Model Poisson. Inferensi likelihood. Andi Kresna Jaya November 19, Jurusan Matematika

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Model Poisson Inferensi likelihood Andi Kresna Jaya [email protected] Jurusan Matematika

November 19, 2014 Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Outline

1

Review

2

Model Poisson

3

Poisson dengan overdispersi

Back

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Outline

1

Review

2

Model Poisson

3

Poisson dengan overdispersi

Back

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Outline

1

Review

2

Model Poisson

3

Poisson dengan overdispersi

Back

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Sasaran pembelajaran: Mampu menjelaskan bentuk fungsi likelihood untuk model Poisson. 1

2

Kemampuan menggambarkan fungsi likelihood dan selang kepercayaan untuk parameter Poisson. Kemampuan menerapkan model Poisson pada berbagai kasus

Metode: Kuliah dan Diskusi Text book: Hogg dan Craig, Introduction to Mathematical Statistics Text book: Yudi Pawitan, In All Likelihood

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

opening

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

poisson Sebuah peubah acak tipe diskrit dikatakan berdistribusi Poisson dengan parameter θ jika P(X = x) = e −θ

θx . x!

Model ini digunakan secara luas pada setiap data yang dapat dihitung, seperti 1

2 3

Banyaknya kecelakaan yang terjadi di sebuah jalan setiap tahun; Banyaknya kematian akibat penyakit tertentu per minggunya; Banyaknya klaim asuransi di sebuah kawasan setiap tahun.

Model Poisson ini juga merupakan aproksimasi dari model binomial dengan n yang besar dan peluang sukses p = θ/n kecil.

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

poisson Sebuah peubah acak tipe diskrit dikatakan berdistribusi Poisson dengan parameter θ jika P(X = x) = e −θ

θx . x!

Model ini digunakan secara luas pada setiap data yang dapat dihitung, seperti 1

2 3

Banyaknya kecelakaan yang terjadi di sebuah jalan setiap tahun; Banyaknya kematian akibat penyakit tertentu per minggunya; Banyaknya klaim asuransi di sebuah kawasan setiap tahun.

Model Poisson ini juga merupakan aproksimasi dari model binomial dengan n yang besar dan peluang sukses p = θ/n kecil.

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

poisson Sebuah peubah acak tipe diskrit dikatakan berdistribusi Poisson dengan parameter θ jika P(X = x) = e −θ

θx . x!

Model ini digunakan secara luas pada setiap data yang dapat dihitung, seperti 1

2 3

Banyaknya kecelakaan yang terjadi di sebuah jalan setiap tahun; Banyaknya kematian akibat penyakit tertentu per minggunya; Banyaknya klaim asuransi di sebuah kawasan setiap tahun.

Model Poisson ini juga merupakan aproksimasi dari model binomial dengan n yang besar dan peluang sukses p = θ/n kecil.

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

poisson Sebuah peubah acak tipe diskrit dikatakan berdistribusi Poisson dengan parameter θ jika P(X = x) = e −θ

θx . x!

Model ini digunakan secara luas pada setiap data yang dapat dihitung, seperti 1

2 3

Banyaknya kecelakaan yang terjadi di sebuah jalan setiap tahun; Banyaknya kematian akibat penyakit tertentu per minggunya; Banyaknya klaim asuransi di sebuah kawasan setiap tahun.

Model Poisson ini juga merupakan aproksimasi dari model binomial dengan n yang besar dan peluang sukses p = θ/n kecil.

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

poisson Sebuah peubah acak tipe diskrit dikatakan berdistribusi Poisson dengan parameter θ jika P(X = x) = e −θ

θx . x!

Model ini digunakan secara luas pada setiap data yang dapat dihitung, seperti 1

2 3

Banyaknya kecelakaan yang terjadi di sebuah jalan setiap tahun; Banyaknya kematian akibat penyakit tertentu per minggunya; Banyaknya klaim asuransi di sebuah kawasan setiap tahun.

Model Poisson ini juga merupakan aproksimasi dari model binomial dengan n yang besar dan peluang sukses p = θ/n kecil.

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

poisson Sebuah peubah acak tipe diskrit dikatakan berdistribusi Poisson dengan parameter θ jika P(X = x) = e −θ

θx . x!

Model ini digunakan secara luas pada setiap data yang dapat dihitung, seperti 1

2 3

Banyaknya kecelakaan yang terjadi di sebuah jalan setiap tahun; Banyaknya kematian akibat penyakit tertentu per minggunya; Banyaknya klaim asuransi di sebuah kawasan setiap tahun.

Model Poisson ini juga merupakan aproksimasi dari model binomial dengan n yang besar dan peluang sukses p = θ/n kecil.

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

 P(X = x)

= = →

n x



π x (1 − π)n−x

n(n − 1) · · · (n − x + 1) θx nx x! x θ −θ e . x!

  θ n−x 1− n

Misalkan sampel acak untuk distribusi Poisson diperoleh X1 , X2 , · · · , Xn , maka fungsi likelihoodnya L(θ) =

n Y θxi i=1

xi !

e −θ , 0 < θ < ∞.

Bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi L(θ) = e −nθ θ

P

xi

, 0 < θ < ∞.

Turunan pertama dan kedua fungsi likelihoodnya terhadap θ. Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

 P(X = x)

= = →

n x



π x (1 − π)n−x

n(n − 1) · · · (n − x + 1) θx nx x! x θ −θ e . x!

  θ n−x 1− n

Misalkan sampel acak untuk distribusi Poisson diperoleh X1 , X2 , · · · , Xn , maka fungsi likelihoodnya L(θ) =

n Y θxi i=1

xi !

e −θ , 0 < θ < ∞.

Bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi L(θ) = e −nθ θ

P

xi

, 0 < θ < ∞.

Turunan pertama dan kedua fungsi likelihoodnya terhadap θ. Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

 P(X = x)

= = →

n x



π x (1 − π)n−x

n(n − 1) · · · (n − x + 1) θx nx x! x θ −θ e . x!

  θ n−x 1− n

Misalkan sampel acak untuk distribusi Poisson diperoleh X1 , X2 , · · · , Xn , maka fungsi likelihoodnya L(θ) =

n Y θxi i=1

xi !

e −θ , 0 < θ < ∞.

Bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi L(θ) = e −nθ θ

P

xi

, 0 < θ < ∞.

Turunan pertama dan kedua fungsi likelihoodnya terhadap θ. Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Turunan pertama L terhadap θ: 0

L (θ) = e

−nθ

θ

P

xi

P

xi

θ

 −n .

Turunan kedua L terhadap θ: P P  P P P xi ( xi − 1) n xi n xi 2 −nθ xi − +n . L”(θ) = e θ − θ2 θ θ penaksir MLE-nya (diperoleh dari turunan pertama sama dengan nol dan hasilnya diuji pada turunan keduanya adalah negatif) adalah θˆ = X¯ p ˆ = x¯/n. dengan standar errornya, se(θ)

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Turunan pertama L terhadap θ: 0

L (θ) = e

−nθ

θ

P

xi

P

xi

θ

 −n .

Turunan kedua L terhadap θ: P P  P P P xi ( xi − 1) n xi n xi 2 −nθ xi − +n . L”(θ) = e θ − θ2 θ θ penaksir MLE-nya (diperoleh dari turunan pertama sama dengan nol dan hasilnya diuji pada turunan keduanya adalah negatif) adalah θˆ = X¯ p ˆ = x¯/n. dengan standar errornya, se(θ)

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Turunan pertama L terhadap θ: 0

L (θ) = e

−nθ

θ

P

xi

P

xi

θ

 −n .

Turunan kedua L terhadap θ: P P  P P P xi ( xi − 1) n xi n xi 2 −nθ xi − +n . L”(θ) = e θ − θ2 θ θ penaksir MLE-nya (diperoleh dari turunan pertama sama dengan nol dan hasilnya diuji pada turunan keduanya adalah negatif) adalah θˆ = X¯ p ˆ = x¯/n. dengan standar errornya, se(θ)

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

contoh 1 Dalam lima tahun terakhir di sebuah kawasan tercatat gempa setiap tahun adalah 3, 2, 5, 0, dan 4. Jika diasumsikan memenuhi model Poisson, tentukan penaksiran MLE dan standar errornya. Berikan selang kepercayaan 95% untuk θ. P Diketahui n = 5, xi = 3 + 2 + 5 + 0 + 4 = 14, maka fungsi likelihoodnya L(θ) = e −5θ θ14 Penaksiran MLE adalah θˆ = 14/5 = 2.8 dengan standar p ˆ errornya, se(θ) = 2.8/5 ∼ 0.748. ˆ = 1.514 maka Nilai likelihoodnya untuk θ = θˆ adalah L(θ) ˆ selang kepercayaan dapat diperoleh dari grafik L(θ)/L(θ) terhadap θ pada garis L = 0.15 sebagaimana terlihat pada gambar 1. Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

contoh 1 Dalam lima tahun terakhir di sebuah kawasan tercatat gempa setiap tahun adalah 3, 2, 5, 0, dan 4. Jika diasumsikan memenuhi model Poisson, tentukan penaksiran MLE dan standar errornya. Berikan selang kepercayaan 95% untuk θ. P Diketahui n = 5, xi = 3 + 2 + 5 + 0 + 4 = 14, maka fungsi likelihoodnya L(θ) = e −5θ θ14 Penaksiran MLE adalah θˆ = 14/5 = 2.8 dengan standar p ˆ errornya, se(θ) = 2.8/5 ∼ 0.748. ˆ = 1.514 maka Nilai likelihoodnya untuk θ = θˆ adalah L(θ) ˆ selang kepercayaan dapat diperoleh dari grafik L(θ)/L(θ) terhadap θ pada garis L = 0.15 sebagaimana terlihat pada gambar 1. Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

contoh 1 Dalam lima tahun terakhir di sebuah kawasan tercatat gempa setiap tahun adalah 3, 2, 5, 0, dan 4. Jika diasumsikan memenuhi model Poisson, tentukan penaksiran MLE dan standar errornya. Berikan selang kepercayaan 95% untuk θ. P Diketahui n = 5, xi = 3 + 2 + 5 + 0 + 4 = 14, maka fungsi likelihoodnya L(θ) = e −5θ θ14 Penaksiran MLE adalah θˆ = 14/5 = 2.8 dengan standar p ˆ errornya, se(θ) = 2.8/5 ∼ 0.748. ˆ = 1.514 maka Nilai likelihoodnya untuk θ = θˆ adalah L(θ) ˆ selang kepercayaan dapat diperoleh dari grafik L(θ)/L(θ) terhadap θ pada garis L = 0.15 sebagaimana terlihat pada gambar 1. Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

contoh 1 Dalam lima tahun terakhir di sebuah kawasan tercatat gempa setiap tahun adalah 3, 2, 5, 0, dan 4. Jika diasumsikan memenuhi model Poisson, tentukan penaksiran MLE dan standar errornya. Berikan selang kepercayaan 95% untuk θ. P Diketahui n = 5, xi = 3 + 2 + 5 + 0 + 4 = 14, maka fungsi likelihoodnya L(θ) = e −5θ θ14 Penaksiran MLE adalah θˆ = 14/5 = 2.8 dengan standar p ˆ errornya, se(θ) = 2.8/5 ∼ 0.748. ˆ = 1.514 maka Nilai likelihoodnya untuk θ = θˆ adalah L(θ) ˆ selang kepercayaan dapat diperoleh dari grafik L(θ)/L(θ) terhadap θ pada garis L = 0.15 sebagaimana terlihat pada gambar 1. Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Selang kepercayaan 95% adalah 1.6 < θ < 4.5.

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

contoh 2 Jenkins dan Johnson (1975) melaporkan kecelakaan selama 76 bulan akibat kejahatan teroris di Amerika antara Januari 1968 hingga April 1974. Data yang diberikan adalah sebagai Jumlah kecelakaan k Jumlah bulan nk 0 38 1 26 berikut: 2 8 3 2 4 1 12 1 Hoaglin dan Tukey (1985) memberikan gagasan untuk membuat plot poisson dari kasus ini. Grafik jumlah kecelakaan k terhadap jumlah bulan nk dalam bentuk persamaan garis. Jika diasumsikan sebagai model Poisson, maka peluang terjadinya kecelakaan pk = P(X = k) = e −θ θk /k!. Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

contoh 2 Jenkins dan Johnson (1975) melaporkan kecelakaan selama 76 bulan akibat kejahatan teroris di Amerika antara Januari 1968 hingga April 1974. Data yang diberikan adalah sebagai Jumlah kecelakaan k Jumlah bulan nk 0 38 1 26 berikut: 2 8 3 2 4 1 12 1 Hoaglin dan Tukey (1985) memberikan gagasan untuk membuat plot poisson dari kasus ini. Grafik jumlah kecelakaan k terhadap jumlah bulan nk dalam bentuk persamaan garis. Jika diasumsikan sebagai model Poisson, maka peluang terjadinya kecelakaan pk = P(X = k) = e −θ θk /k!. Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Maka log pk = −θ + k log θ − log k! atau log pk + log k! = −θ + k log θ Dari bentuk di atas, jika kita membuat plot k terhadap log pk k! maka dapat dilihat seperti hubungan linier. Peluang kecelakaan dilihat dari banyaknya bulan untuk jumlah kecelakaan tertentu dapat diperkirakan sebagai X pˆk = nk / nk . Jika data jumlah kecelakaan per bulan adalah model Poisson, maka fungsi likelihoodnya Y n L(θ) = pk k k

=

Y  e −θ θk nk k

Andi Kresna Jaya [email protected]

k! Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Maka log pk = −θ + k log θ − log k! atau log pk + log k! = −θ + k log θ Dari bentuk di atas, jika kita membuat plot k terhadap log pk k! maka dapat dilihat seperti hubungan linier. Peluang kecelakaan dilihat dari banyaknya bulan untuk jumlah kecelakaan tertentu dapat diperkirakan sebagai X pˆk = nk / nk . Jika data jumlah kecelakaan per bulan adalah model Poisson, maka fungsi likelihoodnya Y n L(θ) = pk k k

=

Y  e −θ θk nk k

Andi Kresna Jaya [email protected]

k! Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Maka log pk = −θ + k log θ − log k! atau log pk + log k! = −θ + k log θ Dari bentuk di atas, jika kita membuat plot k terhadap log pk k! maka dapat dilihat seperti hubungan linier. Peluang kecelakaan dilihat dari banyaknya bulan untuk jumlah kecelakaan tertentu dapat diperkirakan sebagai X pˆk = nk / nk . Jika data jumlah kecelakaan per bulan adalah model Poisson, maka fungsi likelihoodnya Y n L(θ) = pk k k

=

Y  e −θ θk nk k

Andi Kresna Jaya [email protected]

k! Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Maka log pk = −θ + k log θ − log k! atau log pk + log k! = −θ + k log θ Dari bentuk di atas, jika kita membuat plot k terhadap log pk k! maka dapat dilihat seperti hubungan linier. Peluang kecelakaan dilihat dari banyaknya bulan untuk jumlah kecelakaan tertentu dapat diperkirakan sebagai X pˆk = nk / nk . Jika data jumlah kecelakaan per bulan adalah model Poisson, maka fungsi likelihoodnya Y n L(θ) = pk k k

=

Y  e −θ θk nk k

Andi Kresna Jaya [email protected]

k! Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Dengan melogaritmakan ruas kiri dan kanan, diperoleh X X X log (L(θ) = −θ nk + log θ knk − log k! k

k

k

Turunan pertama terhadap θ untuk log L(θ) adalah P X knk d log (L(θ) =− nk + k . dθ θ k

Sehingga penaksir MLE untuk fungsi likelihood di atas adalah P knk θˆ = Pk . k nk Satu hal, untuk jumlah kecelakaan 12 dalam model Poisson merupakan suatu kasus ekstrim atau bisa dikatakan sebagai data pencilan. Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Dengan melogaritmakan ruas kiri dan kanan, diperoleh X X X log (L(θ) = −θ nk + log θ knk − log k! k

k

k

Turunan pertama terhadap θ untuk log L(θ) adalah P X knk d log (L(θ) =− nk + k . dθ θ k

Sehingga penaksir MLE untuk fungsi likelihood di atas adalah P knk θˆ = Pk . k nk Satu hal, untuk jumlah kecelakaan 12 dalam model Poisson merupakan suatu kasus ekstrim atau bisa dikatakan sebagai data pencilan. Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Dengan melogaritmakan ruas kiri dan kanan, diperoleh X X X log (L(θ) = −θ nk + log θ knk − log k! k

k

k

Turunan pertama terhadap θ untuk log L(θ) adalah P X knk d log (L(θ) =− nk + k . dθ θ k

Sehingga penaksir MLE untuk fungsi likelihood di atas adalah P knk θˆ = Pk . k nk Satu hal, untuk jumlah kecelakaan 12 dalam model Poisson merupakan suatu kasus ekstrim atau bisa dikatakan sebagai data pencilan. Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Dengan melogaritmakan ruas kiri dan kanan, diperoleh X X X log (L(θ) = −θ nk + log θ knk − log k! k

k

k

Turunan pertama terhadap θ untuk log L(θ) adalah P X knk d log (L(θ) =− nk + k . dθ θ k

Sehingga penaksir MLE untuk fungsi likelihood di atas adalah P knk θˆ = Pk . k nk Satu hal, untuk jumlah kecelakaan 12 dalam model Poisson merupakan suatu kasus ekstrim atau bisa dikatakan sebagai data pencilan. Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Berikut adalah plot poisson data antara log (pk k! terhadap k Gambar menunjukkan bahwa bulan-bulan dengan jumlah kecelakaan k = 0, 1, 2, 3 mengikuti asumsi Poisson, untuk 4 kejadian/bulan adalah kasus yang jarang terjadi, sedangkan 12 kecelakaan/bulan merupakan kasus yang ekstrim (outlier).

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Berikut adalah plot poisson data antara log (pk k! terhadap k Gambar menunjukkan bahwa bulan-bulan dengan jumlah kecelakaan k = 0, 1, 2, 3 mengikuti asumsi Poisson, untuk 4 kejadian/bulan adalah kasus yang jarang terjadi, sedangkan 12 kecelakaan/bulan merupakan kasus yang ekstrim (outlier).

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Rata-rata banyaknya kecelakaan per bulan (untuk k = 0, 1, 2, 3, 4) adalah θˆ = 52/75 = 0.693. Jika data pencilan dipertimbangkan juga, maka rata-rata banyaknya kecelakaan adalah θˆ = 64/76 = 0.842. Selang kepercayaan 95% untuk θ

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Rata-rata banyaknya kecelakaan per bulan (untuk k = 0, 1, 2, 3, 4) adalah θˆ = 52/75 = 0.693. Jika data pencilan dipertimbangkan juga, maka rata-rata banyaknya kecelakaan adalah θˆ = 64/76 = 0.842. Selang kepercayaan 95% untuk θ

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

overdispersi Seperti model binomial, Poisson mempunyai mean dan variansi yang saling berhubungan, namun memungkinkan terjadinya overdispersi jika dikaitkan dengan data. Overdispersi dapat terjadi jika Xµ , hasil-hasil yang mungkin (dan bergantung pada µ) adalah diasumsikan Poisson dengan mean µ dan mu sendiri adalah peubah acak dengan mean Eµ dan variansinya σ 2 . E (Xµ ) = E [E (Xµ |µ)] = Eµ var (Xµ ) = E [var (Xµ |µ)] + var (E [Xµ |µ]) = Eµ + var (µ) = Eµ + σ 2 . Sedangkan variansinya dapat berbeda dengan bentuk variansi model poisson standar. Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

overdispersi Seperti model binomial, Poisson mempunyai mean dan variansi yang saling berhubungan, namun memungkinkan terjadinya overdispersi jika dikaitkan dengan data. Overdispersi dapat terjadi jika Xµ , hasil-hasil yang mungkin (dan bergantung pada µ) adalah diasumsikan Poisson dengan mean µ dan mu sendiri adalah peubah acak dengan mean Eµ dan variansinya σ 2 . E (Xµ ) = E [E (Xµ |µ)] = Eµ var (Xµ ) = E [var (Xµ |µ)] + var (E [Xµ |µ]) = Eµ + var (µ) = Eµ + σ 2 . Sedangkan variansinya dapat berbeda dengan bentuk variansi model poisson standar. Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

overdispersi Seperti model binomial, Poisson mempunyai mean dan variansi yang saling berhubungan, namun memungkinkan terjadinya overdispersi jika dikaitkan dengan data. Overdispersi dapat terjadi jika Xµ , hasil-hasil yang mungkin (dan bergantung pada µ) adalah diasumsikan Poisson dengan mean µ dan mu sendiri adalah peubah acak dengan mean Eµ dan variansinya σ 2 . E (Xµ ) = E [E (Xµ |µ)] = Eµ var (Xµ ) = E [var (Xµ |µ)] + var (E [Xµ |µ]) = Eµ + var (µ) = Eµ + σ 2 . Sedangkan variansinya dapat berbeda dengan bentuk variansi model poisson standar. Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

contoh 3 Misalkan dua kolom pertama dari data berikut menyatakan jumlah kecelakaan yang dialami oleh pekerja pabrik (Greenwood dan Yule, 1920). Jumlah seluruh pekerja yang tidak mengalami kecelakaan ada 447. noa k now nk Poisson Neg binomial 0 447 406.3 446.2 1 132 189.0 134.1 2 42 44.0 44.0 3 21 6.8 14.9 4 3 0.8 5.1 >4 2 0.1 2.7 Jika asumsi data tersebut adalah model Poisson, rata-rata kecelakaan adalah P kn Pk k = 0.47. k nk Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

contoh 3 Misalkan dua kolom pertama dari data berikut menyatakan jumlah kecelakaan yang dialami oleh pekerja pabrik (Greenwood dan Yule, 1920). Jumlah seluruh pekerja yang tidak mengalami kecelakaan ada 447. noa k now nk Poisson Neg binomial 0 447 406.3 446.2 1 132 189.0 134.1 2 42 44.0 44.0 3 21 6.8 14.9 4 3 0.8 5.1 >4 2 0.1 2.7 Jika asumsi data tersebut adalah model Poisson, rata-rata kecelakaan adalah P kn Pk k = 0.47. k nk Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Untuk menyederhanakan perhitungan, asumsikan saja bahwa kategori terakhir, > 4 adalah 5 kecelakaan. Jika dibandingkan data observasi dengan frekuensi yang sesuai, model Poisson jelas tidak memenuhi untuk data ini. Jika diasumsikan berdistribusi poisson, maka frekuensi kemunculan k kecelakaan dinyatakan sebagai ek = N pˆk , dengan ˆ ˆ

e −θ θ θ . k! Data ini menunjukkan telah terjadi overdispersi, hal ini karena untuk jenis kecelakaan seperti ini ada banyak kecelakaan yang sifatnya acak saja, tapi memang ada pekerjaan yang sifatnya rawan kecelakaan. pˆk =

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Untuk menyederhanakan perhitungan, asumsikan saja bahwa kategori terakhir, > 4 adalah 5 kecelakaan. Jika dibandingkan data observasi dengan frekuensi yang sesuai, model Poisson jelas tidak memenuhi untuk data ini. Jika diasumsikan berdistribusi poisson, maka frekuensi kemunculan k kecelakaan dinyatakan sebagai ek = N pˆk , dengan ˆ ˆ

e −θ θ θ . k! Data ini menunjukkan telah terjadi overdispersi, hal ini karena untuk jenis kecelakaan seperti ini ada banyak kecelakaan yang sifatnya acak saja, tapi memang ada pekerjaan yang sifatnya rawan kecelakaan. pˆk =

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Untuk menyederhanakan perhitungan, asumsikan saja bahwa kategori terakhir, > 4 adalah 5 kecelakaan. Jika dibandingkan data observasi dengan frekuensi yang sesuai, model Poisson jelas tidak memenuhi untuk data ini. Jika diasumsikan berdistribusi poisson, maka frekuensi kemunculan k kecelakaan dinyatakan sebagai ek = N pˆk , dengan ˆ ˆ

e −θ θ θ . k! Data ini menunjukkan telah terjadi overdispersi, hal ini karena untuk jenis kecelakaan seperti ini ada banyak kecelakaan yang sifatnya acak saja, tapi memang ada pekerjaan yang sifatnya rawan kecelakaan. pˆk =

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Jika µ berdistribusi gamma, dengan pdf f (µ) =

1 α−1 α −βµ µ β e Γ(α)

Sebuah sampel acak X dari Xµ untuk semua µ mempunyai mean α E [X ] = Eµ = β dan variansinya var (X ) = Eµ + var (µ) α α = + 2. β β Maka Xµ yang berdistribusi Poisson dengan mean µ,

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Jika µ berdistribusi gamma, dengan pdf f (µ) =

1 α−1 α −βµ µ β e Γ(α)

Sebuah sampel acak X dari Xµ untuk semua µ mempunyai mean α E [X ] = Eµ = β dan variansinya var (X ) = Eµ + var (µ) α α = + 2. β β Maka Xµ yang berdistribusi Poisson dengan mean µ,

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Jika µ berdistribusi gamma, dengan pdf f (µ) =

1 α−1 α −βµ µ β e Γ(α)

Sebuah sampel acak X dari Xµ untuk semua µ mempunyai mean α E [X ] = Eµ = β dan variansinya var (X ) = Eµ + var (µ) α α = + 2. β β Maka Xµ yang berdistribusi Poisson dengan mean µ,

Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson

Review Model Poisson Poisson dengan overdispersi

Closing

Far better an approximate answer to the right question, which is often vague, than the exact answer to the wrong question, which can always be made precise. John Wilder Tukey (1915 2000) Andi Kresna Jaya [email protected]

Model Poisson