APLIKASI REGRESI BINOMIAL NEGATIF DAN GENERALIZED POISSON DALAM MENGATASI OVERDISPERSION PADA REGRESI POISSON

APLIKASI REGRESI BINOMIAL NEGATIF DAN GENERALIZED POISSON DALAM MENGATASI OVERDISPERSION PADA REGRESI POISSON (Studi Kasus Data Kemiskinan Provinsi di Indonesia Tahun 2009)

Fitriana Fadhillah

PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA 2011 M / 1432 H


Skripsi Sebagai Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta

Oleh : Fitriana Fadhillah 107094002808

PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA 2011 M / 1432 H

i

PENGESAHAN PEMBIMBING


Skripsi Sebagai satu syarat untuk memperoleh Gelar sarjana sains Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta Oleh Fitriana Fadhillah 107094002808

Menyetujui, Pembimbing I

Pembimbing II

Hermawan Setiawan, M. Kom NIP. 19740623 199312 2001

Bambang Ruswandi, M. Stat NIDN. 0305108301

Mengetahui : Ketua Program Studi Matematika

Yanne Irene, M. Si NIP. 19741231 200501 2018

ii

PENGESAHAN UJIAN Skripsi berjudul “Aplikasi Regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson Dalam Mengatasi Overdispersion Pada Regresi Poisson” yang ditulis oleh Fitriana Fadhillah, NIM 107094002808 telah di uji dan dinyatakankan lulus dalam sidang Munaqosyah Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada tanggal 7 Juni 2011. Skripsi ini telah diterima sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana strata satu (S1) Program Matematika.

Menyetujui,

Penguji 1

Penguji 2

Gustina Elfiyanti, M.Si NIP. 19820820 200901 2006

Taufik Edy Sutanto, M.ScTech NIP. 19790530 200604 1002

Pembimbing 1

Pembimbing 2

Hermawan Setiawan, M. TI NIP. 19740623 199312 2001

Bambang Ruswandi, M. Stat NIDN. 0305108301 Mengetahui :

Dekan Fakultas Sains dan Teknologi

Ketua Program Studi Matematika

DR. Syopiansyah Jaya Putra, M. Sis NIP. 19680117 200112 1001

Yanne Irene, M. Si NIP. 19741231 200501 2018

iii

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI SKRIPSI PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN.

Jakarta, Juni 2011

Fitriana Fadhillah 107094002808

iv

Karya ini ku persembahkan untuk



Orangtuaku tercinta yang telah banyak mencurahkan kasih sayang dan dukungan baik moril maupun materi



Kedua kakakku dan keponakanku (Salsa)



Febriyana

Motto

Tidak akan ada rasa kecewa jika segalanya dilakukan dengan ketulusan. Tidak akan ditemukan kata sakit hati jika kita murni melakukannya untuk Allah dan atas nama Allah.

“Janganlah kalian bersikap lemah dan janganlah pula kalian bersedih hati, padahal kalianlah orang-orang yang paling tinggi (derajatnya) jika kalian orang-orang yang beriman” (Qs. Ali-Imran: 139)

ABSTRAK Model Regresi Poisson secara umum digunakan untuk menganalisis data cacah yang diasumsikan menyebar Poisson dimana nilai rata-rata dan variansinya sama (equidispersion). Namun seringkali terjadi masalah nilai variansi melebihi nilai rataannya atau lebih dikenal dengan overdispersion. Regresi Poisson yang diterapkan pada data yang mengandung overdispersion akan menghasilkan nilai standard error yang menjadi underestimate. Model yang sering digunakan untuk mengatasi masalah overdispersion adalah Regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson. Regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson dapat digunakan baik dalam keadaan equidispersion maupun overdispersion. Penaksiran parameter dapat diperoleh dengan menggunakan metode maximum likelihood melalui iterasi Newton-Raphson. Beberapa ukuran perbandingan dapat digunakan untuk membandingkan model Regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson. Kajian yang digunakan dalam penelitian ini adalah mengetahui faktorfaktor yang mempengaruhi angka kemiskinan provinsi di Indonesia tahun 2009. Data Jumlah penduduk miskin menunjukkan terjadi overdispersion. Sehingga pemodelan yang tepat adalah menggunakan Regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson. Hasil analisis dalam penelitian ini menunjukkan bahwa faktor yang berpengaruh terhadap jumlah penduduk miskin adalah jumlah penduduk. Model Regresi Generalized Poisson memenuhi kriteria kesesuaian model regresi dibandingkan dengan model Regresi Poisson dan Binomial Negatif. Sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk kasus data kemiskinan provinsi di Indonesia tahun 2009, Regresi Generalized Poisson merupakan salah satu solusi yang dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan overdispersion. Kata Kunci : Kemiskinan, Overdispersion, Regresi Poisson, Regresi Binomial Negatif, Regresi Generalized Poisson

v

ABSTRACT Poisson regression model is commonly used to analyze count data that is assumed to spread Poisson where the average and variance values are equal (equidispersion). But often there are problems with the variance value exceeds the average or better known as overdispersion. Poisson regression is applied to the data that contains overdispersion will generate the value of standard error becomes underestimate. Models are often used to solve problem of overdispersion are Negative Binomial and Generalized Poisson regression. Negative Binomial and Generalized Poisson regression can be used either in a state equidispersion or overdispersion. Estimation of parameters can be obtained by using maximum likelihood method via Newton-Raphson iteration. Some size comparison can be used to compare the model Poisson, Negative Binomial and Generalized Poisson regression. Studies used in this research was to determine the factors that affect poverty rate in provinces of Indonesia 2009. Data on the number of poor people show that there were overdispersion. So that proper modeling is to use Negative Binomial and Generalized Poisson Regression. The results showed that the factors which affects the number of poor people is the population, unemployment, number of illiterate population, population who complete elementary, junipr and senior high school. Generalized Poisson Regression model criteria fullfilment regression model compared with Poisson and Negative Binomial Regression models. It can be concluded that for the case of data poverty rate in provinces of Indonesia 2009, Generalized Poisson regression is one solution that can be used to solve problems of overdispersion. Keywords : Poverty, Overdispersion, Poisson Regression, Negative Binomial Regression, Generalized Poisson Regression

vi

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur yang sebesar-besarnya penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena dengan rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini tepat pada waktunya. Shalawat serta salam semoga selalu tercurah kepada Nabi Muhammad SAW, keluarga, sahabat serta segenap umatnya. Penulis sadar bahwa skripsi ini tidak akan selesai bila penulis tidak mendapat bantuan dari berbagai pihak, baik bantuan secara langsung maupun dukungan moril dan doa. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarya kepada: 1.

Dr. Syopyansyah Jaya Putra, M.Si, Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

2.

Ibu Yanne Irene, M.Si, Ketua Program Studi Matematika dan Ibu Sumainna, M.Si, Sekretaris Program Studi Matematika.

3.

Bapak Hermawan Setiawan, M.Kom, sebagai Dosen Pembimbing I, yang telah meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dan pengarahan hingga terselesaikannya skripsi ini.

4.

Bapak Bambang Ruswandi, M.Stat, sebagai Dosen Pembimbing II, atas bimbingan, saran dan bantuannya dari awal hingga terselesaikannya skripsi ini.

5.

Alm. Ayahanda tercinta yang telah menghabiskan waktu dan tenaga tanpa mengenal batas untuk memberikan yang terbaik bagi penulis agar dapat meraih cita-cita serta segenap kasih sayang dan perhatiannya.

vii

6.

Ibunda tercinta yang selalu memberikan semagat dan dukungan kepada penulis, atas doa, kasih sayang, dorongan, pengertian dan kesabaran yang tak terkira hingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

7.

Seluruh dosen jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta yang telah memberikan segenap ilmu.

8.

Febriyana yang telah meluangkan banyak waktunya untuk membantu menyelesaikan skripsi ini serta memberikan dukungan moril dan kesabaran.

9.

Dua kakakku, keponakanku (Salsa) dan seluruh keluarga besarku tercinta yang telah memberikan perhatian, dukungan dan doanya.

10. Seluruh karyawan dan murid Primagama Mayestik yang selalu memberikan dorongan motivasi kepada penulis hingga terselesaikan skripsi ini. 11. Seluruh teman-teman Matematika 2007 yang selalu memberikan motivasi kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Penulis mengharapkan kritik dan saran agar penulis dapat memperbaiki kekurangan yang ada. Penulis berharap semoga tugas akhir ini bermanfaat bagi penulis khususnya, dan pihak lain umumnya.

Jakarta, Juni 2011

Penulis

viii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ....................................................................................

i

PENGESAHAN PEMBIMBING ................................................................

ii

PENGESAHAN UJIAN ..............................................................................

iii

PERNYATAAN ...........................................................................................

iv

PERSEMBAHAN DAN MOTTO ABSTRAK ....................................................................................................

v

ABSTRACT ..................................................................................................

vi

KATA PENGANTAR ..................................................................................

vii

DAFTAR ISI ................................................................................................

ix

DAFTAR TABEL ........................................................................................

xi

DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................

xii

BAB I

PENDAHULUAN ........................................................................

1

1.1. Latar Belakang ........................................................................

1

1.2. Permasalahan ..........................................................................

3

1.3. Pembatasan Masalah ................................................................

3

1.4. Tujuan Penelitian ....................................................................

3

1.5. Manfaat Penelitian ..................................................................

4

BAB II LANDASAN TEORI ...................................................................

6

2.1. Kemiskinan .............................................................................

6

2.2. Regresi Poisson .......................................................................

7

2.3. Overdispersion ........................................................................

9

ix

2.4. Regresi Binomial Negatif .......................................................

10

2.5. Regresi Generalized Poisson ..................................................

13

2.6. Penaksiran Parameter ..............................................................

15

2.7. Kesesuaian Model Regresi ......................................................

17

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ...................................................

19

3.1. Sumber Data ...........................................................................

19

3.2. Pengujian Signifikansi Model dan Parameter ........................

21

3.3. Alur Penelitian ........................................................................

25

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .....................................................

26

4.1. Deskripsi Data ........................................................................

26

4.2. Regresi Poisson .......................................................................

27

4.3. Overdispersion ........................................................................

32

4.4. Regresi Binomial Negatif .......................................................

33

4.5. Regresi Generalized Poisson ..................................................

38

4.6. Kesesuaian Model Regresi .....................................................

43

KESIMPULAN DAN SARAN ....................................................

46

5.1. Kesimpulan .............................................................................

46

5.2. Saran .......................................................................................

47

DAFTAR PUSTAKA.......................................................................................

48

LAMPIRAN ..................................................................................................

49

BAB V

x

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 : Statistik Deskriptif .......................................................................

26

Tabel 4.2 : Nilai Parameter Regresi Poisson....................................................

27

Tabel 4.3 : Hasil Uji Overdispersion .............................................................

32

Tabel 4.4 : Nilai Parameter Regresi Binomial Negatif ..................................

33

Tabel 4.5 : Nilai Parameter Regresi Generalized Poisson .............................

38

Tabel 4.6 : Kesesuaian Model Regresi ..........................................................

43

xi

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 : Syntax Pengolahan Data Stata Versi Trial ...............................

49

Lampiran 2 : Output Statistik Deskriptif .......................................................

51

Lampiran 3 : Output Regresi Poisson .............................................................

51

Lampiran 4 : Output Kesesuaian Model Regresi Poisson .............................

52

Lampiran 5 : Output Pendeteksian Overdispersion .......................................

52

Lampiran 6 : Output Regresi Binomial Negatif ............................................

53

Lampiran 7 : Output Kesesuaian Model Regresi Binomial Negatif .............

53

Lampiran 8 : Output Regresi Generalized Poisson .......................................

54

Lampiran 9 : Output Kesesuaian Model Regresi Generalized Poisson ........

54

xii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Model regresi Poisson merupakan salah satu model yang digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel dependent dengan variabel independent

berupa data cacah

berupa data kontinu, diskrit, kategori atau

campuran. Dalam model regresi Poisson terdapat beberapa asumsi. Salah satu asumsi yang harus terpenuhi adalah variansi dari variabel dependent

sama

dengan rataannya (equidispersion), yaitu: ( )=

( )=

Namun, dalam analisis data cacah sering dijumpai data yang variansinya lebih kecil atau lebih besar dari rataan. Keadaan ini lebih dikenal dengan underdispersion atau overdispersion. Regresi Poisson yang diterapkan pada data yang mengandung overdispersion akan menghasilkan nilai standard error yang menjadi turun atau underestimate [4]. Pendekatan yang dapat digunakan untuk menangani overdispersion pada regresi Poisson adalah regresi Binomial Negatif dan regresi Generalized Poisson. Hasil penelitian Dimas Haryo Pamungkas (2003) menyatakan bahwa saat terjadi overdispersion pada data, regresi Binomial Negatif lebih baik digunakan dibandingkan regresi Poisson [7]. Sedangkan pada penelitian Ega Prihastari (2008), saat terjadi underdispersion dan overdispersion pada data, regresi Generalized Poisson lebih baik digunakan dibandingkan regresi Poisson

[8].

Oleh

karena

itu, 1

perlu

dilakukan

penelitian

untuk

membandingkan regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson pada data yang mengandung overdispersion. Model yang digunakan dalam penelitian ini untuk mengetahui faktor eksternal yang berpengaruh terhadap kemiskinan penduduk Indonesia tahun 2009. Tingginya tingkat kemiskinan di Indonesia membuat pemerintah memberikan perhatian lebih terhadap upaya pengentasan kemiskinan. Untuk menurunkan tingkat kemiskinan terlebih dahulu perlu diketahui faktor-faktor yang mempengaruhi tingkat kemiskinan, sehingga dapat dirumuskan kebijakan yang efektif untuk menurunkan angka kemiskinan di Indonesia. Faktor-faktor yang mempengaruhi tingkat kemiskinan di Indonesia antara lain Pertumbuhan Ekonomi, Jumlah Penduduk dan Pendidikan [10]. Dalam penelitian ini akan dijelaskan hubungan antara jumlah penduduk

miskin

(variabel

dependent)

dengan

faktor-faktor

yang

berpengaruh (variabel independent) yaitu jumlah penduduk, pengangguran, angka melek huruf penduduk, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat dan penduduk tamat SM/sederajat. Jumlah penduduk miskin di Indonesia dapat dikatakan masih cukup tinggi namun jarang sekali terjadi dalam ruang sampel besar. Sehingga hubungan antara jumlah penduduk miskin dengan faktor-faktor yang berpengaruh dapat dilihat melalui regresi Poisson.

2

1.2 Permasalahan Rumusan masalah penelitian ini dapat dirinci ke dalam beberapa pertanyaan penelitian sebagai berikut: a. Bagaimana pengaruh overdispersion pada regresi Poisson dalam data kemiskinan Indonesia tahun 2009. b. Bagaimana penerapan Regresi Poisson, regresi Binomial Negatif dan regresi Generalized Poisson pada data kemiskinan Indonesia tahun 2009 yang mengandung overdispersion. c. Faktor-faktor apa saja yang mempengaruhi angka kemiskinan di Indonesia tahun 2009. 1.3 Pembatasan Masalah Agar dalam pembahasan tidak terlalu luas dan hasilnya dapat mendekati pokok permasalahan, maka dalam penulisan hanya akan membahas overdispersion pada data kemiskinan, faktor-faktor yang mempengaruhi angka kemiskinan di Indonesia tahun 2009 serta analisis yang dilakukan berdasarkan data yang diperoleh pada waktu penelitian. 1.4 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah: a. Untuk menganalisa adanya pengaruh overdispersion pada regresi Poisson dalam data kemiskinan Indonesia tahun 2009. b. Untuk membandingkan penerapan regresi Poisson, regresi Binomial Negatif dan regresi Generalized Poisson pada data kemiskinan Indonesia tahun 2009 yang mengandung overdispersion.

3

c. Untuk mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi angka kemiskinan di Indonesia tahun 2009. 1.5 Manfaat Penelitian Manfaat penelitian terdiri dari manfaat teoritis serta manfaat praktis digunakan untuk perbaikan bagi pemerintah dan/atau Pemerintah Daerah (Pemda) yang bersangkutan. Manfaat penelitian dijelaskan sebagai berikut: 1. Manfaat Teoritis Hasil penelitian ini dapat dijadikan bahan studi lanjutan yang relevan dan bahan kajian ke arah pengembangan, serta kultur yang berkembang. Pembahasan tentang indikator yang berkaitan dengan angka kemiskinan, diharapkan dapat menjadi masukan untuk peningkatan pembangunan sosial di Indonesia. 2. Manfaat Praktis Penelitian ini secara praktis diharapkan dapat memiliki kontribusi sebagai berikut: a. Bagi Pemerintah 1) Sebagai dasar perencanaan terutama yang terkait dengan masalah faktor-faktor yang mempengaruhi angka kemiskinan di Indonesia tahun 2009. 2) Dapat

memberikan

sumbangan

penelitian

dalam

membantu

mengatasi angka kemiskinan yang dihadapi, melalui kebijakan yang relevan dalam mengatasi masalah kemiskinan.

4

b. Bagi Penulis Hasil penelitian ini dapat dijadikan bahan untuk melakukan penelitian lebih lanjut mengenai model pengembangan faktor-faktor yang mempengaruhi angka kemiskinan. Serta menambah pengetahuan bagi penulis dan menerapkan ilmu-ilmu yang telah di dapat selama kuliah. c. Bagi Pembaca Hasil penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan bacaan dan perbandingan bagi pembaca yang sedang melakukan penelitian.

5

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Kemiskinan Masalah kemiskinan merupakan salah satu persoalan mendasar yang harus menjadi perhatian pemerintah di negara manapun. Secara umum, kemiskinan adalah ketidakmampuan seseorang untuk memenuhi kebutuhan dasar pada setiap aspek kehidupan [2]. Badan Pusat Statistik (BPS) mendasarkan pada besarnya rupiah yang dibelanjakan perkapita/bulan untuk memenuhi kebutuhan minimum makanan dan non makanan [1]. Kualitas dan kuantitas sumber daya manusia akan berpengaruh terhadap pembangunan ekonomi suatu wilayah. Kualitas dan kuantitas sumber daya manusia dapat dilihat dari jumlah penduduknya [2]. Perkembangan jumlah penduduk dapat menjadi faktor pendorong dan penghambat pembangunan. Faktor pendorong karena memungkinkan semakin banyaknya tenaga kerja. Sedangkan penduduk disebut faktor penghambat pembangunan karena akan terdapat banyak pengangguran. Dalam kaitannya dengan kemiskinan, jumlah penduduk yang besar justru akan menambah tingkat kemiskinan. Fakta menunjukkan, beberapa Negara dengan jumlah penduduk yang besar, tingkat kemiskinannya juga lebih besar dibandingkan dengan jumlah penduduk sedikit.

6

Kualitas

sumber

daya

manusia

dapat

dilihat

dari

tingkat

pendidikannya. Dengan melakukan investasi pendidikan, maka akan meningkatkan produktivitas. Peningkatan produktivitas akan meningkatkan pendapatan. Pendapatan yang cukup akan mampu mengangkat kehidupan seseorang dari kemiskinan. 2.2 Regresi Poisson Regresi Poisson termasuk ke dalam Generalized Linear Models dan merupakan salah satu bentuk regresi yang digunakan untuk model data cacah. Variabel dependent dalam persamaan tersebut menyatakan data cacah [4]. Jika ingin diketahui hubungan antara variabel dependent ,

variabel independent ,

yaitu

,…,

variabel

adalah

Jika , dimana

, ,

ke- dari variabel

,…,

. Diberikan sampel sebesar

; = 1, 2, … , dan = 1, 2, … , ,…,

adalah

,

,…,

dan

buah

pengamatan . Pengamatan

. Pengamatan ke- dari

.

merupakan variabel acak untuk data cacah dengan = 1, 2, ..., menyatakan banyaknya data dan

mengikuti distribusi Poisson.

Maka fungsi kepadatan peluangnya adalah: ( ; Untuk

> 0, dengan

)=

(2.1)

!

merupakan rataan dari variabel dependent .

Fungsi peluang Poisson termasuk keluarga eksponensial, sehingga dapat dituliskan dalam bentuk: ( ;

)=

[

( )−

]

!

(2.2)

7

Berdasarkan fungsi peluang di atas, maka diperoleh fungsi penghubung (Link Function) yaitu: ( )=

=

(2.3)

Asumsi yang harus dipenuhi pada model regresi Poisson yaitu: ( )= ( )= Dengan

adalah vektor yang berukuran

independent dan

)

(

=

(2.4)

x1 yang menjelaskan variabel

adalah vektor berukuran

x1 merupakan parameter

regresi. Sehingga fungsi kepadatan peluang regresi Poisson adalah sebagai berikut: ( ; )= Nilai harapan

[

−

(

)]

(2.5)

!

yang bergantung pada variabel independent adalah

.

Taksiran parameter koefisien regresi Poisson dapat dilakukan dengan menggunakan Maximum Likelihood Estimation (MLE). Fungsi log likelihood untuk regresi Poisson dapat ditulis sebagai: ℓ( ; dimana

=

(

)=∑

[

( )−

−

( !)]

(2.6)

)

ℓ( ; ) = ∑

[ (

)−

(

)−

( !)]

(2.7)

Dengan demikian, penaksir maximum likelihood dapat diselesaikan dengan memaksimumkan model log likelihood ℓ( ; ), yaitu: ℓ(

; )

=∑

(

−

)

= 0,

= 1, 2, … ,

(2.8)

dan ℓ( ; )

= −∑

,

, = 1, 2, … ,

(2.9)

8

2.3 Overdispersion Pada model regresi Poisson terdapat asumsi yang harus dipenuhi. Salah satunya adalah asumsi kesamaan antara rataan dan variansi dari variabel dependent, yang disebut juga equidispersion. Namun, dalam analisis data cacah seringkali dijumpai data yang variansinya lebih besar dari rataannya (overdispersion). Jika pada data cacah terjadi overdispersion namun tetap digunakan regresi Poisson, akan berpengaruh pada nilai standard error yang menjadi turun atau underestimate, sehingga kesimpulannya menjadi tidak valid [4]. Fenomena overdispersion dapat dituliskan: ( )> ( ) Overdispersion dapat diindikasikan dengan nilai deviance dan pearson chi-squares yang dibagi dengan derajat bebasnya. Jika kedua nilai tersebut lebih dari 1, maka dikatakan terjadi overdispersion pada data [6]. Terdapat dua cara yang dapat digunakan untuk mendeteksi overdispersion, yaitu: 1.

Deviance ;

= 2∑

−

dengan

= Dimana

=

termasuk konstanta,

−(

−

)

(2.10)

merupakan banyaknya parameter

merupakan banyaknya pengamatan dan

adalah

nilai Deviance [4].

9

2.

Pearson Chi-Squares = =

Dimana

−

;

dengan

termasuk konstanta,

=∑

(

)

(2.11)

( )

merupakan banyaknya parameter

merupakan banyaknya pengamatan dan

adalah Pearson Chi-Squares [5]. Jika

dan

bernilai lebih dari 1 maka terjadi overdispersion pada data.

2.4 Regresi Binomial Negatif Model Regresi Binomial Negatif merupakan suatu model regresi yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara sebuah variabel dependent yang berupa data cacah dengan satu atau lebih variabel independent. Regresi Binomial Negatif dapat digunakan baik dalam keadaan equidispersion ataupun overdispersion [5]. Jika ingin diketahui hubungan antara variabel dependent ,

variabel independent yaitu

,

,…, ,

ke- dari variabel variabel

adalah

,

,…,


; = 1, 2, … , dan = 1, 2, … , ,…,

adalah

,

,…,

dan

buah



.

10

Jika random

menyebar Poisson dengan parameter

dan terdapat variabel

berdistribusi gamma dengan parameter

dan rataan 1. Maka

fungsi peluang bersama Poisson Gamma adalah: ( ;

(

)=

+ )

Γ( )

!

= misal = (

)

(

)

( )

=(

maka

(

∫

)

(

)

. Sehingga

)

=(

)

(

)

Diperoleh, = = = = = Jika inverse dari

(

( )

)

∫

(

(

)

( ) (

)

(

)

( ) (

)

(

)

( ) (

(

(

(

∫ Γ(

)

+ )

) )

)

(

adalah

)

) ( )

dan

=

. Sehingga fungsi kepadatan peluang

Binomial Negatif menjadi: ( ;

, )=

(

Rataan dan variansi dari Binomial Negatif adalah ( ) = (1 +

). Dengan

(2.12)

) ( )

dan

( )=

merupakan parameter dispersi.

11

Jika

= 0, maka rataan dan variansinya akan sama,

( )=

( ). Jika

> 0, maka variansinya akan melebihi rataannya,

( )>

( ) [5]. ( | )=

Jika diasumsikan bahwa

(

=

). Dengan

adalah vektor yang berukuran x1 yang menjelaskan variabel independent dan


x1 merupakan parameter regresi. Maka

model log likelihood untuk regresi Binomial Negatif dapat dituliskan sebagai: ℓ( ;

, )=

1+

− Γ( dimana

(

=

−

+ 1) −

1

(1 +

)+

Γ

+

Γ

1

(2.13)

) (

ℓ( ; , ) =

1+ +

Γ

+

−

)

−

1

(

)

Γ(

+ 1) −

1+

Γ

(

)

(2.14)

Dengan demikian, penaksir maximum likelihood dapat diselesaikan dengan memaksimumkan model ℓ( ; , ), yaitu: ℓ(

; , )

ℓ( ; , )

=∑

(

= −∑

)

= 0, (

)

(

)

,

= 1, 2, … ,

(2.15)

, = 1, 2, … ,

(2.16)

dan ℓ

; ,

=∑

(1 +

)+

(

)

+

+

−

= 0 (2.17)

12

ℓ

; ,

=∑

(

−

)

(

+

Fungsi digamma

)(

(

)

)

+2

(1 +

) +

−

(2.18) Γ().

merupakan turunan pertama dari fungsi log-gamma

Fungsi trigamma

merupakan turunan kedua dari

Γ() [4].

2.5 Regresi Generalized Poisson Model Regresi Generalized Poisson merupakan suatu model regresi yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara sebuah variabel dependent yang berupa data cacah dengan satu atau lebih variabel independent. Regresi Generalized Poisson dapat digunakan baik dalam keadaan underdispersion, equidispersion ataupun overdispersion [5]. Jika ingin diketahui hubungan antara variabel dependent ,

variabel independent ,

yaitu

,…, ,

ke- dari variabel variabel

adalah

,

,…,


; = 1, 2, … , dan = 1, 2, … , ,…,

,

adalah

,…,

dan

buah



.

Fungsi kepadatan peluang distribusi Generalized Poisson adalah:

Dengan

( ;

, )=

( )=

dan

(

)

(

)

!

( )=

(1 +

) . Dengan

(2.19) merupakan

parameter dispersi [3].

13

Generalized Poisson merupakan perluasan dari Poisson. Dengan

( ) > ( ). Jika

> 0 maka

( ). Jika

( ) < ( ) [5].

< 0 maka ( | )=

Jika diasumsikan bahwa

( )=

= 0, maka

merupakan parameter dispersi. Jika

). Dengan

(

=

adalah vektor yang berukuran x1 yang menjelaskan variabel independent dan


x1 merupakan parameter regresi. Maka

model log likelihood untuk regresi Generalized Poisson dapat dituliskan sebagai: ℓ( ;

+(

, )=∑ (

dimana

(

=

)

− 1)

(1 +

) −

( !)

−

(2.20)

)

ℓ( ; , ) = ∑

+( (

)

− 1)

(1 +

( !)

−

)− (2.21)

Dengan demikian, penaksir maximum likelihood, dapat diselesaikan dengan memaksimumkan model ℓ( ; , ), yaitu: ; , )

ℓ(

ℓ(

=∑

; , )

(

)

(

)

= −∑

(

= 0,

)

,

= 1, 2, … ,

(2.22)

, = 1, 2, … ,

(2.23)

dan ℓ(

ℓ(

; , )

; , )

=∑

−

=∑

−(

+

)

(

+(

)

(

−

(

) )

)

(

−

)

=0

( (

) )

(2.24) (2.25)

14

2.6 Penaksiran Parameter Penaksiran parameter untuk regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson menggunakan iterasi Newton-Raphson [4]. Penurunan algoritma didasarkan pada modifikasi dua orde deret taylor dengan fungsi log likelihood. Bentuk dari deret Taylor yaitu: (

)= (

)+(

(

)

′′′(

!

) (

−

)+

(

) !

)+⋯

"(

)+ (2.26)

Jika dipotong sampai orde kedua menjadi: (

)= (

Untuk menentukan nilai berupa (

)+(

) ′(

−

)

(2.27)

dapat menggunakan perluasan deret Taylor

) = 0 [9]. 0= (

)+(

) ′(

−

)

(2.28)

atau =

−

(

)

(

)

(2.29)

Metode Newton-Raphson menerapkan estimasi di atas dengan menggunakan nilai turunan pertama dan kedua dari fungsi log likelihood sebagai dasar estimasi parameter, yaitu: = Dengan dan ke

dan

−

ℓ(

)

ℓ(

)

,

adalah vektor untuk

= 1, 2, … , =

,

,…,

(2.30) pada iterasi ke

− 1 untuk iterasi Newton-Raphson. Turunan pertama dari fungsi

log likelihood,

ℓ(

), untuk regresi Poisson, Binomial Negatif dan

Generalized Poisson terdapat pada Persamaan (2.8), (2.15) dan (2.22).

15

ℓ(

Turunan kedua dari fungsi log likelihood,

), untuk regresi Poisson,

Binomial Negatif dan Generalized Poisson terdapat pada Persamaan (2.9), (2.16) dan (2.23). Penaksiran parameter dispersi, untuk memaksimumkan ℓ( ; , ) terhadap

pada regresi Binomial Negatif dapat menggunakan iterasi

Newton-Raphson. =

ℓ(

−

−1 )

(2.31)

)

ℓ(

Untuk memaksimumkan ℓ( ; , ) terhadap

pada regresi Binomial Negatif

dapat menggunakan iterasi Newton-Raphson. = Turunan pertama dari fungsi ℓ(

−

ℓ ( −1 )

(2.32)

)

ℓ(

) dan ℓ(

) untuk regresi Binomial

Negatif dan Generalized Poisson terdapat pada Persamaan (2.17) dan (2.24). ℓ(

Turunan kedua dari fungsi

) dan

ℓ(

) untuk regresi Binomial

Negatif dan Generalized Poisson terdapat pada Persamaan (2.18) dan (2.25). Secara umum, model Regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson untuk menganalisis data adalah: ,

,…,

=

+

+

+ …+

(2.33)

Atau dapat ditulis dengan: ,

,…,

=

+

=

+∑

+

+ …+ (2.34)

16

Nilai residual didefinisikan sebagai perbedaan antara nilai yang diamati ( ) dengan nilai hasil prediksi Residual = ( −

atau ( ). Sehingga, Residual =

−

atau

).

2.7 Kesesuaian Model Regresi Ketika ketiga model regresi telah didapatkan, selanjutnya adalah membandingkan model tersebut untuk mencari model yang terbaik yang dapat digunakan. Pengukuran yang sering digunakan adalah likelihood ratio tests, Akaike Information Criteria (AIC) dan Bayesian Schwartz Information Criteria (BIC) [4]. Uji likelihood ratio tests ( ) biasa digunakan untuk uji perbandingan model. Uji nilai likelihood ratio tests ( ) yang menunjukkan penolakan H0 berarti model tersebut lebih baik, karena mengindikasikan terjadinya overdispersion pada data. Nilai AIC dapat didefinisikan sebagai: AIC = −2 ℓ −

(2.35)

Nilai log likelihood untuk model yang mengandung seluruh variabel independent adalah ℓ . Banyaknya parameter termasuk konstanta dinyatakan dengan

. Dalam pengukuran ini, jika nilai AICA < AICB, maka model A

lebih baik.

17

Nilai BIC dapat didefinisikan sebagai: BIC = −2ℓ +

( )

(2.36)

Nilai log likelihood untuk model yang mengandung seluruh variabel independent adalah ℓ . Banyaknya parameter termasuk konstanta dinyatakan dengan . Jika nilai BICA < BICB, maka model A lebih baik.

18

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Sumber Data Penelitian ini dilaksanakan pada bulan Februari 2011. Jenis data yang digunakan adalah data sekunder. Data berasal dari hasil Survey Sosial Ekonomi Nasional (SUSENAS) yang diselenggarakan oleh Badan Pusat Statistik (BPS) tahun 2009. Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: a.

Variabel dependent Dalam penelitian ini adalah jumlah penduduk miskin dengan ukuran jiwa.

b.

Variabel independent Adapun variabel independent dalam penelitian ini adalah: 1.

Jumlah penduduk (

) yang diukur dalam satuan jiwa.

Adalah jumlah penduduk yang berdomisili di wilayah geografis Republik Indonesia selama 6 bulan atau lebih atau mereka yang berdomisili kurang dari 6 bulan tetapi bertujuan untuk menetap serta yang sudah diakui secara sah sebagai Warga Negara Indonesia (WNI).

19

2.

Pengangguran (

) yang diukur dalam ukuran persentase.

Adalah penduduk usia 15 tahun ke atas yang tidak bekerja tetapi berharap mendapatkan pekerjaan. Terdiri dari penduduk yang mencari pekerjaan, penduduk yang mempersiapkan usaha, penduduk yang tidak mencari pekerjaan karena merasa tidak mungkin mendapatkan pekerjaan dan penduduk yang sudah punya pekerjaan tetapi belum mulai bekerja. 3.

Angka Melek Huruf Penduduk (

) yang diukur dalam ukuran

persentase. Adalah perbandingan antara jumlah penduduk usia 15 tahun ke atas yang dapat membaca dan menulis, dengan jumlah penduduk usia 15 tahun ke atas. 4.

Penduduk Tamat SD/Sederajat (


persentase. Adalah penduduk yang tamat pada jenjang pendidikan Sekolah Dasar, Madrasah Ibtidaiyah dan sederajat yang ditandai dengan sertifikat/ijazah. 5.

Penduduk tamat SMP/Sederajat (


persentase. Adalah penduduk yang tamat pada jenjang pendidikan SMP Umum, Madrasah Tsanawiyah, SMP kejuruan dan sederajat yang ditandai dengan sertifikat/ijazah.

20

6.

Penduduk tamat SM/Sederajat (


persentase. Adalah penduduk yang tamat pada jenjang pendidikan Sekolah Menengah Atas (SMA), Sekolah Menengah Kejuruan (SMK), Madrasah

Aliyah

dan

sederajat

yang

ditandai

dengan

sertifikat/ijazah. 3.2 Pengujian Signifikansi Model dan Parameter a.

Pengujian Signifikansi Model Setelah taksiran parameter dari model regresi diketahui, selanjutnya dilakukan pengujian signifikansi model. Pengujian yang dilakukan adalah uji rasio likelihood, dengan hipotesis: H0

:

H1

:∃

=

= ...=

=0

≠0

= 1, 2, 3, … ,

Statistik uji yang dilakukan adalah: =2 ℓ −ℓ

(3.1)

Dengan ℓ adalah log likelihood untuk model yang mengandung seluruh variabel independent dan ℓ adalah log likelihood untuk model yang tidak mengandung variabel independent. Pada kondisi H0 statistik uji (

) dengan derajat bebas

mendekati distribusi chi-square

. Aturan keputusannya adalah H0 ditolak

pada tingkat signifikansi 0.05 jika

>

.

;

. Penolakan H0 pada

tingkat signifikansi 0.05 berarti bahwa terdapat paling sedikit satu

21

parameter di antara

,

, . . .,

yang signifikan pada tingkat

signifikansi 0.05 atau dapat dikatakan bahwa model regresi tersebut cocok untuk menjelaskan hubungan antara variabel independent dengan variabel dependent pada tingkat signifikansi 0.05. b. Pengujian Signifikansi Parameter dalam Model Setelah dilakukan pengujian signifikansi model, selanjutnya dilakukan pengujian signifikansi masing-masing parameter dari model. Pengujian yang dilakukan adalah uji Wald, dengan hipotesis: H0

:

H1

:∃

=0 ≠0

= 1, 2, … ,

Statistik uji yang digunakan adalah: = Dengan

adalah nilai taksiran parameter dan

taksiran standard error dari

adalah nilai

.

Pada kondisi H0, statistik uji (

(3.2)


) dengan derajat bebas 1. Aturan keputusannya adalah H0 ditolak


>

.

;

. Penolakan H0 pada

tingkat signifikansi 0.05 berarti bahwa variabel independent suatu

tertentu dengan

variabel dependent

= 1, 2, … ,

untuk

memiliki kontribusi terhadap

pada tingkat signifikansi 0.05.

22

c.

Pengujian Signifikansi Parameter Dispersi pada Model Pengujian signifikansi untuk parameter dispersi dilakukan untuk menentukan

apakah

kondisi

kesamaan

rataan

dan

variansi

(equidispersion) terpenuhi atau tidak. Kondisi equidispersion terjadi = 0 dan

apabila nilai

= 0 terpenuhi.

Untuk pengujian parameter dispersi pada regresi Binomial Negatif hipotesis yang digunakan adalah: H0

:

=0

H1

:

>0

Untuk pengujian parameter dispersi pada regresi Generalized Poisson hipotesis yang digunakan adalah: H0

:

=0

H1

:

≠0

Dengan Negatif dan

merupakan parameter dispersi untuk regresi Binomial

merupakan parameter dispersi untuk Generalized Poisson.

Misalkan taksiran log likelihood untuk model yang mengandung seluruh variabel independent pada regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson adalah ℓ , ℓ

dan ℓ .

Pada model regresi Binomial Negatif, statistik uji yang digunakan adalah: =2 ℓ

− ℓ

(3.3)

23

Pada model regresi Generalized Poisson, statistik uji yang digunakan adalah: =2 ℓ Pada kondisi H0, statistik uji (

− ℓ

(3.4)


) dengan derajat bebas 1. Aturan keputusannya adalah H0 ditolak


>

.

;

. Penolakan H0 berarti pada

tingkat signifikansi 0.05 berarti bahwa model regresi Binomial Negatif atau Generalized Poisson lebih tepat digunakan dibandingkan model regresi Poisson.

24

3.3 Alur Penelitian

Mulai

Pengumpulan Data underdispersion Regresi Poisson

Uji Asumsi

Regresi Generalized Poisson

equidispersion/ overdispersion 1. Regresi Binomial Negatif 2. Regresi Generalized Poisson

1. Uji Signifikansi Model 2. Uji Signifikansi Parameter 3. Uji Signifikansi Parameter Dispersi

Model Terbaik

Selesai

Gambar 3.1 Alur Penelitian

25

BAB IV PEMBAHASAN

4.1 Deskripsi Data Untuk melihat karakteristik dari masing-masing variabel maka ditampilkan statistika deskriptif yang dapat dilihat pada tabel berikut ini: Tabel 4.1 Statistika Deskriptif Variabel Penduduk Miskin ( ) Jumlah Penduduk ( Pengangguran (

)

Angka Melek Huruf ( Penduduk Tamat SD/Sederajat (

)

Penduduk Tamat SMP/Sederajat (

)

Penduduk Tamat SM/Sederajat (

)

)

)

Rata-rata

Variansi

Min

Maks

985756.4

2.35x1012

76630

6022590

7011197

1.04x1014

743860

4.15x107

7.235758

7.072094

3.13

14.97

92.84364

64.65102

58.31

99.38

48.4797

54.7914

32.41

62.36

39.82

36.44922

21.9

47.8

8.650303

12.83698

2.89

16.13

Persentase jumlah penduduk miskin di Indonesia pada tahun 2009 tercatat sebesar 14.15% atau 32.529.970. Distribusi jumlah penduduk miskin tertinggi tahun 2009 untuk setiap provinsi di Indonesia terjadi pada provinsi Jawa Timur dengan jumlah penduduk miskin sebesar 6.022.590 jiwa. Sedangkan jumlah penduduk miskin terendah pada tahun 2009 terjadi pada provinsi Bangka Belitung dengan jumlah penduduk miskin sebesar 76.630 jiwa.

26

4.3 Regresi Poisson a. Hasil Pengolahan Data Setelah melakukan pengolahan data, diperoleh nilai untuk parameter

,

,

,

,

,

,

pada tabel berikut:

Tabel 4.2 Nilai Parameter Regresi Poisson Parameter

estimate

Std. error

Konstanta ( )

52.82108

0.456093

-

Jumlah Penduduk ( )

8.04 10-8

1.55x10-11

26905972.94

Pengangguran ( )

0.0033977

0.0000998

34.045

Angka Melek Huruf ( )

-0.0237666

0.0000629

142768.64

-0.3710933

0.0045578

6629.117

-0.3997937

0.0045677

7660.846

-0.3207848

0.0045712

4924.556

Penduduk

Tamat

SD/Sederajat ( ) Penduduk

Tamat

SMP/Sederajat ( ) Penduduk

Tamat

SM/Sederajat ( ) ℓ

-2.21 107

ℓ

-2629140

Model regresi Poisson yang dihasilkan adalah: ̂(

,

,…,

) = 52.82108 + 8.04x10-8 0.0237666

- 0.3710933

+ 0.0033977

-

- 0.3997937

-

0.3207848

27

Pada model terlihat bahwa nilai taksiran parameter model untuk angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat dan penduduk tamat SM/sederajat bernilai negatif. Hal ini menunjukkan bahwa hubungan antara variabel tersebut dengan log ratarata dari jumlah penduduk miskin berbanding terbalik. Jika terjadi kenaikan angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat dan penduduk tamat SM/sederajat maka log rata-rata penduduk miskin akan menurun. Sedangkan nilai taksiran parameter model untuk jumlah penduduk dan pengangguran bernilai positif. Hal ini menunjukkan bahwa hubungan antara variabel tersebut dengan log ratarata dari jumlah penduduk miskin berbanding lurus. Jika terjadi kenaikan jumlah penduduk dan pengangguran maka log rata-rata penduduk miskin akan meningkat. b. Uji Signifikansi Model Pengujian signifikansi model dilakukan untuk mengetahui apakah model regresi Poisson tersebut dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara jumlah penduduk miskin dengan jumlah penduduk, pengangguran, angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat serta penduduk tamat SM/sederajat. Hipotesis: H0 : H1 : ∃

=

= ...

≠0

=0 = 1, 2, … , 6

28

Statistik uji yang digunakan untuk pengujian tersebut adalah: =2 ℓ −ℓ = 2(-2629140-(-2.21x107)) = 2(19470860) = 38941720 Berdasarkan tabel chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan derajat bebas 6 diperoleh nilai

.

;

= 12.59. Nilai

= 38941720 >

.

;

=

12.59, maka H0 ditolak pada tingkat signifikansi 0.05. Sehingga, model tersebut dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara jumlah penduduk miskin dengan jumlah penduduk, pengangguran, angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat serta penduduk tamat SM/sederajat. c. Uji Signifikansi Parameter Selanjutnya dilakukan pengujian signifikansi masing-masing parameter dari model regresi Poisson. Hipotesis: H0 :

=0

H1 :

≠0

= 1, 2, … , 6

Berdasarkan Persamaan (3.2) diperoleh: 1)

=

2)

=

3)

=

(

)

(

)

(

)

= = =

.

= 26905972.94

. .

= 34.045

. . .

= 142768.64

29

4)

=

5)

=

6)

=

(

(

(

.

=

)

.

=

)

= 7660.846

. .

=

)

= 6629.117

.

= 4924.556

.

Berdasarkan tabel chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan derajat bebas 1 diperoleh nilai

.

;

= 3.841.

Aturan keputusan: 1)

= 26905972.94 >

2)

= 34.045 >

3)

= 142768.64 >

4)

= 6629.117 >

.

;

= 3.841, maka H0 ditolak

5)

= 7660.846 >

.

;


6)

= 4924.556 >

.

;


Parameter

,

,

,

,

.

,

.

;



;

.

;


signifikan pada tingkat signifikansi 0.05.

Artinya, pada tingkat signifikansi 0.05 jumlah penduduk, pengangguran, angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat serta penduduk tamat SM/sederajat memiliki kontribusi terhadap jumlah penduduk miskin.

30

d. Interpretasi Parameter Karena seluruh parameter dalam model regresi Poisson signifikan pada

tingkat

signifikansi

0.05,

maka

seluruh

parameter

dapat

diinterpretasi. 1) Interpretasi

= 8.04x10-8

Untuk setiap kenaikan jumlah penduduk sebanyak 1 jiwa, dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata jumlah penduduk miskin cenderung bertambah sebesar 2) Interpretasi

(8.04 10-8) ≈ 1 jiwa.

= 0.0033977

Untuk setiap kenaikan pengangguran sebanyak 1 persen, dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata jumlah penduduk miskin cenderung bertambah sebesar 3) Interpretasi

(0.0033977) ≈ 1 jiwa.

= -0.0237666

Untuk setiap kenaikan angka melek huruf penduduk sebanyak 1 persen, dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata jumlah penduduk miskin cenderung berkurang sebesar

(-

0.0237666) ≈ 1 jiwa. 4) Interpretasi

= -0.3710933

Untuk setiap kenaikan penduduk yang tamat SD/sederajat sebanyak 1 persen, dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata jumlah penduduk miskin cenderung berkurang sebesar

(-

0.3710933) ≈ 1 jiwa.

31

5) Interpretasi

= -0.3997937

Untuk setiap kenaikan penduduk tamat SMP/Sederajat sebanyak 1 persen, dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata jumlah penduduk miskin cenderung bertambah sebesar

(-

0.3997937) ≈ 1 jiwa. 6) Interpretasi

= -0.3207848

Untuk setiap kenaikan penduduk tamat SM/Sederajat sebanyak 1 persen, dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata jumlah penduduk miskin cenderung berkurang sebesar

(-

0.3207848) ≈ 1 jiwa. 4.4 Overdispersion Overdispersion pada data kemiskinan tahun 2009 ditunjukkan pada Tabel 4.1 dimana variansi

lebih besar dari rataan . Selain itu, fenomena

overdispersion pada data kemiskinan tahun 2009 dapat dilihat berdasarkan nilai Pearson Chi-Squares dan Deviance yang dibagi dengan derajat bebasnya bernilai lebih dari 1. Tabel 4.3 Hasil Uji Overdispersion Goodness of Fit

Berdasarkan 238992.409 dan

Persamaan

Statistik 5257833

22

5265652

22

(2.10)

dan

(2.11)

didapatkan

=

= 239347.818 atau jauh di atas 1. Sehingga dapat

disimpulkan terjadi overdispersion pada data.

32

4.5 Regresi Binomial Negatif a.

Hasil Pengolahan Data Setelah melakukan pengolahan data, diperoleh nilai untuk parameter

,

,

,

,

,

,

pada tabel berikut:

Tabel 4.4 Nilai Parameter Regresi Binomial Negatif Parameter

estimate

Std. error

Konstanta ( )

100.7498

196.8678

-

Jumlah Penduduk ( )

9.18 10-8

1.19 10-8

59.51

Pengangguran ( )

0.0259301

0.045808

0.32


-0.0308432

0.0282524

1.192

-0.8454549

1.969745

0.184

-0.8791235

1.972733

0.199

-0.7888285

1.97907

0.159

Penduduk Tamat SD/Sederajat ( ) Penduduk Tamat SMP/Sederajat ( ) Penduduk Tamat SM/Sederajat ( ) ℓ

-431.3128

ℓ

-407.2713

Model regresi Binomial Negatif yang dihasilkan adalah: ̂(

,

,…,

) = 100.7498 + 9.18 10-8 0.0308432

- 0.8454549

+ 0.0259301 - 0.8791235

– -

0.7888285

33

Pada model terlihat bahwa nilai taksiran parameter model untuk angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat dan penduduk tamat SM/sederajat bernilai negatif. Hal ini menunjukkan bahwa hubungan antara variabel tersebut dengan log ratarata dari jumlah penduduk miskin berbanding terbalik. Jika terjadi kenaikan angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat dan penduduk tamat SM/sederajat maka log ratarata penduduk miskin akan menurun. Sedangkan nilai taksiran parameter model untuk jumlah penduduk dan pengangguran bernilai positif. Hal ini menunjukkan bahwa hubungan antara variabel tersebut dengan log ratarata dari jumlah penduduk miskin berbanding lurus. Jika terjadi kenaikan jumlah penduduk dan pengangguran maka log rata-rata penduduk miskin akan meningkat. b. Uji Signifikansi Model Pengujian signifikansi model dilakukan untuk mengetahui apakah model regresi Binomial Negatif tersebut dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara jumlah penduduk miskin dengan jumlah penduduk, pengangguran, angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat serta penduduk tamat SM/sederajat. Hipotesis: H0 : H1 : ∃

=

= ...

≠0

=0 = 1, 2, … , 6

34

Statistik uji yang digunakan untuk pengujian tersebut adalah: =2 ℓ −ℓ = 2(-407.2713-(-431.3128)) = 2(24.0415) = 48.083 Berdasarkan tabel chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan derajat bebas 6 diperoleh nilai .

;

.

;

= 12.59. Nilai

= 48.083 >

= 12.59, maka H0 ditolak pada tingkat signifikansi 0.05. Sehingga,

model tersebut dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara jumlah penduduk miskin dengan jumlah penduduk, pengangguran, angka melek

huruf,

penduduk

tamat

SD/sederajat,

penduduk

tamat

SMP/sederajat serta penduduk tamat SM/sederajat. c.

Uji Signifikansi Parameter Selanjutnya dilakukan pengujian signifikansi masing-masing parameter dari model regresi Binomial Negatif. Hipotesis: H0 :

=0

H1 :

≠0

= 1, 2, … , 6


=

2)

=

3)

=

(

(

(

)

)

)

=

.

=

.

=

= 59.51

.

= 0.32

. . .

= 1.192

35

4)

=

5)

=

6)

=

(

)

(

(

)

.

=

.

=

= 0.199

. .

=

)

= 0.184

.

.

= 0.159


= 3.841.

.

;

;



= 59.51 >

2)

= 0.32 <

3)

= 1.192<

4)

= 0.184 <

.

;

= 3.841, maka H0 diterima

5)

= 0.199 <

.

;


6)

= 0.159 <

.

;


Parameter

.

.


;

.


;

signifikan pada tingkat signifikansi 0.05. Artinya, pada

tingkat signifikansi 0.05 jumlah penduduk memiliki kontribusi terhadap jumlah penduduk miskin.

36

d. Uji Signifikansi Parameter Dispersi Hipotesis: H0

:

=0

H1

:

>0

Statistik uji yang digunakan untuk pengujian tersebut berdasarkan Persamaan (3.3) adalah: =2 ℓ

− ℓ

= 2(-407.2713 – (-2629140)) = 2(2628732.729) = 5257465.457 Berdasarkan tabel chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan derajat bebas 1 diperoleh nilai .

;

.

;

= 3.841. Nilai

= 5257465.457 >

= 3.841, maka tolak H0 pada tingkat signifikansi 0.05. Parameter

signifikan pada tingkat signifikansi 0.05. Artinya,

model regresi Binomial Negatif lebih baik digunakan dibandingkan dengan model regresi Poisson. e.

Interpretasi Parameter Parameter yang signifikan pada tingkat signifikansi 0.05 dalam model regresi Binomial Negatif hanyalah parameter

, maka interpretasi

yang diperlukan adalah interpretasi untuk parameter

dan parameter .

37

= 9.18 10-8

1) Interpretasi

Untuk setiap kenaikan jumlah penduduk sebanyak 1 jiwa, dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata jumlah penduduk miskin cenderung bertambah sebesar 2) Interpretasi Nilai

(9.04 10-8) ≈ 1 jiwa.

= 0.2972525

taksiran

yang

diperoleh

adalah

positif.

Hal

ini

mengindikasikan terjadinya overdispersion. 4.6 Regresi Generalized Poisson a.

Hasil Pengolahan Data Setelah melakukan pengolahan data, diperoleh nilai untuk parameter

,

,

,

,

,

,

pada tabel berikut:

Tabel 4.5 Nilai Parameter Regresi Generalized Poisson Parameter

estimate

Std. Error

Konstanta ( )

149.4583

156.8523

-

Jumlah Penduduk ( )

8.19 10-8

6.83 10-9

11.991

Pengangguran ( )

0.0123919

0.0448386

0.276


-0.0143374

0.0244077

0.345

-1.342203

1.565608

0.735

-1.382839

1.568798

0.777

-1.29325

1.570368

0.678

Penduduk Tamat SD/Sederajat ( ) Penduduk Tamat SMP/Sederajat ( ) Penduduk Tamat SM/Sederajat ( ) ℓ

-426.9894

ℓ

-405.8395

38

Model regresi Generalized Poisson yang dihasilkan adalah: ̂(

,

,…,

) = 149.4583 + 8.19 10-8 0.0143374

- 1.342203

+ 0.0123919

–

– 1.382839

–

1.29325 Pada model terlihat bahwa nilai taksiran parameter model untuk angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat dan penduduk tamat SM/sederajat bernilai negatif. Hal ini menunjukkan bahwa hubungan antara variabel tersebut dengan log ratarata dari jumlah penduduk miskin berbanding terbalik. Jika terjadi kenaikan angka melek huruf, penduduk tamat SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat dan penduduk tamat SM/sederajat maka log ratarata penduduk miskin akan menurun. Sedangkan nilai taksiran parameter model untuk jumlah penduduk dan pengangguran bernilai positif. Hal ini menunjukkan bahwa hubungan antara variabel tersebut dengan log ratarata dari jumlah penduduk miskin berbanding lurus. Jika terjadi kenaikan jumlah penduduk dan pengangguran maka log rata-rata penduduk miskin akan meningkat. b. Uji Signifikansi Model Pengujian signifikansi model dilakukan untuk mengetahui apakah model regresi Generalized Poisson tersebut dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara jumlah penduduk miskin dengan jumlah penduduk, pengangguran, angka melek huruf, penduduk tamat

39

SD/sederajat, penduduk tamat SMP/sederajat serta penduduk tamat SM/sederajat. Hipotesis: H0 : H1 : ∃

=

= ...

=0

≠0

= 1, 2, … , 6

Statistik uji yang digunakan untuk pengujian tersebut adalah: =2 ℓ −ℓ = 2(-405.8395 - (-426.9894)) = 2(21.1499) = 42.2998 Berdasarkan tabel chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan derajat bebas 6 diperoleh nilai .

;

.

;

= 12.59. Nilai

= 42.2998 >

= 12.59, maka H0 ditolak pada tingkat signifikansi 0.05. Sehingga,

model tersebut dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara jumlah penduduk miskin dengan jumlah penduduk, pengangguran, angka melek

huruf,

penduduk

tamat

SD/sederajat,

penduduk

tamat

SMP/sederajat serta penduduk tamat SM/sederajat. c.

Uji Signifikansi Parameter Selanjutnya dilakukan pengujian signifikansi masing-masing parameter dari model regresi Generalized Poisson. Hipotesis: H0 :

=0

H1 :

≠0

= 1, 2, … , 6

40


=

2)

=

3)

=

4)

=

5)

=

6)

=

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

.

=

= 11.991

. .

=

= 0.276

. .

=

. .

=

= 0.735

. .

=

. .

=

= 0.345

.

= 0.777 = 0.678


.

;

= 3.841.


= 11.991 >

2)

= 0.276 <

.

;


3)

= 0.345 <

.

;


4)

= 0.735 <

.

;


5)

= 0.777 <

.

;


6)

= 0.678 <

.

;


Parameter

.

;


signifikan pada tingkat signifikansi 0.05. Artinya, pada

tingkat signifikansi 0.05 jumlah penduduk memiliki kontribusi terhadap jumlah penduduk miskin.

41

d. Uji Signifikansi Parameter Dispersi Hipotesis: H0

:

=0

H1

:

≠0

Statistik uji yang digunakan untuk pengujian tersebut berdasarkan Persamaan (3.3) adalah: =2 ℓ

− ℓ

= 2(-405.8395 – (-2629140)) = 2(2628734.161) = 5257468.321 Berdasarkan tabel chi-squares dengan tingkat signifikansi 0.05 dan derajat bebas 1 diperoleh nilai 5257468.321 >

.

;

.

;

= 3.841. Nilai

=

= 3.841, maka tolak H0 pada tingkat signifikansi

0.05. Parameter

signifikan pada tingkat signifikansi 0.05. Artinya,

model regresi Generalized Poisson lebih baik digunakan dibandingkan dengan model regresi Poisson.

42

e.

Interpretasi Parameter Parameter yang signifikan pada tingkat signifikansi 0.05 dalam model regresi Generalized Poisson hanyalah parameter

, maka

interpretasi yang diperlukan adalah interpretasi untuk parameter

serta

untuk parameter . = 8.19 10-8

1) Interpretasi

Untuk setiap kenaikan jumlah penduduk sebanyak 1 jiwa, dengan asumsi nilai variabel lainnya tetap, maka rata-rata jumlah penduduk (8.19 10-8) ≈ 1 jiwa.

miskin cenderung bertambah sebesar 2) Interpretasi Nilai

= 0.9979845

taksiran

yang

diperoleh

adalah

positif.

Hal

ini

mengindikasikan terjadinya overdispersion. 4.7 Kesesuaian Model Regresi Untuk membandingkan model regresi Poisson, regresi Binomial Negatif dan regresi Generalized Poisson dapat dilihat pada tabel berikut ini: Tabel 4.6 Kesesuaian Model Regresi Binomial

Generalized

Negatif

Poisson

-

5257465.457

5257468.321

AIC

5258293

830.5427

827.6789

BIC

5258301

841.481

838.6173

Kriteria Likelihood Ratio

Poisson

43

Berdasarkan nilai likelihood ratio tests antara regresi Poisson dan regresi Binomial Negatif, nilai likelihood ratio statistics dari regresi Binomial Negatif sebesar

= 5767616.842 dinyatakan signifikan. Hal ini menunjukkan

bahwa model regresi Binomial Negatif merupakan model yang lebih baik. Untuk perbandingan lebih lanjut dapat menggunakan nilai AIC dan BIC yang ditunjukkan pada Tabel 4.6. Berdasarkan nilai likelihood ratio, AIC dan BIC, maka pada penelitian ini regresi Binomial Negatif merupakan model yang lebih baik dari regresi Poisson. Nilai likelihood ratio tests antara regresi Poisson dan regresi Generalized Poisson sebesar

= 5767616.842 dinyatakan signifikan. Hal ini

menunjukkan bahwa model regresi Generalized Poisson merupakan model yang lebih baik. Untuk perbandingan lebih lanjut dapat menggunakan nilai AIC dan BIC yang ditunjukkan pada Tabel 4.6. Berdasarkan nilai likelihood ratio, AIC dan BIC, maka pada penelitian ini regresi Generalized Poisson merupakan model yang lebih baik dari regresi Poisson. Berdasarkan pengujian di atas, regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson lebih baik dibandingkan model regresi Poisson. Maka langkah selanjutnya adalah membandingkan model regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson berdasarkan nilai AIC dan BIC. Pada Tabel 4.6 terlihat bahwa nilai AIC dan BIC untuk regresi Generalized Poisson lebih kecil dibandingkan regresi Binomial Negatif. Sehingga, pada penelitian ini model regresi Generalized Poisson lebih baik dibandingkan regresi Binomial Negatif.

44

12000000 10000000 8000000

R. P

6000000

R. BN R. GP

4000000

Miskin 2000000 0 1

2

3

4

Gambar 4.1 Hasil Observasi dan Prediksi Regresi

Grafik di atas digunakan untuk melihat hasil prediksi antara regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson berdasarkan model yang telah di dapatkan. Pada gambar terlihat bahwa regresi Generalized Poisson lebih mendekati nilai sebenarnya dari jumlah penduduk miskin. Sehingga, untuk data kemiskinan Indonesia tahun 2009 model regresi Generalized Poisson lebih baik digunakan dibandingkan regresi Poisson dan regresi Binomial Negatif.

45

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan Jika pada data cacah terjadi overdispersion namun tetap digunakan regresi Poisson akan berpengaruh pada nilai standard error yang menjadi turun atau underestimate seperti yang terlihat pada Tabel 4.2. Sehingga kesimpulannya menjadi tidak valid. Ketika model telah didapatkan, dilakukan pembandingan model untuk mencari model terbaik yang dapat digunakan. Berdasarkan nilai likelihood ratio tests, AIC dan BIC, model regresi Generalized Poisson lebih baik digunakan dibandingkan model regresi Poisson dan Binomial Negatif untuk kasus jumlah penduduk miskin di Indonesia tahun 2009. Model untuk regresi Generalized Poisson yang dihasilkan adalah: ̂(

,

,…,

) =

149.4583

8.19 10-8

+

0.0143374

-

1.342203

+ –

0.0123919

–

1.382839

–

1.29325 Setelah taksiran parameter dari model regresi Generalized Poisson diperoleh, dilakukan pengujian signifikansi untuk kebaikan model dan parameter yang terdapat dalam model. Pada model regresi Generalized Poisson, variabel jumlah penduduk memiliki kontribusi terhadap jumlah penduduk miskin.

46

5.2 Saran Dalam penelitian ini telah dibahas mengenai model regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson dengan metode penaksiran parameter maximum likelihood. Berdasarkan model regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson yang dihasilkan masih terdapat parameter yang dinyatakan tidak signifikan, sehingga model tersebut dirasa kurang tepat. Selain menggunakan metode penaksiran maximum likelihood, dapat digunakan metode penaksiran lain yaitu moment. Oleh karena itu, penelitian selanjutnya disarankan untuk membahas metode penaksiran parameter moment.

47

DAFTAR PUSTAKA

[1]

Badan Pusat Statistik. Data dan Informasi Kemiskinan 2009, Buku 2: Kabupaten/Kota. Jakarta: BPS. 2009.

[2]

Chamsyah, Bachtiar. Pembangunan Sosial untuk Kesejahteraan Masyarakat Indonesia. Jakarta: Trisakty University Press. 2008.

[3]

Hardin, J.W. and J.M. Hilbe. Generalized Linear Models and Extensions. Texas: A Stata Press Publication. 2007.

[4]

Hilbe, Joseph M. Negative Binomial Regression 2nd edition. Cambridge: Cambridge University Press. 2011.

[5]

Ismail, N and A.A. Jemain. Handling Overdispersion with Negative Binomial and Generalized Poisson Regression Model. Malaysia: Causalty Actuarial Society Forum. 2007.

[6]

McCullagh, P. and J.A. Nelder. Generalized Linear Models 2nd edition. London: Chapman and Hall. 1989.

[7]

Pamungkas, Dimas Haryo. Kajian Pengaruh Overdispersi Dalam Regresi Poisson. Bogor: Institut Pertanian Bogor. 2003.

[8]

Prihastari, Ega. Model Regresi Generalized Poisson I. Depok: Universitas Indonesia. 2008.

[9]

Munir, Rinaldi. Metode Numerik Revisi Kedua. Bandung: Informatika. 2003.

[10] Usman,

Sunyoto.

Pembangunan

dan

Yogyakarta: Pustaka Pelajar Offset. 2010.

48

Pemberdayaan

Masyarakat.

LAMPIRAN

Lampiran 1 Syntax STATA versi Trial

Syntax Statistik Deskriptif tabstat Penduduk Pengangguran AMH SD SMP SM, statistics( mean var min max ) columns(statistics)

Syntax Regresi Poisson poisson Miskin Penduduk Pengangguran AMH SD SMP SM, nolog technique(nr)

Syntax Kesesuaian Model Regresi Poisson estat ic, n(29)

Syntax Deviance . estat gof

Syntax Pearson Chi-Squares . estat gof, pearson

Syntax Regresi Binomial Negatif nbreg Miskin Penduduk Pengangguran AMH SD SMP SM, dispersion(mean) nolog technique(nr)

49

Syntax Kesesuaian Model Regresi Binomial Negatif estat ic, n(29)

Syntax Regresi Generalized Poisson gpoisson Miskin Penduduk Pengangguran AMH SD SMP SM, nolog technique(nr)

Syntax Kesesuaian Model Regresi Generalized Poisson estat ic, n(29)

50

Lampiran 2 Output Statistik Deskriptif

variable Miskin Penduduk Pengangguran AMH SD SMP SM

mean variance 985756.4 7011197 7.235758 92.84364 51.5203 39.82 8.650303

2.35e+12 1.04e+14 7.072094 64.65102 54.7914 36.44922 12.83698

min

max

76630 6022590 743860 4.15e+07 3.13 14.97 58.31 99.38 37.64 67.59 21.9 47.8 2.89 16.13

Lampiran 3 Output Regresi Poisson

Poisson regression

Number of obs LR chi2(6) Prob > chi2 Pseudo R2

Log likelihood = -2629140.3 Miskin

Coef.

Penduduk Pengangguran AMH SD SMP SM _cons

8.04e-08 .0033977 -.0237666 -.3710933 -.3997937 -.3207848 52.82108

Std. Err.

z

1.55e-11 5172.49 .0000998 34.03 .0000629 -377.60 .0045578 -81.42 .0045677 -87.53 .0045712 -70.18 .456093 115.81

P>|z| 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

= = = =

29 3.89e+07 0.0000 0.8810

[95% Conf. Interval] 8.04e-08 .003202 -.02389 -.3800265 -.4087461 -.3297442 51.92715

8.04e-08 .0035934 -.0236432 -.3621602 -.3908412 -.3118255 53.715

51

Lampiran 4 Output Kesesuaian Model Regresi Poisson

Model

Obs

ll(null)

ll(model)

df

AIC

BIC

.

29

-2.21e+07

-2629140

6

5258293

5258301

Note: N=29 used in calculating BIC

Lampiran 5 Output Pendeteksian Overdispersion

Deviance

Goodness-of-fit chi2 = Prob > chi2(22) =

5257833 0.0000

Pearson Chi-Squares

Goodness-of-fit chi2 = 5265652 Prob > chi2(22) = 0.0000

52

Lampiran 6 Output Regresi Binomial Negatif

Negative binomial regression


Dispersion = mean Log likelihood = -407.27134 Miskin

Coef.

Std. Err.


9.18e-08 .0259301 -.0308432 -.8454549 -.8791235 -.7888285 100.7498

1.19e-08 .045808 .0282524 1.969745 1.972733 1.97907 196.8678

/lnalpha

-1.213173

alpha

.2972525

z 7.73 0.57 -1.09 -0.43 -0.45 -0.40 0.51

P>|z| 0.000 0.571 0.275 0.668 0.656 0.690 0.609

= = = =

29 48.08 0.0000 0.0557

[95% Conf. Interval] 6.85e-08 -.0638519 -.0862169 -4.706084 -4.74561 -4.667735 -285.1039

1.15e-07 .115712 .0245306 3.015175 2.987363 3.090078 486.6035

.2506866

-1.70451

-.7218367

.0745172

.1818614

.4858591

Likelihood-ratio test of alpha=0: chibar2(01) = 5.3e+06 Prob>=chibar2 = 0.000

Lampiran 7 Output Kesesuaian Model Regresi Binomial Negatif

Model

Obs

ll(null)

ll(model)

df

AIC

BIC

.

29

-431.3128

-407.2713

8

830.5427

841.481


53

Lampiran 8 Output Regresi Generalized Poisson

Generalized Poisson regression


Dispersion = 496.1582 Log likelihood = -405.83947 Miskin

Coef.

Std. Err.


8.19e-08 .0123919 -.0143374 -1.342203 -1.382839 -1.29325 149.4583

6.83e-09 .0448386 .0244077 1.565608 1.568798 1.570368 156.8523

/tanhdelta

3.449517

delta

.9979845

z 11.98 0.28 -0.59 -0.86 -0.88 -0.82 0.95

P>|z| 0.000 0.782 0.557 0.391 0.378 0.410 0.341

= = = =

29 42.30 0.0000 0.0495

[95% Conf. Interval] 6.85e-08 -.0754902 -.0621755 -4.410739 -4.457628 -4.371115 -157.9665

9.53e-08 .1002739 .0335008 1.726333 1.691949 1.784615 456.883

.0871204

3.278764

3.62027

.0003508

.9971652

.9985672

Likelihood-ratio test of delta=0: chibar2(1) = 5.3e+06 Prob>=chibar2 = 0.0000

Lampiran 9 Output Kesesuaian Model Regresi Generalized Poisson

Model

Obs

ll(null)

ll(model)

df

AIC

BIC

.

29

-426.9894

-405.8395

8

827.6789

838.6173


54

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

Data Pribadi

Nama

: Fitriana Fadhillah

NIM

: 107094002808

Tempat Tanggal Lahir

: Bogor, 27 April 1990

Alamat Rumah

: Komp. Pelni Blok H1 No.5 Rt 004 Rw 019 Baktijaya – Depok 16418

Phone / Hand Phone

: 08998944011/08567171007

Email

: [email protected]

Jenis Kelamin

: Perempuan Riwayat Pendidikan

1. S1 2. SMA 3. SMP 4. SD

: Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta, Tahun 2007 – 2011 : SMA Islam PB Soedirman, Tahun 2004 – 2007 : SMP Islam PB Soedirman, Tahun 2002 – 2004 : SD Islam PB Soedirman, Tahun 1996 – 2002

APLIKASI REGRESI BINOMIAL NEGATIF DAN GENERALIZED POISSON DALAM MENGATASI OVERDISPERSION PADA REGRESI POISSON

Recommend Documents