i
MODUL STATISTIKA II
LEMBAR PENGESAHAN MODUL PRAKTIKUM STATISTIKA II SEMESTER GANJIL 2014 FAKULTAS EKONOMI DAN BISNIS UNIVERSITAS PADJADJARAN
Disusun Oleh: Tim Asisten Dosen Statistika FEB UNPAD
Mengetahui dan Menyetujui,
Ketua Program Studi IESP UNPAD Dr. Mohammad Fahmi, S.E., M.T. NIP. 197312302000121001
ii
iii
Anita Kezia Zonebia
Lois Jessica Imanuel
Karina Megasari
Farhatunisa
iv
v
DAFTAR ISI
DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA DAN PROPORSI……….1 DISTRIBUSI SAMPLING SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI............................................................................................ PENAKSIRAN RATA-RATA DAN PROPORSI………………………………………................................ PENAKSIRAN SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI……………………………………………………………. UJI HIPOTESIS RATA-RATA DAN PROPORSI……………………………………..................................... UJI HIPOTESIS SELISIH RATA-RATA DAN .PROPORSI…………………………………………………………… REGRESI DAN KORELASI SEDERHANA………………………… REGRESI DAN KORELASI BERGANDA………………………….. NON-PARAMETRIK………………………......................................... NON-PARAMETRIK 1……………………………………………….. NON-PARAMETRIK 2…………………………………...................... APPENDIX………………………………………………………….....
vi
vii
DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA DAN PROPORSI PENDAHULUAN Populasi adalah kumpulan dari seluruh kemungkinan orang-orang, benda-benda, dan ukuran lain yang menjadi objek perhatian atau kumpulan seluruh objek yang menjadi perhatian.
Populasi Terbatas adalah suatu populasi yang unsurnya terbatas berukuran N. Contoh : populasi bank, populasi mahasiswa FEB Unpad, dsb.
Populasi Tidak Terbatas adalah suatu populasi yang mengalami proses secara terus menerus sehingga ukuran N menjadi tidak terbatas perubahan nilainya. Contoh : populasi bintang di langit.
Sampel adalah suatu bagian dari populasi tertentu yang menjadi perhatian.
Sampel Probabilitas atau Random Sample merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi sehingga masing-masing anggota populasi memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel.
Sampel Nonprobabilitas atau Nonrandom Sample meerupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi sehingga setiap anggota tidak memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel.
SAMPLING Sampling adalah cara pengambilan atau pengumpulan data hanya sebagian elemen atau anggota dari populasi, atau cara pemilihan sampel dari populasi yang akan diteliti. Alasan melakukan sampling adalah :
Page | 1
Mengenai biaya atau faktor ekonomis
Ketelitian dalam penyelidikan
Penghematan waktu
Sifat dari objek yang diteliti
Macam dari populasinya
METODE SAMPLING Teknik Sampling Dengan Pengembalian adalah metode sampling dimana setiap anggota dari suatu populasi dapat dipilih lebih dari satu kali. Teknik Sampling Tanpa Pengembalian adalah metode sampling dimana setiap anggota dari suatu populasi tidak dapat dipilih lebih dari satu kali. DISTRIBUSI SAMPLING Distribusi Sampling merupakan kumpulan nilai-nilai statistika yang sejenis lalu disusun dalam suatu daftar sehingga terdapat hubungan antara nilai statistik dan frekuensi statistika. (Sudjana, 2001 : 87). Distribusi Sampling terdiri dari :
Distribusi Sampling Rata-rata
Distribusi Sampling Proporsi
Distribusi Sampling Selisih Rata-rata
Distribusi Sampling Selisih Proporsi
DISTRIBUSI
Page | 2
SAMPLING
RATA-RATA
Distribusi Sampling Rata-rata adalah kumpulan dari bilangan-bilangan yang masing-masing merupakan rata-rata hitung dari sampelnya. (Sudjana, 2001 : 87). Rumus Distribusi Sampling Rata-rata :
Populasi tidak terbatas
Rata-rata
Populasi terbatas
x
Standar Deviasi
x
Nilai Baku
x
√
x
x
√
√
x
x x
x x
Keterangan : n
: ukuran sampel
N
: ukuran populasi
x
: rata-rata sampel
µ
: rata-rata populasi
s
: standar deviasi sampling : standar deviasi populasi x
: rata-rata pada distribusi sampling rata-rata
x
:
standar
deviasi
pada
distribusi
sampling
rata-rata
Page | 3
√
: faktor koreksi
Contoh Soal ABC Company memproduksi ‘Remote Control’ dengan menggunakan dua baterai. Rata-rata umur baterai yang digunakan di produk ini adalah 35 jam. Distribusi umur baterai mendekati distribusi probabilitas normal dengan standar deviasi 5,5 jam. Sebagai bagian dari program pengujian, diambil sampel sebanyak 25 baterai. Hitunglah probabilitas umur baterai lebih dari 36 jam? Penyelesaian Dik
: µ = 35 = 5,5 n = 25
Dit
: P( x >36)?
Jawab :
x = µ = 35 x =√ = x
x
z=
√
= 1,1
=
= 0,91
x
0
Page | 4
z
Lihat tabel z: luas sebelah kanan 0 =
0,5000
luas antara 0 - z
0,3186 -
=
luas sebelah kanan z =
0,1814
Kesimpulan : Jadi, dari 25 baterai yang dipilih, probabilita umur baterai lebih dari 36 jam adalah sebesar 0,1814 atau 18,14%. DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI Distribusi Sampling Proporsi adalah kumpulan atau distribusi semua perbandingan sampelnya untuk suatu peristiwa. (Sudjana, 2001 : 95). Rumus Distribusi Sampling Proporsi :
Populasi tidak terbatas
Populasi terbatas
Rata-rata Standar Deviasi √
√
√
Nilai Baku
Page | 5
Keterangan : n
: ukuran sampel
N
: ukuran populasi : proporsi sampel : proporsi populasi : rata-rata pada distribusi sampling proporsi : standar deviasi pada distribusi sampling proporsi
√
: faktor koreksi
Jika nilai
dari populasi tidak diketahui, dalam hal ini
yaitu nilai
dianggap sama dengan 0,5
yang maksimum.
Contoh Soal Sebuah Bakery Store “Bear” menemukan bahwa pembelian dilakukan oleh 20% dari pelanggan yang memasuki tokonya. Suatu pagi terdapat sampel acak sebanyak 180 orang memasuki toko. Berapa probabilita pelanggan yang membeli kurang dari 15%? Penyelesaian: Dik
: n = 180 π(membeli)= 20% = 0,20
Dit
: P ( < 15%)?
Jawab :
= π = 0,20 =√
Page | 6
=√
= 0,029814239
z=
=
= -1,68
z
0
lihat tabel z: luas sebelah kiri 0
=
0,5000
luas antara
=
0,4535-
=
0,0465
z-0
luas sebelah kiri z
Kesimpulan: Jadi, probabilita bahwa diantara 180 orang yang masuk ke toko, pelanggan yang membeli kurang dari 15% adalah sebesar 0,0465 atau 4,65%.
Page | 7
SOAL DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA DAN PROPORSI 1. Sebuah lift didesain dengan batas muatan sebesar 1000 kg. Teknisi menganggap bahwa lift tersebut memiliki kapasitas muat untuk 18 orang. Jika berat badan dari semua orang yang menggunakan lift tersebut berdistribusi normal dengan rata-rata 980 kg dan standar deviasi sebesar 37 kg, berapakah probabilita sekelompok yang terdiri dari 18 orang yang menggunakan lift tersebut akan melampaui batas muatan lift di atas? Jawab : Dik
: n = 18 µ = 980 = 37
Dit
: P( x > 1000)
Jawab :
x = µ = 980 x
√
x
= x
Z=
= 8,72
√
=
= 2,29
x
0
Page | 8
Z
lihat tabel z: luas sebelah kanan 0 =
0,5000
luas antara
0,4890-
0-z
=
luas sebelah kanan z =
0,0110
Kesimpulan : Jadi, probabilitas sekelompok yang terdiri dari 18 orang yang menggunakan lift tersebut akan melampaui batas muatan lift adalah sebesar 0,0110 atau 1,1%.
2. Cravy Company has just received 4850 cristal bottles. Before accepting the bottles, the manager insists that 18 of the cristal bottles be randomly selected for testing. He intends to measure the maximum capability of each bottle and reject the shipment if the mean capability for the sample is greater than the 413 newton listed on the product label. Based on the manager, the bottles on the truck require an average 405 newton, with a standard deviation of 13 newton. Determine the probability ha the cristal bottles will be rejected. Jawab : Dik
: N = 4850 µ = 405 n = 18 = 13
Dit
: The probability that the cristal bottles will be rejected, P( x > 413)
Jawab :
=
= 0,003711 < 5% (tidak menggunakan faktor koreksi)
x = µ = 405 x
√
=
√
=3,064129385
Page | 9
x
x
Z=
=
= 2,61
x
lihat tabel z: luas sebelah kanan 0 =
0,5000
luas antara 0 - z
0,4955 -
=
luas sebelah kanan z = 0
Conclusion:
0,0045
Z
so, the probability that the cristal bottles will be rejected is 0,0045 or 0,45%
3. Wormy adalah perusahan tekstil yang mempunyai 50 pabrik di seluruh Indonesia. Dalam satu hari, satu pabrik dapat menghasilkan rata-rata 1600 baju dengan standar deviasi 270 baju. 17 pabrik dipilih secara acak untuk memenuhi pesanan dari luar negeri. a. Berapa probabilita pabrik yang memenuhi pesanan dari luar negeri menghasilkan 1890 baju dalam sehari? b. Berapa probabilita pabrik yang memenuhi pesanan dari luar negeri mengahasilkan tidak lebih dari 1775 baju dalam sehari? Jawab : Dik
: N = 50 n = 17 μ = 1600 = 270
Dit Page | 10
: a. P ( x = 1890)
b. P ( x ≤ 1775) Jawab
: a.
=
= 0,34 > 5% (menggunakan faktor koreksi)
x = µ = 1600
x
√
x
√ x
Z=
=
=
√
√
= 53,74007069
= 5,4
x
0
Z
Kesimpulan : Jadi, probabilitas pabrik yang memenuhi pesanan dari luar negeri menghasilkan 1890 baju dalam sehari adalah 50%. b.
x = µ = 1600 x
√
x
√
x
Z=
=
=
√
√
= 53,740
= 3,26
x
0
Z Page | 11
Lihat tabel z: luas sebelah kiri 0
=
0,5000
luas antara 0 - z
=
0,4994 +
luas sebelah kiri z
=
0,9994
Kesimpulan : Jadi, probabilitas pabrik yang memenuhi pesanan dari luar negeri menghasilkan tidak lebih dari 1775 baju dalam sehari adalah sebesar 0,9994 atau 99,94% 4. The rent for one-bedroom apartment in Southern California follows the normal distribution with a mean of $3,400 per month and a standard deviation of $375 per month. The manager selects a random sample of 75 one-bedroom apartments. a. What is the probability that the sample mean is between $3,350 and $3,500? b. What is the probability that the sample mean is greater than $3,330? Jawab : Dik
: μ = 3400 = 375 n = 75
Dit
: a. P(3350 < x < 3500) b. P( x > 3330)
Jawab : a.
x = µ = 3400 x
=
√
x
x
Z1 = x
Page | 12
√
=
= 43,30 = -1,15
x
x
Z2 =
=
= 2,31
x
Z1
0
Z2
Lihat tabel z : Luas antara Z1-0
= 0,3749
Luas antara 0-Z2
= 0,4896
Luas antara Z1-Z2
= 0,8645
Kesimpulan : Jadi, probabilitas harga sewa apartemen di Southern California berkisar antara $3350 sampai dengan $3500 adalah sebesar 0,8645 atau 86,45%. b.
x = µ = 3400 x
=
√
x
x
Z=
√
=
= 43,30 = -1,62
x
Lihat tabel Z : Luas Z-0
= 0,4474
Luas kanan 0 = 0,5000 + Z
0
Luas kanan Z = 0,9474
Kesimpulan : Jadi, probabilitas harga sewa apartemen di Southern California lebih dari $3330 adalah sebesar 0,9474 atau 94,74%. Page | 13
5. Sebuah perusahaan makanan membuka lowongan pekerjaan untuk 200 orang lulusan perguruan tinggi. Diambil 100 orang pelamar sebagai sampel acak. Menurut manager HRD perusahaan tersebut, tahun lalu, 45% pelamar adalah laki-laki. Berapakah probabilita bahwa maksimal 46% dari sampel adalah wanita? Jawab : Dik
: n = 100 N = 200 π = 55%
Dit
: P(
Jawab :
0,5 > 5% (menggunakan faktor koreksi) = π = 0,55 =√
√
z=
Z
Page | 14
=
0
=√ = -2,55
√
= 0,03526639467
lihat tabel z: luas sebelah kiri 0
=
0,5000
luas antara z-0
=
0,4946 –
luas sebelah kiri z
=
0,0054
Kesimpulan : Jadi, probabilita maksimal 46% pelamar wanita adalah sebesar 0,0054 atau 0,54%.
6. First company has a plan to open a recquirement for new employee in 2014 for 1048 persons. 456 persons from that amount, ever had experiences in working before and the residual is fresh graduated. 300 employees is taken randomly to be a sample. a. Determine proportion of deviation standard b. Determine probability that the new employees who had working experience is between 35% and 55% Jawab : Dik
: n = 300 N = 1048 =
Dit
= 0,435
: a. b. P(35% < < 55%)
Jawab : a.
=
= 0,29 > 5% (Menggunakan faktor koreksi)
= π = 0,435 = √
√
= √
√
= 0,029 . 0,845 =
0,0245 Page | 15
b. Z1 =
=
= -3,47
Z2 =
=
= 4,69
Z1
0
Z2
Lihat tabel z : Luas antara Z1-0
= 0,4997
Luas antara 0-Z2
= 0,5000
Luas antara Z1-Z2
= 0,9997
Kesimpulan : Jadi, probabilitas bahwa pelamar yang sudah memiliki pengalaman kerja antara 35% sampai dengan 55% adalah sebesar 0,9997 atau 99,97%. 7. Tentukanlah probabilita bahwa diantara 50 orang yang datang ke supermarket S, terdapat : a. Maksimal 43% adalah wanita? b. Lebih dari 57% adalah laki-laki? Asumsi : probabilita kedatangan wanita dan laki-laki ke supermarket S adalah 60% dan 40%. Jawab : Dik Page | 16
: n = 50
π (wanita) = 60% π (laki-laki) = 40% `
Dit
: a. P( b. P( = π = 0,60
Jawab : a.
=√
=√
z=
=
Z
= 0,0692820323 = -2,45
0
lihat tabel z: luas sebelah kiri 0
=
0,5000
luas antara z-0
=
0,4929 –
luas sebelah kiri z
=
0,0071
Kesimpulan : Jadi, probabilitas pengunjung yang datang ke Supermarket S terdapat maksimal 43% wanita adalah sebesar 0,0071 atau 0,71% b.
= π = 0,40
=√
=√
= 0,0692820323
Page | 17
z=
=
= 2,45
0
Z
lihat tabel z: luas sebelah kanan 0 =
0,5000
luas antara 0 - z
0,4929 -
=
luas sebelah kanan z =
0,0071
Kesimpulan : Jadi, probabilitas pengunjung yang datang ke Supermarket S terdapat lebih dari 57% laki-laki adalah sebesar 0,0071 atau 0,71%. 8. Dalam festival kuliner, 250 orang dijadikan sampel dan diminta untuk mencicipi sebuah makanan yang telah disediakan. Jika panitia memperkirakan 30% menyatakan bahwa makanannya tidak enak, berapakah probabilita bahwa akan terdapat antara 25% sampai dengan 35% dari sampel tersebut benar-benar menyatakan bahwa makanannya tidak enak? Jawab : Dik
: n = 250 π (tidak enak) = 30%
Dit
: P(25% < < 35%)
Jawab :
= π = 0,30 =√
Page | 18
=√
= 0,02898275349
=
=
= -1,73
=
=
= 1,73
Lihat tabel z: luas antara
Z1
0
-0
= 0,4582
luas antara 0-
= 0,4582 +
luas antara
= 0,9164
Z2
Kesimpulan : Jadi, probabilita bahwa akan terdapat antara 25% sampai dengan 35% dari sampel benar-benar menyatakan bahwa makanan yang disediakan tidak enak adalah sebesar 0,9164 atau 91,64%
Page | 19
Page | 20
DISTRIBUSI SAMPLING SELISIH RATA-RATA DAN SELISIH PROPORSI Distribusi Sampling merupakan kumpulan nilai-nilai statistika yang sejenis lalu disusun dalam suatu daftar sehingga terdapat hubungan antara nilai statistik dan frekuensi statistika. (Sudjana, 2001 : 87). DISTRIBUSI SAMPLING SELISIH RATA-RATA Distribusi Sampling Selisih Rata-rata adalah kumpulan bilangan-bilangan yang merupakan selisih rata-rata dari dua sampel yang berbeda berdasarkan pada dua sampl tertentu dari ukuran parameter dua populasinya. Untuk ukuran sampel n1 dan n2yang cukup besar (n1, n2> 30), maka distribusi sampling selisih rata-rata sangat mendekati distribusi normal, untuk mengubahnya ke dalam bentuk normal standar maka diperlukan rumus : ̅
̅ ̅ ̅
̅
̅
Dimana : a. Rata-rata ( Means ) ̅
̅
b. Simpangan baku ( standard deviation )
̅
̅
Jika
√
dan
tidak diketahui, maka dapat menggunakan standar deviasi dari
sampel.
Page | 21
Contoh soal : Pegawai perusahaan Global Network Inspection pada Divisi Inspeksi Pembongkaran mempunyai
gaji
rata-rata
sebesar
$4300/bulan,
sedangkan
Divisi
Inspeksi
Pengangkutan mempunyai gaji $3750/bulan. Setelah dihitung, diperoleh rata-rata hitung dari deviasi kuadrat setiap gaji terhadap gaji rata-rata Divisi Inspeksi Pembongkaran $52.000, sedangkan Divisi Inspeksi Pengangkutan sebesar $19.500. Bila diasumsikan diambil sampel random pada Divisi Inspeksi Pembongkaran sebanyak 90 orang dan Divisi Inspeksi Pengangkutan 75, berapakah probalilita selisih rata-rata gaji dari dua sampel lebih besar dari $ 500 ?
Jawab : Dik
:
Divisi Inspeksi Pembongkaran:
μ1 = $ 4300
= $ 52.000
n1 = 90
Divisi Inspeksi Pengangkutan:
μ2= $ 3750
= $ 37.000
n2 = 75
Dit
̅
:
Jawab :
̅
̅
̅
̅
? 4300 – 3750= 550 √
√ ̅
̅
̅ ̅
Page | 22
̅
̅
Z
0
Luas kanan 0 = 0,5000 Luas 0 - Z
= 0,4370 +
Luas kanan Z = 0,9370
Kesimpulan : Jadi, probabilita selisih rata-rata gaji dari dua sampel lebih besar dari $ 500 adalah 0,9370 atau 93,70 %.
DISTRIBUSI SAMPLING SELISIH PROPORSI Distribusi Sampling Selisih Proporsi adalah kumpulan bilangan-bilangan yang merupakan selisih proporsi dua sampel yang berbeda berdasarkan pada dua sampel tertentu dari ukuran parameter dua populasinya, adapun rumus distribusi sampling selisih proporsi dinyatakan dalam : a. Rata-rata proporsi
b. Simpangan baku proporsi √
Page | 23
Distribusi sampling selisih proporsi inipun akan mendekati distribusi normal bila ukuran-ukuran sampel cukup besar (n1, n2> 30), maka untuk merubahnya menjadi bentuk normal standar diperlukan rumus : (
Jika π
)
π tidak diketahui dan dianggap sama maka nilai : =p=
sehingga standar baku proporsinya menjadi : √
Contoh soal Alya dan Deasy akan melakukan sebuah pertandingan pelemparan sekeping uang logam, Deasy akan menangbila memperoleh 8 sisi gambar lebih banyak dari pada Alya, jika diasumsikan mereka diberi kesempatan masing-masing melempar uang logam sebanyak 40 kali, berapa peluang Deasy memenangkan pertandingan ini ? Berilah saran apakah Deasy akan ikut dalam pertandingan atau tidak, jika harapan kemenangannya harus sebesar 15% atau lebih?
Jawab :
Dik
: π1 =π2 = 50% n1=n2 = 40
Dit
: (
)
Jwb
:
= ( 0,5 – 0,5 ) = 0
Page | 24
√ √ (
)
0
Z
Luas kanan 0 = 0,5000 Luas 0- Z
= 0,3665 –
Luas kanan Z = 0,1335
Kesimpulan : Jadi, peluang Deasy memenangkan pertandingan ini adalah 0,1335 atau 13,35%. Karena peluang Deasy menang kurang dari harapan menangnya (13,35% <15%), maka Deasy disarankan tidak mengikuti pertandingan ini.
Page | 25
SOAL DISTRIBUSI SAMPLING SELISIH RATA-RATA DAN SELISIH PROPORSI 1. PT Indigo dan PT Violet are two companies engaged in banking and insurance. These two companies operate four weeks a month and five days a week. PT Indigo daily average customers visited as many as 100 customers and 78 customers visited PT Violet for each day. With the standard deviation of each at 13 and 9 for PT Indigo and PT Violet, if sample is taken as many as 90 customers for PT Indigo and 95 customers for PT Violet, determine the average possible number of customers who visited PT Indigo differ between 20 to 25 customers over PT Violet? Jawab : Dik
: Indigo : μ1 = 100
= 13
n1 = 90
Violet : μ2 = 78
=9
n2 = 95
:
̅
Jawab :
̅
Dit
̅
̅
̅
̅
100 – 78= 22
̅
̅
Page | 26
√
√ ̅ ̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
1,652395037 -1,21
Z1
0
Luas Z1 - 0
= 0,3869
Luas 0 – Z2
= 0,4656 +
Luas Z1 - Z2
= 0,8525
Z2
Kesimpulan : Jadi, kemungkinan rata-rata jumlah nasabah yang mengunjungi PT Indigo berbeda antara 20 sampai dengan 25 nasabah lebihnya dari PT Violet adalah sebesar 0,8525 atau 85,25% 2. Coco Candy memperkerjakan 1200 pegawai yang terdiri dari 75% pegawai pria dan sisanya pegawai wanita. Berdasarkan catatan bagian HRD, rata-rata waktu terlambat masuk kerja pegawai pria adalah 34 menit dan simpangan baku 8,7 menit. Sedangkan rata-rata waktu terlambat masuk kerja pegawai wanita adalah 26 menit dengan simpangan baku 11 menit. Suatu ketika, pimpinan perusahaan melakukan sidak, dengan mengambil secara acak 40% pegawai pria dan 50% pegawai wanita. Tentukan probabilita: a. Waktu terlambat pegawai pria berbeda paling sedikit 10 menit dari pegawai wanita b. Waktu terlambat pegawai pria berbeda kurang dari 7 menit dari pegawai wanita
Page | 27
c. Waktu terlambat pegawai pria berbedaantara 5 hingga 11 menit dari pegawai wanita Jawab : Dik : N = 1200
Dit
N1 = 75% N = 900
n1 = 40%N1 = 360
μ1 = 34
N2 = 25% N = 300
n2 = 50%N2 = 150
μ2= 26
: a.
̅
b.
̅ ̅
c. Jawab : ̅
a. ̅
̅
̅
̅ ̅
34 – 26= 8 √
√ ̅
̅ ̅
̅
̅
Luas kanan 0 = 0,5000 Luas 0- Z
= 0,4761 –
Luas kanan Z = 0,0239
0
Page | 28
Z
Kesimpulan : Jadi, probabilita waktu terlambat pegawai pria berbeda paling sedikit 10 menit dari pegawai wanita adalah sebesar 0,0239 atau 2,39%. ̅
b. ̅
̅
34 – 26= 8
̅
√
√
̅ ̅
̅
̅ ̅
̅
̅
Z
0
Luas Kiri 0
= 0,5000
Luas Z - 0
= 0,3389 –
Luas kiri Z
= 0,1611
Kesimpulan : Jadi, probabilita waktu terlambat pegawai pria berbeda kurang dari 7 menit dari pegawai wanita adalah sebesar 0,1611 atau 16,11%. ̅
c. ̅
̅
34 – 26= 8
̅
̅
√
√
Page | 29
̅
̅
̅ ̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
Z1
0
Luas Z1 - 0
= 0,4985
Luas 0 – Z2
= 0,4985 +
Luas Z1 - Z2
= 0,9970
Z2
Kesimpulan : Jadi, probabilita waktu terlambat pegawai pria berbeda antara 5 hingga 11 menit dari pegawai wanita adalah sebesar 0,9970 atau 99,70%. 3. Brightman Co. and Fulton Co., enganging in property business in Jakarta. These two companies have been finished their expansion in Bandung. Around this year, Brightman’s real estate collected USD 67.930 monthly average collection for their customers with standard error of USD 103. Fulton’s Apartment reached USD 85.140 monthly average collection with USD 146 standard error. If we take 35 real estate’s customers and 40 apartement’s customer, find out : a. The difference of monthly average collection of Fulton’s and Brightman’s samples, if we need to know its value in our currency
Page | 30
b. The likelihood that the monthly average collection of Fulton Co. will be differ at least Rp 171.095.620over Brightman Co. (Assume the spot exchange rate is Rp 9959/USD)
Jawab : Dik
Dit
: n1 = 40
μ1 =USD 85.140
n2 = 35
μ1 = USD 67.930
: a.
̅
̅
in Rupiah ̅
b. Jawab : a.
̅
USD 85.140 – USD 67.930 = USD 17.210
̅
Convert USD to Rupiah = USD 17.210 x Rp 9959 / USD = Rp 171.394.390 So, the difference of monthly average collection of Fulton’s and Brightman’s samples is USD 17.210, and its value in our currency is Rp 171.394.390, if we assume that the spot exchange rate is Rp 9959/USD. ̅
b.
Covert Rupiah to USD = Rp 171.095.620 / Rp 9959 / USD = USD 17.180
̅ ̅
̅
√
√
̅ ̅
̅ ̅
̅
̅
̅
Page | 31
Z
0
Luas kanan 0 = 0,5000 Luas Z - 0
= 0,3508 +
Luas kanan Z = 0,8508 Kesimpulan : So, the likelihood that the monthly average collection of Fulton Co. will be differ at least Rp 171.095.620 over Brightman Co. is 0,8508 or 85,08%. 4. Gary dan Shamira bekerja di sebuah perusahaan yang menerapkan sistem gaji berdasarkan produktivitas para pekerjanya. Gaji Gary rata-rata sebesar Rp. 5.750.000,00 per bulan, sedangkan gaji Shamira rata-rata Rp. 5.400.000,00 perbulan. Standar deviasi untuk gaji Gary dan Shamira adalah Rp. 250.000,00 dan Rp. 550.000,00. Bila diambil sampel gaji Gary dan Shamira masingmasing 12 bulan, berapakah probabilitas selisih rata-rata gaji dari Gary dan Shamira lebih besar dari Rp. 300.000,00? Jawab : Dik
: Gary Shamira
Dit
Page | 32
:
̅
: μ1 = 5.750.000
= 250.000
n1 = 12
: μ2 = 5.400.000
= 550.000
n2 = 12
Jawab : ̅
̅
̅
̅
350.000 √
√
̅
̅
̅ ̅
̅
-0,29
̅
Z
174.403,746
0
Luas kanan 0 = 0,5000 Luas Z - 0
= 0,1141 +
Luas kanan Z = 0,6141
Kesimpulan : Jadi, probabilitas selisih rata-rata gaji dari Gary dan Shamira lebih besar dari Rp. 300.000,00 adalah sebesar 0,6141 atau 61,41%.
5. Vivi dan Vina mengikuti pertandingan pelemparan sebuah dadu. Vivi akan menang apabila memperoleh minimal 9 sisi angka
genap lebih banyak
daripada Vina. Jika diasumsikan mereka diberi kesempatan masing-masing percobaan melempar dadu tersebut sebanyak 45 kali, berapakah peluang Vina memenangkan pertandingan ini? Jawab : Dik
:
=
= 50% Page | 33
n1 = n2 = 45 Dit
: (
) = (0,5 – 0,5) = 0
Jawab : √
√ (
0,1054092553 )
1,90
0
Z
Luas kanan 0 = 0,5000 Luas 0- Z
= 0,4713 –
Luas kanan Z = 0,0287
Kesimpulan : Jadi, peluang Vina memenangkan pertandingan ini adalah sebesar 0,0287 atau 2,87% 6. In the competitive area of retail consumer goods, advertising serves to clarify product distinctiveness and increase market penetration. Before adopting a new Page | 34
advertising campaign, large-volume vintner conducted a product preference survey among 1000 regular buyers of wine in the supermarket chain that serves his primary channel of distribution. From that survey, they found that 33% of those contacted were regular purchasers of his wine. Six months after the institution of a revised advertising campaign, 1200 buyers were surveyed, with 44% indicating preference for the vintner’s product. Find the percentage of customer’s preference for the vintner’s product after advertising campaign less than the percentage of customer’s preference for the vintner’s product before advertising campaign, if the left area of Z score is 0,9997. Jawab : Dik
: n1 = 1200
n2 = 1000
= 44%
= 33%
( Dit
) = 0,9997
:X?
Jawab :
0 Luas Kiri Z
= 0,9997
Luas Kiri 0
= 0,5000 -
Luas 0 - Z
= 0,4997
Z
Z = 3,39
Page | 35
= 0,44 – 0,33 = 0,11
√
√
(
)
Kesimpulan :So, the percentage of customer’s preference for the vintner’s product after advertising campaign less than the percentage of customer’s preference for the vintner’s product before advertising campaign, if the left area of Z score is 0,9997, is 0,18 or 18%. [ (
)]
7. Pengamatan yang dilakukan selama setahun terakhir menunjukkan bahwa investor yang memegang saham sektor properti memiliki probabilita kenaikan harga saham sebesar 88%. Sedangkan investor lain yang memegang saham sektor barang konsumsi memilik peluang kenaikan harga saham sebesar 44%. Apabila investor memiliki 500 lot saham sektor properti dan 450 lot saham sektor barang konsumsi, berapa peluang beda persentase harga saham sektor properti meningkat 50% lebih kecil dibandingkan dengan kenaikan harga saham sektor barang konsumsi?
Page | 36
Jawab : Dik
Dit
:π1 = 88%
π2 = 44%
n1 = 500
n2 = 450
(
:
)
Jawab : = ( 0,88 – 0,44 ) = 0,44 √
√ (
)
0 Luas Kiri 0
= 0,5000
Luas 0 – Z1
= 0,4854+
Luas kiri Z
= 0,9854
Z
Kesimpulan : Jadi, peluang beda persentase harga saham sektor properti meningkat 50% lebih kecil dibandingkan dengan kenaikan harga saham sektor barang konsumsi adalah sebesar 0,9854 atau 98,54%. Page | 27
8. Zivi’s Corporation has two different departments in the Corporate Finance, Department of Investing and Department of Budgeting. Every year an estimated mistakes in each department doing their job are 12% and 6% for Investing and Budgeting Department. The Chief of Financial Officer want to analyze it, and took 320 people from each department as a sample. Determine the difference of mistakes doing their job of Investing and Budgeting Department less than 1%? Jawab : Dik
: π1 = 12% π2 = 6% n1 = n2 = 320
Dit
: (
) = (0,12 – 0,06) = 0,06
Jawab : √
√ (
0,0225
)
-2,22
Z Page | 38
0
Luas Kiri 0
= 0,5000
Luas Z - 0
= 0,4868 –
Luas Kiri Z
= 0,0132
Kesimpulan : Jadi, probabilitas kesalahan dalam mengerjakan pekerjaan di Department of Investing dan Department of Budgeting berbeda kurang dari 1 persen adalah sebesar 0,0132 atau 1,32%.
PENAKSIRAN RATA-RATA DAN PROPORSI
1.
Pengertian Penaksiran adalah keseluruhan proses menduga suatu parameter pada populasi
yang tidak diketahui nilainya dengan menggunakan statistik sampel (Statistika Untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, Suharyadi). Pada penaksiran, kita mengambil sample untuk
dianalisis,
sehingga
hasil
memperkirakan ukuran populasi 2.
analisis
tersebut
dapat
digunakan
untuk
( parameter populasi).
Jenis Penaksiran Statistik Ada 2 jenis penaksiran/pendugaan yang dilakukan terhadap populasi, yaitu: a. Pendugaan Titik (Point Estimation) Contoh : Dari sample acak rata – rata berat badan mahasiswa FEB Unpad ialah 65kg b. Pendugaan Interval (Interval Estimation). Contoh : Dari sample acak rata – rata berat badan mahsiswa FEB unpad ialah 65 ± 1 kg
3.
Kriteria Penaksir yang Baik Statistik sampel yang digunakan untuk menduga parameter populasi harus memenuhi tiga kriteria berikut, yaitu: Tidak bias (unbias) Statistik sampel yang digunakan sebagai penduga (penaksir) harus sama atau mendekati parameter populasi yang diduga. Efisien
Statistik sampel memiliki standar deviasi yang kecil. Konsisten Jika ukuran sampel meningkat, maka statistik sampel akan semakin mendekati parameter populasinya. 4.
Penaksiran Titik (Point Estimation) Pada penaksiran titik, kita menggunakan suatu nilai untuk menduga parameter populasi. Contoh: Mahasiswa
Berat Badan
Kara
85
Farhat
87
Evan
98
Lois
83
Anita
77
Untuk menduga rata-rata berat badan Statistics Teaching Assistant diambil 5 orang assistant statistik sebagai sample ̅ Maka dugaan untuk rata – rata berat badan assistant statistik adalah 86 5.
Penaksiran Interval (Interval Estimation) Macam-macam penaksiran interval:
1. Penaksiran Rata-rata Ada 3 rumus pendugaan interval rata-rata µ. a.
̅
√
̅
√
Rumus ini berlaku untuk sampel besar (n ≥ 30) dari populasi yang tak terbatas (infinite population) atau dari populasi terbatas (finite population) namun
≤
0,05. ̅
b.
√
√
̅
√
√
Rumus ini berlaku untuk sampel besar (n ≥ 30) dari populasi terbatas dengan > 0,05. ̅
c.
̅
√
√
Rumus ini berlaku untuk sampel kecil (n < 30), dengan menambahkan faktor koreksi √
di kedua sisi jika sampel dari populasi terbatas dengan
> 0,05.
Contoh Soal : Sebanyak 400 perusahaan swasta asing di Indonesia, seorang researcher menyatakan bahwa dari 80 perusahaan swasta asing di Indonesia yang ia teliti, modal perusahaan swasta asing yang berasal dari penjualan saham di bursa Rp 900 juta. Standar deviasi modal tersebut sebesar Rp 20 juta. Dengan tingkat signifikansi sebesar 5%, berapakah taksiran rata-rata modal perusahaan swasta asing dari penjualan saham di bursa? Dik:
N = 400 n = 80 ̅ = 900 s = 20 =
= 0,2 (menggunakan faktor koreksi)
Zα/2 = Z(1-α)/2 = Z0,475 = 1,96
Dit: P( ̅
√
√ ̅
√
√
) = 0,95
Jawab:
√
√
√
√
900 – 3,92490921 < µ < 900 + 3,92490921 896,075091 < µ < 903,92490921 Jadi, dengan tingkat signifikansi 5% rata-rata modal perusahaan swasta asing dari penjualan saham di bursa berkisar antara Rp 896,075091 juta sampai Rp 903,92490921 juta.
2. Penaksiran Proporsi Kata proporsi menunjukkan persentase dari suatu bagian atau unsur dari suatu bagian. Proporsi menunjukkan jumlah bagian tertentu dari suatu kelompok. Rumus penaksiran proporsi:
√
√
Rumus ini berlaku untuk sampel besar (n ≥ 30) dari populasi yang tak terbatas (infinite population) atau dari populasi terbatas (finite population) namun 0,05. Jika
> 0,05, gunakan faktor koreksi √
≤
√
√
√
√
Jika sampel kecil (n < 30), ganti Zα/2 menjadi tα/2.
√
√
Contoh Soal : Survey terhadap 22 calon pemilih menunjukkan bahwa 70% akan memilih Jokowi. Buatlah dugaan sebesar 99% confident level untuk proporsi calon yang akan memilih Jokowi! Dik:
n = 70 tα/2 = t0,005; 21 = 2,831 = 0,7
Dit: P(
√
√
Jawab: √
√
0,7 – 0,27659108 < π < 0,7 + 0,27659108 0,42340829 < π < 0,97659108 Jadi, dengan tingkat signifikansi 1% proporsi calon yang akan memilih Jokowi berkisar antara 42,340829% dan 97,659108%.
SOAL PENAKSIRAN RATA-RATA DAN PROPORSI 1. Untuk mengetahui rata – rata IPK mahasiswa Fakultas Audio Engineering Universitas Padjadjaran, tim peneliti memilih 21 mahasiswa dari 450 mahasiswa aktif Fakultas Audio Engineering. Ternyata rata – rata IPK dari 21 mahasiswa tersebut ialah 3,180 dengan simpangan baku 0,80. Buatlah pendugaan rata – rata IPK mahasiswa FEB Unpad yang sebenarnya dengan tingkat keyakinan 90%. Dik:
N = 450
n = 21
n/N = 0.04666667 < 0.05 ̅ = 3,180
s = 0,80
tα/2 = t0,05; 20 = 1,725 Dit: P ( ̅
√
̅
√
) = 0,90
Jawab:
√
√
2,878911684 < µ < 3.48108816 Jadi, dengan tingkat signifikansi 10% rata-rata IPK mahasiswa FAE Unpad ialah antara 2,878911684 sampai dengan 3.48108816
2. PT United Tractor memiliki 4000 pekerja di bagian head office. Masing-masing pekerja memiliki gaji berdasarkan jabatan atau posisinya. Dari 4000 pekerja tersebut, terdapat 2500 orang yang bekerja dengan jabatan staff. Staff-staff ini juga memiliki
gaji
yang
bervariasi
tergantung
pada
departemennya.
Dalam
penelitiannya, Vincent bertanya kepada 200 staff mengenai gaji yang mereka peroleh sebagai sample penelitiannya, sehingga diperoleh rata-rata gaji dari 200 staff tersebut 5325 (dalam ribuan rupiah) perbulan, dengan standar deviasi 1500 (dalam ribuan rupiah). Hitunglah taksiran interval rata – rata gaji staff PT United Tractor dengan tingkat signifikansi 1%.
Dik :
N = 2500
n = 200
n/N = 0.08 > 0.05
̅ = 5325
s = 1500
Zα/2 = Z(1-α)/2 = Z0,495 = 2,575 Dit : P( ̅
√
√ ̅
√
√
) = 0,99
Jawab :
√
√
√
√
5325 – 262,0199048 < µ < 5325 + 262,0199048 5062,980095 < µ < 5587,019905 Jadi, dengan tingkat signifikansi 1%., taksiran interval rata – rata gaji staff PT United Tractor antara Rp 5.062.980,09 sampai dengan Rp 5.587.019,905 3.
Ibu Jari Corporation yang bergerak di industri garmen memproduksi 700 pakaian setiap minggunya untuk didistribusikan ke berbagai macam toko pakaian di Bandung. Dari 220 pakaian yang diambil, terdapat 187 pakaian yang lolos uji
kualitas standar, sedangkan sisanya ditolak untuk didistribusikan karena tidak memenuhi spesifikasi standar. Dengan tingkat keyakinan 95%, tentukan interval estimasi proposi pakaian yang reject.
Dik :
N = 700
n = 220
n/N = 0.3143 > 0.05
x = (220-187) = 33 Dit : P(
√
Zα/2 = Z0,475 = 1,96 √
√
√
Jawab : √
√
√
√
√
√
√
√
0,1108995411 < π < 0,1891004589 Jadi, dengan tingkat keyakinan 95%, interval estimasi proporsi pakaian yang reject berkisar antara 11,08995411% sampai dengan 18,91004589%.
4.
Abigail ingin melihat efektivitas penggunaan internet pada penjualan. Dari 120 toko yang diambil sebagai sample, 95 toko menunjukkan peningkatan penjualan sebesar rata-rata 15 % dibandingkan ketika toko tersebut tidak melibatkan ecommerce dalam lingkup bisnisnya. Buatlah dugaan interval proporsi toko yang mengalami peningkatan penjualan dengan tingkat keyakinan 99 %.
Dik : n = 120
x = 95
Zα/2 = Z0,495 =
2,575 Dit : P(
√
√
Jawab : √
√
√
√
0,6962121677 < π < 0,8871278323 Jadi, dugaan interval proporsi toko yang mengalami peningkatan penjualan dengan tingkat keyakinan 99 % adalah 69,62121677% sampai 88,71278323 %.
5.
25 students from Unpad will depart to United States to be the delegations of Indonesia in World Music Conference. One of the eligibility is to have IELTS score more than 6,0. James, as one of those selected students wants to find out the average estimation of IELTS score of them. Therefore, he asked the score to 18 of his friends. He obtained that the average of his and 17 friends’ IELTS score is 6,45 with standard deviation of 0,4. With the significance level of 10%, determine the interval estimation of average of those students’ IELTS score. Given :
N = 25 ̅ = 6.45
n = 18
n/N = 0.2 > 0.05
s = 0.4
tα/2 = t0,05; 17 = 1,740
Question : P ( ̅
√
√ ̅
√
√
Answer : ̅
√
√ ̅
√
√
√
√
√
6,361403537 <
√
< 6,538596463
So with the significance level of 10%, the interval estimation of average of those selected students’ IELTS score is between 6,361403537 and 6,538596463.
6. The marketing assistant manager of iTunes music store has conducted the customer survey to assess the customer’s preference of 2 options men singers. The options are David Archuleta and Chris Brown. Based on the survey result, 90 of 150 respondents choose David Archuleta, while the rest go on Chris. Estimate the proportion of people choosing David Archuleta with confidence level of 95%. Given : n = 150 Question : P(
x = 90 √
Zα/2 = Z0,475 = 1,96 √
Answer : √
√
√
√
0,5216 < π < 0,6384
Therefore, the proportion of people choosing David Archuleta with confidence level of 95% is among 52,16 % and 63,84 % 7. The Creative Minister of United States conducts research related to music. Taken 21 of 121 companies running in music industry, the average of songs released daily for U.S. residents to listen is 18. This number of songs usually deviate 4 each day. Based on the information retrieved, calculate the interval estimation of average of songs released in United States with the significance level of 2%. Given : N =121
̅ = 18
n = 21
s=4
tα/2= t0,01
;20
=
2,528 n/N = 0.173554 > 0.05 Question : P ( ̅
√
√
̅
√
√
Answer : ̅
√
√
√ ̅
√
√
√
15,98564138 <
√
√
< 20,01435862
Therefore, with the significance level of 2%, interval estimation of average of songs released in United States is between 16 and 20 songs. 8. The annual scholarship sponsored by United States Ambassador is given to Indonesian and Brunei Darussalam citizens. Each year there are 75 available scholarships to grant.
28 scholarships were taken as sample, 65% of them were granted to Indonesian and the rest to Brunei. With the significant level of 5% compute the interval estimate of proportion of scholarships granted to Brunei. Given : N = 75
n = 28
=
tα/2= t0,025 ;27 = 2,052 n/N =
= 0,3733333 > 0.05 √
Question : P(
√
√
√
Answer : √
√
√
√
√
√
√
√
0,2026060087 < π < 0,4973939913 So, the interval estimate of proportion of scholarships granted to Brunei is between 0,2026060087 and 0,4973939913.
PENAKSIRAN SELISIH RATA-RATA DAN SELISIH PROPORSI
Penaksiran Selisih Rata-Rata Apabila kita hendak menaksir perbedaan rata-rata ( 1
2 )
pada dua populasi, maka kita bisa
menaksir rata-rata populasi tersebut dengan menggunakan statistik sampel rata-rata
( x1 x2 ) .
Jika sampel yang diambil dari populasi ke satu berukuran n1 dan simpangan baku s1 dengan rata-rata
x1
dan sample yang diambil dari populasi ke dua berukuran n2 dan simpangan baku
x2 ,
s2 dengan rata-rata
maka titik taksiran selisih rata-rata populasi
(1 2 ) adalah
( x1 x2 ) . 1. Untuk sample besar
(n1 30 & n2 30)
2
( x1 x2 ) Z
1 2
n1 2
( x1 x2 ) Z
2
2
2
n2 2
1 2 ( x1 x2 ) Z
2 1 2
n1 2
2
2
n2 2
s1 s s1 s 2 1 2 ( x1 x2 ) Z 2 2 n1 n2 n1 n2
*)
(n1 30 & n2 30)
2. Untuk sample kecil 2
( x1 x2 ) t
2
1
n1
2
2
( x1 x2 ) t
2
2
n2
1 2 ( x1 x2 ) t
2 1
n1
2
2
2
2
2
n2 ; df n1 n2 2 * *)
2
s1 s 2 s1 s 2 1 2 ( x1 x2 ) t 2 n1 n2 n1 n2
(n1 1)s1 (n2 1)s2 1 1 (n 1)s (n 1)s 1 1 ( ) 1 2 ( x1 x2 ) t 1 1 2 2 ( ) 2 n1 n2 2 n1 n2 n1 n2 2 n1 n2 2
( x1 x2 ) t
2
2
2
2
* **)
Catatan :
*) Digunakan bila
dan
tidak diketahui nilainya
* *)Digunakan bila
dan
tidak diketahui nilainya dan diketahui
* **)Digunakan bila
dan
tidak diketahui nilainya dan diketahui
Contoh Soal Sekelompok kolektor barang-barang jadul melakukan penelitian terhadap umur 2 merk mobil. Merk STATIS memiliki rata-rata umur 7700 jam dengan simpangan baku 400 jam, sedangkan Merk TIKA memiliki rata-rata umur 5500 jam dengan simpangan baku 300 jam. Apabila diambil sampel acak sebanyak 200 unit, berapakah selisih rata-rata umur kedua merk tersebut dengan Cl 95%? Penyelesaian Dik : = 200
̅
̅
7700
= 160.000
̅= ̅
= 200
5500
= 90.000
Dan untuk tingkat kepercayaan 95%, maka:
⇒
⁄
Maka selisih rata-ratanya: 2
( x1 x2 ) Z
1 2
n1
2
2
n2
1 2 ( x1 x2 ) Z
(7700– 5500) – 1.96 √
2 1
n1
2
2
2
n2
< µx - µy < (7700– 5500) +1.96 √
2200 – 69.29646456< µx - µy < 2200 + 69.29646456 2130.703535 < µx - µy < 2269.296465 maka selisih rata -rata daya tahan kedua barang tersebut dengan tingkat kepercayaan 95 % adalah 2130.703535 jam sampai dengan 2269.296465 jam.
Penaksiran Selisih Proporsi Hal yang sama untuk taksiran selisih proporsi populasi ke satu berukuran n1 dan terdapat
( 1 2 ) .
Jika sample yang diambil dari
kejadian dari n1 sampel atau percobaan dan
sample yang diambil dari populasi ke dua berukuran n2 dan terdapat atau percobaan, maka titik taksiran selisih proporsi populasi dimana p1
x1 x2 dan p 2 n1 n2
kejadian dari n2 sampel
( 1 2 ) adalah ( p1 p2 )
1. Untuk sample besar
(n1 30 & n2 30)
x1 x1 x2 x2 x1 x1 x2 x2 *) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 x x x1 xx2 1 1n 1 1n )* *) n n n x n n n (( x11x2 )2 ) Z ( 1 )( ) ( ) Z ( 1 )( 1 1 2 2 1 2 1 1 Z 2 n n 11 22 ( n n ) Z 2 n 2 n 2) 1 n 2 1 n 2 1 n 2 2 2 nn11 nn2 2 n1 n n 2 1 2 1 2
2. Untuk sample kecil (n1 30 & n2 30) x1 x x2 x x1 x x2 x (1 1 ) (1 2 ) (1 1 ) (1 2 ) x1 x 2 n1 n1 n 2 n2 x1 x 2 n1 n1 n 2 n2 ( ) t 1 2 ( ) t 2 2 n1 n 2 n1 n2 n1 n 2 n1 n2
*)
; df n1 n2 2
* *) 1 x1 x2 x1 x2 1 1 1 ( ) t (1 )( ) 1 2 ( ) t (1 )( ) 2 2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2
Catatan : 1.Bila x1, x2, n1 & n2 masing-masing dinyatakan dengan bilangan bulat positif, persoalan penaksiran tersebut dapat diselesaikan atau dipecahkan dengan menggunakan rumus *) atau **). 2.Akan tetapi bila x1/n1, x2/n2 masing-masing dinyatakan dengan bilangan dalam bentuk rasio atau persen maka hanya digunakan rumus *). Contoh Soal : Perusahaan elektronik IHSG mengambil sampel random produk kamera sebanyak 130 buah dan 26 diantaranya adalah cacat. Sampel yang lain dari perusahaan PUSH yang juga mengambil random produk kamera sebanyak 200 buah dan 30 diantaranya cacat. Dengan
mengetahui bahwa kualitas produksi kamera kedua perusahaan ialah sama, berapa beda 2 proporsi kerusakan produk dengan Cl 95%? Penyelesaian (manual) Dik : = 26 = 30
C.l = 95 % ⁄
= 1.96
Solusi:
x x ( 1 2 ) Z 2 n1 n2
x1 x x x x1 x x x (1 1 ) 2 (1 2 ) (1 1 ) 2 (1 2 ) n1 n1 n2 n2 x x n1 n1 n2 n2 1 2 ( 1 2 ) Z 2 n1 n2 n1 n2 n1 n2
(
- 1.96 √(
√(
)
)
1
–
2
< (
)
+ 1.96
)
0.05 – 0.08471802097 < π1 – π2 < 0.05 + 0.08471802097 -0.03471802097 < π1 – π2 < 0.13471802097 Kesimpulan : Dengan tingkat kepercayaan 95 %, rentang taksiran selisih proporsi kerusakan antara dua produk elektronik tersebut adalah sebesar -3.47% sampai dengan 13.47 %.
SOAL PENAKSIRAN SELISIH RATA-RATA DAN SELISIH PROPORSI
1. Selama 10 tahun terakhir rata-rata curah hujan di suatu daerah selama bulan November adalah 5,08 cm3 dengan standar deviasi 1,15 cm3. Di daerah lain, catatan serupa selama 5 tahun terakhir menunjukkan bahwa rata-rata curah hujan selama bulan November adalah 2,42 cm3 dengan standar deviasi 0,98 cm3. Tentukan CL 95% bagi beda rata-rata curah hujan selama bulan Mei di kedua daerah tersebut! (Asumsi : pengamatan berasal dari dua populasi normal dengan ragam yang berbeda) Penyelesaian Diket
: ̅̅̅ = 5,08
s1 = 1,15
n1 = 10
̅̅̅ = 2,42
s2 = 0,98
n2 = 5
Jawab : 2
( x1 x2 ) t
1 2
n1
2
2
n2
1 2 ( x1 x2 ) t
(5,08 – 2,42) – 2,1604 √
2 1 2
n1
2
2
n2
< µx - µy < (5,08 – 2,42) +2,1604 √
2,66 – 1,230347326 < µx - µy < 2,66 + 1,230347326 1,429652674 < µx - µy < 3,890347326 Kesimpulan
: Jadi selisih rata-rata curah hujan yang sebenarnya selama bulan
November di kedua daerah tersebut berada dalam rentang 1,429652674 cm3 sampai 3,890347326 cm3.
2. Untuk mengetahui apakah ada perbedaan rata-rata jajan bulanan bagi para siswa Sekolah Dasar dari 2 sekolah yaitu SD Pemakmuran dan SD Cinta
Damai, maka dilakukan wawancara terhadap 8 siswa SD yang dipilih secara acak sebagai sampel masing-masing sekolah. Hasilnya sebagai berikut :
Siswa
1
Jajan/bln
2
3
4
5
6
7
8
Pemakmuran
20 35 45 36 39 25 42 28
(dlm puluhan Cinta Damai
30 26 21 35 19 38 24 39
ribu rupiah)
Tentukan penaksiran interval dari selisih rata-rata gaji tersebut dengan derajat kepercayaan 98%! Penyelesaian ̅
∑ ̅
∑
Rp 337.500, Rp 290.000,̅
=∑
̅
=∑
( x1 x2 ) t
Rp 86.808,-
=
Rp 77.090,-
=
(n1 1)s1 (n2 1)s2 1 1 (n1 1)s1 (n2 1)s2 1 1 ( ) 1 2 ( x1 x2 ) t ( ) 2 n1 n2 2 n1 n2 n1 n2 2 n1 n2 2
2
(33,75 – 29) – 2,6245 √
2
2
< µ 1 - µ2 <
(33,75 – 29) + 2,6245 √ 4,75 – 2,6245 (4,104658938) < µ1 - µ2 < 4,75 + 2,6245 (4,104658938)
2
p (-6,022677384 < µ1 - µ2 < 15,52267738) = 98% Jadi dengan Cl 98%, interval rata-rata jajan/bulan siswa SD Pemakmuran dan SD Cinta Damai antara Rp 60.227,00 sampai dengan Rp 155.227,00
3. An Indonesian student studying in Korea trying to do research about Korean people who conduct plastic surgery over their face. She visited hospital in Seoul and found out that out of 300 female patients, 210 were gone plastic, while out of 300 male patient, 126 were classic. Construct and interpret estimate for the difference between the population proportion of who are gone plastic in Korea among the male and female patients. Solution
Given
Determine
: n1 = 300
n2 = 300
x1 = 210
x2 = 174
: interval estimate for the difference between the population proportion?
Answer
⁄
(
x1 x2 ) Z 2 n1 n2
:
⁄
x1 x x2 x x1 x x2 x (1 1 ) (1 2 ) (1 1 ) (1 2 ) n1 n1 n n2 x x n1 n1 n n2 2 1 2 ( 1 2 ) Z 2 2 n1 n2 n1 n2 n1 n2
1.96√
0.70 0.5
0.7 (0. ) 300
0.5 (0.42) <π1 π2 < 300
1.9 √
So, with 5% significance level, the interval estimation for the difference between the
population proportion of who are gone plastic in Korea among the male and female patients is between 4.379 % and 19.621 %.
4. During the advertisement project in Avocado Corporation, the project manager would like to know the creativity and innovation created by his employees, taken from two different division. 15 employees from Editor division and 13 from Creative. As the result, 6 ideas from Editor were accepted by the customers and was proved increasing the sales of customers, while 8 ideas obtained from Creative team. Based on the data, help the project manager to determine the interval of difference between proportion of Editor and Creative team about their bright mind with the significance level of 1%. Solution Given:
= 15 = ⁄
= 13 =
= 0.6154
= 2.7787
x x ( 1 2 ) t 2 n1 n2
x1 x x x x1 x x x (1 1 ) 2 (1 2 ) (1 1 ) 2 (1 2 ) x x n1 n1 n2 n2 n1 n1 n2 n2 1 2 ( 1 2 ) t 2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 – 2.7787 √
< π1 – π2 <
+ 2.7787 √
or
-0.2154 - 0.513919587 < π1 – π2 < -0.2154 + 0.513919587 -0.729319587 < π1 – π2 < 0.298519587 So, with the significance level of 1% the interval of difference between proportion of Editor and Creative team about their bright mind is between 29.852 % and 72.932 %.
5. The results of a study conducted as part of a yield-improvement effort at a semiconductor manufacturing facility provided defect data for sample of 500 biscuits. The following contingency table presents a summary of the responses to two questions: ”was a particle found on the process of
producing the
biscuit?” and “is the biscuit good or bad?” Quality of water PARTICLES
Good
Bad
Total
Yes
20
40
60
No
355
85
440
Total
375
125
500
Construct and interpret a 90% confidence interval estimate of the difference between the population proportion of good and bad wafers that contain particles! Solution Given:
= 375
= 125
= ⁄
=
= 0.32
= 1.645
Jawab:
(
x1 x2 ) Z 2 n1 n2
x1 x x x x1 x x x (1 1 ) 2 (1 2 ) (1 1 ) 2 (1 2 ) x x n1 n1 n2 n2 n1 n1 n2 n2 1 2 ( 1 2 ) Z 2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 – 1.645 √
< π1 – π2 <
+ 1.645 √
or
-0.2667 – 0.07123738219 < π1 – π2 < -0.2667 + 0.07123738219 -0.3379373822 < π1 – π2 < -0.1954626178 With 90% confidence level, interval estimate of the difference between the population proportion of good and bad wafers that contain particles is between 19.5463 % and 33.7937 %, the proportion of bad wafers containing particles is larger than proportion of the good one.
6. Dari hasil sebuah proses produksi dikirim ke lokasi Buah Batu sebanyak 31 buah barang, ternyata rata-rata masa pakainya 200 menit dengan deviasi standar 20 menit. Barang itu juga dikirim ke lokasi Rancaekek sebanyak 20 barang dan ternyata mempunyai rata-rata masa pakainya 180 menit dengan deviasi standar 15 menit. Tentukanlah selisih rata-rata masa pakai barang yang dikirim pada kedua lokasi tsb dengan derajat kepercayaan 1% ? Penyelesaian Dik : = 31
̅ = 200
= 400
̅ = 180
= 20
= 225
Dan untuk tingkat signifikansi 1%, maka:
⇒
⁄
Maka selisih rata-ratanya: 2
( x1 x2 ) Z
1 2
n1
2
2
n2
(200– 180) – 2,575 √
1 2 ( x1 x2 ) Z
2 1 2
n1
2
2
n2
< µx - µy < (200– 180) +2,575 √
20 – 12,65507736 < µx - µy < 20 + 12,65507736 7,344922645 < µx - µy < 32.65507736 maka selisih rata-rata masa pakai barang yang dikirim kedua lokasi dengan tingkat kepercayaan 99% adalah 7.344922645 menit sampai dengan 32.65507736 menit.
7. Dalam mengerjakan skripsinya, seorang mahasiswa ingin mengadakan sebuah survey dengan tujuan mengetahui waktu tunggu layanan perbankan dan rumah sakit. Untuk itu dilakukan pengamatan pada data-data waktu tunggu setiap pelanggan selama satu periode yang didapat dari dua sektor usaha tersebut. Data berikut merupakan waktu tunggu dari sampel yang dipilih secara acak 10 pelanggan : Waktu tunggu (dalam menit) Perbankan
9,3
5,9
6,2
8,5
5,6
2,7
8.9
7,3
7,9
6,4
Rumah Sakit
4,2
6,3
5,4
8,7
4,4
2,5
4,9
8,8
7,8
6,5
Asumsikan varians populasinya sama, tentukanlah batas-batas taksiran selisih rata-rata waktu tunggu hasil survei mahasiswa tersebut dengan tingkat signifikansi 10%? Jawab : Dik: = 10
= 10
̅ = 6.87
̅ = 5.95
= 3.837888889 C.l = 90 %
= 4.256111111 ⁄
= 1.7341 (df = 10 + 10 -2 = 18)
Solution
( x1 x2 ) t
(n1 1)s1 (n2 1)s2 1 1 (n1 1)s1 (n2 1)s2 1 1 ( ) 1 2 ( x1 x2 ) t ( ) 2 n1 n2 2 n1 n2 n1 n2 2 n1 n2 2
2
2
(6.87-5.95) – 1.734 √
2
2
< µ1 - µ2<
(6.87-5.95) + 1.734√ -0.6401118596 < µ1 - µ2 < 2.48011186 Dengan tingkat sigifikansi 10%, maka batas-batas taksiran selisih rata-rata waktu tunggu hasil survei mahasiswa berkisar antara -0.6401118596 menit sampai 2.48011186 menit
8.
David as the musician of United States was testing the piano in Nokia Theatre.
50 pianos were taken as sample, and after the testing, he found that 14 of them were out of pitch. Then he asked the officer to settle up the pitchy piano. While the day after, he visited Rascal Flatts and found 8 pitchy piano out of 30 he was testing on.
Calculate the estimate interval for difference between
proportion of pitchy piano in Nokia and Rascal with confidence level of 95%. Solution : Given : = 50
= 30
=
=
⁄
= 0.2667
= 1.96
Jawab:
(
x1 x2 ) Z 2 n1 n2
x1 x x x x1 x x x (1 1 ) 2 (1 2 ) (1 1 ) 2 (1 2 ) x x n1 n1 n2 n2 n1 n1 n2 n2 1 2 ( 1 2 ) Z 2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 – 1.96 √ + 1.96 √
< π1 – π2 < or
0.0133 – 0.201327752 < π1 – π2 < 0.0133 + 0.201327752 -0.188027752 < π1 – π2 < 0.214627752
Therefore, the estimate interval for difference between proportion of pitchy piano in Nokia and Rascal with significance level of 5% is between 18.8027752 % and 21.4627752 %.
UJI HIPOTESIS RATA-RATA DAN PROPORSI Hipotesis adalah sebuah dugaan atau referensi yang dirumuskan serta diterima untuk sementara yang dapat menerangkan fakta-fakta yang diamati dan digunakan sebagai petunjuk dalam pengambilan keputusan.(Suharyadi; 2009).
Pengujian Hipotesis Pengujian hipoitesis adalah prosedur yang didasarkan pada bukti sampel yang dipakai untuk menentukan apakah hipotesis merupakan suatu pernyataan yang wajar dan oleh karenanya tidak ditolak atau hipotesis tersebut tidak wajar dan kerena itu ditolak.
Perumusan Hipotesis Perumusan hipotesis dikembangkan menjadi hipotesis nol dan hipotesis alternatif. a. Hipotesis Nol(Ho) - Hipotesis nol dilambangkan dengan Ho dan diformulasikan untuk ditolak sesudah pengujian. - Memprediksi tidak adanya perbedaan antara satu kondisi dengan kondisi yang lain. b. Hipotesis Alternatif (Ha) - Hipotesis alternatif (Ha) merupakan hipotesis yang diterima ketika menolak hipotesis nol (Ho) dan berlaku sebaliknya. - Memprediksi adanya perbedaan antara satu kondisi dengan kondisi lain. Contoh : 1. Ho : Rata-rata nilai Bahasa Inggris mahasiswa kelas A sama dengan rata-rata nilai Bahasa Inggris mahasiswa kelas B
2. Ha : Rata-rata nilai Bahasa Inggris mahasiswa kelas A tidak sama dengan ratarata nilai Bahasa Inggris mahasiswa kelas B
Uji Hipotesis Rata-Rata Adalah pengujian mengenai hipotesis rata-rata suatu populasi yang didasarkan atas informasi sampelnya. Langkah-Langkah Menguji Rata-Rata Populasi(µ):
1. Rumuskan Hipotesis a.
:
=
(pengertian sama/uji 2 pihak)
: b.
: :
c.
(uji 1 pihak kanan/ pengertian max) >
: :
(uji 1 pihak kiri/ pengertian min) <
2. Perhitungan Z stat dan t stat Perhitungan Z stat: bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan gunakan faktor koreksi √ ̅ √ √
,
bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan atau bila populasinya tidak terbatas (N tidak diketahui nilainya) ̅ √ Bila standar deviasi populasi ( ) tidak diketahui dapat diganti dengan standar deviasi sampelnya (s).
Perhitungan t stat, ketika n < 30 bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan
,
gunakan faktor koreksi √ ̅ √ √ bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan atau bila populasinya tidak terbatas (N tidak diketahui nilainya) ̅ √ Bila standar deviasi populasi ( ) tidak diketahui dapat diganti dengan standar deviasi sampelnya (s).
3. Menentukan batas daerah penerimaan dan penolakan: a.
n > 30, tentukan nilai Z table
Z1/2α =
Zα =
Ket : Z1/2α =
α
Z table untuk uji 2 pihak
Zα = Z table untuk uji 1 pihak n
30, tentukan nilai t table dengan derajat kebebasan (degree of
freedom/df) t1/2α =
t table untuk uji 2 pihak
tα =t table untuk uji 1 pihak df = n -1 b. Gunakan α (tingkat signifikasi) c. Gambarkan daerah penolakan dan penerimaan hipotesis nol berdasarkan langkah 1 i. Uji 2 pihak
Daerah penolakan H (daerah kritis )
Daerah penolakan H (daerah kritis )
Daerah penerimaan H
?
Z1/2α
-Z1/2α
ii. Uji 1 pihak kanan
Daerah penolakan H (daerah kritis) Daerah penerimaan H
Zα
iii. Uji 1 pihak kiri
Daerah penolakan H (daerah kritis)
Daerah penerimaan H
-Zα
Keterangan : Daerah yang diasir adalah daerah penolakan Ho dan untuk n
30, Z diganti dengan t.
4. Menentukan kriteria penerimaan atau penolakan (1) Untuk uji 2 pihak : Z <- atau Z > 2
Jika ≤ Z ≤ 2
2
2
Ho ditolak Ho tidak dapat ditolak
(2) Uji 1 pihak kanan : Z > , Ho ditolak Z ≤ , Hotidak dapat ditolak (3) Uji 1 pihak kiri :
Z < Ho ditolak Z ≥ Hotidak dapat ditolak
Nilai Z diganti dengan t jika n
30.
5. Bandingkan nilai Z atau t (yang diperoleh pada tahap 2) dengan Z atau t table serta simpulkan apakah Ho tidak dapat ditolak atau ditolak berdasarkan kriteria penerimaan/penolakan. 6. Membuat kesimpulan secara komprehensif/lengkap
Contoh Soal: Berat dari ensiklopedia yang diproduksi oleh percetakan Gramedia memiliki rata-rata 1900 gram dengan standar deviasi 100 gram. Dengan menggunakan teknik produksi baru, percetakan Gramedina mengklaim bahwa berat ensiklopedia dapat dikurangi. Untuk menguji klaim ini, diambil sampel sebanyak 50 buah ensiklopedia, dan diketahui bahwa rata-rata berat ensiklopedi adalah 1850 gram. Dapatkah klaim dari percetakan Gramedina dibenarkan pada tingkat signifikansi 1%?
Jawab : α = 1%
Dik : n = 50
σ = 100
= 1850
1. Ho : μ = 1900 (Berat ensiklopedia tidak dapat dikurangi menggunakan teknik produksi baru) Ha : μ < 1900 (Berat ensiklopdia dapat dikurangi menggunakan teknik produksi baru) 2.
̅
= -3,5355
√
√
3. = 2,325 4. Kriteria Uji : Uji 1 pihak kiri : Z < Ho ditolak Z ≥ Ho tidak dapat ditolak 5. Daerah penolakan Ho (
Daerah penerimaan Ho
-Zα
6. Ternyata -3,5355 < 2,325 maka Ho ditolak Kesimpulan : Pada tingkat signifikansi 1%, hipotesis percetakan Gramedia mengenai berat ensiklopedia dapat dikurangi dengan menggunakan teknik produksi baru adalah benar. Uji Hipotesis Proporsi Adalah pengujian hipotesis mengenai proporsi/perbandingan suatu populasi yang didasarkan atas informasi sampelnya. Langkah – langkah menguji proporsi populasi (
:
a. Rumuskan Hipotesis a.
:
=
(uji 2 pihak)
: b.
:
(uji 1 pihak kanan/ pengertian max) :
c.
>
: :
(uji 1 pihak kiri/ pengertian min) <
2) Perhitungan Z stat dan t stat (Z hitung atau t hitung) Perhitungan Z stat: bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan
gunakan faktor koreksi
,
( )
Z= √
bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan atau bila populasinya tidak terbatas (N tidak diketahui nilainya)
Ket : x/n = proporsi sampel π = proporsi populasi
Perhitungan t stat: bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan gunakan faktor koreksi
( )
t= √
bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan atau bila populasinya tidak terbatas (N tidak diketahui nilainya) t=
( )
; df : n – 1
√
3) Menentukan batas daerah penerimaan dan penolakan
,
a. n > 30, tentukan nilai Z table Z1/2α =
α
Zα =
Ket : Z1/2α =
Z table untuk uji 2 pihak
Zα = Z table untuk uji 1 pihak n
30, tentukan nilai t table dengan derajat kebebasan (degree of
freedom/df) t1/2α =
t table untuk uji 2 pihak
tα = t table untuk uji 1 pihak df = n -1 a. Gunakan tingkat signifikansi ( b. Gambarkan daerah penolakan dan penerimaan hipotesis nol berdasarkan langkah 1. i. Uji 2 pihak
Daerah penolakan H (daerah kritis )
Daerah penolakan H (daerah kritis )
Daerah penerimaan H
?
Z1/2α
-Z1/2α
ii. Uji 1 pihak kanan
Daerah penolakan H (daerah kritis) Daerah penerimaan H
Zα
iii. Uji 1 pihak kiri
Daerah penolakan H (daerah kritis)
Daerah penerimaan H
-Zα
Keterangan : Daerah yang diasir adalah daerah penolakan Ho dan untuk n
30, Z diganti dengan t.
4. Menentukan kriteria penerimaan atau penolakan (1) Untuk uji 2 pihak : Z <- atau Z > 2
Jika ≤ Z ≤ 2
2
2
Ho ditolak Ho tidak dapat ditolak
(2) Uji 1 pihak kanan : Z > , Ho ditolak Z ≤ , Hotidak dapat ditolak (3) Uji 1 pihak kiri :
Z < Ho ditolak Z ≥ Hotidak dapat ditolak
Nilai Z diganti dengan t jika n
30.
5. Bandingkan nilai Z atau t (yang diperoleh pada tahap 2) dengan Z atau t table serta simpulkan apakah Ho tidak dapat ditolak atau ditolak berdasarkan kriteria penerimaan/penolakan.
6. Membuat kesimpulan secara komprehensif/lengkap
Contoh Soal: Pelatih Timnas U-19 sangat yakin bahwa dengan adanya Tur Pertandingan di Timur Tengah maka performa pemainnya akan meningkat. Pada tahun 2014 dari 30 pemain yang mengikuti tur, sebanyak 26 pemain menunjukan peningkatan performa dan 4 pemain lainnya mengalami penurunan. Dari data tersebut ujilah pernyataan bahwa 90% lebih pemain mengalami peningkatan performa dengan taraf nyata 5%! α = 5%
Dik : x = 26
π = 90%
n = 30
Dit : Ujilah pernyataan tersebut
Jawab : : π ≥ 0.9
1.
: π < 0.9 2. t =
( 90% lebih pemain mengalami peningkatan performa )
( Tidak 90% lebih pemain mengalami peningkatan performa )
( )
=
√
√
t = - 0,6086 3. tα
df : n – 1 = 29
Lihat table t; maka tα = 1,6991
α= 0,05 4. Kriteria uji :
Uji 1 pihak kiri : t < tα , t
Daerah Penolakan Ho
tα ,
ditolak tidak dapat ditolak
Daerah penerimaan Ho
-tα
5. Ternyata : - 0,6086> -1,6691; maka t >tα ,
tidak dapat ditolak
Kesimpulan : Dengan tingkat signifikansi 5%, maka pernyataan bahwa bahwa 90% lebih pemain mengalami peningkatan performa adalah benar.
SOAL UJI HIPOTESIS RATA-RATA DAN PROPORSI 1. Produsen dari suatu obat yang dipatenkan mengklaim bahwa obat tersebut 80% efektif mengobati alergi dalam periode waktu 9 jam. Dari sampel yang terdiri dari 200 orang yang memiliki alergi, obat tersebut menyembuhkan 170 orang. Tentukan apakah klaim dari perusahaan tersebut dapat dibenarkan dengan menggunakan tingkat signifikasi 0,01. Jawaban: Dik : n = 200; α = 1%; X = 170 Dit : Ujilah pertanyaan tersebut. Jawab: Ho : π = 0% Ha : π< 0% (uji pihak kiri) 1. Z =
( ) √
Z=
(
)
√
Z = 1,7677 2. Kriteria uji : uji 1 pihak kiri : Z < Zα, Ho ditolak Z ≥ Zα Ho tidak dapat ditolak 3. T e r n y a Daerah penerimaan Ho -Zα = -2,325
ta 1,7677 > -2,325; Z > Zα Ho tidak dapat ditolak 4. Kesimpulan : pada tingkat signifikasi 1% pernyataan perusahaan obat tersebut bahwa obat tersebut 80% efektif mongobati alergi dalam periode waktu 9 jam adalah benar karena perbendaannya tidak terlalu signifikan.
2. Rata-rata daya tahan dari suatu sampel yang terdiri dari 100 bola lampu yang dihasilkan oleh suatu perusahaan diperkirakan 1670 jam dan standar deviasinya 120 jam. Jika rata-rata dari semua bola lampu yang dihasilkan oleh perusahaan tersebut adalah 1700 jam. Ujilah pernyataan perusahaan tersebut dengan tingkat signifikasi 5%. Jawaban: α = 5%
Dik : n = 100
̅ = 1670
s = 120
Dit : Ujilah pernyataan tersebut. Jawaban : 1.
Ho :
= 1700 jam
Ha : ≠ 1700 jam 2.
̅ √ √
Z = -2,50 3.
Kriteria uji : uji dua pihak : Z <- atau Z > 2
2
Ho ditolak
-Z1/2α
Jika ≤ Z ≤ 2
Z1/2α = 1,96
= -1,96
2
Ho tidak dapat ditolak
4.
Ternyata -2,50 < -1,96, Z <- Ho ditolak
5.
Kesimpulan : pada tingkat signifikasi 5% pernyataan perusahaan tersebut
2
bahwa rata-rata daya tahan lampu adalah 1700 jam adalah salah karena terdapat perbedaan yang signifikan.
3. A car showroom wanted to know wheather the customers who bought cars on credit to pay the credits on the date specified. According to the showroom, customers who pay on time was 50%. To prove an opinion, the showroom has entered into a randomized study of 100 customers who bought cars on credit. a. In this case, what is the null hypothesis and alternative hypothesis? b. Is the alternative hypothesis one-sided or two-sided c. Suppose that this car showroom finds that 43% of the customers in its sample remembered the ad. If alpha is set equal to 5%, should the car showroom conclude that the proportion is less than 0,5? State the decicision rule! Give the formula for the test statistics! Jawaban : Dik : n = 100
α = 5%
Dit : a. Tentukan Ho dan Ha b. Ha uji satu sisi atau dua sisi c.Jika showroom mobil itu menemukan bahwa 43% dari langganan salam sample mengingat pembayaran kredit tersebut. Jika tingkat signifikasi 5%, haruskah showroom mobil menyimpulkan bahwa proporsi populasi kurang dari 0,5? Tentukan kriteria ujinya! Berikan rumus perhitungannya! Jawab : a. Ho :
= 50%
Ha : b. Uji dua pihak, kareana ingin mengetahui apakah yang membayar kredit tepat waktu sama dengan 0,5 atau tidak Z < Ho ditolak
c. Kriteria uji:
Z ≥ Hotidak dapat ditolak
-Zα = -1,645 d.
Ternyata -1,4 > -1,645 Ho tidak dapat ditolak
e. Kesimpulan : pada tingkat signifdikasi 5%, jika ditemukan bahwa 43% pelanggan pada sampel mengingat pembayaran kredit tersebut maka
showroom mobil tidak dapat menyimpulkan bahwa proporsi populasi kurang dari 0,5.
4. PT. Otomotif Indonesia Jaya melakukan suatu sistem produksi baru dengan tujuan untuk mengurangi masalah produk yang rusak. Perusahaan menginginkan bahwa tidak boleh ada lebih dari 10 unit yang rusak dalam sehari. Selama pengamatan 32 hari ternyata rata-rata jumlah produk yang rusak adalah 9 unit, dengan standar deviasi sebesar 2 unit. Dengan menggunakan taraf nyata 1%, apakah target PT. Otomotif Indonesia Jaya tercapai? Dik : n = 32
= 1%
s=2
μ = 10
=9
Dit : Apakah target perusahaan tersebut tercapai? Jawab : : μ ≤ 10 : μ > 10 ̅ √
√
Z = -2,828 Zα = 2.325
Kriteria : Z >
,
ditolak
,
tidak dapat ditolak
Zα = 2,325 Ternyata : -2,828< 2.325, maka Z <
,
tidak dapat ditolak
Kesimpulan : Dengan tingkat signifikansi 1%, maka PT Otomotif Indonesia Jaya dapat menurunkan tingkat produknya yang rusak dengan menggunakan sistem produksi baru.
5. Suatu perusahaan mengklaim bahwa paling sedikit 95% dari peralatan yang dipasok ke suatu pabrik adalah sesuai dengan spesifikasi. Suatu pengujian dari sampel yang terdiri dari 200 buah peralatan menperlihatkan bahwa 22 diantaranya rusak. Ujilah klaim mereka pada tingkat resiko 5%. α = 5%
Dik : n = 200
x = 22 buah
Dit : ujilah pernyataan tersebut Jawaban : Ho : π≥ 95% Ha : π< 95% Z=
( ) √
=
(
)
= -3,8933
√
Uji 1 pihak kiri : Z < Ho ditolak Z ≥ Hotidak dapat ditolak Ternyata -3,8933 < - 1,645 Ho ditolak.
Dengan tingkat signifikansi sebesar 5%, pernyataan bahwa paling sedikit 95% peralatan yang dipasok ke suatu pabrik sesuai dengan spesifikasi adalah salah 6. Sebuah Perusahaan yang bergerak dalam bidang pernjualan deterjen ingin menguji kebenaran pendapat mereka bahwa kotak deterjen mereka dijual lebih dari 500 gram deterjen. Berdasarkan pengalaman yang telah lalu, jumlah deterjen dalam kotak berdistribusi normal. Untuk menguji pernyataan tersebut, perusahaan mengambil sampel secara acak sebanyak 25 kotak dan menemukan bahwa rata-ratanya adalah 525 gram dan simpangan bakunya 75 gram dengan tingkat signifdikasi 5%. Ujilah apakah pernyatann perusahaan deterjen tersebut adalah benar. Dik : n = 25
α = 0,05
525 g
s = 75 g
Dit : uji pernyataan tersebut Jawaban : Ho : µ≤ 500 Ha : µ> 500 t
̅ √
t=
̅̅̅̅̅ √
= 1,667
Uji 1 pihakkanan :t>tα, Ho ditolak t ≤ tα, Hotidakdapatditolak df = n -1 = 25 -1 = 24; α = 5%
tα = 1,711
Ternyata 1,667 < 1,711 Ho tidak dapat ditolak
Kesimpulan : dengan tingkat signifikasi 5% perusahaan deterjen tersebut bahwa kotak deterjen yang diproduksi berisi lebih dari 500g deterjen adalah salah. Kotak yang berisi 500 g deterjen karena perbedaanya tidak signifikan.
7. An inventor has developed a system that allows visitors to museum, zoos, and other attractions to get information by keying in a digital code on a rented device. For example, zoo patrons can listen to an annoouncement (recorded on a microchip) about each animal they see. It is anticipated that the device would rent for 3 dollar each. The installations cost for the complete system is expected to be about 4 hundred thousand dollar. The Milwauke Zoo is interested in having the system installed, but management is uncertain as to whether to take the risk. A financial analysis of the problem indicates that if more than 10% of the zoo visitors rent the system the zoo will make a profit. To help management make a decision, a random sample of 400 zoo visitors are given details about the system’s capabilities ad the rental charge. If 52 people say that they would rent the device, can the zoo management conclude at the 5% significance level that the investment would result in a profit? α = 5%
Dik : n = 400
X = 52
Dit : Ujilah pernyataan tersebut Jawab : Ho : π≤ 10% Ha : π> 10% Z=
( ) √
=
(
)
=2
√
Uji 1 pihakkiri : Z < Ho ditolak Z ≥ Hotidak dapat ditolak
Daerah penolakan Ho Daerah penerimaan Ho
zα = 1,645
Ternyata 2 > 1,645 Ho ditolak. Kesimpulan : pada tingkat signifikasi 5% pernyataan bahwa dengan sistem baru tersebut dapat meningkatkan profit lebih dari 10% adalah benar karena perbedaannya signifikan.
UJI HIPOTESIS SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI
A. UJI HIPOTESIS SELISIH RATA-RATA Ketika terdapat dua buah rata-rata hitung pergunakan pengujian hipotesis selisih rata-rata. Pengujian ini dimaksudkan untuk mengetahui: 1. Beberapa populasi mempunyai rata-rata yang sama ataukah berbeda? 2. Beberapa buah sampel berasal dari sebuah populasi yang sama ataukah berlainan? (Prof. Dr. Sudjana, M.A., M.Sc - Statistika Untuk Ekonomi dan Niaga Jilid II) Perumusan Hipotesis:
Uji 2 Pihak :μ
μ
:μ
μ
Kurva :
Kriteria : ≤Z≤ Z<
atau Z >
tidak dapat ditolak
ditolak
n > 30 dimana n ≤30 dimana Dimana
Uji Pihak Kanan :μ :μ Kurva :
μ μ
dengan df = n1 + n2 – 2
Kriteria : Z≤
tidak dapat ditolak
Z>
ditolak
n > 30 dimana n ≤ 30 dimana Dimana
dengan df = n1 + n2 – 2
Uji Pihak Kiri :μ
μ
:μ
μ
Kurva :
Kriteria : Z≥
tidak dapat ditolak
Z<
ditolak dengan df = n1 + n2 – 2
n > 30 dimana n ≤ 30 dimana Dimana
dengan df = n1 + n2 – 2
Keterangan: -
Untuk sampel kecil ubah Z menjadi t
-
Untuk proporsi ubah μ menjadi
Rumus Z hitung dan t hitung : n>30 (sampel besar) (
) (μ
μ )
Z= √
Jika
dan (
) (μ
Z= √
tidak diketahui nilainya, maka:
n≤30 (sampel kecil)
μ )
(
) (μ
μ )
t= √
Jika
dan
(
tidak diketahui nilainya, tetapi diketahui bahwa ) (μ
≠
maka :
=
maka :
μ )
t= √
Jika
dan (
tidak diketahui nilainya, tetapi diketahui bahwa ) (μ
μ )
t= √
(
)
Contoh soal: Manajer suatu klub sepak bola eropa berpendapat bahwa indikator performa pemain akademi klub yang mendapatkan summer camp training ternyata lebih bagus daripada pemain yang tidak mendapatkannya. Maka dari itu, diambil sampel dari pemain masingmasing 40 dan 30 orang dengan rata-rata dan simpangan baku 302 dan 4 untuk pemain yang mendapatkan training serta 300 dan 4.5 untuk pemain yang tidak mendapatkan training. Ujilah pendapat dari Manajer sepak bola tersebut dengan tingkat signifikansi 5%! Dik:
Dit:
= 40
= 302
=4
= 30
= 300
= 4.5
Ujilah pernyataan bahwa bahwa indikator performa para pemain akademi yang mendapatkan summer camp training ternyata lebih bagus daripada pemain yang tidak mendapatkan training tersebut (μ
μ )!
Jawab: :μ
μ (performa para pemain akademi yang mendapatkan summer camp training ternyata tidak lebih bagus daripada pemain yang tidak mendapatkan training tersebut)
:μ
μ
(performa para pemain akademi yang mendapatkan summer camp training ternyata lebih bagus daripada pemain yang tidak mendapatkan training tersebut)
(
)
Z= √
= 1.928971289
Z=
1.9289
√
α = 0.05 = 0.5 – 0.05 = 0.45
= 1.645
Kriteria : Z≤
tidak dapat ditolak
Z>
ditolak
Ternyata: 2.4414 > 1.645 Z>
ditolak
Kesimpulan: Dengan tingkat signifikansi 5%, pernyataan tersebut benar yaitu performa para pemain akademi yang mendapatkan summer camp training ternyata lebih bagus daripada pemain yang tidak mendapatkan training tersebut.
B. UJI HIPOTESIS SELISIH PROPORSI Pengujian hipotesis selisih proporsi digunakan ketika terdapat dua buah perbandingan. Pengujian ini dimaksudkan untuk mengetahui apakah ada perbedaan
presentase yang menyolok ataukah tidak antara dua kelompok yang sedang dipelajari. Di dalam buku-buku statistika seperti : Lind, Teknik-teknik Statistik dalam Ekonomi dan Bisnis Ed. 15, Suharyadi & Purwanto, Statistika, Untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, Edisi 2 dan Prof. Dr. Sudjana, M.A., M.Sc - Statistika Untuk Ekonomi dan Niaga Jilid II tidak ditemukannya uji t di uji hipotesis selisih proporsi. Perumusan hipotesis selisih proporsi hampir sama dengan perumusan selisih rata-rata.
Rumus mencari Z hitung: (
)
Z= √
Jika
dan
tidak diketahui, maka: (
)
√
=
dimana,
atau dapat juga digunakan rumus: (
)
Z= √
Contoh Soal : Seorang ahli botani mengadakan percobaan pada dua macam pupuk buatan dan menyatakan bahwa perubahan akibat pupuk buatan pertama dan kedua pada suatu padi adalah sama. Pupuk buatan pertama diberikan pada 100 padi dan ternyata 60 padi menunjukkan perubahan. Pupuk buatan kedua diberikan pada 150 padi yang lain dan ternyata 85 padi berubah. Ujilah dengan taraf nyata 5%! Dik:
= 60
= 85
= 100
= 150
Dit: π Jawab:
π
:
(perubahan akibat pupuk buatan pertama dan kedua pada suatu padi adalah sama)
:
(perubahan akibat pupuk buatan pertama dan kedua pada suatu padi adalah tidak sama)
= =
= 0.58
(
)
√ (
)
= 0.5231373505
0.5231
√
α = 0.05
-
⁄
= 1.96
⁄
Kriteria : ≤Z≤ Z<
atau Z >
tidak dapat ditolak ditolak
Ternyata: -1.96 ≤ 0.5231 ≤ 1.96
tidak dapat ditolak
Kesimpulan: Jadi, dengan taraf nyata 5% dapat disimpulkan bahwa pernyataan perubahan akibat pupuk buatan pertama dan kedua pada suatu padi adalah sama dapat diterima, karena tidak terdapat perbedaan yang signifikan.
SOAL UJI HIPOTESIS SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI
1. Sebuah perusahaan mengadakan pelatihan teknik pemasaran. Sampel 12 orang dengan metode biasa dan 10 orang dengan metode terprogram. Pada akhir pelatihan diberikan evaluasi dengan materi yang sama. Kelas pertama mencapai nilai rata-rata 80 dengan simpangan baku 4 dan kelas kedua nilai rata-rata 75 dengan simpangan baku 4,5. Ujilah hipotesis kedua metode pelatihan, dengan alternatif keduanya tidak sama! Gunakan taraf nyata 10%! Asumsikan kedua populasi menghampiri distribusi normal dengan varians yang sama! Dik : n1 = 12
x1 = 80
s1 = 4
n2 = 10
x2 = 75
s2 = 4,5
Dit : Apakah hasil dari kedua metode palatihan sama atau tidak dengan α = 10% Jawab : Ho : µ1 = µ2 Ha : µ1 ≠ µ2 (
)
t=
= √
(
)
= 2.615254372 ~ 2,6153 √
(
df = n1 + n2 -2 = 20 ; α = 0,1 tα = 1,7247
Kriteria : ≤Z≤ Z<
atau Z >
tidak dapat ditolak
ditolak
)
Ternyata 2,76 > 1,7247 Ho ditolak Kesimpulan : Pada tingkat signfukasi 10%, dapat kita simpulkan bahwa hasil dari kedua metode pelatihan tidak sama.
2. Pejabat BKKBN melakukan suatu penelitian terhadap ibu rumah yangga yang setuju KB di daera pertanian A dan B. Dari penelitian diperoleh data bahwa dari 500 ibu rumah tangga di daerah A, ada 300 orang yang setuju dengan KB, sedangkan dari 500 ibu rumah tangga di daerah B, ada 250 orang yang sutju KB. Dengan menggunakan tingkat signifikasi 5%, dapatkah kita menyatakan bahwa terdapat perbedaan proporsi terhadap ibu rumah tangga yang setuju KB di daerah pertanian A dan B? Dik : n1 = 500
x1 = 300
n2 = 500
x2 = 250
Dit : Apakah terdapat perbedaan proporsi terhadap ibu rumah tangga yang setuju pertanian A dan B dengan α = 5% Ho : π1 = π2 Ha : π1 ≠ π2 (
)
(
=
Z= √
Ztabel -1,96 dan 1,96
√
)
= 3,194382825 ~3,1943
Kriteria : ≤Z≤ Z<
atau Z >
tidak dapat ditolak
ditolak
Ternyata 3,19 > 1,96 Ho ditolak Kesimpulan : Pada tingkat signifikasi 5% dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan proporsi terhadap ibu rumah tangga yang setuju KB di daerah pertanian A dan B, 3. The manager of a package courier service belive that packages shipped at the end of the month ater heavier than those shipped early in the month. As an experiment, he weighted a random sample of 20 packages at begining of the month. He found that the mean weight was 20,25 pounds and the standar deviation was 5,48 pounds. Ten packages randomly selected at the end of the month had a mean weight of 24,80 pounds and the standar deviation of 5,67 pounds. At the 0,05 significance level, can we conclude that the packages shipped at the eng of the mont wieghed more? Dik : n1 = 20 n2 = 10
1 = 20,5
s1 = 5,48
2 = 24,80
s2 = 5,67
Dit: Apakah dapat kita simpulkan bahwa paket dikirimkan pada akhir bulan lebih berat dengan α = 0,05 ? Jawab : Ho : µ1 ≥ µ2 Ha : µ1 <µ2 (
)
=
T hitung = √
(
)
= -2,00343 √
Df = n1 + n2 -2 = 20 + 10 - 2 = 2 ; α = 0,05 tα = 1,7011
(
)
Kriteria: t ≥ t<
tidak dapat ditolak ditolak
Ternyata -2,00343 < -1,7011 Ho ditolak Kesimpulan : Pada tingkat signifikasi 5% dapat kita simpulkan bahwa paket dikirim pada akhir bulan lebih berat. 4. Data di bawah ini menyajikan pertambahan berat dalam dua tahun 20 ekor kucing (dalam gram) dengan rincian bahwa 10 ekor kucing diberi makanan khusus kucing impor dan 10 ekor lainnya diberi makanan kucing lokal. Impor
91
90
86
93
86
93
89
86
74
91
Lokal
85
84
77
89
81
91
87
84
92
88
Apakah makanan kucing impor memiliki efek lebih bagus terhadap pertambahan berat badan kucing tersebut? Gunakan tingkat signifikasi level 0,05. Berilah evaluasi! Dik : n1 = 10
1 = 87,9
s1 = 5,586690533
n2 = 10
2 = 85,8
s2 = 4,589843861
Dit : Apakah makanan kucing impor memiliki efek terhadap pertambahan berat badan kucing tersebut dengan α = 0,05 ? Jawab : Ho: µ1 ≤ µ2 Ha: µ1 >µ2
(
)
t hitung =
= √
(
)
√
(
)
= 1,1455217 ~ 1,1455 df = n1 + n2 -2 = 10 + 10 – 2 = 18 α = 0,05 t α = 1,7341 Kriteria : t≤
t>
tidak dapat ditolak ditolak
Ternyata 1,145 < 1,7341 atau Ho tidak dapat ditolak Kesimpulan : Pada tingkat signifikan 5%, dapat kita simpulkan bahwa makanan kucing impor tidak berefek terhadap pertambahan berat badan kucing tersebut. 5. Suatu riset penelitian pemasaran dilakukan di Jakarta dan Surabaya terhadap ibu-ibu rumah tangga yang senang Rinso dibandingkan dengan Daia. Di Jakarta, dari 100 orang ibu rumah tangga yang ditanya, ternyata ada 68 orang yang mengatakan lebih senang Rinso dari pada Daia, sedangkan di Surabaya diantara 300 orang yang ditanya, ada 213 yang lebih senang Rinso dari pada Daia. Dengan menggunakan tingkat signifikansi 10%, ujilah pendapat bahwa proporsi ibu rumah tangga yang lebih senang Rinso dari pada Daia di Surabaya dan di Jakarta berbeda secara nyata atau tidak? Dik : n1 = 100 n2 = 300
x1 = 68 x2 = 213
Dit : Apakah pendapat bahwa proporsi ibu rumah tangga yang lebih senang Rinso dari pada Daia di Surabaya dan di Jakarta berbeda secara nyata atau tidak dengan α = 1%? Jawab :
Ho : π1 = π2 Ha : π1 ≠ π2 (
)
(
=
Z hitung = √
(
)
(
)
√
(
) )
(
)
= - 0,5607395 ~ - 0,5607 Z tabel = ± 1,645
Kriteria : ≤Z≤ Z<
atau Z >
tidak dapat ditolak
ditolak
Ternyata -1,645 < -0,5607 < 1,645 Ho tidak dapat ditolak Kesimpulan : Pada tingkat signifikasi 10%, dapat disimpulkan bahwa pendapat bahaw proporsi ibu rumah tangga yang lebih senang rinso dari pada Daia di Surabaya dan di Jakarta tidak berbeda secara signifikan / nyata.
6. Menurut hasil penelitian sebelumnya terhadap 1580 konsumen, diperkirakan sekitar 75% dari konsumen tersebut lebih memilih air mineral kemasan merek “Alami”.Pengusaha air mineral tersebut mengadakan promosi besar-besaran melalui iklan dan reklame untuk menarik konsumen lebih banyak lagi. Hasilnya ternyata dari 2350 konsumen, 1833 senang dan berlangganan air mineral tersebut dari pada produk air mineral lain. Pada tingkat signifikansi 5%, dapatkah kita simpulkan bahwa promosi dan reklame yang telah dilakukan sangat berpengaruh?
Dik : n1 = 1580
x1 = 1185
n1 = 2350
x2 = 1833
Dit : Dapatkah kita simpulkan bahwa promosi yang telah dilakukan sangat berpengaruh dengan tingkat signifikan 5%? Jawaban : : : (
)
(
=
Z hitung = √
(
)
(
)
√
(
) )
(
)
= -2,1668 Z tabel = 1,645
Kurva :
Kriteria : Z≥
tidak dapat ditolak
Z<
ditolak
Ternyata -2,1668 < -1,645 Ho ditolak Kesimpulan : Pada tingkat signifikasi 5%, dapat disimpulkan bahwa promosi yang berupa iklan dan reklame yang telah dikalkukan lebih berpengaruh karena perbedaanya sangat dignifikan / sangat nyata / sangat berarti.
7. The Roper organization conducted identical surveys in 1975 and 1995. One question asked of women was, “are most men basically kind, gentle, and thoughtful?” The 1975 survey revealed that out of the 3000 women surveyed, 2010 said they were. In 1995, 1530 out of 3000 women surveyed thought that men were kind, gentle, and thoughtful. At the 0.05 significance level, can we conclude that fewer women think men are kind, gentle and thoughtful in 1995 compared with 1975? : : (
)
(
=
Z hitung = √
)
√
= 12,76939015 ~ 12,7694 Z tabel = 1, 645
Kriteria : Z≤
tidak dapat ditolak
Z>
ditolak
Ternyata 12,77 > 1,645 Ho ditolak Kesimpulan : Pada tingkat signifikansi 5%, dapat disimpulkan bahwa perempuan lebih sedikit berpikir bahwa pria baik hati, lembut, dan bijaksana pada tahun 1995 dibandingkan dengan 1975.
