3.3 Soustavy sil a silových momentů • soustava sil a momentů = seskupení sil a momentů sil působících na těleso • zvláštní případy: • svazek sil (paprsky všech sil soustavy se protínají v jednom bodě) • soustava rovnoběžných sil (paprsky všech sil soustavy jsou navzájem rovnoběžné) • rovinná soustava sil a momentů (paprsky všech sil soustavy leží v jedné rovině, vektory momentů jsou k ní kolmé ) • rovinný svazek sil • rovinná soustava rovnoběžných sil
1 © Petr Kabele 2005-2009
3.3.1 Prostorová soustava sil a momentů sil Výsledný účinek • výsledný účinek soustavy n sil {i} a m momentů {j} určíme redukcí jednotlivých sil soustavy k počátku a vektorovým součtem redukovaných sil a momentů sil
j yi
y
O
x
x
y1
xi zi
O
1
i
x1 z1 1
y
1
0 z
i
z n Fr = ∑ Fi i =1
ψ
r
r a O ... bivektor
n m n m MO = ∑ M0Fi + ∑ Mj = ∑ ( ri × Fi ) + ∑ Mj i =1
j =1
momenty sil i
i =1
j =1
2 © Petr Kabele 2005-2009
Složky: M0x = ∑ ( riyFiz − Fiyriz ) + ∑ Mjx n
m
i =1
i =1
j =1
n
n
n
m
i =1
i =1
i =1
j =1
n
n
i =1
i =1
n
n
i =1
Frx = ∑ Fix = ∑ Fi cos α i Fry = ∑ Fiy = ∑ Fi cos βi Frz = ∑ Fiz = ∑ Fi cos γ i • Velikost vektoru r: |r| = (Frx2 + Fry2 + Frz2)1/2
M0y = ∑ ( rizFix − Fizrix ) + ∑ Mjy M0z = ∑ ( rixFiy − Fixriy ) + ∑ Mjz n
m
i =1
j =1
• Velikost vektoru 0: |0| = (M0x2 + M0y2 + M0z2)1/2
• směrové úhly: F cos α r = rx Fr
Fry cos β r = Fr
F cos γ r = rz Fr
M cos λ = 0x M0
M0y cos µ = M0
M cosν = 0z M0 3 © Petr Kabele 2005-2009
Vzájemný úhel vektorů r a O: ψ r . O = |r || O| cos ψ = Frx M0x + Fry M0y + Frz M0z 1 cos ψ = (Frx M0x + Fry M0y + Frz M0z ) Fr M0 = cos αr cos λ + cos βr cos µ + cos γr cos ν Obecně cos ψ ≠ 0
4 © Petr Kabele 2005-2009
Zvláštní případy: • r . O = 0, r a O jsou vzájemně kolmé ⇒ výsledným účinkem je jediná síla r působící v takovém paprsku, aby její statický moment k počátku byl roven O. Pak rovnice ekvivalence momentu posunuté síly r a momentu O: Frz y - Fry z = M0x
Frx z - Frz x = M0y
Fry x - Frx y = M0z
určují rovnici paprsku posunuté síly r ... tzv. hlavní osy soustavy sil 0
r r
O
x
y z
r* =-r y
O
r
r
O
x
x
y z
z
5 © Petr Kabele 2005-2009
• r ≠ , O = ⇒ výsledným účinkem je jediná síla r působící paprsku procházejícím počátkem
O
x r
y z
0 • r = , O ≠ ⇒ výsledným účinkem je dvojice sil působící v rovině kolmé k paprsku vektoru O a otáčející momentem Md=MO
O
O
x
y z • r = , O = ⇒ soustava sil je v rovnováze
d = * d d
x
y z 6 © Petr Kabele 2005-2009
Podmínky rovnováhy Soustava n sil {i} a m momentů {j} je v rovnováze, jestliže je její výsledný účinek nulový: n
∑F
=0
∑F
=0
∑F
=0
i =1 n
i =1 n
i =1
ix
iy
iz
∑ M + ∑ (F y - F z ) = 0 m
j =1 m
n
jx
i =1 n
iz
i
iy
i
∑ M + ∑ (F z - F x ) = 0 j =1 m
jy
i =1 n
ix
i
iz
i
∑ M + ∑ (F x - F y ) = 0 j =1
jz
i =1
iy
i
ix
i
7 © Petr Kabele 2005-2009
Úloha rovnováhy Je dána soustava n sil {i} a m momentů {j}. Uveďte tuto soustavu do rovnováhy soustavou k sil {l}. n k m n k ∑ Fi + ∑ Rl = 0 ∑ Mj + ∑ MOFi + ∑ MORl = 0 i =1
l =1
j =1
i =1
l =1
Ve složkách: n
k
∑F + ∑R
lx
=0
∑F + ∑R
ly
=0
∑F + ∑R
lz
=0
i =1 n i =1 n
i =1
ix
iy
iz
l =1 k l =1 k l =1
m
n
k
∑M + ∑M
+ ∑ MRlx = 0
∑M + ∑M
+ ∑ MRly = 0
∑M + ∑M
+ ∑ MRlz = 0
j =1 m j =1 m
j =1
jx
jy
jz
i =1 n i =1 n
i =1
(6 rovnic - 6 neznámých)
Fix
Fiy
Fiz
l =1 k l =1 k
l =1
8 © Petr Kabele 2005-2009
Úloha ekvivalence Je dána soustava n sil {i} a m momentů {j}. Nahraďte tuto soustavu soustavou k sil {l} tak, aby účinek obou soustav byl stejný. n
k ∑ Fi = ∑ Rl i =1
m
n k ∑ Mj + ∑ MOFi = ∑ MORl
l =1
j =1
i =1
l =1
Ve složkách: n
k
m
n
k
∑F = ∑R
lx
∑M + ∑M
= ∑ MRlx
∑F = ∑R
ly
∑M + ∑M
= ∑ MRly
∑F = ∑R
lz
∑M + ∑M
= ∑ MRlz
i =1 n
i =1 n
i =1
ix
iy
iz
l =1 k
l =1 k
l =1
j =1 m
j =1 m
j =1
jx
jy
jz
i =1 n
i =1 n
i =1
(6 rovnic - 6 neznámých)
Fix
Fiy
Fiz
l =1 k
l =1 k
l =1
9 © Petr Kabele 2005-2009
Příklady úloh rovnováhy/ekvivalence
n
0
r
Př. 1: Náhrada dané soustavy sil {i} dvěma mimoběžnými silami 1 a 2. 1. Výsledný účinek soustavy {i}:
0
z
2. Vektor 0 nahradíme dvojicí sil {2, } Takže
= - 2
x
1
y
bivektor r , 0 v rovině kolmé k 0 ; v počátku.
2
0
r
0 = d x 2 2 . 0 = 0 d . 0 = 0
d y z
2
x 10
© Petr Kabele 2005-2009
r
1
3. Složíme r+ = 1
d y
2
x
z 1 d
2
x
y z
11 © Petr Kabele 2005-2009
Pozn.: Nulové přímky soustavy sil = přímky ke kterým má soustava sil nulový statický moment Nahradíme-li soustavu sil dvěma mimoběžnými silami, pak každá přímka protínající současně paprsky těchto sil je nulovou přímkou soustavy. 1 2 12 © Petr Kabele 2005-2009
Příklady úloh rovnováhy/ekvivalence Př. 2: Náhrada soustavy {i} silou C působící v hlavní ose soustavy c a hlavním momentem C Definice: C || r , |C | = | r |, C a C jsou koaxiální Dáno: {i}, velikost a směr C a směr C n Vypočítat: paprsek C a velikost |C| 0 r ψ 2 a) Soustavu nahradíme výslednou silou r a statickým momentem k počátku O
0
x
y
1 z 13 © Petr Kabele 2005-2009
b) Moment O nahradíme momentem C koaxiálním s r a n⊥ r |C| = |O| cosψ,
0 n
|n| = |O| sinψ
r
ψ
C
0
x
y složky vektoru C:
MCx = |C| cos αr MCy = |C| cos βr MCz = |C| cos γr
složky vektoru n= O - C :
z
Mnx =MOx - MCx Mny =MOy - MCy Mnz =MOz - MCz 14 © Petr Kabele 2005-2009
c
r c) Vzájemně kolmé vektory na r vázané na počátek O nahradíme silou C = r působící v hlavní ose c, jejíž rovnice jsou:
n
ψ
c
C
0
x
y z
Frz y - Fry z = Mnx
Frx z - Frz x = Mny
c
Fry x - Frx y = Mnz
c 0
d) Moment C posuneme do hlavní osy y
x C
z Podobně bychom formulovali úlohu rovnováhy. Další příklady viz cv.
15
© Petr Kabele 2005-2009
3.3.2 Prostorová soustava rovnoběžných sil je zvláštním případem obecné prostorové soustavy, kdy paprsky všech sil soustavy jsou vzájemně rovnoběžné.
i {i} = {Fi}
i
1
O
n y z
x Pozn.: pokud má síla i opačnou orientaci než jednotkový vektor , uvažujeme Fi se znaménkem mínus. 16 © Petr Kabele 2005-2009
Výsledný účinek (k počátku O) n n n Fr = ∑ Fi = ∑ Fi f = f ∑ Fi = f Fr i =1
i =1
i =1
…(r || )
(
)
n n n n MO = ∑ MOFi = ∑ (ri × Fi ) =∑ ri × Fi f =∑ (ri Fi ) × f i =1
i =1
i =1
i =1
... z definice vektorového součinu ⇒ O ⊥ r
i
1
r
O O n
x
y z
Velikost a orientace výslednice: n
Fr = ∑ Fi i=1
je-li Fr > 0 ... shodná orientace s je-li Fr < 0 ... opačná orientace než
17 © Petr Kabele 2005-2009
Obecně r ≠ a O ≠ ⇒ výsledným účinkem je jediná síla r působící v hlavní ose soustavy. Rovnice Frz y - Fry z = M0x
Frx z - Frz x = M0y
Fry x - Frx y = M0z
určují paprsek posunuté síly r (t.j. hlavní osu c)
O O
r
c x
r
y z
18 © Petr Kabele 2005-2009
Zvláštní případy:
r
• r ≠ , O = ⇒ výsledným účinkem je jediná síla r působící v paprsku procházejícím počátkem
c
O
x
y z • r = , O ≠ ⇒ výsledným účinkem je * =- d d dvojice sil působící v rovině kolmé k paprsku vektoru O a otáčející momentem Md=MO O
d x
y • r = , O = ⇒ soustava sil je v rovnováze
z 19 © Petr Kabele 2005-2009
Příklad:
Určete výsledný účinek soustavy rovnoběžných sil {i} působících v paprscích rovnoběžných s osou z i Pro všechny síly soustavy: Fix = Fiy = 0 1 O
⇒ Fzi = Fi ⇒ Mzi = 0 Pak: Frx = Fry = 0, n
n
i =1
i =1
n
y
M0z=0
z
Frz = ∑ Fiz = ∑ Fi M0x = ∑ Mix = ∑ (Fiz y i − Fiy zi ) =∑ Fi y i n
n
n
i =1
i =1
i =1
n
n
n
M0y = ∑ Miy = ∑ (Fix zi − Fiz x i ) =∑ (- Fi x i ) i =1
i =1
x
i =1
My
O
x
Mx
y
O
r z
20 © Petr Kabele 2005-2009
Působiště výslednice: n n
∑Fy
i =1
Fr
M0x = ∑ Fi y i = Fr y r ⇒ y r =
i =1
i
i
|xr|
n
∑Fx
i =1
Fr
M0y = ∑ (- Fi x i ) = −Fr x r ⇒ x r = −
i =1
i
O
|yr |
n
x
i
r
y z
21 © Petr Kabele 2005-2009
Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětu Stavební mechanika 1 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby.
Datum poslední revize: 6.10.2009
22 © Petr Kabele 2005-2009
