mechanika Statika se zabývá působením sil na tělesa, která jsou v klidu

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška Předmět Dynamika je součástí většího předmětu Mechanika. I samotný předmět Mechanika můžeme chápat v širším rámci a dělit jej na mechaniku vnějších sil nebo též mechaniku tuhých těles (statika a dynamika) a mechaniku vnitřních sil neboli mechaniku poddajných (pružnost a pevnost).

mechanika statika

Statika se zabývá působením sil na tělesa, která jsou v klidu.

dynamika

Dynamika se zabývá působením sil na pohybující se tělesa a vyšetřováním pohybu těles v závislosti na působících silách.

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška Předmět Dynamika je součástí většího předmětu Mechanika. I samotný předmět Mechanika můžeme chápat v širším rámci a dělit jej na mechaniku vnějších sil nebo též mechaniku tuhých těles (statika a dynamika) a mechaniku vnitřních sil neboli mechaniku poddajných (pružnost a pevnost).

mechanika statika

1. ročník bakalářského studia Statika

dynamika

2. ročník bakalářského studia Dynamika I 1. ročník navazujícího magisterského studia Aplikovaná mechanika

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška Základy mechaniky položil Isaac Newton (1642-1727) ve svém díle „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687). Lze je shrnout do čtyř tzv. Newtonových zákonů. 1. Newtonův zákon - zákon setrvačnosti. Těleso zůstává v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém, jestliže není přinuceno vnějšími silami tento svůj stav změnit. 2. Newtonův zákon - zákon síly. Působí-li na těleso vnější síla, je změna rychlosti tělesa přímo úměrná této působící síle, přičemž konstantou úměrnosti je hmotnost tělesa. Tento zákon obvykle vyjadřujeme ve formě rovnice :

r r m⋅a = F

tedy

hmotnost · zrychlení = síla

3. Newtonův zákon - zákon akce a reakce. Dvě tělesa, která jsou ve vzájemném kontaktu, na sebe působí silami stejně velkými, opačně orientovanými.

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška Newtonův gravitační zákon. Dvě tělesa se navzájem přitahují silou, přímo úměrnou hmotnosti obou těles a nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti mezi oběma tělesy. V matematické podobě pak :

m1 ⋅ m 2 G = κ⋅ r2 κ = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 m1 m2 r

r G

r G m1

- gravitační konstanta, - hmotnost jednoho tělesa, - hmotnost druhého tělesa, - vzdálenost mezi tělesy.

Na povrchu Země pak je : m1 = 5,98·1024 kg r = 6 378 km

- hmotnost Země, - poloměr Země.

Přitažlivá (tíhová) síla pak je : kde g je gravitační zrychlení :

G = m⋅g m1 g = κ ⋅ 2 = 9 ,81 m ⋅ s − 2 r

m2 r

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška V dynamice se budeme zabývat pohybem tří základních typů objektů. Bod

- je objekt, jenž nemá žádné rozměry (ale má jistou hmotnost).

Je zřejmé, že tento pojem je pojmem abstraktním. Žádné reálně těleso nemůže být skutečně bodem. Přesto je tato abstrakce užitečná a mnoho případů pohybu reálného tělesa lze se zanedbatelnou chybou zredukovat na pohyb hmotného bodu.

Těleso - je objekt nezanedbatelných rozměrů, nedeformovatelný.

V mechanice zavádíme předpoklad absolutně tuhého tělesa. To znamená, že deformace tělesa vlivem působících sil je zanedbatelná. Dynamika poddajných těles (jejichž deformace není zanedbatelná) přesahuje rozsah tohoto učebního textu.

Soustava těles - je objekt, složený z několika těles, jejichž vzájemná poloha se může měnit.

Soustavu těles nazýváme mechanismem.

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška Zabývá-li se dynamika vztahem mezi pohybem a silami, pak je účelné zkoumat nejprve samotné zákonitosti pohybu a teprve pak se ptát na závislost na silách.

dynamika kinematika

dynamika

jen pohyb

pohyb a síly

Kinematika se zabývá zákonitostmi pohybu. Vztahem mezi základními kinematickými veličinami, t.j. časem, dráhou, rychlostí a zrychlením.

Dynamika se zabývá vztahem mezi základními veličinami dynamiky, t.j. hmotou, pohybem a silami.

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška

Kinematika - nauka o pohybu Kinematika se zabývá popisem a vyšetřováním pohybu bodu, tělesa nebo soustavy těles. Pohybem rozumíme změnu polohy v čase. Polohou je míněna poloha v prostoru, ve kterém se bod nebo těleso nachází. Prostor je spojitý (bod může v prostoru zaujmout jakoukoliv polohu). Trojrozměrný prostor - směr dopředu-dozadu, doprava-doleva, nahoru-dolů. Dvourozměrný prostor - rovina, obecně však jakákoliv plocha. Jednorozměrný prostor - křivka, ve zvláštním případě přímka. V trojrozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně určena třemi souřadnicemi. Ve dvourozměrném prostoru je poloha bodu určena dvěma souřadnicemi. V jednorozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně dána jedinou souřadnicí. Čas je jednorozměrná, spojitá, skalární veličina, jeho změna je nezávislá, plyne rovnoměrně vždy dopředu a je absolutní, tedy pro všechna tělesa a pro všechny pozorovatele společný.

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška Jedním ze základních pojmů kinematiky a mechaniky je stupeň volnosti. Pohyblivost jakéhokoliv objektu je dána počtem stupňů volnosti.

Stupeň volnosti je možný nezávislý pohyb. z „Možný pohyb“ - není důležité, zda pohyb skutečně nastane. Důležité je, že může nastat (nic mu nebrání). x Hmotný bod padá volným pádem v prostoru. Padá svisle dolů. Ale mohl by se pohybovat i ve dvou vodorovných směrech (třeba kdyby zafoukal vítr). Může tedy vykonávat tři pohyby, má tři stupně volnosti.

{x , y , z}

y

„Nezávislý pohyb“- mezi dvěma pohyby, jež představují dva stupně volnosti, nesmí platit žádný explicitní vztah, daný vnějšími okolnostmi. Hmotný bod je vázán ke kruhové trajektorii. Vykonává pohyb ve dvou směrech - x a y. Pohyb v jednom směru (např. y) však je určen pohybem v jiném směru (x). Jen jeden z těchto pohybů je nezávislý, bod má jeden stupeň volnosti.

x x 2 + y2 = R 2

φ

y = ± R2 − x2

{x}

{nezávislá souřadnice}

y

{φ}

x = R ⋅ sin φ y = R ⋅ cos φ

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška bod

těleso

na křivce (1 rozměrný prostor)

1° volnosti pohyb určitým směrem

v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor)

až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech

až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu

v prostoru (3 rozměrný prostor)

až 3° volnosti pohyb ve třech směrech

až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška bod

těleso

na křivce (1 rozměrný prostor)

1 souřadnice dráha s

v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor)

2 souřadnice x, y

3 souřadnice x, y a úhel natočení φ

v prostoru (3 rozměrný prostor)

3 souřadnice x, y, z

6 souřadnic x, y, z a tři úhly natočení, např. α, β, γ

Okamžitá poloha objektu je jednoznačně určena tolika nezávislými souřadnicemi, kolik stupňů volnosti objekt má. Objekt má tolik stupňů volnosti, kolik nezávislých souřadnic je zapotřebí k jednoznačnému určení jeho polohy.


Pohyb bodu Pohyb bodu po dané dráze - základní kinematické veličiny. čas

značíme základní jednotkou je dalšími jednotkami jsou

t z anglického slova [s] {sekunda} [min, hod, ...] {minuta, hodina, ...}

time

dráha, souřadnice značíme základní jednotkou je dalšími jednotkami jsou

s, x, y, ... [m] [cm, km, ...]

{metr} {centimetr, kilometr, ...}

rychlost značíme základní jednotkou je dalšími jednotkami jsou

v [m/s, m·s-1] [km/hod]

z anglického slova {metr za sekundu} {kilometr za hodinu}

zrychlení značíme základní jednotkou je

a z anglického slova acceleration [m/s2, m·s-2] {metr za sekundu na druhou}

velocity


Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas.

∆s v= ∆t

m −1  , m ⋅ sec  sec 

s Tuto rychlost nazveme střední rychlostí nebo průměrnou rychlostí.

∆s vs = ∆t

Okamžitá rychlost - nekonečně malá změna dráhy za nekonečně malý přírůstek času.

∆s ds v = lim = = s& ∆t →0 ∆t dt Tuto limitu definuje matematika jako derivaci.

Okamžitá rychlost je derivace dráhy podle času.

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška Abychom snadno rozlišovali kladnou a zápornou rychlost, zavádíme pojem orientovaná souřadnice.

∆t A(t)

A(t+∆t) vstř

vs =

∆s

počátek

s s(t)

s(t+∆t) v v

∆s ∆t

+

-

Kladná rychlost v znamená nárůst dráhy (souřadnice), proto je kladná rychlost orientována vždy ve směru nárůstu příslušné souřadnice.


Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za čas. v

v+∆v

∆v a= ∆t  m −2  , m sec ⋅  sec 2 

s Zrychlení je zrychlení průměrné neboli střední.

∆v as = ∆t

∆v dv a = lim = = v& ∆t →0 ∆t dt

Okamžité zrychlení je derivace rychlosti podle času.

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška Kladné zrychlení je orientováno stejně, jako kladná rychlost, tedy ve směru nárůstu souřadnice.

A(t)

∆t

A(t+∆t)

v(t)

v(t+∆t)

počátek

s

dráha, rychlost a zrychlení jsou funkcí času rychlost a zrychlení jsou funkcí dráhy zrychlení je funkcí rychlosti

a

+

a

-

s = f 1( t )

v = f 2 (t )

a = f 3 (t )

v = f 4 (s )

a = f 5 (s )

Úplné kinematické řešení.

a = f 6 (v )


Shrnutí ds v= = s& dt

rychlost je derivace dráhy podle času

dv a= = v& dt

zrychlení je derivace rychlosti podle času

d 2s a = 2 = &s& dt

zrychlení je druhá derivace dráhy podle času

dv a = v⋅ ds

zrychlení je rovno rychlosti, násobené derivací rychlosti podle dráhy

1 d v2 a= ⋅ 2 ds

zrychlení je rovno jedné polovině derivace kvadrátu rychlosti podle dráhy

( )

toto jsou obecně platné vztahy mezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením


Shrnutí ds v= = s& dt

podle toho, jak se dráha, rychlost a zrychlení mění v čase, rozlišujeme tři druhy pohybu :

dv a= = v& dt

A) Pohyb rovnoměrný - rychlost je konstantní.

d 2s a = 2 = &s& dt

B) Pohyb rovnoměrně zrychlený - zrychlení je konstantní.

dv a = v⋅ ds

C) Pohyb nerovnoměrný.

( )

1 d v2 a= ⋅ 2 ds

toto jsou obecně platné vztahy mezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška A) pohyb rovnoměrný : je takový pohyb, jehož rychlost je konstantní v = konst.

dv a= =0 dt ∆s v= ∆t ∆s = v ⋅ ∆t

rychlost je konstantní, její změna (derivace) je nulová

∆s = s − s 0 ∆t = t − t 0

s − s 0 = v ⋅ (t − t 0 ) s = v ⋅ t + s0 toto jsou vztahy, platné pouze pro rovnoměrný pohyb (v=konst).

s - okamžitá dráha s0 - počáteční dráha (v závislosti na volbě souřadného systému může být nulová) t - okamžitý čas t0 - počáteční čas - obvykle volíme t0=0

s s0 t

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. shrnutí v

v = a ⋅ t + v0

v0

v − v0 t= a

t s

s = 12 ⋅ a ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t + s 0

s0 t v

v = 2 ⋅ a ⋅ (s − s 0 ) + v 0

2 v0 s

toto jsou vztahy, platné pouze pro rovnoměrně zrychlený pohyb (a=konst).

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst.

Špičkové sportovní auto zrychluje z klidu na rychlost v = 100 km/hod (27,8 m/s) za čas t = 5 s.

v = a⋅t

Jeho zrychlení tedy je a = 5,6 m/s2.

s = 12 ⋅ a ⋅ t 2

Dráha rozjezdu pak je s = 70 m.

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění. T v r

φ

y r y φ0 ω

y = r ⋅ sin(ω ⋅ t + φ 0 )

T

r

t

amplituda [m]

v kruhová frekvence [s-1] r ω frekvence [Hz] f = počet cyklů za sekundu 2⋅π 1 2⋅π perioda [s] T= = doba jednoho cyklu f ω φ počáteční úhel φ, fázový posuv [-] ω=

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění. T v r

φ

y r y φ0 ω

T

t

y = r ⋅ sin(ω ⋅ t + φ 0 )

r

amplituda [m]

v = y& = r ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t + φ 0 )

r ⋅ω

max. rychlost [m/s]

a = v& = − r ⋅ ω2 ⋅ sin(ω ⋅ t + φ0 )

r ⋅ ω2

max. zrychlení [m/s2]

a = − ω2 ⋅ y Je to kmitavý pohyb hmotného objektu na pružném uložení.

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.

a = g −β⋅v dv = g −β⋅v dt dv = dt g −β⋅v

y, v, a

1 g −β⋅ v ⋅ ln =t −β g

 β  1 ⋅ ln1 − ⋅ v  = t −β  g 

Pro jednoduchost provedeme řešení s nulovými počátečními podmínkami. v

t

dv ∫0 g − β ⋅ v = ∫0 dt 1 t v ⋅ [ln(g − β ⋅ v )]0 = t 0 −β 1 ⋅ [ln(g − β ⋅ v ) − ln(g )] = t −β

(

g v = ⋅ 1 − e −β⋅t β

)



y, v, a

(

g v = ⋅ 1 − e −β⋅t β

Pro čas, narůstající nade všechny meze, se průběh blíží ustálené hodnotě :

(

)

(

)

g g v ustálená = lim ⋅ 1 − e −β⋅t = ⋅ 1 − e −β⋅∞ = t →∞ β β g  1  g g = ⋅ 1 − β⋅∞  = ⋅ (1 − 0) = β  e  β β

(

)

v = v ustálená ⋅ 1 − e −β⋅t v ustálená

g = β

)


y, v, a


V ustáleném stavu se rychlost již nebude měnit, bude konstantní (v = vustálená = konst). Zrychlení tedy bude nulové.

a = g − β ⋅ v ustálená = 0

v ustálená

g = β

(

g v = ⋅ 1 − e −β⋅t β

(

)

v = v ustálená ⋅ 1 − e −β⋅t v ustálená

g = β

)



y, v, a

v

T

vustálená

v = v ustálená ⋅ (1 − e

1 T= β

− β⋅ t

)

(

g v = ⋅ 1 − e −β⋅t β

(

63% v ust

t=T

t=2·T

t=3·T

t=4·T

)

v = v ustálená ⋅ 1 − e −β⋅t

95% v ust tečna

časová konstanta [s]

t=5·T t

v ustálená

g = β

)


dy = v ustálená ⋅ (1 − e −β⋅t ) v= dt

(

)

dy = v ustálená ⋅ 1 − e −β⋅t ⋅ dt y, v, a

y

t

(

separace proměnných

)

t

(

)

−β⋅t −β⋅t dy = v ⋅ 1 − e ⋅ dt = v ⋅ 1 − e ⋅ dt ustálená ∫ ∫ ∫ ustálená 0

0

0

t

y

 1 −β⋅ t  y = v ustálená ⋅  t − ⋅e   −β 0  1 −β⋅t 1  ⋅e + y = v ustálená ⋅  t −  − β − β  

y = v ustálená ⋅ t

(

t

)

 1  y = v ustálená ⋅  t − ⋅ 1 − e −β⋅t   β 

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.

m G h

M⋅m M⋅m R2 G = κ⋅ 2 = κ⋅ = m⋅g⋅ 2 r (R + h ) (R + h )2 κ = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 M = 5,98·1024 kg R = 6 378 km

Země

- gravitační konstanta, - hmotnost Země, - poloměr Země.

R na povrchu Země (y=0) :

M⋅m G = κ⋅ 2 = m⋅g R κ⋅M = g⋅R2

κ⋅M = g = 9 ,81 m 2 2 s R

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. volný pád z výšky h v, a

m G y

h

R2 G = m⋅g⋅ (R + h − y )2 dv R2 a = v⋅ = g⋅ dy (R + h − y )2

Země

R

y

v

R2 ∫0 v ⋅ dv = ∫0 g ⋅ (R + h − y)2 ⋅ dy y

1 2

  1  ⋅ v = g ⋅ R ⋅   R + h − y 0

1 2

 1 1   ⋅ v = g ⋅ R ⋅  − R+h−y R+h

2

2

2

2

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. volný pád z výšky h v, a

m G y

h

R2 G = m⋅g⋅ (R + h − y )2 dv R2 a = v⋅ = g⋅ dy (R + h − y )2

Země

R

rychlost dopadu na Zemi :

R2 v(y ) = 2 ⋅ g ⋅ y ⋅ (R + h − y )⋅ (R + h )

v (y=h ) = 2 ⋅ g ⋅ h ⋅

h << R

R R+h

v( y=h ) ≅ 2 ⋅ g ⋅ h

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. svislý vrh vzhůru v, a

R2 G = m⋅g⋅ (R + y )2

m y

R2 a = −g ⋅ (R + y )2

v0 G Země

dv g ⋅R2 v⋅ =− 2 dy (R + y )

R

g⋅R −2 2 ( ) ∫v0 v ⋅ dv = ∫0 − (R + y )2 ⋅ dy = −g ⋅ R ⋅ ∫0 R + y ⋅ dy y

v

[

1 2

⋅v

]

2 v v0

y

2

 (R + y )  1  2 2  = −g ⋅ R ⋅   = g⋅R ⋅  − 1 R + y  0  0 −1

y

y

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. svislý vrh vzhůru v, a

R2 G = m⋅g⋅ (R + y )2

m G y

v0

1 2

Země

(

⋅ v − v0

R

2

)

 1 1 −y = g ⋅ R ⋅  −  = g ⋅ R ⋅ R+y R+y R 2

v = v0 − 2 ⋅ g ⋅ R ⋅ 2

v 0 < 2 ⋅ g ⋅ R ≅ 11 km / s

v0 ⋅ R h= 2 2 ⋅ g ⋅ R − v0

2

2

v( y=h ) = 0

těleso se zastaví ve výšce h

y R+y

v 0 > 2 ⋅ g ⋅ R ≅ 11 km / s

v ustálená = lim v ( y ) = v 0 − 2 ⋅ g ⋅ R 2

y →∞

těleso se neustále vzdaluje od Země

Dynamika hmotného bodu


Základem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.

r v m ⋅ a = ∑ Fi

základní pohybová rovnice m – hmotnost [kg] a – zrychlení [m/s2] F – síla [N]

a F m

m·a = F m = 2 kg F=3N a = 1,5 m/s2

Základní pohybová rovnice určuje vztah mezi silami, působícími na hmotný objekt, a pohybem, těmito silami způsobeným.




r v m ⋅ a = ∑ Fi

y m

F

základní pohybová rovnice x

a α

Základní pohybová rovnice má na pravé straně všechny působící síly.

T

G

f N

G, F - akční síly N - normálová reakce T = f·N - třecí síla

r r r r r v m ⋅ a = ∑ Fi = G + F + N + T

ax = a m ⋅ a x = ∑ Fxi = G ⋅ sin α − F ⋅ cos α − T Vektorovou rovnici rozložíme na složky dle zvoleného souřadného systému.

m ⋅ a = G ⋅ sin α − F ⋅ cos α − N ⋅ f

ay = 0 m ⋅ a y = ∑ Fyi = N − G ⋅ cos α − F ⋅ sin α = 0

Vyloučením reakcí získáme tzv. vlastní pohybovou rovnici.

N = G ⋅ cos α + F ⋅ sin α m ⋅ a = G ⋅ sin α − F ⋅ cos α − f ⋅ (G ⋅ cos α + F ⋅ sin α )

m ⋅ a = G ⋅ (sin α − f ⋅ cos α ) − F ⋅ (cos α + f ⋅ sin α )

vlastní pohybová rovnice vznikne ze základní vyloučením reakcí




r v m ⋅ a = ∑ Fi

přímý (Newtonův) způsob sestavení pohybové rovnice

a F m

m·a = F m = 2 kg F=3N a = 1,5 m/s2

Tomuto způsobu sestavení pohybové rovnice, kdy na levé straně rovnice je součin hmotnosti a zrychlení, a ten je na pravé straně roven součtu působících vnějších sil, říkáme přímý, nebo též Newtonův způsob sestavení pohybové rovnice.



Alternativní způsob sestavení pohybové rovnice nabídnul Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783). Součin hmotnosti a zrychlení převedeme na opačnou stranu rovnice. Zavedeme substituci. Takto vzniklá rovnice má formálně charakter rovnice rovnováhy. Tomuto postupu říkáme d’Alembertův princip. Můžeme jej rozložit do dvou kroků : 1. Zavedeme tzv. d’Alembertovu sílu. Její velikost je rovna součinu hmotnosti a zrychlení. Její směr je opačný než je směr zrychlení. 2. Silová soustava vnějších sil, doplněná o d’Alembertovu sílu, je v rovnováze. Rovnováhu vyjádříme rovnicemi rovnováhy. Po dosazení D=m·a pak dostáváme pohybovou rovnici.

r v m ⋅ a = ∑ Fi r v r ∑ Fi − m ⋅ ra = 0 v − m⋅a = D r r r ∑ Fi + D = 0

d’Alembertův princip 1.

2.

r v D = −m ⋅ a D = m⋅a r r r ∑ Fi + D = 0

rovnice rovnováhy

a D

F m

F-D=0 m·a = F

D = m·a



Alternativní způsob sestavení pohybové rovnice nabídnul Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783). y m

F x

a G

α

1.

2.

D

r v D = −m ⋅ a D = m⋅a r r ∑ Fi = 0

∑F ∑F

xi

d’Alembertův princip f

T

1.

N

2.

rovnice rovnováhy

Proti směru zrychlení zavedeme d’Alembertovu sílu.

∑F

xi

=0

∑F

yi

=0

r v D = −m ⋅ a D = m⋅a r r r ∑ Fi + D = 0

Sestavíme rovnice rovnováhy.

= G ⋅ sin α − F ⋅ cos α − T − D = G ⋅ sin α − F ⋅ cos α − N ⋅ f − D = 0

= N − G ⋅ cos α − F ⋅ sin α = 0 N = G ⋅ cos α + F ⋅ sin α G ⋅ sin α − F ⋅ cos α − f ⋅ (G ⋅ cos α + F ⋅ sin α ) − D = 0 G ⋅ (sin α − f ⋅ cos α ) − F ⋅ (cos α + f ⋅ sin α ) − D = 0 G ⋅ (sin α − f ⋅ cos α ) − F ⋅ (cos α + f ⋅ sin α ) − m ⋅ a = 0 yi

m ⋅ a = G ⋅ (sin α − f ⋅ cos α ) − F ⋅ (cos α + f ⋅ sin α )

D = m⋅a



Alternativní způsob sestavení pohybové rovnice nabídnul Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783).

r v m ⋅ a = ∑ Fi

d’Alembertův princip 1.

přímý (Newtonův) způsob sestavení pohybové rovnice

a F m

m·a = F m = 2 kg F=3N a = 1,5 m/s2

Oba tyto postupy jsou samozřejmě správné, ale nesmí se navzájem kombinovat ! m·a = F-D

2.

r v D = −m ⋅ a D = m⋅a r r r ∑ Fi + D = 0

rovnice rovnováhy

a D

F m

F-D=0 m·a = F

D = m·a

D - d’Alembertova síla, dynamická síla, doplňková síla, setrvačná síla. Působí proti směru zrychlení, její velikost je rovna součinu hmotnosti a zrychlení.

Dynamika hmotného bodu dva druhy úloh v dynamice


y T F x

m

a α

G

f N

m ⋅ a = G ⋅ (sin α − f ⋅ cos α ) − F ⋅ (cos α + f ⋅ sin α ) úloha 1. druhu - kinetostatická

úloha 2. druhu - dynamická

je dán požadovaný pohyb, zrychlení a vypočtěte sílu F=?, potřebnou k dosažení požadovaného pohybu

je dána síla F

rovnice rovnováhy - algebraické

rovnice diferenciální

vypočtěte jak se těleso bude pohybovat a=?

G ⋅ (sin α − f ⋅ cos α ) − m ⋅ a F= cos α + f ⋅ sin α G ⋅ (sin α − f ⋅ cos α ) − F ⋅ (cos α + f ⋅ sin α ) a= m D = m ⋅ a ∑ Fi = 0 a = &s&

r r m⋅a = F r r dv m⋅ =F dt r d ( m ⋅ v) r =F dt r r d( m ⋅ v) = F ⋅ dt

Zákony o změně r r dv a= dt


Úpravy pohybové rovnice nás přivedou k definování dalších fyzikálních veličin. Je-li síla konstantní, lze ji z integrálu vytknout a vyjádřit impuls síly r r jednodušeji : I = F⋅ t

r m⋅v1

t

r m⋅v 0

0

r

r r p = m⋅ v

hybnost hmoty

r tr I = ∫ F( t ) ⋅ dt

impuls síly

r

r

Změna hybnosti ∆p = p1 − p 0 znamená změnu velikosti, změnu směru nebo obojí.

r r r r ∫ d( m ⋅ v) = m ⋅ v1 − m ⋅ v 0 = ∫ F ⋅ dt

[kg·m·s-1] [N·s ≈ kg·m·s-1]

0

r p0

zákon o změně hybnosti

r r r r ∆p = p1 − p 0 = I

Zde p0 je hybnost na začátku vyšetřovaného děje, p1 je hybnost na konci vyšetřovaného děje.

r r r p1 = p 0 + ∆p

r ∆p

r r r L= r×p r r t r r IM = ∫ M ( t ) ⋅ dt 0 r r r M= r×F

Zákony o změně

r r r r ∆L = L1 − L 0 = IM


moment hybnosti (točivost)

[kg·m2·s-1]

polohový vektor

[m]

impuls momentu

[N·m·s ≈ kg·m2·s-1]

moment síly

[N·m]

zákon o změně momentu hybnosti

Zákony o změně

( )

r r m⋅a = F

1 d v2 a= ⋅ 2 ds

( )


Úpravy pohybové rovnice nás přivedou k definování dalších fyzikálních veličin.

1 d v2 m⋅ ⋅ =F 2 ds

(

)

(

)

d 12 ⋅ m ⋅ v 2 =F ds

d 12 ⋅ m ⋅ v 2 = F ⋅ ds 1 ⋅m⋅ v 2 1 2

(

)

2 1 d ⋅ m ⋅ v = 12 ⋅ m ⋅ v1 − 12 ⋅ m ⋅ v 0 = ∫ F ⋅ ds ∫ 2 2

2

1 ⋅m⋅ v 2 0 2

Je-li síla konstantní, lze ji z integrálu vytknout a vyjádřit práci r r A = F⋅ s jednodušeji :

s

E K = 12 ⋅ m ⋅ v 2 r A = ∫ F ⋅ ds

kinetická energie

[J ≈ kg·m2·s-2]

práce

[N·m ≈ kg·m2·s-2]

s

zákon o změně kinetické energie

∆E K = E K1 − E K 0 = A

Zde EK0 je kinetická energie na začátku vyšetřovaného děje, EK1 je kinetická energie na konci vyšetřovaného děje.

Zákony o změně r A = ∫ F ⋅ ds s

práce

r F

δ=0

r F δ r FP

Práce je skalární součin síly a dráhy, je tedy třeba vzít v úvahu rovněž úhel mezi směrem dráhy a směrem síly : skalární součin

r r A = F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos δ

δ r FN


r s K vyjádření práce můžeme přistoupit i jinak. Sílu rozložíme na složky ve směru dráhy (pracovní) a kolmo ke směru dráhy (nepracovní) : pracovní složka síly nepracovní složka síly

FP = F ⋅ cos δ

A = FP ⋅ s = F ⋅ cos δ ⋅ s

r s

→ A = F⋅s > 0

FN = F ⋅ sin δ

cos 0 = 1

kladná práce – práce vykonaná

cos 90° = 0

práce se nevykonává

δ < 90° → A = F ⋅ s ⋅ cos δ > 0 δ = 90° → A = 0

δ > 90° → A = F ⋅ s ⋅ cos δ < 0 cos(δ > 90°) < 0 záporná práce – práce spotřebovaná δ = 180° → A = −F ⋅ s

cos 180° = −1

Zákony o změně r A = ∫ F ⋅ ds


[N·m ≈ kg·m2·s-2]

práce

s

výkon

r r dA F ⋅ ds r r P= = = F⋅ v dt dt

[N·m·s-1 ≈ W]

r F

δ r FN

r r P = F ⋅ v = F ⋅ v ⋅ cos δ r v

r F

FP = F ⋅ cos δ

δ

P = FP ⋅ v = F ⋅ cos δ ⋅ v

r FP

r v

FN = F ⋅ sin δ

Zákony o změně r r E P = ∫ F ⋅ ds = A

potenciální energie

s

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška Potenciální energie je rovna práci, kterou musíme vykonat, abychom těleso přemístili z jedné polohy do druhé.

h

h

h

0

0

0

A = ∫ F ⋅ dy = ∫ m ⋅ g ⋅ dy = m ⋅ g ⋅ ∫ dy = m ⋅ g ⋅ h y

1

2

3

F = G = m⋅g

EP = m ⋅ g ⋅ h F=G m G

EP = 0

potenciální energie (polohová) Potenciální energie je spojena s polohou tělesa nad povrchem Země.

zvolíme si tzv. „hladinu nulové potenciální energie“

K přemístění může dojít po různých trajektoriích - integračních cestách. Obecně platí, že hodnota křivkového integrálu závisí na integrační cestě. V případě pohybu v gravitačním poli práce síly F nezávisí na integrační cestě. Při přemístění po jakékoliv trajektorii je práce síly F vždy stejná. Potenciální energie je rovna této práci. Silové pole, které má tuto vlastnost (práce nezávisí na integrační cestě) nazýváme konzervativní silové pole.



s

Ve skutečnosti tíhová síla G, a tedy ani tažná síla F=G, nejsou konstantní.

y

EP = 0


m

F=G G

Země

R

M⋅m M⋅m R2 G = κ⋅ 2 = κ⋅ = m⋅g⋅ 2 r (R + y ) (R + y )2 κ = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 M = 5,98·1024 kg R = 6 378 km r y

- gravitační konstanta, - hmotnost Země, - poloměr Země, - vzdálenost od středu Země, - výška nad povrchem Země.

na povrchu Země platí :

G = κ⋅

M⋅m = m⋅g 2 R

⇒

Práci je tedy třeba určit integrálem. h

A = ∫ F( y ) ⋅ dy 0

κ⋅M = g ⋅R2




s

h

h

0

0

A = ∫ F( y ) ⋅ dy = ∫ κ ⋅ m

F=G

h

G

EP = 0 Země

M⋅m ⋅ dy 2 (R + y )

R

y

 −1  1  1 A = κ⋅M⋅m⋅ = κ⋅M⋅m⋅ −   R R + h   R + y 0 h R A = κ⋅M⋅m⋅ = m⋅g⋅h ⋅ R ⋅ (R + h ) R+h potenciální energie je rovna této práci

κ⋅M = g ⋅R2

EP = A EP = m⋅g ⋅ h ⋅

R R+h

potenciální energie (polohová)

Pro malou výšku nad Zemí pak přibližně platí : pro h«R

EP ≅ m ⋅ g ⋅ h

R ≅1 R+h




s

Potenciální energie nemusí být spojena vždy jen s polohou hmotného objektu nad povrchem Země. Působíme-li na vetknutý nosník silou F, nosník se prohne o průhyb y. Působiště síly se posune a síla F tedy koná práci. l - délka nosníku, F ⋅ l3 y = F E - modul pružnosti v tahu 3⋅ E ⋅ J J - moment setrvačnosti y 3⋅ E ⋅ J F = k·y k - tuhost k= l3 Pro výpočet práce je však třeba mít na paměti, že síla F=k·y není konstantní. Pro průhyb o první milimetr stačí pouze malá síla F. Na druhý milimetr je již síla F větší. Teprve při úplném prohnutí dosahuje síla F své konečné hodnoty. Práci je tedy třeba určit integrováním : y

y

A = ∫ F ⋅ dy = ∫ k ⋅ y ⋅ dy = 12 ⋅ k ⋅ y 2 = 12 ⋅ F ⋅ y 0

EP = A

0

E P = 12 ⋅ k ⋅ y 2 = 12 ⋅ F ⋅ y

potenciální energie (deformační) Potenciální energie je spojena s deformací poddajného objektu (nosníku).

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška zákon o zachování celkové mechanické energie

E C = E K + E P = konst m

v0 = 0 EK0 = 0 EP0 = m·g·h

Součet kinetické a potenciální energie je celková mechanická energie. Soustavu, jejíž celková mechanická energie se zachovává, nazýváme konzervativní soustava.

E C = E K + E P = konst E K 0 + E P 0 = E K1 + E P1

0 + m ⋅ g ⋅ h = 12 ⋅ m ⋅ v1 + 0 2

h

v1 = 2 ⋅ g ⋅ h v1 ≠ 0 EK1 = ½·m·v12 EP1 = 0

EP = 0

Celková mechanická energie se zachovává. zvolíme si tzv. „hladinu nulové potenciální energie“

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška zákon o změně celkové mechanické energie Soustavu, jejíž celková mechanická energie se mění, nazýváme nekonzervativní soustava.

E C = E K + E P ≠ konst

s

EP1 = m·g·h v

F

h

m T

E C1 = E C 0 + A

EP0 = 0 N

α

EK1 = ½·m·v12

EK0 = ½·m·v02

G

m ⋅ g ⋅ h + 12 ⋅ m ⋅ v1 = 0 + 12 ⋅ m ⋅ v 0 + F ⋅ cos α ⋅ s − T ⋅ s 2

2

EC1

1 2

EC0

A

⋅ m ⋅ v1 = 0 + 12 ⋅ m ⋅ v 0 + F ⋅ cos α ⋅ s − T ⋅ s − m ⋅ g ⋅ h 2

v1 =

1 2

2

⋅ m ⋅ v 0 + F ⋅ cos α ⋅ s − T ⋅ s − m ⋅ g ⋅ h 1 2 ⋅m 2

N = G ⋅ cos α + F ⋅ sin α T = f ⋅N h = s ⋅ sin α

Změna celkové mechanické energie je rovna práci nekonzervativních sil. (to jest sil, které nevytvářejí potenciální energii)


m

s v F

h

m T α

N G

h Způsob výpočtu dynamiky, založený na rozboru celkové mechanické energie, se nazývá energetická bilance.


Pohyb bodu v prostoru

Vyšetřujeme-li pohyb bodu po křivočaré trajektorii, musíme se zabývat nejen velikostí ale i směrem kinematických veličin - rychlosti v a zrychlení a.

r r

Poloha bodu v prostoru je určena polohový vektorem r. Počáteční bod polohového vektoru leží v počátku souřadného systému (je pevný, nehybný), koncový bod leží v bodě, jehož polohu určuje (pohybuje se). Rychlost v a zrychlení a jsou vektorové veličiny (podobně jako např. síla nebo intenzita elektrostatického pole). To znamená že mají velikost a směr.

r v r a

rychlost

r v


Pohyb bodu v prostoru ∆s A(t)

s

trajektorie

r r(t )

s - dráha A(t+∆t)

r ∆r

r – polohový vektor

r r r r( t + ∆t ) = r( t ) + ∆ r r r r ∆ r d r r& v = lim = =r ∆t →0 ∆t dt

r r( t + ∆t )

Okamžitá rychlost má směr tečny k trajektorii.

r r r( t ) r( t + ∆t ) r ∆r A(t) A(t+∆t)

O

polohový vektor v čase t („teď“) polohový vektor v čase t+∆t („za chvíli“) změna polohového vektoru bod A v čase t („teď“) bod A v čase t+∆t („za chvíli“)

velikost rychlosti

ds v= = s& dt

r lim ∆s = lim ∆ r

∆t →0

∆t →0

Dva body na křivce určují sečnu. Jsou-li tyto body nekonečně blízko u sebe („soumezné body“), sečna přechází v tečnu.

zrychlení

r a


A(t)

trajektorie

r v (t ) r v ( t + ∆t ) r ∆v

r r(t )

r v (t )

Pohyb bodu v prostoru r r r v ( t + ∆ t ) = v ( t ) + ∆v v ( v + ∆t ) A (t+∆t)

r ∆r r r( t + ∆t )

r ∆v dv r& a = lim = =v ∆ t → 0 ∆t dt

O

rychlost v čase t („teď“) rychlost v čase t+∆t („za chvíli“) změna rychlosti

r v (t )

r ∆v

r v (t + ∆t )

Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti. Při tom musíme zvlášť brát v úvahu změnu velikosti rychlosti a změnu směru rychlosti.

zrychlení

r a


A(t)

trajektorie

r v (t ) r v ( t + ∆t ) r ∆v ∆v vel ∆v sm

r r(t )

r v (t )

Pohyb bodu v prostoru r r r v ( t + ∆ t ) = v ( t ) + ∆v v ( v + ∆t ) A (t+∆t)

r ∆r r r( t + ∆t )

r ∆v dv r& a = lim = =v ∆ t → 0 ∆t dt

O

rychlost v čase t („teď“) rychlost v čase t+∆t („za chvíli“) změna rychlosti

r v (t )

r v (t + ∆t )

r ∆v

r ∆ v sm r ∆ v vel

změna velikosti rychlosti změna směru rychlosti

∆v = ∆v vel + ∆vsm

Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti. Při tom musíme zvlášť brát v úvahu změnu velikosti rychlosti a změnu směru rychlosti. Obě složky vektoru změny rychlosti ∆v probereme zvlášť.

r a

zrychlení

t


A(t)

trajektorie

r v (t ) r an

r r(t )

n

O

r ∆v vel

r v (t )

r v ( t + ∆t )

(t+∆t)

r ∆r r r( t + ∆t )

r ∆v dv r& a = lim = =v ∆ t → 0 ∆t dt r r r a = at + an

Mění se pouze velikost rychlosti, směr zůstává beze změny. Zrychlení má stejný směr jako rychlost - směr tečny. Velikost tečného zrychlení je : a t =

r v ( t + ∆t )

r v (t )

Pohyb bodu v prostoru r r r r at v ( t + ∆ t ) = v ( t ) + ∆v v ( v + ∆t ) A

• •

r ∆v sm

∆v vel dv lim = ∆t →0 ∆t dt

Mění se pouze směr rychlosti, velikost zůstává beze změny. Zrychlení má směr kolmý k rychlosti - směr normály. Velikost normálového zrychlení bude určena zvlášť.

∆v sm a n = lim ∆t →0 ∆t

Pozn. Je třeba mít na paměti, že úhel, který spolu svírají vektory v(t) a v(t+∆t), je nekonečně malý.

r a

zrychlení

t

trajektorie


Pohyb bodu v prostoru A(t)

r v (t ) r an

r r(t )

n

r at

A(t+∆t)

r v ( v + ∆t )

r ∆r r r( t + ∆t )

O

l=

2⋅π⋅R ⋅ α [st ] 360

) l = R ⋅ α [rad ] = R ⋅ α R

V kinematice budeme často používat vyjádření délky l kruhového oblouku o poloměru R a vrcholovém úhlu α jako součinu poloměru a úhlu, vyjádřeného v radiánech (tzv. „v obloukové míře“).

l

α

1 rad = (180/π)º ≅ 57,3 º

r a

zrychlení

t

trajektorie


Pohyb bodu v prostoru A(t)

r at

r v (t )

r ∆r

r an r r(t )

A(t+∆t)

r v ( v + ∆t )

n

r r( t + ∆t )

O

trajektorie

„délka oblouku“ „poloměr“ úhel

∆s A(t+∆t)

A(t)

∆s = R ⋅ ∆φ

∆s ∆φ = R n

R

n

∆v sm = v ⋅ ∆φ r v (t ) ∆φ r v ( t + ∆t )

• •

r ∆v sm

∆s ∆φ = R

v ∆v sm ∆s 1 ∆s 1 v 2 an = = v⋅ ⋅ = v⋅ ⋅ = R ∆t ∆t ∆t R R

poloměr křivosti ∆φ

S

r a

zrychlení

t


A(t)

trajektorie

r v (t ) r an

r r(t )

n

Pohyb bodu v prostoru r r r r at v ( t + ∆ t ) = v ( t ) + ∆v v ( v + ∆t ) A (t+∆t)

r ∆r

r ∆v dv r& a = lim = =v ∆t → 0 ∆t dt r r r a = at + an

r r( t + ∆t )

O

r v (t )

r ∆v vel

dv at = dt

tečné zrychlení má směr tečny k trajektorii, vyjadřuje změnu velikosti rychlosti

r ∆v sm

v2 an = R

normálové zrychlení má směr normály k trajektorii, 2   m ⋅ v vyjadřuje změnu  F  odstř =  R  směru rychlosti 

r v ( t + ∆t )

r v (t ) r v ( t + ∆t )

• •

R - poloměr křivosti trajektorie

odstředivá síla Fodstř = m·an

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška tečna, normála, binormála – přirozený souřadný systém t t trajektorie S n

R n

trajektorie oskulační kružnice

střed oskulační kružnice S je střed křivosti trajektorie poloměr oskulační kružnice R je poloměr křivosti trajektorie

Tečna t je přímka, daná dvěma soumeznými body trajektorie.

la “ á Normála n je kolmice k tečně, ležící v oskulační rovině. rm hran o in roj b Oskulační rovina je dána třemi soumeznými body trajektorie. a ní t a l od á Binormála b je přímka, kolmá k tečně a normále. rm rův o n „p , tečna - normála oskulační rovina na tzv. č te oří normála - binormála normálová rovina tv tečna - binormála

rektifikační rovina

Oskulační kružnice je dána třemi soumeznými body trajektorie.


Souřadné systémy

kartézský (pravoúhlý) souřadný systém, x, y, z

r r r r r r r r = rx + ry + rz = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k

z r rz

r i

r k

r r

r j

r rx

r vz r vx

r v

r a

A

r vy r ry

z x

x

y

dx vx = = x& dt

dy vy = = y& dt

x = x (t ) y = y (t ) z = z (t ) r r r r r d r r& d =r= x⋅ i + y⋅ j + z⋅k v= dt dtr r r r v = x& ⋅ i + y& ⋅ j + z& ⋅ k y r r r r r r r v = vx + vy + vz = vx ⋅ i + vy ⋅ j + vz ⋅ k

(

dz vz = = z& dt

)

r 2 2 2 v = v = vx + vy + vz

směrové úhly, směrové cosiny :

v cos α = x v úhel vektoru od osy x

cos β =

vy v

úhel vektoru od osy y

cos γ =

vz v

úhel vektoru od osy z


Souřadné systémy

kartézský (pravoúhlý) souřadný systém, x, y, z

r r r r r r r r = rx + ry + rz = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k

z r rz

r i

r k

r j

r rx

x

r r

r vz r vx

r v

A

r a

r vy r ry

z x

y

x = x (t ) y = y (t ) z = z (t ) r r r r r d r r& d =r= x⋅ i + y⋅ j + z⋅k v= dt dtr r r r v = x& ⋅ i + y& ⋅ j + z& ⋅ k y r r r r r r r v = vx + vy + vz = vx ⋅ i + vy ⋅ j + vz ⋅ k

(

)

r dx dy dz 2 2 2 & & & vx = = x vy = =y vz = = z v = v = vx + vy + vz dt dt dt r r r r r r r r dv r& d a= =v= v x ⋅ i + v y ⋅ j + v z ⋅ k = v& x ⋅ i + v& y ⋅ j + v& z ⋅ k dt dt r r r r r r r a = ax + ay + az = ax ⋅ i + ay ⋅ j + az ⋅k r 2 2 2 a = a = ax + ay + az a z = v& z = &z& a x = v& x = &x& a y = v& y = &y&

(

)


Souřadné systémy

cylindrický (válcový) souřadný systém, ρ, φ, z y

r rρ

ρ r i

r j

φ

r k z

r r A

r rz

r r r r r r = rρ + rz = ρ ⋅ i + z ⋅ k

ρ = ρ(t )

A’

φ = φ( t )

z = z (t )

z

x

y

A≡A’ ρ φ x

x = ρ ⋅ cos φ ρ = x 2 + y2

y = ρ ⋅ sin φ y φ = arctan x


Souřadné systémy

cylindrický (válcový) souřadný systém, ρ, φ, z y

r rρ

ρ r i

r j

φ

r k z

r r A

r rz

A’ z

A≡A’

φ x

r vρ

r vφ

y

φ

ρ r vz

r vφ

v φ = ρ ⋅ φ&

v z = z&

a ρ = &ρ& − ρ ⋅ φ& 2

A’

a φ = ρ ⋅ &φ& + 2 ⋅ ρ& ⋅ φ&

z A

v ρ = ρ&

r 2 2 2 v = v = vρ + vφ + v z r r r r r r r a = aρ + aφ + az = aρ ⋅ i + aφ ⋅ j + az ⋅ k

ρ

z

ρ = ρ(t ) φ = φ( t ) z = z (t ) r r r r r r r v = vρ + vφ + v z = vρ ⋅ i + vφ ⋅ j + v z ⋅ k x

y

r r r r r r = rρ + rz = ρ ⋅ i + z ⋅ k

r vρ

a z = &z& x

r 2 2 2 a = a = aρ + aφ + az


Souřadné systémy

sférický (kulový) souřadný systém, ρ, φ, ϑ

r r r r = rρ = ρ ⋅ i

z

r j r k

ρ = ρ(t )

ϑ r i

r r ρ

ϑ = ϑ( t )

A

φ

x

φ = φ( t )

y A’

x = ρ ⋅ sin ϑ ⋅ cos φ ρ = x 2 + y2 + z2

y = ρ ⋅ sin ϑ ⋅ sin φ y φ = arctan x

z = ρ ⋅ cos ϑ x 2 + y2 ϑ = arctan z


Souřadné systémy

sférický (kulový) souřadný systém, ρ, φ, ϑ

r r r r = rρ = ρ ⋅ i

z

r j r k

ρ = ρ(t ) φ = φ( t ) ϑ = ϑ( t ) r r r r r r r v = vρ + vφ + vϑ = vρ ⋅ i + vφ ⋅ j + vϑ ⋅ k & & v φ = ρ ⋅ sin ϑ ⋅ φ& v ϑ = ρ ⋅ ϑ y vρ = ρ

ϑ r i

r r A

ρ φ

x

ϑ

r r

r vφ

A r vϑ

φ x

r 2 2 2 v = v = vρ + vφ + vϑ

A’

z

r vρ

r r r r r r r a = aρ + aφ + aϑ = aρ ⋅ i + aφ ⋅ j + aϑ ⋅ k && − ρ ⋅ φ& 2 ⋅ sin 2 ϑ aρ = ρ y

A’

a φ(vr=) ρ ⋅ &φ& ⋅ sin ϑ + 2 ⋅ ρ& ⋅ φ& ⋅ sin ϑ + 2 ⋅ ρ ⋅ φ& ⋅ ϑ& ⋅ cos ϑ φ

&& + 2 ⋅ ρ& ⋅ ϑ& − ρ ⋅ φ& 2 ⋅ sin ϑ ⋅ cos ϑ aϑ = ρ⋅ϑ r 2 2 2 a = a = aρ + aφ + aϑ

Pohyb bodu po kružnici


polární souřadný systém, ρ, φ (rovinná varianta cylindrického souřadného systému) Kartézský souřadný systém x-y není pro řešení pohybu po kružnici moc vhodný. y Kartézské souřadnice x-y nabývají hodnot v omezeném vφ, aφ rozsahu (intervalu). ρ

φ

x ∈ − R ,R

vρ, aρ

y ∈ − R ,R

Kartézské souřadnice x-y nejsou na sobě nezávislé. Musí vždy splňovat rovnici kružnice.

A x

R

x 2 + y2 = R 2

Jedné hodnotě x odpovídají vždy dvě možné hodnoty y.

y = ± R2 − x2 Vhodnější je polární souřadný systém ρ-φ.

ρ = R = konst v ρ = ρ& = 0 a ρ = &ρ& − ρ ⋅ φ& 2 = −ρ ⋅ φ& 2 = − R ⋅ φ& 2 vρ = 0

v φ = v = R ⋅ φ&

φ = φ (t ) v φ = v = ρ ⋅ φ& = R ⋅ φ& a = ρ ⋅ &φ& + 2 ⋅ ρ& ⋅ φ& = R ⋅ &φ& φ

a ρ = −R ⋅ φ& 2

a φ = R ⋅ &φ&



polární souřadný systém, ρ, φ (rovinná varianta cylindrického souřadného systému) y

r at

φ

r ω, ε v

r an φ

A

s x

R

úhel [rad, º]

s = φ⋅R

dráha [m]

dφ & ω= =φ dt

v = ω⋅ R

úhlová rychlost [rad/s]

obvodová rychlost [m/s]

( )

dω d φ && dω 1 d ω & ε= = ω = 2 = φ = ω⋅ = ⋅ dt dt dφ 2 dφ 2

2

úhlové zrychlení [rad/s2] (někdy též označené α)

normálové zrychlení [m/s2] 2 v a n = ω2 ⋅ R = R & ⋅ R = v& at = ε⋅R = ω

tečné zrychlení [m/s2]

vρ = 0

v φ = v = R ⋅ φ&

a ρ = −R ⋅ φ& 2

a φ = R ⋅ &φ&



polární souřadný systém, ρ, φ (rovinná varianta cylindrického souřadného systému) y

r at

φ

r ω, ε v

r an φ R

A

s x

s = φ⋅R

úhel [rad, º]

dráha [m]

dφ & ω= =φ dt

v = ω⋅ R

úhlová rychlost [rad/s]

obvodová rychlost [m/s]

Úhel může být zadán ve stupních, v radiánech nebo počtem otočení. 1 rad = (180/π)º ≅ 57,3º, 90º = π/2 rad ≅ 1,57 rad (pravý úhel, čtvrt otáčky), 180º = π rad ≅ 3,14 rad (půlkruh, půl otáčky), 360º = 2·π rad ≅ 6,28 rad (plný kruh - jedna otáčka). Místo úhlové rychlosti ω bývají v technické praxi často uváděny otáčky n - otáčky za sekundu nebo za minutu. n [ot/s] ω = 2⋅π⋅n 1 ot/s = 60 ot/min = 2·π rad/s ≅ 6,28 rad/s.

ω=

π⋅n 30

n [ot/min]

Dynamika soustavy hmotných bodů

G1, G2, G3 N1, N2

m3 S31

S32

T1, T2 S12, S21, S13, S31, S23, S32

G3 S13 G1 m1

S23

pohyb

S12

T1

S21


G2 m2

r r Sij = −S ji

T2

síly vnitřní Sij

interní

síly vnější Gi, Ni, Ti,

N2

externí

N1

síly akční Gi, S13, S31, S23, S32

síly pracovní Gi, Ti, S13, S31, S23, S32

jsou síly reakční Ni, Ti, S12, S21 spojeny

síly nepracovní N1, N2, S12, S21

s vazbou


d’Alembertův princip

m3 D3

a3

Sji

r r D = −m ⋅ a

G3 Sij D1

m1

a1

D2

G1 T1


m2 a2 G2

T2

Aplikace d’Alembertova principu v dynamice soustavy hmotných bodů se nijak neliší od aplikace v dynamice hmotného bodu. Každému bodu přiřadíme d’Alembertovu sílu velikosti D=m·a, proti směru zrychlení. Pak sestavíme rovnice pseudostatické rovnováhy.

r r r ∑ Fi + ∑ Di = 0

N2

Vnitřní síly Sij = -Sji (na schématu zelené) jsou vždy v páru a navzájem se vyruší, v součtu pak zůstávají vnější (externí) síly. r rE r

∑F

i

+ ∑ Di = 0

Samozřejmě musí být splněny i momentové rovnice rovnováhy.

r r rE r r ∑ ri × F i + ∑ ri × Di = 0

Dynamika soustavy hmotných bodů m3

střed hmotnosti soustavy hmotných bodů

r r r r m1 ⋅ r1 + m 2 ⋅ r2 + m 3 ⋅ r3 = rS = m1 + m 2 + m 3

S m1

r r1


r ∑ m i ⋅ ri

∑m

mC = ∑ mi m2

r r3

r rS

r r2 polohový vektor

y

x

xS

m ∑ =

yS = zS =

i

⋅ xi

mC ∑ mi ⋅ yi mC ∑ mi ⋅ zi mC

i

Dynamika soustavy hmotných bodů m3


střed hmotnosti soustavy hmotných bodů

r r r r m1 ⋅ r1 + m 2 ⋅ r2 + m 3 ⋅ r3 = rS = m1 + m 2 + m 3

r ∑ m i ⋅ ri

∑m

i

Střed hmotnosti svou definicí připomíná jiný S důležitý bod - těžiště. To je definováno jako působiště výslednice m1 m2 tíhových sil a ve výrazech pro souřadnice těžiště je tedy navíc gravitační zrychlení g. Pokud je gravitační zrychlení ve všech bodech stejné, můžeme je v čitateli i ve jmenovateli r r r r r1 r3 rS r2 vytknout a následně vykrátit. Výrazy pro souřadnice středu hmotnosti polohový vektor a těžiště jsou pak shodné. Ve velkém prostoru, V tomto učebním textu V malém prostoru (ve srovnání v němž je gravitační zrychlení bude implicitně s rozměry Země), v němž lze v každém bodě jiné, uvažován malý gravitační zrychlení pokládat jsou těžiště a střed hmotnosti prostor, za neměnné (jak co do velikosti, dva různé body. v němž oba tyto body tak co do směru), střed hmotnosti splývají v jeden. a těžiště splývají v jeden bod.


r rS = G3 F1

pohyb

m2 G2

G1 T1

T2 N1

ur á p vě v ané d y d vž tov n u e o i s r íly j pačně or I r I r s í n ř t o i F ij + F ji = 0 vn lké, e v ě stejn

mC

r& r& & & m C ⋅ rS = ∑ m i ⋅ ri

S F2

m1

r ∑ m i ⋅ ri

r r mC ⋅ a S = ∑ mi ⋅ a i

r rE rI r m i ⋅ a i = ∑ Fj = ∑ F j + ∑ F j

N2

r ∑ mi ⋅ a i = ∑

Střed hmotnosti se pohybuje tak, jakoby v něm byla soustředěna hmotnost a působily na něj vnější síly.

interní - vnitřní síly

věta o pohybu středu hmotnosti

m3

externí - vnější síly

F3


(

součet sil na jednom bodu =0

rE rI rI ∑ F + ∑ F ij + ∑ F ji

součet sil přes všechny body

rE r mC ⋅ a S = ∑ F i

)

Dynamika soustavy hmotných bodů F3


věta o změně hybnosti soustavy hmotných bodů

m3

r rS = G3 F1

pohyb

m2 G2

G1 T1

T2 N1

mC

r& r& m C ⋅ rS = ∑ m i ⋅ ri

S F2

m1

r ∑ m i ⋅ ri

N2

V součtu přes všechny body se impulsy párových (stejně velkých, opačně orientovaných) vnitřních sil navzájem odečtou. r

r r m C ⋅ vS = ∑ m i ⋅ vi r r ∆ (m C ⋅ v S ) = ∑ ∆ (m i ⋅ v i ) r r ∆ p S = ∑ ∆p i t r t r r ∆p i = ∫ F E ⋅ dt + ∫ F I ⋅ dt

r pS = m C ⋅ vS

Změna hybnosti soustavy hmotných bodů je rovna impulsu vnějších sil.

0 t r r ∆p S = ∫ F E ⋅ dt 0

0


m3


věta o změně momentu hybnosti soustavy hmotných bodů

r r r L P _ i = ri × p i

r r LP = ∑ LP _i

G3 F1

S F2

pohyb

m1

m2 G2

G1 T1

r r1

r rS

y

P

x

r r2

0

r r r rE ∆L P = L P _1 − L P _ 0 = ∑ IM r r r r L P = rS × m ⋅ vS + LS

T2 N2

r L rP r rrS × m ⋅ vS LS

t r r IM = ∫ M ( t ) ⋅ dt

- moment hybnosti k počátku P, - moment hybnosti středu hmotnosti k počátku P, - moment hybnosti bodů ke středu hmotnosti S.

Změna momentu hybnosti soustavy hmotných bodů je rovna impulsu momentu vnějších sil.



m3

věta o změně kinetické energie soustavy hmotných bodů ∆r3

E K = ∑ 12 ⋅ m i ⋅ v i

Sji

(

F1 m1

S F2 ∆r1

m2 ∆r2

G1 T1

)

∆E K = ∑ ∆ 12 ⋅ m i ⋅ v i = ∑ ∆E Ki

G3 Sij

2

G2 T2

N1

2

∆E Ki

r r = A = ∑ Fi ⋅ ∆ ri

∆E Ki

rE r rI r = ∑ F i ⋅ ∆ ri + ∑ F i ⋅ ∆ ri

N2

rE r rI r ∆E K = ∑ F i ⋅ ∆ ri + ∑ F i ⋅ ∆ ri

Narozdíl od impulsu, práce vnitřních sil se navzájem neodečtou - každá síla působí na jiné dráze.

E K = ⋅ m C ⋅ vS 1 2

2

r r ∆E K = A = ∑ Fi ⋅ ∆ ri

Změna kinetické energie je rovna práci všech sil (vnějších i vnitřních).


m3

věta o změně kinetické energie soustavy hmotných bodů ∆r3

E K = ∑ 12 ⋅ m i ⋅ v i

Sji

(

F1 m1

S F2 ∆r1

m2 ∆r2

G1 T1

G2 T2

N1

2

)

∆E K = ∑ ∆ 12 ⋅ m i ⋅ v i = ∑ ∆E Ki

G3 Sij


2

∆E Ki

r r = A = ∑ Fi ⋅ ∆ ri

∆E Ki

rE r rI r = ∑ F i ⋅ ∆ ri + ∑ F i ⋅ ∆ ri

N2

Kinetickou energii soustavy hmotných bodů lze (podobně jako moment hybnosti) vyjádřit jako součet kinetické energie hmotnosti celé soustavy, soustředěné do středu hmotnosti, a kinetické energie rotace hmotných bodů okolo středu hmotnosti. Tato teze bývá obvykle označována jako tzv. Königova věta. S postupem vyšetřování pohybu rozkladem na posuv ve směru pohybu jistého zvoleného bodu a rotaci okolo tohoto bodu se seznámíme později. Nazveme jej základní rozklad.

mechanika Statika se zabývá působením sil na tělesa, která jsou v klidu

Recommend Documents