3.3.3 Rovinná soustava sil a momentů sil O
Předpoklady • Všechny síly soustavy leží v jediné rovině. • Všechny momenty jsou kolmé na tuto rovinu.*) • Souřadný systém zvolíme tak, že rovina x-z je totožná s rovinou sil.
y
z O
*)
Pozn.: Silový moment můžeme nahradit dvojicí sil působících v rovině kolmé na vektor tohoto momentu.
x
x
y
z 1 © Petr Kabele 2005-2009
Rovinná soustava sil a momentů je zvláštním případem prostorové soustavy. ⇒ Všechny vztahy (výsledný účinek, podmínky rovnováhy a ekvivalence) odvozené pro obecnou prostorovou soustavu sil a momentů platí také pro soustavu rovinnou. Tyto vztahy však můžeme zjednodušit uvážením, že složky všech sil soustavy ve směru osy y jsou nulové a složky všech momentů soustavy ve směrech os x a z jsou nulové. O
x
z 2 © Petr Kabele 2005-2009
Určení složek vektoru síly v rovině 1) z obecné definice pro 3D pomocí kosinů směrových úhlů Fx
Fx = F cos α Fz = F cos γ
α
Fz z
Všimněme si, že a) znaménka funkce cos pro různé úhly automaticky určí znaménka složek, např.
x
γ
cos α α Fx>0, Fz<0 x
Fx<0, Fz>0 x 90o < α < 180o 0o < γ < 90o z
180o < γ < 270o
270o < α < 360o z
© Petr Kabele 2005-2009
b) protože
cos α, cos (360o-α)
cos(α) = cos(360o-α) a cos(γ)= cos(360o-γ) α
... nezáleží na orientaci směrového úhlu (pouze musí být měřen od kladné souřadnicové poloosy k orientovanému paprsku síly)
Fx α
Fz z
x
γ
=
α
γ Fz z
Fz
Fx
x
=
α
Fx z
x
γ
© Petr Kabele 2005-2009
2) pomocí úhlu α’ měřeného od kladné poloosy x po směru pohybu hodinových ručiček (při pohledu proti ose y) Fx x o Pak pro směrové úhly platí: α = α’, γ = ±(90 - α’) α = α’ F z Fx = F cos α = F cos α ' γ z Fz = F cos γ = F cos ± ( 90° − α ' ) = F sin α ' sin α’ cos α’ Všimněme si, že znaménka funkcí cos a sin pro různé úhly automaticky určí znaménka složek, např. Fx<0, Fz>0 x 90o < α’ < 180o z
α’
Fx>0, Fz<0 x 270o < α’ < 360o z
© Petr Kabele 2005-2009
Fx = F cos ω
3) pomocí ostrého úhlu ω (0o ≤ ω ≤ 90o) měřeného od osy x
Fz = F sin ω
ω
x
z Pozor: protože cos ω ≥ 0 a sin ω ≥ 0 ... znaménka složek je nutné určit podle orientace vektoru, např.:
Fx = − F cos ω Fz = F sin ω
sin ω cos ω ω x
ω z
Fx = F cos ω Fz = − F sin ω
ω
x
z © Petr Kabele 2005-2009
n
Frx = ∑ Fix
Výsledný účinek (redukcí k počátku) n Fr = ∑ Fi
i =1 n
Fry = ∑ Fiy = 0 i =1
i =1
n
Frz = ∑ Fiz
... silový (posouvající)
(síla působící v počátku O)
i =1
0 0 M0x = 0 + ∑ (Fiz y i - Fiy z i ) = 0 n
i =1
j =1
m
n
j =1
i =1
M0y = ∑ M jy + ∑ (Fix z i - Fiz x i )
m n MO = ∑ M j + ∑ ri × Fi i =1
0 0 n M0z = 0 + ∑ (Fiy x i - Fix y i ) = 0
... momentový (otáčivý)
i =1
Otáčivý účinek popisuje jediná nenulová složka momentu 0: My m
n
Platí: MO = M0y = ∑ Myj + ∑ (Fix zi - Fiz xi ) j =1
i =1
7 © Petr Kabele 2005-2009
• protože Mx= Mz=0, 0 ⊥ rovinu x-z • protože Fry= 0, r leží v rovině x-z
0 ⊥ r
r 0
y
x i
n
z Soustavu sil možno nahradit jedinou silou r, pro kterou platí: n Fr = ∑ Fi a MO = Frx z - Frz x i =1
Určuje velikost, směr a orientaci výslednice
Určuje paprsek výslednice:
1
-M O Frz MO Frx
x
r
z MO Frz z= + x ... rovnice paprsku posunuté výslednice Frx Frx tzv. hlavní osy soustavy sil
© Petr Kabele 2005-2009
8
Zvláštní případy:
• r ≠ , MO = 0 ⇒ výsledným účinkem je jediná síla r působící paprsku procházejícím počátkem
• r = , MO ≠ 0 ⇒ výsledným účinkem je dvojice sil působící v rovině x-y a otáčející momentem Md=MO
• r = , MO = 0 ⇒ soustava sil je v rovnováze
9 © Petr Kabele 2005-2009
Podmínky rovnováhy Soustava n sil {i} je v rovnováze, jestliže je její výsledný účinek nulový: n
∑F
=0
∑F
=0
∑F
=0
i =1 n
i =1 n
i =1
ix
iz
iy
∑ M + ∑ (F y - F z ) = 0 m
j =1 m
n
jx
i =1 n
iz
i
iy
splněno identicky
i
∑ M + ∑ (F x - F y ) = 0 j =1 m
jz
i =1 n
iy
i
ix
i
∑ M + ∑ (F z - F x ) = 0 j =1
jy
i =1
ix
i
iz
i
splněno identicky 3 podmínky 10 © Petr Kabele 2005-2009
Úloha rovnováhy Je dána soustava n sil {i} a m momentů {j}. Uveďte tuto soustavu do rovnováhy soustavou k sil {l}. n
k ∑ Fi + ∑ Rl = 0 i =1
m
n k ∑ Mj + ∑ MOFi + ∑ MORl = 0
l =1
j =1
i =1
l =1
Ve složkách: n
k
∑F + ∑R i =1
ix
n
l =1 k
∑F + ∑R i =1
lx
iz
m
l =1
lz
=0
n
∑M + ∑M j =1
=0
j
i =1
OFi
k
+ ∑ MORl = 0
Podmínky řešitelnosti: • 3 rovnice - 3 neznámé • determinant soustavy ≠ 0
l =1
11 © Petr Kabele 2005-2009
Úloha ekvivalence Je dána soustava n sil {i}a m momentů {j}. Nahraďte tuto soustavu soustavou k sil {l} tak, aby účinek obou soustav byl stejný. n
k ∑ Fi = ∑ Rl i =1
m
n k ∑ Mj + ∑ MOFi = ∑ MORl
l =1
j =1
i =1
l =1
Ve složkách: n
k
∑F = ∑R i =1
ix
n
l =1
iz
m
l =1
lz
n
∑M + ∑M j =1
Podmínky řešitelnosti: • 3 rovnice - 3 neznámé • determinant soustavy ≠ 0
k
∑F = ∑R i =1
lx
j
i =1
OFi
k
= ∑ MORl l =1
Příklady úloh rovnováhy/ekvivalence rovinné soustavy sil - viz cvičení
12
© Petr Kabele 2005-2009
3.3.4 Rovinná soustava rovnoběžných sil je zvláštním případem obecné prostorové soustavy, kdy paprsky všech sil soustavy jsou vzájemně rovnoběžné a leží v jedné rovině. O
α’ i
x n
1 z
i
{i} = {Fi} = {fx,0, fz} = {cos α’, 0, sin α’} Pozn.: pokud má síla i opačnou orientaci než jednotkový vektor , uvažujeme Fi se znaménkem mínus. 13 © Petr Kabele 2005-2009
Výsledný účinek
n
n
n
n
i=1
i=1
i=1
n
n
n
i =1
i=1
i=1
Frx = ∑ Fix = ∑ Fi cosα ' = cosα ' ∑ Fi = Fr cosα '
MO
Frz = ∑ Fiz = ∑ Fi sinα ' = sinα ' ∑ Fi = Fr sinα ' n
n
i =1
i=1
MO = ∑ MOi = ∑ Fi (zi cosα '− xi sinα ')
Velikost a orientace výslednice:
Fr =
n
∑
i =1
Fi
x r
1
i z x
Paprsek výslednice (hl. osy):
r
MO = Frx z - Frz x z
14 © Petr Kabele 2005-2009
Příklad:
Určete výsledný účinek rovinné soustavy rovnoběžných sil {i} působících v paprscích rovnoběžných s osou z
Pro všechny síly soustavy: α’ = π/2 (cos α’ = 0, sin α’= 1) ⇒ Fix = 0, Fiz = Fi MO Pak: Frx = 0 n
Frz = ∑ Fiz = ∑ Fi = Fr i =1
n
n
i =1
n
n
n
i =1
i =1
i =1
r
MO = ∑ MOi = ∑ Fi ( zi cos α '− xi sin α ' ) = −∑ Fx i i 1
x
i
z
15 © Petr Kabele 2005-2009
Paprsek výslednice: MO = Frx z - Frz x = - Fr x ... tj. přímka || s osou z ve vzdálenosti x = -MO / Fr od počátku O. MO / Fr x r z
16 © Petr Kabele 2005-2009
Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětu Stavební mechanika 1 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby.
Datum poslední revize: 6.10.2009
17 © Petr Kabele 2005-2009
