Milé řešitelky, milí řešitelé,

Milé řešitelky, milí řešitelé, do rukou se vám dostávají další dvě série Pikomatu, které vám zasíláme jako vánoční dárek. Doufáme, že svátky prožijete v rodinné pohodě a že Ježíšek bude štědrý. Obsah obálky Pokud jste po rozbalení obálky našli ročenku minulého ročníku Pikomatu, vězte, že jste jedním z úspěšných řešitelů za uplynulý rok. V ročence jsou nejen úlohy, ale i informace o veškerých akcích pořádaných Pikomatem v uplynulém roce. Kdo ročenku nedostal a měl by o ni zájem, ať nám napíše. Ročenku vám rádi pošleme. Dále v obálce naleznete svá opravená řešení a spolu s nimi pokračování napínavého příběhu se zadáním úloh 3. a 4. série. Soustředění V těchto dvou sériích můžete svými výsledky ještě rozhodnout o své účasti na jarním soustředění. Proto si na těchto sériích dejte záležet stejně jako na minulých, jelikož každý z vás může zamíchat pořadím a dostat se na seznam pozvaných. Je to jen na vás. Vše potřebné se včas dozvíte na stránkách Pikomatu. Tedy neváhejte a řešte! Tábor Ani ti, kdo se nedostanou na soustředění, nemusí smutnit, jelikož i pro ně tu máme příležitost poznat spoustu nových kamarádů, a to na letním táboře. Tento rok se bude tábor Pikomatu MFF UK konat od 4. 8. do 18. 8. 2013 v Uhelné Příbrami (více na stránkách tábora http://pikomat.mff.cuni.cz/tabor/2013). Novinky a kontakt Další informace o Pikomatu, včetně zadání naleznete na pikomat.mff.cuni.cz či na Facebooku. Veškeré dotazy posílejte na e-mail [email protected]. Vaši organizátoři

pikomat.mff.cuni.cz

Pikomat MFF UK, 28. ročník, 3. série

Zadání úloh 3. série 28. ročníku Termín odeslání: 21. 1. 2013 Je úžasné nechat se vytáhnout z postele slunečními paprsky a po otevření okna nasát svěží vzduch vonící čerstvou hlínou. Něčemu takovému jsem v smogu a ruchu Londýna už dávno odvykl. Krásnou dovolenou mi David zařídil, pomyslel jsem si. V tu chvíli se akorát ozvalo zaklepání na dveře a on vešel. „Zatímco ty sis tu ještě podřimoval, připravil jsem nám snídani. Mezitím se tu taky stavil strážník Boyle a přinesl mi zprávu z laboratoře. Musím říct, že jsi měl, samozřejmě, pravdu. Paní Edingtonová byla skutečně otrávena kyanidem.“ Spokojen, že jsem se nemýlil, jsem se na něj pousmál a odpověděl: „V tom případě bychom asi hned po snídani měli vyrazit do sídla Edingtonových a začít zjišťovat, co se v osudný den odehrálo, že?“ „Přesně tak, snad ti nebude vadit, když se tam vydáme pěšky. Venku je krásně, tak by byla škoda si toho neužít,“ dodal David. Když jsme vyšli ven, rozhlédl jsem se po Westfield Street, na níž Davidův dům stál. Byla to teprve nedávno postavená ulice na samém okraji Summerflow. Úloha č. 1: V ulici bylo několik stavebních parcel vedle sebe a na šesti z nich už stály domy, které měly čísla 1 až 6. Nemohl jsem si nevšimnout toho zvláštního uspořádání, že vždy od domu s číslem n byla parcela o n míst vlevo i vpravo volná (tedy pokud tam vůbec nějaká taková parcela byla). Zároveň mě napadlo, že je zde nejmenší možný počet parcel, pro které to může platit. Dokážete říct, kolik bylo ve Westfield Street parcel a jak mohlo kupříkladu vypadat rozmístění domů? Proč jich nemohlo být méně? Sídlo Edingtonových stálo téměř na opačném konci Summerflow, ale ani tak nám cesta k němu nezabrala více než čtvrt hodiny. Ještě ke všemu nám rychle utekla, neboť když jsme prošli kolem pekařství, David se ke mně otočil a vyhrkl: „Teď jsem si vzpomněl, že jsem si nedávno vymyslel pěknou úlohu.“ Úloha č. 2: Náš pekař má tady v Summerflow jenom stálé zákazníky. Dvě třetiny z nich si u něj kupují chleba, tři pětiny všech zákazníků kupují housky. Navíc šestina z těch, co si kupují housky, si koupí ještě rohlíky, avšak pouze rohlíky si kupují jen dva lidé. Dále vím, že 35 % lidí, kteří si k pekaři chodí pro chleba, si u něj housky nekupuje. Také mi prozradil, že lidí, kteří si u něj nekupují rohlíky, je o 9 víc než těch, kteří si od něj berou chleba, a že lidí, kteří si u něj kupují pouze chleba, je stejný počet jako dohromady lidí, kteří si kupují pouze chleba a rohlíky, a těch, Strana 2

Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Termín odeslání: 21. 1. 2013 již si kupují pouze housky a rohlíky. A ještě ti prozradím, že má i 13 takových zákazníků, jako jsem já, kteří si u něj nekupují žádný z těchto tří druhů pečiva, ale chodí k němu jenom pro koláče. Navíc všichni, kdo kupují koláče, nekupují nic jiného. Dokážeš mi teď z toho říct, kolik lidí si od našeho pekaře kupuje chleba, housky a rohlíky zároveň? Po chvíli usilovného přemýšlení jsem Davidovi odpověděl: „Asi vím, jak bych to řešil, ale bojím se, že takhle z hlavy bych ve výpočtu určitě udělal nějakou chybu.“ Málem vyskočil samou radostí, že mi konečně po dlouhé době dal takovou úlohu, kterou jsem nezvládl rychle vyřešit. První, na koho jsme u Edingtonových narazili, byla Amily Wrightová. Zrovna procházela halou a v každé ruce držela velký kufr. „Dobré ráno,“ pozdravil jsem ji s Davidem téměř současně, „snad se nehodláte stěhovat?“ „Dobrý den, už to tak vypadá, že budu muset. Kdo by mě tu taky chtěl. Bydlela jsem tu hlavně díky paní Edingtonové, dělaly jsme si navzájem docela příjemnou společnost. Jenže sídlo teď samozřejmě zdědí její synové a hádám, že hlavně John nebude chtít, abych zde dál zůstala. Tedy ne snad ani tak John, jako spíš ta jeho manželka. Nějak jsme si nikdy nepadly do noty. Pauline je bezpochyby chytré děvče, mám takový dojem, že snad dokonce studovala chemii, což se u tolika slečen jen tak nevidí, ale skončila, když se tam potkala s Johnem a poměrně záhy se za něj provdala. Byli do sebe bláznivě zamilovaní, a to podle mě nedělá dobrotu. Dva by se měli brát s rozumem, když vidí, že spolu opravdu zvládnou žít, a ne jen z nerozvážné mladické lásky. A to je možná to, proč jsme se už od našeho prvního setkání příliš nepohodly. Ona si zase o mně myslí, že jsem příliš nudná a usedlá, to vím moc dobře. Teď už to však mezi Pauline a Johnem dávno není takové. Však se podle toho také chová. Představte si,“ začala větu, ale když se nad schodištěm otevřely dveře, odmlčela se. „Ale ne, nebudu vám tady povídat nějaké klepy a pomluvy, stejně vás zajímá spíš to, co se týká nebohé paní Edingtonové.“ „Ano, ano, máte pravdu,“ spustil David, který až doteď očividně neposlouchal a bloumal očima po místnosti, „dnes ráno nám potvrdili, že byla skutečně zavražděna. Někdo ji otrávil kyanidem. Nejspíš ho dostala během odpoledne či večera v nějakém jídle nebo pití. Máte ponětí o tom, co ten den jedla?“ „Nejsem si jistá, jestli si na všechno vzpomenu. Krom toho ji samozřejmě nehlídám na každém kroku, takže je možné, že byla otrávena něčím, o čem ani nevím. Odpoledne jsme si, ostatně jako každé odpoledne, daly náš oblíbený čaj pikomat.mff.cuni.cz

Strana 3

Pikomat MFF UK, 28. ročník, 3. série s mlékem a k němu sušenky. Připojila se k nám, bohužel k mojí nelibosti, jako posledních pár dní i Pauline Edingtonová. Čaj připravuji já a i s mlékem ho dělám do konvičky, ze které si pak obě naléváme. Já si ho ještě přislazovala, to ona nedělala. K večeři jsme se sešli hromadně s paní Edingtonovou, jejími syny a Pauline. Podávalo se, tuším, pečené jehněčí a k němu si většina lidí dala červené víno. Stejně tak i paní Edingtonová, ale ta ho vypila jen trochu, protože jí vůbec nechutnalo. Po večeři ještě Gladys obvykle servíruje moučník, ale teď si nevzpomínám, jaký to ten den byl, nebo zda vlastně vůbec nějaký byl.“ „Děkujeme, to nám zatím asi stačí,“ ukončil jsem vzpomínání slečny Wrightové a vydal se s Davidem směrem ke kuchyni. „Měli bychom se teď zajít podívat za tou kuchařkou a zjistit, jak to zde chodí s připravováním a servírováním jídla. Jestli se někdo může nepozorovaně dostat do kuchyně. Každopádně se mi zdá, že Amily to neudělala.“ „Mně se teda zdá, že to klidně být mohla, servírovala jí přeci čaj,“ odpověděl David. „Ale nalévala ho přeci ze společné konvičky, to by se musela otrávit taky.“ „To máš pravdu, ale není nějaká možnost, že by si třeba s cukrem do čaje přisypala protijed?“ „Ale ne, na kyanid žádný takový protijed neexistuje.“ „No dobře, tak ale mohla dát kyanid třeba do hrníčku paní Edingtonové, ještě než ho přinesla na stůl.“ „To mě nenapadlo,“ musel jsem chtě nechtě připustit, „ale stejně se mi to nezdá. Zapomínáme na motiv, proč by to vůbec dělala? Jak vidíš, teď se nejspíš bude muset z tohohle blahobytu stěhovat pryč.“ „Dobrá, ale co třeba dědictví?“ odpověděl David. „Uvidíme, až notář otevře závěť, ale pochyboval bych, že to bude nějaký závratný obnos,“ ukončil jsem náš rozhovor právě, když jsme vcházeli do kuchyně. Kuchařka Gladys Hillová zrovna stála u malého stolu v rohu kuchyně a připravovala na něm maso. „Není ten stůl nějaký malý na takové množství masa?“ zeptal jsem se hned ve dveřích. Kuchařka se lekla, očividně si nevšimla, že jsme již chvíli stáli ve dveřích a sledovali ji při práci. „Nedomluvila jsem se pořádně s truhlářem, u kterého jsem ho nechávala vyrobit,“ odpověděla Gladys. Úloha č. 3: „Napsal mi, že deska stolu bude mít tloušťku 30 mm, šířku 1176 mm a její délka bude nejmenší možná taková, aby šlo případně desku rozřezat beze zbytku na krychličky s celočíselnou délkou hrany a poskládat z nich krychli. No vy Strana 4


Termín odeslání: 21. 1. 2013 byste z toho snad věděl, jaká bude délka stolu?“ postěžovala si kuchařka. „A krom toho, ty jeho milimetry, je vidět, že se před pár lety přistěhoval z Německa a přinesl si s sebou i ten jejich hrozný metrický systém,“ dodala ještě rozhořčeně. „Ach ano, metrický systém,“ povzdechl jsem si vzpomenuv si na to, jak mě vždycky trápí, když si čtu odborné lékařské články publikované vědci z kontinentální Evropy. „Ale kvůli tomu tu asi nejsme, jak jistě tušíte,“ zasáhl rázně do našich úvah David, „potřebovali bychom vědět, co jste vařila k pondělní večeři a zda se v kuchyni pohyboval ještě někdo jiný.“ „Vzpomínám si, že ten den se měli sejít k večeři všichni, protože John, tedy mladý pan Edington, chtěl zase probírat nějaké ty svoje obchody s pozemky, a tak jsem na jeho přání dopoledne zašla k řezníkovi pro maso, abych mohla připravit jejich oblíbené jehněčí s mátovým sosem. Celé odpoledne už jsem pak trávila v kuchyni. To víte, mladý pán si řekne udělejte jehněčí, ale to není jen tak. Tomu člověk musí věnovat pěkného času, aby to bylo, jak se patří. Málem jsem ani moučník nestihla. No vidíte, to jsem vlastně ještě chvíli byla z kuchyně pryč, když jsem běžela do sklepa pro jablka, abych mohla udělat jablečný koláč s mandlemi. Po něm se zas může utlouct paní Edingtonová. Tedy,“ odmlčela se Gladys a pokřižovala se, „mohla. Dej jí pánbůh věčný pokoj.“ „Takže někdo by mohl kyanid opět přidat jedině do společného jídla, ale pak by se otrávili všichni včetně něj,“ špitl ke mně David a já jen pokýval hlavou. Položil proto kuchařce další otázku: „A během celého odpoledne nikdo do kuchyně nepřišel?“ „Co vím, tak tu byla jenom před pátou Amily pro horkou vodu na čaj, jinak snad nikdo.“ „Zajímavé,“ řekl jsem, „a jídlo jste servírovala na talíře už v kuchyni?“ „Kdepak, jehněčí jsem přinesla v pekáči na stůl a vedle toho omáčku a pečené brambory. Ať si nabere každý sám, jak je mu po chuti. Akorát koláč jsem rozkrájela na talířky už v kuchyni, pro Amily ho ještě přisladila, jak to má ráda, a pak jsem je všechny nesla do jídelny na podnose.“ „Aha, takže mohla dát otrávený kousek právě paní Edingtonové,“ špitl mi horlivě David. Gladys ho zaslechla, protože hned vyhrkla: „No nemyslete si, dala jsem před Amily ten její pocukrovaný kus a mezitím James ostatním rozdal ty zbylé, div mi podnos nevyrazil z ruky. A pak mě ani nenechal odejít umývat nádobí, protože řešili, kolik tak průměrný člověk utratí za měsíc, ale dělali s tím strašné cavyky.“ pikomat.mff.cuni.cz

Strana 5

Pikomat MFF UK, 28. ročník, 3. série Úloha č. 4: Chtěli zjistit, kolik dohromady utratí měsíčně všichni, kdo byli v místnosti, ale zároveň nikdo nechtěl, aby ostatní zjistili, kolik utratí on sám. Jak to mají udělat, když spolu mohou komunikovat jedině tak, že mohou pošeptat někomu nějaké číslo nebo nějaké číslo říct nahlas? „To je zajímavý problém, ale obávám se, že teď nemáme na jeho řešení čas,“ ukončil rozhovor David, „měli bychom jít navštívit Jamese Edingtona.“ Prošli jsme z kuchyně do haly a odtud po schodišti nahoru. Dveře do pracovny byly pootevřené, a tak jsem nahlédl dovnitř. James Edington zde však nebyl. Rozhlédl jsem se aspoň, zda tu nezahlédnu třeba něco podezřelého. Ničeho zvláštního jsem si ale nevšiml. Jenom mě zaskočilo to, co stálo na skříni vedle stolu. Usoudil jsem, že to jsou hodiny, protože na tom svítil nápis 12:45, který se po chvíli změnil na 12:46 (na obrázku 1), a skutečně zrovna na věži kostela odbilo tři čtvrtě na jednu. Úloha č. 5: Takové zvláštní hodiny bez ručiček, ale s číslicemi jsem ještě nikdy předtím neviděl. Každá číslice byla složena z několika čárek. Tyto hodiny upoutaly mou pozornost natolik, že jsem samozřejmě neodolal a začal přemýšlet, kolik existuje takových časů, které se na těchto hodinách zobrazí tak, že budou osově souměrné podle přímky vedené skrz ty dvě tečky uprostřed, jako třeba hodiny na obrázku 2. Pak jsem se ještě zamýšlel, kolik časů je osověsouměrných podle přímky vedené prostředními vodorovnými čárkami číslic. Víte to i vy?

Obr. 1

Obr. 2

Z mého zamyšlení mě vytrhl až hlas Amily Wrightové: „James tu není, jestli ho hledáte. Mám takový dojem, že se šel projít.“ „Děkujeme za informaci,“ řekl jsem a ještě se pro jistotu zeptal, „a John Edington tu zřejmě také není, že?“ „Není, ten vyrazil za notářem právě kvůli závěti chudinky paní Edingtonové. A když vás tu vidím, nemohla bych vás ještě poprosit, abyste mi pomohl odnést jeden kufr ven před dům? Měl by pro něj přijet strýc, už jsem se s ním domluvila, že se k němu brzy přestěhuju, tak posílám s předstihem nějaké věci. Ale postavte ho prosím někam, aby na něj zbytečně nesvítilo slunce, pokud to půjde.“ Strana 6


Termín odeslání: 21. 1. 2013 Úloha č. 6: Vzal jsem tedy kufr, měl rozměry tak 1, 8×2×3 stopy, a vyšel s ním ven. Bylo krátce po poledni, a tak slunce svítilo přímo z jihu a bylo, jak jsem odhadoval, 60° nad obzorem. Jediné, co tu na první pohled vrhalo obstojný stín, byla svislá rovná zídka u brány. Směřovala přesně od východu na západ a v tomto směru byla dlouhá 2,5 stopy. Vysoká byla 6 stop. Povedlo se mi do stínu této zídky schovat kufr tak, aby byl jednou stěnou souběžně se stěnou zídky a aby na něj nesvítilo slunce, jak si přála Amily? „Pojďme se projít,“ řekl jsem, když jsem se konečně zbavil kufru, „třeba někde potkáme Jamese.“ Ani jsem v tu chvíli netušil, jak brzy poté ho spatříme. „Dobrá, přinejmenším se při chůzi na čerstvém vzduchu výborně přemýšlí.“ Prošli jsme bránou a obcházeli jsme zahradu; chtěli jsme pokračovat dále pastvinami až k lesu. Zahradu lemoval vysoký živý plot, ale místy bylo trochu vidět dovnitř, takže se nám podařilo zahlédnout Pauline, jak míří k altánku na samém konci zahrady. Chvíli na to jsme odtamtud zaslechli nějaké hlasy, a tak jsme se nenápadně přiblížili k plotu, abychom mohli pozorovat, co se v altánku děje. K našemu velkému překvapení stál u zadní strany právě James. Pauline se s ním přivítala a ihned mu padla do náručí a vášnivě jej políbila. Překvapeně jsem se podíval na Davida. Ten rozhodil rukama, takže jsem viděl, že mu to stejnětak nejde do hlavy. Při tomto gestu bohužel zavadil o živý plot. James si toho nejspíš všiml, neboť pustil Pauline a podíval se naším směrem. Posunkem jsem proto raději Davidovi navrhl, že bychom měli jít dál. Když jsme byli už dostatečně daleko mezi pastvinami za zahradou, začal David nahlas uvažovat: „Tak ta Amily měla pravdu, když nám říkala, že mezi Pauline a Johnem už to dávno není takové.“ „Já si myslím, že to nejspíš věděla,“ odpověděl jsem mu, „chtěla nám přeci ještě něco říct, ale pak se zarazila.“ „No dobrá, tak tu máme jedno nešťastné manželství, ale nemyslím si, že by to mohlo mít příliš velký vliv na náš případ. Uvědom si, že jsme pořád ještě nezjistili ani to, jak kdo podal paní Edingtonové jed. Myslím si, že to nás teď musí zajímat mnohem víc.“ Na tato Davidova slova jsem nic neodpovídal. Mlčel jsem, přemýšlel a díval se po lukách. Úloha č. 7: Na jednom místě byly v zemi zatlučené tři kolíky vzájemně od sebe vzdálené 1 yard. K jednomu z nich byla uvázaná koza na 8 yardů dlouhém provaze. Ve chvíli, kdy jsme se k ní přiblížili, stála s napnutým provazem v místě jako na obrázku. Jak nás uviděla, lekla se a začala divoce obíhat kolem kolíků proti směru hodinových ručiček, pořád na napnutém provaze, dokud si na kolíky všepikomat.mff.cuni.cz

Strana 7

Pikomat MFF UK, 28. ročník, 3. série chen provaz nenamotala. Opodál byl v zemi zatlučen jeden kolík a k němu přivázaný vůl na dvanáctiyardovém laně. Ten jenom neustále líně chodil dokola tak daleko od svého kolíku, jak jen to šlo. Které zvíře urazilo delší dráhu? Koza, nebo vůl, který akorát obešel svůj kolík jednou dokola, než jsme nebohou kozu vymotali z jejího zajetí?

12 1 1 1

8 Obr. 3

Příhoda s kozou mě trochu vytrhla z myšlenek, ale brzy jsem se k nim vrátil. „Myslím, že bychom měli jít zpátky do sídla a promluvit si jak s Johnem, tak s Jamesem. Ale asi bychom neměli zatím nikomu říkat, co jsme viděli v zahradě,“ řekl David. „S tím naprosto souhlasím, přecijen by to vneslo zbytečný zmatek do našeho vyšetřování,“ odpověděl jsem a otočil se nazpátek.

Strana 8


Termín odeslání: 11. 3. 2013

Zadání úloh 4. série 28. ročníku Termín odeslání: 11. 3. 2013 „Myslím si, že bychom se měli zaměřit na Johna Edingtona,“ prohlásil David, když už jsme byli téměř zpátky u sídla. „Netuším sice, jak mohl vraždu provést, ale má asi nejsilnější motiv ze všech. Přijel do Summerflow kvůli nějakým obchodům, s nimiž právě jeho matka nechtěla souhlasit. Krom toho by po její smrti zdědil velkou část tohoto sídla s jeho pozemky i další majetek. A jak říkala Pauline, když má o něco zájem, tak si za tím opravdu jde.“ „S tím naprosto souhlasím,“ přitakal jsem, „ale něco mi pořád nesedí na té Amily Wrightové.“ „Myslíš, že by to provedla ona? Vždyť jsi ji sám zavrhl.“ „Ano, však také nemyslím, že by byla podezřelá. Spíš můj lékařský šestý smysl mi něco říká, jenom jsem nepostřehl, co se mi na ní nepozdává,“ řekl jsem zamyšleně přicházeje ke vchodovým dveřím. Když jsme vešli dovnitř, zjistili jsme, že naše procházka byla příliš krátká, neboť John Edington ještě nebyl zpátky. Usadili jsme se proto do křesel v hale a začali si prohlížet její vybavení. Velice mě zaujala ozdobná váza stojící vedle krbu. Úloha č. 1: Byly to dva skleněné duté kužely spojené svými podstavami o poloměru 6 palců. Celá váza stála na špičce spodního kuželu, který měl výšku 12 palců. Vrchní kužel byl vysoký 10 palců. Nejzajímavější na váze ale bylo, že byla celá vyplněná dvěma druhy písku. Úplně vespod byla 1 palec silná vrstva černého písku, na ní stejně silná vrstva bílého a takto se vrstvy černého a bílého písku střídaly až na samý vrchol vázy. Je ve váze víc písku černého, nebo bílého? Z přemýšlení nad pískem mě vytrhl až David, ale také už očividně neměl síly v hlavě řešit ten zapeklitý případ. Nejspíš čekal, že až vyslechneme Johna Edingtona, budeme mít jasno. „Představ si to, jaké problémy jsem řešil minulý měsíc,“ otočil se ke mně. „Dostal jsem za úkol uspořádat u nás na stanici školení o nových policejních a především detektivních metodách.“ Úloha č. 2: „Pozval jsem proto celkem 8 odborníků na toto téma. Jenže to nebylo jen tak. Všichni mi odpověděli, že se zúčastní, ale někteří z nich měli zvláštní požadavky. Plukovník Alberts napsal, že chce určitě přednášet až někdy po majoru pikomat.mff.cuni.cz

Strana 9

Pikomat MFF UK, 28. ročník, 4. série Barnabym, a ten zas ve své odpovědi požadoval, že vystoupí až po přednášce kapitána Carnegyho. Podobně soudce Edwards mi napsal, že rád přijede, ale že je pod jeho úroveň, aby přednášel dříve než doktor Franklin či poručík Goodwell. Poslední požadavek měl doktor Franklin, a to sice, že by rád přednášel až po poručíku Goodwellovi. Nikdo další už naštěstí nic nechtěl. I tak mi z toho šla hlava kolem a netušil jsem, jak sestavit program, abych jim všem vyhověl.“ „Ale vždyť to nemohlo být tak těžké,“ odpověděl jsem, „víš vůbec, kolik jsi měl možností, jak takový vyhovující program sestavit?“ Do místnosti právě vstoupil John Edington. Navzájem jsme se pozdravili a poté se David ihned pustil do výslechu. Začal poměrně zlehka. Vyptával se na to, které všechny pozemky k tomuto sídlu patří. „Pozemků je spousta,“ začal John, „ale brzy jich už snad bude o něco méně. Víte, nedávno jsem zjistil, že jeden bohatý podnikatel má zájem zde v Summerflow postavit malý hotel, kam by si mohli především lidé jako on jezdit oddychnout od ruchu velkoměst. A právě pro stavbu by se mu dokonale hodila část našich pozemků. Nabízel za ně i obstojnou sumu peněz, ale matka byla proti. Bránila se, že na jednom z pozemků je starý jabloňový sad, v němž se kdysi zprvu tajně scházela s mým otcem, a že by tento sad nový majitel určitě pokácel. Marně jsem namítal, že sad tvoří jen malou část prodávaných pozemků. Nejlepší bude, když posoudíte sami,“ řekl, načež vytáhl mapu s pozemky. Úloha č. 3: Pozemky, které měly být prodány, tvořily dohromady čtverec jako na obrázku. Pole, zakreslená vodorovným pruhováním, měla na mapě celkem plochu 20 palců čtverečních. Louky, které byly pruhované svisle, měly na mapě plochu 55 palců čtverečních a lesy, vyznačené šikmým šrafováním, zabíraly 16 palců čtverečních. Les zakreslený v pravém dolním rohu mapy byl čtvercový. „Vidíte, sad je tento nevybarvený čtverec v levém horním rohu,“ řekl John. „Víte, jakou má tady na mapě plochu?“ John zřejmě pokládal pouze řečnickou otázku, neboť než jsem se vůbec stihl započítat, odpověděl sám a ihned dodal podle měřítka mapy, jaká je plocha sadu ve skutečnosti. Poté se na nás podíval trochu vyděšen tím, jak právě mluvil, a vyhrkl ze sebe: „Ale nemyslete si, proboha, že bych snad kvůli něčemu takovému byl schopen zavraždit svou vlastní matku. To ani omylem. A teď mě prosím omluvte, mám ještě nějakou další práci.“ „Zvláštní člověk,“ prohlásil David, když za Johnem zaklaply vchodové dveře, „nevěřil bych mu, že je nevinen. A obzvlášť ne, když to tak hbitě prohlásil. Na druhou stranu nevím, jak by mohl svoji matku otrávit. Je ale třeba možné, že Strana 10


Termín odeslání: 11. 3. 2013

Obr. 4

tu měl ještě komplice a společně nám lžou. Ale přitom žádné výpovědi zatím nejsou protichůdné.“ „To mi trochu připomíná zápisy čísel v různých číselných soustavách,“ odbočil jsem od tématu, když jsem spatřil analogii s matematikou, „stejně vypadající čísla, ale každé v jiné soustavě, mají jinou hodnotu a naopak, když jedno číslo napíšeme v různých soustavách, vypadá pokaždé úplně jinak.“ Úloha č. 4: „Představ si třeba, že hledáš číslo, jehož zápis v trojkové soustavě má čtyři cifry, v sedmičkové soustavě dvě cifry a v pětkové soustavě má tu pěknou vlastnost, že je symetrické, tedy že se odpředu čte stejně jako odzadu. Víš, jaká čísla tuto vlastnost mají?“ zeptal jsem se Davida. „Vím,“ odpověděl záhy, „asi máš pravdu, že to nemusí být tak, jak to vypadá, a možná podezíráme někoho nepravého. Jenže teď mě vážně nenapadá vůbec nic jiného. Měli bychom zajít ještě za Jamesem Edingtonem, snad už ho teď v jeho pracovně nalezneme.“ A skutečně tam byl. Seděl u pracovního stolu a usilovně cosi rýsoval. Když jsme vešli dovnitř, akorát zlostně odložil tužku, zmačkal papír a hodil jej do krbu. „Co to chcete narýsovat?“ zeptal se zvídavě David. „Chtěl bych nechat před altán v zahradě ještě vysázet nějaké keře, tak si to chci nejprve rozvrhnout na papír,“ odpověděl mu James, pročež se David na mě ušklíbl naznačuje mi tím, že je mu naprosto jasné, proč chce, aby bylo k altánku ještě méně vidět. Úloha č. 5: „Chtěl bych si proto narýsovat lichoběžník ABCD se základnou AB, pikomat.mff.cuni.cz

Strana 11

Pikomat MFF UK, 28. ročník, 4. série kde E je střed strany AD, ve kterém by platilo, že 2|CD| = |EC| = |BC| = 3 palce1 a úhel ECB by měl velikost 120°. Zkuste to narýsovat vy,“ řekl Davidovi. David neotálel, chopil se tužky a za chvíli už nadšeně mával narýsovaným lichoběžníkem Jamesovi před obličejem. Ten byl evidentně spokojen, neboť mu David pomohl vyřešit problém, který ho už asi pěknou chvíli trápil. „Když už jste tady, mohl bych vás požádat ještě o něco?“ zeptal se Davida, čímž se původně zamýšlený výslech úplně obrátil. „Ano, samozřejmě,“ odpověděl David. James pokračoval: „Vidím, že vám náramně jde geometrie, možná byste mi byl schopen pomoci ještě s jedním problémem, který mě dnes trápí.“ Úloha č. 6: „Náš zahradník mě požádal, abych mu vyčlenil pozemek, na kterém by mohl založit obdélníkový záhon o ploše 2 013 stop čtverečních, ale už mi neřekl, jaké budou jeho rozměry; jenom je mi jasné, že budou v celých stopách. Mohu mu vyčlenit čtvercový nebo obdélníkový pozemek s plochou menší než 66 666 čtverečních stop takový, že se na něj vejde libovolný záhon o ploše 2 013? Pokud ano, jaký pozemek mu vyčlením?“ David se na chvíli zamyslel a pak řekl něco, co jsem nečekal a James Edington evidentně také ne: „Znám odpověď na vaši otázku, ale myslím si, že ještě počká. Nejprve byste nám mohl zodpovědět několik našich dotazů. Předně by nás zajímalo, co po smrti své matky zdědíte.“ „O dědictví jsem se dozvěděl právě před chvílí od bratra. Závěť vypadala přesně tak, jak jsem tušil. Sídlo a pozemky jsme jakožto jediní dva synové zdědili rovným dílem, ovšem většinu peněz na účtech odkázala matka mně. Nejspíše proto, že s Johnem tak dobře nevycházela. Pořád měli nějaké osobní spory kvůli obchodům a přišlo mi, že mu matka trochu zazlívala i tu poněkud unáhlenou ženitbu. Drobný obnos samozřejmě ještě zdědila Amily Wrightová a něco málo odkázala matka dokonce i té kuchařce, prý za to, že tu tak dlouho věrně sloužila.“ David se spokojeně usmál, položil Jamesovi ještě několik už vcelku rutinních a nezajímavých otázek a pak mu konečně řekl řešení jeho problému se záhonem. Tím jsme se s Jamesem prozatím rozloučili a odešli zpět dolů do haly. Měli jsme v plánu jít ven a v klidu tam probrat, zda nám nové informace vnesly nějaké světlo do případu. Ve vchodových dveřích jsme se téměř srazili s Amily, která zrovna vcházela dovnitř a vypadala velice rozčileně. 1 Palec tou dobou býval 2,5 cm. Ale pokud chcete, můžete použít měřítko. Potom ho ale nezapomeňte do řešení zmínit.

Strana 12


Termín odeslání: 11. 3. 2013 „Copak se děje?“ zeptal jsem se. „Byla jsem koupit manžetové knoflíčky. Víte, chtěla jsem vybrat nějaké pro strýce jako poděkování za to, že mě teď u sebe nechá nějakou dobu pobývat. Ale ten prodavač, to je hrozný člověk.“ Úloha č. 7: „Měl v obchodě 8 různých druhů manžetových knoflíčků, od každého 200 kusů. Ale u jednotlivých druhů neměl napsané ceny. Věděla jsem jenom, že každý druh stojí buď 40, nebo 50 pencí za kus. A jediný způsob, jak jsem mohla zjistit ceny jednotlivých druhů, byl ten, že jsem vzala nějaké knoflíky (klidně různých druhů a od každého druhu jiný počet), ukázala mu je a on mi řekl, kolik přesně by takový nákup stál. Ale jak říkám, byl tak hrozně nevrlý a při každé otázce se na mě hrozně mračil. Kolik nejméně otázek jsem mu musela položit, abych s jistotou zjistila ceny všech osmi druhů manžetových knoflíků?“ „Byl to prostě děs. A přitom by si tolik mračení ušetřil, kdyby prostě nad každou krabici napsal cenovku.“ Soucitně jsme pokývali a radši rychle vyšli ven, abychom se vyhnuli dalšímu návalu stížností na prodavače. „Tak to vidíš,“ řekl David, „i James Edington měl motiv vraždit. Tušil, že bude dědit větší část peněz, protože k němu matka měla větší sympatie. Jenže jak by se její sympatie změnily, kdyby zjistila, že měl románek se svou švagrovou.“ „Zajímavé, ale nepřijde ti to jako poněkud chatrný motiv pro vraždu?“ namítl jsem. „Nevěřil bys, jak slabé motivy některým lidem stačí k vraždě,“ oponoval mi David. Musel jsem uznat, že má pravdu: „Také už jsem sám potkal různé zvláštní lidi. Někteří třeba…“ Náhle jsem se zarazil jak v řeči, tak v chůzi. „Už vím, co mi na Amily nesedělo, nechápu, že jsem na to nepřišel už dávno,“ vysypal jsem ze sebe a rozeběhl se zpátky ke vchodu. Amily Wrightovou jsme zastihli dole v hale. „Vy máte diabetes mellitus, že?“ zeptal jsem se jí. Nechápavě na mě vytřeštila oči, a proto jsem se rychle opravil: „Promiňte mi ten odborný výraz, zkrátka máte cukrovku, mám pravdu?“ „Ano, mám,“ odpověděla mi, „dozvěděla jsem se to teprve nedávno. Vlastně v pondělí. Jak jste na to přišel? A proč vás to vůbec zajímá?“ „Víte, dá se to poznat z dechu, ale to by bylo na složitější vysvětlování. Každopádně to podstatně mění celé vyšetřování případu.“ „Cože?“ zeptali se téměř jednohlasně David i Amily. „Ano, přesně tak.“

pikomat.mff.cuni.cz

Strana 13


Vzorová řešení a komentáře k 2. sérii úloh Úloha č. 1 Dostal za úkol sledovat bankovního lupiče při jeho činnosti a podávat o něm hlášení na strážnici. Strážnice byla v bodě S a byla vzdálena od banky v bodě B 4 km. Lupič vyrazil z úkrytu U, který byl vzdálen 6 km od banky a 10 km od strážnice, došel do banky, tam popadl peníze, které mezitím vytáhl jeho komplic z trezoru, a odnesl je zpátky do úkrytu. Chudák David ve chvíli, kdy lupič vyrazil z úkrytu, vyšel ze stanice a celou dobu chodil k lupiči a zpátky na stanici, aby podával hlášení. Lupič šel stálou rychlostí 4 km/h, David chodil rychlostí 6 km/h. Oba chodili nejkratší možnou cestou (tj. mezi dvěma danými body po úsečkách). Celá akce probíhala samozřejmě tak přesně, že Davidovo hlášení na stanici ani předávka peněz nezabraly žádný čas. Jakmile lupič došel zpět do úkrytu, čekal tam na něj připravený policejní vůz a David se konečně mohl zastavit. Kolik David za celou akci nachodil kilometrů? Řešení: Na této úloze je asi nejtěžší uvědomit si, co vlastně říká. Ze zadání víme, že lupič se pohybuje rychlostí 4 km/h a urazí trasu z úkrytu do banky a zpět, což je 6 km + 6 km = 12 km. Mezitím chodí David rychlostí 6 km/h a zastaví se teprve v okamžiku, kdy lupič dorazí zpět do úkrytu. Lupič urazí svoji trasu dlouhou 12 km za 3 hodiny (užili jsme vzoreček t = s/v, kde t značí čas, s = 12 km dráhu a v = 4 km/h rychlost). Takže i David byl na cestě právě 3 hodiny. A neboť chodil stále rychlostí 6 km/h, ušel právě 18 km (nyní užijme vzoreček ve tvaru s = v · t, za v dosadíme Davidovu rychlost 6 km/h a za t dříve vypočtenou dobu 3 h). Komentář: Většina řešitelů úlohu správně interpretovala a také ji správně vyřešila. Někteří se sice k výsledku dopracovávali mnohem složitější cestou, ale pokud byla správná, nic mi nebránilo udělit plný počet bodů. Pokud řešitelé pochopili úlohu jiným způsobem, udělila jsem nejvýše dva body. Úloha č. 2 „Když do ohrady se vzrostlou trávou naženou 40 ovcí, bude jim to trvat 40 dní, než všechnu trávu vypasou, říkal mi to aspoň jeden ovčák od nás ze Summerflow,“ začal David. „Tak v tom případě je přece snadné spočítat, jak dlouho tráva vydrží třeba 20 ovcím,“ namítl jsem bleskurychle, ale než jsem stačil vyřknout počet dní, Strana 14


Vzorová řešení úloh David mě zarazil slovy: „Ale nesmíš zapomenout na to, že během těch dní, co se tam ovce pasou, stíhá tráva pořád růst, a tak třeba 30 ovcím vystačí dokonce na 60 dní. Takže co mi teď řekneš? Na kolik dní teda vydrží taková pastvina se vzrostlou trávou, když na ni naženeš 20 ovcí?“ Řešení: Označme počáteční množství trávy v ohradě písmenem z, dále množství, které naroste za jeden den, jako p a dobu, po kterou se v ohradě může pást 20 ovcí jako t. Jednotkou množství trávy budiž to, co sní jedna ovce za jeden den. Víme, že 40 ovcí vypase všechnu trávu za 40 dní. Za tu dobu spasou ovce dohromady 40 · 40 jednotek trávy, a protože vypasou všechno, musely sníst přesně z + 40 · p trávy. Dostáváme tak:

40 · 40 = z + 40 · p. Obdobně pro 30 a pro 20 ovcí:

30 · 60 = z + 60 · p, 20 · t = z + t · p. Zbývá vyřešit soustavu rovnic. Odečtením první rovnice od druhé nám vyjde 200 = 20·p, proto p = 10. Dosazením hodnoty za p do první rovnice dostaneme z = 1600 − 40 · 10 = 1200. Nakonec z třetí rovnice vypočítáme hledanou dobu t:

20 · t = 1200 + 10 · t 10 · t = 1200 t = 120. Dvaceti ovcím vydrží tráva v ohradě 120 dní. Komentář: Bohužel nejčastější odpovědí nebyl správný výsledek 120 dní, nýbrž 80 dní s argumentem, že to vypadá, že když se počet ovcí o deset zmenší, tak se doba pastvy prodlouží o dvacet dní. To ovšem rozhodně obecně neplatí, například by to pak znamenalo, že 0 ovcí spase trávu v ohradě za 80 + 2 · 20 = 120 dní, což nejspíš v takovém počtu nestihnou :). Chválím všechny, kteří se dopočítali ke správnému výsledku. Úloha č. 3 Projížděl tam po ulici kočár rychlostí 18 km/h. Obvod jeho předních kol jsem odhadl na 2,5 m, obvod zadních kol na 2,75 m. Každé kolo mělo 12 loukotí. Umíš pikomat.mff.cuni.cz

Strana 15

Pikomat MFF UK, 28. ročník, 2. série teda odhadnout, jakým směrem se kola zdánlivě točila, když kamera snímá, jak říkáš, 24 snímků za sekundu? Řešení: Úlohu budeme počítat v metrech a sekundách (18 km/h = 5 m/s) a rozdělíme si ji na dvě části: 1. Přední kolo: Obvod předního kola je 2,5 m, tedy za 1 s se otočí celkem dvakrát. 1 Za 24 s se každá loukoť přesune do polohy následující loukotě, tedy v kameře se přední kolo nebude hýbat. 2. Zadní kolo: Zadní kolo má obvod větší, proto se za 1 s otočí o 20 11 otáčky. Když tuto vzdálenost rozdělím na 24 snímků, zjistím, že na každém snímku se lou1 5 kotě pootočí o 66 . Vzdálenost dvou loukotí je 12 obvodu.

C 1 24

B 1 24

A

S Obr. 5

Budeme uvažovat pravé kolo, na které koukáme z vnější strany kočáru (jako na obrázku) - pro levé jsou úvahy symetrické. Kolo, stejně jako loukoť, se pohybuje dopředu – t.j. po směru hodinových ručiček. Protože se tentokrát lou1 kotě neposunou o násobek 12 , budeme se muset podívat na to, jestli bude nová poloha blíže bodu A nebo C. Kdyby vyšla blíže bodu A, vypadalo by to, že se tam přesunula loukoť, kterou tvoří na obrázku úsečka AS (kolo by se na kameře pohybovalo vpřed), naopak kdyby byla blíže C, vypadalo by to, že se tam přesunula loukoť SC, protože je blíže (kolo by se pohybovalo dozadu). V posledním možném případě, pokud by nám nová poloha vyšla přesně na bod B, loukotě by jakoby přeskakovaly a tudíž by to vypadalo, že stejně jako v případě předních kol stojí, jenomže tentokrát by se to kolo tvářilo tak, že má loukotí dokonce dvakrát tolik a tedy 24. 1 5 1 22 20 11 Z nerovností 12 > 66 > 24 (po upravení: 264 > 264 > 264 ) nám tedy plyne, že loukoť se za 1/24 s posune na obrázku mezi bod B a C. Na kameře to tedy bude vypadat, že se na novou pozici loukotě přesunula SC místo AC. Kolo se tedy bude na kameře zdánlivě točit dozadu. Strana 16


Vzorová řešení úloh Komentář: Za pohyb předního kola jsem dávala dva body, za pohyb zadního tři body. Oceňuji práci se zlomky, za zbytečné vyčíslování jsem jeden bod strhávala. Odpověď, jak se které kolo točí je sice skvělá, ale pokud mi nevysvětlíte, jak jste k ní přišli a proč je to správně, bohužel plný počet bodů dostat nemůžete. Úloha č. 4 Kapitán Wright konstruoval na mapě trojúhelník s vrcholy K, v němž se nacházel křižník, C, což byl jejich cíl, a L, což byl právě ledovec, kterému se potřebovali vyhnout. A admirál Edington mu nechtěl věřit, že průsečík výšek tohoto trojúhelníka, paty výšek ke stranám KL a CL a bod L leží na jedné kružnici. Kdo měl pravdu? Řešení: Podle zadání úlohy si načrtneme daný trojúhelník KLC, výšky, jejich paty X, Y a průsečík P jako na obrázku.

C X

P S

L

Y

K Obr. 6

K řešení využijeme aletovu kružnici. Sřed S kružnice zvolíme ve středu úsečky LP a poloměr kružnice bude roven délce LS. Z vlastností aletovy kružnice plyne, že pokud na ní leží body X, Y , pak úhly LXP a LYP mají 90°. Jelikož body X, Y jsou patami výšek a výšky jsou vždy kolmé na dané strany, tak jsou pikomat.mff.cuni.cz

Strana 17

Pikomat MFF UK, 28. ročník, 2. série tyto úhly právě 90 stupňů. Správným řešením tedy je, že pravdu měl kapitán Wright. Komentář: Hodnocení bylo následující: náčrt 1 bod, správný výsledek a postup 2 body, aletova kružnice 1 bod, formulace a zpracování úlohy 1 bod. Úloha č. 5 Od nádraží k silnici, kde na nás už čekalo policejní auto, se scházelo po 11 schodech. „Vždycky mě zajímalo, kolik bych měl možností tyhle schody vyjít, kdybych mohl udělat krok o jeden, o dva nebo o čtyři schody (o tři ne, to je takový divný krok, ani krátký, ani dlouhý). Asi to teď půjdu zkusit,“ prohlásil David. „No to by ses naběhal,“ odpověděl jsem mu se smíchem, „zvlášť, když pro tebe určitě není stejná varianta jít nejdřív o jeden schod a pak o dva jako nejdřív o dva a pak o jeden.“ Kolik možností by David měl? Řešení: Počítat tento příklad můžeme vícero způsoby, například výčtem všech možností, případně s nějakým zjednodušením, které vyžaduje znalost kombinatoriky. My si zde ale ukážeme řešení založené na často používaném triku. Označíme si Pn počet možností, jak vyjít n schodů, pokud můžeme udělat krok dlouhý jeden, dva či čtyři schody. Začneme postupně za n dosazovat čísla. Není těžké zjistit, že P1 = 1, P2 = 2, P3 = 3. Schodiště se čtyřmi schody můžeme vyjít po jednom schodu (1 možnost), udělat jeden dvojkrok a dva jednokroky (3 možnosti), nebo udělat dva dvojkroky (1 možnost) a poslední způsob je jeden čtyřkrok, tedy P4 = 1+3+1+1 = 6. Nyní se zaměříme, kolika způsoby můžeme vyjít více schodů. Pět schodů můžeme vyjít tak, že ze čtvrtého schodu uděláme jednokrok, nebo z třetího dvojkrok, nebo poslední možnost, že z prvního schodu uděláme čtyřkrok. Počet možností, jak lze vyšlapat 5 schodů, se musí rovnat součtu možností, jak vyšlapat 1, 3 a 4 schody. Tahle úvaha ale platí i u dalších schodů. Můžeme tedy obecně zapsat vzoreček, jak vyjít n schodů: Pn = Pn−1 + Pn−2 + Pn−4 . Teď nám stačí vyplnit jednoduchou tabulku a máme výsledek:

n Pn

1 1

2 2

3 3

4 6

5 10

6 18

7 31

8 55

9 96

10 196

11 296

Počet způsobů, jak mohl David vyjít schody, je 296. Komentář: Většina řešitelů počítala úlohu hrubou silou, případně si nějakým trikem ulehčila práci. Řešení podobné vzorovému se objevilo zřídka. Zkuste si ho projít, třeba se vám ještě bude hodit. :) Strana 18


Vzorová řešení úloh Úloha č. 6 Měla tvar pyramidy výšky 12 s čtvercovou podstavou o hraně délky 8. Vejde se do ní víc než 190 kostek cukru? Hrana kostky cukru je 1. Řešení: Pyramida má tvar jehlanu; rozdělíme si ji na dvanáct pater o výšce 1 (rozměr kostky cukru). Pro každé patro spočítáme počet kostek, které se do něj 8 vejdou. Poměr výšky a délky spodní podstavy pyramidy je 12 = 23 . Z toho vyplývá, 2 že rozměr každého patra je o 3 cm menší než patro pod ním. Desetinná čísla budeme zaokrouhlovat dolů, abychom dostali výsledné celočíselné počty kostek. 22 . 1. patro : (8 − 23 ) · (8 − 23 ) = 22 3 · 3 = 7 × 7 (do prvního patra nemůžeme naskládat hned 8 × 8 kostiček, protože horní rozměr prvního patra není 8 cm ) 2 22 2 20 20 . 2. patro : ( 22 3 − 3) · ( 3 − 3) = 3 · 3 = 6 × 6 2 20 2 18 18 3. patro : ( 20 3 − 3) · ( 3 − 3) = 3 · 3 = 6 × 6 2 18 2 16 . 18 4. patro : ( 3 − 3 ) · ( 3 − 3 ) = 16 3 · 3 =5×5 2 16 2 14 14 . 5. patro : ( 16 3 − 3) · ( 3 − 3) = 3 · 3 = 4 × 4 14 2 14 2 12 6. patro : ( 3 − 3 ) · ( 3 − 3 ) = 12 3 · 3 =4×4 2 12 2 10 10 . 7. patro : ( 12 3 − 3) · ( 3 − 3) = 3 · 3 = 3 × 3 2 10 2 8 8 . 8. patro : ( 10 3 − 3) · ( 3 − 3) = 3 · 3 = 2 × 2 8 2 8 2 6 6 9. patro : ( 3 − 3 ) · ( 3 − 3 ) = 3 · 3 = 2 × 2 . 10. patro : ( 63 − 23 ) · ( 63 − 23 ) = 43 · 43 = 1 × 1 . 11. patro : ( 43 − 23 ) · ( 43 − 23 ) = 23 · 23 = 0 × 0 12. patro : ( 23 − 23 ) · ( 23 − 23 ) = 0 × 0 Počet kostek v každém patře sečteme: 49 + 36 + 36 + 25 + 16 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 = 196. Do cukřenky se vejde 196 kostek cukru, což je více než zadaných 190. Komentář: Při opravování jsem narazil na několik řešení, která obsahovala pouze rýsování. To ovšem není úplně přesné, protože pravítkem nikdy nezměříte přesný rozměr patra. Úloha č. 7 Z barevných pravoúhlých čtyřúhelníků s celočíselnou délkou stran, z nichž žádné dva neměly stejné rozměry, byl vyskládán obdélník 2 × 42. Kolik nejvíce různých čtyřúhelníků mohlo být na tvorbu této mozaiky použito? Proč to nemohlo být více? Řešení: Mozaika byla vyskládána z pravoúhlých čtyřúhelníků, což jsou čtverce (speciální obdélníky) a obdélníky. Jelikož je mozaika tvaru 2×42, musí být jedna strana použitého obdélníku (čtverce) 1 nebo 2. Obsah celé mozaiky je 2·42 = 84 pikomat.mff.cuni.cz

Strana 19

Pikomat MFF UK, 28. ročník, 2. série a rovná se součtu obsahů všech čtyřúhelníků. Protože chceme použít co nejvíce čtyřúhelníků, použijeme ty s nejmenším obsahem. Srovnáme si prvních několik čtyřúhelníků podle obsahu a budeme počítat, jaký mají dohromady obsah. Obsah

rozměr

průběžný součet obsahů

počet

1 2 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9 10 10 11

1×1 1×2 1×3 1×4 2×2 1×5 1×6 2×3 1×7 1×8 2×4 1×9 1 × 10 2×5 1 × 11

1 3 6 10 14 19 25 31 38 46 54 63 73 83 94

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Vidíme, že obsah prvních čtrnácti čtyřúhelníků je 83, to však na úplnou mozaiku doplnit nelze (čtverec 1 × 1 jsme už použili). Obsah prvních patnácti je 94, stačí tedy ubrat libovolný čtyřúhelník s obsahem 10 a dostaneme obsah 84. Můžeme z těchto obdélníků poskládat požadovanou mozaiku? Nejprve zkusíme vynechat obdélník 1 × 10. Na jednu stranu mozaiky si poskládáme všechny kostičky se stranou 2, tedy 2×1, 2×2, 2×3, 2×4, 2×5, a vznikne obdélník 2×15. Zbývá tak ostatní čtyřúhelníky poskládat do obdélníku 2 × 27, tedy do dvou „úzkých“ obdélníků 1 × 27. Jednoduše vybereme kostičky, které dají součet 27, např. 1×11, 1×9, 1×7, zbylé kostičky dávají také součet 27 (8+6+5+4+3+1 = 27). Vynecháme-li obdélník 2 × 5, budeme postupovat stejně, ale z obdélníků se stranou 2 vznikne obdélník 2 × 10. „Úzkými“ obdélníkytedy zaplňujeme dva obdélníky 1 × 32. Do prvního dáme např. 1 × 11, 1 × 10, 1 × 8, 1 × 3 a obsahy zbylých dávají 9 + 7 + 6 + 5 + 4 + 1 = 32. Mozaika se tedy dá poskládat v obou případech ze 14 čtyřúhelníků. Víc jich být nemůže, protože jsme použili nejmenší čtyřúhelníky. Komentář: Pokud bereme jako pravoúhlý čtyřúhelník i pravoúhlý lichoběžník, vyjde úloha úplně stejně. Neexistuje totiž pravoúhlý lichoběžník s celočíselnými Strana 20


Vzorová řešení úloh

Obr. 7

Obr. 8

délkami stran s výškou menší rovno 2. Většina řešitelů tuto úlohu hravě vyřešila, ale někteří nezdůvodnili, proč je to největší možný počet čtyřúhelníků. Dalších pár řešitelů zdůvodnilo, proč jich není víc, ale zapomnělo si ověřit, jestli jde mozaika poskládat. Úlohy druhé série opravovali a komentáře sepsali: 1. Karolína Rezková, 2. Hana Bílková, 3. Helena Pučelíková, 4. Václav Otruba, 5. Klára Krejčíčková, 6. Stanislav Veverka, 7. Lenka Petržilková

pikomat.mff.cuni.cz

Strana 21


Výsledková listina Pikomatu MFF UK po 2. sérii

Celkově 1.–4.

V roč. 1.–4.

5.–7.

5. 1.–2.

8.–9.

3. 6. 4. 1. 5. 2. 7. 6. 3. 8. 4. 9.–10.

10. 11. 12. 13.–15.

16. 17. 18. 19.–20. 21. 22.–23. 24. 25.–26. 27. 28. 29.–31.

32. 33.–35.

36.–37.

Strana 22

1. 7. 11. 2. 12. 3. 8. 5. 9. 13. 10. 6. 11. 14. 12. 1. 15.

Jméno a příjmení Vít Kalisz Tereza Kislingerová Josef Kvapilík Kateřina Nová Ronald Luc Alžběta Neubauerová Václav Steinhauser Victoria M. Nájares R. Marie Vonzino Marie Rohmová Jan Slezák Vojtěch Lanz Jan Kaifer Lukáš Kubacki Timur Sibgatullin František Záhorec Dominik Krasula Martin Hubata Aleš Bartolomějev Jakub Slavík Tereza Jílková Břetislav Hájek David Ucháč Daniel Bárta Roman Chasák Matěj Navrátil Borek Požár Jakub Ucháč Lukáš Juran Barbora Lišková Marta Titěrová Michal Krtouš Matěj Holý Jan Kašník Veronika Scholzeová Mikuláš Brož Jiří Štěpánek

Roč. a škola 9. FSGP 9. GJVK 9. AGKR 9. 9. GKJB 8. GNKP 8. ZVNV 8. GCDP 9. ZSUS 8. PRGO 6. KGKP 8. 6. 9. GNKP 8. 6. GHRL 9. GSKR 6. GMNP 9. GNKP 9. GMDH 7. GJVK 8. 9. 7. 9. ZSLL 7. GVSV 8. GZWR 6. 8. AGKP 9. GPMB 8. GKPZ 6. 8. GJVK 9. 8. 5. ZFPP 9. GVOZ

1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2

2 1 5 4 5 1 5 5 5 5 5 5 5 1 5 4 5 1 3 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1

3 5 5 5 5 5 4 5 5 5 4 4 5 5 5 5 5 2 3 4 2 5 4 4 3 5 2 5 5 5 5 5 5 0 5 4

4 5 5 5 5 5 5 4 4 5 5 4 4 5 3 5 2 3 5 4 4 4 2 4 1 3 4 3 5 3 5 3 5 3 2 1

5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 1 5 4 5 4 2 5 5 1 2 2 5 5 3 3 2

6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 2 5 5 5 4 5 5 4 5 5 3 3 4 5 2 2 5 3 2 1 5 2

7 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2 5 4 5 5 5 3 5 5 1 3 5 5 3 3 5 5 3 0

P 2 1 1 1 1 2 2 -

σ

Σ

30 30 30 30 30 29 28 29 30 30 27 26 27 27 25 30 24 23 24 24 29 20 24 19 15 19 15 24 18 20 13 18 16 16 16 15 12

60 60 60 60 58 58 58 57 57 56 53 51 50 50 50 49 47 46 45 45 44 42 42 39 38 38 37 36 34 34 34 33 32 32 32 31 31


Výsledková listina Celkově 38. 39. 40.–41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48.–50.

51. 52. 53. 54.–55. 56.–57. 58. 59.–60. 61.–67.

68. 69.–70. 71.–73.

V roč. 7. 16. 13. 17. 4. 5. 8. 18. 6. 9. 7. 10. 2. 14. 19. 11. 15. 12. 20.–21. 16. 17. 8. 9.–12.

13. 22. 18. 23. 13. 24. 14. 19.–20.

74.–77.

14. 15. 15.–16.

78.–83.

25. 17. 26. 16.

pikomat.mff.cuni.cz

Jméno a příjmení Jakub Šlambor Tomáš Kotrbatý Petr Jakubčík Vojtěch Štula Vojtěch Ševčík Miroslava Sloupová Martina Nová Petr Čížek Andrea Pevná Tomáš Buršík Daniela Forwardová Štěpán Henrych Vojtěch Mohelník Anežka Soukupová Dominik Bárta Eva Tichá Tereza Bojdová Denisa Nováková Tereza Fleisnerová Martin Milata Duy Mai Van Lukáš Caha Dominik Holiš Gabriela Amchová Tereza Bergová Marek Gottwald Duc Hieu Ha Petra Hrubá Veronika Jehličková Kristýna Žalíková Přemysl Šťastný Filip Kruml Jana Menšíková Adéla Kaiserová Jana Kramlová Anh ien Duc Le Barbora Havlíčková Barbora Holá Radim Kortus Matyáš Meisner Tomáš Hoika Martina Ivanová Matěj Košina Ondřej Kučera

Roč. a škola 6. GPMB 9. ZMFM 8. 9. GVOZ 7. CGKV 7. ZMKN 6. 9. GNKP 7. 6. ZJPR 7. AGKP 6. GSZA 5. ZBUO 8. ZUKY 9. 6. GJVK 8. GRPR 6. 9. GCHB 9. GTMF 8. GFXL 8. GCDP 7. GRPR 7. 7. GRPR 7. ZVLI 7. MGPP 6. 9. GNKP 8. GRPR 9. 7. GJSB 9. GTMF 6. GJVK 8. GJVK 8. GFXL 7. 6. GJVK 7. GJSB 7. 9. GCHB 7. ZVLI 9. GRPR 6.

1 5 5 5 5 5 4 5 5 1 2 1 5 5 5 5 5 5 2 1 2 0 -

2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -

3 5 4 3 0 5 0 1 2 -

4 2 0 4 0 3 0 3 4 4 -

5 0 3 0 1 1 2 0 2 1 0 -

6 3 2 5 1 1 2 4 0 3 5 1 0 4 1 1 2 1 2 2 -

7 5 4 0 3 3 0 1 5 1 2 3 -

P 3 8 -

σ

Σ

14 15 15 13 11 14 12 12 0 4 8 0 10 6 15 1 0 9 6 0 5 0 6 3 6 0 7 5 3 0 0 0 5 4 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0

30 29 28 28 27 22 21 20 19 18 17 17 17 16 15 14 13 13 12 12 11 10 10 9 9 9 9 9 9 9 8 7 7 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4

Strana 23

Pikomat MFF UK, 28. ročník, 2. série Celkově 78.–83. 84.–85. 86.–91.

92.–99.

V roč. 27. 18. 19. 21. 20. 17. 22. 21.–23.

24.–29.

23. 30. 100.–107. 31. 18. 24. 19. 32. 28.–29. 25.

Strana 24

Jméno a příjmení Josef Tochor Pavlína Záhořová Nguyen Manh Linh Aneta Románková Remzie Bejtová David Fischer Ondřej Hejzek Barbora Höllová Adéla Řežábková Tien Tran Kristýna Bradová Barbora Koláčková Rolnan Mai Amélie Michálková Honza Hung P. Ngoc Pavel Le Nguyen Veronika Onheiserová Phan Van ang Jakub Anderle Petr Dědek Kateřina Kunclová Hung Le Duc Quang Ngoc T. Nguyen Pham Vratislav Rusz Tomáš Strnad Sára Štěpánová

Roč. a škola 1 2 3 4 5 6 7 P 9. GCHB - 1 - - - - - 1 7. GJSB - - - - - - - 7. GJSB - - - - - - - 8. GRPR - - - - - - - 7. GJSB - - - - - - - 6. - - - - - - - 8. GCHB - - - - - - - 7. GJSB - - - - - - - 7. AGKP - - - - - - - 7. GJSB - - - - - - - 7. GJSB - - - - - - - 7. GRPR - - - - - - - 7. GJSB - - - - - - - 7. GJSB - - - - - - - 7. GJSB - - - - - - - 7. GJSB - - - - - - - 8. GRPR - - - - - - - 7. GJSB - - - - - - - 7. GJSB - - - - - - - 6. - - - - - - - 8. - - - - - - - 6. - - - - - - - 7. GJSB - - - - - - - 9. - - - - - - - 9. - - - - - - - 8. - - - - - - - -

σ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Σ 4 4 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0


Milé řešitelky, milí řešitelé,

Recommend Documents