MODEL DINAMIK INTERAKSI ANTARA VEKTOR TERINFEKSI LEPTOSPIROSIS DAN POPULASI MANUSIA
TUGAS AKHIR
Disusun sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika
Oleh
MUHAMMAD RIZAL 10854004574
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU PEKANBARU 2013
1
MODEL DINAMIK ITERAKSI ANTARA VEKTOR TERINFEKSI LEPTOSPIROSIS DAN POPULASI MANUSIA
MUHAMMAD RIZAL 10854004574
Tanggal Sidang : 23 Mei 2013 Periode Wisuda :
Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Jl. HR. Soebrantas No. 155 Pekanbaru
ABSTRAK Tugas Akhir ini membahas model penyebaran penyakit Leptospirosis. Model ini merupakan gabungan dua model nonlinear pada populasi manusia dan vektor. Hasil yang diperoleh yaitu jika R0 1 dan Q2 >
1b1 , titik kesetimbangan bebas h
penyakit stabil asimtotik lokal, dan selanjutnya titik kesetimbangan endemik penyakit selalu stabil asimtotik lokal. Ditunjukkan juga bahwa jika Q2 Q3 > h h , titik kesetimbangan bebas penyakit stabil asimtotik global. Kata Kunci : Leptospirosis, Model Matematika, Kesetimbangan, Fungsi Lyapunov.
Kestabilan
Titik
2
MODELING DYNAMICAL INTERACTIONS BETWEEN LEPTOSPIROSIS INFECTED VECTOR AND HUMAN POPULATION
MUHAMMAD RIZAL 108540004574
Date of Final Exam : 23 Mei 2013 Graduation Ceremony Period:
Department of Mathematics Faculty of Science and Technology State Islamic University of Sultan Syarif Kasim Riau JL. HR. Soebrantas no. 155 Pekanbaru
ABSTRACK This Thessis discusses about model the spread of infectious diseases Leptospirosis. This model is combine two nonlinear models of human populations and vektor. The result obtained that is if R0 1 and Q2 >
1b1 disease-free h
equilibrium is locally asymptotic stable, and than endemic equilibrium is always locally asymptotic stable. Also show that is if Q2 Q3 > h h disease-free equilibrium is global asymptotiac stable. Key word
: Leptospirosis, Mathematical Lyapunov Function.
Models,
Stability
Equilibrium,
3
KATA PENGANTAR Puji beserta syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan judul “Model Dinamik Interaksi antara Vektor Terinfeksi Leptospirosis dan Populasi Manusia”. Shalawat berserta salam kepada Nabi Muhammad SAW, keluarga, sahabat-sahabat, serta para pengikut beliau. Mudah-mudahan kita termasuk kepada golongan umat beliau yang mendapat syafa’at-Nya di akhirat kelak. amin... Dalam penyusunan dan penyelesaian Tugas Akhir ini, penulis banyak sekali mendapat bimbingan, bantuan, nasehat, perhatian serta semangat dari berbagai pihak baik langsung maupun tidak langsung. Untuk itu pertama sekali penulis mengucapkan terima kasih yang tak terhingga kepada kedua orang tuaku tersayang yang selalu mendo’kan, memberikan motivasi dan kasih sayang. Semoga Allah SWT selalu merahmati mereka, serta memberikan kebahagiaan dunia dan akhirat. amin... Selanjutnya penulis juga mengucapkan banyak terima kasih kepada: 1.
Bapak Prof. Dr. H. M. Nazir selaku Rektor Universitas Islam Negri Sultan Syarif Kasim Riau.
2.
Ibu Dra. Hj. Yenita Morena, M.Si selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negri Sultan Syarif Kasim Riau.
3.
Bapak Drs. Abu Anwar, M.Ag selaku Pembantu Dekan II Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau.
4.
Sri Basriati, M.Sc selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau.
5.
Bapak Mohammad Soleh, M.Sc memberikan
bantuan,
selaku pembimbing yang telah banyak
meluangkan
banyak
waktu
kepada
penulis,
mengarahkan, mendukung, dan membimbing penulis dengan penuh kesabaran dalam penulisan Tugas Akhir ini. 6.
Bapak Wartono, M.Sc selaku penguji I yang telah memberikan kritikan dan saran serta dukungan dalam penulisan Tugas Akhir ini.
4
7.
Bapak M. Nizam Muhaijir, S.Si selaku penguji II yang telah memberikan kritikan dan saran serta dukungan dalam penulisan Tugas Akhir ini hingga selesai.
8.
Ibu Fitri Aryani, M.Sc selaku Penasehat Akademik yang telah banyak membantu dalam penyelesaian Tugas Akhir ini.
9.
Semua Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi yang telah membimbing penulis selama kuliah.
10. Orang tuaku Syahdan dan Syamsidar yang telah memberikan banyak kasih sayang kepada penulis dan juga membantu baik moril maupun materil. 11. Kakak dan abangku (Indra Yani dan Santoso) yang telah banyak membantu penulis baik moril maupun materil. 12. Adik-adikku tersayang (M. Muslih, Siti Jumiah, M. Jumali, Eva Nofianti, Syahrul, dan Yuliza Hidayah) yang telah banyak membantu penulis baik moril maupun materil. 13. Teman-temanku Yuzi, Ise, Dedi, Agus, Hary, Fikos, Lizar, Siti, Silvia, Olif dan Devi yang telah membantu penulis dengan semangat dan do’a. 14. Seluruh teman di jurusan Matematika angkatan 2008, kakak dan adik tingkat angkatan pertama sampai terakhir, serta teman-teman yang tak dapat disebutkan satu persatu. semoga amal kebaikan yang mereka berikan kepada penulis menjadi amal kebaikan dan mendapat balasan yang setimpal dari Allah SWT. Amin... Penulis sangat menyadari dalam penulisan Tugas Akhir ini masih banyak kekurangan dan kesalahan, oleh karena itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun demi kesempurnaan Tugas Akhir ini. Akhirnya, penulis berharap Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi penulis dan pihak yang memerlukannya.
Pekanbaru, 23 Mei 2013 Penulis,
Muhammad Rizal
5
DAFTAR ISI
COVER ................................................................................................ KATA PENGANTAR ......................................................................... ABSTRAK ........................................................................................... ABSTRACT........................................................................................... DAFTAR ISI........................................................................................ DAFTAR SIMBOL.............................................................................. DAFTAR GAMBAR ...........................................................................
Halaman 1 2 4 5 6 8 9
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang.............................................................. 2.2 Rumusan Masalah ....................................................... 2.3 Batasan Masalah ........................................................... 2.4 Tujuan Penelitian.......................................................... 2.5 Sistematika Penulisan...................................................
10 11 11 11 11
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Leptospirosis................................................................. 2.1.1 Pengertian............................................................ 2.1.2 Cara Penularan .................................................... 2.1.3 Gejala Klinis ....................................................... 2.1.4 Penangan dan Pencegahan .................................. 2.2 Sistem Persamaan Diferensial ...................................... 2.3 Titik Kesetimbangan ................................................... 2.4 Kestabilan Titik Kesetimbangan .................................. 2.5 Fungsi Lyapunov ..........................................................
13 13 14 15 16 17 18 18 22
BAB III METODOLOGI PENELITIAN.............................................
26
BAB IV PEMBAHASAN DAN HASIL 4.1 Asumsi dan Parameter dalam Model............................ 4.2 Model Dinamik Interaksi antara Vektor Terinfeksi Leptospirosis dan Populasi Manusia ............................ 4.3 Titik Kesetimbangan (equilibrium) .............................. 4.3.1 Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit ................. 4.3.2 Titik Kesetimbangan Endemik Penyakit............. 4.4 Kestabilan Titik Kesetimbangan .................................. 4.4.1 Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit............................................................... 4.4.2 Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Endemik Penyakit............................................................... 4.4.3 Kestabilan Global Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit...............................................................
28 30 33 35 39 42 43 45 50
6
4.5
Simulasi ........................................................................
50
BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan ................................................................... 5.2 Saran .............................................................................
52 53
DAFTAR PUSTAKA
7
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Leptospirosis merupakan masalah kesehatan masyarakat di seluruh dunia,
khususnya di negara-negara yang beriklim tropis dan subtropis serta memiliki curah hujan yang tinggi. WHO menyebutkan kejadian Leptospirosis untuk negara subtropis adalah berkisar antara 0,1-1 kejadian tiap 100.000 penduduk per tahun, sedangkan di negara tropis berkisar antara 10-100 kejadian tiap 100.000 penduduk per tahun (Masniari Poloengan dan Iyep Komala, Artikel Penelitian IPB). Leptospirosis disebabkan oleh bakteri Leptospira Interrogans patogen pada manusia dan hewan. Gejala dini Leptospirosis umumnya adalah demam, sakit kepala parah, nyeri otot, gerah, muntah dan mata merah. Penderita Leptospirosis lanjut bisa menderita penyakit Weil, seperti: gagal ginjal, sakit kuning (menguningnya kulit yang menandakan penyakit hati) dan perdarahan masuk ke kulit dan selaput lendir, bahkan bisa menyebabkan pembengkakan selaput otak. Banyak model telah diusulkan untuk mempelajari penyebaran penyakit tersebut. Pongsumpun dkk (2008) dalam jurnal yang berjudul “Age Structural Transmission Model for Leptospirosis”, jurnal tersebut mengembangkan model matematika untuk mempelajari perilaku penyakit leptospirosis pada manusia dan tikus. Populasi manusia dibagi lagi menjadi dua utama, kelompok remaja dan orang dewasa. Rujira Kongnuy (2012) dalam jurnal yang berjudul “Local Stability of Equilibria: Leptospirosis”, mengembangkan model penularan penyakit leptospirosis pada manusia dan tikus, yang mana populasi manusia dan tikus hanya tertular oleh tikus yang terinfeksi penyakit. Perkembangan selanjutnya Gul Zaman dkk (2012) dalam jurnalnya yang berjudul “Modeling Dynamical Interactions between Leptospirosis Infected Vector and Human Population”, yaitu suatu model interaksi antara vektor terinfeksi leptospirosis dan populasi manusia dengan mengkombinasikan antara
8
dua model nonlinear dari populasi manusia dan vektor. Berbekal dari penelitian yang dilakukan oleh Gul Zaman dkk, maka penulis tertarik untuk mengulas jurnal tersebut, sehingga Tugas Akhir ini berjudul “Model Dinamik Interaksi antara Vektor Terinfeksi Leptospirosis dan Populasi Manusia”.
1.2
Rumusan Masalah Rumusan masalah pada penyelesaian Tugas Akhir ini yaitu:
a.
Bagaimana menentukan model dinamik interaksi antara vektor terinfeksi leptospirosis dan populasi manusia?
b.
Bagaimana menganalisa kestabilan titik kesetimbangan model?
1.3
Batasan Masalah Agar penulisan Tugas Akhir ini lebih terarah, maka penulis membatasi
permasalahan pada model dinamik interaksi antara vektor terinfeksi leptospirosis dan populasi manusia.
1.4
Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan tugas akhir ini yaitu:
a.
Mendapatkan model dinamik interaksi antara vektor terinfeksi leptospirosis dan populasi manusia.
b.
Mengetahui kestabilan titik kesetimbangan model.
1.5
Sistematika Penulisan Sistematika dalam penulisan tugas akhir ini terdiri dari beberapa bab, yaitu
sebagai berikut: BAB I
Pendahuluan Bab ini berisikan latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, dan sistematika penulisan.
9
BAB II
Landasan Teori Bab ini berisikan landasan teori, seperti: pengertian Leptospirosis, pemodelan
matematika,
sistem
persamaan
diferensial,
titik
kesetimbangan, kestabilan titik kesetimbangan, serta fungsi Lyapunov. BAB III Metodologi Penelitian Bab ini berisikan langkah-langkah yang penulis gunakan untuk menyelesaikan model dinamik interaksi antara vektor terinfeksi Leptospirosis dan populasi manusia. BAB IV Pembahasan Bab ini berisikan tentang pembentukan model dinamik interaksi antara vektor terinfeksi leptospirosis dan populasi manusia serta analisa terhadap model. BAB V
Penutup Bab ini berisikan kesimpulan dari pembahasan dan saran-saran untuk pembaca.
10
BAB II LANDASAN TEORI 2.1
Leptospirosis
2.1.1 Pengertian Leptospirosis adalah penyakit zoonosis yang disebabkan oleh infeksi bakteri yang berbentuk spiral dari genus Leptospira, yang menyerang hewan dan manusia. Penelitian tentang leptospirosis pertama dilakukan oleh Adolf Heil pada Tahun 1886. Dia melaporkan adanya penyakit tersebut pada manusia dengan gambaran klinis demam, pembesaran hati dan limpa, ikterus dan ada tanda-tanda kerusakan pada ginjal (Masniari Poloengan dan Iyep Komala, Artikel Penelitian IPB). Sampai saat ini dikenal dua spesies Leptospira yaitu, Leptospira interogans dan Leptospira biflexa. Spesies pertama dikenal patogen terhadap manusia dan hewan, sedangkan spesies kedua merupakan safrofit yang hidup bebas di perairan dangkal dan jarang dijumpai infeksi pada manusia.
Gambar 2.1 Bakteri Leptospira menggunakan mikroskop elektron tipe scanning Sumber :http://id.wikipedia.org/wiki/Leptospirosis
2.1.2 Cara Penularan Penularan bakteri Leptospira terjadi dengan dua cara, yaitu: a.
Penularan secara langsung Penularan secara langsung dapat terjadi melalui darah, urin atau cairan tubuh lain yang mengandung kuman leptospira masuk kedalam tubuh pejamu. Dari hewan ke manusia merupakan peyakit akibat pekerjaan, terjadi pada
11
orang yang merawat hewan atau menangani organ tubuh hewan, misalnya pekerja potong hewan atau seseorang yang tertular dari hewan peliharaan. Dari manusia ke manusia meskipun jarang, dapat terjadi melalui hubungan seksual atau dari ibu penderita leptospirosis ke janin melalui sawar plasenta dan air susu ibu. b.
Penularan tidak langsung Penularan tidak langsung dapat terjadi melalui genangan air, sungai, danau, selokan saluran air, lumpur dan tempat pembuangan sampah yang tercemacar bakteri Leptospira.
Gambar 2.2 Siklus penyebaran bakteri Leptospira Sumber: http://www.dautic.com/penyebab-dan-gejala-penyakit-leptospirosis.html
Penularan bakteri Leptospira bisa melalui tikus, babi, sapi, kambing, kuda, anjing, serangga, burung, landak, kelelawar dan tupai. Kebanyakan penularannya disebabkan oleh tikus. Infeksi oleh Leptospira umumnya didapat karena kontak kulit atau selaput lendir (mucous membrane) misalnya, mata (konjuktiva) karena kecipratan selaput lendir vagina atau lecet-lecet kulit dengan urin atau cemaran oleh keluaran urogenitalis lainnya atau mengkonsumsi makanan dan minuman yang tercemar oleh bakteri tersebut.
12
2.1.3 Gejala Klinis Gejala dan tanda yang ditimbulkan tergantung kepada berat ringannya infeksi yang dapat dibedakan menjadi tiga stadium, yaitu: a.
Stadium Pertama Pada stadium ini ditandai dengan beberapa gejala seperti: demam, menggigil, sakit kepala, malaise, muntah, konjungtivis, rasa nyeri pada otot terutama otot betis dan punggung. Gejala-gejala tersebut akan tampak antara 4-9 hari.
b.
Stadium Kedua Pada stadium ini biasanya telah terbentuk antibodi di dalam tubuh penderita, gejala-gejala yang tampak pada stadium ini lebih bervariasi dibanding pada stadium pertama antara lain: ikterus (kekuningan), apabila demam dan gejala-gejala lain timbul lagi, besar kemungkinan akan terjadi meningitis. Biasanya stadium ini terjadi antara minggu kedua dan keempat.
c.
Stadium Ketiga Pada stadium ini komplikasi leptospirosis dapat menimbulkan gejalagejala berikut: pada ginjal; renal failure yang dapat menyebabkan kematian, pada mata; konjungtiva yang tertutup menggambarkan fase septisemi yang erat hubungannya dengan keadaan fotobia dan konjungtiva hemorrhagic, pada hati; jaundice (kekuningan) yang terjadi pada hari keempat dan keenam dengan adanya pembesaran hati dan konsistensi lunak, pada jantung; aritmia, kegagalan jantung yang dapat menyebabkan kematian mendadak, pada paruparu; hemorhagic pneumonitis dengan batuk darah, nyeri dada, respiratory distress dan cyanosis, pendarahan karena adanya kerusakan pembuluh darah (vascular damage) dari saluran pernapasan, saluran pencernaan, ginjal dan saluran genitalia, infeksi pada kehamilan menyebabkan abortus, lahir mati, premature dan kecacatan pada bayi (Masniari Poloengan dan Iyep Komala, Artikel Penelitian IPB).
13
2.1.3 Penanganan dan Pencegahan Penanganan dini sangat membantu, karena bakteri Leptospira mudah mati dengan antibiotik yang banyak dijumpai di Toko Obat seperti Penicillin dan turunannya Amoxylline, Streptomycine, Tetracycline, Erithtromycine. Bila terjadi komplikasi atau gejala yang lebih parah segera berobat ke dokter, karena bila terlambat ditangani maka akan berakibat fatal atau kematian dimana angka kematian akibat bateri ini bisa mencapai 20%. Pencegahan dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu: 1.
Membiasakan diri dengan Perilaku Hidup Bersih dan Sehat (PHBS)
2.
Menyimpan makanan dan minuman dengan baik agar terhindar dari tikus.
3.
Mencucui tangan dengan sabun sebelum makan.
4.
Mencucui tangan, kaki serta bagian tubuh lainnya dengan sabun setelah bekerja di sawah/ kebun/ sampah/ tanah/ selokan dan tempat-tempat yang tercemar lainnya.
5.
Melindungi pekerja yang berisiko tinggi terhadap leptospirosis (petugas kebersihan, petani, petugas pemotong hewan, dan lain-lain) dengan menggunakan sepatu bot dan sarung tangan.
6.
Menjaga kebersihan lingkungan
7.
Membersihkan tempat-tempat air dan kolam renang.
8.
Menghindari adanya tikus di dalam rumah/gedung.
9.
Menghindari pencemaran oleh tikus.
10. Melakukan desinfeksi terhadap tempat-tempat tertentu yang tercemar oleh tikus 11. Meningkatkan penangkapan tikus. 12. Menjaga stamina tubuh, dengan rajin berolahraga.
14
2.2
Sistem Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan
dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas, sedangkan sistem persamaan diferensial terdiri dari beberapa persamaan diferensial. Di bawah ini diberikan sistem persamaan diferensial yang linear dan nonlinear. Didefinisikan:
x x1 , x 2 , , x n ,
f f1 , f 2 , , f n , f i : E R n , f i adalah fungsi kontinu
pada E , dengan i 1,2, , n . Diberikan sistem persamaan diferensial autonomous:
x f x
(2.1)
sistem (2.1) dapat ditulis dalam bentuk: dx1 f1 x1 , x 2 , , x n dt dx 2 f 2 x1 , x 2 , , x n dt dx n f n x1 , x 2 , , x n dt
(2.2)
Sistem (2.2) dikatakan linear jika f1 , f 2 , , f n masing–masing linear dalam
x1 , x 2 , , x n . Sebaliknya disebut sistem persamaan diferensial nonlinear. jika Sistem (2.2) linear, maka Sistem (2.2) dapat ditulis dalam bentuk:
x1 a11 x1 a12 x 2 a1n x n x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n
(2.3)
x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n selanjutnya Sistem (2.3) dapat ditulis dalam bentuk: x Ax
dengan A matriks ukuran n n , dan x E . Solusi Sistem (2.1) diberikan oleh Definisi (2.1) berikut ini:
15
Definisi 2.1 (Perko, 1991) Diberikan E R n , E himpunan terbuka, dan f i C E , R , i 1,2, , n . Vektor
xt R n
disebut penyelesaian Sistem (2.1) pada interval
diferensiabel pada I dan
2.3
I
jika
xt
dx f xt untuk setiap t I dan xt E . dt
Titik Kesetimbangan (Equilibrium) Suatu sistem dinamik dikatakan setimbang jika sistem tidak berubah
sepanjang waktu. Secara formal titik kesetimbangan (equilibrium) dari Sistem (2.1) didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.2 (Perko, 1991) Titik xˆ R n disebut titik kesetimbangan (equilibrium) Sistem (2.1) jika f xˆ 0 .
Secara umum, model penyebaran penyakit biasanya mempunyai dua titik kesetimbangan, yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik penyakit. Titik kesetimbangan bebas penyakit artinya dalam populasi tidak ada individu yang terinfeksi penyakit, sedangkan titik kesetimbangan endemik penyakit artinya selalu ada individu yang terinfeksi penyakit.
2.4
Kestabilan Titik Kesetimbangan (Equilibrium) Konsep perilaku sistem pada titik kesetimbangan (equilibrium) dikenal
sebagai kestabilan titik kesetimbangan. Kestabilan tersebut merupakan informasi untuk menggambarkan perilaku sistem. Di bawah ini definisi formal mengenai kestabilan titik kesetimbangan:
Definisi 2.3 (Hale, 1991) Titik kesetimbangan (equilibrium) xˆ R n dari Sistem (2.1) dikatakan:
16
a) Stabil lokal jika untuk setiap > 0 terdapat > 0 sedemikian hingga untuk setiap solusi Sistem (2.1) xt yang memenuhi xt 0 xˆ < maka berakibat
xt xˆ < untuk setiap t t 0 . b) Stabil asimtotik lokal jika titik equilibrium xˆ R n stabil dan terdapat bilangan
0 > 0 sehingga untuk setiap solusi xt yang memenuhi
xt 0 xˆ < 0
maka berakibat lim xt xˆ . t
c) Tidak stabil jika titik equilibrium xˆ R n tak memenuhi (a). Jika untuk sembarang titik awal, solusi sistem persamaan diferensial xt berada dekat dengan titik equilibrium xˆ R n , maka titik equilibrium xˆ R n stabil global. Sementara itu jika untuk sembarang titik awal, solusi Sistem persamaan diferensial xt berada dekat dengan titik equilibrium xˆ R n dan untuk
membesar menuju tak hingga xt konvergen ke xˆ R n , maka titik
equilibrium xˆ R n stabil asimtotik global. Sifat kestabilan titik equilibrium Sistem (2.1) dapat didekati dengan menggunakan metode linearisasi. Metode ini digunakan untuk mengetahui perilaku sistem persamaan diferensial yang tidak dapat ditentukan penyelesaian eksaknya. Sebelum penyelesaian dengan metode linearisasi, perlu ditentukan terlebih dahulu matriks Jacobian di titik xˆ . Berikut ini diberikan definisi matriks Jacobian di titik xˆ .
Definisi 2.4 (Hale, 1991) Diberikan f f1 , f 2 , , f n pada Sistem (2.1) dengan f i C 1 E , i 1,2, n
f1 x x 1 f 2 x J f x x 1 f n x x1
f1 x x 2 f 2 x x 2 f n x x 2
f1 x x n f 2 x x n f n x x n
17
dinamakan matriks Jacobian dari f di titik x .
Setelah ditentukan matriks Jacobian, maka penyelesaian dengan metode linearisasi dapat dilakukan untuk mengetahui perilaku sistem yang tidak dapat ditentukan penyelesaian eksaknya. Berikut definisi mengenai metode linearisasi:
Definisi 2.5 (Perko, 1991) Sistem x J f xˆ disebut linearisasi Sistem (2.1) di xˆ . Dengan menggunakan matriks Jacobian J f xˆ , sifat kestabilan titik equilibrium xˆ dapat diketahui asalkan titik tersebut hiperbolik. Berikut diberikan definisi titik hiperbolik.
Definisi 2.6 (Wiggins, 1990) Titik equilibrium xˆ disebut titik equilibrium hiperbolik jika semua nilai eigen
J f xˆ mempunyai bagian real tak nol.
Kestabilan dari titik equilibrium pada Sistem (2.1) dapat ditentukan berdasarkan nilai eigen matriks Jacobian pada metode linearisasi. Nilai eigen dapat ditentukan melalui persamaan karakterisrik dari matriks Jacobian di titik xˆ . Kriteria kestabilan titik equilibrium pada Sistem (2.1) tersebut disajikan pada teorema dibawah ini:
Teorema 2.1 (Hale, 1991) a) Jika semua nilai eigen dari matriks jacobian J f xˆ mempunyai bagian real negatif, maka titik equilibrium xˆ dari Sistem (2.1) stabil asimtotik. b) Jika terdapat nilai eigen dari matriks J f xˆ mempunyai bagian real positif, maka titik equilibrium xˆ dari Sistem (2.1) tidak stabil.
18
Berikut ini diberikan contoh mengenai kestabilan titik kesetimbangan untuk sistem linear dua variabel terikat. pandang Sistem linear:
dx dt a b x dy c d y dt
(2.4)
dengan a , b , c dan d konstan.
a b , maka diperoleh persamaan misalkan nilai eigen dari matriks A c d karakteristik,
2 a d ad bc 0
(2.5)
berdasarkan persamaan (2.5) di atas, diperoleh: 1.2
a d a d 2 4ad bc 2
atau 1.2
p
p 2 4q 2
dengan p a d dan q ad bc . Stabilitas Sistem (2.4) dapat diterangkan sebagai berikut: I.
1.2 real dan berbeda jika D p 2 4q > 0 , 1) 1.2 sama tanda jika q > 0 : a) 1.2 semua positif jika p > 0 → tidak stabil. b) 1.2 semua negatif jika p < 0 → stabil. 2) 1.2 beda tanda, jika q < 0 → tidak stabil. 3) Salah satu dari 1.2 nol, jika q 0 . a) Akar lainnya positif jika p > 0 → tidak stabil. b) Akar lainnya negatif jika p < 0 → stabil netral.
II.
1.2 real dan sama jika D 0 , 1) 1.2 sama tanda: a) 1.2 keduanya positif jika p > 0 → tidak stabil. b) 1.2 keduanya negatif jika p < 0 → stabil. 19
2) 1 2 0 , bila p > 0 → tidak stabil. III.
1.2 kompleks jika D < 0 , 1) Re 1.2 sama tanda: a) Re 1.2 semua positif jika p > 0 → tidak stabil. b) Re 1.2 semua negatif jika p < 0 → stabil. 2) Re 1.2 jika p 0 → stabil netral Q
Stabil Stabil Stabil netral
Tidak stabil
Tidak Tidakstabil stabil
Tidak stabil
P
Tidak stabil
Gambar 2.3 Bidang fase sistem linier
2.5
Fungsi Lyapunov Metode Lyapunov adalah salah satu metode untuk menganalisa kestabilan
(sistem linear maupun nonlinear), dikenal sebagai metode Lyapunov pertama dan metode Lyapunov kedua (langsung). Metode Lyapunov kedua adalah metode yang digunakan untuk menentukan kestabilan sistem, tanpa menyelesaikan persamaan diferensial nonlinear sistem. Dasar pemikiran dari metode Lyapunov kedua dalam menyelidiki kelakuan sistem dinamis berkaitan erat dengan energi dari sistem tersebut, jika laju perubahan d x
dt
dengan x merupakan energi dari suatu sistem
dinamis adalah negatif untuk setiap x , kecuali dalam keadaan setimbang xˆ , energi akan terus menurun sampai akhirnya mencapai keadaan minimum xˆ . Dengan kata lain, sistem akan stabil saat berada pada titik kesetimbangannya, ini
20
merupakan konsep stabilitas. Pada Tahun 1892 Lyapunov menunjukkan bahwa fungsi-fungsi tertentu lainnya (selain energi) juga dapat digunakan untuk menentukan kestabilan titik ekuilibrium. Pertimbangkan kembali Sistem (2.1), dengan xˆ E merupakan titik ekuilibrium Sistem (2.1). Diberikan fungsi V : E R n diferensiabel kontinu pada
E R n . Turunan V terhadap t pada Sistem (2.1) dinotasikan dengan V adalah: n n V V V x i f i x i 1 x i i 1 x i
f 1 x V V V f 2 x V , ,, . f x . x n x x1 x 2 f n x turunan V terhadap t pada Sistem (2.1) sangat bergantung pada persamaan sistem. Oleh karena itu, V akan berbeda untuk sistem yang berbeda. Fungsi V disebut fungsi Lyapunov jika memenuhi pernyataan berikut: a. V xˆ 0 untuk xˆ E dengan x xˆ . b. V x > 0 dengan x xˆ . c. V x 0 untuk setiap x E .
Teorema 2.2 (Khalil, 1996) Diberikan xˆ merupakan titik ekuilibrium Sistem (2.1). Jika terdapat fungsi
Lyapunov V : R n R , V C 1 R n
dan V x > 0 untuk x R n dengan x xˆ
dan V xˆ 0 dengan x xˆ , dengan: a V x untuk x , b V x 0 untuk setiap x R n , dan
c S x R n : V x 0 tidak memuat solusi lain kecuali titik ekuilibrium xˆ , maka xˆ stabil asimtotik global. Berikut contoh penggunaan fungsi Lyapunov: Contoh 2.2:
21
Diberikan Sistem persamaan differensial: x x xz y xz y yw (2.7)
z y z w y w
dengan
x0 0 ,
y 0 0 ,
z 0 0 ,
w0 0 ;
x, y , z , w 0 ;
konstanta
, , , , > 0 ; dan diberikan titik ekuilibrium Eˆ xˆ , yˆ , zˆ, wˆ ,0,0,0 .
Diberikan fungsi Lyapunov pada x, y, z , w R 4 : x, y, z , w 0 ; dengan
xˆ < , yaitu: V t
1 x xˆ 2 2 xˆ y z 1 w 2 2 2
(2.8)
dari persamaan (2.8) tersebut diperoleh:
V ' t x xˆ x xz 2 xˆ xz y yw 2 xˆ y z 2 xˆ w w y w x x 2 x 2 z xˆ xˆx xˆxz 2xz 2y 2yw xˆxz xˆy xˆyw 2y 2 2 z xˆy xˆz 2yw
2 2 xˆ 2 w xˆyw w
x x 2 x 2 z xˆ xˆx 2xz 2 2 z xˆz dengan mengganti nilai xˆ
2 2 xˆ 2 w w
, diperoleh:
xˆx x 2 x 2 z xˆ 2 xˆx 2xz 2 2 z xˆz
2 2 xˆ 2 w w
x 2 x 2 z xˆ 2 2 xˆx 2xz 2 2 z xˆz
2 2 xˆ 2 w w
x 2 2 xˆx xˆ 2 x 2 z 2xz 2 2 z xˆz
2 2 xˆ 2 w w
22
x 2 2 xˆx xˆ 2 x 2 2x 2 2 xˆ z
2 2 x xˆ x xˆ z
2 xˆ w 2
2 xˆ w 2
karena z 0 dan xˆ < , sehingga V 0 untuk setiap x, y, z , w , dan V 0 dipenuhi jika dan hanya jika x xˆ , y z w 0 . Sehingga berdasarkan Teorema (2.2), Eˆ stabil asimtotik global pada .
23
BAB III METODOLOGI PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penulisan Tugas Akhir ini adalah studi kepustakaan. Adapun langkah-langkah dalam penulisannya yaitu: a
Menentukan asumsi dan parameter yang diperlukan. Pada model yang akan dibentuk diasumsikan bahwa: 1) Penyakit fatal pada infeksi tertentu, sehingga dalam populasi terjadi kematian alami maupun kematian yang disebabkan oleh penyakit. 2) Individu yang sembuh pada populasi manusia tidak kebal terhadap penyakit, artinya kemungkinan akan kembali ke kelompok rentan. 3) Populasi manusia tertular dengan dua cara, yaitu oleh manusia terinfeksi atau vektor terinfeksi. Sedangkan populasi vektor hanya tertular oleh manusia terinfeksi. Sedangkan parameter yang digunakan yaitu: 1) Laju recruitment pada populasi manusia dinyatakan dengan ( b1 ), sedangkan laju recruitment pada populasi vektor dinyatakan dengan ( b2 ). 2) Laju penularan manusia yang rentan oleh manusia terinfeksi dinyatakan dengan ( 1 ), sedangkan laju penularan manusia yang rentan oleh vektor terinfeksi dinyatakan dengan ( 2 ). 3) Laju kematian alami pada populasi manusia dinyatakan dengan ( h ), sedangkan laju kematian akibat penyakit pada populasi manusia dinyatakan dengan ( h ). 4) Laju kesembuhan pada populasi manusia dinyatakan dengan ( h ), sedangkan laju perpindahan individu yang sembuh ke kelompok rentan pada populasi manusia dinyatakan dengan ( h ). 5) Laju penularan vektor yang rentan oleh manusia terinfeksi dinyatakan dengan ( 3 ).
24
6) Laju kematian alami pada populasi vektor dinyatakan dengan ( v ), sedangkan laju kematian akibat penyakit pada populasi vektor dinyatakan dengan ( v ). b
Menentukan model matematika. Dengan menggunakan asumsi-asumsi dan parameter-parameter pada poin (a), dapat ditentukan model dinamik interkasi antara vektor terinfeksi leptospirosis dan populasi manusia.
c
Menentukan titik kesetimbangan model. Berdasarkan model matematika yang telah dibuat, kemudian ditentukan titik kesetimbangan (equilibrium), yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik penyakit.
d
Menganalisa kestabilan dari titik kesetimbangan. Setelah ditentukan titik kesetimbangan, selanjutnya menganalisa kestabilan dari titik kesetimbangan tersebut menggunakan matriks Jakobian untuk kestabilan lokal dan fungsi Lyapunov untuk kestabilan global.
e
Menyimpulkan hasil dari analisa kestabilan titik kesetimbangan.
25
BAB IV PEMBAHASAN DAN HASIL Pemodelan matematika merupakan salah satu terapan dari ilmu matematika yang dapat mendeskripsikan beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari-hari ke dalam bentuk matematis, dengan tujuan untuk lebih mempermudah menyelesaikan suatu permasalahan tersebut. Pemodelan matematika juga digunakan untuk memodelkan penyebaran penyakit dalam suatu populasi, khususnya penyakit menular seperti Leptospirosis. Leptospirosis merupakan penyakit yang disebabkan oleh infeksi bakteri Leptospira, yang menyerang hewan dan manusia. Dimisalkan bahwa pada populasi manusia, S h t menyatakan jumlah manusia yang rentan pada saat t , I h t menyatakan jumlah manusia yang terinfeksi pada saat t , dan Rh t menyatakan jumlah manusia yang sembuh pada saat t . Jika N h t menyatakan jumlah populasi manusia pada saat t , maka N h t S h t I h t Rh t . Sedangkan pada populasi vektor, S v t menyatakan
jumlah vektor rentan pada saat t , dan I v t menyatakan jumlah vektor yang terinfeksi pada saat t . Jika N v t menyatakan jumlah populasi vektor pada saat t , maka N v t S v t I v t .
4.1
Asumsi dan Parameter dalam Model Untuk membentuk model dinamik interaksi antara vektor terinfeksi
leptospirosis dan populasi manusia, diperlukan asumsi dan parameter yang diberikan sebagai berikut: a.
Asumsi-asumsi yang diperlukan dalam membentuk model yaitu: 1) Penyakit fatal pada infeksi tertentu, sehingga dalam populasi terjadi kematian alami maupun kematian yang disebabkan oleh penyakit. 2) Individu yang sembuh pada populasi manusia tidak kebal terhadap penyakit, artinya kemungkinan akan kembali ke kelompok rentan.
26
3) Populasi manusia tertular dengan dua cara, yaitu oleh manusia terinfeksi atau vektor terinfeksi. Sedangkan populasi vektor hanya tertular oleh manusia terinfeksi. b.
Parameter yang diperlukan dalam membentuk model yaitu: 1) Laju recruitment pada populasi manusia dinyatakan dengan ( b1 ), sedangkan laju recruitment pada populasi vektor dinyatakan dengan ( b2 ). 2) Laju penularan manusia yang rentan oleh manusia terinfeksi dinyatakan dengan ( 1 ), sedangkan laju penularan manusia yang rentan oleh vektor terinfeksi dinyatakan dengan ( 2 ). 3) Laju kematian alami pada populasi manusia dinyatakan dengan ( h ), sedangkan laju kematian akibat penyakit pada populasi manusia dinyatakan dengan ( h ). 4) Laju kesembuhan pada populasi manusia dinyatakan dengan ( h ), sedangkan laju perpindahan individu yang sembuh ke kelompok rentan pada populasi manusia dinyatakan dengan ( h ). 5) Laju penularan vektor yang rentan oleh manusia terinfeksi dinyatakan dengan ( 3 ). 6) Laju kematian alami pada populasi vektor dinyatakan dengan ( v ), sedangkan laju kematian akibat penyakit pada populasi vektor dinyatakan dengan ( v ).
4.2
Model Dinamik Interaksi antara Vektor Terinfeksi Leptospirosis dan Populasi Manusia Berdasarkan asumsi dan parameter yang telah ditentukan dan untuk
mempermudah dalam pembentukan model, maka diperlukan diagram alir berikut ini:
27
b1
b2
hSh
vSv
1 S h I h
2Sh Iv
3Sv I h
v v I v
h h I h hIh
hRh
h Rh
Gambar 4.1 Diagram alir model dinamik interaksi antara vektor terinfeksi Leptospirosis dan populasi manusia
Berdasarkan diagram alir pada Gambar (4.1), dengan memisalkan Q1 v v ,
Q2 h h h ,
Q3 h h
diperoleh
sistem
persamaan
diferensial berikut: dSh b1 h S h 2 S h I v 1S h I h h Rh dt
dI h 2 S h I v 1 S h I h Q2 I h dt
dRh h Ih Q3Rh dt
(4.1)
dSv b2 v Sv 3Sv I h dt dI v 3 S v I h Q1 I v dt
dengan nilai awal, S h 0 0 , I h 0 0 , Rh 0 0 , S v 0 0 , I v 0 0
(4.2)
daerah penyelesaiannya adalah: b b S h , I h , Rh , S v , I v R 5 : S h , I h , Rh , S v , I v 0; N h 1 ; N v 2 h v
28
Berdasarkan Sistem (4.1), jumlah populasi manusia keseluruhan yaitu, N h S h I h Rh
dN h dS h dI h dRh dt dt dt dt b1 h S h 2 S h I v 1 S h I h h Rh 2 S h I v 1 S h I h Q2 I h h I h Q3 Rh b1 h S h h I h h Rh h I h b1 h S h I h Rh h I h b1 h N h h I h
dari penyelesaian di atas diperoleh: dN h b1 h N h dt
(4.3)
dN h h N h b1 dt
(4.4)
Persamaan (4.3) dapat ditulis:
dari Persamaan (4.4), diperoleh: N h N h 0e ht
b1 1 e ht h
dari persamaan (4.5) dapat dijelaskan bahwa untuk t lim N h t
t
membesar maka
b1 b , artinya jumlah populasi manusia akan menuju kapasitas batas 1 . h h
Jika N h 0 > N h 0 <
(4.5)
b b1 , maka N h t turun monoton menuju kapasitas batas 1 dan jika h h
b b1 , maka N h t naik monoton menuju kapasitas batas 1 . h h
Jumlah populasi vektor keseluruhan yaitu, N v Sv I v
dN v dS v dI v dt dt dt b2 v S v 3 S v I h 3 S v I h Q1 I v b2 v S v v I v v I v
29
b2 v S v I v v I v b2 v N v v I v
dari penyelesaian di atas diperoleh: dN v b2 v N v dt
(4.6)
dN v v N v b2 dt
(4.7)
Persamaan (4.6) dapat ditulis:
dari Persamaan (4.7), diperoleh: N v N v 0e vt
b2 1 e vt v
dari Persamaan (4.8) dapat dijelaskan bahwa untuk t lim N v t t
4.3
membesar maka
b2 b , artinya jumlah populasi vektor akan menuju kapasitas batas 2 . v v
Jika N v 0 > N v 0 <
(4.8)
b2 b , maka N v t turun monoton menuju kapasitas batas 2 dan jika v v
b2 b , maka N v t naik monoton menuju kapasitas batas 2 . v v
Titik Kesetimbangan (Equilibrium) Titik kesetimbangan Sistem (4.1) dapat ditentukan dalam dua keadaan
yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit artinya tidak ada individu yang terserang penyakit dan titik kesetimbangan endemik penyakit artinya selalu ada individu yang terserang penyakit dalam populasi. Didefenisikan: R0
b1 2 3b2 v Q11 h v Q1Q2
(4.9)
Berikut ini dijelaskan titik kesetimbangan Sistem (4.1),
4.3.1 Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Titik kesetimbangan bebas penyakit artinya dalam populasi tidak ada penyakit. Untuk mendapatkan titik kesetimbangan Sistem (4.1), maka masing-
30
masing persamaan pada Sistem (4.1) diberi nilai nol, sehingga Sistem (4.1) menjadi: b1 h S h 2 S h I v 1 S h I h h Rh 0 2 S h I v 1 S h I h Q2 I h 0 h I h Q3 Rh 0
(4.10)
b2 v S v 3 S v I h 0 3 S v I h Q1 I v 0
Penyakit tidak terjadi dalam populasi jika I h I v 0 , keadaan tersebut menyebabkan Rh 0 , maka dari persamaan pertama pada Sistem (4.10) diperoleh S h yaitu: b1 h S h 2 S h I v 1 S h I h h Rh 0 b1 h S h 0 h S h b1 Sh
b1 h
sehingga S h untuk titik kesetimbangan bebas penyakit adalah S h0
b1 . h
Selanjutnya dari persamaan keempat pada Sistem (4.10) diperoleh S v pada titik kesetimbangan bebas penyakit: b2 v S v 3 S v I h 0 b2 v S v 0 v S v b2 Sv
b2 v
sehingga S v untuk titik kesetimbangan bebas penyakit adalah S v0
b2 . v
Berdasarkan penyelesaian tersebut, diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu E 0 S h0 , I h0 , Rh0 , S v0 , I v0
b1 b ,0,0, 2 ,0 . v h
31
4.3.2 Titik Kesetimbangan Endemik Penyakit Titik kesetimbangan endemik penyakit artinya selalu ada penyakit dalam populasi atau I h > 0 dan I v > 0 , dari persamaan ketiga pada Sistem (4.10) diperoleh: h I h Q3 Rh 0 Q3 Rh h I h Rh
h Ih Q3
sehingga Rh untuk titik kesetimbangan endemik penyakit adalah Rh*
h * Ih . Q3
Dari persamaan keempat pada Sistem (4.10) diperoleh: b2 v S v 3 S v I h 0 b2 v 3 I h S v 0 v 3 I h S v b2 Sv
b2 v 3I h
sehingga S v untuk titik kesetimbangan endemik penyakit adalah S v*
b2 . v 3 I h*
Dari persamaan kelima pada Sistem (4.10) diperoleh: 3 S v I h Q1 I v 0 Q1 I v 3 S v I h Iv
3Sv I h Q1
b2 I h 3 v 3 I h Q1 3b2 I h 3I h v Q1
3b2 I h Q1 v 3 I h
32
sehingga I v*
untuk
Iv
titik
kesetimbangan
endemik
penyakit
adalah
3b2 I h* . Q1 v 3 I h*
Dari persamaan kedua pada Sistem (4.10) diperoleh: 2 S h I v 1 S h I h Q2 I h 0
2 I v 1 I h S h Q2 I h 0 2 I v 1 I h S h Q2 I h Sh
sehingga S h*
S h*
untuk
titik
Q2 I h 2 I v 1 I h
Q2 I h 3b2 I h 1 I h 2 Q1 v 3 I h Q2 I h
2 3b2 I h Q1 1 I h v 3 I h Q1 v 3 I h Q2 I h
2 3b2 Q1 1 v 3 I h I h Q1 v 3 I h
Q2
2 3b2 Q1 1 v 3 I h Q1 v 3 I h Q1Q2 v 3 I h 2 3b2 Q1 1 v 3 I h
kesetimbangan
endemik
penyakit
adalah
Q1Q2 v 3 I h* . 2 3b2 Q1 1 v 3 I h*
Berdasarkan penyelesaian di atas, diperoleh titik kesetimbangan endemik penyakit E * S h* , I h* , Rh* , S v* , I v* .
Q1Q2 v 3 I h* 3b2 I h* b2 * h * , I , I , , h h * Q3 v 3 I h* Q1 v 3 I h* 2 3b2 Q1 1 v 3 I h
.
33
dikarenakan Rh dalam kasus endemik penyakit tidak terlalu berpengaruh, maka dapat diabaikan. Sehingga titik kesetimbangan endemik penyakit menjadi:
E * S h* , I h* , S v* , I v* .
Q1Q2 v 3 I h* 3b2 I h* b2 * , I , , h * v 3 I h* Q1 v 3 I h* 2 3b2 Q1 1 v 3 I h
4.4
.
Kestabilan Titik Kesetimbangan (equilibrium) Kestabilan
titik
kesetimbangan
artinya
menyelidiki
apakah
titik
kesetimbangan yang diperoleh stabil atau tidak stabil pada Sistem (4.1), dalam hal ini akan diselidiki dua macam kestabilan titik kesetimbangan yaitu, kestabilan lokal dan kestabilan global. Kestabilan
lokal
artinya
meyelidiki
kestabilan
di
sekitar
titik
kesetimbangan, dijelaskan dalam uraian berikut: Misalkan: f1 b1 h S h 2 S h I v 1 S h I h h Rh f 2 2 S h I v 1 S h I h Q2 I h f 3 h I h Q3 Rh
(4.11)
f 4 b2 v S v 3 S v I h f 5 3 S v I h Q1 I v
Kemudian dapatkan matriks Jacobiannya dengan cara masing-masing fungsi diturunkan secara parsial terhadap masing-masing variabel pada fungsi tersebut, yaitu: a.
Fungsi f1 diturunkan terhadap variabel S h : f1 b1 h S h 2 S h I v 1 S h I h h Rh h 2 I v 1 I h S h S h
b.
Fungsi f1 diturunkan terhadap variabel I h : f1 b1 h S h 2 S h I v 1 S h I h h Rh 1 S h I h I h
c.
Fungsi f1 diturunkan terhadap variabel Rh :
34
f1 b1 h S h 2 S h I v 1 S h I h h Rh h Rh Rh
d.
Fungsi f1 diturunkan terhadap variabel S v : f1 b1 h S h 2 S h I v 1 S h I h h Rh 0 S v S v
e.
Fungsi f 1 diturunkan terhadap variabel I v : f1 b1 h S h 2 S h I v 1S h I h h Rh 2 Sh I v I v
f.
Fungsi f 2 diturunkan terhadap variabel S h : f 2 2 S h I v 1 S h I h Q2 I h 2 I v 1 I h S h S h
g.
Fungsi f 2 diturunkan terhadap variabel I h : f 2 2 S h I v 1S h I h Q2 I h 1S h Q2 I h I h
h.
Fungsi f 2 diturunkan terhadap variabel Rh : f 2 2 S h I v 1 S h I h Q2 I h 0 Rh Rh
i.
Fungsi f 2 diturunkan terhadap variabel S v : f 2 2 S h I v 1 S h I h Q2 I h 0 S v S v
j.
Fungsi f 2 diturunkan terhadap variabel I v : f 2 2 S h I v 1 S h I h Q2 I h 2Sh I v I v
k.
Fungsi f 3 diturunkan terhadap variabel S h : f 3 h I h Q3 Rh 0 S h S h
l.
Fungsi f 3 diturunkan terhadap variabel I h : f 3 h I h Q3 Rh h I h I h
m. Fungsi f 3 diturunkan terhadap variabel Rh :
35
f 3 h I h Q3 Rh Q3 Rh Rh
n.
Fungsi f 3 diturunkan terhadap variabel S v : f 3 h I h Q3 Rh Q3 S v S v
o.
Fungsi f 3 diturunkan terhadap variabel I v : df 3 d h I h Q3 Rh 0 dI v dI v
p.
Fungsi f 4 diturunkan terhadap variabel
Sh
:
f 4 b2 v S v 3 S v I h 0 S h S h
q.
Fungsi f 4 diturunkan terhadap variabel I h : f 4 b2 v S v 3 S v I h 3 Sv I h I h
r.
Fungsi f 4 diturunkan terhadap variabel Rh : f 4 b2 v Sv 3 Sv I h 0 Rh Rh
s.
Fungsi f 4 diturunkan terhadap variabel S v : f 4 b2 v S v 3 S v I h v 3 I h S v S v
t.
Fungsi f 4 diturunkan terhadap variabel I v : f 4 b2 v S v 3 S v I h 0 I v I v
u.
Fungsi f 5 diturunkan terhadap variabel S h : f 5 3 S v I h Q1 I v 0 S h S h
v.
Fungsi f 5 diturunkan terhadap variabel I h : f 5 3 S v I h Q1 I v 3Sv I h I h
w. Fungsi f 5 diturunkan terhadap variabel Rh :
36
f 5 3 S v I h Q1 I v 0 Rh Rh
x.
Fungsi f 5 diturunkan terhadap variabel S v : f 5 3 S v I h Q1 I v 3I h S v S v
y.
Fungsi f 5 diturunkan terhadap variabel I v : f 5 3 S v I h Q1 I v Q1 I v I v
Bentuk umum matriks jacobian Sistem (4.1) adalah: f1 S h f 2 Sh f Jf 3 Sh f 4 Sh f 5 S h
f1 Ih f 2 Ih f 3 Ih f 4 Ih f 5 Ih
f1 Rh f 2 Rh f 3 Rh f 4 Rh f 5 Rh
f1 Sv f 2 Sv f 3 Sv f 4 Sv f 5 Sv
f1 Iv f 2 Iv f 3 Iv f 4 Iv f 5 Iv
Setelah didapatkan turunan parsial masing-masing fungsi tersebut, diperoleh matriks jacobian berikut: - h 2 I v 1 I h I I 2 v 1 h Jf 0 0 0
1 S h 1 S h Q2 h 3Sv 3Sv
h 0 Q3 0 0
0 0 0 v 3I h 3I h
2Sh 2 S h 0 0 Q1
4.4.1 Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit,
b b E 0 S h0 , I h0 , Rh0 , S v0 , I v0 1 ,0,0, 2 ,0 . v h
Kestabilan lokal titik kesetimbangan bebas penyakit artinya memeriksa kestabilan di sekitar titik E 0 pada Sistem (4.1). Dalam memeriksa kestabilan lokal untuk titik kesetimbangan bebas penyakit menggunakan matriks Jacobian.
37
Teorema 4.1: Untuk R0 1 , titik kesetimbangan bebas penyakit E 0 pada Sistem (4.1) stabil asimtotik lokal jika Q2 >
1b1 . h
Bukti: Berdasarkan matriks Jacobian di atas, maka matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan bebas penyakit atau J f E 0 menjadi:
J f E0
- h 2 I v0 1 I h0 0 0 2 I v 1 I h 0 0 0 h 0 0 0 0
1 S h0 1 S h0 Q2 h 3 S v0 3 S v0
1 S h0 1 S h0 Q2 h 3 S v0 3 S v0 h 0 Q3 0 0
0 0 0 v 0
h 0 Q3 0 0
0 0 0 v 3 I h0 3 I h0
2 S h0 2 S h0 0 0 Q1
2 S h0 2 S h0 0 0 Q1
dengan melakukan beberapa OBE pada matriks Jacobian di atas, diperoleh:
J f E0
h 0 0 0 0
1 S h0 1 S h0 Q2 h 3 S v0 3 S v0
- h 0 0 0 0
1 S h0
h
0
1 S h0 Q2
0
0
h 3 S v0 3 S v0
Q3 3 S v0
0
0
v
0
0
0
h 0 Q3 0 0
0 0 0 v 0
2 S h0 2 S h0 0 0 r3 3 S v 0 3 S vo Q1 r5 0 1 S h Q2
r2
2 S h0 0 0 2 3 S h0 S v0 0 Q1 r5 1 S h Q2 0 1 S h Q2 2 S h0
38
- h 0 0 0 0
1 S h0 1 S h0 Q2 h 3 S v0 3 S v0 0
h 0 Q3 3 S v0 0 0
2 S h0 0 2Sh 0 0 0 0 0 Q1 1 S h Q2 2 3 S h S v
0 0 0 v 0
dimisalkan, M 1 1 S h0 Q2 matriks diatas menjadi, - h 0 0 0 0
1 S h0 M1 h 3 S v0 3 S v0 0
h 0 Q3 3 S v0 0 0
2 S h0 2 S h0 0 0 M 1Q1 2 3 S h0 S v0
0 0 0 v 0
Langkah selanjutnya adalah mencari determinan I J f E 0 0 , untuk mendapatkan nilai eigen dari matriks Jacobian bebas penyakit. 0 - h 0 0 0 0 0 0 1 0
1 S h0 M1 h 3 S v0 3 S v0 0
h 0 Q3 3 S v0 0 0
0 0 0 v 0
0 0 0 0 - h 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 S h0
h
0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
M1
0
0
h 3 S v0 3 S v0
Q3 3 S v0
0
0
v
0
0
0
2 S h0 2 S h0 0 0 0 0 0 M 1Q1 2 3 S h S v 0 0 0 M 1Q1 2 3 S h0 S v0 2 S h0 2 S h0
h
1S h0
h
0
2 S h0
0
M1
0
0
2 S h0
0
h 3Sv0
Q33Sv0
0
0
0
3Sv0
0
v
0
0
0
0
0
M 1Q1 2 3S h0 Sv0
0
39
h
M1
0
0
2 S h0
h 3 S v0
Q3 3 S v0
0
0
3 S v0
0
v
0
0
0
0
M 1Q1 2 3 S h0 S v0
h Q3 3 S v0
M1
0
2 S h0
3 S v0
v
0
0
0
h Q3 3 S v0 v M 1 0
dari
determinan
tersebut
M 1Q1
0
0 2 3 S h0 S v0
2 S h0 M 1Q1 2 3 S h0 S v0
diperoleh
0
persamaan
karakteristik
h Q3 3 S v0 v M 1 M 1Q1 2 3 S h0 S v0 0 , sehingga nilai eigennilai eigennya diperoleh sebagai berikut:
1 h < 0 ,
2 Q3 3S0v < 0 ,
3 v < 0 , 4 M 1 , 5 M 1Q1 2 3 S h0 S v0 .
Berdasarkan
nilai
eigen
4 < 0 M 1 < 0 1 S h0 Q2 < 0 , 1
tersebut,
dengan
dapat
mengganti
dijelaskan nilai
S h0
bahwa diperoleh:
b1 b b Q2 < 0 Q2 > 1 1 1 1 . h h h
Selanjutnya, 5 < 0 M 1Q1 2 3 S h0 S v0 < 0 , dengan mengganti nilai M 1 , S h0 , dan S v0 diperoleh:
b bb b b b 1 1 Q 2 Q1 2 3 1 2 < 0 1 1 Q 2 Q1 2 3 1 2 < 0 h v h h v h
bb Q1 1b1 Q1Q2 2 3 1 2 < 0 h h v
(4.12)
Persamaan (4.12) dikalikan dengan h v diperoleh: v Q1 1b1 h v Q1Q 2 2 3 b1b2 < 0 2 3 b1b2 v Q1 1b1 h v Q1Q 2 < 0
b b v Q1 1b1 b b v Q1 1 h v Q1Q2 2 3 1 2 1 < 0 h v Q1Q2 1 2 3 2 1 < 0 h v Q1Q2 h v Q1Q2 h v Q1Q2 R0 1 < 0
40
sehingga berdasarkan Teorema (4.1) dengan R0 1 , maka dapat disimpulkan bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit Q2 >
E 0 stabil asimtotik lokal jika
1b1 . h
4.4.2 Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Endemik Penyakit,
E * S h* , I h* , S v* , I v*
Q1Q2 v 3 I h* 3b2 I h* b2 * , I , , h * v 3 I h* Q1 v 3 I h* 2 3b2 1Q1 v 3 I h
.
Kestabilan lokal titik kesetimbangan endemik penyakit artinya memeriksa kestabilan di sekitar titik E * pada Sistem (4.1). Dalam memeriksa kestabilan lokal untuk titik kesetimbangan endemik penyakit juga menggunakan matriks Jacobian.
Teorema 4.2: Titik kesetimbangan endemik penyakit E * pada Sistem (4.1) stabil asimotik lokal.
Bukti: Sama halnya dengan penyelesaian pada titik kesetimbangan bebas penyakit, sehingga diperoleh matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan endemik penyakit yaitu:
J f E*
- h 2 I v* 1 I h* 2 I v* 1 I h* 0 0
- h 2 I v* 1 I h* 2 I v* 1 I h* 0 0
dimisalkan
1 S h*
0
1 S h* Q2
0
3 S v* 3 S v*
v 3 I h* 3 I h*
1 S h*
0
1 S h* Q2
0
3 S v* 3 S v*
v 3 I h*
M 1 h 2 I v* 1 I h*
dan
3 I h*
2 S h* 2 S h* 0 Q1 2 S h* 2 S h* 0 Q1
M 2 2 I v* 1 I h*
dilanjutkan dengan
melakukan beberapa OBE pada matriks di atas, diperoleh:
41
J f E*
- M 1 M 2 0 0 - M 1 0 0 0
1 S h* 1 S h*
0
Q2
0
3 S v* 3 S v*
v 3 I h* 3 I h*
1 S h* S* Q2 h 1 h M1 0
v
3 S v*
3 I h*
dimisalkan M 3 Q2
1 S h*
0
M3
0
0
v
3 S v*
3 I h*
- M 1 0 0 0
1 S h* M3 0
0 0 v
3 S v*
0
- M 1 0 0 0
1 S h* M3 0
0 0 v
3 S v*
0
- M 1 0 0 0
0
r2 1 h r1 M1 r3 r4
2 S h* h 2 S h* M1 Q1 Q1
h 1 S h* S* dan M 4 h 2 h matriks di atas menjadi, M1 M1
- M 1 0 0 0
dimisalkan M 5
0
2 S h* 2 S h* 0 Q1
Q1 v 3 I h* v
1 S h*
0
M3
0
0
v
3 S v*
0
2 S h* M4 Q1 Q1
I* r4 3 h r3 v * 2Sh M4 Q1 Q1 3 I h* Q1 v 2 S h* M4 Q1 Q1 v 3 I h* v
matriks di atas menjadi, 2 S h* M4 r4 M 4 r2 M 5 Q1 M 5
42
- M 1 0 0 0
1 S h* M S* M3 4 3 v M5 0
v
3 S v*
0
0 0
2 S h* 0 Q1 M 5
Langkah selanjutnya adalah mencari determinan I J f E * 0 , untuk mendapatkan nilai eigen dari matriks Jacobian bebas penyakit. 0 0 0 - M 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
1 S h* M S* M3 4 3 v M5 0
v
3 S v*
0
0 0 0 - M 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 S h* M S* M3 4 3 v M5 0
0
v
3 S v*
0
1 0 0 0
M1 0 0 0
1 S h* M S* M3 4 3 v M5 0 3 S v*
M 4 3 S v* M5 0 3 S v*
M3 M1
M 1 v dari
determinan
M5
0
0
0
v 0
Q1 M5
0
0
v 0
M 4 3 S v* M5 3 S v*
2 S h* 0 0 Q1 M 5
2 S h*
diperoleh
M 1 v M 3 M 4 3 S v M 5 0 , *
0
0
M3
tersebut
2 S h* 0 0 Q1 M 5
0
0
Q1 0 M5
0
0
M5
persamaan sehingga
nilai
karakteristik eigen-nilai
43
eigennya 3 M 3
diperoleh
sebagai
1 M 1 < 0 ,
berikut:,
2 v < 0 ,
M 4 3 S v* , 4 M 5 < 0 . M5
Dari nilai eigen-nilai eigen tersebut dapat dijelaskan bahwa:
3 < 0 M
3
M 4 3 S v* S* < 0 Q 2 h 1 h M5 M1
h 2 S h* 3 S v* M 1 Q I* < 0 1 v 3 h v
Q2 M 1 h 1S h* S *S * h v 2 3 h v* < 0 M1 Q1M 1 v 3 I h
(4.13)
Persamaan (4.13) di atas dikalikan dengan Q1 M 1 v 3 I h* diperoleh:
Q1 Q2 M 1 h 1 S h* v 3 I h* h v 2 3 S h* S v* < 0 v Q1Q 2 M 1 h v Q1 1 S h* Q1Q 2 3 I h* M 1 h Q1 1 3 I h* S h* h v 2 3 S h* S v* < 0
dengan mengganti nilai M 1 , diperoleh:
v Q1Q2 h 2 I v* 1 I h* h v Q11S h* Q1Q2 3 I h* h 2 I v* 1 I h* h Q113 I h* S h* h v 2 3 S h* S v* < 0 h v Q1Q2 v Q1Q2 2 I v* v Q1Q2 1 I h* h v Q1 1 S h* h Q1Q2 3 I h* Q1Q2 2 3 I h* I v* 2
Q1Q2 1 3 I h* h Q1 1 3 I h* S h* h v 2 3 S h* S v* < 0
dengan mengganti nilai S h* , S v* dan I v* diperoleh: 3b2 I h*
h v Q1Q2 v Q1Q2 2
Q1 v 3 I h* 3b2 Ih*
v Q1Q2 1I h* h v Q11
2 Q1Q213Ih* * Q1 v 3Ih
hQ1Q23Ih*
Q1Q223Ih*
h v 2 3
Q1Q2 v 3 I h* 2 3b2 Q1 1 v 3 I h*
h vQ1Q2
v
2
* 3 h
vQ1Q21Ih*
v
2 3 2
v
1 1
* 3 h * 3 h
hQ113Ih*
Q1Q2 v 3Ih*
23b2 Q11 v 3Ih*
b2 * I < 0 3 h v
h vQ12Q21 v 3Ih* 2 3 2
2 * h 1 1 3 2 h
2 3b2 Q11 v 3 I h*
QQ I I b Q I Q Q I I QQ b <0 b Q I b Q I
vQ223b2 Ih*
Q1Q213Ih*
Q1Q2 v 3 I h*
1 1
* h 1 2 3 h
* 3 h
v
h v 1 2 2 3 2
2 3 2
1 1
v
* 3 h
2
Q2232b2 Ih* v 3Ih*
(4.14)
44
Persamaan (4.14) dikalikan dengan 2 3b2 Q11 v 3 I h* v 3 I h* , diperoleh:
Q Q I b Q I I Q Q I Q Q I b Q I I Q b I b Q Q Q I b Q I I Q Q I I Q Q b I < 0
I I I
h v Q1Q2 2 3b2 Q11 v 3 I h* v 3 I h* v Q2 2 3b2 I h* 2 3b2 Q11 v 3 I h* v
1
* 2 1 h
2
* h 1 2 3 h
1
1
2
1 1
2 3 2
*2 2 1 3 h
h v
3 2
1 1
2 3 2
2
3 2
v
* 3 h
v
1 1
* 3 h
v
* 3 h
v
* 3 h
* 3 h
v
2 1
2 1
2 *2 2 2 3 2 h
* 3 h
v
h v
2 h 1 1 3
* 3 h
v
2 3 2
* 2 h
v
v
1 1
v
* 3 h
v
* 3 h
* 3 h
* 3 h
* 3 h
v
2 h v Q1Q2 v 2 3b2 v2 Q1 1 v Q1 1 3 I h* 2 32 b2 I h* v Q1 1 3 I h* Q1 1 32 I h*
v Q 2 2 3 b2 I h* 2 3 b2 v Q1 1 Q1 1 3 I h* v Q1Q 2 1 I h* v 2 3 b2 v2 Q1 1 2 2 vQ113 I h* 2 32b2 I h* vQ113 I h* Q1132 I h* h vQ12Q2 1 v2 2 v 3 I h* 32 I h* 2 h Q1Q2 3 I h* v 2 3b2 v2Q11 v Q11 3 I h* 2 32b2 I h* v Q11 3 I h* Q11 32 I h*
2
2
Q2 2 32 b2 I h* 2 3 b2 v Q1 1 Q1 1 3 I h* Q1Q2 1 3 I h* v 2 3 b2 v2 Q1 1
2 v Q1 1 3 I h* 2 32 b2 I h* v Q1 1 3 I h* Q1 1 32 I h* h Q12 1 3Q2 I h* v2 2 v 3 I h*
2 32 I h* h v Q1Q2 2 3 b2 v 3 I h* < 0
h v2 Q1Q 2 2 3 b 2 h v3 Q12 Q 2 1 h v2 Q12 Q 2 1 3 I h* h v Q1Q 2 2 32 b 2 I h* 2
h v2 Q12 Q 2 1 3 I h* h v Q12 Q 2 1 32 I h* v Q 2 22 32 b22 I h* v2 Q1Q 2 1 2 3 b2 I h* 2
v Q1Q 2 1 2 32 b2 I h* v2 Q1Q 2 1 2 3 b2 I h* v3 Q12 Q 2 12 I h* v2 Q12 Q 2 12 3 I h* 2
2
2
3
v Q1 Q 2 1 2 32 b 2 I h* v2 Q12 Q 2 12 3 I h* v Q12 Q 2 12 32 I h* h v3 Q12 Q 2 1 2
2 h v2 Q12 Q2 1 3 I h* h v Q12 Q2 1 32 I h* h v Q1Q2 2 32 b2 I h* h v2 Q12 Q2 1 3 I h* 2
2
2
h v Q12 Q2 1 32 I h* h Q1Q2 2 33 b2 I h* h v Q12 Q2 1 32 I h* h Q12 Q2 1 33 I h* 2
2
3
Q2 22 33 b22 I h* v Q1Q2 1 2 32 b2 I h* Q1Q2 1 2 33 b2 I h* v Q1Q2 1 2 32 b2 I h* 2
3
2
3
3
2
3
v2 Q12 Q 2 12 3 I h* v Q12 Q 2 12 32 I h* Q1Q 2 1 2 33 b 2 I h* v Q12 Q 2 12 32 I h* 4
3
Q12 Q 2 12 33 I h* h v2 Q12 Q 2 1 3 I h* 2 h v Q12 Q 2 1 32 I h* h Q12 Q 2 1 33 I h* h v2 Q1Q2 2 3b2 h v Q1Q2 2 32 b2 I h* < 0
45
4
3
I h* Q12 Q2 12 33 I h* v Q12 Q2 12 32 h Q12 Q2 1 33 Q1Q2 1 2 33b2 v Q12 Q2 12 32
2
Q1Q2 1 2 33b2 v Q12Q2 12 32 hQ12Q2 133 I h* h v Q12Q2 132 v Q1Q2 1 2 32b2 v2 Q12 Q2 12 3 v Q1Q2 1 2 32 b2 v2 Q12 Q2 12 3 h v Q12 Q2 1 32 h v Q12 Q2 1 32 h Q1Q2 2 33b2 h v Q12 Q2 1 32 Q2 22 33b22 v Q1Q2 1 2 32 b2 v Q1Q2 1 2 32 b2
v2Q12Q2 12 3 2h vQ12Q2 132 I h* h v2Q12Q2 13 h vQ1Q2 2 32b2 h v2Q12Q2 13 v Q2 22 32 b22 v2 Q1Q2 1 2 3b2 v2 Q1Q2 1 2 3b2 v3Q12 Q2 12 2 h v2 Q12 Q2 1 3 h v Q1 Q 2 2 32 b 2 h v2 Q12 Q 2 1 3 h v2 Q12 Q 2 1 3 h v Q1 Q 2 2 32 b 2
h v2 Q1Q 2 2 3 b2 h v3 Q12 Q 2 1 h v3 Q12 Q 2 1 h v2 Q1Q 2 2 3 b2 < 0 4
3
I h* Q 12 Q 2 12 33 I h* 2 v Q 12 Q 2 12 32 Q 1 Q 2 1 2 33 b 2 Q 1 Q 2 1 2 33 b 2
2
v Q12 Q 2 12 32 I h* v Q1Q 2 1 2 32 b 2 3 v Q1Q 2 1 2 32 b 2 3 v2 Q12 Q 2 12 3
h Q 1 Q 2 2 33 b 2 Q 2 22 33 b 22 I h* h v Q 1 Q 2 2 32 b 2 v Q 2 22 32 b 22
v2 Q1Q2 1 2 3b2 v2 Q1Q2 1 2 3b2 v3Q12 Q2 12 < 0
4 3 1 I h* Q12 Q 2 12 33 I h* 2 v Q12 Q 2 12 32 Q1Q 2 1 2 33 b 2 h v Q12 Q 22 1 32 b1
b1 2 3b2 v Q11 *2 b b Q 3 I h v Q1Q2 1 2 32b2 h v2Q12Q22 13 1 2 3 2 v 1 1 h v Q1Q2 b1 h v Q1Q2
h Q1Q2 2 33b2 Q2 22 33b22 I h* h v Q1Q2 2 32b2 v Q2 22 32b22 v2Q1Q2 1 2 3b2
1 I h* h v Q1Q 2 2 32 b 2 v Q 2 22 32 b 22 v2 Q1Q 2 1 2 3 b 2 h v3 Q12 Q 22 1 b1 b1 2 3 b2 v Q1 1 < 0 h v Q1Q2
4 3 1 I h* Q12 Q2 12 33 I h* 2 v Q12 Q2 12 32 Q1Q2 1 2 33 b2 h v Q12 Q22 1 32 R0 b1 2 3 I h* v Q1Q 2 1 2 32 b 2 h v2 Q12 Q 22 1 3 R 0 h Q1Q 2 2 33 b 2 Q 2 22 33 b 22 b1 1 I h* h v Q1Q2 2 32 b2 v Q2 22 32 b22 v2 Q1Q2 1 2 3 b2 h v3 Q12 Q22 1 R0 < 0 b1
46
sehingga berdasarkan Teorema (4.1) maka dapat disimpulkan bahwa titik kesetimbangan endemik penyakit E * stabil asimtotik lokal.
4.4.3 Kestabilan Global Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit,
b b E 0 S h0 , I h0 , Rh0 , S v0 , I v0 1 ,0,0, 2 ,0 . v h
Kestabilan global titik kesetimbangan bebas penyakit artinya memeriksa kestabilan titik E 0 pada Sistem (4.1). Dalam memeriksa kestabilan global untuk titik kesetimbangan bebas penyakit menggunakan fungsi Lyapunov.
Teorema 4.3: Titik kesetimbangan bebas penyakit pada Sistem (4.1) stabil asimtotik global jika Q2 Q3 > h h .
Bukti: Diberikan fungsi Lyapunov untuk titik kesetimbangan bebas penyakit sebagai berikut:
V t Q3 S h S h0 S v S v0 I v Q3 I h h Rh
(4.15)
Persamaan (4.15) diturunkan terhadap t , diperoleh: V ' t Q3 b1 h S h 2 S h I v 1 S h I h h Rh b2 v S v 3 S v I h 3 S v I h Q1 I v Q3 2 S h I v 1 S h I h Q2 I h h h I h Q3 Rh Q3b1 h Q3 S h Q3 2 S h I v Q3 1 S h I h h Q3 Rh b2 v S v 3 S v I h 3 S v I h Q1 I v Q3 2 S h I v Q3 1 S h I h Q2 Q3 I h h h I h h Q3 Rh Q3b1 h Q3 S h b2 v S v Q1 I v Q2 Q3 I h h h I h
dengan mengganti nilai b1 h S h0 dan b2 v S v0 , diperoleh: V ' t h Q3 S h0 h Q3 S h v S v0 v S v Q1 I v Q2 Q3 h h I h
h Q3 S h S h0 v S v S v0 Q1 I v Q2 Q3 h h I h
47
dari penyelesaian di atas dapat dijelaskan bahwa,
V ' t 0 Q2 Q3 > h h dan
V ' t 0 , hanya terpenuhi bila S h S h0 , S v S v0 , I v I v0 , I h I h0 , Rh Rh0 sehingga
berdasarkan Teorema (4.3) dapat disimpulkan bahwa E 0 stabil asimtotik global pada .
4.5
Simulasi Dengan mengambil parameter: b1 0.05 , b2 0.05 , 1 0.04 , 2 0.04 ,
3 0.04 ,
h 0.0009 ,
h 0.002 ,
h 0.021 ,
h 0.012 ,
v 0.001 ,
v 0.001 . Diperoleh R 0 93152.27456 , kemudian substitusikan nilai parameter
ke Sistem (4.1), dengan nilai awal S h 0 40 , I h 0 10 , Rh 0 10 , S v 0 35 , I v 0 10 . Menggunakan Maple13 diperoleh:
Sh Ih
Populasi manusia
Rh
Gambar 4.2 Dinamika populasi manusia
Dari gambar di atas dapat dijelaskan bahwa manusia yang rentan mengalami penurunan, manusia yang terinfeksi awalnya mengalami kenaikan namun dalam waktu yang lama mengalami penurunan, sedangkan manusia yang sembuh mengalami kenaikan.
48
Sv Populasi vektor
Iv
Gambar 4.3 Dinamika populasi vektor
Dari gambar di atas dapat dijelaskan bahwa vektor yang rentan mengalami penurunan, sedangkan vektor yang terinfeksi awalnya mengalami kenaikan namun dalam waktu yang lama mengalami penurunan.
49
BAB V PENUTUP 5.1
Kesimpulan Berdasarkan pembahasan, maka dapat disimpulkan sebagai berikut:
a.
Model dinamik interaksi antara vektor terinfeksi leptospirosis dan populasi manusia adalah: dSh b1 h Sh 2 Sh I v 1Sh I h h Rh dt dIh 2 Sh I v 1Sh I h Q2 I h dt dRh h I h Q3 Rh dt dSv b2 v Sv 3 Sv I h dt dIv 3Sv I h Q1I v dt
dengan, Q1 v v , Q2 h h h , Q3 h h . nilai awal, S h 0 0 , I h 0 0 , Rh 0 0 , S v 0 0 , I v 0 0 Daerah penyelesaiannya adalah: b b S h , I h , Rh , S v , I v R 5 : S h , I h , Rh , S v , I v 0; N h 1 ; N v 2 h v
b.
Terdapat dua titik kesetimbangan pada model dinamik interaksi antara vektor terinfeksi leptospirosis dan populasi manusia, yaitu: 1) Titik kesetimbangan bebas penyakit,
b b E 0 S h0 , I h0 , Rh0 , S v0 , I v0 1 ,0,0, 2 ,0 v h
2) Titik kesetimbangan endemik penyakit,
E * S h* , I h* , S v* , I v*
Q1Q2 v 3 I h* 3b2 I h* b2 * , I , , h * v 3 I h* Q1 v 3 I h* 2 3b2 Q1 1 v 3 I h
.
50
c.
Jika R0 1 dan Q2 >
1b1 , maka titik kesetimbangan bebas penyakit E 0 stabil h
asimtotik lokal. d.
Titik kesetimbangan endemik penyakit E * stabil asimtotik lokal.
e.
Jika Q2 Q3 > h h , maka titik kesetimbangan bebas penyakit pada Sistem (4.2) stabil asimtotik global pada .
5.2
Saran Pada tugas akhir ini membahas tentang model dinamik interkasi antara
vektor terinfeksi leptospirosis dan populasi manusia dengan menggunakan asumsi dan parameter tertentu, untuk itu kepada
pembaca disarankan
untuk
menambahkan asumsi-asumsi lain yang mungkin diperlukan dalam perkembangan model tersebut supaya lebih sempurna.
51
DAFTAR PUSTAKA Hale, J. K. dan Kocak, H. Dynamic and Bifurcation. Springer-verlag. New York. 1991. Kongnuy, Rujira. Local Stability of Equilibria: Leptospirosis. Word Akademi of Science, Engineering and Technology, 66. 2012. Khalil, H. K. Nonlinear Systems. Prentice-hall. Upper Saddle River. NJ. 2nd Edition.1996. Kurdhi, N. A. Analisis Model Dinamika Virus dalam Sel Tubuh dan Pengaruh Respon Imun CTL. Makalah Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sebelas Maret. Surakarta. Poloengan, Masniari dan Iyep Komala. Mewaspadai Leptospirosis di Indonesia Sebagai Penyakit Zoonosis. Artikel Penelitian Fakultas Peternakan IPB, Bogor. Perko, L. Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-verlag, New York. 1991. Pongsuumpun, P. dkk. Age Structural Transmission Model for Leptospirosis, The Third International Symposium on Biomedical Engineering, 411-416, 2008. Umbari, H. A. Model SIS (Suspectible, Infectives, Suspectible) dengan Pertumbuhan Alami dan Proses Migrasi. Tugas Akhir Mahasiswa UIN SUSKA Riau, Pekanbaru. 2012. Wiggins, S. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and Chaos. Springer-Verlag, New York. 1990. Zaman, Gul, dkk. Modeling Dynamical Interactions between Leptospirosis Infected Vector and Human Population, Applied Mathematical Sciences, vol. 6, 2012.
52
