Metode lokasi akar-akar (Root locus method) Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Metode lokasi akar-akar (Root locus method)

Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Pendahuluan Metode lokasi akar-akar 1. Metode lokasi akar-akar dapat digunakan untuk melukiskan secara kualitatif unjuk kerja sistem kontrol jika beberapa parameter diubah. Contoh : efek mengubah gain terhadap %OS, settling time dan peak time 2. Metode ini juga dapat memberikan gambaran mengenai stabilitas sistem kontrol secara grafis


Latar Belakang

Problem sistem kontrol Representasi bilangan kompleks sebagai vektor

Bentuk gelombang tes input yang biasa digunakan Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Problem sistem kontrol

T(s) pole berubah dengan perubahan K

N : pembilang D : penyebut


Ilustrasi (s + 1) [s(s + 2)] ( s + 3) H ( s) = (s + 4)

G (s) =

Pole dari KG(s)H(s) adalah 0, -2 dan -4 Zero dari KG(s)H(s) adalah -1 dan -3

T (s) =

K (s + 1)( s + 4) s 3 + (6 + K )s 2 + (8 + K ) s + 3K

[

Pole dari T(s) tergantung harga K

]

Karena respons transien dan stabilitas tergantung pada pole dari T(s) maka kita harus memfaktorkan penyebut untuk setiap harga K


Representasi vektor dari bilangan kompleks Bilangan kompleks σ+jω dapat digambarkan dalam kordinat Cartesian sebagai vektor dan dalam kordinat polar dengan besar M dan sudut q.

F(s)=(s+a) F(s)=(σ+a)+jω

Translasi dari (b) Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Representasi secara umum pembilang faktor kompleks ∏ = ∏ penyebut faktor kompleks

Besar dari F(s) M=

∏ panjang dari zero = ∏ panjang dari pole

Sudut dari F(s) θ = ∑ sudut dari zero - ∑ sudut dari pole


m= jumlah zero n=jumlah pole

Ilustrasi

Carilah F(s) pada titik Zero pada -1 pole pada 0 pole pada -2


Latihan

carilah

di titik


Definisi lokasi akar-akar


Lokasi akar-akar jika K bervariasi

Letak pole dan zero

Lokasi akar-akar (root locus)


Sifat-sifat root locus •Untuk polinom orde 2 pada penyebut fungsi transfer, mudah untuk mencari faktor-faktor (rumus ABC) •Untuk polinom orde lebih tinggi (3, 4, 5 atau lebih) , sulit untuk memfaktorkan tanpa bantuan komputer (numerik) , maka dengan root locus kita dapat menggambarkan secara kualitatif tanpa memfaktorkannya


Sifat-sifat root locus

Terdapat pole jika penyebutnya =0

atau

1 2 Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Ilustrasi

Dari tabel, misalnya untuk K=5 Maka pole berada di -9,47 dan -0.53 Jika harga-harga ini disubtitusi ke persamaan ini maka akan menghasilkan -1, demikian juga untuk harga K dan pole-pole yang lain


Contoh

Plot pole dan zero dari G(s) Tinjau titik -2+j3, jika titik ini adalah pole dari sistem jerat tertutup maka Harus memenuhi persamaan-persamaan (1) dan (2)

Maka titik ini bukan pole sistem jerat tertutup karena hasil penjumlahan sudutnya bukan kelipatan dari 1800 Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Contoh Jika dicoba dengan cara yang sama untuk titik Maka akan menghasilkan sudut 1800 Harga K adalah

Maka titik

Adalah titik pada root locus dengan gain=0.33


Latihan

a. Tentukan sudut G(s) pada titik (-3+j0) dengan menjumlahkan sudut-sudut vektor dari zero dan pole G(s) pada titik tersebut b. Tentukan apakah titik di a adalah berada di root locus c. Jika titik di a adalah root locus, tentukan harga K menggunakan panjang vektor


Menggambarkan root locus Aturan penggambaran root locus 1. Jumlah percabangan . Jumlah percabangan root locus sama dengan jumlah pole sistem jerat tertutup 2. Simetri. Root locus simetri terhadap sumbu real 3. Segment sumbu real. Pada sumbu real, untuk K>0 root locus berada di sebelah kiri bilangan ganjil pada sumbu real, pole open loop terhingga dan/atau zero open loop berhingga

Root locus pada sumbu real berada antara -1 dan -2 dan antara -3 dan -4 Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Lanjutan 4.

Titik awal dan titik akhir. Root locus berawal pada polepole G(s)H(s) yang berhingga dan tak terhingga, lalu berakhir di zero dari G(s)H(s) yang berhingga dan tak terhingga.

Dari contoh di atas maka root locus adalah


Lanjutan 5.

Sifat root locus di tak terhingga. Root locus mendekati garis lurus sebagai asimtot pada saat locus mendekati tak terhingga. Persamaan asimtot diberikan oleh perpotongan dengan sumbu real, σa dan sudut θa sbb:

σa = ∑

pole berhingga - ∑ zero berhingga

# pole berhingga-# zero berhingga

θa =

(2k + 1)π # pole berhingga-# zero berhingga

di mana k=0, ±1, ±2, ±3 dan sudut dalam satuan radian thd sumbu positif


Ilustrasi Buatlah root locus untuk sistem sbb

solusi

Karena jumlah pole-jumlah zero =3 Maka ada 3 zero berada di tak berhingga Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Latihan

Sketsalah root locus dari sistem di atas


Metode lokasi akar-akar (Root locus method) Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Recommend Documents