MODEL REGRESI ZERO INFLATED GENERALIZED POISSON

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

MODEL REGRESI ZERO INFLATED GENERALIZED POISSON

Oleh WICAKSONO CAHYO NUGROHO NIM. M0106067

SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012

commit to user

i


digilib.uns.ac.id

SKRIPSI ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI COM-POISSON MENGGUNAKAN METODE QUASI LIKELIHOOD yang disiapkan dan disusun oleh WICAKSONO CAHYO NUGROHO NIM. M0106067 dibimbing oleh Pembimbing I

Pembimbing II

Drs. Sugiyanto, M.Si NIP. 19611224 199203 1 003

Drs. Tri Atmojo K, M.Sc., Ph.D NIP. 19630826 198803 1 002

telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Selasa, 15 Mei 2012 dan dinyatakan telah memenuhi syarat. Anggota Tim Penguji

Tanda Tangan

1. Dra. Respatiwulan, M.Si

1. ................................

NIP. 19680611 199302 2 001 2. Drs. Siswanto, M.Si

2. ................................

NIP. 19670813 199203 1 002 Disahkan oleh Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan

Ketua Jurusan Matematika

Prof. Ir.Ari Handono Ramelan, M.Sc., (Hons)., Ph.D. NIP. 19610223 198601 1 001 commit to user

ii

Irwan Susanto, DEA. NIP. 19710511 199512 1 001


digilib.uns.ac.id

ABSTRAK

Wicaksono Cahyo Nugroho, 2012. MODEL REGRESI ZERO INFLATED GENERALIZED POISSON. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Model regresi Poisson secara umum telah banyak digunakan untuk menganalisis data cacah dengan mean sampel dan variansi sampel sama yang biasa disebut equidispersi. Sering kali data cacah memperlihatkan nilai variansi lebih besar dari mean yang biasa disebut overdispersion atau variansi lebih kecil dari mean yang disebut underdispersion. Masalah lain yang muncul dalam data cacah adalah frekuensi nol yang lebih banyak, kedua masalah ini menyebabkan estimasi parameter yang dihasilkan kurang tepat. Pada kondisi tersebut salah satu model yang tepat digunakan adalah model regresi zero inflated generalized Poisson (ZIGP). Tujuan dari penelitian ini adalah mengkonstruksi bentuk model regresi ZIGP, dan menentukan estimasi parameter dari model regresi ZIGP menggunakan maximum likelihood estimator (MLE). Kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini adalah (1) model regresi zero ( | ) ( ) ( ) dengan inflated generalized Poisson (ZIGP) adalah ( ) ( ), dan (2) estimasi parameter model regresi zero , dan ( ) ( ) inflated generalized Poisson (ZIGP) menggunakan MLE menghasilkan persamaan non linier. Kata kunci: Overdispersion, underdispersion, maximum likelihood estimator.

commit to user

iii


digilib.uns.ac.id

ABSTRACT

Wicaksono Cahyo Nugroho, 2012. ZERO INFLATED GENERALIZED POISSON REGRESSION MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Commonly Poisson regression model is widely used to analyze count data with same mean and variance samples, that usually called equidispersion. The count data is often shows the variance larger or smaller than mean, they are called overdispersion and underdispersion respectively. Another problems that emerged in the count data with excess zeros, both of these problems led to so parameter that estimated is not appropriate. In that condition, one of the appropriate model is zero inflated generalized Poisson regression model. The purposes of this research is to reconstruct ZIGP regression model and to determine the parameter estimaton of ZIGP regression model using menggunakan maximum likelihood estimator (MLE). The conclusions of this research are (1) zero inflated generalized Poisson (ZIGP) ( ) ) ( ) with ( ), and (2) the is ( | ) ( and ( ) ( ) parameter estimation of zero inflated generalized Poisson regression model (ZIGP) using MLE has non linear equation as the result.

Keyword : Overdispersi, underdispersi, maximum likelihood estimator.

commit to user

iv


digilib.uns.ac.id

MOTO

“Tanah yang digadaikan bisa kembali dalam keadaan lebih berharga, tetapi kejujuran yang pernah digadaikan tidak pernah bisa ditebus kembali”

“Kebaikan tidak bernilai selama diucapkan akan tetapi bernilai sesudah dikerjakan”

“Keberhasilan hanya akan diperoleh dari ketekunan dan keikhlasan”

commit to user

v


digilib.uns.ac.id

PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk Bapak, Ibu dan Adikku tercinta atas doa, kasih sayang dan do’a yang diberikan. Yuniar Dwi Nur Rahmasari atas dukungan, semangat dan keceriannya saat menemani penulis dalam menyusun skripsi ini

commit to user

vi


digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karuniaNya dan memberikan kekuatan dan kemudahan kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Terselesaikannya skripsi ini tidak lepas dari bimbingan dan motivasi dari berbagai pihak. Untuk itu penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada 1.

Bapak Drs. Sugiyanto, M.Si sebagai Dosen Pembimbing I atas kesediaan dan kesabaran dalam memberikan bimbingan, nasehat serta pengarahan dalam penyusunan skripsi ini,

2.

Bapak Drs. Tri Atmojo K, M.Sc., Ph.D sebagai Dosen Pembimbing II atas kesediaan dan kesabaran memberikan bantuan serta bimbingan dalam penulisan skripsi ini,

3.

Ardy Yudha dan Mas Rizky Magta yang telah membantu dan memberi semangat penulis menyeleseikan skripsi ini,

4.

Seluruh teman-teman matematika angkatan 2006 yang telah menemani berjuang menyeleseikan skripsi ini,

5.

Semua pihak yang turut membantu kelancaran penulisan skripsi ini.

Semoga penulisan skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Surakarta, Mei 2012 Penulis

commit to user

vii


digilib.uns.ac.id

DAFTAR ISI

JUDUL .................................................................................................................. i PENGESAHAN .................................................................................................... ii ABSTRAK ............................................................................................................ iii ABSTRACT ............................................................................................................ iv MOTTO ............................................................................................................... v PERSEMBAHAN ................................................................................................ vi KATA PENGANTAR .......................................................................................... vii DAFTAR ISI ........................................................................................................viii DAFTAR TABEL ................................................................................................. x I.

PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang Masalah ......................................................................... 1 1.2 Perumusan Masalah ................................................................................ 3 1.3 Tujuan Penelitian .................................................................................... 4 1.4 Manfaat Penelitian .................................................................................. 4 II. LANDASAN TEORI

5

2.1 Tinjauan Pustaka ..................................................................................... 5 2.2 Teori-Teori Penunjang ........................................................................... 7 2.2.1 Konsep Dasar Statistik ................................................................ 7 2.2.2 Teori Dasar Matriks .................................................................... 8 2.2.3 Keluarga Distribusi Eksponensial ............................................... 9 2.2.4 Fungsi Link .................................................................................. 9 2.2.5 Distribusi Poisson ....................................................................... 9 2.2.6 Model Regresi Poisson ............................................................... 11 2.2.7 Model Regresi Generalized Poisson ........................................... 12 2.2.8 Model Regresi Zero Infalted Poisson ......................................... 14 2.2.9 Pendeteksian Overdispersi dan Underdispersi ............................ 15 2.2.10 Metode Maksimum Likelihood ................................................... 15 commit to user 2.3 Kerangka Pemikiran................................................................................ 18

viii


digilib.uns.ac.id

III. METODE PENELITIAN

19

IV. PEMBAHASAN

20

4.1 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson ................................ 20 4.2 Estimasi Parameter Model Regresi Zero Infalted Generalized Poisson Menggunakan Maximum Likelihood Estimator (MLE) ......................... 22 4.3 Uji Ketepatan Model Regresi ZIGP ....................................................... 27 4.4 Contoh Kasus ......................................................................................... 28 4.4.1 Pendeteksian Overdispersi atau Underdispersi ........................... 29 4.4.2 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson Pada Klaim Asuransi Untuk Kecelakaan Bermotor di Perusahaan Asuransi di Kota Kendari Dengan Seluruh Variabel Independen ............ 30 4.4.3 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson Pada Klaim Asuransi untuk Kecelakaan Bermotor di Perusahaan Asuransi di Kota Kendari dengan Seluruh Variabel Independen Berpengaruh ............................................................................... 30 4.4.4 Uji Kecocokan Model ................................................................. 32 V. PENUTUP

33

5.1 Kesimpulan ............................................................................................. 33 5.2 Saran ....................................................................................................... 33 DAFTAR PUSTAKA

34

LAMPIRAN

35

commit to user

ix


digilib.uns.ac.id

DAFTAR TABEL

2.1

Daftar fungsi link untuk beberapa distribusi ................................................ .9

4.1

Data lama perawatan sesuai jumlah klaim yang diajukan, usia dan jenis kelamin korban kecelakaan.......................................................................... 29

4.2

Nilai statistik deviance (D ) ......................................................................... 30

4.3

Nilai estimasi parameter model regresi zero inflated generalized Poisson dengan seluruh variabel independen ............................................................ 30

4.4

Nilai estimasi parameter model regresi ZIGP dengan variabel independen berpengaruh Variabel yang Berpengaruh.....................................................31

commit to user

x


digilib.uns.ac.id

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Metode statistika merupakan pendekatan yang dapat digunakan untuk memperoleh hasil penelitian, metode ini meliputi masalah mengumpulkan, mengolah, menyajikan, menganalisa dan menginterpretasikan data. Salah satu metode yang digunakan adalah analisis regresi. Analisis regresi adalah suatu metode statistika yang menyatakan pola hubungan antar dua variabel yaitu variabel independen dan variabel dependen. Variabel independen merupakan variabel yang tidak dipengaruhi oleh variabel lain, sedangkan variabel dependen merupakan variabel yang masih dipengaruhi oleh nilai variabel independen. Analisis regresi bertujuan mencari pola hubungan antara variabel independen dan variabel dependen yang kemudian pola hubungan tersebut dirumuskan dalam suatu model tertentu, sehingga dapat dilakukan suatu prediksi nilai variabel dependen dengan diketahui suatu nilai variabel independennya, Sembiring (1995). Dalam aplikasinya banyak penelitian menggunakan variabel tak bebas yang berupa data cacah, termasuk pada pembahasan skripsi ini penulis juga menggunakan data cacah. Menurut Fahrmeir dan Tuts (1994), data cacah adalah data yang dihitung sebagai jumlah kejadian dalam interval waktu tertentu. Misalnya data banyaknya kecelakaan, banyaknya kelahiran, banyaknya kematian dalam waktu satu tahun. Salah satu model regresi yang digunakan untuk menyatakan pola hubungan antara variabel tak bebas dengan variabel bebas yang berupa data cacah adalah model regresi Poisson. Menurut Simon dalam Putri (2007), data berdistribusi Poisson mempunyai tiga masalah yang menyebabkan model regresi linier tidak dapat digunakan, yaitu 1. distribusi Poisson adalah menceng (skew), sedangkan model regresi linier mengasumsikan distribusi dari sesatan adalah simetrik, 2. parameter distribusi Poisson adalah non negatif, sedangkan pada model regresi linier terdapat kemungkinan nilai perkiraan yang dihasilkan negatif, commit to user

1


digilib.uns.ac.id 2

3. distribusi Poisson mempunyai variabel yang akan naik seiring dengan naiknya mean, sedangkan model regresi linier mengasumsikan mean dan variansi konstan. Penggunaan analisis data yang tidak sesuai dengan kondisi data tidak saja akan menghasilkan suatu kesimpulan atau inferensi yang tidak bermanfaat (meaningless) tetapi dalam kondisi tertentu bahkan banyak yang menyesatkan (misleading). Untuk itu diperlukan suatu analisis yang sesuai dengan data. Salah satu model regresi yang sesuai untuk menyajikan permasalahan di atas adalah model regresi Poisson. Model regresi Poisson merupakan model regresi dengan variabel dependennya dalam bentuk cacah dan tidak bernilai negatif. Model regresi ini digunakan untuk memodelkan banyaknya kemunculan dari suatu kejadian sebagai fungsi dari sejumlah variabel independen, misalnya banyaknya kunjungan dokter, munculnya suatu penyakit, jumlah koloni dari bakteri dapat dimodelkan dengan menggunakan model regresi Poisson. Model regresi Poisson banyak digunakan untuk menganalisis data cacah dengan mean dan variansi dari sampel sama. Pada kenyataannya seringkali data cacah itu memperlihatkan perbedaan variansi dan mean sampel yaitu variansi sampel lebih besar dari mean sampel yang sering disebut overdispersi atau variansi sampel lebih kecil dari mean sampel yang sering disebut underdispersi, Ismail & Jemain (2005). Banyak model atau metode statistika yang telah diperkenalkan oleh para ahli untuk mengatasi masalah overdispersi dan underdispersi. Salah satu model yang dapat mengatasi masalah tersebut adalah model regresi generalized Poisson (GP), model GP merupakan model perluasan dari model regresi Poisson, Famoye et al. (2004). Model GP yang digunakan Famoye et al. (2004), dalam pemodelan data kecelakaan kendaraan ternyata lebih tepat menggambarkan keadaan data dibanding model Poisson. Penelitian tentang model regresi GP

juga telah

dilakukan oleh Anwani (2010). Konsep pembentukan model regresi GP ini didasarkan pada distribusi generalized Poisson yang dapat menjelaskan sejumlah data cacah yang memperlihatkan sifat overdispersi. commit to user

2


digilib.uns.ac.id 3

Model regresi GP dapat mengatasi masalah overdispersi tetapi tidak dapat mengatasi masalah zero inflated atau kasus dengan data yang ada terlalu banyak mengandung nilai nol. Oleh karena itu diperlukan suatu model yang dapat menangani masalah tersebut. Salah satu model regresi yang dapat menangani masalah zero inflated adalah model regresi zero inflated Poisson (ZIP), Lambert (1992). Pada tahun 2007 penelitian tentang model ini telah dilakukan oleh Putri. Model regresi ZIP merupakan model yang dapat digunakan pada data cacah dengan frekuensi nol lebih banyak. Akan tetapi, model ZIP ini kurang tepat untuk mengatasi masalah overdispersi atau underdispersi. Sehingga diperlukan suatu model alternatif lain yang tepat untuk mengatasi permasalahan tersebut. Salah satunya adalah memodelkan data cacah tersebut ke dalam model regresi zero inflated generalized Poisson (ZIGP). Menurut Famoye dan Singh (2006) model regresi ZIGP merupakan perluasan dari model regresi Poisson dan merupakan model gabungan dari model regresi ZIP dan model regresi GP. Konsep pembentukan model regresi ZIGP berdasarkan dari distribusi zero inflated generalized Poisson. Sehingga model regresi ZIGP ini dapat diterapkan pada data cacah yang menunjukkan sifat overdispersi atau underdispersi serta mempunyai frekuensi nol yang lebih banyak. Dalam skripsi ini dibahas mengenai konsep pembentukan model regresi zero inflated generalized Poisson yang didasarkan pada distribusi zero inflated generalized Poisson serta mengestimasi parameter-parameter dari model regresi zero inflated generalized Poisson menggunakan metode maksimum likelihood. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah, dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut 1. Bagaimana bentuk model regresi zero inflated generalized Poisson. 2. Bagaimana estimasi parameter dari model regresi zero inflated generalized Poisson menggunakan MLE. commit to user

3


digilib.uns.ac.id 4

1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan perumusan masalah, maka tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut 1.

Menentukan bentuk model regresi zero inflated generalized Poisson.

2.

Mengestimasi parameter dari model regresi zero inflated generalized Poisson menggunakan MLE. 1.4 Manfaat Penelitian Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan skripsi ini secara teoritis

dapat menambah pengetahuan tentang model regresi untuk data cacah yang menunjukkan sifat overdispersi maupun underdispersi, serta pengetahuan tentang metode estimasi parameter pada model regresi zero inflated generalized Poisson. Secara praktis, diharapkan dapat menentukan model yang sesuai dengan tipe data yang ada dan dapat menganalisis data sehingga menghasilkan suatu kesimpulan yang bermanfaat.

commit to user

4


digilib.uns.ac.id

BAB II LANDASAN TEORI Pada bagian pertama dari bab ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi penelitian-penelitian

sebelumnya

yang

mendasari

penelitian

ini.

Untuk

mendukung penulisan skripsi ini, penulis menyajikan teori-teori penunjang pada bagian kedua yang berisi definisi-definisi sebagai dasar pengertian untuk mempermudah pembahasan selanjutnya. Kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran dalam penulisan skripsi ini diberikan pada bagian ketiga. 2.1 Tinjauan Pustaka Distribusi Poisson memberikan suatu model yang realistis untuk berbagai macam fenomena random selama nilai dari variabel random Poisson adalah bilangan cacah, banyak fenomena random untuk suatu data cacah dari beberapa respon (variabel yang diteliti) merupakan suatu calon untuk pemodelan yang mengasumsikan distribusi Poisson. Misalkan suatu data cacah mungkin berupa jumlah kecelakaan lalu lintas tiap minggu, jumlah panggilan telepon per jam dalam suatu perusahaan yang masuk lewat operator, banyaknya kerusakan per unit dari beberapa material, jumlah aliran listrik tiap satuan panjang kabel, dan lainlain. Suatu ciri dari distribusi Poisson adalah mean sama dengan variansi. Pada prakteknya, kadang-kadang ditemukan suatu kondisi dengan variansi data lebih besar dibanding mean. Kondisi seperti ini disebut overdispersi, dan model regresi Poisson yang dihasilkan akan menjadi tidak sesuai. Selain itu akan menghasilkan estimasi parameter yang bias (Ridout, dkk, 2001). Famoye, dkk (2004) mengaplikasikan model regresi GP pada data kecelakaan automobil dengan kovariannya/variabel penjelas antara lain faktor demografi, kebiasaan mengendarai dari riwayat kesehatan. Dalam penelitiannya, Famoye, dkk (2004) menunjukkan bahwa model GP lebih tepat menggambarkan data dibanding model Poisson. Model regresi GP dapat diaplikasikan juga dalam bidang lain misal bidang ekonomi yang to telah commit userdilakukan oleh Ismail dan Jemain

5


digilib.uns.ac.id 6

(2005) dengan variabel penelitiannya adalah banyaknya klaim bermotor di Malaysia. Masalah lainnya pada regresi Poisson adalah jika terdapat banyak data yang bernilai nol, sehingga lebih banyak data nolnya dibanding regresi Poisson yang akan diprediksi. Jika hal ini terjadi, maka akan menyebabkan regresi Poisson menjadi tidak tepat menggambarkan data yang sebenarnya. Model ZIP banyak digunakan dalam berbagai disiplin ilmu karena fleksibilitasnya (Lam, dkk, 2006). Lambert (1992) menggunakan model ini dalam bidang manufaktur. Xue, dkk (2004) dan Lam, dkk (2006) juga meneliti model ZIP dalam bidang kesehatan dengan variabel respon banyaknya hari terganggunya aktivitas primer yang disebabkan karena sakit pada individu berusia 18 – 60 tahun dalam periode 4 minggu. Kemudian Beedy, dkk (2007) menggunakannya untuk pemodelan perilaku seksual dalam hubungannya dengan HIV. Model ZIP hanya menyelesaikan masalah data yang banyak nol nya saja (zero inflated) pada data cacah, model ini kurang tepat masalah overdispersi atau underdispersi. Banyak para peneliti yang kemudian pada akhirnya beralih dari model ZIP ke ZINB, seperti

Ridout,

dkk

(1988)

yang

meneliti

tentang

pemodelan

untuk

perkembangbiakan tunas apel. Martin, dkk (2005) dalam pemodelan data bakteri ekoli. Sedangkan Giufrida (2001) dan Taimela, dkk (2007) langsung menggunakan model ZINB dalam pemodelan masalah kesehatan di kalangan pekerja. Model ZINB merupakan model regresi untuk mengatasi masalah overdispersi dan zero inflated berdasarkan pada distribusi binomial negatif, tetapi dalam penghitungan estimasi parameternya iterasi sering gagal konvergen (Famoye dan Singh, 2006). Pada tahun 2006, Famoye dan Sings mengaplikasikan model regresi zero inflated generalized Poisson (ZIGP) untuk memodelkan data kekerasan dalam rumah tangga dengan struktur data yang terlalu banyak bernilai nol. Model regresi ZIGP merupakan model untuk kasus data respon yang bersifat cacah. Model ini dapat mengatasi masalah dengan terdapat banyak data yang bernilai nol dan terjadi overdispersi. Menurut Famoye dan Singh (2006), model ZIGP merupakan gabungan antara model ZIP dengan model GP. commit to user


digilib.uns.ac.id 7

2.2 Teori - Teori Penunjang Pada bagian ini diberikan definisi dan teori yang mendukung dalam mencapai tujuan penulisan. Berikut ini diberikan gambaran singkat mengenai konsep dasar statistik, teori dasar matriks, keluarga distribusi eksponensial, distribusi Poisson, fungsi link, distribusi Poisson, model regresi Poisson, model ZIP dan model GP sebagai dasar pembentukan model ZIGP, pendeteksian overdispersi dan underdispersi, metode maximum likelihood estimator (MLE), dan metode Newton-Raphson. 2.2.1 Konsep Dasar Statistik Konsep dasar statistik yang digunakan sebagai pendukung dalam penulisaan skripsi ini adalah ruang sampel, fungsi densitas probabilitas, variabel random, fungsi distribusi kumulatif, harga harapan dan variansi yang di didefinsikan oleh Bain dan Engelhardt, (1992). Definisi 2.2.1. Ruang sampel merupakan

himpunan semua kejadian yang

mungkin dari suatu eksperimen yang dinotasikan dengan S. Definisi 2.2.2. Suatu variabel random Y adalah suatu fungsi yang memetakan setiap hasil sehingga

yang mungkin pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real x .

Definisi 2.2.3. Jika himpunan suatu nilai yang mungkin dari variabel random Y adalah himpunan terhitung

atau himpunan terhingga tak terhitung

maka Y disebut variabel random diskrit. Fungsi

[

]

, merupakan probabilitas untuk masing-masing nilai y disebut fungsi densitas probabilitas diskrit. Definisi 2.2.4. Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random Y terdefinisi untuk setiap bilangan real y oleh [

]

Variabel random Y disebut variabel random diskrit jika terdapat f(y) sehingga fungsi distribusi kumulatif dapat dinyatakan sebagai commit to user


digilib.uns.ac.id 8

∑ Definisi 2.2.5. Jika X adalah suatu variabel random diskrit dengan fungsi densitas probabilitas f(x), maka harga harapan dari X dinyatakan sebagai ∑ Definisi 2.2.6. Jika X adalah suatu variabel random berukuran n, maka variansi X dinyatakan sebagai [

]

2.2.2 Teori Dasar Matriks Berikut ini merupakan definisi matriks menurut Anton (1992). Definisi 2.2.7. Sebuah matriks adalah sebuah persegi dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan di dalam persegi disebut entri dalam matriks [

]

Dengan n baris dan n kolom disebut matriks persegi order n dan entri-entri disebut diagonal utama dari matriks A. Definisi 2.2.8. Jika A adalah sembarang matriks berukuran mxn maka transpose A dinotasikan dengan AT merupakan matriks berukuran nxm yang dihasilkan dengan mengubah baris dan kolom dari matriks A sehingga kolom pertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari A, dan seterusnya. Definisi 2.2.9. Jika A adalah matriks persegi dan jika matriks B mempunyai ukuran yang sama dengan matriks A dan berlaku AB = BA = I, maka A dikatakan invertible dan B disebut inverse A. 2.2.3 Keluarga Distribusi Eksponensial Menurut Mc Cullagh dan Nelder (1983), suatu fungsi probabilitas yang tergantung pada suatu parameter dari suatu variabel random dikatakan commit to user termasuk dalam keluarga distribusi eksponensial apabila dapat dituliskan sebagai


digilib.uns.ac.id 9

[ dengan

]

adalah parameter kanonik dan

(2.1) adalah parameter dispersi. Harga

harapan dan variansi dari distribusi keluarga eksponensial dengan rumus dan

. Salah satu anggota keluarga distribusi

eksponensial adalah distribusi Poisson. 2.2.4 Fungsi Link Menurut Mc Cullagh dan Nelder (1983), fungsi link adalah suatu fungsi yang menghubungkan fungsi prediktor linier  dengan mean respons

. Suatu

fungsi link dikatakan fungsi link kanonik bila parameter kanoniknya sama dengan fungsi link-nya, yaitu

dengan

adalah parameter kanonik. Fungsi link kanonik untuk beberapa

distribusi disajikan dalam Tabel 1. Tabel 2.1 Daftar fungsi link untuk beberapa distribusi Distribusi

Fungsi link kanonik

Normal Poisson Binomial

[ ⁄

]

Gamma

2.2.5 Distribusi Poisson Distribusi

Poisson

sering

digunakan

untuk

memodelkan

jumlah

kemunculan dari suatu kejadian, seperti jumlah bencana alam pada suatu daerah tiap tahun. Menurut Bain dan Engelhardt (1992) jika variabel random diskrit Y berdistribusi Poisson dengan parameter

maka variabel random Y

mempunyai fungsi densitas probabilitas ,

commit to user

(2.2)


digilib.uns.ac.id 10

Distribusi Poisson termasuk dalam keluarga distribusi eksponensial, hal ini ditunjukkan dengan membawa persamaan (2.2) ke persamaan (2.1) [

[ (

]

]

)

dengan Karena distribusi Poisson merupakan anggota distribusi keluarga eksponensial, maka dapat ditentukan nilai mean dan variansinya yaitu,

sehingga pada distribusi Poisson berlaku . Distribusi Poisson merupakan distribusi diskrit. Untuk nilai maka distribusinya sangat menceng dan untuk nilai

yang kecil

yang besar akan lebih

mendekati distribusi normal. Untuk kasus yang jarang terjadi maka nilai

akan

kecil. Distribusi Poisson adalah suatu distribusi yang paling sederhana dalam pemodelan data yang berupa data cacah, tetapi bukan satu-satunya. Menurut Lam, dkk (2006) distribusi Poisson sering digunakan dalam pemodelan kasus yang jarang terjadi (rare event), seperti pemodelan tentang kecelakaan, peperangan atau epidemi. Peristiwa terganggunya aktivitas seseorang karena sakit pada usia dewasa terutama yang masih aktif bekerja atau melakukan kegiatan primer lainnya (sekolah, mengurus rumah tangga atau kegiatan seharihari lainnya) dapat dikatakan merupakan suatu peristiwa yang jarang, karena pada usia tersebut terutama kalangan usia muda cenderung masih melakukan aktivitas secara normal walaupun sakit.

2.2.6 Model Regresi Poisson Dalam berbagai eksperimen, seringkali data cacah yang merupakan objek penelitian dipengaruhi oleh sejumlah variabel penjelas (explanatory). Untuk mengetahui pola hubungan antaracommit kedua variabel to user tersebut, maka dapat digunakan



suatu model regresi yang didasarkan pada distribusi Poisson. Jika suatu variabel random mempunyai tipe diskrit dan menyatakan banyaknya kejadian dalam interval tertentu (waktu, area, dan lain-lain), maka variabel random tersebut berdistribusi Poisson. Regresi Poisson merupakan suatu bentuk analisis regresi yang digunakan untuk memodelkan data yang berbentuk cacah. Model regresi Poisson digunakan untuk memodelkan banyaknya kemunculan dari suatu kejadian dalam interval waktu tertentu tertentu. Pada regresi Poisson diasumsikan bahwa variabel dependen Y yang menyatakan jumlah (cacah) kejadian berdistribusi Poisson, diberikan sejumlah variabel independen

.

| atau dengan kata lain, Salah satu tujuan dari analisis regresi adalah untuk menentukan pola hubungan antara variabel respon dengan variabel penjelas. Selanjutnya, dalam regresi Poisson hubungan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk | atau

Karena nilai

, maka digunakan fungsi link |

untuk menghubungkan sehingga hubungan antara

|

dan

atau

dengan fungsi linier

menjadi tepat. Dengan demikian

model regresi Poisson dapat ditulis dalam bentuk | dengan

merupakan parameter yang tidak diketahui dalam model dan perlu

diestimasi. Dalam distribusi mengasumsikan bahwa nilai mean sama dengan nilai variansinya. Ismail & Jemain (2005) menyatakan seringkali data cacah memperlihatkan variansi sampel lebih besar dari mean sampel (overdispersi) atau variansi sampel lebih kecil dari mean sampel (underdispersi), sehingga commit to user



penggunaan model regresi Poisson tidak sesuai. Selain itu akan menghasilkan estimasi parameter yang bias. Masalah lainnya pada regresi Poisson adalah jika terdapat banyak data yang bernilai nol, sehingga lebih banyak data nolnya dibanding regresi Poisson yang akan diprediksi. Jika hal ini terjadi, maka akan menyebabkan regresi Poisson menjadi tidak tepat menggambarkan data yang sebenarnya. 2.2.7 Model Regresi Generalized Poisson Pengembangan dari distribusi Poisson pertama kali diperkenalkan oleh Consul (1992) yang dikenal sebagai generalized Poisson distribution (GPD). Bentuk distribusi ini umumnya digunakan untuk menjelaskan sejumlah data cacah yang memperlihatkan sifat-sifat overdispersi atau underdispersi. Analisis regresi merupakan salah satu metode statistik yang bertujuan

menentukan untuk

menentukan pola hubungan antara variabel dependen dan variabel independen, kemudian pola hubungan tersebut dirumuskan ke dalam suatu model sehingga dapat dilakukan suatu prediksi nilai variabel dependen dengan diketahui nilai variabel independen. Model regresi generalized Poisson (GP) merupakan suatu model yang sesuai untuk data cacah dengan terjadi pelanggaran asumsi mean sampel sama dengan variansi sampel pada disribusi Poisson, atau dengan kata lain jika terjadi overdispersi atau underdispersi. Model regresi generalized Poisson merupakan

salah

satu

metode

regresi

yang

sering

digunakan

untuk

menginterpretsikan pola hubungan antara variabel dependen dengan variabel independen ke dalam suatu bentuk model. Model regresi generalized Poisson adalah perluasan dari regresi Poisson, dengan dalam model regresi ini variabel dependen berupa bentuk cacah misalnya

dan seterusnya. Jelas bahwa

variabel dependen tidak dapat bernilai negatif. Pada model regresi ini, dapat dimanfaatkan untuk memodelkan banyaknya suatu kejadian atau laju suatu kejadian yang menjadi pusat perhatian, sebagai fungsi dari sejumlah variabel independen. Laju dari klaim asuransi serta banyaknya klaim yang datang merupakan contoh dari peristiwa yang dapat dimodelkan dengan model regresi commit to user generalized Poisson.



Model regresi GP merupakan terapan dari generalized liniar model (GLM). Pada GLM, variabel dependen tidak harus berdistribusi normal dan untuk uji

hipotesisnya

variansi

tidak

harus

homogen/konstan.

Model

GP

mengasumsikan bahwa komponen randomnya berdistribusi generalized Poisson. Misal,

merupakan

variabel

respon.

Famoye

dkk

(2004)

mendefinisikan distribusi GP sebagai ( {

Mean

)

(

dan

|

variansi

dan

)

persamaan

(2.3)

|

(2.3) adalah

. Jika

sebagai

berikut

maka model regresi

GP akan menjadi regresi Poisson. Jika

, maka model GP merepresentasikan

data cacah yang overdispersi, dan jika

underdispersi.

Analisis regresi mempunyai tujuan menentukan pola hubungan antara variabel dependen dan variabel independen maka persamaan

|

dapat

dinyatakan sebagai | atau | Nilai dari

(2.4)

pada persamaan (2.4) dapat bernilai real, sehingga

memungkinkan munculnya nilai negatif. Sebagaimana diketahui bahwa ekspetasi dari distribusi generalized Poisson,

haruslah bernilai positif, sehingga perlu

dilakukan transformasi sedemikian sehingga bentuk hubungan antara

dan

menjadi tepat. Solusi yang dilakukan adalah dengan mengambil logaritma natural dari nilai

. Hasil dari log

hubungannya terhadap

, yaitu

Fungsi menghubungkan

ini kemudian akan digunakan untuk mencari

disebut sebagai fungsi link, yaitu fungsi yang dengan fungsi linier

generalized Poisson dapat ditulis dalam bentuk |

,

commit to. user

. Oleh sebab itu, model regresi atau



2.2.8 Model Regresi Zero Inflated Poisson Tidak semua data cacah cocok menggunakan model Poisson, salah satunya adalah data cacah yang menunjukkan overdispersi disebabkan oleh frekuensi nol yang besar muncul dalam distribusi, maka disarankan digunakan model regresi zero inflated Poisson (ZIP) (Lambert, 1992). Famoye dan Singh (2006) memperkirakan proporsi data yang bernilai nol adalah sekitar 63,7 persen. Lambert (1992) mendefinisikan model regresi ZIP sebagai { dengan parameter

dan

yang memenuhi (

)

dengan X dan Z adalah matrik kovarian dalam hal ini terdiri dari variabelvariabel penjelas yang masing-masing mempengaruhi mean Poisson dengan parameter

, dan mempengaruhi probabilitas dengan parameter .

Kovarian-kovarian yang mempengaruhi mean Poisson dapat sama dengan kovarian-kovarian yang mempengaruhi probabilitas ( kovarian yang sama mempengaruhi p dan

). Jika kovarian-

, maka akan mengurangi banyaknya

parameter dengan berpikir bahwa p merupakan fungsi dari , contohnya peluang seseorang untuk terganggu atau tidaknya aktivitas karena sakit dipengaruhi oleh rata-rata banyaknya gangguan aktivitas. Pada aplikasinya, informasi mengenai bagaimana

berhubungan dengan

sangatlah sedikit. Jika demikian maka dan

dengan

(

)

adalah suatu ukuran parameter yang tidak diketahui dan merupakan

bilangan Real yang menyatakan secara tidak langsung bahwa sehingga model ZIP ini dilambangkan sebagai ZIP( ). Mean dan variansi ZIP |

dan

commit to user

,



|

[

]

|

.

2.2.9 Pendeteksian Overdispersi dan Underdispersi Kategori lain yang digunakan untuk mendeteksi adanya overdispersi dan underdispersi adalah nilai deviance. Bentuk statistik deviance adalah ∑

( )

Jika hasil bagi antara nilai statistik D terhadap derajat bebasnya atau statistik

terhadap derajat bebasnya lebih besar dari 1, maka indikasi bahwa

telah terjadi overdispersi pada model regresi Poisson. Sedangkan jika nilai hasil bagi lebih kecil dari 1 maka diidentifikasi telah terjadi underdispersi. 2.2.10 Metode Maksimum Likelihood Suatu variabel random

dari suatu distribusi yang memiliki

fungsi densitas probabilitas yang tidak diketahui dan

, dengan

merupakan suatu parameter

adalah ruang parameter. Karena

variabel

random saling independen, maka fungsi densitas probabilitas bersama dari adalah

∏ Menurut Bain dan Engelhardt (1992) fungsi likelihood didefinisikan sebagai fungsi densitas probabilitas bersama dari

yang dapat dianggap

sebagai fungsi dari . Fungsi likelihood dapat dituliskan sebagai berikut

∏ Pada metode estimasi maksimum likelihood, estimasi dari  diperoleh dengan menemukan nilai ̂ yang memaksimumkan fungsi likelihood. Maka ̂ commit to user disebut estimator maksimum likelihood (MLE) dari . Mencari nilai yang



memaksimumkan fungsi mencari nilai

akan memberikan hasil yang sama dengan

yang memaksimumkan

digunakan untuk mencari nilai ̂. Nilai

. Baik

atau

dapat

yang memaksimumkan

dapat

diperoleh dengan mencari solusi dari persamaan

. Jika pada proses

estimasi parameter didapatkan persamaan terakhir yang non-linier maka tidak mudah untuk memperoleh estimasi tersebut, sehingga diperlukan suatu metode iterasi untuk menyelesaikan persamaan non-linier tersebut. Salah satunya dengan menggunakan metode Newton-Raphson. 2.2.11 Metode Newton-Raphson Menurut Famoye, dkk (2006) metode Newton-Raphson merupakan metode numerik untuk menyelesaikan persamaan non-linier secara iteratif seperti menyelesaikan persamaan likelihood yang mencari lokasi untuk memaksimalkan suatu fungsi. Jika pada proses estimasi parameter didapatkan persamaan terakhir yang non-linier maka tidak mudah untuk memperoleh estimasi parameter tersebut, sehingga diperlukan metode Newton-Raphson untuk menyelesaikan persamaan non-linier tersebut. Dasar dari metode inilah pendekatan deret Taylor linier ∑ Perluasan dari bentuk orde-1

Jika

, diperoleh

merupakan nilai awal dari

dengan

maka dapat dimisalkan

dan

, begitu juga untuk G dan H sehingga diperoleh iterasi

Newton-Raphson sebagai berikut :

dengan indeks t menyatakan ukuran iterasi. Langkah-langkah dari Newton-Raphson sebagai berikut, to user 1. Menentukan estimasi awalcommit dari yaitu



2. ̂

(̂ ) (̂ )

̂

( ̂ ) merupakan derivatif pertama dari

pada

̂ 3. ̂

(̂ ) (̂ )

̂

(̂ )

misalkan

(̂ )

dan

maka ̂

̂ 4. Estimator ̂ diiterasi terus sampai diperoleh selisih antara ̂ nilainya sangat kecil atau dapat dituliskan ̂

̂

dan ̂

.

Metode Newton-Raphson dapat diperluas untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan lebih dari satu parameter, misalnya

dengan

iterasinya sebagai berikut ̂

̂ ̂

dengan ̂

̂ ) dan ̂

( ̂

( ) sehingga diperoleh ̂

(

)

dan

. (

)

2.3 Kerangka Pemikiran Model regresi Poisson adalah model regresi yang digunakan untuk menyata-kan hubungan antara variabel respon variabel prediktor dengan variabel respon berupa data cacah yang berdistribusi Poisson, distribusi Poisson termasuk dalam keluarga distribusi eksponensial sehingga dapat dengan mudah ditentukan commit to user mean dan variansi sampelnya. Model regresi Poisson mengasumsikan nilai mean



dan variansi sampelnya sama, sehingga penggunaan model regresi Poisson pada data cacah kadang tidak cocok karena data terkadang menunjukkan sifat overdispersi ataupun underdispersi. Dalam kenyataannya banyak dijumpai data cacah yang memiliki banyak nilai nol, dan mengandung sifat overdispersi ataupun underdispersi maka penggunaan model regresi Poisson menjadi tidak sesuai. Sehingga diperlukan model regresi yang dapat mengatasi masalah ini, model regresi yang lebih cocok adalah model regresi ZIGP. Model regresi ZIGP merupakan gabungan model regresi ZIP dan GP. Model regresi ZIP merupakan suatu model yang cocok untuk kasus dengan responnya bersifat cacah dan banyak yang bernilai nol. Sedangkan model regresi generalized Poisson (GP) merupakan suatu model yang cocok untuk kasus dengan terjadi pelanggaran asumsi mean sampel sama dengan variansi sampel pada disribusi Poisson. Untuk membentuk model tersebut dari distribusi zero inflated generalized Poisson dibutuhkan fungsi link agar hubungan fungsi prediktor linier dengan mean respons sesuai. Estimasi parameter model regresi Poisson tergeneralisasi dilakukan dengan metode maximum likelihood estimator (MLE) yang didalamnya melibatkan metode iterasi Newton-Raphson.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB III METODE PENELITIAN

Pada penelitian ini, metode yang digunakan adalah studi literatur dengan mengacu pada sumber-sumber pustaka statistika, dan dengan cara mempelajari karya-karya ilmiah yang telah dihimpun dari hasil penelitian para pakar baik yang tersajikan pada seminar maupun yang telah dimuat di dalam situs web, jurnal, disertasi ataupun buku yang berkaitan dengan model regresi zero inflated generalized Poisson. Dengan metode tersebut dapat menjelaskan bentuk model regresi zero inflated generalized Poisson dan estimasi parameternya dilakukan dengan metode maksimum likelihood (MLE) yang didalamnya melibatkan metode iterasi Newton-Raphson dalam penyeleseiannya. Adapun langkah-langkah dalam penulisan skripsi ini sebagai berikut 1.

Mengestimasi parameter model Regresi ZIGP dengan metode MLE, dilakukan langkah-langkah berikut a) Menetapkan model regresi b) Menetapkan parameter yang akan diestimasi, yaitu

(

)

c) Membuat fungsi likelihood dan log likelihood-nya berdasarkan model regresi d) Mengestimasi parameter dengan memaksimumkan fungsi log likelihood yang diperoleh di atas menggunakan algorithma Newton-Raphson. 2.

Pengujian Hipotesis model regresi ZIGP menggunakan GLRT dengan hipotesis-hipotesis sebagai berikut Pengujian kesesuaian model, yaitu uji parameter dispersi ( ) (ZIGP tidak sesuai) (ZIGP sesuai).

3.

Menerapkan model regresi zero inflated generalized Poisson pada klaim asuransi untuk kecelakaan kendaraan bermotor di perusahaan asuransi di kota Kendari. commit to user

19


digilib.uns.ac.id

BAB IV PEMBAHASAN

4.1 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson Model ZIGP merupakan salah satu model yang dapat digunakan untuk data respon yang bersifat cacah. Model ini dapat mengatasi masalah dengan terdapat banyak data yang bernilai nol (zero inflation) dan terjadi overdispersi (Czado dan Min, 2006 ; Famoye dan Singh, 2006). Famoye dan Singh (2006) mendefinisikan fungsi densitas probabilitas ZIGP sebagai gabungan dari fungsi densitas probabilitas ZIP dan GP, sehingga fungsi densitas probabilitas model regresi ZIGP dapat dituliskan sebagai berikut, (

)

( { (

) )(

( )

(

)

(

)

)

(

(

(4.1)

)

)

),

(

dari matriks kovariat X, dan

(

)

parameter k-dimensi, sehingga

( ) dan

( ) memenuhi

( )

(∑

∑

dan (

dimana

( )

)

adalah vektor kolom

∑ dari matriks kovariat Z, dan

) adalah vektor kolom parameter m-dimensi. Jika matriks

kovariat yang sama mempengaruhi sebagai fungsi dari ( )

(

(

) adalah baris

(

Dari

) adalah baris

∑ persamaan )

maupun

( X = Z ), maka dapat ditulis

sehingga diperoleh dan

( )

(4.1)

diperoleh

∑

(

∑

) (∑

. )

dan

( )

sehingga didapat (

∑

)

(4.2)

commit to user

20

(4.3)



dan

.

(4.4)

Menurut Famoye dan Singh (2006), jika Y variabel random berdistribusi zero inflated generalized Poisson maka nilai mean dan variansi sampelnya adalah ( | )

(

) ( )

( | )

(

)[

(

( | )[(

) ] )

(

)

].

Analisis regresi mempunyai tujuan menentukan pola hubungan antara variabel dependen dan variabel independen, sehingga persamaan (4.1) dapat dituliskan dalam bentuk ( | )

(

) (

Nilai dari

)

.

dapat bernilai real, artinya dapat bernilai poistif atau negatif.

Padahal ekspektasi dari distribusi ZIGP haruslah bernilai positif sehingga diperlukan transformasi sedemikian sehingga bentuk hubungan

dan

tepat.

Menurut Consul dan Famoye (1992) yang dapat digunakan adalah dengan mengambil nilai logaritma natural dari

yang dituliskan sebagai berikut, (

dengan

)

merupakan fungsi link, yaitu fungsi yang menghubungkan

fungsi linier

dengan

. Sehingga model regresi ZIGP dapat dituliskan dalam bentuk

sebagai berikut, ( | ) dengan

(

) (

(

)

(

)

.

)

Model ZIGP akan menjadi model GP ketika

dan ketika

akan menjadi ZIP. Pada tahun 2006, Famoye dan Singh mengaplikasikan model regresi ZIGP untuk memodelkan data kekerasan dalam rumah tangga dengan struktur data yang terlalu banyak bernilai nol.

commit to user



4.2 Estimasi Parameter Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson Menggunakan Maximum Likelihood Estimastor (MLE) Metode estimasi yang digunakan untuk mengestimasi parameter model regresi ZIGP adalah metode maksimum likelihood. Metode maksimum likelihood merupakan suatu metode estimasi parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood. Estimasi dengan metode ini dapat digunakan jika distribusi dari data diketahui. Langkah pertama dari metode maksimum likelihood adalah menentukan fungsi densitas probabilitas bersama dari beberapa model regresi Poisson. Misalkan dengan mengasumsikan

merupakan sekumpulan

variabel random Poisson yang independen. Substitusi persamaan (4.2), (4.3) dan (4.4) ke dalam persamaan (4.1), maka akan diperoleh (

)

( { (

)[

(

)(

)

(

)] )

⌊

(

(4.5)

)⌋

dengan demikian fungsi likelihoodnya adalah ( )

∏

(

)

( )

∏ { ∏

(

)[

(

)(

( )

[

dengan

(

)] )

]

⌊

(

(4.6)

)⌋

[

]

dan fungsi log likeli-

hoodnya adalah Untuk

, ( )

Untuk

∑

(

)

∑

[

∑

(

)

∑

(

(

)] .

, ( )

∑

(

)

∑

⌊ (

) )⌋

∑

(

)

(

.

Dengan demikian fungsi log likelihood untuk Model ZIGP dapat ditulis ( )

∑

(

)

∑

[

commit to user

(

)]

)



∑

( (

⌊

∑

(

)

(

)

∑

∑

(

)

∑

(

( )

(

)

(4.7)

∑

[

(

∑

]

)) )

(∑

(

)]

.

∑

∑

(

(

)

(

[

∑

(

[

)

, sehingga diperoleh

∑

)

∑

(

dan

Persamaan (4.10) diturunkan terhadap ( )

∑

)⌋

( )

dengan

∑

)

)

(∑

)

(∑

( )

)

(∑

)

(∑

[

)] )

)( (∑

] .

)

dengan (

(

[

∑

∑

(

) )

)

(∑

( [

(∑

)

)( (∑

)

]

(

) )

(

∑

∑ [

((

)

(

(∑

))

)

(∑

)

(∑

))

)](( ))

⁄(

) (( commit to user

]

.

)

.

⁄( (

)

)

)

))

⁄(

(∑

(

)

sebagai berikut [

∑

(

))[(

⁄( (

)(

)

)(

.

)]

) ((

Sehingga derivatif pertama terhadap ( )

)

(∑

) (

)

(∑

(

(

)

(∑

(

(∑

)

∑

(

)

(∑

(

∑

(

))

)

)]

)

)

)

(

)

.



(

∑ ( (

) (

∑

))

(

⁄(

))

[

⁄(

)]((

(

∑

(

(

∑ ∑

∑

(

)

(4.8)

[

∑

)

)

.

)

(

)

))

⁄(

, dengan

)

))

.

)

)

)

(

∑

∑ ( )

(

)]((

⁄(

∑

∑

( )

[

(

) (

⌊

∑

( ( )⌋

)] )

.

dengan (

( )

)

[

(

. ( )

)]

(

Sehingga derivatif pertama terhadap ( )

∑

(

∑ ( )

(

)

( ) (

∑

dengan

(

(

(

)

(

)]

( )

( )

( (

[

∑

[

∑ ∑

∑

∑

)

.

sebagai berikut

) ( )

∑

)

⁄(

))

⁄(

.

(4.9)

))

)]

) (

)

∑

commit to user

⌊

(

)⌋

.



[

(

( (

(

) )

[(

(

]

)

(

)]

(

)

)

) [

(

(

∑

(

∑ ( )

(

(

(

∑

((

) [

)

) ((

(

)

)

)

(

)

).

))

⁄( (

(

))]

⁄(

( (

∑

.

))

(

)

)

sebagai berikut

⁄(

) [

.

.

)

)

))]

⁄(

)

sehingga derivatif pertama terhadap ( )

(

(

(

(

))

⁄(

⁄(

) ((

))]

) )

( (

) )

).

(4.10)

Persamaan (4.8), (4.9) dan (4.10) merupakan persamaan non-linier. Pada persamaan (4.8), (4.9) dan (4.10) diturunkan terhadap

ternyata

derivatifnya masih mengandung parameter lain yang belum diketahui dan perlu diestimasi. Sehingga untuk mengestimasi kedua parameter ini dilakukan secara bersamaan dengan menggunakan suatu metode iterasi yang disebut metode Newton-Raphson. Metode Newton-Raphson merupakan metode numerik untuk menyelesaikan persamaan non-linier secara iteratif. Pada metode NewtonRaphson dibutuhkan derivatif pertama dan kedua fungsi log likelihoodnya. Misalkan didefinisikan matriks G dan H sebagai ( ) ( )

[

( )

dan ]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

[ ] G merupakan turunan pertama dari fungsi log-likelihood dan H merupakan turunan kedua dari fungsi log-likelihood disebut matriks Hessian. Derivatif pertama dari fungsi log likelihood ditunjukkan oleh persamaan (4.8), (4.9) dan commit to user (4.10). Derivatif partial kedua dari fungsi log Likelihood diperoleh sebagai berikut



( )

∑

[

] [

( )

∑

[

∑

[(

(

(

)

)

)

))

⁄(

]

].

)

∑ ( )

(

(

[

∑ ( )

))

⁄(

(

∑

( )

)]((

⁄(

(

∑

{

∑

{

)

( (

(

)(

)

(

))

))]

⁄(

)

(

).

) ( )

(

}

)

( ) (

(

))

(

∑ (

) (

( (

[

(

) } .

) ]

) (

)

) )

(

(

)[

(

) [

)

[

(

( )

( )

( )

)

(

.

)

[ ( )] (

(

)

) [ (

{(

(

∑

( )

∑

∑

(

)]

]

} (

∑ ∑

)

)]

{ ∑

(

[ ⁄

)

(

⁄

)]

(

) [

(

)[ (

) )

)]

⁄

.

.

(

)[

( )

(

(

⁄

)[ ( )]

⁄

( )]

⁄

( (

commit to user

) )

}.

⁄

)]]



sehingga estimasi parameter

dan

menggunakan metode iterasi Newton-

Raphson sebagai berikut

̂

̂

( ̂ ̂

)

(

( ̂ ) ̂

)

(4.11)

Persamaan (4.11) akan terus berulang sehingga diperoleh nilai konvergen, yaitu jika nilai ̂ dan nilai ̂

dan

mendekati ̂ , begitu juga dengan ̂

mendekati ̂ atau nilai

̂

̂ , ̂

yang

mendekati ̂

̂ dan

̂

̂

nilainya sangat kecil.

4.3 Uji Ketepatan Model Regresi ZIGP Menurut Famoye dan Singh (2006), model regresi ZIGP akan menjadi model regresi ZIP ketika parameter

. Oleh karena itu untuk melihat

kesesuaian model ZIGP, dilakukan pengujian hipotesis sebagai berikut (4.12) Penolakan

menunjukkan bahwa model regresi ZIP tidak tepat

digunakan, sehingga dalam situasi seperti ini model regresi ZIGP lebih tepat digunakan dibandingkan model regresi ZIP. Untuk menyelesaikan uji hipotesis pada (4.12) perlu diperhatikan parameter (

) dari model regresinya. Jika (

) diketahui, untuk menguji

ketepatan model regresi ZIGP adalah statistik uji deviance. Statistik uji deviance merupakan logaritma dari rasio likelihood. Statistik uji deviance (D) dapat ditulis sebagai [ [

( ̂ ̂) ] (̂ ̂ ̂ )

( ̂ ̂ ̂) ∑

( ∑

{

( ̂ ̂ ̂)]

( ̂ ̂ )] ̂

( (

( ̂ ̂)

[

̂ ̂̂

)

̂

(

)

∑ ) (

[̂

̂

̂ )

commit to user

̂ ̂̂

( (

)

)] ̂ (

) ̂ ) } ̂̂



( ∑ (

)

∑

̂ ̂̂

̂

̂

∑

)

[̂

̂

(

̂ )]

∑

{

(̂)

̂ }) {

∑ (

(

{

(̂

̂

[

(

( ̂ ̂̂

̂ ̂̂

))

( ̂ ))]

[̂

̂

(

( ) (

̂ )]} ̂ )

)

]}

̂[ (4.13)

Nilai statistik uji (4.13) mendekati distribusi chi-square dengan derajat bebas (

), dengan p menyatakan jumlah total parameter yang diestimasi. Model

Regresi ZIGP tepat digunakan jika nilai

(

)

, dengan

sama dengan

tingkat signifikansi. 4.4 Contoh Kasus Pada contoh kasus ini akan dimodelkan hubungan antara tingkat cacat fungsional yang dialami oleh korban kecelakaan kendaraan bermotor dengan faktor-faktor yang diduga berpengaruh terhadap tingkat cacat fungsional yang dialami oleh korban kecelakaan kendaraan bermotor. Oleh karena itu tingkat cacat yang terlihat pada lamanya perawatan yang kemudian dihitung berdasarkan kejadian dilapangan menjadi variabel dependen. Variabel lama perawatan adalah diskrit dan bernilai ketika korban tersebut sudah sembuh total setelah periode cacat fungsional sementara. Asuransi kecelakaan motor pada umumnya menangani tiga jenis klaim, yaitu kerusakan kendaraan karena kecelakaan atau kesalahan sendiri (Own Damage atau OD), terjadinya luka-luka pihak ketiga (Third Party Bodily Injury atau TPBI), dan kerusakan properti pihak ketiga (Third Party Property Damage atau TPPD). Dalam penelitian ini, akan disajikan aplikasi numerik dari model regresi zero inflated generalized Poisson pada data TPBI klaim asuransi untuk to user Asuransi di Kota Kendari. Tabel kecelakaan Kendaraan bermotor commit di Perusahaan



4.1 memberikan gambaran lama perawatan sesuai jumlah klaim yang diajukan, usia dan jenis kelamin korban kecelakaan. Tabel 4.1. Data lama perawatan sesuai jumlah klaim yang diajukan, usia dan jenis kelamin korban kecelakaan No. Lama Perawatan (Hari) Jumlah Klaim Usia Jenis Kelamin 1 0 1 30 1 2 1 3 50 1 3 2 1 24 1 4 5 1 45 0 5 0 1 22 0 6 0 1 20 1 7 0 1 22 0 8 1 1 11 1 267 268 269 270

2 2 0 0

0 1 1 1

16 17 37 24

1 1 1 1

4.4.1 Pendeteksian Overdispersi atau Underdispersi Sebelum

dilakukan

penentuan

model,

terlebih

dahulu

dilakukan

pendeteksian terjadinya overdispersi atau underdispersi. Dari output Sofware R 2.14.1 pada Lampiran 3, memberikan hasil estimasi untuk nilai deviance pada regresi Poisson yang disajikan pada Tabel 4.2. Tabel 4.2. Nilai statistik deviance (D ) Value Null deviance

DF

Value/DF

359,54 269

1,34

Residual deviance 338,42 266

1,27

Dari hasil perhitungan nilai deviance dibagi dengan derajat bebas diperoleh nilai 1,27, nilai ini lebih dari 1, sehingga dapat disimpulkan bahwa data cacah yang dianalisis mengalami masalah overdispersi. Terjadinya overdispersi menyebabkan model regresi Poisson yang telah diperoleh menjadi tidak tepat untuk digunakan. commit to user



4.4.2 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson Pada Klaim Asuransi Untuk Kecelakaan Kendaraan Bermotor di Perusahaan Asuransi di Kota Kendari dengan Seluruh Variabel Independen Model regresi zero inflated generalized Poisson adalah ( | )

( )

(

) ( )

(

)

(

)

Pada contoh kasus ini variabel independennya adalah usia, jenis kelamin dan jumlah klaim. Sehingga model regresi zero inflated generalized Poissonnya ( | )

(

) ( ) dengan

(4.16)

( )

(

) dan

( )

(

)

Estimasi parameter model regresi zero inflated generalized Poisson pada lampiran 3, memberikan nilai yang disajikan pada Tabel 4.3 Tabel 4.3 Nilai estimasi parameter model regresi zero inflated generalized Poisson dengan seluruh variabel independen Variabel Estimasi Parameter Intercept -0,26487 0,1845 USIA 0,01342 0,0163 JENIS_KELAMIN 0,14708 0,1239 JUMLAH_KLAIM 0,10025 0,4566 -2,18170 0,9730 -8,19127 0,0034 Dengan memasukkan nilai estimasi pada Tabel 4.3 ke persamaan (4.16), maka estimasi model regresi zero inflated generalized Poissonnya adalah ( | )

(

( )

) ( ) dengan

(4.17) (

( (

)

(

)

)

menyatakan tingkat kecelakaan yang dipengaruhi oleh usia, jenis kelamin dan jumlah klaim, dan ( )

(

( (

) (

( )

) (

( )

) (

)

menyatakan probabilitas tidak terjadinya tingkat kecelakaan yang dipengaruhi oleh usia, jenis kelamin dan jumlah klaim.to user commit



Dari Tabel 4.3, hanya variabel usia yang signifikan karena nilai probabilitas yang kurang dari

. Sehingga variabel yang masuk dalam

model hanya USIA. 4.4.3 Model Regresi Zero Inflated Generalized Poisson Pada Klaim Asuransi untuk Kecelakaan Bermotor di Perusahaan Asuransi di Kota Kendari dengan Seluruh Variabel Independen Berpengaruh Setelah diketahui bahwa variabel independen yang memiliki pengaruh signiﬁkan terhadap model adalah usia dan jenis kelamin, selanjutnya akan dilakukan estimasi parameter model yang mengandung variabel independen berpengaruh saja. Nilai estimasi parameter pada lampiran 5, memberikan nilai yang disajikan pada Tabel 4.4. Tabel 4.4. Nilai estimasi parameter model regresi ZIGP dengan variabel independen berpengaruh. Variabel Estimasi Parameter Intercept

-0,06735

0,6983

USIA

0,01641

0,0019

-1,88220

0,0010

-6,51272

0,8883

Berdasar nilai estimasi pada Tabel 4.4, maka estimasi model regresi zero inflated generalized Poissonnya adalah ( | )

(

) ( ) dengan (

(

(4.18) ))

menyatakan tingkat kecelakaan yang dipengaruhi oleh usia dengan (

( (

)) (

))

menyatakan probabilitas tidak terjadinya tingkat kecelakaan yang dipengaruhi oleh usia dan jenis kelamin. Berdasarkan estimasi model (4.18), tingkat cacat fungsional yang dialami oleh korban kecelakaan kendaraan bermotor commit to user dipengaruhi oleh usia sebesar



0,01641, artinya setiap kenaikan 1 satuan unit usia akan menjadikan rata-rata tingkat cacat fungsional yang dialami oleh korban kecelakaan kendaraan bermotor menjadi sebesar

kali lebih besar dan probabilitas terjadinya

tingkat cacat fungsional yang dialami oleh korban kecelakaan kendaraan bermotor dipengaruhi oleh usia sebesar

.

4.4.4 Uji Kecocokan Model Untuk menguji kecocokan regresi zero inflated generalized Poisson dengan data, digunakan statistik uji deviance dan Pearson chi-square dengan hipotesis adalah

Tingkat signifikansi yang digunakan adalah 0,05, deviance lebih besar dari tabel chi-square ( output software R 2.14.1 Didapat nilai deviance ( )

(

akan ditolak jika nilai )

). Dari , maka

ditolak artinya terdapat kecocokan model yang digunakan dengan data atau model yang digunakan tepat.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Dari pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut, 1.

Model regresi zero inflated generalized Poisson adalah ( | ) dengan

2.

(

) ( ) (

) (

)

( )

dan

(

).

Estimasi parameter model regresi zero inflated generalized Poisson menggunakan MLE menghasilkan persamaan non-linier, sehingga untuk mengestimasi parameter dilakukan bersamaan dengan menggunakan metode Newton-Raphson. 5.2 Saran Pada penelitian ini, hanya dibahas tentang estimasi parameter model

regresi ZIGP dengan menggunakan metode maksimum likelihood. Oleh karena itu, kepada pembaca yang tertarik mengembangkan skripsi ini disarankan untuk meneliti estimasi parameter model regresi ZIGP dengan menggunakan metode quasi likelihood dan bayesian, sehingga nanti hasilnya dapat dibandingkan untuk menentukan metode yang terbaik.

commit to user

33

MODEL REGRESI ZERO INFLATED GENERALIZED POISSON

Recommend Documents