Materi ke - 6 Penggunaan Integral Tak Tentu 10 April 2014
Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Persamaan Diferensial dan Penggunaannya Persamaan diferensial mengaitkan suatu fungsi dengan turunannya ( diferensial ) Contoh
x y' = − 2y
y = 2x '
y ' '− y '−2 y = 2 x Industrial Engineering – UNS
2
[email protected]
Persamaan Diferensial dan Penggunaannya Dengan proses integral tak tentu persamaan diferensial y ' = 2 x mempunyai solusi y = x 2 + C
Solusi umum keluarga kurva yg memenuhi persamaan Solusi khusus satu kurva yg memenuhi syarat tertentu Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Metoda Pemisahan Peubah Digunakan untuk persamaan diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk p( x) + q( y ) y ' = 0 atau p( x)dx + q ( y )dy = 0 Solusi diperoleh dengan integral tak tentu
∫ p( x)dx + ∫ q( y)dy = C Jika P( x) = ∫ p( x)dx dan Q( x) = ∫ q ( y )dy Maka solusinya adalah P( x) + Q( x) = C Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Metoda Pemisahan Peubah Contoh 1 Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (2,-1) jika diketahui gradien garis singgung disetiap titik = perbandingan absis dan ordinat Jawab 1 Gradien garis singgung pada kurva f ( x, y ) = k adalah y '. Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Metoda Pemisahan Peubah karena gradien garis singgung ( y' ) sama dengan perbandingan absis (x) dan ordinat (y) dan kurva yang melalui titik (2,-1) , maka persamaan diferensialnya adalah x y ' = , y (−1) = 2 y
Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Metoda Pemisahan Peubah Selesaikan dengan metoda pemisahan dy x = ⇒ ydy = xdx ⇒ ∫ ydy = ∫ xdx dx y Solusi diperoleh dengan integral tak tentu 1 2 1 2 2 2 y = x +C ⇒ y = x +C 2 2 Karena y (−1) = 2 maka 4 = 1 + C sehingga C = 3 Maka solusinya adalah y = x + 3 2
Industrial Engineering – UNS
2
[email protected]
Metoda Pemisahan Peubah Contoh 2 Tentukan y fungsi x yang memenuhi persamaan y ' = x − 2 xy Jawab 2 dy dy = − x(2 y − 1) ⇒ = − xdx dx (2 y − 1) dy 2 = − xdx ⇒ ln 2 y − 1 = − x + c1 ∫ (2 y − 1) ∫ Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Metoda Pemisahan Peubah
2 y −1 = e
− x 2 + c1
2 y − 1 = c3e
− x2
⇒ 2 y − 1 = c2 e
− x2
, c2 > 0
, c3 ≠ 0
1 −x2 y = + Ce 2
Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Penggunaan Persamaan Diferensial Seorang penerjun , terjun dari ketinggian tertentu dan parasut terbuka pada saat t=0 , pada saat itu kecepatannya v(0)=10 m/det. Berat penerjun 712 N . Jika hambatan udara sebanding dengan kuadrat kecepatannya dengan konstanta perbandingan b = 30 N / (m2/det2) dan g = 9,8 m/det2 , tentukan fungsi kecepatn penerjun setiap saat ? Apakah kecepatan bertambah untuk t yang semakin besar ? Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Penggunaan Persamaan Diferensial
STOP Untuk menyelesaikan masalah diatas kita HARUS mengerti sistem tersebut ( dalam hal ini FISIKA )
Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Penggunaan Persamaan Diferensial Berdasarkan hukum Newton yang kedua F=ma diperoleh
dv mg − bv = m , v(0) = 10 dt Dari sini diperoleh pers diferensial dv b 2 = g − v , v(0) = 10 dt m 2
Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Penggunaan Persamaan Diferensial
(
)
dv b 2 mg dv b 2 mg 2 2 = − v − = − v − k ,k = ⇒ m m dt b dt b dv b dv b = − dt ⇒ ∫ 2 = ∫ − dt 2 2 2 v −k m v −k m 1 v−k b v−k 2kb = − t + c1 ⇒ ln =− t + c2 ln 2k v + k m v+k m v−k 2kb − pt = Ce , p = v+k m
(
)
Industrial Engineering – UNS
(
)
[email protected]
Penggunaan Persamaan Diferensial v − k = Ce
− pt
(v + k )
Sehingga fungsi kec penerjun setiap saat − pt
1 + Ce v(t ) = k − pt 1 − Ce mg 2kb 2 dimana k = dan p = b m Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Penggunaan Persamaan Diferensial Dari W = mg = 712 N dan b = 30 N / (m /det ) 2
2
mg 712 maka k = = = 4,87 m/det b 30 v−k − pt dari = Ce dengan v(0) = 10 m/det v+k diperoleh C = 0,345 Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Penggunaan Persamaan Diferensial Dari m = 72,7 kg , k = 4,87 m/det dan b = 30 N / (m /det ) 2
2
2kb maka p = = 4,02 / det m Jadi kecepatan penerjun setiap saat − 4 , 02 t
1 + 0,345e v(t ) = 4,78 − 4 , 02 t 1 − 0,345e Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Penggunaan Persamaan Diferensial Selidiki apakah t semakin besar kec bertambah ? untuk t → ∞ , v(t ) → 4,87 Artinya untuk t semakin besar kec hampir konstan yaitu mendekati 4,87 m/det
Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu mempunyai bentuk umum y '+ p( x) y = q( x) Untuk menyelesaikan , kalikan ruasnya dng faktor e P ( x ) , P(x) = ∫ p(x)dx Maka diperoleh e
P( x)
y '+e
P( x)
Industrial Engineering – UNS
p( x) y = e
P( x)
q( x)
[email protected]
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya Bentuk diatas dapat ditulis d P( x) e y = e P ( x ) q( x) ⇒ d e P ( x ) y = e P ( x ) q( x)dx dx Integralkan kedua ruas
(
)
(
)
e P ( x ) y = ∫ e P ( x ) q( x)dx, e P ( x ) → Faktor Integrasi (f.i) Teorema 1 Solusi umum dari y '+ p( x) y = q( x) adalah p ( x ) dx ∫ ( f .i ) y = ∫ (f.i)q( x)dx + C , (f.i) = e Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya Contoh 4 Tentukan Solusi Umum y '+2 xy = x Jawab 4 Dengan menggunakan Teorema 1 p ( x )dx 2 xdx x2 ∫ ∫ =e =e Faktor Integrasi (f.i) = e
1 x2 1 − x2 e y = ∫ e x)dx ⇒ e y = e + C ⇒ y = + Ce 2 2 x2
x2
Industrial Engineering – UNS
x2
[email protected]
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya Contoh 5 Tentukan Solusi Umum ( y-2 )dx + ( 2 x − y)dy = 0 Jawab 5 Tulis dlm bentuk dx dx ( y-2 ) + ( 2 x − y) = 0 ⇒ ( y-2 ) + 2 x = y dy dy dx 2x y 2x y + = ⇒ x'+ = dy ( y-2 ) ( y-2 ) ( y-2 ) ( y-2 ) Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya Faktor Integrasi (f.i) = e
∫
2 dy y −2
=e
ln( y − 2 ) 2
= ( y − 2) 2
y ( y − 2) x = ∫ ( y − 2) . dy ( y-2 ) 1 3 2 2 ( y − 2) x = y − y + C atau dapat ditulis 3 1 3 2 y − y +C x= 3 ( y − 2) 2 2
Industrial Engineering – UNS
2
[email protected]
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya Perhatikan gambar dibawah ( Persoalan Rangkaian Listrik ) R
E(t)
S L
Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya Rangkaian Listrik terdiri dari daya E(t)=100sin40t volt , R=10 Ohm , L=0.5 Henry dan Saklar ( S ). Jika S ditutup I(0)=0 , tentukan arus listrik pada setiap T Sekali lagi …. Kita Harus memahami sistem sebelum meng-aplikasikan persamaan diferensial
Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya Berdasarkan hukum Ohm ⇒ E R = RI ⇒ ER = 10 I Besar EL sepanjang induktor berbanding lurus dI dI dengan laju perubahan arus I ⇒ E L = L ⇒ EL = 0.5 dt dt Hukum Kirchoff ⇒ E (t ) = ER + EL dI 0.5 + 10 I = 100 sin 40t , I (0) = 0 atau dt I '+20 I = 200 sin 40t , I (0) = 0
Industrial Engineering – UNS
[email protected]
Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya 20 dt ∫ f .i = e = e 20t ⇒ e 20t .I = ∫ e 20t .200 sin 40tdt + C − 20 t
I = 2(sin 40t − 2 cos 40t ) + Ce Syarat I (0) = 0 ⇒ C = 4 ⇒ Maka solusi khusus I = 2(sin 40t − 2 cos 40t ) + 4e
− 20 t
atau
1 I = 2 5 (sin 40t − φ ) + 4e , φ = cos 5 = 1.11 5 Fungsi I setiap saat I = 2 5 (sin 40t − 1.11) + 4e − 20t − 20 t
Industrial Engineering – UNS
−1
[email protected]
Inspirasi Hari Ini Ancaman TERBESAR bagi KEBERHASILAN bukan pada CITA-CITA yang setinggi langit hingga tak mampu mencapainya secara penuh ; Namun berasal dari pematokan cita-cita yang terlalu DATAR hingga mudah mencapainya Industrial Engineering – UNS
[email protected]
