Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava • Přímková soustava sil
Stavební statika • Rovinný svazek sil
Cvičení 1 – Přímková a rovinná soustava sil
• Statický moment síly k bodu a dvojice sil v rovině
• Obecná rovinná soustava sil
Katedra stavební stavební mechaniky
• Rovinná soustava rovnoběžných sil
Fakulta stavební stavební, VŠ VŠB – Technická Technická univerzita Ostrava
Goniometrické funkce y
Přímková a rovinná soustava sil
jednotková kružnice sin protilehlá odvěsna ku přeponě
sin β =
a =a r
1) Souřadný systém v prostoru
v rovině
cos přilehlá odvěsna ku přeponě
cos β =
A
r=1 r
a x
β
tg b
cotg
0
protilehlá ku přilehlé
a tgβ = b
B
S
b =b r
přilehlá ku protilehlé
cotgβ =
b 1 = a tgβ
0 +x
x y z
+z
2) Síla P
Přímková soustava sil – Určete výslednici
• vektorová veličina 0 0
P1
x +x
působiště
směr
P
orientace
+z
3) rozklad síly v rovině
+x
P3
+z
Pi [kN]
1
10
2
60
3
-20
Σ
50,000
i
Pi [kN]
i
Pi [kN]
1
-10
1
10
2
60
2
20
3
-30
3
10
Σ
…….
Σ
…..
Příklad 1
• síla pod úhlem γ - (k ose z) 0 až -180°
0 až +180°
• Rozložte sílu P = 20kN, γ = 30°(úhel k ose z) na složky Px a Pz (ekvivalentně nahraďte sílu P silami Px a Pz).
x
0
+x
A γ
Pz
z
Px
z
+z
P2
velikost
A
z
x
i
Px
0
+x
γ
P γ
Px = P . sin γ Pz = P . cos γ
Pz +z
P
Příklad 2 • Rozložte sílu P = 20kN, γ = 60°(úhel k ose z) na složky Px a Pz (= ekvivalentně nahraďte sílu P silami Px a Pz) a porovnejte s předchozím příkladem.
Px
0
+x
P
γ
Pz +z
γi [o]
cos γi
sin γi
Pix [kN]
Piz [kN]
1
20
30
0,8660
0,5000
10,000
17,321
2
20
60
0,5000
0,8660
17,321
10,000
i
Pi [kN]
γi [o]
cos γi
sin γi
Pix [kN]
Piz [kN]
20
1
20
20
0,9397
0,3420
6,840
18,794
50
45
2
50
45
0,7071
0,7071
35,355
35,355
10
75
3
10
75
0,2588
0,9659
9,659
2,588
51,855
56,737
i
Pi [kN]
γi [o]
1
20
2 3
sin γi
Pi [kN]
Příklad: Rovinný svazek sil - Určete výslednici
Příklad: Rovinný svazek sil - Určete výslednici cos γi
i
Pix [kN]
Σ
Σ
γ=
γ = 42,42°
Px
0
Pz +z
Piz [kN]
γ
Px
0
Pi
+x
Pz +z
R = 76,86 kN
γ
Pi
+x
Příklad: Rovinný svazek sil - Určete výslednici i
Pi [kN]
γi [o]
1
50
2 3
Příklad: Rovinný svazek sil - Určete výslednici i
Pi [kN]
γi [o]
cos γi
sin γi
Pix [kN]
Piz [kN]
10
1
50
10
0,9848
0,1736
8,682
49,240
60
90
2
60
90
0,0000
1,0000
60,000
0,000
20
120
3
20
120
-0,5000
0,8660
17,321
-10,000
86,003
39,240
cos γi
sin γi
Pix [kN]
Piz [kN]
Σ
Σ
Px
0
Pz
γ
+x
Pi
Pz
+z
5) Výpočet statického momentu síly P k počátku pomocí složek Px a Pz
S
r P
MS = P.r
+x
Pi
γ
+z
4) Statický moment síly k bodu • síla P • momentový střed - S • rameno síly - r
Px
0
[Nm, kNm]
• M0 = P. r (znaménko podle směru otáčení okolo bodu)
r (kolmé rameno) x
0
Px x
z
P • Znaménko: proti směru chodu hod.ruč. je + • Výsledný účinek na těleso: posun + otáčení
• M0 = Px.z - Pz.x (odvozeno pro I.kvadrant, platí obecně)
z
Pz
Příklad 3
Příklad 4
a) Určete statický moment dané síly k počátku. P = 50kN, γ = 30°, sou řadnice působiště x = 2,5m, z = 1,5m.
• Určete statický moment dané síly k počátku. P = 50kN, γ = 30°, souřadnice působiště x = - 2,5m, z = 1,5m.
b) Posuňte sílu P do počátku tak, aby účinek na soustavu zůstal zachován
• Porovnejte s předcházejícím příkladem, proč je statický moment větší?
Rovinná soustava rovnoběžných sil
6) Statický moment dvojice sil
Příklad 5
• dvojice sil - rovnoběžné - opačně orientované - stejně velké Moment dvojice sil:
M = P.r
P
P r
[kNm]
P1 = P3 = 5kN, P2 = 18kN, γ1= γ3= 0, γ2= 180° (síly jsou rovnoběžné s osou z) x1 = 2m, x2 = 6m, x3 = 7m (z-ové souřadnice = 0) a) b) c) d)
Moment je ke všem bodům v rovině stejný.
nahraďte soustavu sil jedinou silou (výslednicí) procházející počátkem a momentem nahraďte soustavu sil pouze jedinou silou a určete její polohu vzhledem k počátku určete výslednici a její polohu vzhledem k síle P1 určete rovnovážnou sílu ( zruší účinek soustavy sil) a její polohu vzhledem k počátku
Příklad 5
Příklad 5 P3 = P1 = 5kN, P2 = 18kN, γ1= γ3= 0, γ2= 180° - (síly jsou rovnoběžné s osou z) x1 = 2m, x2 = 6m, x3 = 7m (z-ové souřadnice = 0)
P3 = P1 = 5kN, P2 = 18kN, γ1= γ3= 0, γ2= 180° - (síly jsou rovnoběžné s osou z) x1 = 2m, x2 = 6m, x3 = 7m (z-ové souřadnice = 0)
a)
P2
nahraďte soustavu sil jedinou silou (výslednicí) procházející počátkem a momentem
R = 8kN
0 0
+x
P1
+x
P3 MR = 63kNm
+z
+z
Příklad 5
Příklad 5
P3 = P1 = 5kN, P2 = 18kN, γ1= γ3= 0, γ2= 180° - (síly jsou rovnoběžné s osou z) x1 = 2m, x2 = 6m, x3 = 7m (z-ové souřadnice = 0)
P3 = P1 = 5kN, P2 = 18kN, γ1= γ3= 0, γ2= 180° - (síly jsou rovnoběžné s osou z) x1 = 2m, x2 = 6m, x3 = 7m (z-ové souřadnice = 0)
a)
nahraďte soustavu sil jedinou silou (výslednicí) procházející počátkem a momentem Mix [kN m]
zi [m]
Pi [kN]
γi [o]
cos γi
sin γi
Pix [kN]
Piz [kN]
0,0
5
0
1,0000
0,0000
0,000
5,000
0,000
-10,000
0,0
18
180
-1,0000
0,0000
0,000
-18,000
0,000
108,000
0,0
5
0
1,0000
0,0000
0,000
5,000
0,000
-35,000
0,000
-8,000
0,000
63,000
Σ
Σ
+z
b)
nahraďte soustavu sil pouze jedinou silou a určete její polohu vzhledem k počátku
Miz [kNm]
R = 8kN
0
+x r0 = 7,88 m
63,000
+z
Příklad 5
Příklad 5
P3 = P1 = 5kN, P2 = 18kN, γ1= γ3= 0, γ2= 180° - (síly jsou rovnoběžné s osou z) x1 = 2m, x2 = 6m, x3 = 7m (z-ové souřadnice = 0)
P3 = P1 = 5kN, P2 = 18kN, γ1= γ3= 0, γ2= 180° - (síly jsou rovnoběžné s osou z) x1 = 2m, x2 = 6m, x3 = 7m (z-ové souřadnice = 0)
b)
d)
nahraďte soustavu sil pouze jedinou silou a určete její polohu vzhledem k počátku
určete rovnovážnou sílu ( zruší účinek soustavy sil) a její polohu vzhledem k počátku
P2 0
R
0
+x
+x
P1
d
P3
R = 8kN
r0 = 7,88 m +z +z
Obecná rovinná soustava sil
Obecná rovinná soustava sil
Příklad 6
Příklad 6
•
Stanovte výslednici obecně působících sil v rovině:
•
Stanovte výslednici obecně působících sil v rovině:
a) b)
pomocí Rx, Rz, M0 pomocí R, γR, M0
a) b)
pomocí Rx, Rz, M0 pomocí R, γR, M0
c)
pomocí R, γR, ramene r
c)
pomocí R, γR, ramene r
F1 = 20kN, x1 = 3m, z1 = -3m, γ1= 100°, F2 = 40kN, x2 = -2m, z2 = 1m, γ2= 20°.
i
xi [m]
zi [m]
Pi [kN]
γi [o]
cos γi
sin γi
Pix [kN]
Piz [kN]
1
3,0
-3,0
20
100
-0,1736
0,9848
19,696
2
-2,0
1,0
40
20
0,9397
0,3420
13,681
Mix [kNm]
Miz [kNm]
F1 = 20kN, x1 = 3m, z1 = -3m, γ1= 100°, F2 = 40kN, x2 = -2m, z2 = 1m, γ2= 20°.
i
xi [m]
zi [m]
Pi [kN]
γi [o]
cos γi
sin γi
Pix [kN]
Piz [kN]
Mix [kNm]
Miz [kNm]
-3,473
1
3,0
-3,0
20
100
-0,1736
0,9848
19,696
-3,473
-59,088
10,419
37,588
2
-2,0
1,0
40
20
0,9397
0,3420
13,681
37,588
13,681
75,175
33,377
34,115
-45,408
85,594
Σ
Σ
40,187
Postup:
Postup:
a) pomocí Rx, Rz, M0
b) pomocí R, γR, M0
• Rx = ∑ Fi,x • Rz = ∑ Fi,z
R = R 2x + R 2z
= 33,38 kN = 34,12 kN
• M0 = ∑ Fi,x zi - ∑ Fi,z xi = 40,2kNm
0
Rx MR
Rx
• výslednice R
= 47,73kN
M0 • sin γR= Rx / R • γR= 44,37°
Rz
= 40,2 kNm
Příklad – Domácí úkol
c) pomocí R, γR, ramene r
xi [m]
zi [m]
Pi [kN]
γi [o]
1
2,0
-3,0
10
110
2
-1,0
2,0
20
45
i
výslednice R = 47,73 kN • γR = 44,37°
0
r r = M0 / R = 0,84m
Rz
• M0
Postup:
R γR
R z
x
cos γi
sin γi
Pix [kN]
Piz [kN]
Mix [kNm]
Miz [kNm]
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Příklad – Domácí úkol
zi [m]
Pi [kN]
γi [o]
cos γi
sin γi
Pix [kN]
Piz [kN]
Mix [kNm]
Miz [kNm]
-3,0
10
110
-0,3420
0,9397
9,397
-3,420
-28,191
6,840
2,0
20
45
0,7071
0,7071
14,142
14,142
28,284
14,142
23,539
10,722
0,093
20,983
Σ
Σ
Stavební statika Děkuji za pozornost.
21,076 Katedra stavební stavební mechaniky Fakulta stavební stavební, VŠ VŠB – Technická Technická univerzita Ostrava
