MODEL MATEMATIS KODE BINER GRAY TERREFLEKSI DALAM KEADAAN TERPISAH Ir. Gunawan Putrodjojo, MM. Abstract Given a reflected binary Gray codes of length n. The lower bound and upper bound of the analog error corresponding to m-bits error has been invented sharply by Yuen and Cavior separately. In this correspondence, the theorem concerning to the existence of a generation Gray codes lower and upper bounds have been proved. The index system is also discussed.
1.
PENDAHULUAN
Kode gray n-bit untuk suatu bilangan adalah semua daftar dari sejumlah n-bit yang terurut sehingga berbeda secara nyata antara bit perbitnya. Contoh terkenal yang paling tepat adalah kode biner gray terrefleksi[3], yang dapat dikonstruksi sebagai berikut. Misalkan G2(n) menyatakan daftar dari sejumlah n-bit, maka G2(n) adalah susunan bilangan yang terdiri dari bilangan 0 dan 1; untuk n > 1, G2(n) dibentuk dengan mengambil bit "0" sebagai bilangan pertama, disusul dengan elemenelemen dari G2(n-1), kemudian diambil bit " 1 " sebagai bilangan pertama yang disusul dengan elemen-elemen dari G2(n-1). Contoh, G2(2) = 00, 01, 11, 10, dan G3 = 000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100. Daftar dari G2(4) akan disajikan pada gambar 1.a. Selama elemen pertama dan elemen terakhir dari G2(n) juga berbeda secara pasti satu posisi, kodenya akan berupa siklus. Untuk itu, mulai sekarang kita gunakan G2(n) untuk acuan dari kode biner gray sepanjang n, dan g(i) untuk menyatakan elemen ke-i dari G2(n). Sepasang word, katakanlah g(i) dan g(j), akan disebut mempunyai jarak Hamming m, dH(g(i), g(j)) = m , jika word itu berbeda secara pasti dalam posisi m-bit. Kita katakan bahwa g(i) merupakan komplemen dari g(j) jika jarak Hamming dari word-word sama dengan n. Terrefleksi
0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100
1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000
b. Mendekati optimal 0000 1111
0001 0011 0010 0110 0100 0101 0111
1110 1100 1101 1001 1011 1010 1000
Gambar 1. Contoh dari kode biner gray.
Untuk itu word 0100 merupakan komplemen dari 1011 dan word 1001 adalah komplemen dari 0110, dan seterusnya. Kita sebut word saling berkomplementer dalam sepasang word apabila saling berkomplemen satu sama lain. Perhatikan ' Dosen Tetap Fakultas llmu Komputer FIK 72 Jurnal llmiah llmu Komputer, Vol. 2 No. 3 September 2004: 73-79
MODEL MATEMATIS KODE BINER GRAY TERREFLEKSI DALAM KEADAAN TERPISAH Ir. Gunawan Putrodjojo, MM.
Abstract Given a reflected binary Gray codes of length n. The lower bound and upper bound of the analog error corresponding to m-bits error has been invented sharply by Yuen and Cavior separately. In this correspondence, the theorem concerning to the existence of a generation Gray codes lower and upper bounds have been proved. The index system is also discussed.
1. PENDAHULUAN Kode gray n-bit untuk suatu bilangan adalah semua daftar dari sejumlah n-bit yang terurut sehingga berbeda secara nyata antara bit perbitnya. Contoh terkenal yang paling tepat adalah kode biner gray terrefleksi[3], yang dapat dikonstruksi sebagai berikut. Misalkan G2(n) menyatakan daftar dari sejumlah n-bit, maka G2(n) adalah susunan bilangan yang terdiri dari bilangan 0 dan 1; untuk n > 1, G2(n) dibentuk dengan mengambil bit "0" sebagai bilangan pertama, disusul dengan elemenelemen dari G2(n-1), kemudian diambil bit " 1 " sebagai bilangan pertama yang disusul dengan elemen-elemen dari G2(n-1). Contoh, G2(2) = 00, 01, 11, 10, dan G3 = 000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100. Daftar dari G2(4) akan disajikan pada gambar l a . Selama elemen pertama dan elemen terakhir dari G2(n) juga berbeda secara pasti satu posisi, kodenya akan berupa siklus. Untuk itu, mulai sekarang kita gunakan G2(n) untuk acuan dari kode biner gray sepanjang n, dan g(i) untuk menyatakan elemen ke-i dari G2(n). Sepasang word, katakanlah g(i) dan g(j), akan disebut mempunyai jarak Hamming m, dH(g(i), g(j)) = m. jika word itu berbeda secara pasti dalam posisi m-bit. Kita katakan bahwa g(i) merupakan komplemen dari g(j) jika jarak Hamming dari word-word sama dengan n. a. Terrefleksi
0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100
1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000
b. Mendekati optimal
0000 0001 0011 0010 0110 0100 0101 0111
1111 1110 1100 1101 1001 1011 1010 1000
Gambar 1. Contoh dari kode biner gray.
* Dosen Tetap Fakultas llmu Komputer FIK Model Matematis Kode Biner Gray ... (Gunawan Putrodjojo)
73
Untuk itu word 0100 merupakan komplemen dari 1011 dan word 1001 adalah komplemen dari 0110, dan seterusnya. Kita sebut word saling berkomplementer dalam sepasang word apabila saling berkomplemen satu sama lain. Perhatikan bahwa dalam "kode gray mendekati optimal" seperti pada gambar 1.b. setiap word komplementer memiliki daftar berjarak 8. Dimana dalam kode gray standar, ada paling sedikit satu pasang word komplementer dari daftar jarak kurang dari 8, yaitu 6. Cara paling rapi untuk menentukan suatu kode gray adalah memberi barisan transisinya: sebuah daftar dari posisi bit dimana akan terjadi perubahan tunggal[4]. Untuk kode gray yang ditunjukkan pada gambar 1, barisan koordinatnya berturutturut adalah 121312141213121 dan 121321241213212. Dalam kode siklis, barisan transisi sering dinyatakan sebagai suatu barisan transisi lengkap, yaitu suatu barisan transisi lengkap dengan sejumlah indikator dimana bit posisi dari word terakhir berubah menjadi bit inisial/awal. Berbicara mengenai barisan transisi kita akan sering menggunakan notasi berikut: Tn menyatakan barisan transisi dari kode gray terrefleksi sepanjang n, dan Tn menyatakan barisan transisi kode gray sepanjang n setelah bilangan bulat (n-1) dan n diubah, dengan T0 atau T° = kosong. Untuk itu, T4 = 121312141213121 dan T4 = 121412131214121. Lebih jauh, barisan transisi lengkap dari 4-bit dari kode gray mendekati optimal dalam gambar 1b., dapat dipertimbangkan sebagai barisan transisi yang dibangkitkan oleh T2(n-1) T2 n T2(n-1)T2 n. Kode gray digunakan untuk meminimalkan banyaknya bit dalam bit string, pada saat ditransmisi sebagai signal analog[6]. Lebih umum lagi galat minimum analog yang diperlukan untuk membangkitkan bit galat dengan m > 0, m < n adalah setara dengan r2 m /3l, seperti yang ditunjukkan dalam Yuen di[5], Selanjutnya, Cavior dalam [1] membuktikan bahwa galat maksimum analog yang bersesuaian dengan galat m-bit adalah setara dengan l_2n - 2m/3 J . Untuk itu bagi kode-kode biner terrefleksi, sudah ada batas yang jelas sesuai dengan sifat-sifat pemisahan. Suatu pertanyaan yang muncul adalah yang diajukan oleh Zaten sebagai berikut: "Jika ada suatu kode gray dengan sifat bahwa g(i) dan g(j) berada dalam kode sedemikian rupa sehingga dH(g(i), gO)) = m, maka |i - j | > b(m) > r2 m /3l; 0 < m < n? Artikel mengenai ini terutama ditujukan untuk pertanyaan berikut. Untuk m = n, kita lihat bahwa kode gray ada. Bagaimana dengan kode-kode yang telah dikonstruksi akan dibicarakan sekarang.
2. KONSTRUKSI DARI KODE GRAY YANG BARU Kita mulai dengan Lemma 1 berikut, dan dilanjutkan dengan Lemma 2 dimana buktinya diserahkan kepada pembaca. Lemma 1 digunakan untuk memperoleh Lemma 2, dan Lemma 2 diperlukan untuk diskusi lebih jauh.
r(m-2)/2 I2 2 i +I jika m genap. i= 0 Lemma 1. Untuk semua bilangan bulat positif m, r2'73l =< (m-3)/2 I2 2 i +1 jika m gasal.
74
Jurnal llmiah llmu Komputer, Vol. 2 No. 3 September 2004: 73-79
Lemma 2. Dalam n-bit kode gray terrefleksi, untuk setiap bilangan bulat positif m < n, ada paling sedikit sepasang word berjarak Hamming m dengan jarak r2'"/3l. Word g(i) = 0 . . . 0110 . . . 0 dan g(j) = 0 . . . 01 . . . 1, dimana bit 1 paling kiri pada g(i) dan g(j) terletak berturut-turut pada posisi ke-m dan ke-(m-2), adalah word yang dimaksud pada Lemma 2. Definisi 1. Kita katakan bahwa sebuah kode gray siklis sepanjang n adalah mendekati optimal ditinjau dari sifat pemisahan jika memenuhi sifat-sifat berikut. a. untuk 0 < m < n dan 0 < ij < 2" - 1, jika dH(g(i), gO)) = m maka |i - j | > r2'73l, dan b. ada suatu bilangan m0 dengan 0 < m0 £ n, sehingga untuk setiap m dengan m0 5 m < n, dan dH(g(i), g(j)) = m, maka ada nilai b(m) sehingga |i - j | > b(m) > r2 m /3l. Jika m0 = I kode tersebut dikatakan optimal. Kemudian kita akan menunjukkan bahwa untuk suatu bilangan bulat n > 4, kode gray yang mendekati optimal dengan m0 = n, telah dapat dikonstruksi. Kode-kode ini dikonstruksi dengan menggunakan barisan transisi yang dibuat dengan cara berikut. (i) Tulis kembali barisan transisi dari kode gray terrefleksi, (ii) Balik urutan dari bilangan bulat (n - 3) dan (n - 2) yang muncul setelah komponen (n - 1). Hasil dari kode graynya akan merupakan suatu barisan transisi lengkap di bawah ini, T (n2) (n-1)T (n . 2) nT rn - 25 (n-1)T (n . 2) n. Menggunakan aturan sebelumnya, barisan transisi dari kode gray baru untuk sepanjang 4 adalah 1 2 1 3 2 1 2 4 1 2 1 3 2 1 2 4. Hasil lengkapnya seperti pada gambar 1.b. Batas-batas T24/3l dan |_24 - 24/3 J untuk kode gray terrefleksi 4-bit berturut-turut memiliki nilai 6 dan 10. Dalam kode ini, nilai dari batas-batas dicapai oleh paling sedikit satu pasang dari word komplementer. Tetapi dalam kode yang baru, setiap pasang dari word-word komplementer yang memiliki jarak paling kecil f2 4 /3] + 21 = 8. Oleh karena itu, nilai dari b(4) dapat diatur sama dengan 7 atau 8. Melalui inspeksi, diperoleh bahwa kode 4-bit tetap memiliki sifat-sifat a. dan b., sehingga, kode 4-bit mendekati optimal. Menggunakan aturan (i) dan (ii) barisan transisi dari 5-bit kode gray adalah : 121312141312131^121312141312131, yang sama seperti T3 4 T3 5 T3 4 T3. Setiap pasang dari word-word komplementer dalam kode ini memiliki jarak paling sedikit T25/3l + 22. Disini ada 4 pilihan untuk nilai b(5). Berikut diberikan suatu proposisi tanpa bukti. Proposisi 1. Barisan yang dihasilkan oleh aturan (i) dan (ii) di atas adalah barisan transisi dari kode gray. Proposisi 2. Kode gray yang dikonstruksi menggunakan barisan transisi yang dibangun menggunakan aturan (i) dan aturan (ii) di atas adalah siklis.
Model Matematis Kode Biner Gray ... (Gunawan Putrodjojo)
75
3. KEOPTIMALAN KODE GRAY YANG BARU Untuk semua n > 4, tulis kembali barisan transisi lengkap dari kode dalam 16 subbarisan (baris) dengan panjang yang sama dan diakhiri oleh bilangan bulat n-3, n-2, n-1, atau n. Kita katakan sub-barisan tersebut sebagai sub-barisan pembangkitnya. Menggunakan cara ini, kita akan mendapatkan panjang setiap subbarisan pembangkitnya adalah 2 n ~ 4 . Bilangan bulat n-3, n-2, n-1, dan n tadi yang berada pada ujung kanan dari tiap subbarisan pembangkitnya disebut kepala dari sub-barisan, dan sisanya disebut tubuh dari sub-barisan. Perhatikan bahwa tubuh-tubuh dari semua subbarisan pembanqkit adalah sama dengan barisan transisi dari (n-4)-bit kode gray terrefleksi, T* ' . Selanjutnya setiap subbarisan pembangkit terdiri dari (n - 3) bilangan bulat positif yaitu; 1, 2, 3, . . . , (n-4), dan bilangan bulat (n - 3) menjadi kepala dari sub-barisan. Kita akan menunjukkan di bawah bahwa kode baru mendekati optimal dengan m0 = m. Kita akan membagi pembuktian dalam 3 kasus, yaitu^m < (n - 3), (n - 2) < m < (n 1), dan m = n. Perhatikan bahwa pola dari setiap subbarisan pembangkit dari kode baru adalah benar-benar sama seperti satu dari kode gray terrefleksi yang memiliki panjang sama. Kasusl. Untuk jarak Hamming m £ n - 3. Selama setiap subbarisan pembangkit terdiri dari (n - 3) bilangan bulat berbeda, kita bisa menentukan subbarisan terpendek yang terdiri dari m bilangan bulat berbeda sejumlah gasal kali dari subbarisan pembangkitnya. Ingat bahwa pola dari setiap subbarisan pembangkit dari kode baru adalah benar-benar sama dengan satu dari kode gray terrefleksi terkait, dengan menggunakan batas bawah yang ditemukan oleh Yuen(1974), diperoleh panjang dari sub-barisan paling sedikit T2 m /3l. Kasus 2. Untuk (n - 2) < m ± (n - 1). Ada suatu sub-barisan terdiri dari m bilangan bulat berbeda yang tidak dapat dibuat dalam satu sub-barisan pembangkit seperti pada setiap sub-barisan pembangkit yang terdiri dari tepat (n - 3) bilangan bulat berbeda. Untuk melakukan ini kita memerlukan paling sedikit 2 subbarisan pembangkit yang berurutan. Selama tidak ada subbarisan pembangkit berurutan pada kepala yang sama, kita akan memiliki pola yang sama untuk dua subbarisan pembangkit yang berurutan seperti pada kode gray terrefleksi. Dengan menggunakan hasil yang sama seperti yang ditunjukkan oleh Yuen dalam [4], kita memperoleh panjang terpendek dari subbarisan paling sedikit r2 m /3l Kasus 3. Untuk m = n. Perhatikan lagi barisan transisi yang dikumpulkan dalam 16 subbarisan pembangkit. (n-3) (n-2) (n-3) (n-1) (n-2) (n-3) (n-2) n (n-3) (n-2) (n-3) (n1) (n-2) (n-3) (n-2) n. Untuk membuat sebuah subbarisan yang mengandung m = n bilangan bulat berbeda, kita memerlukan paling sedikit 5 subbarisan pembangkit yang meliputi bilangan bulat (n-1) dan n. Tetapi jika kita hanya memilik 5 subbarisan pembangkit, satu bilangan bulat apakah (n-3) atau (n-2) terjadi sebanyak genap kali. Jadi kita ingin setiap bilangan bulat berbeda muncul sebanyak gasal kali. Untuk itu, kita harus memperluas subbarisan menjadi 3 subbarisan pembangkit secara berurutan. Sekarang, dalam subbarisan yang baru ada 8 subbarisan pembangkit. Perhatikan bahwa dalam kode gray terrefleksi hanya memerlukan 6 subbarisan pembangkit untuk menghasilkan kasus seperti ini. Selama tubuh dari subbarisan pembangkit benar-benar sama seperti pada kode gray terrefleksi terkait, maka kesamaan dari 76
Jurnal llmiah llmu Komputer, Vol. 2 No. 3 September 2004: 73-79
setiap kejadian yang berupa bilangan bulat adalah sama. Untuk memperoleh subbarisan yang diinginkan, subbarisan dilengkapi dengan cara yang sama seperti yang dilakukan pada kode gray terrefleksi terkait. Panjang terpendek dari subbarisan yang dihasilkan paling sedikit f2 n /3l + 2. (panjang dari sub-barisan pembangkit) = T2731 +2. (2 (n " 4) ) = T273l + (2 (n - 3) ) Jadi, kita telah membuktikan hasil utama yang dirumuskan dalam teorema 1 berikut. Teorema 1. Untuk semua n > 4, kode gray n-bit yang dihasilkan oleh barisan transisi yang dikonstruksi menggunakan aturan (i) dan (ii) akan mendekati optimal. Selanjutnya jarak dari word komplementernya dalam kode gray paling sedikit ([273] + 2(n " 3) ). Untuk 0 < m < n batas bawahnya 2m/3 akan dipenuhi oleh paling sedikit sepasang word dalam kode-kode gray terrefleksi yang diperoleh, dengan mengobservasi bukti pada teorema 1. Dalam kasus 3., dapat disimpulkan bahwa batas bawah ( T2731 + 2 ,n ~3) ) dipenuhi oleh paling sedikit satu pasang word dalam kode yang mendekati optimal. Menurut Lemma 1., juga berlaku ([2731 + 2
4, misalkan barisan transisi dari kedua kode mendekati optimal dan kode gray terrefleksi terkait yang dituliskan dalam 16 baris. Selama selisih antara kedua subbarisan pembangkit mendekati kepala dari barisan, kita dapat mempelajari perbedaan diantara mereka secara lengkap hanya dengan mempelajari barisan dari kepala. Dengan memperhatikan perbedaan, kita simpulkan bahwa perbedaaan terjadi bila salah satu dari kondisi berikut terjadi. (1) Kesamaan dari bilangan bulat (n - 3) sama dengan kesamaan dari (n - 2), dan bilangan bulat (n -1) memiliki kesamaan gasal, atau (2) Bilangan bulat (n - 3) dan (n - 2) memiliki kesamaan berbeda dan bilangan bulat n memiliki kesamaan gasal. Dengan kata lain, dapat juga disimpulkan bahwa perbedaan terjadi jika satu dari kondisi berikut terjadi: (1) bit ke-(n - 3) sama dengan bit ke-(n - 2) dan bit ke (n -1) adalah 1, atau (2) bit ke-(n - 3) dan bit ke-(n - 2) berbeda dan bit ke-n adalah 1. Untuk mengkonversi beberapa word gray mendekati optimal menjadi word gray terrefleksi terkait dapat dikerjakan dengan hanya menambahkan word dengan word 00110 . . . 0. Hal ini dapat dilakukan karena perbedaan yang muncul disebabkan oleh perubahan posisi dari bilangan bulat (n - 3) dan (n - 2).
Model Matematis Kode Biner Gray ... (Gunawan Putrodjojo)
77
Jadi, jika y suatu word dalam kode gray mendekati optimal dan g adalah word gray terrefleksi terkait, maka diperoleh hubungan berikut; f y © 00110. . .0,jikaYdalamkondisi(l)atau(2) I y
lainnya.
atau f g © 00110 . . . OJika g dalam kondisi (1) atau (2) g
lainnya.
Sebagai contoh, konversi dari word 01001010 dan 100101101 berturut-turut adalah 01111010 dan 101001101. Sekarang, ditentukan korespondensi satu-satu antara word mendekati optimal dan indeksnya. Untuk melakukan ini, kita memerlukan dua pemetaan bijektif dalam kode gray terrefleksi yang menghubungkan word-wrod dan indeksnya. Misalkan 9(x) = 9i92 • • • 9n adalah word dalam kode gray terrefleksi dari indeks x, dan representasi biner dari x = x,x2 . . . xn. Pemetaan bijektif seperti pada [2] adalah sebagai berikut: K - '(g) = X(g)
K(X) = g(x),
i
jika i = • (*)
i©x ( i .i),
Ki
f gi dan Xj=U |__ g i e xji.,),
jika i = I (**) Ki
Dengan mengkombinasikan (*) dan (**), korespodensi satu-satu antara word y(x) dan indeksnya x(y) adalah sebagai berikut, y(x) = g(x) dan x(y) = x(g), dimana y dan g memenuhi kondisi dalam (*).
5. KESIMPULAN Kode gray mendekati optimal dikonstruksi untuk semua n > 4. Menggunakan sifat pemisahan kode-kode akan lebih baik dibanding dengan kode gray terrefleksi terkait. Paling sedikit diperoleh probabilitas lebih besar untuk memprediksi galat analog yang diinginkan untuk membangkitkan galat n-bit jika kode n-bit diterapkan.
DAFTAR PUSTAKA [1] Cavior, S.R. 1975. An Upper Bound Associates with errors in Gray Code. IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT-20, p. 596. [2] Lichtner, J. 1998. Iterating An a-Ary Gray Code, SIAM J. Discrete Math. Vol. 11, No. 3 pp. 381-386. [3] Savage, C. 1980. A Survey of Combinatorial Gray Codes. SIAM Rev. vol. 39, No. 4, pp. 605-629, 1997. 78
Jurnal llmiah llmu Komputer, Vol. 2 No. 3 September 2004: 73-79
[4] Vickers, V.E., and J. Silverman. A Technique for Generating Specialized Gray Codes. IEEE Trans. Comput. Viol. C-29, no. 4, pp. 329-331. [5] Yuen, C.K. 1974. The Separability of Gray Code. IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT-20, p. 668. [6] Zaten, A.J. 1991. Index System and Separability of Constant Weight Gray Codes. IEEE Trans, inform. Theory, vo. 37, No. 4, pp. 1229-1233.
Model Matematis Kode Biner Gray ... (Gunawan Putrodjojo)
79
PETUNJUK PENULISAN NASKAH 1. 2.
3.
4.
5.
6. 7.
8.
Naskah-naskah yang dimuat dalam Jurnal FIK - UPH meliputi topik seputar llmu Komputer. Naskah dapat ditulis dalam Bahasa Indonesia atau Bahasa Inggris, dapat berupa hasil penelitian atau studi kepustakaan yang belum pernah diterbitkan dalam media lainnya. Apabila pernah dipresentasikan dalam seminar/ lokakarya, agar diberikan keterangan yang lengkap. Naskah diketik dengan menggunakan program Microsoft Word, dengan format .doc. Diserahkan dalam bentuk softcopy dan hardcopy kepada Redaksi Jurnal FIK - UPH selambat-lambatnya 2 bulan sebelum waktu penerbitan (waktu terbit 3 kali dalam setahun, yaitu pada bulan Januari, Mei, dan September). Ketentuan standard pengetikan naskah: 1) Ukuran Kertas: 18 x 24 cm dan Margin: Top 1.5cm, Bottom 1cm, Left 1.5cm, Right 1.5cm 2) Jenis huruf Arial, ukuran 11 pt 3) Jarak ketikan 1 spasi 4) Jumlah halaman 6 - 15 halaman 5) Abstrak ditulis dalam Bahasa Inggris 6) Pengunaan istilah asing yang belum lazim digunakan dalam Bahasa Indonesia dicetak miring {italic) 7) Gambar diberi nomor dan judul pada posisi bawah gambar 8) Tabel diberi nomor dan judul pada posisi atas tabel. Redaksi berhak melakukan editing tanpa merubah isi dan makna tulisan. Apabila pada waktu editing terdapat ketidakjelasan isi dan makna pada tulisan, maka tulisan akan dikembalikan kepada penulis untuk diperbaiki. Penulis diberi waktu 1 minggu untuk mengembalikan naskah tersebut kepada Redaksi. Untuk penulisan kutipan diberi nomor sesuai dengan nomor urut pada kepustakaan/ referensi, dengan format superscipt. Kepustakaan atau referensi diurutkan secara ascending (A-Z) dan diberi nomor: 1) Untuk Buku, harus mencatumkan: nama pengarang, judul buku (cetak tebal dan miring), lokasi, nama penerbit, dan tahun terbit 2) Untuk Artikel, harus mencatumkan: nama pengarang, judul artikel, judul buku/ majalah/ jurnal (cetak miring), volume, nomor, dan tahun terbit 3) Untuk situs web, harus mencatumkan: nama pengarang, judul situs (cetak miring), alamat situs, dan tanggal publikasi Naskah yang dimuat tidak terbatas hanya untuk kaiangan Dosen/ Staf Pengajar FIK - UPH, namun terbuka untuk kaiangan Akademisi atau llmuwan dari Fakultas atau Perguruan Tinggi lainnya.
Petunjuk Penulisan Naskah
