Peluang
Peluang dan Kejadian
Peluang Bersyarat
Peubah Acak dan Nilai Harapan
Kovarian dan Korelasi
1.1
PELUANG DAN KEJADIAN
Misalkan terdapat eksperimen. S disebut ruang sampel, adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari eksperimen. Contoh 1.1a : -
Eksperimen : Pelemparan satu mata uang logam sebanyak 1x Ruang sampel,
={ , }
Keterangan : M = muka ; B = belakang. -
Eksperimen : Pelemparan 1 buah dadu sebanyak 1x Ruang sampel,
-
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eksperimen : Pelemparan 1 buah dadu sebanyak 2x Ruangsampel,
=
{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)(4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
-
Eksperimen : Pacuan kuda dengan jumlah kuda pacu sebanyak r, yaitu 1,2,3,…,r. Hasil eksperimennya adalah susunan kuda yang masuk finish. Ruang sampel,
={
ℎ
1,2,3, … , }.
Contoh: Jika terdapat kuda pacu sebanyak 4 berarti
= 4. Jika hasil eksperimennya
adalah (1,4,2,3) berarti yang masuk finish pertama kali adalah kuda no.1, dilanjutkan dengan no.4, lalu no.3, dan yang terakhir masuk finish adalah no.3.
Misalkan terdapat eksperimen dengan ruang sampel ,…,
dengan
≥ 0,
= 1, … ,
dan ∑
= {1,2,3, … ,
= 1 dengan
} dan terdapat sejumlah
adalah peluang ke
dan
merupakan hasil dari eksperimen. Contoh 1.1b : -
Peluang munculnya M,B pada pelemparan mata uang logam sebanyak 1x,
∑ -
=
= 1/2
=
+
= 1.
Peluang hasil eksperimen dari pelemparan dadu sebanyak 2x, (, )
=
1 , 36
1 ≤ ≤ 6, 1 ≤ ≤ 6.
(, )
=1
Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel, S. Misalkan maka
adalah kejadian,
∈ .
Contoh : -
Kejadian munculnya muka pada pelemparan 1 mata uang logam sebanyak 1x
-
Kejadian munculnya (M,M) pada pelemparan 1 mata uang logam sebanyak 2x
-
Kejadian munculnya (1,4) pada pelemparan 1 buah dadu sebanyak 2x
-
Kejadian munculnya dadu pada pelemparan sepasang dadu sebanyak satu kali dengan jumlah dadu adalah 5.
Misalkan ( ) adalah peluang kejadian A maka ( )=∑∈
…………………………………………………………………………………………………………(1.1)
sehingga ( )=∑
= 1. ………………………………………………………………………………………………………(1.2)
Contoh 1.1c :
Misalkan eksperimen berupa pelemparan sepasang dadu sebanyak 1x. o
Jika kejadian, A, adalah jumlah mata dadu yang muncul adalah 7, maka = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} dan ( )=
o
Jika kejadian B, adalah jumlah mata dadu yang muncul adalah 8, maka ( )=
= .
( , )
+
( , )
+
( , )
+
( , )
+
( , )
=
5 36
Misalkan eksperimen berupa pacuan kuda yang terdiri dari 3 ekor kuda. Jika kejadian A, adalah kuda yang peryama masuk finish adalah kuda dengan no.1, maka
= {(1,2,3), (1,3,2)} dan ( ) =
Untuk setiap kejadian A, dimisalkan
, ,
+
, ,
, disebut komplemen dari A, adalah kejadian yang terdiri
dari seluruh kemungkinan hasil di S tapi tidak ada di A. Sehingga 1=
=
+ ∈
∈
= ( )+ ( Sehingga
(
)
) = 1 − ( )…………………………………………………………………………………………(1.3)
Komplemen dari ruang sampel S adalah kejadian null ∅. Karena ∅ = menggunakan persamaan (1.2) dan (1.3) diperoleh (∅) = 0.
, maka dengan
Untuk setiap kejadian A dan B dapat didefinisikan: ⋃ : gabungan dari kejadian A dan B, yaitu kejadian yang terdiri dari semua hasil yang ada di A, atau ada di B, atau ada keduanya di A dan B. A∩B : irisan dari kejadian A dan B, yaitu kejadian yang terdiri dari semua hasil yang dua – duanya ada di A dan ada di B. (Atau dapat ditulis
)
Contoh 1.1d: Eksperimen : pelemparan sepasang dadu sebanyak 1x Kejadian A : kejadian dengan jumlah mata dadu yang muncul adalah 10. Kejadian B : kejadian dengan mata dadu yang muncul adalh bilangan genap yang lebih dari 3, maka = {(4,6), (5,5), (6,4)} = {(4,4), (4,6), (6,4), (6,6)} Sehingga ⋃ = {(4,4), (4,6), (5,5), (6,4), (6,6)} = {(4,6), (6,4)}
Proposisi 1.1.1 ( ⋃ ) = ( )+ ( )− (
Contoh 1.1e (contoh di statler)
)
Peluang seorang lulus matematika adalah 2/3, dan ia lulus bahasa inggris adalah 4/9. Jika peluang lulus sekurang – kurangnya satu pelajaran diatas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua pelajaran itu? Jawab : Misal M = lulus matematika I = lulus bahasa inggris ( ) = 2/3, ( ) = 4/9, (
∪ ) = 4/5, ∪ ) = ( )+ ( )− (
∩ ),
(
∩ ) = ( )+ ( )− (
∪ ),
(
∩ )=
2 4 4 + − = 14/45 3 9 5
= ∅, maka kejadian A dan kejadian B disebut mutually exclusive atau disjoint, sehingga
Jika (
(
) = 0. Berdasarkan proposisi 1.1.1 maka ( ⋃ )= ( )+ ( )
Contoh: Berapa peluang mendapatkan jumlah dadu 7 atau 11 bila sepasang dadu dilemparkan? Jawab: A: kejadian jumlah dadu 7 ={(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} B: kejadian jumlah dadu 11 ={(5,6), (6,5)} Karena
= ∅, maka ( ⋃ ) = ( ) + ( )
( ⋃ )=(6/36+2/36) =8/36=2/9
1.2
PELUANG BERSYARAT
Peluang bersyarat didefinisikan dengan ( | )=
(
)
( )
… … … … … … … … … … … … … … … … … … ………………………………………………………(1.4)
( | ) : peluang bersyarat dari kejadian A jika diberikan kejadian B
Contoh 1.2a Sebuah koin dilemparkan 2x. Berapakah peluang bersyarat dari sisi yang muncul pada kedua pelemparan “muka” jika diberikan : a. Yang muncul pada pelemparan pertama adalah “muka” b. Munculnya “muka” dalam dalam 2x pelemparan tersebut, paling sedikit 1x
Jawaban contoh 1.2a Misalkan ruang sampel, Misalkan = {( ,
Maka
= {( ,
), ( , ), ( ,
)} ,
= {( ,
), ( , )}
= {( ,
), ( , ), ( ,
)}
), ( , )}.
a.
( | )=
(
b.
( | )=
(
)
( ) )
( )
=
({( , )}) ({( , ),( , )})
=
({( , )}) ({( , ),( , ),( , )})
=
= =
=
Dari persamaan (1.4) dapat ditulis (
) = ( ) ( | )…………………………………………………………………………………………………(1.5)
Contoh 1.2b Liat contoh di Walpole untuk cth pers 1.5
(
) = ( ) ( )………………………………………………………………………………………………………(1.6)
Liat penjelasan dan contoh di Walpole untuk pers 1.6
1.3
PEUBAH ACAK DAN NILAI HARAPAN
Peubah Acak adalah suatu fungsi yang mengaitkan setiap anggota di ruang sampel dengan bilangan riil.
Contoh 1.3a Misalkan peubah acak X
dinotasikan dengan jumlah mata dadu dari pelemparan sepasang
mata dadu. Nilai X yang mungkin adalah 2,3,4,…,12, dengan peluang ( = 2) = {(1,1)} = 1⁄36 , { = 3} = {(1,2), (2,1)} = 2⁄36,
{ = 4} = {(1,3), (2,2), (3,1)} = 3⁄36, { = 5} = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} = 4⁄36 , { = 6} = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} = 5⁄36, { = 7} = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} = 6⁄36, { = 8} = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} = 5⁄36, { = 9} = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} = 4⁄36 , { = 10} = {(4,6), (5,5), (6,4)} = 3⁄36 , { = 11} = {(5,6), (6,5)} = 2⁄36 , { = 12} = {(6,6)} = 1⁄36.
Jika X adalah peubah acak dengan nilai yang mungkin adalah =
peluang ∑
=
,
,…,
, maka himpunan dari
( = 1, … , ) disebut distribusi peluang dari peubah acak X dan = 1.
Definisi ,
Jika X adalah peubah acak dari yaitu [ ] = ∑
=
,…
, maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan [ ],
.
Proposisi Untuk peubah acak
,
,…,
,
=
.
Definisi ( ) didefinisikan dengan
Variansi dari , dinotasikan dengan
( ) = [( − [ ]) ].
Proposisi Jika
,…,
adalah peubah acak saling bebas, maka ∑
=∑
.
Kovariansi dan Korelasi “Introduction to Mathematical Finance, Sheldon M.Ross” halaman 13 sd. 15.
