Mechanická silová pole silové pole v mechanice je vektorové pole charakterizované tzv. intenzitou silového pole (intenzitou síly): r r F E= [ms − 2 ] m
•
intenzita je totožná se zrychlením, které silové pole v daném místě udělí libovolnému tělesu
Silové pole
pohyb těles
r r r F = F (r , t )
r r r = r (t )
Silové pole působí tedy na volné hmotné objekty tak, že je uvede do pohybu.
Práce v silovém poli •
Síla, která přemístí určité těleso z jedné polohy (A) do polohy jiné r (B), koná práci: r A=
∫( B
r r r F (r , t ) ⋅ dr
r rA
)
[J]
• Práce A je skalární veličina, která závisí obecně nejen na počátečním a koncovém bodu dráhy, ale i na tvaru trajektorie L.
• elementární práce: r r r r dA = F ⋅ dr cos α = Fτ dr dA = Fds cos α
r r dA = F ⋅ dr práci koná pouze tečná složka k trajektorii, tj. ve směru pohybu
• Práce při otáčivém pohybu: r r r r r r r r r r dA = F ⋅ dr = F ⋅ (dϕ × r ) = dϕ ⋅ (r × F ) = Mdϕ
r r F (r , t )
r Fn α
r r A
r Fτ
B L
r r r + dr
Výkon síly Časová změna práce, která je konaná danou silou F, se nazývá okamžitý výkon P
P=
dA [W] dt
pro výkon můžeme psát: r r r d A r dr r r d A = F dr ⇒ P = =F = F ⋅v dt dt
•
Práce se tedy koná pouze, když síla rychlost pohybu na sebe nejsou kolmé
Mechanická účinnost stroje: A P η= = Edod P0
Výkon síly – měří se vykonanou prací za čas Příkon – měří se dodanou energií za čas
Mechanická energie Energie skalární veličina, která charakterizuje stav tělesa nebo hm.bodu je mírou schopnosti těles konat práci změna energie W je rovna práci vnějších sil A ∆W = W2 − W1 = A12 •
práce konaná silou F při pohybu: r r2
A12 = ∫ r r1
r r t2 r r r r2 ⎛ dvr ⎞ r t 2 ⎛ dvr drr ⎞ ⎛ dv r ⎞ F (r ) ⋅ dr = ∫ m⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ dr = ∫ m⎜⎜ ⋅ ⎟⎟dt = ∫ m⎜⎜ ⋅ v ⎟⎟dt = r ⎝ dt ⎠ ⎝ dt dt ⎠ ⎝ dt ⎠ r1 t1 t1
(
t2
)
( )
v
2 1 d v2 1 ⎛1 ⎞ ⎛1 2 2⎞ =∫ m dt = ∫ md⎜ v 2 ⎟ = ⎜ mv2 − mv1 ⎟ = ∆Wk 2 dt 2 ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ t1 v1
•
Kinetická energie WK hmot.bodu: WK =
1 2 mv 2
změna tzv. kinetické (pohybové) energie
Konzervativní silové pole Konzervativní silová pole
(pole konzervativní síly)
-
práce závisí pouze na počáteční a koncové poloze tělesa a nikoliv r r na tvaru trajektorie. A12 = f ( r2 − r1 )
-
přemístíme-li těleso po uzavřené křivce L, pak vykonaná práce je r nulová, tj. platí (r2 ) např. gravitační síla, resp. elastická síla je konzervativní
A=∫
L
(
)
r r F ⋅ dr = 0
I
( A12 )I = ( A12 )II r (r1 )
- mají dvě základní vlastnosti:
II
a) jsou potenciálová, tj. jejich intenzita může být vyjádřena pomocí gradientu skalární funkce (zvané potenciál silového pole) r E = −grad ϕ
b) jsou stacionární, tj. síla ani potenciál silového pole nezávisí na čase, r r r r ale pouze na poloze F = F (r ) ϕ = ϕ(r )
Konzervativní silové pole -
Ekvipotenciální plocha: plocha konstantního potenciálu ϕ( x, y, z ) = konst.
-
Siločáry: mají směr normály k ekvipotenciální ploše tyto křivky se vzájemně neprotínají můžeme pomocí nich graficky znázornit velikost intenzity pole r grad ϕ n= grad ϕ
siločáry
ϕ1
ϕ2 ϕ3
Konzervativní silové pole Jestliže do určitého bodu v silovém poli, jehož potenciál v tomto bodě je ϕ, vložíme hmotný bod o hmotnosti m reprezentující těleso, získá toto těleso potenciální (polohovou) energii Wp: potenciální energie
závisí pouze na poloze v silovém poli
W p = mϕ
Potenciální energii mají pouze tělesa v poli konzervativních sil. - pro elementární přírůstek práce dA platí:
(
) (
Práce konaná proti působení vnějších sil pole
)
r r r r r ⎛ dϕ r ⎞ dA = F ⋅ dr = m E ⋅ dr = − m(grad ϕ ⋅ dr ) = − m⎜ r ⋅ dr ⎟ = − m ⋅ dϕ = −dW p ⎝ dr ⎠
• celková práce A12 konaná při přemístění tělesa z polohy 1 do polohy 2: r r2
Ep2
r r1
E p1
A12 = ∫ d A = − ∫ dW p = − ∆W p = ∆Wk
Úbytek potenciální energie lze vyjádřit jako práci A12 potřebnou na přemístění tělesa z pozice 1 do pozice 2
Konzervativní silové pole Zvolíme bod 2 v místě, kde potenciál nabývá nulové hodnoty ϕ 2 = 0 A12 = − ∆W p = W p1 − W p 2 = mϕ1 − mϕ 2 = mϕ1
W p = mϕ
volba nulové hladiny potenciální energie je otázkou dohody (obvykle ji klademe do nekonečna, v určitých případech je vhodné ji ztotožnit s povrchem Země). •
pro konzervativní silové pole tedy platí: A12 = − ∆W p
∧
A12 = ∆Wk
W p1 − W p 2 = Wk 2 − Wk1
Wk1 + W p1 = Wk 2 + W p 2
Pro konzervativní silové pole platí zákon zachování mechanické energie
Wk + W p =
1 2 mv + mϕ = konst. 2
Nekonzervativní silové pole Nekonzervativní silová pole: na těleso působí i tzv.nekonzervativní síly (tření, odporové síly), které již nejsou funkcí pouze polohy, ale závisí na rychlosti, se kterou r* r* r r r* r se těleso pohybuje
∫ (F
F = F (r , v , t )
L
)
⋅ dr < 0
vliv těchto sil vede k tzv. disipaci energie, tj. k přeměně mechanické energie W na teplo Q. Celková práce vnějších sil: ∆Wk = −∆Wp + A
* 12
W2 − W1 = A
* 12
v poli nekonzervativních sil neplatí zákon zachování mechanické energie
r r2
r
r r1
r r1
r r r2 r * r A = ∫ Fdr + ∫ F dr = A12 + A12*
práce nekonzervativních sil je rovna změně mechanické energie r r2
r* r A = ∫ F dr < 0 * 12
r r1
r* F
r dr
Nekonzervativní silové pole Síly tření: tření - jev vyvolaný interakcí mezi dotýkajícími se tělesy projevuje se vznikem třecích sil, působících proti vzájemnému pohybu dotýkajících se těles (částí látky) závisí na vlastnostech těles a) vnitřní tření -
vzniká při vzájemném posouvání částí téže látky (např. kapaliny) vznik tečných sil proti směru posuvu (souvisí s viskozitou látek)
b) vnější tření -
vzniká mezi pevnými tělesy, které se navzájem dotýkají a která jsou k sobě přitlačována určitou silou působí proti směru vzájemného pohybu těles (např. smykové a valivé tření,…)
Nekonzervativní silové pole Odporové síly: r r r r v obecně závisí na rychlosti Fo = Fo (v ) = − ( A + Bv + Cv 2 + ...) v působí proti pohybu odporové koeficienty A,B,C,… závisí na tvaru tělesa a vlastnostech prostředí (např. síly vazkosti v kapalinách a plynech) a) pomalý pohyb v kapalinách: r r Fo =& − Bv
b) pohyb ve vzduchu (aerodynamika): r r r 1 Fo =& −Cvv = − C x ρSvv 2
Šikmý vrh ve vzduchu
Nekonzervativní silové pole Smykové tření: dá-li se plocha styku obou těles považovat za rovinnou a jde o tzv.suché tření, potom velikost třecí síly je přímo úměrná normálové složce přítlačné síly konstanta úměrnosti se nazývá součinitel smykového tření µ Ft = µFn
Součinitel smykového tření - rozlišujeme statický µs a dynamický µ součinitel smykového tření - lze ho vyjádřit pomocí tzv.třecího úhlu ϕ µ ≥µ s
µ= F
Ft = tg ϕ Fn
Fn
Fv
Ft
rovnoměrný pohyb po nakloněné rovině o sklonu ϕ
Nekonzervativní silové pole Valivé tření: vyjadřuje odpor při valení oblého pevného tělesa po jiném tělese, k němuž je přitlačováno určitou silou (např.kolo na vozovce) valivý odpor je vyvolán deformacemi obou těles v oblasti jejich styku M = ξFn = ξRn
vzniká moment dvojice sil
ξ - rameno valivého odporu [m] -
jedná-li se o valení homogenního válce nebo koule s poloměrem r, potom: ξ << r
•
Ft = Rt =
ξ Fn r
konstanta úměrnosti ξ se též nazývá součinitel valivého tření µV
ξ r r r R r Fn r Rn Rt
Smykové a valivé tření Ft F
Fn
Fv
ξ r r r R r Fn r Rn Rt
µ s Fn
smykové tření
µFn
Ft
Fv µS
µ
Sklo-sklo
0,94
Ocel-ocel
VALIVÉ TŘENÍ
ξ [cm]
0,4
Pneu-asfalt
0,025
0,3
0,25
Pneu-beton
0,015
Kov-dřevo
0,6
0,2-0,6
Pneu-písek
0,5
Pneu-beton
0,9
0,7
Dřevo-dřevo
0,45-0,6
0,2-0,48
0,27
0,014
SMYKOVÉ TŘENÍ
Ocel-led
Ocel-ocel
0,005
Dřevo-dřevo
0,05
Kuličková ložiska
0,0005
Třecí síly F′
Příklad: (automobil v zatáčce) - určete maximální průjezdovou rychlost Poloměr zatáčky: podmínka rovnováhy sil:
r = 50 m
FO1
G1 + T = Fo1
T
α
S
G = mg Fo = mv 2 / r
r
G1
G
FO FO 2 G2
T = µ(G2 + Fo 2 ) G sin α + µ(G cos α + Fo sin α) = Fo cos α
v (α ) =
rg (sin α + µ cos α) cos α − µ sin α
α1 = 5o
v1,max = 50,2 km/h
α 2 = 0o
v2,max = 43,7 km/h
α 3 = −5o
v3,max = 36,3 km/h
Třecí síly Příklad: (výkon automobilu)
F′
- automobil jede rovnoměrně do kopce rychlost:
v = 60 km/h
sklon:
F
m = 1500 kg
β = 10 %
F1 + Fo
α = arctg(β / 100) = 5,7 o poloměr kola:
r = 500 mm
valivé tření:
ξ = 30 mm
α
odpor vzduchu: k = 0,7 Nm-2s 2 F = F1 + Ft + Fo = mg sin α + ξrmg cos α + kv 2 výkon automobilu:
P = Fv =& 31,3 kW
Ft
G = mg
F2
v
Třecí síly Příklad: (parašutista) - na parašutistu působí výsledná síla: F = G − Fx − Fvz tíhová síla odporová síla bez padáku s padákem
vztlak zanedbáme
m1 = 32 kg
d Fvz << G
G = (m1 + m2 ) g d = 12 m
1 Fx = ρC x Sv 2 2 C x′ = 0,4 C x = 1,3
m2 = 85 kg
S ′ = 0,3 m S=
2
πd = 113,1 m 2 4 2
m2
v
max. pádová rychlost F =0
2(m1 + m2 ) g v= SC x ρ
FX
v′ = 122 m/s v = 3,48 m/s
G ρ = 1,29 kg/m3
Třecí síly Video - padák
