Přímková a rovinná soustava sil

Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Soustavy sil Téma č.1

F3

hmotný bod

vnitřní vazby

Na nosnou konstrukci působí zvenčí: a) zatížení (např. nápravové tlaky vozidel, skladované zboží, tíha stavební konstrukce) - vstupní údaj pro řešení konstrukce b) reakce ve vnějších vazbách předmět výpočtu

m

F1

Přímková a rovinná soustava sil

o1

F2

o2

dokonale tuhá deska

Vnější síly - zatížení (primární) a reakce ve vnějších vazbách (sekundární), tvoří soustavu sil

b

a

Rax

• Přímková soustava sil • Rovinný svazek sil • Statický moment síly k bodu a dvojice sil v rovině • Obecná rovinná soustava sil • Rovinná soustava rovnoběžných sil

Raz

Rbz vnější vazby

Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Řešení soustav sil (tzv.geometrie sil) - téma č.2 (přímkové a rovinné) a č.11 (prostorové). Některé obecné základní pojmy stavební statiky

2 / 49

Přímková soustava sil

Přímková soustava sil Dvě nebo více sil působí na tuhé těleso v témž paprsku. Síla v přímkové úloze určena pouze 2 údaji ( xa, P – kladná při shodě smyslu síly se smyslem osy).

Úloha 1: Stanovení výslednice soustavy sil R („resultanta“)

Kluzné vektory – nezáleží na polohách působišť jednotlivých sil, při výpočtu reakcí Vázané vektory – pevně určená působiště jednotlivých sil, při výpočtu vnitřních sil Grafické znázornění a popis sil

Výslednice - síla, která má na těleso stejný účinek jako celá soustava sil, s danou soustavou je ekvivalentní. U přímkové soustavy leží na stejném paprsku soustavy a je rovna: n

R = ∑ Pi i =1

Znaménko výslednice udává smysl, nelze určit působiště – kluzný vektor.

(a) Například : +x

(b)

P1

(c)

P2

P3 R = P1 – P2 + P3 = Σ Pi

R Znázornění a popis přímkové soustavy sil Obr. 2.1. / str. 9

Přímková soustav sil

3 / 49


Přímková soustava sil

Rovinný svazek sil Dvě nebo více sil působí v rovině se stejným působištěm v různých směrech.

Úloha 2: Zjištění, zda soustava je či není v rovnováze Rovnovážná soustava sil - výslednice je nulová. Nerovnovážnou soustavu sil lze uvést do rovnováhy silou velikosti R, ale opačného smyslu. Například : +x

P1

P2

(

sin ϕ1 =

+x

P4

P3


cos ϕ1 = 5 / 49

Rovinný svazek sil

Pi = Pix2 + Piz2

)

sin ϕ 2 =

P1 R

P1 . sin ϕ R

R = P12 + P22

sin ϕ1 =

P2 R

cos ϕ 2 =

Rovnoběžník sil

P2 P sin ϕ 2 = 1 R R … Skládání sil

Obr. 2.2. / str. 10

Rovinný svazek sil

6 / 49

Například : Postup určení výslednice R rovinného svazku n sil:

P2x

P1

+x

a) určit složky Piz, Pix každé ze sil Pi cos γ i = sin α i =

Piz Pi

Pix = Pi . sin γ i

α i + γ i = 90 cos 2 α i + cos 2 γ i = 1

P2z

Rx = ∑ Pix i =1

b) kladnou velikostí Pi a směrovým úhlem γi

R = Rx2 + Rz2 Zadání síly rovinného svazku

+z

Rx

i =1

P1

Rz = ∑ Piz

c) určit velikost a směrový úhel výslednice R rovinného svazku sil

Piz = Pi . cos γ i

R

P2

P2

n

n

Pro výpočet stačí ... γi

Rozklad síly na osové složky

Piz = Pi . cos γ i

b) vypočítat výslednice obou přímkových soustav sil v souřadnicových osách

αi a γi … směrové úhly

Pix = Pi . sin γ i

(b)

Výslednice rovinného svazku sil

Síla u rovinného svazku sil je určena pouze 2 údaji (působiště je dáno): a) prostřednictvím složek Piz, Pix – velikost, směr i smysl síly z rovnoběžníku sil

platí:

P2 . sin ϕ R

Často případ (b):

P1 – P2 + P3 – P4 = 0

Pix Pi

(a)

Sinová věta: poměr dvou stran trojúhelníka se rovná poměru sinů protilehlých úhlů.

P4

sin γ i = cos α i =

Kosinová věta: druhá mocnina strany trojúhelníka je rovna součtu druhých mocnin zbývajících stran zmenšenému o dvojnásobný součin těchto stran a kosinu úhlu jimi sevřeného.

= P12 + P22 + 2.P1.P2 . cos ϕ

R = P1 – P2 + P3 = Σ Pi

P2

Axiom o rovnoběžníku sil: Výslednice R dvou sil o společném působišti je jednoznačně určena úhlopříčkou rovnoběžníku sil (a).

R = P12 + P22 − 2.P1.P2 . cos 180 − ϕ =

P3

R

P1

4 / 49

sin γ R =

Rx R

cos γ R =

Ry

Rz P2z

P2x

+x

R

R +z

Obr. 2.3. / str. 11 Rovinný svazek sil

7 / 49

Rovinný svazek sil

8 / 49

Rovnováha rovinného svazku sil

Příklad 2.1

Podmínky rovnováhy rovinného svazku sil n

R=0

Rx = ∑ Pix = 0

→

Řešení:

Rz = ∑ Piz = 0

i =1

Piz = Pi . cos γ i

Pix = Pi . sin γ i

n

i =1

n

Například :

n

Rx = ∑ Pix

Uvedení rovinného svazku sil do rovnováhy

Rz = ∑ Piz

i =1

P3

i =1

R = Rx2 + Rz2

P1

+x

sin γ R =

Rx R

cos γ R =

R P2

Ry R

P2 Zadání a výsledek příkladu 2.1

+z

Obr. 2.4. / str. 11

Rovinný svazek sil

9 / 49

Rovinný svazek sil

Příklad 2.1

Příklad 2.2

Tabulkové řešení cos γi

sin γi

50

0,6428

0,7660

7,660

6,428

120

-0,5000

0,8660

51,962

-30,000

-0,7660

-0,6428

-12,856

-15,321

46,766

-38,893

o γi [ ]

i

P i [kN]

1

10

2

60

3

20

220

P ix [kN]

Σ

P iz [kN]

Zadání Vypočítat P1, P2 tak, aby rovinný svazek sil byl v rovnováze Řešení: Dvě neznámé P1, P2 Dvě rovnice – podmínky rovnováhy rovinného svazku sil

Výsledek:

R=

10 / 49

(46,766)2 + (− 38,893)2

n

= 60,826kN

Rx = ∑ Pix = 0 i =1 n

sin γ R =

46,766 = 0,7688 60,826

cos γ R =

− 38,893 = −0,6394 60,826

Rz = ∑ Piz = 0 i =1

γ R = 129,75

Poznámka: záporný výsledek – smysl vypočítané síly je opačný než byl předpokládán při sestavování podmínek rovnováhy

Rovinný svazek sil

11 / 49

Grafické řešení rovinného svazku

Zadání příkladu 2.2 Obr. 2.5. / str. 12

Rovinný svazek sil

12 / 49

Využití poznatků o rovinném svazku

Cremonův obrazec P3 P2

P4 Luigi Cremona (1830-1903)

R P2

Pe

R P1

P1

+x P3

Pe P4 +z

Rovinný svazek sil

Například : 13 / 49

Využití poznatků o rovinném svazku

Příhradová konstrukce, Pavilon V z r.2000, Brněnské výstaviště Rovinný svazek sil

14 / 49

Statický moment síly k bodu

Momentový střed

Paprsek síly

P

Rameno síly vzdálenost paprsku síly od momentového středu – kolmice

+x

s p

+z

Absolutní hodnota statického momentu Ms síly P k bodu s : Rozměr Nm (kNm)

M s = P. p

Příhradová konstrukce, Pavilon V z r.2000, Brněnské výstaviště Rovinný svazek sil

15 / 49

Statický moment síly k bodu a dvojice sil v rovině

16 / 49



Platí: a) statický moment k s se nemění, posouvá-li se síla po svém paprsku b) posouvá-li se s po přímce rovnoběžné s paprskem síly, statický moment síly se k němu nemění

(a)

(b)

Smysl otáčení statického momentu – po nebo proti smyslu chodu hodinových ručiček Kladný smysl otáčení statického momentu – proti smyslu chodu ručiček při pohledu proti kladnému směru třetí osy (na rovinu xz proti y – „zepředu“)

Zakreslení: a) kružnicovým obloučkem se středem v s a šipkou ve smyslu otáčení b) vektorovou úsečkou v s kolmo k rovině momentu s dvojitou šipkou – při pohledu proti šipce moment otáčí proti smyslu chodu ručiček (proti-proti)

(c)

Znázornění statického momentu


Obr. 2.7. / str. 13

Obr. 2.6. / str. 13 Statický moment síly k bodu a dvojice sil v rovině

17 / 49



18 / 49

Příklad 2.3 Zadáno: působiště a, síla P, momentový střed s Předmět výpočtu: statický moment síly P ke středu s (a)

Statický moment síly k zadanému momentovému středu je roven algebraickému součtu statických momentů jejich osových složek k témuž momentovému středu.

(b)

Řešení: p x = za − z s

M s = M sx + M sz = Px . p x + Pz . p z =

= P.( p x . sin γ + p z . cos γ ) = P. p

p z = xa − x s M sx = + Px . p x

Součet statických momentů všech sil rovinného svazku k zadanému momentovému středu je roven statickému momentu výslednice svazku k témuž momentovému středu.

M sz = − Pz . p z M s = M sx + M sz

Statické momenty síly a jejich složek

Zadání a výsledek příkladu 2.3


19 / 49

Dvojice sil


20 / 49

Dvojice sil

Dvojice sil – dvě stejně velké rovnoběžné síly opačných smyslů. Rameno dvojice sil – vzdálenost p paprsků obou sil.

Pro statický moment M dvojice sil platí: a) je stejný ke všem bodům (momentovým středům) tělesa b) nezmění se, posune-li se dvojice sil do jiného místa nebo pootočí-li se oba paprsky (při zachování délky p)

P P

Paprsek síly

c) nemění se při současném zmenšování p a zvětšování P, P.p zůstává konstantní d) kladný smysl otáčení stejný jako u statického momentu síly

+x

p1

s p2

p +z

Dvojice sil vyvozuje na těleso pouze otáčivý účinek ve své rovině, vyjádřený statickým momentem M dvojice sil : M = P. p


21 / 49

Dvojice sil

Dvojice sil Obr. 2.10. / str. 15 Statický moment síly k bodu a dvojice sil v rovině

22 / 49

Dvojice sil

Patky ocelových sloupů – statické schéma Statický moment síly k bodu a dvojice sil v rovině

e) více dvojic – lze nahradit jedinou výslednou dvojicí sil, je-li nulová – rovnováha

Patky ocelových sloupů – výrobní dokumentace 23 / 49


24 / 49

Dvojice sil

Společný účinek síly a dvojice sil Účinek dvojice sil : M = P. p

Účinek síly F : M a = F .0 = 0

Posune-li se F rovnoběžně o vzdálenost d :

M a = F .d

Požadavek : posunout F o vzdálenost d, aby

F .d = P. p

(a)

Výsledek :

d=

(b)

P. p F

Společný účinek síly a dvojice Patky ocelových sloupů – schéma

Obr. 2.11. / str. 16


25 / 49


Příklad 2.4

26 / 49

Obecná rovinná soustava sil

Zadáno: působiště a, síla F Předmět výpočtu: takový statický moment M dvojice sil při posunutí F, aby otáčivý účinek zůstal nezměněn (a)

Působí-li v téže rovině dvě nebo více (obecně n) sil Pi o různých působištích a různých velikostech, směrech a smyslech.

(b)

Řešení:

P2

P1

M a = − F . xa

Přidaný statický moment M dvojice sil musí být stejně veliký, ale opačného smyslu, tj. kladného

P4 +x

P3


+z


27 / 49



Výsledný účinek obecné rovinné soustavy sil Postup:

Působiště každé síly a je zadáno dvojicí souřadnic xa a za , velikost, směr a smysl kterékoliv síly Pi může být zadán 2 způsoby:

a) pro každou sílu Pi určit složky Pix , Piz b) každou složku Pix posunout rovnoběžně do osy x a do roviny soustavy přidat statický moment M ix = Pix .zi = Pi .zi . sin γ i

a) prostřednictvím složek Piz, Pix , velikost, směr i smysl síly z rovnoběžníku sil P = P2 + P2 i

P sin γ i = cos α i = ix Pi

ix

28 / 49

c) každou složku Piz posunout rovnoběžně do osy z a do roviny soustavy přidat statický moment M iz = − Piz .xi = − Pi .xi . cos γ i

iz

d) určit výslednice Rx , Rz obou přímkových soustav sil

P cos γ i = sin α i = iz Pi

n

n

Rx = ∑ Pix

Rz = ∑ Piz

i =1

b) kladnou velikostí Pi a směrovým úhlem γi Pix = Pi . sin γ i Piz = Pi . cos γ i

i =1

e) vypočítat výslednici R a její směrový úhel γR R = Rx2 + Rz2

sin γ R =

Rx R

cos γ R =

Ry R

f) získat výsledný statický moment soustavy MR Obr. 2.13. / str. 16 Obecná rovinná soustava sil

29 / 49

(a)

(b)

(c)

Obr. 2.14. / str. 17 31 / 49

(Mj … případné zadané statické momenty dvojic sil) 30 / 49

Výsledný účinek obecné rovinné soustavy sil Lze formulovat trojím způsobem: c) výslednicí Rd , posunutí o d tak, aby účinek R.d byl stejný jako MR d=

MR R

M R + Rz . x = 0 → x = −

(a)

Tři způsoby znázornění výsledného účinku obecné rovinné soustavy sil Obecná rovinná soustava sil

m

j =1


Výsledný účinek obecné rovinné soustavy sil Lze formulovat trojím způsobem: a) osovými složkami výslednice Rx , Rz v souřadnicových osách a výsledným statickým momentem MR b) výslednicí R v počátku a výsledným statickým momentem MR

n

i =1

M R = ∑ (M ix + M iz ) + ∑ M j

Zadání síly obecné rovinné soustavy

(b)

MR Rz

M R − Rx . z = 0 →

z=

MR Rx

(c)

Tři způsoby znázornění výsledného účinku obecné rovinné soustavy sil Obecná rovinná soustava sil

Obr. 2.14. / str. 17 32 / 49

Příklad 2.5

Příklad 2.5

Zadáno: působiště ai , síly Pi

Tabulkové řešení

Předmět výpočtu: výsledný účinek soustavy sil

i

x i [m]

z i [m]

P i [kN]

o γi [ ]

cos γi

sin γi

P ix [kN]

P iz [kN]

1

2,0

2,3

40

120

-0,5000

0,8660

34,641

-20,000

79,674

40,000

2

2,5

-3,3

-35,000

30,000

115,500

-75,000

3

-1,6

-2,8

210,491

43,779

405,665

8,779

80

-70

0,3420

-0,9397 Σ

-75,175

27,362

-75,534

37,362

M ix [kNm] M iz [kNm]

Σ

414,444

Zadání příkladu 2.5 Obr. 2.15. / str. 18 Obecná rovinná soustava sil

33 / 49


Příklad 2.5 - výsledky (− 75,534)2 + (37,362)2

R=

=

Varignonova momentová věta

(a)

(b)

Zadáno: obecná rovinná soustava n sil Pi a m statických momentů dvojic sil Mj .

= 84,269kN sin γ R =

− 75,534 = −0,8963 84,269

cos γ R =

37,362 = 0,4434 84,269

Vypočteno: výslednice Rd . (a) osové složky výslednice a výsledný statický moment; (b) výslednice procházející počátkem a výsledný statický moment;

γ R = −63,68 d=

MR

x=−

R

=

34 / 49

(c) rovnoběžně posunutá výslednice a úseky, které její paprsek vytíná na souřadnicových osách.

414,444 = 4,918m 84,269

Pierre Varignon (1654 - 1722)

Platí:

Statický moment výslednice obecné rovinné soustavy k libovolnému momentovému středu v rovině soustavy se rovná algebraickému součtu všech statických momentů sil soustavy k témuž momentovému středu a všech statických momentů dvojic sil. … Varignonova věta

(c)

MR 414,444 =− = −11,093m Rz 37,362

Výsledky příkladu 2.5 35 / 49

V rovnováze tehdy, když je nulová R ( Rx a Rz ) a MR. n

i =1

m

i =1

j =1

n

j =1

i =1

j =1

Mb = 0

Ma = 0

P2

a

Rx = 0

m

P2

l

Rb,z

2

l

P2

P1 s2 s1

b) Rz = 0 pokud je spojnice a , b svislá

M s1 = 0

c) Rx = 0 nebo Rz = 0 nebo Rab = 0 pokud je spojnice a , b šikmá (nutno rozkládat)

M s2 = 0

Užívané jsou také 3 momentové podmínky ke třem libovolným momentovým středům, které nesmí ležet v jedné přímce M a = 0 M b = 0 M c = 0

M s3 = 0



Příklad 2.6

b

2

V praktických aplikacích často nutno sestavit 2 momentové podmínky M b = 0 ke dvěma momentovým středům a , b . Ty se doplňují třetí podmínkou: a) Rx = 0 pokud je spojnice a , b vodorovná

37 / 49

Rb,x

b

1

M a = 0 Ra,z

M s = ∑ (Pix . psix + Piz . psiz ) + ∑ M j = ∑ [Pix .( zi − z s ) + Piz .(xs − xi )] + ∑ M j = 0 i =1

Podmínky rovnováhy obecné rovinné soustavy sil

Ra,x

Momentová podmínka musí platit k libovolnému momentovému středu s m

36 / 49

P1

n

M R = ∑ (M ix + M iz ) + ∑ M j = 0

Rz = ∑ Piz = 0

n

j =1

Například :

3 podmínky rovnováhy (2 silové, 1 momentová):

i =1

i =1


Podmínky rovnováhy obecné rovinné soustavy sil

n

m

Obr. 2.16. / str. 19


Rx = ∑ Pix = 0

n

Rd . pR = ∑ Pi . pi + ∑ M j

Matematicky:

M 414,444 z= R = = −5,487 m Rx − 75,534

Ra

a

1

P1 s3

Rz = 0

b

Ma = 0

Mb = 0 R a,z

Rc

Rb

a Ra,x

38 / 49

Rovinná soustava rovnoběžných sil Působí-li v téže rovině dvě nebo více (obecně n) rovnoběžných sil Pi.

Zadáno Působiště a směrové úhly sil, velikost síly P4 Předmět výpočtu a řešení Velikosti sil P1 , P2 a P3 , které zajistí soustavě sil rovnováhu s využitím těchto podmínek rovnováhy:

P1

P3 P2

M a = 0 → P3 Rx = 0

→ P2

+x

P4

M b = 0 → P1 Rz = 0 → Kontrola

Zadání příkladu 2.6

+z

Obr. 2.17. / str. 21 Obecná rovinná soustava sil

39 / 49

Rovinná soustava rovnoběžných sil

40 / 49


Výsledný účinek rovinné soustavy rovnoběžných sil

Působiště a každé síly Pi je zadáno dvojicí souřadnic xa a za , (u volných vektorů stačí pouze 1 souřadnice)

a) velikost výslednice R

Síla je zadána velikostí (kladnou nebo zápornou podle smyslu síly)

b) poloha paprsku výslednice R

n

kladná velikost = smysl výslednice se shoduje s kladným smyslem souřadnicové osy z

R = ∑ Pi i =1

n

M R = − R.d = −∑ Pi . pi

z Varignonovy momentové věty k momentovému středu (nejčastěji k počátku), d, pi kladné ve smyslu kladné osy x, R má povahu volného vektoru ve svém paprsku

i =1

d=

− MR 1 n = .∑ Pi . pi R R i =1

Výsledný účinek může být vyjádřen: a) výslednicí R, procházející momentovým středem a statickým momentem MR Rovinná soustava rovnoběžných sil

b) výslednicí Rd = R , která je posunuta do paprsku vzdálenosti d od počátku

Obr. 2.18. / str. 22 Rovinná soustava rovnoběžných sil

41 / 49

Příklad 2.7


42 / 49

Podmínky rovnováhy rovinné soustavy rovnoběžných sil V rovnováze tehdy, když je nulová R a MR.

Zadáno Působiště, směry a velikosti čtyř svislých sil

2 podmínky rovnováhy (1 silová, 1 momentová): n

R = ∑ Pi = 0

Předmět výpočtu Velikost výslednice R a poloha jejího paprsku

n

M R = − M R = ∑ Pi . pi = 0 i =1

i =1

Lze použít rovněž 2 momentové podmínky ke dvěma momentovým středům a , b , které neleží na přímce rovnoběžné s paprsky sil.

Řešení n

n

R = ∑ Pi = 120kN

M a = ∑ Pi . pai = 0

i =1

i =1

n

M b = ∑ Pi . pbi = 0 i =1

n

M R = − R.d = −∑ Pi . pi = −451kNm

Například :

i =1

d=

MR R

P1

M a = 0 → Rb,z

= 3,758m

a

M b = 0 → Ra,z


P2 b

1

Rz = 0 → Kontrola

Ra,z

2

l

Rb,z


43 / 49


44 / 49

Statický střed rovinné soustavy rovnoběžných sil

Příklad 2.8

Předpoklad řešení: a) R ≠ 0

Zadáno Souřadnice xi , velikosti sil P2 a P3 .

b) U působišť sil Pi nutno zadat obě souřadnice xa a za .

Předmět výpočtu a řešení Velikosti sil P1 a P4 , které zajistí soustavě sil rovnováhu s využitím těchto podmínek rovnováhy:

Postup: a) Určit polohu svislého paprsku výslednice Rd od svislých sil (xs)

b) Určit polohu vodorovného paprsku výslednice Rd od sil, které byly otočeny o 90o proti směru hodinových ručiček (zs)

M a = 0 → P4 M b = 0 → P1

n

M R = R.d = ∑ Pi .zi i =1

Rz = 0 → Kontrola

d = zs =

MR 1 n = .∑ Pi .zi R R i =1

Zadání příkladu 2.8

Statický střed v rovině


45 / 49

Statický střed rovinné soustavy rovnoběžných sil


46 / 49

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

Využití: výpočet těžiště hmotných rovinných čar a hmotných rovinných obrazců - téma č.9

xi

Například :

1. Podmínky rovnováhy rovinného svazku sil

Pi

xT

2. Statický moment síly k bodu v rovinné úloze Pi

T[xT,zT] R R

3. Varignonova momentová věta 4. Podmínky rovnováhy obecné rovinné soustavy sil

zi

5. Podmínky rovnováhy rovinné soustavy rovnoběžných sil

zT

6. Statický střed rovinné soustavy rovnoběžných sil +x

+z


47 / 49

48 / 49

Přímková a rovinná soustava sil

Recommend Documents