1. Kejadian a. Ruang Sampel dan Titik Sampel Ruang Sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu kegiatan Contoh : Kegiatan melempar sebuah dadu hasil atau angka yang mungkin muncul adalah 1 , 2 , 3 , 4 ,5 , 6 Dalam himpunan ruang sampel disebut Semesta 𝑆 = 1 , 2 , 3 , 4 ,5 , 6 Titik Sampel adalah adalah anggota anggota dari ruang sampel Titik sampel pada contoh di atas adalah 1 , 2 , 3 , 4 , 5 dan 6 Dalam himpunan titik sampel adalah anggota himpunan yang membentuk himpunan b. Kejadian/Peristiwa/Event Kejadian atau Peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian Sederhana adalah kejadian yang hanya mempunyai 1 titik sampel Pada kegiatan melempar dadu contoh kejadian sederhana adalah 1 , 2 , 3 , 4 , 5 dan 6 Kejadian Majemuk adalah kejadian yang mempunyai lebih dari 1 titik sampel Pada kegiatan melempar dadu contoh kejadian majemuk adalah 1 , 3 , 2 , 3 , 4
c. Kejadian Saling Lepas dan Saling Bebas Kejadian Saling Lepas adalah dua atau lebih kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersamaan Contoh : Pada pelemparan sebuah dadu sebanyak satu kali saat angka 1 muncul maka angka 2 , 3 , 4 , 5 atau 6 tidak akan muncul pada saat yang sama Kejadian munculnya angka 1 , 2 , 3 , 4 , 5 atau 6 pada pelemparan dadu sebanyak satu kali dikatakan saling lepas. Jumlah kemungkinan kejadian yang muncul adalah 6 kejadian yaitu munculnya angka 1 , 2 , 3 , 4 , 5 atau 6 Jumlah pengabungan kejadian yang saling lepas sama dengan jumlah dari masing masing kejadian individu Kejadian Saling Bebas adalah dua atau lebih kejadian yang dapat terjadi secara bersamaan dan tidak saling terpengaruh Contoh : Pelemparan 2 dadu secara bersamaan pasangan kejadian angka yang muncul pada dadu I dan dadu II tidak saling berpengaruh. Jika angka 1 muncul pada dadu I maka sembarang angka pada dadu II bisa muncul bersamaan. Kejadian pada dadu I dikatakan saling bebas dengan kejadian pada dadu II Jumlah pasangan kejadian pada dua dadu yang dilempar secara bersamaan adalah 6×6 = 36 pasang kejadian yaitu 1 , 1 , 1 , 2 , ... , 6 , 5 , 6 , 6 Jumlah pengabungan kejadian yang saling bebas sama dengan perkalian dari masing masing kejadian individu
d. Kejadian Bersyarat dan Permutasi Misalkan Adi , Budi dan Catur akan dipilih menjadi Ketua dan Wakil Ketua kelas dan tidak diperbolehkan seseorang merangkap jabatan, maka kemungkinan pasangannya adalah Kejadian Gabungan Ketua Wakil Ketua 1 Adi Budi 2 Adi Catur 3 Budi Adi 4 Budi Catur 5 Catur Adi 6 Catur Budi Perhatikan gabungan nomor 1 dan 3. Urutan Adi ketua dan Budi wakil ketua berbeda dengan Budi ketua dan Adi wakil ketua. Urutan disini menjadi penting Ada 3 calon untuk menempati posisi ketua (Adi , Budi dan Catur) maka akan ada 3 kemungkinan kejadian nama murid menempati posisi ketua. Jika seseorang telah dipilih menjadi ketua maka calon untuk menempati posisi wakil ketua tersisa 2 calon saja. Jumlah kemungkinan pasangan yang terpilih untuk posisi ketua dan wakil adalah 3×2 = 6 Permasalahan di atas dikenal dengan permutasi Permutasi adalah cara penggabungan kejadian dari dari beberapa kejadian dengan cara memperhatikan urutan Jumlah permutasi atau penggabungan 𝑟 kejadian dari 𝑛 kejadian 𝑛! 𝑃!! = 𝑛−𝑟 ! Dimana 𝑛! disebut faktorial 𝑛! = 1×2×3× ⋯× 𝑛 − 2 × 𝑛 − 1 ×𝑛 dan 1! = 1 dan 0! = 0
Untuk contoh di atas ada 2 posisi yang akan diisi 𝑟 = 2 yaitu ketua dan wakil ketua oleh 𝑛 = 3 calon !! !! !×!×! 𝑃!! = = = = 6 !!! ! !! ! Berapa banyak kata yang berbeda dapat dibuat dari huruf “KAKAK”? Jika masing masing huruf dianggap berbeda maka ada !! !! !×!×!×!×! 𝑃!! = = = = 120 cara mengurutkan !!! ! !! ! Anggap A berbeda yaitu A! dan A! dan perhatikan KA! KA! K dianggap berbeda dengan KA! KA! K Pada kasus di atas urutan 2 huruf A yang sama dihitung 2 kali !! !! !×! 𝑃!! = = = = 2 !!! ! !! ! Begitu juga dengan 2 huruf K yang sama dihitung 6 kali !! !! !×!×! 𝑃!! = = = = 6 !!! ! !! !
Sehingga jumlah kata yang dapat dibuat dari huruf “KAKAK” adalah !!!
!!! !!!
!"#
= !×!
= 10
Secara umum jika ada 𝒏 titik sampel yang akan diurutkan dan ada 𝒏𝟏 , 𝒏𝟐 , ⋯ 𝒏𝒊 titik sampel yang sama, maka banyaknya cara mengurutkan adalah 𝑛! 𝑃!!! ,!! ,⋯,!! = 𝑛! ! 𝑛! ! ⋯ 𝑛! !
Tiga orang duduk di meja bundar seperti pada gambar di bawah
Urutan duduk ketiga orang adalah sama pada ketiga gambar Sebelah kiri A duduk B dan sebelah kanan A duduk C pada ketiga gambar walaupun menempati kursi yang berbeda Permasalahan di atas dikenal dengan permutasi siklis Jika 𝑟 = 3 orang akan menduduki 𝑛 = 3 kursi maka banyaknya cara adalah !! !! !! 𝑃!! = = = = 3! !!! ! !! ! Tetapi ada 3 urutan yang sama pada meja bundar maka hasilnya harus di bagi 3 !! !×!! !! ! 𝑃!"#$"! = = = = 2! ! ! ! Pada permutasi siklis berlaku ! 𝑃!"#$"! = 𝑛 − 1 !
e. Kejadian Bersyarat dan Kombinasi Misalkan Adi , Budi dan Catur adalah penggemar bulutangkis dan mereka akan membentuk team ganda buluntangkis. Team ganda yang terdiri dari Adi dan Budi atau Budi dan Adi dianggap satu. Urutan disini tidak diperhatikan seperti pada kasus ketua dan wakil ketua. Team Ganda Nama Pasangan 1 Adi -‐ Budi 2 Adi -‐ Catur 3 Budi -‐ Catur Permasalahan di atas dikenal dengan permutasi Kombinasi adalah cara penggabungan kejadian dari dari beberapa kejadian dengan cara tidak memperhatikan urutan Jumlah kombinasi atau penggabungan 𝑟 kejadian dari 𝑛 kejadian adalah 𝑛! 𝐶!! = 𝑟! 𝑛 − 𝑟 ! Untuk contoh di atas dibutuhkan 𝑟 = 2 orang untuk membentuk team ganda bulutangkis yang dipilih dari 𝑛 = 3 pemain !! !! !×!×! 𝐶!! = = = = 3 !! !!! ! !!!! !×!×!
