MODUL PROBABILITAS BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR 2 SMA NEGERI 10 MELATI SAMARINDA DI SUSUN OLEH : KHAIRUL BASARI, S.Pd

MODUL PROBABILITAS

BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR 2 SMA NEGERI 10 ”MELATI” SAMARINDA

DI SUSUN OLEH :

KHAIRUL BASARI, S.Pd

khairulfaiq.wordpress.com e-mail : [email protected]

Page 2 of 37

Kegiatan Pembelajaran 1

A.

STANDAR KOMPETENSI Menggunakan kaidah pencacahan dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah

B.

KOMPETENSI DASAR Menggunakan aturan perkalian permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah

C.

INDIKATOR PENCAPAIAN 1. Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan aturan perkalian

D.

2

Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan aturan permutasi

3

Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan aturan kombinasi

TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah pembelajaran ini siswa dapat : 1. Siswa mampu memahami aturan perkalian 2. Siswa mampu menggunan aturan perkalian dalam menentukan banyaknya kemungkinan 3. Siswa mampu menyelesaiakan soal yang berhubungan dengan aturan perkalian 4. Siswa mampu memahami definisi faktorial 5. Siswa mampu memahami definisi permutasi 6. Siswa mampu memahami permutasi siklis 7. Siswa mampu menggunakan aturan permutasi untuk menyelesaikan soal 8. Siswa mampu menjelaskan syarat data yang baik 9. Siswa mampu memahami definisi kombinasi 10. Siswa mampu menggunakan aturan kombinasi untuk menyelesaikan soal

Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 3 of 37

E. URAIAN MATERI KAIDAH PENCACAHAN 1. Aturan Perkalian

Untuk menentukan banyaknya cara yang mungkin dari suatu kegiatan dapat digunakan aturan perkalian. Jika kegiatan pertama terdapat k1 cara yang berbeda, kegiatan kedua terdapat k2 cara yang berbeda, kegiatan ketiga terdapat k3 cara yang berbeda dan seterusnya, maka : Banyaknya cara kegiatan yang dilakukan misalkan Fn adalah k1 x k2 x k3 x … x kn

Fn = k1 × k2 × k3 × ... × kn Contoh 1. Andi berangkat dari Kelapa Gading ke Cengkareng melalui jalan tol. Pada saat masuk tol Kelapa Gading ada 2 loket dan saat keluar tol Cengkareng ada 3 loket. Ada berapa macam cara yang mungkin, Andi berangkat dari Kelapa Gading ke Cengkareng melalui tol tersebut. Penyelesaian


Page 4 of 37

2. Dalam suatu kelas akan diadakan pemilihan pengurus kelas yang terdiri dari ketua, sekretaris dan bendahara. Calon yang akan diplih sebagai ketua ada 2 orang, sekretaris ada 3 orang dan bendahara ada 2 orang. Berapa banyak kemungkinan susunan pengurus kelas tersebut. Penyelesaian Misalkan : –

calon ketua kelas adalah K1 dan K2

–

calon sekretaris adalah S1, S2 dan S3

–

calon bendahara adalah B1 dan B2 B1 S1 S2

K1

S3 Pengurus kelas

B2 B1 B2 B1 B2 B1

S1 K2

S2 S3

B2 B1 B2 B1 B2

Jika kita perhatikan diagram maka diketahui banyaknya kemungkinan susunan pengurus kelas adalah 2 × 3 × 2 = 12 Selain menggunkan cara diagram diatas untuk menentukan banyaknya susunan pengurus bis dilakukan dengan cara Ketua

Sek

Bend

2

3

2

2 × 3 × 2 = 12 Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 5 of 37

3. Jika disediakan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 jika akan disusun bilangan yang terdiri dari empat angka dan tidak ada angka yang berulang, maka banyaknya bilangan antara 4000 - 6000 yang dapat disusun adalah

Penyelesaian Langkah penyelesaian 1. karena terdiri dari 4 angka maka sediakan 4 kotak kosong 2. karena bilangan yang diminta antara 4000 – 6000 maka kotak pertama hanya dapat diisi oleh angka 4 dan 5 saja 3. karena tidak ada angka yang berulang maka angka yang sudah mengisi kotak pertama tidak boleh mengisi kotak kedua, ketiga dan keempat. 2 pilihan

6 pilihan

5 pilihan

4 pilihan

Sehingga banyaknya angka yang dapat tersusun adalah 2 × 6 × 5 × 4 = 240

2. Faktorial Hasil kali bilangan asli dari 1 sampai n disebut n!. Notasi n! Dibaca n faktorial.

Definisi Faktorial : • n ! = 1× 2 × 3 × ... × (n − 2 )× (n − 1)× n n ! = n × (n − 1) × (n − 2 ) × ... × 3 × 2 × 1 • 1! = 1 • 0! = 1 Contoh : 1. Tentukan nilai dari : a. 5 ! b.

6! 5!

c.

n! (n − 1) !

. Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 6 of 37

Penyelesaian

a. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 b.

6 ! 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 6 × 5! = = =6 5! 5 × 4 × 3 × 2 ×1 5!

c.

n! n × ( n − 1) × ( n − 2) × ( n − 3) × ... × 2 × 1 n × ( n − 1) ! = = =n (n − 1) ! (n − 1) × ( n − 2) × ( n − 3) × ... × 2 × 1 ( n − 1) !

2. Tentukan nilai n jika diketahui a.

6! = 3n 4!

b.

n! =6 (n − 2)!

c.

n! 2(n − 1)! = (n − 2)! (n − 3)!

Penyelesian

a.

6! = 3n 4! 6 × 5 × 4! = 3n 4! 6 × 5 = 3n 30 = 3n n = 10

b.

n! =6 (n − 2)! n × ( n − 1) × ( n − 2)! =6 ( n − 2)! n(n − 1) = 6 n2 − n − 6 = 0

(n − 3)(n + 2) = 0 n=3 n = −2 → tidak memenuhi Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 7 of 37

c.

n! 2( n − 1)! = (n − 2)! (n − 3)! n(n − 1)(n − 2)! 2(n − 1)(n − 2)(n − 3)! = (n − 2)! (n − 3)! n(n − 1) = 2(n − 1)( n − 2) n 2 − n = 2(n 2 − 3n + 2) n 2 − 5n + 4 = 0 ( n − 4)( n − 1) = 0 n=4 n = 1 → tidak memenuhi

3. Permutasi Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutanya. Perhatikan penjelasan berikut :

Dua huruf A dan B maka banyaknya susunan huruf tersebut adalah A, B  ada 2 cara menyusun  B, A 2 × 1 = 2!

Dua huruf A, B dan C maka banyaknya susunan huruf tersebut adalah A, B, C  A, C , B  B, A, C  ada 6 cara menyusun  B, C , A 3 × 2 × 1 = 3! C , A, B   C , B, A

Dua huruf A ,B, C dan D jika disusun dua huruf maka banyaknya susunan AB, BA, CA, DA  ada 12 cara menyusun  AC , BC , CB, DB  4 × 3 × 2 × 1 4! 4×3 = =  2 ×1 2! AD, BD, CD, DC 

a. Permutasi r unsur dari n unsur Cara menenpatkan n buah unsur kedalam r tempat yang tersedia disebut permutasi r unsur dari n unsur. (r ≤ n) didefinisikan


Page 8 of 37

n

n r

Pr = P = P( n ,r )

n! = ( n − r )!

Contoh : 1. Tentukan nila dari a. P28 b. P310

Penyelesaian

8! (8 − 2)!

a. P28 =

8 × 7 × 6! 6! = 56 =

b. P310 =

10! (10 − 3)!

10 × 9 × 8 × 7! 7! = 720 =

2. Tentukan nilai n jika diketahui a. P2n = 42 b. P3n = 8P2n

Penyelesaian a.

P2n = 42

n! = 42 (n − 2)! n(n − 1)(n − 2)! = 42 (n − 2)! n 2 − n = 42 (n − 7)(n + 6) = 0 n = 7 ∨ n = −6 → tidak memenuhi Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 9 of 37

b. P3n = 8P2n n! n! =8 (n − 3)! (n − 2)! n(n − 1)(n − 2)(n − 3)! n(n − 1)(n − 2)! =8 (n − 3)! (n − 2)! n(n − 1)(n − 2) = 8n(n − 1) n−2=8 n = 10

3. Banyaknya bilangan yang terdiri dari empat angka yang disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7 dan jika tidak ada angka yang berulang adalah sebagai berikut. Penyelesaianu Langkah penyelesaian

Angka yang tersedian 7 Angka yang dibutuhkan 4 7! (7 − 4)! 7 × 6 × 5 × 4 × 3! = 3! = 840

P47 =

Selain menggunakan permutasi juga dapat menggunakan cara aturan perkalian 7 pilihan

6 pilihan

5 pilihan 4 pilihan

Jadi banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah 7 × 6 × 5 × 4 = 840 4. Dalam suatu rapat disediakan 8 kursi untuk peserta rapat. Ternyata yang hadir hanya 4 orang peserta. Ada berapa banyak cara peserta rapat mengambil tempat duduk. Penyelesaian 8 × 7 × 6 × 5 × 4! 4! = 1680

P48 =

Atau 8 pilihan

7 pilihan

6 plihan

5 pilihan

Banyaknya cara memilih tempat duduk adalah 8 × 7 × 6 × 5 = 1680 Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 10 of 37

b. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama Misalkan kita ingin menyusun huruf-huruf AAB dalam satu baris,

AAB  hanya ada 3 cara  ABA 3! 3=  2! BAA  Terdapat 3 huruf pada susunan AAB yang berhubungan dengan 3! Susunan yang berbeda jika setiap huruf adalah berbeda.

Definisi : Jika P adalah banyaknya permutsi dari n unsur yang memuat a unsur (objek) sama, b unsur (objek) sama, c unsur (objek) sama dan seterusnya, maka :

P(na , b, c ) =

n! a!b!c!

Contoh : Tentukan

banyaknya

cara

menyusun

susunan

berbeda

dari

huruf-huruf

KALIMANTAN

Penyelesaian KALIMANTAN - Banyaknya huruf seluruhnya 10 - Banyaknya huruf K = 1 - Banyaknya huruf A = 3 - Banyaknya huruf L = 1 - Banyaknya huruf I = 1 - Banyaknya huruf M = 1 - Banyaknya huruf N = 2 - Banyaknya huruf T = 1 Maka banyaknya menyusun berbeda huruf-huruf KALIMANTAN adalah


Page 11 of 37

10! 1!3!1!1!1!2!1! 10! = 3!2! 10.9.8.7.6.5.4.3! = 3!2! 10.9.8.7.6.5.4 = 2! = 10.9.8.7.6.5.2 = 302400

P(10 1, 3,1,1,1, 2,1) =

b. Permutasi Siklis Permutasi siklis yaitu susunan unsur-unsur yang membentuk lingkaran (kurva tertutup) dengan memperhatikan urutannya. Permutasi siklis dari n unsur dapat dinyatakan sebagai berikut.

P( siklis ) = (n − 1)! Contoh : Dalam suatu rapat pengurus Yayasan dihadiri 6 orang pengurus yang duduk melingkar pada sebuah meja bundar, ada berapa cara mereka duduk pada kursi yang tersedia. Penyelesaian P( siklis ) = (6 − 1)! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

4. Kombinasi Kombinasi adalah susunan beberapa unsur yang diambil dari sebagian atau seluruh unsur suatu himpunan tanpa memperhatikan urutanya. Konbinasi r unsur dari n unsur dinyatakan sebagai berikut : n n C r = C r = C ( n,r ) =

n! (n − r )!r!


Page 12 of 37

Contoh 1. Tentukan nilai dari C 28 Penyelesaian

8! (8 − 2)!2! 8! = 6!2! 8.7.6! = 6!2! 8.7 = 2! = 4. 7

C 28 =

= 28

2. Jika diketahui nC3 = 2n tentukan nilai dari 2nC7 Penyelesaian n

C3 = 2n

n! = 2n (n − 3)!3! n(n − 1)(n − 2) = 2n 6 (n 2 − n)(n − 2) = 12n n 3 − 3n 2 + 2n = 12n n 2 − 3n − 10 = 0 (n + 2)(n − 5) = 0 n=5 Maka nilai 10! (10 − 7)!7! 10.9.8.7! = 3!7! = 10.3.4

C710 =

= 120

3. Seorang murid diminta menyelesaikan 15 soal dari 23 soal yang diberikan, tetapi nomor ganjil harus dikerjakan. Banyaknya pilihan berbeda yang dapat diambil adalah Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 13 of 37

Penyelesaian -

Soal nomor ganjil 1, 3, 5, ..., 23 = 12 soal

-

Siswa diminta mengerjakan 15 soal berarti soal nomor genap ada 3 soal yang harus dikerjakan

-

Jumlah soal nomor genap ada 11 soal akan dipilih 3 maka

11! (11 − 3)!3! 11! = 8!3! 11.10.9.8! = 8!3! 990 = 6 = 165

C311 =

Jadi banyaknya pilihan ada 165 pilihan

4. Tim bola basket terdiri atas lima orang. Jika tersedia 8 orang pemain maka banyaknya cara untuk menyusun tim adalah Penyelesaian

8! (8 − 5)!5! 8.7.6.5! = 3!5! 8.7.6. = 3! = 56

C 58 =

F. TUGAS 1. Tono mempunyai 3 pasang sepatu berwarna hitam, putih, dan coklat. Tono juga mempunyai 4 pasang kaos kaki berwarna biru, hitam, merah dan coklat. Berapa banyak pasangan sepatu dan kaos kaki yang dapat dipakai Tono. 2. Sebuah poliklinik mempunyai 4 dokter spesialis dan 8 dokter umum. Banyak pasangan dokter spesialis an dokter umum yang dapat dibuat adalah


Page 14 of 37

3. Diberikan angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5. Banyaknya bilangan cacah berlainan yang dapat disusun, yang terdiri atas tiga angka dari angka-angka tersebut adalah … 4. Nilai n yang memenuhi persamaan 5. Nilai dari

(n + 1)! = n! adalah 5(n − 1)! 3(n − 2)

12! 8! adalah... + 9! 3!2!5!

6. Nilai n yang memenuhi persamaan 10.P2n = P4n+1 adalah.... 7. Nilai n yang memenuhi persamaan P6n = 6!.C 5n adalah.... 8. Nilai n yang memenuhi persamaan C 32 n = P3n +1 adalah.... 9. Nilai n yang memenuhi persamaan

P11 14 = adalah.... 3 n + 3 P11

n+ 4

10. Seorang ibu mempunyai 7 mainan yang akan dibagikan kepada tiga anaknya. Anak pertama dan kedua mendapat 2 mainan, sedangkan anak ketiga mendapat 3 mainan. Ada berapa cara ibu tersebut membagi mainan kepada ketiga anaknya 11. Banyaknya cara untuk menyusun pengurus terdiri atas 1 ketua, 1 bendahara, dan 1 penulis dari 9 calon pengurus adalah 12. Banyak

susunan

berbeda

yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada

kata

“MATEMATIKA” adalah 13. Sebelum berpisah dengan teman-temannya, Amir dan semua temannya saling berjabatan tangan satu kali. Amir menghitung ada sebanyak 66 jabat tangan. Berapa orangkah yang hadir dalam pertemuan tersebut? 14. Banyaknya bilangan antara 2000 dan 6000 yang dapat disusun dari angka 0, 1. 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan tidak ada angka yang sama adalah 15. Ada 10 orang tamu, tetapi hanya tersedia 4 kursi. Jika salah seorang tamu selalu duduk di kursi tertentu, maka banyaknya cara duduk di kursi tamu tersebut adalah …. 16. Banyaknya cara menyusun pasangan ganda putra dari 10 orang pemain bulu tangkis pria adalah …. 17. Dari 12 orang yang terdiri dari 8 pria dan 4 wanita akan dibentuk kelompok kerja yang beranggotakan 4 orang. Jika dalam kelompok kerja itu terdapat paling sedikit 2 pria, banyak cara membentuknya ada 18. Dalam ekspansi ( 1 – 2x ) 11, koefisien x3 adalah k kali koefisien x2. Nilai k adalah


Page 15 of 37

19. Akan dibuat nomor-nomor undian yang terdiri dari satu huruf dan diikuti oleh dua angka yang berbeda dan angka kedua adalah bilangan genap. Banyaknya nomor undian ada 20. Jika C rn menyatakan banyaknya kombinasi r elemen yang diambil dari n elemen dan C 2n = n +5,maka C n2 n adalah

G. ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala. Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI. Klaten : Intan Pariwara.. Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga Nugroho Soedyarto & Maryanto. 2008, BSE Matematika untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Wahyudin Djumanta & R. Sudrajat. 2008, BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk SMA/MA Kelas XI IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional


Page 16 of 37


A.


B.

KOMPETENSI DASAR Menentukan ruang sampel suatu percobaan

C.

INDIKATOR PENCAPAIAN 1. Mampu menentukan ruang sampel suatu percobaan

D.

2

Mampu menentukan banyaknya titik sampel suatu percobaan

3

Mampu menentukan anggota himpunan suatu kejadian

TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah pembelajaran ini siswa dapat : 1. Memahami pengertian ruang sampel suatu percobaan 2. Menentukan banyakknya ruang sampel dari pelemparan uang logam 3. Menentukan titik smapel/anggota ruang sampel dari pelemparan uang logam 4. Menentukan banyaknya ruang sampel dari pelemparan mata dadu 5. Menentukan titik smapel/anggota ruang sampel dari pelemparan mata dadu 6. Menentukan ruang sampel dari seperangkat kartu remi 7. Menentukan banyakya ruang sampel dari suatu kejadian yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari 8. Menentukan titik smapel/anggota ruang sampel dari suatu kejadian yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari


Page 17 of 37

E. URAIAN MATERI 1. Pengertian Ruang Sampel Definisi : Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan dengan S

2. Menentukan Ruang sampel Suatu Percobaan a. Ruang sampel pada Uang Logam -

Pada pelemparan sebuah uang logam sekali maka kemungkinan yang muncul adalah sisi Gambar atau sisi Angka

.

S = {A, G} n(S) = 2 n(S) = 21

-

Pada pelemparan sebuah uang logam dua kali maka kemungkinan yang muncul A

AA S = {AA, AG, GA, GG}

A G

AG

n(S) = 4

A

GA

n(S) = 2 x 2 n(S) = 22

G G -

GG

Pada pelemparan sebuah uang logam tiga kali maka kemungkinan yang muncul A

AAA

G A

AAG AGA

G

AGG

A

GAA

G A

GAG GGA

G

GGG

A A G

G

GAG, GGA, GGG} n(S) = 8

A G

S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA,

n(S) = 2 x 2 x 2 n(S) = 23


Page 18 of 37

Dari uraian diatas maka dapat kita simpulkan bahwa : 1). Satu buah uang logam diambung a kali, maka banyaknya ruang sampel n(S) = 2a 2). m buah uang logam diambung 1 kali, maka banyaknya ruang sampel n(S) = 2m

b. Ruang sampel pada mata Dadu -

Pada percobaan sebuah mata dadu bermata enam diambung sekali, maka kemungkinan muncul sisi bernomor 1 atau 2 atau 3 atau 4 atau 5 atau 6 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 ⇒ n(S) = 61

-

Pada percobaan sebuah mata dadu bermata lima diambung sekali maka kemungkinan muncul sisi bernomor 1 atau 2 atau 3 atau 4 atau 5 S = {1, 2, 3, 4, 5} n(S) = 5 ⇒ n(S) = 51

-

Pada percobaan sebuah mata dadu bermata enam diambung sebanyk 2 kali, maka kemungkinan muncul

1

2

3

4

5

6

1

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(1, 5)

(1, 6)

2

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(2, 6)

3

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

(3, 6)

4

(4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

(4, 4)

(4, 5)

(4, 6)

5

(5, 1)

(5, 2)

(5, 3)

(5, 4)

(5, 5)

(5, 6)

6

(6, 1)

(6, 2)

(6, 3)

(6, 4)

(6, 5)

(6, 6)

n(S) = 36 ⇒ n(S) = 62 Jadi pada percobaan pelemparan mata dadu banyak ruang sampel adalah ; a. Pada dadu bermata 6 diambung sekali maka n(S) = 61 b. Pada dadu bermata 6 diambung sebanyak n kali maka n(S) = 6n c. Pada dadu bermata a diambung sebanyak n kali maka n(S) = an


Page 19 of 37

c. Menentukan ruang sampel pada permasalahan sehari-hari

Contoh : 1. Kantong A berisi 6 kelereng hitam, dan 4 kelereng putih. Kantong B berisi 5 kelereng hitam dan 3 kelereng putih. Dari kantong A diambil 3 buah dan dari kantong B diambil 2 buah kelereng secara acak, ruang sampel masing-masing kantong adalah

Penyelesaian

Banyaknya ruang sampel pada kantong A -

Jumlah kelereng keseluruhannya ada 10 buah kelereng

-

Diambil 3 buah n( S ) = C310 10! (10 − 3)!3! 10.9.8.7! = 7!3! 10.9.8 = 3! = 10.3.4 =

= 120 Jadi banyaknya ruang sampel pada kantong A adalah 120

Banyaknya ruang sampel pada kantong B -

Jumlah kelereng keseluruhannya ada 8 buah kelereng

-

Diambil 2 buah n( S ) = C28 8! (8 − 2)!2! 8.7.6! = 6!2! 8.7 = 2! = 4. 7 =

= 28 Jadi banyaknya ruang sampel pada kantong B adalah 28 Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 20 of 37

2. Pedagang ayam mempunyai 6 ekor ayam jantan dan 4 ekor ayam betina. Jika pedagang ayam tersebut akan menjual 5 ekor dari ayamnya. Banyaknya anggota ruang sampel dari penjualan ayam tersebut adalah Penyelesaian Jumlah ayam keseluruhannya ada 10 ekor n( S ) = C510 10! (10 − 5)!5! 10.9.8.7.6.5! = 5!5! 10.9.8.7.6 = 5.4.3.2.1 = 2.3.2.7.3 =

= 252 Jadi banyaknya ruang sampel pada kejadian diatas adalah 252

F. TUGAS 1. Banyaknya ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu dan dua keping uang logam secara bersamaan adalah... 2. Sebuah dadu dilemar tiga kali. Banyaknya hasil yang mungkin terjadi pada percobaan tersebut adalah 3. Pak Amir akan memancing pada sebuah kolam yang berisi 21 ikan mujahir, 12 ikan mas, dan 27 ikan tawes. Banyaknya ruang sampel pada kasus di atas adalah... 4. Banyaknya ruang sampel pada penelitian jenis kelamin tiga bayi adalah 5. Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 3 bola putih dan 9 bola biru. Apa bila 3 bola diambil secara acak, maka banyaknya hasil yang mungkin terjadi pada percobaan tersebut adalah 6. Dari delapan titik akan dibuat suatu garis dengan tidak ada tiga titik yang segaris, maka banyaknya garis yang mungkin adalah 7. Dari 1000 kaleng sari buah, terdapat 4 yang rusak. Bila diambil 2 kaleng sari buah tersebut secara acak, maka banyaknya ruang sampel dari peristiwa di atas adalah 8. Dalam suatu kumpulan kanak-kanak ada 5 orang anak laki-laki dan 4 orang anak perempuan. Andaikan dari kumpulan itu kita akan memilih sepasang anak yang terdiri


Page 21 of 37

dari seorang anak laki-laki dan seorang anak perempuan untuk menari, maka banyaknya pasangan /cara dalam pilihan itu adalah…. 9. Dari angka 1, 2, 3, ..., 9 akan disusun sebuah bilangan yang terdiri dari 4 digit, jika tidak ada angka yang berulang, maka banyaknya kemungkinan bilangan yang tersusun adalah

G.

ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala. Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI. Klaten : Intan Pariwara.. Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga Nugroho Soedyarto & Maryanto. 2008, BSE Matematika untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Wahyudin Djumanta & R. Sudrajat. 2008, BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan

Matematika untuk SMA/MA Kelas XI IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional


Page 22 of 37


A.


B.

KOMPETENSI DASAR Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya

C.

INDIKATOR PENCAPAIAN 1. Mampu menentukan peluang suatu kejadian 2

Mampu menentukan peluang kejadian komplemen suatu kejadian

3

Mampu menentukan kisaran nilai peluang

4. Mampu menentukan frekwensi harapan suatu kejadian 5. Mampu menentukan peluang gabungan dua kejadian 6. Mampu menentukan peluang kejadian saling asing

D.

TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah pembelajaran ini siswa dapat : 1. Mampu menentukan peluang kejadian dengan menggunkan ruang sampel 2

Mampu menentukan peluang kejadian komplemen suatu kejadian

3

Mampu menentukan kisaran nilai peluang

4. Mampu menentukan frekwensi harapan suatu kejadian 5. Mampu menentukan peluang gabungan dua kejadian 6. Mampu menentukan peluang kejadian saling asing


Page 23 of 37

E. URAIAN MATERI

1. Menentukan Peluang suatu kejadian a. Menentukan peluang kejadian dengan pendekatan frekwensi relatif Frekwensi relatif muncul kejadian A =

banyak muncul kejadian A banyak percobaan yang dilakukan

Contoh : 1. Dari seperangkat kartu bridge diambil secara acak satu lembar kartu. Peluang terambilnya kartu bukan As adalah Penyelesaian

- jumlah kartu bridge ada 52 kartu - jumlah kartu As ada 4 kartu - jumlah kartu bukan As ada 48 kartu 48 52 12 = 13

Peluang terambil bukan kartu As =

2. Dari sembilan bola di beri nomor 1, 2, 3, ..., 9. diambil 1 bola secara acak, maka peluang terambilnya bola bernomor prima adalah Penyelesaian - jumlah bola ada 9 - jumlah bola bernomor prima 4

P( prima ) =

4 9

b. Menentukan peluang kejadian dengan menggunakan ruang sampel. Jika A adalah suatu kejadian dengan A ⊂ S maka peluang kejadian A adalah

P ( A) =

n( A) n( S )


Page 24 of 37

Contoh : 1. Jika dua buah dadu dilambungkan bersama-sama, maka peluang munculnya mata dadu berjumlah 8 adalah ….

Penyelesaian

+

1

2

3

4

5

6

1

1+1=2

1+2=3

1+3=4

1+4=5

1+5=6

1+6=7

2

2+1=3

4

5

6

7

8

3

3+1=4

5

6

7

8

9

4

4+1=5

6

7

8

9

10

5

5+1=6

7

8

9

10

11

6

6+1=7

8

9

10

11

12

Dari tabel di atas diketahui -

Banyaknya ruang sampel n(S) = 36

-

Banyaknya kemungkinan muncul mata dadu berjumlah 8 n(A8) = 5

Jadi peluang munculnya mata dadu berjumlah 8 adalah

P( A8 ) =

5 36

2. Sebuah dadu dan sekeping mata uang logam yang dilempar undi bersama-sama sekali. Peluang munculnya mata dadu sisi bernomor 5 dan sisi angka pada uang logam adalah Penyelesaian

Banyaknya ruang sampel 6 x 2 = 12 1

2

3

4

5

6

A

(A, 1)

(A, 2)

(A, 3)

(A, 4)

(A, 5)

(A, 6)

G

(G, 1)

(G, 2)

(G, 3)

(G, 4)

(G, 5)

(G, 6)

Banyaknya kejadian muncul sisi dadu 5 dan sisi uang logan Angka adalah 1

P( A) =

1 12


Page 25 of 37

3. Dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5 akan dilakukan percobaan menyusun nomor undi yang terdiri atas tiga angka berlainan. Jika A menyatakan kejadian munculnya nomor undi lebih dari 400, maka peluang kejadian A adalah

Penyelesaian

Banyaknya ruang sampel 5

4

3

n(S) = 5 x 4 x 3 n(S) = 60

Banyaknya bilangan yang lebih dari 400 2

4

3

n(A) = 2 x 4 x 3 n(A) = 24

maka 24 60 2 = 5

P ( A) =

c. Menentukan peluang komplemen suatu kejadian

Jika A C adalah komplemen kejadian A maka peluang kejadian A C adalah

( )

P A C = 1 − P ( A)

Contoh Dalam sebuah kotak terdapat bola yang diberi nomor 1 sampai 10. jika diambil sebuah bola secara acakb, berapakah peluang munculnya: a. bola bernomor prima b. bola bukan bernomor prima


Page 26 of 37

Penyelesaian

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} n(S) = 10

dimisalkan A adalah kejadian muncul bola bernomor prima A = {2, 3, 5, 7} n(A) = 4

a. Peluang munculnya bola bernomor prima P(A) adalah

n( A) n( S ) 4 = 10 2 = 5

P( A) =

b. Peluang munculnya bola bukan bernomor prima P ( A C ) adalah

( )

P A C = 1 − P ( A) 2 = 1− 5 5−2 = 5 3 = 5

2. Kisaran Nilai Peluang a. Jika kejadian A dalam ruang sampel S selalu terjadi, dimana A = S n( A) = n( S ) , sehingga peluang kejadian A adalah P( A) =

maka

n( A) S = =1 n( S ) S

b. Jika kejadian A dalam ruang sampel S tidak pernah terjadi/mustahil terjadi, dimana A = ∅, maka n( A) = 0 sehingga peluang kejadian A adalah P ( A) =

n( A) 0 = =0 n( S ) S

c. Kisaran nilai peluang suatu kejadian A adalah 0 ≤ P ( A) ≤ 1


Page 27 of 37

3. Frekuensi Harapan Frekuensi harapan kejadian A adalah banyaknya kejadian A yang diharapkan terjadi dalam beberapa kali percobaan. Frekuensi harapan kejadian A adalah : Fh ( A) = nP ( A)

Caontoh : 1. Sebuah dadu bermata enam dilemapar 90 kali. Frekuensi harapan mendapatkan mata dadu 3 adalah

Penyelesaian

n( S ) = 6 n( A) = 1 P( A) =

1 6

1 Fh ( A) = 90  6 = 15 2. Disebuah negara diketahui bahwa peluang orang dewasa yang terkena serangan jantung adalah 0,07 dan peluang terkena penyakit liver adalah 0,17. jika sebanyak 25000 orang dewasa di negara tersebut diperiksa, berapa orang dewasa terkena penyakit serangan jantung dan berapa orang yang terkena penyakit liver Penyelesaian

Peluang orang terkena serangan jantung 0,07 = Jadi

frekuensi

harapan

orang

terkena

7 100 serangan

jantung

adalah

liver

adalah

 7  25000  = 1750  100 

Peluang orang terkena penyakit liver adalah 0,17 = Jadi

frekuensi

harapan

orang

terkena

17 100

penyakit

 17  25000  = 4250  100  Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 28 of 37

3. Dalam sebuah penelitian diperoleh data bahwa dari hasil penyilangan diperoleh hasil 1000 bunga dengan warna yang berbeda dengan perbandingan 1 putih : 3 merah muda : 1 merah. Berapakah banyak bunga merah, merah muda, dan putih yang dihasilkan.

Penyelesaian Hasil yang diperoleh 1 : 3 : 1. n( S ) = 1 + 3 + 1 ⇒ n( S ) = 5 maka banyaknya bunga yang diperoleh adalah

Bunga putih adalah

1 (1000) = 200 bunga 5

Bunga merah muda adalah Bunga merah adalah

3 (1000) = 600 bunga 5

1 (1000) = 200 bunga 5

2. Peluang Kejadian Majemuk a. Peluang gabungan dua kejadian Misalkan A dan B adalah dua kejadian yang berada dalam ruang sampel S. Peluang gabungan dua kejadian (kejadian A dan kejadian B). Dapat ditulis P( A ∪ B ) ditentukan dengan aturan :

P( A ∪ B ) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)

Contoh : 1. Dua puluh kartu diberi nomor 11 sampai 30. diambil satu kartu secara acak, maka peluang yang terambil adalah kartu bernomor ganjil atau kartu bernomor prima adalah

Penyelesaian S = {11, 12, 13, ..., 30} n(S) = 20 misalkan

A adalah kejadian terambil kartu bernomor ganjil adalah A = {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}

N ( A) = 10 ⇒ P ( A) =

10 1 = 20 2


Page 29 of 37

B adalah kejadian terambil kartu bernomor prima adalah B = {11, 13, 17, 19, 23, 29} n(B) = 6 P( B) =

6 3 = 20 10

( A ∩ B ) = {11, 13, 17, 19,

23, 29}

n( A ∩ B ) = 6 P( A ∩ B ) =

6 3 = 20 10

Maka P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) 10 6 6 + − 20 20 20 10 = 20 1 = 2

=

2. Dari seperangkat kartu bridge diambil satu kartu secara acak, peluang terambilnya kartu warna merah atau kartu AS adalah Penyelesaian n(S) = 52

Misalkan A adalah kejadian terambilnya kartu warna merah n(A) = 26 P ( A) =

26 1 = 52 2

Misalkan B adalah kejadian terambilnya kartu AS n(B) = 4 P( B) =

4 1 = 52 13

n( A ∩ B) = 2

P( A ∩ B) =

2 1 = 52 26


Page 30 of 37

Maka P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) 26 4 2 + − 52 52 52 28 = 52 7 = 13 =

3. suatu kelas terdiri atas 40 siswa, 25 siswa gemar Matematika, 21 gemar Fisika, dan 9 siswa gemar matematika dan Fisika. Peluang seorang siswa tidak gemar matematika maupun Fisika adalah.

Penyelesaia n( S ) = 40 n( M ) = 25 n( F ) = 21 n( M ∩ F ) = 9

n (M ∪ F ) = n ( M ) + n ( F ) − n ( M ∩ F ) = 25 + 21 − 9 = 37

(

P (M ∪ F )

C

) = 1 − P (M ∪ F ) n (M ∪ F ) n( S ) 37 = 1− 40 40 − 37 = 40 3 = 40

= 1−

b. Peluang gabungan dau kejadian yang saling asing/lepas Misalkan A dan B adalah kejadian yang berada dalam ruang sampel S. Jika kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling lepas atausaling asing, maka kejadian A dan kejadian B tidak dapat terjadi bersamaan.


Page 31 of 37

Peluang gabungan dua kejadian yang saling asing dinyatakan P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )

Contoh : Dalam sebuah kantong terdapat 10 kartu, masing-masing diberi nomor yang berurutan dari 1 sampai 10, sebuah kartu diambil dari kantong secara acak, maka peluang kejadian yang terambil kartu nomor genap atau kartu bernomor prima ganjil adalah Penyelesaian n( S ) = 10

Misalnya A kejadian terambil kartu bernomor genap maka A = {2, 4, 6, 8, 10} n( A) = 5 P ( A) =

n( A) 5 1 = = n( S ) 10 2

Misalkan B kejadian terambil kartu bernomor prima ganjil B ={3, 5, 7} n( B) = 3 P( B) =

n( B ) 3 = n( S ) 10

( A ∩ B) = 0

Maka P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) 5 3 + 10 10 8 = 10 4 = 5 =

c. Peluang gabungan dau kejadian saling bebas Kejadian A dan kejadian B disebut dua kejadian yang saling bebas jika kejadian A tidak mempengarui kejadian B dan sebaliknya.


Page 32 of 37

Peluang dua kejadian yang saling bebas dinyatakan sebagai berikut : P ( A ∩ B ) = P ( A) × P ( B )

Contoh : 1. Sebuah kotak berisi 11 bola yang diberi nomor 1 sampai 11. dua bola diambil dari kotak secara bergantian dengan pengembalian. Tentukan peluang terambil bola-bola bernomor ganjil dan genap. Penyelesaian n( S ) = 11

Mislakan A kejadian terambil bola bernomor ganjil A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} n( A) = 6

⇒ P ( A) =

6 11

Mislakan B kejadian terambil bola bernomor genap B = {2, 4, 6, 8, 10}

n( B ) = 5 ⇒ P( B) =

5 11

Jadi peluang terambilnya bola bernomor ganjil dan genap adalah

P( A ∩ B) = P( A) × P( B ) 6 5 = × 11 11 30 = 121 2. Pada pelemparan dua buah dadu sekaligus, peluang muncul sisi 3 pada dadu pertama dan sisi 5 pada dadu kedua adalah Penyelesaian

Dadu pertama

Dadu kedua

1

2

3

4

5

6

1

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(1, 5)

(1, 6)

2

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(2, 6)

3

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

(3, 6)

4

(4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

(4, 4)

(4, 5)

(4, 6)

5

(5, 1)

(5, 2)

(5, 3)

(5, 4)

(5, 5)

(5, 6)

6

(6, 1)

(6, 2)

(6, 3)

(6, 4)

(6, 5)

(6, 6)


Page 33 of 37

n( S ) = 36

Misalkan A kejadian muncul sisi 3 pada dadu pertama A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} n( A) = 6 ⇒ P ( A) =

1 6

Misalkan B kejadian muncul sisi 3 pada dadu pertama A = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}

n( B ) = 6 ⇒ P( B) =

1 6

Peluang munculnya sisi 3 pada dadu pertama dan sisi 5 pada dadu kedua

P( A ∩ B) = P( A) × P( B ) 1 1 = × 6 6 1 = 36 3. Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Kita ambil 2 bola sekaligus dari kotak itu. Peluang bahwa yang terambil itu bola merah dan bola putih adalah Penyelesaian

n( S ) = C 28 8! 6!2! = 28 =

Misalkan A adalah kejadian terambilnya bola merah

n( A) = C15 5! 4!1! =5 =

Misalkan B adalah kejadian terambilnya bola putih n( B) = C13 3! 2!1! =3 =


Page 34 of 37

n( A ∩ B) = n( A) × n( B) = 5× 3 = 15 peluang terambilnya bola merah dan putih

n( A ∩ B) n( S ) 15 = 28

P( A ∩ B ) =

4. Ranti Marinda akan menempuh ujian Fisika, Kimia dan Matematika. Peluang untuk lulus Fisika 70 %, Kimia 60 % dan Matematika 50 %. Peluang untuk lulus ketiga-tiganya adalah

Penyelesaian

Peluang lulus Fisika 70% = 0,7 Peluang tidak lulus Fisika 30% = 0,3 Peluang lulus Kimia 60% = 0,6 Peluang tidak lulus Kimia 40% = 0,4 Peluang lulus Matematika 50% = 0,5 Peluang tidak lulus Matematika 50% = 0,5 Maka peluang Ranti lulus ketiganya mata pelajaran adalah

P (F ∩ K ∩ M ) = P ( F ) × P ( K ) × P ( M ) 7 6 5 × × 10 10 10 210 = 1000 = 21% =

d. Peluang gabungan dua kejadian saling bersyarat

kejadian A dan kejadian B disebut dua kejadian yang saling bersyarat, jika kejadian A bergantung pada kejadian B atau sebaliknya

Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B dulu, ditentukan dengan aturan P( A | B) =

P( A ∩ B ) ; P( B ) > 0 P( B) Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 35 of 37

Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A dulu, ditentukan dengan aturan P( B | A) =

P( A ∩ B ) ; P( A) > 0 P( A)

Contoh : Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika sebuah bola diambil dalam kotak itu berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian, peluang yang terambil kedua-duanya bola merah adalah.

Penyelesaianu

Pada pengambilan pertama n( S ) = C110 = 10 Misal A kejadian terambil bola merah maka n( A) = C16 = 6

P( A) =

6 3 = 10 5

Pada pengambilan kedua n( S ) = C19 = 9 Misal B kejadian terambil bola merah maka n( B ) = C15 = 5 5 9 P( A ∩ B ) = P( A).P( B / A) P( B / A) =

35 =   59 1 = 3

F. TUGAS 1. Diketahui tiga keping mata uang logam dengan masing-masing mempunyai muka angka dan gambar. Ketiga keping uang logam itu dilempar sekali bersama-sama. Peluang kejadian muncul dua angka dan satu gambar adalah 2. Dari 1000 kaleng sari buah, terdapat 4 yang rusak. Bila diambil 2 kaleng sari buah tersebut secara acak, maka besar peluang bahwa kedua-duanya rusak. 3. Dari 100 orang mahasiswa , terdaftar 45 orang mengikuti kuliah Bahasa Indonesia, 50 kuliah Sejarah dan 25 orang mengikuti kedua mata kuliah itu. Dipanggil seorang Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Page 36 of 37

diantara 100 orang mahasiswa itu. Maka peluang agar mahasiswa yang dipanggil itu tidak mengikuti kuliah Bahasa Indonesia maupun Sejarah adalah 4. Dua buah dadu bersisi emam dilemparkan bersama-sama. Peluang kejadian mata dadu yang muncul berjumlah 8 atau 12 adalah 5. Satu kartu diambil dari seperangkat kartu brids. Peluang untuk terambil kartu As atau K adalah 6. Jika sebuah dadu dilambungkan maka peluang munculnya mata dadu genap atau prima adalah 7. Tuti ingin menjumpai ketiga kawannya yang rumahnya berlainan tempat. Peluang Tuti menjumpai dua kawannya adalah 8. Menurut ramalan cuaca di Samarinda, peluang untuk hujan 60% dan peluang untuk angin ribut 20%. Peluang di Samarinda untuk hujan dan angin ribut adalah 9. Bu Siska bercita-cita ingin memiliki 4 orang anak. Peluang bu Siska memiliki paling sedikit 2 anak laki-laki adalah 10. Pedagang ayam mempunyai 6 ekor ayam jantan dan 4 ekor ayam betina. Akan dijual 5 ekor ayam. Peluang yang terjual 3 diantaranya ayam betina adalah 11. Adi, Beti, Cici, Dika dan Endah akan duduk secara acak pada 5 kursi yang berderet dari kiri ke kanan. Peluang Adi dan Beti duduk selalu berdampingan adalah 12. Peluang siswa A dan B lulus ujian adalah 0,98 dan 0,95 . Peluang siswa A lulus dan siswa B tidak lulus adalah 13. Dalam sebuah kotak terdapat 5 manik merah dan 4 manik putih. Jika diambil 2 manik secara acak, peluang terambil satu manik merah dan satu manik putih adalah 14. Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping lima ratusan rupiah dan 2 keping ratusan rupiah. Dompet yang lain berisi uang logam 1 keping lima ratusan dan 3 keping ratusan rupiah. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah 15. Di dalam suatu kotak terdapat 6 bola warna putih, 3 bola warna merah, dan 1 bola warna kuning akan diambil 3 buah bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2 bola warna merah dan 1 bola warna kuning adalah


Page 37 of 37

G.

ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala. Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI. Klaten : Intan Pariwara.. Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga Nugroho Soedyarto & Maryanto. 2008, BSE Matematika untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Wahyudin Djumanta & R. Sudrajat. 2008, BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk SMA/MA Kelas XI IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional


MODUL PROBABILITAS BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR 2 SMA NEGERI 10 MELATI SAMARINDA DI SUSUN OLEH : KHAIRUL BASARI, S.Pd

Recommend Documents