Model Persamaan Simultan
Dalam peristiwa ekonomi seringkali ditemukan bahwa beberapa variabel saling mempengaruhi. Contoh : Pendapatan akan mempengaruhi konsumsi, artinya jika pendapatan naik maka diharapkan konsumsi juga naik. Kenaikan konsumsi akan mengakibatkan peningkatan produksi (untuk memenuhi permintaan bagi keperluan konsumsi) sehingga pendapatan juga naik sebagai balas jasa faktor – faktor produksi Jadi pendapatan mempengaruhi konsumsi dan konsumsi juga mempengaruhi pendapatan
Model Persamaan Simultan Contoh model persamaan simultan 𝐶𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑌𝑡 + 𝜀𝑡 1 𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝑆𝑡 2 Penggunaan istilah variabel bebas dan tidak bebas tidak sesuai. Variabel Eksogen : variabel yang nilainya ditentukan di luar model (St) Variabel Endogen : variabel yang nilainya ditentukan dalam model (Ct dan Yt)
Contoh Model Persamaan Simultan Model Permintaan dan Penawaran Fungsi Permintaan 𝑄𝑡𝑑 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑃𝑡 + 𝜀1𝑡 , 𝛼1 < 0 Fungsi Penawaran 𝑄𝑡𝑠 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑃𝑡 + 𝜀2𝑡 , 𝛽1 > 0 Equilibrium 𝑄𝑡𝑑 = 𝑄𝑡𝑠
Misalkan 𝜀1 berubah (misal daya beli, selera penduduk berubah) maka Q juga berubah. Kurva permintaan akan bergeser ke atas jika 𝜀1 positif dan bergeser ke bawah jika 𝜀1 negatif. Pergeseran kurva permintaan akan mengubah P dan Q keseimbangan.
Perubahan dalam 2 (misal ada pemogoan, demonstrasi, cuaca buruk, pembatasan impor dll) juga akan merubah P dan Q. terdapat ketergantungan secara simultan antara P, Q, 1, dan 2 terdapat korelasi antar variabel penjelas dengan error metode OLS tidak dapat digunakan
Model dari Keynes untuk Penentuan Pendapatan Fungsi Konsumsi: 𝐶𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑌𝑡 + 𝜀𝑡 , 0 < t <1 Persamaan pendapatan: 𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 (= 𝑆𝑡 ) Dari kedua persamaan di atas jelaslah bahwa C dan saling berhubungan, terikat satu sama lain. Y dan juga berkorelasi, sebab saat berubah maka C berubah dan selanjutnya aka mempengaruhi Y
Klein’s model I Fungsi Konsumsi: 𝐶𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑃𝑡 + 𝛽2 𝑊 + 𝑊′ 𝑡 + 𝛽3 𝑃𝑡;1 + 𝜀1𝑡 Fungsi Investasi: 𝐼𝑡 = 𝛽4 + 𝛽5 𝑃𝑡 + 𝛽6 𝑃𝑡;1 + 𝛽7 𝐾𝑡;1 + 𝜀2𝑡 Permintaan Tenaga Kerja 𝑊𝑡 = 𝛽8 + 𝛽9 𝑌 + 𝑇 − 𝑊′ 𝑡 + 𝛽10 𝑌 + 𝑇 − 𝑊′ 𝑡;1 + 𝛽11 𝐾𝑡;1 + 𝜀3𝑡 Persamaan :𝑌𝑡 + 𝑇𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 + 𝐺𝑡 Persamaan : 𝑌𝑡 = 𝑊′𝑡 + 𝑊𝑡 + 𝑃𝑡 Persamaan : 𝐾𝑡 = 𝐾𝑡;1 + 𝐼𝑡
Keterangan : C = konsumsi I = Investasi G = pengeluaran pemerintah P = laba W = upah swasta W’ = Upah/gaji pemerintah K = Stock modal T = pajak
t = waktu Y = Pendapatan = error
Bentuk Persamaan Tereduksi (Reduced Form) Adalah persamaan yang diperoleh dengan memecahkan sistem persamaan simultan sedemikian hingga bisa dinyatakan setiap variabel endogen dalam model hanya dari variabel eksogen Reformulasi dari model tersebut disebut dengan bentuk turunan (reduce form) dari sistem persamaan struktural. Untuk menemukan persamaan turunan atau reduce form maka kedua persamaan harus diselesaikan secara simultan untuk menemukan nilai (mis Y dan C)
Contoh: 𝐶𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑌𝑡 𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 Persamaan kedua dimasukkan ke persamaan pertama 𝐶𝑡 = 𝛼 + 𝛽 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝐶𝑡 + 𝛽𝐼𝑡 𝐶𝑡 − 𝛽𝐶𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝐼𝑡
𝐶𝑡 =
𝛼:𝛽𝐼𝑡 1;𝛽
= 𝐻0 + 𝐻1 𝐼𝑡 , dengan 𝐻0 = 𝛼 1 − 𝛽 𝐻1 = 𝛽 1 − 𝛽
Persamaan pertama dimasukkan ke persamaan kedua 𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑌𝑡 + 𝐼𝑡 𝑌𝑡 − 𝛽𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝐼𝑡 1 − 𝛽 𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝐼𝑡 𝛼 1 𝑌𝑡 = + 𝐼𝑡 1−𝛽 1−𝛽 𝑌𝑡 = 𝐻2 + 𝐻3 𝐼𝑡 , dengan 𝐻2 = 𝛼 1 − 𝛽 𝐻3 = 1 1 − 𝛽
Jadi model sederhananya (reduced form) adalah 𝐶𝑡 = 𝐻0 + 𝐻1 𝐼𝑡 𝑌𝑡 = 𝐻2 + 𝐻3 𝐼𝑡 Gunakan metode kuadrat terkecil untuk mendapatkan H0, H1, H2, H3 kemudian duga dan
Identifikasi Model: Tujuan: Mengidentifikasi model sblm dilakukan estimasi Untuk mengetahui apakah estimasi parameter dapat dilakukan melalui persamaan reduced-form dari sistem persamaan simultan. Persamaan Tidak Teridentifikasi (unidentified) jika estimasi parameter tidak dapat dilakukan melalui persamaan reduced-form. Persamaan Teridentifikasi (identified) jika estimasi parameter dpt dilakukan melalui persamaan reduced-form dr sistem persamaan simultan. Teridentifikasi Tepat (just identfied), Jika masing-masing nilai parameter bersifat unik (hanya mempunyai satu nilai) Teridentifikasi Berlebih (over identified), Jika masing2 nilai parameter mempunyai lbh dari satu nilai.
Masalah identifikasi timbul karena kumpulan koefisien struktural yang berbeda mungkin cocok dengan sekumpulan data yang sama • Ada dua macam dalil pengujian identifikasi, yaitu Order condition dan Rank condition. Notasi yang dipergunakan adalah: – – – –
M = jumlah variabel endogen dalam model m = jumlah variabel endogen dalam persamaan K = Jumlah variabel predetermined dalam model k = Jumlah variabel predetermined dalam persamaan
Order Conditions Pada persamaan simultan sejumlah M persamaan (yang tidak mempunyai predetermined variable)
M-1≥1 Jika M-1 = 1, maka persamaan tersebut identified. Jika M-1 > 1, maka persamaan tersebut overidentified. Jika M-1 < 1, maka persamaan tersebut unidentified.
Contoh: Fungsi Demand Qt = 0 + 1Pt + u1t ......... ..(1.5) Fungsi Supply Qt = 0 + 1Pt + u2t ............(1.6) • Pada model ini Pt dan Qt merupakan variable endogen tanpa predetermined variable, agar identified maka M-1 = 1, jika tidak maka tidak identified. • Pada kasus ini (M = 2) dan 2 – 1 = 1 identified
Pada persamaan yang memiliki predetermined variable berlaku aturan:
K – k ≥ m –1 Jika K – k = m –1, identified . Jika K – k > m –1, overidentified . Jika K – k < m –1, unidentified
Contoh: Fung Demand Qt = 0 + 1Pt + 2 It + u1t…………………….………..1.7) Fungsi Supply Qt = 0 + 1Pt + u2t………………………………….….. (1.8) Pada model ini Pt dan Qt merupakan variable endogen dan It adalah predetermined variable. Persamaan (1.7) : K – k < m – 1 atau 1 – 1 < 2 – 1 Unidentified Persamaan (1.8) : M – 1 = 1 atau 2 – 1 = 1 Indentified
Persamaan yang dapat diselesaikan dengan sistem persamaan simultan adalah persamaan yang identified dan over identified
6.Estimasi persamaan Simultan Indirect Least Squares (ILS) Metode ILS dilakukan dengan cara menerapkan metode OLS pada persamaan reduced form. Asumsi yang harus dipenuhi dalam penggunaan prosedur ILS: Persamaan strukturalnya harus exactly identified. Variabel residual dari persamaan reduced form-nya harus memenuhi semua asumsi stokastik dari teknik OLS. Jika asumsi ini tidak terpenuhi, maka akan menyebabkan bias pada penaksiran koefisiennya.
Contoh: Diketahui suatu model persamaan simultan adalah sebagai berikut : Qd= 0 + 1 P+ 2 X + v ...........................................................................................(1.13) Qs= 0 + 1 P + 2 Pl + u .....................................................(1.14) Dimana: Qd = Jumlah barang yang diminta Qs = Jumlah barang yang ditawarkan P = harga barang X = Income Pl = harga Input • Persamaan reduce form-nya adalah sebagai berikut : • P= 0 + 1 X + 2 Pl +Ω1 ...........................................(1.15) • Q= 3 + 4 X + 5 Pl +2 ........................................(1.16)
Persamaan Reduce Form dapat dicari dengan langkah sebagai berikut: Selesaikan persamaan Qd = Qs …....................................................(1.17) 0 + 1 P+ 2 X + v = 0 + 1 P + 2 Pl + u 1 P - 1 P = 0 - 0 - 2 X + 2 Pl + u – v 0 2 P = 0 X 1 1 1 1 P =
2 u v Pl 1 1 1 1
0 1 X 3 Pl
• Kemudian substitusikan persamaan P diatas dengan salah satu persamaan Q, misalnya dengan Qd
• Qd = 0 + 1 P+ 2 X + v
Qd = 0 + 1 0 0 2 X 2 Pl u v + 2 X + v 1 1 1 1 1 1 1 1 Qd = 0 + 10 10 1 2 X 1 2 Pl 1u 1v + X + v 2 1 1 1 1 1 1 1 Qd = 0 +
1 0 1 0 1 2 u 1v X 1 2 Pl 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ 2 X + v
• Lalu samakan semua penyebutnya dengan
1
Qd =
01 0 1 1 1 +
Qd =
10 1 0 1 2 1 2 1u 1v X Pl 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 v 1v X 1 1 1 1 1
1 0 0 1 2 1 u 1v X 1 2 Pl 1 1 1 1 1 1 1 1 1 +
Qd = 3 4 X 5 Pl
• Dari persamaan reduce form-nya diperoleh 6 koefisien reduksi yaitu: 0 1 2 3 4 dan 5 yang akan digunakan untuk menaksir 6 koefisien structural yaitu 0, 1, 2, 0, 1 dan 2
