blok ARBEID EN ENERGIE
vwo bovenbouw natuurkunde projekt le
herziene versie
VWO-BOVENBOUW NATUURKUNDE PROJEKT Het VWO-bovenbouw natuurkunde p r o j e k t s t r e e f t een i n h o u d e l i j k e en d i d a k t i s c h e vernieuwing van het natuurkunde onderwijs i n de bovenbouw VWO na. Daartoe z i j n thema's en b l o k k e n geschreven. In een thema s t a a t .een vraag u i t de d a g e l i j k s e omgeving, de t e c h n i e k , de samenleving o f een wetenschapsgebied c e n t r a a l en worden natuurkunde inhouden v a n u i t d i e v r a a g s t e l l i n g gekozen. In een b l o k staan enkele k e r n b e g r i p p e n u i t de n a t u u r kunde i n de s y s t e m a t i s c h e samenhang van het vak c e n t r a a l . Aan de hand van reële p r o b l e e m s t e l l i n g e n worden de b e g r i p p e n (verder) opgebouwd en u i t g e d i e p t en wordt aandacht besteed aan het o p l o s s e n van problemen met behulp van de b e t r e f f e n d e begrippen. O v e r z i c h t van geschreven
a. Materiaal
materiaal
voor experimentele
keuzegroepen WO
1. Muziek (havo/vwo thema + a a n v u l l e n d VWO-hoofdstuk) (experimenteel keuzeonderwerp De natuurkunde van Muziek) 2. A u t o m a t i s e r i n g - (experimenteel keuzeonderwerp M i c r o e l e k t r o n i c a ) 3. Rond 1900 (experimenteel keuzeonderwerp G o l f - d e e l t j e s d i s c u s s i e s rond 1900) 4. Ioniserende S t r a l i n g (havo/vwo thema + vwo hoofdstuk ' S t r a l i n g s f y s i c a i n het ziekenhuis') (experimenteel keuzeonderwerp Ioniserende S t r a l i n g i n de Gezondheidszorg)
b. Materiaal 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
dat (grotendeels)
binnen de reguliere
VWO-leerstof valt:
Verkeer (havo/vwo thema, 4e k l a s ) Bewegingen (blok, 4e k l a s ) E n e r g i e (thema, 4e/5e k l a s ) Sport (thema, 4e/5e k l a s ) Arbeid, en e n e r g i e (blok, 5e k l a s ) E l e k t r o m o t o r e n (thema, 5e k l a s ) D e e l t j e s i n v e l d e n (blok, 5e/6e k l a s )
c. Materiaal
dat (grotendeels)
buiten de reguliere
VWO-leerstof valt:
1. L i j f w e r k (thema, 4e k l a s ) 2. Het Weer (thema, 4e k l a s ) 3. S a t e l l i e t e n (thema, 6 e k l a s , v e r s c h i j n t b e g i n '86)
Experimenteel natuurkunde b l o k voor de 5e k l a s VWO. Samengesteld door medewerkers van het VWO-bovenbouwprojekt en p r o j e k t l e r a r e n . ©
1985 R i j k s u n i v e r s i t e i t U t r e c h t , U n i v e r s i t e i t v a n Amsterdam, R i j k s u n i v e r s i t e i t Groningen.
PLON, Lab. voor Vaste S t o f , Postbus 80.008, 3508 TA U t r e c h t , D i d a k t i e k Natuurkunde UvA, Nieuwe A c h t e r g r a c h t 170, 1018 WV Amsterdam, D i d a k t i e k Natuurkunde RUG, Landleven 12, 9747 AD Groningen.
-3-
Inhoud 5
Hoofdstuk 1 Oriëntatie Hoofdstuk 2 A r b e i d berekenen
17
Hoofdstuk 3 A r b e i d
41
gebruiken
vooruitblik
leeraktiviteiten
ORIËNTATIE
- l e e r t e k s t bestuderen - verwerkingeopdrachten
• r e l a t i e t u s s e n a r b e i d en e n e r g i e • wat weet j e a l van a r b e i d ?
ARBEID BEREKENEN
l e e r t e k s t bestuderen verwerkingsopdrachten
• r e k e n i n g houden met de r i c h t i n g van k r a c h t en weg • a r b e i d door n i e t - c o n s t a n t e krachten
• • • • • • •
h e t vermogen v a n e e n v l i e g t u i g een b e r g o p f i e t s e n kogelstoten probleem oplossen h e t rendement van een f i e t s w e l k motorvermogen? rendement van de E l o k 1600 c a p a c i t e i t v a n een a a r d g a s c o m p r e s s o r station oplosstappen analyseren
ARBEID GEBRUIKEN
l e e r t e k s t bestuderen verwerkingsopdrachten
• e n e r g i e s y s t e e m en energievergelijking • r e k e n r e g e l voor de k i n e t i s c h e energie • a r b e i d door w r i j v i n g s k r a c h t e n • potentiële e n e r g i e
probleem oplossen
• • • •
k r a c h t van p o l s s t o k h o o g s p r i n g e r e n e r g i e v a n de p o l s s t o k h o o g s p r i n g e r loopweerstand b i j hardlopen h o e v e e l e n e r g i e k o s t h e t werpen v a n een ba17 • b o t s e n de magneten? • maximale s p r i n g h o o g t e • meegevende o b s t a k e l s l a n g s de weg
oplosstappen analyseren
-5-
l.ORIENTATIE
Inhoud: 1.1
Het b e g r i p
systeem
1.2
Energiesoorten
1.3
Wat
1.4
De
1.5
Een
1.6
Samenvatting
en
6 energieoverdracht
i s arbeid? e n e r g i e v e r g e l i j k i n g van formule voor a r b e i d
7 10
een
systeem
13 13 15
3e k e u z e : s y s t e e m ' a r m s p i e r e n '
2e k e u z e : s y s t e e m ' k o g e l s t o o t s t e r '
vooruitblik A r b e i d i s een woord dat zowel i n h e t d a g e l i j k s l e v e n a l s i n de n a t u u r kunde v e e l g e b r u i k t wordt. In het d a g e l i j k s l e v e n h e e f t arbeid verrichten a l t i j d wel i e t s te maken met ' j e inspannen', 'moeite doen', e n e r g i e l e v e r e n . De b e t e k e n i s d i e a r b e i d v e r r i c h t e n i n de natuurkunde h e e f t l i g t meestal wel d i c h t d a a r b i j i n de b u u r t , maar i s toch net wat anders. In d i t hoofdstuk wordt d u i d e l i j k gemaakt wat e n e r g i e en a r b e i d met e l k a a r te maken hebben. D a a r b i j z u l l e n de begrippen systeem, uitwendige k r a c h t e n op een systeem en de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g van een systeem geïntroduceerd worden, wat de k e r n b e g r i p p e n van d i t b l o k z i j n . Verder h e r h a a l t d i t hoofdstuk k o r t wat j e a l moet weten over het u i t r e k e n e n van a r b e i d . D a a r b i j wordt er z o r g v u l d i g o p g e l e t a l l e s 'natuurkundig' te zeggen en het ' a l l e d a a g s ' gebruik van het woord a r b e i d te v e r m i j d e n .
-6-
ORIENTATIE 1.1 HET BEGRIP SYSTEEM A r b e i d zegt i e t s over de o v e r d r a c h t van e n e r g i e van een voorwerp naar een ander voorwerp of van h e t ene onderdeel naar h e t andere onderdeel van een machine. Daarom i s h e t n o d i g dat j e goed o m s c h r i j f t op welk voorwerp o f onderdeel ervan j e de a r b e i d gaat bepalen. In d i t b l o k z u l l e n we d a t noemen: j e moet j e systeem goed o m s c h r i j v e n . Dat b e g r i p systeem i s een k e r n b e g r i p van d i t b l o k . In de loop van de volgende p a r a g r a f e n z a l steeds d u i d e l i j k e r worden hoe j e een zo h a n d i g m o g e l i j k systeem k i e s t en welke voordelen j e dat o p l e v e r t . Om j e a l v a s t e n i g idee t e geven wordt h i e r één v o o r b e e l d een b e e t j e u i t gewerkt: d i e van een f i e t s e r . • j e kunt gaan k i j k e n h o e v e e l e n e r g i e u i t h e t systeem ' f i e t s e r + f i e t s ' ( f i g . 1.1) afgevoerd wordt door a r b e i d van de l u c h t w r i j v i n g en de r o l wrijving. • Je kunt gaan k i j k e n hoe de e n e r g i e van de f i e t s e r door de t r a p k r a c h t aan de f i e t s wordt overgedragen. Je neemt a l s systeem 'de f i e t s e r ' ( f i g . 1.2). • Je kunt ook gaan k i j k e n h o e v e e l e n e r g i e de f i e t s van de f i e t s e r ontvangt en hoe de f i e t s d i e k w i j t r a a k t door a l l e r l e i d w r i j v i n g s k r a c h t e n : h e t systeem ' f i e t s ' ( f i g . 1.3).
fig.
1.1 systeem ' f i e t s e r + f i e t s '
f i g . 1.2 systeem ' f i e t s e r '
f i g . 1.3 systeem
'fiets'
Het v e r s c h i l t u s s e n de d r i e genoemde systeemkeuzen z i t ' m i n zowel de energieën a l s de krachten d i e j e gaat b e k i j k e n . In h e t systeem ' f i e t s e r ' moet j e r e k e n i n g houden met de chemische e n e r g i e d i e de f i e t s e r i n z i j n s p i e r e n b e z i t . In h e t systeem ' f i e t s ' h o e f t d a t n i e t : i n dat systeem s p e e l t chemische e n e r g i e geen r o l . Binnen een systeem werken a l l e r l e i k r a c h t e n , b i j v . de k r a c h t e n i n de s p i e r e n , de k r a c h t e n i n de f i e t s k e t t i n g enz. Een systeem k i e s j e e c h t e r zó dat de k r a c h t e n w a a r i n j e geïnteresseerd bent ( b i j v . omdat ze a r b e i d v e r r i c h t e n ) uitwendige krachten op h e t systeem z i j n . Ben j e dus geïnteresseerd i n de l u c h t w r i j v i n g d i e b i j f i e t s e n een r o l s p e e l t , dan moet j e h e t systeem ' f i e t s e r + f i e t s ' k i e z e n . W i l j e e c h t e r i e t s weten over de a r b e i d d i e op de t r a p p e r s wordt v e r r i c h t , dan moet j e a l s systeem de ' f i e t s ' nemen, of z e l f s a l l e e n de t r a p p e r s . Want i n d i t b l o k wordt a l l e e n de a r b e i d van van externe (of uitwendige) k r a c h t e n op een systeem bekeken. Het gevolg i s dat, a l s j e de w r i j v i n g s k r a c h t e n op de f i e t s k e t t i n g w i l t b e k i j k e n , j e de f i e t s k e t t i n g a l s (sub-)systeem moet k i e z e n .
-7-
ORIËNTATIE 1 WELK SYSTEEM? Welke systeemkeuze(n) kun j e maken b i j de volgende p r o b l e e m s t e l l i n g e n ? a. hoe r a a k t een auto b i j remmen z i j n e n e r g i e k w i j t ? b. wat i s de i n v l o e d van een aërodynamisch pak op de p r e s t a t i e s van een w i e l r e n n e r ? hoe groot i s h e t rendement van een h i j s k r a a n ? PR»*
fig.
F r a n c e s c o Moser t i j d e n s z i j n aanv a l op h e t werelduurrecord i n 1984. L e t op z i j n aërodynamisch g e s t r o o m l i j n d e helm.
1.2 ENERGIESOORTEN EN ENERGIEOVERDRACHT De e n e r g i e d i e i n de samenleving g e b r u i k t wordt voor verwarming, om machines te l a t e n d r a a i e n , voor communicatie e.d. worden v o o r n a m e l i j k betrokken u i t de energiedragers aardgas, s t e e n k o o l , o l i e en uranium. D i e z i j n a f k o m s t i g u i t energiebronnen z o a l s h e t a a r d g a s v e l d i n S l o c h t e r e n , o l i e v e l d e n i n h e t Midden Oosten en kolenmijnen i n Polen en uraniummijnen i n Australië. De e n e r g i e z i t i n d i e e n e r g i e d r a g e r s opgeslagen a l s chemische e n e r g i e of kernenergie. S l e c h t s een k l e i n d e e l van de e n e r g i e v o o r z i e n i n g i s gebaseerd op e n e r g i e stromen d i e ( h e l a a s ) met een w i s s e l e n d vermogen naar ons toekomen. B i j v o o r b e e l d de s t r a l i n g van de zon, de stroming van l u c h t (wind) of de e n e r g i e u i t de g o l v e n op zee. Het v o o r d e e l van d e r g e l i j k e energiestromen i s dat ze n i e t kunnen opraken.
-8-
ORIËNTATIE
systeemenergieën Een systeem (een r i j d e n d e auto, een f i e t s e r , een machine), dat j e voor een b e p a a l d probleem k i e s t , bevat een zekere h o e v e e l h e i d e n e r g i e . D i e kan opges l a g e n l i g g e n i n een e n e r g i e d r a g e r z o a l s o l i e o f uranium. Het systeem bevat dan chemische e n e r g i e o f k e r n e n e r g i e . Een systeem kan nog meer s o o r t e n e n e r g i e b e v a t t e n . De b e l a n g r i j k s t e z i j n : • k i n e t i s c h e e n e r g i e door de beweging van h e t systeem; • zwaarteenergie door de p l a a t s i n h e t z w a a r t e k r a c h t v e l d ; • v e e r e n e r g i e t e n gevolge van vervorming van h e t systeem; • e l e k t r o s t a t i s c h e e n e r g i e t e n gevolge van de p l a a t s van h e t ( e l e k t r i s c h geladen) systeem i n een e l e k t r i s c h v e l d ; • thermische e n e r g i e (ook wel inwendige e n e r g i e o f m o l e k u l a i r e e n e r g i e genoemd): de k i n e t i s c h e e n e r g i e t e n gevolge van de beweging van de molekulen en de van-der-waalsenergie t e n gevolge van de p l a a t s van de atomen t e n o p z i c h t e van e l k a a r ( b i j v . i n een k r i s t a l r o o s t e r d i c h t b i j e l k a a r o f i n een gas v e r van e l k a a r ) . De thermische e n e r g i e hangt dus a f van de temperatuur van de s t o f en de fase waarin h e t z i c h b e v i n d t . A l deze e n e r g i e s o o r t e n worden samengevat i n de term systeemenergieën. Ze hebben a l s gemeenschappelijk kenmerk dat ze i n een systeem opgeslagen kunnen l i g g e n . 2 WELKE SYSTEEMENERGIEËN? Welke z i j n de systeemenergieën van de volgende a. r i j d e n d e auto op een b e r g ; b. k e r n c e n t r a l e ; c. k e r n met e l e k t r o n e n e r omheen; d. wekker op een n a c h t k a s t j e ; e. stoom i n een stoommachine.
fig.
systemen:
1.7 De k e r n c e n t r a l e t e B r o s s e l e
energiestromen De t o t a l e e n e r g i e d i e een systeem bevat kan' toenemen o f afnemen omdat e r e n e r g i e o v e r d r a c h t p l a a t s v i n d t t u s s e n h e t systeem en z i j n omgeving: e r kan warmte o f s t r a l i n g u i t g e w i s s e l d worden, e r kunnen golven ( g e l u i d , watergolven) uitgezonden worden o f de e n e r g i e o v e r d r a c h t kan p l a a t s v i n d e n v i a e l e k t r i s c h e ( g e l i j k - of wissel-)stromen. Je kunt d i e u i t w i s s e l i n g b e s c h r i j v e n a l s een stroom, een proces dat i n de t i j d p l a a t s v i n d t . D a a r b i j h o o r t de g r o o t h e i d vermogen, u i t g e d r u k t i n watt (W). Je kunt dan spreken over een warmtestroom, een l i c h t s t r o o m , een
-9-
ORIENTATIE e l e k t r i s c h e e n e r g i e - s t r o o m of e l e k t r i s c h vermogen, een g o l f - of g e l u i d s vermogen. Je kunt ook k i j k e n naar het r e s u l t a a t : de energie d i e i n een bepaalde t i j d u i t g e w i s s e l d i s i n j o u l e ( J ) . Dan kun j e spreken over de u i t g e w i s s e l d e warmte, s t r a l i n g s e n e r g i e , e l e k t r i s c h e e n e r g i e of g o l f e n e r g i e . Deze twee manieren van k i j k e n naar de u i t w i s s e l i n g van e n e r g i e van een systeem met de omgeving kun j e a l s v o l g t i n schema z e t t e n :
resultaatbeschrijving
procesbeschrijving
V
systeem
\
S e n e—r g i e-s t r o—m e n V ) energiestromen
uitgewisseld
t omgeving »l \
vermogen:
| j
systeem
/
i/energieoverdracht y
omgeving
/ v e r a n d e r i n g van
uitgewisselde i n joule (J)
energie:
i n w a t t (W)
energie:
• warmtestroom
• chemische
• ( h o e v e e l h e i d ) warmte
•
• kern-
•
•
• e l e k t r i s c h e energie
(bijv.) l i c h t s t r o o m
• elektrisch
vermogen
• golfvermogen
zwaarte-
• veer-
•
stralingsenergie
golfenergie
• elektrostatische • kinetische •
3
thermische
WELK ENERGIEUITWISSELINGSPROCES?
Ga na op welke w i j z e e n e r g i e i n de volgende systemen l i g t opges l a g e n en v i a welk proces dat v o o r n a m e l i j k met de omgeving u i t g e w i s s e l d wordt: a. t r a n s i s t o r r a d i o b. zon c. z o n n e c o l l e c t o r
arbeid en mechanische
energie
E r i s nog een proces waarmee een systeem e n e r g i e met z i j n omgeving kan u i t w i s s e l e n : a r b e i d . B i j dat e n e r g i e u i t w i s s e l i n g s p r o c e s s p e l e n k r a c h t e n van de omgeving op het systeem een b e l a n g r i j k e r o l . A l s z u l k e krachten verplaatst worden, wordt de hoeveelheid energie van het systeem v e r a n d e r d . Eën van de betrokken e n e r g i e s o o r t e n moet dan een mechanische e n e r g i e s o o r t z i j n . Dat i s een e n e r g i e s o o r t d i e met p l a a t s of beweging te maken h e e f t . Er moet immers b i j a r b e i d sprake z i j n van een verplaatsing. Een v o o r b e e l d van een mechanische e n e r g i e s o o r t i s v e e r e n e r g i e . Aan een veer d i e (verder) wordt u i t g e r e k t of i n g e d r u k t ( v e r a n d e r i n g van p l a a t s dus) wordt v e e r e n e r g i e toegevoegd. Ook k i n e t i s c h e e n e r g i e en zwaarteenergie z i j n mechanische e n e r g i e s o o r t e n . Op makroskopische s c h a a l g e l d t thermische e n e r g i e a l s een n i e t - mechanische e n e r g i e . Op m o l e k u l a i r n i v e a u (dus a l s j e een molekuul a l s systeem k i e s t ) i s e r wel d e g e l i j k sprake van beweging en van e n e r g i e ten gevolge van de p l a a t s van het ene molekuul b i j het andere. Evenzo kun j e i n bepaalde systemen chemische en 'kernenergie ook b e s c h r i j v e n i n termen van p l a a t s i n een k r a c h t e n v e l d .
-10-
ORIENTATIE M e e s t a l worden met de term mechanische e n e r g i e k i n e t i s c h e , v e e r - en zwaarteenergie aangeduid. I n s p e c i a l e (submicroskopische) systemen kunnen dus ook andere e n e r g i e s o o r t e n daaronder v a l l e n .
4 NOGMAALS: WELK ENERGIEUITWISSELINGSPROCES? Doe opdracht 3 ook voor de volgende systemen: a. a u t o m o b i l i s t b i j een b o t s i n g ; b. c o n s t a n t f i e t s e n d e f i e t s e r ; c. v e r s n e l l e n d e lift.
1.3
WAT IS ARBEID?
Het b e g r i p a r b e i d neemt een b e l a n g r i j k e p l a a t s i n de natuurkunde i n omdat j e daarmee mechanische p r o c e s s e n kunt b e s c h r i j v e n i n termen van energieomz e t t i n g e n . A r b e i d vormt de brug tussen de mechanica en de e n e r g i e l e e r . Je weet n a t u u r l i j k a l ongeveer hoe j e met a r b e i d rekent i n eenvoudige g e v a l l e n . In d i t b l o k ga j e l e r e n wat a r b e i d , o f wat b e t e r gezegd, wat j e er mee kunt doen en hoe j e de a r b e i d i n ingewikkelde g e v a l l e n kunt u i t r e kenen. De v r a a g "wat i s a r b e i d " wordt i n deze p a r a g r a a f n i e t beantwoord. W e l l i c h t mag j e b l i j z i j n a l s j e daarop aan h e t e i n d van d i t b l o k een e n i g s z i n s b e v r e d i g e n d antwoord kunt geven. Maar e r wordt wel een b e g i n gemaakt met de beantwoording door een antwoord t e geven op de v r a g e n : • wie o f wat kan a r b e i d v e r r i c h t e n ? • waarop kan a r b e i d v e r r i c h t worden?
wie of wat kan arbeid
verrichten?
In h e t d a g e l i j k s s p r a a k g e b r u i k i s h e t d u i d e l i j k : een mens, d i e r o f machine kan a r b e i d v e r r i c h t e n , b i j v . door t e zagen, door een wagen t e trekken o f door t e h i j s e n . In de natuurkundeles ben j e de u i t d r u k k i n g tegengekomen dat een kracht a r b e i d v e r r i c h t , b i j v . de l u c h t w r i j v i n g b i j een auto o f de zwaartekracht b i j v a l l e n d water. In h e t d a g e l i j k s l e v e n spreek j e over a r b e i d v e r r i c h t e n a l s i e t s moeite k o s t , a l s j e e r boterhammen voor moet e t e n o f a l s i e t s b e n z i n e k o s t . Met andere woorden: a l s e r chemische e n e r g i e i n een andere e n e r g i e s o o r t wordt omgezet. In de natuurkunde wordt h e t woord a r b e i d algemener g e b r u i k t : voor d i e p r o c e s s e n w a a r b i j h e t aangrijpingspunt Van een kracht over een weg wordt verplaatst. Het gevolg daarvan 'is een e n e r g i e o m z e t t i n g w a a r b i j een vorm van mechanische e n e r g i e b e t r o k k e n i s . Dan i s h e t ook l o g i s c h e r om t e spreken over een k r a c h t d i e a r b e i d v e r r i c h t . De mens, h e t d i e r , de machine, z e t d a a r b i j e n e r g i e om en kan daarom met een algemene term de 'energieomzetter' genoemd worden.
In de natuurkunde spreken we alleen
over krachten die arbeid
verrichten.
-11-
ORIËNTATIE
5 GEEN ARBEID, MAAR WEL
ENERGIEOMZETTING?
In de systemen d i e h i e r onder getekend s t a a n wordt geen a r b e i d ( i n de natuurkundige b e t e k e n i s ) v e r r i c h t . a. Leg u i t waarom. b. In welke systemen i s e r wel sprake van e n e r g i e o m z e t t i n g e n ? c. In welke systemen wordt volgens h e t d a g e l i j k s s p r a a k g e b r u i k wel a r b e i d v e r r i c h t ?
fig.
1.8 denken, dragen hangen
waarop kan arbeid verricht
worden?
In d i t b l o k werk j e met h e t b e g r i p systeem. Op een systeem kunnen ( u i t wendige) k r a c h t e n werken. A l s het aangrijpingspunt van zo'n uitwendige k r a c h t v e r p l a a t s t wordt, h e t z i j omdat h e t h e l e systeem v e r p l a a t s t wordt, h e t z i j omdat h e t systeem vervormd wordt, dan v e r r i c h t de k r a c h t a r b e i d .
Arbeid wordt verricht
door een uitwendige
kracht op een systeem.
Het gevolg van a r b e i d i s dat de som van de systeemenergieën v e r a n d e r t . Die som neemt toe a l s de k r a c h t en de weg gelijk g e r i c h t z i j n : dan wordt de a r b e i d positief genomen. D i e som neemt a f a l s de k r a c h t en de weg tegengesteld g e r i c h t z i j n . Dan wordt de a r b e i d negatief genomen. A l s v o o r b e e l d kun j e k i j k e n naar een k o g e l s t o o t s t e r . Er z i j n v e r s c h i l l e n d e keuzen m o g e l i j k v o o r het systeem waarop j e de a r b e i d gaat b e k i j k e n . Enkele
-12-
ORIËNTATIE le keuze van systeem: de k o g e l t i j d e n s h e t wegstoten. • systeemenergie: k i n e t i s c h e e n e r g i e • u i t w e n d i g e k r a c h t e n : zwaartekracht en de k r a c h t van de hand op de k o g e l . Beide k r a c h t e n v e r r i c h t e n a r b e i d . De zwaartekracht n e g a t i e v e a r b e i d (de k o g e l gaat omhoog). Deze a r b e i d zou de k i n e t i s c h e e n e r g i e doen afnemen. De k r a c h t van de hand v e r r i c h t p o s i t i e v e a r b e i d . Deze doet de k i n e t i s c h e e n e r g i e toenemen. Let op: de k r a c h t e n en de v e r p l a a t s i n g z i j n n i e t p r e c i e s g e l i j k of t e g e n g e s t e l d g e r i c h t . Hoe de a r b e i d dan berekend moet worden komt i n h o o f d s t u k 2 aan de o r d e . 2e keuze van systeem: de k o g e l s t o o t s t e r t i j d e n s het wegstoten. • systeemenergieen: k i n e t i s c h e e n e r g i e chemische e n e r g i e thermische e n e r g i e • u i t w e n d i g e k r a c h t e n : k r a c h t van de k o g e l op de hand (de r e a k t i e k r a c h t van de k r a c h t op het systeem 'kogel') zwaartekracht (Er z i j n nog andere uitwendige k r a c h t e n , maar d i e worden n i e t v e r p l a a t s t en v e r r i c h t e n dus geen a r b e i d ) . De k i n e t i s c h e e n e r g i e neemt toe t i j d e n s h e t s t o t e n . De chemische e n e r g i e neemt a f . De thermische e n e r g i e neemt t o e , want de k o g e l s t o o t s t e r z a l h e t warm k r i j g e n . Behalve v o o r het l a t e n toenemen van de k i n e t i s c h e e n e r g i e en de thermische e n e r g i e van d i t systeem i s de chemische e n e r g i e ook n o d i g vanwege de n e g a t i e v e a r b e i d door de twee genoemde k r a c h t e n : door n e g a t i e v e a r b e i d door u i t w e n d i g e k r a c h t e n neemt de e n e r g i e van een systeem immers a f . 3e systeemkeuze: de armspieren van de k o g e l s t o o t s t e r . Ook voor d i t systeem z i j n de u i t w e n d i g e k r a c h t e n en v e r p l a a t s i n g e n na t e gaan en de systeemenergieën op t e s c h r i j v e n . Het i s wel een v e e l i n g e w i k k e l d e r systeem dan de e e r s t e twee. Daarom i s d i e h i e r n i e t u i t g e w e r k t . Z o a l s aan d i t v o o r b e e l d te z i e n i s l e t j e a l l e e n op de uitwendige k r a c h t e n op een systeem en n i e t op inwendige k r a c h t e n . Ben j e wêl i n inwendige k r a c h t e n g e i n t e r e s s e e r d , dan moet j e een ander (sub)systeem k i e z e n , z o a l s b i j v . de a r m s p i e r e n h i e r b o v e n .
6 WELKE ARBEID EN ENERGIEOMZETTINGEN Ga voor de volgende s i t u a t i e s na of e r a r b e i d v e r r i c h t wordt en, zo j a , welke e n e r g i e o r a z e t t i n g e n e r p l a a t s v i n d e n . Wijs bovendien aan welke k r a c h t e n over welke a f s t a n d e n worden v e r p l a a t s t . a. Een k i s t wordt opgehesen. b. Een j o j o r o l t langs z i j n d r a a d j e naar beneden. c. Een k l o k wordt opgewonden. d. Iemand z e t z i c h op r o l s c h a a t s e n a f tegen de muur.
-13-
ORIENTATIE 1.4
DE ENERGIEVERGELIJKING VAN
EEN
SYSTEEM
Zoals j e weet zegt de algemene wet van behoud van e n e r g i e dat er geen e n e r g i e kan o n t s t a a n of v e r l o r e n gaan. Voor een systeem betekent d a t , dat de h o e v e e l h e i d e n e r g i e d i e v i a a r b e i d , s t r a l i n g , warmtetransport e l e k t r i s c h t r a n s p o r t of g o l v i n g aan het systeem i s toegevoerd of i s a f g e voerd g e l i j k i s aan de v e r a n d e r i n g van de systeemenergièën. Daarom z a l j e i n d i t b l o k de wet van behoud van e n e r g i e voor een systeem tegenkomen i n de vorm:
Energie uitgewisseld
met de omgeving - verandering
van systeemenergièën.
E n e r g i e u i t w i s s e l i n g met de omgeving kan p l a a t s v i n d e n v i a a r b e i d door u i t wendige k r a c h t e n , v i a w a r m t e u i t w i s s e l i n g door stroming en g e l e i d i n g , v i a s t r a l i n g en v i a t r a n s p o r t van e l e k t r i s c h e of g o l f e n e r g i e . De e n e r g i e u i t g e w i s s e l d v i a energiestromen wordt samengevat i n een term Q. De e n e r g i e u i t g e w i s s e l d v i a a r b e i d wordt aangeduid met W. W en Q z i j n p o s i t i e f a l s z i j de i n t e r n e energieën v e r g r o t e n ; ze z i j n n e g a t i e f a l s ze de i n t e r n e energieën v e r k l e i n e n .
7 TEKENAFSPRAAK Ga na dat deze tekenafspraak overeenkomt met gemaakt i s voor a r b e i d . In
formulevorm l u i d t de wet
van behoud van e n e r g i e
d i e welke e e r d e r
dan:
W + Q = A£. + A£ .
+ A£ , + k therm chem Voor e l k systeem kun j e zo'n v e r g e l i j k i n g o p s t e l l e n . Die wordt de vergelijking genoemd.
energie-
8 WATERVAL a. S t e l de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g voor het water van een w a t e r v a l op. b. Laat met behulp daarvan z i e n dat het water onderaan de N i a g a r a f a l l s een i e t s hogere temperatuur moet hebben dan bovenaan. Neem aan dat e r geen sprake i s van e n e r g i e u i t w i s s e l i n g van het water met de omgeving v i a warmtetransport o f s t r a l i n g . In d i t b l o k z a l het vaak voorkomen dat e r geen energiestromen naar b u i t e n van b e l a n g z i j n . Je kunt Q dan n u l nemen. Ook z a l het vaak voorkomen, b i j v . b i j het omzetten van chemische e n e r g i e i n h e t m e n s e l i j k lichaam, dat de warmteontwikkeling, dus A£\, meteen meegenomen wordt door, i n tnerm p l a a t s van AE , ,r\.AE , te nemen. Met de 'warmteverliezen' i s dan a l i n chem' chem v
het rendement n r e k e n i n g gehouden. 1.5
EEN FORMULE VOOR ARBEID
Zoals j e weet kun j e a r b e i d (van een constante k r a c h t g e r i c h t langs de u i t r e k e n e n met de formule
W = F.As eenheid: met
1 J = 1 N.m
(J = joule)
W de a r b e i d , F de k r a c h t d i e over de weg
As wordt v e r p l a a t s t .
weg)
-14-
ORIENTATIE Met behulp van deze formule kun j e ook h e t vermogen P dat een mens o f machine aan 'de b u i t e n w e r e l d ' l e v e r t , of dat een systeem van b u i t e n a f opneemt, u i t r e k e n e n : dat i s g e l i j k aan de a r b e i d van de k r a c h t d i e door de mens of machine of op h e t systeem wordt u i t g e o e f e n d gedeeld door de t i j d At w a a r i n d i e a r b e i d wordt v e r r i c h t : P =
9
At VERMOGEN
L a a t z i e n dat een k r a c h t F d i e met een s n e l h e i d v v e r p l a a t s t voor een omgezet vermogen z o r g t van:
wordt
P = F.v
teken van de arbeid Door de a r b e i d van een k r a c h t op een systeem kan de e n e r g i e van h e t systeem toenemen of afnemen. Dat moet b l i j k e n u i t h e t teken dat de a r b e i d k r i j g t . Daarom g e l d t de a f s p r a a k :
Constante kracht met de bewegingsrichting mee: Constante kracht tegen de bewegingsrichting in:
W=F. As W=-F. As
Vaak z a l de k r a c h t een hoek maken met de weg. Voor d i e g e v a l l e n moet de formule voor de a r b e i d aangepast worden. Dat wordt i n h o o f d s t u k 2 behandeld w a a r b i j van v e k t o r r e k e n i n g g e b r u i k gemaakt z a l worden. H i e r wordt a l v a s t opgemerkt dat een k r a c h t d i e l o o d r e c h t op de weg s t a a t , geen a r b e i d v e r r i c h t .
Constante kracht loodrecht Om h e t rekenen met oefenopgaven.
op dé bewegingsrichting:
W
- 0.
de formule i n de v i n g e r s te k r i j g e n v o l g e n h i e r enkele
10 TEGEN EEN HELLING OP
FIETSEN
a. Bereken de a r b e i d d i e de zwaartekracht v e r r i c h t a l s een f i e t s e r (massa met f i e t s 85 kg) 4 km over een bergweg f i e t s t d i e d a a r b i j 150 m omhoog gaat. b. Bereken het vermogen van de f i e t s e r a l s h i j ook nog een w r i j v i n g s k r a c h t van 12 N o n d e r v i n d t . H i j f i e t s t 4m/s.
fig.
1.12 Bergopwaarts
fietsen
fig.
1.13 W a t e r k r a c h t c e n t r a l e
-15-
ORIENTATIE 11 WATERKRACHTCENTRALE In de bergen b e v i n d t z i c h een stuwmeer w a a r u i t per dag 1 m i l j o e n m^ water naar een 75 m onder het waterniveau van het stuwmeer gelegen w a t e r k r a c h t c e n t r a l e stroomt. a. Bereken de a r b e i d d i e de zwaartekracht per dag v e r r i c h t . b. Bereken het vermogen van de c e n t r a l e a l s het rendement van de c e n t r a l e 95% i s . 12 EXPERIMENTEERFIETS P i e t w i l met de h i e r o n d e r getekende e x p e r i m e n t e e r f i e t s z i j n vermogen bepalen. H i j k r i j g t de volgende gegevens: B i j één p e d a a l s l a g d r a a i t het a c h t e r w i e l 2,4 maal rond ( w i e l d i a m e t e r : 70 cm). In één minuut d r a a i t h i j de pedalen 57 maal rond. De k r a c h t meters w i j z e n d a a r b i j (gemiddeld) aan: 64 N r e s p . 19 N. a. Bereken de a r b e i d van de s l i p k r a c h t op s l e e p k a b e l rond h e t a c h t e r w i e l t i j d e n s één p e d a a l s l a g . b. Bereken z i j n vermogen a l s het rendement van de f i e t s o v e r b r e n g i n g 98% i s . krachtmeters
fig.
1.6
1.14
E x p e r i m e n t e e r f i e t s . Het v e r s c h i l i n k r a c h t dat de twee k r a c h t m e t e r s aangeven g e e f t de w r i j v i n g s k r a c h t op h e t a c h t e r w i u l .
SAMENVATTING
Er wordt a r b e i d op een systeem v e r r i c h t a l s het a a n g r i j p i n g s p u n t van (één van) de uitwendige k r a c h t e n op h e t systeem wordt v e r p l a a t s t . In eenvoudige g e v a l l e n ( r e c h t l i j n i g e beweging, constante k r a c h t i n de r i c h t i n g van de beweging) kun j e a r b e i d u i t r e k e n e n door:
W = F.As A l s de k r a c h t F en de weg As g e l i j k g e r i c h t z i j n i s de a r b e i d p o s i t i e f en a l s ze t e g e n g e s t e l d z i j n i s de a r b e i d n e g a t i e f . Wanneer e r a r b e i d op een systeem v e r r i c h t wordt neemt de t o t a l e e n e r g i e van h e t systeem toe ( p o s i t i e v e a r b e i d ) of a f (negatieve a r b e i d ) . In h e t systeem l i g t e n e r g i e opgeslagen i n de vorm van één van de systeemenergieën: k i n e t i s c h e e n e r g i e , zwaarteenergie, v e e r e n e r g i e , chemische e n e r g i e , k e r n e n e r g i e , e l e k t r o s t a t i s c h e e n e r g i e , thermische e n e r g i e . Behalve door a r b e i d kan de e n e r g i e van een systeem ook veranderen door energiestromen z o a l s warmte, s t r a l i n g , e l e k t r i s c h e stromen en g o l v e n . De aldus toegevoerde of afgevoerde e n e r g i e kan met het symbool Q aangegeven worden d i e p o s i t i e f i s b i j e n e r g i e t o e v o e r aan het systeem en n e g a t i e f b i j energieafvoer.
-16-
ORIENTATIE De wet van behoud van e n e r g i e neemt voor een systeem de vorm aan
energie uitgewisseld
met de omgeving = verandering
van systeemenergieën.
of i n formulevorm
W + Q = &E. + LE + LE , k
z
chem
+ LE ,
+
therm
D i t wordt de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g van een systeem genoemd. B i j h e t o p l o s s e n van een p r o b l e e m s t e l l i n g k i e s j e het systeem zo dat de r e l e v a n t e k r a c h t e n uitwendige k r a c h t e n z i j n en de e n e r g i e v e r a n d e r i n g e n met bovenstaande e n e r g i e v e r g e l i j k i n g b e s c h r e v e n kunnen worden.
L e t op: Er wordt a r b e i d v e r r i c h t a l s h e t aangrijpingspunt van een k r a c h t v e r p l a a t s t wordt. Vaak wordt d i t v e r k o r t gezegd, ook i n d i t b l o k : "Er wordt a r b e i d v e r r i c h t a l s een k r a c h t v e r p l a a t s t wordt". Daar wordt h e t z e l f d e mee b e d o e l d . Verwar d i t n i e t met h e t ( i n gedachten!) v e r p l a a t s e n van een k r a c h t langs z i j n w e r k l i j n , b i j v . naar h e t zwaartepunt. Dan wordt e r geen a r b e i d v e r r i c h t . '
2.ARBEID UITREKENEN Inhoud: 2.1
Rekening houden met r i c h t i n g e n
18
2.2
Kracht a l s v e k t o r
19
2.3
A r b e i d en
24
2.4
A r b e i d door een v e r a n d e r l i j k e k r a c h t
2.5
A r b e i d langs een kromme
2.6
Samenvatting
32
2.7
Problemen
33
vektorrekening
weg
26 30
vooruitblik Om de a r b e i d op een systeem te kunnen u i t r e k e n e n moet j e de r e l e v a n t e k r a c h t e n kunnen opsporen en de weg,waarover hun a a n g r i j p i n g s p u n t wordt v e r p l a a t s t , kunnen aangeven. Maar de k r a c h t en de weg z i j n n i e t a l t i j d g e l i j k g e r i c h t . Daarmee z u l j e b i j het berekenen van a r b e i d r e k e n i n g moeten houden. Daarom i s het n o d i g dat j e goed met kracht en weg als vektoren kunt rekenen. U i t d i t hoofdstuk z a l b l i j k e n dat j e d i e componenten van k r a c h t en weg moet nemen d i e g e l i j k g e r i c h t z i j n . Wiskundig kun j e daarvoor mooi het inprodukt gebruiken. A r b e i d door een kracht die van grootte verandert kun j e aanpakken v i a g r a f i e k e n . Het oppervlak onder een k r a c h t , w e g - g r a f i e k b l i j k t de v e r r i c h t e a r b e i d voor te s t e l l e n .
-18-
ARBEID UITREKENEN 2.1 REKENING HOUDEN MET A r b e i d kun
RICHTINGEN
j e u i t r e k e n e n met de h i e r v o o r a l genoemde
W = Fi.
formule
As
MAAR.... h e t i s h e e l eenvoudig een v o o r b e e l d te v e r z i n n e n van een s i t u a t i e waarin een k r a c h t v e r p l a a t s t wordt over een weg maar de e n e r g i e van h e t voorwerp n i e t wordt v e r g r o o t of v e r k l e i n d . Een v o o r b e e l d daarvan i s de beweging van een s l e e over een luchtkussenbaan.
fig.
2 . 1 : S l e e op e e n l u c h t k u s s e n b a a n .
De zwaartekracht op de s l e e wordt over een h o r i z o n t a l e weg v e r p l a a t s t , maar de s l e e b l i j f t e e n p a r i g bewegen. De reden ervan i s d u i d e l i j k : de zwaartekracht s t a a t l o o d r e c h t op de weg: Een k r a c h t v e r r i c h t geen a r b e i d a l s d i e wordt v e r p l a a t s t i n een r i c h t i n g l o o d r e c h t op z i j n e i g e n r i c h t i n g . De formule voor de a r b e i d g e l d t dus onder voorwaarde dat de kracht en de weg gelijk of tegengesteld gericht zijn. De waarde van de a r b e i d i s dan r e s p . p o s i t i e f o f n e g a t i e f . E r z i j n v e e l s i t u a t i e s waarin k r a c h t en weg een hoek met e l k a a r maken d i e n i e t p r e c i e s 0 ° , 90° o f 180° i s . De volgende opdracht g e e f t daarvan een v o o r b e e l d .
1 BEPALING VAN DE
ROLWRIJVING
Een groep l e e r l i n g e n gebruiken de volgende meetmethode om de r o l w r i j v i n g van een f i e t s te bepalen.
Voor hh nemen ze 10 cm. De massa van f i e t s en b e r i j d e r i s 80 kg. a. Geef de r i c h t i n g van de zwaartekracht en de a f g e l e g d e weg van de f i e t s e r op de h e l l i n g aan. b. Bereken de a r b e i d door de zwaartekracht. Vanwege de r o l w r i j v i n g komt de f i e t s e r na enige t i j d s t i l t e s t a a n . De l e e r l i n g e n meten voor d i e a f s t a n d ( h e l l i n g en h o r i z o n t a a l stuk) 10 m. c. Bereken d a a r u i t de r o l w r i j v i n g .
-19-
ARBEID UITREKENEN De kunstgreep d i e j e b i j h e t maken van deze opdracht moet toepassen l i g t v r i j voor de hand: h e t a a n g r i j p i n g s p u n t van de zwaartekracht d a a l t immers over 10 cm, dus a l s a f g e l e g d e weg voor de zwaartekracht moet j e 10 cm nemen. Er z i j n e c h t e r i n g e w i k k e l d e r s i t u a t i e s m o g e l i j k , z o a l s i n f i g . 2.3 en 2.4 staan getekend.
£ i
f i g . 2.3 K r a c h t s t a a t s c h u i n op de weg
8 - 2.4 Kromme weg
De boot van f i g . 2.3 o n d e r v i n d t s t e e d s een t r e k k r a c h t s c h u i n omhoog. Moet d i e h e l e k r a c h t meegerekend worden voor de a r b e i d ? De b a l van f i g . 2.4 gaat omhoog i n omlaag. Welke i s nu de weg d i e de zwaartekracht t o t de grond a f l e g t ? M o e i l i j k e r l i g t h e t nog met de l u c h t w r i j v i n g s k r a c h t : d i e v e r a n d e r t voortdurend van r i c h t i n g (en ook van g r o o t t e omdat de s n e l h e i d van g r o o t t e v e r a n d e r t , maar z i e daarvoor p a r . 2.5). Hoe groot i s de a r b e i d van deze twee k r a c h t e n op de b a l ? Om de a r b e i d i n d i t s o o r t s i t u a t i e s u i t te kunnen rekenen heb j e h e t ontbinden van ëén van de twee v e k t o r e n k r a c h t en weg i n z i j n componenten n o d i g . De volgende twee p a r a g r a f e n gaan daarover.
2 ARBEID EEN VEKTOR? Kracht en weg z i j n b e i d e v e k t o r e n . Is a r b e i d een v e k t o r ? Leg j e antwoord u i t .
2.2 KRACHT ALS VEKTOR
ontbinden In de wiskundeles heb j e g e l e e r d d a t e l k e v e k t o r i n componenten ontbonden kan worden. In h e t p l a t t e v l a k k i e s j e daarvoor een a s s e n s t e l s e l en j e p r o j e k t e e r t de v e k t o r op de twee a s s e n . De g r o o t t e van de componenten kun j e door meting b e p a l e n en j e kunt uitrekenen.
fig.
2.5: E e n v e k t o r
i n componenten
ze
ontbinden.
-20-
ARBEID UITREKENEN 3 COMPONENTEN BEPALEN Ga na dat voor de componenten van f i g .
a
2.5
geldt:
= a cos a
x
a.y = a s i n a Ook een k r a c h t kun j e ontbinden i n componenten. Maar hoe k i e s j e h e t a s s e n s t e l s e l dat j e d a a r b i j n o d i g hebt? Je mag dat k i e z e n z o a l s j e w i l t . B i j r e c h t l i j n i g e bewegingen komt h e t m e e s t a l h e t b e s t e u i t om de x-as i n de r i c h t i n g van de ( e v e n t u e e l ) optredende s n e l h e i d t e k i e z e n en de y-as er l o o d r e c h t op. Het v o o r d e e l daarvan i s dat de x-component van de k r a c h t wel en de y-componënt geen a r b e i d v e r r i c h t (of z a l gaan v e r r i c h t e n ) . Maar een andere keuze i s ook goed.
4 ASSENSTELSELS KIEZEN K i e s een v o l g e n s jouw g e s c h i k t a s s e n s t e l s e l i n de v o l g e n d e t i e s . Teken de b e l a n g r i j k s t e optredende k r a c h t e n . • aan een touw v o o r t s l e p e n van een s l e e ; • een h e l l i n g a f r i j d e n ; • weggooien van een b a l .
situa-
op te llen Krachten kun j e b i j e l k a a r o p t e l l e n . Je moet dan wel de r e g e l s van de v e k t o r r e k e n i n g v o l g e n . H i e r komen d i e r e g e l s aan de orde, t o e g e p a s t op een cabine van een kabelbaan. D a a r b i j worden ook b e g r i p p e n a l s h e t v e r p l a a t s e n van een k r a c h t l a n g s z i j n w e r k l i j n , moment, e v e n w i c h t s v o o r waarden k o r t h e r h a a l d . Ie s i t u a t i e : s t i l h a n g e n d e c a b i n e . Een c a b i n e hangt " s t i l aan een k a b e l b a a n i n de l u c h t . A l s systeem wordt genomen: de c a b i n e met inhoud en de l o o p k a t op de k a b e l . Erop werken: • de zwaartekracht op de c a b i n e met inhoud; deze g r i j p t aan i n h e t zwaartepunt; • de t r e k k r e c h t van de k a b e l op de c a b i n e ; deze g r i j p t aan waar de k a b e l aan de o p h a n g c o n s t r u c t i e t r e k t . De cabine hangt s t i l , dus e r moet v o l d a a n z i j n aan de evenwichtsvoorwaarden. Voor de cabine moet g e l d e n : .2 2 Waarbij
F = 0 M = 0
M s t a a t voor moment ( k r a c h t maal arm van de k r a c h t ) . Omdat de
som
ARBEID UITREKENEN van de momenten n u l moet z i j n , b e v i n d t het zwaartepunt z i c h onder h e t ophangpunt van de c a b i n e . U i t f i g . 2.7 i s d u i d e l i j k dat de vektorsom van de z w a a r t e k r a c h t en de t r e k k r a c h t n i e t n u l i s . Dat de c a b i n e n i e t naar beneden s t o r t komt omdat d i e aan de k a b e l hangt: de k a b e l o e f e n t nog een k r a c h t u i t . Die k r a c h t i s l o o d r e c h t op de k a b e l omhoog g e r i c h t en wordt de n o r m a a l k r a c h t F^ genoemd. Normaal h e e f t h i e r de b e t e k e n i s d i e j e i n de wiskunde a l bent tegengekomen: l o o d r e c h t . De normaalkracht maakt de som van de k r a c h t e n n u l .
f i g . 2.7: De t r e k k r a c h t e n d e z w a a r t e k r a c h t w e r k e n op de c a b i n e v a n de k a b e l b a a n . M a a r d e som v a n d e z e t w e e k r a c h t e n i s n i e t nul.'
Hoe
f i g . 2.8: De k a b e l o e f e n t e e n n o r . ' m a a l k r a c h t l o o d r e c h t op d e k a b e l omhoog u i t , d i e d e som v a n d e k r a c h t e n n u l maakt.
g r o o t i s deze n o r m a a l k r a c h t nu? Er moet g e l d e n : +
F
0
^trek + ^ = Om deze k r a c h t e n t e mogen o p t e l l e n moeten ze e i g e n l i j k i n één punt aang r i j p e n . Dat i s n i e t h e t g e v a l . V o o r d i t d o e l mag de z w a a r t e k r a c h t langs z i j n w e r k l i j n v e r p l a a t s t worden n a a r h e t punt A, z o a l s i n f i g . 2.8 i s getekend. E r z i j n twee manieren om v e k t o r e n op t e t e l l e n : door c o n s t r u c t i e (kopstaart-methode o f p a r a l l e l l o g r a m m e t h o d e ) of door h e t o p t e l l e n van de componenten i n de x- en j / - r i c h t i n g en d a a r u i t de somvektor samen te stellen. z
N
5 NORMAALKRACHT CONSTRUEREN De massa van de c a b i n e (met inhoud) i s 600 kg. a. Teken de z w a a r t e k r a c h t (3 cm) en de k a b e l (30°) en b e p a a l de g r o o t t e van de n o r m a a l k r a c h t en de t r e k k r a c h t door m i d d e l van constructie. b. Bepaal de g r o o t t e van de k r a c h t e n door meting. c. Bereken de componenten van de z w a a r t e k r a c h t ook met behulp van de h e l l i n g s h o e k (a = 30°) en v e r g e l i j k d i e met de u i t k o m s t van a. Om de normaalkracht t e b e p a l e n u i t de som van de componenten moet e r e e r s t een a s s e n s t e l s e l gekozen worden, z i e f i g . 2.9'
-22-
ARBEID UITREKENEN
fig. De
2.9:
k r a c h t e n i n een
assenstelsel.
De n o r m a a l k r a c h t wórdt g e l e v e r d door een k l e i n e v e r v o r m i n g van h e t opperv l a k o f de k a b e l . B i j een brug b i j v o o r b e e l d : z i e f i g . 2.10. I n een k a b e l werken de s p a n k r a c h t e n a l l e e n l a n g s de k a b e l . Om de n o r m a a l k r a c h t t e l e v e r e n moet de k a b e l daarom een k n i k v e r t o n e n b i j h e t ophangpunt van de c a b i n e . I n e e r d e r e t e k e n i n g e n hebben we d i e v e r w a a r l o o s d . P r e c i e s e r getekend k r i j g j e de s i t u a t i e z o a l s i n f i g . 2.M: de som van k r a c h t e n d i e de k a b e l op de c a b i n e u i t o e f e n t i s i n h e t g e v a l van s t i l s t a a n g e l i j k aan de z w a a r t e k r a c h t . f i g . 2 . 1 0 : Door h e t vervormen van een b r u g kan het brugdek een n o r m a a l k r a c h t gaan u i t o e f e n e n op een auto op de brug.
f i g . 2.11: De k r a c h t e n van de k a b e l hebben de r i c h t i n g van de k a b e l , maar maken tesamen de som van de k r a c h t e n n u l . Voor de d u i d e l i j k h e i d i s de k n i k i n de k a b e l h i e r o v e r d r e v e n . -»• *.
2e s i t u a t i e : bewegende c a b i n e . A l s de cabine gaat bewegen gaat er bovendien nog, a f h a n k e l i j k van de b e w e g i n g s r i c h t i n g , een w r i j v i n g s k r a c h t i n het ophangpunt langs de k a b e l naar boven o f naar beneden werken. Daarnaast i s er dan ook de l u c h t w r i j v i n g s k r a c h t op de c a b i n e , d i e b i j w i n d s t i l weer v r i j w e l te verwaarlozen i s . De som van de k r a c h t e n op het ophangpunt i s n u l a l s de c a b i n e e e n p a r i g beweegt. B i j o p t r e k k e n o f remmen i s dat n a t u u r l i j k n i e t het g e v a l .
-23-
ARBEID UITREKENEN
6 BEWEGENDE CABINE Teken en bereken a l l e k r a c h t e n i n h e t ophangpunt van de c a b i n e . Neem de w r i j v i n g s k r a c h t 500 N: a. a l s de cabine met een c o n s t a n t e s n e l h e i d naar boven beweegt; b. a l s de c a b i n e met een c o n s t a n t e s n e l h e i d naar beneden beweegt; c. a l s de cabine met 1 m/s^ naar boven v e r s n e l d wordt. Samengevat g e l d t voor een voorwerp i n r u s t o f i n eenparige beweging: 2 Z
F= 0
F
x
= 0
F = 0 y
\
F = 0 z
A l s de beweging e e nSF p a r i= g m.a versneld i s geldt: X
= 0
•SF SF =
m.a
_ y "EF
= 0 3
7 KRACHTEN BEPALEN VIA COMPONENTEN Aan de k a b e l van een k r a a n hangt een g r o t e , lege k i s t van 40 k g . Door de wind wordt deze k i s t o p z i j geblazen zodat de k a b e l een hoek van 20° met de v e r t i k a a l maakt ( z i e f i g . 2.12). Met deze gegevens kun j e nu a l l e k r a c h t e n op de doos u i t r e k e n e n . a. Maak een schets van de k r a c h t e n op de k i s t en s t e l de evenwichtsvoorwaarden op. b. K i e s een a s s e n s t e l s e l , teken d a a r i n de k r a c h t e n en de componenten van de k r a c h t e n . c. Reken v e r v o l g e n s de componenten van de k r a c h t e n en t e n s l o t t e de k r a c h t e n z e l f u i t .
8 KRACHTEN OP EEN KLIMMENDE FIETSER a. Teken en bereken de k r a c h t e n op een f i e t s e r d i e met 3 m/s tegen een h e l l i n g van 10% o p f i e t s t . Neem a l s t o t a l e massa 80 kg en a l s w r i j v i n g s k r a c h t 8 N. b. Hoeveel vermogen l e v e r t de f i e t s e r ? c. Wat v e r a n d e r t aan de k r a c h t e n op h e t moment d a t de f i e t s e r 1 m/s^ v e r t r a a g d wordt?
-24-
ARBEID UITREKENEN 2.3 ARBEID EN VECTORREKENING In opdracht 1 over h e t b e p a l e n van de r o l w r i j v i n g heb j e een s i t u a t i e waarin k r a c h t en weg een hoek met e l k a a r maken a l op een v a n z e l f sprekende w i j z e o p g e l o s t . U i t d i e o p l o s s i n g kan j e een algemener geldende o p l o s s i n g h a l e n . Daarom ga j e d i e s i t u a t i e nogmaals b e k i j k e n .
f i g . 2.14 De k r a c h t e n en de weg a l s v e k t o r e n
Ax De beweging van de h e l l i n g a f i s r e c h t l i j n i g . De weg kan dus v o o r g e s t e l d worden a l s een v e k t o r As. hh i s de component van deze v e k t o r i n de r i c h t i n g van de z w a a r t e k r a c h t . De andere component Ax i s de h o r i z o n t a l e component ( l o o d r e c h t op de z w a a r t e k r a c h t ) . Voor hoek a t u s s e n de zwaartekracht en de v e r p l a a t s i n g g e l d t : a = 90° - g. Dan kun j e h e t h o o g t e v e r l i e s Lh s c h r i j v e n a l s Lh = As cosa Voor de a r b e i d door de zwaartekracht k r i j g j e W = F As cosa z
dan:
z
9 ANDER COÖRDINATENSTELSEL Je kunt ook een coörd^natenstelsen k i e z e n w a a r b i j de x-as de r i c h t i n g van de weg As h e e f t . a. S c h r i j f de formules v o o r de x- en i/-componenten van de zwaartek r a c h t op. b. L e i d d a a r u i t de formule voor de a r b e i d door de z w a a r t e k r a c h t a f en v e r g e l i j k d i e met bovenstaande f o r m u l e . Wat i s j e c o n c l u s i e ? De h o r i z o n t a l e component Ax van As d r a a g t n i e t b i j t o t de a r b e i d , want d i e s t a a t l o o d r e c h t op de z w a a r t e k r a c h t .
algemeen Welk coördinatenstelsel j e ook k i e s t , de a r b e i d (door een c o n s t a n t e k r a c h t langs een r e c h t e weg) wordt gegeven door de k r a c h t maal de p r o j e k t i e van de weg i n de r i c h t i n g van de k r a c h t ( z i e f i g . 2.15a) W = F.(As cosa) Of de p r o j e k t i e van de k r a c h t i n de r i c h t i n g van de weg f i g . 2.15b). . W = (F. cosa).As In b e i d e g e v a l l e n i s a de hoek t u s s e n de k r a c h t en de
maal de weg
weg.
(zie
-25-
ARBEID UITREKENEN
'X
f i g . 2.15a De weg g e p r o j e k t e e r d op de r i c h t i n g v a n de k r a c h t
fig.
2.15b De k r a c h t g e p r o j e k t e e r d op de r i c h t i n g van de weg
10 SCHUITJE VAREN Het b o o t j e van V a l e n t i j n hangt a c h t e r h e t p l e z i e r j a c h t van z i j n ouders. V a l e n t i j n w i l een s c h a t t i n g maken van h e t e x t r a vermogen dat h e t s l e p e n van z i j n b o o t j e k o s t . H i j weet dat h i j 55 kg weegt en dat z i j n b o o t j e 145 kg i s . H i j meet de k r a c h t i n het sleeptouw (250 N) en de hoek d i e het touw met de h o r i z o n maakt (20°). De boot v a a r t 7,2 km/h. a. Teken en bereken a l l e k r a c h t e n op h e t b o o t j e . Houd ook r e k e n i n g met de ( g e s c h a t t e ) p l a a t s van de a a n g r i j p i n g s p u n t e n . b. V e r k l a a r de stand van het b o o t j e i n h e t water. c. Bereken h e t vermogen dat het p l e z i e r j a c h t l e v e r t om V a l e n t i j n ' s b o o t j e v o o r t te t r e k k e n .
f i g . 2.16 V a l e n t i j n i n z i j n b o o t j e
Een andere manier om d i t op t e s c h r i j v e n i s met behulp van h e t inwendig produkt dat_Je w e l l i c h t u i t ^ d e wiskunde k e n t . Het inwendig produkt van de v e k t o r e n a = ( a j , a^) ^ ^ 1 » ^l) i s : e
a.b Het
= a j .bj +
inwendig
produkt
n
=
ct2^2 van F
en As i s dus:
F.As = F .Lx + Fy.by x
In een coördinatenstelsel met hoek a t u s s e n F en As--geldt:
de x-as
i n de r i c h t i n g van As en b i j een
by = 0; Ar = As F
x
= F.cosa
zodat g e l d t : F.As
= F . As cosa
Algemeen g e l d t dat a r b e i d door een c o n s t a n t e k r a c h t h e t inwendig k r a c h t en weg i s : W = F. As
produkt
van
-26-
ARBEID UITREKENEN
1.1 HET VERMOGEN VAN
EEN
ZEILBOOT
De h o r i z o n t a l e k r a c h t e n op een z e i l b o o t s t a a n i n f i g . 2.17 en met de j u i s t e r i c h t i n g getekend.
op s c h a a l
f i g . 2.17 De h o r i z o n t a l e k r a c h t e n op een z e i l b o o t . Ook de r i c h t i n g e n v a n de w i n d s n e l h e i d en de s n e l h e i d van de boot s t a a n g e t e k e n d . Waarom de getekende v e k t o r e n zo g e r i c h t z i j n i s een i n g e w i k k e l d e zaak d i e h i e r n i e t zo van b e l a n g i s .
Aangenomen i s dat de w a t e r - en w i n d k r a c h t c o n s t a n t z i j n , zodat de s n e l h e i d van de boot c o n s t a n t i s , 5 knopen (2,6 m/s). De w a t e r k r a c h t i s dan 3600 N. a. Bepaal h e t vermogen d i e d a t z e i l u i t de wind opneemt. L e t op: de r i c h t i n g van de b o o t s n e l h e i d v a l t n i e t samen met de r i c h t i n g van de l e n g t e a s van de b o o t , omdat de boot ook een b e e t j e moet ' a f d r i j v e n ' om de dwarscomponent van de w i n d k r a c h t door een a l d u s opgewekte w a t e r k r a c h t t e kunnen compenseren. b. Wat z a l h e t r e s u l t a a t z i j n van een b e t e r e s t r o o m l i j n i n g van de boot?
12 HET
STIJGEN
VAN
EEN
VLIEGTUIG
Een v l i e g t u i g v l i e g t met c o n s t a n t e s n e l h e i d (100 m/s) onder een hoek van 15° omhoog. De massa van h e t v l i e g t u i g i s 20 t o n . De v l i e g t u i g m o t o r e n l e v e r e n 6 MW. Welk g e d e e l t e van d i t vermogen r a a k t h e t v l i e g t u i g k w i j t door de ( n e g a t i e v e ) a r b e i d d i e de zwaartekracht v e r r i c h t ?
2.4
ARBEID DOOR EEN
VAN
GROOTTE
VERANDERLIJKE KRACHT
In a l l e voorafgaande p a r a g r a f e n heb j e a l l e e n naar de a r b e i d van (min of meer) c o n s t a n t e k r a c h t e n gekeken. In v e e l i n t e r e s s a n t e problemen gaat het j u i s t om veranderlijke k r a c h t e n . Denk maar aan de b o t s i n g : de 'kreukkracht.' i s v e r a n d e r l i j k . Of aan de l u c h t w r i j v i n g . D i e i s a f h a n k e l i j k van de s n e l h e i d . Of z e l f s aan de z w a a r t e k r a c h t . Naarmate j e v e r d e r van de aarde afkomt wordt de a a n t r e k k i n g s k r a c h t van de aarde k l e i n e r . Voor de r u i m t e v a a r t i s dat een b e l a n g r i j k gegeven.
-27-
ARBEID UITREKENEN Voor^zo^n v e r a n d e r l i j k e k r a c h t kun j e n i e t zonder meer de formule W = F. A s , d i e j e i n de v o r i g e p a r a g r a f e n g e b r u i k t hebt, g e b r u i k e n . Welke waarde moet j e voor de k r a c h t i n v u l l e n ? Die waarde kan immers voortdurend veranderen.
gemiddelde kvaoht? A l s b e n a d e r i n g van een v e r a n d e r l i j k e k r a c h t zou j e de gemiddelde waarde van d i e k r a c h t kunnen nemen. Je gaat dat eens proberen met een wat t h e o r e t i s c h e s i t u a t i e , w a a r u i t j e b e l a n g r i j k e c o n c l u s i e s kunt t r e k k e n , d i e we i n v e e l e c h t e r e s i t u a t i e s kunnen g e b r u i k e n . S t e l j e voor dat een meisje, Ineke,met een f i e t s k a r a c h t e r haar f i e t s weg r i j d t . D a a r b i j wordt 10 s een t r e k k r a c h t van 50 N op de f i e t s k a r u i t geoefend en gaat ze 25 m v o o r u i t . Daarna f i e t s t ze nog 10 s met een c o n s t a n t e s n e l h e i d van 5 m/s, waar een t r e k k r a c h t van 10 N op de f i e t s k a r voor n o d i g i s .
0
10
f i g . 2.18 De F
t r e k
20
» t - g r a f i e k van Ineke:
t in s van 0 t o t 20 s i s h a a r gemiddelde
k r a c h t 30 N.
De om te • •
a r b e i d door de t r e k k r a c h t (en dus de e n e r g i e d i e Ineke moet l e v e r e n de f i e t s k a r v o o r t t e trekken) kun j e nu op twee manieren proberen u i t rekenen: door twee maal F.As u i t t e rekenen: voor e l k i n t e r v a l a p a r t ; door de gemiddelde k r a c h t u i t t e rekenen en i n één k e e r F.As b e p a l e n .
13 TEGENSPRAAK! a. Bereken de a r b e i d van de t r e k k r a c h t (van 0 t o t 20 s) v i a b e i d e methoden. b. Eén van de twee methoden i s f o u t . Waarom? K i j k nog eens goed naar de b e r e k e n i n g van de gemiddelde k r a c h t . Ineke h e e f t de h e l f t van de som genomen omdat b e i d e k r a c h t e n gedurende een g e l i j k e t i j d werken. Maar voor de a r b e i d i s n i e t de t i j d , maar de a f g e l e g d e weg van b e l a n g ! Met andere woorden: ze moet geen gemiddelde naar de t i j d maar een gemiddelde naar de afgelegde weg gebruiken om t o t een goede uitkomst voor de a r b e i d t e komen. F i g . 2.18 b r a c h t haar op h e t v e r k e e r d e spoor: ze moet d i e g r a f i e k vervangen door een g r a f i e k van de k r a c h t en de weg: F, s - g r a f i e k . Z i e f i g . 2.19.
-28-
ARBEID UITREKENEN trek tU-ü-l H^ËtSËjffi in 60 j f f f i { | ] f | ^
UrËtllSSÜüülüiJ
40
fifufflf^
111H H1 Is
20 tliüliltnïïïïiiiïïijïï Ö
25
50
75
9 in m
f i g . 2.19 De F, s - g r a f i e k v a n I n e k e . A l s j e over de weg m i d d e l t , i s de k r a c h t h e l e m a a l geen 30 N.
Als de k r a c h t v e r a n d e r t i n de t i j d , v e r a n d e r t d i e ook a l s f u n k t i e van de weg. V e r g e l i j k de f i g u r e n 2.18 en 2.19 maar. Om h e t gemiddelde naar de weg t e nemen moetje ook r e k e n i n g houden met h e t ovvervlak onder de g r a f i e k : z i e f i g . 2 . 2 0 . 4 j moet g e l i j k z i j n aan 4 2 om een j u i s t gemiddelde t e k r i j g e n .
trek i n
N
60
40
'JémiiaESBiiiiSSsss ::::• u i i : : i : : i : f | \m3X= =======i i i j i i i l j p p i i =;ss -::.:;,!: .au s::::::;::iK:;t:::; au UilüUMMIÜEBSM Kiihiiliihi
m m wB
I I H
• •• !•(
•Uk
m m f
2 5
ril.' '! • = ? ' . = ! ' . «
. :
:S!E::::i:s::::::::::! 11 I tr"
ff i II l i
50
: 75
a inm
f i g . 2.20 A l s de o p p e r v l a k k e n A^ en A^ heb j e de gemiddelde k r a c h t , gemiddeld o v e r de weg, gevonden.
14 ARBEID VIA GEMIDDELDE KRACHT Bereken nu de a r b e i d v i a de gemiddelde k r a c h t op de j u i s t e manier. V i n d j e dat een handige methode?
oppervlak onder de F
3
s-grafiek
Zoals j e i n f i g . 2.20 a l merkte, i s de o p p e r v l a k t e onder de F, s - g r a f i e k van belang v o o r a r b e i d . Net z o a l s j e u i t een v, A t - g r a f i e k de a f g e l e g d e weg kunt b e p a l e n door de o p p e r v l a k t e eronder t e nemen, zo kun j e u i t de F, sdiagram de a r b e i d berekenen. De k r a c h t beschouw j e d a a r b i j dus a l s een funkt i e , nu e c h t e r n i e t van de t i j d F ( t ) maar van de a f g e l e g d e weg F(s).
15 a. Bepaal u i t h e t oppervlak onder g r a f i e k van f i g . 2.20 de a r b e i d van de t r e k k r a c h t . b. Een g r a f i e k d i e de w e r k e l i j k e t r e k k r a c h t b e t e r weergeeft s t a a t i n f i g . 2.21.
ARBEID UITREKENEN
0
fig.
25
50
s in m
2.21 De k r a c h t b i j h e t f i e t s e n i s m e e s t a l n i e t
Bereken d a a r u i t
constant.
de a r b e i d d i e de t r e k k r a c h t
verricht.
16 ARBEID DOOR DE BOTSKRACHT Een auto (m = 900 kg) b o t s t met een b e g i n s n e l h e i d van 50 km/h tegen een betonnen wand. B i j de b o t s i n g t r e e d t i n k o r t e t i j d een s t e r k w i s s e l e n d e k r a c h t op ( z i e f i g . 2.22). Dat wordt v e r o o r z a a k t door de v e r s c h i l l e n d e d e l e n van de voorkant van de auto d i e achtereenvolgens i n e l k a a r gedrukt worden t o t de wagen t o t s t i l s t a n d i s gekomen.
f i g . 2.22 K r a c h t op een a u t o b i j een f r o n t a l e
botsing
a. Waarom i s de a r b e i d door de b o t s k r a c h t nïet de o p p e r v l a k t e onder de g r a f i e k van f i g . 2.22? (Wat s t e l t h e t wêl voor?) b. Hoe zou j e u i t deze g r a f i e k de a r b e i d door de b o t s k r a c h t wel kunnen u i t r e k e n e n ? Welke tussenstappen zou j e daarvoor moeten doen?
17 ARBEID OP EEN PEES Een m e n s e l i j k e pees ( v e e r k r a c h t i g e band u i t h e t lichaam, b i j v . de a c h i l l e s p e e s aan j e h i e l ) wordt u i t g e r e k t op een proefbank i n een l a b o r a t o r i u m . De k r a c h t b i j h e t u i t r e k k e n s t a a t i n f i g . 2.23 u i t g e z e t tegen de u i t r e k k i n g u. De k r a c h t b i j h e t ontspannen i s tegen de u i t r e k k i n g u u i t g e z e t i n f i g . 2.24.
-30-
ARBEID UITREKENEN
a. Bereken de a r b e i d d i e n o d i g i s om de pees 2,0 b. Bereken de a r b e i d van het l a t e n ontspannen.
2.5
ARBEID LANGS EEN
KROMME
cm u i t te rekken.
WEG
Tot nu toe heb j e de a r b e i d steeds berekend voor r e c h t l i j n i g e bewegingen. D a a r b i j kun j e g e b r u i k maken van de a f g e l e g d e weg a l s v e k t o r As. B i j k r o m l i j n i g e bewegingen kan j e de a f g e l e g d e weg n i e t meer a l s één v e k t o r z i e n , want de r i c h t i n g verandert s t e e d s . De g r o o t t e van de weg, gemeten langs de baan, kan h e e l wat v e r s c h i l l e n van de verplaatsing, g e d e f i n i e e r d a l s h e t v e r s c h i l van twee p l a a t s v e k t o r e n .
fig» 2.25: d e weg
As
E r i s een g r o o t v e r s c h i l t u s s e n de p u n t e n A e n
t u s s e n de v e r p l a a t s i n g
A r en de
afgeleg-
B.
In de formule voor a r b e i d z a l de v e k t o r As dan vervangen moeten worden door de v e k t o r Ar = F - r . , w a a r b i j de p l a a t s v e k t o r r de h e l e weg van b e g i n t o t e i n d d o o r l o o p t . 6 I P l e i dt t o t een h e e l i n g e w i k k e l d e mathemat i s c h e vorm voor a r b e i d . Maar i n twee g e v a l l e n i s het e i n d r e s u l t a a t eenv o u d i g . Daarom worden d i e h i e r e e r s t u i t g e l e g d . b
arbeid door de
zwaartekracht
Een b a l d i e weggeworpen wordt v o l g t een kogelbaan, een k r o m l i j n i g e beweg i n g . De p l a a t s v e k t o r van de b a l wordt v e r p l a a t s t van A naar D. Voor
ARBEID UITREKENEN A en D en de t u s s e n l i g g e n d e punten B en C z i j n de p l a a t s v e k t o r e n i n f i g . 2.26 getekend, b i j een bepaalde keuze van n u l p u n t . Ook de zwaartekracht die de b a l i n d i e punten o n d e r v i n d t s t a a t getekend.
f i
f i g . 2.26 De p l a a t s v e k t o r e n v a n de b a l op v e r s c h i l l e n d e t i j d s t i p p e n .
De a r b e i d door de worden:
zwaartekracht
8-
2
op de b a l kan
-
2 7
D e
verplaatsingsvektor
e c h t e r eenvoudig berekend
W = F .h z
De reden daarvan i s dat de zwaartekracht i n e l k punt even groot i s en g e l i j k g e r i c h t i s . Daarom v e r r i c h t de zwaartekracht evenveel a r b e i d b i j h e t omhoog gaan a l s b i j b^et (over d e z e l f d e hoogte) v a l l e n . Het i s de u i t e i n d e l i j k e verplaatsing Ar d i e t e l t . Daarvan b e h o e f t dan s l e c h t s de p r o j e k t i e op de r i c h t i n g van de zwaartekracht genomen t e worden, z i e f i g . 2.27.
arbeid door de
wrijvingskracht
A l s j e van h u i s naar s c h o o l f i e t s t v e r r i c h t de w r i j v i n g s k r a c h t a r b e i d op j o u en j e f i e t s . De w r i j v i n g s k r a c h t i s op e l k punt t e g e n g e s t e l d g e r i c h t aan j e s n e l h e i d . De h e l e weg vaij h u i s naar s c h o o l zou j e kunnen opdelen i n k l e i n e s t u k j e s v e r p l a a t s i n g Ar ( z i e f i g . 2.28), waarover j e de a r b e i d kunt u i t r e k e n e n met
W = f.. Ar =-P
.Ar w omdat w r i j v i n g s k r a c h t en weg
steeds
tegengesteld
gericht z i j n . f i g . 2.28 De w r i j v i n g s k r a c h t op h e t kleine stukje verplaatsing
-32-
ARBEID UITREKENEN De t o t a l e a r b e i d d i e j e v e r r i c h t i s dan de som van de a r b e i d over a l d i e k l e i n e s t u k j e s en d a a r b i j i s dan toch p r e c i e s de a r b e i d langs de w e r k e l i j k afgelegde weg berekend. Voor de w r i j v i n g s k r a c h t kun j e dus o p s c h r i j v e n :
W = -F
.As
w
waarbij
As langs de w e r k e l i j k a f g e l e g d e weg
18 VAN
wordt gemeten.
HUIS NAAR SCHOOL
Bepaal de a r b e i d d i e de w r i j v i n g s k r a c h t v e r r i c h t a l s éen l e e r l i n g van het h u i s i n f i g . 2.28 naar s c h o o l f i e t s t en de s c h a a l van d i e t e k e n i n g 1 cm = 10 ra i s . De l e e r l i n g o n d e r v i n d t een w r i j v i n g s k r a c h t van 12 N.
algemeen De methode d i e h i e r b o v e n b i j de w r i j v i n g s k r a c h t gevoegd i s , het opdelen van de weg i n h e e l v e e l k l e i n e s t u k j e s v e r p l a a t s i n g Ar, over a l d i e s t u k j e s a f z o n d e r l i j k de a r b e i d berekenen en dan sommeren, dat i s de algemene methode om de a r b e i d langs een kromme weg u i t te rekenen. Je kunt dat v i a computerprogramma's doen, maar i n een a a n t a l b i j z o n d e r e g e v a l l e n kun j e dat ook met wiskundige methoden, w a a r b i j j e de i n t e g r a a l r e k e n i n g n o d i g h e b t . De boven g e s c h e t s t e procedure geef j e i n wiskundige termen weer door: V
2.6
A-B
=
A^B
F
'
c
o
s
a
'
d
r
SAMENVATTING
De a r b e i d d i e een k r a c h t F v e r r i c h t kun • met de formule
j e uitrekenen:
W = F.As a l s de van g r o o t t e constante k r a c h t F steeds g e l i j k g e r i c h t i s met, o f t e g e n g e s t e l d g e r i c h t i s aan de r i c h t i n g van de a f g e l e g d e weg (bijv. w r i j v i n g s k r a c h t ) . As i s dan de afgelegde weg d i e langs de baan wordt gerekend. • met
de
formule W = F.As =
cosa
F.As
a l s de constante k r a c h t F (constant van maakt met de r e c h t l i j n i g e weg As
g r o o t t e ên r i c h t i n g ) een hoek
• u i t de o p p e r v l a k t e onder de F , A s - g r a f i e k a l s de k r a c h t F n i e t constant van g r o o t t e i s maar wel een constante hoek maakt met (de r a a k l i j n aan) de weg. • met
de
formule
W = F.Ar voor k r o m l i j n i g e bewegingen waarvoor de k r a c h t constant van r i c h t i n g i s ( b i j v . zwaartekracht).
grootte
en
-33-
ARBEID UITREKENEN
2.7 PROBLEMEN A l s a f s l u i t i n g van d i t hoofdstuk v o l g e n een a a n t a l problemen d i e j e kunt o p l o s s e n met behulp van de t h e o r i e van d i t h o o f d s t u k . Voor de o p l o s s i n g van zo'n probleem moet j e een a a n t a l tussenstappen maken. Welke n o d i g z i j n moet j e z e l f v e r z i n n e n . Dat hangt ook a f van de oplosmethode d i e j e v o l g t . M e e s t a l z i j n e r meer oplosmethoden m o g e l i j k . A l s j e de t u s s e n s t a p p e n n i e t z e l f kunt v e r z i n n e n , kun j e g e b r u i k maken van de tussenvragen d i e voor e l k probleem gemaakt z i j n . Je kunt ze aan j e l e r a a r vragen.
probleemoplossen Probleemoplossen i s een v a a r d i g h e i d d i e b e l a n g r i j k i s i n h e t vak natuurkunde. De h i e r gegeven problemen dienen om j e te oefenen i n deze v a a r d i g h e i d . A l s een e r v a r e n iemand een probleem o p l o s t v e r l o o p t h e t o p l o s s i n g s p r o c e s m e e s t a l i n een a a n t a l fasen. Onervaren mensen hebben soms de n e i g i n g om a c h t e r a a n te beginnen, b i j v o o r b e e l d meteen een formule op t e s c h r i j v e n en t e gaan u i t r e k e n e n zonder dat ze p r e c i e s weten o f ze de u i t k o m s t n o d i g hebben o f de j u i s t e waarden i n v u l l e n . Daarom kun j e het b e s t e proberen de volgende fasen achtereenvolgens a f te werken. De overgang van de ene naar de andere f a s e v e r l o o p t o v e r i g e n s v l o e i e n d zodat ze n i e t a l t i j d goed te s c h e i d e n zijn.
1. oriëntatiefase In deze f a s e probeer j e d u i d e l i j k te k r i j g e n wat het probleem p r e c i e s i s , welke gegevens j e p r e c i e s hebt en welke j e w e l l i c h t m i s t . Je maakt ook een t e k e n i n g en s c h r i j f t de gegevens o v e r z i c h t e l i j k op. Je zoekt r e l e v a n t e t h e o r i e o f formules op i n j e geheugen o f i n j e boek en n o t e e r t d i e . Je b e s l i s t welke i n f o r m a t i e b e l a n g r i j k i s voor h e t probleem en wat onbelangr i j k i s ; welke vereenvoudigingen voor de p r o b l e e m s t e l l i n g verantwoord en/of n o d i g z i j n . Ook h e t maken van een s c h a t t i n g van de g r o o t t e van een uitkomst i s een goede oriënterende a k t i v i t e i t . E r v a r e n probleemopl o s s e r s besteden de meeste t i j d aan deze f a s e , onervaren mensen hebben de n e i g i n g aan deze fase de minste t i j d te besteden. Voor d i t b l o k i s het b i j v o o r b e e l d van b e l a n g na te gaan welk systeem het b e s t e gekozen kan worden en welke de uitwendige k r a c h t e n op het systeem z i j n , van welke van d i e k r a c h t e n h e t a a n g r i j p i n g s p u n t v e r p l a a t s t wordt. Je kunt ook v a s t s t e l l e n welke systeemenergieën veranderen en welke energiestromen o p t r e d e n . A l s een k r a c h t a r b e i d v e r r i c h t moet j e nagaan welk teken de a r b e i d h e e f t , o f de k r a c h t c o n s t a n t i s en o f d i e een hoek maakt met de a f g e l e g d e weg. Op grond daarvan kun j e b e s l i s s e n v i a welke methode j e de a r b e i d moet b e p a l e n en welke de e v e n t u e l e ontbrekende gegevens z i j n .
2.
vertaling
In deze f a s e wordt het g e s t e l d e probleem v e r t a a l d i n ' f y s i s c h e termen': formules, a f l e z i n g van g r a f i e k e n , p r e c i e s e v e k t o r c o n s t r u c t i e , en d e r g e l i j k e . In p r i n c i p e s t e l j e dan v a s t welke dingen j e a l l e m a a l moet doen om t o t een o p l o s s i n g van het probleem te komen.
-34-
ARBEID UITREKENEN Voor d i t b l o k i s b i j v o o r b e e l d van b e l a n g de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g van een systeem op te s c h r i j v e n en formules voor a r b e i d , k i n e t i s c h e e n e r g i e enz. d a a r i n i n te v u l l e n . Ook kan het n o d i g z i j n naar de som van de k r a c h t e n te k i j k e n en te b e s l i s s e n o f d i e a l dan n i e t g e l i j k i s aan n u l o f aan m.a. Het r e s u l t a a t van deze f a s e i s dat j e p r e c i e s weet wat j e moet doen, i n v u l l e n en/of u i t r e k e n e n om t o t een o p l o s s i n g te komen.
3. berekening Je b e p a a l t dan de waarden d i e j e n o d i g hebt en v u l t d i e i n i n v e r g e l i j k i n g e n en d e r g e l i j k e . Of j e v o e r t een c o n s t r u c t i e u i t o f j e werkt een v e r g e l i j k i n g u i t t o t h e t gewenste e i n d r e s u l t a a t . Aan h e t e i n d van deze f a s e kun j e een (of de) o p l o s s i n g van h e t probleem geven.
4. controle
en waardering
Het i s een w i j d v e r b r e i d m i s v e r s t a n d dat h e t probleemoplosproces a f g e l o p e n i s a l s een o p l o s s i n g gevonden i s . Een c o n t r o l e van de i n g e v u l d e waarden en berekeningen i s a l t i j d op z i j n p l a a t s . Maar minstens zo b e l a n g r i j k i s h e t beantwoorden van de v r a a g : wat heb i k aan m i j n uitkomst? Is d i e zo groot a l s verwacht? Is h e t probleem nu echt o p g e l o s t ? K l o p t de uitkomst wel met de gegevens? Wat i s de waarde van de uitkomst i n de p r a k t i j k van de aangeboden probleemcontext? De beantwoording van d e r g e l i j k e vragen kan er toe l e i d e n dat e r f o u t e n i n de b e r e k e n i n g of i n de ' v e r t a l i n g ' opgespoord kunnen worden o f dat j e van de j u i s t h e i d van de o p l o s s i n g o v e r t u i g d r a a k t . specifieke oriëntatie:
vertaling:
a a n w i j z i n g e n voor de problemen van d i t h o o f d s t u k . -
berekening:
-
c o n t r o l e en waardering:
welk systeem k i e s j e ? Gedurende welke t i j d ? welke k r a c h t e n werken daarop? welke k r a c h t e n worden v e r p l a a t s t ? geef i n een t e k e n i n g de k r a c h t e n en de v e r p l a a t s i n g e n aan. wat i s de aard van k r a c h t e n (constant? hoek met de weg?) en de weg ( r e c h l i j n i g o f n i e t ? ) welke z i j n de r e l e v a n t e systeemenergieën? welke energiestromen z i j n e r i n of u i t h e t systeem? welke gegevens ontbreken? Geef d i e zonodig een naam ( b i j v x) k i j k naar de som van de k r a c h t e n s t e l de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g op. Welke termen z i j n p o s i t i e f , welke n e g a t i e f ? s t e l de formule voor a r b e i d , k i n e t i s c h e e n e r g i e e.d. op. zoek methoden o f v e r g e l i j k i n g e n om de ontbrekende gegevens te berekenen/bepalen k i e s een a s s e n s t e l s e l en bereken de componenten van de relevante krachten. c o n s t r u e e r k r a c h t e n op een bepaalde s c h a a l en meet
j e t e k e n i n g op. meet en/of bereken hoeken b e p a a l h e t o p p e r v l a k onder g r a f i e k e n enz. goede eenheden vermeld? kan h e t systeem wel z u l k e g r o t e ( k l e i n e ) k r a c h t e n verdragen / z o v e e l vermogen l e v e r e n / z o v e e l a r b e i d v e r r i c h t e n ? - enz.
-
-35-
ARBEID UITREKENEN
P r a t e n met anderen over het probleem waar j e mee b e z i g bent h e l p t meestal v e e l , met name i n de oriëntatie en de w a a r d e r i n g s f a s e . Daarom i s het aan te raden om samen met anderen aan de volgende problemen te werken. Om de v a a r d i g h e i d probleemoplossen b e t e r i n de v i n g e r s te k r i j g e n i s h e t goed na éën of een a a n t a l problemen met de l e r a a r en k l a s g e n o t e n t e r u g te b l i k k e n op de v r a a g hoe j e t o t een o p l o s s i n g bent gekomen. W e l l i c h t h e l p t de bovenstaande v e r d e l i n g i n f a s e n d a a r b i j .
Probleem 2.1'. HET VERMOGEN VAN
EEN VLIEGTUIG
Een s t r a a l v e r k e e r s v l i e g t u i g (m = 150 ton) v l i e g t op een b e p a a l d moment met 140 m/s en w i l met d i e s n e l h e i d naar een g r o t e r e hoogte. Daartoe gaat h e t v l i e g t u i g s t i j g e n onder een hoek van 12°.
Op h e t v l i e g t u i g wordt door de l u c h t een k r a c h t u i t g e o e f e n d d i e j e opgebouwd kunt denken u i t een k r a c h t l o o d r e c h t op de v l i e g r i c h t i n g (de ' l i f t ' ) en een w r i j v i n g s k r a c h t tegen de v l i e g r i c h t i n g i n g e r i c h t (de 'drag'). Deze l a a t s t e i s b i j 140 m/s 2,5.105 N. Bereken het n e t t o voortstuwingsvermogen dat het v l i e g t u i g voor deze s t i j g i n g n o d i g h e e f t .
Probleem 2.2
EEN BERG OPFIETSEN
A l s j e i n de bergen f i e t s t kom j e soms h e l l i n g e n van 15% of nog meer tegen. Het v a l t n i e t mee om daar tegenop te komen. A l s e r w e i n i g v e r k e e r i s en de weg breed genoeg i s kan j e gaan z i g zaggen waardoor j e m a k k e l i j k e r tegen de h e l l i n g op komt. ^
^
Maak een s c h a t t i n g h o e v e e l j e j e weg moet v e r l e n g e n door t e zigzaggen om tegen een h e l l i n g van 15% op t e komen.
• Tïv
• 1
Ë.
5.
Maak daarvoor g e b r u i k van: • massa van f i e t s e r met f i e t s 80 kg • s n e l h e i d 2 m/s ( a l s j e langzamer f i e t s t v a l j e s n e l om) • de l u c h t w e e r s t a n d i s dus k l e i n ( I N ) ; de r o l w e e r s t a n d i s 5 N • j e kunt gedurende l a n g e r e t i j d 140 W l e v e r e n voor a r b e i d door uitwendige k r a c h t e n .
-36-
ARBEID UITREKENEN
Probleem 2.3 KOGELSTOTEN
fig.
1. Na een i n l e i d e n d e d r a a i s t r e k t de k o g e l s t o o t s t e r haar arm om ae kogel Q weg te werpen.
"f !
.
«
»
.
»
.
.
«
•
!
Z •
»
•
.
»
I
»
É
Het m e i s j e i n de s e r i e t e k e n i n g e n van f i g . 1 s t o o t een 3-kg k o g e l weg. De i n l e i d e n d e draai i s n i e t getekend; d a a r b i j h e e f t ze haar arm met k o g e l a l een s n e l h e i d van 2 m/s gegeven, d i e b i j h e t s t o t e n toeneemt t o t 6 m/s i n p l a a t j e 4: Het t i j d s i n t e r v a l t u s s e n twee opeenvolgende p l a a t j e s i s 0,07 s. B i j de t e k e n i n g i s de b i j b e h o r e n d e s c h a a l gegeven. Bereken de a r b e i d d i e de s t o o t k r a c h t van h e t m e i s j e van p l a a t j e 1 t/m 4 v e r r i c h t . Probleem 2.4 HET RENDEMENT VAN
EEN
FIETS
E r wordt wel eens gezegd dat een f i e t s een u i t e r m a t e e f f e k t i e v e machine i s door h e t g r o t e rendement waarmee d i e de ' e r i n g e s t o p t e ' e n e r g i e gebruikt. Janny w i l dat onderzoeken. Z i j meet daarvoor de r o l w r i j v i n g en de l u c h t weerstand a l s ze 20 km/h gaat: De r o l w r i j v i n g i s dan 4,8 N en voor de l u c h t w r i j v i n g meet ze 10,2 N. Bovendien meet ze de k r a c h t d i e ze " o p haar t r a p p e r s u i t o e f e n t a l s f u n k t i e van de hoek d i e de crank met de h o r i z o n maakt ( z i e f i g . 1). In f i g . 2 s t a a t h e t r e s u l t a a t . De l e n g t e l van de crank i s 17,0 cm.
«
J
ARBEID UITREKENEN Als
de t r a p p e r éénmaal rond i s h e e f t ze 5,1 m a f g e l e g d . Bepaal h e t rendement van de f i e t s .
Probleem 2.5 WELK MOTORVERMOGEN? Van een moderne, aërodynamisch ontworpen auto z i j n twee v e r s i e s d i e aan de b u i t e n k a n t g e l i j k z i j n , maar een v e r s c h i l i n motorvermogen hebben. Gegevens:
Model A
max. vermogen (kW) c i l i n d e r i n h o u d (cm ) massa (kg) v e r b r u i k e n ( l i t e r s p e r 100 km) • constante s n e l h e i d 90 km/h • constante s n e l h e i d 120 km/h • stadsverkeer • gemiddeld max. s n e l h e i d ( i n km/h) a c c e l e r a t i e 0-100 km ( i n s) C -waarde F r o n t o p p e r v l a k (m ) r o l w r i j v i n g (N) p r i j s (/) 3
w
2
44,6 1360 885
Model B 67 1580 950
5,6 5,5 7,5 7,3 7,7 9,0 6,9 7,2 155 176 15,6 11,3 0,33 0,33 2,0 2,0 2,4 2,6 40.000 50.000
U i t deze l i j s t kunnen a l s v o o r d e l e n van model B t e n o p z i c h t e van model A g e z i e n worden: • s n e l l e r optrekken, wat met name b i j h e t p a s s e r e n van een v o o r l i g g e r geb r u i k t wordt • hogere maximumsnelheid (maar de w e t t e l i j k e maximumsnelheid i s 100 km/h). Nadelen z i j n : • de massa van de auto i s g r o t e r • h e t gemiddeld b e z i n e v e r b r u i k i s hoger • model B i s duurder. Eén b e l a n g r i j k v o o r d e e l van model B kan n i e t u i t de gegevens worden a f g e l e z e n : de p r e s t a t i e s i n de bergen.
Is h e t met (één van) b e i d e modellen m o g e l i j k om met 108 km/h (30 m/s) een h e l l i n g van 10% op t e r i j d e n ? Gebruik a l s formule voor de l u c h t w r i j v i n g :
met p de d i c h t h e i d van de l u c h t en A h e t f r o n t o p p e r v l a k .
-38-
ARBEID UITREKENEN Probleem 2.6 RENDEMENT VAN DE ELOK 1600 Een l o k o m o t i e f van h e t type E l o k 1600 t r e k t 8 wagons t u s s e n Helmond en Venlo op een h o r i z o n t a a l baanvak. De t r e k k r a c h t van de l o k o m o t i e f (m = 40 ton) op de r e s t van de t r e i n (m = 505 ton) wordt t i j d e n s de r i t gemeten: deze i s gemiddeld 110 kN. De s n e l h e i d i s dan 30 m/s. Het vermogen dat u i t de b o v e n l e i d i n g wordt opgenomen, i s ook g e r e g i s t r e e r d : 4,0 MW. De som van de l u c h t w r i j v i n g , r o l w r i j v i n g en gemiddelde s l i p w r i j v i n g op de l o k o m o t i e f i s 5,0 kN. Let op: de som van de genoemde w r i j v i n g s k r a c h t e n op de gehele t r e i n i s v e e l g r o t e r ; d i e i s e c h t e r i n de t r e k k r a c h t op de l o k o m o t i e f inbegrepen.
Bereken h e t rendement van de l o k o m o t i e f
Probleem 2.7 CAPACITEIT VAN EEN AARDGASCOMPRESSOR STATION In h e t Nederlandse aardgasnet i s een g r o t e g a s l e i d i n g van S l o c h t e r e n (Gr) naar de Randstad opgenomen. De p i j p d o o r s n e d e i s 1,00 m^. Om de 100 km i s de l e i d i n g onderbroken voor een compressor (= samenpers-) s t a t i o n : e r s t a a t e r b i j v . één i n R a v e s t e i n en één i n Ommen. Daar wordt de druk verhoogd van 44 b a r t o t 65 b a r (1 b a r = 1000 mbar = 10 Pa = 105 N/m = ca. 1 atm ( a t m o s f e e r ) ) ; de druk i n de l e i d i n g d a a l t n a m e l i j k t i j d e n s h e t t r a n s p o r t , o.a. door w r i j v i n g . De c o m p r e s s o r s t a t i o n s werken dus a l s gaspomp. Het proces van samenpersen van h e t gas s t a a t schematisch i n f i g . 1 getekend: • Het gas dat onder een druk van 44 b a r i n h e t c o m p r e s s o r s t a t i o n aan komt wordt i n de c i l i n d e r gezogen: t o t a a l 1,00 m^ ( z i e f i g . l a ) . • Het gas wordt samengeperst t o t 65 b a r , w a a r b i j de z u i g e r 27 cm v e r p l a a t s t wordt ( f i g . l b ) . Voor de eenvoud i s aangenomen d a t de temperatuur van h e t gas ongeveer c o n s t a n t b l i j f t , wat i n w e r k e l i j k h e i d zeker n i e t h e t g e v a l i s . • Vervolgens gaat eén k l e p open en wordt h e t gas b i j 65 b a r h e t leidingsnet ingeperst ( f i g . l c ) . • Nu kan een volgende h o e v e e l h e i d gas i n de c i l i n d e r gezogen worden. 5
2
65 b a r fig.
65 b a r
1 m
fig.
l b Het samenpersen
&Sj
As=lm
l a Het i n z u i g e n v a n h e t aardgas fig.
l c Het
uitdrijven
65 «ar
-39-
ARBEID UITREKENEN
f i g . 2 De g r a f i e k v a n druk en v e r p l a a t s i n g b i j h e t samenpersen van aardgas i n «en compressor b i j c o n s t a n t e temperatuur.
V
in m
3
De druk van h e t gas i n de c i l i n d e r s t a a t a l s f u n k t i e van de v e r p l a a t s i n g i n f i g . 2 getekend. Op strenge winterdagen, a l s de g a s l e v e r a n t i e maximaal i s , moet een c o m p r e s s o r s t a t i o n voldoende aardgas kunnen verpompen. E l k s t a t i o n werkt z e l f ook op aardgas (en neemt dus een k l e i n g e d e e l t e op u i t de l e i d i n g , maar dat mag j e verwaarlozen) en h e e f t een vermogen van 75 MW dat met een rendement van 33% g e b r u i k t kan worden. Hoeveel m^ gas van 44 bar kan een c o m p r e s s o r s t a t i o n maximaal verpompen per seconde? Is dat voldoende om aan een maximum aanv r a a g van 1600 m3/s (onder normale druk) op een koude w i n t e r d a g te voldoen?
-41-
3.ARBEID GEBRUIKEN Inhoud: 3.1
Een e n e r g i e v e r g e l i j k i n g o p s t e l l e n
42
3.2
V e r a n d e r i n g van k i n e t i s c h e e n e r g i e
43
3.3
Netto k r a c h t en n e t t o a r b e i d
45
3.4
De s c h u i f w r i j v i n g s k r a c h t a l s een z i c h aanpassende k r a c h t
52
3.5
Zwaarte-energie
56
3.6
Conservatieve
3.7
Potentiële e n e r g i e
61
3.8
De v e e r k r a c h t a l s c o n s e r v a t i e v e k r a c h t
61
3.9
A r b e i d door a k t i e - en r e a k t i e k r a c h t
64
3.10 Problemen
krachtvelden
59
66
vooruitblik Door de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g van een systeem op te s c h r i j v e n kun j e t o t u i t d r u k k i n g brengen welke i n t e r n e energieomzettingen p l a a t s v i n d e n en welke e n e r g i e van b u i t e n a f wordt t o e - ( o f a f - ) g e v o e r d v i a a r b e i d , warmtetransport en s t r a l i n g . Je hebt a r b e i d dus n o d i g voor de e n e r g i e vergelijking. Je kunt a r b e i d ook gebruiken om k r a c h t e n u i t te rekenen. D a a r b i j z a l b l i j k e n dat het produkt van n e t t o k r a c h t en v e r p l a a t s i n g van het zwaartepunt n i e t a l t i j d de som van de hoeveelheden a r b e i d d i e v e r r i c h t z i j n o p l e v e r t . Om zwaarteenergie of i n het algemeen potentiële e n e r g i e goed te definiër e n heb j e ook het b e g r i p a r b e i d n o d i g . A l met a l vormt a r b e i d de s c h a k e l t u s s e n de mechanica en de e n e r g i e l e e r , wat van groot belang i s voor het o p l o s s e n van problemen van a l l e r l e i aard, d i e j e aan h e t e i n d van d i t hoofdstuk z u l t tegenkomen.
-42-
ARBEID GEBRUIKEN 3.1
EEN
ENERGIEVERGELIJKING OPSTELLEN
W i l j e van de f i e t s e r u i t f i g . 3.1 weten hoe groot het vermogen i s dat h i j o n t w i k k e l t , dan kan j e a l s systeem f i e t s e r èn f i e t s nemen. De k r a c h t e n op dat systeem z i j n de z w a a r t e k r a c h t , de normaalkracht, de l u c h t w r i j v i n g , de r o l w r i j v i n g en de k r a c h t van de weg op de f i e t s . De k r a c h t van de f i e t s e r op de p e d a l e n i s dan een interne kracht: d i e mag j e n i e t m e e t e l l e n b i j het o p s t e l l e n van j e e n e r g i e v e r g e l i j k i n g . De e n e r g i e v e r g e l i j k i n g wordt dan:
W
zw
+ W
nor
+ W,
.
lucht
+ W
, + rol
W
weg
+ Q = AF, + AF , k
chem
D a a r i n i s Q de term d i e a a n g e e f t h o e v e e l e n e r g i e e r v i a warmte, s t r a l i n g e t c . het systeem u i t naar b u i t e n ' v e r d w i j n t ' of i n het systeem wordt opgenomen ( b i j v . a l s de zon s c h i j n t ) . Je kunt ook Q en de AF, , samennemen door op de p l a a t s van de chemische e n e r g i e n.AF te s c h r i j v e n . Je neemt dan v i a het rendement n a l l e e n dat d e e l van de chemische e n e r g i e mee dat voor e n e r g i e o v e r d r a c h t v i a a r b e i d b e s c h i k b a a r i s .
fig.
3.1 De k r a c h t e n op h e t s y s t e e m f i e t s e r en f i e t s
wegtF F^g _ Een a a n t a l van bovengenoemde a r b e i d e n z i j n n u l en kunnen dus w e g g e l a t e n worden. De normaalkracht v e r r i c h t b i j f i e t s e n geen a r b e i d , want d i e s t a a t l o o d r e c h t op de weg: W =0. . . nor Ook de a r b e i d d i e de weg op de f i e t s u i t o e f e n t i s n u l omdat i n h e t raakpunt weg en het s t u k j e f i e t s b a n d (behalve b i j s l i p p e n ! ) n i e t t e n o p z i c h t e van e l k a a r bewegen. D i t m o e i l i j k e punt komt verderop nog meer aan de orde. Aan de kant van de e n e r g i e v e r a n d e r i n g e n s t a a t geen v e r a n d e r i n g van zwaartee n e r g i e . Zwaarteenergie i s i n h e t gekozen systeem geen s y s t e e m e n e r g i e . Immers: zwaartekracht wordt a l s een u i t w e n d i g e k r a c h t g e z i e n d i e a r b e i d v e r r i c h t . In een systeem met z w a a r t e e n e r g i e moet de z w a a r t e k r a c h t dus een i n t e r n e k r a c h t z i j n want j e moet öf de a r b e i d van de z w a a r t e k r a c h t i n het l i n k e r l i d of de zwaarteenergie i n h e t r e c h t e r l i d van de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g meenemen. Beide doen l e i d t t o t dubbel t e l l e n . Een ander b e l a n g r i j k punt i s dat j e moet weten gedurende welke t i j d j e naar het systeem k i j k t . A l l e e n maar a l s de f i e t s een c o n s t a n t e s n e l h e i d h e e f t ? Of ook b i j het o p t r e k k e n en afremmen? A l l e e n zo l a n g d i e over een v l a k k e weg r i j d t of ook t i j d e n s h e t op- en a f r i j d e n van een h e l l i n g ? z
Wat je moet doen bij het opstellen van een energievergelijking: • Kies een systeem waarvoor de energievergelijking moet gaan gelden en bepaal zorgvuldig wat wel en wat niet tot je systeem behoort. • Kies de veriode of het deel van de beweging gedurende welke je het systeem bekijkt. • Bepaal welke (uitwendige) krachten er op het gekozen systeem werken: deze kunnen arbeid verrichten die in het linkerlid van de energievergelijking komt te staan. • Bepaal welke systeemenergièën er in het systeem komen te staan: deze komen in het rechterlid van de energievergelijking te staan.
-43-
ARBEID GEBRUIKEN • Beslis of je energiestromen door warmtetransport, straling, geluidtransport, elektrisch transport etc. afzonderlijk beschrijft of via een rendementsfaktor n in één van de systeemenergieën meeneemt.
1 WELK SYSTEEM? V i a h e t o p s t e l l e n van een v e r g e l i j k i n g w i l men te weten komen h o e v e e l vermogen e r maximaal v i a a r b e i d door de remkracht van de remblokjes op een f i e t s w i e l geabsorbeerd kan worden. Welk systeem zou j e voor dat probleem k i e z e n ? Teken de k r a c h t e n d i e op dat systeem werken, b e p a a l de systeemenergieën en s t e l de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g op. 2 TOUWTREKKEN B i j h e t touwtrekken s l e e p t een man twee k i n d e r e n met 10 cm/s d r i e meter door het zand heen. De k r a c h t i n het touw i s d a a r b i j 3.10 N. B e k i j k h e t systeem 'man' en h e t systeem 'kinderen'. a. Teken de k r a c h t e n d i e op b e i d e systemen werken en de.eventuele wegen waarover d i e k r a c h t e n v e r p l a a t s t worden. b. S t e l de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g van b e i d e systemen op. c. Bepaal h o e v e e l chemische e n e r g i e i n b e i d e systemen i s omgezet a l s i n b e i d e systemen 10^ J warmte i s vrijgekomen t i j d e n s d i t d e e l C van de t o u w t r e k w e d s t r i j d. r" 2
f i g . 3.2 De man s l e e p t de k i n d e r e n v o o r t
3 SYSTEEM
fig.
3.3
'BAL'
Janneke moet de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g van een b a l d i e r e c h t omhoog geworpen wordt b e s c h r i j v e n gedurende de ' v r i j e v a l ' . Ze k i e s t twee systemen: de b a l t i j d e n s de beweging omhoog en de b a l t i j d e n s de beweging omlaag. Irma z e g t : dat h o e f t n i e t : j e kunt de beweging omhoog en omlaag a l s één systeem b e s c h r i j v e n . Wat v i n d j i j daarvan a. a l s de w r i j v i n g s k r a c h t n i e t verwaarloosd mag worden; b. a l s dat wel mag? 3.2 VERANDERING VAN
KINETISCHE ENERGIE
A l s er een n e t t o k r a c h t op een voorwerp werkt k r i j g t het voorwerp een v e r s n e l l i n g en dus v e r a n d e r t de s n e l h e i d . A l s de k r a c h t een component i n de r i c h t i n g van de s n e l h e i d h e e f t , neemt de s n e l h e i d toe o f a f en v e r a n d e r t de k i n e t i s c h e e n e r g i e . (Anders v e r a n d e r t a l l e e n de r i c h t i n g . ) B i j r e c h t l i j n i g e bewegingen kun j e a l s de k r a c h t (ongeveer) de g r o o t t e van de s n e l h e i d s v e r a n d e r i n g met de mechanicaformules u i t r e k e n e n , b i j v . met: F.At = m.Lv en As = (•
2
•) .At
-44-
ARBEID GEBRUIKEN Dit s t e l gedaan.
formules ben j e tegengekomen a l s j e h e t thema 'Verkeer' hebt
De s n e l h e i d s v e r a n d e r i n g kun j e ook berekenen
met de formules
F = m.a en 2 s ( i ) = v(o).t v(t)
+ \a-t
= v(o) + a.t
D i t s t e l formules kun j e i n a l l e mechanica leerboeken vinden en s t a a t b i j v . ook i n h e t b l o k 'Bewegingen'. Om de v e r a n d e r i n g van s n e l h e i d , en dus van k i n e t i s c h e e n e r g i e , t e kunnen berekenen heb j e b i j g e b r u i k van bovenstaande formules a l t i j d de t i j d a l s t u s s e n s t a p n o d i g . V i a a r b e i d kan j e deze t u s s e n s t a p o m z e i l e n . 4 REKENEN MET MECHANICAFORMULES Op de s l e e van een luchtkussenbaan (m = 500 g) kan j e een k r a c h t van 2 N l a t e n werken. De s l e e kan daardoor v e r s n e l d van de ene kant van de baan naar de andere gaan, over een t o t a l e a f s t a n d van 1,70 m. Bereken de v e r a n d e r i n g van k i n e t i s c h e e n e r g i e met behulp van de h i e r b o v e n staande formules. Door de bovenste twee o f de daaronderstaande combineren k r i j g j e de r e l a t i e :
d r i e formules met e l k a a r te
F
.As = &E, netto k D a a r i n komt de t i j d n i e t voor. In problemen kun j e vaak deze r e l a t i e v e e l s n e l l e r en m a k k e l i j k e r toepassen dan een van de b e i d e formule paren van h i e r b o v e n : j e h o e f t dan maar een formule toe t e passen en j e hebt de t i j d a l s t u s s e n s t a p n i e t n o d i g . Deze rekenregel van de kinetische energie kun j e i n v e e l g e v a l l e n gebruiken om de n e t t o k r a c h t , de weg o f de s n e l h e i d u i t t e rekenen. 5 KINETISCHE ENERGIE - REKENREGEL Reken de v e r a n d e r i n g van k i n e t i s c h e e n e r g i e u i t opdracht 4 nogmaals u i t , nu met bovenstaande r e k e n r e g e l . V e r g e l i j k j e uitkomst met d i e van opdracht 4. U i t e r a a r d i s e r een samenhang t u s s e n de genoemde
formules:
Bamenhana tussen formules Neem b i j v o o r b e e l d de f o r m u l e s z o a l s ze i n h e t thema ' V e r k e e r ' g e b r u i k t F
A
netto- *
A a - ^ ^ J i ^
(1
>
(
2
)
mmm 0 At 0 f i g . 3.4 De g e a r c e e r d e o p p e r v l a k k e n moeten g e l i j k
At zijn
zijn:
-45-
ARBEID GEBRUIKEN S t r i k t genomen g e l d e n z e s l e c h t s v o o r c o n s t a n t e k r a c h t e n Deze formules hangen nauw samen met de w e t v a n k i n e t i s c h e e n e r g i e e n a r b e i d : w i s k u n d i g g e z i e n k a n j e de k i n e t i s c h e e n e r g i e - r e k e n r e g e l e r u i t afleiden. U i t formule (2) v o l g t : 2.As At S u b s t i t u t i e i n (1) l e v e r t :
met
F „ •^ £ m.tv n e t t o v + v. e b Au « v - v. k a n j e d a t s c h r i j v e n a l s : e b F
A s
! m
( v
+
(
v
netto- e V " . " V en d a t l e i d t t o t de gewenste r e k e n r e g e l 4
'netto* "
"
A
( J
-^
2 )
6 BEWEGINGEN EN ARBEID Puzzel voor geïnteresseerden: L a a t z i e n d a t j e u i t de f o r m u l e F " m.a samen met de p l a a t s f u n k t i e s ( t ) en de s n e l h e i d s f u n k t i e v(t) v o o r e e n p a r i g v e r s n e l d e bewegingen ( u i t 'Bewegingen') ookde.wet v a n a r b e i d en k i n e t i s c h e e n e r g i e k u n t ' a f l e i d e n ' .
Samengevat:
Voor elk voorwerp dat eenparig versneld (rechtlijnig) wordt (ook als a - 0 dus het geval van een eenparige beweging) kun je • opschrijven: F
netto
-As =AR k
waarbij F de som van alle krachten op het voorwerp is en As de verplaatsing van het zwaartepunt van het voorwerp. Deze rekenregel van kinetische energie kan in plaats van de mechanica formules gebruikt worden, bijv. om de nettokracht uit te rekenen of de verandering van kinetische energie. n e t t o
3.3 NETTO KRACHT EN NETTO ARBEID
F
.As i s een n e t t o k r a c h t maal een weg. Is d i t nu ook een netto arbeid? netto Met andere woorden: g e e f t F .As nu ook de som van a l l e 'arbeiden' d i e netto op h e t voorwerp v e r r i c h t z i j n ? G e e f t dat dus de n e t t o mechanische e n e r g i e d i e van b u i t e n a f aan h e t voorwerp i s overgedragen? En hoe hangt dat samen met de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g ? Het antwoord op deze vraag i s : i n b i j z o n d e r e g e v a l l e n wel maar meestal n i e t Dat wordt t o e g e l i c h t aan de hand van d r i e voorbeelden: een b a l d i e omhoog geworpen wordt, iemand d i e omhoog s p r i n g t en een rond voorwerp d a t de h e l l i n g a f komt r o l l e n . Ie v o o r b e e l d :
een omhoog geworpen b a l
Een t e n n i s b a l van 80 g wordt r e c h t omhoog gegooid en v e r l a a t de hand van de werper met een s n e l h e i d van 7,7 m/s. De hand b e v i n d t z i c h dan 1,80 m boven de v l o e r en h e e f t over 1,10 m een constante k r a c h t u i t g e o e f e n d .
-46-
ARBEID GEBRUIKEN hand
netto
^ F ir Z
fig.
f i g . 3.5 De hand v a n de j o n g e n o e f e n t over 1,10 n een k r a c h t op de bal u i t .
Je en he De
3.6 a. De k r a c h t e n op de b a l b. De n e t t o k r a c h t op de b a l
kunt nu u i t r e k e n e n hoe groot de k r a c h t van de hand op de b a l was hoe hoog de b a l komt. Verwaarloos de l u c h t w r i j v i n g . maar even voor t gemak. n e t t o k r a c h t t i j d e n s de worp i s te berekenen: F _ -1,10 = i 0,080.(7,7 netto F = 2,2 N netto *
2
-
0)
Aangezien de zwaartekracht 9,8.0,080 = 0,80 N omlaag i s moet de k r a c h t van de hand op de b a l 3,0 N geweest z i j n . A l s j e nu gaat k i j k e n naar de a r b e i d d i e door de twee k r a c h t e n i s verricht k r i j g je: -0,80.1,10 = -0,88 J w
zwaarte = +3,0.1,10 = +3,3 J and De n e t t o - a r b e i d i s W _ = 3,3 - 0,88 = 2,4 J ( e i g e n l i j k 2,42 J , maar netto ' ' ' ' ' de l a a t s t e 2 i s onbetrouwbaar omdat 3,3 betekent dat de waarde t u s s e n 3,25 en 3,35 ligt). Voor het produkt van n e t t o k r a c h t en weg k r i j g j e : F .As = 2,2.1,10 = 2,4 J 6
Dat
i s g e l i j k aan
_ en W, ,: e r i s zwaarte hand 3,3 J mechanische e n e r g i e toegevoerd waarvan 0,88 J wegens toename van zwaarteenergie opgaat en de r e s t over i s a l s k i n e t i s c h e e n e r g i e . Nu de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g . K i e s a l s systeem de b a l t i j d e n s h e t wegwerpen. De uitwendige k r a c h t e n z i j n dus de k r a c h t van de hand en de z w a a r t e k r a c h t . De s y s t e e m e n e r g i e i s a l l e e n de k i n e t i s c h e e n e r g i e . De e n e r g i e v e r g e l i j k i n g wordt: J
W
de n e t t o a r b e i d , de som
J
+ W.
, = A E.
k zwaarte hand F . As+ F . A s =AF z
w
AF
van W
(SF).As
=
F „„ M netto
= AF,k
k
k
k
De e n e r g i e v e r g e l i j k i n g en de r e k e n r e g e l van de k i n e t i s c h e e n e r g i e nemen dus i n d i t g e v a l d e z e l f d e vorm aan. Maar i s dat a l t i j d zo?
-47-
ARBEID GEBRUIKEN 8 HOE HOOG KOMT DE BAL? Bereken hoe hoog de opgeworpen b a l komt.
2e v o o r b e e l d : iemand s p r i n g t omhoog
V As, Q60 m
f i g . 3.7
f i g . 3.8 De n e t t o k r a c h t op h e t m e i s j e e n de v e r p l a a t s i n g v a n h e t z w a a r t e p u n t
Een m e i s j e van 1,60 m en 60 k g s p r i n g t v a n u i t een door de knieën gezakte s t a n d r e c h t omhoog. Zo o e f e n t ze gedurende enige t i j d een k r a c h t u i t waardoor haar zwaartepunt 60 cm omhoog gaat en ze met een s n e l h e i d van 4 m/s r e c h t omhoog van de v l o e r loskomt. Je kunt nu gaan u i t r e k e n e n hoe groot de k r a c h t i s d i e z i j van de v l o e r h e e f t ondervonden en hoe hoog ze s p r i n g t . Ook h i e r wordt de l u c h t w r i j v i n g verwaarloosd. De n e t t o k r a c h t t i j d e n s h e t a f z e t t e n i s t e berekenen v i a : 2
n e t t o .0,60 = i . 6 0 . 4 F = 8,0.10' N netto ' Aangezien de zwaartekracht 5,9.10 N i s , i s de k r a c h t op haar voeten dus 13,9.10 N geweest. A l s j e nu gaat k i j k e n naar de a r b e i d d i e door de twee k r a c h t e n , de a f z e t k r a c h t Fr. en de zwaartekracht F„ i s v e r r i c h t k r i j g j e : afzet „ W = -9,8.60.0,60 = 3,5.10 J zwaarte _ W = 13,9.10.0 = 0 afzet 2
t
z
J
ö
J
fc
c
De voeten van h e t m e i s j e b l e v e n immers t i j d e n s h e t a f z e t t e n op de v l o e r en h e t a a n g r i j p i n g s p u n t van de a f z e t k r a c h t werd n i e t v e r p l a a t s t . Dat e r b i j h e t a f z e t t e n geen (uitwendige) a r b e i d werd v e r r i c h t kan j e ook z i e n aan het f e i t dat e r geen e n e r g i e van de v l o e r aan h e t m e i s j e werd overgedragen. In d i t v o o r b e e l d i s h e t produkt van de n e t t o k r a c h t maal de weg dus niet g e l i j k aan de n e t t o a r b e i d : de e e r s t e i s 4,8 10^ J en de tweede i s -3,5.102 + 0 = -3,5.10 j . Het v e r s c h i l t u s s e n d i e twee z i t 'm i n h e t f e i t d a t e r i n h e t l i c h a a m van h e t m e i s j e (chemische) e n e r g i e wordt v r i j 2
-48-
ARBEID GEBRUIKEN gemaakt. Daardoor z i e t de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g van h e t systeem 'meisje' er a l s volgt u i t :
W
_ + Q = AE, + AE ,
W
_ = E, + r].AE ,
zwaarte k chem A l s h e t rendement van de o m z e t t i n g van chemische e n e r g i e ri i s kan j e de warmteontwikkeling Q verrekenen door de energieën v e r g e l i j k i n g t e schrijven als zwaarte
-3,5.10
AE , chem
2
k
- 4,8 1 0
chem
2 +
n.AF
c h e m
n. AF, = -8,3.10 J chem i s n e g a t i e f omdat de chemische e n e r g i e van h e t m e i s j e afneemt,
9 HOE HOOG KOMT HET MEISJE? Bereken z e l f hoe hoog h e t zwaartepunt van h e t m e i s j e komt.
f i g . 3.9
de rol van vervorming Waarin z i t nu h e t v e r s c h i l t u s s e n deze twee voorbeelden? Het antwoord daarop i s : i n de vervorming van h e t systeem waarop a r b e i d v e r r i c h t wordt. Van de b a l d i e omhoog gegooid wordt heb j e ( i n f e i t e ongemerkt) aangenomen dat d i e n i e t vervormd wordt: daardoor worden de z w a a r t e k r a c h t en de k r a c h t van de hand over precies dezelfde a f s t a n d v e r p l a a t s t . De n e t t o k r a c h t , waarvan j e aanneemt d a t d i e i n h e t zwaartepunt a a n g r i j p t , wordt dus ook over d e z e l f d e a f s t a n d v e r p l a a t s t a l s de zwaartekracht en de k r a c h t van de hand.
-49-
ARBEID GEBRUIKEN B i j h e t o p s p r i n g e n i s dat anders: h e t l i c h a a m van h e t m e i s j e wordt wel vervormd, o.a. door de beweging van haar benen. Daardoor wordt de k r a c h t van de v l o e r niet en de zwaartekracht wêl v e r p l a a t s t . Toch mag j e ook i n d i t g e v a l de r e k e n r e g e l van de k i n e t i s c h e e n e r g i e wel toepassen, maar de uitkomst van F .As mag i e n i e t z i e n a l s een ' netto i n w e r k e l i j k h e i d v e r r i c h t e a r b e i d : de a f z e t k r a c h t , d i e wel i n F ^. z i t ' netto wordt immers n i e t over de a f s t a n d As, de v e r p l a a t s i n g van h e t zwaartepunt, verplaatst. Vervormingen k o s t e n a l t i j d e n e r g i e o f l e v e r e n e n e r g i e op. Dan kan ' p a s s i e f ' z i j n : l o u t e r mechanische e n e r g i e o p s l a a n en weer afgeven z o a l s b i j de vervorming van een b a l d i e op de grond s t u i t e r t , o f ' a k t i e f ' z o a l s b i j h e t springende m e i s j e w a a r i n een n i e t mechanische e n e r g i e ( i n d i t g e v a l chemische e n e r g i e ) i n mechanische e n e r g i e wordt omgezet o f omgekeerd. In de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g komt e r dan aan de r e c h t e r k a n t een term b i j : r
J
W .
+ W
afzet z II 0 < 0
= AE. + AF , k chem > 0
< 0
10 ARBEID DOOR DE NETTOKRACHT? Ga na i n welke van de volgende s i t u a t i e s F . Asf W i s . Je i • -1 J i i... 7 netto netto k i j k t naar de k r a c h t e n op: a. een s l e e d i e (met v r r i j v i n g ) van de h e l l i n g g l i j d t ; b. een auto d i e tegen een betonnen muur b o t s t ; c. een f i e t s d i e door remblokjes op de f i e t s w i e l e n t o t s t i l s t a n d komt; d. een s c h i p dat v i a een l i e r en een aan de wal vastgemaakte k a b e l door een matroos naar de wal wordt g e l i e r d ; e. op een bergbeklimmer waarvan de v a l door een geborgd rekbaar touw wordt afgeremd; Geef, waar n o d i g , van de gekozen systemen ook de vervorming aan.
f i g . 3.12 B o t s i n g t e g e n e e n b e t o n n e n muur
3e v o o r b e e l d : een r o l l e n d
f i g -
3^3
E
e
n
b u
i
s
d
£
e
v
a
n
e
e
n
helling
afrolt
voorwerp
Een s t u k j e van een h o l l e aluminium b u i s gaat zonder s l i p van een h e l l i n g van 24° a f r o l l e n . Bovenaan de h e l l i n g i s z i j n s n e l h e i d 0, onder aan de h e l l i n g 1,0 m V e r d e r i s z i j n s n e l h e i d 2,0 m/s geworden. Neem aan dat de massa van de b u i s 1,0 kg i s . U i t de r e k e n r e g e l voor de k i n e t i s c h e e n e r g i e kun j e nu u i t r e k e n e n hoe groot de n e t t o k r a c h t op de b u i s i s : F F F
netto
„
netto netto
.As = A(Jmi^) ' . 1 = \. 1. ( 4 - 0) J
2
= 2,0
N
-50-
ARBEID GEBRUIKEN Als j e nu naar a l l e k r a c h t e n op de b u i s gaat k i j k e n z i e j e dat op de buis, b e h a l v e de zwaartekracht, ook de normaalkracht moet werken en m o g e l i j k een w r i j v i n g s k r a c h t t u s s e n de b u i s en de h e l l i n g . Neem voor het gemak aan dat er geen sprake i s van l u c h t w r i j v i n g . In f i g . 3.14 s t a a n de k r a c h t e n aangegeven. De a a n g r i j p i n g s p u n t e n z i j n ook getekend. Die z u l l e n b e l a n g r i j k b l i j k e n te z i j n . Omdat de som van de k r a c h t e n gelden: F = 9,1 N
2 N langs de h e l l i n g omlaag moet z i j n , moet
N
F
w
= 2,0 '
N
Nu kan ook de n e t t o a r b e i d op de r o l u i t g e r k e n d Voor de zwaartekracht g e l d t :
F
zwaarte
.As
= +4,0 '
1,0 '
= +4,0 '
worden.
J
De normaalkracht v e r r i c h t n o o i t a r b e i d : d i e s t a a t l o o d r e c h t op de En de w r i j v i n g s k r a c h t ? Dat z i t i n g e w i k k e l d e r . F
F
w
= 2,0
N
= 9,1»
weg.
N
N
F .lp N
f i g . 3.\U
De k r a c h t e n op de b u i s
rotatieenergie De k i n e t i s c h e e n e r g i e onderaan de h e l l i n g , ten gevolge van de s n e l h e i d van 2 m/s kun j e u i t r e k e n e n : F^ = 2,0 J . Je m i s t nog 2,0 J e n e r g i e , want door de a r b e i d van de zwaartekracht i s 4,0 J vrijgekomen. Nu i s het v e r l e i d e l i j k om te zeggen dat d i e 2,0 J vanwege de n e g a t i e v e a r b e i d van de w r i j v i n g s k r a c h t a l s warmte wordt a f g e geven. Maar dat i s n i e t waar! Je b u i s gaat r o l l e n en k r i j g t dus ook rota-
tie-energie . Dat i s te b e g r i j p e n door te k i j k e n naar de weg waarover de w r i j v i n g s k r a c h t werkt. De b u i s r o l t zonder s l i p . Met andere woorden: de momentane s n e l h e i d van de l i j n waarop de b u i s de h e l l i n g r a a k t is tijdens het rollen nul. W e l l i s w a a r v e r p l a a t s t d i e l i j n z i c h over h e t oppervlak van de b u i s , maar b i j d i e v e r p l a a t s i n g r a a k t het oppervlak a l n i e t meer aan d i e l i j n . De w r i j v i n g s k r a c h t werkt dus steeds op een andere r a a k l i j n , wordt n i e t v e r p l a a t s t en v e r r i c h t dus geen a r b e i d .
W
.. . =0 wrijving Toch h e e f t de w r i j v i n g s k r a c h t wel een ander e f f e k t : door de combinatie van de w r i j v i n g s k r a c h t ( a a n g r i j p i n g s p u n t op het o p p e r v l a k ) en de zwaartekracht ( a a n g r i j p i n g s p u n t i n h e t zwaartepunt) werkt er een koppel op de b u i s waardoor de r o t a t i e e n e r g i e toeneemt.
fig.
3. 15 a. De n e t t o k r a c h t op de b u i s b. Het k o p p e l op de b u i s
-51-
ARBEID GEBRUIKEN De
e n e r g i e v e r g e l i j k i n g van
W
t
zwaarte
Aff^^
= AE
moet h i e r dus
trans
het
+ AE
systeem ' r o l l e n d e b u i s ' wordt
dus:
rot
worden g e z i e n
a l s de
toename van
de
translatieenergie
AE trans 11 LATEN ROLLEN
(proef)
L a a t van een h e l l i n g een h o l l e b u i s en een massieve s t a a f r o l l e n . Zorg dat j e de h e l l i n g n i e t te s t e i l maakt om d o o r s l i p p e n te v o o r komen . Wat neem j e waar? Waardoor zou dat komen? A k t i v i t e i t 12 gaat daar op i n . M2
ROLLENDE BUIS EN
STAAF
In deze opdracht gaat het om het v e r g e l i j k e n van de beweging van een aluminium s t a a f , ook van 1,0 kg, met d e z e l f d e s t r a a l a l s de aluminium b u i s . Om deze b u i s onder aan de h e l l i n g ook een s n e l h e i d van 2,0 m/s te l a t e n hebben moet de h e l l i n g van 1,0 m t o t 0,75m v e r k o r t worden. a. Bereken de w r i j v i n g s k r a c h t op de aluminium b u i s met behulp van de r e k e n r e g e l voor k i n e t i s c h e e n e r g i e . b. Bereken de a r b e i d d i e de a f z o n d e r l i j k e k r a c h t e n op de aluminium staaf verrichten c. S t e l de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g op en bereken daarmee de r o t a t i e energie. d. Waarom i s het n o d i g dat op de aluminium s t a a f een k l e i n e r e w r i j v i n g s k r a c h t werkt? e. Wat i s j e c o n c l u s i e t.a.v. de r o t a t i e e n e r g i e van een h o l l e b u i s v e r g e l e k e n met d i e van een massieve c i l i n d e r ( a l s ze even snel r o l l e n ) . f . Hoe z a l een v l i e g w i e l dus z o v e e l m o g e l i j k g e c o n s t r u e e r d worden?
f i g . 3.16 De r o l l e n d e b u i s en de r o l l e n d e
overeenkomsten
en verschillen
staaf
tussen de drie
voorbeelden
De overeenkomsten t u s s e n de d r i e v o o r b e e l d e n z i j n : • de wet van behoud van e n e r g i e g e l d t : er i s een e n e r g i e v e r g e l i j k i n g te s c h r i j v e n van de vorm: 2
W + Q = AE\
+ AE
+ AE.
+ AE ,
op
+
trans rot inw chem • met behulp van de k i n e t i s c h e - e n e r g i e - r e k e n r e g e l kan de n e t t o k r a c h t (op het zwaartepunt), of de v e r a n d e r i n g van k i n e t i s c h e e n e r g i e u i t g e r e k e n d worden. F _ .As = AE. (AE, = AE .'.) netto k k trans
-52-
ARBEID GEBRUIKEN Deze twee r e g e l s gelden algemeen, maar h e t uitwerken ervan kan soms e r g ingewikkeld z i j n . Een b e l a n g r i j k v e r s c h i l t u s s e n het e e r s t e v o o r b e e l d en de twee andere i s dat e r i n de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g van h e t e e r s t e v o o r b e e l d r e c h t s a l l e e n de k i n e t i s c h e e n e r g i e t e r m voorkwam, b i j de twee andere kwam daar nog een term b i j ( r e s p . ^ > • e
c
h
e
n
h E
m
r o t
Het g e v o l g daarvan i s dat de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g en de k i n e t i s c h e e n e r g i e - r e k e n r e g e l i n het e e r s t e v o o r b e e l d met e l k a a r samenvallen. Dat betekent dan ook dat F .As = W (= ?W). netto netto Zodra e c h t e r aan de r e c h t e r k a n t van de e n e r g i e - v e r g e l i j k i n g een andere term 0 dan a l l e e n de Aff^ o p t r e e d t v e r s c h i l l e n de k i n e t i s c h e e n e r g i e r e g e l en de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g van e l k a a r en h e e f t het produkt F .As geen b e t e k e n i s i n de z i n van a r b e i d door de n e t t o k r a c h t meer. nettQ
Er kunnen dan uitwendige k r a c h t e n optreden d i e wel w e z e n l i j k z i j n voor ontreden van de e n e r g i e o m z e t t i n g e n , maar d i e z e l f geen a r b e i d v e r r i c h t e n . De v e r p l a a t s i n g van het zwaartepunt komt dan n i e t overeen met de v e r p l a a t s i n g van de a a n g r i j p i n g s p u n t e n van de a f z o n d e r l i j k e k r a c h t e n .
13 SCHIJNMASSA TGV
ROTATIE
De massa van wagenstel van de U t r e c h t s e s n e l t r a m i s 35 t o n . Vanwege a l l e r l e i r o t e r e n d e d e l e n i n de tram ( w i e l e n , assen, r o t o r van de motor enz.) moet daar voor het berekenen k r a c h t en v e r s n e l l i n g e n b i j optrekken en remmen 3,5 ton 'schijnmassa' b i j o p g e t e l d worden. a. Leg u i t dat e r voor een tram met r o t e r e n d e d e l e n een g r o t e r e remkracht n o d i g i s dan voor een tram zonder ( v e e l ) r o t e r e n d e d e l e n , ook al zijn deze massa's h e t z e l f d e en ondervinden ze dezelfde remvertraging. b. Bereken de k i n e t i s c h e en de r o t a t i e e n e r g i e van een U t r e c h t s e tram d i e 20 m/s gaat. B i j een noodstop remt de tram met trommelremmen op de assen, met blokremmen op de r a i l en op de motor. c. Hoeveel e n e r g i e komt er b i j het remmen t o t s t i l s t a n d v r i j , waar en i n welke vorm komt d i e e n e r g i e v r i j ? d. Bereken de gemiddelde k r a c h t d i e de r a i l s ondervinden a l s de remweg b i j de noodstop 70 m i s .
3.4
DE WRIJVINGSKRACHT ALS
EEN
ZICH AANPASSENDE KRACHT
De w r i j v i n g s k r a c h t op de massieve aluminium s t a a f van de v o r i g e p a r a g r a a f en de h o l l e aluminium b u i s van opdracht 12 v e r s c h i l l e n van e l k a a r , z o a l s j e hebt kunnen u i t r e k e n e n . Dat komt omdat ze met een v e r s c h i l l e n d e v e r s n e l l i n g van de h e l l i n g a f r o l l e n door de v e r s c h i l l e n i n massaverd e l i n g (massief, danwel h o l ) . De w r i j v i n g s k r a c h t p a s t z i c h aan aan de voorkomende s i t u a t i e : d i e l e v e r t p r e c i e s d i e k r a c h t dat het j u i s t e , b i j de v e r s n e l l i n g behorende k o p p e l gaat werken. Dat de w r i j v i n g s k r a c h t z i c h aanpast kan gebeuren omdat de g r o o t t e van de w r i j v i n g s k r a c h t kan v a r i e r e n t u s s e n 0 en een bepaalde maximumgrootte: F . wmax Dat kun j e ook merken door de s t a a f o f de b u i s i n de l e n g t e op de h e l l i n g te leggen, z i e f i g . 3.17.
-53-
ARBEID GEBRUIKEN
f i g . 3.17 H o l l e e n m a s s i e v e b u i s op een hellend vlak: beide b l i j v e n i n r u s t . L e t erop d a t de n o r m a a l k r a c h t n u n i e t i n h e t midden a a n g r i j p t óm h e t k o p p e l t . g . v . w r i j v i n g s k r a c h t en zwaartek r a c h t op t e h e f f e n .
f i g . 3.18 a. Een k l e i n e t r e k k r a c h t : de staaf b l i j f t i n rust. b. Een g r o t e t r e k k r a c h t : de s t a a f komt i n b e w e g i n g ,
A l s de h e l l i n g s h o e k n i e t a l te groot i s , b l i j v e n ze s t i l l i g g e n op de h e l l i n g . Dus moet de w r i j v i n g s k r a c h t z i c h dan aangepast hebben aan de x-component van de zwaartekracht en dus 4,0 N z i j n . Nu vormen de w r i j v i n g s k r a c h t en de re-component van de zwaartekracht ook wel een k o p p e l , maar omdat e r sprake i s van een s t a b i e l evenwicht ( b i j d r a a i i n g gaat het zwaartepunt nu omhoog) l e i d t dat n i e t t o t een d r a a i i n g ( i n f e i t e l e v e r t de normaalkracht een compenserend moment). A l s j e bovendien een k l e i n e k r a c h t langs de h e l l i n g naar beneden gaat u i t o e f e n e n ( z i e f i g . 3.18) komt de s t a a f nog n i e t i n beweging: de w r i j v i n g s k r a c h t h e e f t z i c h weer aangepast zodat de som van de k r a c h t e n n u l b l i j k t . Maar de w r i j v i n g s k r a c h t kan n i e t onbegrensd toenemen: e r b e s t a a t een bepaalde maximale w r i j v i n g s k r a c h t F . A l s de som van wmax t r e k k r a c h t en F g r o t e r wordt dan F z a l de s t a a f v e r s n e l d langs de zx wmax ° h e l l i n g naar beneden gaan g l i j d e n . Pas dan v e r r i c h t de w r i j v i n g s k r a c h t arbeid. r
maximale
wvijvingskvaaht
De maximale w r i j v i n g s k r a c h t i s a f h a n k e l i j k van het b e t r e f f e n d e voorwerp, o.a. van de ruwheid van het o p p e r v l a k . De aluminium s t a a f en de i j z e r e n b u i s kunnen dus wel een v e r s c h i l l e n d e maximale w r i j v i n g s k r a c h t t e z i e n geven. De maximale w r i j v i n g s k r a c h t i s ook a f h a n k e l i j k van de normaalkracht d i e het voorwerp o n d e r v i n d t . Dat kun j e merken door de h e l l i n g s h o e k g r o t e r te maken, waardoor de normaalkracht afneemt. B i j een bepaalde h e l l i n g s hoek gaat een voorwerp ' v a n z e l f ' s c h u i v e n : de x-component van de zwaartek r a c h t i s dan g r o t e r geworden dan de maximale w r i j v i n g s k r a c h t .
f i g . 3.19 De ( n i e t maximale) w r i j v i n g s k r a c h t op een k i s t en op een w i e l .
-54-
ARBEID GEBRUIKEN drie soorten
wrijvingskrachten
Je moet d r i e w r i j v i n g s k r a c h t e n goed u i t e l k a a r houden: • de s c h u i f w r i j v i n g s k r a c h t . Deze w r i j v i n g s k r a c h t maakt i n s t a t i s c h e s i t u a t i e s de som van de k r a c h t e n e v e n w i j d i g aan een 'ruw o p p e r v l a k ' n u l . Deze h e e f t een maximaal m o g e l i j k e waarde F die alleen afhankelijk i s wmax van de ruwheid van de oppervlakken en van de n o r m a a l k r a c h t . B i j v o o r werpen d i e s c h u i v e n o f s l i p p e n i s de ( s c h u i f - ) w r i j v i n g s k r a c h t a l t i j d maximaal. Voor s t i l s t a a n d e voorwerpen g e l d t 0 < F < F ° w wmax Voor r o l l e n d e voorwerpen g e l d t O^F
w
?
F, = o .A.p.V 1
2
w
14 SCHUIVENDE KIST De in De a. is b. de
k i s t van f i g . 3.19 wordt v a n u i t r u s t door een k r a c h t van 3,0 N beweging gebracht, zodat d i e van de h e l l i n g a f gaat s c h u i v e n . maximale w r i j v i n g s k r a c h t i s 5,0 N. De h e l l i n g s h o e k i s 24°. Bereken de s n e l h e i d van de k i s t a l s de k r a c h t van 3,0 N 2,0 m v e r p l a a t s t . (Massa = 40 kg.) Bereken waar de k i s t weer s t i l z a l s t a a n a l s de t r e k k r a c h t na 2,0 m ophoudt met werken.
R i j d e n d op een f i e t s b i j v o o r b e e l d kom j e a l l e d r i e de w r i j v i n g s k r a c h t e n tegen. • i n de s i t u a t i e d a t j e met een c o n s t a n t e s n e l h e i d r i j d t ( z i e f i g . 3.20 ) werken de l u c h t w r i j v i n g en de r o l w r i j v i n g naar a c h t e r e n en de ( s c h u i f ) w r i j v i n g s k r a c h t op de banden naar v o r e n . De s c h u i f w r i j v i n g s k r a c h t p h e e f t een d e r g e l i j k e g r o o t t e aangenomen dat g e l d t (mits de f i e t s n i e t s l i p t : _> F +F +F =0 wschuif wlucht wrol De s c h u i f w r i j v i n g s k r a c h t i s de k r a c h t van de weg op j e banden waardoor j e v o o r u i t kunt gaan! De l u c h t - en r o l w r i j v i n g v e r r i c h t e n a r b e i d , de s c h u i f w r i j v i n g n i e t : d i e wordt immers n i e t v e r p l a a t s t a l s e r geen s l i p i s . De e n e r g i e v e r g e l i j k i n g van het systeem f i e t s e r + f i e t s l u i d t nu (met rendement n b i j de o m z e t t i n g v a n chemische e n e r g i e ) : W
,
lucht
+
W
1 = T>AF
rol
chem
ARBEID GEBRUIKEN Zonder de s c h u i f w r i j v i n g zou het w i e l 'geen greep' hebben op de grond en zouden de l u c h t en de r o l w r i j v i n g de f i e t s afremmen, h o e v e e l chemische e n e r g i e j e ook zou v r i j m a k e n i n j e l i c h a a m : het rendement zou n u l z i j n .
f i g . 3.20 F i e t s e n met c o n s t a n t e s n e l h e i d : de k r a c h t van de weg op de w i e l e n ( d a t i s : de s c h u i f w r i j v i n g ) h e f t de r o l - en l u c h t w r i j v i n g op.
15 FIETSEN IN LOS
f i g . 3.21
Remmen: de k r a c h t van de weg op de w i e l e n k e e r t om van richting.
ZAND
Wat v e r a n d e r t er aan de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g a l s j e door l o s zand f i e t s t waar, vanwege het wegzakken, de v e r t i k a l e en zijwaariVe component van de s c h w u i f w r i j v i n g s k r a c h t wel d e g e l i j k a r b e i d verricht? • i n de s i t u a t i e dat j e gaat remmen ( z i e fig.3.21 .) k e e r t de s c h u i f w r i j v i n g s k r a c h t om en gaat g e l d e n : -+ -*• -v ->•
F
+ F.
w
,
+ F
lucht
de r i c h t i n g van
, = m.a
rol
A l s er geen s l i p i s b i j het remmen, v e r r i c h t de ( s c h u i f - ) w r i j v i n g s k r a c h t weer geen a r b e i d . Wel o n t s t a a t er i n het remsysteem inwendige e n e r g i e (dat e v t . a l s warmte kan worden a f g e s t a a n ) waardoor de k i n e t i s c h e e n e r g i e afneemt. De e n e r g i e v e r g e l i j k i n g wordt dan (zonder w a r m t e a f g i f t e ) :
^
lucht
+ H
i rol
= AE. k
+
AE. inw
16 GEBLOKKEERDE WIELEN A l s j e w i e l e n b i j het remmen geblokkeerd raken, kom j e i n een s l i p , wat g e v a a r l i j k kan z i j n , o.a. door het optreden van v e r s c h i l l e n i n s c h u i f w r i j v i n g s k r a c h t e n op de w i e l e n : dus o n t s t a a n koppels d i e het v o e r t u i g dwars op de weg draaien. a. Waarom z a l er b i j blokkerende w i e l e n geen inwendige e n e r g i e i n het remsysteem vrijkomen? b. S c h r i j f de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g v o o r d i t g e v a l op.
17 KRACHT EN ARBEID OP
FIETS
Een f i e t s e r van 80 kg (met f i e t s ) r i j d t met c o n s t a n t e s n e l h e i d (5 m/s) over een h o r i z o n t a l e weg. De f i e t s e r moet 60 W vermogen l e v e r e n b i j het f i e t s e n . De r o l w r i j v i n g i s 5 N. a. Bereken de l u c h t w r i j v i n g en de ( s c h u i f - ) w r i j v i n g s k r a c h t op de banden. Geef ook hun r i c h t i n g aan.
-56-
ARBEID GEBRUIKEN b. Bereken de a r b e i d per seconde van de r o l w r i j v i n g , de l u c h t w r i j v i n g en de ( s c h u i f - ) w r i j v i n g . c. C o n t r o l e e r j e uitkomsten door de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g van de f i e t s e r met z i j n f i e t s op te s t e l l e n . Bedenk met welk teken de g e l e v e r d e 60 W i n de e n e r g i e - ( e i g e n l i j k : vermogen-) v e r g e l i j k i n g moet k r i j g e n . 18 WRIJVINGSLOOS FIETSEN? Herma en Wiebe discussiëren over de v r a a g of w r i j v i n g s l o o s f i e t s e n i n theorie mogelijk i s . Herma z e g t : " N a t u u r l i j k wel. De s n e l h e i d d i e j e hebt hou j e zonder te t r a p p e n , omdat de k i n e t i s c h e e n e r g i e n i e t door w r i j v i n g s a r b e i d afneemt". Wiebe z e g t : "Zonder een s c h u i f w r i j v i n g s k r a c h t kun j e n i e t op gang komen o f afremmen. Dus ook i n t h e o r i e heb j e b i j h e t f i e t s e n a l t i j d een w r i j v i n g s k r a c h t n o d i g . " Wat v i n d j i j ? 19 WRIJVINGSKRACHT VAN
DE
WEG
a. Een nat wegdek i s v e e l gladder dan een d r o o g wegdek. Toch k o s t het n i e t minder, e e r d e r meer vermogen om, b i j v e r d e r d e z e l f d e omstandigheden en s n e l h e i d , over een nat wegdek te f i e t s e n dan over een droog wegdek. Hoe i s dat te v e r k l a r e n ? b. Een a s f a l t w e g i s ruwer dan een k l i n k e r w e g . Toch i s de r o l w r i j v i n g op een k l i n k e r w e g g r o t e r . V e r k l a a r d a t .
3.5
ZWAARTE ENERGIE
Tot nu toe heb j e z w a a r t e e n e r g i e nog n i e t g e b r u i k t , maar heb j e wel de a r b e i d door de z w a a r t e k r a c h t u i t g e r e k e n d . In deze p a r a g r a a f ga j e l e r e n hoe d i e twee met e l k a a r samenhangen. A l s een s t e e n (zonder w r i j v i n g ) omlaag v a l t v e r r i c h t de z w a a r t e k r a c h t ( p o s i t i e v e ) a r b e i d op de s t e e n , waardoor de k i n e t i s c h e e n e r g i e toeneemt. Dat kun j e ook zo zeggen: de k i n e t i s c h e e n e r g i e neemt toe omdat de zwaarte-energie van de s t e e n afneemt. Wat i s nu p r e c i e s h e t v e r s c h i l t u s s e n deze twee b e s c h r i j v i n g e n , d i e b e i d e goed z i j n ? In de e e r s t e b e s c h r i j v i n g i s de zwaartekracht een u i t w e n d i g e k r a c h t op het systeem ' s t e e n ' en i s de k i n e t i s c h e e n e r g i e de e n i g e s y s t e e m e n e r g i e . In de tweede b e s c h r i j v i n g z i j n e r twee systeemenergieën: n a a s t k i n e t i s c h e e n e r g i e i s er ook z w a a r t e e n e r g i e . Dat b e t e k e n t e c h t e r dat de z w a a r t e k r a c h t i n d i e b e s c h r i j v i n g geen u i t w e n d i g e k r a c h t i s en dus geen ( u i t w e n d i g e ) a r b e i d v e r r i c h t , maar een inwendige k r a c h t d i e voor i n t e r n e e n e r g i e o m z e t t i n g e n z o r g t . E r i s dus sprake van een ander systeem dan i n b e s c h r i j v i n g 1. D i t systeem kun j e aanduiden a l s h e t systeem 'steen + zwaartekrachtveld'.
zwaartekrachtveld fig.
3.22 Het s y s t e e m b a l met de z w a a r t e k r a c h t a l s uitwendige kracht.
fig.
3.23 Het s y s t e e m b a l en z w a a r t e k r a c h t ' v e l d met de z w a a r t e k r a c h t a l s interne kracht.
ARBEID GEBRUIKEN zwaartekrachtveld Wat wordt nu p r e c i e s met z w a a r t e k r a c h t v e l d bedoeld? O v e r a l op de aarde, boven de aarde, op g r o t e a f s t a n d van de aarde werkt de zwaartekracht van de aarde op j e . Die zwaartekracht z o r g t er b i j v o o r b e e l d voor dat een r u i m t e v a a r t u i g een baan om de aarde kan b e s c h r i j v e n . Door de aanwezigheid van de aarde h e e r s t e r i n de ruimte om de aarde heen een zwaartekrachtveld. Dat w i l zeggen dat een massa d i e j e op een w i l l e k e u r i g e a f s t a n d van de aarde p l a a t s t een i n v l o e d van de aarde o n d e r v i n d t i n de vorm van de zwaartekracht. In schema g e z e t : aarde — » z w a a r t e k r a c h t v e l d een s t e e n .
— • v e r o o r z a a k t zwaartekracht op
In deze v i s i e o e f e n t de aarde dus n i e t d i r e k t , maar door tussenkomst van het 'veld een k r a c h t op j e u i t . Behalve h e t z w a a r t e k r a c h t s v e l d z i j n e r ook andere k r a c h t v e l d e n , z o a l s h e t e l e k t r i s c h e v e l d o f de k r a c h t v e l d e n d i e de protonen en neutronen b i j e l k a a r houden i n de k e r n .
zwaarteenergie A l s een s t e e n , waar een zwaartekracht van 20 N op werkt, 2,4 m omlaag v a l t v e r r i c h t de zwaartekracht (beschreven i n systeem 'steen') + 48 N a r b e i d op de s t e e n . Je kunt ook zeggen ( i n systeem 'steen + zwaartekracht') dat de zwaarteenergie 48 J afneemt, o f AE = -48 J . Algemeen kun j e a l s d e f i n i t i e van zwaarteenergie geven: a r b e i d i n systeem 'voorwerp' = - v e r a n d e r i n g van zwaarteenergie i n het systeem 'voorwerp + z w a a r t e k r a c h t v e l d ' Je kunt h e t bovenstaande ook i n formulevorm s c h r i j v e n . A l s h e t voorwerp van een punt A naar een punt B gaat i n het z w a a r t e k r a c h t veld geldt: W
z,A-»B
=
-F
z,A-»B
Met deze formule kun j e z i e n dat de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g van de twee systemen i n e l k a a r om t e z e t t e n z i j n . De e n e r g i e v e r g e l i j k i n g van systeem 'steen': y _ = AE zwaarte k i s om t e z e t t e n i n de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g van systeem 'steen + zwaartekrachtsveld ' : 0 = AE. + AE k z door i n te v u l l e n dat = "AE^ en A E de kant van de systeem-energieën.
F z
8
fig.
3.24
z
naar het r e c h t e r l i d te brengen:
I V
Z zwaartekrachtveld «
8
-58-
ARBEID GEBRUIKEN 20 STEENWORP Klaas werpt een s t e e n weg. H i j l a a t de s t e e n op 2 m hoogte l o s . De s t e e n h e e f t dan een s n e l h e i d van 10 m/s. In h e t hoogste punt h e e f t de s t e e n nog een s n e l h e i d van 3 m/s. Verwaarloos de w r i j v i n g . a. Schets de baan van de s t e e n . b. Bereken hoe hoog de s t e e n komt. c. Bereken met welke s n e l h e i d de s t e e n op de grond t e r e c h t komt. d. Bereken de hoek d i e de s n e l h e i d met de grond maakt b i j h e t neerkomen.
21 TREKKRACHT OP EEN LIFTKOOI Een l i f t k o o i met p a s s a g i e r s ( t o t a l e massa 500 kg) s t a r t en h e e f t op 2 m hoogte een s n e l h e i d van 2,5 m/s. Bereken de t r e k k r a c h t d i e de k a b e l s op de l i f t k o o i u i t o e f e n e n op twee manieren: door de e n e r g i e v e r g e l i j k i n g van h e t systeem l i f t k o o i zonder en met h e t z w a a r t e k r a c h t s v e l d op t e s c h r i j v e n .
de grootte
van de zwaarteenergie
De r e l a t i e tussen a r b e i d door de zwaartekracht en zwaarte-energie zegt wel i e t s over de verandering i n zwaarteenergie, maar n i e t over de zwaarteenergie z e l f . Om de zwaarteenergie z e l f u i t t e rekenen heb j e een nulniveau voor de zwaarteenergie n o d i g . Omdat e r a l l e e n i e t s g e d e f i n i e e r d i s ever de v e r a n d e r i n g van zwaarteenergie mag j e h e t n u l n i v e a u w i l l e k e u r i g k i e z e n . Dan wordt de zwaarteenergie i n een punt P gegeven door de v e r a n d e r i n g van de zwaarteenergie a l s j e van P naar h e t n u l n i v e a u g a a t .
Heel g e b r u i k e l i j k i s n a t u u r l i j k de keuze van h e t a a r d o p p e r v l a k a l s n u l n i v e a u . A l s een woorwerp met massa m van een hoogte h naar de grond toegaat v e r r i c h t de zwaartekracht een a r b e i d
W = m.q.h
dus
z geldt:
y
A2? = -m.q.h w
z In een punt P op de hoogte h boven de grond ( n u l n i v e a u ) h e e f t een massa m dus een zwaarteenergie van
= m.g.h L e t wel op dat v e r o n d e r s t e l d i s dat de zwaartekracht (en dus g) c o n s t a n t i s . Ver van de aarde neemt de zwaartekracht e c h t e r wel merkbaar a f . Dan moet deze formule vervangen worden door een b e t e r e . De weg waarlangs de massa m naar de grond gaat i s n i e t van i n v l o e d op de g r o o t t e van de a r b e i d door de zwaartekracht. Immers: b i j de zwaartekracht i s a l l e e n h e t h o o g t e v e r s c h i l van b e l a n g ( z i e p a r . 2.5).
ARBEID GEBRUIKEN
f i g . 3.25 Voor h e t v e r s c h i l i n potentiële e n e r g i e i n p i s a l l e e n de h o o g t e h boven h e t n u l n i v e a u van belang. fig.
22 EEN LIFT MET
3.26 L i f t met c o n t r a g e w i c h t
CONTRAGEWICHT
A l s de l i f t van het warenhuis het Wespennest op de begane grond i s hangt h e t contragewicht 500 kg op 25 in boven de v l o e r . De l i f t k o o i h e e f t een massa van 350 kg en gaat met 6 mensen (75 kg e l k ) omhoog naar de 3e v e r d i e p i n g op 12 m hoogte en gaat met d r i e p a s s a g i e r s weer t e r u g . a. Met h o e v e e l i s de zwaarteenergie van het l i f t s y s t e e m met p a s s a g i e r s toegenomen toen de l i f t van de begane grond naar de 3e v e r d i e p i n g ging? Waar i s d i e e n e r g i e vandaan gekomen? b. Met h o e v e e l i s de zwaarteenergie van het l i f t s y s t e e m t o e / afgenomen toen de l i f t met d r i e p a s s a g i e r s terugging? Op welke w i j z e z a l de b e t r e f f e n d e e n e r g i e h o e v e e l h e i d t o e - o f a f g e v o e r d zijn? c. Waarom i s h e t i n deze s i t u a t i e n i e t handig om de zwaartekracht a l s uitwendige k r a c h t te beschouwen?
3.6
CONSERVATIEVE KRACHTVELDEN
Het water i n een w a t e r t o r e n vertegenwoordigt een b e h o o r l i j k grote h o e v e e l h e i d z w a a r t e e n e r g i e . A l s e r b i j v o o r b e e l d 100 m^ water i n z i t (dus m = 10 kg) op een gemiddelde hoogte van 20 m i s de zwaarteenergie 2.10® J . Die e n e r g i e k r i j g j e e r u i t door de kraan open t e z e t t e n en h e t water e r u i t te l a t e n l o p e n . Op welke a f s t a n d van de w a t e r t o r e n j e de kraan openzet maakt voor de vrijkomende zwaarteenergie n i e t u i t (wel voor de ondervonden w r i j v i n g i n de w a t e r l e i d i n g s b u i z e n ) . Evenmin maakt h e t u i t welke k r o n k e l s de w a t e r l e i d i n g s b u i z e n maken o f op welk t i j d s t i p j e het water weg l a a t l o p e n . Het enige wat b e l a n g r i j k i s , i s over welke hoogte het water naar beneden stroomt.
fig.
3.27 O p s l a g v a n z w a a r t e - e n e r g i e i n w a t e r
-60-
ARBEID GEBRUIKEN Om deze eigenschappen noemen we h e t z w a a r t e k r a c h t v e l d een conservatief k r a c h t v e l d , een k r a c h t v e l d w a a r i n j e e n e r g i e kunt o p s l a a n en w a a r u i t alle opgeslagen e n e r g i e weer aan de omgeving kan worden a f g e s t a a n door het l a t e n v e r r i c h t e n van a r b e i d door de v e l d k r a c h t . Omdat h e t zwaartek r a c h t v e l d c o n s e r v a t i e f i s h e e f t h e t z i n om over zwaarteenergie te p r a t e n immers:
LE
z
= -
W
z
Aan de hand van d r i e 'gedachtenexperimenten' kan j e nagaan welke onverwachte e f f e k t e n e r zouden optreden a l s h e t z w a a r t e k r a c h t v e l d n i e t cons e r v a t i e f zou z i j n . Ie gedachten
experiment:
S t e l j e voor dat de zwaartekracht 's nachts k l e i n e r was dan overdag. Dan zou het h e t b e s t e z i j n om de w a t e r t o r e n 's nachts v o l te pompen en overdag l e e g t e l a t e n l o p e n . Je kunt er z e l f s e n e r g i e mee opwekken: een perpetuum m o b i l e !
2e gedachten
experiment:
S t e l j e voor dat het water op p l a a t s A meer zwaarteenergie h e e f t dan op p l a a t s B, b i j d e z e l f d e hoogte. Dan zou j e h e t water op p l a a t s B kunnen oppompen en op p l a a t s A naar beneden kunnen l a t e n stromen. Ook dan zou j e een perpetuum mobile kunnen maken. 1
f i g . 3.28 A l s de z w a a r t e - e n e r g i e i n A g r o t e r i s dan i n B, wat dan
23
?
3E GEDACHTEN EXPERIMENT
Ga z e l f de gevolgen na voor het g e v a l dat b i j v a l l e n minder zwaarteenergie v r i j k o m t dan e r i n gestopt wordt b i j h e t omhoog pompen. Een k r a c h t v e l d i s c o n s e r v a t i e f a l s de v e r a n d e r i n g van v e l d e n e r g i e van een voorwerp a l l e e n afhangt van h e t v e l d en begin-en eindpunt van de v e r p l a a t s i n g en n i e t van andere zaken z o a l s de weg t u s s e n b e g i n en eindpunt, de duur o f h e t t i j d s t i p van de v e r p l a a t s i n g en dergelijke.
Een ander b e l a n g r i j k k r a c h t v e l d dat c o n s e r v a t i e f i s , i s h e t e l e k t r i s c h e v e l d . Een ' i d e a l e ' v e e r , dat w i l zeggen een veer waarin geen w r i j v i n g s k r a c h t werkt, kan j e ook a l s een c o n s e r v a t i e f k r a c h t v e l d z i e n . Een v o o r b e e l d van een n i e t - c o n s e r v a t i e v e k r a c h t i s de w r i j v i n g s k r a c h t . Daarmee kun j e geen e n e r g i e o p s l a a n .
-61-
ARBEID GEBRUIKEN 3.7 POTENTIËLE ENERGIE Het zou n i e t z i n v o l geweest z i j n om h e t b e g r i p zwaarteenergie t e gebruiken a l s het z w a a r t e k r a c h t v e l d n i e t c o n s e r v a t i e f zou z i j n . Immers dan h i n g de a r b e i d d i e de zwaartekracht ( i n h e t systeem 'voorwerp') af van de weg d i e tussen b e g i n en eindpunt was a f g e l e g d . Dan kon j e voor de zwaarteenergie -^zA.3 = v e e l v e r s c h i l l e n d e uitkomsten k r i j g e n , a f h a n k e l i j k van de weg A en B.
tussen
Nu i s h e t omgekeerd ook het g e v a l : a l s een k r a c h t e n v e l d c o n s e r v a t i e f i s , dan i s het z i n v o l om een ' v e l d e n e r g i e ' te definiëren van de vorm z o a l s de zwaarteenergie. In h e t algemeen worden d i t s o o r t veldenergieën samengenomen onder h e t woord potentiële energie. Die wordt i n f o r m u l e vorm g e d e f i n i e e r d door:
E
potB
- E
potA
= —y
veldA^B
w a a r b i j v e r o n d e r s t e l d wordt dat een ' v e l d g e v o e l i g voorwerp' van een p l a a t s A i n het v e l d naar een p l a a t s B wordt gebracht. B i j v o o r b e e l d een massa i n een z w a a r t e k r a c h t v e l d , een geladen voorwerp i n een elektrisch veld. A l s t o e p a s s i n g van d i e d e f i n i t i e z a l h i e r de potentiële e n e r g i e van een v e e r u i t g e r e k e n d worden.
3.8 DE VEERKRACHT ALS CONSERVATIEVE KRACHT B i j een massa d i e aan een v e e r hangt te t r i l l e n vinden v o o r t d u r e n d e n e r g i e o m z e t t i n g e n p l a a t s : van zwaarteenergie naar v e e r e n e r g i e en k i n e t i s c h e e n e r g i e en omgekeerd.
24 TRILLENDE MASSA AAN EEN VEER Een massa t r i l t aan een v e e r . a. In welke stand(en) i s • de zwaartekracht maximaal; • de k i n e t i s c h e e n e r g i e maximaal; • de k i n e t i s c h e e n e r g i e n u l ; • de v e e r e n e r g i e maximaal? b. Teken de k r a c h t e n op de massa i n d i e standen op s c h a a l . U i t e i n d e l i j k komt de massa aan de veer t o t r u s t , ook a l s j e de veer i n vacuüm l a a t t r i l l e n . Dat komt omdat er geen enkele veer t e v i n d e n i s w a a r i n t i j d e n s de vervorming geen w r i j v i n g s k r a c h t werkt, a l z i j n er wel v e r e n t e maken waarin d i e h e e l k l e i n i s . Dat betekent dat de v e e r k r a c h t b i j h e t u i t r e k k e n van de v e e r t o c h a l t i j d weer een b e e t j e g r o t e r i s dan b i j de e e r s t v o l g e n d e i n k r i m p i n g . N i e t t e m i n wordt i n de natuurkunde vaak v e r o n d e r s t e l d dat er met i d e a l e veren gewerkt kan worden. In reële s i t u a t i e s worden a f w i j k i n g e n daarvan i n tweede i n s t a n t i e g e c o r r i g e e r d .
-62-
ARBEID GEBRUIKEN
r e d i g met de u i t r e k k i n g u.
Een g r o t e r e k r a c h t op de v e e r g e e f t een e v e n r e d i g g r o t e r e u i t r e k k i n g u aan de v e e r . In formulevorm g e l d t voor een i d e a l e , ook wel e l a s t i s c h genoemde, veer (voor u i t r e k k e n en induwen): F =
-Cu
of F(u)
=
-Cu
Het min-teken g e e f t aan dat de k r a c h t van de veer en de u i t r e k k i n g u t e g e n g e s t e l d g e r i c h t z i j n . C i s de v e e r c o n s t a n t e . Dat i s een maat voor de ' s t i j f h e i d ' van de v e e r . Voor een veer met een g r o t e v e e r c o n s t a n t e z a l j e een g r o t e k r a c h t n o d i g hebben om d i e u i t te rekken. Voor een slappe v e e r i s de v e e r c o n s t a n t e k l e i n . A l s j e de v e e r te v e r u i t r e k t gaat de n u l s t a n d v e r l o p e n omdat j e b u i t e n h e t elastisch gebied van de veer komt. De formule g e l d t dan n i e t meer. Voor een n i e t i d e a l e veer i s de v e e r c o n s t a n t e b i j h e t u i t r e k k e n i e t s g r o t e r dan b i j h e t inkrimpen. Wat h i e r n a v o l g t g e l d t a l l e e n voor een i d e a l e v e e r .
arbeid door de
veerkracht
Nu gaan we k i j k e n naar h e t o p p e r v l a k onder de F, u - g r a f i e k , naar de a r b e i d dus d i e n o d i g i s b i j v o o r b e e l d om de v e e r t o t s i t u a t i e I, I I of I I I van f i g . 3.29 u i t te rekken. U i t f i g . 3.30 z i e j e dat h e t opperv l a k onder de F, u - g r a f i e k steeds g r o t e r wordt, a l s j e van u= u\ gaat naar u = 2uj en u = 3 u j . Het oppervlak hangt dus z e l f ook a f van hoe v e r j e de v e e r u i t r e k t , hoe groot j e u dus maakt. Er b e s t a a t dus een o p p e r v l a k t e f u n k t i e 0 ( u ) . In d i t geval kunnen we d i e de a r b e i d s f u n k t i e W(u) noemen. Hoe hangen W(u) (of 0 ( u ) ) en F(u) nu samen? Om dat na te gaan, ga j e
naar de toename van W(u) k i j k e n , a l s u een kleine Au.
W(u)
beetje
toeneemt: met
neemt dan met &W t o e . 3.31 De a r b e i d tfj n o d i g om een v e e r v a n u i t h e t e v e n w i c h t s p u n t een u i t r e k k i n g u\ t e geven, i s g e l i j k aan h e t g e a r c e e r d e o p p e r v l a k i n h e t F, K-diagram. 32 De toename v a n de a r b e i d hW a l s de u i t r e k k i n g u toeneemt i s de toename v a n h e t o p p e r v l a k i n h e t F, u - d i a g r a m .
Ff F'-
hu * y
/
-63-
ARBEID GEBRUIKEN
A l s j e Au k l e i n neemt, i s de k r a c h t over dat s t u k j e e x t r a u i t r e k k e n ongeveer constant t e v e r o n d e r s t e l l e n . Dan k r i j g j e :
wel
W = F,1 . Au
A
of F. = t~" 1 Au A l s j e Au nu h e e l kle^n, maakt (wi.^undig g e z i e n neem j e de l i m i e t dat Au naar 0 n a d e r t ) gaat — — over i n — , de a f g e l e i d e van W. Au du Omdat voor Uj i n p r i n c i p e e l k e u gekozen mag worden, kun j e de waarde F\ vervangen door de f u n k t i e F(u) zodat: =
dü Je moet de a r b e i d s f u n k t i e F ( u ) . Dus dAf >
j —
au
=
n
-
dus
^ . . . . zó zoeken dat de a f g e l e i d e g e l i j k i s
aan
Cu
Je kunt eenvoudig nagaan dat de
arbeidsfunktie
2
W(u) = -\C.u
aan deze voorwaarde v o l d o e t . In de wiskunde z u l j e de W(u) tegenkomen.
a l s de
' p r i m i t i e v e ' f u n k t i e van
F(u)
veerenergie U i t de formule b l i j k t dat de a r b e i d door de v e e r k r a c h t a f g e z i e n van het teken voor u i t r e k k e n en i n k r i n p e n g e l i j k i s ( i d e a l e v e e r ) . A l s j e een veer van een u i t r e k k i n g u. en u i t r e k k i n g u^ g e e f t i s de a r b e i d d i e dan v e r r i c h t wordt n i e t a f h a n k e l i j k van de v r a a g of er tussendoor nog een a a n t a l e x t r a u i t r e k k i n g e n en i n k r i m p i n g e n u i t g e v o e r d z i j n . De v e e r k r a c h t i s dus c o n s e r v a t i e f en j e kunt een v e e r e n e r g i e definiëren a l s :
E
v e e r u^
- E
veer Uj =
-W
veer Uj
2
u^
2
= £.C.Uj - ÏQU2 Algemeen g e l d t dus E
veer
=
iCu
( b i j u i t r e k k i n g van
het nulpunt u = 0 t o t
u)
2
fig.
25 DE VEER VAN
3.33
JACOB
Jacob h e e f t een 'body b u i l d e r s - v e e r ' met een v e e r c o n s t a n t e van 8,4.10 N/m. H i j kan de v e e r 60 cm u i t r e k k e n . H i j w i l weten hoev e e l e n e r g i e h i j dan i n de v e e r s t o p t . a. Hoe groot i s de s p i e r k r a c h t van Jacob b i j u = 60 cm en hoe i s die gericht? b. Hoe groot i s de v e e r k r a c h t van z i j n veer en hoe i s d i e g e r i c h t ? c. Teken de F, u - g r a f i e k van de veer en h a a l u i t o p p e r v l a k daaronder de a r b e i d d i e de veer h e e f t v e r r i c h t . Hoeveel e n e r g i e h e e f t Jacob dus i n de veer gestopt? d. Bereken de v e e r e n e r g i e ook w i s k u n d i g . 2
-64-
ARBEID GEBRUIKEN 26 DE VEER VERDER UITREKKEN Jacob spant z i c h nog meer i n en weet de v e e r nog 10 cm u i t t e rekken. Bereken h o e v e e l de v e e r e n e r g i e toeneemt. 27 EEN PEES UITREKKEN EN ONTSPANNEN De k r a c h t e n van de pees u i t opdracht 17 van h o o f d s t u k 2 kunnen w i s k u n d i g weergegeven worden door: 6 2 F = -15.10 .u b i j spannen (F i n N, u i n m) 6 3 F = -720.10 ,u b i j ontspannen. a. Ga na dat de a r b e i d s f u n k t i e s van de pees z i j n : 6 3 W = -5.10 .u b i j spannen 6 4 W = -180.10 .u b i j ontspannen. b. K r i j g j e op grond van deze f u n k t i e s d e z e l f d e uitkomsten a l s j e i n opdracht 26 hebt gekregen? c. Is de pees een i d e a l e v e e r waarvoor j e de v e e r e n e r g i e kunt uitrekenen? In de wiskundeles z u l j e u i t g e b r e i d op h e t b e p a l e n van o p p e r v l a k t e f u n k t i e s ( ' p r i m i t i e v e ' ) en h e t b e p a l e n van waarden daarvan ( ' i n t e g r e r e n ' ) terugkomen. Na a l d i e w i s k u n d e l e s s e n z a l j e a r b e i d a l s ' i n t e g r a a l ' kunnen schrijven:
Wis) = ƒ F(s) d s en voor de potentiële e n e r g i e :
AF
^ ._ = f
pot A B
^
F
r Q
, is) d s A
veld
3.9 ARBEID DOOR AKTIE- EN REAKTIEKRACHT Twee systemen kunnen een k r a c h t op e l k a a r u i t o e f e n e n . Beide systemen ondervinden dan een evengrote, maar t e g e n g e s t e l d e k r a c h t . K r a c h t e n komen dus a l t i j d i n paren v o o r : een a k t i e - en een r e a k t i e k r a c h t . De a a n g r i j p i n g s p u n t e n van b e i d e k r a c h t e n l i g g e n n o o i t i n h e t z e l f d e systeem (behalve b i j k r a c h t e n p a r e n binnen een systeem, maar daar hebben we h e t nu n i e t o v e r ) . D i t i s de 3e wet van Newton, ook wel h e t a k t i e r e a k t i e p r i n c i p e genoemd.
-65-
ARBEID GEBRUIKEN
In v e e l g e v a l l e n v e r r i c h t e n a k t i e - en r e a k t i e b e i d e a r b e i d omdat hun a a n g r i j p i n g s p u n t e n v e r p l a a t s t worden. B i j v o o r b e e l d b i j het werpen van een b a l . De b a l en de hand oefenen b e i d e een k r a c h t op e l k a a r u i t ( z i e f i g . 3 , 3 4 ) en ondervinden dus b e i d e een evengrote, t e g e n g e s t e l d e k r a c h t . Vaak z i j n de a f s t a n d e n waarover b e i d e a a n g r i j p i n g s p u n t e n worden v e r p l a a t s t , g e l i j k aan e l k a a r . Z i e de v o o r b e e l d e n van f i g . 3 . 3 5 ;
In dat g e v a l wordt e r op b e i d e systemen a r b e i d v e r r i c h t : evengroot, maar t e g e n g e s t e l d van teken. In f e i t e betekent dat dat a l l e e n e r g i e d i e v i a de ( n e g a t i e v e ) a r b e i d van de ( a k t i e - ) k r a c h t aan het ene systeem wordt o n t t r o k ken door ( p o s i t i e v e ) a r b e i d van de r e a k t i e k r a c h t , aan h e t andere systeem wordt toegevoerd: de b a l k r i j g t meer k i n e t i s c h e e n e r g i e ; de k i s t aan h e t touw k r i j g t e n e r g i e d i e door de w r i j v i n g v e r d e r wordt a f g e v o e r d ; de k a t a p u l t k r i j g t meer v e e r e n e r g i e . K i j k nu eens naar eeji brok k l e i dat v a l t . Het a k t i e - r e a k t i e p a a r wordt gevormd door en F
2'
As f i g . 3.36 Het b r o k k l e i a l s h e t de grond r a a k t en a l s h e t t o t r u s t i s gekomen.
->
. . . .
Het a a n g r i j p i n g s p u n t ^an F^ wordt d u i d e l i j k n i e t v e r p l a a t s t . Maar h e t a a n g r i j p i n g s p u n t van Fj? Daarop z i j n twee antwoorden m o g e l i j k . Je kunt zeggen: de grond i s op z i j n p l a a t s gebleven, dus h e t i s n i e t v e r p l a a t s t . Je s t e l t j e dan op a l s een waarnemer d i e t e n o p z i c h t e ^an de grond s t i l s t a a t . Je kunt ook zeggen dat F^ over een a f s t a n d As ( z i e f i g . 3 . 3 6 ) v e r p l a a t s t i s . Dan b e k i j k j e de s i t u a t i e v a n u i t h e t brok k l e i , wat n a t u u r l i j k minder voor de hand l i g t . Door deze vervorming wordt e r dan ook géén e n e r g i e van h e t systeem 'brok k l e i ' naar b u i t e n g e t r a n s p o r t e e r d , maar de k i n e t i s c h e e n e r g i e wordt omgezet i n v e r v o r m i n g s e n e r g i e en thermische e n e r g i e . Het l i g t dus h e t meest voor de hand om t e zeggen: b e i d e ( r e - ) a k t i e k r a c h t e n worden n i e t v e r p l a a t s t . Algemeen kun j e zeggen: voor e n e r g i e o m z e t t i n g e n van h e t ene systeem i n het andere, w a a r b i j kinetische energieveranderingen optreden i s een uitwendige k r a c h t ( ' a f z e t k r a c h t ' ) n o d i g d i e niet verplaatst wordt. Dat h e e f t t o t g e v o l g dat e r vervorming of r o t a t i e n o o d z a k e l i j k i s .
-66-
ARBEID GEBRUIKEN 28 WEL
OF GEEN AFZETKRACHT?
Is e r b i j de volgende s i t u a t i e s sprake van v e r a n d e r i n g van k i n e t i s c h e e n e r g i e en andere systeemenergiën? Zo j a , w i j s dan de k r a c h t d i e n i e t v e r p l a a t s t ' wordt en de vervorming van de b e t r o k ken systemen aan. a. gaan rennen (systeem: mens); b. remmen op de f i e t s zonder s l i p (systeem f i e t s e n + f i e t s ) ; c. een boot wegduwen, met een s t o k , t e r w i j l j e erop s t a a t (systeem boot + mens met s t o k ) ; d. r a k e t naar een hogere baan brengen (systeem r a k e t + u i t l a a t gassen) .
29 EEN AUTO SLEPEN Een auto s l e e p t een andere auto a f met c o n s t a n t e s n e l h e i d . De k r a c h t i n h e t sleeptouw i s 1500 N. a. Bereken de a r b e i d van de k r a c h t van 1500 N op de g e s l e e p t e auto en de r e a k t i e k r a c h t daarvan. b. Geef aan welke e n e r g i e s t r o m e n o f omzettingen van systeemenergieën e r b i j de a r b e i d door d i e k r a c h t e n b e t r o k k e n z i j n .
30 OMHOOG SPRINGEN Iemand i s 50 cm door de knieën gezakt en s p r i n g t v a n u i t d i e houding omhoog. H i j z e t z i c h d a a r b i j met een k r a c h t van 1200 N tegen de grond a f . Bereken de a r b e i d door de a k t i e - en r e a k t i e k r a c h t van s p r i n g e r en v l o e r op e l k a a r . Welke systeemenergieën veranderen?
3.10 PROBLEMEN A l s a f s l u i t i n g van d i t h o o f d s t u k v i n d t j e ook een a a n t a l problemen. Ze z i j n wat l a s t i g e r dan d i e van h o o f d s t u k 2, soms omdat e r i n deze problemen van a r b e i d g e b r u i k gemaakt wordt om een k r a c h t , een v e r p l a a t s i n g o f i e t s d e r g e l i j k s u i t te rekenen, soms omdat e r meer stappen i n h e t o p l o s s i n g s proces n o d i g z i j n . Het kan b i j v o o r b e e l d z i j n dat j e ( i n de ' v e r t a a l f a s e ' ) de p r o b l e e m s t e l l i n g moet herformuleren. Een v r a a g a l s : " Z a l de s p r i n g e r over de l a t komen" kan dan b i j v . i n termen van e n e r g i e v e r t a a l d moeten worden, b i j v . : "Kan h i j voldoende zwaarteenergie k r i j g e n ? " Voor h e t probleemoplosschema kun j e t e r u g k i j k e n naar h e t schema van b l z . 34. Wat b e t r e f t de 'oriëntatiefase' kan daaraan toegevoegd worden: • Z i j n e r v e r a n d e r i n g e n i n k i n e t i s c h e ( t r a n s l a t i e - ) e n e r g i e d i e gepaard gaan met v e r a n d e r i n g e n van andere systeemenergieën? • Z i j n e r (dus) uitwendige ( a f z e t - ) k r a c h t e n waarvan h e t a a n g r i j p i n g s p u n t n i e t v e r p l a a t s t worden en d i e dus geen a r b e i d v e r r i c h t e n ? • Z i j n de hoeveelheden a r b e i d v e r r i c h t door r e l e v a n t e a k t i e - en r e a k t i e k r a c h t e n aan e l k a a r g e l i j k ? • Is de a r b e i d door een k r a c h t v i a de a r b e i d door z i j n r e a k t i e k r a c h t t e berekenen? Wat b e t r e f t de ' v e r t a l i n g s f a s e ' kan daaraan toegevoegd worden: • Maak een keuze t u s s e n de r e k e n r e g e l voor k i n e t i s c h e e n e r g i e en de e n e r g i e vergelijking. • H e r f o r m u l e e r de p r o b l e e m s t e l l i n g i n termen van de gekozen v e r g e l i j k i n g .
-67-
ARBEID GEBRUIKEN Probleem 3.1
KRACHT IN DE ARMEN VAN
EEN POLSSTOKHOOGSPRINGER
De p o l s s t o k h o o g s p r i n g e r van f i g u u r 1 (m = 70 kg) komt aanlopen met hoge s n e l h e i d (10 m/s). Je z i e t dat de f l e x i b e l e ( f i b e r g l a s ) stok gebogen wordt a l s de a t l e e t omhoog zwaait. Op de armen van de a t l e e t werkt een g r o t e , b i j benadering constante, k r a c h t . In d i t probleem k i j k e n we a l l e e n naar h e t g e d e e l t e van de f i g u u r t o t waar de stok maximaal doorgebogen i s . De d o o r b u i g i n g van de s t o k , As, kan j e meten z o a l s i n f i g . 2 i s aangegeven.
fig.
2.
Op het moment dat de p o l s s t o k maximaal gebogen i s , i s van de k i n e t i s c h e e n e r g i e van de man nog 20% over. De e n e r g i e d i e h i j zo ' i n v e s t e e r t ' i n de p o l s s t o k , wint h i j even l a t e r t e r u g a l s zwaarte-energie: daarover gaat probleem 3.2. U i t f i g . 1 kan j e de h o o g t e - v e r a n d e r i n g van het zwaartepunt van de a t l e e t en de l e n g t e - v e r a n d e r i n g As (= d o o r b u i g i n g ) van de p o l s s t o k a f l e z e n . Bereken de c o n s t a n t v e r o n d e r s t e l d e k r a c h t waarmee de man p o l s s t o k moet vasthouden.
de
-68-
ARBEID GEBRUIKEN Probleem 3.2 ENERGIE GELEVERD B I J POLSSTOKHOOGSPRINGEN De p o l s s t o k h o o g s p r i n g e r komt aanlopen met 10 m/s. Op h e t moment dat de p o l s s t o k maximaal gebogen i s ( e e r s t e p l a a t j e i n f i g . 1) i s van de o o r s p r o n k e l i j k e k i n e t i s c h e e n e r g i e van de a t l e e t nog 20% over. Om nu h e t h o o g t e v e r s c h i l t o t de l a t te overbruggen kan zowel van de v e e r e n e r g i e i n de stok a l s van chemische e n e r g i e u i t de s p i e r e n gebruik gemaakt worden. Neem aan dat de p o l s s t o k 1600 J kan t e r u g l e v e r e n . De s p r i n g e r weegt 70 kg. Verdere gegevens kun j e u i t f i g . 1 opmeten.
Bereken de e n e r g i e d i e de s p i e r e n nog b i j moeten l e v e r e n t i j d e n s h e t 'opsteken' (= opdrukken aan de s t o k ) .
Probleem 3.3 BOTSEN DE MAGNETEN? S a s k i a w i l i n de k l a s een z e l f bedachte methode demonstreren om de a f s t o t e n d e k r a c h t t u s s e n twee magneten t e b e p a l e n . A l s ze de ene magneet i n de b u i s l a a t v a l l e n , z a l deze boven de andere b l i j v e n zweven, zegt ze ( z i e f i g . 1). Maar de l e r a a r houdt haar tegen: h i j i s bang dat de magneten toch z u l l e n botsen en dat de g l a z e n b u i s daardoor z a l breken.
ARBEID GEBRUIKEN
fig.
1. Kan j e deze magneet i n het glas l a t e n v a l l e n ?
<*• twee tugnacen en de de middelpunten.
afstand
tussen
S a s k i a beweert dat dat n i e t z a l gebeuren. Haar argumenten z i j n : a. Er t r e e d t v e e l wrijving op t i j d e n s het v a l l e n , met de glaswand en de ontsnappende l u c h t . b. De a f s t o t e n d e k r a c h t v e r r i c h t voldoende a r b e i d om de magneet t i j d i g te stoppen. Ze h e e f t een g r a f i e k ( f i g . 2) d i e deze a f s t o t e n d e k r a c h t g e e f t , a l s f u n k t i e van de a f s t a n d tussen de middens van de magneten. Volgens S a s k i a i s op b a s i s van het dat er n i e t s kapot z a l gaan. Heeft Saskia hoog.
tweede argument a l u i t te rekenen
g e l i j k ? De magneten wegen e l k 60
NB: A l s j e i n t e g r a a l r e k e n i n g k e n t , neem dan formule:
F(r)
=
®>®^~ v
Met de r i c h t i n g van houden.
Probleem 3.4
m
et
g en z i j n 6,0
i n p l a a t s van
cm
f i g . 2 de
F i n N en r i n m.
de k r a c h t
i s b i j deze formule nog
HOEVEEL ENERGIE KOST HET
WERPEN VAN
EEN
geen r e k e n i n g
ge-
BAL?
A r n o l d w i l weten h o e v e e l e n e r g i e het wegwerpen van een b a l k o s t . Daartoe p l a k t h i j een t i k k e r s t r o o k aan z i j n hand v a s t . Een k l a s g e n o o t l e i d t d i e door een t i j d t i k k e r . B i j het werpen beweegt h i j z i j n hand zo v e e l m o g e l i j k langs een r e c h t e l i j n . U i t de t i k k e r s t r o o k d i e h i j op d i e
-70-
ARBEID GEBRUIKEN manier van z i j n worp k r i j g t h a a l t h i j de v e r s n e l l i n g van z i j n hand en dus van de b a l . D a a r u i t s t e l t h i j de volgende a, A s - g r a f i e k op. NB: j e kunt deze p r o e f ook z e l f doen! a in m/s
xrir -[ft/:
1
90
! Hl i l-l- 'f:il
Tij}
M
jM +
-f- ••
iiïi
_,
i
i.!
AH" 60 -i-t-
\'-}J J.L
30
•• 1
0
0,2
Ij;
:ii:L: J i i i
; ;t
ly!
•!•!+•
ïj.. i [,i
:!.tq: -!-'••
liA
1
+-l'f
" !
,.L
T L.|
r
WTT
tv
i' -
£b
;' t
' ':t ï j i-n a t::i
IN
t tt • li!
;-i. j'
•i-U tilt
0,4
.M;
0,6
f
V;.f
i\ i
•Ik
%11 HA 0,8
1,0
8 in m f i g . 2 De a, s - g r a f i e k v a n de b a l
Je mag aannemen dat de b a l b i j h e t werpen n i e t vervormd wordt en dat de l u c h t w r i j v i n g geen r o l s p e e l t . De massa van de b a l i s 70 g. A r n o l d schat z i j n rendement b i j h e t weggooien l a a g , op 5% omdat de meeste e n e r g i e i n de beweging van z i j n l i c h a a m gaat z i t t e n . Bereken h o e v e e l chemische e n e r g i e h e t wegwerpen van de b a l hem gekost h e e f t .
dan
Probleem 3.5 LOOPWEERSTAND B I J HARDLOPEN Van een k i l o m e t e r h a r d l o p e n word j e a a r d i g moe en j e k r i j g t het e r f l i n k warm van. Ook j e h a r t s l a g en j e a d e m h a l i n g s f r e q u e n t i e z i j n hoger dan normaal. Dat komt omdat j e dat h e e l wat vermogen k o s t . A l s j e met een c o n s t a n t e s n e l h e i d van 4,8 m/s h a r d l o o p t zonder dat j e schoen over de weg s l i p t , v e r b r u i k j e ongeveer 800 W. Daarvan i s h e t rendement v o o r n i e t zo e r v a r e n l o p e r s ongeveer 20%. De r e s t van de e n e r g i e wordt i n de vorm van warmte en s t r a l i n g aan de omgeving afgegeven. • E r werkt l u c h t w r i j v i n g . Voor h e t berekenen daarvan kun j e de formule gebruiken: ^ .A. £- y* w n
Voor de van een h a r d l o p e r kan j e 0,7 nemen, voor h e t o p p e r v l a k A De p i s de d i c h t h e i d van de l u c h t .
fig.
1 De beweging van e n k e l e l i c h a a m s d e l e n
0,6 m
v a n een h a r d l o p e r .
-71-
ARBEID GEBRUIKEN • V e r d e r werkt e r de 'loopweerstand', te v e r g e l i j k e n met de r o l w e e r s t a n d b i j r i j d e n . D a a r i n z i t t e n verwerkt de 'weerstand' d i e j e ondervindt door het f e i t dat s l e c h t s een d e e l van de v e r a n d e r i n g e n i n z w a a r t e e n e r g i e t i j d e n s het lopen opgevangen kan worden door o p s l a g a l s e l a s t i s c h e e n e r g i e i n s p i e r e n en pezen; door het s c h u i v e n van de v o e t i n de schoen; door h e t v e r vormen van de schoen e t c . • Ten s l o t t e werkt e r de w r i j v i n g s k r a c h t t u s s e n de schoen en de grond. ^
Bereken de b i j d r a g e van h e t s c h u i v e n i n de schoen, de vervorming e.d. i n de a r b e i d door de loopweerstand a l s h e t zwaartepunt van de l o p e r t i j d e n s één stap 8,4 cm omhoog en omlaag gaat en 50% van de zwaarteenergie door o m z e t t i n g i n v e e r e n e r g i e i n de s p i e r e n i n pezen voor de volgende stap b e s c h i k b a a r b l i j f t .
Probleem 3.6 MAXIMALE SPRINGHOOGTE Van welke hoogte kan j e s p r i n g e n zonder j e p i j n t e doen? Neem aan dat j e v a n u i t een g e s t r e k t e stand van een hoogte s p r i n g t en zover m o g e l i j k d o o r v e e r t b i j h e t neerkomen, maar n i e t omvalt.
fig. i
T i j d e n s h e t i n v e r e n wordt de k r a c h t d i e j e op de v l o e r (en de v l o e r dus op j o u ) u i t o e f e n t c o n s t a n t v e r o n d e r s t e l d : t u s s e n 2000 en 4000 N afhankel i j k van hoe s t e r k j e bent i n j e benen. (Als j e van een té g r o t e hoogte s p r i n g t i s de s n e l h e i d nog n i e t helemaal nul a l s j e maximaal hebt i n g e v e e r d : j e s l a a t tegen de grond, kneust of b r e e k t wat o f , a l s j e s l i m bent, maak j e een e x t r a k o p r o l waardoor j e j e 'remweg' v e r d e r v e r l e n g t . ) ^
^
Bereken op b a s i s van metingen o f s c h a t t i n g e n b e t r e f f e n d e j e e i g e n l i c h a a m van welke hoogte j e v e i l i g kunt s p r i n g e n . (Als j e j e antwoord w i l t c o n t r o l e r e n door te s p r i n g e n , v e r z e k e r j e er dan nog eens van dat j e geen f o u t e n hebt gemaakt'.)
-72-
ARBEID GEBRUIKEN Probleem
3.7 MEEGEVENDE OBSTAKELS LANGS DÈ
WEG
Men s t r e e f t e r n a a r o b s t a k e l s langs de weg, b i j v . l i c h t m a s t e n zó t e c o n s t r u e r e n d a t ze meegeven a l s er een auto tegenop b o t s t . Daardoor wordt a l s h e t ware een remweg voor de auto i n het o b s t a k e l ingebouwd.
effekten A l s m o g e l i j k e e f f e k t e n van een meegevend o b s t a k e l ( l i c h t m a s t , v e r k e e r s b o r d , w e g w i j z e r s , v a n g r a i l e.d.) zouden genoemd kunnen worden: 1. De v e r t r a g i n g d i e de b e s t u u r d e r o n d e r v i n d t (een mens kan maar 300 m/s hebben) neemt a f . 2. De c o n s t a n t v e r o n d e r s t e l d e k r a c h t op de auto i s k l e i n e r . 3. De auto wordt minder vervormd, waardoor de i n z i t t e n d e n minder kans l o p e n beklemd, te raken. Om na t e gaan welke van de genoemde e f f e k t e n h e t b e l a n g r i j k s t e z i j n worden i n d i t probleem twee t h e o r e t i s c h e f r o n t a l e b o t s i n g s s i t u a t i e s met e l k a a r vergeleken: • b o t s i n g tegen een n i e t meegevende betonnen muur; • b o t s i n g tegen een meegevende wand ( b i j v . v a n g r a i l ) . 2
botsing
tegen de betonnen muur
Een personenauto ( l e e g : 800 kg) wordt met 48 km/h met een (dummy-)bestuurder van 80 kg tegen een betonnen muur gereden. De v o o r k a n t van de auto b l i j k t 40 cm ingedeukt t e z i j n en de v e i l i g h e i d s g o r d e l van de b e s t u u r d e r b l i j k t maximaal 15 cm u i t g e r e k t geweest t e z i j n .
botsing
tegen de meegevende wand
Een personenauto van d e z e l f d e s o o r t met d e z e l f d e dummy-passagier i n d e z e l f d e g o r d e l , wordt met d e z e l f d e s n e l h e i d tegen een meegevende, maar n i e t t e r u g verende, wand gereden. De wand wordt 25 cm v e r p l a a t s t en de voorkant van de auto b l i j k t nu 15 cm i n g e d r u k t t e z i j n . B i j v e r g e l i j k i n g van de twee s i t u a t i e s b l i j k t e f f e k t e n op t e t r e d e n . ^
^
s l e c h t s één van de genoemde
Welke i s dat en wat moet er aan de meegevende wand v e r a n d e r d worden om ook de andere e f f e k t e n t e l a t e n optreden?
f i g . J B o t s i n g t e g e n een b e t o n n e n wand
fig.
2 B o t s i n g t e g e n een meegevende wand
-73-
ARBEID GEBRUIKEN
Probleem 3.8 FIETSEN OP EEN PONT B i j h e t nadenken over h e t o p t e l l e n van snelheden en de b i j b e h o r e n d e toename van k i n e t i s c h e e n e r g i e s t u i t Ton op een merkwaardig probleem, dat h e t b e s t e t o e g e l i c h t kan worden aan de hand van een f i e t s e r d i e op een varende pont gaat f i e t s e n . Ga ervan u i t dat de pont met 3m/s v a a r t en dat de f i e t s e r (massa met f i e t s 80 kg) op de pont i n 5 s van s t i l s t a n d o p t r e k t naar 5 m/s i n de vaai ..richting. Nu kan j e de toename van de k i n e t i s c h e e n e r g i e van de f i e t s e r op twee manieren b e s c h r i j v e n :
• ten opzichte
van de pont
De k i n e t i s c h e e n e r g i e van de f i e t s e r was 0 en neemt toe t o t £.80.5 = 1000 J . Dus A E = 1000 J . De f i e t s e r raakt deze k i n e t i s c h e e n e r g i e weer k w i j t door te stoppen. 2
k
• ten opzichte
van de wal
De k i n e t i s c h e e n e r g i e van de f i e t s e r was £.80.3^ = 360 J en neemt toe t o t |.80.(3+5) = 2560 J . De toename i s dus A £ = 2200 J . De f i e t s e r r a a k t de 2560 J k w i j t a l s d i e t i j d e n s h e t f i e t s e n o p b o t s t tegen een ( t . o . v . de wal) s t i l s t a a n d d i n g , b i j v . een lage brug. L e t op dat v e r o n d e r s t e l d i s dat de pont t i j d e n s h e t optrekken met een c o n s t a n t e s n e l h e i d van 3 m/s d o o r v a a r t . 2
k
H e e f t de f i e t s e r nu 1000 J ( a f g e z i e n van v e r l i e z e n door de w r i j v i n g s k r a c h t e n ) e n e r g i e g e l e v e r d voor toename van z i j n k i n e t i s c h e e n e r g i e of 2200 J? Waar komt h e t v e r s c h i l tussen d i e twee vandaan?
