert:

δV =

∂V ∂V ∂V ∂V δκ + δε + ∑ δu i + ∑ δϕ i = 0 ∂κ ∂ε ∂u i ∂ϕ i l

δV = ∫ (Mδκ + Nδε )dx − ∑ Fi δu i − ∑ Tiκ i = 0 0

Dit is op het teken na dezelfde uitdrukking als die voor de virtuele arbeidsvergelijking. Geheel identiek zijn de beide uitdrukkingen echter niet. De virtuele arbeidsvergelijking is onafhankelijk van het materiaalgedrag. Het principe van minimum potentiële energie gaat echter uit van een elastisch materiaalgedrag. Voor een verdergaande vergelijking wordt verwezen naar [2].

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

44


5.2 Benaderingsoplossingen Met het principe van minimum potentiële energie is het mogelijk om oplossingen te vinden voor de krachtsverdeling in de constructie waarbij bijvoorbeeld uitgegaan wordt van een aangenomen verplaatsingsveld. Als het aangenomen verplaatsingsveld het correcte verplaatsingsveld is wordt de exacte oplossing gevonden, als het aangenomen verplaatsingsveld een benadering is dan wordt uiteraard een benadering van de oplossing gevonden. Aan de hand van twee eenvoudige voorbeelden worden de beide situaties behandeld.

5.2.1 Constructies op extensie In het onderstaande voorbeeld wordt een verplaatsingsveld aangenomen voor een constructie die op trek wordt belast. Met behulp van dit aangenomen verplaatsingsveld zal op basis van het principe van minimum potentiële energie de oplossing worden bepaald.

Voorbeeld 10 : Constructie op trek met een aangenomen verplaatsingsveld De constructie van figuur 5.7 bestaat uit een oneindig stijve balk die is opgehangen aan drie stalen draden met elk een rekstijfheid k. F

k

k

k

a 4a

2a

Figuur 5.7 : Opgehangen constructie

Om een oplossing te vinden wordt het verplaatsingsveld aangenomen dat is aangegeven in figuur 5.8.

k

k u2

F

u1

k

4a

u3

2a

u −u  u2 = u1 −  1 3  × 4a  6a  u2 = 13 (u1 + 2u3 )

Figuur 5.8 : Aangenomen verplaatsingsveld

Dit verplaatsingsveld kan worden beschreven met twee parameters u1 en u3. De oplossing kan gevonden worden door het opstellen van de vergelijking van de potentiële energie en deze te minimaliseren. De vergelijking voor de potentiële energie luidt:

V = 12 ku12 + 12 k ( 13 (u1 + 2u3 ) ) + 12 ku32 − F × ( 12 (u1 + u3 ) ) 2

Deze vergelijking kan worden vereenvoudigd tot: 2 2 13 4 1 V = 10 18 ku1 + 18 ku1u 3 + 18 ku 3 − 2 F (u1 + u 3 )

Stationair zijn van V voor iedere mogelijke variatie van de verplaatsingsparameters levert:

δV =

∂V ∂V δ u1 + δu 3 = 0 ∂u1 ∂u 3

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

45

CTB3330 : Arbeid en Energie Deze variatie is alleen nul als de beide partiële afgeleiden nul zijn:

∂V =0 ∂u1

∂V =0 ∂u3

Het uitwerken van deze eis levert de volgende twee vergelijkingen: 20 18

ku1 + 184 ku3 − 12 F = 0

4 18

26 ku1 + 18 ku3 − 12 F = 0

Hieruit volgt:

u 3 = 118 u1 Dit resultaat invullen in een van de twee vergelijkingen levert:

u1 =

11 28

F k

u2 =

9 28

F k

u3 =

8 28

F k

Dit antwoord is het exacte antwoord aangezien het aangenomen verplaatsingsveld het exacte verplaatsingsveld is. Door de starre ligger kan er in feite geen ander verplaatsingsveld ontstaan. Het stationair zijn van de potentiële energie levert twee vergelijkingen. Het lineaire verplaatsingsveld levert de derde vergelijking waarmee de drie onbekende verplaatsingen uit te drukken zijn in de belasting. Dit resultaat kan ook verkregen worden met behulp van de evenwichtsvergelijkingen en één vervormingseis. De constructie is immers enkelvoudig statisch onbepaald. De krachtsverdeling is alleen te bepalen op basis van evenwichtsvoorwaarden en een vormveranderingsvoorwaarde. In figuur 5.9 wordt dit voor de aardigheid nog eens gedemonstreerd.

k

k

F

u1

k

u2

4a

u3

2a

F

F2

F3

F1

Figuur 5.9 : Klassieke oplosmethode De krachten in de draden zijn aangegeven met F1, F2 en F3. Om de verplaatsingen te vinden kan gebruik gemaakt worden van twee evenwichtsvergelijkingen; som van de verticale krachten is nul en de som van de momenten om een punt is nul. Er zijn geen horizontale krachten aanwezig en een evenwichtsvoorwaarde voor die richting is dus zinloos. Uiteraard kan weer gebruik gemaakt worden van de vervormingseis voor de tweede veer in verband met de oneindig stijve balk. Het stelsel vergelijking dat zodoende verkregen kan worden is:

ku1 + ku2 + ku3 = F ku1 × 3a − ku2 × a − ku3 × 3a = 0 u2 = 13 (u1 + 2u3 ) Dit stelsel kan in matrixvorm worden geschreven en vervolgens worden opgelost.

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

46


1   u1   F k  1 1 3 − 1 − 3 u  =  0     2      1 − 3 2  u 3   0  Hieruit volgt:

u1 =

11 28

F k

u2 =

9 28

F k

u3 =

8 28

F k

5.2.2 Constructies op buiging In het onderstaande voorbeeld wordt een verplaatsingsveld aangenomen voor een constructie die op buiging wordt belast. Met behulp van dit aangenomen verplaatsingsveld zal op basis van het principe van minimum potentiële energie de oplossing worden benaderd.

Voorbeeld 11 : Buigingsprobleem met een aangenomen verplaatsingsveld In figuur 5.10 is een ligger op twee steunpunten gegeven, belast door een puntlast waarbij een verplaatsingsveld is aangenomen. Dit verplaatsingsveld is een kinematisch toelaatbaar verplaatsingsveld, hetgeen wil zeggen dat de verplaatsingen voldoen aan de (geometrische) randvoorwaarden (b.v. verplaatsing en hoekverdraaiing) en vervormingsvrijheden van de constructie. Met dit laatste wordt bijvoorbeeld bedoeld dat er een logisch verplaatsingveld wordt gekozen waar b.v. geen sprongen of andere discontinuïteiten zitten. In principe hoeft er niet aan de dynamische randvoorwaarden te worden voldaan. Hierbij kunnen we denken aan bijvoorbeeld een moment dat bij een oplegging nul is. Het gekozen verplaatsingveld hoeft dan niet te voldoen aan de eis dat de 2e afgeleide van de verplaatsingsfunctie daar ook nul moet zijn.  πx  w = a sin   l 

F

l Figuur 5.10 : Buiging met een aangenomen verplaatsingsveld

De potentiële energie voor dit probleem bestaat uit een bijdrage van de vervormingsenergie en de potentiële energie van plaats. Met het aangenomen verplaatsingveld ondergaat de puntlast een zakking ter grootte van a. De totale potentiële energie wordt hiermee, zie ook tabel 1 van paragraaf 3.6: l

V = E v − ∆E p = ∫ 12 EIκ 2 dx − Fa 0

Met behulp van de basiskennis van de Toegepaste Mechanica is bekend dat de kromming kan worden bepaald uit het verplaatsingsveld met behulp van de kinematische relatie: d2w κ = − 2 = − w" dx Met het aangenomen verplaatsingsveld kan nu de vergelijking voor de potentiële energie worden opgesteld.

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

47

CTB3330 : Arbeid en Energie l

V = EI ∫ w" dx − Fa = 2

1 2

1 2

π 4 EIa 2 l

0 4

V= V=

1 2

π EIa

4

l

∫ sin

2

0

 πx   dx − Fa  l 

2 l

l4

4 2 1 1  2πx  1 π EIa − cos d x − Fa = × 12 l − Fa 2 4 ∫0 2 2  l  l

π 4 EIa 2

− Fa 4l 3 Volgens het principe van minimale potentiële energie moet gelden: dV π 4 EIa Fl 3 Fl 3 = − F = 0 ⇒ wmidden = a = 4 = da 2l 3 π / 2 EI 48,705EI

(

)

Fl 3 V =− 97,409 EI

Deze oplossing komt heel erg dicht in de buurt van de exacte oplossing. Ga dit zelf na! Met behulp van de gevonden zakking kan nu ook het momentenverloop worden bepaald:

M ( x ) = EIκ = − EIw" =

π 2 EIa l

2

 πx  2 Fl  πx   πx  sin  = 2 sin  = 0,202 Fl sin   l  π  l   l 

De vorm van deze momentenlijn is uiteraard niet correct. We verwachten immers een lineair verlopend moment met een maximum van 0,25Fl t.p.v. de puntlast. Merk ook op dat het moment onder de puntlast minder goed wordt benaderd dan de verplaatsing t.p.v. de puntlast. Dit is een logisch gevolg van het feit dat het moment een hogere afgeleide is van een geschat verplaatsingsveld. Het mag duidelijk zijn dat indien een functiebenadering tweemaal wordt gedifferentieerd grote afwijkingen kunnen ontstaan. Hiermee is een belangrijk aspect van benaderingsmethoden geïntroduceerd. Vergelijk zelf maar eens de dwarskrachtverdeling ! Een andere mogelijke schatting voor het verplaatsingveld die aan de kinematische randvoorwaarden voldoet is bijvoorbeeld het volgende polynoom:

w = ax(l − x) + bx 2 (l − x) + cx 3 (l − x) + dx 4 (l − x) De vergelijking die hier gekozen is bevat niet minder dan 4 parameters! De functie voldoet aan de geometrische eis dat de zakking links en rechts bij de opleggingen nul moet zijn. De verplaatsing in het midden van de ligger wordt met dit verplaatsingsveld:

wmidden

al 2 bl 3 cl 4 dl 5 = + + + 4 8 16 32

De vergelijking voor de potentiële energie wordt hiermee: l

V = 12 EI ∫ w"2 dx − F × wmidden 0

Dat de potentiële energie stationair moet zijn voor kleine veranderingen van het verplaatsingsveld leidt tot de eis dat moet gelden:

∂V ∂V ∂V ∂V = 0; = 0; = 0; = 0; ∂a ∂b ∂c ∂d Uitwerking hiervan wordt aan de lezer overgelaten. Met behulp van MAPLE of DERIVE zijn de berekeningen snel uit te voeren. De maximale zakking die hiermee wordt gevonden en het niveau van de potentiële energie zijn (zie bijlage C):

wmidden =

Fl 3 48,762 EI

V =−

F 2l 3 97,523EI

De benadering m.b.v. het polynoom met 4 parameters is niet veel beter dan de schatting m.b.v. de sinusfunctie welke beschreven wordt met één parameter. Hiermee wordt gedemonstreerd dat de nauwkeurigheid niet noodzakelijk verbetert door meer parameters in te voeren. Minstens zo belangrijk is dat de vorm van de uitbuiging zo dicht mogelijk bij de exacte vorm ligt.

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

48

CTB3330 : Arbeid en Energie Het ligt daarom meer voor de hand om de benaderingen zo veel mogelijk te zoeken in functies met maar één parameter, bijvoorbeeld:

w = al 3 x − 2alx 3 + ax 4    x − 0,5l  w = a cosh  − cosh(0,5l )   l    Voor een vergelijking met de exacte uitkomst wordt hier eerst de potentiële energie van de exacte oplossing bepaald. Ga zelf na dat hiervoor de vormveranderingsenergie en de exacte zakking t.p.v. de puntlast noodzakelijke gegevens zijn:

F 2l 3 Fl 3 EI wmidden = 96 48 EI 2 3 F l F 2l 3 V= EI − F × wmidden = − EI 96 96 Ev =

Als we de gevonden uitkomsten vergelijken levert dat het volgende beeld: uitbuigingsvorm exact

parameter(s) n.v.t.

 πx  w = a sin    l 

Fl 3 π 4 / 2 EI 0,9844 Fl 10 F a= ; b= ; 128 EI 16 EI 10 F c=− ; d =0 128 EI × l 0,9766 Fl 3 a= 48,70454 EI a=

w = ax(l − x) + bx 2 (l − x) + cx 3 (l − x) + dx 4 (l − x)

w = al 3 x − 2alx 3 + ax 4

(

V / Vexact 1,0 0,9855

)

Fl 3    x − 0,5l  w = a cosh   − cosh(0,5l )  a = − 8,52178EI  l   

0,7189

De exacte oplossing geeft inderdaad het meest negatieve (laagste) niveau voor de potentiële energie.

Samenvatting Met eenvoudige functies kan een verplaatsingveld worden benaderd. Meestal zal een functie met één parameter goed voldoen. Essentieel is dat de functies voldoen aan de kinematische randvoorwaarden. Bij een inklemming bijvoorbeeld zal wel moeten zijn voldaan aan de eis dat de eerste afgeleide nul is. Omgekeerd hoeft bij een vrije oplegging niet noodzakelijkerwijs te worden voldaan aan de dynamische randvoorwaarde M = 0 (dus kromming is nul!). In de vorm zoals de benadering hier is gepresenteerd spreken we van een benadering van het verplaatsingsveld. Deze aanpak wordt ook toegepast in de eindige elementenmethode waarbij voor ieder element een verplaatsingveld wordt aangenomen, veelal gebaseerd op de mogelijke verplaatsingen in de knopen van het element. Bij de EEM wordt het op te lossen stelsel niet bepaald met behulp van het principe van minimale potentiële energie maar wordt gewerkt volgens de (bijna identieke formulering) voor de virtuele arbeid. Naast het benaderen van het verplaatsingsveld kan er ook gewerkt worden met benaderingen van de krachtsverdeling of zelfs gemengde vormen. Er is op dit gebied veel goede literatuur voorhanden waarna graag wordt verwezen [10, 11]. © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

49


6 LITERATUURVERWIJZINGEN [1] [2] [3a]

[3b] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13]

Bouma A.J., “Arbeid en energie, college b13”, college diktaat TH-Delft, 1978 Blaauwendraad J., “Elasticiteitstheorie deel I”, college diktaat TU-Delft, 1986 Hartsuijker C. en J.W. Welleman, “Engineering Mechanics, Vol 1”, Springer, ISBN 978-1-402-04120-9 Hartsuijker C. en J.W. Welleman, “Engineering Mechanics, Vol 2”, Springer, ISBN 978-1-4020-4123-5 Hartsuijker C. en J.W. Welleman, “Toegepaste Mechanica, deel 3”, Academic, ISBN 9-789039-505953 Welleman J.W., “Basisboek Toegepaste Mechanica”, ThiemeMeulenhoff, ISBN 900695001-7, 2003 Hartsuijker C.,”Aantekeningen arbeid en energie”, 1994 Hartog den J.P., “Sterkteleer”, Prisma-Technica, 1949 Asplund S.O., “Structural Mechanics, classical and matrix methods”, Prentice-Hall, 1966 Thompson F. and G.G. Haywood, “Structural Analysis using virtual work”, Chapman and Hall, ISBN 0412222906, 1986 El Naschie M.S., “Stress, stability and chaos in structural engineering : an energy approach”, McGraw-Hill, ISBN 007707310-X, 1990. McCormac J.C., “Structural Analysis”, Harper and Row, ISBN 006044342, 1984 Blaauwendraad J. en A.W.M. Kok, “Elementenmethode voor constructeurs”, Agon Elsevier, ISBN 9010104397, 1973 Bathe K.J., “Finite Element Procedures in Engineering Analysis”, Prentice Hall, ISBN 0-13-317305-4, 1982 Nijhuis W, “De verplaatsingsmethode”, blz 175, Agon Elsevier, ISBN9010104311, 1973 Hartsuijker C. en J.W. Welleman, “ ConstructieMechanica 4, Module Niet-symmetrische en inhomogene doorsneden”, college-dictaat Civiele Techniek , november 2007.

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

50


7 BIJLAGEN A:

Afschuifstijfheid van liggerdoorsneden

Voor het bepalen van de afschuifstijfheid k van willekeurige doorsneden in een staafmodel zal de afschuifstijfheid GA van de doorsnede moeten worden gecorrigeerd. Immers in het discrete doorsnede model zal voor iedere vezel dezelfde afschuifvervorming γ1 gelden ten gevolge van een dwarskracht D. Dit is in figuur 1 afgebeeld. D

dx

dw

γ1 D

y

Figuur 1 : discreet doorsnede model

x z

In werkelijkheid is dat niet zo, op basis van de schuifspanningsverdeling over de hoogte van de doorsnede zal in iedere vezel een andere afschuifvervorming willen optreden, zie hiervoor figuur 2.

Figuur 2 : Vezelmodel Voor een vezel op afstand z van de neutrale lijn geldt:

γ ( z) =

τ ( z)

(1)

G

Om toch met het discrete doorsnede model te kunnen werken zal de vormveranderingsenergie van beide modellen gelijk moeten zijn.

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

51

CTB3330 : Arbeid en Energie Voor een liggermootje met een lengte dx geldt: Discrete doorsnede model Evv = 12 D × dw = 12 D × γ 1dx

met : D = k × γ 1

(2)

Vezelmodel z = h2

τ2

z = − h2

2G

Evv = ∫

bdx dz

(3)

Door gelijkstellen kan de afschuifstijfheid k van het discrete systeem worden bepaald. Het schuifspanningsverloop voor b.v. de rechthoekige doorsnede met breedte b en hoogte h is eenvoudig af te leiden. Dit parabolisch verloop kan worden beschreven met :

τ ( z) =

D × S z( a ) b × I zz

 h2  6 × D ×  − z 2   4  = 3 bh

(4)

Hierin is S z( a ) het statisch moment van het afschuivende deel. Deze is een functie van z. Zie hiervoor de basismechanica boeken [3a][3b]. Door (4) in (3) te substitueren en het resultaat gelijk te stellen aan (2) wordt geëist dat de vormveranderingsenergie van beide systemen gelijk is: z = h2

τ2

z = − h2

2G

∫

bdxdz = 12 D × γ 1dx

bdx z = h2 2 τ dz = 12 D × γ 1dx 2G ∫z =− h2 2

  h2  h  6× D × − z 2   z= 2  b   4   dz = D × γ 1 3 ∫   G z =− h bh  2      6D 6D = met : D = k × γ 1 γ1 = 5Gbh 5GA 5 GA k = GA = met : η = 1,2 6 η Ook voor andere doorsneden kan op soortgelijke wijze de afschuifstijfheid k worden bepaald. Voor een willekeurige doorsnede moet even worden opgepast want de formule (4) voor het bepalen van de schuifspanning is alleen geldig voor doorsneden waarbij de z-as samenvalt met de hoofdas van het profiel. Voor een bepaling van de schuifspanningen in een assenstelsel dat niet samenvalt met de hoofdassen wordt verwezen naar het TU-dictaat CT3109 [13].

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

52

CTB3330 : Arbeid en Energie B:

Virtuele arbeidsvergelijking voor een vervormbaar lichaam Bron : ir C. Hartsuijker [4]

©irIrC.J.W. Welleman  Hartsuijker

Maart 2014

53


©irIrC.J.W. Welleman  Hartsuijker

Maart 2014

54

CTB3330 : Arbeid en Energie C:

MAPLE berekening m.b.v. potentiële energie

Voor de hieronder weergegeven ligger is een kinematisch toelaatbaar verplaatsingsveld aangenomen.

F EI wF 0,5 l

0,5 l

Het functievoorschrift van deze continue functie is: w = ax(l − x) + bx 2 (l − x) + cx 3 (l − x) + dx 4 (l − x) Op basis van het beginsel van minimum potentiële energie is met MAPLE de benadering van het verplaatsingsveld bepaald. De in rood aangegeven tekst is invoer, de blauwe tekst is het MAPLE resultaat. Zwarte tekst is commentaar ter verduidelijking. > restart; Potentiële energie van een ligger op twee steunpunten belast met een F-last en een aangenomen verplaatsing die kinematisch toelaatbaar is. - bepaal de coëfficiënten van het aangenomen verplaatsingsveld m.b.v. minimum potentiële energie - bepaal de verrichte arbeid door de uitwendige belasting en de vervormingsenergie > w:=a*x*(l-x)+b*x^2*(l-x)+c*x^3*(l-x)+d*x^4*(l-x); w := a x ( l − x ) + b x 2 ( l − x ) + c x 3 ( l − x ) + d x 4 ( l − x ) > x:=0.5*l; wF:=w; x := .5 l wF := .25 a l 2 + .125 b l 3 + .0625 c l 4 + .03125 d l 5

> x:='x'; x := x > kappa := -diff(diff(w,x),x); M:=EI*kappa; κ := 2 a − 2 b ( l − x ) + 4 b x − 6 c x ( l − x ) + 6 c x 2 − 12 d x 2 ( l − x ) + 8 d x 3 M := EI ( 2 a − 2 b ( l − x ) + 4 b x − 6 c x ( l − x ) + 6 c x 2 − 12 d x 2 ( l − x ) + 8 d x 3 )

Bepaal de potentiële energie: > V:=int((0.5*EI*kappa^2),x=0..l)-F*wF;

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

55

CTB3330 : Arbeid en Energie V := 28.57142857 EI d 2 l 7 + 3.333333333 EI ( 12. c − 12. d l ) d l 6 + .1000000000 EI ( 40. ( 6. b − 6. c l ) d + ( 12. c − 12. d l ) 2 ) l 5 + .1250000000 EI ( 40. ( 2. a − 2. b l ) d + 2. ( 6. b − 6. c l ) ( 12. c − 12. d l ) ) l 4 + .1666666667 EI ( 2. ( 2. a − 2. b l ) ( 12. c − 12. d l ) + ( 6. b − 6. c l ) 2 ) l 3 + .5000000000 EI ( 2. a − 2. b l ) ( 6. b − 6. c l ) l 2 + .5000000000 EI ( 2. a − 2. b l ) 2 l − F ( .25 a l 2 + .125 b l 3 + .0625 c l 4 + .03125 d l 5 ) > eq1:=diff(V,a)=0; eq1 := 10.00000000 EI d l 4 + .1666666667 EI ( 48. c − 48. d l ) l 3 + 1.000000000 EI ( 6. b − 6. c l ) l 2 + 2.000000000 EI ( 2. a − 2. b l ) l − .25 F l 2 = 0 > eq2:=diff(V,b)=0; eq2 := 24.00000000 EI d l 5 + .1250000000 EI ( −224. d l + 144. c ) l 4

+ .1666666667 EI ( −4. l ( 12. c − 12. d l ) + 72. b − 72. c l ) l 3 − 1.000000000 EI l 3 ( 6. b − 6. c l ) + 1.000000000 EI ( 2. a − 2. b l ) l 2 − .125 F l 3 = 0 > eq3:=diff(V,c)=0; eq3 := 40.00000000 EI d l 6 + .1000000000 EI ( −528. d l + 288. c ) l 5 + .1250000000 EI ( −12. l ( 12. c − 12. d l ) + 144. b − 144. c l ) l 4 + .1666666667 EI ( 48. a − 48. b l − 12. ( 6. b − 6. c l ) l ) l 3 − 3.000000000 EI ( 2. a − 2. b l ) l 3 − .0625 F l 4 = 0 > eq4:=diff(V,d)=0; eq4 := 17.14285714 EI l 7 d + 3.333333333 EI ( 12. c − 12. d l ) l 6 + .1000000000 EI ( 240. b − 240. c l − 24. l ( 12. c − 12. d l ) ) l 5 + .1250000000 EI ( 80. a − 80. b l − 24. ( 6. b − 6. c l ) l ) l 4 − 4.000000001 EI ( 2. a − 2. b l ) l 4 − .03125 F l 5 = 0 > solution:=solve({eq1,eq2,eq3,eq4},{a,b,c,d}); F F solution := { d = −.8356248611 10 -8 , c = −.07812498634 , 2 EI l EI l F Fl b = .07812499451 , a = .06250000012 } EI EI > assign(solution); > print(w); F l x ( l − x ) .07812499451 F x 2 ( l − x ) .07812498634 F x 3 ( l − x ) .06250000012 + − EI EI EI l −

.8356248611 10 -8 F x 4 ( l − x ) EI l 2

Vervormingsenergie, niveau van de potentiële energie en zakking halverwege: > Ev:=int(0.5*EI*kappa^2,x=0..l); l3 F2 Ev := .01025390618 EI > evalf(V); © Ir J.W. Welleman

Maart 2014

56

CTB3330 : Arbeid en Energie −.01025390627

l3 F2 EI

> x:=0.5*l; print(w); x := .5 l F l3 .02050781244 EI Bepaal de verhouding w/w-exact en V/V-exact > fac1 := w/((F*l^3)/(48*EI)); fac2 := V/(-(F^2)*(l^3)/(96*EI)); fac1 := .9843749971

© Ir J.W. Welleman

Maart 2014

57

MODULE : ARBEID EN ENERGIE

Recommend Documents