Mean untuk Data Tunggal Definisi . Jika suatu sampel berukuran n dengan anggota x1 , x2 , x3 , … , xn , maka mean sampel didefinisiskan :
n
X 1 X 2 ... X N X n
Xi i 1
n
Mean untuk Data Kelompok Definisi Mean dari data yang dikelompokan adalah : n
X
f i 1 n
n
i
xi
fi
f i 1
i
xi
n
i 1
dengan
:
xi = titik tengah pada kelas interval ke – I fI = frekuensi pada kelas interval ke-I n = banyak data (sampel)
Contoh
Kelas Interval 35 - 44 45 - 54 55 - 64 65 - 74 75 - 84 85 - 94 95 - 104 Jumlah Sehingga mean :
xi
fi
fi xi
39,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5 -
4 3 10 22 18 19 4 80
158 148,5 595 1529 1431 1700,5 398 5960
n
X
f x i 1 n
i
fi i 1
n
i
f x i 1
i
n
i
= (5960) / 80 = 74,5
MODUS Modus pada umumnya digunakan untuk menyatakan kejadian
yang sering muncul. Sehingga ukuran ini dalam keadaan tidak disadari sering dipakai untuk menentukan rata-rata yang berasal dari data kualitatif.
Modus untuk Data Tunggal Untuk menentukan modus dari suatu data yaitu dengan cara mencari frekuensi paling banyak.
Modus untuk data kelompok Definisi : Data nilai yang berbentuk dapat dicari dengan rumus sbb :
Mo
distribusi frekuensi , modus
L MO c(
a ) ab
Di mana : LMo : batas bawah interval modus a : frek. kelas modus dikurangi frekuensi interval kelas sebelumnya. b : frek. kelas modus dikurangi frekuensi interval berikutnya. c : panjang interval.
Contoh
Kelas Interval 35 45 55 65 75 85 95
-
44 54 64 74 84 94 104
fi 4 3 10 22 18 19 4
Dari tabel di atas kelas modusnya adalah interval keempat , dengan L M = 64,5 a= 22 - 10 = 12 ; b = 22 - 18 = 4 dan c = 10 Sehingga :
Mo
L MO
a c( ) ab
= 64,5 + 10 (12)/(12+4) = 64,5 + 7,5 = 72
Median Definisi Median untuk data tunggal : Jika suatu data yang telah diurutkan dari yang kecil samapai terbesar dengan notasi X(1) , X(2) , X(3) , … , X(n) , maka 1. Untuk sampel berukuran ganjil Mediannya adalah data paling tengah atau Me = X((n + 1)/2) . 2. Untuk sampel berukuran genap. Mediannya adalah rata-rata dari dua data tengah atau Me = ½ { X(n /2) + X((n/2)+1) } .
Diberikakan data nilai mahasiswa untuk mata kuliah statistika matematika I sbb :
a) 45 55 70 65 b) 45 55 70 65 Tentukan mediannya.
75 75
40 40
75 75
50
Penyelesaian : a. Data diurutkan telebih dahulu mulai dari yang terkecil sampai terbesar 40 45 55 65 70 75 75 Jadi median untuk nilai statistika matematika I adalah 65. b. Data diurutkan telebih dahulu mulai dari yang terkecil sampai terbesar 40 45 50 55 65 70 75 75 Dua data ditengah Sehingga mediannya adalah (55 + 65) / 2 = 60
Median untuk Data Kelompok Definisi Sedangkan untuk data yang disajikan dalam tabel frekuensi, maka median dapat dicari sebagai berikut :
( n / 2) F Me L me c( ) f Di mana : Lme : batas bawah kelas median F : jumlah frekuensi semua interval sebelum klas median. c : panjang interval f : frekuensi kelas median
CONTOH :
Kelas Interval 35 45 55 65 75 85 95
-
44 54 64 74 84 94 104
fi 4 3 10 22 18 19 4
Dari kelas median batas bawahnya adalah 74,5 ; panjang interfal : 10 f : frekuensi kelas median adalah 18 serta F = 4 + 3 + 10 + 22 = 39 Sehingga :
Me L me
( n / 2) F c( ) f
= 74,5 + 10 ( 40 – 39 )/18 = 74,5 + 0,556 = 75,056
Kuantil (N – til) Definisi :
Kuantil (N-til) merupakan sekumpulan data yang dibagi menjadi (N-1) kelompok dan untuk menentukan letak data , terlebih dahulu data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar.
Sehingga : untuk N = 4 disebut kuartil artinya setelah data dirutkan , kemudian dibagi dalam 3 kelompok ;
N = 10 disebut desil artinya setelah data diurutkan , kemudian dibagi dalam 9 kelompok N = 100 disebut persentil artinya setelah data diurutkan , kemudian dibagi dalam 99 kelompok
Kuantil Untuk Data Tunggal Definisi Untuk menentukan letak data ke –i dari suatu kuantil digunakan rumus : Letak Ke i = data ke
Dengan :
I = letak ke i n = banyak data N = jenis kuantil
i(n 1) N
Diberikan data sampel seperti berikut. 63 52 35 55 60 40 64 35 45 43 Tentukan : Kuartil ke 1 (K1) Kuartil ke 3 (K3)
45
70
30
Penyelesaian : Data diurutkan terlebih dahulu : 30 35 35 40 43 45 45 52 55 63 70 berarti n = 12 dan N = 4 a) Kuartil ke – 1 adalah Letak (K1) = data ke (1(12+1)/4) = 3,25 Sehingga K1 = data ke- 3 + (1/4) (data ke-4 - data ke-3) = 35 + (1/4)(40-35) = 35 + (5/4) = 36,25 b) Kuartil ke – 3 adalah Letak (K3) = data ke (3(12+1)/4) = 9,75 Sehingga K3 = data ke- 9 + (3/4)(data ke-10 - data ke-9) = 35 + (3/4)(60 – 55) = 58,75
60
Ukuran Penyimpangan Ukuran ini menunjukan adanya penyimpangan (sebaran/deviasi) tiap observasi data terhadap suatu harga tengah. Karena merupakan ukuran pusat , maka penyimpangan yang terjadi pada masing-masing data terhadap rata-rata adalah
( x1 x )( x2 x )( xn x ) Penyimpangan untuk Data Tunggal
Deviasi rata-rata Definisi : Deviasi rata-rata adalah harga rata-rata sebaran tiap observasi data terhadap meannya. Andaikan ada data nilai X 1, X 2 , … , X n dengan mean X , maka deviasi rata-rata adalah n
d.r
X i 1
i
n
X
Definisi : (1)
Variansi sampel dari sekumpulan n data : X 1, X 2 , … , X n .adalah n
S2
(Xi X)
2
i 1
n 1
(2) Deviasi standar (simpangan baku) dari sekumpulan n data : X
1, X 2 , … , X n
adalah
n
S.D =
S2
(Xi X) i 1
n 1
2
Deviasi untuk Data Kelompok Definisi : Untuk sekumpulan n data : X 1, X 2 , … , X n yang telah diubah dalam tabel distribusi frekuiensi , maka
(1) Deviasi rata-ratanya adalah
n
d.r
f i 1
i
Xi X n
(2) Variansi
sampelnya adalah n
S2 di mana
:
i
: 1 , 2 , 3, … , n
fi
: frekuensi
Xi
: data ke-i
X
: mean data sampel
2 f ( Xi X ) i i 1
n 1
Theorema
n
S
2
f i (Xi X) i 1
n 1
n
2
n
n f i X i ( f i X i ) 2 i 1
2
i 1
n (n 1)
